Chương 4: Các hạt đồng nhất

4–1  Các hạt Bose và các hạt Fermi

Trong chương trước chúng ta đã bắt đầu xét các quy tắc đặc biệt cho sự giao thoa xảy ra trong các quá trình có hai hạt đồng nhất. Bởi các hạt đồng nhất chúng ta muốn nói những thứ như các electron vốn không thể nào phân biệt được với nhau. Nếu một quá trình liên quan đến hai hạt đồng nhất, việc đảo ngược hạt nào đến một máy đếm là một khả năng thay thế không thể phân biệt được và — như mọi trường hợp của các khả năng thay thế không thể phân biệt được — giao thoa với trường hợp gốc, chưa hoán đổi. Biên độ cho một sự kiện khi đó là tổng của hai biên độ giao thoa; nhưng, khá thú vị, sự giao thoa trong một số trường hợp là với pha cùng dấu, và trong các trường hợp khác, với pha ngược dấu.

Giả sử chúng ta có một va chạm của hai hạt a và b trong đó hạt a tán xạ theo hướng 1 và hạt b tán xạ theo hướng 2, như phác họa trong Hình 4–1(a). Hãy gọi f(θ) là biên độ cho quá trình này; khi đó xác suất P₁ để quan sát một sự kiện như vậy tỉ lệ với |f(θ)|². Dĩ nhiên, cũng có thể xảy ra là hạt b tán xạ vào máy đếm 1 và hạt a đi vào máy đếm 2, như chỉ trong Hình 4–1(b). Giả thiết rằng không có các hướng đặc biệt nào được xác định bởi spin hay những thứ như vậy, xác suất P₂ cho quá trình này chỉ là |f(π−θ)|², bởi vì nó hoàn toàn tương đương với quá trình thứ nhất với máy đếm 1 được di chuyển tới góc π−θ. Bạn cũng có thể nghĩ rằng biên độ cho quá trình thứ hai chỉ là f(π−θ). Nhưng điều đó không nhất thiết đúng, bởi vì có thể có một thừa số pha tùy ý. Tức là, biên độ có thể là

e^iδf(π−θ).

Một biên độ như vậy vẫn cho xác suất P₂ bằng |f(π−θ)|².

Bây giờ hãy xem điều gì xảy ra nếu a và b là các hạt đồng nhất. Khi đó hai quá trình khác nhau được chỉ trong hai sơ đồ của Hình 4–1 không thể phân biệt được. Có một biên độ rằng hoặc a hoặc b đi vào máy đếm 1, trong khi hạt kia đi vào máy đếm 2. Biên độ này là tổng của các biên độ cho hai quá trình được chỉ trong Hình 4–1. Nếu chúng ta gọi quá trình thứ nhất là f(θ), thì quá trình thứ hai là e^iδf(π−θ), trong đó bây giờ thừa số pha rất quan trọng bởi vì chúng ta sắp cộng hai biên độ. Giả sử chúng ta phải nhân biên độ với một thừa số pha nào đó khi chúng ta hoán đổi vai trò của hai hạt. Nếu chúng ta hoán đổi chúng một lần nữa, chúng ta hẳn nhận được cùng thừa số đó một lần nữa. Nhưng khi đó chúng ta đã trở lại quá trình thứ nhất. Thừa số pha lấy hai lần phải đưa chúng ta trở lại nơi chúng ta bắt đầu — bình phương của nó phải bằng 1. Chỉ có hai khả năng: e^iδ bằng +1, hoặc bằng −1. Hoặc trường hợp đã hoán đổi đóng góp với cùng dấu, hoặc nó đóng góp với dấu ngược lại. Cả hai trường hợp đều tồn tại trong tự nhiên, mỗi trường hợp cho một lớp hạt khác nhau. Các hạt giao thoa với dấu dương được gọi là các hạt Bose và các hạt giao thoa với dấu âm được gọi là các hạt Fermi. Các hạt Bose là photon, các meson, và graviton. Các hạt Fermi là electron, muon, các neutrino, các nucleon, và các baryon. Vậy chúng ta có, biên độ cho sự tán xạ của các hạt đồng nhất là:

  Các hạt Bose:

(Biên độ trực tiếp) + (Biên độ đã hoán đổi).   (4.1)

  Các hạt Fermi:

(Biên độ trực tiếp) − (Biên độ đã hoán đổi).   (4.2)

Đối với các hạt có spin — như các electron — có một sự phức tạp thêm. Chúng ta phải chỉ rõ không chỉ vị trí của các hạt mà còn cả hướng của spin của chúng. Chỉ đối với các hạt đồng nhất với các trạng thái spin đồng nhất thì các biên độ mới giao thoa khi các hạt được hoán đổi. Nếu bạn nghĩ về sự tán xạ của các chùm không phân cực — vốn là một hỗn hợp của các trạng thái spin khác nhau — có một ít phép tính số học thêm.

Bây giờ một bài toán thú vị nảy sinh khi có hai hay nhiều hạt bị ràng buộc chặt chẽ với nhau. Chẳng hạn, một hạt α có bốn hạt trong nó — hai neutron và hai proton. Khi hai hạt α tán xạ, có vài khả năng. Có thể là trong lúc tán xạ có một biên độ nào đó rằng một trong các neutron sẽ nhảy sang từ một hạt α tới hạt kia, trong khi một neutron từ hạt α kia nhảy ngược lại, sao cho hai hạt alpha đi ra khỏi sự tán xạ không phải là những hạt gốc — đã có một sự trao đổi của một cặp neutron. Xem Hình 4–2. Biên độ cho sự tán xạ có trao đổi một cặp neutron sẽ giao thoa với biên độ cho sự tán xạ không có trao đổi như vậy, và sự giao thoa phải là với dấu trừ bởi vì đã có một sự trao đổi của một cặp hạt Fermi. Mặt khác, nếu năng lượng tương đối của hai hạt α thấp đến mức chúng ở khá xa nhau — nói, do lực đẩy Coulomb — và không bao giờ có xác suất đáng kể nào của việc trao đổi bất kỳ hạt nội bộ nào, chúng ta có thể xem hạt α như một vật đơn giản, và chúng ta không cần lo về các chi tiết nội bộ của nó. Trong các hoàn cảnh như vậy, chỉ có hai đóng góp vào biên độ tán xạ. Hoặc không có trao đổi, hoặc cả bốn nucleon đều được trao đổi trong sự tán xạ. Vì các proton và các neutron trong hạt α đều là các hạt Fermi, một sự trao đổi của bất kỳ cặp nào cũng đảo dấu của biên độ tán xạ. Chừng nào không có các thay đổi nội bộ trong các hạt α, việc hoán đổi hai hạt α là giống như hoán đổi bốn cặp hạt Fermi. Có một sự thay đổi dấu cho mỗi cặp, nên kết quả ròng là các biên độ kết hợp với dấu dương. Hạt α hành xử như một hạt Bose.

Vậy quy tắc là các vật hợp thành, trong các hoàn cảnh mà vật hợp thành có thể được xem như một vật duy nhất, hành xử như các hạt Fermi hoặc các hạt Bose, tùy thuộc vào việc chúng chứa một số lẻ hay một số chẵn các hạt Fermi.

Tất cả các hạt Fermi sơ cấp mà chúng ta đã nhắc — như electron, proton, neutron, và vân vân — có spin j = 1/2. Nếu vài hạt Fermi như vậy được đặt lại với nhau để tạo thành một vật hợp thành, spin thu được có thể là nguyên hoặc bán nguyên. Chẳng hạn, đồng vị thông thường của heli, He⁴, vốn có hai neutron và hai proton, có spin bằng không, trong khi Li⁷, vốn có ba proton và bốn neutron, có spin 3/2. Sau này chúng ta sẽ học các quy tắc để cộng mômen động lượng, và bây giờ sẽ chỉ nhắc rằng mọi vật hợp thành có spin bán nguyên đều bắt chước một hạt Fermi, trong khi mọi vật hợp thành có spin nguyên đều bắt chước một hạt Bose.

Điều này đưa ra một câu hỏi thú vị: Vì sao các hạt có spin bán nguyên là các hạt Fermi mà các biên độ của chúng cộng với dấu trừ, trong khi các hạt có spin nguyên là các hạt Bose mà các biên độ của chúng cộng với dấu dương? Chúng tôi xin lỗi vì sự thật rằng chúng ta không thể cho bạn một sự giải thích sơ cấp. Một sự giải thích đã được Pauli tìm ra từ các lập luận phức tạp của lý thuyết trường lượng tử và thuyết tương đối. Ông đã chỉ ra rằng hai điều đó nhất thiết phải đi cùng nhau, nhưng chúng ta chưa thể tìm ra một cách để tái tạo các lập luận của ông ở mức sơ cấp. Nó dường như là một trong số ít nơi trong vật lý trong đó có một quy tắc có thể được phát biểu rất đơn giản, nhưng mà không ai tìm ra được một sự giải thích đơn giản và dễ dàng. Sự giải thích nằm sâu trong cơ học lượng tử tương đối tính. Điều này có lẽ có nghĩa là chúng ta không có một sự hiểu biết hoàn toàn về nguyên lý cơ bản liên quan. Tạm thời, bạn sẽ phải chấp nhận nó như một trong các quy tắc của thế giới.

4–2  Các trạng thái với hai hạt Bose

Bây giờ chúng ta muốn thảo luận một hệ quả thú vị của quy tắc cộng cho các hạt Bose. Nó liên quan tới hành vi của chúng khi có vài hạt hiện diện. Chúng ta bắt đầu bằng việc xét một tình huống trong đó hai hạt Bose bị tán xạ từ hai vật tán xạ khác nhau. Chúng ta sẽ không lo về các chi tiết của cơ chế tán xạ. Chúng ta chỉ quan tâm tới điều xảy ra với các hạt bị tán xạ. Giả sử chúng ta có tình huống được chỉ trong Hình 4–3. Hạt a bị tán xạ vào trạng thái 1. Bởi một trạng thái chúng ta muốn nói một hướng và năng lượng cho trước, hay một điều kiện cho trước nào đó khác. Hạt b bị tán xạ vào trạng thái 2. Chúng ta muốn giả thiết rằng hai trạng thái 1 và 2 gần như giống nhau. (Điều chúng ta thực sự muốn tìm ra cuối cùng là biên độ rằng hai hạt bị tán xạ vào các hướng, hay các trạng thái, đồng nhất; nhưng tốt nhất là chúng ta nghĩ trước về điều xảy ra nếu các trạng thái gần như giống nhau và sau đó tính ra điều xảy ra khi chúng trở nên đồng nhất.)

Giả sử rằng chúng ta chỉ có hạt a; khi đó nó sẽ có một biên độ nào đó để tán xạ theo hướng 1, nói ⟨1|a⟩. Và hạt b một mình sẽ có biên độ ⟨2|b⟩ để đến theo hướng 2. Nếu hai hạt không đồng nhất, biên độ để hai sự tán xạ xảy ra đồng thời chỉ là tích

⟨1|a⟩⟨2|b⟩.

Xác suất cho một sự kiện như vậy khi đó là

|⟨1|a⟩⟨2|b⟩|²,

mà cũng bằng

|⟨1|a⟩|²|⟨2|b⟩|².

Để tiết kiệm việc viết cho các lập luận hiện tại, đôi khi chúng ta sẽ đặt

⟨1|a⟩ = a₁, ⟨2|b⟩ = b₂.

Khi đó xác suất của sự tán xạ kép là

|a₁|²|b₂|².

Cũng có thể xảy ra là hạt b bị tán xạ vào hướng 1, trong khi hạt a đi vào hướng 2. Biên độ cho quá trình này là

⟨2|a⟩⟨1|b⟩,

và xác suất của một sự kiện như vậy là

|⟨2|a⟩⟨1|b⟩|² = |a₂|²|b₁|².

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một cặp máy đếm nhỏ xíu thu nhận hai hạt bị tán xạ. Xác suất P₂ rằng chúng sẽ thu nhận hai hạt cùng nhau chỉ là tổng

P₂ = |a₁|²|b₂|² + |a₂|²|b₁|².   (4.3)

Bây giờ hãy giả sử rằng các hướng 1 và 2 rất gần nhau. Chúng ta kỳ vọng rằng a hẳn thay đổi trơn tru theo hướng, nên a₁ và a₂ phải tiến lại gần nhau khi 1 và 2 tiến lại gần nhau. Nếu chúng đủ gần, các biên độ a₁ và a₂ sẽ bằng nhau. Chúng ta có thể đặt a₁ = a₂ và gọi cả hai chỉ là a; tương tự, chúng ta đặt b₁ = b₂ = b. Khi đó chúng ta nhận được

P₂ = 2|a|²|b|².   (4.4)

Bây giờ giả sử, tuy nhiên, rằng a và b là các hạt Bose đồng nhất. Khi đó quá trình a đi vào 1 và b đi vào 2 không thể phân biệt được với quá trình đã hoán đổi trong đó a đi vào 2 và b đi vào 1. Trong trường hợp này các biên độ cho hai quá trình khác nhau có thể giao thoa. Tổng biên độ để thu được một hạt trong mỗi máy đếm trong hai máy đếm là

⟨1|a⟩⟨2|b⟩ + ⟨2|a⟩⟨1|b⟩.   (4.5)

Và xác suất rằng chúng ta nhận được một cặp là trị tuyệt đối bình phương của biên độ này,

P₂ = |a₁b₂ + a₂b₁|² = 4|a|²|b|².   (4.6)

Chúng ta có kết quả rằng việc tìm thấy hai hạt Bose đồng nhất bị tán xạ vào cùng một trạng thái có khả năng xảy ra gấp đôi so với điều bạn tính được nếu giả thiết các hạt là khác nhau. Mặc dù chúng ta đã xét rằng hai hạt được quan sát trong các máy đếm riêng biệt, điều này không thiết yếu — như chúng ta có thể thấy theo cách sau. Hãy tưởng tượng rằng cả hai hướng 1 và 2 đều sẽ đưa các hạt vào một máy đếm nhỏ duy nhất ở một khoảng cách nào đó. Chúng ta sẽ để hướng 1 được xác định bằng cách nói rằng nó hướng về phía phần tử diện tích dS₁ của máy đếm. Hướng 2 hướng về phía phần tử bề mặt dS₂ của máy đếm. (Chúng ta tưởng tượng rằng máy đếm trình ra một bề mặt vuông góc với đường thẳng từ các sự tán xạ.) Bây giờ chúng ta không thể cho một xác suất rằng một hạt sẽ đi vào một hướng chính xác hay tới một điểm đặc biệt trong không gian. Một điều như vậy là không thể — cơ hội cho bất kỳ hướng chính xác nào cũng bằng không. Khi chúng ta muốn cụ thể đến vậy, chúng ta sẽ phải xác định các biên độ của chúng ta sao cho chúng cho xác suất đến trên một đơn vị diện tích của một máy đếm. Giả sử rằng chúng ta chỉ có hạt a; nó sẽ có một biên độ nào đó để tán xạ theo hướng 1. Hãy xác định ⟨1|a⟩ = a₁ là biên độ rằng a sẽ tán xạ vào một đơn vị diện tích của máy đếm theo hướng 1. Nói cách khác, tỉ lệ của a₁ được chọn — chúng ta nói nó được “chuẩn hóa” — sao cho xác suất rằng nó sẽ tán xạ vào một phần tử diện tích dS₁ là

|⟨1|a⟩|² dS₁ = |a₁|² dS₁.   (4.7)

Nếu máy đếm của chúng ta có tổng diện tích ΔS, và chúng ta để dS₁ chạy trên diện tích này, tổng xác suất rằng hạt a sẽ bị tán xạ vào máy đếm là

∫_ΔS |a₁|² dS₁.   (4.8)

Như trước, chúng ta muốn giả thiết rằng máy đếm đủ nhỏ sao cho biên độ a₁ không thay đổi đáng kể trên bề mặt của máy đếm; a₁ khi đó là một biên độ hằng số mà chúng ta có thể gọi là a. Khi đó xác suất rằng hạt a bị tán xạ vào đâu đó trong máy đếm là

p_a = |a|² ΔS.   (4.9)

Cùng một cách, chúng ta sẽ có rằng xác suất rằng hạt b — khi nó một mình — tán xạ vào một phần tử diện tích nào đó, nói dS₂, là

|b₂|² dS₂.

(Chúng ta dùng dS₂ thay vì dS₁ bởi vì sau này chúng ta sẽ muốn a và b đi vào các hướng khác nhau.) Một lần nữa chúng ta đặt b₂ bằng biên độ hằng số b; khi đó xác suất rằng hạt b được đếm trong đầu dò là

p_b = |b|² ΔS.   (4.10)

Bây giờ khi cả hai hạt đều hiện diện, xác suất rằng a bị tán xạ vào dS₁ và b bị tán xạ vào dS₂ là

|a₁b₂|² dS₁ dS₂ = |a|²|b|² dS₁ dS₂.   (4.11)

Nếu chúng ta muốn xác suất rằng cả hai a và b đều vào máy đếm, chúng ta lấy tích phân cả dS₁ và dS₂ trên ΔS và thấy rằng

P₂ = |a|²|b|² (ΔS)².   (4.12)

Chúng ta để ý, nhân tiện, rằng điều này đúng bằng p_a·p_b, đúng như bạn hẳn giả thiết nếu cho rằng các hạt a và b hành động độc lập với nhau.

Khi hai hạt đồng nhất, tuy nhiên, có hai khả năng không thể phân biệt được cho mỗi cặp phần tử bề mặt dS₁ và dS₂. Hạt a đi vào dS₂ và hạt b đi vào dS₁ là không thể phân biệt được với a vào dS₁ và b vào dS₂, nên các biên độ cho các quá trình này sẽ giao thoa. (Khi chúng ta có hai hạt khác nhau ở trên — mặc dù chúng ta không thực sự quan tâm hạt nào đi đâu trong máy đếm — chúng ta có thể, về nguyên tắc, đã tìm ra; nên không có sự giao thoa. Đối với các hạt đồng nhất chúng ta không thể biết, ngay cả về nguyên tắc.) Vậy chúng ta phải viết rằng xác suất rằng hai hạt đến dS₁ và dS₂ là

|a₁b₂ + a₂b₁|² dS₁ dS₂.   (4.13)

Bây giờ, tuy nhiên, khi chúng ta lấy tích phân trên diện tích của máy đếm, chúng ta phải cẩn thận. Nếu chúng ta để dS₁ và dS₂ chạy trên toàn bộ diện tích ΔS, chúng ta sẽ đếm mỗi phần của diện tích hai lần vì (4.13) chứa mọi điều có thể xảy ra với bất kỳ cặp phần tử bề mặt nào dS₁ và dS₂.¹ Chúng ta vẫn có thể làm tích phân theo cách đó, nếu chúng ta hiệu chỉnh việc đếm hai lần bằng cách chia kết quả cho 2. Khi đó chúng ta nhận được rằng P₂ cho các hạt Bose đồng nhất là

P₂(Bose) = ½{4|a|²|b|² (ΔS)²} = 2|a|²|b|² (ΔS)².   (4.14)

Một lần nữa, điều này đúng gấp đôi điều chúng ta nhận được trong Phương trình (4.12) cho các hạt có thể phân biệt được.

Nếu chúng ta tưởng tượng trong chốc lát rằng chúng ta biết rằng kênh b đã gửi hạt của nó vào hướng đặc biệt đó, chúng ta có thể nói rằng xác suất rằng một hạt thứ hai sẽ đi vào cùng hướng là gấp đôi so với điều chúng ta hẳn kỳ vọng nếu chúng ta tính nó như một sự kiện độc lập. Đó là một tính chất của các hạt Bose rằng nếu đã có một hạt trong một điều kiện nào đó, xác suất để nhận được một hạt thứ hai trong cùng điều kiện là gấp đôi so với trường hợp hạt thứ nhất không có ở đó. Sự thật này thường được phát biểu theo cách sau: Nếu đã có một hạt Bose trong một trạng thái cho trước, biên độ để đặt một hạt đồng nhất nữa lên trên nó lớn hơn √2 lần so với khi nó không có ở đó. (Đây không phải là một cách thích hợp để phát biểu kết quả từ quan điểm vật lý mà chúng ta đã lấy, nhưng nếu nó được dùng một cách nhất quán như một quy tắc, nó sẽ, dĩ nhiên, cho kết quả đúng.)

4–3  Các trạng thái với n hạt Bose

Hãy mở rộng kết quả của chúng ta tới một tình huống trong đó có n hạt hiện diện. Chúng ta tưởng tượng hoàn cảnh được chỉ trong Hình 4–4. Chúng ta có n hạt a, b, c, …, bị tán xạ và kết thúc trong các hướng 1, 2, 3, …, n. Cả n hướng đều hướng về một máy đếm nhỏ ở xa. Như trong mục trước, chúng ta chọn chuẩn hóa tất cả các biên độ sao cho xác suất rằng mỗi hạt, hành động một mình, sẽ đi vào một phần tử bề mặt dS của máy đếm là

|⟨ ⟩|² dS.

Trước hết, hãy giả thiết rằng các hạt đều có thể phân biệt được; khi đó xác suất rằng n hạt sẽ được đếm cùng nhau trong n phần tử bề mặt khác nhau là

|a₁b₂c₃…|² dS₁ dS₂ dS₃…   (4.15)

Một lần nữa chúng ta lấy rằng các biên độ không phụ thuộc vào vị trí của dS trong máy đếm (được giả thiết là nhỏ) và gọi chúng đơn giản là a, b, c, … Xác suất (4.15) trở thành

|a|²|b|²|c|²… dS₁ dS₂ dS₃…   (4.16)

Lấy tích phân mỗi dS trên bề mặt ΔS của máy đếm, chúng ta có rằng P_n(khác nhau), xác suất để đếm n hạt khác nhau cùng một lúc, là

P_n(khác nhau) = |a|²|b|²|c|²…(ΔS)ⁿ.   (4.17)

Điều này chỉ là tích của các xác suất cho mỗi hạt vào máy đếm riêng rẽ. Tất cả chúng đều hành động độc lập — xác suất cho một hạt vào không phụ thuộc vào việc có bao nhiêu hạt khác cũng đang vào.

Bây giờ giả sử rằng tất cả các hạt đều là các hạt Bose đồng nhất. Đối với mỗi tập hợp các hướng 1, 2, 3, … có nhiều khả năng không thể phân biệt được. Nếu, chẳng hạn, chỉ có ba hạt, chúng ta sẽ có các khả năng sau:

Có sáu tổ hợp khác nhau. Với n hạt, có n! khả năng khác nhau, nhưng không thể phân biệt được, mà chúng ta phải cộng các biên độ cho chúng. Xác suất rằng n hạt sẽ được đếm trong n phần tử bề mặt khi đó là

|a₁b₂c₃… + a₁b₃c₂… + a₂b₁c₃… + a₂b₃c₁… + v.v. + v.v.|² dS₁dS₂dS₃…dS_n.   (4.18)

Một lần nữa chúng ta giả thiết rằng tất cả các hướng đủ gần sao cho chúng ta có thể đặt a₁ = a₂ = … = a_n = a, và tương tự cho b, c, …; xác suất của (4.18) trở thành

|n!abc…|² dS₁ dS₂… dS_n.   (4.19)

Khi chúng ta lấy tích phân mỗi dS trên diện tích ΔS của máy đếm, mỗi tích khả dĩ của các phần tử bề mặt được đếm n! lần; chúng ta hiệu chỉnh điều này bằng cách chia cho n! và nhận được

P_n(Bose) = (1/n!) |n!abc…|²(ΔS)ⁿ

hay

P_n(Bose) = n! |abc…|²(ΔS)ⁿ.   (4.20)

So sánh kết quả này với Phương trình (4.17), chúng ta thấy rằng xác suất để đếm n hạt Bose cùng nhau lớn hơn n! lần so với điều chúng ta tính được nếu giả thiết các hạt đều có thể phân biệt được. Chúng ta có thể tóm tắt kết quả của chúng ta theo cách này:

P_n(Bose) = n! P_n(khác nhau).   (4.21)

Vậy, xác suất trong trường hợp Bose lớn hơn một thừa số n! so với điều bạn tính được nếu giả thiết rằng các hạt hành động độc lập.

Chúng ta có thể thấy rõ hơn điều này có nghĩa gì nếu chúng ta hỏi câu hỏi sau: Xác suất rằng một hạt Bose sẽ đi vào một trạng thái đặc biệt là bao nhiêu khi đã có sẵn n hạt khác hiện diện? Hãy gọi hạt mới được thêm vào là w. Nếu chúng ta có (n+1) hạt, kể cả w, Phương trình (4.20) trở thành

P_n+1(Bose) = (n+1)! |abc…w|²(ΔS)ⁿ⁺¹.   (4.22)

Chúng ta có thể viết điều này dưới dạng

P_n+1(Bose) = {(n+1)|w|² ΔS} n! |abc…|²(ΔS)ⁿ

hay

P_n+1(Bose) = (n+1)|w|² ΔS P_n(Bose).   (4.23)

Chúng ta có thể nhìn kết quả này theo cách sau: Con số |w|² ΔS là xác suất để nhận được hạt w vào đầu dò nếu không có hạt nào khác hiện diện; P_n(Bose) là cơ hội rằng đã có sẵn n hạt Bose khác hiện diện. Vậy Phương trình (4.23) nói rằng khi có n hạt Bose đồng nhất khác hiện diện, xác suất rằng một hạt nữa sẽ vào cùng trạng thái được tăng cường bởi thừa số (n+1). Xác suất để nhận được một boson, ở nơi đã có sẵn n, mạnh hơn (n+1) lần so với trường hợp không có hạt nào trước đó. Sự hiện diện của các hạt khác làm tăng xác suất để nhận được thêm một hạt nữa.

4–4  Sự phát xạ và hấp thụ photon

Trong suốt cuộc thảo luận của chúng ta, chúng ta đã nói về một quá trình như sự tán xạ của các hạt α. Nhưng điều đó không thiết yếu; chúng ta có thể đã nói về sự tạo thành các hạt, như chẳng hạn sự phát xạ ánh sáng. Khi ánh sáng được phát ra, một photon được “tạo thành”. Trong một trường hợp như vậy, chúng ta không cần các đường đi vào trong Hình 4–4; chúng ta có thể chỉ xét rằng có một số nguyên tử phát ra n photon, như trong Hình 4–5. Vậy kết quả của chúng ta cũng có thể được phát biểu: Xác suất rằng một nguyên tử sẽ phát ra một photon vào một trạng thái cuối đặc biệt được tăng bởi thừa số (n+1) nếu đã có sẵn n photon trong trạng thái đó.

Người ta thích tóm tắt kết quả này bằng cách nói rằng biên độ để phát ra một photon được tăng bởi thừa số √(n+1) khi đã có sẵn n photon hiện diện. Dĩ nhiên, đó là một cách khác để nói cùng một điều nếu nó được hiểu là có nghĩa rằng biên độ này chỉ cần được bình phương lên để nhận được xác suất.

Nói chung trong cơ học lượng tử, điều đúng là biên độ để đi từ bất kỳ điều kiện nào φ tới bất kỳ điều kiện nào khác χ là liên hợp phức của biên độ để đi từ χ tới φ:

⟨χ|φ⟩ = ⟨φ|χ⟩*.   (4.24)

Chúng ta sẽ học về định luật này một chút sau, nhưng tạm thời chúng ta sẽ chỉ giả thiết nó đúng. Chúng ta có thể dùng nó để tìm ra cách các photon bị tán xạ hoặc hấp thụ ra khỏi một trạng thái cho trước. Chúng ta có rằng biên độ rằng một photon sẽ được thêm vào một trạng thái nào đó, nói i, khi đã có sẵn n photon hiện diện là, nói,

⟨n+1|n⟩ = √(n+1) a,   (4.25)

trong đó a = ⟨i|a⟩ là biên độ khi không có hạt nào khác hiện diện. Dùng Phương trình (4.24), biên độ để đi theo chiều ngược lại — từ (n+1) photon tới n — là

⟨n|n+1⟩ = √(n+1) a*.   (4.26)

Đây không phải là cách người ta thường nói; họ không thích nghĩ về việc đi từ (n+1) tới n, mà thích luôn bắt đầu với n photon hiện diện. Khi đó họ nói rằng biên độ để hấp thụ một photon khi có n photon hiện diện — nói cách khác, để đi từ n tới (n−1) — là

⟨n−1|n⟩ = √n a*,   (4.27)

mà, dĩ nhiên, đúng là cùng một điều như Phương trình (4.26). Khi đó họ gặp rắc rối khi cố nhớ khi nào thì dùng √n hay √(n+1). Đây là cách để nhớ: Thừa số luôn là căn bậc hai của số photon lớn nhất hiện diện, dù là trước hay sau phản ứng. Các phương trình (4.25) và (4.26) chỉ ra rằng định luật thực sự là đối xứng — nó chỉ có vẻ không đối xứng nếu bạn viết nó dưới dạng Phương trình (4.27).

Có nhiều hệ quả vật lý của các quy tắc mới này; chúng ta muốn mô tả một trong số chúng liên quan tới sự phát xạ ánh sáng. Giả sử chúng ta tưởng tượng một tình huống trong đó các photon được chứa trong một hộp — bạn có thể tưởng tượng một hộp với các vách là gương. Bây giờ nói rằng trong hộp chúng ta có n photon, tất cả cùng một trạng thái — cùng tần số, hướng, và phân cực — nên chúng không thể phân biệt được, và rằng cũng có một nguyên tử trong hộp có thể phát ra một photon nữa vào cùng trạng thái. Khi đó xác suất rằng nó sẽ phát ra một photon là

(n+1)|a|²,   (4.28)

và xác suất rằng nó sẽ hấp thụ một photon là

n|a|²,   (4.29)

trong đó |a|² là xác suất nó hẳn phát ra nếu không có photon nào hiện diện. Chúng ta đã thảo luận các quy tắc này theo một cách hơi khác trong Chương 42 của Tập I.

Phương trình (4.29) nói rằng xác suất rằng một nguyên tử sẽ hấp thụ một photon và thực hiện một chuyển dời tới một trạng thái năng lượng cao hơn tỉ lệ với cường độ của ánh sáng chiếu lên nó. Nhưng, như Einstein lần đầu tiên chỉ ra, tốc độ mà một nguyên tử sẽ thực hiện một chuyển dời đi xuống có hai phần. Có xác suất rằng nó sẽ thực hiện một chuyển dời tự phát |a|², cộng với xác suất của một chuyển dời cảm ứng n|a|², vốn tỉ lệ với cường độ của ánh sáng — tức là, với số photon hiện diện. Hơn nữa, như Einstein đã nói, các hệ số của hấp thụ và của phát xạ cảm ứng là bằng nhau và liên hệ với xác suất của phát xạ tự phát. Điều chúng ta học được ở đây là nếu cường độ ánh sáng được đo theo số photon hiện diện (thay vì theo năng lượng trên một đơn vị diện tích, và trên một giây), các hệ số của hấp thụ, của phát xạ cảm ứng, và của phát xạ tự phát đều bằng nhau. Đây là nội dung của mối quan hệ giữa các hệ số Einstein A và B của Chương 42, Tập I, Phương trình (42.18).

4–5  Phổ vật đen

Chúng ta muốn dùng các quy tắc của chúng ta cho các hạt Bose để thảo luận một lần nữa phổ của bức xạ vật đen (xem Chương 42, Tập I). Chúng ta sẽ làm điều đó bằng cách tìm ra có bao nhiêu photon trong một hộp nếu bức xạ ở cân bằng nhiệt với một số nguyên tử trong hộp. Giả sử rằng đối với mỗi tần số ánh sáng ω, có một số N nguyên tử nào đó có hai trạng thái năng lượng cách nhau một năng lượng ΔE = ℏω. Xem Hình 4–6. Chúng ta sẽ gọi trạng thái năng lượng thấp hơn là trạng thái “nền” và trạng thái trên là trạng thái “kích thích”. Đặt N_g và N_e là số nguyên tử trung bình ở các trạng thái nền và kích thích; khi đó ở cân bằng nhiệt tại nhiệt độ T, chúng ta có từ cơ học thống kê rằng

N_e/N_g = e^−ΔE/κT = e^−ℏω/κT.   (4.30)

Mỗi nguyên tử ở trạng thái nền có thể hấp thụ một photon và đi vào trạng thái kích thích, và mỗi nguyên tử ở trạng thái kích thích có thể phát ra một photon và đi tới trạng thái nền. Ở cân bằng, tốc độ của hai quá trình này phải bằng nhau. Các tốc độ tỉ lệ với xác suất cho sự kiện và với số nguyên tử hiện diện. Hãy đặt n̄ là số photon trung bình hiện diện trong một trạng thái cho trước với tần số ω. Khi đó tốc độ hấp thụ từ trạng thái đó là N_gn̄|a|², và tốc độ phát xạ vào trạng thái đó là N_e(n̄+1)|a|². Đặt hai tốc độ bằng nhau, chúng ta có

N_gn̄ = N_e(n̄+1).   (4.31)

Kết hợp điều này với Phương trình (4.30), chúng ta có

n̄/(n̄+1) = e^−ℏω/κT.

Giải tìm n̄, chúng ta có

n̄ = 1/(e^ℏω/κT − 1),   (4.32)

mà là số photon trung bình trong bất kỳ trạng thái nào với tần số ω, đối với một hốc ở cân bằng nhiệt. Vì mỗi photon có năng lượng ℏω, năng lượng trong các photon của một trạng thái cho trước là n̄ℏω, hay

ℏω/(e^ℏω/κT − 1).   (4.33)

Nhân tiện, chúng ta đã từng tìm thấy một phương trình tương tự trong một bối cảnh khác [Chương 41, Tập I, Phương trình (41.15)]. Bạn nhớ rằng đối với bất kỳ dao động tử điều hòa nào — như một quả nặng trên một lò xo — các mức năng lượng cơ học lượng tử cách đều nhau với khoảng cách ℏω, như vẽ trong Hình 4–7. Nếu chúng ta gọi năng lượng của mức thứ n là nℏω, chúng ta thấy rằng năng lượng trung bình của một dao động tử như vậy cũng được cho bởi Phương trình (4.33). Tuy vậy phương trình này đã được suy ra ở đây cho các photon, bằng cách đếm các hạt, và nó cho cùng kết quả. Đó là một trong những phép lạ kỳ diệu của cơ học lượng tử. Nếu người ta bắt đầu bằng việc xét một loại trạng thái hay điều kiện cho các hạt Bose vốn không tương tác với nhau (chúng ta đã giả thiết rằng các photon không tương tác với nhau), và sau đó xét rằng vào trạng thái này có thể đặt hoặc không, hoặc một, hoặc hai, … lên tới bất kỳ số n hạt nào, người ta thấy rằng hệ này hành xử cho mọi mục đích cơ học lượng tử đúng như một dao động tử điều hòa. Bởi một dao động tử như vậy chúng ta muốn nói một hệ động lực như một quả nặng trên một lò xo hay một sóng dừng trong một hốc cộng hưởng. Và đó là lý do tại sao có thể biểu diễn trường điện từ bằng các hạt photon. Từ một quan điểm, chúng ta có thể phân tích trường điện từ trong một hộp hay hốc theo một loạt các dao động tử điều hòa, xử lý mỗi mode dao động theo cơ học lượng tử như một dao động tử điều hòa. Từ một quan điểm khác, chúng ta có thể phân tích cùng vật lý đó theo các hạt Bose đồng nhất. Và kết quả của cả hai cách làm việc luôn luôn hoàn toàn trùng khớp. Không có cách nào để bạn quyết định được trường điện từ thực sự nên được mô tả như một dao động tử điều hòa lượng tử hóa hay bằng cách cho có bao nhiêu photon trong mỗi điều kiện. Hai quan điểm hóa ra là đồng nhất về mặt toán học. Vậy trong tương lai chúng ta có thể nói hoặc về số photon trong một trạng thái đặc biệt trong một hộp hoặc về số của mức năng lượng gắn với một mode dao động đặc biệt của trường điện từ. Chúng là hai cách để nói cùng một điều. Điều tương tự cũng đúng cho các photon trong không gian tự do. Chúng tương đương với các dao động của một hốc mà các vách của nó đã lùi ra vô hạn.

Chúng ta đã tính năng lượng trung bình trong bất kỳ mode đặc biệt nào trong một hộp tại nhiệt độ T; chúng ta chỉ cần một điều nữa để nhận được định luật bức xạ vật đen: Chúng ta cần biết có bao nhiêu mode ở mỗi năng lượng. (Chúng ta giả thiết rằng đối với mỗi mode có một số nguyên tử trong hộp — hay trong các vách — vốn có các mức năng lượng có thể bức xạ vào mode đó, sao cho mỗi mode có thể đạt cân bằng nhiệt.) Định luật bức xạ vật đen thường được phát biểu bằng cách cho năng lượng trên một đơn vị thể tích được mang bởi ánh sáng trong một khoảng tần số nhỏ từ ω tới ω+Δω. Vậy chúng ta cần biết có bao nhiêu mode trong một hộp với các tần số trong khoảng Δω. Mặc dù câu hỏi này liên tục xuất hiện trong cơ học lượng tử, nó hoàn toàn là một câu hỏi cổ điển về các sóng dừng.

Chúng ta sẽ nhận được đáp án chỉ cho một hộp hình chữ nhật. Nó ra cùng kết quả cho một hộp có hình dạng bất kỳ, nhưng rất phức tạp để tính cho trường hợp tùy ý. Ngoài ra, chúng ta chỉ quan tâm tới một hộp mà các kích thước của nó rất lớn so với một bước sóng của ánh sáng. Khi đó có hàng tỉ và hàng tỉ mode; sẽ có nhiều mode trong bất kỳ khoảng tần số nhỏ nào Δω, nên chúng ta có thể nói về “số trung bình” trong bất kỳ Δω nào tại tần số ω. Hãy bắt đầu bằng cách hỏi có bao nhiêu mode trong một trường hợp một chiều — như đối với các sóng trên một sợi dây căng. Bạn biết rằng mỗi mode là một sóng sin phải triệt tiêu ở cả hai đầu; nói cách khác, phải có một số nguyên các nửa bước sóng trong chiều dài của đường thẳng, như chỉ trong Hình 4–8. Chúng ta thích dùng số sóng k = 2π/λ hơn; gọi k_j là số sóng của mode thứ j, chúng ta có

k_j = jπ/L,   (4.34)

trong đó j là bất kỳ số nguyên nào. Khoảng cách δk giữa các mode liên tiếp là

δk = k_j+1 − k_j = π/L.

Chúng ta muốn giả thiết rằng kL lớn đến mức trong một khoảng nhỏ Δk, có nhiều mode. Gọi Δ𝒩 là số mode trong khoảng Δk, chúng ta có

Δ𝒩 = (Δk/δk) = (L/π) Δk.   (4.35)

Bây giờ các nhà vật lý lý thuyết làm việc trong cơ học lượng tử thường thích nói rằng chỉ có một nửa số mode như vậy; họ viết

Δ𝒩 = (L/2π) Δk.   (4.36)

Chúng ta muốn giải thích vì sao. Họ thường thích nghĩ theo các sóng chạy — một số đi sang phải (với k dương) và một số đi sang trái (với k âm). Nhưng một “mode” là một sóng đứng vốn là tổng của hai sóng, một sóng đi theo mỗi hướng. Nói cách khác, họ xem mỗi sóng đứng như chứa hai “trạng thái” photon phân biệt. Vậy nếu bởi Δ𝒩, người ta thích có ý nói số trạng thái photon của một k cho trước (trong đó bây giờ k chạy trên các giá trị dương và âm), người ta hẳn lấy Δ𝒩 bằng một nửa như vậy. (Tất cả các tích phân bây giờ phải đi từ k = −∞ tới k = +∞, và tổng số trạng thái lên tới bất kỳ giá trị tuyệt đối cho trước nào của k sẽ ra đúng.) Dĩ nhiên, khi đó chúng ta không mô tả các sóng đứng được tốt lắm, nhưng chúng ta đang đếm các mode theo một cách nhất quán.

Bây giờ chúng ta muốn mở rộng các kết quả tới ba chiều. Một sóng đứng trong một hộp hình chữ nhật phải có một số nguyên các nửa sóng dọc theo mỗi trục. Tình huống cho hai trong các chiều được chỉ trong Hình 4–9. Mỗi hướng sóng và tần số được mô tả bởi một số sóng vectơ k, mà các thành phần x, y, và z của nó phải thỏa mãn các phương trình như Phương trình (4.34). Vậy chúng ta có

k_x = j_xπ/L_x, k_y = j_yπ/L_y, k_z = j_zπ/L_z.

Số mode với k_x trong một khoảng Δk_x là, như trước,

(L_x/2π) Δk_x,

và tương tự cho Δk_y và Δk_z. Nếu chúng ta gọi Δ𝒩(k) là số mode cho một số sóng vectơ k mà thành phần x của nó nằm giữa k_x và k_x+Δk_x, thành phần y của nó nằm giữa k_y và k_y+Δk_y, và thành phần z của nó nằm giữa k_z và k_z+Δk_z, khi đó

Δ𝒩(k) = [L_xL_yL_z/(2π)³] Δk_x Δk_y Δk_z.   (4.37)

Tích L_xL_yL_z bằng thể tích V của hộp. Vậy chúng ta có kết quả quan trọng rằng đối với các tần số cao (các bước sóng nhỏ so với các kích thước), số mode trong một hốc tỉ lệ với thể tích V của hộp và với “thể tích trong không gian k” Δk_x Δk_y Δk_z. Kết quả này xuất hiện hết lần này tới lần khác trong nhiều bài toán và nên được ghi nhớ:

d𝒩(k) = V d³k/(2π)³.   (4.38)

Mặc dù chúng ta chưa chứng minh nó, kết quả là độc lập với hình dạng của hộp.

Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng kết quả này để tìm số mode photon cho các photon có tần số trong khoảng Δω. Chúng ta chỉ quan tâm tới năng lượng trong các mode khác nhau — nhưng không quan tâm tới các hướng của các sóng. Chúng ta muốn biết số mode trong một khoảng tần số cho trước. Trong chân không độ lớn của k liên hệ với tần số bởi

|k| = ω/c.   (4.39)

Vậy trong một khoảng tần số Δω, đó là tất cả các mode tương ứng với các k có độ lớn nằm giữa k và k+Δk, độc lập với hướng. “Thể tích trong không gian k” giữa k và k+Δk là một vỏ cầu có thể tích

4πk² Δk.

Số mode khi đó là

Δ𝒩(ω) = V4πk² Δk/(2π)³.   (4.40)

Tuy nhiên, vì bây giờ chúng ta quan tâm tới các tần số, chúng ta hẳn thay k = ω/c, nên chúng ta nhận được

Δ𝒩(ω) = V4πω² Δω/(2π)³c³.   (4.41)

Có một sự phức tạp nữa. Nếu chúng ta đang nói về các mode của một sóng điện từ, đối với bất kỳ vectơ sóng k cho trước nào cũng có thể có một trong hai phân cực (vuông góc với nhau). Vì các mode này độc lập, chúng ta phải — đối với ánh sáng — gấp đôi số mode. Vậy chúng ta có

Δ𝒩(ω) = Vω² Δω/π²c³  (đối với ánh sáng).   (4.42)

Chúng ta đã chỉ ra, Phương trình (4.33), rằng mỗi mode (hay mỗi “trạng thái”) có trung bình năng lượng

n̄ℏω = ℏω/(e^ℏω/κT − 1).

Nhân điều này với số mode, chúng ta nhận được năng lượng ΔE trong các mode nằm trong khoảng Δω:

ΔE = [ℏω/(e^ℏω/κT − 1)] [Vω² Δω/π²c³].   (4.43)

Đây là định luật cho phổ tần số của bức xạ vật đen, mà chúng ta đã tìm thấy trong Chương 41 của Tập I. Phổ được vẽ trong Hình 4–10. Bây giờ bạn thấy rằng đáp án phụ thuộc vào sự thật rằng các photon là các hạt Bose, vốn có một xu hướng cố gắng vào tất cả cùng một trạng thái (bởi vì biên độ để làm vậy là lớn). Bạn sẽ nhớ, chính việc Planck nghiên cứu phổ vật đen (vốn là một bí ẩn đối với vật lý cổ điển), và việc ông khám phá ra công thức trong Phương trình (4.43) đã khởi đầu toàn bộ chủ đề cơ học lượng tử.

4–6  Heli lỏng

Heli lỏng ở các nhiệt độ thấp có nhiều tính chất kỳ lạ mà tiếc là chúng ta không thể dành thời gian để mô tả chi tiết ngay bây giờ, nhưng nhiều tính chất trong số chúng nảy sinh từ sự thật rằng một nguyên tử heli là một hạt Bose. Một trong những điều đó là heli lỏng chảy mà không có bất kỳ sức cản nhớt nào. Nó, thực tế, là “nước khô” lý tưởng mà chúng ta đã nói trong một trong các chương trước — với điều kiện các vận tốc đủ thấp. Lý do là như sau. Để một chất lỏng có độ nhớt, phải có các tổn thất năng lượng nội bộ; phải có một cách nào đó để một phần của chất lỏng có một chuyển động khác với phần còn lại của chất lỏng. Điều này có nghĩa là phải có thể đánh bật một số nguyên tử vào các trạng thái khác với các trạng thái bị chiếm bởi các nguyên tử khác. Nhưng ở các nhiệt độ đủ thấp, khi các chuyển động nhiệt trở nên rất nhỏ, tất cả các nguyên tử cố gắng vào cùng một điều kiện. Vậy, nếu một số trong chúng đang chuyển động dọc theo, khi đó tất cả các nguyên tử cố gắng chuyển động cùng nhau trong cùng một trạng thái. Có một loại cứng nhắc đối với chuyển động, và khó để phá vỡ chuyển động thành các kiểu chảy rối bất đều, như hẳn xảy ra, chẳng hạn, với các hạt độc lập. Vậy trong một chất lỏng của các hạt Bose, có một xu hướng mạnh mẽ rằng tất cả các nguyên tử đi vào cùng một trạng thái — vốn được biểu diễn bởi thừa số √(n+1) mà chúng ta đã tìm thấy trước đây. (Đối với một chai heli lỏng n, dĩ nhiên, là một số rất lớn!) Chuyển động hợp tác này không xảy ra ở các nhiệt độ cao, bởi vì khi đó có đủ năng lượng nhiệt để đặt các nguyên tử khác nhau vào các trạng thái cao hơn khác nhau. Nhưng ở một nhiệt độ đủ thấp đột nhiên đến một thời điểm trong đó tất cả các nguyên tử heli cố gắng đi vào cùng một trạng thái. Heli trở thành một siêu lưu. Nhân tiện, hiện tượng này chỉ xuất hiện với đồng vị của heli có trọng lượng nguyên tử 4. Đối với đồng vị heli có trọng lượng nguyên tử 3, các nguyên tử riêng lẻ là các hạt Fermi, và chất lỏng là một lưu chất bình thường. Vì tính siêu lưu chỉ xảy ra với He⁴, nó hiển nhiên là một hiệu ứng cơ học lượng tử — do bản chất Bose của hạt α.

4–7  Nguyên lý loại trừ

Các hạt Fermi hành động theo một cách hoàn toàn khác. Hãy xem điều gì xảy ra nếu chúng ta cố đặt hai hạt Fermi vào cùng một trạng thái. Chúng ta sẽ quay lại ví dụ gốc của chúng ta và hỏi biên độ rằng hai hạt Fermi đồng nhất sẽ bị tán xạ vào gần như đúng cùng một hướng. Biên độ rằng hạt a sẽ đi theo hướng 1 và hạt b sẽ đi theo hướng 2 là

⟨1|a⟩⟨2|b⟩,

trong khi biên độ rằng các hướng đi ra sẽ bị hoán đổi là

⟨2|a⟩⟨1|b⟩.

Vì chúng ta có các hạt Fermi, biên độ cho quá trình là hiệu của hai biên độ này:

⟨1|a⟩⟨2|b⟩ − ⟨2|a⟩⟨1|b⟩.   (4.44)

Hãy nói rằng bởi “hướng 1” chúng ta muốn nói rằng hạt không chỉ có một hướng nào đó mà còn có một hướng cho trước của spin của nó, và rằng “hướng 2” gần như đúng giống như hướng 1 và tương ứng với cùng một hướng spin. Khi đó ⟨1|a⟩ và ⟨2|a⟩ gần bằng nhau. (Điều này không nhất thiết đúng nếu các trạng thái đi ra 1 và 2 không có cùng spin, bởi vì có thể có một lý do nào đó tại sao biên độ hẳn phụ thuộc vào hướng spin.) Bây giờ nếu chúng ta để các hướng 1 và 2 tiến lại gần nhau, tổng biên độ trong Phương trình (4.44) trở thành không. Kết quả cho các hạt Fermi đơn giản hơn nhiều so với cho các hạt Bose. Đơn giản là hoàn toàn không thể cho hai hạt Fermi — như hai electron — vào đúng cùng một trạng thái. Bạn sẽ không bao giờ tìm thấy hai electron ở cùng một vị trí với hai spin của chúng theo cùng một hướng. Không thể cho hai electron có cùng mômen và cùng các hướng spin. Nếu chúng ở cùng một vị trí hay với cùng một trạng thái chuyển động, khả năng duy nhất là chúng phải quay ngược chiều với nhau.

Các hệ quả của điều này là gì? Có một số hiệu ứng đáng chú ý nhất vốn là hệ quả của sự thật rằng hai hạt Fermi không thể vào cùng một trạng thái. Thực tế, gần như mọi đặc thù của thế giới vật chất đều treo trên sự thật kỳ diệu này. Sự đa dạng được biểu diễn trong bảng tuần hoàn về cơ bản là một hệ quả của một quy tắc này.

Dĩ nhiên, chúng ta không thể nói thế giới sẽ như thế nào nếu một quy tắc này bị thay đổi, bởi vì nó chỉ là một phần của toàn bộ cấu trúc của cơ học lượng tử, và không thể nói còn điều gì nữa sẽ thay đổi nếu quy tắc về các hạt Fermi khác đi. Dù sao, hãy chỉ thử xem điều gì sẽ xảy ra nếu chỉ một quy tắc này bị thay đổi. Trước hết, chúng ta có thể chỉ ra rằng mọi nguyên tử sẽ ít nhiều giống nhau. Hãy bắt đầu với nguyên tử hydro. Nó sẽ không bị ảnh hưởng đáng kể. Proton của hạt nhân sẽ được bao quanh bởi một đám mây electron đối xứng cầu, như chỉ trong Hình 4–11(a). Như chúng ta đã mô tả trong Chương 2, electron bị hút về phía trung tâm, nhưng nguyên lý bất định đòi hỏi rằng phải có một sự cân bằng giữa sự tập trung trong không gian và trong mômen. Sự cân bằng có nghĩa là phải có một năng lượng nào đó và một độ trải nào đó trong phân bố electron vốn xác định kích thước đặc trưng của nguyên tử hydro.

Bây giờ giả sử rằng chúng ta có một hạt nhân với hai đơn vị điện tích, như hạt nhân heli. Hạt nhân này sẽ hút hai electron, và nếu chúng là các hạt Bose, chúng sẽ — ngoại trừ lực đẩy điện của chúng — cả hai chen vào càng gần hạt nhân càng tốt. Một nguyên tử heli có thể trông như chỉ trong phần (b) của hình. Tương tự, một nguyên tử lithi vốn có một hạt nhân mang điện gấp ba sẽ có một phân bố electron như chỉ trong phần (c) của Hình 4–11. Mọi nguyên tử sẽ trông ít nhiều giống nhau — một quả bóng tròn nhỏ với tất cả các electron ngồi gần hạt nhân, không có gì có hướng và không có gì phức tạp.

Tuy nhiên, vì các electron là các hạt Fermi, tình huống thực tế khá khác. Đối với nguyên tử hydro tình huống về cơ bản không thay đổi. Khác biệt duy nhất là electron có một spin mà chúng ta chỉ bằng mũi tên nhỏ trong Hình 4–12(a). Tuy nhiên, trong trường hợp của một nguyên tử heli, chúng ta không thể đặt hai electron lên trên nhau. Nhưng chờ đã, điều đó chỉ đúng nếu spin của chúng giống nhau. Hai electron có thể chiếm cùng một trạng thái nếu spin của chúng ngược nhau. Vậy nguyên tử heli cũng không trông khác nhiều lắm. Nó sẽ xuất hiện như chỉ trong phần (b) của Hình 4–12. Tuy nhiên, đối với lithi, tình huống trở nên khá khác. Chúng ta có thể đặt electron thứ ba ở đâu? Electron thứ ba không thể đi lên trên hai electron kia bởi vì cả hai hướng spin đều đã bị chiếm. (Bạn nhớ rằng đối với một electron hay bất kỳ hạt nào có spin 1/2 chỉ có hai hướng khả dĩ cho spin.) Electron thứ ba không thể đi gần nơi bị chiếm bởi hai electron kia, nên nó phải chiếm một điều kiện đặc biệt trong một loại trạng thái khác ở xa hạt nhân hơn trong phần (c) của hình. (Chúng ta chỉ đang nói theo một cách khá thô ở đây, bởi vì trong thực tế cả ba electron đều đồng nhất; vì chúng ta không thể thực sự phân biệt được hạt nào là hạt nào, hình ảnh của chúng ta chỉ là một hình ảnh gần đúng.)

Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu thấy tại sao các nguyên tử khác nhau sẽ có các tính chất hóa học khác nhau. Bởi vì electron thứ ba trong lithi ở xa hơn, nó bị ràng buộc tương đối lỏng lẻo hơn. Việc loại bỏ một electron khỏi lithi dễ hơn nhiều so với khỏi heli. (Bằng thực nghiệm, cần 25 electron vôn để ion hóa heli nhưng chỉ 5 electron vôn để ion hóa lithi.) Điều này giải thích hóa trị của nguyên tử lithi. Các tính chất có hướng của hóa trị liên quan tới kiểu mẫu của các sóng của electron ngoài, mà chúng ta sẽ không đi vào lúc này. Nhưng chúng ta đã có thể thấy tầm quan trọng của cái gọi là nguyên lý loại trừ — vốn phát biểu rằng không có hai electron nào có thể được tìm thấy trong đúng cùng một trạng thái (kể cả spin).

Nguyên lý loại trừ cũng chịu trách nhiệm cho sự ổn định của vật chất trên quy mô lớn. Chúng ta đã giải thích trước đây rằng các nguyên tử riêng lẻ trong vật chất không sụp đổ vì nguyên lý bất định; nhưng điều này không giải thích tại sao hai nguyên tử hydro không thể bị ép lại với nhau gần tùy ý — tại sao tất cả các proton không đến gần nhau với một vệt lớn các electron quanh chúng. Đáp án là, dĩ nhiên, vì không có quá hai electron — với các spin ngược nhau — có thể ở gần như cùng một nơi, các nguyên tử hydro phải tránh xa nhau. Vậy sự ổn định của vật chất trên quy mô lớn thực sự là một hệ quả của bản chất hạt Fermi của các electron.

Dĩ nhiên, nếu các electron ngoài trên hai nguyên tử có các spin theo các hướng ngược nhau, chúng có thể đến gần nhau. Thực tế, đó đúng là cách liên kết hóa học xuất hiện. Hóa ra hai nguyên tử cùng nhau sẽ nói chung có năng lượng thấp nhất nếu có một electron ở giữa chúng. Đó là một loại lực hút điện cho hai hạt nhân dương về phía electron ở giữa. Có thể đặt hai electron ít nhiều ở giữa hai hạt nhân chừng nào spin của chúng ngược nhau, và liên kết hóa học mạnh nhất xuất hiện theo cách này. Không có liên kết mạnh hơn, bởi vì nguyên lý loại trừ không cho phép có quá hai electron trong không gian giữa các nguyên tử. Chúng ta kỳ vọng phân tử hydro trông ít nhiều như chỉ trong Hình 4–13.

Chúng ta muốn nhắc một hệ quả nữa của nguyên lý loại trừ. Bạn nhớ rằng nếu cả hai electron trong nguyên tử heli đều ở gần hạt nhân, spin của chúng nhất thiết ngược nhau. Bây giờ giả sử rằng chúng ta muốn thử sắp xếp để có cả hai electron với cùng spin — như chúng ta có thể xét việc làm bằng cách đặt một từ trường mạnh tới mức tưởng tượng vốn sẽ cố sắp xếp các spin theo cùng một hướng. Nhưng khi đó hai electron không thể chiếm cùng một trạng thái trong không gian. Một trong chúng sẽ phải chiếm một vị trí hình học khác, như chỉ trong Hình 4–14. Electron nằm xa hạt nhân hơn có năng lượng liên kết ít hơn. Năng lượng của toàn bộ nguyên tử do đó cao hơn khá nhiều. Nói cách khác, khi hai spin ngược nhau, có một lực hút tổng cộng mạnh hơn nhiều.

Vậy, có một lực biểu kiến, cực kỳ lớn cố gắng sắp xếp các spin ngược chiều nhau khi hai electron ở gần nhau. Nếu hai electron đang cố đi tới cùng một nơi, có một xu hướng rất mạnh để các spin trở thành xếp ngược chiều nhau. Lực biểu kiến này cố gắng định hướng hai spin ngược chiều nhau mạnh hơn nhiều so với lực nhỏ bé giữa hai mômen từ của các electron. Bạn nhớ khi chúng ta đang nói về hiện tượng sắt từ có bí ẩn là tại sao các electron trong các nguyên tử khác nhau có một xu hướng mạnh để xếp song song. Mặc dù vẫn chưa có sự giải thích định lượng, người ta tin rằng điều xảy ra là các electron quanh lõi của một nguyên tử tương tác thông qua nguyên lý loại trừ với các electron ngoài vốn đã trở nên tự do lang thang khắp tinh thể. Tương tác này khiến các spin của các electron tự do và các electron lớp trong có các hướng ngược nhau. Nhưng các electron tự do và các electron nguyên tử lớp trong chỉ có thể ngược nhau với điều kiện tất cả các electron lớp trong có cùng hướng spin, như chỉ trong Hình 4–15. Dường như có khả năng rằng chính hiệu ứng của nguyên lý loại trừ tác động gián tiếp thông qua các electron tự do làm nảy sinh các lực sắp xếp mạnh chịu trách nhiệm cho hiện tượng sắt từ.

Chúng ta sẽ nhắc một ví dụ nữa về ảnh hưởng của nguyên lý loại trừ. Chúng ta đã nói trước đây rằng các lực hạt nhân là như nhau giữa neutron và proton, giữa proton và proton, và giữa neutron và neutron. Vậy tại sao một proton và một neutron có thể dính lại với nhau để tạo thành một hạt nhân deuterium, trong khi không có hạt nhân nào chỉ với hai proton hay chỉ với hai neutron? Deuteron, thực tế, bị ràng buộc bởi một năng lượng khoảng 2,2 triệu electron vôn, vậy mà, không có liên kết tương ứng giữa một cặp proton để tạo thành một đồng vị của heli với trọng lượng nguyên tử 2. Các hạt nhân như vậy không tồn tại. Sự kết hợp của hai proton không tạo thành một trạng thái liên kết.

Đáp án là kết quả của hai hiệu ứng: thứ nhất, nguyên lý loại trừ; và thứ hai, sự thật rằng các lực hạt nhân hơi nhạy với hướng của spin. Lực giữa một neutron và một proton là hút và hơi mạnh hơn khi các spin song song so với khi chúng ngược nhau. Hóa ra các lực này vừa đủ khác nhau đến mức một deuteron chỉ có thể được tạo thành nếu neutron và proton có spin của chúng song song; khi spin của chúng ngược nhau, lực hút không đủ mạnh để ràng buộc chúng lại với nhau. Vì spin của neutron và proton mỗi cái là một phần hai và theo cùng một hướng, deuteron có spin bằng một. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng hai proton không được phép ngồi lên trên nhau nếu spin của chúng song song. Nếu không có nguyên lý loại trừ, hai proton sẽ bị ràng buộc, nhưng vì chúng không thể tồn tại ở cùng một nơi và với cùng các hướng spin, hạt nhân He² không tồn tại. Các proton có thể đến với nhau với spin của chúng ngược nhau, nhưng khi đó không có đủ liên kết để tạo thành một hạt nhân ổn định, bởi vì lực hạt nhân cho các spin ngược nhau quá yếu để ràng buộc một cặp nucleon. Lực hút giữa các neutron và proton có spin ngược nhau có thể được thấy bằng các thí nghiệm tán xạ. Các thí nghiệm tán xạ tương tự với hai proton có spin song song chỉ ra rằng có lực hút tương ứng. Vậy chính nguyên lý loại trừ giúp giải thích tại sao deuterium có thể tồn tại trong khi He² thì không.