Chương 20: Toán tử

20–1  Các phép toán và các toán tử

Tất cả những gì chúng ta đã làm từ trước tới nay trong cơ học lượng tử đều có thể được xử lý bằng đại số thông thường, mặc dù thỉnh thoảng chúng ta có chỉ cho bạn một số cách viết đặc biệt các đại lượng và phương trình cơ học lượng tử. Bây giờ chúng ta muốn nói thêm về một số cách toán học thú vị và hữu ích để mô tả các sự vật của cơ học lượng tử. Có nhiều cách tiếp cận chủ đề cơ học lượng tử, và hầu hết các sách đều dùng một cách tiếp cận khác với cách chúng ta đã dùng. Khi bạn tiếp tục đọc các sách khác, có thể bạn sẽ không thấy ngay mối liên hệ giữa những gì bạn tìm thấy trong đó với những gì chúng ta đã làm. Mặc dù chúng ta cũng sẽ thu được một vài kết quả hữu ích, mục đích chính của chương này là cho bạn biết về một số cách viết khác nhau của cùng một vật lý. Biết chúng, bạn sẽ có thể hiểu tốt hơn những gì người khác đang nói. Khi người ta lần đầu xây dựng cơ học cổ điển, họ luôn viết mọi phương trình theo các thành phần x, y và z. Rồi có người xuất hiện và chỉ ra rằng toàn bộ cách viết có thể được làm cho đơn giản hơn nhiều bằng cách phát minh ra ký hiệu vectơ. Đúng là khi đi tới việc tính toán một cái gì đó, bạn thường phải chuyển các vectơ trở lại thành các thành phần của chúng. Nhưng nói chung, việc nhìn ra chuyện gì đang xảy ra sẽ dễ hơn nhiều khi bạn làm việc với các vectơ, và việc thực hiện nhiều phép tính cũng dễ hơn. Trong cơ học lượng tử, chúng ta đã có thể viết nhiều thứ theo một cách đơn giản hơn bằng cách dùng ý tưởng về “vectơ trạng thái”. Vectơ trạng thái |ψ⟩, dĩ nhiên, không có gì liên quan tới các vectơ hình học trong không gian ba chiều, mà là một ký hiệu trừu tượng đứng cho một trạng thái vật lý, được nhận diện bởi “nhãn”, hay “tên”, ψ. Ý tưởng này hữu ích vì các định luật của cơ học lượng tử có thể được viết dưới dạng các phương trình đại số theo các ký hiệu này. Chẳng hạn, định luật cơ bản của chúng ta rằng bất kỳ trạng thái nào cũng có thể được tạo thành từ một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở được viết là

|ψ⟩ = Σ_i C_i |i⟩,   (20.1)

trong đó các C_i là một tập hợp các số (phức) thông thường — các biên độ C_i = ⟨i|ψ⟩ — trong khi |1⟩, |2⟩, |3⟩, và cứ thế, đứng cho các trạng thái cơ sở trong một cơ sở, hay biểu diễn, nào đó.

Nếu bạn lấy một trạng thái vật lý nào đó và làm điều gì đó với nó — như quay nó, hay chờ trong thời gian Δt — bạn nhận được một trạng thái khác. Chúng ta nói: “thực hiện một phép toán lên một trạng thái sẽ tạo ra một trạng thái mới”. Chúng ta có thể diễn đạt cùng ý tưởng đó bằng một phương trình:

|φ⟩ = Â |ψ⟩.   (20.2)

Một phép toán tác động lên một trạng thái sẽ tạo ra một trạng thái khác. Toán tử Â đứng cho một phép toán cụ thể nào đó. Khi phép toán này được thực hiện lên bất kỳ trạng thái nào, chẳng hạn |ψ⟩, nó tạo ra một trạng thái khác nào đó |φ⟩.

Phương trình (20.2) có nghĩa là gì? Chúng ta định nghĩa nó như sau. Nếu bạn nhân phương trình với ⟨i| và khai triển |ψ⟩ theo Phương trình (20.1), bạn nhận được

⟨i|φ⟩ = Σ_j ⟨i|Â|j⟩⟨j|ψ⟩.   (20.3)

(Các trạng thái |j⟩ thuộc cùng tập hợp với |i⟩.) Bây giờ đây chỉ là một phương trình đại số. Các số ⟨i|φ⟩ cho lượng của mỗi trạng thái cơ sở mà bạn sẽ tìm thấy trong |φ⟩, và nó được cho theo một chồng chập tuyến tính của các biên độ ⟨j|ψ⟩ mà bạn tìm thấy |ψ⟩ trong mỗi trạng thái cơ sở. Các số ⟨i|Â|j⟩ chỉ là các hệ số cho biết bao nhiêu của ⟨j|ψ⟩ đi vào mỗi tổng. Toán tử Â được mô tả bằng số bởi tập hợp các số, hay “ma trận”,

A_ij ≡ ⟨i|Â|j⟩.   (20.4)

Vậy Phương trình (20.2) là một cách viết “đẳng cấp” của Phương trình (20.3). Thực ra nó còn hơn thế một chút; có một điều gì đó nữa được ngụ ý. Trong Phương trình (20.2) chúng ta không hề nhắc tới một tập hợp trạng thái cơ sở nào. Phương trình (20.3) là một hình ảnh của Phương trình (20.2) theo một tập hợp trạng thái cơ sở nào đó. Nhưng, như bạn biết, bạn có thể dùng bất kỳ tập hợp nào bạn muốn. Và ý tưởng này được ngụ ý trong Phương trình (20.2). Cách viết bằng toán tử tránh việc phải đưa ra một lựa chọn cụ thể nào. Dĩ nhiên, khi bạn muốn tính ra kết quả xác định, bạn phải chọn một tập hợp nào đó. Khi bạn đưa ra lựa chọn của mình, bạn dùng Phương trình (20.3). Vậy phương trình toán tử (20.2) là một cách trừu tượng hơn để viết phương trình đại số (20.3). Nó giống như sự khác biệt giữa việc viết

c = a × b

thay vì

c_x = a_yb_z − a_zb_y,
c_y = a_zb_x − a_xb_z,
c_z = a_xb_y − a_yb_x.

Cách thứ nhất tiện hơn nhiều. Tuy nhiên, khi bạn muốn có kết quả, cuối cùng bạn sẽ phải cho các thành phần đối với một hệ trục nào đó. Tương tự, nếu bạn muốn có thể nói bạn thực sự có ý gì bởi Â, bạn sẽ phải sẵn sàng cho ma trận A_ij theo một tập hợp trạng thái cơ sở nào đó. Chừng nào bạn còn ghi nhớ trong đầu một tập hợp |i⟩ nào đó, Phương trình (20.2) có nghĩa đúng như Phương trình (20.3). (Bạn cũng nên nhớ rằng một khi bạn biết một ma trận đối với một tập hợp trạng thái cơ sở cụ thể, bạn luôn có thể tính ma trận tương ứng đi kèm với bất kỳ cơ sở nào khác. Bạn có thể biến đổi ma trận từ một “biểu diễn” này sang một biểu diễn khác.)

Phương trình toán tử trong (20.2) cũng cho phép một cách tư duy mới. Nếu chúng ta tưởng tượng một toán tử Â nào đó, chúng ta có thể dùng nó với bất kỳ trạng thái |ψ⟩ nào để tạo ra một trạng thái mới Â|ψ⟩. Đôi khi một “trạng thái” mà chúng ta nhận được theo cách này có thể rất kỳ lạ — nó có thể không đại diện cho bất kỳ tình huống vật lý nào mà chúng ta có khả năng gặp trong tự nhiên. (Chẳng hạn, chúng ta có thể nhận được một trạng thái không được chuẩn hoá để đại diện cho một electron.) Nói cách khác, đôi khi chúng ta có thể nhận được các “trạng thái” giả tạo về mặt toán học. Các “trạng thái” giả tạo như vậy vẫn có thể hữu ích, có lẽ như điểm giữa của một phép tính nào đó.

Chúng ta đã chỉ cho bạn nhiều ví dụ về các toán tử cơ học lượng tử. Chúng ta đã có toán tử quay R̂_y(θ) vốn lấy một trạng thái |ψ⟩ và tạo ra một trạng thái mới, là trạng thái cũ như được nhìn trong một hệ toạ độ đã quay. Chúng ta đã có toán tử chẵn lẻ (hay phép nghịch đảo) P̂, vốn tạo ra một trạng thái mới bằng cách đảo ngược mọi toạ độ. Chúng ta đã có các toán tử σ̂_x, σ̂_y và σ̂_z cho các hạt spin một phần hai.

Toán tử Ĵ_z đã được định nghĩa trong Chương 17 theo toán tử quay cho một góc nhỏ ε.

R̂_z(ε) = 1 + (i/ħ) ε Ĵ_z.   (20.5)

Điều này, dĩ nhiên, chỉ có nghĩa là

R̂_z(ε) |ψ⟩ = |ψ⟩ + (i/ħ) ε Ĵ_z |ψ⟩.   (20.6)

Trong ví dụ này, Ĵ_z|ψ⟩ là ħ/iε lần trạng thái mà bạn nhận được nếu bạn quay |ψ⟩ đi một góc nhỏ ε rồi trừ đi trạng thái ban đầu. Nó đại diện cho một “trạng thái” vốn là hiệu của hai trạng thái.

Thêm một ví dụ nữa. Chúng ta đã có một toán tử p̂_x — gọi là toán tử động lượng (thành phần x) được định nghĩa trong một phương trình như (20.6). Nếu D̂_x(L) là toán tử dịch chuyển một trạng thái dọc theo x một khoảng L, thì p̂_x được định nghĩa bởi

D̂_x(δ) = 1 + (i/ħ) δ p̂_x,   (20.7)

trong đó δ là một độ dịch chuyển nhỏ. Dịch chuyển trạng thái |ψ⟩ dọc theo x một khoảng nhỏ δ cho một trạng thái mới |ψ′⟩. Chúng ta đang nói rằng trạng thái mới này là trạng thái cũ cộng với một mẩu mới nhỏ

(i/ħ) δ p̂_x |ψ⟩.

Các toán tử mà chúng ta đang nói tới tác động lên một vectơ trạng thái như |ψ⟩, vốn là một mô tả trừu tượng của một tình huống vật lý. Chúng hoàn toàn khác với các toán tử đại số vốn tác động lên các hàm toán học. Chẳng hạn, d/dx là một “toán tử” tác động lên f(x) bằng cách biến nó thành một hàm mới f′(x) = df/dx. Một ví dụ khác là toán tử đại số ∇². Bạn có thể thấy tại sao cùng một từ lại được dùng trong cả hai trường hợp, nhưng bạn nên ghi nhớ rằng hai loại toán tử này là khác nhau. Một toán tử cơ học lượng tử Â không tác động lên một hàm đại số, mà lên một vectơ trạng thái như |ψ⟩. Cả hai loại toán tử đều được dùng trong cơ học lượng tử và thường trong các loại phương trình tương tự nhau, như bạn sẽ thấy một chút nữa. Khi bạn mới học chủ đề này, tốt hơn là luôn ghi nhớ sự phân biệt đó trong đầu. Về sau, khi bạn đã quen thuộc hơn với chủ đề, bạn sẽ thấy rằng việc giữ bất kỳ sự phân biệt rạch ròi nào giữa hai loại toán tử là ít quan trọng hơn. Quả thật, bạn sẽ thấy rằng hầu hết các sách nói chung đều dùng cùng một ký hiệu cho cả hai!

Chúng ta sẽ tiếp tục và xem xét một số việc hữu ích bạn có thể làm với các toán tử. Nhưng trước hết, một nhận xét đặc biệt. Giả sử chúng ta có một toán tử Â mà ma trận của nó trong một cơ sở nào đó là A_ij ≡ ⟨i|Â|j⟩. Biên độ để trạng thái Â|ψ⟩ cũng ở trong một trạng thái khác nào đó |φ⟩ là ⟨φ|Â|ψ⟩. Có ý nghĩa nào cho liên hợp phức của biên độ này không? Bạn sẽ có thể chỉ ra rằng

⟨φ|Â|ψ⟩* = ⟨ψ|Â^†|φ⟩,   (20.8)

trong đó Â^† (đọc là “A dagger”) là một toán tử mà các phần tử ma trận của nó là

A_ij^† = (A_ji)*.   (20.9)

Để nhận được phần tử i, j của A^† bạn đi tới phần tử j, i của A (các chỉ số bị đảo ngược) và lấy liên hợp phức của nó. Biên độ để trạng thái Â^†|φ⟩ ở trong |ψ⟩ là liên hợp phức của biên độ để Â|ψ⟩ ở trong |φ⟩. Toán tử Â^† được gọi là “liên hợp Hermitian” của Â. Nhiều toán tử quan trọng của cơ học lượng tử có tính chất đặc biệt là khi bạn lấy liên hợp Hermitian, bạn nhận lại chính toán tử đó. Nếu B̂ là một toán tử như vậy, thì

B̂^† = B̂,

và nó được gọi là một toán tử “tự liên hợp”, hay “Hermitian”.

20–2  Các năng lượng trung bình

Từ trước tới nay chúng ta chủ yếu nhắc lại cho bạn những gì bạn đã biết. Bây giờ chúng ta muốn thảo luận một câu hỏi mới. Bạn sẽ tìm năng lượng trung bình của một hệ — chẳng hạn, một nguyên tử — như thế nào? Nếu một nguyên tử ở trong một trạng thái cụ thể có năng lượng xác định và bạn đo năng lượng, bạn sẽ tìm thấy một năng lượng nhất định E. Nếu bạn cứ lặp lại phép đo trên mỗi nguyên tử trong cả một dãy các nguyên tử đều được chọn để ở trong cùng một trạng thái, mọi phép đo sẽ cho E, và “trung bình” của các phép đo của bạn, dĩ nhiên, sẽ đúng là E.

Tuy nhiên, bây giờ điều gì xảy ra nếu bạn thực hiện phép đo trên một trạng thái |ψ⟩ nào đó vốn không phải là một trạng thái dừng? Vì hệ không có một năng lượng xác định, một phép đo sẽ cho một năng lượng, cùng phép đo đó trên một nguyên tử khác trong cùng trạng thái sẽ cho một năng lượng khác, và cứ thế. Bạn sẽ nhận được gì cho trung bình của cả một dãy các phép đo năng lượng?

Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách chiếu trạng thái |ψ⟩ lên tập hợp các trạng thái có năng lượng xác định. Để nhắc bạn rằng đây là một tập hợp cơ sở đặc biệt, chúng ta sẽ gọi các trạng thái là |η_i⟩. Mỗi trạng thái |η_i⟩ có một năng lượng xác định E_i. Trong biểu diễn này,

|ψ⟩ = Σ_i C_i |η_i⟩.   (20.10)

Khi bạn thực hiện một phép đo năng lượng và nhận được một số E_i nào đó, bạn đã tìm thấy rằng hệ đã ở trong trạng thái η_i. Nhưng bạn có thể nhận được một số khác nhau cho mỗi phép đo. Đôi khi bạn sẽ nhận được E₁, đôi khi E₂, đôi khi E₃, và cứ thế. Xác suất để bạn quan sát năng lượng E₁ đúng là xác suất tìm thấy hệ trong trạng thái |η₁⟩, mà, dĩ nhiên, đúng là bình phương tuyệt đối của biên độ C₁ = ⟨η₁|ψ⟩. Xác suất tìm thấy mỗi năng lượng khả dĩ E_i là

P_i = |C_i|².   (20.11)

Các xác suất này liên hệ với giá trị trung bình của cả một dãy các phép đo năng lượng như thế nào? Hãy tưởng tượng rằng chúng ta nhận được một dãy các phép đo như thế này: E₁, E₇, E₁₁, E₉, E₁, E₁₀, E₇, E₂, E₃, E₉, E₆, E₄, và cứ thế. Chúng ta tiếp tục trong, chẳng hạn, một nghìn phép đo. Khi chúng ta xong, chúng ta cộng tất cả các năng lượng lại và chia cho một nghìn. Đó là điều chúng ta muốn nói tới bởi trung bình. Cũng có một cách tắt để cộng tất cả các số. Bạn có thể đếm xem bạn nhận được E₁ bao nhiêu lần, gọi số đó là N₁, rồi đếm số lần bạn nhận được E₂, gọi đó là N₂, và cứ thế. Tổng của tất cả các năng lượng chắc chắn đúng là

N₁E₁ + N₂E₂ + N₃E₃ + ⋯ = Σ_i N_iE_i.

Năng lượng trung bình là tổng này chia cho tổng số phép đo, vốn đúng là tổng của tất cả các N_i, mà chúng ta có thể gọi là N;

E_tb = (Σ_i N_iE_i)/N.   (20.12)

Chúng ta gần tới nơi rồi. Điều chúng ta muốn nói bởi xác suất của một điều gì đó xảy ra đúng là số lần chúng ta kỳ vọng nó xảy ra chia cho tổng số lần thử. Tỉ số N_i/N sẽ — với N lớn — rất gần với P_i, xác suất tìm thấy trạng thái |η_i⟩, mặc dù nó sẽ không đúng bằng P_i vì các thăng giáng thống kê. Hãy viết năng lượng trung bình được dự đoán (hay “kỳ vọng”) là ⟨E⟩; khi đó chúng ta có thể nói rằng

⟨E⟩ = Σ_i P_iE_i.   (20.13)

Cùng các lập luận áp dụng cho bất kỳ phép đo nào. Giá trị trung bình của một đại lượng được đo A sẽ bằng

⟨A⟩ = Σ_i P_iA_i,

trong đó A_i là các giá trị khả dĩ khác nhau của đại lượng được quan sát, và P_i là xác suất nhận được giá trị đó.

Hãy quay lại trạng thái cơ học lượng tử |ψ⟩ của chúng ta. Năng lượng trung bình của nó là

⟨E⟩ = Σ_i |C_i|²E_i = Σ_i C_i* C_iE_i.   (20.14)

Bây giờ hãy xem mánh khoé này! Trước hết, chúng ta viết tổng dưới dạng

Σ_i ⟨ψ|η_i⟩E_i⟨η_i|ψ⟩.   (20.15)

Tiếp theo chúng ta xem ⟨ψ| ở phía trái như một “thừa số” chung. Chúng ta có thể đưa thừa số này ra khỏi tổng, và viết nó là

⟨ψ| { Σ_i |η_i⟩E_i⟨η_i|ψ⟩ }.

Biểu thức này có dạng

⟨ψ|φ⟩,

trong đó |φ⟩ là một trạng thái “bịa ra” nào đó được định nghĩa bởi

|φ⟩ = Σ_i |η_i⟩E_i⟨η_i|ψ⟩.   (20.16)

Nói cách khác, nó là trạng thái bạn nhận được nếu bạn lấy mỗi trạng thái cơ sở |η_i⟩ với lượng E_i⟨η_i|ψ⟩.

Bây giờ hãy nhớ điều chúng ta muốn nói bởi các trạng thái |η_i⟩. Chúng được giả thiết là các trạng thái dừng — theo nghĩa là đối với mỗi trạng thái,

Ĥ |η_i⟩ = E_i |η_i⟩.

Vì E_i chỉ là một số, vế phải cũng giống như |η_i⟩E_i, và tổng trong Phương trình (20.16) cũng giống như

Σ_i Ĥ |η_i⟩⟨η_i|ψ⟩.

Bây giờ i chỉ xuất hiện trong tổ hợp nổi tiếng vốn thu gọn lại thành đơn vị, vì vậy

Σ_i Ĥ |η_i⟩⟨η_i|ψ⟩ = Ĥ Σ_i |η_i⟩⟨η_i|ψ⟩ = Ĥ |ψ⟩.

Thật kỳ diệu! Phương trình (20.16) cũng giống như

|φ⟩ = Ĥ |ψ⟩.   (20.17)

Năng lượng trung bình của trạng thái |ψ⟩ có thể được viết rất đẹp là

⟨E⟩ = ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩.   (20.18)

Để nhận được năng lượng trung bình, bạn tác động lên |ψ⟩ bằng Ĥ, rồi nhân với ⟨ψ|. Một kết quả đơn giản.

Công thức mới của chúng ta cho năng lượng trung bình không chỉ đẹp. Nó còn hữu ích, vì bây giờ chúng ta không cần nói gì về bất kỳ tập hợp trạng thái cơ sở cụ thể nào. Chúng ta thậm chí không cần biết tất cả các mức năng lượng khả dĩ. Khi chúng ta đi tới việc tính toán, chúng ta sẽ cần mô tả trạng thái của mình theo một tập hợp trạng thái cơ sở nào đó, nhưng nếu chúng ta biết ma trận Hamilton H_ij cho tập hợp đó, chúng ta có thể nhận được năng lượng trung bình. Phương trình (20.18) nói rằng đối với bất kỳ tập hợp trạng thái cơ sở |i⟩ nào, năng lượng trung bình có thể được tính từ

⟨E⟩ = Σ_ij ⟨ψ|i⟩⟨i|Ĥ|j⟩⟨j|ψ⟩,   (20.19)

trong đó các biên độ ⟨i|Ĥ|j⟩ đúng là các phần tử của ma trận H_ij.

Hãy kiểm tra kết quả này cho trường hợp đặc biệt khi các trạng thái |i⟩ là các trạng thái có năng lượng xác định. Đối với chúng, Ĥ|j⟩ = E_j|j⟩, vì vậy ⟨i|Ĥ|j⟩ = E_jδ_ij và

⟨E⟩ = Σ_ij ⟨ψ|i⟩E_jδ_ij⟨j|ψ⟩ = Σ_i E_i⟨ψ|i⟩⟨i|ψ⟩,

vốn là đúng.

Phương trình (20.19), nhân tiện, có thể được mở rộng cho các phép đo vật lý khác mà bạn có thể diễn đạt dưới dạng một toán tử. Chẳng hạn, L̂_z là toán tử của thành phần z của mômen động lượng L. Giá trị trung bình của thành phần z đối với trạng thái |ψ⟩ là

⟨L_z⟩ = ⟨ψ|L̂_z|ψ⟩.

Một cách để chứng minh điều đó là nghĩ về một tình huống nào đó trong đó năng lượng tỉ lệ với mômen động lượng. Khi đó mọi lập luận đều đi qua theo cùng một cách.

Tóm lại, nếu một đại lượng quan sát vật lý A liên hệ với một toán tử cơ học lượng tử thích hợp Â, giá trị trung bình của A đối với trạng thái |ψ⟩ được cho bởi

⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩.   (20.20)

Theo đó chúng ta muốn nói rằng

⟨A⟩ = ⟨ψ|φ⟩,   (20.21)

với

|φ⟩ = Â |ψ⟩.   (20.22)

20–3  Năng lượng trung bình của một nguyên tử

Giả sử chúng ta muốn năng lượng trung bình của một nguyên tử trong một trạng thái được mô tả bởi một hàm sóng ψ(r); chúng ta tìm nó như thế nào? Trước hết hãy nghĩ về một tình huống một chiều với một trạng thái |ψ⟩ được định nghĩa bởi biên độ ⟨x|ψ⟩ = ψ(x). Chúng ta đang hỏi về trường hợp đặc biệt của Phương trình (20.19) áp dụng cho biểu diễn toạ độ. Theo thủ tục thông thường của chúng ta, chúng ta thay các trạng thái |i⟩ và |j⟩ bằng |x⟩ và |x′⟩, và đổi các tổng thành các tích phân. Chúng ta nhận được

⟨E⟩ = ∬ ⟨ψ|x⟩⟨x|Ĥ|x′⟩⟨x′|ψ⟩ dx dx′.   (20.23)

Tích phân này, nếu chúng ta muốn, có thể được viết theo cách sau:

∫ ⟨ψ|x⟩⟨x|φ⟩ dx,   (20.24)

với

⟨x|φ⟩ = ∫ ⟨x|Ĥ|x′⟩⟨x′|ψ⟩ dx′.   (20.25)

Tích phân theo x′ trong (20.25) là cùng tích phân chúng ta đã có trong Chương 16 — xem Phương trình (16.50) và Phương trình (16.52) — và bằng

−(ħ²/2m) (d²/dx²) ψ(x) + V(x)ψ(x).

Do đó chúng ta có thể viết

⟨x|φ⟩ = { −(ħ²/2m) (d²/dx²) + V(x) } ψ(x).   (20.26)

Hãy nhớ rằng ⟨ψ|x⟩ = ⟨x|ψ⟩* = ψ*(x); dùng đẳng thức này, năng lượng trung bình trong Phương trình (20.23) có thể được viết là

⟨E⟩ = ∫ ψ*(x) { −(ħ²/2m) (d²/dx²) + V(x) } ψ(x) dx.   (20.27)

Cho một hàm sóng ψ(x), bạn có thể nhận được năng lượng trung bình bằng cách thực hiện tích phân này. Bạn có thể bắt đầu thấy chúng ta có thể đi qua đi lại như thế nào từ các ý tưởng vectơ trạng thái tới các ý tưởng hàm sóng.

Đại lượng trong các dấu ngoặc nhọn của Phương trình (20.27) là một toán tử đại số.¹ Chúng ta sẽ viết nó là ℋ

ℋ = −(ħ²/2m) (d²/dx²) + V(x).

Với ký hiệu này Phương trình (20.23) trở thành

⟨E⟩ = ∫ ψ*(x) ℋψ(x) dx.   (20.28)

Toán tử đại số ℋ được định nghĩa ở đây, dĩ nhiên, không đồng nhất với toán tử cơ học lượng tử Ĥ. Toán tử mới tác động lên một hàm của vị trí ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ để cho một hàm mới của x, φ(x) = ⟨x|φ⟩; trong khi Ĥ tác động lên một vectơ trạng thái |ψ⟩ để cho một vectơ trạng thái khác |φ⟩, mà không ngụ ý biểu diễn toạ độ hay bất kỳ biểu diễn cụ thể nào cả. ℋ cũng không hoàn toàn giống Ĥ ngay cả trong biểu diễn toạ độ. Nếu chúng ta chọn làm việc trong biểu diễn toạ độ, chúng ta sẽ diễn giải Ĥ theo một ma trận ⟨x|Ĥ|x′⟩ vốn phụ thuộc theo cách nào đó vào hai “chỉ số” x và x′; nghĩa là, chúng ta kỳ vọng — theo Phương trình (20.25) — rằng ⟨x|φ⟩ liên hệ với tất cả các biên độ ⟨x|ψ⟩ bằng một phép lấy tích phân. Mặt khác, chúng ta tìm thấy rằng ℋ là một toán tử vi phân. Chúng ta đã tìm ra trong Mục 16–5 mối liên hệ giữa ⟨x|Ĥ|x′⟩ và toán tử đại số ℋ.

Chúng ta nên đưa ra một lưu ý về các kết quả của mình. Chúng ta đã giả thiết rằng biên độ ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ được chuẩn hoá. Theo đó chúng ta muốn nói rằng thang đo đã được chọn sao cho

∫ |ψ(x)|² dx = 1;

vì vậy xác suất tìm thấy electron ở đâu đó là một. Nếu bạn phải làm việc với một ψ(x) vốn không được chuẩn hoá, bạn nên viết

⟨E⟩ = [ ∫ ψ*(x) ℋψ(x) dx ] / [ ∫ ψ*(x)ψ(x) dx ].   (20.29)

Nó cũng là cùng một điều thôi.

Hãy chú ý sự tương tự về dạng giữa Phương trình (20.28) và Phương trình (20.18). Hai cách viết cùng một kết quả này xuất hiện thường xuyên khi bạn làm việc với biểu diễn x. Bạn có thể đi từ dạng thứ nhất tới dạng thứ hai với bất kỳ Â nào vốn là một toán tử cục bộ, trong đó một toán tử cục bộ là một toán tử mà trong tích phân

∫ ⟨x|Â|x′⟩⟨x′|ψ⟩ dx′

có thể được viết là 𝒜ψ(x), trong đó 𝒜 là một toán tử đại số vi phân. Tuy nhiên, có các toán tử mà điều này không đúng. Đối với chúng, bạn phải làm việc với các phương trình cơ bản trong (20.21) và (20.22).

Bạn có thể dễ dàng mở rộng phép suy diễn lên ba chiều. Kết quả là²

⟨E⟩ = ∫ ψ*(r) ℋψ(r) dV,   (20.30)

với

ℋ = −(ħ²/2m) ∇² + V(r),   (20.31)

và với sự hiểu ngầm rằng

∫ |ψ|² dV = 1.   (20.32)

Cùng các phương trình có thể được mở rộng cho các hệ có vài electron theo một cách khá hiển nhiên, nhưng chúng ta sẽ không mất công viết các kết quả ra.

Với Phương trình (20.30) chúng ta có thể tính năng lượng trung bình của một trạng thái nguyên tử ngay cả khi không biết các mức năng lượng của nó. Tất cả những gì chúng ta cần là hàm sóng. Đó là một định luật quan trọng. Chúng ta sẽ cho bạn biết về một ứng dụng thú vị. Giả sử bạn muốn biết năng lượng trạng thái nền của một hệ nào đó — chẳng hạn nguyên tử heli, nhưng việc giải phương trình Schrödinger cho hàm sóng là quá khó, vì có quá nhiều biến. Tuy nhiên, giả sử rằng bạn đoán một hàm sóng — chọn bất kỳ hàm nào bạn thích — và tính năng lượng trung bình. Nghĩa là, bạn dùng Phương trình (20.29) — được tổng quát hoá lên ba chiều — để tìm năng lượng trung bình sẽ là bao nhiêu nếu nguyên tử thực sự ở trong trạng thái được mô tả bởi hàm sóng này. Năng lượng này chắc chắn sẽ cao hơn năng lượng trạng thái nền, vốn là năng lượng thấp nhất có thể mà nguyên tử có thể có.³ Bây giờ hãy chọn một hàm khác và tính năng lượng trung bình của nó. Nếu nó thấp hơn lựa chọn đầu tiên của bạn, bạn đang tiến gần hơn tới năng lượng trạng thái nền thực sự. Nếu bạn cứ thử đủ loại trạng thái giả tạo, bạn sẽ có thể nhận được các năng lượng thấp hơn và thấp hơn, vốn tiến càng lúc càng gần tới năng lượng trạng thái nền. Nếu bạn khéo léo, bạn sẽ thử một số hàm vốn có một vài tham số điều chỉnh được. Khi bạn tính năng lượng, nó sẽ được diễn đạt theo các tham số này. Bằng cách biến thiên các tham số để cho năng lượng thấp nhất có thể, bạn đang thử cả một lớp các hàm cùng một lúc. Cuối cùng bạn sẽ thấy rằng việc nhận được các năng lượng thấp hơn trở nên càng lúc càng khó hơn và bạn sẽ bắt đầu tin chắc rằng bạn đã khá gần với năng lượng thấp nhất có thể. Nguyên tử heli đã được giải đúng theo cách này — không phải bằng cách giải một phương trình vi phân, mà bằng cách bịa ra một hàm đặc biệt với rất nhiều tham số điều chỉnh được, vốn cuối cùng được chọn để cho giá trị thấp nhất có thể cho năng lượng trung bình.

20–4  Toán tử vị trí

Giá trị trung bình của vị trí của một electron trong một nguyên tử là gì? Đối với bất kỳ trạng thái cụ thể |ψ⟩ nào, giá trị trung bình của toạ độ x là gì? Chúng ta sẽ làm việc trong một chiều và để bạn mở rộng các ý tưởng lên ba chiều hay lên các hệ có nhiều hơn một hạt. Chúng ta có một trạng thái được mô tả bởi ψ(x), và chúng ta cứ đo x lặp đi lặp lại. Trung bình là gì? Nó là

∫ xP(x) dx,

trong đó P(x) dx là xác suất tìm thấy electron trong một phần tử nhỏ dx tại x. Giả sử mật độ xác suất P(x) biến thiên theo x như được chỉ trong Hình 20–1. Electron có khả năng nhất được tìm thấy gần đỉnh của đường cong. Giá trị trung bình của x cũng ở đâu đó gần đỉnh. Nó, quả thật, đúng là trọng tâm của diện tích dưới đường cong.

Chúng ta đã thấy trước đây rằng P(x) đúng là |ψ(x)|² = ψ*(x)ψ(x), vì vậy chúng ta có thể viết trung bình của x là

⟨x⟩ = ∫ ψ*(x) xψ(x) dx.   (20.33)

Phương trình của chúng ta cho ⟨x⟩ có cùng dạng với Phương trình (20.28). Đối với năng lượng trung bình, toán tử năng lượng ℋ xuất hiện giữa hai ψ, đối với vị trí trung bình chỉ có x. (Nếu bạn muốn, bạn có thể xem x là toán tử đại số “nhân với x”.) Chúng ta có thể đẩy sự song song đi xa hơn nữa, diễn đạt vị trí trung bình dưới một dạng tương ứng với Phương trình (20.18). Giả sử chúng ta chỉ viết

⟨x⟩ = ⟨ψ|α⟩   (20.34)

với

|α⟩ = x̂ |ψ⟩,   (20.35)

rồi xem chúng ta có thể tìm toán tử x̂ vốn tạo ra trạng thái |α⟩, vốn sẽ làm cho Phương trình (20.34) phù hợp với Phương trình (20.33), hay không. Nghĩa là, chúng ta phải tìm một |α⟩, sao cho

⟨ψ|α⟩ = ⟨x⟩ = ∫ ⟨ψ|x⟩ x ⟨x|ψ⟩ dx.   (20.36)

Trước hết, hãy khai triển ⟨ψ|α⟩ trong biểu diễn x. Nó là

⟨ψ|α⟩ = ∫ ⟨ψ|x⟩⟨x|α⟩ dx.   (20.37)

Bây giờ hãy so sánh các tích phân trong hai phương trình cuối cùng. Bạn thấy rằng trong biểu diễn x

⟨x|α⟩ = x⟨x|ψ⟩.   (20.38)

Tác động lên |ψ⟩ bằng x̂ để nhận được |α⟩ là tương đương với việc nhân ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ với x để nhận được α(x) = ⟨x|α⟩. Chúng ta có một định nghĩa của x̂ trong biểu diễn toạ độ.⁴

[Chúng ta đã không mất công cố nhận được biểu diễn x của ma trận của toán tử x̂. Nếu bạn tham vọng, bạn có thể cố chỉ ra rằng

⟨x|x̂|x′⟩ = x δ(x − x′).   (20.39)

Khi đó bạn có thể tìm ra kết quả thú vị rằng

x̂ |x⟩ = x |x⟩.   (20.40)

Toán tử x̂ có tính chất thú vị là khi nó tác động lên các trạng thái cơ sở |x⟩ nó tương đương với việc nhân với x.]

Bạn có muốn biết giá trị trung bình của x² không? Nó là

⟨x²⟩ = ∫ ψ*(x) x²ψ(x) dx.   (20.41)

Hoặc, nếu bạn thích, bạn có thể viết

⟨x²⟩ = ⟨ψ|α′⟩

với

|α′⟩ = x̂² |ψ⟩.   (20.42)

Bởi x̂² chúng ta muốn nói x̂x̂ — hai toán tử được dùng cái này sau cái kia. Với dạng thứ hai bạn có thể tính ⟨x²⟩, dùng bất kỳ biểu diễn (các trạng thái cơ sở) nào bạn muốn. Nếu bạn muốn trung bình của xⁿ, hay của bất kỳ đa thức nào của x, bạn có thể thấy cách nhận được nó.

20–5  Toán tử động lượng

Bây giờ chúng ta muốn tính động lượng trung bình của một electron — lại nữa, chúng ta sẽ bám vào một chiều. Đặt P(p) dp là xác suất để một phép đo sẽ cho một động lượng giữa p và p + dp. Khi đó

⟨p⟩ = ∫ p P(p) dp.   (20.43)

Bây giờ chúng ta đặt ⟨p|ψ⟩ là biên độ để trạng thái |ψ⟩ ở trong một trạng thái động lượng xác định |p⟩. Đây là cùng biên độ chúng ta đã gọi là ⟨p|ψ⟩ trong Mục 16–3 và là một hàm của p đúng như ⟨x|ψ⟩ là một hàm của x. Ở đó chúng ta đã chọn chuẩn hoá biên độ sao cho

P(p) = (1/2πħ) |⟨p|ψ⟩|².   (20.44)

Vậy chúng ta có,

⟨p⟩ = ∫ ⟨ψ|p⟩ p ⟨p|ψ⟩ (dp/2πħ).   (20.45)

Dạng này khá giống với cái chúng ta đã có cho ⟨x⟩.

Nếu chúng ta muốn, chúng ta có thể chơi đúng cùng trò chơi chúng ta đã làm với ⟨x⟩. Trước hết, chúng ta có thể viết tích phân ở trên là

∫ ⟨ψ|p⟩⟨p|β⟩ (dp/2πħ).   (20.46)

Bây giờ bạn sẽ nhận ra phương trình này đúng là dạng khai triển của biên độ ⟨ψ|β⟩ — được khai triển theo các trạng thái cơ sở có động lượng xác định. Từ Phương trình (20.45) trạng thái |β⟩ được định nghĩa trong biểu diễn động lượng bởi

⟨p|β⟩ = p⟨p|ψ⟩   (20.47)

Nghĩa là, bây giờ chúng ta có thể viết

⟨p⟩ = ⟨ψ|β⟩   (20.48)

với

|β⟩ = p̂ |ψ⟩,   (20.49)

trong đó toán tử p̂ được định nghĩa theo biểu diễn p bởi Phương trình (20.47).

[Lại nữa, nếu bạn muốn, bạn có thể chỉ ra rằng dạng ma trận của p̂ là

⟨p|p̂|p′⟩ = p δ(p − p′),   (20.50)

và rằng

p̂ |p⟩ = p |p⟩.   (20.51)

Nó cho ra giống như đối với x.]

Bây giờ đến một câu hỏi thú vị. Chúng ta có thể viết ⟨p⟩, như chúng ta đã làm trong các Phương trình (20.45) và (20.48), và chúng ta biết ý nghĩa của toán tử p̂ trong biểu diễn động lượng. Nhưng chúng ta nên diễn giải p̂ trong biểu diễn toạ độ như thế nào? Đó là điều chúng ta sẽ cần biết nếu chúng ta có một hàm sóng ψ(x) nào đó, và chúng ta muốn tính động lượng trung bình của nó. Hãy làm rõ điều chúng ta muốn nói. Nếu chúng ta bắt đầu bằng cách nói rằng ⟨p⟩ được cho bởi Phương trình (20.48), chúng ta có thể khai triển phương trình đó theo biểu diễn p để quay lại Phương trình (20.46). Nếu chúng ta được cho mô tả p của trạng thái — cụ thể là biên độ ⟨p|ψ⟩, vốn là một hàm đại số của động lượng p — chúng ta có thể nhận được ⟨p|β⟩ từ Phương trình (20.47) và tiến hành tính tích phân. Câu hỏi bây giờ là: Chúng ta làm gì nếu chúng ta được cho một mô tả của trạng thái trong biểu diễn x, cụ thể là hàm sóng ψ(x) = ⟨x|ψ⟩?

Vâng, hãy bắt đầu bằng cách khai triển Phương trình (20.48) trong biểu diễn x. Nó là

⟨p⟩ = ∫ ⟨ψ|x⟩⟨x|β⟩ dx.   (20.52)

Tuy nhiên, bây giờ chúng ta cần biết trạng thái |β⟩ là gì trong biểu diễn x. Nếu chúng ta có thể tìm thấy nó, chúng ta có thể thực hiện tích phân. Vậy bài toán của chúng ta là tìm hàm β(x) = ⟨x|β⟩.

Chúng ta có thể tìm nó theo cách sau. Trong Mục 16–3 chúng ta đã thấy ⟨p|β⟩ liên hệ với ⟨x|β⟩ như thế nào. Theo Phương trình (16.24),

⟨p|β⟩ = ∫ e^−ipx/ħ⟨x|β⟩ dx.   (20.53)

Nếu chúng ta biết ⟨p|β⟩ chúng ta có thể giải phương trình này cho ⟨x|β⟩. Điều chúng ta muốn, dĩ nhiên, là diễn đạt kết quả theo cách nào đó theo ψ(x) = ⟨x|ψ⟩, vốn chúng ta đang giả thiết là đã biết. Giả sử chúng ta bắt đầu với Phương trình (20.47) và lại dùng Phương trình (16.24) để viết

⟨p|β⟩ = p⟨p|ψ⟩ = p ∫ e^−ipx/ħψ(x) dx.   (20.54)

Vì tích phân là theo x chúng ta có thể đưa p vào trong tích phân và viết

⟨p|β⟩ = ∫ e^−ipx/ħ pψ(x) dx.   (20.55)

Hãy so sánh điều này với (20.53). Bạn sẽ nói rằng ⟨x|β⟩ bằng pψ(x). Không, không! Hàm sóng ⟨x|β⟩ = β(x) chỉ có thể phụ thuộc vào x — không phụ thuộc vào p. Đó là toàn bộ vấn đề.

Tuy nhiên, một người khéo léo nào đó đã phát hiện ra rằng tích phân trong (20.55) có thể được lấy tích phân từng phần. Đạo hàm của e^−ipx/ħ theo x là (−i/ħ)p e^−ipx/ħ, vì vậy tích phân trong (20.55) tương đương với

−(ħ/i) ∫ (d/dx) (e^−ipx/ħ) ψ(x) dx.

Nếu chúng ta lấy tích phân từng phần, nó trở thành

−(ħ/i) [ e^−ipx/ħψ(x) ]_−∞^+∞ + (ħ/i) ∫ e^−ipx/ħ (dψ/dx) dx.

Chừng nào chúng ta còn xét các trạng thái liên kết, sao cho ψ(x) tiến về không tại x = ±∞, dấu ngoặc bằng không và chúng ta có

⟨p|β⟩ = (ħ/i) ∫ e^−ipx/ħ (dψ/dx) dx.   (20.56)

Bây giờ hãy so sánh kết quả này với Phương trình (20.53). Bạn thấy rằng

⟨x|β⟩ = (ħ/i) (d/dx) ψ(x).   (20.57)

Chúng ta có mẩu cần thiết để có thể hoàn thành Phương trình (20.52). Đáp án là

⟨p⟩ = ∫ ψ*(x) (ħ/i) (d/dx) ψ(x) dx.   (20.58)

Chúng ta đã tìm thấy Phương trình (20.48) trông như thế nào trong biểu diễn toạ độ.

Bây giờ bạn sẽ bắt đầu thấy một mô hình thú vị đang phát triển. Khi chúng ta hỏi về năng lượng trung bình của trạng thái |ψ⟩ chúng ta đã nói nó là

⟨E⟩ = ⟨ψ|φ⟩,   với   |φ⟩ = Ĥ |ψ⟩.

Cùng điều đó được viết trong thế giới toạ độ là

⟨E⟩ = ∫ ψ*(x)φ(x) dx,   với   φ(x) = ℋψ(x).

Ở đây ℋ là một toán tử đại số vốn tác động lên một hàm của x. Khi chúng ta hỏi về giá trị trung bình của x, chúng ta thấy rằng nó cũng có thể được viết

⟨x⟩ = ⟨ψ|α⟩,   với   |α⟩ = x̂ |ψ⟩.

Trong thế giới toạ độ các phương trình tương ứng là

⟨x⟩ = ∫ ψ*(x)α(x) dx,   với   α(x) = xψ(x).

Khi chúng ta hỏi về giá trị trung bình của p, chúng ta đã viết

⟨p⟩ = ⟨ψ|β⟩,   với   |β⟩ = p̂ |ψ⟩.

Trong thế giới toạ độ các phương trình tương đương là

⟨p⟩ = ∫ ψ*(x)β(x) dx,   với   β(x) = (ħ/i) (d/dx) ψ(x).

Trong mỗi ví dụ trong ba ví dụ của chúng ta, chúng ta bắt đầu với trạng thái |ψ⟩ và tạo ra một trạng thái (giả thiết) khác bằng một toán tử cơ học lượng tử. Trong biểu diễn toạ độ chúng ta tạo ra hàm sóng tương ứng bằng cách tác động lên hàm sóng ψ(x) bằng một toán tử đại số. Có các tương ứng một–một sau đây (đối với các bài toán một chiều):

Ĥ → ℋ = −(ħ²/2m) (d²/dx²) + V(x),
x̂ → x,
p̂_x → 𝒫_x = (ħ/i) (∂/∂x).   (20.59)

Trong danh sách này, chúng ta đã đưa vào ký hiệu 𝒫_x cho toán tử đại số (ħ/i) ∂/∂x:

𝒫_x = (ħ/i) (∂/∂x),   (20.60)

và chúng ta đã chèn chỉ số dưới x lên 𝒫 để nhắc bạn rằng chúng ta mới chỉ làm việc với thành phần x của động lượng.

Bạn có thể dễ dàng mở rộng các kết quả lên ba chiều. Đối với các thành phần khác của động lượng,

p̂_y → 𝒫_y = (ħ/i) (∂/∂y),
p̂_z → 𝒫_z = (ħ/i) (∂/∂z).

Nếu bạn muốn, bạn thậm chí có thể nghĩ về một toán tử của động lượng vectơ và viết

p̂ → 𝒫 = (ħ/i) ( e_x ∂/∂x + e_y ∂/∂y + e_z ∂/∂z ),

trong đó e_x, e_y và e_z là các vectơ đơn vị theo ba hướng. Nó trông còn thanh lịch hơn nữa nếu chúng ta viết

p̂ → 𝒫 = (ħ/i) ∇.   (20.61)

Kết quả tổng quát của chúng ta là, đối với ít nhất một số toán tử cơ học lượng tử, có các toán tử đại số tương ứng trong biểu diễn toạ độ. Chúng ta tóm tắt các kết quả của mình từ trước tới nay — được mở rộng lên ba chiều — trong Bảng 20–1. Đối với mỗi toán tử, chúng ta có hai dạng tương đương:⁵

|φ⟩ = Â |ψ⟩   (20.62)

hay

φ(r) = 𝒜ψ(r).   (20.63)

Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một vài minh hoạ về việc sử dụng các ý tưởng này. Minh hoạ đầu tiên chỉ là để chỉ ra mối liên hệ giữa 𝒫 và ℋ. Nếu chúng ta dùng 𝒫_x hai lần, chúng ta nhận được

𝒫_x𝒫_x = −ħ² (∂²/∂x²).

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết đẳng thức

ℋ = (1/2m) { 𝒫_x𝒫_x + 𝒫_y𝒫_y + 𝒫_z𝒫_z } + V(r).

Hoặc, dùng ký hiệu vectơ,

ℋ = (1/2m) 𝒫 · 𝒫 + V(r).   (20.64)

(Trong một toán tử đại số, bất kỳ số hạng nào không có ký hiệu toán tử nghĩa là chỉ một phép nhân thẳng.) Phương trình này đẹp vì nó dễ nhớ nếu bạn chưa quên vật lý cổ điển của mình. Mọi người đều biết rằng năng lượng (phi tương đối tính) đúng là động năng p²/2m cộng với thế năng, và ℋ là toán tử của năng lượng toàn phần.

Kết quả này đã gây ấn tượng với người ta tới mức họ cố dạy học sinh tất cả về vật lý cổ điển trước cơ học lượng tử. (Chúng ta nghĩ khác!) Nhưng các sự song song như vậy thường gây hiểu lầm. Chẳng hạn, khi bạn có các toán tử, thứ tự của các thừa số khác nhau là quan trọng; nhưng điều đó không đúng đối với các thừa số trong một phương trình cổ điển.

Trong Chương 17 chúng ta đã định nghĩa một toán tử p̂_x theo toán tử dịch chuyển D̂_x bởi [xem Phương trình (17.27)]

|ψ′⟩ = D̂_x(δ) |ψ⟩ = ( 1 + (i/ħ) p̂_xδ ) |ψ⟩,   (20.65)

trong đó δ là một độ dịch chuyển nhỏ. Chúng ta nên chỉ cho bạn thấy rằng điều này tương đương với định nghĩa mới của chúng ta. Theo những gì chúng ta vừa tìm ra, phương trình này sẽ có nghĩa giống như

ψ′(x) = ψ(x) + (dψ/dx) δ.

Nhưng vế phải đúng là khai triển Taylor của ψ(x + δ), vốn chắc chắn là cái bạn nhận được nếu bạn dịch chuyển trạng thái sang trái một khoảng δ (hay dịch các toạ độ sang phải cùng một lượng). Hai định nghĩa của chúng ta về p̂ khớp nhau!

Hãy dùng sự kiện này để chỉ ra một điều khác. Giả sử chúng ta có một đám các hạt mà chúng ta đánh nhãn 1, 2, 3, …, trong một hệ phức tạp nào đó. (Để giữ mọi thứ đơn giản chúng ta sẽ bám vào một chiều.) Hàm sóng mô tả trạng thái là một hàm của tất cả các toạ độ x₁, x₂, x₃, … Chúng ta có thể viết nó là ψ(x₁, x₂, x₃, …). Bây giờ hãy dịch chuyển hệ (sang trái) một khoảng δ. Hàm sóng mới

ψ′(x₁, x₂, x₃, …) = ψ(x₁ + δ, x₂ + δ, x₃ + δ, …)

có thể được viết là

ψ′(x₁, x₂, x₃, …) = ψ(x₁, x₂, x₃, …) + { δ (∂ψ/∂x₁) + δ (∂ψ/∂x₂) + δ (∂ψ/∂x₃) + ⋯ }.   (20.66)

Theo Phương trình (20.65), toán tử của động lượng của trạng thái |ψ⟩ (hãy gọi nó là động lượng toàn phần) bằng

𝒫_{toàn phần} = (ħ/i) { ∂/∂x₁ + ∂/∂x₂ + ∂/∂x₃ + ⋯ }.

Nhưng điều này đúng giống như

𝒫_{toàn phần} = 𝒫_x1 + 𝒫_x2 + 𝒫_x3 + ⋯.   (20.67)

Các toán tử động lượng tuân theo quy tắc rằng động lượng toàn phần là tổng của động lượng của tất cả các phần. Mọi thứ ăn khớp với nhau một cách đẹp đẽ, và nhiều điều chúng ta đã nói là nhất quán với nhau.

20–6  Mômen động lượng

Để cho vui, hãy xem xét một phép toán khác — phép toán của mômen động lượng quỹ đạo. Trong Chương 17 chúng ta đã định nghĩa một toán tử Ĵ_z theo R̂_z(φ), toán tử của một phép quay đi một góc φ quanh trục z. Ở đây chúng ta xét một hệ được mô tả đơn giản bởi một hàm sóng duy nhất ψ(r), vốn là một hàm chỉ của các toạ độ, và không tính tới sự kiện rằng electron có thể có spin của nó hoặc hướng lên hoặc hướng xuống. Nghĩa là, hiện tại chúng ta muốn bỏ qua mômen động lượng nội tại và chỉ nghĩ về phần quỹ đạo. Để giữ sự phân biệt rõ ràng, chúng ta sẽ gọi toán tử quỹ đạo là L̂_z, và định nghĩa nó theo toán tử của một phép quay đi một góc vô cùng nhỏ ε bởi

R̂_z(ε) |ψ⟩ = ( 1 + (i/ħ) ε L̂_z ) |ψ⟩.

(Hãy nhớ, định nghĩa này chỉ áp dụng cho một trạng thái |ψ⟩ vốn không có các biến spin nội tại, mà chỉ phụ thuộc vào các toạ độ r = x, y, z.) Nếu chúng ta nhìn trạng thái |ψ⟩ trong một hệ toạ độ mới, đã quay quanh trục z một góc nhỏ ε, chúng ta thấy một trạng thái mới

|ψ′⟩ = R̂_z(ε) |ψ⟩.

Nếu chúng ta chọn mô tả trạng thái |ψ⟩ trong biểu diễn toạ độ — nghĩa là, bằng hàm sóng ψ(r) của nó, chúng ta sẽ kỳ vọng có thể viết

ψ′(r) = ( 1 + (i/ħ) ε ℒ_z ) ψ(r).   (20.68)

ℒ_z là gì? Vâng, một điểm P tại x và y trong hệ toạ độ mới (thực ra là x′ và y′, nhưng chúng ta sẽ bỏ các dấu phẩy) trước đây đã ở tại x − εy và y + εx, như bạn có thể thấy từ Hình 20–2. Vì biên độ để electron ở tại P không bị thay đổi bởi phép quay các toạ độ, chúng ta có thể viết

ψ′(x, y, z) = ψ(x − εy, y + εx, z) = ψ(x, y, z) − εy (∂ψ/∂x) + εx (∂ψ/∂y)

(nhớ rằng ε là một góc nhỏ). Điều này có nghĩa là

ℒ_z = (ħ/i) ( x (∂/∂y) − y (∂/∂x) ).   (20.69)

Đó là đáp án của chúng ta. Nhưng hãy chú ý. Nó tương đương với

ℒ_z = x𝒫_y − y𝒫_x.   (20.70)

Quay lại với các toán tử cơ học lượng tử của chúng ta, chúng ta có thể viết

L̂_z = x p̂_y − y p̂_x.   (20.71)

Công thức này dễ nhớ vì nó trông giống công thức quen thuộc của cơ học cổ điển; nó là thành phần z của

L = r × p.   (20.72)

Một trong các phần vui của chuyện toán tử này là nhiều phương trình cổ điển được mang sang thành một dạng cơ học lượng tử. Các phương trình nào không được như vậy? Tốt hơn là nên có một số phương trình không cho ra đúng, vì nếu mọi thứ đều đúng, thì sẽ chẳng có gì khác biệt về cơ học lượng tử. Sẽ không có vật lý mới. Đây là một phương trình vốn khác. Trong vật lý cổ điển

xp_x − p_xx = 0.

Nó là gì trong cơ học lượng tử?

x̂ p̂_x − p̂_x x̂ = ?

Hãy tính nó trong biểu diễn x. Để chúng ta sẽ biết mình đang làm gì, chúng ta đưa vào một hàm sóng nào đó ψ(x). Chúng ta có

x𝒫_xψ(x) − 𝒫_xxψ(x),

hay

x (ħ/i) (d/dx) ψ(x) − (ħ/i) (d/dx) xψ(x).

Bây giờ hãy nhớ rằng các đạo hàm tác động lên mọi thứ ở phía bên phải. Chúng ta nhận được

x (ħ/i) (dψ/dx) − (ħ/i) ψ(x) − (ħ/i) x (dψ/dx) = −(ħ/i) ψ(x).   (20.73)

Đáp án không phải là không. Toàn bộ phép toán tương đương đơn giản với phép nhân với −ħ/i:

x̂ p̂_x − p̂_x x̂ = −ħ/i.   (20.74)

Nếu hằng số Planck bằng không, các kết quả cổ điển và lượng tử sẽ giống nhau, và sẽ không có cơ học lượng tử để học!

Nhân tiện, nếu bất kỳ hai toán tử Â và B̂ nào, khi được lấy cùng nhau như thế này:

ÂB̂ − B̂Â,

không cho ra không, chúng ta nói rằng “các toán tử không giao hoán”. Và một phương trình như (20.74) được gọi là một “hệ thức giao hoán”. Bạn có thể thấy rằng hệ thức giao hoán cho p_x và y là

p̂_x ŷ − ŷ p̂_x = 0.

Có một hệ thức giao hoán rất quan trọng khác có liên quan tới các mômen động lượng. Nó là

L̂_xL̂_y − L̂_yL̂_x = iħ L̂_z.   (20.75)

Bạn có thể tập luyện với các toán tử x̂ và p̂ bằng cách tự chứng minh nó.

Thật thú vị khi chú ý rằng các toán tử không giao hoán cũng có thể xuất hiện trong vật lý cổ điển. Chúng ta đã thấy điều này khi chúng ta nói về phép quay trong không gian. Nếu bạn quay một vật gì đó, chẳng hạn một cuốn sách, đi 90° quanh x rồi 90° quanh y, bạn nhận được một cái gì đó khác với việc quay trước hết 90° quanh y rồi 90° quanh x. Quả thật, đúng tính chất này của không gian chịu trách nhiệm cho Phương trình (20.75).

20–7  Sự thay đổi của các giá trị trung bình theo thời gian

Bây giờ chúng ta muốn chỉ cho bạn một điều khác nữa. Các giá trị trung bình thay đổi theo thời gian như thế nào? Giả sử hiện tại chúng ta có một toán tử Â, vốn tự nó không chứa thời gian trong đó theo bất kỳ cách hiển nhiên nào. Chúng ta muốn nói một toán tử như x̂ hay p̂. (Chúng ta loại trừ các thứ như, chẳng hạn, toán tử của một thế năng bên ngoài nào đó vốn đang được biến thiên theo thời gian, như V(x, t).) Bây giờ giả sử chúng ta tính ⟨A⟩, trong một trạng thái |ψ⟩ nào đó, vốn là

⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩.   (20.76)

⟨A⟩ sẽ phụ thuộc vào thời gian như thế nào? Tại sao nó lại phải phụ thuộc? Một lý do có thể là bản thân toán tử phụ thuộc tường minh vào thời gian — chẳng hạn, nếu nó có liên quan tới một thế năng biến thiên theo thời gian như V(x, t). Nhưng ngay cả khi toán tử không phụ thuộc vào t, chẳng hạn, toán tử  = x̂, giá trị trung bình tương ứng có thể phụ thuộc vào thời gian. Chắc chắn vị trí trung bình của một hạt có thể đang chuyển động. Một chuyển động như vậy ra khỏi Phương trình (20.76) như thế nào nếu  không có sự phụ thuộc vào thời gian? Vâng, trạng thái |ψ⟩ có thể đang thay đổi theo thời gian. Đối với các trạng thái không dừng, chúng ta thường chỉ ra một sự phụ thuộc vào thời gian một cách tường minh bằng cách viết một trạng thái là |ψ(t)⟩. Chúng ta muốn chỉ ra rằng tốc độ thay đổi của ⟨A⟩ được cho bởi một toán tử mới mà chúng ta sẽ gọi là Â̇. Hãy nhớ rằng  là một toán tử, vì vậy việc đặt một dấu chấm lên trên A ở đây không có nghĩa là lấy đạo hàm theo thời gian, mà chỉ là một cách viết một toán tử mới Â̇ vốn được định nghĩa bởi

(d/dt) ⟨A⟩ = ⟨ψ|Â̇|ψ⟩.   (20.77)

Bài toán của chúng ta là tìm toán tử Â̇.

Trước hết, chúng ta biết rằng tốc độ thay đổi của một trạng thái được cho bởi Hamilton. Cụ thể,

iħ (d/dt) |ψ(t)⟩ = Ĥ |ψ(t)⟩.   (20.78)

Đây đúng là cách trừu tượng để viết định nghĩa gốc của chúng ta về Hamilton:

iħ (dC_i/dt) = Σ_j H_ijC_j.   (20.79)

Nếu chúng ta lấy liên hợp phức của Phương trình (20.78), nó tương đương với

−iħ (d/dt) ⟨ψ(t)| = ⟨ψ(t)| Ĥ.   (20.80)

Tiếp theo, hãy xem điều gì xảy ra nếu chúng ta lấy các đạo hàm theo t của Phương trình (20.76). Vì mỗi ψ đều phụ thuộc vào t, chúng ta có

(d/dt)⟨A⟩ = ( (d/dt) ⟨ψ| ) Â |ψ⟩ + ⟨ψ| Â ( (d/dt) |ψ⟩ ).   (20.81)

Cuối cùng, dùng hai phương trình trong (20.78) và (20.80) để thay các đạo hàm, chúng ta nhận được

(d/dt) ⟨A⟩ = (i/ħ) { ⟨ψ|ĤÂ|ψ⟩ − ⟨ψ|ÂĤ|ψ⟩ }.

Phương trình này cũng giống như

(d/dt) ⟨A⟩ = (i/ħ) ⟨ψ|ĤÂ − ÂĤ|ψ⟩.

So sánh phương trình này với Phương trình (20.77), bạn thấy rằng

Â̇ = (i/ħ) ( ĤÂ − ÂĤ ).   (20.82)

Đó là mệnh đề thú vị của chúng ta, và nó đúng đối với bất kỳ toán tử Â nào.

Nhân tiện, nếu bản thân toán tử Â phụ thuộc vào thời gian, chúng ta sẽ đã có

Â̇ = (i/ħ) ( Ĥ − ÂĤ ) + ∂Â/∂t.   (20.83)

Hãy thử Phương trình (20.82) trên một ví dụ nào đó để xem nó có thực sự có nghĩa hay không. Chẳng hạn, toán tử nào tương ứng với x̂̇? Chúng ta nói nó sẽ là

x̂̇ = (i/ħ) ( Ĥx̂ − x̂Ĥ ).   (20.84)

Nó là gì? Một cách để tìm ra là tính nó trong biểu diễn toạ độ dùng toán tử đại số cho ℋ. Trong biểu diễn này giao hoán tử là

ℋx − xℋ = { −(ħ²/2m) (d²/dx²) + V(x) } x − x { −(ħ²/2m) (d²/dx²) + V(x) }.

Nếu bạn tác động bằng toán tử này lên bất kỳ hàm sóng ψ(x) nào và tính ra tất cả các đạo hàm ở nơi bạn có thể, bạn kết thúc, sau một ít công việc, với

−(ħ²/m) (dψ/dx).

Nhưng điều này đúng giống như

−i (ħ/m) 𝒫_xψ,

vì vậy chúng ta tìm thấy rằng

Ĥx̂ − x̂Ĥ = −i (ħ/m) p̂_x   (20.85)

hay rằng

x̂̇ = p̂_x/m.   (20.86)

Một kết quả đẹp. Nó có nghĩa là nếu giá trị trung bình của x đang thay đổi theo thời gian, sự trôi của trọng tâm đúng giống như động lượng trung bình chia cho m. Đúng như cơ học cổ điển.

Một ví dụ khác. Tốc độ thay đổi của động lượng trung bình của một trạng thái là gì? Cùng một trò chơi. Toán tử của nó là

p̂̇ = (i/ħ) ( Ĥp̂ − p̂Ĥ ).   (20.87)

Lại nữa bạn có thể tính nó trong biểu diễn x. Hãy nhớ rằng p̂ trở thành d/dx, và điều này có nghĩa là bạn sẽ lấy đạo hàm của thế năng V (trong ℋ) — nhưng chỉ trong số hạng thứ hai. Hoá ra nó là số hạng duy nhất không triệt tiêu, và bạn tìm thấy rằng

ℋ𝒫 − 𝒫ℋ = iħ (dV/dx)

hay rằng

p̂̇ = −dV/dx.   (20.88)

Lại là kết quả cổ điển. Vế phải là lực, vì vậy chúng ta đã suy ra được định luật Newton! Nhưng hãy nhớ — đây là các định luật cho các toán tử vốn cho các đại lượng trung bình. Chúng không mô tả chuyện gì đang xảy ra chi tiết bên trong một nguyên tử.

Cơ học lượng tử có sự khác biệt cốt yếu là p̂x̂ không bằng x̂p̂. Chúng khác nhau một chút — bởi số nhỏ iħ. Nhưng toàn bộ các phức tạp kỳ diệu của giao thoa, sóng, và mọi thứ, đều xuất phát từ sự kiện nhỏ rằng x̂p̂ − p̂x̂ không hoàn toàn bằng không.

Lịch sử của ý tưởng này cũng thú vị. Trong vòng vài tháng vào năm 1926, Heisenberg và Schrödinger đã độc lập tìm ra các định luật đúng để mô tả cơ học nguyên tử. Schrödinger phát minh ra hàm sóng ψ(x) của ông và tìm ra phương trình của ông. Heisenberg, mặt khác, tìm thấy rằng tự nhiên có thể được mô tả bằng các phương trình cổ điển, ngoại trừ rằng xp − px sẽ bằng iħ, điều mà ông có thể làm cho xảy ra bằng cách định nghĩa chúng theo các loại ma trận đặc biệt. Trong ngôn ngữ của chúng ta, ông đã dùng biểu diễn năng lượng, với các ma trận của nó. Cả đại số ma trận của Heisenberg lẫn phương trình vi phân của Schrödinger đều giải thích nguyên tử hydro. Vài tháng sau, Schrödinger đã có thể chỉ ra rằng hai lý thuyết là tương đương — như chúng ta đã thấy ở đây. Nhưng hai dạng toán học khác nhau của cơ học lượng tử đã được khám phá một cách độc lập.