Chương 23: Các hốc cộng hưởng
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập II, Chương 23: “Cavity Resonators”
Ôn tập: Chương 23, Tập I — Cộng hưởng; Chương 49, Tập I — Các mode.
23–1 Các phần tử mạch thực
Khi được nhìn từ bất kỳ cặp cực nào, bất kỳ mạch tùy ý nào được làm từ các trở kháng và máy phát điện lý tưởng đều, tại bất kỳ tần số cho trước nào, tương đương với một máy phát điện ℰ mắc nối tiếp với một trở kháng z. Điều đó xảy ra bởi vì nếu chúng ta đặt một điện áp V lên các cực và giải mọi phương trình để tìm dòng điện I, chúng ta phải được một hệ thức tuyến tính giữa dòng điện và điện áp. Vì mọi phương trình đều tuyến tính, kết quả cho I cũng phải chỉ phụ thuộc tuyến tính vào V. Dạng tuyến tính tổng quát nhất có thể được biểu diễn thành
I = (1/z)(V − ℰ). (23.1)
Nói chung, cả z và ℰ đều có thể phụ thuộc theo một cách phức tạp nào đó vào tần số ω. Tuy nhiên, phương trình (23.1) là hệ thức chúng ta sẽ thu được nếu đằng sau hai cực chỉ có máy phát điện ℰ(ω) mắc nối tiếp với trở kháng z(ω).
Cũng có loại câu hỏi ngược lại: Nếu chúng ta có bất kỳ thiết bị điện từ nào với hai cực và chúng ta đo hệ thức giữa I và V để xác định ℰ và z theo tần số, chúng ta có thể tìm được một tổ hợp các phần tử lý tưởng của mình tương đương với trở kháng bên trong z không? Đáp án là đối với bất kỳ hàm z(ω) hợp lý nào — tức là có ý nghĩa vật lý — có thể xấp xỉ tình huống tới độ chính xác cao tùy ý bằng một mạch chứa một tập hợp hữu hạn các phần tử lý tưởng. Chúng ta không muốn xét bài toán tổng quát bây giờ, mà chỉ nhìn vào những gì có thể được kỳ vọng từ các lập luận vật lý cho một vài trường hợp.
Nếu chúng ta nghĩ về một điện trở thực, chúng ta biết rằng dòng điện qua nó sẽ tạo ra một từ trường. Vậy bất kỳ điện trở thực nào cũng sẽ có một ít điện cảm. Cũng vậy, khi một điện trở có một hiệu điện thế trên nó, phải có các điện tích trên các đầu của điện trở để tạo ra các điện trường cần thiết. Khi điện áp thay đổi, các điện tích sẽ thay đổi theo tỉ lệ, vậy điện trở cũng sẽ có một ít điện dung. Chúng ta kỳ vọng rằng một điện trở thực có thể có mạch tương đương được chỉ trong Hình 23–1. Trong một điện trở được thiết kế tốt, các phần tử gọi là “ký sinh” L và C là nhỏ, sao cho tại các tần số mà nó được dự định dùng, ωL nhỏ hơn nhiều so với R, và 1/ωC lớn hơn nhiều so với R. Vì vậy có thể bỏ qua chúng. Tuy nhiên, khi tần số được nâng lên, cuối cùng chúng sẽ trở nên quan trọng, và một điện trở bắt đầu trông giống một mạch cộng hưởng.
Một cuộn cảm thực cũng không bằng cuộn cảm lý tưởng hóa, mà trở kháng của nó là iωL. Một cuộn dây thực sẽ có một ít điện trở, vậy ở các tần số thấp cuộn dây thực sự tương đương với một cuộn cảm mắc nối tiếp với một ít điện trở, như trong Hình 23–2(a). Nhưng, bạn đang nghĩ, điện trở và điện cảm ở cùng nhau trong một cuộn dây thực — điện trở trải dọc theo sợi dây, vậy nó trộn lẫn với điện cảm. Có lẽ chúng ta nên dùng một mạch giống mạch trong Hình 23–2(b) hơn, vốn có một số R và L nhỏ mắc nối tiếp. Nhưng tổng trở kháng của một mạch như vậy đúng là ΣR + ΣiωL, tương đương với sơ đồ đơn giản hơn của phần (a).
Khi chúng ta đi lên về tần số với một cuộn dây thực, xấp xỉ một cuộn cảm cộng một điện trở không còn tốt lắm nữa. Các điện tích phải tạo nên trên các sợi dây để làm nên các điện áp sẽ trở nên quan trọng. Nó như thể có các tụ điện nhỏ bắc qua các vòng của cuộn dây, như được phác họa trong Hình 23–3(a). Chúng ta có thể cố xấp xỉ cuộn dây thực bằng mạch trong Hình 23–3(b). Ở các tần số thấp, mạch này có thể được bắt chước khá tốt bằng mạch đơn giản hơn trong phần (c) của hình (vốn lại là cùng một mạch cộng hưởng chúng ta đã tìm cho mô hình tần số cao của một điện trở). Tuy nhiên, đối với các tần số cao hơn, mạch phức tạp hơn của Hình 23–3(b) tốt hơn. Thực ra, bạn càng muốn biểu diễn chính xác trở kháng thực của một cuộn cảm vật lý thực, bạn sẽ càng phải dùng nhiều phần tử lý tưởng trong mô hình nhân tạo của nó.
Hãy nhìn kỹ hơn một chút vào những gì xảy ra trong một cuộn dây thực. Trở kháng của một cuộn cảm đi như ωL, vậy nó trở nên bằng không ở các tần số thấp — nó là một “mạch ngắn”: tất cả những gì chúng ta thấy là điện trở của sợi dây. Khi chúng ta đi lên về tần số, ωL nhanh chóng trở nên lớn hơn nhiều so với R, và cuộn dây trông khá giống một cuộn cảm lý tưởng. Tuy nhiên, khi chúng ta đi còn cao hơn nữa, các điện dung trở nên quan trọng. Trở kháng của chúng tỉ lệ với 1/ωC, vốn lớn đối với ω nhỏ. Đối với các tần số đủ nhỏ, một tụ điện là một “mạch hở”, và khi nó song song với một thứ khác, nó không hút dòng điện nào. Nhưng ở các tần số cao, dòng điện thích chảy vào điện dung giữa các vòng dây hơn là qua cuộn cảm. Vậy dòng điện trong cuộn dây nhảy từ vòng này sang vòng kia và không buồn đi vòng quanh nơi nó phải chống lại sđđ. Vậy mặc dù chúng ta có thể đã dự định rằng dòng điện nên đi vòng quanh vòng lặp, nó sẽ đi theo đường dễ hơn — đường có trở kháng nhỏ nhất.
Nếu chủ đề này là một chủ đề được quan tâm phổ biến, hiệu ứng này đã được gọi là “rào cản tần số cao”, hay một cái tên nào đó tương tự. Loại chuyện tương tự cũng xảy ra trong mọi chủ đề. Trong khí động lực học, nếu bạn cố làm cho các vật đi nhanh hơn tốc độ âm thanh khi chúng được thiết kế cho các tốc độ thấp hơn, chúng không hoạt động. Điều đó không có nghĩa là có một “rào cản” lớn ở đó; nó chỉ có nghĩa là vật nên được thiết kế lại. Vậy cuộn dây này mà chúng ta đã thiết kế như một “cuộn cảm” sẽ không hoạt động như một cuộn cảm tốt, mà như một thứ khác ở các tần số rất cao. Đối với các tần số cao, chúng ta phải tìm một thiết kế mới.
23–2 Một tụ điện ở các tần số cao
Bây giờ chúng ta muốn thảo luận chi tiết hành vi của một tụ điện — một tụ điện lý tưởng về hình học — khi tần số ngày càng lớn hơn, để chúng ta có thể thấy sự chuyển đổi các tính chất của nó. (Chúng ta thích dùng một tụ điện thay vì một cuộn cảm, bởi vì hình học của một cặp bản đơn giản hơn nhiều so với hình học của một cuộn dây.) Chúng ta xét tụ điện được chỉ trong Hình 23–4(a), gồm hai bản tròn song song được nối với một máy phát điện bên ngoài bằng một cặp dây. Nếu chúng ta nạp tụ điện bằng dc, sẽ có một điện tích dương trên một bản và một điện tích âm trên bản kia; và sẽ có một điện trường đều giữa các bản.
Bây giờ giả sử thay vì dc, chúng ta đặt một điện xoay chiều có tần số thấp lên các bản. (Chúng ta sẽ tìm ra sau thế nào là “thấp” và thế nào là “cao”.) Giả sử chúng ta nối tụ điện vào một máy phát điện có tần số thấp hơn. Khi điện áp thay đổi chiều, điện tích dương trên bản trên được lấy đi và điện tích âm được đặt lên. Trong khi điều đó đang xảy ra, điện trường biến mất và rồi tạo nên theo chiều ngược lại. Khi điện tích tràn qua lại một cách chậm chạp, điện trường đi theo. Tại mỗi khoảnh khắc, điện trường là đều, như trong Hình 23–4(b), ngoại trừ một số hiệu ứng mép mà chúng ta sẽ bỏ qua. Chúng ta có thể viết độ lớn của điện trường thành
E = E0eiωt, (23.2)
trong đó E0 là một hằng số.
Bây giờ điều đó có còn tiếp tục đúng khi tần số đi lên không? Không, bởi vì khi điện trường đi lên đi xuống, có một thông lượng điện trường qua bất kỳ vòng nào như Γ1 trong Hình 23–4(a). Và, như bạn biết, một điện trường đang thay đổi tác động để tạo ra một từ trường. Một trong các phương trình Maxwell nói rằng khi có một điện trường biến thiên, như ở đây, phải có một tích phân đường của từ trường. Tích phân của từ trường dọc theo một vòng kín, nhân với c2, bằng tốc độ thay đổi theo thời gian của thông lượng điện qua diện tích bên trong vòng (nếu không có dòng điện nào):
c2∮Γ B·ds = d/dt ∫ E·n da (bên trong Γ). (23.3)
Vậy có bao nhiêu từ trường ở đó? Điều đó không quá khó. Giả sử chúng ta lấy vòng Γ1, vốn là một đường tròn có bán kính r. Chúng ta có thể thấy từ tính đối xứng rằng từ trường đi vòng như trong hình. Khi đó tích phân đường của B là 2πrB. Và, vì điện trường là đều, thông lượng của điện trường đơn giản là E nhân với πr2, diện tích của đường tròn:
c2B·2πr = (∂/∂t) E·πr2. (23.4)
Đạo hàm của E theo thời gian, đối với trường xoay chiều của chúng ta, đơn giản là iωE0eiωt. Vậy chúng ta thấy rằng tụ điện của chúng ta có từ trường
B = (iωr/(2c2)) E0eiωt. (23.5)
Nói cách khác, từ trường cũng dao động và có cường độ tỉ lệ với r.
Hiệu ứng của điều đó là gì? Khi có một từ trường đang biến thiên, sẽ có các điện trường cảm ứng và tụ điện sẽ bắt đầu hành xử một chút giống như một cuộn cảm. Khi tần số đi lên, từ trường trở nên mạnh hơn; nó tỉ lệ với tốc độ thay đổi của E, và vậy tỉ lệ với ω. Trở kháng của tụ điện sẽ không còn đơn giản là 1/iωC nữa.
Hãy tiếp tục nâng tần số và phân tích cẩn thận hơn những gì xảy ra. Chúng ta có một từ trường tràn qua lại. Nhưng khi đó điện trường không thể đều, như chúng ta đã giả thiết! Khi có một từ trường biến thiên, phải có một tích phân đường của điện trường — bởi định luật Faraday. Vậy nếu có một từ trường đáng kể, như bắt đầu xảy ra ở các tần số cao, điện trường không thể như nhau ở mọi khoảng cách từ tâm. Điện trường phải thay đổi theo r sao cho tích phân đường của điện trường có thể bằng thông lượng đang thay đổi của từ trường.
Hãy xem chúng ta có thể tìm ra điện trường đúng hay không. Chúng ta có thể làm điều đó bằng cách tính một “hiệu chỉnh” cho trường đều chúng ta đã giả thiết ban đầu cho các tần số thấp. Hãy gọi trường đều là E1, vốn sẽ vẫn là E0eiωt, và viết trường đúng thành
E = E1 + E2,
trong đó E2 là hiệu chỉnh do từ trường đang thay đổi. Đối với bất kỳ ω nào, chúng ta sẽ viết trường tại tâm của tụ điện thành E0eiωt (qua đó định nghĩa E0), sao cho chúng ta không có hiệu chỉnh tại tâm; E2 = 0 tại r = 0.
Để tìm E2, chúng ta có thể dùng dạng tích phân của định luật Faraday:
∮Γ E·ds = −d/dt (từ thông của B).
Các tích phân đơn giản nếu chúng ta lấy chúng cho đường cong Γ2, được chỉ trong Hình 23–4(b), vốn đi lên dọc theo trục, ra theo hướng bán kính một khoảng r dọc theo bản trên, xuống theo chiều dọc tới bản dưới, và quay lại trục. Tích phân đường của E1 dọc theo đường cong này, dĩ nhiên, bằng không; vậy chỉ E2 đóng góp, và tích phân của nó đúng là −E2(r)·h, trong đó h là khoảng cách giữa các bản. (Chúng ta gọi E là dương nếu nó hướng lên trên.) Điều này bằng số đối của tốc độ thay đổi của từ thông của B, mà chúng ta phải lấy bằng một tích phân trên diện tích được tô bóng S bên trong Γ2 trong Hình 23–4(b). Từ thông qua một dải dọc có bề rộng dr là B(r)h dr, vậy từ thông toàn phần là
h∫B(r) dr.
Đặt −∂/∂t của từ thông bằng tích phân đường của E2, chúng ta có
E2(r) = (∂/∂t)∫B(r) dr. (23.6)
Hãy để ý rằng h triệt tiêu lẫn nhau; các trường không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các bản.
Dùng phương trình (23.5) cho B(r), chúng ta có
E2(r) = (∂/∂t) (iωr2/(4c2)) E0eiωt.
Đạo hàm theo thời gian chỉ mang xuống một thừa số iω nữa; chúng ta được
E2(r) = −(ω2r2/(4c2)) E0eiωt. (23.7)
Như chúng ta kỳ vọng, trường cảm ứng có xu hướng làm giảm điện trường ở xa hơn. Trường đã hiệu chỉnh E = E1 + E2 khi đó là
E = E1 + E2 = (1 − (1/4)(ω2r2/c2)) E0eiωt. (23.8)
Điện trường trong tụ điện không còn đều nữa; nó có hình dạng parabol được chỉ bởi đường đứt nét trong Hình 23–5. Bạn thấy rằng tụ điện đơn giản của chúng ta đang trở nên hơi phức tạp.
Bây giờ chúng ta có thể dùng các kết quả của mình để tính trở kháng của tụ điện ở các tần số cao. Biết điện trường, chúng ta có thể tính các điện tích trên các bản và tìm ra dòng điện qua tụ điện phụ thuộc vào tần số ω như thế nào, nhưng lúc này chúng ta không quan tâm tới bài toán đó. Chúng ta quan tâm hơn tới việc xem điều gì xảy ra khi chúng ta tiếp tục đi lên với tần số — để xem điều gì xảy ra ở các tần số còn cao hơn nữa. Chúng ta đã xong chưa? Chưa, bởi vì chúng ta đã hiệu chỉnh điện trường, điều này có nghĩa là từ trường chúng ta đã tính không còn đúng nữa. Từ trường của phương trình (23.5) là gần đúng, nhưng nó chỉ là một xấp xỉ thứ nhất. Vậy hãy gọi nó là B1. Khi đó chúng ta nên viết lại phương trình (23.5) thành
B1 = (iωr/(2c2)) E0eiωt. (23.9)
Bạn sẽ nhớ rằng trường này được tạo ra bởi sự biến thiên của E1. Bây giờ từ trường đúng sẽ là trường được tạo ra bởi điện trường toàn phần E1 + E2. Nếu chúng ta viết từ trường thành B = B1 + B2, số hạng thứ hai đúng là trường phụ thêm được tạo ra bởi E2. Để tìm B2, chúng ta có thể đi qua cùng các lập luận chúng ta đã dùng để tìm B1; tích phân đường của B2 dọc theo đường cong Γ1 bằng tốc độ thay đổi của từ thông của E2 qua Γ1. Chúng ta sẽ lại có phương trình (23.4) với B được thay bằng B2 và E được thay bằng E2:
c2B2·2πr = d/dt (từ thông của E2 qua Γ1).
Vì E2 biến thiên theo bán kính, để thu được từ thông của nó chúng ta phải tích phân trên bề mặt tròn bên trong Γ1. Dùng 2πr dr làm phần tử diện tích, tích phân này là
∫0r E2(r)·2πr dr.
Vậy chúng ta được cho B2(r)
B2(r) = (1/(rc2)) (∂/∂t) ∫E2(r)r dr. (23.10)
Dùng E2(r) từ phương trình (23.7), chúng ta cần tích phân của r3 dr, vốn, dĩ nhiên, là r4/4. Hiệu chỉnh của chúng ta cho từ trường trở thành
B2(r) = −(iω3r3/(16c4)) E0eiωt. (23.11)
Nhưng chúng ta vẫn chưa xong! Nếu từ trường B không giống như chúng ta đã nghĩ lúc đầu, khi đó chúng ta đã tính E2 không đúng. Chúng ta phải thực hiện một hiệu chỉnh nữa cho E, vốn đến từ từ trường phụ thêm B2. Hãy gọi hiệu chỉnh phụ thêm này cho điện trường là E3. Nó liên hệ với từ trường B2 theo cùng cách mà E2 đã liên hệ với B1. Chúng ta có thể dùng lại phương trình (23.6) từ đầu chỉ bằng cách đổi các chỉ số dưới:
E3(r) = (∂/∂t)∫B2(r) dr. (23.12)
Dùng kết quả của chúng ta, phương trình (23.11), cho B2, hiệu chỉnh mới cho điện trường là
E3(r) = +(ω4r4/(64c4)) E0eiωt. (23.13)
Viết điện trường đã hiệu chỉnh hai lần của chúng ta thành E = E1 + E2 + E3, chúng ta được
E = E0eiωt[1 − (1/22)(ωr/c)2 + (1/(22·42))(ωr/c)4]. (23.14)
Sự biến thiên của điện trường theo bán kính không còn là parabol đơn giản chúng ta đã vẽ trong Hình 23–5, mà ở các bán kính lớn nằm hơi phía trên đường cong (E1 + E2).
Chúng ta vẫn chưa hoàn toàn xong. Điện trường mới tạo ra một hiệu chỉnh mới cho từ trường, và từ trường vừa được hiệu chỉnh sẽ tạo ra một hiệu chỉnh nữa cho điện trường, và cứ thế mãi. Tuy nhiên, chúng ta đã có mọi công thức chúng ta cần. Đối với B3 chúng ta có thể dùng phương trình (23.10), đổi các chỉ số dưới của B và E từ 2 thành 3.
Hiệu chỉnh tiếp theo cho điện trường là
E4 = −(1/(22·42·62)) (ωr/c)6 E0eiωt.
Vậy tới bậc này chúng ta có điện trường đầy đủ được cho bởi
E = E0eiωt[1 − (1/(1!)2)(ωr/(2c))2 + (1/(2!)2)(ωr/(2c))4 − (1/(3!)2)(ωr/(2c))6 ± …]. (23.15)
trong đó chúng ta đã viết các hệ số số theo cách sao cho hiển nhiên chuỗi sẽ được tiếp tục như thế nào.
Kết quả cuối cùng của chúng ta là điện trường giữa các bản của tụ điện, đối với bất kỳ tần số nào, được cho bởi E0eiωt nhân với chuỗi vô hạn chỉ chứa biến ωr/c. Nếu muốn, chúng ta có thể định nghĩa một hàm đặc biệt, mà chúng ta sẽ gọi là J0(x), là chuỗi vô hạn xuất hiện trong các ngoặc của phương trình (23.15):
J0(x) = 1 − (1/(1!)2)(x/2)2 + (1/(2!)2)(x/2)4 − (1/(3!)2)(x/2)6 ± … (23.16)
Khi đó chúng ta có thể viết nghiệm của mình thành E0eiωt nhân với hàm này, với x = ωr/c:
E = E0eiωt J0(ωr/c). (23.17)
Lý do chúng ta đã gọi hàm đặc biệt của mình là J0 là vì, một cách tự nhiên, đây không phải là lần đầu tiên có người giải một bài toán với các dao động trong một hình trụ. Hàm này đã xuất hiện trước đây và thường được gọi là J0. Nó luôn xuất hiện mỗi khi bạn giải một bài toán về sóng có đối xứng trụ. Hàm J0 đối với sóng trụ giống như hàm cosin đối với sóng trên một đường thẳng. Vậy nó là một hàm quan trọng, được phát minh từ lâu. Rồi một người tên là Bessel được gắn tên mình vào nó. Chỉ số dưới không có nghĩa là Bessel đã phát minh ra cả một lô các hàm khác nhau và đây chỉ là hàm đầu tiên trong số chúng.
Các hàm khác của Bessel — J1, J2, và cứ thế — liên quan tới các sóng trụ có sự biến thiên cường độ theo góc quanh trục của hình trụ.
Điện trường đã hiệu chỉnh hoàn toàn giữa các bản của tụ điện tròn của chúng ta, được cho bởi phương trình (23.17), được vẽ thành đường liền trong Hình 23–5. Đối với các tần số không quá cao, xấp xỉ thứ hai của chúng ta đã khá tốt rồi. Xấp xỉ thứ ba thậm chí còn tốt hơn — tốt đến mức, thực ra, nếu chúng ta vẽ nó, bạn sẽ không thể thấy sự khác biệt giữa nó và đường liền. Tuy nhiên, bạn sẽ thấy trong mục tiếp theo rằng chuỗi đầy đủ là cần thiết để có một mô tả chính xác đối với các bán kính lớn, hay đối với các tần số cao.
23–3 Một hốc cộng hưởng
Bây giờ chúng ta muốn nhìn vào những gì nghiệm của chúng ta cho ra đối với điện trường giữa các bản của tụ điện khi chúng ta tiếp tục đi tới các tần số ngày càng cao hơn. Đối với ω lớn, tham số x = ωr/c cũng trở nên lớn, và vài số hạng đầu tiên trong chuỗi cho J0 của x sẽ tăng nhanh. Điều đó có nghĩa là parabol chúng ta đã vẽ trong Hình 23–5 cong xuống dốc hơn ở các tần số cao hơn. Thực ra, có vẻ như trường sẽ giảm xuống tận không tại một tần số cao nào đó, có lẽ khi c/ω xấp xỉ một nửa của a. Hãy xem J0 có thật đi qua không và trở nên âm hay không. Chúng ta bắt đầu bằng cách thử x = 2:
J0(2) = 1 − 1 + 1/4 − 1/36 = 0,22.
Hàm vẫn chưa bằng không, vậy hãy thử một giá trị cao hơn của x, chẳng hạn x = 2,5. Đặt các con số vào, chúng ta viết
J0(2,5) = 1 − 1,56 + 0,61 − 0,11 = −0,06.
Hàm J0 đã đi qua không vào lúc chúng ta tới x = 2,5. So sánh các kết quả cho x = 2 và x = 2,5, có vẻ như J0 đi qua không tại một phần năm quãng đường từ 2,5 tới 2. Chúng ta sẽ đoán rằng điểm không xảy ra đối với x xấp xỉ bằng 2,4. Hãy xem giá trị đó của x cho ra điều gì:
J0(2,4) = 1 − 1,44 + 0,52 − 0,08 = 0,00.
Chúng ta được không tới độ chính xác hai chữ số thập phân của mình. Nếu chúng ta làm phép tính chính xác hơn (hay vì J0 là một hàm nổi tiếng, nếu chúng ta tra nó trong một cuốn sách), chúng ta thấy rằng nó đi qua không tại x = 2,405. Chúng ta đã tính nó bằng tay để chỉ cho bạn thấy rằng bạn cũng có thể đã khám phá ra những điều này thay vì phải mượn chúng từ một cuốn sách.
Chừng nào chúng ta còn đang tra J0 trong sách, thật thú vị khi để ý nó đi như thế nào đối với các giá trị lớn hơn của x; nó trông như đồ thị trong Hình 23–6. Khi x tăng, J0(x) dao động giữa các giá trị dương và âm với biên độ dao động giảm dần.
Chúng ta đã thu được kết quả thú vị sau đây: Nếu chúng ta đi đủ cao về tần số, điện trường tại tâm của tụ điện của chúng ta sẽ theo một chiều và điện trường gần mép sẽ hướng theo chiều ngược lại. Chẳng hạn, giả sử chúng ta lấy một ω đủ cao sao cho x = ωr/c tại mép ngoài của tụ điện bằng 4; khi đó mép của tụ điện tương ứng với hoành độ x = 4 trong Hình 23–6. Điều này có nghĩa là tụ điện của chúng ta đang được vận hành ở tần số ω = 4c/a. Tại mép của các bản, điện trường sẽ có độ lớn khá cao ngược với chiều chúng ta kỳ vọng. Đó là điều khủng khiếp có thể xảy ra với một tụ điện ở các tần số cao. Nếu chúng ta đi tới các tần số rất cao, chiều của điện trường dao động qua lại nhiều lần khi chúng ta đi ra khỏi tâm của tụ điện. Cũng có các từ trường gắn với các điện trường này. Không có gì đáng ngạc nhiên khi tụ điện của chúng ta không trông giống điện dung lý tưởng đối với các tần số cao. Chúng ta thậm chí có thể bắt đầu tự hỏi liệu nó trông giống một tụ điện hơn hay một cuộn cảm hơn. Chúng ta cần nhấn mạnh rằng còn có các hiệu ứng phức tạp hơn nữa mà chúng ta đã bỏ qua, vốn xảy ra tại các mép của tụ điện. Chẳng hạn, sẽ có một sự bức xạ sóng ra qua các mép, vậy các trường thậm chí còn phức tạp hơn các trường chúng ta đã tính, nhưng bây giờ chúng ta sẽ không lo về các hiệu ứng đó.
Chúng ta có thể cố tìm ra một mạch tương đương cho tụ điện, nhưng có lẽ tốt hơn nếu chúng ta chỉ thừa nhận rằng tụ điện chúng ta đã thiết kế cho các trường tần số thấp đơn giản là không còn thỏa đáng khi tần số quá cao. Nếu chúng ta muốn xử lý hoạt động của một vật như vậy ở các tần số cao, chúng ta nên từ bỏ các xấp xỉ đối với các phương trình Maxwell mà chúng ta đã thực hiện để xử lý các mạch và quay lại hệ phương trình đầy đủ mô tả hoàn toàn các trường trong không gian. Thay vì xử lý các phần tử mạch lý tưởng hóa, chúng ta phải xử lý các vật dẫn thực như chúng vốn có, tính đến mọi trường trong các không gian ở giữa. Chẳng hạn, nếu chúng ta muốn một mạch cộng hưởng ở các tần số cao, chúng ta sẽ không cố thiết kế một mạch dùng một cuộn dây và một tụ điện bản song song.
Chúng ta đã đề cập rằng tụ điện bản song song chúng ta đang phân tích có một số khía cạnh của cả một tụ điện lẫn một cuộn cảm. Với điện trường có các điện tích trên bề mặt của các bản, và với các từ trường có các sđđ ngược. Có thể nào chúng ta đã có sẵn một mạch cộng hưởng không? Quả thực chúng ta có. Giả sử chúng ta chọn một tần số mà mô hình điện trường giảm xuống không tại một bán kính nào đó bên trong mép của đĩa; tức là, chúng ta chọn ωa/c lớn hơn 2,405. Khắp nơi trên một đường tròn đồng trục với các bản, điện trường sẽ bằng không. Bây giờ giả sử chúng ta lấy một tấm kim loại mỏng và cắt một dải vừa đủ rộng để vừa giữa các bản của tụ điện. Rồi chúng ta uốn nó thành một hình trụ sẽ đi vòng tại bán kính nơi điện trường bằng không. Vì không có điện trường ở đó, khi chúng ta đặt hình trụ dẫn điện này vào chỗ, sẽ không có dòng điện nào chảy trong nó; và sẽ không có thay đổi nào trong các điện trường và từ trường. Chúng ta đã có thể đặt một mạch ngắn trực tiếp bắc qua tụ điện mà không thay đổi bất cứ điều gì. Và hãy nhìn xem chúng ta có gì; chúng ta có một chiếc lon trụ hoàn chỉnh với các điện trường và từ trường bên trong và không có kết nối nào với thế giới bên ngoài. Các trường bên trong sẽ không thay đổi ngay cả khi chúng ta vứt bỏ các mép của các bản ở bên ngoài chiếc lon của chúng ta, và cả các dây dẫn của tụ điện nữa. Tất cả những gì chúng ta còn lại là một chiếc lon kín với các điện trường và từ trường bên trong, như trong Hình 23–7(a). Các điện trường đang dao động qua lại ở tần số ω — mà, đừng quên, đã quyết định đường kính của chiếc lon. Biên độ của trường E dao động biến thiên theo khoảng cách từ trục của lon, như được chỉ trong đồ thị của Hình 23–7(b). Đường cong này đúng là cung đầu tiên của hàm Bessel bậc không. Cũng có một từ trường đi vòng tròn quanh trục và dao động theo thời gian lệch pha 90° so với điện trường.
Chúng ta cũng có thể viết ra một chuỗi cho từ trường và vẽ nó, như được chỉ trong đồ thị của Hình 23–7(c).
Làm sao có thể có một điện trường và từ trường bên trong một chiếc lon không có kết nối bên ngoài nào? Đó là bởi vì các điện trường và từ trường tự duy trì lẫn nhau, E đang thay đổi tạo nên một B và B đang thay đổi tạo nên một E — tất cả theo các phương trình Maxwell. Từ trường có một khía cạnh cảm ứng, và điện trường có một khía cạnh dung kháng; cùng nhau chúng tạo nên một thứ gì đó giống như một mạch cộng hưởng. Hãy để ý rằng các điều kiện chúng ta đã mô tả sẽ chỉ xảy ra nếu bán kính của lon đúng bằng 2,405 c/ω. Đối với một chiếc lon có bán kính cho trước, các điện trường và từ trường dao động sẽ tự duy trì — theo cách chúng ta đã mô tả — chỉ tại tần số đặc biệt đó. Vậy một chiếc lon trụ có bán kính r cộng hưởng tại tần số
ω0 = 2,405 c/r. (23.18)
Chúng ta đã nói rằng các trường tiếp tục dao động theo cùng cách sau khi lon được đóng kín hoàn toàn. Điều đó không hoàn toàn đúng. Nó sẽ có thể nếu các thành của lon là vật dẫn lý tưởng. Tuy nhiên, đối với một chiếc lon thực, các dòng điện dao động tồn tại trên các thành trong của lon mất năng lượng vì điện trở của vật liệu. Các dao động của các trường sẽ dần chết đi. Chúng ta có thể thấy từ Hình 23–7 rằng phải có các dòng điện mạnh gắn với các điện trường và từ trường bên trong hốc. Vì điện trường dọc dừng đột ngột tại các bản trên và dưới của lon, nó có một độ phân kỳ lớn ở đó; vậy phải có các điện tích dương và âm trên các bề mặt trong của lon, như trong Hình 23–7(a). Khi điện trường đảo chiều, các điện tích cũng phải đảo chiều, vậy phải có một dòng điện xoay chiều giữa các bản trên và dưới của lon. Các điện tích này sẽ chảy trong các thành bên của lon, như được chỉ trong hình. Chúng ta cũng có thể thấy rằng phải có các dòng điện trong các thành bên của lon bằng cách xét điều gì xảy ra với từ trường. Đồ thị của Hình 23–7(c) cho chúng ta biết rằng từ trường giảm đột ngột xuống không tại mép của lon. Một sự thay đổi đột ngột như vậy trong từ trường chỉ có thể xảy ra nếu có một dòng điện trong thành. Dòng điện này là cái tạo ra các điện tích xoay chiều trên các bản trên và dưới của lon.
Bạn có thể đang tự hỏi về khám phá của chúng ta về các dòng điện trong các thành dọc của lon. Thế còn phát biểu trước đây của chúng ta rằng không có gì thay đổi khi chúng ta đưa các thành dọc này vào một vùng nơi điện trường bằng không? Tuy nhiên, hãy nhớ rằng khi chúng ta lần đầu đặt vào các thành của lon, các bản trên và dưới kéo dài ra bên ngoài chúng, sao cho cũng có các từ trường ở bên ngoài chiếc lon của chúng ta. Chỉ khi chúng ta vứt bỏ các phần của các bản tụ điện vượt quá các mép của lon, các dòng điện thuần mới phải xuất hiện trên các mặt trong của các thành dọc.
Mặc dù các điện trường và từ trường trong chiếc lon được đóng kín hoàn toàn sẽ dần chết đi vì các mất mát năng lượng, chúng ta có thể ngăn điều này xảy ra nếu chúng ta đục một lỗ nhỏ trong lon và đưa vào một ít năng lượng điện để bù các mất mát. Chúng ta lấy một sợi dây nhỏ, chọc nó qua lỗ ở thành bên của lon, và gắn nó vào thành trong sao cho nó tạo thành một vòng nhỏ, như trong Hình 23–8. Nếu bây giờ chúng ta nối sợi dây này vào một nguồn dòng điện xoay chiều tần số cao, dòng điện này sẽ ghép năng lượng vào các điện trường và từ trường của hốc và giữ cho các dao động tiếp tục. Dĩ nhiên, điều này sẽ chỉ xảy ra nếu tần số của nguồn kích thích ở tần số cộng hưởng của lon. Nếu nguồn ở tần số sai, các điện trường và từ trường sẽ không cộng hưởng, và các trường trong lon sẽ rất yếu.
Hành vi cộng hưởng có thể dễ dàng được thấy bằng cách đục một lỗ nhỏ khác trong lon và móc vào một vòng ghép khác, như chúng ta cũng đã vẽ trong Hình 23–8. Từ trường đang thay đổi qua vòng này sẽ sinh ra một suất điện động cảm ứng trong vòng. Nếu vòng này bây giờ được nối vào một mạch đo bên ngoài nào đó, các dòng điện sẽ tỉ lệ với cường độ của các trường trong hốc. Giả sử bây giờ chúng ta nối vòng đầu vào của hốc của chúng ta vào một máy phát tín hiệu RF, như trong Hình 23–9. Máy phát tín hiệu chứa một nguồn dòng điện xoay chiều mà tần số của nó có thể được thay đổi bằng cách vặn núm trên mặt trước của máy phát. Rồi chúng ta nối vòng đầu ra của hốc vào một “detector”, vốn là một thiết bị đo dòng điện từ vòng đầu ra. Nó cho một số đọc trên đồng hồ tỉ lệ với dòng điện này. Nếu bây giờ chúng ta đo dòng điện đầu ra theo tần số của máy phát tín hiệu, chúng ta thấy một đường cong như đường được chỉ trong Hình 23–10. Dòng điện đầu ra nhỏ đối với mọi tần số ngoại trừ các tần số rất gần tần số ω0, vốn là tần số cộng hưởng của hốc. Đường cong cộng hưởng rất giống các đường chúng ta đã mô tả trong Chương 23 của Tập I. Tuy nhiên, bề rộng của cộng hưởng hẹp hơn nhiều so với chúng ta thường thấy đối với các mạch cộng hưởng làm từ các cuộn cảm và tụ điện; tức là, hệ số Q của hốc rất cao. Không có gì bất thường khi thấy các Q cao tới 100.000 hay hơn nếu các thành trong của hốc được làm bằng một vật liệu có độ dẫn điện rất tốt, như bạc.
23–4 Các mode của hốc
Giả sử bây giờ chúng ta cố kiểm tra lý thuyết của mình bằng cách thực hiện các phép đo với một chiếc lon thực. Chúng ta lấy một chiếc lon là một hình trụ có đường kính 3,0 inch và chiều cao khoảng 2,5 inch. Lon được trang bị một vòng đầu vào và đầu ra, như trong Hình 23–8. Nếu chúng ta tính tần số cộng hưởng được kỳ vọng cho chiếc lon này theo phương trình (23.18), chúng ta được f0 = ω0/2π = 3010 megacycle. Khi chúng ta đặt tần số của máy phát tín hiệu ở gần 3000 megacycle và thay đổi nó một chút cho tới khi chúng ta tìm thấy cộng hưởng, chúng ta quan sát thấy dòng điện đầu ra cực đại xảy ra đối với một tần số 3050 megacycle, khá gần với tần số cộng hưởng dự đoán, nhưng không hoàn toàn giống. Có một số lý do có thể cho sự sai lệch này. Có lẽ tần số cộng hưởng bị thay đổi một chút vì các lỗ chúng ta đã cắt để đặt các vòng ghép vào. Tuy nhiên, một chút suy nghĩ cho thấy rằng các lỗ nên làm giảm tần số cộng hưởng một chút, vậy đó không thể là lý do. Có lẽ có một sai số nhẹ nào đó trong việc hiệu chuẩn tần số của máy phát tín hiệu, hay có lẽ phép đo đường kính của hốc của chúng ta không đủ chính xác. Dù sao, sự phù hợp là khá gần.
Điều quan trọng hơn nhiều là một điều xảy ra nếu chúng ta thay đổi tần số của máy phát tín hiệu xa hơn một chút khỏi 3000 megacycle. Khi chúng ta làm điều đó, chúng ta được các kết quả được chỉ trong Hình 23–11. Chúng ta thấy rằng, ngoài cộng hưởng chúng ta kỳ vọng ở gần 3000 megacycle, còn có một cộng hưởng ở gần 3300 megacycle và một ở gần 3820 megacycle. Các cộng hưởng phụ thêm này có nghĩa là gì? Chúng ta có thể được một manh mối từ Hình 23–6. Mặc dù chúng ta đã giả thiết rằng điểm không thứ nhất của hàm Bessel xảy ra tại mép của lon, cũng có thể là điểm không thứ hai của hàm Bessel tương ứng với mép của lon, sao cho có một dao động đầy đủ của điện trường khi chúng ta di chuyển từ tâm của lon ra tới mép, như trong Hình 23–12. Đây là một mode khả dĩ khác cho các trường dao động. Chúng ta chắc chắn nên kỳ vọng lon cộng hưởng trong một mode như vậy. Nhưng hãy để ý, điểm không thứ hai của hàm Bessel xảy ra tại x = 5,52, lớn hơn gấp đôi giá trị tại điểm không thứ nhất. Tần số cộng hưởng của mode này vì vậy nên cao hơn 6000 megacycle. Dĩ nhiên chúng ta sẽ tìm thấy nó ở đó, nhưng nó không giải thích được cộng hưởng chúng ta quan sát tại 3300.
Vấn đề là trong phân tích của chúng ta về hành vi của một hốc cộng hưởng, chúng ta mới chỉ xét một cách sắp xếp hình học khả dĩ của các điện trường và từ trường. Chúng ta đã giả thiết rằng các điện trường là dọc và các từ trường nằm trong các vòng tròn ngang. Nhưng các trường khác là có thể. Các yêu cầu duy nhất là các trường nên thỏa mãn các phương trình Maxwell bên trong lon và điện trường nên gặp thành theo góc vuông. Chúng ta đã xét trường hợp trong đó nắp và đáy của lon phẳng, nhưng mọi thứ sẽ không hoàn toàn khác nếu nắp và đáy cong. Thực ra, làm sao lon được cho là biết đâu là nắp và đáy của nó, và đâu là các thành bên của nó? Thực ra, có thể chỉ ra rằng có một mode dao động của các trường bên trong lon trong đó các điện trường đi ít nhiều ngang qua đường kính của lon, như trong Hình 23–13.
Không quá khó để hiểu vì sao tần số riêng của mode này không nên khác nhiều so với tần số riêng của mode thứ nhất chúng ta đã xét. Giả sử thay vì hốc trụ của chúng ta, chúng ta đã lấy một hốc là một hình lập phương có cạnh 3 inch. Rõ ràng hốc này sẽ có ba mode khác nhau, nhưng tất cả có cùng tần số. Một mode với điện trường đi ít nhiều lên xuống chắc chắn sẽ có cùng tần số như mode trong đó điện trường hướng sang phải và sang trái. Nếu bây giờ chúng ta bóp méo hình lập phương thành một hình trụ, chúng ta sẽ thay đổi các tần số này đôi chút. Chúng ta vẫn sẽ kỳ vọng chúng không bị thay đổi quá nhiều, với điều kiện chúng ta giữ các kích thước của hốc ít nhiều như nhau. Vậy tần số của mode của Hình 23–13 không nên khác quá nhiều so với mode của Hình 23–8. Chúng ta có thể thực hiện một phép tính chi tiết về tần số riêng của mode được chỉ trong Hình 23–13, nhưng bây giờ chúng ta sẽ không làm điều đó. Khi các phép tính được thực hiện đến cùng, người ta thấy rằng, đối với các kích thước chúng ta đã giả thiết, tần số cộng hưởng ra rất gần với cộng hưởng quan sát được tại 3300 megacycle.
Bằng các phép tính tương tự, có thể chỉ ra rằng nên có một mode nữa tại tần số cộng hưởng còn lại chúng ta tìm thấy ở gần 3800 megacycle. Đối với mode này, các điện trường và từ trường là như trong Hình 23–14. Điện trường không buồn đi hết quãng qua hốc. Nó đi từ các thành tới các đầu, như được chỉ ra.
Như bạn có lẽ bây giờ sẽ tin, nếu chúng ta đi ngày càng cao hơn về tần số, chúng ta nên kỳ vọng tìm thấy ngày càng nhiều cộng hưởng. Có nhiều mode khác nhau, mỗi mode sẽ có một tần số cộng hưởng khác nhau tương ứng với một cách sắp xếp phức tạp đặc biệt nào đó của các điện trường và từ trường. Mỗi cách sắp xếp trường này được gọi là một mode cộng hưởng. Tần số cộng hưởng của mỗi mode có thể được tính bằng cách giải các phương trình Maxwell cho các điện trường và từ trường trong hốc.
Khi chúng ta có một cộng hưởng tại một tần số đặc biệt nào đó, làm sao chúng ta có thể biết mode nào đang được kích thích? Một cách là chọc một sợi dây nhỏ vào hốc qua một lỗ nhỏ. Nếu điện trường dọc theo sợi dây, như trong Hình 23–15(a), sẽ có các dòng điện tương đối lớn trong sợi dây, hút năng lượng khỏi các trường, và cộng hưởng sẽ bị dập tắt. Nếu điện trường như trong Hình 23–15(b), sợi dây sẽ có một hiệu ứng nhỏ hơn nhiều. Chúng ta có thể tìm ra trường hướng theo chiều nào trong mode này bằng cách uốn đầu của sợi dây, như trong Hình 23–15(c). Khi đó, khi chúng ta xoay sợi dây, sẽ có một hiệu ứng lớn khi đầu của sợi dây song song với E và một hiệu ứng nhỏ khi nó được xoay sao cho ở 90° so với E.
23–5 Các hốc và các mạch cộng hưởng
Mặc dù hốc cộng hưởng chúng ta đã mô tả dường như khá khác với mạch cộng hưởng thông thường gồm một cuộn cảm và một tụ điện, hai hệ cộng hưởng, dĩ nhiên, có liên hệ mật thiết với nhau. Chúng đều là thành viên của cùng một họ; chúng chỉ là hai trường hợp cực đoan của các bộ cộng hưởng điện từ — và có nhiều trường hợp trung gian giữa hai cực đoan này. Giả sử chúng ta bắt đầu bằng cách xét mạch cộng hưởng của một tụ điện song song với một cuộn cảm, như trong Hình 23–16(a). Mạch này sẽ cộng hưởng tại tần số ω0 = 1/√(LC). Nếu chúng ta muốn nâng tần số cộng hưởng của mạch này, chúng ta có thể làm điều đó bằng cách hạ điện cảm L. Một cách là giảm số vòng trong cuộn dây. Tuy nhiên, chúng ta chỉ có thể đi xa tới một mức nào đó theo hướng này. Cuối cùng chúng ta sẽ xuống tới vòng cuối cùng, và chúng ta sẽ chỉ còn một đoạn dây nối bản trên và bản dưới của tụ điện. Chúng ta có thể nâng tần số cộng hưởng còn cao hơn nữa bằng cách làm điện dung nhỏ hơn; tuy nhiên, chúng ta cũng có thể tiếp tục giảm điện cảm bằng cách đặt một số cuộn cảm song song. Hai cuộn cảm một vòng song song sẽ chỉ có một nửa điện cảm của mỗi vòng. Vậy khi điện cảm của chúng ta đã được giảm xuống một vòng duy nhất, chúng ta có thể tiếp tục nâng tần số cộng hưởng bằng cách cộng thêm các vòng đơn khác từ bản trên tới bản dưới của tụ điện. Chẳng hạn, Hình 23–16(b) chỉ các bản của tụ điện được nối bởi sáu “cuộn cảm một vòng” như vậy. Nếu chúng ta tiếp tục cộng nhiều đoạn dây như vậy, chúng ta có thể làm sự chuyển đổi sang hệ cộng hưởng được đóng kín hoàn toàn được chỉ trong phần (c) của hình, vốn là một hình vẽ mặt cắt của một vật đối xứng trụ. Điện cảm của chúng ta bây giờ là một chiếc lon rỗng trụ gắn vào các mép của các bản tụ điện. Các điện trường và từ trường sẽ như trong hình. Một vật như vậy, dĩ nhiên, là một hốc cộng hưởng. Nó được gọi là một hốc “có tải” (loaded). Nhưng chúng ta vẫn có thể nghĩ nó như một mạch L–C trong đó phần điện dung là vùng nơi chúng ta tìm thấy phần lớn điện trường và phần điện cảm là vùng nơi chúng ta tìm thấy phần lớn từ trường.
Nếu chúng ta muốn làm tần số của bộ cộng hưởng trong Hình 23–16(c) còn cao hơn nữa, chúng ta có thể làm điều đó bằng cách tiếp tục giảm điện cảm L. Để làm điều đó, chúng ta phải giảm các kích thước hình học của phần điện cảm, chẳng hạn bằng cách giảm kích thước h trong hình vẽ. Khi h giảm, tần số cộng hưởng sẽ tăng. Cuối cùng, dĩ nhiên, chúng ta sẽ đi tới tình huống trong đó chiều cao h đúng bằng khoảng cách giữa các bản của tụ điện. Khi đó chúng ta có đúng một chiếc lon trụ; mạch cộng hưởng của chúng ta đã trở thành hốc cộng hưởng của Hình 23–7.
Bạn sẽ để ý rằng trong mạch cộng hưởng L–C gốc của Hình 23–16, điện trường và từ trường khá tách biệt. Khi chúng ta dần dần sửa đổi hệ cộng hưởng để tạo các tần số ngày càng cao hơn, từ trường đã được đưa ngày càng gần điện trường hơn cho tới khi trong hốc cộng hưởng hai trường khá trộn lẫn với nhau.
Mặc dù các hốc cộng hưởng chúng ta đã nói tới trong chương này là các lon trụ, không có gì ma thuật về hình dạng trụ. Một chiếc lon có bất kỳ hình dạng nào cũng sẽ có các tần số cộng hưởng tương ứng với nhiều mode dao động khả dĩ khác nhau của các điện trường và từ trường. Chẳng hạn, “hốc” được chỉ trong Hình 23–17 sẽ có tập hợp các tần số cộng hưởng đặc biệt của riêng nó — mặc dù chúng sẽ khá khó tính.
