Chương 17: Đối xứng và các định luật bảo toàn

17–1  Đối xứng

Trong vật lý cổ điển có một số đại lượng được bảo toàn — chẳng hạn động lượng, năng lượng, và momen động lượng. Các định lý bảo toàn về các đại lượng tương ứng cũng tồn tại trong cơ học lượng tử. Điều đẹp nhất của cơ học lượng tử là các định lý bảo toàn, theo một nghĩa nào đó, có thể được suy ra từ một thứ khác, trong khi trong cơ học cổ điển chúng thực tế là các điểm khởi đầu của các định luật. (Có những cách trong cơ học cổ điển để làm một điều tương tự như điều chúng ta sẽ làm trong cơ học lượng tử, nhưng nó chỉ có thể được thực hiện ở một mức rất cao cấp.) Tuy nhiên, trong cơ học lượng tử, các định luật bảo toàn liên hệ rất sâu sắc với nguyên lý chồng chất các biên độ, và với tính đối xứng của các hệ vật lý dưới các thay đổi khác nhau. Đây là chủ đề của chương này. Mặc dù chúng ta sẽ áp dụng các ý tưởng này chủ yếu cho sự bảo toàn momen động lượng, điểm cốt yếu là các định lý về sự bảo toàn của mọi loại đại lượng đều — trong cơ học lượng tử — liên hệ với các đối xứng của hệ.

Do đó, chúng ta bắt đầu bằng cách nghiên cứu câu hỏi về các đối xứng của các hệ. Một ví dụ rất đơn giản là ion phân tử hydro — chúng ta cũng có thể lấy phân tử amoniac cũng được — trong đó có hai trạng thái. Đối với ion phân tử hydro, chúng ta đã lấy làm các trạng thái cơ sở một trạng thái trong đó electron được định xứ gần proton số 1, và một trạng thái khác trong đó electron được định xứ gần proton số 2. Hai trạng thái — chúng ta đã gọi là |1⟩ và |2⟩ — được biểu diễn lại trong Hình 17–1(a). Bây giờ, chừng nào hai hạt nhân đều hoàn toàn giống nhau, thì có một đối xứng nào đó trong hệ vật lý này. Nghĩa là, nếu chúng ta phản chiếu hệ trong mặt phẳng nằm giữa hai proton — ý chúng ta là mọi thứ ở một phía của mặt phẳng được chuyển tới vị trí đối xứng ở phía kia — chúng ta sẽ nhận được các tình huống trong Hình 17–1(b). Vì các proton là đồng nhất, phép toán phản chiếu biến |1⟩ thành |2⟩ và |2⟩ thành |1⟩. Chúng ta sẽ gọi phép toán phản chiếu này là P̂ và viết

P̂ |1⟩ = |2⟩,   P̂ |2⟩ = |1⟩.   (17.1)

Vậy P̂ của chúng ta là một toán tử theo nghĩa nó “làm một điều gì đó” với một trạng thái để tạo ra một trạng thái mới. Điều thú vị là P̂ tác động lên bất kỳ trạng thái nào cũng tạo ra một trạng thái nào khác của hệ.

Bây giờ P̂, giống như bất kỳ toán tử nào khác chúng ta đã mô tả, có các phần tử ma trận có thể được định nghĩa bằng ký hiệu hiển nhiên thông thường. Cụ thể là,

P₁₁ = ⟨1|P̂|1⟩   và   P₁₂ = ⟨1|P̂|2⟩

là các phần tử ma trận chúng ta nhận được nếu chúng ta nhân P̂ |1⟩ và P̂ |2⟩ ở phía trái với ⟨1|. Từ Phương trình (17.1) chúng là

⟨1|P̂|1⟩ = P₁₁ = ⟨1|2⟩ = 0,
⟨1|P̂|2⟩ = P₁₂ = ⟨1|1⟩ = 1.   (17.2)

Theo cùng một cách chúng ta có thể nhận được P₂₁ và P₂₂. Ma trận của P̂ — đối với hệ cơ sở |1⟩ và |2⟩ — là

P = ( 0   1 ;   1   0 ).   (17.3)

Một lần nữa chúng ta thấy rằng các từ toán tử và ma trận trong cơ học lượng tử thực tế có thể dùng thay thế cho nhau. Có những khác biệt kỹ thuật nhỏ — như khác biệt giữa một “chữ số” (numeral) và một “con số” (number) — nhưng sự phân biệt này là một thứ cầu kỳ mà chúng ta không phải lo lắng. Vậy dù P̂ định nghĩa một phép toán, hay thực tế được dùng để định nghĩa một ma trận các số, chúng ta sẽ gọi nó thay thế lẫn nhau là một toán tử hay một ma trận.

Bây giờ chúng tôi muốn chỉ ra một điều. Chúng ta sẽ giả sử rằng vật lý của toàn bộ hệ ion phân tử hydro là đối xứng. Nó không nhất thiết phải vậy — chẳng hạn, nó phụ thuộc vào những gì khác ở gần nó. Nhưng nếu hệ là đối xứng, ý tưởng sau đây chắc chắn phải đúng. Giả sử chúng ta bắt đầu tại t = 0 với hệ ở trong trạng thái |1⟩ và thấy rằng sau một khoảng thời gian t hệ hóa ra ở trong một tình huống phức tạp hơn — trong một tổ hợp tuyến tính nào đó của hai trạng thái cơ sở. Hãy nhớ rằng trong Chương 8 chúng ta vẫn biểu diễn “đi trong một khoảng thời gian” bằng cách nhân với toán tử Û. Điều đó có nghĩa là hệ sau một lúc — chẳng hạn 15 giây cho cụ thể — sẽ ở trong một trạng thái nào khác. Chẳng hạn, nó có thể là √(2/3) phần của trạng thái |1⟩ và i√(1/3) phần của trạng thái |2⟩, và chúng ta sẽ viết

|ψ tại 15 giây⟩ = Û(15,0) |1⟩ = √(2/3) |1⟩ + i√(1/3) |2⟩.   (17.4)

Bây giờ chúng ta hỏi điều gì xảy ra nếu chúng ta bắt đầu hệ trong trạng thái đối xứng |2⟩ và chờ 15 giây dưới các điều kiện tương tự? Rõ ràng là nếu thế giới là đối xứng — như chúng ta đang giả sử — chúng ta sẽ nhận được trạng thái đối xứng với (17.4):

|ψ tại 15 giây⟩ = Û(15,0) |2⟩ = √(2/3) |2⟩ + i√(1/3) |1⟩.   (17.5)

Cùng các ý tưởng được phác họa theo sơ đồ trong Hình 17–2. Vậy nếu vật lý của một hệ là đối xứng đối với một mặt phẳng nào đó, và chúng ta tính được hành vi của một trạng thái cụ thể, chúng ta cũng biết hành vi của trạng thái chúng ta sẽ nhận được bằng cách phản chiếu trạng thái gốc trong mặt phẳng đối xứng.

Chúng tôi muốn nói cùng những điều đó một cách tổng quát hơn một chút — điều đó có nghĩa là trừu tượng hơn một chút. Cho Q̂ là bất kỳ một trong một số các phép toán mà bạn có thể thực hiện trên một hệ mà không làm thay đổi vật lý. Chẳng hạn, đối với Q̂ chúng ta có thể đang nghĩ về P̂, phép toán của một phép phản chiếu trong mặt phẳng giữa hai nguyên tử trong phân tử hydro. Hay, trong một hệ có hai electron, chúng ta có thể đang nghĩ về phép toán hoán đổi hai electron. Một khả năng khác sẽ là, trong một hệ đối xứng cầu, phép toán của một phép quay toàn bộ hệ một góc hữu hạn quanh một trục nào đó — nó sẽ không làm thay đổi vật lý. Dĩ nhiên, thông thường chúng ta sẽ muốn đặt cho mỗi trường hợp đặc biệt một ký hiệu đặc biệt nào đó cho Q̂. Cụ thể, thông thường chúng ta sẽ định nghĩa R̂_y(θ) là phép toán “quay hệ quanh trục y một góc θ”. Bởi Q̂ chúng ta chỉ có ý là bất kỳ một trong các toán tử chúng ta đã mô tả hay bất kỳ một toán tử nào khác — nó để lại tình huống vật lý cơ bản không thay đổi.

Hãy nghĩ về thêm một số ví dụ. Nếu chúng ta có một nguyên tử không có từ trường ngoài và không có điện trường ngoài, và nếu chúng ta quay các tọa độ quanh bất kỳ trục nào, nó sẽ là cùng một hệ vật lý. Lại nữa, phân tử amoniac đối xứng đối với một phép phản chiếu trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng của ba nguyên tử hydro — chừng nào không có điện trường. Khi có một điện trường, khi chúng ta thực hiện một phép phản chiếu, chúng ta cũng sẽ phải thay đổi điện trường, và điều đó thay đổi bài toán vật lý. Nhưng nếu chúng ta không có trường ngoài, phân tử là đối xứng.

Bây giờ chúng ta xét một tình huống tổng quát. Giả sử chúng ta bắt đầu với trạng thái |ψ₁⟩ và sau một thời gian nào đó dưới các điều kiện vật lý cho trước nó đã trở thành trạng thái |ψ₂⟩. Chúng ta có thể viết

|ψ₂⟩ = Û |ψ₁⟩.   (17.6)

[Bạn có thể đang nghĩ về Phương trình (17.4).] Bây giờ hãy hình dung chúng ta thực hiện phép toán Q̂ trên toàn bộ hệ. Trạng thái |ψ₁⟩ sẽ được biến đổi thành một trạng thái |ψ₁′⟩, nó chúng ta cũng có thể viết là Q̂ |ψ₁⟩. Cũng vậy trạng thái |ψ₂⟩ được biến thành |ψ₂′⟩ = Q̂ |ψ₂⟩. Bây giờ nếu vật lý là đối xứng dưới Q̂ (đừng quên chữ “nếu”; nó không phải là một tính chất tổng quát của các hệ), thì, khi chờ cùng một thời gian dưới các điều kiện tương tự, chúng ta phải có

|ψ₂′⟩ = Û |ψ₁′⟩.   (17.7)

[Giống như Phương trình (17.5).] Nhưng chúng ta có thể viết Q̂ |ψ₁⟩ cho |ψ₁′⟩ và Q̂ |ψ₂⟩ cho |ψ₂′⟩ nên (17.7) cũng có thể được viết là

Q̂ |ψ₂⟩ = ÛQ̂ |ψ₁⟩.   (17.8)

Nếu bây giờ chúng ta thay |ψ₂⟩ bằng Û |ψ₁⟩ — Phương trình (17.6) — chúng ta nhận được

Q̂Û |ψ₁⟩ = ÛQ̂ |ψ₁⟩.   (17.9)

Không khó để hiểu điều này có nghĩa là gì. Nghĩ về ion hydro, nó nói rằng: “thực hiện một phép phản chiếu và chờ một lúc” — biểu thức ở vế phải của Phương trình (17.9) — cũng giống như “chờ một lúc rồi thực hiện một phép phản chiếu” — biểu thức ở vế trái của (17.9). Những điều này phải như nhau chừng nào U không thay đổi dưới phép phản chiếu.

Vì (17.9) đúng đối với bất kỳ trạng thái bắt đầu |ψ₁⟩ nào, nó thực chất là một phương trình về các toán tử:

Q̂Û = ÛQ̂.   (17.10)

Đây là điều chúng ta muốn đạt được — nó là một phát biểu toán học của đối xứng. Khi Phương trình (17.10) đúng, chúng ta nói rằng các toán tử Û và Q̂ giao hoán (commute). Sau đó chúng ta có thể định nghĩa “đối xứng” theo cách sau: Một hệ vật lý là đối xứng đối với phép toán Q̂ khi Q̂ giao hoán với Û, phép toán của sự trôi qua của thời gian. [Theo các ma trận, tích của hai toán tử tương đương với tích ma trận, vì vậy Phương trình (17.10) cũng đúng đối với các ma trận Q và U cho một hệ đối xứng dưới phép biến đổi Q.]

Nhân tiện, vì đối với các khoảng thời gian vô cùng nhỏ ε chúng ta có Û = 1 − iĤε/ħ — trong đó Ĥ là Hamilton thông thường (xem Chương 8) — bạn có thể thấy rằng nếu (17.10) đúng, thì cũng đúng là

Q̂Ĥ = ĤQ̂.   (17.11)

Vậy (17.11) là phát biểu toán học của điều kiện cho tính đối xứng của một tình huống vật lý dưới toán tử Q̂. Nó định nghĩa một đối xứng.

17–2  Đối xứng và bảo toàn

Trước khi áp dụng kết quả chúng ta vừa tìm được, chúng tôi muốn thảo luận ý tưởng về đối xứng thêm một chút. Giả sử chúng ta có một tình huống rất đặc biệt: sau khi chúng ta tác động lên một trạng thái bằng Q̂, chúng ta nhận được cùng một trạng thái. Đây là một trường hợp rất đặc biệt, nhưng hãy giả sử nó đúng đối với một trạng thái |ψ₀⟩ rằng |ψ′⟩ = Q̂ |ψ₀⟩ là cùng một trạng thái về mặt vật lý như |ψ₀⟩. Điều đó có nghĩa là |ψ′⟩ bằng |ψ₀⟩ trừ một thừa số pha nào đó.¹ Điều đó có thể xảy ra như thế nào? Chẳng hạn, giả sử chúng ta có một ion H₂⁺ trong trạng thái chúng ta từng gọi là |I⟩.² Đối với trạng thái này có biên độ bằng nhau để ở trong các trạng thái cơ sở |1⟩ và |2⟩. Các xác suất được biểu diễn dưới dạng một biểu đồ cột trong Hình 17–3(a). Nếu chúng ta tác động lên |I⟩ bằng toán tử phản chiếu P̂, nó lật trạng thái lại, biến |1⟩ thành |2⟩ và |2⟩ thành |1⟩ — chúng ta nhận được các xác suất được biểu diễn trong Hình 17–3(b). Nhưng đó chỉ là trạng thái |I⟩ trở lại. Nếu chúng ta bắt đầu với trạng thái |II⟩, các xác suất trước và sau phép phản chiếu trông hoàn toàn như nhau. Tuy nhiên, có một khác biệt nếu chúng ta nhìn vào các biên độ. Đối với trạng thái |I⟩, các biên độ là như nhau sau phép phản chiếu, nhưng đối với trạng thái |II⟩ các biên độ có dấu ngược lại. Nói cách khác,

P̂ |I⟩ = P̂ {(|1⟩ + |2⟩)/√2} = (|2⟩ + |1⟩)/√2 = |I⟩,
P̂ |II⟩ = P̂ {(|1⟩ − |2⟩)/√2} = (|2⟩ − |1⟩)/√2 = −|II⟩.   (17.12)

Nếu chúng ta viết P̂ |ψ₀⟩ = e^iδ |ψ₀⟩, chúng ta có e^iδ = 1 đối với trạng thái |I⟩ và e^iδ = −1 đối với trạng thái |II⟩.

Hãy xem một ví dụ khác. Giả sử chúng ta có một photon phân cực tròn phải (RHC) lan truyền theo hướng z. Nếu chúng ta thực hiện phép toán của một phép quay quanh trục z, chúng ta biết rằng điều này chỉ nhân biên độ với e^iφ khi φ là góc của phép quay. Vậy đối với phép toán quay trong trường hợp này, δ chỉ bằng góc quay.

Bây giờ rõ ràng là nếu tình cờ đúng là một toán tử Q̂ chỉ thay đổi pha của một trạng thái tại một thời điểm nào đó, chẳng hạn t = 0, thì nó đúng mãi mãi. Nói cách khác, nếu trạng thái |ψ₁⟩ chuyển thành trạng thái |ψ₂⟩ sau một thời gian t, hay

Û(t,0) |ψ₁⟩ = |ψ₂⟩   (17.13)

và nếu tính đối xứng của tình huống làm cho

Q̂ |ψ₁⟩ = e^iδ |ψ₁⟩,   (17.14)

thì cũng đúng là

Q̂ |ψ₂⟩ = e^iδ |ψ₂⟩.   (17.15)

Điều này rõ ràng, vì

Q̂ |ψ₂⟩ = Q̂Û |ψ₁⟩ = ÛQ̂ |ψ₁⟩,

và nếu Q̂ |ψ₁⟩ = e^iδ |ψ₁⟩, thì

Q̂ |ψ₂⟩ = Û e^iδ |ψ₁⟩ = e^iδÛ |ψ₁⟩ = e^iδ |ψ₂⟩.

[Dãy các đẳng thức suy ra từ (17.13) và (17.10) cho một hệ đối xứng, từ (17.14), và từ sự kiện rằng một số như e^iδ giao hoán với một toán tử.]

Vậy với một số đối xứng nhất định, một điều gì đó đúng ban đầu thì đúng đối với mọi thời gian. Nhưng đó chẳng phải chỉ là một định luật bảo toàn sao? Đúng vậy! Nó nói rằng nếu bạn nhìn vào trạng thái gốc và bằng cách thực hiện một tính toán nhỏ ở bên ngoài mà khám phá ra rằng một phép toán là một phép toán đối xứng của hệ chỉ tạo ra một phép nhân với một pha nhất định, thì bạn biết rằng cùng tính chất đó sẽ đúng đối với trạng thái cuối — cùng phép toán đó nhân trạng thái cuối với cùng thừa số pha. Điều này luôn đúng ngay cả khi chúng ta có thể không biết gì khác về bộ máy bên trong của vũ trụ, nó thay đổi một hệ từ trạng thái đầu tới trạng thái cuối. Ngay cả khi chúng ta không quan tâm đến việc nhìn vào các chi tiết của bộ máy mà hệ đi từ một trạng thái này sang một trạng thái khác bằng cách nào, chúng ta vẫn có thể nói rằng nếu một thứ ở trong một trạng thái có một tính chất đối xứng nhất định ban đầu, và nếu Hamilton cho thứ này là đối xứng dưới phép toán đối xứng đó, thì trạng thái sẽ có cùng tính chất đối xứng đối với mọi thời gian. Đó là cơ sở của mọi định luật bảo toàn của cơ học lượng tử.

Hãy xem một ví dụ đặc biệt. Hãy quay lại toán tử P̂. Trước hết chúng tôi muốn sửa đổi một chút định nghĩa của P̂. Chúng ta muốn lấy P̂ không chỉ là một phép phản chiếu gương, bởi vì điều đó đòi hỏi định nghĩa mặt phẳng trong đó chúng ta đặt gương. Có một loại phép phản chiếu đặc biệt không đòi hỏi việc chỉ rõ một mặt phẳng. Giả sử chúng ta định nghĩa lại phép toán P̂ theo cách này: Trước hết bạn phản chiếu trong một gương trong mặt phẳng z sao cho z biến thành −z, x giữ nguyên x, và y giữ nguyên y; sau đó bạn quay hệ 180° quanh trục z sao cho x biến thành −x và y thành −y. Toàn bộ thứ này được gọi là một phép nghịch đảo (inversion). Mọi điểm được chiếu qua gốc tọa độ tới vị trí đối xứng qua tâm ở phía đối diện. Mọi tọa độ của mọi thứ đều bị đảo ngược. Chúng ta vẫn sẽ dùng ký hiệu P̂ cho phép toán này. Nó được biểu diễn trong Hình 17–4. Nó thuận tiện hơn một chút so với một phép phản chiếu đơn giản bởi vì nó không đòi hỏi bạn phải chỉ rõ bạn đã dùng mặt phẳng tọa độ nào cho phép phản chiếu — bạn chỉ cần chỉ rõ điểm ở tâm đối xứng.

Bây giờ hãy giả sử chúng ta có một trạng thái |ψ₀⟩ mà dưới phép toán nghịch đảo biến thành e^iδ |ψ₀⟩ — nghĩa là,

|ψ₀′⟩ = P̂ |ψ₀⟩ = e^iδ |ψ₀⟩.   (17.16)

Sau đó giả sử chúng ta nghịch đảo một lần nữa. Sau hai lần nghịch đảo chúng ta quay lại đúng nơi chúng ta đã bắt đầu — không có gì thay đổi cả. Chúng ta phải có

P̂ |ψ₀′⟩ = P̂·P̂ |ψ₀⟩ = |ψ₀⟩.

Nhưng

P̂·P̂ |ψ₀⟩ = P̂ e^iδ |ψ₀⟩ = e^iδP̂ |ψ₀⟩ = (e^iδ)² |ψ₀⟩.

Suy ra

(e^iδ)² = 1.

Vậy nếu toán tử nghịch đảo là một phép toán đối xứng của một trạng thái, chỉ có hai khả năng cho e^iδ:

e^iδ = ±1,

điều đó có nghĩa là

P̂ |ψ₀⟩ = |ψ₀⟩   hoặc   P̂ |ψ₀⟩ = −|ψ₀⟩.   (17.17)

Theo cổ điển, nếu một trạng thái đối xứng dưới một phép nghịch đảo, phép toán cho lại cùng một trạng thái. Tuy nhiên, trong cơ học lượng tử, có hai khả năng: chúng ta nhận được cùng một trạng thái hay trừ cùng một trạng thái đó. Khi chúng ta nhận được cùng một trạng thái, P̂ |ψ₀⟩ = |ψ₀⟩, chúng ta nói rằng trạng thái |ψ₀⟩ có tính chẵn lẻ chẵn (even parity). Khi dấu bị đảo ngược sao cho P̂ |ψ₀⟩ = −|ψ₀⟩, chúng ta nói rằng trạng thái có tính chẵn lẻ lẻ (odd parity). (Toán tử nghịch đảo P̂ còn được gọi là toán tử chẵn lẻ.) Trạng thái |I⟩ của ion H₂⁺ có tính chẵn lẻ chẵn; và trạng thái |II⟩ có tính chẵn lẻ lẻ — xem Phương trình (17.12). Dĩ nhiên, có các trạng thái không đối xứng dưới phép toán P̂; đó là các trạng thái không có tính chẵn lẻ xác định. Chẳng hạn, trong hệ H₂⁺ trạng thái |I⟩ có tính chẵn lẻ chẵn, trạng thái |II⟩ có tính chẵn lẻ lẻ, và trạng thái |1⟩ không có tính chẵn lẻ xác định.

Khi chúng ta nói về một phép toán như nghịch đảo được thực hiện “trên một hệ vật lý”, chúng ta có thể nghĩ về nó theo hai cách. Chúng ta có thể nghĩ về việc di chuyển vật lý bất cứ thứ gì ở tại r tới điểm nghịch đảo tại −r, hay chúng ta có thể nghĩ về việc nhìn cùng một hệ từ một hệ quy chiếu mới x′,y′,z′ liên hệ với hệ cũ bởi x′ = −x, y′ = −y, và z′ = −z. Tương tự, khi chúng ta nghĩ về các phép quay, chúng ta có thể nghĩ về việc quay toàn thể một hệ vật lý, hay quay hệ tọa độ mà chúng ta đo hệ theo đó, giữ “hệ” cố định trong không gian. Nói chung, hai quan điểm về cơ bản là tương đương. Đối với phép quay, chúng tương đương trừ việc quay một hệ một góc θ giống như quay hệ quy chiếu một góc âm của θ. Trong các bài giảng này chúng ta thường đã xét điều gì xảy ra khi một phép chiếu được thực hiện vào một tập hợp các trục mới. Điều bạn nhận được theo cách đó giống như điều bạn nhận được nếu bạn giữ các trục cố định và quay hệ ngược lại cùng một lượng. Khi bạn làm vậy, các dấu của các góc bị đảo ngược.³

Nhiều định luật vật lý — nhưng không phải tất cả — không bị thay đổi bởi một phép phản chiếu hay một phép nghịch đảo các tọa độ. Chúng đối xứng đối với một phép nghịch đảo. Chẳng hạn, các định luật điện động lực học không thay đổi nếu chúng ta thay x thành −x, y thành −y, và z thành −z trong mọi phương trình. Điều tương tự đúng đối với các định luật hấp dẫn, và đối với các tương tác mạnh của vật lý hạt nhân. Chỉ các tương tác yếu — chịu trách nhiệm cho phân rã β — không có đối xứng này. (Chúng ta đã thảo luận điều này khá chi tiết trong Chương 52, Tập I.) Bây giờ chúng ta sẽ bỏ qua bất kỳ xét nào về các phân rã β. Khi đó trong bất kỳ hệ vật lý nào mà các phân rã β không được kỳ vọng tạo ra bất kỳ hiệu ứng đáng kể nào — một ví dụ sẽ là sự phát xạ ánh sáng bởi một nguyên tử — Hamilton Ĥ và toán tử P̂ sẽ giao hoán. Dưới các hoàn cảnh này chúng ta có mệnh đề sau. Nếu một trạng thái ban đầu có tính chẵn lẻ chẵn, và nếu bạn nhìn vào tình huống vật lý tại một thời điểm sau đó, nó sẽ lại có tính chẵn lẻ chẵn. Chẳng hạn, giả sử một nguyên tử sắp phát ra một photon đang ở trong một trạng thái được biết là có tính chẵn lẻ chẵn. Bạn nhìn vào toàn bộ sự việc — bao gồm cả photon — sau sự phát xạ; nó sẽ lại có tính chẵn lẻ chẵn (cũng vậy nếu bạn bắt đầu với tính chẵn lẻ lẻ). Nguyên lý này được gọi là sự bảo toàn tính chẵn lẻ. Bạn có thể thấy vì sao các từ “bảo toàn tính chẵn lẻ” và “đối xứng phản chiếu” liên hệ chặt chẽ với nhau trong cơ học lượng tử. Mặc dù cho đến vài năm trước người ta nghĩ rằng tự nhiên luôn bảo toàn tính chẵn lẻ, bây giờ người ta biết rằng điều này không đúng. Nó đã được phát hiện là sai vì phản ứng phân rã β không có đối xứng nghịch đảo được tìm thấy trong các định luật vật lý khác.

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh một định lý thú vị (nó đúng chừng nào chúng ta có thể bỏ qua các tương tác yếu): Bất kỳ trạng thái nào có năng lượng xác định mà không suy biến đều phải có một tính chẵn lẻ xác định. Nó phải có hoặc tính chẵn lẻ chẵn hoặc tính chẵn lẻ lẻ. (Hãy nhớ rằng đôi khi chúng ta đã thấy các hệ trong đó vài trạng thái có cùng năng lượng — chúng ta nói rằng các trạng thái như vậy là suy biến. Định lý của chúng ta sẽ không áp dụng cho chúng.)

Đối với một trạng thái |ψ₀⟩ có năng lượng xác định, chúng ta biết rằng

Ĥ |ψ₀⟩ = E |ψ₀⟩,   (17.18)

trong đó E chỉ là một số — năng lượng của trạng thái. Nếu chúng ta có bất kỳ toán tử Q̂ nào là một toán tử đối xứng của hệ, chúng ta có thể chứng minh rằng

Q̂ |ψ₀⟩ = e^iδ |ψ₀⟩   (17.19)

chừng nào |ψ₀⟩ là một trạng thái duy nhất có năng lượng xác định. Xét trạng thái mới |ψ₀′⟩ bạn nhận được từ việc tác động bằng Q̂. Nếu vật lý là đối xứng, thì |ψ₀′⟩ phải có cùng năng lượng như |ψ₀⟩. Nhưng chúng ta đã lấy một tình huống trong đó chỉ có một trạng thái có năng lượng đó, cụ thể là |ψ₀⟩, nên |ψ₀′⟩ phải là cùng một trạng thái — nó chỉ có thể khác nhau bởi một pha. Đó là lập luận vật lý.

Cùng điều đó xuất phát từ toán học của chúng ta. Định nghĩa của chúng ta về đối xứng là Phương trình (17.10) hay Phương trình (17.11) (tốt cho bất kỳ trạng thái ψ nào),

ĤQ̂ |ψ⟩ = Q̂Ĥ |ψ⟩.   (17.20)

Nhưng chúng ta chỉ đang xét một trạng thái |ψ₀⟩ là một trạng thái năng lượng xác định, sao cho Ĥ |ψ₀⟩ = E |ψ₀⟩. Vì E chỉ là một số trôi qua Q̂ nếu chúng ta muốn, chúng ta có

Q̂Ĥ |ψ₀⟩ = Q̂ E |ψ₀⟩ = E Q̂ |ψ₀⟩.

Vậy

Ĥ{Q̂ |ψ₀⟩} = E{Q̂ |ψ₀⟩}.   (17.21)

Vậy |ψ₀′⟩ = Q̂ |ψ₀⟩ cũng là một trạng thái năng lượng xác định của Ĥ — và với cùng E. Nhưng theo giả thiết của chúng ta, chỉ có một trạng thái như vậy; nó phải là |ψ₀′⟩ = e^iδ |ψ₀⟩.

Điều chúng ta vừa chứng minh đúng đối với bất kỳ toán tử Q̂ nào là một toán tử đối xứng của hệ vật lý. Do đó, trong một tình huống mà chúng ta chỉ xét các lực điện và các tương tác mạnh — và không có phân rã β — sao cho đối xứng nghịch đảo là một phép gần đúng được phép, chúng ta có P̂ |ψ⟩ = e^iδ |ψ⟩. Nhưng chúng ta cũng đã thấy rằng e^iδ phải là hoặc +1 hoặc −1. Vậy bất kỳ trạng thái nào có một năng lượng xác định (mà không suy biến) đều có hoặc một tính chẵn lẻ chẵn hoặc một tính chẵn lẻ lẻ.

17–3  Các định luật bảo toàn

Bây giờ chúng ta chuyển sang một ví dụ thú vị khác về một phép toán: một phép quay. Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của một toán tử quay một hệ nguyên tử một góc φ quanh trục z. Chúng ta sẽ gọi toán tử này⁴ là R̂_z(φ). Chúng ta sẽ giả sử rằng chúng ta có một tình huống vật lý mà trong đó chúng ta không có các ảnh hưởng nào được sắp xếp dọc theo các trục x và y. Bất kỳ điện trường hay từ trường nào cũng được lấy song song với trục z⁵ sao cho sẽ không có thay đổi nào trong các điều kiện bên ngoài nếu chúng ta quay toàn bộ hệ vật lý quanh trục z. Chẳng hạn, nếu chúng ta có một nguyên tử trong không gian trống và chúng ta quay nguyên tử quanh trục z một góc φ, chúng ta có cùng một hệ vật lý.

Bây giờ, có các trạng thái đặc biệt có tính chất là một phép toán như vậy tạo ra một trạng thái mới là trạng thái gốc nhân với một thừa số pha nào đó. Hãy đưa ra một nhận xét phụ nhanh để cho bạn thấy rằng khi điều này đúng, sự thay đổi pha luôn phải tỉ lệ với góc φ. Giả sử bạn quay hai lần một góc φ. Điều đó giống như quay một góc 2φ. Nếu một phép quay một góc φ có hiệu quả nhân trạng thái |ψ₀⟩ với một pha e^iδ sao cho

R̂_z(φ) |ψ₀⟩ = e^iδ |ψ₀⟩,

hai phép quay liên tiếp như vậy sẽ nhân trạng thái với thừa số (e^iδ)² = e^i2δ, vì

R̂_z(φ)R̂_z(φ) |ψ₀⟩ = R̂_z(φ)e^iδ |ψ₀⟩ = e^iδR̂_z(φ) |ψ₀⟩ = e^iδe^iδ |ψ₀⟩.

Sự thay đổi pha δ phải tỉ lệ với φ.⁶ Vậy chúng ta đang xét các trạng thái đặc biệt |ψ₀⟩ mà đối với chúng

R̂_z(φ) |ψ₀⟩ = e^imφ |ψ₀⟩,   (17.22)

trong đó m là một số thực nào đó.

Chúng ta cũng biết sự kiện đáng chú ý là nếu hệ đối xứng đối với một phép quay quanh z và nếu trạng thái gốc tình cờ có tính chất là (17.22) đúng, thì nó cũng sẽ có cùng tính chất sau này. Vậy số m này là một số rất quan trọng. Nếu chúng ta biết giá trị của nó ban đầu, chúng ta biết giá trị của nó ở cuối cuộc chơi. Nó là một số được bảo toàn — m là một hằng số của chuyển động. Lý do chúng ta tách m ra là vì nó không có gì liên quan đến bất kỳ góc đặc biệt φ nào, và cũng vì nó tương ứng với một thứ gì đó trong cơ học cổ điển. Trong cơ học lượng tử, chúng ta chọn gọi mħ — đối với các trạng thái như |ψ₀⟩ — là momen động lượng quanh trục z. Nếu chúng ta làm vậy, chúng ta thấy rằng trong giới hạn của các hệ lớn, cùng đại lượng đó bằng thành phần z của momen động lượng của cơ học cổ điển. Vậy nếu chúng ta có một trạng thái mà đối với nó một phép quay quanh trục z chỉ tạo ra một thừa số pha e^imφ, thì chúng ta có một trạng thái có momen động lượng xác định quanh trục đó — và momen động lượng được bảo toàn. Nó là mħ bây giờ và mãi mãi. Dĩ nhiên, bạn có thể quay quanh bất kỳ trục nào, và bạn nhận được sự bảo toàn momen động lượng đối với các trục khác nhau. Bạn thấy rằng sự bảo toàn momen động lượng liên hệ với sự kiện là khi bạn quay một hệ, bạn nhận được cùng một trạng thái chỉ với một thừa số pha mới.

Chúng tôi muốn cho bạn thấy ý tưởng này tổng quát như thế nào. Chúng ta sẽ áp dụng nó cho hai định luật bảo toàn khác có sự tương ứng chính xác trong các ý tưởng vật lý với sự bảo toàn momen động lượng. Trong vật lý cổ điển chúng ta cũng có bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng, và thật thú vị khi thấy rằng cả hai điều này đều liên hệ theo cùng một cách với một đối xứng vật lý nào đó.

Giả sử chúng ta có một hệ vật lý — một nguyên tử, một hạt nhân phức tạp nào đó, hay một phân tử, hay một thứ gì đó — và không có gì khác biệt nếu chúng ta lấy toàn bộ hệ và di chuyển nó sang một nơi khác. Vậy chúng ta có một Hamilton có tính chất là nó chỉ phụ thuộc vào các tọa độ nội bộ theo một nghĩa nào đó, và không phụ thuộc vào vị trí tuyệt đối trong không gian. Dưới các hoàn cảnh đó có một phép toán đối xứng đặc biệt chúng ta có thể thực hiện, đó là một phép tịnh tiến trong không gian. Hãy định nghĩa D̂_x(a) là phép toán của một sự dời chỗ một khoảng a dọc theo trục x. Khi đó đối với bất kỳ trạng thái nào chúng ta cũng có thể thực hiện phép toán này và nhận được một trạng thái mới. Nhưng lại nữa, có thể có các trạng thái rất đặc biệt có tính chất là khi bạn dời chúng một khoảng a dọc theo trục x bạn nhận được cùng một trạng thái trừ một thừa số pha. Cũng có thể chứng minh, đúng như chúng ta đã làm ở trên, rằng khi điều này xảy ra, pha phải tỉ lệ với a. Vậy chúng ta có thể viết đối với các trạng thái đặc biệt |ψ₀⟩ này

D̂_x(a) |ψ₀⟩ = e^ika |ψ₀⟩.   (17.23)

Hệ số k, khi nhân với ħ, được gọi là thành phần x của động lượng. Và lý do nó được gọi như vậy là số này bằng số với động lượng cổ điển p_x khi chúng ta có một hệ lớn. Phát biểu tổng quát là thế này: Nếu Hamilton không thay đổi khi hệ được dời chỗ, và nếu trạng thái bắt đầu với một động lượng xác định theo hướng x, thì động lượng theo hướng x sẽ giữ nguyên khi thời gian trôi qua. Tổng động lượng của một hệ trước và sau các va chạm — hay sau các vụ nổ hay bất cứ gì — sẽ như nhau.

Có một phép toán khác khá tương tự với phép dời chỗ trong không gian: một sự trễ trong thời gian. Giả sử chúng ta có một tình huống vật lý mà trong đó không có gì bên ngoài phụ thuộc vào thời gian, và chúng ta khởi động một thứ gì đó tại một thời điểm nhất định trong một trạng thái cho trước và để nó lăn. Bây giờ nếu chúng ta khởi động cùng một thứ đó một lần nữa (trong một thí nghiệm khác) hai giây sau — hay, chẳng hạn, bị trễ một thời gian τ — và nếu không có gì trong các điều kiện bên ngoài phụ thuộc vào thời gian tuyệt đối, sự phát triển sẽ như nhau và trạng thái cuối sẽ giống như trạng thái cuối kia, trừ việc nó sẽ tới đó muộn hơn một thời gian τ. Dưới các hoàn cảnh đó chúng ta cũng có thể tìm các trạng thái đặc biệt có tính chất là sự phát triển theo thời gian có đặc điểm đặc biệt là trạng thái bị trễ chỉ là trạng thái cũ, nhân với một thừa số pha. Một lần nữa rõ ràng là đối với các trạng thái đặc biệt này sự thay đổi pha phải tỉ lệ với τ. Chúng ta có thể viết

D̂_t(τ) |ψ₀⟩ = e^−iωτ |ψ₀⟩.   (17.24)

Người ta quy ước dùng dấu trừ trong việc định nghĩa ω; với quy ước này ωħ là năng lượng của hệ, và nó được bảo toàn. Vậy một hệ có năng lượng xác định là một hệ mà khi bị dời τ trong thời gian nó tự tái tạo chính nó nhân với e^−iωτ. (Đó là điều chúng ta đã nói trước đây khi chúng ta định nghĩa một trạng thái lượng tử có năng lượng xác định, vậy chúng ta nhất quán với chính mình.) Nó có nghĩa là nếu một hệ ở trong một trạng thái có năng lượng xác định, và nếu Hamilton không phụ thuộc vào t, thì dù bất cứ điều gì xảy ra, hệ sẽ có cùng năng lượng tại mọi thời gian sau đó.

Vậy bạn thấy, mối quan hệ giữa các định luật bảo toàn và tính đối xứng của thế giới. Đối xứng đối với các phép dời chỗ trong thời gian hàm ý sự bảo toàn năng lượng; đối xứng đối với vị trí theo x, y, hay z hàm ý sự bảo toàn thành phần động lượng đó. Đối xứng đối với các phép quay quanh các trục x-, y-, và z- hàm ý sự bảo toàn các thành phần x-, y-, và z- của momen động lượng. Đối xứng đối với phép phản chiếu hàm ý sự bảo toàn tính chẵn lẻ. Đối xứng đối với việc hoán đổi hai electron hàm ý sự bảo toàn của một thứ gì đó chúng ta không có tên gọi, và cứ thế. Một số trong các nguyên lý này có các tương tự cổ điển và một số thì không. Có nhiều định luật bảo toàn trong cơ học lượng tử hơn là hữu ích trong cơ học cổ điển — hay, ít nhất, hơn là thường được sử dụng.

Để bạn có thể đọc các cuốn sách khác về cơ học lượng tử, chúng ta phải đưa ra một ghi chú kỹ thuật nhỏ — để mô tả ký hiệu mà mọi người sử dụng. Phép toán của một phép dời chỗ đối với thời gian, dĩ nhiên, chỉ là phép toán Û chúng ta đã nói trước đây:

D̂_t(τ) = Û(t + τ,t).   (17.25)

Hầu hết mọi người thích thảo luận mọi thứ theo các phép dời chỗ vô cùng nhỏ trong thời gian, hay theo các phép dời chỗ vô cùng nhỏ trong không gian, hay theo các phép quay qua các góc vô cùng nhỏ. Vì bất kỳ phép dời chỗ hay góc hữu hạn nào cũng có thể được tích lũy bằng một dãy các phép dời chỗ hay góc vô cùng nhỏ, thường dễ dàng hơn khi phân tích trước trường hợp vô cùng nhỏ. Toán tử của một phép dời chỗ vô cùng nhỏ Δt trong thời gian là — như chúng ta đã định nghĩa nó trong Chương 8 —

D̂_t(Δt) = 1 − (i/ħ)Ĥ Δt.   (17.26)

Khi đó Ĥ tương tự như đại lượng cổ điển chúng ta gọi là năng lượng, bởi vì nếu Ĥ |ψ⟩ tình cờ là một hằng số nhân với |ψ⟩, cụ thể là Ĥ |ψ⟩ = E |ψ⟩, thì hằng số đó là năng lượng của hệ.

Điều tương tự được thực hiện đối với các phép toán khác. Nếu chúng ta thực hiện một phép dời chỗ nhỏ theo x, chẳng hạn một lượng Δx, một trạng thái |ψ⟩ sẽ, nói chung, chuyển thành một trạng thái nào khác |ψ′⟩. Chúng ta có thể viết

|ψ′⟩ = D̂_x(Δx) |ψ⟩ = (1 + (i/ħ)p̂_xΔx) |ψ⟩,   (17.27)

vì khi Δx tiến tới không, |ψ′⟩ phải trở thành đúng |ψ⟩ hay D̂_x(0) = 1, và đối với Δx nhỏ sự thay đổi của D̂_x(Δx) so với 1 phải tỉ lệ với Δx. Được định nghĩa theo cách này, toán tử p̂_x được gọi là toán tử động lượng — dĩ nhiên là cho thành phần x.

Vì các lý do giống hệt, mọi người thường viết đối với các phép quay nhỏ

R̂_z(Δφ) |ψ⟩ = (1 + (i/ħ)Ĵ_zΔφ) |ψ⟩   (17.28)

và gọi Ĵ_z là toán tử của thành phần z của momen động lượng. Đối với các trạng thái đặc biệt mà đối với chúng R̂_z(φ) |ψ₀⟩ = e^imφ |ψ₀⟩, chúng ta có thể đối với bất kỳ góc nhỏ nào — chẳng hạn Δφ — khai triển vế phải tới bậc nhất theo Δφ và nhận được

R̂_z(Δφ) |ψ₀⟩ = e^imΔφ |ψ₀⟩ = (1 + imΔφ) |ψ₀⟩.

So sánh điều này với định nghĩa của Ĵ_z trong Phương trình (17.28), chúng ta nhận được

Ĵ_z |ψ₀⟩ = mħ |ψ₀⟩.   (17.29)

Nói cách khác, nếu bạn tác động bằng Ĵ_z lên một trạng thái có momen động lượng xác định quanh trục z, bạn nhận được mħ nhân với cùng trạng thái đó, trong đó mħ là lượng thành phần z của momen động lượng. Nó khá tương tự với việc tác động lên một trạng thái năng lượng xác định bằng Ĥ để nhận được E |ψ⟩.

Bây giờ chúng tôi muốn thực hiện một số ứng dụng của các ý tưởng về sự bảo toàn momen động lượng — để cho bạn thấy chúng hoạt động như thế nào. Điểm chính là chúng thực sự rất đơn giản. Bạn đã biết trước rằng momen động lượng được bảo toàn. Điều duy nhất bạn thực sự phải nhớ từ chương này là nếu một trạng thái |ψ₀⟩ có tính chất là khi quay một góc φ quanh trục z, nó trở thành e^imφ |ψ₀⟩; nó có một thành phần z của momen động lượng bằng mħ. Đó là tất cả những gì chúng ta sẽ cần để làm một số điều thú vị.

17–4  Ánh sáng phân cực

Trước hết chúng tôi muốn kiểm tra một ý tưởng. Trong Mục 11-4 chúng ta đã chỉ ra rằng khi ánh sáng phân cực tròn phải (RHC) được nhìn trong một hệ quy chiếu quay một góc φ quanh trục z⁷ nó được nhân với e^iφ. Điều đó có nghĩa là các photon của ánh sáng phân cực tròn phải mang một momen động lượng bằng một đơn vị⁸ dọc theo trục z không? Quả thực là vậy. Nó cũng có nghĩa là nếu chúng ta có một chùm ánh sáng chứa một số lượng lớn các photon tất cả đều phân cực tròn theo cùng một cách — như chúng ta sẽ có trong một chùm cổ điển — nó sẽ mang momen động lượng. Nếu tổng năng lượng do chùm mang trong một thời gian nhất định là W, thì có N = W/ħω photon. Mỗi photon mang momen động lượng ħ, vì vậy có một tổng momen động lượng bằng

J_z = Nħ = W/ω.   (17.30)

Chúng ta có thể chứng minh theo cổ điển rằng ánh sáng phân cực tròn phải mang một năng lượng và momen động lượng theo tỉ lệ W/ω không? Đó phải là một mệnh đề cổ điển nếu mọi thứ đều đúng. Ở đây chúng ta có một trường hợp mà chúng ta có thể đi từ thứ lượng tử sang thứ cổ điển. Chúng ta nên xem vật lý cổ điển có khớp không. Nó sẽ cho chúng ta một ý niệm về việc chúng ta có quyền gọi m là momen động lượng hay không. Hãy nhớ ánh sáng phân cực tròn phải là gì, theo cổ điển. Nó được mô tả bằng một điện trường có một thành phần x dao động và một thành phần y dao động lệch pha 90° sao cho vectơ điện tổng hợp E đi theo một vòng tròn — như được vẽ trong Hình 17–5(a). Bây giờ giả sử ánh sáng như vậy chiếu lên một bức tường sẽ hấp thụ nó — hay ít nhất một phần của nó — và xét một nguyên tử trong bức tường theo vật lý cổ điển. Chúng ta thường đã mô tả chuyển động của electron trong nguyên tử như một dao động tử điều hòa có thể bị điều khiển vào dao động bởi một điện trường ngoài. Chúng ta sẽ giả sử rằng nguyên tử là đẳng hướng, sao cho nó có thể dao động tốt như nhau theo các hướng x hay y. Khi đó trong ánh sáng phân cực tròn, độ dời x và độ dời y là như nhau, nhưng một cái chậm hơn cái kia 90°. Kết quả thuần là electron chuyển động theo một vòng tròn, như được biểu diễn trong Hình 17–5(b). Electron bị dời một độ dời r nào đó khỏi vị trí cân bằng của nó tại gốc tọa độ và đi vòng quanh với một độ trễ pha nào đó đối với vectơ E. Quan hệ giữa E và r có thể như được biểu diễn trong Hình 17–5(b). Khi thời gian trôi qua, điện trường quay và độ dời quay với cùng tần số, vì vậy định hướng tương đối của chúng giữ nguyên. Bây giờ hãy nhìn vào công đang được thực hiện trên electron này. Tốc độ năng lượng được đưa vào electron này là v, vận tốc của nó, nhân với thành phần của qE song song với vận tốc:

dW/dt = qE_tv.   (17.31)

Nhưng nhìn kìa, có momen động lượng đang được đổ vào electron này, bởi vì luôn có một mô-men xoắn quanh gốc tọa độ. Mô-men xoắn là qE_tr, nó phải bằng tốc độ thay đổi của momen động lượng dJ_z/dt:

dJ_z/dt = qE_tr.   (17.32)

Nhớ rằng v = ωr, chúng ta có

dJ_z/dW = 1/ω.

Do đó, nếu chúng ta tích phân tổng momen động lượng được hấp thụ, nó tỉ lệ với tổng năng lượng — hằng số tỉ lệ là 1/ω, nó phù hợp với Phương trình (17.30). Ánh sáng thực sự mang momen động lượng — 1 đơn vị (nhân với ħ) nếu nó phân cực tròn phải dọc theo trục z, và −1 đơn vị dọc theo trục z nếu nó phân cực tròn trái.

Bây giờ hãy đặt câu hỏi sau: Nếu ánh sáng phân cực tuyến tính theo hướng x, momen động lượng của nó là gì? Ánh sáng phân cực theo hướng x có thể được biểu diễn như sự chồng chất của ánh sáng phân cực RHC và LHC. Do đó, có một biên độ nào đó để momen động lượng là +ħ và một biên độ khác để momen động lượng là −ħ, vì vậy nó không có một momen động lượng xác định. Nó có một biên độ để xuất hiện với +ħ và một biên độ bằng nhau để xuất hiện với −ħ. Sự giao thoa của hai biên độ này tạo ra sự phân cực tuyến tính, nhưng nó có các xác suất bằng nhau để xuất hiện với cộng hay trừ một đơn vị momen động lượng. Các phép đo vĩ mô thực hiện trên một chùm ánh sáng phân cực tuyến tính sẽ cho thấy nó mang momen động lượng bằng không, bởi vì trong một số lượng lớn các photon có gần như cùng số photon RHC và LHC đóng góp các lượng momen động lượng đối ngược — momen động lượng trung bình bằng không. Và trong lý thuyết cổ điển bạn không tìm thấy momen động lượng trừ khi có một sự phân cực tròn nào đó.

Chúng ta đã nói rằng bất kỳ hạt spin-một nào cũng có thể có ba giá trị của J_z, cụ thể là +1, 0, −1 (ba trạng thái chúng ta đã thấy trong thí nghiệm Stern-Gerlach). Nhưng ánh sáng thì kỳ cục; nó chỉ có hai trạng thái. Nó không có trường hợp không. Sự thiếu hụt kỳ lạ này liên hệ với sự kiện là ánh sáng không thể đứng yên. Đối với một hạt có spin j đang đứng yên, phải có 2j + 1 trạng thái khả dĩ với các giá trị của j_z đi theo các bước 1 từ −j tới +j. Nhưng hóa ra đối với một thứ gì đó có spin j với khối lượng bằng không chỉ các trạng thái có các thành phần +j và −j dọc theo hướng chuyển động là tồn tại. Chẳng hạn, ánh sáng không có ba trạng thái, mà chỉ hai — mặc dù một photon vẫn là một vật có spin bằng một. Điều này nhất quán như thế nào với các chứng minh trước đây của chúng ta — dựa trên điều gì xảy ra dưới các phép quay trong không gian — rằng đối với các hạt spin-một ba trạng thái là cần thiết? Đối với một hạt đứng yên, các phép quay có thể được thực hiện quanh bất kỳ trục nào mà không làm thay đổi trạng thái động lượng. Các hạt có khối lượng nghỉ bằng không (như photon và neutrino) không thể đứng yên; chỉ các phép quay quanh trục dọc theo hướng chuyển động mới không làm thay đổi trạng thái động lượng. Các lập luận về các phép quay quanh một trục duy nhất là không đủ để chứng minh rằng ba trạng thái là cần thiết, cho rằng một trong chúng thay đổi như e^iφ dưới các phép quay một góc φ.⁹

Thêm một nhận xét phụ nữa. Đối với một hạt có khối lượng nghỉ bằng không, nói chung, chỉ một trong hai trạng thái spin đối với đường chuyển động (+j, −j) là thực sự cần thiết. Đối với neutrino — chúng là các hạt spin một phần hai — chỉ các trạng thái có thành phần momen động lượng ngược với hướng chuyển động (−ħ/2) là tồn tại trong tự nhiên [và chỉ dọc theo chuyển động (+ħ/2) đối với phản neutrino]. Khi một hệ có đối xứng nghịch đảo (sao cho tính chẵn lẻ được bảo toàn, như đối với ánh sáng) cả hai thành phần (+j và −j) đều cần thiết.

17–5  Sự phân rã của Λ⁰

Bây giờ chúng tôi muốn đưa ra một ví dụ về cách chúng ta dùng định lý bảo toàn momen động lượng trong một bài toán vật lý lượng tử cụ thể. Chúng ta xem xét sự vỡ ra của hạt lambda (Λ⁰), nó phân rã thành một proton và một meson π⁻ bởi một tương tác “yếu”:

Λ⁰ → p + π⁻.

Giả sử chúng ta biết rằng pion có spin bằng không, rằng proton có spin một phần hai, và rằng Λ⁰ có spin một phần hai. Chúng ta muốn giải bài toán sau: Giả sử một Λ⁰ được tạo ra theo một cách làm cho nó hoàn toàn phân cực — ý chúng ta là spin của nó, chẳng hạn, “hướng lên”, đối với một trục z nào đó được chọn thích hợp — xem Hình 17–6(a). Câu hỏi là, với xác suất nào nó sẽ phân rã sao cho proton bay ra ở một góc θ đối với trục z — như trong Hình 17–6(b)? Nói cách khác, phân bố góc của các phân rã là gì? Chúng ta sẽ xem xét sự phân rã trong hệ tọa độ trong đó Λ⁰ đứng yên — chúng ta sẽ đo các góc trong hệ quy chiếu nghỉ này; sau đó chúng luôn có thể được biến đổi sang một hệ khác nếu chúng ta muốn.

Chúng ta bắt đầu bằng cách xem xét hoàn cảnh đặc biệt trong đó proton được phát ra vào một góc khối nhỏ ΔΩ dọc theo trục z (Hình 17–7). Trước sự phân rã chúng ta có một Λ⁰ với spin “hướng lên”, như trong phần (a) của hình. Sau một thời gian ngắn — vì những lý do cho đến ngày nay vẫn chưa biết, trừ việc chúng liên hệ với các phân rã yếu — Λ⁰ nổ thành một proton và một pion. Giả sử proton đi lên dọc theo trục +z. Khi đó, từ sự bảo toàn động lượng, pion phải đi xuống. Vì proton là một hạt spin một phần hai, spin của nó phải hoặc “hướng lên” hoặc “hướng xuống” — về nguyên tắc có hai khả năng được biểu diễn trong các phần (b) và (c) của hình. Tuy nhiên, sự bảo toàn momen động lượng đòi hỏi proton có spin “hướng lên”. Điều này dễ thấy nhất từ lập luận sau. Một hạt chuyển động dọc theo trục z không thể đóng góp bất kỳ momen động lượng nào quanh trục này do chuyển động của nó; do đó, chỉ các spin mới có thể đóng góp vào J_z. Momen động lượng spin quanh trục z là +ħ/2 trước sự phân rã, vì vậy nó cũng phải là +ħ/2 sau đó. Chúng ta có thể nói rằng vì pion không có spin, spin của proton phải “hướng lên”.

Nếu bạn lo lắng rằng các lập luận thuộc loại này có thể không hợp lệ trong cơ học lượng tử, chúng ta có thể dành một chút thời gian để cho bạn thấy rằng chúng hợp lệ. Trạng thái đầu (trước sự phân rã), chúng ta có thể gọi là |Λ⁰, spin (+z)⟩, có tính chất là nếu nó được quay quanh trục z một góc φ, vectơ trạng thái được nhân với thừa số pha e^iφ/2. (Trong hệ đã quay, vectơ trạng thái là e^iφ/2|Λ⁰, spin (+z)⟩.) Đó là điều chúng ta có ý khi nói spin “hướng lên” đối với một hạt spin một phần hai. Vì hành vi của tự nhiên không phụ thuộc vào lựa chọn các trục của chúng ta, trạng thái cuối (proton cộng pion) phải có cùng tính chất. Chúng ta có thể viết trạng thái cuối, chẳng hạn, là

|proton đi +z, spin +z; pion đi −z⟩.

Nhưng chúng ta thực sự không cần chỉ rõ chuyển động của pion, vì trong hệ quy chiếu chúng ta đã chọn pion luôn chuyển động ngược lại proton; chúng ta có thể đơn giản hóa mô tả của trạng thái cuối thành

|proton đi +z, spin +z⟩.

Bây giờ điều gì xảy ra với vectơ trạng thái này nếu chúng ta quay các tọa độ quanh trục z một góc φ?

Vì proton và pion đang chuyển động dọc theo trục z, chuyển động của chúng không bị thay đổi bởi phép quay. (Đó là lý do chúng ta chọn trường hợp đặc biệt này; chúng ta không thể thực hiện lập luận bằng cách khác.) Ngoài ra, không có gì xảy ra với pion, vì nó có spin bằng không. Tuy nhiên, proton có spin một phần hai. Nếu spin của nó “hướng lên” nó sẽ đóng góp một sự thay đổi pha e^iφ/2 đáp ứng với phép quay. (Nếu spin của nó “hướng xuống” sự thay đổi pha do proton sẽ là e^−iφ/2.) Nhưng sự thay đổi pha theo phép quay trước và sau sự kiện phải như nhau nếu momen động lượng được bảo toàn. (Và nó sẽ vậy, vì không có các ảnh hưởng bên ngoài trong Hamilton.) Vậy khả năng duy nhất là spin của proton sẽ “hướng lên”. Nếu proton đi lên, spin của nó cũng phải “hướng lên”.

Vậy chúng ta kết luận rằng sự bảo toàn momen động lượng cho phép quá trình được biểu diễn trong phần (b) của Hình 17–7, nhưng không cho phép quá trình được biểu diễn trong phần (c). Vì chúng ta biết rằng sự phân rã xảy ra, có một biên độ nào đó cho quá trình (b) — proton đi lên với spin “hướng lên”. Chúng ta sẽ cho a là biên độ mà sự phân rã xảy ra theo cách này trong bất kỳ khoảng thời gian vô cùng nhỏ nào.¹⁰

Bây giờ hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu spin của Λ⁰ ban đầu “hướng xuống”. Một lần nữa chúng ta hỏi về các phân rã trong đó proton đi lên dọc theo trục z, như được biểu diễn trong Hình 17–8. Bạn sẽ đánh giá cao rằng trong trường hợp này proton phải có spin “hướng xuống” nếu momen động lượng được bảo toàn. Hãy nói rằng biên độ cho một sự phân rã như vậy là b.

Chúng ta không thể nói gì thêm về hai biên độ a và b. Chúng phụ thuộc vào bộ máy bên trong của Λ⁰, và các phân rã yếu, và chưa ai biết cách tính chúng. Chúng ta sẽ phải lấy chúng từ thực nghiệm. Nhưng chỉ với hai biên độ này chúng ta có thể tìm ra mọi thứ chúng ta muốn biết về phân bố góc của sự phân rã. Chúng ta chỉ phải cẩn thận luôn định nghĩa hoàn toàn các trạng thái chúng ta đang nói tới.

Chúng ta muốn biết xác suất mà proton sẽ bay ra ở góc θ đối với trục z (vào một góc khối nhỏ ΔΩ) như được vẽ trong Hình 17–6. Hãy đặt một trục z mới theo hướng này và gọi nó là trục z′. Chúng ta biết cách phân tích những gì xảy ra dọc theo trục này. Đối với trục mới này, Λ⁰ không còn có spin “hướng lên”, mà có một biên độ nào đó để có spin “hướng lên” và một biên độ khác để có spin “hướng xuống”. Chúng ta đã tính các điều này trong Chương 6, và một lần nữa trong Chương 10, Phương trình (10.30). Biên độ để có spin “hướng lên” là cos θ/2, và biên độ để có spin “hướng xuống” l๹ −sin θ/2. Khi spin của Λ⁰ “hướng lên” dọc theo trục z′ nó sẽ phát ra một proton theo hướng +z′ với biên độ a. Vậy biên độ để tìm thấy một proton có spin “hướng lên” đi ra dọc theo hướng z′ là

a cos θ/2.   (17.33)

Tương tự, biên độ để tìm thấy một proton có spin “hướng xuống” đi dọc theo trục z′ dương là

−b sin θ/2.   (17.34)

Hai quá trình mà các biên độ này chỉ tới được biểu diễn trong Hình 17–9.

Bây giờ hãy đặt câu hỏi dễ dàng sau. Nếu Λ⁰ có spin hướng lên dọc theo trục z, xác suất để proton phân rã sẽ bay ra ở góc θ là bao nhiêu? Hai trạng thái spin (“hướng lên” hay “hướng xuống” dọc theo z′) là phân biệt được ngay cả khi chúng ta sẽ không nhìn vào chúng. Vậy để nhận được xác suất chúng ta bình phương các biên độ và cộng lại. Xác suất f(θ) để tìm thấy một proton trong một góc khối nhỏ ΔΩ tại θ là

f(θ) = |a|² cos² θ/2 + |b|² sin² θ/2.   (17.35)

Nhớ rằng sin² θ/2 = ½(1 − cos θ) và cos² θ/2 = ½(1 + cos θ), chúng ta có thể viết f(θ) dưới dạng

f(θ) = ((|a|² + |b|²)/2) + ((|a|² − |b|²)/2) cos θ.   (17.36)

Phân bố góc có dạng

f(θ) = β(1 + α cos θ).   (17.37)

Xác suất có một phần không phụ thuộc vào θ và một phần thay đổi tuyến tính theo cos θ. Từ việc đo phân bố góc chúng ta có thể nhận được α và β, và do đó, |a| và |b|.

Bây giờ có nhiều câu hỏi khác chúng ta có thể trả lời. Chúng ta chỉ quan tâm đến các proton có spin “hướng lên” dọc theo trục z cũ thôi sao? Mỗi số hạng trong (17.33) và (17.34) sẽ cho một biên độ để tìm thấy một proton có spin “hướng lên” và có spin “hướng xuống” đối với trục z′ (+z′ và −z′). Spin “hướng lên” đối với trục cũ |+z⟩ có thể được biểu diễn theo các trạng thái cơ sở |+z′⟩ và |−z′⟩. Sau đó chúng ta có thể kết hợp hai biên độ (17.33) và (17.34) với các hệ số đúng (cos θ/2 và −sin θ/2) để nhận được tổng biên độ

(a cos² θ/2 + b sin² θ/2).

Bình phương của nó là xác suất mà proton đi ra ở góc θ với spin của nó giống như của Λ⁰ (“hướng lên” dọc theo trục z).

Nếu tính chẵn lẻ được bảo toàn, chúng ta có thể nói thêm một điều nữa. Sự phân rã của Hình 17–8 chỉ là phép phản chiếu — trong mặt phẳng xy của sự phân rã — của Hình 17–7.¹² Nếu tính chẵn lẻ được bảo toàn, b sẽ phải bằng a hay bằng −a. Khi đó hệ số α của (17.37) sẽ bằng không, và sự phân rã sẽ có khả năng xảy ra như nhau theo mọi hướng.

Tuy nhiên, các kết quả thực nghiệm cho thấy rằng có một sự bất đối xứng trong sự phân rã. Phân bố góc đo được thực sự đi như cos θ như chúng ta dự đoán — và không phải như cos² θ hay bất kỳ lũy thừa nào khác. Thực tế, vì phân bố góc có dạng này, chúng ta có thể suy ra từ các phép đo này rằng spin của Λ⁰ là 1/2. Ngoài ra, chúng ta thấy rằng tính chẵn lẻ không được bảo toàn. Thực tế, hệ số α được tìm thấy theo thực nghiệm là −0,62 ± 0,05, vì vậy b lớn khoảng gấp đôi a. Sự thiếu đối xứng dưới một phép phản chiếu là khá rõ ràng.

Bạn thấy chúng ta có thể nhận được bao nhiêu từ sự bảo toàn momen động lượng. Chúng ta sẽ đưa ra thêm một số ví dụ trong chương sau.

Ghi chú trong ngoặc đơn. Bởi biên độ a trong mục này chúng ta có ý là biên độ trên một giây mà trạng thái |proton đi (+z), spin (+z)⟩ được tạo ra từ trạng thái |Λ, spin (+z)⟩, hay, nói cách khác, là

⟨proton đi +z, spin +z|Ĥ|Λ, spin +z⟩ = iħa,   (17.38)

trong đó Ĥ là Hamilton của thế giới — hay, ít nhất, của bất cứ thứ gì chịu trách nhiệm cho sự phân rã Λ. Sự bảo toàn momen động lượng có nghĩa là Hamilton phải có tính chất là

⟨proton đi +z, spin −z|Ĥ|Λ, spin +z⟩ = 0.   (17.39)

Bởi biên độ b chúng ta có ý là

⟨proton đi +z, spin −z|Ĥ|Λ, spin −z⟩ = iħb.   (17.40)

Sự bảo toàn momen động lượng hàm ý rằng

⟨proton đi +z, spin +z|Ĥ|Λ, spin −z⟩ = 0.   (17.41)

Nếu các biên độ được viết trong (17.33) và (17.34) không rõ ràng, chúng ta có thể biểu diễn chúng một cách toán học hơn như sau. Bởi (17.33) chúng ta có ý là biên độ mà Λ có spin dọc theo +z sẽ phân rã thành một proton chuyển động dọc theo hướng +z′ với spin của nó cũng theo hướng +z′, cụ thể là biên độ

⟨proton đi +z′, spin +z′|Ĥ|Λ, spin +z⟩.   (17.42)

Bởi các định lý tổng quát của cơ học lượng tử, biên độ này có thể được viết dưới dạng

Σ_i ⟨proton đi +z′, spin +z′|Ĥ|Λ,i⟩⟨Λ,i|Λ, spin +z⟩,   (17.43)

trong đó tổng được lấy trên các trạng thái cơ sở |Λ,i⟩ của hạt Λ đứng yên. Vì hạt Λ là spin một phần hai, có hai trạng thái cơ sở như vậy, chúng có thể ở trong bất kỳ cơ sở quy chiếu nào chúng ta muốn. Nếu chúng ta dùng làm các trạng thái cơ sở spin “hướng lên” và spin “hướng xuống” đối với z′ (+z′, −z′), biên độ của (17.43) bằng tổng

⟨proton đi +z′, spin +z′|Ĥ|Λ,+z′⟩⟨Λ,+z′|Λ,+z⟩
+ ⟨proton đi +z′, spin +z′|Ĥ|Λ,−z′⟩⟨Λ,−z′|Λ,+z⟩.   (17.44)

Thừa số đầu tiên của số hạng đầu tiên là iħa, và thừa số đầu tiên của số hạng thứ hai bằng không — từ định nghĩa của (17.38), và từ (17.41), nó lần lượt suy ra từ sự bảo toàn momen động lượng. Thừa số còn lại ⟨Λ,+z′|Λ,+z⟩ của số hạng đầu tiên chỉ là biên độ mà một hạt spin một phần hai có spin “hướng lên” dọc theo một trục cũng sẽ có spin “hướng lên” dọc theo một trục nghiêng một góc θ, nó là cos θ/2 — xem Bảng 6–2. Vậy (17.44) chỉ là iħa cos θ/2, tương tự như những gì chúng ta đã viết trong (17.33). Biên độ của (17.34) suy ra từ cùng loại lập luận cho một hạt Λ có spin “hướng xuống”.

17–6  Tóm tắt các ma trận quay

Bây giờ chúng tôi muốn tập hợp vào một chỗ các thứ khác nhau chúng ta đã học về các phép quay đối với các hạt spin một phần hai và spin một — để chúng thuận tiện cho việc tra cứu trong tương lai. Trong trang tiếp theo bạn sẽ tìm thấy các bảng của hai ma trận quay R_z(φ) và R_y(θ) cho các hạt spin một phần hai, cho các hạt spin một, và cho các photon (các hạt spin một có khối lượng nghỉ bằng không). Đối với mỗi spin, chúng ta sẽ cho các số hạng của ma trận ⟨j|R|i⟩ cho các phép quay quanh trục z hay trục y. Chúng, dĩ nhiên, hoàn toàn tương đương với các biên độ như ⟨+T|S⟩ chúng ta đã dùng trong các chương trước. Chúng ta có ý bởi R_z(φ) là trạng thái được chiếu vào một hệ tọa độ mới đã được quay một góc φ quanh trục z — luôn dùng quy tắc bàn tay phải để định nghĩa chiều dương của phép quay. Bởi R_y(θ) chúng ta có ý là các trục quy chiếu được quay một góc θ quanh trục y. Biết hai phép quay này, dĩ nhiên bạn có thể tính được bất kỳ phép quay tùy ý nào. Như thường lệ, chúng ta viết các phần tử ma trận sao cho trạng thái ở phía trái là một trạng thái cơ sở của hệ mới (đã quay) và trạng thái ở phía phải là một trạng thái cơ sở của hệ cũ (chưa quay). Bạn có thể diễn giải các mục trong các bảng theo nhiều cách. Chẳng hạn, mục e^−iφ/2 trong Bảng 17–1 có nghĩa là phần tử ma trận ⟨−|R|−⟩ = e^−iφ/2. Nó cũng có nghĩa là R̂ |−⟩ = e^−iφ/2 |−⟩, hay là ⟨−| R̂ = ⟨−| e^−iφ/2. Tất cả đều là cùng một thứ.