Chương 17: Các định luật của hiện tượng cảm ứng

17–1  Vật lý của hiện tượng cảm ứng

Trong chương trước chúng ta đã mô tả nhiều hiện tượng cho thấy các hiệu ứng của cảm ứng khá phức tạp và thú vị. Bây giờ chúng ta muốn thảo luận các nguyên lý cơ bản chi phối các hiệu ứng này. Chúng ta đã định nghĩa emf trong một mạch dẫn điện là tổng lực tích lũy tác dụng lên các điện tích trên suốt chiều dài của vòng dây. Chính xác hơn, nó là thành phần tiếp tuyến của lực trên một đơn vị điện tích, được tích phân dọc theo dây một vòng quanh mạch. Vì vậy đại lượng này bằng tổng công thực hiện trên một điện tích đơn lẻ di chuyển một vòng quanh mạch.

Chúng ta cũng đã đưa ra “quy tắc thông lượng”, quy tắc nói rằng emf bằng tốc độ mà từ thông qua một mạch dẫn điện như vậy đang thay đổi. Hãy xem chúng ta có thể hiểu vì sao điều đó có thể đúng hay không. Trước hết, chúng ta sẽ xét một trường hợp trong đó thông lượng thay đổi vì một mạch điện được di chuyển trong một trường không đổi.

Trong Hình 17–1 chúng ta chỉ một vòng dây đơn giản mà kích thước của nó có thể thay đổi. Vòng dây có hai phần, một phần cố định hình chữ U (a) và một thanh ngang có thể di chuyển (b) có thể trượt dọc theo hai chân của chữ U. Luôn có một mạch kín hoàn chỉnh, nhưng diện tích của nó thay đổi được. Giả sử bây giờ chúng ta đặt vòng dây trong một từ trường đều với mặt phẳng của chữ U vuông góc với trường. Theo quy tắc, khi thanh ngang được di chuyển sẽ có trong vòng dây một emf tỉ lệ với tốc độ thay đổi của thông lượng qua vòng dây. Emf này sẽ gây ra một dòng điện trong vòng dây. Chúng ta sẽ giả thiết rằng có đủ điện trở trong sợi dây để các dòng điện là nhỏ. Khi đó chúng ta có thể bỏ qua mọi từ trường từ dòng điện này.

Thông lượng qua vòng dây là wLB, nên “quy tắc thông lượng” sẽ cho emf — mà chúng ta viết là ℰ —

ℰ = wB dL/dt = wBv,

trong đó v là tốc độ tịnh tiến của thanh ngang.

Bây giờ chúng ta hẳn có thể hiểu kết quả này từ các lực từ v×B tác dụng lên các điện tích trong thanh ngang đang chuyển động. Các điện tích này sẽ cảm nhận một lực, tiếp tuyến với sợi dây, bằng vB trên một đơn vị điện tích. Nó không đổi dọc theo chiều dài w của thanh ngang và bằng không ở mọi nơi khác, nên tích phân là

ℰ = wvB,

đó là cùng kết quả chúng ta nhận được từ tốc độ thay đổi của thông lượng.

Lập luận vừa đưa ra có thể được mở rộng cho bất kỳ trường hợp nào có một từ trường cố định và các dây được di chuyển. Người ta có thể chứng minh, nói chung, rằng đối với bất kỳ mạch nào mà các phần của nó chuyển động trong một từ trường cố định, emf là đạo hàm theo thời gian của thông lượng, bất kể hình dạng của mạch.

Mặt khác, điều gì xảy ra nếu vòng dây đứng yên và từ trường được thay đổi? Chúng ta không thể suy ra đáp án cho câu hỏi này từ cùng lập luận. Đó là phát hiện của Faraday — từ thực nghiệm — rằng “quy tắc thông lượng” vẫn đúng bất kể vì sao thông lượng thay đổi. Lực tác dụng lên các điện tích được cho trong tính tổng quát trọn vẹn bởi F = q(E + v×B); không có “lực do từ trường đang thay đổi” đặc biệt mới nào. Mọi lực tác dụng lên các điện tích đứng yên trong một sợi dây cố định đều xuất phát từ số hạng E. Các quan sát của Faraday dẫn tới phát hiện rằng điện trường và từ trường liên hệ với nhau bởi một định luật mới: trong một miền mà từ trường đang thay đổi theo thời gian, các điện trường được tạo ra. Chính điện trường này thúc đẩy các electron chạy quanh sợi dây — và do đó chịu trách nhiệm cho emf trong một mạch cố định khi có một từ thông đang thay đổi.

Định luật tổng quát cho điện trường gắn với một từ trường đang thay đổi là

∇×E = −∂B/∂t.   (17.1)

Chúng ta sẽ gọi đây là định luật Faraday. Nó được Faraday phát hiện nhưng lần đầu được viết dưới dạng vi phân bởi Maxwell, như một trong các phương trình của ông. Hãy xem phương trình này cho “quy tắc thông lượng” cho các mạch như thế nào.

Dùng định lý Stokes, định luật này có thể được viết dưới dạng tích phân như sau

∮_Γ E·ds = ∫_S (∇×E)·n da = −∫_S (∂B/∂t)·n da,   (17.2)

trong đó, như thường lệ, Γ là bất kỳ đường cong kín nào và S là bất kỳ mặt nào được giới hạn bởi nó. Ở đây, hãy nhớ, Γ là một đường cong toán học cố định trong không gian, và S là một mặt cố định. Khi đó đạo hàm theo thời gian có thể được đưa ra ngoài tích phân và chúng ta có

∮_Γ E·ds = −d/dt ∫_S B·n da = −d/dt (thông lượng qua S).   (17.3)

Áp dụng hệ thức này cho một đường cong Γ đi theo một mạch dẫn điện cố định, chúng ta lại nhận được “quy tắc thông lượng”. Tích phân ở phía trái là emf, và tích phân ở phía phải là tốc độ thay đổi âm của thông lượng được liên kết bởi mạch. Vậy phương trình (17.1) áp dụng cho một mạch cố định là tương đương với “quy tắc thông lượng”.

Vì thế “quy tắc thông lượng” — rằng emf trong một mạch bằng tốc độ thay đổi của từ thông qua mạch — áp dụng được dù thông lượng thay đổi vì trường thay đổi hay vì mạch chuyển động (hoặc cả hai). Hai khả năng — “mạch chuyển động” hay “trường thay đổi” — không được phân biệt trong phát biểu của quy tắc. Thế nhưng trong cách giải thích quy tắc của chúng ta, chúng ta đã dùng hai định luật hoàn toàn khác nhau cho hai trường hợp — v×B cho “mạch chuyển động” và ∇×E = −∂B/∂t cho “trường thay đổi”.

Chúng ta không biết nơi nào khác trong vật lý mà một nguyên lý tổng quát đơn giản và chính xác như vậy lại đòi hỏi, để thực sự hiểu nó, một sự phân tích theo hai hiện tượng khác nhau. Thông thường một sự tổng quát hóa đẹp đẽ như vậy được thấy là bắt nguồn từ một nguyên lý sâu xa duy nhất ở bên dưới. Tuy nhiên, trong trường hợp này dường như không có hàm ý sâu xa như vậy. Chúng ta phải hiểu “quy tắc” như các hiệu ứng kết hợp của hai hiện tượng hoàn toàn riêng biệt.

Chúng ta phải nhìn “quy tắc thông lượng” theo cách sau đây. Nói chung, lực trên một đơn vị điện tích là F/q = E + v×B. Trong các dây đang chuyển động có lực từ số hạng thứ hai. Ngoài ra, có một trường E nếu ở đâu đó có một từ trường đang thay đổi. Chúng là các hiệu ứng độc lập, nhưng emf quanh vòng dây luôn bằng tốc độ thay đổi của từ thông qua nó.

17–2  Các ngoại lệ đối với “quy tắc thông lượng”

Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ, một phần là của Faraday, cho thấy tầm quan trọng của việc ghi nhớ rõ ràng sự phân biệt giữa hai hiệu ứng chịu trách nhiệm cho các emf cảm ứng. Các ví dụ của chúng ta liên quan đến các tình huống mà “quy tắc thông lượng” không thể áp dụng — hoặc vì hoàn toàn không có dây nào hoặc vì đường đi của các dòng điện cảm ứng di chuyển lung tung bên trong một thể tích mở rộng của một vật dẫn.

Chúng ta bắt đầu bằng cách nêu một điểm quan trọng: Phần của emf xuất phát từ trường E không phụ thuộc vào sự tồn tại của một sợi dây vật lý (như phần v×B thì có). Trường E có thể tồn tại trong không gian tự do, và tích phân đường của nó quanh bất kỳ đường tưởng tượng nào cố định trong không gian bằng tốc độ thay đổi của thông lượng của B qua đường đó. (Hãy lưu ý rằng điều này hoàn toàn không giống trường E được tạo ra bởi các điện tích tĩnh, vì trong trường hợp đó tích phân đường của E quanh một vòng kín luôn bằng không.)

Bây giờ chúng ta sẽ mô tả một tình huống trong đó thông lượng qua một mạch không thay đổi, nhưng vẫn có một emf. Hình 17–2 chỉ một đĩa dẫn điện có thể được quay trên một trục cố định khi có mặt một từ trường. Một tiếp điểm được nối với trục và một tiếp điểm khác cọ vào chu vi ngoài của đĩa. Một mạch được hoàn thành qua một điện kế. Khi đĩa quay, “mạch”, theo nghĩa là nơi trong không gian mà các dòng điện ở đó, luôn là cùng một. Nhưng phần của “mạch” trong đĩa nằm trong vật liệu đang chuyển động. Mặc dù thông lượng qua “mạch” là không đổi, vẫn có một emf, như có thể quan sát được qua độ lệch của điện kế. Rõ ràng, đây là một trường hợp trong đó lực v×B trong đĩa đang chuyển động làm phát sinh một emf không thể được cho bằng một sự thay đổi của thông lượng.

Bây giờ chúng ta xét, như một ví dụ ngược lại, một tình huống hơi khác thường trong đó thông lượng qua một “mạch” (lại theo nghĩa là nơi mà dòng điện ở đó) thay đổi nhưng lại không có emf. Hãy tưởng tượng hai tấm kim loại với các mép hơi cong, như trong Hình 17–3, được đặt trong một từ trường đều vuông góc với bề mặt của chúng. Mỗi tấm được nối với một trong các đầu của một điện kế, như hình vẽ. Các tấm tiếp xúc tại một điểm P, nên có một mạch hoàn chỉnh. Nếu các tấm bây giờ được lắc qua một góc nhỏ, điểm tiếp xúc sẽ di chuyển tới P′. Nếu chúng ta tưởng tượng “mạch” được hoàn thành qua các tấm trên đường chấm chấm được chỉ trong hình, từ thông qua mạch này thay đổi một lượng lớn khi các tấm được lắc qua lại. Thế nhưng việc lắc có thể được thực hiện với các chuyển động nhỏ, nên v×B rất nhỏ và thực tế không có emf. “Quy tắc thông lượng” không hoạt động trong trường hợp này. Nó phải được áp dụng cho các mạch trong đó vật liệu của mạch vẫn giữ nguyên. Khi vật liệu của mạch đang thay đổi, chúng ta phải quay lại các định luật cơ bản. Vật lý đúng luôn được cho bởi hai định luật cơ bản

F = q(E + v×B),

∇×E = −∂B/∂t.

17–3  Sự gia tốc hạt bởi một điện trường cảm ứng; máy betatron

Chúng ta đã nói rằng suất điện động được tạo ra bởi một từ trường đang thay đổi có thể tồn tại ngay cả khi không có vật dẫn; tức là, có thể có cảm ứng từ mà không cần dây. Chúng ta vẫn có thể tưởng tượng một suất điện động quanh một đường cong toán học tùy ý trong không gian. Nó được định nghĩa là thành phần tiếp tuyến của E được tích phân quanh đường cong. Định luật Faraday nói rằng tích phân đường này bằng trừ tốc độ thay đổi của từ thông qua đường cong kín, phương trình (17.3).

Như một ví dụ về hiệu ứng của một điện trường cảm ứng như vậy, bây giờ chúng ta muốn xét chuyển động của một electron trong một từ trường đang thay đổi. Chúng ta tưởng tượng một từ trường mà, ở mọi nơi trên một mặt phẳng, đều chỉ theo hướng thẳng đứng, như trong Hình 17–4. Từ trường được tạo ra bởi một nam châm điện, nhưng chúng ta sẽ không lo về các chi tiết. Đối với ví dụ của chúng ta, chúng ta sẽ tưởng tượng rằng từ trường đối xứng quanh một trục nào đó, tức là, cường độ của từ trường sẽ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tới trục. Từ trường cũng đang biến thiên theo thời gian. Bây giờ chúng ta tưởng tượng một electron đang chuyển động trong trường này trên một đường đi là một đường tròn có bán kính không đổi với tâm của nó tại trục của trường. (Chúng ta sẽ thấy sau làm thế nào chuyển động này có thể được bố trí.) Vì từ trường đang thay đổi, sẽ có một điện trường E tiếp tuyến với quỹ đạo của electron và sẽ thúc đẩy nó chạy quanh đường tròn. Vì tính đối xứng, điện trường này sẽ có cùng giá trị ở mọi nơi trên đường tròn. Nếu quỹ đạo của electron có bán kính r, tích phân đường của E quanh quỹ đạo bằng trừ tốc độ thay đổi của từ thông qua đường tròn. Tích phân đường của E chỉ là độ lớn của nó nhân với chu vi của đường tròn, 2πr. Từ thông, nói chung, phải được thu được từ một tích phân. Hiện tại, chúng ta để B_av đại diện cho từ trường trung bình trong phần trong của đường tròn; khi đó thông lượng là từ trường trung bình này nhân với diện tích của đường tròn. Chúng ta sẽ có

2πrE = d/dt (B_av·πr²).

Vì chúng ta đang giả thiết r không đổi, E tỉ lệ với đạo hàm theo thời gian của trường trung bình:

E = (r/2) dB_av/dt.   (17.4)

Electron sẽ cảm nhận lực điện qE và sẽ bị nó gia tốc. Nhớ rằng phương trình chuyển động đúng theo thuyết tương đối là tốc độ thay đổi của động lượng tỉ lệ với lực, chúng ta có

qE = dp/dt.   (17.5)

Đối với quỹ đạo tròn chúng ta đã giả thiết, lực điện tác dụng lên electron luôn theo hướng chuyển động của nó, nên tổng động lượng của nó sẽ tăng với tốc độ được cho bởi phương trình (17.5). Kết hợp các phương trình (17.5) và (17.4), chúng ta có thể liên hệ tốc độ thay đổi của động lượng với sự thay đổi của từ trường trung bình:

dp/dt = (qr/2) dB_av/dt.   (17.6)

Tích phân theo t, chúng ta tìm được cho động lượng của electron

p = p₀ + (qr/2) ΔB_av,   (17.7)

trong đó p₀ là động lượng mà các electron bắt đầu với nó, và ΔB_av là sự thay đổi tiếp theo trong B_av. Hoạt động của một máy betatron — một cỗ máy để gia tốc các electron tới các năng lượng cao — dựa trên ý tưởng này.

Để thấy máy betatron hoạt động chi tiết như thế nào, bây giờ chúng ta phải xét làm thế nào electron có thể bị ràng buộc để chuyển động trên một đường tròn. Chúng ta đã thảo luận trong Chương 11 của Tập I nguyên lý liên quan. Nếu chúng ta bố trí sao cho có một từ trường B tại quỹ đạo của electron, sẽ có một lực ngang qv×B mà, với một B được chọn thích hợp, có thể làm cho electron tiếp tục chuyển động trên quỹ đạo đã giả thiết của nó. Trong máy betatron, lực ngang này làm cho electron chuyển động trong một quỹ đạo tròn có bán kính không đổi. Chúng ta có thể tìm ra từ trường tại quỹ đạo phải là gì bằng cách lại dùng phương trình chuyển động tương đối tính, nhưng lần này, cho thành phần ngang của lực. Trong máy betatron (xem Hình 17–4), B vuông góc với v, nên lực ngang là qvB. Vì vậy lực bằng tốc độ thay đổi của thành phần ngang p_t của động lượng:

qvB = dp_t/dt.   (17.8)

Khi một hạt đang chuyển động trong một đường tròn, tốc độ thay đổi của động lượng ngang của nó bằng độ lớn của tổng động lượng nhân với ω, tốc độ góc của chuyển động quay (theo các lập luận của Chương 11, Tập I):

dp_t/dt = ωp,   (17.9)

trong đó, vì chuyển động là tròn,

ω = v/r.   (17.10)

Đặt lực từ bằng gia tốc ngang, chúng ta có

qvB_orbit = p v/r,   (17.11)

trong đó B_orbit là trường tại bán kính r.

Khi máy betatron hoạt động, động lượng của electron tăng tỉ lệ với B_av, theo phương trình (17.7), và nếu electron tiếp tục chuyển động trong đường tròn đúng của nó, phương trình (17.11) phải tiếp tục đúng khi động lượng của electron tăng. Giá trị của B_orbit phải tăng tỉ lệ với động lượng p. So sánh phương trình (17.11) với phương trình (17.7), phương trình xác định p, chúng ta thấy rằng hệ thức sau đây phải đúng giữa B_av, từ trường trung bình bên trong quỹ đạo tại bán kính r, và từ trường B_orbit tại quỹ đạo:

ΔB_av = 2 ΔB_orbit.   (17.12)

Hoạt động đúng của một máy betatron đòi hỏi rằng từ trường trung bình bên trong quỹ đạo tăng gấp đôi tốc độ của từ trường tại chính quỹ đạo. Trong các hoàn cảnh này, khi năng lượng của hạt được tăng lên bởi điện trường cảm ứng, từ trường tại quỹ đạo tăng đúng với tốc độ cần thiết để giữ hạt chuyển động trong một đường tròn.

Máy betatron được dùng để gia tốc các electron tới các năng lượng hàng chục triệu vôn, hay thậm chí hàng trăm triệu vôn. Tuy nhiên, nó trở nên không thực tế cho việc gia tốc các electron tới các năng lượng cao hơn nhiều so với vài trăm triệu vôn vì một số lý do. Một trong số đó là khó khăn thực tiễn trong việc đạt giá trị trung bình cao cần thiết cho từ trường bên trong quỹ đạo. Một lý do khác là phương trình (17.6) không còn đúng ở các năng lượng rất cao vì nó không bao gồm sự mất năng lượng từ hạt do bức xạ năng lượng điện từ của nó (cái gọi là bức xạ synchrotron được thảo luận trong Chương 34, Tập I). Vì những lý do này, việc gia tốc các electron tới các năng lượng cao nhất — tới nhiều tỷ electron vôn — được thực hiện bằng một loại máy khác, gọi là máy synchrotron.

17–4  Một nghịch lý

Bây giờ chúng ta muốn mô tả cho bạn một nghịch lý biểu kiến. Một nghịch lý là một tình huống cho một đáp án khi được phân tích theo một cách, và một đáp án khác khi được phân tích theo một cách khác, nên chúng ta bị bỏ lại trong một tình thế hơi lúng túng về việc thực ra điều gì sẽ xảy ra. Dĩ nhiên, trong vật lý không bao giờ có nghịch lý thực sự bởi vì chỉ có một đáp án đúng; ít nhất chúng ta tin rằng tự nhiên sẽ chỉ hành động theo một cách (và đó là cách đúng, dĩ nhiên). Vì vậy trong vật lý một nghịch lý chỉ là một sự rối rắm trong hiểu biết của chính chúng ta. Đây là nghịch lý của chúng ta.

Hãy tưởng tượng chúng ta chế tạo một thiết bị như thiết bị trong Hình 17–5. Có một đĩa nhựa mỏng, hình tròn được đỡ trên một trục đồng tâm với các ổ đỡ tuyệt vời, nên nó hoàn toàn tự do quay. Trên đĩa là một cuộn dây dưới dạng một solenoid ngắn đồng tâm với trục quay. Solenoid này mang một dòng điện ổn định I được cung cấp bởi một pin nhỏ, cũng được lắp trên đĩa. Gần mép của đĩa và được bố trí cách đều nhau quanh chu vi của nó là một số quả cầu kim loại nhỏ cách điện với nhau và với solenoid bởi vật liệu nhựa của đĩa. Mỗi quả cầu dẫn điện nhỏ này được tích cùng một điện tích tĩnh điện Q. Mọi thứ hoàn toàn đứng yên, và đĩa đang ở trạng thái nghỉ. Bây giờ giả sử rằng do một tai nạn nào đó — hoặc do sắp đặt trước — dòng điện trong solenoid bị ngắt, tuy nhiên không có bất kỳ sự can thiệp nào từ bên ngoài. Chừng nào dòng điện còn tiếp tục, có một từ thông qua solenoid ít nhiều song song với trục của đĩa. Khi dòng điện bị ngắt, thông lượng này phải về không. Vì vậy, sẽ có một điện trường được cảm ứng mà nó sẽ lưu chuyển vòng quanh theo các đường tròn có tâm tại trục. Các quả cầu tích điện trên chu vi của đĩa đều sẽ chịu một điện trường tiếp tuyến với chu vi của đĩa. Lực điện này cùng chiều đối với mọi điện tích và do đó sẽ tạo ra một mômen ròng tác dụng lên đĩa. Từ các lập luận này chúng ta sẽ kỳ vọng rằng khi dòng điện trong solenoid biến mất, đĩa sẽ bắt đầu quay. Nếu chúng ta biết mômen quán tính của đĩa, dòng điện trong solenoid, và các điện tích trên các quả cầu nhỏ, chúng ta có thể tính tốc độ góc kết quả.

Nhưng chúng ta cũng có thể đưa ra một lập luận khác. Dùng nguyên lý bảo toàn động lượng góc, chúng ta có thể nói rằng động lượng góc của đĩa với mọi thiết bị của nó ban đầu bằng không, và vì vậy động lượng góc của toàn bộ hệ phải vẫn bằng không. Không nên có sự quay nào khi dòng điện bị ngắt. Lập luận nào đúng? Đĩa sẽ quay hay sẽ không quay? Chúng ta sẽ để câu hỏi này cho bạn suy nghĩ.

Chúng ta nên cảnh báo bạn rằng đáp án đúng không phụ thuộc vào bất kỳ đặc điểm không cốt yếu nào, chẳng hạn vị trí không đối xứng của một pin, ví dụ vậy. Thực ra, bạn có thể tưởng tượng một tình huống lý tưởng như sau: Solenoid được làm bằng dây siêu dẫn mà qua đó có một dòng điện. Sau khi đĩa đã được đặt cẩn thận ở trạng thái nghỉ, nhiệt độ của solenoid được để tăng chậm. Khi nhiệt độ của dây đạt nhiệt độ chuyển tiếp giữa siêu dẫn và dẫn điện thường, dòng điện trong solenoid sẽ bị đưa về không bởi điện trở của dây. Thông lượng sẽ, như trước, giảm về không, và sẽ có một điện trường quanh trục. Chúng ta cũng nên cảnh báo bạn rằng lời giải không dễ, và nó cũng không phải là một mẹo. Khi bạn tìm ra nó, bạn sẽ đã khám phá ra một nguyên lý quan trọng của điện từ học.

17–5  Máy phát điện xoay chiều

Trong phần còn lại của chương này chúng ta áp dụng các nguyên lý của Mục 17–1 để phân tích một số hiện tượng đã thảo luận trong Chương 16. Trước hết chúng ta xét chi tiết hơn máy phát điện xoay chiều. Một máy phát điện như vậy về cơ bản gồm một cuộn dây quay trong một từ trường đều. Cùng kết quả cũng có thể đạt được bằng một cuộn dây cố định trong một từ trường mà hướng của nó quay theo cách được mô tả trong chương trước. Chúng ta sẽ chỉ xét trường hợp thứ nhất. Giả sử chúng ta có một cuộn dây hình tròn có thể được quay trên một trục dọc theo một trong các đường kính của nó. Để cuộn dây này được đặt trong một từ trường đều vuông góc với trục quay, như trong Hình 17–6. Chúng ta cũng tưởng tượng rằng hai đầu của cuộn dây được đưa tới các mối nối bên ngoài qua một loại tiếp điểm trượt nào đó.

Do sự quay của cuộn dây, từ thông qua nó sẽ thay đổi. Vì vậy mạch của cuộn dây sẽ có một emf trong nó. Để S là diện tích của cuộn dây và θ là góc giữa từ trường và pháp tuyến của mặt phẳng cuộn dây.¹ Thông lượng qua cuộn dây khi đó là

BS cos θ.   (17.13)

Nếu cuộn dây đang quay với tốc độ góc đều ω, θ biến thiên theo thời gian như θ = ωt.

Mỗi vòng của cuộn dây sẽ có một emf bằng tốc độ thay đổi của thông lượng này. Nếu cuộn dây có N vòng dây, emf tổng sẽ lớn hơn N lần, nên

ℰ = −N d/dt (BS cos ωt) = NBSω sin ωt.   (17.14)

Nếu chúng ta đưa các dây từ máy phát điện tới một điểm cách xa cuộn dây quay một khoảng, nơi từ trường bằng không, hoặc ít nhất không biến thiên theo thời gian, curl của E trong miền này sẽ bằng không và chúng ta có thể định nghĩa một điện thế. Thực ra, nếu không có dòng điện nào được rút ra từ máy phát điện, hiệu điện thế V giữa hai sợi dây sẽ bằng emf trong cuộn dây quay. Tức là,

V = NBSω sin ωt = V₀ sin ωt.

Hiệu điện thế giữa các dây biến thiên như sin ωt. Một hiệu điện thế biến thiên như vậy được gọi là một điện áp xoay chiều.

Vì có một điện trường giữa các sợi dây, chúng phải được tích điện. Rõ ràng là emf của máy phát điện đã đẩy một ít điện tích thừa ra tới sợi dây cho đến khi điện trường từ chúng đủ mạnh để cân bằng chính xác lực cảm ứng. Nhìn từ bên ngoài máy phát điện, hai sợi dây trông như thể chúng đã được tích điện tĩnh điện tới hiệu điện thế V, và như thể điện tích đang được thay đổi theo thời gian để cho một hiệu điện thế xoay chiều. Ngoài ra còn có một khác biệt nữa so với một tình huống tĩnh điện. Nếu chúng ta nối máy phát điện với một mạch bên ngoài cho phép một dòng điện đi qua, chúng ta thấy rằng emf không cho phép các sợi dây bị phóng điện mà tiếp tục cung cấp điện tích cho các sợi dây khi dòng điện được rút ra từ chúng, cố giữ các sợi dây luôn ở cùng hiệu điện thế. Nếu, thực ra, máy phát điện được nối trong một mạch mà tổng điện trở của nó là R, dòng điện qua mạch sẽ tỉ lệ với emf của máy phát điện và tỉ lệ nghịch với R. Vì emf có biến thiên theo thời gian dạng sin, dòng điện cũng vậy. Có một dòng điện xoay chiều

I = ℰ/R = (V₀/R) sin ωt.

Sơ đồ của một mạch như vậy được chỉ trong Hình 17–7.

Chúng ta cũng có thể thấy rằng emf xác định bao nhiêu năng lượng được máy phát điện cung cấp. Mỗi điện tích trong sợi dây đang nhận năng lượng với tốc độ F·v, trong đó F là lực tác dụng lên điện tích và v là vận tốc của nó. Bây giờ để số điện tích đang chuyển động trên một đơn vị chiều dài của sợi dây là n; khi đó công suất đang được truyền vào bất kỳ phần tử ds nào của sợi dây là

F·v n ds.

Đối với một sợi dây, v luôn dọc theo ds, nên chúng ta có thể viết lại công suất là

nv F·ds.

Tổng công suất đang được truyền tới toàn bộ mạch là tích phân của biểu thức này quanh toàn bộ vòng:

Công suất = ∮ nv F·ds.   (17.15)

Bây giờ hãy nhớ rằng qnv là dòng điện I, và rằng emf được định nghĩa là tích phân của F/q quanh mạch. Chúng ta nhận được kết quả

Công suất từ một máy phát điện = ℰI.   (17.16)

Khi có một dòng điện trong cuộn dây của máy phát điện, cũng sẽ có các lực cơ học tác dụng lên nó. Thực ra, chúng ta biết rằng mômen tác dụng lên cuộn dây tỉ lệ với mômen từ của nó, với cường độ từ trường B, và với sin của góc hợp bởi. Mômen từ là dòng điện trong cuộn dây nhân với diện tích của nó. Vì vậy mômen là

τ = NISB sin θ.   (17.17)

Tốc độ mà công cơ học phải được thực hiện để giữ cuộn dây quay là tốc độ góc ω nhân với mômen:

dW/dt = ωτ = ωNISB sin θ.   (17.18)

So sánh phương trình này với phương trình (17.14), chúng ta thấy rằng tốc độ công cơ học cần thiết để quay cuộn dây chống lại các lực từ đúng bằng ℰI, tốc độ mà năng lượng điện được emf của máy phát điện truyền đi. Toàn bộ năng lượng cơ học tiêu hao trong máy phát điện xuất hiện dưới dạng năng lượng điện trong mạch.

Như một ví dụ khác về các dòng điện và lực do một emf cảm ứng, hãy phân tích điều gì xảy ra trong bố trí được mô tả trong Mục 17–1, và được chỉ trong Hình 17–1. Có hai sợi dây song song và một thanh ngang trượt được đặt trong một từ trường đều vuông góc với mặt phẳng của các sợi dây song song. Bây giờ hãy giả thiết rằng “đáy” của chữ U (cạnh trái trong hình) được làm bằng các dây có điện trở cao, trong khi hai sợi dây bên được làm bằng một vật dẫn tốt như đồng — khi đó chúng ta không cần lo về sự thay đổi của điện trở mạch khi thanh ngang được di chuyển. Như trước, emf trong mạch là

ℰ = vBw.   (17.19)

Dòng điện trong mạch tỉ lệ với emf này và tỉ lệ nghịch với điện trở của mạch:

I = ℰ/R = vBw/R.   (17.20)

Vì dòng điện này sẽ có một lực từ tác dụng lên thanh ngang tỉ lệ với chiều dài của nó, với dòng điện trong nó, và với từ trường, sao cho

F = BIw.   (17.21)

Lấy I từ phương trình (17.20), chúng ta có cho lực

F = (B²w²/R) v.   (17.22)

Chúng ta thấy rằng lực tỉ lệ với vận tốc của thanh ngang. Chiều của lực, như bạn có thể dễ dàng thấy, ngược với vận tốc của nó. Một lực “tỉ lệ với vận tốc” như vậy, giống như lực nhớt, được tìm thấy bất cứ khi nào các dòng điện cảm ứng được tạo ra bởi các vật dẫn đang chuyển động trong một từ trường. Các ví dụ về dòng điện xoáy chúng ta đã đưa ra trong chương trước cũng tạo ra các lực tác dụng lên các vật dẫn tỉ lệ với vận tốc của vật dẫn, cho dù các tình huống như vậy, nói chung, cho một sự phân bố phức tạp của các dòng điện mà khó phân tích.

Thường thuận tiện trong thiết kế các hệ cơ học khi có các lực hãm tỉ lệ với vận tốc. Các lực dòng điện xoáy cung cấp một trong những cách thuận tiện nhất để nhận được một lực phụ thuộc vận tốc như vậy. Một ví dụ về ứng dụng của một lực như vậy được tìm thấy trong đồng hồ đo điện (wattmeter) gia đình thông thường. Trong wattmeter có một đĩa nhôm mỏng quay giữa các cực của một nam châm vĩnh cửu. Đĩa này được vận hành bởi một động cơ điện nhỏ mà mômen của nó tỉ lệ với công suất đang được tiêu thụ trong mạch điện của ngôi nhà. Vì các lực dòng điện xoáy trong đĩa, có một lực cản tỉ lệ với vận tốc. Ở trạng thái cân bằng, vận tốc vì vậy tỉ lệ với tốc độ tiêu thụ năng lượng điện. Bằng một bộ đếm gắn với đĩa quay, một bản ghi được giữ về số vòng quay nó thực hiện. Số đếm này là một chỉ báo của tổng tiêu thụ năng lượng, tức là số watthour (giờ-oát) đã dùng.

Chúng ta cũng có thể chỉ ra rằng phương trình (17.22) cho thấy lực từ các dòng điện cảm ứng — tức là, bất kỳ lực dòng điện xoáy nào — tỉ lệ nghịch với điện trở. Lực sẽ lớn hơn, khi độ dẫn điện của vật liệu càng tốt. Lý do, dĩ nhiên, là một emf tạo ra nhiều dòng điện hơn nếu điện trở thấp, và các dòng điện mạnh hơn đại diện cho các lực cơ học lớn hơn.

Chúng ta cũng có thể thấy từ các công thức của mình cách năng lượng cơ học được chuyển thành năng lượng điện. Như trước, năng lượng điện cung cấp cho điện trở của mạch là tích ℰI. Tốc độ công được thực hiện khi di chuyển thanh ngang dẫn điện là lực tác dụng lên thanh nhân với vận tốc của nó. Dùng phương trình (17.22) cho lực, tốc độ thực hiện công là

dW/dt = v²B²w²/R.

Chúng ta thấy rằng điều này quả thực bằng tích ℰI chúng ta sẽ nhận được từ các phương trình (17.19) và (17.20). Lại một lần nữa công cơ học xuất hiện dưới dạng năng lượng điện.

17–6  Hỗ cảm

Bây giờ chúng ta muốn xét một tình huống trong đó có các cuộn dây cố định nhưng các từ trường đang thay đổi. Khi chúng ta mô tả việc tạo ra các từ trường bởi các dòng điện, chúng ta chỉ xét trường hợp các dòng điện không đổi. Nhưng chừng nào các dòng điện được thay đổi đủ chậm, từ trường tại mỗi tức thời sẽ gần như giống với từ trường của một dòng điện không đổi. Chúng ta sẽ giả thiết trong thảo luận của mục này rằng các dòng điện luôn biến thiên đủ chậm để điều này đúng.

Trong Hình 17–8 là một bố trí hai cuộn dây chứng minh các hiệu ứng cơ bản chịu trách nhiệm cho hoạt động của một máy biến áp. Cuộn 1 gồm một sợi dây dẫn điện được quấn dưới dạng một solenoid dài. Quanh cuộn dây này — và cách điện với nó — được quấn cuộn 2, gồm vài vòng dây. Nếu bây giờ một dòng điện được cho chạy qua cuộn 1, chúng ta biết rằng một từ trường sẽ xuất hiện bên trong nó. Từ trường này cũng đi qua cuộn 2. Khi dòng điện trong cuộn 1 được thay đổi, từ thông cũng sẽ thay đổi, và sẽ có một emf cảm ứng trong cuộn 2. Bây giờ chúng ta sẽ tính emf cảm ứng này.

Chúng ta đã thấy trong Mục 13–5 rằng từ trường bên trong một solenoid dài là đều và có độ lớn

B = (1/ε₀c²) N₁I₁/l,   (17.23)

trong đó N₁ là số vòng trong cuộn 1, I₁ là dòng điện qua nó, và l là chiều dài của nó. Để diện tích tiết diện của cuộn 1 là S; khi đó thông lượng của B là độ lớn của nó nhân với S. Nếu cuộn 2 có N₂ vòng, thông lượng này liên kết cuộn dây N₂ lần. Vì vậy emf trong cuộn 2 được cho bởi

ℰ₂ = −N₂S dB/dt.   (17.24)

Đại lượng duy nhất trong phương trình (17.23) biến thiên theo thời gian là I₁. Vì vậy emf được cho bởi

ℰ₂ = −[N₁N₂S/(ε₀c²l)] dI₁/dt.   (17.25)

Chúng ta thấy rằng emf trong cuộn 2 tỉ lệ với tốc độ thay đổi của dòng điện trong cuộn 1. Hằng số tỉ lệ, về cơ bản là một hệ số hình học của hai cuộn dây, được gọi là hỗ cảm (mutual inductance), và thường được ký hiệu là ℳ₂₁. Phương trình (17.25) khi đó được viết

ℰ₂ = ℳ₂₁ dI₁/dt.   (17.26)

Giả sử bây giờ chúng ta cho một dòng điện chạy qua cuộn 2 và hỏi về emf trong cuộn 1. Chúng ta sẽ tính từ trường, trường này ở mọi nơi tỉ lệ với dòng điện I₂. Liên kết thông lượng qua cuộn 1 sẽ phụ thuộc vào hình học, nhưng sẽ tỉ lệ với dòng điện I₂. Vì vậy emf trong cuộn 1 sẽ lại tỉ lệ với dI₂/dt: Chúng ta có thể viết

ℰ₁ = ℳ₁₂ dI₂/dt.   (17.27)

Việc tính ℳ₁₂ sẽ khó hơn việc tính chúng ta vừa làm cho ℳ₂₁. Chúng ta sẽ không thực hiện việc tính đó bây giờ, bởi vì chúng ta sẽ chỉ ra sau trong chương này rằng ℳ₁₂ nhất thiết bằng ℳ₂₁.

Vì đối với bất kỳ cuộn dây nào trường của nó cũng tỉ lệ với dòng điện của nó, cùng loại kết quả sẽ thu được đối với bất kỳ hai cuộn dây nào. Các phương trình (17.26) và (17.27) sẽ có cùng dạng; chỉ các hằng số ℳ₂₁ và ℳ₁₂ sẽ khác nhau. Các giá trị của chúng sẽ phụ thuộc vào hình dạng của các cuộn dây và vị trí tương đối của chúng.

Giả sử chúng ta muốn tìm hỗ cảm giữa bất kỳ hai cuộn dây tùy ý nào — ví dụ, các cuộn trong Hình 17–9. Chúng ta biết rằng biểu thức tổng quát cho emf trong cuộn 1 có thể được viết là

ℰ₁ = −d/dt ∫₍₁₎ B·n da,

trong đó B là từ trường và tích phân được lấy trên một mặt được giới hạn bởi mạch 1. Chúng ta đã thấy trong Mục 14–1 rằng một tích phân mặt như vậy của B có thể được liên hệ với một tích phân đường của thế vectơ. Cụ thể,

∫₍₁₎ B·n da = ∮₍₁₎ A·ds₁,

trong đó A đại diện cho thế vectơ và ds₁ là một phần tử của mạch 1. Tích phân đường được lấy quanh mạch 1. Vì vậy emf trong cuộn 1 có thể được viết là

ℰ₁ = −d/dt ∮₍₁₎ A·ds₁.   (17.28)

Bây giờ hãy giả thiết rằng thế vectơ tại mạch 1 xuất phát từ các dòng điện trong mạch 2. Khi đó nó có thể được viết dưới dạng một tích phân đường quanh mạch 2:

A = (1/4πε₀c²) ∮₍₂₎ I₂ ds₂/r₁₂,   (17.29)

trong đó I₂ là dòng điện trong mạch 2, và r₁₂ là khoảng cách từ phần tử của mạch ds₂ tới điểm trên mạch 1 tại đó chúng ta đang xét thế vectơ. (Xem Hình 17–9.) Kết hợp các phương trình (17.28) và (17.29), chúng ta có thể biểu diễn emf trong mạch 1 dưới dạng một tích phân đường kép:

ℰ₁ = −[1/(4πε₀c²)] d/dt ∮₍₁₎∮₍₂₎ [I₂ ds₂/r₁₂]·ds₁.

Trong phương trình này mọi tích phân đều được lấy theo các mạch cố định. Đại lượng biến thiên duy nhất là dòng điện I₂, dòng điện này không phụ thuộc vào các biến lấy tích phân. Vì vậy chúng ta có thể đưa nó ra ngoài các tích phân. Emf khi đó có thể được viết là

ℰ₁ = ℳ₁₂ dI₂/dt,

trong đó hệ số ℳ₁₂ là

ℳ₁₂ = −[1/(4πε₀c²)] ∮₍₁₎∮₍₂₎ (ds₂·ds₁)/r₁₂.   (17.30)

Chúng ta thấy từ tích phân này rằng ℳ₁₂ chỉ phụ thuộc vào hình học của mạch. Nó phụ thuộc vào một loại khoảng cách trung bình của hai mạch, với trung bình được trọng số nhiều nhất cho các đoạn song song của hai cuộn dây. Phương trình của chúng ta có thể được dùng để tính hỗ cảm của bất kỳ hai mạch nào có hình dạng tùy ý. Ngoài ra, nó cho thấy rằng tích phân cho ℳ₁₂ giống hệt tích phân cho ℳ₂₁. Vì vậy chúng ta đã chỉ ra rằng hai hệ số là giống hệt nhau. Đối với một hệ chỉ có hai cuộn dây, các hệ số ℳ₁₂ và ℳ₂₁ thường được biểu diễn bằng ký hiệu ℳ không có chỉ số dưới, gọi đơn giản là hỗ cảm:

ℳ₁₂ = ℳ₂₁ = ℳ.

17–7  Tự cảm

Khi thảo luận các suất điện động cảm ứng trong hai cuộn dây của Hình 17–8 hoặc 17–9, chúng ta chỉ xét trường hợp có một dòng điện trong cuộn này hoặc cuộn kia. Nếu có các dòng điện trong hai cuộn dây đồng thời, từ thông liên kết mỗi cuộn dây sẽ là tổng của hai thông lượng tồn tại riêng biệt, bởi vì định luật chồng chất áp dụng cho các từ trường. Vì vậy emf trong mỗi cuộn dây sẽ tỉ lệ không chỉ với sự thay đổi của dòng điện trong cuộn kia, mà còn với sự thay đổi của dòng điện trong chính cuộn dây đó. Như vậy emf tổng trong cuộn 2 phải được viết²

ℰ₂ = ℳ₂₁ dI₁/dt + ℳ₂₂ dI₂/dt.   (17.31)

Tương tự, emf trong cuộn 1 sẽ phụ thuộc không chỉ vào dòng điện đang thay đổi trong cuộn 2, mà còn vào dòng điện đang thay đổi trong chính nó:

ℰ₁ = ℳ₁₂ dI₂/dt + ℳ₁₁ dI₁/dt.   (17.32)

Các hệ số ℳ₂₂ và ℳ₁₁ luôn là các số âm. Người ta thường viết

ℳ₁₁ = −ℒ₁,   ℳ₂₂ = −ℒ₂,   (17.33)

trong đó ℒ₁ và ℒ₂ được gọi là các độ tự cảm của hai cuộn dây.

Emf tự cảm ứng, dĩ nhiên, sẽ tồn tại ngay cả khi chúng ta chỉ có một cuộn dây. Bất kỳ cuộn dây nào tự nó cũng sẽ có một độ tự cảm ℒ. Emf sẽ tỉ lệ với tốc độ thay đổi của dòng điện trong nó. Đối với một cuộn dây đơn, người ta thường chấp nhận quy ước rằng emf và dòng điện được coi là dương nếu chúng cùng chiều. Với quy ước này, chúng ta có thể viết cho emf của một cuộn dây đơn

ℰ = −ℒ dI/dt.   (17.34)

Dấu trừ chỉ ra rằng emf chống lại sự thay đổi của dòng điện — nó thường được gọi là một “emf ngược” (back emf).

Vì bất kỳ cuộn dây nào cũng có một độ tự cảm chống lại sự thay đổi của dòng điện, dòng điện trong cuộn dây có một loại quán tính. Thực ra, nếu chúng ta muốn thay đổi dòng điện trong một cuộn dây chúng ta phải vượt qua quán tính này bằng cách nối cuộn dây với một nguồn điện áp bên ngoài nào đó như một pin hoặc một máy phát điện, như trong sơ đồ của Hình 17–10 (a). Trong một mạch như vậy, dòng điện I phụ thuộc vào điện áp 𝒱 theo hệ thức

𝒱 = ℒ dI/dt.   (17.35)

Phương trình này có cùng dạng như định luật chuyển động của Newton cho một hạt trong một chiều. Vì vậy chúng ta có thể nghiên cứu nó bằng nguyên lý rằng “cùng các phương trình thì có cùng các nghiệm”. Như vậy, nếu chúng ta cho điện áp áp vào bên ngoài 𝒱 tương ứng với một lực tác dụng bên ngoài F, và dòng điện I trong một cuộn dây tương ứng với vận tốc v của một hạt, độ tự cảm ℒ của cuộn dây tương ứng với khối lượng m của hạt.³ Xem Hình 17–10 (b). Chúng ta có thể lập bảng sau đây về các đại lượng tương ứng.

17–8  Điện cảm và năng lượng từ

Tiếp tục với phép tương tự của mục trước, chúng ta sẽ kỳ vọng rằng tương ứng với động lượng cơ học p = mv, mà tốc độ thay đổi của nó là lực tác dụng, sẽ có một đại lượng tương tự bằng ℒI, mà tốc độ thay đổi của nó là 𝒱. Dĩ nhiên, chúng ta không có quyền nói rằng ℒI là động lượng thực của mạch; thực ra, nó không phải. Toàn bộ mạch có thể đứng yên và không có động lượng nào. Chỉ là ℒI tương tự như động lượng mv theo nghĩa thỏa mãn các phương trình tương ứng. Theo cùng cách, với động năng ½mv², tương ứng một đại lượng tương tự ½ℒI². Nhưng ở đó chúng ta có một bất ngờ. ½ℒI² này thực sự cũng là năng lượng trong trường hợp điện. Điều này là vì tốc độ thực hiện công trên điện cảm là 𝒱I, và trong hệ cơ học nó là Fv, đại lượng tương ứng. Vì vậy, trong trường hợp năng lượng, các đại lượng không chỉ tương ứng về mặt toán học, mà còn có cùng ý nghĩa vật lý nữa.

Chúng ta có thể thấy điều này chi tiết hơn như sau. Như chúng ta đã tìm được trong phương trình (17.16), tốc độ công điện bởi các lực cảm ứng là tích của suất điện động và dòng điện:

dW/dt = ℰI.

Thay ℰ bằng biểu thức của nó theo dòng điện từ phương trình (17.34), chúng ta có

dW/dt = −ℒI dI/dt.   (17.36)

Tích phân phương trình này, chúng ta tìm được rằng năng lượng cần thiết từ một nguồn bên ngoài để vượt qua emf trong độ tự cảm trong khi tạo dựng dòng điện⁴ (năng lượng này phải bằng năng lượng được dự trữ, U) là

−W = U = ½ℒI².   (17.37)

Vì vậy năng lượng được dự trữ trong một điện cảm là ½ℒI².

Áp dụng các lập luận tương tự cho một cặp cuộn dây như các cuộn trong Hình 17–8 hoặc 17–9, chúng ta có thể chỉ ra rằng tổng năng lượng điện của hệ được cho bởi

U = ½ℒ₁I₁² + ½ℒ₂I₂² + ℳI₁I₂.   (17.38)

Bởi vì, bắt đầu với I = 0 trong cả hai cuộn dây, chúng ta có thể trước hết bật dòng điện I₁ trong cuộn 1, với I₂ = 0. Công thực hiện chỉ là ½ℒ₁I₁². Nhưng bây giờ, khi tăng I₂, chúng ta không chỉ thực hiện công ½ℒ₂I₂² chống lại emf trong mạch 2, mà còn một lượng thêm ℳI₁I₂, lượng này là tích phân của emf [ℳ(dI₂/dt)] trong mạch 1 nhân với dòng điện bây giờ không đổi I₁ trong mạch đó.

Giả sử bây giờ chúng ta muốn tìm lực giữa bất kỳ hai cuộn dây nào mang các dòng điện I₁ và I₂. Thoạt đầu chúng ta có thể kỳ vọng rằng có thể dùng nguyên lý công ảo, bằng cách lấy sự thay đổi trong năng lượng của phương trình (17.38). Dĩ nhiên, chúng ta phải nhớ rằng khi chúng ta thay đổi vị trí tương đối của các cuộn dây, đại lượng duy nhất biến thiên là hỗ cảm ℳ. Khi đó chúng ta có thể viết phương trình công ảo là

−F Δx = ΔU = I₁I₂ Δℳ   (sai).

Nhưng phương trình này sai bởi vì, như chúng ta đã thấy trước đây, nó chỉ bao gồm sự thay đổi trong năng lượng của hai cuộn dây chứ không phải sự thay đổi trong năng lượng của các nguồn đang duy trì các dòng điện I₁ và I₂ ở các giá trị không đổi của chúng. Bây giờ chúng ta có thể hiểu rằng các nguồn này phải cung cấp năng lượng chống lại các emf cảm ứng trong các cuộn dây khi chúng được di chuyển. Nếu chúng ta muốn áp dụng nguyên lý công ảo một cách đúng đắn, chúng ta cũng phải bao gồm các năng lượng này. Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy, chúng ta có thể đi đường tắt và dùng nguyên lý công ảo bằng cách nhớ rằng tổng năng lượng là âm của cái chúng ta đã gọi là U_mech, “năng lượng cơ học”. Vì vậy chúng ta có thể viết cho lực

−F Δx = ΔU_mech = −ΔU.   (17.39)

Lực giữa hai cuộn dây khi đó được cho bởi

F Δx = I₁I₂ Δℳ.

Phương trình (17.38) cho năng lượng của một hệ hai cuộn dây có thể được dùng để chỉ ra rằng một bất đẳng thức thú vị tồn tại giữa hỗ cảm ℳ và các độ tự cảm ℒ₁ và ℒ₂ của hai cuộn dây. Rõ ràng là năng lượng của hai cuộn dây phải dương. Nếu chúng ta bắt đầu với các dòng điện bằng không trong các cuộn dây và tăng các dòng điện này tới một số giá trị, chúng ta đã đang cộng năng lượng vào hệ. Nếu không, các dòng điện sẽ tự phát tăng lên đồng thời giải phóng năng lượng ra phần còn lại của thế giới — một điều không có khả năng xảy ra! Bây giờ phương trình năng lượng của chúng ta, phương trình (17.38), cũng có thể được viết dưới dạng sau đây:

U = ½ℒ₁(I₁ + (ℳ/ℒ₁)I₂)² + ½(ℒ₂ − ℳ²/ℒ₁)I₂².   (17.40)

Đó chỉ là một phép biến đổi đại số. Đại lượng này phải luôn dương đối với mọi giá trị của I₁ và I₂. Đặc biệt, nó phải dương nếu I₂ tình cờ có giá trị đặc biệt

I₂ = −(ℒ₁/ℳ) I₁.   (17.41)

Nhưng với dòng điện này cho I₂, số hạng thứ nhất trong phương trình (17.40) bằng không. Nếu năng lượng là dương, số hạng cuối trong (17.40) phải lớn hơn không. Chúng ta có yêu cầu rằng

ℒ₁ℒ₂ > ℳ².

Như vậy chúng ta đã chứng minh kết quả tổng quát rằng độ lớn của hỗ cảm ℳ của bất kỳ hai cuộn dây nào nhất thiết nhỏ hơn hoặc bằng trung bình nhân của hai độ tự cảm. (Bản thân ℳ có thể dương hoặc âm, tùy thuộc vào các quy ước dấu cho các dòng điện I₁ và I₂.)

|ℳ| < √(ℒ₁ℒ₂).   (17.42)

Hệ thức giữa ℳ và các độ tự cảm thường được viết là

ℳ = k√(ℒ₁ℒ₂).   (17.43)

Hằng số k được gọi là hệ số ghép (coefficient of coupling). Nếu hầu hết thông lượng từ một cuộn dây liên kết cuộn dây kia, hệ số ghép gần bằng một; chúng ta nói các cuộn dây được “ghép chặt”. Nếu các cuộn dây ở xa nhau hoặc được bố trí khác sao cho có rất ít liên kết thông lượng hỗ tương, hệ số ghép gần bằng không và hỗ cảm rất nhỏ.

Để tính hỗ cảm của hai cuộn dây, chúng ta đã đưa ra trong phương trình (17.30) một công thức là một tích phân đường kép quanh hai mạch. Chúng ta có thể nghĩ rằng cùng công thức đó có thể được dùng để nhận độ tự cảm của một cuộn dây đơn bằng cách thực hiện cả hai tích phân đường quanh cùng một cuộn dây. Tuy nhiên, điều này sẽ không hoạt động, bởi vì mẫu số r₁₂ của biểu thức dưới dấu tích phân sẽ về không khi hai phần tử đường ds₁ và ds₂ ở cùng một điểm trên cuộn dây. Độ tự cảm nhận được từ công thức này là vô hạn. Lý do là công thức này là một phép xấp xỉ chỉ đúng khi các tiết diện của các dây của hai mạch nhỏ so với khoảng cách từ mạch này tới mạch kia. Rõ ràng, phép xấp xỉ này không đúng cho một cuộn dây đơn. Thực ra, đúng là độ tự cảm của một cuộn dây đơn có xu hướng logarit tới vô hạn khi đường kính của dây của nó được làm ngày càng nhỏ hơn.

Vì vậy, chúng ta phải tìm một cách khác để tính độ tự cảm của một cuộn dây đơn. Cần phải tính đến sự phân bố của các dòng điện bên trong các dây bởi vì kích thước của dây là một tham số quan trọng. Vì vậy chúng ta nên hỏi không phải độ tự cảm của một “mạch” là gì, mà độ tự cảm của một sự phân bố các vật dẫn là gì. Có lẽ cách dễ nhất để tìm độ tự cảm này là dùng năng lượng từ. Trước đây chúng ta đã tìm được, trong Mục 15–3, một biểu thức cho năng lượng từ của một phân bố các dòng điện dừng:

U = ½ ∫ j·A dV.   (17.44)

Nếu chúng ta biết sự phân bố của mật độ dòng điện j, chúng ta có thể tính thế vectơ A và sau đó tính tích phân của phương trình (17.44) để nhận năng lượng. Năng lượng này bằng năng lượng từ của độ tự cảm, ½ℒI². Cho hai cái bằng nhau cho chúng ta một công thức cho độ tự cảm:

ℒ = (1/I²) ∫ j·A dV.   (17.45)

Dĩ nhiên, chúng ta kỳ vọng rằng độ tự cảm là một số chỉ phụ thuộc vào hình học của mạch chứ không phụ thuộc vào dòng điện I trong mạch. Công thức của phương trình (17.45) quả thực sẽ cho một kết quả như vậy, bởi vì tích phân trong phương trình này tỉ lệ với bình phương của dòng điện — dòng điện xuất hiện một lần qua j và một lần nữa qua thế vectơ A. Tích phân chia cho I² sẽ phụ thuộc vào hình học của mạch chứ không phụ thuộc vào dòng điện I.

Phương trình (17.44) cho năng lượng của một phân bố dòng điện có thể được đưa về một dạng khá khác mà đôi khi thuận tiện hơn cho việc tính toán. Ngoài ra, như chúng ta sẽ thấy sau, nó là một dạng quan trọng bởi vì nó đúng tổng quát hơn. Trong phương trình năng lượng, phương trình (17.44), cả A lẫn j đều có thể được liên hệ với B, nên chúng ta có thể hy vọng biểu diễn năng lượng theo từ trường — đúng như chúng ta đã có thể liên hệ năng lượng tĩnh điện với điện trường. Chúng ta bắt đầu bằng cách thay j bằng ε₀c²∇×B. Chúng ta không thể thay A dễ dàng như vậy, vì B = ∇×A không thể được đảo ngược để cho A theo B. Dù sao, chúng ta có thể viết

U = (ε₀c²/2) ∫ (∇×B)·A dV.   (17.46)

Điều thú vị là — với một số hạn chế — tích phân này có thể được viết là

U = (ε₀c²/2) ∫ B·(∇×A) dV.   (17.47)

Để thấy điều này, chúng ta viết chi tiết một số hạng điển hình. Giả sử chúng ta lấy số hạng (∇×B)_zA_z xuất hiện trong tích phân của phương trình (17.46). Viết ra các thành phần, chúng ta nhận được

∫ (∂B_y/∂x − ∂B_x/∂y) A_z dx dy dz.

(Dĩ nhiên, còn hai tích phân nữa cùng loại.) Bây giờ chúng ta tích phân số hạng thứ nhất theo x — tích phân từng phần. Tức là, chúng ta có thể nói

∫ (∂B_y/∂x) A_z dx = B_yA_z − ∫ B_y (∂A_z/∂x) dx.

Bây giờ giả sử hệ của chúng ta — nghĩa là các nguồn và các trường — là hữu hạn, nên khi chúng ta đi tới các khoảng cách lớn mọi trường đều về không. Khi đó nếu các tích phân được thực hiện trên toàn bộ không gian, việc tính số hạng B_yA_z tại các giới hạn sẽ cho không. Chúng ta chỉ còn lại số hạng với B_y(∂A_z/∂x), số hạng này hiển nhiên là một phần của B_y(∇×A)_y và, vì vậy, của B·(∇×A). Nếu bạn làm việc với năm số hạng còn lại, bạn sẽ thấy rằng phương trình (17.47) quả thực tương đương với phương trình (17.46).

Nhưng bây giờ chúng ta có thể thay (∇×A) bằng B, để nhận

U = (ε₀c²/2) ∫ B·B dV.   (17.48)

Chúng ta đã biểu diễn năng lượng của một tình huống tĩnh từ theo chỉ từ trường. Biểu thức tương ứng chặt chẽ với công thức chúng ta đã tìm cho năng lượng tĩnh điện:

U = (ε₀/2) ∫ E·E dV.   (17.49)

Một lý do để nhấn mạnh hai công thức năng lượng này là đôi khi chúng thuận tiện hơn để sử dụng. Quan trọng hơn, hóa ra là đối với các trường động (khi E và B đang thay đổi theo thời gian) hai biểu thức (17.48) và (17.49) vẫn đúng, trong khi các công thức khác chúng ta đã đưa ra cho các năng lượng điện hoặc từ không còn đúng nữa — chúng chỉ đúng cho các trường tĩnh.

Nếu chúng ta biết từ trường B của một cuộn dây đơn, chúng ta có thể tìm độ tự cảm bằng cách cho biểu thức năng lượng (17.48) bằng ½ℒI². Hãy xem điều này hoạt động thế nào bằng cách tìm độ tự cảm của một solenoid dài. Trước đây chúng ta đã thấy rằng từ trường bên trong một solenoid là đều và B bên ngoài bằng không. Độ lớn của trường bên trong là B = nI/ε₀c², trong đó n là số vòng trên một đơn vị chiều dài trong cuộn dây và I là dòng điện. Nếu bán kính của cuộn dây là r và chiều dài của nó là L (chúng ta lấy L rất dài, để có thể bỏ qua các hiệu ứng ở đầu mút, tức là L ≫ r), thể tích bên trong là πr²L. Vì vậy năng lượng từ là

U = (ε₀c²/2) B²·(Thể tích) = [n²I²/(2ε₀c²)] πr²L,

đại lượng này bằng ½ℒI². Hay,

ℒ = [πr²n²/(ε₀c²)] L.   (17.50)