Chương 6: Điện trường trong các hoàn cảnh khác nhau

6–1  Các phương trình của thế tĩnh điện

Chương này sẽ mô tả hành vi của điện trường trong một số hoàn cảnh khác nhau. Nó sẽ cho một ít kinh nghiệm về cách điện trường hành xử, và sẽ mô tả một số phương pháp toán học được dùng để tìm trường này.

Chúng ta bắt đầu bằng cách chỉ ra rằng toàn bộ bài toán toán học là việc giải hai phương trình, các phương trình Maxwell cho tĩnh điện học:

∇·E = ρ/ε₀,   (6.1)

∇×E = 0.   (6.2)

Thực ra, hai phương trình có thể kết hợp thành một phương trình duy nhất. Từ phương trình thứ hai, chúng ta biết ngay rằng chúng ta có thể mô tả trường như gradient của một vô hướng (xem Mục 3–7, Tập I):

E = −∇ϕ.   (6.3)

Nếu muốn, chúng ta có thể mô tả hoàn toàn bất kỳ điện trường cụ thể nào theo thế ϕ của nó. Chúng ta thu được phương trình vi phân mà ϕ phải tuân theo bằng cách thay (6.3) vào (6.1), để được

∇·∇ϕ = −ρ/ε₀.   (6.4)

Divergence của gradient của ϕ chính là ∇² tác dụng lên ϕ:

∇·∇ϕ = ∇²ϕ = ∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂y² + ∂²ϕ/∂z²,   (6.5)

nên chúng ta viết (6.4) dưới dạng

∇²ϕ = −ρ/ε₀.   (6.6)

Toán tử ∇² được gọi là toán tử Laplace (Laplacian), và phương trình (6.6) được gọi là phương trình Poisson. Toàn bộ chủ đề tĩnh điện học, xét từ góc độ toán học, chỉ đơn thuần là việc nghiên cứu các nghiệm của phương trình duy nhất (6.6). Một khi ϕ đã được tìm bằng cách giải (6.6), chúng ta có thể tìm E ngay từ (6.3).

Trước hết chúng ta xét lớp bài toán đặc biệt trong đó ρ được cho dưới dạng một hàm của x, y, z. Trong trường hợp đó bài toán gần như tầm thường, vì chúng ta đã biết nghiệm của (6.6) cho trường hợp tổng quát. Chúng ta đã chứng minh rằng nếu ρ được biết tại mọi điểm, thế tại điểm (1) là

ϕ(1) = ∫ ρ(2) dV₂ / (4πε₀ r₁₂),   (6.7)

trong đó ρ(2) là mật độ điện tích, dV₂ là phần tử thể tích tại điểm (2), và r₁₂ là khoảng cách giữa điểm (1) và điểm (2). Việc giải phương trình vi phân (6.6) được rút gọn thành một phép tích phân trong không gian. Nghiệm (6.7) cần được đặc biệt lưu ý, bởi vì có nhiều tình huống trong vật lý dẫn đến các phương trình kiểu như

∇²(một cái gì đó) = (một cái gì khác),

và (6.7) là một nguyên mẫu của nghiệm cho bất kỳ bài toán nào trong số này.

Như vậy việc giải các bài toán trường tĩnh điện là hoàn toàn thẳng thắn khi vị trí của mọi điện tích đã được biết. Hãy xem nó hoạt động như thế nào trong vài ví dụ.

6–2  Lưỡng cực điện

Trước hết, hãy lấy hai điện tích điểm, +q và −q, cách nhau khoảng d. Cho trục z đi qua hai điện tích, và chọn gốc tọa độ ở chính giữa, như trong Hình 6–1. Khi đó, dùng (4.24), thế do hai điện tích gây ra được cho bởi

ϕ(x,y,z) = (1/4πε₀)[ q/√([z−(d/2)]²+x²+y²) + (−q)/√([z+(d/2)]²+x²+y²) ].   (6.8)

Chúng ta sẽ không viết ra công thức cho điện trường, nhưng chúng ta luôn có thể tính nó một khi đã có thế. Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán hai điện tích.

Có một trường hợp đặc biệt quan trọng trong đó hai điện tích rất gần nhau — nghĩa là chúng ta chỉ quan tâm đến trường tại các khoảng cách từ các điện tích lớn so với khoảng cách giữa chúng. Chúng ta gọi một cặp điện tích gần nhau như vậy là một lưỡng cực. Các lưỡng cực rất phổ biến.

Một anten “lưỡng cực” thường có thể được gần đúng bằng hai điện tích cách nhau một khoảng nhỏ — nếu chúng ta không hỏi về trường quá gần anten. (Chúng ta thường quan tâm đến các anten có các điện tích chuyển động; khi ấy các phương trình của tĩnh học không thực sự áp dụng được, nhưng đối với một số mục đích chúng là một phép gần đúng thỏa đáng.)

Quan trọng hơn có lẽ là các lưỡng cực nguyên tử. Nếu có một điện trường trong bất kỳ vật liệu nào, các electron và proton cảm thấy các lực ngược chiều nhau và bị dịch chuyển tương đối so với nhau. Trong một vật dẫn, bạn còn nhớ, một số electron di chuyển ra bề mặt, khiến trường bên trong trở thành không. Trong một vật cách điện, các electron không thể di chuyển quá xa; chúng bị kéo lại bởi lực hút của hạt nhân. Tuy nhiên, chúng có dịch chuyển một chút. Vì vậy, mặc dù một nguyên tử, hay phân tử, vẫn trung hòa trong một điện trường ngoài, có một sự tách ra rất nhỏ giữa các điện tích dương và âm của nó và nó trở thành một lưỡng cực vi mô. Nếu chúng ta quan tâm đến trường của các lưỡng cực nguyên tử này trong vùng lân cận của các vật có kích thước thông thường, chúng ta thường đang xử lý các khoảng cách lớn so với khoảng tách của các cặp điện tích.

Trong một số phân tử, các điện tích có phần tách ra ngay cả khi không có trường ngoài, vì hình dạng của phân tử. Chẳng hạn trong một phân tử nước, có một điện tích âm ròng trên nguyên tử ôxy và một điện tích dương ròng trên mỗi nguyên tử trong hai nguyên tử hiđrô, chúng không được đặt đối xứng mà như trong Hình 6–2. Mặc dù điện tích của toàn bộ phân tử bằng không, có một phân bố điện tích với điện tích âm hơi nhiều hơn ở một phía và điện tích dương hơi nhiều hơn ở phía kia. Sự sắp xếp này chắc chắn không đơn giản như hai điện tích điểm, nhưng khi nhìn từ xa, hệ hoạt động như một lưỡng cực. Như chúng ta sẽ thấy ít lâu nữa, trường ở các khoảng cách lớn không nhạy với các chi tiết tinh vi.

Vậy hãy xét trường của hai điện tích trái dấu với khoảng tách d nhỏ. Nếu d trở thành không, hai điện tích chồng lên nhau, hai thế triệt tiêu nhau, và không có trường. Nhưng nếu chúng không nằm đúng chồng lên nhau, chúng ta có thể thu được một phép gần đúng tốt cho thế bằng cách khai triển các số hạng của (6.8) thành chuỗi lũy thừa theo lượng nhỏ d (dùng khai triển nhị thức). Chỉ giữ các số hạng đến bậc nhất theo d, chúng ta có thể viết

(z − d/2)² ≈ z² − zd.

Viết cho tiện

x² + y² + z² = r².

Khi đó

(z − d/2)² + x² + y² ≈ r² − zd = r²(1 − zd/r²),

và

1/√([z−(d/2)]²+x²+y²) ≈ 1/√(r²[1−(zd/r²)]) = (1/r)(1 − zd/r²)^−1/2.

Dùng khai triển nhị thức một lần nữa cho [1−(zd/r²)]^−1/2 — và bỏ đi các số hạng có lũy thừa bậc hai hoặc cao hơn của d — chúng ta được

(1/r)(1 + ½ zd/r²).

Tương tự,

1/√([z+(d/2)]²+x²+y²) ≈ (1/r)(1 − ½ zd/r²).

Hiệu của hai số hạng này cho thế

ϕ(x,y,z) = (1/4πε₀) (z/r³) qd.   (6.9)

Thế, và do đó cả trường, vốn là đạo hàm của nó, tỉ lệ với qd, tích của điện tích và khoảng tách. Tích này được định nghĩa là mômen lưỡng cực của hai điện tích, mà chúng ta sẽ dùng ký hiệu p (đừng nhầm với động lượng!):

p = qd.   (6.10)

Phương trình (6.9) cũng có thể viết dưới dạng

ϕ(x,y,z) = (1/4πε₀) p cos θ/r²,   (6.11)

vì z/r = cos θ, trong đó θ là góc giữa trục của lưỡng cực và vectơ bán kính tới điểm (x,y,z) — xem Hình 6–1. Thế của một lưỡng cực giảm như 1/r² theo một hướng cho trước từ trục (trong khi đối với một điện tích điểm nó giảm như 1/r). Điện trường E của lưỡng cực khi đó sẽ giảm như 1/r³.

Chúng ta có thể đưa công thức của mình về dạng vectơ nếu chúng ta định nghĩa p là một vectơ có độ lớn là p và có hướng dọc theo trục của lưỡng cực, chỉ từ −q về phía +q. Khi đó

p cos θ = p·e_r,   (6.12)

trong đó e_r là vectơ đơn vị theo hướng bán kính (Hình 6–3). Chúng ta cũng có thể biểu diễn điểm (x,y,z) bằng r. Khi đó

Thế lưỡng cực:

ϕ(r) = (1/4πε₀) (p·e_r)/r² = (1/4πε₀) (p·r)/r³.   (6.13)

Công thức này đúng cho một lưỡng cực có hướng và vị trí bất kỳ, nếu r biểu diễn vectơ từ lưỡng cực tới điểm mà chúng ta quan tâm.

Nếu chúng ta muốn điện trường của lưỡng cực, chúng ta có thể thu được nó bằng cách lấy gradient của ϕ. Chẳng hạn, thành phần z của trường là −∂ϕ/∂z. Đối với một lưỡng cực hướng dọc theo trục z, chúng ta có thể dùng (6.9):

−∂ϕ/∂z = −(p/4πε₀) ∂/∂z (z/r³) = −(p/4πε₀)(1/r³ − 3z²/r⁵),

hay

E_z = (p/4πε₀) (3 cos²θ − 1)/r³.   (6.14)

Các thành phần x và y là

E_x = (p/4πε₀) 3zx/r⁵,   E_y = (p/4πε₀) 3zy/r⁵.

Hai thành phần này có thể kết hợp để cho một thành phần hướng vuông góc với trục z, mà chúng ta sẽ gọi là thành phần ngang E_⊥:

E_⊥ = √(E_x²+E_y²) = (p/4πε₀) (3z/r⁵)√(x²+y²),

hay

E_⊥ = (p/4πε₀) (3 cos θ sin θ)/r³.   (6.15)

Thành phần ngang E_⊥ nằm trong mặt phẳng xy và hướng thẳng ra xa trục của lưỡng cực. Trường toàn phần, dĩ nhiên, là

E = √(E_z² + E_⊥²).

Trường lưỡng cực thay đổi tỉ lệ nghịch với lũy thừa ba của khoảng cách từ lưỡng cực. Trên trục, tại θ = 0, nó mạnh gấp đôi so với tại θ = 90°. Tại cả hai góc đặc biệt này, điện trường chỉ có thành phần z, nhưng có dấu ngược nhau tại hai vị trí (Hình 6–4).

6–3  Nhận xét về các phương trình vectơ

Đây là một chỗ thích hợp để đưa ra một nhận xét tổng quát về giải tích vectơ. Các chứng minh cơ bản có thể được biểu diễn bằng các phương trình tao nhã ở dạng tổng quát, nhưng khi thực hiện các phép tính và phân tích khác nhau, luôn luôn là một ý hay khi chọn các trục theo một cách thuận tiện nào đó. Hãy để ý rằng khi chúng ta tìm thế của một lưỡng cực, chúng ta đã chọn trục z dọc theo hướng của lưỡng cực, thay vì ở một góc tùy ý nào đó. Điều này làm cho công việc dễ dàng hơn nhiều. Nhưng sau đó chúng ta đã viết các phương trình dưới dạng vectơ để chúng không còn phụ thuộc vào bất kỳ hệ tọa độ cụ thể nào. Sau đó, chúng ta được phép chọn bất kỳ hệ tọa độ nào chúng ta muốn, vì biết rằng hệ thức, nói chung, là đúng. Rõ ràng là chẳng có ý nghĩa gì khi bận tâm với một hệ tọa độ tùy ý ở một góc phức tạp nào đó khi bạn có thể chọn một hệ gọn gàng cho bài toán cụ thể — miễn là kết quả cuối cùng có thể được biểu diễn dưới dạng một phương trình vectơ. Vậy nên bằng mọi cách hãy tận dụng sự thật rằng các phương trình vectơ không phụ thuộc vào bất kỳ hệ tọa độ nào.

Mặt khác, nếu bạn đang cố tính divergence của một vectơ, thay vì chỉ nhìn vào ∇·E và tự hỏi nó là gì, đừng quên rằng nó luôn có thể được viết trải ra thành

∂E_x/∂x + ∂E_y/∂y + ∂E_z/∂z.

Nếu sau đó bạn có thể tính ra các thành phần x, y và z của điện trường và lấy đạo hàm của chúng, bạn sẽ có divergence. Thường dường như có một cảm giác rằng có điều gì đó không tao nhã — một kiểu thất bại nào đó — trong việc viết ra các thành phần; rằng bằng cách nào đó hẳn luôn có một cách làm mọi việc bằng các toán tử vectơ. Thường thì việc đó chẳng có lợi thế gì. Lần đầu tiên chúng ta gặp một loại bài toán cụ thể, việc viết ra các thành phần thường giúp chúng ta chắc chắn rằng mình hiểu điều gì đang xảy ra. Chẳng có gì không tao nhã trong việc đưa số vào các phương trình, và chẳng có gì không tao nhã trong việc thay các đạo hàm cho các ký hiệu hoa mỹ. Thực ra, thường có một sự khéo léo nhất định trong việc làm đúng như vậy. Dĩ nhiên khi bạn công bố một bài báo trên một tạp chí chuyên ngành, nó sẽ trông đẹp hơn — và dễ hiểu hơn — nếu bạn có thể viết mọi thứ dưới dạng vectơ. Ngoài ra, nó còn tiết kiệm giấy in.

6–4  Thế lưỡng cực dưới dạng một gradient

Chúng tôi muốn chỉ ra một điều khá thú vị về công thức lưỡng cực, phương trình (6.13). Thế cũng có thể được viết dưới dạng

ϕ = −(1/4πε₀) p·∇(1/r).   (6.16)

Nếu bạn tính gradient của 1/r, bạn được

∇(1/r) = −r/r³ = −e_r/r²,

và (6.16) giống như (6.13).

Làm sao chúng ta nghĩ ra điều đó? Chúng ta chỉ nhớ rằng e_r/r² đã xuất hiện trong công thức cho trường của một điện tích điểm, và rằng trường là gradient của một thế có sự phụ thuộc 1/r.

Có một lý do vật lý để có thể viết thế lưỡng cực dưới dạng (6.16). Giả sử chúng ta có một điện tích điểm q ở gốc tọa độ. Thế tại điểm P ở (x,y,z) là

ϕ₀ = q/r.

(Chúng ta hãy bỏ qua 1/4πε₀ trong khi thực hiện các lập luận này; chúng ta có thể gắn nó vào ở cuối.) Bây giờ nếu chúng ta di chuyển điện tích +q lên một khoảng Δz, thế tại P sẽ thay đổi một chút, chẳng hạn một lượng Δϕ₊. Δϕ₊ bằng bao nhiêu? Ồ, nó đúng bằng lượng mà thế sẽ thay đổi nếu chúng ta giữ điện tích ở gốc tọa độ và di chuyển P đi xuống cùng một khoảng Δz (Hình 6–5). Tức là,

Δϕ₊ = −(∂ϕ₀/∂z)Δz,

trong đó theo Δz chúng ta hiểu giống như d/2. Vậy, dùng ϕ₀ = q/r, chúng ta có thế do điện tích dương là

ϕ₊ = q/r − [∂/∂z (q/r)] (d/2).   (6.17)

Áp dụng cùng lập luận cho thế do điện tích âm, chúng ta có thể viết

ϕ₋ = −q/r + [∂/∂z (−q/r)] (d/2).   (6.18)

Thế toàn phần là tổng của (6.17) và (6.18):

ϕ = ϕ₊ + ϕ₋ = −[∂/∂z (q/r)] d = −[∂/∂z (1/r)] qd.   (6.19)

Đối với các hướng khác của lưỡng cực, chúng ta có thể biểu diễn độ dịch chuyển của điện tích dương bằng vectơ Δr₊. Khi đó chúng ta nên viết phương trình phía trên (6.17) dưới dạng

Δϕ₊ = −∇ϕ₀·Δr₊,

trong đó Δr₊ sau đó được thay bằng d/2. Hoàn thành phép suy diễn như trước, khi đó (6.19) trở thành

ϕ = −∇(1/r)·qd.

Điều này giống như (6.16), nếu chúng ta thay qd = p, và đặt lại 1/4πε₀. Nhìn theo cách khác, chúng ta thấy rằng thế lưỡng cực, phương trình (6.13), có thể được diễn giải dưới dạng

ϕ = −p·∇Φ₀,   (6.20)

trong đó Φ₀ = 1/4πε₀r là thế của một điện tích điểm đơn vị.

Mặc dù chúng ta luôn có thể tìm thế của một phân bố điện tích đã biết bằng một phép tích phân, đôi khi có thể tiết kiệm thời gian bằng cách thu được đáp án bằng một mẹo khéo léo. Chẳng hạn, người ta thường có thể tận dụng nguyên lý chồng chập. Nếu chúng ta được cho một phân bố điện tích có thể được tạo thành từ tổng của hai phân bố mà thế của chúng đã được biết, thì việc tìm thế mong muốn bằng cách chỉ cộng hai thế đã biết đó lại là dễ dàng. Một ví dụ của điều này là phép suy diễn (6.20) của chúng ta, một ví dụ khác là ví dụ sau đây.

Giả sử chúng ta có một mặt cầu với một phân bố điện tích mặt thay đổi như cosin của góc cực. Phép tích phân cho phân bố này khá rắc rối. Nhưng, đáng ngạc nhiên, một phân bố như vậy có thể được phân tích bằng phép chồng chập. Vì hãy tưởng tượng một quả cầu với một mật độ thể tích đều của điện tích dương, và một quả cầu khác với một mật độ thể tích đều bằng như vậy của điện tích âm, ban đầu chồng lên nhau để tạo thành một quả cầu trung hòa — tức là, không tích điện. Nếu quả cầu dương sau đó bị dịch chuyển một chút so với quả cầu âm, phần thân của quả cầu không tích điện sẽ vẫn trung hòa, nhưng một ít điện tích dương sẽ xuất hiện ở một phía, và một ít điện tích âm sẽ xuất hiện ở phía đối diện, như được minh họa trong Hình 6–6. Nếu độ dịch chuyển tương đối của hai quả cầu là nhỏ, điện tích ròng tương đương với một điện tích mặt (trên một mặt cầu), và mật độ điện tích mặt sẽ tỉ lệ với cosin của góc cực.

Bây giờ nếu chúng ta muốn thế do phân bố này gây ra, chúng ta không cần thực hiện một phép tích phân. Chúng ta biết rằng thế do mỗi quả cầu điện tích gây ra là — đối với các điểm bên ngoài quả cầu — giống như thế do một điện tích điểm gây ra. Hai quả cầu bị dịch chuyển giống như hai điện tích điểm; thế đúng là thế của một lưỡng cực.

Bằng cách này bạn có thể chứng tỏ rằng một phân bố điện tích trên một quả cầu bán kính a với mật độ điện tích mặt

σ = σ₀ cos θ

tạo ra một trường bên ngoài quả cầu đúng là trường của một lưỡng cực mà mômen của nó là

p = 4πσ₀a³/3.

Cũng có thể chứng tỏ rằng bên trong quả cầu trường là hằng số, với giá trị

E = σ₀/3ε₀.

Nếu θ là góc kể từ trục z dương, điện trường bên trong quả cầu theo hướng z âm. Ví dụ chúng ta vừa xét không giả tạo như nó có vẻ; chúng ta sẽ gặp lại nó trong lý thuyết về chất điện môi.

6–5  Phép gần đúng lưỡng cực cho một phân bố tùy ý

Trường lưỡng cực xuất hiện trong một hoàn cảnh khác vừa thú vị vừa quan trọng. Giả sử chúng ta có một vật có một phân bố điện tích phức tạp — như phân tử nước (Hình 6–2) — và chúng ta chỉ quan tâm đến trường ở rất xa. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng có thể tìm một biểu thức tương đối đơn giản cho trường, thích hợp cho các khoảng cách lớn so với kích thước của vật.

Chúng ta có thể nghĩ vật của chúng ta như một tập hợp các điện tích điểm q_i trong một vùng giới hạn nào đó, như trong Hình 6–7. (Sau này, nếu muốn, chúng ta có thể thay q_i bằng ρ dV.) Cho mỗi điện tích q_i nằm tại độ dịch chuyển d_i từ một gốc tọa độ được chọn đâu đó ở giữa nhóm điện tích. Thế tại điểm P, nằm tại R, trong đó R lớn hơn nhiều so với d_i lớn nhất, bằng bao nhiêu? Thế do toàn bộ tập hợp gây ra được cho bởi

ϕ = (1/4πε₀) Σ_i q_i/r_i,   (6.21)

trong đó r_i là khoảng cách từ P tới điện tích q_i (độ dài của vectơ R − d_i). Bây giờ nếu khoảng cách từ các điện tích tới P, điểm quan sát, là khổng lồ, mỗi r_i có thể được gần đúng bằng R. Mỗi số hạng trở thành q_i/R, và chúng ta có thể đưa 1/R ra làm một thừa số ở trước dấu tổng. Điều này cho chúng ta kết quả đơn giản

ϕ = (1/4πε₀) (1/R) Σ_i q_i = Q/(4πε₀R),   (6.22)

trong đó Q đúng là tổng điện tích của toàn bộ vật. Như vậy chúng ta thấy rằng đối với các điểm đủ xa bất kỳ cục điện tích nào, cục đó trông như một điện tích điểm. Kết quả không quá ngạc nhiên.

Nhưng điều gì xảy ra nếu có số điện tích dương và âm bằng nhau? Khi đó tổng điện tích Q của vật bằng không. Đây không phải một trường hợp bất thường; thực ra, như chúng ta đã biết, các vật thường trung hòa. Phân tử nước là trung hòa, nhưng các điện tích không phải tất cả đều ở một điểm, nên nếu chúng ta đủ gần, chúng ta hẳn có thể thấy một số hiệu ứng của các điện tích riêng biệt. Chúng ta cần một phép gần đúng tốt hơn (6.22) cho thế do một phân bố điện tích tùy ý trong một vật trung hòa gây ra. Phương trình (6.21) vẫn chính xác, nhưng chúng ta không còn có thể chỉ đặt r_i = R nữa. Chúng ta cần một biểu thức chính xác hơn cho r_i.

Nếu điểm P ở khoảng cách lớn, r_i sẽ khác R, với một phép gần đúng tuyệt vời, một lượng bằng hình chiếu của d_i lên R, như có thể thấy từ Hình 6–7. (Bạn nên tưởng tượng rằng P thực ra ở xa hơn nhiều so với hình vẽ.) Nói cách khác, nếu e_R là vectơ đơn vị theo hướng của R, thì phép gần đúng tiếp theo của chúng ta cho r_i là

r_i ≈ R − d_i·e_R.   (6.23)

Điều chúng ta thực sự muốn là 1/r_i, mà vì d_i ≪ R, có thể được viết theo phép gần đúng của chúng ta dưới dạng

1/r_i ≈ (1/R)(1 + (d_i·e_R)/R).   (6.24)

Thay điều này vào (6.21), chúng ta được thế là

ϕ = (1/4πε₀)( Q/R + Σ_i q_i (d_i·e_R)/R² + … ).   (6.25)

Ba dấu chấm chỉ các số hạng có bậc cao hơn theo d_i/R mà chúng ta đã bỏ qua. Các số hạng này, cũng như các số hạng chúng ta đã thu được, là các số hạng liên tiếp trong một khai triển Taylor của 1/r_i quanh 1/R theo lũy thừa của d_i/R.

Số hạng đầu tiên trong (6.25) là cái chúng ta đã thu được trước đây; nó biến mất nếu vật trung hòa. Số hạng thứ hai phụ thuộc vào 1/R², đúng như đối với một lưỡng cực. Thực ra, nếu chúng ta định nghĩa

p = Σ_i q_id_i   (6.26)

như một tính chất của phân bố điện tích, số hạng thứ hai của thế (6.25) là

ϕ = (1/4πε₀) (p·e_R)/R²,   (6.27)

đúng là một thế lưỡng cực. Đại lượng p được gọi là mômen lưỡng cực của phân bố. Nó là một sự tổng quát hóa định nghĩa trước đây của chúng ta, và rút gọn thành định nghĩa đó cho trường hợp đặc biệt của hai điện tích điểm.

Kết quả của chúng ta là, đủ xa bất kỳ đống điện tích lộn xộn nào mà xét toàn thể là trung hòa, thế là một thế lưỡng cực. Nó giảm như 1/R² và thay đổi như cos θ — và độ mạnh của nó phụ thuộc vào mômen lưỡng cực của phân bố điện tích. Chính vì những lý do này mà trường lưỡng cực quan trọng, vì trường hợp đơn giản của một cặp điện tích điểm là khá hiếm.

Chẳng hạn phân tử nước có một mômen lưỡng cực khá mạnh. Các điện trường sinh ra từ mômen này chịu trách nhiệm cho một số tính chất quan trọng của nước. Đối với nhiều phân tử, chẳng hạn CO₂, mômen lưỡng cực triệt tiêu vì tính đối xứng của phân tử. Đối với chúng, chúng ta nên khai triển còn chính xác hơn nữa, thu được một số hạng nữa trong thế vốn giảm như 1/R³, và được gọi là một thế tứ cực. Chúng ta sẽ thảo luận các trường hợp như vậy sau.

6–6  Trường của các vật dẫn tích điện

Chúng ta nay đã xong với các ví dụ mà chúng ta muốn xét về các tình huống trong đó phân bố điện tích được biết ngay từ đầu. Đó là một bài toán không có các biến chứng nghiêm trọng, liên quan cùng lắm đến một số phép tích phân. Bây giờ chúng ta chuyển sang một loại bài toán hoàn toàn mới, việc xác định trường gần các vật dẫn tích điện.

Giả sử chúng ta có một tình huống trong đó một tổng điện tích Q được đặt lên một vật dẫn tùy ý. Bây giờ chúng ta sẽ không thể nói chính xác các điện tích ở đâu. Chúng sẽ trải ra theo một cách nào đó trên bề mặt. Làm sao chúng ta có thể biết các điện tích đã phân bố như thế nào trên bề mặt? Chúng phải phân bố sao cho thế của bề mặt là hằng số. Nếu bề mặt không phải là một mặt đẳng thế, sẽ có một điện trường bên trong vật dẫn, và các điện tích sẽ tiếp tục di chuyển cho đến khi nó trở thành không. Bài toán tổng quát thuộc loại này có thể được giải theo cách sau. Chúng ta đoán một phân bố điện tích và tính thế. Nếu thế hóa ra là hằng số khắp nơi trên bề mặt, bài toán đã xong. Nếu bề mặt không phải là một mặt đẳng thế, chúng ta đã đoán sai phân bố điện tích, và nên đoán lại — hy vọng với một phỏng đoán được cải thiện! Điều này có thể tiếp tục mãi mãi, trừ phi chúng ta khôn khéo trong các phỏng đoán liên tiếp.

Câu hỏi làm sao đoán phân bố là khó về mặt toán học. Dĩ nhiên, tự nhiên có thời gian để làm điều đó; các điện tích đẩy và kéo cho đến khi tất cả chúng tự cân bằng. Tuy nhiên khi chúng ta cố giải bài toán, chúng ta mất quá nhiều thời gian cho mỗi lần thử đến mức phương pháp đó rất tẻ nhạt. Với một nhóm tùy ý các vật dẫn và điện tích, bài toán có thể rất phức tạp, và nói chung không thể giải được nếu không có các phương pháp số khá công phu. Ngày nay, các phép tính số như vậy được thiết lập trên một máy tính, máy sẽ làm công việc cho chúng ta một khi chúng ta đã bảo nó cách tiến hành.

Mặt khác, có nhiều trường hợp thực tế nhỏ trong đó thật hay nếu có thể tìm đáp án bằng một phương pháp trực tiếp hơn nào đó — mà không phải viết một chương trình cho máy tính. May mắn thay, có một số trường hợp trong đó đáp án có thể thu được bằng cách ép nó ra khỏi Tự nhiên bằng mẹo này hay mẹo khác. Mẹo đầu tiên chúng ta sẽ mô tả liên quan đến việc tận dụng các nghiệm chúng ta đã thu được cho các tình huống trong đó các điện tích có vị trí đã chỉ định.

6–7  Phương pháp ảnh

Chẳng hạn, chúng ta đã giải trường của hai điện tích điểm. Hình 6–8 cho thấy một số đường sức và mặt đẳng thế chúng ta thu được bằng các phép tính trong Chương 4. Bây giờ hãy xét mặt đẳng thế được đánh dấu A. Giả sử chúng ta uốn một tấm kim loại mỏng sao cho nó vừa khít với mặt này. Nếu chúng ta đặt nó đúng tại mặt đó và điều chỉnh thế của nó tới giá trị thích hợp, sẽ không ai biết nó ở đó, bởi vì không có gì thay đổi cả.

Nhưng hãy để ý! Chúng ta thực sự đã giải một bài toán mới. Chúng ta có một tình huống trong đó bề mặt của một vật dẫn cong với một thế cho trước được đặt gần một điện tích điểm. Nếu tấm kim loại chúng ta đặt tại mặt đẳng thế cuối cùng tự khép lại (hoặc, trong thực tế, nếu nó đi đủ xa) chúng ta có loại tình huống đã xét trong Mục 5–10, trong đó không gian của chúng ta được chia thành hai miền, một ở trong và một ở ngoài một vỏ dẫn kín. Chúng ta đã thấy ở đó rằng trường trong hai miền hoàn toàn độc lập với nhau. Vì vậy chúng ta sẽ có cùng trường ở bên ngoài vật dẫn cong của chúng ta bất kể bên trong nó có gì. Chúng ta thậm chí có thể lấp toàn bộ phần trong bằng vật liệu dẫn điện. Do đó, chúng ta đã tìm được trường cho sự sắp xếp của Hình 6–9. Trong không gian bên ngoài vật dẫn, trường đúng như trường của hai điện tích điểm, như trong Hình 6–8. Bên trong vật dẫn, nó bằng không.

Ngoài ra — như nó phải thế — điện trường ngay bên ngoài vật dẫn là pháp tuyến với bề mặt.

Như vậy chúng ta có thể tính trường trong Hình 6–9 bằng cách tính trường do q và do một điện tích điểm tưởng tượng −q tại một điểm thích hợp gây ra. Điện tích điểm mà chúng ta “tưởng tượng” tồn tại đằng sau bề mặt dẫn điện được gọi là một điện tích ảnh.

Trong các cuốn sách bạn có thể tìm thấy những danh sách dài các nghiệm cho các vật dẫn hình hypebol và những thứ trông phức tạp khác, và bạn tự hỏi làm thế nào người ta có thể từng giải được những hình dạng khủng khiếp này. Chúng đã được giải ngược! Ai đó đã giải một bài toán đơn giản với các điện tích cho trước. Sau đó anh ta thấy rằng một mặt đẳng thế nào đó xuất hiện với một hình dạng mới, và anh ta viết một bài báo trong đó anh ta chỉ ra rằng trường bên ngoài hình dạng cụ thể đó có thể được mô tả theo một cách nhất định.

6–8  Một điện tích điểm gần một mặt phẳng dẫn điện

Để là ứng dụng đơn giản nhất của việc sử dụng phương pháp này, hãy tận dụng mặt đẳng thế phẳng B của Hình 6–8. Với nó, chúng ta có thể giải bài toán một điện tích ở trước một tấm dẫn điện. Chúng ta chỉ việc gạch bỏ nửa trái của bức tranh. Các đường sức cho nghiệm của chúng ta được cho trong Hình 6–10. Hãy để ý rằng mặt phẳng, vì nó ở chính giữa hai điện tích, có thế bằng không. Chúng ta đã giải bài toán một điện tích dương ở cạnh một tấm dẫn điện được nối đất.

Bây giờ chúng ta đã giải trường toàn phần, nhưng còn các điện tích thật chịu trách nhiệm về nó thì sao? Ngoài điện tích điểm dương của chúng ta, còn có một số điện tích âm cảm ứng trên tấm dẫn điện đã bị điện tích dương hút tới (từ các khoảng cách rất xa). Bây giờ giả sử vì một lý do kỹ thuật nào đó — hay vì tò mò — bạn muốn biết các điện tích âm phân bố như thế nào trên bề mặt. Bạn có thể tìm mật độ điện tích mặt bằng cách dùng kết quả chúng ta đã làm ra trong Mục 5–9 với định luật Gauss. Thành phần pháp tuyến của điện trường ngay bên ngoài một vật dẫn bằng mật độ điện tích mặt σ chia cho ε₀. Chúng ta có thể thu được mật độ điện tích tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt bằng cách lần ngược lại từ thành phần pháp tuyến của điện trường tại bề mặt. Chúng ta biết điều đó, bởi vì chúng ta biết trường ở khắp nơi.

Xét một điểm trên bề mặt cách điểm nằm trực tiếp bên dưới điện tích dương một khoảng ρ (Hình 6–10). Điện trường tại điểm này là pháp tuyến với bề mặt và hướng vào trong nó. Thành phần pháp tuyến với bề mặt của trường do điện tích điểm dương là

E_n+ = −(1/4πε₀) aq/(a²+ρ²)^3/2.   (6.28)

Vào đây chúng ta phải cộng điện trường do điện tích ảnh âm tạo ra. Điều đó đúng là làm gấp đôi thành phần pháp tuyến (và triệt tiêu mọi thành phần khác), nên mật độ điện tích σ tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt là

σ(ρ) = ε₀E(ρ) = −2aq/[4π(a²+ρ²)^3/2].   (6.29)

Một kiểm tra thú vị đối với công việc của chúng ta là tích phân σ trên toàn bộ bề mặt. Chúng ta thấy rằng tổng điện tích cảm ứng là −q, như nó phải thế.

Một câu hỏi nữa: Có một lực tác dụng lên điện tích điểm không? Có, bởi vì có một lực hút từ điện tích mặt âm cảm ứng trên bản. Bây giờ chúng ta đã biết các điện tích mặt là gì (từ phương trình 6.29), chúng ta có thể tính lực tác dụng lên điện tích điểm dương của chúng ta bằng một phép tích phân. Nhưng chúng ta cũng biết rằng lực tác dụng lên điện tích dương đúng giống như nó sẽ là với điện tích ảnh âm thay cho bản, bởi vì trường trong vùng lân cận là giống nhau trong cả hai trường hợp. Điện tích điểm cảm thấy một lực hướng về phía bản mà độ lớn là

F = (1/4πε₀) q²/(2a)².   (6.30)

Chúng ta đã tìm lực dễ dàng hơn nhiều so với việc tích phân trên mọi điện tích âm.

6–9  Một điện tích điểm gần một quả cầu dẫn điện

Những bề mặt nào khác ngoài một mặt phẳng có một nghiệm đơn giản? Hình dạng đơn giản nhất tiếp theo là một quả cầu. Hãy tìm trường quanh một quả cầu kim loại được nối đất có một điện tích điểm q ở gần nó, như trong Hình 6–11. Bây giờ chúng ta phải tìm một tình huống vật lý đơn giản cho ra một quả cầu làm mặt đẳng thế. Nếu chúng ta nhìn quanh các bài toán mọi người đã giải, chúng ta thấy rằng ai đó đã nhận thấy rằng trường của hai điện tích điểm không bằng nhau có một mặt đẳng thế là một quả cầu. A ha! Nếu chúng ta chọn vị trí của một điện tích ảnh — và chọn đúng lượng điện tích — có lẽ chúng ta có thể làm mặt đẳng thế vừa với quả cầu của chúng ta. Quả thực, điều đó có thể làm được với chỉ dẫn sau đây.

Giả sử rằng bạn muốn mặt đẳng thế là một quả cầu bán kính a với tâm của nó cách điện tích q một khoảng b. Đặt một điện tích ảnh có độ lớn q′ = −q(a/b) trên đường thẳng từ điện tích tới tâm của quả cầu, và tại khoảng cách a²/b từ tâm. Quả cầu sẽ ở thế không.

Lý do toán học bắt nguồn từ sự thật rằng một quả cầu là quỹ tích của mọi điểm mà tỉ số các khoảng cách tới hai điểm là hằng số. Tham chiếu Hình 6–11, thế tại P do q và q′ gây ra tỉ lệ với

q/r₁ + q′/r₂.

Như vậy thế sẽ bằng không tại mọi điểm mà tại đó

q′/r₂ = −q/r₁,   hay   r₂/r₁ = −q′/q.

Nếu chúng ta đặt q′ tại khoảng cách a²/b từ tâm, tỉ số r₂/r₁ có giá trị hằng số a/b. Khi đó nếu

q′/q = −a/b   (6.31)

quả cầu là một mặt đẳng thế. Thực ra, thế của nó bằng không.

Điều gì xảy ra nếu chúng ta quan tâm tới một quả cầu không ở thế không? Điều đó sẽ chỉ xảy ra nếu tổng điện tích của nó tình cờ đúng là q′. Dĩ nhiên nếu nó được nối đất, các điện tích cảm ứng trên nó sẽ phải đúng là chừng đó. Nhưng nếu nó được cách điện, và chúng ta không đặt điện tích nào lên nó thì sao? Hay nếu chúng ta biết rằng tổng điện tích Q đã được đặt lên nó? Hay chỉ là nó có một thế cho trước không bằng không? Mọi câu hỏi này đều dễ dàng được trả lời. Chúng ta luôn có thể cộng thêm một điện tích điểm q″ tại tâm của quả cầu. Quả cầu vẫn là một mặt đẳng thế nhờ phép chồng chập; chỉ độ lớn của thế sẽ thay đổi.

Nếu chúng ta có, chẳng hạn, một quả cầu dẫn điện ban đầu không tích điện và được cách điện với mọi thứ khác, và chúng ta đưa điện tích điểm dương q lại gần nó, tổng điện tích của quả cầu sẽ vẫn bằng không. Nghiệm được tìm bằng cách dùng một điện tích ảnh q′ như trước, nhưng, ngoài ra, cộng thêm một điện tích q″ tại tâm của quả cầu, chọn

q″ = −q′ = (a/b) q.   (6.32)

Trường ở khắp nơi bên ngoài quả cầu được cho bởi sự chồng chập của trường của q, q′ và q″. Bài toán đã được giải.

Bây giờ chúng ta có thể thấy rằng sẽ có một lực hút giữa quả cầu và điện tích điểm q. Nó không bằng không mặc dù quả cầu trung hòa không có điện tích. Lực hút đến từ đâu? Khi bạn đưa một điện tích dương tới gần một quả cầu dẫn điện, điện tích dương hút các điện tích âm về phía gần nó hơn và để lại các điện tích dương trên bề mặt của phía xa. Lực hút bởi các điện tích âm vượt quá lực đẩy từ các điện tích dương; có một lực hút ròng. Chúng ta có thể tìm xem lực hút lớn đến mức nào bằng cách tính lực tác dụng lên q trong trường do q′ và q″ tạo ra. Lực toàn phần là tổng của lực hút giữa q và một điện tích q′ = −(a/b)q, tại khoảng cách b − (a²/b), và lực đẩy giữa q và một điện tích q″ = +(a/b)q tại khoảng cách b.

Những ai thời thơ ấu đã thích thú với hộp bột nở có trên nhãn của nó một bức tranh của một hộp bột nở mà trên nhãn của nó có một bức tranh của một hộp bột nở mà trên nhãn… có thể quan tâm đến bài toán sau đây. Hai quả cầu bằng nhau, một quả có tổng điện tích +Q và quả kia có tổng điện tích −Q, được đặt cách nhau một khoảng nào đó. Lực giữa chúng bằng bao nhiêu? Bài toán có thể được giải với một số vô hạn các ảnh. Trước hết người ta gần đúng mỗi quả cầu bằng một điện tích tại tâm của nó. Các điện tích này sẽ có các điện tích ảnh trong quả cầu kia. Các điện tích ảnh sẽ có ảnh, v.v., v.v., v.v. Nghiệm giống như bức tranh trên hộp bột nở — và nó hội tụ khá nhanh.

6–10  Tụ điện; các bản song song

Bây giờ chúng ta xét một loại bài toán khác liên quan đến các vật dẫn. Hãy xét hai bản kim loại lớn song song với nhau và cách nhau một khoảng nhỏ so với bề rộng của chúng. Giả sử các điện tích bằng nhau và trái dấu đã được đặt lên các bản. Các điện tích trên mỗi bản sẽ bị hút bởi các điện tích trên bản kia, và các điện tích sẽ trải đều ra trên các bề mặt trong của các bản. Các bản sẽ có mật độ điện tích mặt tương ứng là +σ và −σ, như trong Hình 6–12. Từ Chương 5, chúng ta biết rằng trường giữa các bản là σ/ε₀, và rằng trường bên ngoài các bản bằng không. Các bản sẽ có các thế khác nhau ϕ₁ và ϕ₂. Để tiện, chúng ta sẽ gọi hiệu của chúng là V; nó thường được gọi là “điện áp”:

ϕ₁ − ϕ₂ = V.

(Bạn sẽ thấy rằng đôi khi người ta dùng V cho thế, nhưng chúng ta đã chọn dùng ϕ.)

Hiệu điện thế V là công trên một đơn vị điện tích cần thiết để mang một điện tích nhỏ từ bản này sang bản kia, nên

V = Ed = (σ/ε₀) d = (d/ε₀A) Q,   (6.33)

trong đó ±Q là tổng điện tích trên mỗi bản, A là diện tích của các bản, và d là khoảng tách.

Chúng ta thấy rằng điện áp tỉ lệ với điện tích. Một tính tỉ lệ như vậy giữa V và Q được tìm thấy cho bất kỳ hai vật dẫn nào trong không gian nếu có một điện tích dương trên vật này và một điện tích âm bằng như vậy trên vật kia. Hiệu điện thế giữa chúng — tức là, điện áp — sẽ tỉ lệ với điện tích. (Chúng ta đang giả thiết rằng không có các điện tích khác xung quanh.)

Tại sao có tính tỉ lệ này? Đúng là nguyên lý chồng chập. Giả sử chúng ta biết nghiệm cho một tập hợp các điện tích, rồi chúng ta chồng chập hai nghiệm như vậy. Các điện tích tăng gấp đôi, các trường tăng gấp đôi, và công thực hiện khi mang một điện tích đơn vị từ điểm này tới điểm kia cũng tăng gấp đôi. Do đó hiệu điện thế giữa bất kỳ hai điểm nào cũng tỉ lệ với các điện tích. Cụ thể, hiệu điện thế giữa hai vật dẫn tỉ lệ với các điện tích trên chúng. Ai đó ban đầu đã viết phương trình tỉ lệ theo chiều ngược lại. Tức là, họ viết

Q = CV,

trong đó C là một hằng số. Hệ số tỉ lệ này được gọi là điện dung (capacity), và một hệ như vậy gồm hai vật dẫn được gọi là một tụ điện (condenser).¹ Đối với tụ điện bản song song của chúng ta,

C = ε₀A/d   (các bản song song).   (6.34)

Công thức này không chính xác, bởi vì trường không thực sự đều ở khắp nơi giữa các bản, như chúng ta đã giả thiết. Trường không chỉ đột ngột dừng lại ở các mép, mà thực ra nó giống hơn như được chỉ trong Hình 6–13. Tổng điện tích không phải σA, như chúng ta đã giả thiết — có một ít hiệu chỉnh cho các hiệu ứng ở các mép. Để tìm xem hiệu chỉnh là gì, chúng ta sẽ phải tính trường chính xác hơn và tìm xem điều gì thực sự xảy ra ở các mép. Đó là một bài toán toán học phức tạp mà tuy nhiên có thể được giải bằng các kỹ thuật mà chúng ta sẽ không mô tả bây giờ. Kết quả của các phép tính như vậy là mật độ điện tích tăng lên một ít ở gần các mép của các bản. Điều này có nghĩa là điện dung của các bản cao hơn một ít so với chúng ta đã tính.

Chúng ta đã nói về điện dung chỉ cho hai vật dẫn. Đôi khi người ta nói về điện dung của một vật đơn lẻ. Chẳng hạn, họ nói rằng điện dung của một quả cầu bán kính a là 4πε₀a. Điều họ tưởng tượng là cực còn lại là một quả cầu khác có bán kính vô hạn — rằng khi có một điện tích +Q trên quả cầu, điện tích đối nghịch, −Q, ở trên một quả cầu vô hạn. Người ta cũng có thể nói về các điện dung khi có ba vật dẫn trở lên, một cuộc thảo luận mà tuy nhiên chúng ta sẽ hoãn lại.

Giả sử rằng chúng ta muốn có một tụ điện với điện dung rất lớn. Chúng ta có thể thu được một điện dung lớn bằng cách lấy một diện tích rất lớn và một khoảng tách rất nhỏ. Chúng ta có thể đặt giấy sáp giữa các lá nhôm mỏng và cuộn nó lại. (Nếu chúng ta niêm phong nó trong nhựa, chúng ta có một tụ điện kiểu vô tuyến điển hình.) Nó có ích gì? Nó có ích cho việc lưu trữ điện tích. Nếu chúng ta cố lưu trữ điện tích trên một quả cầu, chẳng hạn, thế của nó tăng nhanh khi chúng ta nạp điện cho nó. Nó thậm chí có thể cao đến mức điện tích bắt đầu thoát vào không khí bằng các tia lửa. Nhưng nếu chúng ta đặt cùng điện tích đó lên một tụ điện mà điện dung của nó rất lớn, điện áp phát triển trên tụ điện sẽ nhỏ.

Trong nhiều ứng dụng trong các mạch điện tử, thật hữu ích khi có một thứ có thể hấp thụ hoặc cung cấp một lượng điện tích lớn mà không thay đổi thế của nó nhiều. Một tụ điện (hay “capacitor”) làm đúng điều đó. Cũng có nhiều ứng dụng trong các dụng cụ điện tử và trong các máy tính, trong đó một tụ điện được dùng để thu được một sự thay đổi điện áp đã chỉ định để đáp ứng một sự thay đổi điện tích cụ thể. Chúng ta đã thấy một ứng dụng tương tự trong Chương 23, Tập I, nơi chúng ta mô tả các tính chất của các mạch cộng hưởng.

Từ định nghĩa của C, chúng ta thấy rằng đơn vị của nó là một culông/vôn. Đơn vị này cũng được gọi là một farad. Nhìn vào phương trình (6.34), chúng ta thấy rằng người ta có thể biểu diễn các đơn vị của ε₀ dưới dạng farad/mét, đơn vị được dùng phổ biến nhất. Kích thước điển hình của các tụ điện chạy từ một micrô-micrôfarad (1 picofarad) đến các milifarad. Các tụ điện nhỏ vài picofarad được dùng trong các mạch điều hưởng tần số cao, và các điện dung lên tới hàng trăm hay hàng nghìn micrôfarad được tìm thấy trong các bộ lọc nguồn điện. Một cặp bản có diện tích một centimét vuông với khoảng tách một milimét có điện dung khoảng một micrô-micrôfarad.

6–11  Sự đánh thủng ở điện áp cao

Bây giờ chúng tôi muốn thảo luận định tính một số đặc trưng của trường quanh các vật dẫn. Nếu chúng ta nạp điện cho một vật dẫn không phải là một quả cầu, mà là một vật dẫn có trên nó một mũi nhọn hay một đầu rất sắc, chẳng hạn vật được phác họa trong Hình 6–14, trường quanh mũi nhọn cao hơn nhiều so với trường trong các miền khác. Lý do, về mặt định tính, là các điện tích cố trải ra càng nhiều càng tốt trên bề mặt của một vật dẫn, và đỉnh của một mũi nhọn sắc ở xa nhất có thể so với phần lớn bề mặt. Một số điện tích trên bản bị đẩy tận tới đỉnh. Một lượng điện tích tương đối nhỏ trên đỉnh vẫn có thể cho một mật độ mặt lớn; một mật độ điện tích cao có nghĩa là một trường cao ngay bên ngoài.

Một cách để thấy rằng trường cao nhất ở những chỗ trên một vật dẫn nơi bán kính cong là nhỏ nhất là xét sự kết hợp của một quả cầu lớn và một quả cầu nhỏ được nối bằng một sợi dây, như trong Hình 6–15. Nó là một phiên bản có phần lý tưởng hóa của vật dẫn trong Hình 6–14. Sợi dây sẽ có ít ảnh hưởng lên trường bên ngoài; nó ở đó để giữ các quả cầu ở cùng một thế. Bây giờ, quả cầu nào có trường lớn nhất tại bề mặt của nó? Nếu quả cầu bên trái có bán kính a và mang một điện tích Q, thế của nó khoảng

ϕ₁ = (1/4πε₀) Q/a.

(Dĩ nhiên sự hiện diện của một quả cầu làm thay đổi phân bố điện tích trên quả cầu kia, nên các điện tích không thực sự đối xứng cầu trên cả hai. Nhưng nếu chúng ta chỉ quan tâm tới một ước lượng về trường, chúng ta có thể dùng thế của một điện tích cầu.) Nếu quả cầu nhỏ hơn, mà bán kính của nó là b, mang điện tích q, thế của nó khoảng

ϕ₂ = (1/4πε₀) q/b.

Nhưng ϕ₁ = ϕ₂, nên

Q/a = q/b.

Mặt khác, trường tại bề mặt (xem phương trình 5.8) tỉ lệ với mật độ điện tích mặt, vốn giống như tổng điện tích trên bình phương bán kính. Chúng ta được rằng

E_a/E_b = (Q/a²)/(q/b²) = b/a.   (6.35)

Do đó trường cao hơn tại bề mặt của quả cầu nhỏ. Các trường tỉ lệ nghịch với các bán kính.

Kết quả này quan trọng về mặt kỹ thuật, bởi vì không khí sẽ bị đánh thủng nếu điện trường quá lớn. Điều xảy ra là một điện tích lỏng lẻo (electron, hay ion) đâu đó trong không khí bị trường gia tốc, và nếu trường rất lớn, điện tích có thể thu đủ tốc độ trước khi nó va vào một nguyên tử khác để có thể đánh bật một electron khỏi nguyên tử đó. Kết quả là ngày càng nhiều ion được tạo ra. Chuyển động của chúng tạo thành một sự phóng điện, hay tia lửa. Nếu bạn muốn nạp một vật tới một thế cao và không để nó tự phóng điện bằng các tia lửa trong không khí, bạn phải chắc chắn rằng bề mặt nhẵn, để không có chỗ nào mà trường lớn bất thường.

6–12  Kính hiển vi phát xạ trường

Có một ứng dụng thú vị của điện trường cực kỳ cao bao quanh bất kỳ chỗ lồi sắc nào trên một vật dẫn tích điện. Kính hiển vi phát xạ trường dựa vào các trường cao được tạo ra tại một mũi kim loại sắc để hoạt động.² Nó được chế tạo theo cách sau. Một cây kim rất mảnh, với một mũi có đường kính khoảng 1000 angstrom, được đặt tại tâm của một quả cầu thủy tinh đã rút chân không (Hình 6–16). Bề mặt trong của quả cầu được phủ một lớp dẫn điện mỏng bằng vật liệu huỳnh quang, và một hiệu điện thế rất cao được áp vào giữa lớp phủ huỳnh quang và cây kim.

Trước hết hãy xét điều gì xảy ra khi cây kim âm so với lớp phủ huỳnh quang. Các đường sức tập trung cao độ tại mũi nhọn sắc. Điện trường có thể cao tới 40 triệu vôn trên mỗi centimét. Trong các trường mãnh liệt như vậy, các electron bị kéo ra khỏi bề mặt của cây kim và được gia tốc qua hiệu điện thế giữa cây kim và lớp huỳnh quang. Khi chúng tới đó, chúng làm ánh sáng được phát ra, đúng như trong một ống hình của truyền hình.

Các electron tới một điểm cho trước trên bề mặt huỳnh quang, với một phép gần đúng tuyệt vời, là những electron rời khỏi đầu kia của đường sức hướng tâm, bởi vì các electron sẽ di chuyển dọc theo đường sức đi từ điểm đó tới bề mặt. Như vậy chúng ta thấy trên bề mặt một kiểu hình ảnh nào đó của mũi kim. Chính xác hơn, chúng ta thấy một bức tranh về khả năng phát xạ của bề mặt mũi kim — tức là mức độ dễ dàng mà các electron có thể rời khỏi bề mặt của mũi kim loại. Nếu độ phân giải đủ cao, người ta có thể hy vọng phân giải được vị trí của các nguyên tử riêng lẻ trên mũi kim.

Với các electron, độ phân giải này là không thể vì những lý do sau. Thứ nhất, có sự nhiễu xạ cơ học lượng tử của các sóng electron vốn làm mờ hình ảnh. Thứ hai, do các chuyển động bên trong của các electron trong kim loại, chúng có một vận tốc ban đầu ngang nhỏ khi rời khỏi cây kim, và thành phần vận tốc ngang ngẫu nhiên này gây ra một ít sự nhòe của hình ảnh. Sự kết hợp của hai hiệu ứng này giới hạn độ phân giải ở khoảng 25 Å hoặc cỡ đó.

Tuy nhiên, nếu chúng ta đảo ngược cực tính và đưa vào bóng một lượng nhỏ khí hêli, các độ phân giải cao hơn nhiều là có thể. Khi một nguyên tử hêli va chạm với mũi kim, trường mãnh liệt tại đó tước một electron khỏi nguyên tử hêli, để nó tích điện dương. Ion hêli sau đó được gia tốc ra ngoài dọc theo một đường sức tới màn huỳnh quang. Vì ion hêli nặng hơn rất nhiều so với một electron, các bước sóng cơ học lượng tử nhỏ hơn nhiều. Nếu nhiệt độ không quá cao, hiệu ứng của các vận tốc nhiệt cũng nhỏ hơn so với trường hợp electron. Với sự nhòe hình ảnh ít hơn, một bức tranh sắc nét hơn nhiều về mũi nhọn được thu được. Người ta đã có thể thu được các độ phóng đại lên tới 2.000.000 lần với kính hiển vi phát xạ trường ion dương — một độ phóng đại tốt hơn mười lần so với độ phóng đại thu được với kính hiển vi electron tốt nhất.

Hình 6–17 là một ví dụ về các kết quả đã thu được với một kính hiển vi ion trường, dùng một cây kim vonfram. Tâm của một nguyên tử vonfram ion hóa một nguyên tử hêli với tốc độ hơi khác so với các khoảng trống giữa các nguyên tử vonfram. Họa tiết các đốm trên màn huỳnh quang cho thấy sự sắp xếp của các nguyên tử riêng lẻ trên mũi vonfram. Lý do các đốm xuất hiện thành các vòng có thể được hiểu bằng cách hình dung một hộp lớn các quả bóng được xếp trong một mảng hình chữ nhật, biểu diễn các nguyên tử trong kim loại. Nếu bạn cắt ra một đoạn xấp xỉ hình cầu khỏi hộp này, bạn sẽ thấy họa tiết vòng đặc trưng của cấu trúc nguyên tử. Kính hiển vi ion trường đã cho con người phương tiện để nhìn thấy các nguyên tử lần đầu tiên. Đây là một thành tựu đáng kể, xét đến sự đơn giản của dụng cụ.