Chương 8: Năng lượng tĩnh điện

8–1  Năng lượng tĩnh điện của các điện tích. Một quả cầu đều

Trong việc học cơ học, một trong những khám phá thú vị và hữu ích nhất là định luật bảo toàn năng lượng. Các biểu thức cho động năng và thế năng của một hệ cơ học đã giúp chúng ta khám phá các mối liên hệ giữa các trạng thái của một hệ tại hai thời điểm khác nhau mà không cần phải xét chi tiết điều gì đã xảy ra ở giữa. Bây giờ chúng ta muốn xét năng lượng của các hệ tĩnh điện. Trong điện học, nguyên lý bảo toàn năng lượng cũng sẽ hữu ích để khám phá một số điều thú vị.

Định luật về năng lượng tương tác trong tĩnh điện học rất đơn giản; thực ra, chúng ta đã thảo luận nó rồi. Giả sử chúng ta có hai điện tích q₁ và q₂ cách nhau khoảng cách r₁₂. Hệ có một năng lượng nào đó, bởi vì cần một lượng công nhất định để đưa các điện tích lại gần nhau. Chúng ta đã tính công thực hiện khi đưa hai điện tích lại với nhau từ một khoảng cách lớn. Nó là

q₁q₂/(4πε₀r₁₂).   (8.1)

Chúng ta cũng biết, từ nguyên lý chồng chất, rằng nếu có nhiều điện tích hiện diện, tổng lực tác dụng lên bất kỳ điện tích nào là tổng các lực từ các điện tích khác. Do đó suy ra rằng tổng năng lượng của một hệ gồm một số điện tích là tổng các số hạng do tương tác lẫn nhau của mỗi cặp điện tích. Nếu q_i và q_j là hai điện tích bất kỳ và r_ij là khoảng cách giữa chúng (Hình 8–1), năng lượng của cặp cụ thể đó là

q_iq_j/(4πε₀r_ij).   (8.2)

Tổng năng lượng tĩnh điện U là tổng năng lượng của mọi cặp điện tích có thể:

U = Σ_{mọi cặp} q_iq_j/(4πε₀r_ij).   (8.3)

Nếu chúng ta có một phân bố điện tích được chỉ định bởi một mật độ điện tích ρ, tổng của phương trình (8.3), dĩ nhiên, sẽ được thay bằng một tích phân.

Chúng ta sẽ quan tâm đến hai khía cạnh của năng lượng này. Một là ứng dụng của khái niệm năng lượng vào các bài toán tĩnh điện; khía cạnh còn lại là việc đánh giá năng lượng theo các cách khác nhau. Đôi khi việc tính công thực hiện cho một trường hợp đặc biệt nào đó dễ hơn việc đánh giá tổng trong phương trình (8.3), hay tích phân tương ứng. Để là ví dụ, hãy tính năng lượng cần thiết để lắp ráp một quả cầu điện tích với mật độ điện tích đều. Năng lượng đó chính là công thực hiện khi gom các điện tích lại với nhau từ vô cực.

Hãy tưởng tượng chúng ta lắp ráp quả cầu bằng cách dựng lên một loạt các lớp cầu mỏng có bề dày vô cùng nhỏ. Tại mỗi giai đoạn của quá trình, chúng ta gom một lượng điện tích nhỏ và đặt nó vào một lớp mỏng từ r đến r+dr. Chúng ta tiếp tục quá trình cho đến khi đạt bán kính cuối cùng a (Hình 8–2). Nếu Q_r là điện tích của quả cầu khi nó đã được dựng lên tới bán kính r, công thực hiện khi đưa một điện tích dQ tới nó là

dU = Q_rdQ/(4πε₀r).   (8.4)

Nếu mật độ điện tích trong quả cầu là ρ, điện tích Q_r là

Q_r = ρ·(4/3)πr³,

và điện tích dQ là

dQ = ρ·4πr²dr.

Phương trình (8.4) trở thành

dU = 4πρ²r⁴dr/(3ε₀).   (8.5)

Tổng năng lượng cần thiết để lắp ráp quả cầu là tích phân của dU từ r = 0 đến r = a, hay

U = 4πρ²a⁵/(15ε₀).   (8.6)

Hay nếu chúng ta muốn biểu diễn kết quả theo tổng điện tích Q của quả cầu,

U = (3/5)·Q²/(4πε₀a).   (8.7)

Năng lượng tỉ lệ với bình phương của tổng điện tích và tỉ lệ nghịch với bán kính.

Chúng ta cũng có thể diễn giải phương trình (8.7) như nói rằng giá trị trung bình của (1/r_ij) đối với mọi cặp điểm trong quả cầu là 6/5a.

8–2  Năng lượng của một tụ điện. Lực tác dụng lên các vật dẫn tích điện

Bây giờ chúng ta xét năng lượng cần thiết để nạp một tụ điện. Nếu điện tích Q đã được lấy từ một trong các vật dẫn của một tụ điện và đặt lên vật dẫn kia, hiệu điện thế giữa chúng là

V = Q/C,   (8.8)

trong đó C là điện dung của tụ điện.

Công thực hiện khi nạp tụ điện là bao nhiêu?

Tiến hành như đối với quả cầu, chúng ta tưởng tượng rằng tụ điện đã được nạp bằng cách chuyển điện tích từ bản này sang bản kia theo các lượng tăng nhỏ dQ. Công cần thiết để chuyển điện tích dQ là

dU = VdQ.

Lấy V từ phương trình (8.8), chúng ta viết

dU = QdQ/C.

Hay tích phân từ điện tích bằng không đến điện tích cuối cùng Q, chúng ta có

U = (1/2)·Q²/C.   (8.9)

Năng lượng này cũng có thể được viết là

U = ½CV².   (8.10)

Nhớ lại rằng điện dung của một quả cầu dẫn điện (so với vô cực) là

C_{quả cầu} = 4πε₀a,

chúng ta có thể thu ngay từ phương trình (8.9) năng lượng của một quả cầu tích điện,

U = (1/2)·Q²/(4πε₀a).   (8.11)

Điều này, dĩ nhiên, cũng là năng lượng của một vỏ cầu mỏng có tổng điện tích Q và đúng bằng 5/6 năng lượng của một quả cầu tích điện đều, phương trình (8.7).

Bây giờ chúng ta xét các ứng dụng của ý tưởng năng lượng tĩnh điện. Hãy xét các câu hỏi sau: Lực giữa các bản của một tụ điện là bao nhiêu? Hay mômen lực quanh một trục nào đó của một vật dẫn tích điện khi có mặt một vật dẫn khác có điện tích trái dấu là bao nhiêu? Các câu hỏi như vậy dễ dàng được trả lời bằng cách dùng kết quả của chúng ta, phương trình (8.9), cho năng lượng tĩnh điện của một tụ điện, cùng với nguyên lý công ảo (các Chương 4, 13 và 14 của Tập I).

Hãy dùng phương pháp này để xác định lực giữa các bản của một tụ điện phẳng song song. Nếu chúng ta tưởng tượng rằng khoảng cách giữa các bản được tăng lên một lượng nhỏ Δz, thì công cơ học thực hiện từ bên ngoài khi di chuyển các bản sẽ là

ΔW = FΔz,   (8.12)

trong đó F là lực giữa các bản. Công này phải bằng sự thay đổi năng lượng tĩnh điện của tụ điện.

Theo phương trình (8.9), năng lượng của tụ điện ban đầu là

U = (1/2)·Q²/C.

Sự thay đổi năng lượng (nếu chúng ta không để điện tích thay đổi) là

ΔU = (1/2)Q²Δ(1/C).   (8.13)

Cho (8.12) và (8.13) bằng nhau, chúng ta có

FΔz = (Q²/2)Δ(1/C).   (8.14)

Điều này cũng có thể được viết là

FΔz = −(Q²/2C²)ΔC.   (8.15)

Lực, dĩ nhiên, sinh ra từ sự hút của các điện tích trên các bản, nhưng chúng ta thấy rằng chúng ta không phải lo chi tiết về cách chúng phân bố; mọi thứ chúng ta cần đều được chăm sóc trong điện dung C.

Dễ dàng thấy cách ý tưởng này được mở rộng cho các vật dẫn có hình dạng bất kỳ, và cho các thành phần khác của lực. Trong phương trình (8.14), chúng ta thay F bằng thành phần chúng ta đang tìm, và thay Δz bằng một độ dịch chuyển nhỏ theo hướng tương ứng. Hay nếu chúng ta có một điện cực có một trục quay và chúng ta muốn biết mômen lực τ, chúng ta viết công ảo là

ΔW = τΔθ,

trong đó Δθ là một độ dịch chuyển góc nhỏ. Dĩ nhiên, Δ(1/C) phải là sự thay đổi của 1/C tương ứng với Δθ. Bằng cách này, chúng ta có thể tìm mômen lực tác dụng lên các bản di động trong một tụ điện biến đổi thuộc loại được chỉ trong Hình 8–3.

Quay lại trường hợp đặc biệt của một tụ điện phẳng song song, chúng ta có thể dùng công thức chúng ta đã suy ra trong Chương 6 cho điện dung:

1/C = d/(ε₀A),   (8.16)

trong đó A là diện tích của mỗi bản. Nếu chúng ta tăng khoảng cách thêm Δz,

Δ(1/C) = Δz/(ε₀A).

Từ phương trình (8.14) chúng ta thu được rằng lực giữa các bản là

F = Q²/(2ε₀A).   (8.17)

Hãy nhìn phương trình (8.17) kỹ hơn một chút và xem chúng ta có thể nói lực sinh ra như thế nào không. Nếu đối với điện tích trên một bản chúng ta viết

Q = σA,

phương trình (8.17) có thể được viết lại là

F = (1/2)Q·σ/ε₀.

Hay, vì điện trường giữa các bản là

E₀ = σ/ε₀,

thì

F = ½QE₀.   (8.18)

Người ta sẽ đoán ngay rằng lực tác dụng lên một bản là điện tích Q trên bản nhân với trường tác dụng lên điện tích. Nhưng chúng ta có một thừa số một phần hai đáng ngạc nhiên. Lý do là E₀ không phải là trường tại các điện tích. Nếu chúng ta tưởng tượng rằng điện tích tại bề mặt của bản chiếm một lớp mỏng, như được chỉ trong Hình 8–4, trường sẽ thay đổi từ không tại biên trong của lớp tới E₀ trong không gian bên ngoài bản. Trường trung bình tác dụng lên các điện tích mặt là E₀/2. Đó là lý do thừa số một phần hai có mặt trong phương trình (8.18).

Bạn nên để ý rằng khi tính công ảo chúng ta đã giả thiết rằng điện tích trên tụ điện là hằng số — rằng nó không được nối điện với các vật khác, nên tổng điện tích không thể thay đổi.

Giả sử chúng ta đã tưởng tượng rằng tụ điện được giữ ở một hiệu điện thế hằng số khi chúng ta thực hiện độ dịch chuyển ảo. Khi đó chúng ta hẳn đã lấy

U = ½CV²

và thay cho phương trình (8.15) chúng ta hẳn đã có

FΔz = ½V²ΔC,

vốn cho một lực bằng về độ lớn với lực trong phương trình (8.15) (bởi vì V = Q/C), nhưng ngược dấu!

Chắc chắn lực giữa các bản của tụ điện không đổi dấu khi chúng ta ngắt nó khỏi nguồn nạp của nó. Ngoài ra, chúng ta biết rằng hai bản có điện tích trái dấu phải hút nhau. Nguyên lý công ảo đã được áp dụng không đúng trong trường hợp thứ hai — chúng ta đã không tính đến công ảo thực hiện lên nguồn nạp. Tức là, để giữ thế hằng số ở V khi điện dung thay đổi, một điện tích VΔC phải được cung cấp bởi một nguồn điện tích. Nhưng điện tích này được cung cấp ở thế V, nên công thực hiện bởi hệ điện giữ thế hằng số là V²ΔC. Công cơ học FΔz cộng với công điện này V²ΔC hợp lại thành sự thay đổi tổng năng lượng ½V²ΔC của tụ điện. Do đó FΔz là −½V²ΔC, như trước.

8–3  Năng lượng tĩnh điện của một tinh thể ion

Bây giờ chúng ta xét một ứng dụng của khái niệm năng lượng tĩnh điện trong vật lý nguyên tử. Chúng ta không thể dễ dàng đo các lực giữa các nguyên tử, nhưng chúng ta thường quan tâm đến hiệu năng lượng giữa cách sắp xếp nguyên tử này với cách sắp xếp nguyên tử khác, chẳng hạn như năng lượng của một biến đổi hóa học. Vì các lực nguyên tử về cơ bản là lực điện, các năng lượng hóa học phần lớn chính là các năng lượng tĩnh điện.

Hãy xét, chẳng hạn, năng lượng tĩnh điện của một mạng ion. Một tinh thể ion như NaCl gồm các ion dương và âm mà có thể được nghĩ như các quả cầu cứng. Chúng hút nhau về điện cho đến khi chúng bắt đầu chạm nhau; sau đó có một lực đẩy tăng lên rất nhanh nếu chúng ta cố đẩy chúng lại gần nhau hơn.

Đối với phép gần đúng đầu tiên của chúng ta, do đó, chúng ta tưởng tượng một tập hợp các quả cầu cứng biểu diễn các nguyên tử trong một tinh thể muối. Cấu trúc của mạng đã được xác định bằng nhiễu xạ tia X. Nó là một mạng lập phương — như một bàn cờ ba chiều. Hình 8–5 cho một hình nhìn mặt cắt. Khoảng cách giữa các ion là 2,81 Å (= 2,81×10⁻⁸ cm).

Nếu bức tranh của chúng ta về hệ này là đúng, chúng ta hẳn có thể kiểm tra nó bằng cách đặt câu hỏi sau: Cần bao nhiêu năng lượng để kéo mọi ion này ra xa nhau — tức là, để tách tinh thể hoàn toàn thành các ion? Năng lượng này phải bằng nhiệt bay hơi của NaCl cộng với năng lượng cần thiết để phân ly các phân tử thành các ion. Tổng năng lượng này để tách NaCl thành các ion được xác định bằng thực nghiệm là 7,92 electron vôn trên mỗi phân tử. Dùng hệ số chuyển đổi

1 eV = 1,602×10⁻¹⁹ joule,

và số Avogadro cho số phân tử trong một mol,

N₀ = 6,02×10²³,

năng lượng phân ly cũng có thể được cho là

W = 7,64×10⁵ joule/mol.

Các nhà hóa lý thích dùng kilocalorie làm đơn vị năng lượng, vốn là 4190 joule; vậy 1 eV trên mỗi phân tử là 23 kilocalorie trên mỗi mol. Một nhà hóa học khi đó sẽ nói rằng năng lượng phân ly của NaCl là

W = 183 kcal/mol.

Chúng ta có thể thu được năng lượng hóa học này bằng lý thuyết bằng cách tính công cần thiết để kéo tinh thể ra không? Theo lý thuyết của chúng ta, công này là tổng thế năng của mọi cặp ion. Cách dễ nhất để tính tổng này là chọn ra một ion cụ thể và tính thế năng của nó với mỗi ion còn lại. Điều đó sẽ cho chúng ta gấp đôi năng lượng trên mỗi ion, bởi vì năng lượng thuộc về các cặp điện tích. Nếu chúng ta muốn năng lượng được gắn với một ion cụ thể, chúng ta nên lấy một nửa tổng. Nhưng chúng ta thực sự muốn năng lượng trên mỗi phân tử, vốn chứa hai ion, vậy tổng chúng ta tính sẽ cho trực tiếp năng lượng trên mỗi phân tử.

Năng lượng của một ion với một trong các ion lân cận gần nhất của nó là e²/a, trong đó e² = q_e²/4πε₀ và a là khoảng cách tâm-tới-tâm giữa các ion. (Chúng ta đang xét các ion đơn hóa trị.) Năng lượng này là 5,12 eV, mà chúng ta đã thấy sẽ cho chúng ta một kết quả có cấp độ lớn đúng. Nhưng nó vẫn còn cách xa tổng vô hạn các số hạng chúng ta cần.

Hãy bắt đầu bằng cách cộng mọi số hạng từ các ion dọc theo một đường thẳng. Xét ion được đánh dấu Na trong Hình 8–5 là ion đặc biệt của chúng ta, trước hết chúng ta sẽ xét các ion trên một đường ngang cùng với nó. Có hai ion Cl gần nhất có điện tích âm, mỗi ion ở khoảng cách a. Sau đó có hai ion dương ở khoảng cách 2a, v.v. Gọi năng lượng của tổng này là U₁, chúng ta viết

U₁ = (e²/a)(−2/1 + 2/2 − 2/3 + 2/4 ∓ …) = −(2e²/a)(1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 ± …).   (8.19)

Chuỗi hội tụ chậm, nên khó đánh giá bằng số, nhưng người ta biết nó bằng ln 2. Vậy

U₁ = −(2e²/a) ln 2 = −1,386 e²/a.   (8.20)

Bây giờ xét đường ion kề tiếp theo ở phía trên. Ion gần nhất là âm và ở khoảng cách a. Sau đó có hai ion dương ở khoảng cách √2 a. Cặp tiếp theo ở khoảng cách √5 a, cặp tiếp theo ở √10 a, và cứ thế. Vậy đối với toàn bộ đường chúng ta thu được chuỗi

(e²/a)(−1/1 + 2/√2 − 2/√5 + 2/√10 ∓ …).   (8.21)

Có bốn đường như vậy: phía trên, phía dưới, phía trước và phía sau. Sau đó có bốn đường là các đường gần nhất trên các đường chéo, và cứ tiếp tục như vậy.

Nếu bạn kiên nhẫn làm việc qua mọi đường, rồi lấy tổng, bạn thấy rằng tổng toàn phần là

U = −1,747 e²/a,

vốn chỉ lớn hơn đôi chút so với điều chúng ta thu được trong (8.20) cho đường đầu tiên. Dùng e²/a = 5,12 eV, chúng ta thu được

U = −8,94 eV.

Đáp án của chúng ta cao hơn khoảng 10% so với năng lượng quan sát bằng thực nghiệm. Nó cho thấy ý tưởng của chúng ta rằng toàn bộ mạng được giữ lại với nhau bởi các lực Coulomb điện là đúng về cơ bản. Đây là lần đầu tiên chúng ta thu được một tính chất cụ thể của một chất vĩ mô từ hiểu biết về vật lý nguyên tử. Chúng ta sẽ làm nhiều hơn nữa về sau. Môn học cố gắng hiểu hành vi của vật chất khối theo các định luật của hành vi nguyên tử được gọi là vật lý chất rắn.

Bây giờ còn sai số trong phép tính của chúng ta thì sao? Tại sao nó không đúng hoàn toàn? Đó là vì lực đẩy giữa các ion ở khoảng cách gần. Chúng không phải là các quả cầu cứng hoàn hảo, nên khi chúng ở gần nhau chúng bị ép dẹp một phần. Chúng không mềm lắm, nên chúng chỉ bị ép dẹp một ít. Tuy nhiên, một ít năng lượng được dùng để biến dạng chúng, và khi các ion bị kéo ra xa năng lượng này được giải phóng. Năng lượng thực sự cần thiết để kéo các ion ra xa nhỏ hơn một ít so với năng lượng chúng ta đã tính; lực đẩy giúp thắng lực hút tĩnh điện.

Có cách nào chúng ta có thể tính đến đóng góp này không? Chúng ta có thể nếu chúng ta biết định luật của lực đẩy. Chúng ta chưa sẵn sàng để phân tích chi tiết cơ chế đẩy này, nhưng chúng ta có thể có một ít ý niệm về các đặc trưng của nó từ một số phép đo quy mô lớn. Từ một phép đo độ nén của toàn bộ tinh thể, có thể thu được một ý niệm định lượng về định luật đẩy giữa các ion và do đó về đóng góp của nó vào năng lượng. Bằng cách này người ta đã thấy rằng đóng góp này phải bằng 1/9,4 đóng góp từ lực hút tĩnh điện và, dĩ nhiên, ngược dấu. Nếu chúng ta trừ đóng góp này khỏi năng lượng tĩnh điện thuần túy, chúng ta thu được 7,99 eV cho năng lượng phân ly trên mỗi phân tử. Nó gần hơn nhiều với kết quả quan sát 7,92 eV, nhưng vẫn chưa khớp hoàn toàn. Còn một điều nữa chúng ta chưa tính đến: chúng ta chưa tính đến động năng của các dao động tinh thể. Nếu một hiệu chỉnh được thực hiện cho hiệu ứng này, sự khớp rất tốt với con số thực nghiệm sẽ thu được. Các ý tưởng khi đó là đúng; đóng góp chính vào năng lượng của một tinh thể như NaCl là tĩnh điện.

8–4  Năng lượng tĩnh điện trong hạt nhân

Bây giờ chúng ta sẽ xét một ví dụ khác về năng lượng tĩnh điện trong vật lý nguyên tử, năng lượng điện của hạt nhân nguyên tử. Trước khi làm điều đó chúng ta sẽ phải thảo luận một số tính chất của các lực chính (gọi là lực hạt nhân) vốn giữ các proton và neutron lại với nhau trong một hạt nhân. Trong những ngày đầu của việc khám phá hạt nhân — và của các neutron và proton cấu thành chúng — người ta đã hy vọng rằng định luật của phần lực mạnh, không phải điện, giữa, chẳng hạn, một proton và một proton khác sẽ có một định luật đơn giản nào đó, như định luật bình phương nghịch đảo của điện học. Vì một khi người ta đã xác định định luật lực này, và các định luật tương ứng giữa một proton và một neutron, và một neutron và một neutron, sẽ có thể mô tả bằng lý thuyết hành vi hoàn toàn của các hạt này trong hạt nhân. Do đó một chương trình lớn đã được bắt đầu để nghiên cứu sự tán xạ của các proton, với hy vọng tìm ra định luật lực giữa chúng; nhưng sau ba mươi năm nỗ lực, không có gì đơn giản xuất hiện. Một hiểu biết đáng kể về lực giữa proton và proton đã được tích lũy, nhưng chúng ta thấy rằng lực phức tạp hết mức có thể.

Điều chúng ta muốn nói bằng “phức tạp hết mức có thể” là lực phụ thuộc vào càng nhiều thứ càng tốt.

Thứ nhất, lực không phải là một hàm đơn giản của khoảng cách giữa hai proton. Ở khoảng cách lớn có một lực hút, nhưng ở khoảng cách gần hơn có một lực đẩy. Sự phụ thuộc vào khoảng cách là một hàm phức tạp, vẫn chưa được biết hoàn toàn.

Thứ hai, lực phụ thuộc vào định hướng của spin của các proton. Các proton có một spin, và hai proton tương tác bất kỳ có thể đang quay với mômen động lượng của chúng theo cùng một hướng hay theo các hướng đối nghịch. Và lực khác nhau khi các spin song song so với khi chúng phản song song, như trong (a) và (b) của Hình 8–6. Sự khác biệt khá lớn; nó không phải là một hiệu ứng nhỏ.

Thứ ba, lực khác nhau đáng kể khi khoảng cách giữa hai proton theo hướng song song với spin của chúng, như trong (c) và (d) của Hình 8–6, so với khi khoảng cách theo một hướng vuông góc với các spin, như trong (a) và (b).

Thứ tư, lực phụ thuộc, như trong từ học, vào vận tốc của các proton, chỉ mạnh hơn nhiều so với trong từ học. Và lực phụ thuộc vận tốc này không phải là một hiệu ứng tương đối tính; nó mạnh ngay cả ở các tốc độ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng. Hơn nữa, phần này của lực phụ thuộc vào các thứ khác ngoài độ lớn của vận tốc. Chẳng hạn, khi một proton đang di chuyển gần một proton khác, lực khác nhau khi chuyển động quỹ đạo có cùng chiều quay như spin, như trong (e) của Hình 8–6, so với khi nó có chiều quay ngược lại, như trong (f). Điều này được gọi là phần “spin-quỹ đạo” của lực.

Lực giữa một proton và một neutron và giữa một neutron và một neutron cũng phức tạp như nhau. Cho đến ngày nay chúng ta không biết bộ máy đằng sau các lực này — tức là, bất kỳ cách đơn giản nào để hiểu chúng.

Tuy nhiên, có một cách quan trọng mà trong đó các lực nucleon đơn giản hơn mức chúng có thể. Đó là lực hạt nhân giữa hai neutron là như nhau với lực giữa một proton và một neutron, vốn là như nhau với lực giữa hai proton! Nếu, trong bất kỳ tình huống hạt nhân nào, chúng ta thay một proton bằng một neutron (hay ngược lại), các tương tác hạt nhân không thay đổi.

“Lý do cơ bản” cho sự bằng nhau này không được biết, nhưng nó là một ví dụ của một nguyên lý quan trọng có thể được mở rộng cả cho các định luật tương tác của các hạt tương tác mạnh khác — như các π-meson và các hạt “lạ”.

Sự kiện này được minh họa đẹp bởi vị trí của các mức năng lượng trong các hạt nhân tương tự. Hãy xét một hạt nhân như B¹¹ (boron-mười một), vốn gồm năm proton và sáu neutron. Trong hạt nhân, mười một hạt tương tác với nhau trong một điệu nhảy phức tạp nhất. Bây giờ, có một cấu hình của mọi tương tác có thể vốn có năng lượng thấp nhất có thể; đây là trạng thái bình thường của hạt nhân, và được gọi là trạng thái cơ bản. Nếu hạt nhân bị nhiễu loạn (chẳng hạn, bằng cách bị đánh bởi một proton năng lượng cao hay hạt khác) nó có thể được đặt vào bất kỳ số cấu hình nào khác, gọi là các trạng thái kích thích, mỗi trạng thái sẽ có một năng lượng đặc trưng cao hơn năng lượng của trạng thái cơ bản. Trong nghiên cứu vật lý hạt nhân, như được tiến hành với các máy phát Van de Graaff (chẳng hạn, trong các Phòng thí nghiệm Kellogg và Sloan của Caltech), năng lượng và các tính chất khác của các trạng thái kích thích này được xác định bằng thực nghiệm. Năng lượng của mười lăm trạng thái kích thích đã biết thấp nhất của B¹¹ được chỉ trong một đồ thị một chiều trên nửa trái của Hình 8–7. Đường ngang thấp nhất biểu diễn trạng thái cơ bản. Trạng thái kích thích đầu tiên có năng lượng cao hơn trạng thái cơ bản 2,14 MeV, trạng thái tiếp theo có năng lượng cao hơn trạng thái cơ bản 4,46 MeV, và cứ thế. Việc nghiên cứu vật lý hạt nhân cố gắng tìm một lời giải thích cho mô hình năng lượng khá phức tạp này; tuy nhiên, vẫn chưa có một lý thuyết tổng quát hoàn chỉnh về các mức năng lượng hạt nhân như vậy.

Nếu chúng ta thay một trong các neutron trong B¹¹ bằng một proton, chúng ta có hạt nhân của một đồng vị của carbon, C¹¹. Năng lượng của mười sáu trạng thái kích thích thấp nhất của C¹¹ cũng đã được đo; chúng được chỉ trong nửa phải của Hình 8–7. (Các đường đứt nét chỉ các mức mà thông tin thực nghiệm còn đáng ngờ.)

Nhìn vào Hình 8–7, chúng ta thấy một sự tương tự nổi bật giữa mô hình các mức năng lượng trong hai hạt nhân. Các trạng thái kích thích đầu tiên khoảng 2 MeV phía trên các trạng thái cơ bản. Có một khoảng trống lớn khoảng 2,3 MeV tới trạng thái kích thích thứ hai, sau đó một bước nhảy nhỏ chỉ 0,5 MeV tới mức thứ ba. Lại nữa, giữa mức thứ tư và thứ năm, một bước nhảy lớn; nhưng giữa mức thứ năm và thứ sáu một khoảng cách nhỏ xíu cỡ 0,1 MeV. Và cứ thế. Sau khoảng mức thứ mười, sự tương ứng dường như bị mất, nhưng vẫn có thể được thấy nếu các mức được ghi nhãn với các đặc trưng định nghĩa khác của chúng — chẳng hạn, mômen động lượng của chúng và điều chúng làm để mất năng lượng thừa của chúng.

Sự tương tự nổi bật của mô hình các mức năng lượng của B¹¹ và C¹¹ chắc chắn không chỉ là một sự trùng hợp. Nó phải tiết lộ một định luật vật lý nào đó. Nó cho thấy, thực ra, rằng ngay cả trong tình huống phức tạp trong một hạt nhân, việc thay một neutron bằng một proton tạo ra thay đổi rất ít. Điều này chỉ có thể có nghĩa là các lực neutron-neutron và proton-proton phải gần như đồng nhất. Chỉ khi đó chúng ta mới kỳ vọng các cấu hình hạt nhân với năm proton và sáu neutron là như nhau với các cấu hình với sáu proton và năm neutron.

Để ý rằng các tính chất của hai hạt nhân này không cho chúng ta biết gì về lực neutron-proton; có cùng số tổ hợp neutron-proton trong cả hai hạt nhân. Nhưng nếu chúng ta so sánh hai hạt nhân khác, như C¹⁴, vốn có sáu proton và tám neutron, với N¹⁴, vốn có bảy proton và bảy neutron, chúng ta thấy một sự tương ứng tương tự của các mức năng lượng. Vậy chúng ta có thể kết luận rằng các lực p-p, n-n và p-n là đồng nhất trong mọi sự phức tạp của chúng. Có một nguyên lý bất ngờ trong các định luật của lực hạt nhân. Mặc dù lực giữa mỗi cặp hạt nhân rất phức tạp, lực giữa ba cặp khác nhau có thể là như nhau.

Nhưng có một số khác biệt nhỏ. Các mức không tương ứng chính xác; ngoài ra, trạng thái cơ bản của C¹¹ có một năng lượng tuyệt đối (khối lượng của nó) cao hơn trạng thái cơ bản của B¹¹ là 1,982 MeV. Mọi mức khác cũng cao hơn về năng lượng tuyệt đối cùng một lượng này. Vậy các lực không hoàn toàn bằng nhau. Nhưng chúng ta biết rất rõ rằng các lực hoàn toàn không hoàn toàn bằng nhau; có một lực điện giữa hai proton bởi vì mỗi proton có một điện tích dương, trong khi giữa hai neutron không có lực điện như vậy. Chúng ta có thể có lẽ giải thích các khác biệt giữa B¹¹ và C¹¹ bằng sự kiện rằng tương tác điện của các proton khác nhau trong hai trường hợp không? Có lẽ ngay cả các khác biệt nhỏ còn lại trong các mức cũng do các hiệu ứng điện gây ra?

Vì các lực hạt nhân mạnh hơn rất nhiều so với lực điện, các hiệu ứng điện sẽ chỉ có một hiệu ứng nhiễu loạn nhỏ lên năng lượng của các mức.

Để kiểm tra ý tưởng này, hay đúng hơn để tìm ra các hệ quả của ý tưởng này là gì, trước hết chúng ta xét hiệu năng lượng trạng thái cơ bản của hai hạt nhân. Để lấy một mô hình rất đơn giản, chúng ta giả sử rằng các hạt nhân là các quả cầu có bán kính r (sẽ được xác định), chứa Z proton. Nếu chúng ta xét rằng một hạt nhân giống như một quả cầu với mật độ điện tích đều, chúng ta sẽ kỳ vọng năng lượng tĩnh điện (từ phương trình 8.7) là

U = (3/5)·(Zq_e)²/(4πε₀r).   (8.22)

trong đó q_e là điện tích nguyên tố của proton. Vì Z là năm đối với B¹¹ và sáu đối với C¹¹, năng lượng tĩnh điện của chúng sẽ khác nhau.

Với một số proton nhỏ như vậy, tuy nhiên, phương trình (8.22) không hoàn toàn đúng. Nếu chúng ta tính năng lượng điện giữa mọi cặp proton, được xét như các điểm mà chúng ta giả thiết được phân bố gần như đều khắp quả cầu, chúng ta thấy rằng trong phương trình (8.22) đại lượng Z² nên được thay bằng Z(Z−1), vậy năng lượng là

U = (3/5)·Z(Z−1)q_e²/(4πε₀r) = (3/5)·Z(Z−1)e²/r.   (8.23)

Nếu chúng ta biết bán kính hạt nhân r, chúng ta có thể dùng (8.23) để tìm hiệu năng lượng tĩnh điện giữa B¹¹ và C¹¹. Nhưng hãy làm ngược lại; thay vào đó hãy dùng hiệu năng lượng quan sát được để tính bán kính, giả thiết rằng hiệu năng lượng hoàn toàn có nguồn gốc tĩnh điện.

Điều đó, tuy nhiên, không hoàn toàn đúng. Hiệu năng lượng 1,982 MeV giữa các trạng thái cơ bản của B¹¹ và C¹¹ bao gồm các năng lượng nghỉ — tức là, năng lượng mc² — của mọi hạt. Khi đi từ B¹¹ tới C¹¹, chúng ta thay một neutron bằng một proton và một electron, vốn có khối lượng nhỏ hơn. Vậy một phần của hiệu năng lượng là hiệu năng lượng nghỉ của một neutron và của một proton cộng một electron, vốn là 0,784 MeV. Hiệu, mà cần được giải thích bằng năng lượng tĩnh điện, do đó lớn hơn 1,982 MeV; nó là

1,982 MeV + 0,784 MeV = 2,766 MeV.

Dùng năng lượng này trong phương trình (8.23), đối với bán kính của hoặc B¹¹ hoặc C¹¹ chúng ta tìm được

r = 3,12×10⁻¹³ cm.   (8.24)

Con số này có ý nghĩa gì không? Để xem nó có ý nghĩa hay không, chúng ta nên so sánh nó với một phép xác định khác về bán kính của các hạt nhân này. Chẳng hạn, chúng ta có thể thực hiện một phép đo khác về bán kính của một hạt nhân bằng cách xem nó tán xạ các hạt nhanh như thế nào. Từ các phép đo như vậy người ta đã thấy, thực ra, rằng mật độ vật chất trong mọi hạt nhân gần như như nhau, tức là, thể tích của chúng tỉ lệ với số hạt chúng chứa. Nếu chúng ta gọi A là số proton và neutron trong một hạt nhân (một con số rất gần tỉ lệ với khối lượng của nó), người ta thấy rằng bán kính của nó được cho bởi

r = A^1/3r₀,   (8.25)

trong đó

r₀ = 1,2×10⁻¹³ cm.   (8.26)

Từ các phép đo này chúng ta thấy rằng bán kính của một hạt nhân B¹¹ (hay một hạt nhân C¹¹) được kỳ vọng là

r = (11)^1/3(1,2×10⁻¹³) cm = 2,7×10⁻¹³ cm.

So sánh kết quả này với (8.24), chúng ta thấy rằng các giả thiết của chúng ta rằng hiệu năng lượng giữa B¹¹ và C¹¹ là tĩnh điện là khá tốt; sự sai lệch chỉ khoảng 15% (không tệ đối với phép tính hạt nhân đầu tiên của chúng ta!).

Lý do của sự sai lệch có lẽ là như sau. Theo hiểu biết hiện nay về hạt nhân, một số chẵn các hạt nhân — trong trường hợp của B¹¹, năm neutron cùng với năm proton — tạo thành một loại lõi; khi một hạt nữa được thêm vào lõi này, nó quay quanh ở phía ngoài để tạo thành một hạt nhân cầu mới, thay vì bị hấp thụ. Nếu điều này đúng, chúng ta hẳn nên lấy một năng lượng tĩnh điện khác cho proton thêm vào. Chúng ta hẳn nên lấy năng lượng thừa của C¹¹ so với B¹¹ là chỉ

Z_Bq_e²/(4πε₀r),

vốn là năng lượng cần thiết để thêm một proton nữa vào phía ngoài của lõi. Con số này đúng bằng 5/6 điều phương trình (8.23) dự đoán, vậy dự đoán mới cho bán kính là 5/6 của (8.24), vốn khớp gần hơn nhiều với điều được đo trực tiếp.

Chúng ta có thể rút ra hai kết luận từ sự khớp này. Một là các định luật điện dường như vẫn hoạt động ở các kích thước nhỏ như 10⁻¹³ cm. Kết luận còn lại là chúng ta đã kiểm chứng sự trùng hợp đáng chú ý rằng phần không phải điện của các lực giữa proton và proton, neutron và neutron, và proton và neutron đều bằng nhau.

8–5  Năng lượng trong trường tĩnh điện

Bây giờ chúng ta xét các phương pháp khác để tính năng lượng tĩnh điện. Tất cả chúng đều có thể được suy ra từ hệ thức cơ bản, phương trình (8.3), tổng, trên mọi cặp điện tích, của năng lượng lẫn nhau của mỗi cặp điện tích. Trước hết chúng ta muốn viết một biểu thức cho năng lượng của một phân bố điện tích. Như thường lệ, chúng ta xét rằng mỗi phần tử thể tích dV chứa phần tử điện tích ρdV. Khi đó phương trình (8.3) nên được viết

U = (1/2) ∫∫ ρ(1)ρ(2)/(4πε₀r₁₂) dV₁dV₂,   (8.27)

tích phân trên toàn bộ không gian. Để ý thừa số ½, vốn được đưa vào bởi vì trong tích phân kép trên dV₁ và dV₂ chúng ta đã đếm mọi cặp phần tử điện tích hai lần. (Không có cách tiện lợi nào để viết một tích phân giữ dấu vết của các cặp sao cho mỗi cặp chỉ được đếm một lần.) Tiếp theo chúng ta để ý rằng tích phân trên dV₂ trong (8.27) chính là thế tại (1). Tức là,

∫ ρ(2)/(4πε₀r₁₂) dV₂ = ϕ(1),

vậy (8.27) có thể được viết là

U = (1/2) ∫ ρ(1)ϕ(1) dV₁.

Hay, vì điểm (2) không còn xuất hiện nữa, chúng ta có thể viết đơn giản

U = (1/2) ∫ ρϕ dV.   (8.28)

Phương trình này có thể được diễn giải như sau. Thế năng của điện tích ρdV là tích của điện tích này và thế tại cùng điểm đó. Tổng năng lượng do đó là tích phân trên ϕρdV. Nhưng lại có thừa số ½. Nó vẫn cần thiết bởi vì chúng ta đang đếm năng lượng hai lần. Năng lượng lẫn nhau của hai điện tích là điện tích của một điện tích nhân với thế tại nó do điện tích kia gây ra. Hay, nó có thể được lấy là điện tích thứ hai nhân với thế tại nó từ điện tích thứ nhất. Vậy đối với hai điện tích điểm chúng ta sẽ viết

U = q₁ϕ(1) = q₁·q₂/(4πε₀r₁₂),

hay

U = q₂ϕ(2) = q₂·q₁/(4πε₀r₁₂).

Để ý rằng chúng ta cũng có thể viết

U = ½[q₁ϕ(1) + q₂ϕ(2)].   (8.29)

Tích phân trong (8.28) tương ứng với tổng của cả hai số hạng trong các dấu ngoặc của (8.29). Đó là lý do chúng ta cần thừa số ½.

Một câu hỏi thú vị là: Năng lượng tĩnh điện nằm ở đâu? Người ta cũng có thể hỏi: Ai quan tâm? Ý nghĩa của một câu hỏi như vậy là gì? Nếu có một cặp điện tích tương tác, tổ hợp có một năng lượng nhất định. Chúng ta có cần nói rằng năng lượng nằm tại một trong các điện tích hay điện tích kia, hay tại cả hai, hay ở giữa không? Các câu hỏi này có thể không có ý nghĩa bởi vì chúng ta thực sự chỉ biết rằng tổng năng lượng được bảo toàn. Ý tưởng rằng năng lượng nằm ở đâu đó là không cần thiết.

Tuy nhiên giả sử rằng việc nói, nói chung, rằng năng lượng nằm tại một nơi nhất định có ý nghĩa, như nó có đối với nhiệt năng. Khi đó chúng ta có thể mở rộng nguyên lý bảo toàn năng lượng của chúng ta với ý tưởng rằng nếu năng lượng trong một thể tích cho trước thay đổi, chúng ta hẳn có thể giải thích sự thay đổi bằng dòng năng lượng đi vào hay đi ra khỏi thể tích đó. Bạn nhận ra rằng phát biểu ban đầu của chúng ta về nguyên lý bảo toàn năng lượng vẫn hoàn toàn đúng nếu một ít năng lượng biến mất tại một nơi và xuất hiện ở một nơi khác xa xôi mà không có gì đi qua (tức là, không có hiện tượng đặc biệt nào xảy ra) trong không gian ở giữa. Do đó, chúng ta bây giờ đang thảo luận một sự mở rộng của ý tưởng bảo toàn năng lượng. Chúng ta có thể gọi nó là một nguyên lý bảo toàn năng lượng cục bộ. Một nguyên lý như vậy sẽ nói rằng năng lượng trong bất kỳ thể tích cho trước nào chỉ thay đổi một lượng bằng lượng chảy vào hay ra khỏi thể tích. Thực ra có thể năng lượng được bảo toàn cục bộ theo cách như vậy. Nếu nó đúng, chúng ta sẽ có một định luật chi tiết hơn nhiều so với phát biểu đơn giản về bảo toàn tổng năng lượng. Hóa ra trong tự nhiên năng lượng được bảo toàn cục bộ. Chúng ta có thể tìm các công thức cho nơi năng lượng nằm và cách nó di chuyển từ nơi này tới nơi khác.

Cũng có một lý do vật lý tại sao việc chúng ta có thể nói năng lượng nằm ở đâu là bắt buộc. Theo lý thuyết hấp dẫn, mọi khối lượng đều là một nguồn của lực hút hấp dẫn. Chúng ta cũng biết, theo E = mc², rằng khối lượng và năng lượng là tương đương. Do đó, mọi năng lượng đều là một nguồn của lực hấp dẫn. Nếu chúng ta không thể định vị năng lượng, chúng ta không thể định vị mọi khối lượng. Chúng ta sẽ không thể nói các nguồn của trường hấp dẫn nằm ở đâu. Lý thuyết hấp dẫn sẽ không hoàn chỉnh.

Nếu chúng ta giới hạn mình trong tĩnh điện học thì thực sự không có cách nào để nói năng lượng nằm ở đâu. Các phương trình Maxwell hoàn chỉnh của điện động lực học cho chúng ta nhiều thông tin hơn (mặc dù ngay cả khi đó đáp án, nói một cách chặt chẽ, không phải là duy nhất). Do đó chúng ta sẽ thảo luận câu hỏi này một cách chi tiết lại trong một chương sau. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ cho bạn kết quả cho trường hợp cụ thể của tĩnh điện học. Năng lượng nằm trong không gian, nơi điện trường có mặt. Điều này dường như hợp lý bởi vì chúng ta biết rằng khi các điện tích được gia tốc chúng bức xạ điện trường. Chúng ta muốn nói rằng khi ánh sáng hay sóng vô tuyến di chuyển từ một điểm tới một điểm khác, chúng mang năng lượng của chúng theo. Nhưng không có điện tích nào trong các sóng. Vậy chúng ta muốn định vị năng lượng nơi trường điện từ có mặt chứ không phải tại các điện tích mà từ đó nó xuất phát. Như vậy chúng ta mô tả năng lượng, không theo các điện tích, mà theo các trường chúng tạo ra. Thực ra, chúng ta có thể chứng tỏ rằng phương trình (8.28) bằng về số với

U = (ε₀/2) ∫ E·E dV.   (8.30)

Khi đó chúng ta có thể diễn giải công thức này như nói rằng khi một điện trường hiện diện, có nằm trong không gian một năng lượng mà mật độ của nó (năng lượng trên mỗi đơn vị thể tích) là

u = (ε₀/2) E·E = ε₀E²/2.   (8.31)

Ý tưởng này được minh họa trong Hình 8–8.

Để chứng tỏ rằng phương trình (8.30) phù hợp với các định luật tĩnh điện học của chúng ta, chúng ta bắt đầu bằng cách đưa vào phương trình (8.28) hệ thức giữa ρ và ϕ mà chúng ta đã thu được trong Chương 6:

ρ = −ε₀∇²ϕ.

Chúng ta thu được

U = −(ε₀/2) ∫ ϕ ∇²ϕ dV.   (8.32)

Viết ra các thành phần của biểu thức dưới dấu tích phân, chúng ta thấy rằng

ϕ∇²ϕ = ϕ(∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂y² + ∂²ϕ/∂z²) = ∂/∂x(ϕ ∂ϕ/∂x) − (∂ϕ/∂x)² + ∂/∂y(ϕ ∂ϕ/∂y) − (∂ϕ/∂y)² + ∂/∂z(ϕ ∂ϕ/∂z) − (∂ϕ/∂z)² = ∇·(ϕ∇ϕ) − (∇ϕ)·(∇ϕ).   (8.33)

Tích phân năng lượng của chúng ta khi đó là

U = (ε₀/2) ∫ (∇ϕ)·(∇ϕ) dV − (ε₀/2) ∫ ∇·(ϕ∇ϕ) dV.

Chúng ta có thể dùng định lý Gauss để biến tích phân thứ hai thành một tích phân mặt:

∫_{thể tích} ∇·(ϕ∇ϕ) dV = ∫_mặt (ϕ∇ϕ)·n da.   (8.34)

Chúng ta đánh giá tích phân mặt trong trường hợp mặt đi tới vô cực (vậy các tích phân thể tích trở thành tích phân trên toàn bộ không gian), giả thiết rằng mọi điện tích đều nằm trong một khoảng cách hữu hạn nào đó. Cách đơn giản để tiến hành là lấy một mặt cầu có bán kính R khổng lồ mà tâm của nó tại gốc tọa độ. Chúng ta biết rằng khi chúng ta ở rất xa mọi điện tích, ϕ thay đổi như 1/R và ∇ϕ như 1/R². (Cả hai sẽ giảm còn nhanh hơn với R nếu điện tích ròng trong phân bố bằng không.) Vì diện tích mặt của quả cầu lớn tăng như R², chúng ta thấy rằng tích phân mặt giảm đi như (1/R)(1/R²)R² = (1/R) khi bán kính của quả cầu tăng. Vậy nếu chúng ta bao gồm mọi không gian trong tích phân của chúng ta (R → ∞), tích phân mặt đi tới không và chúng ta có rằng

U = (ε₀/2) ∫_{mọi không gian} (∇ϕ)·(∇ϕ) dV = (ε₀/2) ∫_{mọi không gian} E·E dV.   (8.35)

Chúng ta thấy rằng có thể biểu diễn năng lượng của bất kỳ phân bố điện tích nào như tích phân trên một mật độ năng lượng nằm trong trường.

8–6  Năng lượng của một điện tích điểm

Hệ thức mới của chúng ta, phương trình (8.35), nói rằng ngay cả một điện tích điểm duy nhất q cũng sẽ có một năng lượng tĩnh điện nào đó. Trong trường hợp này, điện trường được cho bởi

E = q/(4πε₀r²).

Vậy mật độ năng lượng tại khoảng cách r từ điện tích là

ε₀E²/2 = q²/(32π²ε₀r⁴).

Chúng ta có thể lấy làm phần tử thể tích một vỏ cầu có bề dày dr và diện tích 4πr². Tổng năng lượng là

U = ∫_r=0^∞ q²/(8πε₀r²) dr = [−q²/(8πε₀)·(1/r)]_r=0^r=∞.   (8.36)

Bây giờ giới hạn tại r = ∞ không gây khó khăn gì. Nhưng đối với một điện tích điểm chúng ta phải tích phân xuống tới r = 0, vốn cho một tích phân vô hạn. Phương trình (8.35) nói rằng có một lượng năng lượng vô hạn trong trường của một điện tích điểm, mặc dù chúng ta đã bắt đầu với ý tưởng rằng năng lượng chỉ có giữa các điện tích điểm. Trong công thức năng lượng ban đầu của chúng ta cho một tập hợp các điện tích điểm (phương trình 8.3), chúng ta đã không bao gồm bất kỳ năng lượng tương tác nào của một điện tích với chính nó. Điều đã xảy ra là khi chúng ta chuyển sang một phân bố điện tích liên tục trong phương trình (8.27), chúng ta đã đếm năng lượng tương tác của mọi điện tích vô cùng nhỏ với mọi điện tích vô cùng nhỏ khác. Cùng cách tính đó được bao gồm trong phương trình (8.35), vậy khi chúng ta áp dụng nó cho một điện tích điểm hữu hạn, chúng ta đang bao gồm năng lượng cần thiết để lắp ráp điện tích đó từ các phần vô cùng nhỏ. Thực ra, bạn sẽ để ý rằng chúng ta cũng sẽ thu được kết quả trong phương trình (8.36) nếu chúng ta dùng biểu thức (8.11) của chúng ta cho năng lượng của một quả cầu tích điện và cho bán kính tiến tới không.

Chúng ta phải kết luận rằng ý tưởng định vị năng lượng trong trường là không phù hợp với giả thiết về sự tồn tại của các điện tích điểm. Một lối thoát khỏi khó khăn sẽ là nói rằng các điện tích nguyên tố, như một electron, không phải là các điểm mà thực sự là các phân bố điện tích nhỏ. Ngoài ra, chúng ta có thể nói rằng có điều gì đó sai trong lý thuyết điện của chúng ta ở các khoảng cách rất nhỏ, hay với ý tưởng bảo toàn năng lượng cục bộ. Có các khó khăn với cả hai quan điểm. Các khó khăn này chưa bao giờ được khắc phục; chúng tồn tại cho đến ngày nay. Một lúc nào đó về sau, khi chúng ta đã thảo luận một số ý tưởng bổ sung, như mômen trong một trường điện từ, chúng ta sẽ đưa ra một trình bày đầy đủ hơn về các khó khăn cơ bản này trong hiểu biết của chúng ta về tự nhiên.