Chương 2: Mối quan hệ giữa quan điểm sóng và quan điểm hạt

2–1  Biên độ sóng xác suất

Trong chương này chúng ta sẽ thảo luận mối quan hệ giữa quan điểm sóng và quan điểm hạt. Chúng ta đã biết, từ chương trước, rằng cả quan điểm sóng lẫn quan điểm hạt đều không đúng. Chúng ta luôn muốn trình bày mọi thứ một cách chính xác, hoặc ít nhất đủ chính xác để chúng không phải thay đổi khi chúng ta học thêm — chúng có thể được mở rộng, nhưng sẽ không bị thay đổi! Nhưng khi chúng ta cố nói về bức tranh sóng hay bức tranh hạt, cả hai đều là gần đúng, và cả hai đều sẽ thay đổi. Vì vậy những gì chúng ta học trong chương này sẽ không chính xác theo một nghĩa nào đó; chúng ta sẽ xử lý một số lập luận nửa trực giác mà sau này sẽ được làm cho chính xác hơn. Nhưng một số điều sẽ bị thay đổi một chút khi chúng ta diễn giải chúng một cách đúng đắn trong cơ học lượng tử. Chúng ta làm điều này để bạn có thể có được một cảm nhận định tính nào đó về một số hiện tượng lượng tử trước khi chúng ta đi vào các chi tiết toán học của cơ học lượng tử. Hơn nữa, mọi kinh nghiệm của chúng ta đều là với sóng và với hạt, vì vậy khá tiện lợi khi dùng các ý tưởng sóng và hạt để có được một sự hiểu biết nào đó về điều gì xảy ra trong các hoàn cảnh cho trước, trước khi chúng ta biết toán học hoàn chỉnh của các biên độ cơ học lượng tử. Chúng ta sẽ cố chỉ ra những chỗ yếu nhất trong lúc đi, nhưng phần lớn trong đó là rất gần đúng — nó chỉ là vấn đề diễn giải.

Trước hết, chúng ta biết rằng cách mới để biểu diễn thế giới trong cơ học lượng tử — khuôn khổ mới — là cho ra một biên độ cho mọi sự kiện có thể xảy ra, và nếu sự kiện liên quan đến việc nhận được một hạt, thì chúng ta có thể cho ra biên độ để tìm thấy hạt đó tại các nơi khác nhau và tại các thời điểm khác nhau. Xác suất tìm thấy hạt khi đó tỉ lệ với mô-đun bình phương của biên độ. Nói chung, biên độ để tìm một hạt tại các nơi khác nhau vào các thời điểm khác nhau thay đổi theo vị trí và thời gian.

Trong một trường hợp đặc biệt nào đó, có thể xảy ra việc biên độ thay đổi theo hình sin trong không gian và thời gian như e^{i(ωt−k·r)}, trong đó r là vectơ vị trí từ một gốc tọa độ nào đó. (Đừng quên rằng các biên độ này là các số phức, không phải số thực.) Một biên độ như vậy thay đổi theo một tần số xác định ω và một số sóng k. Khi đó hóa ra rằng điều này tương ứng với một tình huống giới hạn cổ điển trong đó chúng ta hẳn đã tin rằng chúng ta có một hạt mà năng lượng E của nó đã biết và liên hệ với tần số bởi

E = ℏω,   (2.1)

và động lượng p của nó cũng đã biết và liên hệ với số sóng bởi

p = ℏk.   (2.2)

(Ký hiệu ℏ biểu diễn số h chia cho 2π; ℏ = h/2π.)

Điều này có nghĩa là ý tưởng về một hạt bị giới hạn. Ý tưởng về một hạt — vị trí của nó, động lượng của nó, v.v. — mà chúng ta dùng rất nhiều, theo một số cách là không thỏa đáng. Chẳng hạn, nếu một biên độ để tìm một hạt tại các nơi khác nhau được cho bởi e^{i(ωt−k·r)}, mà mô-đun bình phương của nó là một hằng số, điều đó có nghĩa là xác suất tìm thấy một hạt là như nhau tại mọi điểm. Điều đó có nghĩa là chúng ta không biết nó ở đâu — nó có thể ở bất cứ đâu — có một sự bất định lớn trong vị trí của nó.

Mặt khác, nếu vị trí của một hạt ít nhiều được biết rõ và chúng ta có thể dự đoán nó khá chính xác, thì xác suất tìm thấy nó tại các nơi khác nhau phải bị giới hạn trong một miền nào đó, mà độ dài của nó chúng ta gọi là Δx. Bên ngoài miền này, xác suất bằng không. Bây giờ xác suất này là mô-đun bình phương của một biên độ, và nếu mô-đun bình phương bằng không, thì biên độ cũng bằng không, vì vậy chúng ta có một đoàn sóng mà độ dài của nó là Δx (Hình 2–1), và bước sóng (khoảng cách giữa các nút của các sóng trong đoàn) của đoàn sóng đó là cái tương ứng với động lượng của hạt.

Ở đây chúng ta gặp một điều kỳ lạ về sóng; một điều rất đơn giản mà hoàn toàn không liên quan chặt chẽ đến cơ học lượng tử. Nó là điều mà bất kỳ ai làm việc với sóng, ngay cả khi anh ta không biết cơ học lượng tử, đều biết: cụ thể là, chúng ta không thể định nghĩa một bước sóng duy nhất cho một đoàn sóng ngắn. Một đoàn sóng như vậy không có một bước sóng xác định; có một sự không xác định trong số sóng liên quan đến độ dài hữu hạn của đoàn, và do đó có một sự không xác định trong động lượng.

2–2  Phép đo vị trí và động lượng

Hãy xét hai ví dụ của ý tưởng này — để thấy lý do tại sao có một sự bất định trong vị trí và/hoặc động lượng, nếu cơ học lượng tử là đúng. Chúng ta cũng đã thấy trước đây rằng nếu không có một điều như vậy — nếu có thể đo vị trí và động lượng của bất cứ thứ gì đồng thời — chúng ta sẽ có một nghịch lý; thật may là chúng ta không có một nghịch lý như vậy, và sự kiện rằng một sự bất định như vậy xuất hiện một cách tự nhiên từ bức tranh sóng cho thấy mọi thứ đều nhất quán lẫn nhau.

Đây là một ví dụ cho thấy mối quan hệ giữa vị trí và động lượng trong một hoàn cảnh dễ hiểu. Giả sử chúng ta có một khe đơn, và các hạt đang đến từ rất xa với một năng lượng nào đó — sao cho tất cả chúng về cơ bản đều đến theo phương ngang (Hình 2–2). Chúng ta sẽ tập trung vào các thành phần thẳng đứng của động lượng. Tất cả các hạt này đều có một động lượng ngang nào đó, chẳng hạn p₀, theo nghĩa cổ điển. Vì vậy, theo nghĩa cổ điển, động lượng thẳng đứng p_y, trước khi hạt đi qua lỗ, được biết một cách xác định. Hạt không chuyển động lên cũng không chuyển động xuống, vì nó đến từ một nguồn ở rất xa — và vì vậy động lượng thẳng đứng dĩ nhiên bằng không. Nhưng bây giờ giả sử nó đi qua một lỗ mà bề rộng của nó là B. Vậy thì sau khi nó đi ra qua lỗ, chúng ta biết vị trí theo phương thẳng đứng — vị trí y — với độ chính xác đáng kể — cụ thể là ±B.¹ Tức là, độ bất định trong vị trí, Δy, vào cỡ B. Bây giờ chúng ta cũng có thể muốn nói rằng, vì chúng ta biết động lượng là hoàn toàn nằm ngang, Δp_y bằng không; nhưng điều đó là sai. Chúng ta đã từng biết động lượng là nằm ngang, nhưng chúng ta không còn biết nữa. Trước khi các hạt đi qua lỗ, chúng ta không biết vị trí thẳng đứng của chúng. Bây giờ chúng ta đã tìm ra vị trí thẳng đứng bằng cách cho hạt đi qua lỗ, chúng ta đã mất thông tin về động lượng thẳng đứng! Tại sao? Theo lý thuyết sóng, có một sự trải rộng ra, hay nhiễu xạ, của các sóng sau khi chúng đi qua khe, đúng như đối với ánh sáng. Vì vậy có một xác suất nào đó rằng các hạt đi ra khỏi khe không đi hoàn toàn thẳng. Hình mẫu bị trải rộng bởi hiệu ứng nhiễu xạ, và góc trải rộng, mà chúng ta có thể định nghĩa là góc của cực tiểu đầu tiên, là một thước đo của độ bất định trong góc cuối cùng.

Hình mẫu trở nên trải rộng như thế nào? Nói nó trải rộng có nghĩa là có một khả năng nào đó để hạt chuyển động lên hoặc xuống, tức là, có một thành phần động lượng lên hoặc xuống. Chúng ta nói khả năng và hạt vì chúng ta có thể phát hiện hình mẫu nhiễu xạ này bằng một máy đếm hạt, và khi máy đếm nhận được hạt, chẳng hạn tại C trong Hình 2–2, nó nhận được toàn bộ hạt, vì vậy, theo nghĩa cổ điển, hạt có một động lượng thẳng đứng, để đi từ khe lên tới C.

Để có một ý niệm sơ bộ về độ trải rộng của động lượng, động lượng thẳng đứng p_y có một độ trải rộng bằng p₀ Δθ, trong đó p₀ là động lượng ngang. Và Δθ trong hình mẫu trải rộng lớn đến mức nào? Chúng ta biết rằng cực tiểu đầu tiên xuất hiện tại một góc Δθ sao cho các sóng từ một mép của khe phải đi xa hơn các sóng từ phía bên kia một bước sóng — chúng ta đã tính điều đó trước đây (Chương 30 của Tập I). Vì vậy Δθ là λ/B, và do đó Δp_y trong thí nghiệm này là p₀λ/B. Lưu ý rằng nếu chúng ta làm B nhỏ hơn và thực hiện một phép đo chính xác hơn về vị trí của hạt, hình mẫu nhiễu xạ trở nên rộng hơn. Vì vậy khe càng hẹp, hình mẫu càng rộng, và càng có nhiều khả năng chúng ta sẽ thấy rằng hạt có động lượng sang bên. Do đó độ bất định trong động lượng thẳng đứng tỉ lệ nghịch với độ bất định của y. Thực tế, chúng ta thấy rằng tích của hai cái bằng p₀λ. Nhưng λ là bước sóng và p₀ là động lượng, và theo cơ học lượng tử, bước sóng nhân với động lượng là hằng số Planck h. Vì vậy chúng ta thu được quy tắc rằng các độ bất định trong động lượng thẳng đứng và trong vị trí thẳng đứng có tích vào cỡ h:

Δy Δp_y ≥ ℏ/2.   (2.3)

Chúng ta không thể chuẩn bị một hệ trong đó chúng ta biết vị trí thẳng đứng của một hạt và có thể dự đoán nó sẽ chuyển động theo phương thẳng đứng như thế nào với độ chắc chắn lớn hơn độ chắc chắn được cho bởi (2.3). Tức là, độ bất định trong động lượng thẳng đứng phải vượt quá ℏ/2Δy, trong đó Δy là độ bất định trong hiểu biết của chúng ta về vị trí.

Đôi khi người ta nói cơ học lượng tử là hoàn toàn sai. Khi hạt đến từ phía trái, động lượng thẳng đứng của nó bằng không. Và bây giờ nó đã đi qua khe, vị trí của nó đã biết. Cả vị trí lẫn động lượng dường như được biết với độ chính xác tùy ý. Quả đúng là chúng ta có thể nhận được một hạt, và khi nhận được, xác định vị trí của nó là gì và động lượng của nó hẳn phải là gì để đến được đó. Điều đó đúng, nhưng đó không phải là điều mà hệ thức bất định (2.3) nói đến. Phương trình (2.3) nói đến tính có thể dự đoán của một tình huống, không phải những nhận xét về quá khứ. Nói “Tôi đã biết động lượng là gì trước khi nó đi qua khe, và bây giờ tôi biết vị trí” chẳng ích gì, vì bây giờ hiểu biết về động lượng đã mất. Sự kiện rằng nó đã đi qua khe không còn cho phép chúng ta dự đoán động lượng thẳng đứng. Chúng ta đang nói về một lý thuyết dự đoán, không chỉ là các phép đo sau sự việc. Vì vậy chúng ta phải nói về những gì chúng ta có thể dự đoán.

Bây giờ hãy xét vấn đề theo chiều ngược lại. Hãy lấy một ví dụ khác của cùng hiện tượng, hơi định lượng hơn một chút. Trong ví dụ trước chúng ta đã đo động lượng bằng một phương pháp cổ điển. Cụ thể, chúng ta đã xét phương, vận tốc và các góc, v.v., vì vậy chúng ta thu được động lượng bằng phân tích cổ điển. Nhưng vì động lượng liên hệ với số sóng, trong tự nhiên còn tồn tại một cách khác nữa để đo động lượng của một hạt — photon hay thứ khác — mà không có tương tự cổ điển, vì nó dùng Phương trình (2.2). Chúng ta đo các bước sóng của sóng. Hãy cố đo động lượng theo cách này.

Giả sử chúng ta có một cách tử với một số lượng lớn các vạch (Hình 2–3), và gửi một chùm hạt vào cách tử. Chúng ta đã thảo luận vấn đề này nhiều lần: nếu các hạt có một động lượng xác định, thì chúng ta thu được một hình mẫu rất sắc nét theo một phương nào đó, vì sự giao thoa. Và chúng ta cũng đã nói về việc chúng ta có thể xác định động lượng đó chính xác đến mức nào, tức là, năng suất phân giải của một cách tử như vậy là gì. Thay vì suy ra lại, chúng ta tham chiếu tới Chương 30 của Tập I, trong đó chúng ta đã tìm thấy rằng độ bất định tương đối trong bước sóng có thể đo được với một cách tử cho trước là 1/Nm, trong đó N là số vạch trên cách tử và m là bậc của hình mẫu nhiễu xạ. Tức là,

Δλ/λ = 1/Nm.   (2.4)

Bây giờ công thức (2.4) có thể được viết lại thành

Δλ/λ² = 1/Nmλ = 1/L,   (2.5)

trong đó L là khoảng cách được chỉ trong Hình 2–3. Khoảng cách này là hiệu số giữa tổng khoảng cách mà hạt hay sóng hay bất cứ thứ gì phải đi nếu nó bị phản xạ từ đáy của cách tử, và khoảng cách nó phải đi nếu nó bị phản xạ từ đỉnh của cách tử. Tức là, các sóng tạo thành hình mẫu nhiễu xạ là các sóng đến từ các phần khác nhau của cách tử. Những sóng đầu tiên đến thì đến từ đầu dưới của cách tử, từ đầu của đoàn sóng, và phần còn lại của chúng đến từ các phần sau của đoàn sóng, đến từ các phần khác nhau của cách tử, cho đến khi sóng cuối cùng tới nơi, và điều đó liên quan đến một điểm trong đoàn sóng ở phía sau điểm đầu tiên một khoảng L. Vì vậy để chúng ta có một vạch sắc nét trong quang phổ của mình tương ứng với một động lượng xác định, với một độ bất định được cho bởi (2.4), chúng ta phải có một đoàn sóng có độ dài ít nhất là L. Nếu đoàn sóng quá ngắn, chúng ta không dùng toàn bộ cách tử. Các sóng tạo thành quang phổ đang bị phản xạ chỉ từ một khu vực rất ngắn của cách tử nếu đoàn sóng quá ngắn, và cách tử sẽ không hoạt động đúng — chúng ta sẽ tìm thấy một độ trải rộng góc lớn. Để thu được một độ trải rộng hẹp hơn, chúng ta cần dùng toàn bộ cách tử, sao cho ít nhất tại một thời điểm nào đó toàn bộ đoàn sóng đang tán xạ đồng thời từ mọi phần của cách tử. Do đó đoàn sóng phải có độ dài L để có một độ bất định trong bước sóng nhỏ hơn độ bất định được cho bởi (2.5). Nhân tiện,

Δλ/λ² = Δ(1/λ) = Δk/2π.   (2.6)

Vì vậy

Δk = 2π/L,   (2.7)

trong đó L là độ dài của đoàn sóng.

Điều này có nghĩa là nếu chúng ta có một đoàn sóng mà độ dài của nó nhỏ hơn L, độ bất định trong số sóng phải vượt quá 2π/L. Hay độ bất định trong một số sóng nhân với độ dài của đoàn sóng — chúng ta sẽ gọi nó trong giây lát là Δx — vượt quá 2π. Chúng ta gọi nó là Δx vì đó là độ bất định trong vị trí của hạt. Nếu đoàn sóng chỉ tồn tại trong một độ dài hữu hạn, thì đó là nơi chúng ta có thể tìm thấy hạt, trong một độ bất định Δx. Bây giờ tính chất này của sóng, rằng độ dài của đoàn sóng nhân với độ bất định của số sóng gắn với nó ít nhất là 2π, là một tính chất được mọi người nghiên cứu chúng biết đến. Nó hoàn toàn không liên quan đến cơ học lượng tử. Đơn giản là nếu chúng ta có một đoàn hữu hạn, chúng ta không thể đếm các sóng trong nó một cách rất chính xác.

Hãy thử một cách khác để thấy lý do của điều đó. Giả sử chúng ta có một đoàn hữu hạn có độ dài L; vậy thì vì cách nó phải giảm xuống ở hai đầu, như trong Hình 2–1, số sóng trong độ dài L là bất định một lượng cỡ ±1. Nhưng số sóng trong L là kL/2π. Do đó k là bất định, và chúng ta lại thu được kết quả (2.7), một tính chất đơn thuần của sóng. Điều tương tự cũng đúng dù các sóng ở trong không gian và k là số radian trên centimét và L là độ dài của đoàn, hay các sóng ở trong thời gian và ω là số radian trên giây và T là “độ dài” theo thời gian mà đoàn sóng đến. Tức là, nếu chúng ta có một đoàn sóng chỉ kéo dài trong một thời gian hữu hạn nào đó T, thì độ bất định trong tần số được cho bởi

Δω = 2π/T.   (2.8)

Chúng ta đã cố nhấn mạnh rằng đây là các tính chất của sóng mà thôi, và chúng được biết rõ, chẳng hạn, trong lý thuyết âm thanh.

Vấn đề là trong cơ học lượng tử chúng ta diễn giải số sóng như một thước đo của động lượng của một hạt, với quy tắc p = ℏk, vì vậy hệ thức (2.7) cho chúng ta biết rằng Δp ≈ h/Δx. Điều này, vậy thì, là một giới hạn của ý tưởng cổ điển về động lượng. (Đương nhiên, nó phải bị giới hạn theo một số cách nào đó nếu chúng ta sẽ biểu diễn các hạt bằng sóng!) Thật hay là chúng ta đã tìm thấy một quy tắc cho chúng ta một ý niệm nào đó về khi nào có một sự sụp đổ của các ý tưởng cổ điển.

2–3  Nhiễu xạ tinh thể

Tiếp theo hãy xét sự phản xạ của các sóng hạt từ một tinh thể. Một tinh thể là một vật dày có rất nhiều nguyên tử giống nhau — chúng ta sẽ đưa vào một số phức tạp sau — trong một mảng đẹp đẽ. Câu hỏi là làm thế nào sắp xếp mảng sao cho chúng ta thu được một cực đại phản xạ mạnh theo một phương cho trước đối với một chùm cho trước, chẳng hạn ánh sáng (tia X), electron, neutron, hay bất cứ thứ gì khác. Để thu được một phản xạ mạnh, sự tán xạ từ mọi nguyên tử phải cùng pha. Không thể có số lượng bằng nhau cùng pha và ngược pha, nếu không các sóng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Cách sắp xếp mọi thứ là tìm các miền có pha không đổi, như chúng ta đã giải thích; chúng là các mặt phẳng tạo các góc bằng nhau với các phương ban đầu và phương cuối cùng (Hình 2–4).

Nếu chúng ta xét hai mặt phẳng song song, như trong Hình 2–4, các sóng tán xạ từ hai mặt phẳng sẽ cùng pha, với điều kiện hiệu số khoảng cách mà một mặt sóng phải đi là một số nguyên lần bước sóng. Hiệu số này có thể thấy là 2d sin θ, trong đó d là khoảng cách vuông góc giữa các mặt phẳng. Do đó điều kiện cho phản xạ kết hợp là

2d sin θ = nλ   (n = 1, 2, …).   (2.9)

Nếu, chẳng hạn, tinh thể là như vậy mà các nguyên tử tình cờ nằm trên các mặt phẳng tuân theo điều kiện (2.9) với n = 1, thì sẽ có một phản xạ mạnh. Nếu, mặt khác, có các nguyên tử khác cùng bản chất (mật độ bằng nhau) ở giữa chừng, thì các mặt phẳng trung gian cũng sẽ tán xạ mạnh như vậy và sẽ giao thoa với các mặt phẳng kia và không tạo ra hiệu ứng nào. Vì vậy d trong (2.9) phải chỉ các mặt phẳng kề nhau; chúng ta không thể lấy một mặt phẳng ở xa hơn năm lớp và dùng công thức này!

Một điều đáng quan tâm là các tinh thể thực tế thường không đơn giản như một loại nguyên tử duy nhất được lặp lại theo một cách nào đó. Thay vào đó, nếu chúng ta làm một tương tự hai chiều, chúng giống như giấy dán tường hơn nhiều, trong đó có một loại hình nào đó lặp lại trên khắp giấy dán tường. Bởi “hình” chúng ta muốn nói, trong trường hợp các nguyên tử, một sự sắp xếp nào đó — canxi và một cacbon và ba oxy, v.v., đối với canxi cacbonat, và cứ thế — mà có thể liên quan đến một số lượng tương đối lớn các nguyên tử. Nhưng dù nó là gì, hình đó được lặp lại theo một hình mẫu. Hình cơ bản này được gọi là một ô cơ sở.

Hình mẫu lặp lại cơ bản định nghĩa cái chúng ta gọi là kiểu mạng; kiểu mạng có thể được xác định ngay lập tức bằng cách nhìn vào các phản xạ và thấy đối xứng của chúng là gì. Nói cách khác, việc chúng ta tìm thấy bất kỳ phản xạ nào ở đâu xác định kiểu mạng, nhưng để xác định cái gì ở trong mỗi phần tử của mạng người ta phải tính đến cường độ của sự tán xạ tại các phương khác nhau. Những phương nào tán xạ phụ thuộc vào kiểu mạng, nhưng mạnh đến mức nào mỗi phương tán xạ được quyết định bởi cái gì ở bên trong mỗi ô cơ sở, và theo cách đó cấu trúc của các tinh thể được tìm ra.

Hai bức ảnh của các hình mẫu nhiễu xạ tia X được chỉ trong các Hình 2–5 và 2–6; chúng minh họa sự tán xạ từ muối đá và myoglobin, tương ứng.

Nhân tiện, một điều thú vị xảy ra nếu các khoảng cách của các mặt phẳng gần nhất nhỏ hơn λ/2. Trong trường hợp này (2.9) không có nghiệm cho n. Do đó nếu λ lớn hơn hai lần khoảng cách giữa các mặt phẳng kề nhau, thì không có hình mẫu nhiễu xạ sang bên, và ánh sáng — hay bất cứ thứ gì — sẽ đi thẳng qua vật liệu mà không bị bật lại hay bị mất. Vì vậy trong trường hợp ánh sáng, trong đó λ lớn hơn khoảng cách rất nhiều, dĩ nhiên nó đi xuyên qua và không có hình mẫu phản xạ từ các mặt phẳng của tinh thể.

Sự kiện này cũng có một hệ quả thú vị trong trường hợp các lò tạo ra neutron (đây hiển nhiên là các hạt, đối với tiền của bất kỳ ai!). Nếu chúng ta lấy các neutron này và cho chúng vào một khối graphit dài, các neutron khuếch tán và lách dần qua (Hình 2–7). Chúng khuếch tán vì chúng bị các nguyên tử làm bật lại, nhưng một cách chặt chẽ, trong lý thuyết sóng, chúng bị các nguyên tử làm bật lại vì sự nhiễu xạ từ các mặt phẳng tinh thể. Hóa ra rằng nếu chúng ta lấy một miếng graphit rất dài, các neutron đi ra ở đầu xa đều có bước sóng dài! Thực tế, nếu người ta vẽ cường độ như một hàm của bước sóng, chúng ta không thu được gì ngoại trừ các bước sóng dài hơn một cực tiểu nào đó (Hình 2–8). Nói cách khác, chúng ta có thể thu được các neutron rất chậm theo cách đó. Chỉ các neutron chậm nhất mới đi qua; chúng không bị nhiễu xạ hay tán xạ bởi các mặt phẳng tinh thể của graphit, mà cứ đi thẳng qua như ánh sáng qua thủy tinh, và không bị tán xạ ra các phía. Có nhiều minh chứng khác về thực tại của các sóng neutron và sóng của các hạt khác.

2–4  Kích thước của một nguyên tử

Bây giờ chúng ta xét một ứng dụng khác của hệ thức bất định, Phương trình (2.3). Nó không được coi là quá nghiêm túc; ý tưởng thì đúng nhưng phân tích không được chính xác lắm. Ý tưởng liên quan đến việc xác định kích thước của các nguyên tử, và sự kiện rằng, theo cổ điển, các electron sẽ bức xạ ánh sáng và xoắn dần vào cho đến khi chúng nằm yên ngay trên đỉnh hạt nhân. Nhưng điều đó không thể đúng theo cơ học lượng tử vì khi đó chúng ta sẽ biết mỗi electron ở đâu và nó đang chuyển động nhanh đến mức nào.

Giả sử chúng ta có một nguyên tử hydro, và đo vị trí của electron; chúng ta không được có khả năng dự đoán chính xác electron sẽ ở đâu, nếu không độ trải rộng động lượng khi đó sẽ hóa ra vô hạn. Mỗi lần chúng ta nhìn vào electron, nó ở đâu đó, nhưng nó có một biên độ để ở các nơi khác nhau vì vậy có một xác suất nó được tìm thấy ở các nơi khác nhau. Các nơi này không thể tất cả đều ở hạt nhân; chúng ta sẽ giả thiết có một độ trải rộng trong vị trí vào cỡ a. Tức là, khoảng cách của electron tới hạt nhân thường vào khoảng a. Chúng ta sẽ xác định a bằng cách cực tiểu hóa tổng năng lượng của nguyên tử.

Độ trải rộng trong động lượng là vào khoảng ℏ/a vì hệ thức bất định, vì vậy nếu chúng ta cố đo động lượng của electron theo một cách nào đó, chẳng hạn bằng cách tán xạ tia X khỏi nó và tìm hiệu ứng Doppler từ một vật tán xạ đang chuyển động, chúng ta sẽ kỳ vọng không thu được số không mỗi lần — electron không đứng yên — mà các động lượng phải vào cỡ p ≈ ℏ/a. Vậy thì động năng là vào khoảng ½mv² = p²/2m = ℏ²/2ma². (Theo một nghĩa nào đó, đây là một kiểu phân tích thứ nguyên để tìm ra động năng phụ thuộc vào hằng số Planck rút gọn, vào m, và vào kích thước của nguyên tử như thế nào. Chúng ta không cần tin đáp án của mình đến các thừa số như 2, π, v.v. Chúng ta thậm chí còn chưa định nghĩa a một cách thật chính xác.) Bây giờ thế năng là trừ e² trên khoảng cách từ tâm, chẳng hạn −e²/a, trong đó, như đã định nghĩa trong Tập I, e² là điện tích của một electron bình phương, chia cho 4πε₀. Bây giờ vấn đề là thế năng giảm nếu a nhỏ hơn, nhưng a càng nhỏ, động lượng cần thiết càng cao, vì nguyên lý bất định, và do đó động năng càng cao. Tổng năng lượng là

E = ℏ²/2ma² − e²/a.   (2.10)

Chúng ta không biết a là gì, nhưng chúng ta biết rằng nguyên tử sẽ tự sắp xếp để tạo ra một sự thỏa hiệp nào đó sao cho năng lượng là ít nhất có thể. Để cực tiểu hóa E, chúng ta lấy đạo hàm theo a, đặt đạo hàm bằng không, và giải tìm a. Đạo hàm của E là

dE/da = −ℏ²/ma³ + e²/a²,   (2.11)

và đặt dE/da = 0 cho ra giá trị của a là

a₀ = ℏ²/me² = 0,529 angstrom = 0,529×10⁻¹⁰ mét.   (2.12)

Khoảng cách cụ thể này được gọi là bán kính Bohr, và chúng ta đã học được rằng các kích thước nguyên tử vào cỡ angstrom, điều đó là đúng. Điều này khá tốt — thực tế, nó thật đáng kinh ngạc, vì cho đến bây giờ chúng ta chưa có cơ sở nào để hiểu kích thước của các nguyên tử! Các nguyên tử là hoàn toàn không thể có được từ quan điểm cổ điển, vì các electron sẽ xoắn vào hạt nhân.

Bây giờ nếu chúng ta đặt giá trị (2.12) cho a₀ vào (2.10) để tìm năng lượng, nó cho ra

E₀ = −e²/2a₀ = −me⁴/2ℏ² = −13,6 eV.   (2.13)

Một năng lượng âm có nghĩa là gì? Nó có nghĩa là electron có ít năng lượng hơn khi nó ở trong nguyên tử so với khi nó tự do. Nó có nghĩa là nó bị liên kết. Nó có nghĩa là cần năng lượng để đá electron ra ngoài; cần năng lượng vào cỡ 13,6 eV để ion hóa một nguyên tử hydro. Chúng ta không có lý do để nghĩ rằng nó không phải là hai hay ba lần như vậy — hay một nửa như vậy — hay (1/π) lần như vậy, vì chúng ta đã dùng một lập luận quá cẩu thả. Tuy nhiên, chúng ta đã ăn gian, chúng ta đã dùng mọi hằng số theo cách sao cho tình cờ nó cho ra con số đúng! Con số này, 13,6 electron volt, được gọi là một Rydberg năng lượng; nó là năng lượng ion hóa của hydro.

Vì vậy bây giờ chúng ta hiểu tại sao chúng ta không rơi xuyên qua sàn. Khi chúng ta bước đi, đôi giày của chúng ta với các khối nguyên tử của chúng đẩy vào sàn với khối nguyên tử của nó. Để ép các nguyên tử lại gần nhau hơn, các electron sẽ bị giam vào một không gian nhỏ hơn và, bởi nguyên lý bất định, động lượng của chúng trung bình sẽ phải cao hơn, và điều đó có nghĩa là năng lượng cao; sự chống lại sự nén nguyên tử là một hiệu ứng cơ học lượng tử chứ không phải một hiệu ứng cổ điển. Theo cổ điển, chúng ta sẽ kỳ vọng rằng nếu chúng ta kéo mọi electron và proton lại gần nhau hơn, năng lượng sẽ còn giảm nữa, và sự sắp xếp tốt nhất của các điện tích dương và âm trong vật lý cổ điển là tất cả chồng lên nhau. Điều này đã được biết rõ trong vật lý cổ điển và là một câu đố vì sự tồn tại của nguyên tử. Dĩ nhiên, các nhà khoa học thời đầu đã phát minh ra một số lối thoát khỏi rắc rối — nhưng thôi, bây giờ chúng ta có lối thoát đúng!

Nhân tiện, mặc dù lúc này chúng ta không có lý do để hiểu nó, trong một tình huống có nhiều electron hóa ra chúng cố giữ xa nhau. Nếu một electron đang chiếm một không gian nào đó, thì một electron khác không chiếm cùng không gian đó. Chính xác hơn, có hai trường hợp spin, vì vậy hai electron có thể ngồi chồng lên nhau, một quay một chiều và một quay chiều kia. Nhưng sau đó chúng ta không thể đặt thêm nữa ở đó. Chúng ta phải đặt những electron khác ở một nơi khác, và đó là lý do thực sự khiến vật chất có sức mạnh. Nếu chúng ta có thể đặt mọi electron vào cùng một nơi, nó sẽ ngưng tụ còn nhiều hơn nữa. Chính sự kiện rằng các electron không thể tất cả chồng lên nhau khiến cho bàn và mọi thứ khác trở nên rắn chắc.

Rõ ràng, để hiểu các tính chất của vật chất, chúng ta sẽ phải dùng cơ học lượng tử và không thỏa mãn với cơ học cổ điển.

2–5  Các mức năng lượng

Chúng ta đã nói về nguyên tử trong điều kiện năng lượng thấp nhất có thể của nó, nhưng hóa ra electron có thể làm những việc khác. Nó có thể lúc lắc và ngọ nguậy theo một cách giàu năng lượng hơn, và vì vậy có nhiều chuyển động khác nhau có thể có cho nguyên tử. Theo cơ học lượng tử, trong một điều kiện dừng chỉ có thể có các năng lượng xác định cho một nguyên tử. Chúng ta lập một sơ đồ (Hình 2–9) trong đó chúng ta vẽ năng lượng theo chiều dọc, và chúng ta kẻ một đường ngang cho mỗi giá trị cho phép của năng lượng. Khi electron tự do, tức là khi năng lượng của nó dương, nó có thể có bất kỳ năng lượng nào; nó có thể chuyển động với bất kỳ tốc độ nào. Nhưng các năng lượng liên kết thì không tùy ý. Nguyên tử phải có một trong các giá trị cho phép, chẳng hạn các giá trị trong Hình 2–9.

Bây giờ hãy gọi các giá trị cho phép của năng lượng là E₀, E₁, E₂, E₃. Nếu một nguyên tử ban đầu ở trong một trong các “trạng thái kích thích” này, E₁, E₂, v.v., nó không ở trong trạng thái đó mãi mãi. Sớm hay muộn nó cũng rơi xuống một trạng thái thấp hơn và bức xạ năng lượng dưới dạng ánh sáng. Tần số của ánh sáng được phát ra được quyết định bởi bảo toàn năng lượng cộng với hiểu biết cơ học lượng tử rằng tần số của ánh sáng liên hệ với năng lượng của ánh sáng bởi (2.1). Vì vậy tần số của ánh sáng được giải phóng trong một chuyển dời từ năng lượng E₃ xuống năng lượng E₁ (chẳng hạn) là

ω₃₁ = (E₃ − E₁)/ℏ.   (2.14)

Đây, vậy thì, là một tần số đặc trưng của nguyên tử và định nghĩa một vạch phát xạ quang phổ. Một chuyển dời có thể khác sẽ là từ E₃ xuống E₀. Chuyển dời đó sẽ có một tần số khác

ω₃₀ = (E₃ − E₀)/ℏ.   (2.15)

Một khả năng khác là nếu nguyên tử được kích thích lên trạng thái E₁ nó có thể rơi xuống trạng thái cơ bản E₀, phát ra một photon có tần số

ω₁₀ = (E₁ − E₀)/ℏ.   (2.16)

Lý do chúng ta nêu ra ba chuyển dời là để chỉ ra một mối quan hệ thú vị. Dễ thấy từ (2.14), (2.15), và (2.16) rằng

ω₃₀ = ω₃₁ + ω₁₀.   (2.17)

Nói chung, nếu chúng ta tìm thấy hai vạch quang phổ, chúng ta sẽ kỳ vọng tìm thấy một vạch khác ở tổng của các tần số (hay hiệu của các tần số), và rằng mọi vạch đều có thể được hiểu bằng cách tìm một dãy các mức sao cho mỗi vạch tương ứng với hiệu năng lượng của một cặp mức nào đó. Sự trùng hợp đáng chú ý này trong các tần số quang phổ đã được ghi nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời, và nó được gọi là nguyên lý tổ hợp Ritz. Đây lại là một bí ẩn nữa từ quan điểm của cơ học cổ điển. Chúng ta không nên quá dông dài về điểm rằng cơ học cổ điển là một sự thất bại trong lĩnh vực nguyên tử; chúng ta dường như đã chứng minh điều đó khá rõ rồi.

Chúng ta đã nói về cơ học lượng tử như được biểu diễn bởi các biên độ hành xử như sóng, với các tần số và số sóng nào đó. Hãy quan sát xem làm thế nào, từ quan điểm của các biên độ, lại hóa ra nguyên tử có các trạng thái năng lượng xác định. Đây là điều chúng ta không thể hiểu từ những gì đã nói cho đến nay, nhưng tất cả chúng ta đều quen thuộc với sự kiện rằng các sóng bị giam giữ có các tần số xác định. Chẳng hạn, nếu âm thanh bị giam trong một ống đàn organ, hay bất cứ thứ gì như vậy, thì có nhiều hơn một cách âm thanh có thể dao động, nhưng đối với mỗi cách như vậy có một tần số xác định. Do đó một vật trong đó các sóng bị giam giữ có các tần số cộng hưởng nào đó. Vì vậy nó là một tính chất của các sóng trong một không gian bị giam giữ — một chủ đề mà chúng ta sẽ thảo luận chi tiết bằng các công thức sau này — rằng chúng chỉ tồn tại ở các tần số xác định. Và vì mối quan hệ tổng quát tồn tại giữa các tần số của biên độ và năng lượng, chúng ta không ngạc nhiên khi tìm thấy các năng lượng xác định gắn với các electron bị liên kết trong các nguyên tử.

2–6  Các hệ quả triết học

Hãy xét ngắn gọn một số hệ quả triết học của cơ học lượng tử. Như thường lệ, có hai khía cạnh của vấn đề: một là hệ quả triết học đối với vật lý, và khía cạnh kia là sự ngoại suy các vấn đề triết học sang các lĩnh vực khác. Khi các ý tưởng triết học gắn với khoa học bị lôi vào một lĩnh vực khác, chúng thường bị bóp méo hoàn toàn. Vì vậy chúng ta sẽ giới hạn các nhận xét của mình càng nhiều càng tốt trong chính vật lý.

Trước hết, khía cạnh thú vị nhất là ý tưởng của nguyên lý bất định; việc thực hiện một quan sát ảnh hưởng đến hiện tượng. Người ta vẫn luôn biết rằng việc thực hiện các quan sát ảnh hưởng đến một hiện tượng, nhưng vấn đề là hiệu ứng không thể bị bỏ qua hay cực tiểu hóa hay giảm xuống một cách tùy ý bằng cách sắp xếp lại thiết bị. Khi chúng ta tìm kiếm một hiện tượng nào đó chúng ta không thể không làm nhiễu loạn nó theo một cách tối thiểu nào đó, và sự nhiễu loạn là cần thiết cho tính nhất quán của quan điểm. Người quan sát đôi khi quan trọng trong vật lý tiền lượng tử, nhưng chỉ theo một nghĩa tầm thường. Vấn đề đã được nêu ra: nếu một cái cây ngã trong rừng và không có ai ở đó để nghe, nó có tạo ra tiếng động không? Một cái cây thật ngã trong một khu rừng thật tạo ra một âm thanh, dĩ nhiên, ngay cả khi không có ai ở đó. Ngay cả khi không có ai hiện diện để nghe nó, vẫn có các dấu vết khác còn lại. Âm thanh sẽ làm rung một số lá, và nếu chúng ta đủ cẩn thận chúng ta có thể tìm thấy ở đâu đó rằng một cái gai nào đó đã cọ vào một chiếc lá và tạo ra một vết xước nhỏ mà không thể giải thích được trừ phi chúng ta giả thiết chiếc lá đang rung. Vì vậy theo một nghĩa nào đó chúng ta sẽ phải thừa nhận rằng có một âm thanh được tạo ra. Chúng ta có thể hỏi: có cảm giác về âm thanh không? Không, cảm giác có lẽ liên quan đến ý thức. Và việc kiến có ý thức hay không và trong rừng có kiến hay không, hay cái cây có ý thức hay không, chúng ta không biết. Hãy để vấn đề ở dạng đó.

Một điều khác mà người ta đã nhấn mạnh từ khi cơ học lượng tử ra đời là ý tưởng rằng chúng ta không nên nói về những thứ chúng ta không thể đo. (Thực ra lý thuyết tương đối cũng nói điều này.) Trừ phi một thứ có thể được định nghĩa bằng phép đo, nó không có chỗ trong một lý thuyết. Và vì một giá trị chính xác của động lượng của một hạt định xứ không thể được định nghĩa bằng phép đo nên nó do đó không có chỗ trong lý thuyết. Ý tưởng rằng đây là điều sai với lý thuyết cổ điển là một lập trường sai. Nó là một phân tích cẩu thả về tình huống. Chỉ vì chúng ta không thể đo vị trí và động lượng một cách chính xác không hiển nhiên có nghĩa là chúng ta không thể nói về chúng. Nó chỉ có nghĩa là chúng ta không cần nói về chúng. Tình huống trong các khoa học là như thế này: Một khái niệm hay một ý tưởng không thể đo được hoặc không thể liên hệ trực tiếp với thí nghiệm có thể có ích hoặc có thể không. Nó không cần tồn tại trong một lý thuyết. Nói cách khác, giả sử chúng ta so sánh lý thuyết cổ điển về thế giới với lý thuyết lượng tử về thế giới, và giả sử rằng đúng theo thực nghiệm là chúng ta chỉ có thể đo vị trí và động lượng một cách không chính xác. Câu hỏi là liệu các ý tưởng về vị trí chính xác của một hạt và động lượng chính xác của một hạt có hợp lệ hay không. Lý thuyết cổ điển thừa nhận các ý tưởng đó; lý thuyết lượng tử thì không. Điều đó tự nó không có nghĩa là vật lý cổ điển sai. Khi cơ học lượng tử mới được khám phá, những người cổ điển — bao gồm mọi người trừ Heisenberg, Schrödinger, và Born — nói: “Nhìn kìa, lý thuyết của anh không tốt chút nào vì anh không thể trả lời một số câu hỏi như: vị trí chính xác của một hạt là gì?, nó đi qua lỗ nào?, và một số câu hỏi khác.” Đáp án của Heisenberg là: “Tôi không cần trả lời các câu hỏi như vậy vì anh không thể đặt một câu hỏi như vậy bằng thực nghiệm.” Vấn đề là chúng ta không phải trả lời. Xét hai lý thuyết (a) và (b); (a) chứa một ý tưởng không thể kiểm tra trực tiếp nhưng được dùng trong phân tích, và lý thuyết kia, (b), không chứa ý tưởng đó. Nếu chúng bất đồng trong các dự đoán của chúng, người ta không thể tuyên bố rằng (b) là sai vì nó không thể giải thích ý tưởng này vốn có trong (a), vì ý tưởng đó là một trong những thứ không thể kiểm tra trực tiếp. Luôn tốt khi biết những ý tưởng nào không thể kiểm tra trực tiếp, nhưng không cần thiết phải loại bỏ tất cả chúng. Không đúng rằng chúng ta có thể theo đuổi khoa học hoàn toàn bằng cách chỉ dùng những khái niệm trực tiếp chịu sự thí nghiệm.

Trong chính cơ học lượng tử có một biên độ xác suất, có một thế, và có nhiều cấu trúc mà chúng ta không thể đo trực tiếp. Cơ sở của một khoa học là khả năng dự đoán của nó. Dự đoán có nghĩa là nói điều gì sẽ xảy ra trong một thí nghiệm chưa từng được thực hiện. Làm thế nào chúng ta có thể làm điều đó? Bằng cách giả thiết rằng chúng ta biết cái gì ở đó, độc lập với thí nghiệm. Chúng ta phải ngoại suy các thí nghiệm tới một miền mà chúng chưa được thực hiện. Chúng ta phải lấy các khái niệm của mình và mở rộng chúng tới những nơi chúng chưa được kiểm tra. Nếu chúng ta không làm điều đó, chúng ta không có dự đoán. Vì vậy hoàn toàn hợp lý khi các nhà vật lý cổ điển cứ vui vẻ đi tiếp và giả thiết rằng vị trí — mà hiển nhiên có ý nghĩa đối với một quả bóng chày — cũng có ý nghĩa đối với một electron. Đó không phải là sự ngu ngốc. Đó là một thủ tục hợp lý. Ngày nay chúng ta nói rằng định luật tương đối được cho là đúng ở mọi năng lượng, nhưng một ngày nào đó ai đó có thể đến và nói chúng ta ngu ngốc biết bao. Chúng ta không biết chúng ta “ngu ngốc” ở đâu cho đến khi chúng ta “thò cổ ra”, và vì vậy toàn bộ ý tưởng là thò cổ ra. Và cách duy nhất để biết chúng ta sai là tìm ra các dự đoán của chúng ta là gì. Việc tạo ra các cấu trúc là tuyệt đối cần thiết.

Chúng ta đã đưa ra một vài nhận xét về tính không xác định của cơ học lượng tử. Tức là, chúng ta hiện không thể dự đoán điều gì sẽ xảy ra trong vật lý trong một hoàn cảnh vật lý cho trước được sắp xếp càng cẩn thận càng tốt. Nếu chúng ta có một nguyên tử đang ở một trạng thái kích thích và vì vậy sắp phát ra một photon, chúng ta không thể nói khi nào nó sẽ phát ra photon. Nó có một biên độ nào đó để phát ra photon vào bất kỳ thời điểm nào, và chúng ta chỉ có thể dự đoán một xác suất cho sự phát xạ; chúng ta không thể dự đoán tương lai một cách chính xác. Điều này đã làm nảy sinh đủ loại chuyện vô lý và các câu hỏi về ý nghĩa của ý chí tự do, và về ý tưởng rằng thế giới là bất định.

Dĩ nhiên chúng ta phải nhấn mạnh rằng vật lý cổ điển cũng bất định, theo một nghĩa nào đó. Người ta thường nghĩ rằng tính bất định này, rằng chúng ta không thể dự đoán tương lai, là một điều quan trọng của cơ học lượng tử, và điều này được cho là giải thích hành vi của tâm trí, cảm giác về ý chí tự do, v.v. Nhưng nếu thế giới là cổ điển — nếu các định luật của cơ học là cổ điển — thì không hoàn toàn hiển nhiên rằng tâm trí sẽ không cảm thấy ít nhiều như vậy. Đúng là theo cổ điển nếu chúng ta biết vị trí và vận tốc của mọi hạt trong thế giới, hay trong một hộp khí, chúng ta có thể dự đoán chính xác điều gì sẽ xảy ra. Và do đó thế giới cổ điển là tất định. Giả sử, tuy nhiên, rằng chúng ta có một độ chính xác hữu hạn và không biết chính xác chỉ một nguyên tử ở đâu, chẳng hạn tới một phần tỉ. Vậy thì khi nó đi và va chạm với một nguyên tử khác, và vì chúng ta không biết vị trí tốt hơn một phần tỉ, chúng ta tìm thấy một sai số còn lớn hơn trong vị trí sau va chạm. Và điều đó dĩ nhiên được khuếch đại trong va chạm tiếp theo, vì vậy nếu chúng ta bắt đầu chỉ với một sai số rất nhỏ nó nhanh chóng phóng đại thành một sự bất định rất lớn. Lấy một ví dụ: nếu nước rơi qua một con đập, nó bắn tóe. Nếu chúng ta đứng gần đó, thỉnh thoảng một giọt sẽ rơi lên mũi chúng ta. Điều này dường như hoàn toàn ngẫu nhiên, vậy mà một hành vi như vậy sẽ được dự đoán bởi các định luật thuần cổ điển. Vị trí chính xác của mọi giọt phụ thuộc vào các rung động chính xác của nước trước khi nó đi qua đập. Như thế nào? Các bất thường nhỏ nhất bị phóng đại khi rơi, vì vậy chúng ta thu được sự ngẫu nhiên hoàn toàn. Rõ ràng, chúng ta không thể thực sự dự đoán vị trí của các giọt trừ phi chúng ta biết chuyển động của nước tuyệt đối chính xác.

Nói chính xác hơn, cho một độ chính xác tùy ý, dù chính xác đến đâu, người ta có thể tìm một thời gian đủ dài mà chúng ta không thể thực hiện các dự đoán có hiệu lực trong thời gian dài như vậy. Bây giờ vấn đề là khoảng thời gian này không lớn lắm. Nó không phải là thời gian hàng triệu năm nếu độ chính xác là một phần tỉ. Thời gian, thực tế, chỉ đi theo logarit với sai số, và hóa ra chỉ trong một thời gian rất, rất nhỏ chúng ta mất mọi thông tin của mình. Nếu độ chính xác được lấy là một phần trong hàng tỉ tỉ tỉ — dù bao nhiêu tỉ chúng ta muốn, miễn là chúng ta dừng ở đâu đó — thì chúng ta có thể tìm một thời gian nhỏ hơn thời gian cần để phát biểu độ chính xác — sau đó chúng ta không còn có thể dự đoán điều gì sẽ xảy ra! Vì vậy không công bằng khi nói rằng từ sự tự do và tính bất định biểu kiến của tâm trí con người, chúng ta đáng lẽ phải nhận ra rằng vật lý “tất định” cổ điển không bao giờ có thể hy vọng hiểu được nó, và chào đón cơ học lượng tử như một sự giải thoát khỏi một vũ trụ “hoàn toàn cơ giới”. Vì ngay trong cơ học cổ điển đã có tính không thể xác định được từ một quan điểm thực tiễn.