Chương 10: Chất điện môi

10–1  Hằng số điện môi

Ở đây chúng ta bắt đầu thảo luận một tính chất đặc biệt khác của vật chất dưới ảnh hưởng của điện trường. Trong một chương trước, chúng ta đã xét hành vi của các vật dẫn, trong đó các điện tích di chuyển tự do dưới tác dụng của một điện trường tới những điểm sao cho không còn trường nào bên trong một vật dẫn. Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận các chất cách điện, các vật liệu không dẫn điện. Thoạt đầu người ta có thể tin rằng sẽ không có một hiệu ứng nào cả. Tuy nhiên, dùng một điện nghiệm đơn giản và một tụ điện phẳng, Faraday đã khám phá ra rằng điều đó không đúng. Các thí nghiệm của ông cho thấy điện dung của một tụ điện như vậy tăng lên khi một chất cách điện được đặt giữa các bản. Nếu chất cách điện lấp đầy hoàn toàn khoảng không gian giữa các bản, điện dung tăng lên một thừa số κ chỉ phụ thuộc vào bản chất của vật liệu cách điện. Các vật liệu cách điện cũng được gọi là chất điện môi; thừa số κ khi đó là một tính chất của chất điện môi, và được gọi là hằng số điện môi. Hằng số điện môi của chân không, dĩ nhiên, bằng một.

Bây giờ bài toán của chúng ta là giải thích vì sao lại có bất kỳ hiệu ứng điện nào nếu các chất cách điện thực sự là chất cách điện và không dẫn điện. Chúng ta bắt đầu với sự kiện thực nghiệm rằng điện dung tăng lên và cố suy luận điều gì có thể đang xảy ra. Xét một tụ điện phẳng với một số điện tích trên các bề mặt của các vật dẫn, giả sử điện tích âm trên bản trên và điện tích dương trên bản dưới. Giả sử khoảng cách giữa các bản là d và diện tích của mỗi bản là A. Như chúng ta đã chứng minh trước đây, điện dung là

C = ε₀A/d,   (10.1)

và điện tích với hiệu điện thế trên tụ điện liên hệ bởi

Q = CV.   (10.2)

Nay sự kiện thực nghiệm là nếu chúng ta đặt một mảnh vật liệu cách điện như lucite hay thủy tinh giữa các bản, chúng ta thấy điện dung lớn hơn. Điều đó có nghĩa, dĩ nhiên, rằng hiệu điện thế thấp hơn đối với cùng một điện tích. Nhưng hiệu điện thế là tích phân của điện trường qua tụ điện; vì vậy chúng ta phải kết luận rằng bên trong tụ điện, điện trường bị giảm đi mặc dù các điện tích trên các bản vẫn không thay đổi.

Nay điều đó có thể xảy ra như thế nào? Chúng ta có một định luật do Gauss đưa ra nói với chúng ta rằng thông lượng của điện trường liên hệ trực tiếp với điện tích được bao. Xét mặt Gauss S được chỉ bằng các đường đứt nét trong Hình 10–1. Vì điện trường bị giảm đi khi có mặt chất điện môi, chúng ta kết luận rằng điện tích ròng bên trong mặt phải thấp hơn so với khi không có vật liệu. Chỉ có một kết luận khả dĩ, và đó là phải có các điện tích dương trên bề mặt của chất điện môi. Vì trường bị giảm nhưng không bằng không, chúng ta sẽ kỳ vọng điện tích dương này nhỏ hơn điện tích âm trên vật dẫn. Vậy hiện tượng có thể được giải thích nếu chúng ta có thể hiểu theo cách nào đó rằng khi một vật liệu điện môi được đặt trong một điện trường, có điện tích dương được cảm ứng trên một bề mặt và điện tích âm được cảm ứng trên bề mặt kia.

Chúng ta sẽ kỳ vọng điều đó xảy ra đối với một vật dẫn. Chẳng hạn, giả sử chúng ta có một tụ điện với khoảng cách giữa các bản là d, và chúng ta đặt giữa các bản một vật dẫn trung hòa có bề dày là b, như trong Hình 10–2. Điện trường cảm ứng một điện tích dương trên bề mặt trên và một điện tích âm trên bề mặt dưới, nên không có trường bên trong vật dẫn. Trường trong phần còn lại của khoảng không gian vẫn như khi không có vật dẫn, bởi vì nó là mật độ điện tích mặt chia cho ε₀; nhưng khoảng cách mà trên đó chúng ta phải tích phân để thu được hiệu điện thế (hiệu thế) bị giảm đi. Hiệu điện thế là

V = (σ/ε₀)(d − b).

Phương trình thu được cho điện dung giống như phương trình (10.1), với (d − b) thay cho d:

C = ε₀A/{d[1 − (b/d)]}.   (10.3)

Điện dung tăng lên một thừa số phụ thuộc vào (b/d), tỉ lệ của thể tích bị chiếm bởi vật dẫn.

Điều này cho chúng ta một mô hình hiển nhiên cho điều xảy ra với các chất điện môi — rằng bên trong vật liệu có nhiều tấm nhỏ bằng vật liệu dẫn điện. Khó khăn với một mô hình như vậy là nó có một trục đặc biệt, pháp tuyến của các tấm, trong khi hầu hết các chất điện môi không có một trục như vậy. Tuy nhiên, khó khăn này có thể được loại bỏ nếu chúng ta giả thiết rằng mọi vật liệu cách điện chứa các quả cầu dẫn điện nhỏ tách rời nhau bởi chất cách điện, như được chỉ trong Hình 10–3. Hiện tượng hằng số điện môi được giải thích bởi hiệu ứng của các điện tích sẽ được cảm ứng trên mỗi quả cầu. Đây là một trong các mô hình vật lý sớm nhất của các chất điện môi được dùng để giải thích hiện tượng mà Faraday đã quan sát. Cụ thể hơn, người ta đã giả thiết rằng mỗi nguyên tử của một vật liệu là một vật dẫn hoàn hảo, nhưng được cách điện với các nguyên tử khác. Hằng số điện môi κ sẽ phụ thuộc vào tỉ lệ không gian bị chiếm bởi các quả cầu dẫn điện. Tuy nhiên, đây không phải là mô hình được dùng ngày nay.

10–2  Vectơ phân cực P

Nếu chúng ta đi theo phân tích trên xa hơn, chúng ta khám phá ra rằng ý tưởng về các miền dẫn điện hoàn hảo và cách điện là không thiết yếu. Mỗi quả cầu nhỏ hành xử như một lưỡng cực, mà mômen của nó được cảm ứng bởi trường ngoài. Điều duy nhất thiết yếu cho sự hiểu biết về các chất điện môi là có nhiều lưỡng cực nhỏ được cảm ứng trong vật liệu. Việc các lưỡng cực được cảm ứng vì có các quả cầu dẫn điện nhỏ hay vì bất kỳ lý do nào khác là không liên quan.

Tại sao một trường lại cảm ứng một mômen lưỡng cực trong một nguyên tử nếu nguyên tử không phải là một quả cầu dẫn điện? Chủ đề này sẽ được thảo luận chi tiết hơn nhiều trong chương sau, chương sẽ nói về hoạt động bên trong của các vật liệu điện môi. Tuy nhiên, chúng ta cho ở đây một ví dụ để minh họa một cơ chế khả dĩ. Một nguyên tử có một điện tích dương trên hạt nhân, được bao quanh bởi các electron âm. Trong một điện trường, hạt nhân sẽ bị hút theo một hướng và các electron theo hướng kia. Các quỹ đạo hay các mẫu sóng của các electron (hay bất cứ bức tranh nào được dùng trong cơ học lượng tử) sẽ bị biến dạng tới một mức nào đó, như được chỉ trong Hình 10–4; trọng tâm của điện tích âm sẽ bị dịch chuyển và sẽ không còn trùng với điện tích dương của hạt nhân. Chúng ta đã thảo luận các phân bố điện tích như vậy rồi. Nếu chúng ta nhìn từ xa, một cấu hình trung hòa như vậy tương đương, theo một xấp xỉ bậc nhất, với một lưỡng cực nhỏ.

Dường như hợp lý rằng nếu trường không quá khổng lồ, lượng mômen lưỡng cực được cảm ứng sẽ tỉ lệ với trường. Tức là, một trường nhỏ sẽ dịch chuyển các điện tích một chút và một trường lớn hơn sẽ dịch chuyển chúng xa hơn — và tỉ lệ với trường — trừ phi độ dịch chuyển trở nên quá lớn. Trong phần còn lại của chương này, người ta sẽ giả thiết rằng mômen lưỡng cực đúng tỉ lệ với trường.

Bây giờ chúng ta giả thiết rằng trong mỗi nguyên tử có các điện tích q tách nhau một khoảng δ, sao cho qδ là mômen lưỡng cực trên mỗi nguyên tử. (Chúng ta dùng δ bởi vì chúng ta đã dùng d cho khoảng cách giữa các bản.) Nếu có N nguyên tử trên mỗi đơn vị thể tích, sẽ có một mômen lưỡng cực trên mỗi đơn vị thể tích bằng Nqδ. Mômen lưỡng cực trên mỗi đơn vị thể tích này sẽ được biểu diễn bởi một vectơ, P. Không cần nói, nó ở theo hướng của các mômen lưỡng cực riêng lẻ, tức là theo hướng của sự tách điện tích δ:

P = Nqδ.   (10.4)

Nói chung, P sẽ thay đổi từ nơi này tới nơi khác trong chất điện môi. Tuy nhiên, tại bất kỳ điểm nào trong vật liệu, P tỉ lệ với điện trường E. Hằng số tỉ lệ, vốn phụ thuộc vào mức độ dễ dàng mà các electron bị dịch chuyển, sẽ phụ thuộc vào các loại nguyên tử trong vật liệu.

Điều thực sự quyết định hằng số tỉ lệ này hành xử như thế nào, nó hằng số chính xác tới mức nào đối với các trường rất lớn, và điều gì đang xảy ra bên trong các vật liệu khác nhau, chúng ta sẽ thảo luận vào một lúc sau. Hiện tại, chúng ta sẽ đơn giản giả thiết rằng tồn tại một cơ chế nhờ đó một mômen lưỡng cực được cảm ứng tỉ lệ với điện trường.

10–3  Các điện tích phân cực

Bây giờ hãy xem mô hình này cho ra điều gì cho lý thuyết của một tụ điện với một chất điện môi. Trước hết xét một tấm vật liệu trong đó có một mômen lưỡng cực nhất định trên mỗi đơn vị thể tích. Trung bình sẽ có một mật độ điện tích nào được tạo ra bởi điều này không? Không, nếu P đều. Nếu các điện tích dương và âm bị dịch chuyển tương đối với nhau có cùng mật độ trung bình, sự kiện chúng bị dịch chuyển không tạo ra một điện tích ròng nào bên trong thể tích. Mặt khác, nếu P lớn hơn tại một nơi và nhỏ hơn tại một nơi khác, điều đó sẽ có nghĩa là nhiều điện tích hơn sẽ được di chuyển vào một miền nào đó hơn là ra khỏi nó; khi đó chúng ta sẽ kỳ vọng thu được một mật độ điện tích thể tích. Đối với tụ điện phẳng, chúng ta giả thiết P là đều, nên chúng ta chỉ cần nhìn vào điều xảy ra tại các bề mặt. Tại một bề mặt, các điện tích âm, các electron, đã hiệu dụng di chuyển ra một khoảng δ; tại bề mặt kia chúng đã di chuyển vào, để lại một ít điện tích dương hiệu dụng ở ra một khoảng δ. Như được chỉ trong Hình 10–5, chúng ta sẽ có một mật độ điện tích mặt, mà sẽ được gọi là điện tích phân cực mặt.

Điện tích này có thể được tính như sau. Nếu A là diện tích của bản, số electron xuất hiện tại bề mặt là tích của A và N, số trên mỗi đơn vị thể tích, và độ dịch chuyển δ, mà chúng ta giả thiết ở đây là vuông góc với bề mặt. Tổng điện tích thu được bằng cách nhân với điện tích electron q_e. Để thu được mật độ mặt của điện tích phân cực được cảm ứng trên bề mặt, chúng ta chia cho A. Độ lớn của mật độ điện tích mặt là

σ_pol = Nq_eδ.

Nhưng điều này đúng bằng độ lớn P của vectơ phân cực P, phương trình (10.4):

σ_pol = P.   (10.5)

Mật độ mặt của điện tích bằng sự phân cực bên trong vật liệu. Điện tích mặt, dĩ nhiên, là dương trên một bề mặt và âm trên bề mặt kia.

Bây giờ hãy giả thiết rằng tấm của chúng ta là chất điện môi của một tụ điện phẳng. Các bản của tụ điện cũng có một điện tích mặt, mà chúng ta sẽ gọi là σ_free, bởi vì chúng có thể di chuyển “tự do” tới bất cứ đâu trên vật dẫn. Đây, dĩ nhiên, là điện tích mà chúng ta đã đặt lên khi chúng ta nạp điện cho tụ điện. Cần nhấn mạnh rằng σ_pol chỉ tồn tại vì σ_free. Nếu σ_free bị loại bỏ bằng cách phóng điện tụ điện, khi đó σ_pol sẽ biến mất, không phải bằng cách đi ra trên dây phóng điện, mà bằng cách di chuyển ngược trở lại vào vật liệu — bởi sự thư giãn của sự phân cực bên trong vật liệu.

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng định luật Gauss cho mặt Gauss S trong Hình 10–1. Điện trường E trong chất điện môi bằng mật độ điện tích mặt toàn phần chia cho ε₀. Rõ ràng là σ_pol và σ_free có dấu đối nghịch, nên

E = (σ_free − σ_pol)/ε₀.   (10.6)

Hãy chú ý rằng trường E₀ giữa bản kim loại và bề mặt của chất điện môi cao hơn trường E; nó tương ứng với riêng σ_free. Nhưng ở đây chúng ta quan tâm tới trường bên trong chất điện môi mà, nếu chất điện môi gần như lấp đầy khe, là trường trên gần như toàn bộ thể tích. Dùng phương trình (10.5), chúng ta có thể viết

E = (σ_free − P)/ε₀.   (10.7)

Phương trình này không nói với chúng ta điện trường là gì trừ phi chúng ta biết P là gì. Tuy nhiên, ở đây chúng ta đang giả thiết rằng P phụ thuộc vào E — thực ra, rằng nó tỉ lệ với E. Tính tỉ lệ này thường được viết là

P = χε₀E.   (10.8)

Hằng số χ (chữ Hy Lạp “khi”) được gọi là độ cảm điện của chất điện môi.

Khi đó phương trình (10.7) trở thành

E = (σ_free/ε₀) · 1/(1 + χ),   (10.9)

điều này cho chúng ta thừa số 1/(1 + χ) mà trường bị giảm đi.

Hiệu điện thế giữa các bản là tích phân của điện trường. Vì trường là đều, tích phân chỉ là tích của E và khoảng cách giữa các bản d. Chúng ta có

V = Ed = σ_freed/[ε₀(1 + χ)].

Tổng điện tích trên tụ điện là σ_freeA, nên điện dung được định nghĩa bởi (10.2) trở thành

C = ε₀A(1 + χ)/d = κε₀A/d.   (10.10)

Chúng ta đã giải thích các sự kiện đã quan sát. Khi một tụ điện phẳng được lấp đầy bởi một chất điện môi, điện dung tăng lên thừa số

κ = 1 + χ,   (10.11)

vốn là một tính chất của vật liệu. Sự giải thích của chúng ta, dĩ nhiên, chưa hoàn chỉnh cho đến khi chúng ta đã giải thích — như chúng ta sẽ làm sau này — sự phân cực nguyên tử xuất hiện như thế nào.

Bây giờ hãy xét một điều gì đó phức tạp hơn một chút — tình huống trong đó sự phân cực P không ở khắp nơi đều như nhau. Như đã nhắc tới trước đây, nếu sự phân cực không hằng số, nói chung chúng ta sẽ kỳ vọng tìm thấy một mật độ điện tích trong thể tích, bởi vì nhiều điện tích hơn có thể đi vào một phía của một phần tử thể tích nhỏ hơn là ra khỏi nó ở phía kia. Làm sao chúng ta có thể tìm ra bao nhiêu điện tích được thu thêm hay mất đi từ một thể tích nhỏ?

Trước hết hãy tính bao nhiêu điện tích di chuyển qua bất kỳ mặt tưởng tượng nào khi vật liệu bị phân cực. Lượng điện tích đi qua một mặt đúng bằng P nhân với diện tích mặt nếu sự phân cực pháp tuyến với mặt. Dĩ nhiên, nếu sự phân cực tiếp tuyến với mặt, không một điện tích nào di chuyển qua nó.

Đi theo cùng các lập luận chúng ta đã dùng, dễ thấy rằng điện tích được di chuyển qua bất kỳ phần tử mặt nào tỉ lệ với thành phần của P vuông góc với mặt. So sánh Hình 10–6 với Hình 10–5. Chúng ta thấy rằng phương trình (10.5) nên, trong trường hợp tổng quát, được viết là

σ_pol = P·n̂.   (10.12)

Nếu chúng ta đang nghĩ về một phần tử mặt tưởng tượng bên trong chất điện môi, phương trình (10.12) cho điện tích được di chuyển qua mặt nhưng không dẫn đến một điện tích mặt ròng, bởi vì có các đóng góp bằng nhau và đối nghịch từ chất điện môi ở hai phía của mặt.

Tuy nhiên, các độ dịch chuyển của các điện tích có thể dẫn đến một mật độ điện tích thể tích. Tổng điện tích bị dịch chuyển ra khỏi bất kỳ thể tích V nào bởi sự phân cực là tích phân của thành phần pháp tuyến hướng ra ngoài của P trên mặt S bao quanh thể tích (xem Hình 10–7). Một điện tích dư bằng nhau và có dấu ngược lại bị để lại phía sau. Ký hiệu điện tích ròng bên trong V là ΔQ_pol, chúng ta viết

ΔQ_pol = −∫_S P·n̂ da.   (10.13)

Chúng ta có thể gán ΔQ_pol cho một phân bố thể tích của điện tích với mật độ ρ_pol, và vì vậy

ΔQ_pol = ∫_V ρ_pol dV.   (10.14)

Kết hợp hai phương trình cho

∫_V ρ_pol dV = −∫_S P·n̂ da.   (10.15)

Chúng ta có một loại định lý Gauss liên hệ mật độ điện tích từ các vật liệu bị phân cực với vectơ phân cực P. Chúng ta có thể thấy rằng nó phù hợp với kết quả chúng ta đã thu được cho điện tích phân cực mặt của chất điện môi trong một tụ điện phẳng. Dùng phương trình (10.15) với mặt Gauss của Hình 10–1, tích phân mặt cho P ΔA, và điện tích bên trong là σ_pol ΔA, nên chúng ta lại thu được σ_pol = P.

Đúng như chúng ta đã làm đối với định luật Gauss của tĩnh điện học, chúng ta có thể chuyển phương trình (10.15) thành một dạng vi phân — dùng định lý toán học của Gauss:

∫_S P·n̂ da = ∫_V ∇·P dV.

Chúng ta thu được

ρ_pol = −∇·P.   (10.16)

Nếu có một sự phân cực không đều, độ phân kỳ của nó cho mật độ ròng của điện tích xuất hiện trong vật liệu. Chúng ta nhấn mạnh rằng đây là một mật độ điện tích hoàn toàn thật; chúng ta gọi nó là “điện tích phân cực” chỉ để nhắc mình nó đã tới đó bằng cách nào.

10–4  Các phương trình tĩnh điện với chất điện môi

Bây giờ hãy kết hợp kết quả trên với lý thuyết tĩnh điện học của chúng ta. Phương trình cơ bản là

∇·E = ρ/ε₀.   (10.17)

ρ ở đây là mật độ của mọi điện tích. Vì không dễ theo dõi các điện tích phân cực, việc tách ρ thành hai phần là tiện lợi. Một lần nữa chúng ta gọi ρ_pol là các điện tích do các sự phân cực không đều, và gọi ρ_free là tất cả phần còn lại. Thường ρ_free là điện tích chúng ta đặt trên các vật dẫn, hay tại các nơi đã biết trong không gian. Phương trình (10.17) khi đó trở thành

∇·E = (ρ_free + ρ_pol)/ε₀ = (ρ_free − ∇·P)/ε₀,

hay,

∇·(E + P/ε₀) = ρ_free/ε₀.   (10.18)

Dĩ nhiên, phương trình cho rôta của E không thay đổi:

∇×E = 0.   (10.19)

Lấy P từ phương trình (10.8), chúng ta thu được phương trình đơn giản hơn,

∇·[(1 + χ)E] = ∇·(κE) = ρ_free/ε₀.   (10.20)

Đây là các phương trình của tĩnh điện học khi có các chất điện môi. Dĩ nhiên, chúng không nói điều gì mới, nhưng chúng ở trong một dạng thuận tiện hơn cho việc tính toán trong các trường hợp trong đó ρ_free được biết và sự phân cực P tỉ lệ với E.

Hãy chú ý rằng chúng ta đã không lấy “hằng số” điện môi, κ, ra khỏi độ phân kỳ. Đó là bởi vì nó có thể không như nhau ở khắp nơi. Nếu nó ở khắp nơi có cùng giá trị, nó có thể được đưa ra ngoài thừa số và các phương trình đúng là các phương trình của tĩnh điện học với mật độ điện tích ρ_free chia cho κ. Trong dạng chúng ta đã cho, các phương trình áp dụng cho trường hợp tổng quát trong đó các chất điện môi khác nhau có thể ở các nơi khác nhau trong trường. Khi đó các phương trình có thể khá khó giải.

Có một vấn đề có tầm quan trọng lịch sử nào đó nên được nhắc tới ở đây. Trong những ngày đầu của điện học, cơ chế nguyên tử của sự phân cực không được biết và sự tồn tại của ρ_pol không được đánh giá đúng. Điện tích ρ_free được coi là toàn bộ mật độ điện tích. Để viết các phương trình Maxwell trong một dạng đơn giản, một vectơ mới D được định nghĩa bằng một tổ hợp tuyến tính của E và P:

D = ε₀E + P.   (10.21)

Kết quả là, các phương trình (10.18) và (10.19) được viết trong một dạng bề ngoài rất đơn giản:

∇·D = ρ_free,    ∇×E = 0.   (10.22)

Người ta có thể giải các phương trình này không? Chỉ nếu một phương trình thứ ba được cho cho mối quan hệ giữa D và E. Khi phương trình (10.8) đúng, mối quan hệ này là

D = ε₀(1 + χ)E = κε₀E.   (10.23)

Phương trình này thường được viết là

D = εE,   (10.24)

trong đó ε là một hằng số nữa để mô tả tính chất điện môi của các vật liệu. Nó được gọi là “độ điện thẩm.” (Bây giờ bạn thấy vì sao chúng ta có ε₀ trong các phương trình của chúng ta, nó là “độ điện thẩm của không gian trống.”) Rõ ràng,

ε = κε₀ = (1 + χ)ε₀.   (10.25)

Ngày nay chúng ta nhìn các vấn đề này từ một quan điểm khác, cụ thể là, chúng ta có các phương trình đơn giản hơn trong chân không, và nếu chúng ta trưng ra trong mọi trường hợp mọi điện tích, dù nguồn gốc của chúng là gì, các phương trình luôn đúng. Nếu chúng ta tách một số điện tích ra vì tiện lợi, hay bởi vì chúng ta không muốn thảo luận điều gì đang xảy ra một cách chi tiết, khi đó chúng ta có thể, nếu muốn, viết các phương trình của chúng ta trong bất kỳ dạng nào khác có thể thuận tiện.

Một điểm nữa nên được nhấn mạnh. Một phương trình như D = εE là một cố gắng mô tả một tính chất của vật chất. Nhưng vật chất cực kỳ phức tạp, và một phương trình như vậy trên thực tế không đúng. Chẳng hạn, nếu E trở nên quá lớn, khi đó D không còn tỉ lệ với E nữa. Đối với một số chất, tính tỉ lệ bị phá vỡ ngay cả với các trường tương đối nhỏ. Ngoài ra, “hằng số” tỉ lệ có thể phụ thuộc vào việc E thay đổi theo thời gian nhanh đến mức nào. Vì vậy loại phương trình này là một loại xấp xỉ, giống như định luật Hooke. Nó không thể là một phương trình sâu sắc và cơ bản. Mặt khác, các phương trình cơ bản của chúng ta cho E, (10.17) và (10.19), biểu diễn sự hiểu biết sâu sắc nhất và hoàn chỉnh nhất của chúng ta về tĩnh điện học.

10–5  Trường và lực với chất điện môi

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh một số định lý khá tổng quát cho tĩnh điện học trong các tình huống trong đó các chất điện môi hiện diện. Chúng ta đã thấy rằng điện dung của một tụ điện phẳng tăng lên một thừa số xác định nếu nó được lấp đầy bởi một chất điện môi. Chúng ta có thể chỉ ra rằng điều này đúng cho một tụ điện có bất kỳ hình dạng nào, miễn là toàn bộ miền trong vùng lân cận của hai vật dẫn được lấp đầy bởi một chất điện môi tuyến tính đều. Khi không có chất điện môi, các phương trình cần giải là

∇·E₀ = ρ_free/ε₀  và  ∇×E₀ = 0.

Khi có mặt chất điện môi, phương trình đầu tiên trong các phương trình này bị biến đổi; thay vào đó chúng ta có các phương trình

∇·(κE) = ρ_free/ε₀  và  ∇×E = 0.   (10.26)

Nay vì chúng ta đang lấy κ ở khắp nơi như nhau, hai phương trình cuối cùng có thể được viết là

∇·(κE) = ρ_free/ε₀  và  ∇×(κE) = 0.   (10.27)

Vì vậy chúng ta có cùng các phương trình cho κE như cho E₀, nên chúng có nghiệm κE = E₀. Nói cách khác, trường ở khắp nơi nhỏ hơn, một thừa số 1/κ, so với trường hợp không có chất điện môi. Vì hiệu điện thế là một tích phân đường của trường, hiệu điện thế bị giảm đi cùng thừa số này. Vì điện tích trên các điện cực của tụ điện đã được lấy như nhau trong cả hai trường hợp, phương trình (10.2) nói với chúng ta rằng điện dung, trong trường hợp một chất điện môi đều ở khắp nơi, tăng lên thừa số κ.

Bây giờ hãy hỏi lực sẽ là gì giữa hai vật dẫn tích điện trong một chất điện môi. Chúng ta xét một chất điện môi lỏng đồng nhất ở khắp nơi. Chúng ta đã thấy trước đây rằng một cách để thu được lực là lấy đạo hàm năng lượng theo khoảng cách thích hợp. Nếu các vật dẫn có các điện tích bằng nhau và đối nghịch, năng lượng U = Q²/2C, trong đó C là điện dung của chúng. Dùng nguyên lý công ảo, bất kỳ thành phần nào cũng được cho bởi một phép lấy đạo hàm; chẳng hạn,

F_x = −∂U/∂x = −(Q²/2) ∂/∂x(1/C).   (10.28)

Vì chất điện môi làm tăng điện dung một thừa số κ, mọi lực sẽ bị giảm đi cùng thừa số này.

Một điểm nên được nhấn mạnh. Điều chúng ta đã nói chỉ đúng nếu chất điện môi là một chất lỏng. Bất kỳ chuyển động nào của các vật dẫn được nhúng trong một chất điện môi rắn đều thay đổi các điều kiện ứng suất cơ học của chất điện môi và làm thay đổi các tính chất điện của nó, cũng như gây ra một số thay đổi năng lượng cơ học trong chất điện môi. Việc di chuyển các vật dẫn trong một chất lỏng không thay đổi chất lỏng. Chất lỏng di chuyển tới một nơi mới nhưng các đặc trưng điện của nó không thay đổi.

Nhiều sách cũ về điện học bắt đầu với định luật “cơ bản” rằng lực giữa hai điện tích là

F = q₁q₂/(4πε₀κr²),   (10.29)

một quan điểm hoàn toàn không thỏa đáng. Vì một điều, nó không đúng nói chung; nó chỉ đúng cho một thế giới được lấp đầy bởi một chất lỏng. Thứ hai, nó phụ thuộc vào sự kiện κ là một hằng số, điều chỉ đúng một cách gần đúng đối với hầu hết các vật liệu thực. Tốt hơn nhiều là bắt đầu với định luật Coulomb cho các điện tích trong chân không, định luật luôn đúng (đối với các điện tích đứng yên).

Điều gì xảy ra trong một chất rắn? Đây là một bài toán rất khó chưa được giải, bởi vì nó, theo một nghĩa nào đó, là không xác định. Nếu bạn đặt các điện tích bên trong một chất điện môi rắn, có nhiều loại áp suất và biến dạng. Bạn không thể xử lý công ảo mà không bao gồm cả năng lượng cơ học cần thiết để nén chất rắn, và nói chung là một việc khó, để tạo ra một sự phân biệt duy nhất giữa các lực điện và các lực cơ học do chính vật liệu rắn. May mắn thay, không ai thực sự bao giờ cần biết đáp án cho câu hỏi được đặt ra. Đôi khi người ta có thể muốn biết sẽ có bao nhiêu biến dạng trong một chất rắn, và điều đó có thể được tính ra. Nhưng nó phức tạp hơn nhiều so với kết quả đơn giản chúng ta đã thu được cho các chất lỏng.

Một bài toán phức tạp đáng ngạc nhiên trong lý thuyết các chất điện môi là bài toán sau: Tại sao một vật tích điện lại nhặt các mảnh nhỏ của chất điện môi? Nếu bạn chải tóc vào một ngày khô, chiếc lược dễ dàng nhặt các mẩu giấy nhỏ. Nếu bạn đã nghĩ về nó một cách qua loa, có lẽ bạn đã giả thiết chiếc lược có một điện tích trên nó và giấy có điện tích ngược lại trên nó. Nhưng giấy ban đầu trung hòa điện. Nó không có một điện tích ròng nào, nhưng nó vẫn bị hút. Đúng là đôi khi giấy sẽ tới chiếc lược rồi bay đi, bị đẩy ngay sau khi nó chạm vào lược. Lý do, dĩ nhiên, là khi giấy chạm vào lược, nó nhặt một số điện tích âm và khi đó các điện tích cùng loại đẩy nhau. Nhưng điều đó không trả lời câu hỏi ban đầu. Tại sao giấy lại tiến về phía lược ngay từ đầu?

Đáp án có liên quan tới sự phân cực của một chất điện môi khi nó được đặt trong một điện trường. Có các điện tích phân cực thuộc cả hai dấu, chúng bị hút và bị đẩy bởi chiếc lược. Tuy nhiên, có một lực hút ròng, bởi vì trường gần lược mạnh hơn trường ở xa hơn — chiếc lược không phải là một tấm vô hạn. Điện tích của nó được định xứ. Một mảnh giấy trung hòa sẽ không bị hút về phía bất kỳ bản nào bên trong các bản song song của một tụ điện. Sự biến thiên của trường là một phần thiết yếu của cơ chế hút.

Như được minh họa trong Hình 10–8, một chất điện môi luôn bị kéo từ một miền trường yếu hướng về một miền trường mạnh hơn. Thực ra, người ta có thể chứng minh rằng đối với các vật nhỏ lực tỉ lệ với gradient của bình phương của điện trường. Tại sao nó lại phụ thuộc vào bình phương của trường? Bởi vì các điện tích phân cực được cảm ứng tỉ lệ với trường, và đối với các điện tích đã cho các lực tỉ lệ với trường. Tuy nhiên, như chúng ta vừa chỉ ra, sẽ chỉ có một lực ròng nếu bình phương của trường đang thay đổi từ điểm này tới điểm khác. Vậy lực tỉ lệ với gradient của bình phương của trường. Hằng số tỉ lệ liên quan, cùng những thứ khác, tới hằng số điện môi của vật, và nó cũng phụ thuộc vào kích thước và hình dạng của vật.

Có một bài toán liên quan trong đó lực trên một chất điện môi có thể được tính ra khá chính xác. Nếu chúng ta có một tụ điện phẳng với một tấm điện môi chỉ được chèn một phần, như được chỉ trong Hình 10–9, sẽ có một lực kéo tấm vào trong. Một sự xem xét chi tiết về lực là khá phức tạp; nó liên quan tới các tính không đều của trường gần các mép của chất điện môi và các bản. Tuy nhiên, nếu chúng ta không nhìn vào các chi tiết, mà chỉ dùng nguyên lý bảo toàn năng lượng, chúng ta có thể dễ dàng tính lực.

Chúng ta có thể tìm lực từ công thức chúng ta đã suy ra trước đây. Phương trình (10.28) tương đương với

F_x = −∂U/∂x = +(V²/2) ∂C/∂x.   (10.30)

Chúng ta chỉ cần tìm ra điện dung thay đổi như thế nào theo vị trí của tấm điện môi.

Giả sử rằng tổng chiều dài của các bản là L, rằng bề rộng của các bản là W, rằng khoảng cách giữa các bản và bề dày của chất điện môi là d, và rằng khoảng cách mà chất điện môi đã được chèn vào là x. Điện dung là tỉ số của tổng điện tích tự do trên các bản với hiệu điện thế giữa các bản. Chúng ta đã thấy ở trên rằng đối với một hiệu điện thế V đã cho, mật độ điện tích mặt của điện tích tự do là κε₀V/d. Vậy tổng điện tích trên các bản là

Q = (κε₀V/d) xW + (ε₀V/d) (L − x)W,

từ đó chúng ta thu được điện dung:

C = (ε₀W/d) (κx + L − x).   (10.31)

Dùng (10.30), chúng ta có

F_x = (V²/2) (ε₀W/d) (κ − 1).   (10.32)

Nay phương trình này không đặc biệt hữu ích cho bất cứ điều gì trừ phi bạn tình cờ cần biết lực trong các hoàn cảnh như vậy. Chúng tôi chỉ muốn chỉ ra rằng lý thuyết năng lượng thường có thể được dùng để tránh các phức tạp khổng lồ trong việc xác định các lực trên các vật liệu điện môi — như sẽ có trong trường hợp hiện tại.

Cuộc thảo luận của chúng ta về lý thuyết các chất điện môi mới chỉ xử lý các hiện tượng điện, chấp nhận sự kiện rằng vật liệu có một sự phân cực tỉ lệ với điện trường. Tại sao lại có một tính tỉ lệ như vậy có lẽ được vật lý quan tâm hơn. Một khi chúng ta hiểu nguồn gốc của các hằng số điện môi từ một quan điểm nguyên tử, chúng ta có thể dùng các phép đo điện của các hằng số điện môi trong các hoàn cảnh khác nhau để thu được thông tin chi tiết về cấu trúc nguyên tử hay phân tử. Khía cạnh này sẽ được xử lý một phần trong chương sau.