Chương 12: Các tương tự tĩnh điện

12–1  Các phương trình giống nhau có các nghiệm giống nhau

Tổng lượng thông tin đã thu thập được về thế giới vật lý kể từ khi tiến bộ khoa học bắt đầu là khổng lồ, và dường như gần như không thể có một người nào biết được một phần đáng kể của nó. Nhưng thực ra một nhà vật lý hoàn toàn có thể giữ một kiến thức rộng về thế giới vật lý thay vì trở thành một chuyên gia trong một lĩnh vực hẹp nào đó. Lý do cho điều này có ba mặt: Thứ nhất, có những nguyên lý vĩ đại áp dụng cho mọi loại hiện tượng khác nhau — chẳng hạn các nguyên lý bảo toàn năng lượng và bảo toàn mômen động lượng. Một sự hiểu biết thấu đáo về những nguyên lý như vậy cho ta hiểu được rất nhiều thứ cùng một lúc. Thứ hai, có một thực tế là nhiều hiện tượng phức tạp, chẳng hạn như hành vi của các chất rắn khi bị nén, thực sự về cơ bản phụ thuộc vào các lực điện và lượng tử, cho nên nếu người ta hiểu các định luật cơ bản của điện học và cơ học lượng tử, thì ít nhất cũng có một khả năng nào đó để hiểu nhiều hiện tượng xảy ra trong các tình huống phức tạp. Cuối cùng, có một sự trùng hợp đáng chú ý nhất: Các phương trình cho nhiều tình huống vật lý khác nhau có diện mạo hoàn toàn giống nhau. Dĩ nhiên, các ký hiệu có thể khác nhau — chữ này được thay bằng chữ khác — nhưng dạng toán học của các phương trình là như nhau. Điều này có nghĩa là sau khi đã học một môn, chúng ta lập tức có một lượng lớn kiến thức trực tiếp và chính xác về các nghiệm của các phương trình của một môn khác.

Chúng ta bây giờ đã xong chủ đề tĩnh điện học, và sẽ sớm chuyển sang nghiên cứu từ học và điện động lực học. Nhưng trước khi làm điều đó, chúng tôi muốn chỉ ra rằng trong khi học tĩnh điện học, chúng ta đồng thời đã học về một số lượng lớn các chủ đề khác. Chúng ta sẽ thấy rằng các phương trình của tĩnh điện học xuất hiện ở vài nơi khác trong vật lý. Bằng một phép dịch chuyển trực tiếp các nghiệm (dĩ nhiên các phương trình toán học giống nhau phải có các nghiệm giống nhau), người ta có thể giải các bài toán trong các lĩnh vực khác với cùng một sự dễ dàng — hoặc với cùng một khó khăn — như trong tĩnh điện học.

Các phương trình của tĩnh điện học, chúng ta biết, là

∇·(κE) = ρ_{tự do}/ϵ₀,   (12.1)

∇×E = 0.   (12.2)

(Chúng ta lấy các phương trình của tĩnh điện học với các chất điện môi để có tình huống tổng quát nhất.) Cùng một vật lý đó có thể được biểu diễn dưới một dạng toán học khác:

E = −∇ϕ,   (12.3)

∇·(κ ∇ϕ) = −ρ_{tự do}/ϵ₀.   (12.4)

Bây giờ điểm mấu chốt là có nhiều bài toán vật lý mà các phương trình toán học của chúng có cùng một dạng. Có một thế (ϕ) mà gradient của nó nhân với một hàm vô hướng (κ) có divergence bằng một hàm vô hướng khác (−ρ_{tự do}/ϵ₀).

Bất cứ điều gì chúng ta biết về tĩnh điện học đều có thể lập tức được mang sang môn kia, và ngược lại. (Dĩ nhiên nó hoạt động theo cả hai chiều — nếu môn kia có một số đặc trưng riêng nào đó đã biết, thì chúng ta có thể áp dụng kiến thức đó cho bài toán tĩnh điện tương ứng.) Chúng ta muốn xét một loạt các ví dụ từ các môn khác nhau cho ra các phương trình dạng này.

12–2  Dòng nhiệt; một nguồn điểm gần một biên phẳng vô hạn

Chúng ta đã thảo luận một ví dụ trước đây (Mục 3–4) — dòng nhiệt. Hãy tưởng tượng một khối vật liệu, không nhất thiết phải đồng nhất mà có thể gồm các vật liệu khác nhau ở các chỗ khác nhau, trong đó nhiệt độ thay đổi từ điểm này sang điểm khác. Hệ quả của các biến thiên nhiệt độ này là có một dòng nhiệt, có thể được biểu diễn bởi vector h. Nó biểu diễn lượng nhiệt năng chảy trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích vuông góc với dòng. Divergence của h biểu diễn tốc độ trên một đơn vị thể tích mà nhiệt đang rời khỏi một miền:

∇·h = tốc độ nhiệt ra trên một đơn vị thể tích.

(Dĩ nhiên chúng ta có thể viết phương trình dưới dạng tích phân — đúng như chúng ta đã làm trong tĩnh điện học với định luật Gauss — dạng này sẽ nói rằng thông lượng qua một mặt bằng tốc độ thay đổi của nhiệt năng bên trong vật liệu. Chúng ta sẽ không mất công dịch các phương trình qua lại giữa dạng vi phân và dạng tích phân, vì việc đó diễn ra đúng như trong tĩnh điện học.)

Tốc độ mà nhiệt được sinh ra hay hấp thụ ở các nơi khác nhau dĩ nhiên phụ thuộc vào bài toán. Giả sử, chẳng hạn, có một nguồn nhiệt bên trong vật liệu (có lẽ là một nguồn phóng xạ, hay một điện trở bị nung nóng bởi một dòng điện). Hãy gọi s là nhiệt năng được sản xuất trên một đơn vị thể tích trong một giây bởi nguồn này. Cũng có thể có các tổn thất (hay thu thêm) nhiệt năng thành các nội năng khác trong thể tích. Nếu u là nội năng trên một đơn vị thể tích, thì −du/dt cũng sẽ là một “nguồn” nhiệt năng. Vậy chúng ta có,

∇·h = s − du/dt.   (12.5)

Lúc này chúng ta sẽ không thảo luận phương trình đầy đủ trong đó mọi thứ thay đổi theo thời gian, vì chúng ta đang tạo một tương tự với tĩnh điện học, nơi không có gì phụ thuộc vào thời gian. Chúng ta sẽ chỉ xét các bài toán dòng nhiệt dừng, trong đó các nguồn không đổi đã tạo ra một trạng thái cân bằng. Trong các trường hợp đó,

∇·h = s.   (12.6)

Dĩ nhiên, cần phải có một phương trình khác, mô tả nhiệt chảy như thế nào ở các nơi khác nhau. Trong nhiều vật liệu, dòng nhiệt gần đúng tỉ lệ với tốc độ thay đổi của nhiệt độ theo vị trí: hiệu nhiệt độ càng lớn, dòng nhiệt càng lớn. Như chúng ta đã thấy, vector dòng nhiệt tỉ lệ với gradient nhiệt độ. Hằng số tỉ lệ K, một tính chất của vật liệu, được gọi là độ dẫn nhiệt:

h = −K ∇T.   (12.7)

Nếu tính chất của vật liệu thay đổi từ nơi này sang nơi khác, thì K = K(x,y,z), một hàm của vị trí. [Phương trình (12.7) không cơ bản như (12.5) — phương trình biểu diễn sự bảo toàn nhiệt năng — vì phương trình trước phụ thuộc vào một tính chất đặc biệt của chất.] Bây giờ nếu chúng ta thế (12.7) vào (12.6), chúng ta có

∇·(K ∇T) = −s,   (12.8)

phương trình này có đúng cùng dạng với (12.4). Các bài toán dòng nhiệt dừng và các bài toán tĩnh điện là như nhau. Vector dòng nhiệt h tương ứng với E, và nhiệt độ T tương ứng với ϕ. Chúng ta đã nhận thấy rằng một nguồn nhiệt điểm tạo ra một trường nhiệt độ biến thiên như 1/r và một dòng nhiệt biến thiên như 1/r². Đây chẳng qua là một phép dịch của các phát biểu từ tĩnh điện học rằng một điện tích điểm tạo ra một thế biến thiên như 1/r và một điện trường biến thiên như 1/r². Nói chung, chúng ta có thể giải các bài toán nhiệt tĩnh dễ dàng như chúng ta giải các bài toán tĩnh điện.

Hãy xét một ví dụ đơn giản. Giả sử chúng ta có một hình trụ bán kính a ở nhiệt độ T₁, được duy trì bởi sự sinh nhiệt trong hình trụ. (Nó có thể, chẳng hạn, là một sợi dây mang một dòng điện, hay một ống có hơi nước ngưng tụ bên trong.) Hình trụ được bao phủ bởi một lớp vỏ đồng trục bằng vật liệu cách nhiệt có độ dẫn nhiệt K. Giả sử bán kính ngoài của lớp cách nhiệt là b và bên ngoài được giữ ở nhiệt độ T₂ (Hình 12–1a). Chúng ta muốn tìm xem nhiệt sẽ bị mất bởi sợi dây, hay ống hơi, hay bất cứ thứ gì ở trung tâm, với tốc độ bao nhiêu. Hãy gọi tổng lượng nhiệt bị mất từ một độ dài L của ống là G — đó là điều chúng ta đang cố tìm.

Làm sao chúng ta có thể giải bài toán này? Chúng ta có các phương trình vi phân, nhưng vì chúng giống như các phương trình của tĩnh điện học, chúng ta thực sự đã giải bài toán toán học rồi. Bài toán tương tự là bài toán một vật dẫn bán kính a ở thế ϕ₁, tách khỏi một vật dẫn khác bán kính b ở thế ϕ₂, với một lớp vật liệu điện môi đồng trục ở giữa, như được vẽ trong Hình 12–1(b). Bây giờ vì dòng nhiệt h tương ứng với điện trường E, đại lượng G mà chúng ta muốn tìm tương ứng với thông lượng của điện trường, tức là điện tích trên ϵ₀. Chúng ta đã giải bài toán tĩnh điện bằng cách dùng định luật Gauss. Chúng ta làm theo cùng một quy trình cho bài toán dòng nhiệt của mình.

Từ tính đối xứng của tình huống, chúng ta biết rằng h chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến trung tâm. Vậy chúng ta bao ống trong một hình trụ Gauss có độ dài L và bán kính r. Từ định luật Gauss, chúng ta biết rằng dòng nhiệt h nhân với diện tích 2πrL của mặt phải bằng tổng lượng nhiệt sinh ra bên trong, mà chúng ta đang gọi là G:

2πrLh = G  hoặc  h = G/2πrL.   (12.9)

Dòng nhiệt tỉ lệ với gradient nhiệt độ:

h = −K ∇T,

hay, trong trường hợp này, thành phần hướng tâm của h là

h = −K dT/dr.

Điều này, cùng với (12.9), cho

dT/dr = −G/2πKLr.   (12.10)

Lấy tích phân từ r = a đến r = b, chúng ta được

T₂ − T₁ = −[G/2πKL] ln(b/a).   (12.11)

Giải ra G, chúng ta tìm được

G = 2πKL(T₁ − T₂)/ln(b/a).   (12.12)

Kết quả này tương ứng chính xác với kết quả cho điện tích trên một tụ điện trụ:

Q/ϵ₀ = 2πκL(ϕ₁ − ϕ₂)/ln(b/a).

Các bài toán là như nhau, và chúng có các nghiệm như nhau. Từ kiến thức của chúng ta về tĩnh điện học, chúng ta cũng biết có bao nhiêu nhiệt bị mất bởi một ống được cách nhiệt.

Hãy xét một ví dụ khác về dòng nhiệt. Giả sử chúng ta muốn biết dòng nhiệt trong vùng lân cận của một nguồn nhiệt điểm nằm một chút ở dưới bề mặt của trái đất, hoặc gần bề mặt của một khối kim loại lớn. Nguồn nhiệt cục bộ đó có thể là một quả bom nguyên tử đã được kích nổ dưới lòng đất, để lại một nguồn nhiệt mãnh liệt, hoặc nó có thể tương ứng với một nguồn phóng xạ nhỏ bên trong một khối sắt — có rất nhiều khả năng.

Chúng ta sẽ xử lý bài toán lý tưởng hóa về một nguồn nhiệt điểm có cường độ G ở khoảng cách a bên dưới bề mặt của một khối vô hạn bằng vật liệu đồng nhất có độ dẫn nhiệt là K. Và chúng ta sẽ bỏ qua độ dẫn nhiệt của không khí bên ngoài vật liệu. Chúng ta muốn xác định sự phân bố của nhiệt độ trên bề mặt của khối. Ngay phía trên nguồn thì nó nóng đến mức nào và ở các nơi khác nhau trên bề mặt của khối thì sao?

Chúng ta sẽ giải nó như thế nào? Nó giống như một bài toán tĩnh điện với hai vật liệu có các hệ số điện môi κ khác nhau ở hai phía đối diện của một biên phẳng. Aha! Có lẽ nó là tương tự của một điện tích điểm gần biên giữa một chất điện môi và một vật dẫn, hoặc một cái gì đó tương tự. Hãy xem tình huống gần bề mặt là như thế nào. Điều kiện vật lý là thành phần pháp tuyến của h trên bề mặt bằng không, vì chúng ta đã giả thiết không có dòng nhiệt ra khỏi khối. Chúng ta nên hỏi: Trong bài toán tĩnh điện nào chúng ta có điều kiện rằng thành phần pháp tuyến của điện trường E (tương tự của h) bằng không tại một bề mặt? Không có bài toán nào cả!

Đó là một trong những điều chúng ta phải cảnh giác. Vì các lý do vật lý, có thể có những hạn chế nhất định trong các loại điều kiện toán học nảy sinh trong bất kỳ một môn nào. Cho nên nếu chúng ta đã phân tích phương trình vi phân chỉ cho một số trường hợp giới hạn nào đó, chúng ta có thể đã bỏ sót một số loại nghiệm có thể xảy ra trong các tình huống vật lý khác. Chẳng hạn, không có vật liệu nào có hằng số điện môi bằng không, trong khi một chân không thực sự có độ dẫn nhiệt bằng không. Vậy nên không có tương tự tĩnh điện cho một chất cách nhiệt hoàn hảo. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể dùng cùng các phương pháp. Chúng ta có thể cố tưởng tượng điều gì sẽ xảy ra nếu hằng số điện môi bằng không. (Dĩ nhiên, hằng số điện môi không bao giờ bằng không trong bất kỳ tình huống thực nào. Nhưng chúng ta có thể có một trường hợp trong đó có một vật liệu với hằng số điện môi rất cao, để chúng ta có thể bỏ qua hằng số điện môi của không khí bên ngoài.)

Làm sao chúng ta có thể tìm một điện trường không có thành phần vuông góc với bề mặt? Tức là, một trường luôn tiếp tuyến tại bề mặt? Bạn sẽ nhận thấy rằng bài toán của chúng ta ngược với bài toán một điện tích điểm gần một vật dẫn phẳng. Ở đó chúng ta muốn trường vuông góc với bề mặt, vì vật dẫn có cùng một thế ở khắp nơi. Trong bài toán điện, chúng ta đã phát minh ra một nghiệm bằng cách tưởng tượng một điện tích điểm ở sau tấm dẫn. Chúng ta có thể dùng lại cùng ý tưởng đó. Chúng ta cố chọn một “nguồn ảnh” sẽ tự động làm cho thành phần pháp tuyến của trường bằng không tại bề mặt. Nghiệm được chỉ ra trong Hình 12–2. Một nguồn ảnh có cùng dấu và cùng cường độ đặt ở khoảng cách a phía trên bề mặt sẽ làm cho trường luôn nằm ngang tại bề mặt. Các thành phần pháp tuyến của hai nguồn triệt tiêu lẫn nhau.

Vậy là bài toán dòng nhiệt của chúng ta đã được giải. Nhiệt độ ở khắp nơi, theo tương tự trực tiếp, giống như thế do hai điện tích điểm bằng nhau gây ra! Nhiệt độ T ở khoảng cách r từ một nguồn điểm duy nhất G trong một môi trường vô hạn là

T = G/4πKr.   (12.13)

(Dĩ nhiên đây chỉ là tương tự của ϕ = q/4πϵ₀R.) Nhiệt độ đối với một nguồn điểm, cùng với nguồn ảnh của nó, là

T = G/4πKr₁ + G/4πKr₂.   (12.14)

Công thức này cho chúng ta nhiệt độ ở khắp nơi trong khối. Vài mặt đẳng nhiệt được chỉ ra trong Hình 12–2. Cũng được chỉ ra là các đường của h, có thể thu được từ h = −K ∇T.

Ban đầu chúng ta đã hỏi về sự phân bố nhiệt độ trên bề mặt. Đối với một điểm trên bề mặt ở khoảng cách ρ đến trục, r₁ = r₂ = √(ρ² + a²), cho nên

T(bề mặt) = (1/4πK) · 2G/√(ρ² + a²).   (12.15)

Hàm này cũng được chỉ ra trong hình. Nhiệt độ, một cách tự nhiên, cao hơn ngay phía trên nguồn so với ở xa hơn. Đây là loại bài toán mà các nhà địa vật lý thường cần giải. Bây giờ chúng ta thấy rằng nó là cùng loại với thứ chúng ta đã và đang giải cho điện học.

12–3  Màng bị kéo căng

Bây giờ hãy xét một tình huống vật lý hoàn toàn khác mà, tuy nhiên, lại cho ra cùng các phương trình một lần nữa. Hãy xét một tấm cao su mỏng — một màng — đã được kéo căng trên một khung ngang lớn (như một mặt trống). Giả sử bây giờ màng bị đẩy lên ở một chỗ và xuống ở một chỗ khác; như được chỉ ra trong Hình 12–3. Chúng ta có thể mô tả hình dạng của bề mặt không? Chúng ta sẽ chỉ ra cách bài toán có thể được giải khi các độ lệch của màng không quá lớn.

Có các lực trong tấm vì nó bị kéo căng. Nếu chúng ta rạch một đường cắt nhỏ ở bất cứ đâu, hai phía của vết cắt sẽ kéo rời nhau ra (xem Hình 12–4). Vậy có một sức căng bề mặt trong tấm, tương tự như sức căng một chiều trong một sợi dây bị kéo căng. Chúng ta định nghĩa độ lớn của sức căng bề mặt τ là lực trên một đơn vị độ dài vừa đủ giữ hai phía của một vết cắt như một trong các vết cắt được chỉ ra trong Hình 12–4 dính với nhau.

Giả sử bây giờ chúng ta nhìn vào một tiết diện đứng của màng. Nó sẽ hiện ra như một đường cong, giống đường cong trong Hình 12–5. Gọi u là độ dịch chuyển thẳng đứng của màng khỏi vị trí bình thường của nó, và x và y là các tọa độ trong mặt phẳng ngang. (Tiết diện được chỉ ra song song với trục x.)

Hãy xét một mảnh nhỏ của bề mặt có độ dài Δx và bề rộng Δy. Sẽ có các lực tác dụng lên mảnh từ sức căng bề mặt dọc theo mỗi cạnh. Lực dọc theo cạnh 1 của hình sẽ là τ₁ Δy, hướng tiếp tuyến với bề mặt — tức là, ở góc θ₁ so với phương ngang. Dọc theo cạnh 2, lực sẽ là τ₂ Δy ở góc θ₂. (Cũng sẽ có các lực tương tự trên hai cạnh còn lại của mảnh, nhưng chúng ta sẽ tạm quên chúng lúc này.) Lực hướng lên thuần trên mảnh từ các cạnh 1 và 2 là

ΔF = τ₂ Δy sin θ₂ − τ₁ Δy sin θ₁.

Chúng ta sẽ giới hạn các xét của mình vào các biến dạng nhỏ của màng, tức là vào các độ dốc nhỏ: khi đó chúng ta có thể thay sin θ bằng tan θ, mà tan có thể được viết là ∂u/∂x. Lực khi đó là

ΔF = [τ₂(∂u/∂x)₂ − τ₁(∂u/∂x)₁] Δy.

Đại lượng trong ngoặc vuông cũng có thể được viết (đối với Δx nhỏ) thành

∂/∂x (τ ∂u/∂x) Δx;

khi đó

ΔF = ∂/∂x (τ ∂u/∂x) Δx Δy.

Sẽ có một đóng góp nữa vào ΔF từ các lực trên hai cạnh còn lại; tổng rõ ràng là

ΔF = [∂/∂x (τ ∂u/∂x) + ∂/∂y (τ ∂u/∂y)] Δx Δy.   (12.16)

Các biến dạng của màng là do các ngoại lực gây ra. Gọi f biểu diễn lực hướng lên trên một đơn vị diện tích trên tấm (một thứ “áp suất”) từ các ngoại lực. Khi màng ở trạng thái cân bằng (trường hợp tĩnh), lực này phải được cân bằng bởi nội lực chúng ta vừa tính, phương trình (12.16). Tức là

f = −ΔF/Δx Δy.

Phương trình (12.16) khi đó có thể được viết

f = −∇·(τ ∇u),   (12.17)

trong đó ∇ bây giờ dĩ nhiên có nghĩa là toán tử gradient hai chiều (∂/∂x, ∂/∂y). Chúng ta có phương trình vi phân liên hệ u(x,y) với các lực tác dụng f(x,y) và sức căng bề mặt τ(x,y), mà nói chung có thể thay đổi từ nơi này sang nơi khác trong tấm. (Các biến dạng của một vật đàn hồi ba chiều cũng bị chi phối bởi các phương trình tương tự, nhưng chúng ta sẽ chỉ bám vào hai chiều.) Chúng ta sẽ chỉ lo về trường hợp trong đó sức căng τ là hằng số trong khắp tấm. Khi đó chúng ta có thể viết cho phương trình (12.17),

∇²u = −f/τ.   (12.18)

Chúng ta có một phương trình khác giống như phương trình của tĩnh điện học! — chỉ có điều lần này, bị giới hạn trong hai chiều. Độ dịch chuyển u tương ứng với ϕ, và f/τ tương ứng với ρ/ϵ₀. Vậy tất cả công việc chúng ta đã làm cho các tấm tích điện phẳng vô hạn, hay các sợi dây song song dài, hay các hình trụ tích điện đều áp dụng trực tiếp được cho màng bị kéo căng.

Giả sử chúng ta đẩy màng tại một số điểm lên tới một chiều cao xác định — tức là, chúng ta cố định giá trị của u tại một số nơi. Đó là tương tự của việc có một thế xác định tại các nơi tương ứng trong một tình huống điện. Vậy, chẳng hạn, chúng ta có thể tạo một “thế” dương bằng cách đẩy màng lên bằng một vật có hình dạng tiết diện của vật dẫn trụ tương ứng. Chẳng hạn, nếu chúng ta đẩy tấm lên bằng một cây gậy tròn, bề mặt sẽ mang hình dạng được chỉ ra trong Hình 12–6. Chiều cao u giống như thế tĩnh điện ϕ của một cây gậy trụ tích điện. Nó giảm như ln(1/r). (Độ dốc, tương ứng với điện trường E, giảm như 1/r.)

Tấm cao su bị kéo căng thường đã được dùng như một cách giải các bài toán điện phức tạp bằng thực nghiệm. Tương tự được dùng ngược lại! Nhiều cây gậy và thanh khác nhau được đẩy vào tấm đến các chiều cao tương ứng với các thế của một tập hợp các điện cực. Các phép đo chiều cao khi đó cho thế điện cho tình huống điện. Tương tự còn được đưa đi xa hơn nữa. Nếu các viên bi nhỏ được đặt trên màng, chuyển động của chúng tương ứng gần đúng với chuyển động của các electron trong điện trường tương ứng. Người ta thực sự có thể xem các “electron” di chuyển trên các quỹ đạo của chúng. Phương pháp này đã được dùng để thiết kế hình học phức tạp của nhiều ống nhân quang điện (như các ống dùng cho các bộ đếm nhấp nháy, và ống dùng để điều khiển chùm đèn pha trên các chiếc Cadillac). Phương pháp vẫn còn được dùng, nhưng độ chính xác bị giới hạn. Đối với công việc chính xác nhất, tốt hơn là xác định các trường bằng các phương pháp số, dùng các máy tính điện tử lớn.

12–4  Sự khuếch tán của neutron; một nguồn cầu đều trong một môi trường đồng nhất

Chúng ta lấy một ví dụ khác cho ra cùng loại phương trình, lần này liên quan đến sự khuếch tán. Trong Chương 43 của Tập I, chúng ta đã xét sự khuếch tán của các ion trong một chất khí duy nhất, và của một chất khí qua một chất khí khác. Lần này, hãy lấy một ví dụ khác — sự khuếch tán của các neutron trong một vật liệu như graphite. Chúng ta chọn nói về graphite (một dạng tinh khiết của carbon) vì carbon không hấp thụ các neutron chậm. Trong nó các neutron được tự do lang thang. Chúng di chuyển theo một đường thẳng vài centimét, trên trung bình, trước khi bị tán xạ bởi một hạt nhân và bị lệch vào một hướng mới. Vậy nếu chúng ta có một khối lớn — nhiều mét mỗi chiều — các neutron ban đầu ở một nơi sẽ khuếch tán đến các nơi khác. Chúng ta muốn tìm một mô tả cho hành vi trung bình của chúng — tức là, dòng trung bình của chúng.

Gọi N(x,y,z) ΔV là số neutron trong phần tử thể tích ΔV tại điểm (x,y,z). Vì chuyển động của chúng, một số neutron sẽ đang rời ΔV, và một số khác sẽ đang đi vào. Nếu có nhiều neutron trong một miền hơn trong một miền lân cận, sẽ có nhiều neutron đi từ miền thứ nhất sang miền thứ hai hơn là quay trở lại; sẽ có một dòng thuần. Theo các lập luận của Chương 43 trong Tập I, chúng ta mô tả dòng bằng một vector dòng J. Thành phần x của nó J_x là số neutron thuần đi qua trong một đơn vị thời gian một đơn vị diện tích vuông góc với hướng x. Chúng ta đã tìm được rằng

J_x = −D ∂N/∂x,   (12.19)

trong đó hằng số khuếch tán D được cho theo vận tốc trung bình v, và quãng đường tự do trung bình l giữa các lần tán xạ được cho bởi

D = (1/3) lv.

Phương trình vector cho J là

J = −D ∇N.   (12.20)

Tốc độ mà các neutron chảy qua bất kỳ phần tử mặt nào da là J·n da (trong đó, như thường lệ, n là pháp tuyến đơn vị). Dòng thuần ra khỏi một phần tử thể tích khi đó là (theo lập luận Gauss thông thường) ∇·J dV. Dòng này sẽ dẫn đến một sự giảm theo thời gian số neutron trong ΔV trừ phi các neutron đang được tạo ra trong ΔV (bởi một quá trình hạt nhân nào đó). Nếu có các nguồn trong thể tích sinh ra S neutron trên một đơn vị thời gian trong một đơn vị thể tích, thì dòng thuần ra khỏi ΔV sẽ bằng (S − ∂N/∂t) ΔV. Khi đó chúng ta có

∇·J = S − ∂N/∂t.   (12.21)

Kết hợp (12.21) với (12.20), chúng ta được phương trình khuếch tán neutron

∇·(−D ∇N) = S − ∂N/∂t.   (12.22)

Trong trường hợp tĩnh — nơi ∂N/∂t = 0 — chúng ta lại có phương trình (12.4) một lần nữa! Chúng ta có thể dùng kiến thức của chúng ta về tĩnh điện học để giải các bài toán về sự khuếch tán của neutron. Vậy hãy giải một bài toán. (Bạn có thể tự hỏi: Tại sao lại làm một bài toán nếu chúng ta đã làm mọi bài toán trong tĩnh điện học rồi? Chúng ta có thể làm nó nhanh hơn lần này vì chúng ta đã làm các bài toán tĩnh điện!)

Giả sử chúng ta có một khối vật liệu trong đó các neutron đang được sinh ra — chẳng hạn bởi sự phân hạch uranium — một cách đều khắp một miền hình cầu bán kính a (Hình 12–7). Chúng ta muốn biết: Mật độ neutron ở khắp nơi là bao nhiêu? Mật độ neutron trong miền nơi chúng đang được sinh ra đều đến mức nào? Tỉ số của mật độ neutron tại tâm so với mật độ neutron tại bề mặt của miền nguồn là bao nhiêu? Việc tìm các câu trả lời là dễ dàng. Mật độ nguồn S₀ thay thế mật độ điện tích ρ, cho nên bài toán của chúng ta giống như bài toán một quả cầu có mật độ điện tích đều. Việc tìm N cũng giống như việc tìm thế ϕ. Chúng ta đã tính ra các trường bên trong và bên ngoài một quả cầu tích điện đều; chúng ta có thể lấy tích phân chúng để được thế. Bên ngoài, thế là Q/4πϵ₀r, với tổng điện tích Q được cho bởi 4πa³ρ/3. Vậy

ϕ_{bên ngoài} = ρa³/3ϵ₀r.   (12.23)

Đối với các điểm bên trong, trường chỉ do điện tích Q(r) bên trong quả cầu bán kính r gây ra, Q(r) = 4πr³ρ/3, cho nên

E = ρr/3ϵ₀.   (12.24)

Trường tăng tuyến tính theo r. Lấy tích phân E để được ϕ, chúng ta có

ϕ_{bên trong} = −ρr²/6ϵ₀ + một hằng số.

Tại bán kính a, ϕ_{bên trong} phải bằng ϕ_{bên ngoài}, cho nên hằng số phải là ρa²/2ϵ₀. (Chúng ta đang giả thiết rằng ϕ bằng không ở các khoảng cách lớn khỏi nguồn, điều này sẽ tương ứng với N bằng không đối với các neutron.) Do đó,

ϕ_{bên trong} = [ρ/3ϵ₀] (3a²/2 − r²/2).   (12.25)

Chúng ta biết ngay mật độ neutron trong bài toán kia của chúng ta. Đáp án là

N_{bên ngoài} = Sa³/3Dr,   (12.26)

và

N_{bên trong} = [S/3D] (3a²/2 − r²/2).   (12.27)

N được chỉ ra như một hàm của r trong Hình 12–7.

Bây giờ tỉ số mật độ tại tâm so với tại rìa là bao nhiêu? Tại tâm (r = 0), nó tỉ lệ với 3a²/2. Tại rìa (r = a) nó tỉ lệ với 2a²/2, cho nên tỉ số của các mật độ là 3/2. Một nguồn đều không tạo ra một mật độ neutron đều. Bạn thấy đó, kiến thức của chúng ta về tĩnh điện học cho chúng ta một khởi đầu tốt về vật lý của các lò phản ứng hạt nhân.

Có nhiều hoàn cảnh vật lý trong đó sự khuếch tán đóng một vai trò lớn. Chuyển động của các ion qua một chất lỏng, hay của các electron qua một chất bán dẫn, tuân theo cùng một phương trình. Chúng ta thấy đi thấy lại cùng các phương trình.

12–5  Dòng chất lưu không quay; dòng chảy qua một quả cầu

Bây giờ hãy xét một ví dụ không thực sự là một ví dụ rất tốt, vì các phương trình chúng ta sẽ dùng sẽ không thực sự biểu diễn chủ đề với tính tổng quát đầy đủ mà chỉ trong một tình huống lý tưởng hóa giả tạo. Chúng ta xét bài toán dòng nước. Trong trường hợp tấm bị kéo căng, các phương trình của chúng ta là một phép gần đúng chỉ đúng đối với các độ lệch nhỏ. Đối với việc xét dòng nước của chúng ta, chúng ta sẽ không thực hiện kiểu gần đúng đó; chúng ta phải đặt các hạn chế hoàn toàn không áp dụng cho nước thật. Chúng ta chỉ xử lý trường hợp dòng dừng của một chất lỏng không nén được, không nhớt, không có hoàn lưu. Khi đó chúng ta biểu diễn dòng bằng cách cho vận tốc v(r) như một hàm của vị trí r. Nếu chuyển động là dừng (trường hợp duy nhất có một tương tự tĩnh điện) thì v không phụ thuộc vào thời gian. Nếu ρ là mật độ của chất lưu, thì ρv là lượng khối lượng đi qua trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích. Do sự bảo toàn vật chất, divergence của ρv nói chung sẽ là tốc độ thay đổi theo thời gian của khối lượng vật liệu trên một đơn vị thể tích. Chúng ta sẽ giả thiết rằng không có các quá trình liên tục tạo ra hay hủy đi vật chất. Sự bảo toàn vật chất khi đó đòi hỏi ∇·ρv = 0. (Nói chung nó phải bằng −∂ρ/∂t, nhưng vì chất lưu của chúng ta không nén được, ρ không thể thay đổi.) Vì ρ ở khắp nơi là như nhau, chúng ta có thể đưa nó ra ngoài, và phương trình của chúng ta đơn giản là

∇·v = 0.

Tốt! Chúng ta lại có tĩnh điện học (không có điện tích); nó cũng giống như ∇·E = 0. Không phải vậy! Tĩnh điện học không đơn giản chỉ là ∇·E = 0. Nó là một cặp phương trình. Một phương trình không cho chúng ta biết đủ; chúng ta vẫn cần một phương trình nữa. Để khớp với tĩnh điện học, chúng ta cũng phải có curl của v bằng không. Nhưng điều đó không nói chung đúng đối với các chất lỏng thật. Hầu hết các chất lỏng thông thường sẽ phát triển một ít hoàn lưu. Vậy chúng ta bị giới hạn vào tình huống trong đó không có hoàn lưu của chất lưu. Dòng như vậy thường được gọi là không quay (irrotational). Dù sao, nếu chúng ta thực hiện mọi giả thiết của mình, chúng ta có thể tưởng tượng một trường hợp dòng chất lưu tương tự như tĩnh điện học. Vậy chúng ta lấy

∇·v = 0   (12.28)

∇×v = 0.   (12.29)

Chúng ta muốn nhấn mạnh rằng số hoàn cảnh trong đó dòng chất lỏng tuân theo các phương trình này còn xa mới là đại đa số, nhưng có một vài trường hợp. Chúng phải là các trường hợp trong đó chúng ta có thể bỏ qua sức căng bề mặt, tính nén được, và độ nhớt, và trong đó chúng ta có thể giả thiết rằng dòng là không quay. Các giả thiết này hiếm khi đúng đối với nước thật đến mức nhà toán học John von Neumann đã nói rằng những người phân tích các phương trình (12.28) và (12.29) đang nghiên cứu “nước khô”! (Chúng ta xét bài toán dòng chất lưu chi tiết hơn trong các Chương 40 và 41.)

Vì ∇×v = 0, vận tốc của “nước khô” có thể được viết như gradient của một thế nào đó:

v = −∇ψ.   (12.30)

Ý nghĩa vật lý của ψ là gì? Không có ý nghĩa nào thật hữu ích. Vận tốc có thể được viết như gradient của một thế đơn giản vì dòng là không quay. Và theo tương tự với tĩnh điện học, ψ được gọi là thế vận tốc, nhưng nó không liên quan đến một thế năng theo cách mà ϕ liên quan. Vì divergence của v bằng không, chúng ta có

∇·(∇ψ) = ∇²ψ = 0.   (12.31)

Thế vận tốc ψ tuân theo cùng phương trình vi phân như thế tĩnh điện trong không gian tự do (ρ = 0).

Hãy chọn một bài toán trong dòng không quay và xem chúng ta có thể giải nó bằng các phương pháp chúng ta đã học không. Hãy xét bài toán một quả bóng hình cầu rơi qua một chất lỏng. Nếu nó đi quá chậm, các lực nhớt, mà chúng ta đang bỏ qua, sẽ quan trọng. Nếu nó đi quá nhanh, các xoáy nước nhỏ (sự rối) sẽ xuất hiện ở phía sau nó và sẽ có một ít hoàn lưu của nước. Nhưng nếu quả bóng đi không quá nhanh cũng không quá chậm, thì ít nhiều đúng rằng dòng nước sẽ phù hợp với các giả thiết của chúng ta, và chúng ta có thể mô tả chuyển động của nước bằng các phương trình đơn giản của mình.

Sẽ tiện lợi khi mô tả điều xảy ra trong một hệ quy chiếu cố định trong quả cầu. Trong hệ này chúng ta đang đặt câu hỏi: Nước chảy qua một quả cầu đứng yên như thế nào khi dòng ở các khoảng cách lớn là đều? Tức là, khi, ở xa quả cầu, dòng ở khắp nơi là như nhau. Dòng gần quả cầu sẽ như được chỉ ra bởi các đường dòng vẽ trong Hình 12–8. Các đường này, luôn song song với v, tương ứng với các đường sức điện trường. Chúng ta muốn có một mô tả định lượng cho trường vận tốc, tức là, một biểu thức cho vận tốc tại bất kỳ điểm P nào.

Chúng ta có thể tìm vận tốc từ gradient của ψ, cho nên trước hết chúng ta tính ra thế. Chúng ta muốn một thế thỏa mãn phương trình (12.31) ở khắp nơi, và cũng thỏa mãn hai hạn chế: (1) không có dòng trong miền hình cầu bên trong bề mặt của quả bóng, và (2) dòng là không đổi ở các khoảng cách lớn. Để thỏa mãn (1), thành phần của v pháp tuyến với bề mặt của quả cầu phải bằng không. Điều đó có nghĩa là ∂ψ/∂r bằng không tại r = a. Để thỏa mãn (2), chúng ta phải có ∂ψ/∂z = v₀ tại mọi điểm nơi r ≫ a. Nói một cách nghiêm ngặt, không có trường hợp tĩnh điện nào tương ứng chính xác với bài toán của chúng ta. Nó thực sự tương ứng với việc đặt một quả cầu có hằng số điện môi bằng không vào một điện trường đều. Nếu chúng ta đã tính ra nghiệm cho bài toán một quả cầu có hằng số điện môi κ trong một trường đều, thì bằng cách đặt κ = 0 chúng ta sẽ lập tức có nghiệm cho bài toán này.

Chúng ta thực ra chưa tính chi tiết bài toán tĩnh điện cụ thể đó, nhưng hãy làm điều đó bây giờ. (Chúng ta có thể làm trực tiếp trên bài toán chất lưu với v và ψ, nhưng chúng ta sẽ dùng E và ϕ vì chúng ta đã quá quen với chúng.)

Bài toán là: Tìm một nghiệm của ∇²ϕ = 0 sao cho E = −∇ϕ là một hằng số, chẳng hạn E₀, đối với r lớn, và sao cho thành phần hướng tâm của E bằng không tại r = a. Tức là,

∂ϕ/∂r |_r=a = 0.   (12.32)

Bài toán của chúng ta liên quan đến một loại điều kiện biên mới, không phải loại mà ϕ là một hằng số trên một bề mặt, mà là loại mà ∂ϕ/∂r là một hằng số. Điều đó hơi khác một chút. Không dễ để có đáp án ngay lập tức. Trước hết, không có quả cầu, ϕ sẽ là −E₀z. Khi đó E sẽ ở theo hướng z và có độ lớn không đổi E₀, ở khắp nơi. Bây giờ chúng ta đã phân tích trường hợp một quả cầu điện môi có một sự phân cực đều bên trong nó, và chúng ta đã thấy rằng trường bên trong một quả cầu phân cực như vậy là một trường đều, và trường bên ngoài nó giống như trường của một lưỡng cực điểm đặt tại tâm. Vậy hãy đoán rằng nghiệm chúng ta muốn là một chồng chất của một trường đều cộng với trường của một lưỡng cực. Thế của một lưỡng cực (Chương 6) là pz/4πϵ₀r³. Vậy chúng ta giả thiết rằng

ϕ = −E₀z + pz/4πϵ₀r³.   (12.33)

Vì trường lưỡng cực giảm như 1/r³, ở các khoảng cách lớn chúng ta chỉ có trường E₀. Phép đoán của chúng ta sẽ tự động thỏa mãn điều kiện (2) ở trên. Nhưng chúng ta lấy cường độ lưỡng cực p là bao nhiêu? Để tìm ra, chúng ta có thể dùng điều kiện còn lại trên ϕ, phương trình (12.32). Chúng ta phải lấy đạo hàm ϕ theo r — nhưng dĩ nhiên chúng ta phải làm điều đó ở một góc θ không đổi, cho nên sẽ tiện hơn nếu trước hết chúng ta biểu diễn ϕ theo r và θ, thay vì theo z và r. Vì z = r cos θ, chúng ta được

ϕ = −E₀r cos θ + p cos θ/4πϵ₀r².   (12.34)

Thành phần hướng tâm của E là

−∂ϕ/∂r = +E₀ cos θ + p cos θ/2πϵ₀r³.   (12.35)

Cái này phải bằng không tại r = a đối với mọi θ. Điều này sẽ đúng nếu

p = −2πϵ₀a³E₀.   (12.36)

Hãy lưu ý cẩn thận rằng nếu cả hai số hạng trong phương trình (12.35) đã không có cùng sự phụ thuộc vào θ, thì đã không thể chọn p sao cho (12.35) trở thành bằng không tại r = a đối với mọi góc. Việc nó khớp nhau có nghĩa là chúng ta đã đoán khôn ngoan khi viết phương trình (12.33). Dĩ nhiên, khi chúng ta thực hiện phép đoán, chúng ta đã nhìn trước; chúng ta biết rằng chúng ta sẽ cần một số hạng nữa mà (a) thỏa mãn ∇²ϕ = 0 (bất kỳ trường thực nào cũng làm điều đó), (b) phụ thuộc vào cos θ, và (c) giảm về không ở r lớn. Trường lưỡng cực là trường duy nhất làm cả ba điều.

Dùng (12.36), thế của chúng ta là

ϕ = −E₀ cos θ (r + a³/2r²).   (12.37)

Nghiệm của bài toán dòng chất lưu có thể được viết đơn giản là

ψ = −v₀ cos θ (r + a³/2r²).   (12.38)

Việc tìm v từ thế này là trực tiếp. Chúng ta sẽ không theo đuổi vấn đề xa hơn.

12–6  Sự chiếu sáng; việc chiếu sáng đều một mặt phẳng

Trong mục này chúng ta chuyển sang một bài toán vật lý hoàn toàn khác — chúng ta muốn minh họa sự đa dạng lớn của các khả năng. Lần này chúng ta sẽ làm một điều dẫn đến cùng loại tích phân mà chúng ta đã tìm thấy trong tĩnh điện học. (Nếu chúng ta có một bài toán toán học cho chúng ta một tích phân nào đó, thì chúng ta biết một điều gì đó về các tính chất của tích phân đó nếu nó là cùng tích phân mà chúng ta đã phải làm cho một bài toán khác.) Chúng ta lấy ví dụ của mình từ kỹ thuật chiếu sáng. Giả sử có một nguồn sáng ở khoảng cách z phía trên một bề mặt phẳng. Độ rọi của bề mặt là gì? Tức là, năng lượng bức xạ trên một đơn vị thời gian đến một đơn vị diện tích của bề mặt là bao nhiêu? (Xem Hình 12–9.) Chúng ta giả sử rằng nguồn là đối xứng cầu, cho nên ánh sáng được bức xạ đều theo mọi hướng. Khi đó lượng năng lượng bức xạ đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với một dòng ánh sáng biến thiên nghịch đảo với bình phương khoảng cách. Rõ ràng là cường độ của ánh sáng theo hướng pháp tuyến với dòng được cho bởi cùng loại công thức như đối với điện trường từ một nguồn điểm. Nếu các tia sáng gặp bề mặt ở một góc θ so với pháp tuyến, thì I_n, năng lượng đến trên một đơn vị diện tích của bề mặt, chỉ bằng cos θ lần, vì cùng năng lượng đó đi lên một diện tích lớn hơn 1/cos θ lần. Nếu chúng ta gọi cường độ của nguồn sáng của chúng ta là S, thì I_n, độ rọi của một bề mặt, là

I_n = (S/r²) e_r·n,   (12.39)

trong đó e_r là vector đơn vị từ nguồn và n là pháp tuyến đơn vị của bề mặt. Độ rọi I_n tương ứng với thành phần pháp tuyến của điện trường từ một điện tích điểm có cường độ 4πϵ₀S. Biết điều đó, chúng ta thấy rằng đối với bất kỳ sự phân bố nào của các nguồn sáng, chúng ta có thể tìm đáp án bằng cách giải bài toán tĩnh điện tương ứng. Chúng ta tính thành phần thẳng đứng của điện trường trên mặt phẳng do một phân bố điện tích theo cùng cách như đối với phân bố của các nguồn sáng.¹

Hãy xét ví dụ sau. Chúng ta muốn, cho một tình huống thực nghiệm đặc biệt nào đó, sắp xếp sao cho mặt trên của một cái bàn sẽ có một độ rọi rất đều. Chúng ta có sẵn các đèn huỳnh quang ống dài bức xạ đều dọc theo chiều dài của chúng. Chúng ta có thể chiếu sáng cái bàn bằng cách đặt các ống huỳnh quang trong một mảng đều trên trần nhà, ở chiều cao z phía trên cái bàn. Khoảng cách b rộng nhất từ ống này đến ống kia mà chúng ta nên dùng là bao nhiêu nếu chúng ta muốn độ rọi bề mặt đều, chẳng hạn, trong vòng một phần nghìn? Đáp án: (1) Tìm điện trường từ một lưới các sợi dây với khoảng cách b, mỗi dây tích điện đều; (2) tính thành phần thẳng đứng của điện trường; (3) tìm xem b phải là bao nhiêu để các gợn của trường không quá một phần nghìn.

Trong Chương 7 chúng ta đã thấy rằng điện trường của một lưới các sợi dây tích điện có thể được biểu diễn như một tổng của các số hạng, mỗi số hạng cho một biến thiên hình sin của trường với một chu kỳ b/n, trong đó n là một số nguyên. Biên độ của bất kỳ một trong các số hạng này được cho bởi phương trình (7.44):

F_n = A_ne^−2πnz/b.

Chúng ta chỉ cần xét n = 1, chừng nào chúng ta chỉ muốn trường tại các điểm không quá gần lưới. Đối với một nghiệm đầy đủ, chúng ta vẫn cần xác định các hệ số A_n, điều mà chúng ta chưa làm (mặc dù đó là một phép tính trực tiếp). Vì chúng ta chỉ cần A₁, chúng ta có thể ước lượng độ lớn của nó gần bằng độ lớn của trường trung bình. Thừa số mũ khi đó sẽ trực tiếp cho chúng ta biên độ tương đối của các biến thiên. Nếu chúng ta muốn thừa số này là 10⁻³, chúng ta thấy rằng b phải là 0,91z. Nếu chúng ta làm khoảng cách của các ống huỳnh quang bằng 3/4 khoảng cách đến trần nhà, thừa số mũ khi đó là 1/4000, và chúng ta có một hệ số an toàn là 4, cho nên chúng ta khá chắc chắn rằng chúng ta sẽ có độ rọi không đổi đến một phần nghìn. (Một phép tính chính xác cho thấy A₁ thực sự gấp đôi trường trung bình, cho nên b ≈ 0,83z.) Hơi ngạc nhiên là đối với một độ rọi đều như vậy, khoảng cách cho phép của các ống lại lớn đến thế.

12–7  “Tính thống nhất nền tảng” của tự nhiên

Trong chương này, chúng tôi muốn chỉ ra rằng khi học tĩnh điện học, bạn đã đồng thời học cách xử lý nhiều môn trong vật lý, và rằng bằng cách ghi nhớ điều này, người ta có thể học gần như toàn bộ vật lý trong một số năm giới hạn.

Tuy nhiên, một câu hỏi chắc chắn sẽ tự gợi ra ở cuối một cuộc thảo luận như vậy: Tại sao các phương trình từ các hiện tượng khác nhau lại giống nhau đến thế? Chúng ta có thể nói: “Đó là tính thống nhất nền tảng của tự nhiên.” Nhưng điều đó có nghĩa là gì? Một phát biểu như vậy có thể có nghĩa là gì? Nó có thể có nghĩa đơn giản là các phương trình giống nhau đối với các hiện tượng khác nhau; nhưng khi đó, dĩ nhiên, chúng ta đã không đưa ra lời giải thích nào. “Tính thống nhất nền tảng” có thể có nghĩa là mọi thứ đều được làm từ cùng một chất, và do đó tuân theo cùng các phương trình. Điều đó nghe như một lời giải thích tốt, nhưng hãy suy nghĩ. Thế tĩnh điện, sự khuếch tán của neutron, dòng nhiệt — chúng ta có thực sự đang xử lý cùng một chất không? Chúng ta có thực sự có thể tưởng tượng rằng thế tĩnh điện về mặt vật lý là đồng nhất với nhiệt độ, hay với mật độ hạt? Chắc chắn ϕ không hoàn toàn giống như nhiệt năng của các hạt. Độ dịch chuyển của một màng chắc chắn không giống như một nhiệt độ. Vậy thì, tại sao lại có “một tính thống nhất nền tảng”?

Một cái nhìn gần hơn vào vật lý của các môn khác nhau cho thấy, thực ra, các phương trình không thực sự đồng nhất. Phương trình chúng ta tìm được cho sự khuếch tán neutron chỉ là một phép gần đúng tốt khi khoảng cách mà chúng ta đang nhìn lớn so với quãng đường tự do trung bình. Nếu chúng ta nhìn gần hơn, chúng ta sẽ thấy từng neutron riêng lẻ chạy loanh quanh. Chắc chắn chuyển động của một neutron riêng lẻ là một thứ hoàn toàn khác với biến thiên mịn mà chúng ta thu được từ việc giải phương trình vi phân. Phương trình vi phân là một phép gần đúng, vì chúng ta giả thiết rằng các neutron được phân bố một cách trơn tru trong không gian.

Liệu có thể rằng đây là manh mối? Rằng thứ chung cho mọi hiện tượng là không gian, là cái khung vào đó vật lý được đặt? Chừng nào mọi thứ tương đối trơn tru trong không gian, thì những thứ quan trọng sẽ liên quan sẽ là tốc độ thay đổi của các đại lượng theo vị trí trong không gian. Đó là lý do tại sao chúng ta luôn được một phương trình với một gradient. Các đạo hàm phải xuất hiện dưới dạng một gradient hoặc một divergence; vì các định luật vật lý không phụ thuộc vào hướng, chúng phải được biểu diễn được dưới dạng vector. Các phương trình của tĩnh điện học là các phương trình vector đơn giản nhất mà người ta có thể có được, chỉ liên quan đến các đạo hàm theo không gian của các đại lượng. Bất kỳ bài toán đơn giản nào khác — hay phép đơn giản hóa của một bài toán phức tạp — đều phải trông giống như tĩnh điện học. Thứ chung cho mọi bài toán của chúng ta là chúng liên quan đến không gian và rằng chúng ta đã bắt chước cái thực ra là một hiện tượng phức tạp bằng một phương trình vi phân đơn giản.

Điều đó dẫn chúng ta đến một câu hỏi thú vị khác. Liệu cùng phát biểu đó có lẽ cũng đúng cho các phương trình tĩnh điện? Chúng cũng chỉ đúng như một sự bắt chước đã được làm trơn tru của một thế giới vi mô thực sự phức tạp hơn nhiều không? Liệu có thể rằng thế giới thực gồm các X-on nhỏ xíu chỉ có thể được nhìn thấy ở các khoảng cách rất nhỏ? Và rằng trong các phép đo của chúng ta, chúng ta luôn quan sát trên một quy mô lớn đến mức chúng ta không thể thấy các X-on nhỏ này, và đó là lý do tại sao chúng ta được các phương trình vi phân?

Lý thuyết điện động lực học hoàn chỉnh nhất hiện nay của chúng ta thực sự có các khó khăn của nó ở các khoảng cách rất ngắn. Cho nên, về nguyên tắc, có thể rằng các phương trình này là các phiên bản đã được làm trơn tru của một cái gì đó. Chúng dường như đúng ở các khoảng cách xuống đến khoảng 10⁻¹⁴ cm, nhưng rồi chúng bắt đầu trông sai. Có thể có một “bộ máy” nền tảng nào đó chưa được khám phá, và các chi tiết của một độ phức tạp nền tảng bị ẩn trong các phương trình trông trơn tru — giống như trong sự khuếch tán “trơn tru” của các neutron. Nhưng chưa ai xây dựng được một lý thuyết thành công hoạt động theo cách đó.

Lạ lùng thay, hóa ra (vì những lý do chúng ta hoàn toàn không hiểu) sự kết hợp của thuyết tương đối và cơ học lượng tử như chúng ta biết dường như cấm việc phát minh ra một phương trình về cơ bản khác với phương trình (12.4), mà đồng thời không dẫn đến một kiểu mâu thuẫn nào đó. Không đơn giản là một sự không đồng ý với thực nghiệm, mà là một mâu thuẫn nội tại. Như, chẳng hạn, dự đoán rằng tổng các xác suất của mọi sự kiện có thể xảy ra không bằng một, hay rằng các năng lượng đôi khi có thể ra là các số phức, hay một sự ngớ ngẩn nào đó tương tự. Chưa ai đã tạo ra một lý thuyết điện học mà trong đó ∇²ϕ = −ρ/ϵ₀ được hiểu như một phép gần đúng đã làm trơn tru của một cơ chế ở bên dưới, và lý thuyết đó đồng thời không dẫn cuối cùng đến một kiểu vô lý nào đó. Nhưng, cũng phải nói thêm, đúng là giả thiết rằng ∇²ϕ = −ρ/ϵ₀ đúng đối với mọi khoảng cách, dù nhỏ đến đâu, tự nó cũng dẫn đến các điều vô lý (năng lượng điện của một electron là vô hạn) — các điều vô lý mà chưa ai biết cách thoát ra.