Chương 12: Sự tách siêu tinh tế trong hydro

12–1  Các trạng thái cơ sở cho một hệ hai hạt spin một phần hai

Trong chương này, chúng ta xét “sự tách siêu tinh tế” của hydro, vì nó là một ví dụ vật lý thú vị về những gì chúng ta đã có thể làm với cơ học lượng tử. Nó là một ví dụ có nhiều hơn hai trạng thái, và nó sẽ minh họa các phương pháp của cơ học lượng tử khi áp dụng cho các bài toán hơi phức tạp hơn. Nó đủ phức tạp hơn đến mức một khi bạn thấy bài toán này được xử lý như thế nào, bạn có thể ngay lập tức khái quát hóa cho mọi loại bài toán.

Như bạn đã biết, nguyên tử hydro gồm một electron ở trong vùng lân cận của proton, nơi nó có thể tồn tại ở một trong một số trạng thái năng lượng rời rạc, trong mỗi trạng thái đó mô hình chuyển động của electron là khác nhau. Chẳng hạn, trạng thái kích thích đầu tiên nằm cao hơn trạng thái cơ bản 3/4 Rydberg, hay khoảng 10 electron volt. Nhưng ngay cả cái gọi là trạng thái cơ bản của hydro cũng không thực sự là một trạng thái đơn độc có năng lượng xác định, vì các spin của electron và proton. Các spin này gây ra “cấu trúc siêu tinh tế” trong các mức năng lượng, vốn tách mọi mức năng lượng thành vài mức gần như bằng nhau.

Electron có thể có spin “hướng lên” hay “hướng xuống”, và proton cũng có thể có spin của nó “hướng lên” hay “hướng xuống”. Do đó, có bốn trạng thái spin khả dĩ cho mỗi điều kiện động lực học của nguyên tử. Nghĩa là, khi người ta nói “trạng thái cơ bản” của hydro, họ thực sự muốn nói “bốn trạng thái cơ bản”, chứ không chỉ trạng thái thấp nhất. Bốn trạng thái spin không phải tất cả đều có đúng cùng một năng lượng; có những độ dịch chuyển nhỏ so với các năng lượng mà chúng ta sẽ kỳ vọng nếu không có spin. Tuy nhiên, các độ dịch chuyển này nhỏ hơn rất, rất nhiều so với khoảng 10 electron volt từ trạng thái cơ bản lên trạng thái tiếp theo ở trên. Hệ quả là, mỗi trạng thái động lực học có năng lượng của nó bị tách thành một tập hợp các mức năng lượng rất gần nhau — cái gọi là sự tách siêu tinh tế.

Các hiệu năng lượng giữa bốn trạng thái spin là điều chúng ta muốn tính trong chương này. Sự tách siêu tinh tế là do tương tác của các mômen từ của electron và proton, vốn cho một năng lượng từ hơi khác nhau cho mỗi trạng thái spin. Các độ dịch chuyển năng lượng này chỉ khoảng mười phần triệu của một electron volt — thực sự rất nhỏ so với 10 electron volt! Chính vì khoảng cách lớn này mà chúng ta có thể nghĩ về trạng thái cơ bản của hydro như một hệ “bốn trạng thái”, mà không phải lo về sự kiện là thực sự có nhiều trạng thái hơn nữa ở các năng lượng cao hơn. Ở đây chúng ta sẽ giới hạn mình vào việc nghiên cứu cấu trúc siêu tinh tế của trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro.

Đối với mục đích của chúng ta, chúng ta không quan tâm đến bất kỳ chi tiết nào về vị trí của electron và proton vì điều đó đã được nguyên tử tự giải quyết, có thể nói như vậy — nó đã tự giải quyết bằng cách đi vào trạng thái cơ bản. Chúng ta chỉ cần biết rằng chúng ta có một electron và một proton ở gần nhau với một quan hệ không gian xác định nào đó. Ngoài ra, chúng có thể có các định hướng tương đối khác nhau của các spin của chúng. Chỉ có hiệu ứng của các spin là điều chúng ta muốn xét.

Câu hỏi đầu tiên chúng ta phải trả lời là: Các trạng thái cơ sở cho hệ là gì? Bây giờ câu hỏi đã được đặt không đúng. Không có cái gọi là “các” trạng thái cơ sở, vì, dĩ nhiên, tập hợp các trạng thái cơ sở mà bạn có thể chọn là không duy nhất. Các tập hợp mới luôn có thể được tạo ra từ các tổ hợp tuyến tính của các tập hợp cũ. Luôn có nhiều lựa chọn cho các trạng thái cơ sở, và trong số chúng, bất kỳ lựa chọn nào cũng hợp lệ như nhau. Vì vậy câu hỏi không phải là tập cơ sở là gì, mà là một tập cơ sở có thể là gì? Chúng ta có thể chọn bất kỳ tập nào chúng ta muốn cho tiện lợi của mình. Thường tốt nhất là bắt đầu với một tập cơ sở rõ ràng nhất về mặt vật lý. Nó có thể không phải là nghiệm của bất kỳ bài toán nào, hoặc không có tầm quan trọng trực tiếp nào, nhưng nói chung nó sẽ làm cho dễ hiểu hơn điều gì đang xảy ra.

Chúng ta chọn bốn trạng thái cơ sở sau:

Trạng thái 1: Electron và proton đều spin “hướng lên”.
Trạng thái 2: Electron “hướng lên” và proton “hướng xuống”.
Trạng thái 3: Electron “hướng xuống” và proton “hướng lên”.
Trạng thái 4: Electron và proton đều “hướng xuống”.

Chúng ta cần một ký hiệu tiện lợi cho bốn trạng thái này, vì vậy chúng ta sẽ biểu diễn chúng như sau:

Trạng thái 1: |++⟩;  electron hướng lên, proton hướng lên
Trạng thái 2: |+−⟩;  electron hướng lên, proton hướng xuống
Trạng thái 3: |−+⟩;  electron hướng xuống, proton hướng lên
Trạng thái 4: |−−⟩;  electron hướng xuống, proton hướng xuống   (12.1)

Bạn sẽ phải nhớ rằng dấu cộng hay trừ thứ nhất chỉ electron và dấu thứ hai chỉ proton. Để tiện tra cứu, chúng ta cũng đã tóm tắt ký hiệu trong Hình 12–1. Đôi khi cũng sẽ tiện lợi khi gọi các trạng thái này là |1⟩, |2⟩, |3⟩ và |4⟩.

Bạn có thể nói, “Nhưng các hạt tương tác, và có thể đây không phải là các trạng thái cơ sở đúng. Nghe như thể bạn đang xét hai hạt một cách độc lập.” Đúng vậy! Tương tác đặt ra bài toán: Hamiltonian cho hệ là gì, nhưng tương tác không liên quan đến câu hỏi làm thế nào để mô tả hệ. Cái chúng ta chọn làm trạng thái cơ sở không có gì liên quan đến điều gì xảy ra tiếp theo. Có thể là nguyên tử không bao giờ có thể ở lại trong một trong các trạng thái cơ sở này, ngay cả khi nó bắt đầu như vậy. Đó là một câu hỏi khác. Đó là câu hỏi: Các biên độ thay đổi theo thời gian như thế nào trong một cơ sở (cố định) cụ thể? Khi chọn các trạng thái cơ sở, chúng ta chỉ đang chọn các “vectơ đơn vị” cho sự mô tả của chúng ta.

Trong khi đang nói về chủ đề này, hãy xét bài toán tổng quát của việc tìm một tập hợp các trạng thái cơ sở khi có nhiều hơn một hạt. Bạn biết các trạng thái cơ sở cho một hạt đơn độc. Chẳng hạn, một electron được mô tả hoàn toàn trong đời thực — không phải trong các trường hợp đơn giản hóa của chúng ta, mà trong đời thực — bằng cách cho các biên độ để ở trong mỗi trạng thái sau:

|electron “hướng lên” với động lượng p⟩
hoặc
|electron “hướng xuống” với động lượng p⟩.

Thực sự có hai tập hợp vô hạn các trạng thái, một trạng thái cho mỗi giá trị của p. Nghĩa là, một trạng thái electron |ψ⟩ được mô tả hoàn toàn nếu bạn biết tất cả các biên độ

⟨+, p|ψ⟩ và ⟨−, p|ψ⟩,

trong đó + và − biểu diễn các thành phần của mômen động lượng dọc theo một trục nào đó — thường là trục z — và p là động lượng vectơ. Do đó, phải có hai biên độ cho mỗi động lượng khả dĩ (một tập hợp đa-vô-hạn các trạng thái cơ sở). Đó là tất cả những gì cần để mô tả một hạt đơn độc.

Khi có nhiều hơn một hạt, các trạng thái cơ sở có thể được viết theo cách tương tự. Chẳng hạn, nếu có một electron và một proton trong một tình huống phức tạp hơn tình huống chúng ta đang xét, các trạng thái cơ sở có thể thuộc loại sau:

| electron spin “hướng lên” với động lượng p₁, proton spin “hướng xuống” với động lượng p₂ ⟩.

Và cứ thế cho các tổ hợp spin khác. Nếu có nhiều hơn hai hạt — cùng một ý tưởng. Vì vậy bạn thấy rằng việc viết ra các trạng thái cơ sở khả dĩ thực sự rất dễ. Bài toán duy nhất là, Hamiltonian là gì?

Đối với nghiên cứu của chúng ta về trạng thái cơ bản của hydro, chúng ta không cần dùng các tập hợp đầy đủ các trạng thái cơ sở cho các động lượng khác nhau. Chúng ta đang chỉ định các trạng thái động lượng cụ thể cho proton và electron khi chúng ta nói “trạng thái cơ bản”. Các chi tiết của cấu hình — các biên độ cho mọi trạng thái cơ sở động lượng — có thể được tính toán, nhưng đó là một bài toán khác. Bây giờ chúng ta chỉ quan tâm đến các hiệu ứng của spin, vì vậy chúng ta có thể chỉ lấy bốn trạng thái cơ sở của (12.1). Bài toán tiếp theo của chúng ta là: Hamiltonian cho tập hợp các trạng thái này là gì?

12–2  Hamiltonian cho trạng thái cơ bản của hydro

Chúng tôi sẽ cho bạn biết trong chốc lát nó là gì. Nhưng trước hết, chúng ta nên nhắc bạn một điều: bất kỳ trạng thái nào cũng luôn có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở. Đối với bất kỳ trạng thái |ψ⟩ nào, chúng ta có thể viết

|ψ⟩ = |++⟩⟨++|ψ⟩ + |+−⟩⟨+−|ψ⟩ + |−+⟩⟨−+|ψ⟩ + |−−⟩⟨−−|ψ⟩.   (12.2)

Nhớ rằng các bracket đầy đủ chỉ là các số phức, vì vậy chúng ta cũng có thể viết chúng theo cách thông thường là C_i, trong đó i = 1, 2, 3 hoặc 4, và viết Phương trình (12.2) như sau

|ψ⟩ = |++⟩C₁ + |+−⟩C₂ + |−+⟩C₃ + |−−⟩C₄.   (12.3)

Bằng cách cho bốn biên độ C_i, chúng ta mô tả hoàn toàn trạng thái spin |ψ⟩. Nếu bốn biên độ này thay đổi theo thời gian, như chúng sẽ thay đổi, tốc độ thay đổi theo thời gian được cho bởi toán tử Ĥ. Bài toán là tìm Ĥ.

Không có quy tắc tổng quát nào để viết ra Hamiltonian của một hệ nguyên tử, và việc tìm công thức đúng là một nghệ thuật nhiều hơn là việc tìm một tập hợp các trạng thái cơ sở. Chúng ta đã có thể cho bạn một quy tắc tổng quát để viết một tập hợp các trạng thái cơ sở cho bất kỳ bài toán nào về một proton và một electron, nhưng để mô tả Hamiltonian tổng quát của một tổ hợp như vậy là quá khó ở mức độ này. Thay vào đó, chúng tôi sẽ dẫn bạn tới một Hamiltonian bằng một số lập luận trực giác — và bạn sẽ phải chấp nhận nó là cái đúng vì các kết quả sẽ phù hợp với phép kiểm chứng của quan sát thực nghiệm.

Bạn sẽ nhớ rằng trong chương trước, chúng ta đã có thể mô tả Hamiltonian của một hạt đơn độc spin một phần hai bằng cách dùng các ma trận sigma — hay các toán tử sigma hoàn toàn tương đương. Các tính chất của các toán tử được tóm tắt trong Bảng 12–1. Các toán tử này — vốn chỉ là một cách viết tắt tiện lợi để theo dõi các phần tử ma trận thuộc loại ⟨+|σ_z|+⟩ — đã hữu ích cho việc mô tả hành vi của một hạt đơn độc spin một phần hai. Câu hỏi là: Chúng ta có thể tìm một thiết bị tương tự để mô tả một hệ có hai spin không? Câu trả lời là có, rất đơn giản, như sau. Chúng ta phát minh một thứ mà chúng ta sẽ gọi là “sigma electron”, mà chúng ta biểu diễn bằng toán tử vectơ σ^e, và nó có các thành phần x-, y- và z-, σ^e_x, σ^e_y, σ^e_z. Bây giờ chúng ta đặt quy ước rằng khi một trong các thứ này tác dụng lên bất kỳ trạng thái cơ sở nào trong bốn trạng thái cơ sở của nguyên tử hydro, nó chỉ tác dụng lên spin của electron, và đúng theo cùng cách như thể electron ở một mình. Ví dụ: σ^e_y|−+⟩ là gì? Vì σ_y trên một electron “hướng xuống” là −i lần trạng thái tương ứng với electron “hướng lên”,

σ^e_y|−+⟩ = −i|++⟩.

(Khi σ^e_y tác dụng lên trạng thái kết hợp, nó lật electron, nhưng không làm gì với proton và nhân kết quả với −i.) Tác dụng lên các trạng thái khác, σ^e_y sẽ cho

σ^e_y|++⟩ = i|−+⟩,
σ^e_y|+−⟩ = i|−−⟩,
σ^e_y|−−⟩ = −i|+−⟩.

Chỉ cần nhớ rằng các toán tử σ^e chỉ hoạt động trên ký hiệu spin thứ nhất — tức là, trên spin của electron.

Tiếp theo chúng ta định nghĩa toán tử tương ứng “sigma proton” cho spin của proton. Ba thành phần của nó σ^p_x, σ^p_y, σ^p_z tác dụng theo cùng cách như σ^e, chỉ khác là trên spin của proton. Chẳng hạn, nếu chúng ta có σ^p_x tác dụng lên mỗi trạng thái trong bốn trạng thái cơ sở, chúng ta được — luôn dùng Bảng 12–1 —

σ^p_x|++⟩ = |+−⟩,
σ^p_x|+−⟩ = |++⟩,
σ^p_x|−+⟩ = |−−⟩,
σ^p_x|−−⟩ = |−+⟩.

Như bạn thấy, nó không khó lắm.

Bây giờ trong trường hợp tổng quát nhất, chúng ta có thể có những thứ phức tạp hơn. Chẳng hạn, chúng ta có thể có các tích của hai toán tử như σ^e_yσ^p_z. Khi chúng ta có một tích như vậy, chúng ta làm trước điều toán tử ở bên phải nói, rồi làm điều toán tử kia nói.¹ Chẳng hạn, chúng ta sẽ có

σ^e_xσ^p_z|+−⟩ = σ^e_x(σ^p_z|+−⟩) = σ^e_x(−|+−⟩) = −σ^e_x|+−⟩ = −|−−⟩.

Để ý rằng các toán tử này không làm gì trên các số thuần túy — chúng ta đã dùng sự kiện này khi viết σ^e_x(−1) = (−1)σ^e_x. Chúng ta nói rằng các toán tử “giao hoán” với các số thuần túy, hay một số “có thể được di chuyển qua” toán tử. Bạn có thể luyện tập bằng cách chỉ ra rằng tích σ^e_xσ^p_z cho các kết quả sau cho bốn trạng thái:

σ^e_xσ^p_z|++⟩ = +|−+⟩,
σ^e_xσ^p_z|+−⟩ = −|−−⟩,
σ^e_xσ^p_z|−+⟩ = +|++⟩,
σ^e_xσ^p_z|−−⟩ = −|+−⟩.

Nếu chúng ta lấy mọi toán tử khả dĩ, dùng mỗi loại toán tử chỉ một lần, có mười sáu khả năng. Vâng, mười sáu — với điều kiện chúng ta cũng bao gồm “toán tử đơn vị” 1̂. Trước hết, có ba cái: σ^e_x, σ^e_y, σ^e_z. Rồi ba cái σ^p_x, σ^p_y, σ^p_z — thành sáu. Ngoài ra, có chín tích khả dĩ thuộc dạng σ^e_xσ^p_y, thành tổng cộng 15. Và có toán tử đơn vị, vốn chỉ để nguyên bất kỳ trạng thái nào. Tất cả là mười sáu.

Bây giờ để ý rằng đối với một hệ bốn trạng thái, ma trận Hamiltonian phải là một ma trận bốn-nhân-bốn các hệ số — nó sẽ có mười sáu phần tử. Người ta dễ dàng chứng minh rằng bất kỳ ma trận bốn-nhân-bốn nào — và, do đó, ma trận Hamiltonian nói riêng — có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của mười sáu ma trận spin-kép tương ứng với tập hợp các toán tử mà chúng ta vừa tạo ra. Do đó, đối với tương tác giữa một proton và một electron mà chỉ liên quan đến các spin của chúng, chúng ta có thể kỳ vọng rằng toán tử Hamiltonian có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của cùng 16 toán tử đó. Câu hỏi duy nhất là, như thế nào?

Vâng, trước hết, chúng ta biết rằng tương tác không phụ thuộc vào lựa chọn các trục cho một hệ tọa độ của chúng ta. Nếu không có nhiễu loạn bên ngoài nào — như một từ trường — để xác định một hướng duy nhất trong không gian, Hamiltonian không thể phụ thuộc vào lựa chọn của chúng ta về hướng của các trục x-, y- và z-. Điều đó có nghĩa là Hamiltonian không thể có một số hạng như σ^e_x đơn độc một mình. Điều đó sẽ thật vô lý, vì khi đó một người nào đó với một hệ tọa độ khác sẽ thu được các kết quả khác.

Các khả năng duy nhất là một số hạng với ma trận đơn vị, chẳng hạn một hằng số a (nhân với 1̂), và một tổ hợp nào đó của các sigma không phụ thuộc vào tọa độ — một tổ hợp “bất biến” nào đó. Tổ hợp bất biến vô hướng duy nhất của hai vectơ là tích vô hướng, mà đối với các σ của chúng ta là

σ^e·σ^p = σ^e_xσ^p_x + σ^e_yσ^p_y + σ^e_zσ^p_z.   (12.4)

Toán tử này bất biến đối với bất kỳ phép quay nào của hệ tọa độ. Vì vậy khả năng duy nhất cho một Hamiltonian có đối xứng đúng trong không gian là một hằng số nhân với ma trận đơn vị cộng với một hằng số nhân với tích vô hướng này, chẳng hạn,

Ĥ = E₀ + Aσ^e·σ^p.   (12.5)

Đó là Hamiltonian của chúng ta. Đó là thứ duy nhất mà nó có thể là, theo đối xứng của không gian, chừng nào không có trường bên ngoài. Số hạng hằng số không cho chúng ta biết nhiều; nó chỉ phụ thuộc vào mức mà chúng ta chọn để đo năng lượng từ đó. Chúng ta cũng có thể lấy E₀ = 0. Số hạng thứ hai cho chúng ta biết mọi điều chúng ta cần biết để tìm sự tách mức của hydro.

Nếu muốn, bạn có thể nghĩ về Hamiltonian theo một cách khác. Nếu có hai nam châm ở gần nhau với các mômen từ μ_e và μ_p, năng lượng tương hỗ sẽ phụ thuộc vào μ_e·μ_p — bên cạnh những thứ khác. Và, bạn nhớ, chúng ta đã tìm thấy rằng cái mà theo cổ điển chúng ta gọi là μ_e xuất hiện trong cơ học lượng tử dưới dạng μ_eσ^e. Tương tự, cái xuất hiện theo cổ điển là μ_p thường sẽ hóa ra trong cơ học lượng tử là μ_pσ^p (trong đó μ_p là mômen từ của proton, vốn khoảng 1000 lần nhỏ hơn μ_e, và có dấu ngược lại). Vì vậy Phương trình (12.5) nói rằng năng lượng tương tác giống như tương tác giữa hai nam châm — chỉ không hẳn vậy, vì tương tác của hai nam châm phụ thuộc vào khoảng cách xuyên tâm giữa chúng. Nhưng Phương trình (12.5) có thể là — và, thực tế, đúng là — một loại tương tác trung bình nào đó. Electron đang chuyển động khắp nơi bên trong nguyên tử, và Hamiltonian của chúng ta chỉ cho năng lượng tương tác trung bình. Tất cả những gì nó nói là rằng đối với một sự sắp xếp quy định trong không gian cho electron và proton, có một năng lượng tỉ lệ với cosin của góc giữa hai mômen từ, nói theo cổ điển. Một bức tranh định tính cổ điển như vậy có thể giúp bạn hiểu nó đến từ đâu, nhưng điều quan trọng là Phương trình (12.5) là công thức cơ học lượng tử đúng.

Cấp độ lớn của tương tác cổ điển giữa hai nam châm sẽ là tích của hai mômen từ chia cho lập phương của khoảng cách giữa chúng. Khoảng cách giữa electron và proton trong nguyên tử hydro, nói một cách thô, là một nửa bán kính nguyên tử, hay 0,5 angstrom. Do đó, có thể đưa ra một ước lượng thô rằng hằng số A nên xấp xỉ bằng tích của hai mômen từ μ_e và μ_p chia cho lập phương của 1/2 angstrom. Một ước lượng như vậy cho một con số ở đúng vùng lân cận [“right ballpark”]. Hóa ra A có thể được tính chính xác một khi bạn hiểu lý thuyết lượng tử hoàn chỉnh của nguyên tử hydro — điều mà cho đến nay chúng ta chưa hiểu. Thực tế, nó đã được tính tới độ chính xác khoảng 30 phần trong một triệu. Vì vậy, không giống như hằng số lật-lật [flip-flop] A của phân tử amoniac, vốn không thể được tính tốt chút nào bằng một lý thuyết, hằng số A của chúng ta cho hydro có thể được tính từ một lý thuyết chi tiết hơn. Nhưng mặc kệ, đối với mục đích hiện tại của chúng ta, chúng ta sẽ nghĩ về A như một con số có thể được xác định bằng thực nghiệm, và phân tích vật lý của tình huống.

Lấy Hamiltonian của Phương trình (12.5), chúng ta có thể dùng nó cùng với phương trình

iħ Ċ_i = Σ_j H_ijC_j   (12.6)

để tìm ra các tương tác spin làm gì với các mức năng lượng. Để làm điều đó, chúng ta cần tính ra mười sáu phần tử ma trận H_ij = ⟨i|H|j⟩ tương ứng với mỗi cặp trong bốn trạng thái cơ sở ở (12.1).

Chúng ta bắt đầu bằng cách tính ra Ĥ|j⟩ là gì đối với mỗi trạng thái trong bốn trạng thái cơ sở. Chẳng hạn,

Ĥ|++⟩ = Aσ^e·σ^p|++⟩ = A{σ^e_xσ^p_x + σ^e_yσ^p_y + σ^e_zσ^p_z}|++⟩.   (12.7)

Dùng phương pháp chúng ta đã mô tả một chút trước đây — nó dễ nếu bạn đã thuộc Bảng 12–1 — chúng ta tìm được mỗi cặp σ làm gì trên |++⟩. Đáp án là

σ^e_xσ^p_x|++⟩ = +|−−⟩,
σ^e_yσ^p_y|++⟩ = −|−−⟩,
σ^e_zσ^p_z|++⟩ = +|++⟩.   (12.8)

Vì vậy (12.7) trở thành

Ĥ|++⟩ = A{|−−⟩ − |−−⟩ + |++⟩} = A|++⟩.   (12.9)

Vì bốn trạng thái cơ sở của chúng ta đều trực giao, điều đó cho chúng ta ngay rằng

⟨++|H|++⟩ = A⟨++|++⟩ = A,
⟨+−|H|++⟩ = A⟨+−|++⟩ = 0,
⟨−+|H|++⟩ = A⟨−+|++⟩ = 0,
⟨−−|H|++⟩ = A⟨−−|++⟩ = 0.   (12.10)

Nhớ rằng ⟨j|H|i⟩ = ⟨i|H|j⟩*, chúng ta đã có thể viết ra phương trình vi phân cho các biên độ C₁:

iħĊ₁ = H₁₁C₁ + H₁₂C₂ + H₁₃C₃ + H₁₄C₄

hay

iħĊ₁ = AC₁.   (12.11)

Chỉ có thế! Chúng ta chỉ được một số hạng duy nhất.

Bây giờ để có phần còn lại của các phương trình Hamiltonian, chúng ta phải thực hiện cùng thủ tục cho Ĥ tác dụng lên các trạng thái khác. Trước hết, chúng tôi sẽ để bạn luyện tập bằng cách kiểm tra mọi tích sigma chúng ta đã viết trong Bảng 12–2. Sau đó chúng ta có thể dùng chúng để được:

Ĥ|+−⟩ = A{2|−+⟩ − |+−⟩},
Ĥ|−+⟩ = A{2|+−⟩ − |−+⟩},
Ĥ|−−⟩ = A|−−⟩.   (12.12)

Sau đó, nhân mỗi cái lần lượt ở bên trái với mọi vectơ trạng thái khác, chúng ta được ma trận Hamiltonian sau đây, H_ij:

H_ij =

  (12.13)

Nó có nghĩa, dĩ nhiên, không gì hơn là các phương trình vi phân của chúng ta cho bốn biên độ C_i là

iħĊ₁ = AC₁,
iħĊ₂ = −AC₂ + 2AC₃,
iħĊ₃ = 2AC₂ − AC₃,
iħĊ₄ = AC₄.   (12.14)

Trước khi giải các phương trình này, chúng ta không thể cưỡng lại việc cho bạn biết về một quy tắc khéo léo của Dirac — nó sẽ làm bạn cảm thấy rằng bạn thực sự đã tiến bộ — mặc dù chúng ta không cần nó cho công việc của mình. Chúng ta có — từ các phương trình (12.9) và (12.12) — rằng

σ^e·σ^p|++⟩ = |++⟩,
σ^e·σ^p|+−⟩ = 2|−+⟩ − |+−⟩,
σ^e·σ^p|−+⟩ = 2|+−⟩ − |−+⟩,
σ^e·σ^p|−−⟩ = |−−⟩.   (12.15)

Nhìn này, Dirac nói, tôi cũng có thể viết phương trình thứ nhất và phương trình cuối như sau

σ^e·σ^p|++⟩ = 2|++⟩ − |++⟩,
σ^e·σ^p|−−⟩ = 2|−−⟩ − |−−⟩;

sau đó tất cả chúng khá giống nhau. Bây giờ tôi phát minh một toán tử mới, mà tôi sẽ gọi là P_{hoán đổi spin} (P_{spin exch}) và mà tôi định nghĩa có các tính chất sau:²

P_{spin exch}|++⟩ = |++⟩,
P_{spin exch}|+−⟩ = |−+⟩,
P_{spin exch}|−+⟩ = |+−⟩,
P_{spin exch}|−−⟩ = |−−⟩.

Tất cả những gì toán tử làm là hoán đổi các hướng spin của hai hạt. Khi đó tôi có thể viết toàn bộ tập hợp các phương trình trong (12.15) dưới dạng một phương trình toán tử đơn giản:

σ^e·σ^p = 2P_{spin exch} − 1.   (12.16)

Đó là công thức của Dirac. “Toán tử hoán đổi spin” của ông cho một quy tắc tiện lợi để tính ra σ^e·σ^p. (Bạn thấy đấy, bây giờ bạn có thể làm mọi thứ. Các cánh cổng đã mở.)

12–3  Các mức năng lượng

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng tính ra các mức năng lượng của trạng thái cơ bản của hydro bằng cách giải các phương trình Hamiltonian (12.14). Chúng ta muốn tìm các năng lượng của các trạng thái dừng. Điều này có nghĩa là chúng ta muốn tìm các trạng thái đặc biệt |ψ⟩ mà đối với chúng mỗi biên độ C_i = ⟨i|ψ⟩ trong tập hợp thuộc về |ψ⟩ có cùng sự phụ thuộc vào thời gian — cụ thể là e^−iωt. Khi đó trạng thái sẽ có năng lượng E = ħω. Vì vậy chúng ta muốn một tập hợp mà đối với nó

C_i = a_ie^−(i/ħ)Et,   (12.17)

trong đó bốn hệ số a_i không phụ thuộc vào thời gian. Để xem liệu chúng ta có thể có các biên độ như vậy không, chúng ta thay (12.17) vào Phương trình (12.14) và xem điều gì xảy ra. Mỗi iħ dC/dt trong Phương trình (12.14) biến thành EC, và — sau khi khử thừa số mũ chung — mỗi C trở thành một a; chúng ta được

Ea₁ = Aa₁,
Ea₂ = −Aa₂ + 2Aa₃,
Ea₃ = 2Aa₂ − Aa₃,
Ea₄ = Aa₄,   (12.18)

mà chúng ta phải giải cho a₁, a₂, a₃ và a₄. Thật tuyệt là phương trình thứ nhất độc lập với phần còn lại — điều đó có nghĩa là chúng ta có thể thấy ngay một nghiệm. Nếu chúng ta chọn E = A,

a₁ = 1, a₂ = a₃ = a₄ = 0,

cho một nghiệm. (Dĩ nhiên, lấy mọi a đều bằng không cũng cho một nghiệm, nhưng đó chẳng phải là trạng thái nào cả!) Hãy gọi nghiệm đầu tiên của chúng ta là trạng thái |I⟩:³

|I⟩ = |1⟩ = |++⟩.   (12.19)

Năng lượng của nó là

E_I = A.

Với manh mối đó, bạn có thể ngay lập tức thấy một nghiệm khác từ phương trình cuối trong (12.18):

a₁ = a₂ = a₃ = 0, a₄ = 1, E = A.

Chúng ta sẽ gọi nghiệm đó là trạng thái |II⟩:

|II⟩ = |4⟩ = |−−⟩,    E_II = A.   (12.20)

Bây giờ nó khó hơn một chút; hai phương trình còn lại trong (12.18) bị trộn lẫn với nhau. Nhưng chúng ta đã làm tất cả điều này trước đây. Cộng hai phương trình, chúng ta được

E(a₂ + a₃) = A(a₂ + a₃).   (12.21)

Trừ đi, chúng ta có

E(a₂ − a₃) = −3A(a₂ − a₃).   (12.22)

Bằng cách nhìn — và nhớ tới amoniac — chúng ta thấy rằng có hai nghiệm:

a₂ = a₃, E = A; và a₂ = −a₃, E = −3A.   (12.23)

Chúng là các hỗn hợp của |2⟩ và |3⟩. Gọi các trạng thái này là |III⟩ và |IV⟩, và đưa vào một thừa số 1/√2 để làm cho các trạng thái được chuẩn hóa đúng, chúng ta có

|III⟩ = (1/√2)(|2⟩ + |3⟩) = (1/√2)(|+−⟩ + |−+⟩),    E_III = A   (12.24)

và

|IV⟩ = (1/√2)(|2⟩ − |3⟩) = (1/√2)(|+−⟩ − |−+⟩),    E_IV = −3A.   (12.25)

Chúng ta đã tìm được bốn trạng thái dừng và các năng lượng của chúng. Để ý, nhân tiện, rằng bốn trạng thái của chúng ta trực giao, vì vậy chúng cũng có thể được dùng làm trạng thái cơ sở nếu muốn. Bài toán của chúng ta đã được giải quyết hoàn toàn. Ba trạng thái có năng lượng A, và trạng thái cuối có năng lượng −3A. Trung bình là không — điều đó có nghĩa là khi chúng ta lấy E₀ = 0 trong Phương trình (12.5), chúng ta đã chọn đo mọi năng lượng từ năng lượng trung bình. Chúng ta có thể vẽ sơ đồ mức năng lượng cho trạng thái cơ bản của hydro như trong Hình 12–2.

Bây giờ hiệu năng lượng giữa trạng thái |IV⟩ và bất kỳ trạng thái nào trong các trạng thái còn lại là 4A. Một nguyên tử tình cờ đã đi vào trạng thái |I⟩ có thể rơi từ đó xuống trạng thái |IV⟩ và phát ra ánh sáng. Không phải ánh sáng quang học, vì năng lượng quá nhỏ — nó sẽ phát ra một lượng tử vi sóng. Hoặc, nếu chúng ta chiếu vi sóng lên khí hydro, chúng ta sẽ thấy một sự hấp thụ năng lượng khi các nguyên tử trong trạng thái |IV⟩ lấy năng lượng và đi lên một trong các trạng thái ở trên — nhưng chỉ ở tần số ω = 4A/ħ. Tần số này đã được đo bằng thực nghiệm; kết quả tốt nhất, thu được rất gần đây,⁴ là

f = ω/2π = (1.420.405.751,800 ± 0,028) chu kỳ mỗi giây.   (12.26)

Sai số chỉ là hai phần trong 100 tỷ! Có lẽ không có đại lượng vật lý cơ bản nào được đo tốt hơn thế — nó là một trong những phép đo chính xác đáng chú ý nhất trong vật lý. Các nhà lý thuyết rất vui vì họ có thể tính năng lượng tới độ chính xác 3 phần trong 10⁵, nhưng trong khi đó nó đã được đo tới 2 phần trong 10¹¹ — chính xác hơn lý thuyết một triệu lần. Vì vậy các nhà thực nghiệm đang đi trước các nhà lý thuyết rất xa. Trong lý thuyết về trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro, bạn cũng giỏi như bất kỳ ai. Bạn, cũng vậy, có thể chỉ lấy giá trị của A từ thực nghiệm — đó là điều mọi người đều phải làm cuối cùng.

Bạn có lẽ đã từng nghe nói về “vạch 21 centimet” của hydro. Đó là bước sóng của vạch phổ 1420 megachu kỳ [megacycle] giữa các trạng thái siêu tinh tế. Bức xạ có bước sóng này được phát ra hay hấp thụ bởi khí hydro nguyên tử trong các thiên hà. Vì vậy với các kính thiên văn vô tuyến được chỉnh tới sóng 21 cm (hay khoảng 1420 megachu kỳ) chúng ta có thể quan sát các vận tốc và vị trí của các vùng tập trung khí hydro nguyên tử. Bằng cách đo cường độ, chúng ta có thể ước lượng lượng hydro. Bằng cách đo độ dịch chuyển tần số do hiệu ứng Doppler, chúng ta có thể tìm ra chuyển động của khí trong thiên hà. Đó là một trong những chương trình lớn của thiên văn vô tuyến. Vì vậy bây giờ chúng ta đang nói về một cái gì đó rất thực — nó không phải là một bài toán nhân tạo.

12–4  Sự tách Zeeman

Mặc dù chúng ta đã hoàn thành bài toán tìm các mức năng lượng của trạng thái cơ bản của hydro, chúng ta muốn nghiên cứu hệ thú vị này thêm nữa. Để nói được bất cứ điều gì thêm về nó — chẳng hạn, để tính tốc độ mà nguyên tử hydro hấp thụ hay phát ra sóng vô tuyến ở 21 centimet — chúng ta phải biết điều gì xảy ra khi nguyên tử bị nhiễu loạn. Chúng ta phải làm như chúng ta đã làm đối với phân tử amoniac — sau khi tìm các mức năng lượng, chúng ta tiếp tục và nghiên cứu điều gì xảy ra khi phân tử ở trong một điện trường. Khi đó chúng ta đã có thể tính ra các hiệu ứng từ điện trường trong một sóng vô tuyến. Đối với nguyên tử hydro, điện trường không làm gì với các mức, ngoại trừ việc dịch chuyển tất cả chúng đi một lượng hằng số nào đó tỉ lệ với bình phương của trường — điều đó không có gì thú vị vì nó sẽ không thay đổi các hiệu năng lượng. Bây giờ chính từ trường mới quan trọng. Vì vậy bước tiếp theo là viết Hamiltonian cho một tình huống phức tạp hơn, trong đó nguyên tử ngồi trong một từ trường bên ngoài.

Vậy thì, Hamiltonian là gì? Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn đáp án, vì chúng tôi không thể cho bạn bất kỳ “chứng minh” nào ngoại trừ việc nói rằng đây là cách nguyên tử hoạt động. Hamiltonian là

Ĥ = A(σ^e·σ^p) − μ_eσ^e·B − μ_pσ^p·B.   (12.27)

Bây giờ nó gồm ba phần. Số hạng thứ nhất Aσ^e·σ^p biểu diễn tương tác từ giữa electron và proton — nó là cùng số hạng sẽ có ở đó nếu không có từ trường. Đây là số hạng chúng ta đã có; và ảnh hưởng của từ trường lên hằng số A là không đáng kể. Hiệu ứng của từ trường bên ngoài xuất hiện trong hai số hạng cuối. Số hạng thứ hai, −μ_eσ^e·B, là năng lượng electron sẽ có trong từ trường nếu nó ở đó một mình.⁵ Theo cùng cách, số hạng cuối −μ_pσ^p·B, sẽ là năng lượng của một proton đơn độc. Theo cổ điển, năng lượng của cả hai cùng nhau sẽ là tổng của hai cái, và điều đó cũng đúng theo cơ học lượng tử. Trong một từ trường, năng lượng tương tác do từ trường chỉ là tổng của năng lượng tương tác của electron với trường bên ngoài, và của proton với trường — cả hai đều được biểu diễn theo các toán tử sigma. Trong cơ học lượng tử, các số hạng này không thực sự là các năng lượng, nhưng việc nghĩ về các công thức cổ điển cho năng lượng là một cách để nhớ các quy tắc viết ra Hamiltonian. Dù sao, Hamiltonian đúng là Phương trình (12.27).

Bây giờ chúng ta phải quay lại từ đầu và làm lại bài toán từ đầu. Tuy nhiên, phần lớn công việc đã được làm — chúng ta chỉ cần cộng thêm các hiệu ứng của các số hạng mới. Hãy lấy một từ trường không đổi B theo hướng z. Khi đó chúng ta phải cộng vào toán tử Hamiltonian Ĥ của chúng ta hai mảnh mới — mà chúng ta có thể gọi là Ĥ′:

Ĥ′ = −(μ_eσ^e_z + μ_pσ^p_z)B.

Dùng Bảng 12–1, chúng ta được ngay rằng

Ĥ′|++⟩ = −(μ_e + μ_p)B|++⟩,
Ĥ′|+−⟩ = −(μ_e − μ_p)B|+−⟩,
Ĥ′|−+⟩ = −(−μ_e + μ_p)B|−+⟩,
Ĥ′|−−⟩ = (μ_e + μ_p)B|−−⟩.   (12.28)

Thật tiện lợi làm sao! Ĥ′ tác dụng lên mỗi trạng thái chỉ cho một số nhân với trạng thái đó. Do đó, ma trận ⟨i|H′|j⟩ chỉ có các phần tử đường chéo — chúng ta có thể chỉ cộng các hệ số trong (12.28) vào các số hạng đường chéo tương ứng của (12.13), và các phương trình Hamiltonian của (12.14) trở thành

iħ dC₁/dt = {A − (μ_e + μ_p)B}C₁,
iħ dC₂/dt = −{A + (μ_e − μ_p)B}C₂ + 2AC₃,
iħ dC₃/dt = 2AC₂ − {A − (μ_e − μ_p)B}C₃,
iħ dC₄/dt = {A + (μ_e + μ_p)B}C₄.   (12.29)

Dạng của các phương trình không khác — chỉ các hệ số. Chừng nào B không thay đổi theo thời gian, chúng ta có thể tiếp tục như chúng ta đã làm trước đây. Thay C_i = a_ie^−(i/ħ)Et, chúng ta được — như một sự sửa đổi của (12.18) —

Ea₁ = {A − (μ_e + μ_p)B}a₁,
Ea₂ = −{A + (μ_e − μ_p)B}a₂ + 2Aa₃,
Ea₃ = 2Aa₂ − {A − (μ_e − μ_p)B}a₃,
Ea₄ = {A + (μ_e + μ_p)B}a₄.   (12.30)

May mắn thay, phương trình thứ nhất và thứ tư vẫn độc lập với phần còn lại, vì vậy cùng một kỹ thuật lại hoạt động. Một nghiệm là trạng thái |I⟩ mà đối với nó a₁ = 1, a₂ = a₃ = a₄ = 0, hay

|I⟩ = |1⟩ = |++⟩, với E_I = A − (μ_e + μ_p)B.   (12.31)

Một nghiệm khác là

|II⟩ = |4⟩ = |−−⟩, với E_II = A + (μ_e + μ_p)B.   (12.32)

Cần thêm một ít công việc cho hai phương trình còn lại, vì các hệ số của a₂ và a₃ không còn bằng nhau. Nhưng chúng giống hệt cặp phương trình chúng ta đã có cho phân tử amoniac. Nhìn lại Phương trình (9.20), chúng ta có thể lập tương tự sau đây (nhớ rằng các nhãn 1 và 2 ở đó tương ứng với 2 và 3 ở đây):

H₁₁ → −A − (μ_e − μ_p)B,
H₁₂ → 2A,
H₂₁ → 2A,
H₂₂ → −A + (μ_e − μ_p)B.   (12.33)

Khi đó các năng lượng được cho bởi (9.25), vốn là

E = (H₁₁ + H₂₂)/2 ± √[((H₁₁ − H₂₂)²)/4 + H₁₂H₂₁].   (12.34)

Thực hiện các phép thay từ (12.33), công thức năng lượng trở thành

E = −A ± √[(μ_e − μ_p)²B² + 4A²].

Mặc dù trong Chương 9 chúng ta thường gọi các năng lượng này là E_I và E_II, và trong bài toán này chúng ta gọi chúng là E_III và E_IV,

E_III = A{−1 + 2√[1 + (μ_e − μ_p)²B²/4A²]},
E_IV = −A{1 + 2√[1 + (μ_e − μ_p)²B²/4A²]}.   (12.35)

Vì vậy chúng ta đã tìm được các năng lượng của bốn trạng thái dừng của một nguyên tử hydro trong một từ trường không đổi. Hãy kiểm tra các kết quả của chúng ta bằng cách cho B tiến tới không và xem liệu chúng ta có được cùng các năng lượng chúng ta đã có trong mục trước không. Bạn thấy rằng chúng ta có. Đối với B = 0, các năng lượng E_I, E_II và E_III tiến tới +A, và E_IV tiến tới −3A. Ngay cả cách ghi nhãn các trạng thái của chúng ta cũng phù hợp với cái chúng ta đã gọi chúng trước đây. Tuy nhiên, khi chúng ta bật từ trường lên, mọi năng lượng thay đổi theo một cách khác nhau. Hãy xem chúng đi như thế nào. Trước hết, chúng ta phải nhớ rằng đối với electron, μ_e là âm, và khoảng 1000 lần lớn hơn μ_p — vốn dương. Vì vậy μ_e + μ_p và μ_e − μ_p đều là các số âm, và gần như bằng nhau. Hãy gọi chúng là −μ và −μ′:

μ = −(μ_e + μ_p),    μ′ = −(μ_e − μ_p).   (12.36)

(Cả μ và μ′ đều là các số dương, gần bằng độ lớn của μ_e — vốn khoảng một magneton Bohr.) Khi đó bốn năng lượng của chúng ta là

E_I = A + μB,
E_II = A − μB,
E_III = A{−1 + 2√[1 + μ′²B²/4A²]},
E_IV = −A{1 + 2√[1 + μ′²B²/4A²]}.   (12.37)

Năng lượng E_I bắt đầu ở A và tăng tuyến tính theo B — với độ dốc μ. Năng lượng E_II cũng bắt đầu ở A nhưng giảm tuyến tính theo B tăng — độ dốc của nó là −μ. Hai mức này biến thiên theo B như trong Hình 12–3. Chúng ta cũng chỉ trong hình các năng lượng E_III và E_IV. Chúng có sự phụ thuộc vào B khác. Đối với B nhỏ, chúng phụ thuộc bậc hai vào B, vì vậy chúng bắt đầu với các độ dốc nằm ngang. Sau đó chúng bắt đầu cong, và đối với B lớn chúng tiến tới các đường thẳng với các độ dốc ±μ′, vốn gần như cùng các độ dốc của E_I và E_II.

Sự dịch chuyển của các mức năng lượng của một nguyên tử do một từ trường được gọi là hiệu ứng Zeeman. Chúng ta nói rằng các đường cong trong Hình 12–3 chỉ sự tách Zeeman của trạng thái cơ bản của hydro. Khi không có từ trường, chúng ta chỉ được một vạch phổ từ cấu trúc siêu tinh tế của hydro. Các chuyển dời giữa trạng thái |IV⟩ và bất kỳ trạng thái nào trong các trạng thái còn lại xảy ra với sự hấp thụ hay phát xạ một photon mà tần số 1420 megachu kỳ của nó là 1/h lần hiệu năng lượng 4A. Tuy nhiên, khi nguyên tử ở trong một từ trường B, có nhiều vạch hơn nữa. Có thể có các chuyển dời giữa bất kỳ hai trạng thái nào trong bốn trạng thái. Vì vậy nếu chúng ta có các nguyên tử ở cả bốn trạng thái, năng lượng có thể được hấp thụ — hay phát xạ — trong bất kỳ chuyển dời nào trong sáu chuyển dời được chỉ bởi các mũi tên thẳng đứng trong Hình 12–4. Nhiều chuyển dời trong số này có thể được quan sát bằng kỹ thuật chùm phân tử Rabi mà chúng ta đã mô tả trong Tập II, Mục 35–3.

Điều gì làm cho các chuyển dời xảy ra? Các chuyển dời sẽ xảy ra nếu bạn áp một từ trường nhiễu loạn nhỏ biến thiên theo thời gian (thêm vào trường mạnh ổn định B). Nó giống hệt như chúng ta đã thấy đối với một điện trường biến thiên trên phân tử amoniac. Chỉ ở đây, chính từ trường ghép nối với các mômen từ và làm nên chuyện. Nhưng lý thuyết diễn ra theo cùng cách chúng ta đã làm cho amoniac. Lý thuyết đơn giản nhất nếu bạn lấy một từ trường nhiễu loạn quay trong mặt phẳng xy — mặc dù bất kỳ trường dao động nằm ngang nào cũng được. Khi bạn đưa trường nhiễu loạn này vào như một số hạng bổ sung trong Hamiltonian, bạn được các nghiệm trong đó các biên độ biến thiên theo thời gian — như chúng ta đã tìm cho phân tử amoniac. Vì vậy bạn có thể tính dễ dàng và chính xác xác suất của một chuyển dời từ một trạng thái này sang một trạng thái khác. Và bạn thấy rằng tất cả đều phù hợp với thực nghiệm.

12–5  Các trạng thái trong một từ trường

Bây giờ chúng ta muốn thảo luận về hình dạng của các đường cong trong Hình 12–3. Trước hết, các năng lượng đối với các trường lớn thì dễ hiểu, và khá thú vị. Đối với B đủ lớn (cụ thể là đối với μB/A ≫ 1) chúng ta có thể bỏ qua số 1 trong các công thức của (12.37). Bốn năng lượng trở thành

E_I = A + μB,    E_II = A − μB,
E_III = −A + μ′B,    E_IV = −A − μ′B.   (12.38)

Đây là các phương trình của bốn đường thẳng trong Hình 12–3. Chúng ta có thể hiểu các năng lượng này về mặt vật lý theo cách sau. Bản chất của các trạng thái dừng trong một trường bằng không được xác định hoàn toàn bởi tương tác của hai mômen từ. Các hỗn hợp của các trạng thái cơ sở |+−⟩ và |−+⟩ trong các trạng thái dừng |III⟩ và |IV⟩ là do tương tác này. Tuy nhiên, trong các trường bên ngoài lớn, proton và electron sẽ hầu như không bị ảnh hưởng chút nào bởi trường của cái kia; mỗi cái sẽ hành động như thể nó ở một mình trong trường bên ngoài. Khi đó — như chúng ta đã thấy nhiều lần — spin của electron sẽ hoặc song song hoặc đối song với từ trường bên ngoài.

Giả sử spin của electron “hướng lên” — tức là dọc theo trường; năng lượng của nó sẽ là −μ_eB. Proton vẫn có thể hoặc thế này hoặc thế kia. Nếu spin của proton cũng “hướng lên”, năng lượng của nó là −μ_pB. Tổng của hai cái là −(μ_e + μ_p)B = μB. Đó chính là điều chúng ta tìm cho E_I — điều đó tốt, vì chúng ta đang mô tả trạng thái |++⟩ = |I⟩. Vẫn còn số hạng bổ sung nhỏ A (bây giờ μB ≫ A) vốn biểu diễn năng lượng tương tác của proton và electron khi các spin của chúng song song. (Ban đầu chúng ta lấy A là dương vì lý thuyết mà chúng ta đã nói tới bảo nó nên như vậy, và thực nghiệm quả thực là như vậy.) Mặt khác, proton có thể có spin hướng xuống. Khi đó năng lượng của nó trong trường bên ngoài thành +μ_pB, vì vậy nó và electron có năng lượng −(μ_e − μ_p)B = μ′B. Và năng lượng tương tác trở thành −A. Tổng là chính năng lượng E_III, trong (12.38). Vì vậy trạng thái |III⟩ đối với các trường lớn phải trở thành trạng thái |+−⟩.

Bây giờ giả sử spin của electron “hướng xuống”. Năng lượng của nó trong trường bên ngoài là μ_eB. Nếu proton cũng “hướng xuống”, cả hai cùng nhau có năng lượng (μ_e + μ_p)B = −μB, cộng với năng lượng tương tác A — vì các spin của chúng song song. Điều đó tạo thành chính năng lượng E_II trong (12.38) và tương ứng với trạng thái |−−⟩ = |II⟩ — thật tuyệt. Cuối cùng, nếu electron “hướng xuống” và proton “hướng lên”, chúng ta được năng lượng (μ_e − μ_p)B − A (−A cho tương tác vì các spin đối nhau) vốn chính là E_IV. Và trạng thái tương ứng với |−+⟩.

“Nhưng, đợi một chút!”, bạn có lẽ đang nói, “Các trạng thái |III⟩ và |IV⟩ không phải là các trạng thái |+−⟩ và |−+⟩; chúng là các hỗn hợp của hai cái.” Vâng, chỉ một chút thôi. Chúng quả thực là các hỗn hợp đối với B = 0, nhưng chúng ta chưa tính ra chúng là gì đối với B lớn. Khi chúng ta dùng các tương tự của (12.33) trong các công thức của Chương 9 để được các năng lượng của các trạng thái dừng, chúng ta cũng có thể đã lấy các biên độ đi kèm với chúng. Chúng đến từ Phương trình (9.24), vốn là

a₂/a₃ = (E − H₂₂)/H₂₁.

Tỉ số a₂/a₃, dĩ nhiên, chỉ là C₂/C₃. Thay vào các đại lượng tương tự từ (12.33), chúng ta được

C₂/C₃ = [E + A − (μ_e − μ_p)B]/(2A)   hay   C₂/C₃ = (E + A + μ′B)/(2A),   (12.39)

trong đó đối với E chúng ta phải dùng năng lượng thích hợp — hoặc E_III hoặc E_IV. Chẳng hạn, đối với trạng thái |III⟩ chúng ta có

(C₂/C₃)_III ≈ μ′B/A.   (12.40)

Vì vậy đối với B lớn, trạng thái |III⟩ có C₂ ≫ C₃; trạng thái trở thành gần như hoàn toàn trạng thái |2⟩ = |+−⟩. Tương tự, nếu chúng ta đưa E_IV vào (12.39) chúng ta được (C₂/C₃)_IV ≪ 1; đối với các trường cao, trạng thái |IV⟩ trở thành chỉ trạng thái |3⟩ = |−+⟩. Bạn thấy rằng các hệ số trong các tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở của chúng ta vốn tạo thành các trạng thái dừng phụ thuộc vào B. Trạng thái chúng ta gọi là |III⟩ là một hỗn hợp 50–50 của |+−⟩ và |−+⟩ ở các trường rất thấp, nhưng chuyển hoàn toàn sang |+−⟩ ở các trường cao. Tương tự, trạng thái |IV⟩, vốn ở các trường thấp cũng là một hỗn hợp 50–50 (với các dấu ngược lại) của |+−⟩ và |−+⟩, chuyển sang trạng thái |−+⟩ khi các spin bị tách rời bởi một trường bên ngoài mạnh.

Chúng ta cũng muốn đặc biệt lưu ý bạn tới điều gì xảy ra ở các từ trường rất thấp. Có một năng lượng — ở −3A — vốn không thay đổi khi bạn bật một từ trường nhỏ lên. Và có một năng lượng khác — ở +A — vốn tách thành ba mức năng lượng khác nhau khi bạn bật một từ trường nhỏ lên. Đối với các trường yếu, các năng lượng biến thiên theo B như trong Hình 12–5. Giả sử chúng ta bằng cách nào đó đã chọn một đám các nguyên tử hydro mà tất cả đều có năng lượng −3A. Nếu chúng ta cho chúng đi qua một thí nghiệm Stern–Gerlach — với các trường không quá mạnh — chúng ta sẽ thấy rằng chúng chỉ đi thẳng qua. (Vì năng lượng của chúng không phụ thuộc vào B, nên — theo nguyên lý công ảo — không có lực nào tác dụng lên chúng trong một gradient từ trường.) Mặt khác, giả sử chúng ta chọn một đám nguyên tử có năng lượng +A, và cho chúng đi qua một thiết bị Stern–Gerlach, chẳng hạn một thiết bị S. (Một lần nữa các trường trong thiết bị không nên lớn đến mức chúng phá vỡ bên trong của nguyên tử, với ý nghĩa là một trường đủ nhỏ để các năng lượng biến thiên tuyến tính theo B.) Chúng ta sẽ thấy ba chùm. Các trạng thái |I⟩ và |II⟩ nhận các lực ngược nhau — các năng lượng của chúng biến thiên tuyến tính theo B với các độ dốc ±μ vì vậy các lực giống như các lực trên một lưỡng cực với μ_z = ∓μ; nhưng trạng thái |III⟩ đi thẳng qua. Vì vậy chúng ta quay trở lại đúng Chương 5. Một nguyên tử hydro có năng lượng +A là một hạt spin một. Trạng thái năng lượng này là một “hạt” mà đối với nó j = 1, và nó có thể được mô tả — đối với một tập hợp các trục nào đó trong không gian — theo các trạng thái cơ sở |+S⟩, |0S⟩ và |−S⟩ mà chúng ta đã dùng trong Chương 5. Mặt khác, khi một nguyên tử hydro có năng lượng −3A, nó là một hạt spin không. (Nhớ rằng, điều chúng ta đang nói chỉ đúng nghiêm ngặt đối với các từ trường vô cùng nhỏ.) Vì vậy chúng ta có thể nhóm các trạng thái của hydro trong từ trường bằng không theo cách này:

Chúng ta đã nói trong Chương 35 của Tập II rằng đối với bất kỳ hạt nào, thành phần của mômen động lượng của nó dọc theo bất kỳ trục nào cũng chỉ có thể có các giá trị nhất định luôn cách nhau ħ. Thành phần z của mômen động lượng J_z có thể là jħ, (j−1)ħ, (j−2)ħ, …, (−j)ħ, trong đó j là spin của hạt (vốn có thể là một số nguyên hoặc bán nguyên). Mặc dù chúng ta đã bỏ qua không nói vậy vào lúc đó, người ta thường viết

J_z = mħ,   (12.43)

trong đó m là một trong các số j, j−1, j−2, …, −j. Do đó, bạn sẽ thấy người ta trong các sách ghi nhãn bốn trạng thái cơ bản của hydro bằng các “số lượng tử” j và m [thường được gọi là “số lượng tử mômen động lượng toàn phần” (j) và “số lượng tử từ” (m)]. Khi đó, thay vì các ký hiệu trạng thái |I⟩, |II⟩, v.v. của chúng ta, họ sẽ viết một trạng thái là |j, m⟩. Vì vậy họ sẽ viết bảng nhỏ các trạng thái của chúng ta cho trường bằng không trong (12.41) và (12.42) như trong Bảng 12–3. Đó không phải là vật lý mới, tất cả chỉ là vấn đề ký hiệu.

12–6  Ma trận chiếu cho spin một⁶

Bây giờ chúng ta muốn dùng kiến thức của chúng ta về nguyên tử hydro để làm một điều gì đó đặc biệt. Chúng ta đã thảo luận trong Chương 5 rằng một hạt spin một mà ở trong một trong các trạng thái cơ sở (+, 0 hoặc −) đối với một thiết bị Stern–Gerlach có một định hướng cụ thể — chẳng hạn một thiết bị S — sẽ có một biên độ nhất định để ở trong mỗi trạng thái trong ba trạng thái đối với một thiết bị T có một định hướng khác trong không gian. Có chín biên độ như vậy ⟨jT|iS⟩ vốn tạo thành ma trận chiếu. Trong Mục 5–7, chúng ta đã cho mà không chứng minh các số hạng của ma trận này cho các định hướng khác nhau của T đối với S. Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ cho bạn một cách chúng có thể được suy ra.

Trong nguyên tử hydro, chúng ta đã tìm thấy một hệ spin một được tạo thành từ hai hạt spin một phần hai. Chúng ta đã làm ra trong Chương 6 cách biến đổi các biên độ spin một phần hai. Chúng ta có thể dùng thông tin này để tính phép biến đổi cho spin một. Nó hoạt động như sau: Chúng ta có một hệ — một nguyên tử hydro có năng lượng +A — vốn có spin một. Giả sử chúng ta cho nó chạy qua một bộ lọc Stern–Gerlach S, sao cho chúng ta biết nó ở trong một trong các trạng thái cơ sở đối với S, chẳng hạn |+S⟩. Biên độ mà nó sẽ ở trong một trong các trạng thái cơ sở, chẳng hạn |+T⟩, đối với thiết bị T là gì? Nếu chúng ta gọi hệ tọa độ của thiết bị S là hệ x, y, z, trạng thái |+S⟩ là cái chúng ta đã gọi là trạng thái |++⟩. Nhưng giả sử một anh chàng khác lấy trục z của anh ta dọc theo trục của T. Anh ta sẽ quy chiếu các trạng thái của mình tới cái chúng ta sẽ gọi là hệ x′, y′, z′. Các trạng thái “hướng lên” và “hướng xuống” của anh ta cho electron và proton sẽ khác với của chúng ta. Trạng thái “cộng-cộng” của anh ta — mà chúng ta có thể viết |+′+′⟩, chỉ hệ “phẩy” — là trạng thái |+T⟩ của hạt spin một. Cái chúng ta muốn là ⟨+T|+S⟩ vốn chỉ là một cách viết khác của biên độ ⟨+′+′|++⟩.

Chúng ta có thể tìm biên độ ⟨+′+′|++⟩ theo cách sau. Trong hệ của chúng ta, electron trong trạng thái |++⟩ có spin “hướng lên”. Điều đó có nghĩa là nó có một biên độ nào đó ⟨+′|+⟩_e để “hướng lên” trong hệ của anh ta, và một biên độ nào đó ⟨−′|+⟩_e để “hướng xuống” trong hệ đó. Tương tự, proton trong trạng thái |++⟩ có spin “hướng lên” trong hệ của chúng ta và các biên độ ⟨+′|+⟩_p và ⟨−′|+⟩_p để có spin “hướng lên” hay spin “hướng xuống” trong hệ “phẩy”. Vì chúng ta đang nói về hai hạt phân biệt, biên độ mà cả hai hạt sẽ “hướng lên” cùng nhau trong hệ của anh ta là tích của hai biên độ,

⟨+′+′|++⟩ = ⟨+′|+⟩_e⟨+′|+⟩_p.   (12.44)

Chúng ta đã đặt các chỉ số dưới e và p lên các biên độ ⟨+′|+⟩ để làm rõ chúng ta đang làm gì. Nhưng chúng đều chỉ là các biên độ biến đổi cho một hạt spin một phần hai, vì vậy chúng thực sự là các số giống hệt nhau. Chúng, thực tế, chỉ là biên độ chúng ta đã gọi là ⟨+T|+S⟩ trong Chương 6, và mà chúng ta đã liệt kê trong các bảng ở cuối chương đó.

Tuy nhiên, bây giờ chúng ta sắp gặp rắc rối với ký hiệu. Chúng ta phải có thể phân biệt biên độ ⟨+T|+S⟩ cho một hạt spin một phần hai với cái chúng ta cũng đã gọi là ⟨+T|+S⟩ cho một hạt spin một — vậy mà chúng hoàn toàn khác nhau! Chúng ta hy vọng nó sẽ không quá gây nhầm lẫn, nhưng ít nhất vào lúc này, chúng ta sẽ phải dùng một số ký hiệu khác cho các biên độ spin một phần hai. Để giúp bạn giữ mọi thứ rõ ràng, chúng ta tóm tắt ký hiệu mới trong Bảng 12–4. Chúng ta sẽ tiếp tục dùng ký hiệu |+S⟩, |0S⟩ và |−S⟩ cho các trạng thái của một hạt spin một.

Với ký hiệu mới của chúng ta, Phương trình (12.44) trở thành đơn giản là

⟨+′+′|++⟩ = a²,

và đây chính là biên độ spin một ⟨+T|+S⟩. Bây giờ, giả sử, chẳng hạn, rằng hệ tọa độ của anh chàng kia — tức là thiết bị T, hay “phẩy” — chỉ quay đối với trục z của chúng ta theo một góc φ; khi đó từ Bảng 6–2,

a = ⟨+′|+⟩ = e^iφ/2.

Vì vậy từ (12.44) chúng ta có biên độ spin một là

⟨+T|+S⟩ = ⟨+′+′|++⟩ = (e^iφ/2)² = e^iφ.   (12.45)

Bạn có thể thấy nó diễn ra như thế nào.

Bây giờ chúng ta sẽ làm trường hợp tổng quát cho mọi trạng thái. Nếu proton và electron đều “hướng lên” trong hệ của chúng ta — hệ S — các biên độ mà nó sẽ ở trong bất kỳ trạng thái nào trong bốn trạng thái khả dĩ trong hệ của anh chàng kia — hệ T — là

⟨+′+′|++⟩ = ⟨+′|+⟩_e⟨+′|+⟩_p = a²,
⟨+′−′|++⟩ = ⟨+′|+⟩_e⟨−′|+⟩_p = ab,
⟨−′+′|++⟩ = ⟨−′|+⟩_e⟨+′|+⟩_p = ba,
⟨−′−′|++⟩ = ⟨−′|+⟩_e⟨−′|+⟩_p = b².   (12.46)

Khi đó, chúng ta có thể viết trạng thái |++⟩ dưới dạng tổ hợp tuyến tính sau:

|++⟩ = a²|+′+′⟩ + ab{|+′−′⟩ + |−′+′⟩} + b²|−′−′⟩.   (12.47)

Bây giờ chúng ta để ý rằng |+′+′⟩ là trạng thái |+T⟩, rằng {|+′−′⟩ + |−′+′⟩} chỉ là √2 lần trạng thái |0T⟩ — xem (12.41) — và rằng |−′−′⟩ = |−T⟩. Nói cách khác, Phương trình (12.47) có thể được viết lại như sau

|+S⟩ = a²|+T⟩ + √2ab|0T⟩ + b²|−T⟩.   (12.48)

Theo một cách tương tự, bạn có thể dễ dàng chỉ ra rằng

|−S⟩ = c²|+T⟩ + √2cd|0T⟩ + d²|−T⟩.   (12.49)

Đối với |0S⟩ nó phức tạp hơn một chút, vì

|0S⟩ = (1/√2){|+−⟩ + |−+⟩}.

Nhưng chúng ta có thể biểu diễn mỗi trạng thái |+−⟩ và |−+⟩ theo các trạng thái “phẩy” và lấy tổng. Tức là,

|+−⟩ = ac|+′+′⟩ + ad|+′−′⟩ + bc|−′+′⟩ + bd|−′−′⟩   (12.50)

và

|−+⟩ = ac|+′+′⟩ + bc|+′−′⟩ + ad|−′+′⟩ + bd|−′−′⟩.   (12.51)

Lấy 1/√2 lần tổng, chúng ta được

|0S⟩ = (2/√2)ac|+′+′⟩ + [(ad+bc)/√2]{|+′−′⟩ + |−′+′⟩} + (2/√2)bd|−′−′⟩.

Suy ra rằng

|0S⟩ = √2ac|+T⟩ + (ad + bc)|0T⟩ + √2bd|−T⟩.   (12.52)

Bây giờ chúng ta đã có mọi biên độ chúng ta muốn. Các hệ số của các Phương trình (12.48), (12.49) và (12.52) là các phần tử ma trận ⟨jT|iS⟩. Hãy tập hợp tất cả chúng lại:

  (12.53)

Chúng ta đã biểu diễn phép biến đổi spin một theo các biên độ spin một phần hai a, b, c và d. Chẳng hạn, nếu hệ T quay đối với S theo một góc α quanh trục y — như trong Hình 5–6 — các biên độ trong Bảng 12–4 chỉ là các phần tử ma trận của R_y(α) trong Bảng 6–2.

a = cos(α/2),   b = −sin(α/2),   c = sin(α/2),   d = cos(α/2).   (12.54)

Dùng các cái này trong (12.53), chúng ta được các công thức của (5.38), mà chúng ta đã cho ở đó mà không chứng minh.

Điều gì đã xảy ra với trạng thái |IV⟩?! Vâng, nó là một hệ spin không, vì vậy nó chỉ có một trạng thái — nó là cùng một trạng thái trong mọi hệ tọa độ. Chúng ta có thể kiểm tra rằng mọi thứ đều hoạt động bằng cách lấy hiệu của Phương trình (12.50) và (12.51); chúng ta được rằng

|+−⟩ − |−+⟩ = (ad − bc){|+′−′⟩ − |−′+′⟩}.

Nhưng (ad − bc) là định thức của ma trận spin một phần hai, và vì vậy bằng 1. Chúng ta được rằng

|IV′⟩ = |IV⟩

đối với bất kỳ định hướng tương đối nào của hai hệ tọa độ.