Chương 24: Ống dẫn sóng

24–1  Đường truyền

Trong chương trước, chúng ta đã nghiên cứu điều gì xảy ra với các phần tử tập trung của mạch điện khi chúng được vận hành ở tần số rất cao, và chúng ta đã đi tới chỗ thấy rằng một mạch cộng hưởng có thể được thay bằng một hốc cộng hưởng với các trường cộng hưởng ở bên trong. Một bài toán kỹ thuật thú vị khác là việc nối một vật với một vật khác, sao cho năng lượng điện từ có thể được truyền giữa chúng. Trong các mạch tần số thấp, việc nối được thực hiện bằng dây dẫn, nhưng phương pháp này không hoạt động tốt lắm ở tần số cao vì các mạch sẽ bức xạ năng lượng ra khắp không gian xung quanh chúng, và rất khó kiểm soát năng lượng sẽ đi tới đâu. Các trường lan rộng ra xung quanh các dây; các dòng điện và điện áp không được các dây “dẫn” tốt lắm. Trong chương này, chúng ta muốn tìm hiểu các cách mà các vật có thể được nối với nhau ở tần số cao. Ít nhất, đó là một cách trình bày chủ đề của chúng ta.

Một cách khác là nói rằng chúng ta đã thảo luận hành vi của sóng trong không gian tự do. Bây giờ đã đến lúc xem điều gì xảy ra khi các trường dao động bị giam trong một hoặc nhiều chiều. Chúng ta sẽ khám phá hiện tượng mới thú vị là khi các trường bị giam trong chỉ hai chiều và được để tự do trong chiều thứ ba, chúng truyền đi dưới dạng sóng. Đó là các “sóng được dẫn” — chủ đề của chương này.

Chúng ta bắt đầu bằng cách xây dựng lý thuyết tổng quát của đường truyền. Đường truyền tải điện thông thường chạy từ tháp này sang tháp khác qua vùng nông thôn bức xạ mất một phần công suất của nó, nhưng các tần số điện lực (50–60 chu kỳ/giây) thấp đến mức sự mất mát này không nghiêm trọng. Bức xạ có thể bị chặn bằng cách bao quanh đường dây bằng một ống kim loại, nhưng phương pháp này sẽ không thực tế đối với đường dây điện vì các điện áp và dòng điện được dùng sẽ đòi hỏi một ống rất lớn, đắt tiền và nặng. Vậy người ta dùng các “đường dây hở” đơn giản.

Đối với các tần số cao hơn một chút — chẳng hạn vài kilô chu kỳ — bức xạ đã có thể nghiêm trọng. Tuy nhiên, nó có thể được giảm bằng cách dùng các đường truyền “cặp dây xoắn”, như được làm đối với các kết nối điện thoại đoạn ngắn. Tuy nhiên, ở các tần số cao hơn, bức xạ chẳng bao lâu trở nên không thể chấp nhận được, hoặc vì mất công suất hoặc vì năng lượng xuất hiện trong các mạch khác ở nơi nó không được mong muốn. Đối với các tần số từ vài kilô chu kỳ tới vài trăm mêga chu kỳ, các tín hiệu và công suất điện từ thường được truyền qua các đường đồng trục gồm một dây ở bên trong một “vật dẫn ngoài” hay “lớp chắn” hình trụ. Mặc dù cách xử lý sau đây sẽ áp dụng cho một đường truyền gồm hai vật dẫn song song có hình dạng bất kỳ, chúng ta sẽ thực hiện nó với việc quy chiếu tới một đường đồng trục.

Chúng ta lấy đường đồng trục đơn giản nhất có một vật dẫn trung tâm, mà chúng ta giả sử là một hình trụ rỗng mỏng, và một vật dẫn ngoài là một hình trụ mỏng khác trên cùng trục với vật dẫn trong, như trong Hình 24–1. Chúng ta bắt đầu bằng cách tìm ra một cách gần đúng đường dây hành xử như thế nào ở các tần số tương đối thấp. Chúng ta đã mô tả một phần hành vi ở tần số thấp khi trước đây chúng ta nói rằng hai vật dẫn như vậy có một lượng điện cảm nhất định trên một đơn vị độ dài hoặc một điện dung nhất định trên một đơn vị độ dài. Thực tế, chúng ta có thể mô tả hành vi ở tần số thấp của bất kỳ đường truyền nào bằng cách cho điện cảm trên một đơn vị độ dài của nó, L₀, và điện dung trên một đơn vị độ dài của nó, C₀. Khi đó chúng ta có thể phân tích đường dây như trường hợp giới hạn của bộ lọc L–C như đã thảo luận trong Mục 22–6. Chúng ta có thể làm một bộ lọc bắt chước đường dây bằng cách lấy các phần tử nối tiếp nhỏ L₀ Δx và các điện dung rẽ nhánh nhỏ C₀ Δx, trong đó Δx là một phần tử độ dài của đường dây. Dùng các kết quả của chúng ta cho bộ lọc vô hạn, chúng ta thấy rằng sẽ có một sự truyền các tín hiệu điện dọc theo đường dây. Tuy nhiên, thay vì đi theo cách tiếp cận đó, bây giờ chúng ta muốn nhìn đường dây từ quan điểm của một phương trình vi phân hơn.

Giả sử chúng ta xem điều gì xảy ra tại hai điểm kề nhau dọc theo đường truyền, chẳng hạn tại các khoảng cách x và x + Δx tính từ đầu đường dây. Hãy gọi hiệu điện áp giữa hai vật dẫn là V(x), và dòng điện dọc theo vật dẫn “nóng” là I(x) (xem Hình 24–2). Nếu dòng điện trong đường dây đang thay đổi, điện cảm sẽ cho chúng ta một độ sụt điện áp trên đoạn nhỏ của đường dây từ x tới x + Δx với lượng

ΔV = V(x + Δx) − V(x) = −L₀ Δx dI/dt.

Hoặc, lấy giới hạn khi Δx → 0, chúng ta được

∂V/∂x = −L₀ ∂I/∂t.   (24.1)

Dòng điện thay đổi cho ra một gradient của điện áp.

Lại quy chiếu tới hình, nếu điện áp tại x đang thay đổi, phải có một lượng điện tích nào đó được cung cấp cho điện dung trong vùng đó. Nếu chúng ta lấy mảnh nhỏ của đường dây giữa x và x + Δx, điện tích trên nó là q = C₀ Δx V. Tốc độ thay đổi theo thời gian của điện tích này là C₀ Δx dV/dt, nhưng điện tích chỉ thay đổi nếu dòng điện I(x) đi vào phần tử khác với dòng điện I(x + Δx) đi ra. Gọi hiệu đó là ΔI, chúng ta có

ΔI = −C₀ Δx dV/dt.

Lấy giới hạn khi Δx → 0, chúng ta được

∂I/∂x = −C₀ ∂V/∂t.   (24.2)

Vậy sự bảo toàn điện tích hàm ý rằng gradient của dòng điện tỉ lệ với tốc độ thay đổi theo thời gian của điện áp.

Các phương trình (24.1) và (24.2) khi đó là các phương trình cơ bản của một đường truyền. Nếu muốn, chúng ta có thể sửa đổi chúng để bao gồm các hiệu ứng của điện trở trong các vật dẫn hoặc của sự rò rỉ điện tích qua lớp cách điện giữa các vật dẫn, nhưng đối với thảo luận hiện tại của chúng ta, chúng ta sẽ chỉ giữ ví dụ đơn giản.

Hai phương trình đường truyền có thể được kết hợp bằng cách lấy đạo hàm một phương trình theo t và phương trình kia theo x và khử V hoặc I. Khi đó chúng ta có hoặc

∂²V/∂x² = C₀L₀ ∂²V/∂t²   (24.3)

hoặc

∂²I/∂x² = C₀L₀ ∂²I/∂t².   (24.4)

Một lần nữa chúng ta nhận ra phương trình sóng trong x. Đối với một đường truyền đồng nhất, điện áp (và dòng điện) truyền dọc theo đường dây dưới dạng một sóng. Điện áp dọc theo đường dây phải có dạng V(x,t) = f(x − vt) hoặc V(x,t) = g(x + vt), hoặc một tổng của cả hai. Bây giờ vận tốc v là gì? Chúng ta biết rằng hệ số của số hạng ∂²/∂t² đúng bằng 1/v², vậy

v = 1/√(L₀C₀).   (24.5)

Chúng ta sẽ để cho bạn chứng minh rằng điện áp đối với mỗi sóng trong một đường dây tỉ lệ với dòng điện của sóng đó và hằng số tỉ lệ đúng bằng trở kháng đặc trưng z₀. Gọi V₊ và I₊ là điện áp và dòng điện đối với một sóng đi theo hướng x dương, bạn sẽ thu được

V₊ = z₀I₊.   (24.6)

Tương tự, đối với sóng đi về phía x âm, hệ thức là

V₋ = z₀I₋.

Trở kháng đặc trưng — như chúng ta đã tìm ra từ các phương trình bộ lọc của chúng ta — được cho bởi

z₀ = √(L₀/C₀),   (24.7)

và do đó, là một điện trở thuần.

Để tìm tốc độ truyền v và trở kháng đặc trưng z₀ của một đường truyền, chúng ta phải biết điện cảm và điện dung trên một đơn vị độ dài. Chúng ta có thể tính chúng dễ dàng cho một cáp đồng trục, vậy chúng ta sẽ xem việc đó diễn ra như thế nào. Đối với điện cảm, chúng ta đi theo các ý tưởng của Mục 17–8, và đặt (1/2)LI² bằng năng lượng từ mà chúng ta thu được bằng cách tích phân ε₀c²B²/2 trên thể tích. Giả sử rằng vật dẫn trung tâm mang dòng điện I; khi đó chúng ta biết rằng B = I/2πε₀c²r, trong đó r là khoảng cách tới trục. Lấy làm phần tử thể tích một vỏ hình trụ có bề dày dr và độ dài l, chúng ta có đối với năng lượng từ

U = (ε₀c²/2) ∫_a^b ( I / 2πε₀c²r )² l 2πr dr,

trong đó a và b lần lượt là bán kính của vật dẫn trong và vật dẫn ngoài. Thực hiện tích phân, chúng ta được

U = (I²l / 4πε₀c²) ln(b/a).   (24.8)

Đặt năng lượng bằng (1/2)LI², chúng ta tìm được

L = ( l / 2πε₀c² ) ln(b/a).   (24.9)

Nó, như nó phải thế, tỉ lệ với độ dài l của đường dây, vậy điện cảm trên một đơn vị độ dài L₀ là

L₀ = ln(b/a) / (2πε₀c²).   (24.10)

Chúng ta đã tính ra điện tích trên một tụ điện hình trụ (xem Mục 12–2). Bây giờ, chia điện tích cho hiệu điện thế, chúng ta được

C = 2πε₀l / ln(b/a).

Điện dung trên một đơn vị độ dài C₀ là C/l. Kết hợp kết quả này với Pt. (24.10), chúng ta thấy rằng tích L₀C₀ đúng bằng 1/c², vậy v = 1/√(L₀C₀) bằng c. Sóng truyền xuống đường dây với tốc độ ánh sáng. Chúng ta chỉ ra rằng kết quả này phụ thuộc vào các giả thiết của chúng ta: (a) rằng không có chất điện môi hay vật liệu từ nào trong không gian giữa các vật dẫn, và (b) rằng mọi dòng điện đều ở trên các bề mặt của các vật dẫn (như chúng sẽ thế đối với các vật dẫn hoàn hảo). Chúng ta sẽ thấy sau rằng đối với các vật dẫn tốt ở tần số cao, mọi dòng điện tự phân bố trên các bề mặt như chúng sẽ thế đối với một vật dẫn hoàn hảo, vậy giả thiết này khi đó là hợp lệ.

Bây giờ điều thú vị là chừng nào các giả thiết (a) và (b) còn đúng, tích L₀C₀ bằng 1/c² đối với bất kỳ cặp vật dẫn song song nào — thậm chí, chẳng hạn, đối với một vật dẫn trong hình lục giác ở bất cứ đâu bên trong một vật dẫn ngoài hình elip. Chừng nào mặt cắt ngang là không đổi và không gian ở giữa không có vật chất, sóng được truyền với vận tốc ánh sáng.

Không có phát biểu tổng quát như vậy có thể được đưa ra về trở kháng đặc trưng. Đối với đường đồng trục, nó là

z₀ = ln(b/a) / (2πε₀c).   (24.11)

Thừa số 1/ε₀c có thứ nguyên của một điện trở và bằng 120π ohm. Thừa số hình học ln(b/a) chỉ phụ thuộc một cách lôgarit vào các kích thước, vậy đối với đường đồng trục — và hầu hết các đường dây — trở kháng đặc trưng có các giá trị điển hình từ khoảng 50 ohm tới vài trăm ohm.

24–2  Ống dẫn sóng hình chữ nhật

Điều tiếp theo chúng ta muốn nói tới thoạt nhìn dường như là một hiện tượng nổi bật: nếu vật dẫn trung tâm được lấy ra khỏi đường đồng trục, nó vẫn có thể mang công suất điện từ. Nói cách khác, ở các tần số đủ cao, một ống rỗng sẽ hoạt động tốt hệt như một ống có dây. Nó liên quan tới cách bí ẩn mà một mạch cộng hưởng gồm một tụ điện và một điện cảm được thay bằng không gì khác ngoài một cái hộp ở các tần số cao.

Mặc dù nó có vẻ là một điều đáng chú ý khi người ta đã quen suy nghĩ theo kiểu một đường truyền như một điện cảm và điện dung phân bố, tất cả chúng ta đều biết rằng sóng điện từ có thể truyền dọc bên trong một ống kim loại rỗng. Nếu ống thẳng, chúng ta có thể nhìn xuyên qua nó! Vậy chắc chắn sóng điện từ đi qua một ống. Nhưng chúng ta cũng biết rằng không thể truyền các sóng tần số thấp (điện lực hay điện thoại) qua bên trong một ống kim loại đơn độc. Vậy hẳn phải là sóng điện từ sẽ đi qua nếu bước sóng của chúng đủ ngắn. Do đó chúng ta muốn thảo luận trường hợp giới hạn của bước sóng dài nhất (hay tần số thấp nhất) có thể đi qua một ống có kích thước cho trước. Vì ống khi đó đang được dùng để mang sóng, nó được gọi là một ống dẫn sóng.

Chúng ta sẽ bắt đầu với một ống hình chữ nhật, vì đó là trường hợp đơn giản nhất để phân tích. Trước hết chúng ta sẽ đưa ra một cách xử lý toán học và sau quay lại nhìn bài toán theo một cách sơ cấp hơn nhiều. Tuy nhiên, cách tiếp cận sơ cấp hơn chỉ có thể được áp dụng dễ dàng cho một ống dẫn hình chữ nhật. Các hiện tượng cơ bản là như nhau đối với một ống dẫn tổng quát có hình dạng bất kỳ, vậy lập luận toán học về căn bản là vững chắc hơn.

Bài toán của chúng ta, khi đó, là tìm xem loại sóng nào có thể tồn tại bên trong một ống hình chữ nhật. Trước hết hãy chọn một số tọa độ thuận tiện; chúng ta lấy trục z dọc theo chiều dài của ống, và các trục x và y song song với hai cạnh, như được chỉ trong Hình 24–3.

Chúng ta biết rằng khi sóng ánh sáng đi xuống ống, chúng có một điện trường ngang; vậy giả sử trước hết chúng ta tìm các nghiệm trong đó E vuông góc với z, chẳng hạn chỉ có một thành phần y, E_y. Điện trường này sẽ có một sự biến thiên nào đó ngang qua ống dẫn; thực tế, nó phải tiến tới không tại các cạnh song song với trục y, vì các dòng điện và điện tích trong một vật dẫn luôn tự điều chỉnh sao cho không có thành phần tiếp tuyến của điện trường tại bề mặt của một vật dẫn. Vậy E_y sẽ biến thiên theo x trong một dạng vòm nào đó, như được chỉ trong Hình 24–4. Có lẽ nó là hàm Bessel mà chúng ta đã tìm cho một hốc cộng hưởng? Không, vì hàm Bessel liên quan tới các hình học hình trụ. Đối với một hình học hình chữ nhật, sóng thường là các hàm điều hòa đơn giản, vậy chúng ta nên thử một cái gì đó như sin k_xx.

Vì chúng ta muốn các sóng truyền xuống ống dẫn, chúng ta kỳ vọng trường sẽ luân phiên giữa các giá trị dương và âm khi chúng ta đi dọc theo z, như trong Hình 24–5, và các dao động này sẽ truyền dọc theo ống dẫn với một vận tốc v nào đó. Nếu chúng ta có các dao động ở một tần số xác định ω, chúng ta sẽ đoán rằng sóng có thể biến thiên theo z như cos (ωt − k_zz), hoặc, để dùng dạng toán học thuận tiện hơn, như e^{i(ωt − k_zz)}. Sự phụ thuộc vào z này biểu diễn một sóng truyền với tốc độ v = ω/k_z (xem Chương 29, Tập I).

Vậy chúng ta có thể đoán rằng sóng trong ống dẫn sẽ có dạng toán học sau:

E_y = E₀ e^{i(ωt − k_zz)} sin k_xx.   (24.12)

Hãy xem liệu phỏng đoán này có thỏa mãn các phương trình trường đúng hay không. Trước hết, điện trường không nên có các thành phần tiếp tuyến tại các vật dẫn. Trường của chúng ta thỏa mãn yêu cầu này; nó vuông góc với các mặt trên và mặt dưới và bằng không tại hai mặt bên. À, nó thế nếu chúng ta chọn k_x sao cho đúng một nửa chu kỳ của sin k_xx vừa khít trong chiều rộng của ống dẫn — tức là, nếu

k_xa = π.   (24.13)

Có các khả năng khác, như k_xa = 2π, 3π, …, hoặc, nói chung,

k_xa = nπ,   (24.14)

trong đó n là một số nguyên bất kỳ. Những khả năng này biểu diễn các cách sắp xếp phức tạp khác nhau của trường, nhưng bây giờ hãy chỉ lấy khả năng đơn giản nhất, trong đó k_x = π/a, trong đó a là chiều rộng của mặt trong của ống dẫn.

Tiếp theo, divergence của E phải bằng không trong không gian tự do bên trong ống dẫn, vì ở đó không có điện tích. E của chúng ta chỉ có một thành phần y, và nó không thay đổi theo y, vậy chúng ta quả thực có ∇·E = 0.

Cuối cùng, điện trường của chúng ta phải phù hợp với phần còn lại của các phương trình Maxwell trong không gian tự do bên trong ống dẫn. Điều đó cũng giống như nói rằng nó phải thỏa mãn phương trình sóng

∂²E_y/∂x² + ∂²E_y/∂y² + ∂²E_y/∂z² − (1/c²) ∂²E_y/∂t² = 0.   (24.15)

Chúng ta phải xem liệu phỏng đoán của chúng ta, Pt. (24.12), có hoạt động hay không. Đạo hàm cấp hai của E_y theo x đúng bằng −k_x²E_y. Đạo hàm cấp hai theo y bằng không, vì không có gì phụ thuộc vào y. Đạo hàm cấp hai theo z là −k_z²E_y, và đạo hàm cấp hai theo t là −ω²E_y. Phương trình (24.15) khi đó nói rằng

k_x²E_y + k_z²E_y − (ω²/c²) E_y = 0.

Trừ khi E_y bằng không ở khắp nơi (điều không thú vị lắm), phương trình này đúng nếu

k_x² + k_z² − ω²/c² = 0.   (24.16)

Chúng ta đã cố định k_x, vậy phương trình này cho chúng ta biết rằng có thể có các sóng thuộc loại chúng ta đã giả thiết nếu k_z liên hệ với tần số ω sao cho Pt. (24.16) được thỏa mãn — nói cách khác, nếu

k_z = √[ (ω²/c²) − (π²/a²) ].   (24.17)

Các sóng chúng ta đã mô tả được truyền theo hướng z với giá trị này của k_z.

Số sóng k_z chúng ta thu được từ Pt. (24.17) cho chúng ta biết, đối với một tần số cho trước ω, tốc độ mà các nút của sóng truyền xuống ống dẫn. Vận tốc pha là

v = ω/k_z.   (24.18)

Bạn sẽ nhớ rằng bước sóng λ của một sóng truyền được cho bởi λ = 2πv/ω, vậy k_z cũng bằng 2π/λ_g, trong đó λ_g là bước sóng của các dao động dọc theo hướng z — “bước sóng trong ống dẫn”. Bước sóng trong ống dẫn dĩ nhiên khác với bước sóng trong không gian tự do của các sóng điện từ có cùng tần số. Nếu chúng ta gọi bước sóng trong không gian tự do là λ₀, bằng 2πc/ω, chúng ta có thể viết Pt. (24.17) thành

λ_g = λ₀ / √[1 − (λ₀/2a)²].   (24.19)

Ngoài các điện trường còn có các từ trường sẽ truyền cùng với sóng, nhưng bây giờ chúng ta sẽ không bận tâm tính ra một biểu thức cho chúng. Vì c² ∇×B = ∂E/∂t, các đường của B sẽ vòng quanh các vùng trong đó ∂E/∂t là lớn nhất, tức là, ở giữa cực đại và cực tiểu của E. Các vòng của B sẽ nằm song song với mặt phẳng xz và giữa các đỉnh và các hõm của E, như được chỉ trong Hình 24–6.

24–3  Tần số cắt

Khi giải Pt. (24.16) cho k_z, thực ra phải có hai nghiệm — một dương và một âm. Chúng ta nên viết

k_z = ±√[ (ω²/c²) − (π²/a²) ].   (24.20)

Hai dấu đơn giản có nghĩa là có thể có các sóng truyền với một vận tốc pha âm (về phía −z), cũng như các sóng truyền theo hướng dương trong ống dẫn. Một cách tự nhiên, phải có thể cho sóng đi theo cả hai hướng. Vì cả hai loại sóng có thể hiện diện cùng lúc, sẽ có khả năng có các nghiệm sóng đứng.

Phương trình của chúng ta cho k_z cũng cho chúng ta biết rằng các tần số cao hơn cho các giá trị lớn hơn của k_z, và do đó các bước sóng nhỏ hơn, cho tới khi trong giới hạn ω lớn, k trở nên bằng ω/c, là giá trị chúng ta sẽ kỳ vọng đối với sóng trong không gian tự do. Ánh sáng chúng ta “nhìn thấy” xuyên qua một ống vẫn truyền với tốc độ c. Nhưng bây giờ hãy chú ý rằng nếu chúng ta đi về phía các tần số thấp, một điều lạ xảy ra. Lúc đầu bước sóng trở nên dài hơn và dài hơn, nhưng nếu ω trở nên quá nhỏ, đại lượng bên trong căn bậc hai của Pt. (24.20) đột nhiên trở nên âm. Điều này sẽ xảy ra ngay khi ω trở nên nhỏ hơn πc/a — hay khi λ₀ trở nên lớn hơn 2a. Nói cách khác, khi tần số trở nên nhỏ hơn một tần số tới hạn nhất định ω_c = πc/a, số sóng k_z (và cả λ_g) trở nên ảo và chúng ta không còn có một nghiệm nữa. Hay là có? Ai nói rằng k_z phải là thực? Điều gì xảy ra nếu nó quả thực ra ảo? Các phương trình trường của chúng ta vẫn được thỏa mãn. Có lẽ một k_z ảo cũng biểu diễn một sóng.

Giả sử ω nhỏ hơn ω_c; khi đó chúng ta có thể viết

k_z = ±ik′,   (24.21)

trong đó k′ là một số thực dương:

k′ = √[ (π²/a²) − (ω²/c²) ].   (24.22)

Nếu bây giờ chúng ta quay lại biểu thức của chúng ta, Pt. (24.12), cho E_y, chúng ta có

E_y = E₀ e^{i(ωt ∓ ik′z)} sin k_xx,   (24.23)

mà chúng ta có thể viết thành

E_y = E₀ e^±k′z e^iωt sin k_xx.   (24.24)

Biểu thức này cho một trường E dao động theo thời gian như e^iωt nhưng biến thiên theo z như e^±k′z. Nó giảm hoặc tăng theo z một cách trơn tru như một hàm mũ thực. Trong phép suy dẫn của chúng ta, chúng ta đã không lo về các nguồn đã khởi phát các sóng, nhưng dĩ nhiên phải có một nguồn ở đâu đó trong ống dẫn. Dấu đi cùng với k′ phải là dấu làm cho trường giảm theo khoảng cách tăng dần tính từ nguồn của các sóng.

Vậy đối với các tần số dưới ω_c = πc/a, sóng không truyền xuống ống dẫn; các trường dao động chỉ thâm nhập vào ống dẫn một khoảng cách cỡ 1/k′. Vì lý do này, tần số ω_c được gọi là “tần số cắt” của ống dẫn. Nhìn vào Pt. (24.22), chúng ta thấy rằng đối với các tần số chỉ hơi dưới ω_c một chút, số k′ là nhỏ và các trường có thể thâm nhập một khoảng cách dài vào ống dẫn. Nhưng nếu ω nhỏ hơn ω_c nhiều, hệ số hàm mũ k′ bằng π/a và trường tắt đi cực kỳ nhanh, như được chỉ trong Hình 24–7. Trường giảm đi một thừa số 1/e trong khoảng cách a/π, hay chỉ trong khoảng một phần ba chiều rộng của ống dẫn. Các trường thâm nhập rất ít khoảng cách tính từ nguồn.

Chúng ta muốn nhấn mạnh một đặc điểm thú vị của phân tích của chúng ta về các sóng được dẫn — sự xuất hiện của số sóng ảo k_z. Thông thường, nếu chúng ta giải một phương trình trong vật lý và thu được một số ảo, nó không có nghĩa vật lý gì. Tuy nhiên, đối với sóng, một số sóng ảo có có nghĩa gì đó. Phương trình sóng vẫn được thỏa mãn; nó chỉ có nghĩa là nghiệm cho các trường giảm theo hàm mũ thay vì các sóng truyền. Vậy trong bất kỳ bài toán sóng nào mà k trở nên ảo đối với một tần số nào đó, nó có nghĩa là dạng của sóng thay đổi — sóng hình sin biến thành một hàm mũ.

24–4  Tốc độ của các sóng được dẫn

Vận tốc sóng chúng ta đã dùng ở trên là vận tốc pha, là tốc độ của một nút của sóng; nó là một hàm của tần số. Nếu chúng ta kết hợp các Pt. (24.17) và (24.18), chúng ta có thể viết

v_pha = c / √[1 − (ω_c/ω)²].   (24.25)

Đối với các tần số trên tần số cắt — nơi các sóng truyền tồn tại — ω_c/ω nhỏ hơn một, và v_pha là thực và lớn hơn tốc độ ánh sáng. Chúng ta đã thấy trong Chương 48 của Tập I rằng các vận tốc pha lớn hơn ánh sáng là có thể, vì đó chỉ là các nút của sóng đang di chuyển chứ không phải năng lượng hay thông tin. Để biết tín hiệu sẽ truyền nhanh đến đâu, chúng ta phải tính tốc độ của các xung hay các điều biến được tạo ra bởi sự giao thoa của một sóng có một tần số với một hoặc nhiều sóng có các tần số hơi khác (xem Chương 48, Tập I). Chúng ta đã gọi tốc độ của đường bao của một nhóm sóng như vậy là vận tốc nhóm; nó không phải ω/k mà là dω/dk:

v_nhóm = dω/dk.   (24.26)

Lấy đạo hàm của Pt. (24.17) theo ω và đảo ngược để thu được dω/dk, chúng ta tìm được rằng

v_nhóm = c √[1 − (ω_c/ω)²],   (24.27)

là nhỏ hơn tốc độ ánh sáng.

Trung bình nhân của v_pha và v_nhóm đúng bằng c, tốc độ ánh sáng:

v_pha v_nhóm = c².   (24.28)

Điều này lạ, vì chúng ta đã thấy một hệ thức tương tự trong cơ học lượng tử. Đối với một hạt có bất kỳ vận tốc nào — thậm chí tương đối tính — động lượng p và năng lượng U liên hệ với nhau bởi

U² = p²c² + m²c⁴.   (24.29)

Nhưng trong cơ học lượng tử năng lượng là ħω, và động lượng là ħ/λ̄, bằng ħk; vậy Pt. (24.29) có thể được viết thành

ω²/c² = k² + m²c²/ħ²,   (24.30)

hoặc

k = √[ (ω²/c²) − (m²c²/ħ²) ],   (24.31)

trông rất giống Pt. (24.17) … Thú vị!

Vận tốc nhóm của các sóng cũng là tốc độ mà năng lượng được vận chuyển dọc theo ống dẫn. Nếu chúng ta muốn tìm dòng năng lượng xuống ống dẫn, chúng ta có thể thu được nó từ mật độ năng lượng nhân với vận tốc nhóm. Nếu điện trường hiệu dụng (căn trung bình bình phương) là E₀, thì mật độ trung bình của năng lượng điện là ε₀E₀²/2. Cũng có một năng lượng nào đó liên kết với từ trường. Chúng ta sẽ không chứng minh nó ở đây, nhưng trong bất kỳ hốc cộng hưởng hay ống dẫn nào các năng lượng từ và điện đều bằng nhau, vậy tổng mật độ năng lượng điện từ là ε₀E₀². Công suất dU/dt được truyền bởi ống dẫn khi đó là

dU/dt = ε₀E₀² ab v_nhóm.   (24.32)

(Sau chúng ta sẽ thấy một cách khác, tổng quát hơn để thu được dòng năng lượng.)

24–5  Quan sát các sóng được dẫn

Năng lượng có thể được ghép vào một ống dẫn sóng bằng một loại “ăng-ten” nào đó. Chẳng hạn, một dây dọc nhỏ hay một “mẩu dây” (stub) sẽ làm được. Sự hiện diện của các sóng được dẫn có thể được quan sát bằng cách thu lấy một phần năng lượng điện từ với một “ăng-ten” thu nhỏ, mà lại cũng có thể là một mẩu dây nhỏ hay một vòng nhỏ. Trong Hình 24–8, chúng ta chỉ một ống dẫn với một số chỗ cắt ra để cho thấy một mẩu dây kích thích và một “đầu dò” thu. Mẩu dây kích thích có thể được nối tới một máy phát tín hiệu qua một cáp đồng trục, và đầu dò thu có thể được nối bằng một cáp tương tự tới một bộ dò. Thường thuận tiện là chèn đầu dò thu qua một khe mỏng dài trong ống dẫn, như được chỉ trong Hình 24–8. Khi đó đầu dò có thể được di chuyển tới lui dọc theo ống dẫn để lấy mẫu các trường tại các vị trí khác nhau.

Nếu máy phát tín hiệu được đặt ở một tần số ω nào đó lớn hơn tần số cắt ω_c, sẽ có các sóng được truyền xuống ống dẫn từ mẩu dây kích thích. Đây sẽ là các sóng duy nhất hiện diện nếu ống dẫn dài vô hạn, điều có thể được sắp xếp một cách hiệu quả bằng cách kết thúc ống dẫn với một vật hấp thụ được thiết kế cẩn thận theo cách sao cho không có phản xạ từ đầu xa. Khi đó, vì bộ dò đo trung bình theo thời gian của các trường gần đầu dò, nó sẽ thu được một tín hiệu không phụ thuộc vào vị trí dọc theo ống dẫn; đầu ra của nó sẽ tỉ lệ với công suất đang được truyền.

Nếu bây giờ đầu xa của ống dẫn được kết thúc theo một cách nào đó tạo ra một sóng phản xạ — như một ví dụ cực đoan, nếu chúng ta bịt nó bằng một tấm kim loại — sẽ có một sóng phản xạ ngoài sóng tới ban đầu. Hai sóng này sẽ giao thoa và tạo ra một sóng đứng trong ống dẫn tương tự như các sóng đứng trên một dây mà chúng ta đã thảo luận trong Chương 49 của Tập I. Khi đó, khi đầu dò thu được di chuyển dọc theo đường, số đọc của bộ dò sẽ tăng và giảm một cách tuần hoàn, cho thấy một cực đại trong các trường tại mỗi bụng của sóng đứng và một cực tiểu tại mỗi nút. Khoảng cách giữa hai nút (hay bụng) liên tiếp đúng bằng λ_g/2. Điều này cho một cách thuận tiện để đo bước sóng trong ống dẫn. Nếu tần số bây giờ được di chuyển gần hơn tới ω_c, các khoảng cách giữa các nút tăng lên, cho thấy rằng bước sóng trong ống dẫn tăng như được dự đoán bởi Pt. (24.19).

Bây giờ giả sử máy phát tín hiệu được đặt ở một tần số chỉ hơi dưới ω_c một chút. Khi đó đầu ra của bộ dò sẽ giảm dần khi đầu dò thu được di chuyển xuống ống dẫn. Nếu tần số được đặt thấp hơn phần nào, cường độ trường sẽ giảm nhanh, đi theo đường cong của Hình 24–7, và cho thấy rằng sóng không được truyền.

24–6  Hệ thống ống dẫn sóng

Một ứng dụng thực tế quan trọng của các ống dẫn sóng là cho việc truyền công suất tần số cao, như, chẳng hạn, trong việc ghép bộ dao động tần số cao hay bộ khuếch đại đầu ra của một bộ radar tới một ăng-ten. Thực tế, bản thân ăng-ten thường gồm một vật phản xạ parabol được cấp tại tiêu điểm của nó bởi một ống dẫn sóng loe ra ở đầu để làm một “loa” bức xạ các sóng đi dọc theo ống dẫn. Mặc dù các tần số cao có thể được truyền dọc theo một cáp đồng trục, một ống dẫn sóng tốt hơn cho việc truyền các lượng công suất lớn. Trước hết, công suất tối đa có thể được truyền dọc theo một đường dây bị giới hạn bởi sự đánh thủng của lớp cách điện (rắn hay khí) giữa các vật dẫn. Đối với một lượng công suất cho trước, các cường độ trường trong một ống dẫn thường nhỏ hơn chúng trong một cáp đồng trục, vậy các công suất cao hơn có thể được truyền trước khi sự đánh thủng xảy ra. Thứ hai, các mất mát công suất trong cáp đồng trục thường lớn hơn trong một ống dẫn sóng. Trong một cáp đồng trục phải có vật liệu cách điện để đỡ vật dẫn trung tâm, và có một mất mát năng lượng trong vật liệu này — đặc biệt ở các tần số cao. Ngoài ra, các mật độ dòng trên vật dẫn trung tâm khá cao, và vì các mất mát đi theo bình phương của mật độ dòng, các dòng thấp hơn xuất hiện trên các thành của ống dẫn dẫn tới các mất mát năng lượng thấp hơn. Để giữ các mất mát này ở mức tối thiểu, các bề mặt trong của ống dẫn thường được mạ bằng một vật liệu có độ dẫn điện cao, như bạc.

Bài toán nối một “mạch” với các ống dẫn sóng khá khác với bài toán mạch tương ứng ở các tần số thấp, và thường được gọi là “hệ thống ống” (plumbing) vi sóng. Nhiều thiết bị đặc biệt đã được phát triển cho mục đích này. Chẳng hạn, hai đoạn ống dẫn sóng thường được nối với nhau bằng các mặt bích, như có thể thấy trong Hình 24–9. Tuy nhiên, các kết nối như vậy có thể gây ra các mất mát năng lượng nghiêm trọng, vì các dòng điện bề mặt phải chảy qua mối nối, nơi có thể có một điện trở tương đối cao. Một cách tránh các mất mát như vậy là làm các mặt bích như được chỉ trong mặt cắt ngang vẽ trong Hình 24–10. Một khoảng trống nhỏ được để lại giữa các đoạn kề nhau của ống dẫn, và một rãnh được cắt vào mặt của một trong các mặt bích để làm một hốc nhỏ thuộc loại được chỉ trong Hình 23–16(c). Các kích thước được chọn sao cho hốc này cộng hưởng ở tần số đang được dùng. Hốc cộng hưởng này trình ra một “trở kháng” cao đối với các dòng điện, vậy tương đối ít dòng chảy qua các mối nối kim loại (tại a trong Hình 24–10). Các dòng lớn trong ống dẫn đơn giản chỉ nạp và xả “điện dung” của khe (tại b trong hình), nơi có ít sự tiêu tán năng lượng.

Giả sử bạn muốn chặn một ống dẫn sóng theo một cách sẽ không dẫn tới các sóng phản xạ. Khi đó bạn phải đặt một cái gì đó ở đầu mà bắt chước một độ dài vô hạn của ống dẫn. Bạn cần một “đầu kết thúc” hoạt động đối với ống dẫn như trở kháng đặc trưng hoạt động đối với một đường truyền — một cái gì đó hấp thụ các sóng tới mà không tạo ra phản xạ. Khi đó ống dẫn sẽ hoạt động như thể nó đi mãi mãi. Các đầu kết thúc như vậy được làm bằng cách đặt bên trong ống dẫn một số nêm bằng vật liệu điện trở được thiết kế cẩn thận để hấp thụ năng lượng sóng trong khi hầu như không tạo ra sóng phản xạ nào.

Nếu bạn muốn nối ba thứ với nhau — chẳng hạn, một nguồn tới hai ăng-ten khác nhau — khi đó bạn có thể dùng một “T” như cái được chỉ trong Hình 24–11. Công suất được cấp vào ở đoạn giữa của “T” sẽ bị chia ra và đi ra hai cánh bên (và cũng có thể có một số sóng phản xạ). Bạn có thể thấy một cách định tính từ các phác họa trong Hình 24–12 rằng các trường sẽ lan rộng ra khi chúng tới đầu của đoạn đầu vào và tạo ra các điện trường sẽ khởi phát các sóng đi ra hai cánh. Tùy thuộc vào việc các điện trường trong ống dẫn song song hay vuông góc với “phần trên” của “T”, các trường tại chỗ nối sẽ gần như được chỉ trong (a) hay (b) của Hình 24–12.

Cuối cùng, chúng ta muốn mô tả một thiết bị gọi là “bộ ghép đơn hướng”, rất hữu ích để cho biết điều gì đang xảy ra sau khi bạn đã nối một cách sắp xếp phức tạp các ống dẫn sóng. Giả sử bạn muốn biết sóng đang đi theo chiều nào trong một đoạn ống dẫn cụ thể — chẳng hạn bạn có thể đang thắc mắc liệu có một sóng phản xạ mạnh hay không. Bộ ghép đơn hướng lấy ra một phần nhỏ công suất của một ống dẫn nếu có một sóng đi theo một chiều, nhưng không lấy gì nếu sóng đi theo chiều kia. Bằng cách nối đầu ra của bộ ghép tới một bộ dò, bạn có thể đo công suất “một chiều” trong ống dẫn.

Hình 24–13 là một hình vẽ của một bộ ghép đơn hướng; một đoạn ống dẫn sóng AB có một đoạn ống dẫn sóng khác CD được hàn vào nó dọc theo một mặt. Ống dẫn CD được uốn cong ra xa sao cho có chỗ cho các mặt bích nối. Trước khi các ống dẫn được hàn với nhau, hai (hay nhiều hơn) lỗ đã được khoan trong mỗi ống dẫn (khớp với nhau) sao cho một phần các trường trong ống dẫn chính AB có thể được ghép vào ống dẫn phụ CD. Mỗi lỗ hoạt động như một ăng-ten nhỏ tạo ra một sóng trong ống dẫn phụ. Nếu chỉ có một lỗ, sóng sẽ được gửi theo cả hai hướng và sẽ như nhau bất kể sóng đang đi theo chiều nào trong ống dẫn chính. Nhưng khi có hai lỗ với khoảng cách tách ra bằng một phần tư bước sóng trong ống dẫn, chúng sẽ tạo ra hai nguồn lệch pha nhau 90°. Bạn có nhớ rằng chúng ta đã xét trong Chương 29 của Tập I sự giao thoa của các sóng từ hai ăng-ten cách nhau λ/4 và được kích thích lệch pha nhau 90° theo thời gian? Chúng ta đã tìm thấy rằng các sóng trừ nhau theo một hướng và cộng nhau theo hướng ngược lại. Điều tương tự sẽ xảy ra ở đây. Sóng được tạo ra trong ống dẫn CD sẽ đi theo cùng hướng như sóng trong AB.

Nếu sóng trong ống dẫn chính đang truyền từ A về phía B, sẽ có một sóng ở đầu ra D của ống dẫn phụ. Nếu sóng trong ống dẫn chính đi từ B về phía A, sẽ có một sóng đi về phía đầu C của ống dẫn phụ. Đầu này được trang bị một đầu kết thúc, sao cho sóng này bị hấp thụ và không có sóng ở đầu ra của bộ ghép.

24–7  Các mode của ống dẫn sóng

Sóng chúng ta đã chọn để phân tích là một nghiệm đặc biệt của các phương trình trường. Còn nhiều nghiệm nữa. Mỗi nghiệm được gọi là một “mode” của ống dẫn sóng. Chẳng hạn, sự phụ thuộc vào x của trường của chúng ta đúng là một nửa chu kỳ của một sóng hình sin. Có một nghiệm tốt ngang như vậy với một chu kỳ đầy đủ; khi đó sự biến thiên của E_y theo x là như được chỉ trong Hình 24–14. k_x đối với một mode như vậy lớn gấp đôi, vậy tần số cắt cao hơn nhiều. Ngoài ra, trong sóng chúng ta đã nghiên cứu, E chỉ có một thành phần y, nhưng có các mode khác với các điện trường phức tạp hơn. Nếu điện trường chỉ có các thành phần trong x và y — sao cho tổng điện trường luôn vuông góc với hướng z — mode được gọi là một mode “điện ngang” (hay TE). Từ trường của các mode như vậy sẽ luôn có một thành phần z. Hóa ra nếu E có một thành phần theo hướng z (dọc theo hướng truyền), thì từ trường sẽ luôn chỉ có các thành phần ngang. Vậy các trường như vậy được gọi là các mode từ ngang (TM). Đối với một ống dẫn hình chữ nhật, mọi mode khác đều có một tần số cắt cao hơn mode TE đơn giản chúng ta đã mô tả. Do đó, có thể — và thông thường — dùng một ống dẫn với một tần số chỉ trên tần số cắt đối với mode thấp nhất này nhưng dưới tần số cắt đối với mọi mode khác, sao cho chỉ một mode đó được truyền. Nếu không, hành vi trở nên phức tạp và khó kiểm soát.

24–8  Một cách nhìn khác về các sóng được dẫn

Bây giờ chúng ta muốn chỉ cho bạn một cách khác để hiểu vì sao một ống dẫn sóng làm suy giảm các trường nhanh chóng đối với các tần số dưới tần số cắt ω_c. Khi đó bạn sẽ có một ý tưởng “vật lý” hơn về vì sao hành vi thay đổi mạnh như vậy giữa các tần số thấp và cao. Chúng ta có thể làm điều này đối với ống dẫn hình chữ nhật bằng cách phân tích các trường theo kiểu các phản xạ — hay các ảnh — trong các thành của ống dẫn. Tuy nhiên, cách tiếp cận này chỉ hoạt động đối với các ống dẫn hình chữ nhật; đó là vì sao chúng ta đã bắt đầu với phân tích toán học hơn, về nguyên tắc hoạt động đối với các ống dẫn có hình dạng bất kỳ.

Đối với mode chúng ta đã mô tả, kích thước dọc (theo y) không có hiệu ứng gì, vậy chúng ta có thể bỏ qua phần trên và phần dưới của ống dẫn và tưởng tượng rằng ống dẫn được kéo dài vô hạn theo hướng dọc. Khi đó chúng ta tưởng tượng rằng ống dẫn chỉ gồm hai tấm dọc với khoảng cách tách ra a.

Hãy nói rằng nguồn của các trường là một dây dọc được đặt ở giữa ống dẫn, với dây mang một dòng điện dao động ở tần số ω. Khi không có các thành ống dẫn, một dây như vậy sẽ bức xạ các sóng hình trụ.

Bây giờ chúng ta xét rằng các thành ống dẫn là các vật dẫn hoàn hảo. Khi đó, đúng như trong tĩnh điện học, các điều kiện tại bề mặt sẽ đúng nếu chúng ta cộng vào trường của dây trường của một hoặc nhiều dây ảnh thích hợp. Ý tưởng ảnh hoạt động tốt hệt như vậy đối với điện động lực học như đối với tĩnh điện học, dĩ nhiên với điều kiện chúng ta cũng bao gồm các sự trễ. Chúng ta biết điều đó đúng vì chúng ta thường thấy một gương tạo ra một ảnh của một nguồn sáng. Và một gương đúng là một vật dẫn “hoàn hảo” đối với các sóng điện từ có các tần số quang học.

Bây giờ hãy lấy một mặt cắt ngang, như được chỉ trong Hình 24–15, trong đó W₁ và W₂ là hai thành ống dẫn và S₀ là dây nguồn. Chúng ta gọi hướng của dòng điện trong dây là dương. Bây giờ nếu chỉ có một thành, chẳng hạn W₁, chúng ta có thể loại bỏ nó nếu chúng ta đặt một nguồn ảnh (với cực tính ngược lại) tại vị trí được đánh dấu S₁. Nhưng với cả hai thành ở tại chỗ cũng sẽ có một ảnh của S₀ trong thành W₂, mà chúng ta chỉ là ảnh S₂. Nguồn này, cũng vậy, sẽ có một ảnh trong W₁, mà chúng ta gọi là S₃. Bây giờ cả S₁ và S₃ sẽ có các ảnh trong W₂ tại các vị trí được đánh dấu S₄ và S₆, và cứ thế. Đối với hai vật dẫn phẳng của chúng ta với nguồn ở giữa, các trường là như các trường được tạo ra bởi một hàng vô hạn các nguồn, tất cả cách nhau khoảng cách a. (Nó, thực tế, đúng là điều bạn sẽ nhìn thấy nếu bạn nhìn vào một dây được đặt giữa hai gương song song.) Để các trường bằng không tại các thành, cực tính của các dòng điện trong các ảnh phải luân phiên từ ảnh này sang ảnh tiếp theo. Nói cách khác, chúng dao động lệch pha nhau 180°. Trường của ống dẫn sóng, khi đó, đúng là sự chồng chất của các trường của một tập vô hạn các nguồn đường như vậy.

Chúng ta biết rằng nếu chúng ta ở gần các nguồn, trường rất giống các trường tĩnh. Chúng ta đã xét trong Mục 7–5 trường tĩnh của một lưới các nguồn đường và đã tìm thấy rằng nó giống trường của một tấm tích điện ngoại trừ các số hạng giảm theo hàm mũ theo khoảng cách tính từ lưới. Ở đây cường độ nguồn trung bình bằng không, vì dấu luân phiên từ nguồn này sang nguồn tiếp theo. Bất kỳ trường nào tồn tại cũng sẽ tắt đi theo hàm mũ theo khoảng cách. Gần nguồn, chúng ta thấy trường chủ yếu của nguồn gần nhất; ở các khoảng cách lớn, nhiều nguồn đóng góp và hiệu ứng trung bình của chúng bằng không. Vậy bây giờ chúng ta thấy vì sao ống dẫn sóng dưới tần số cắt cho một trường giảm theo hàm mũ. Ở các tần số thấp, đặc biệt, xấp xỉ tĩnh là tốt, và nó dự đoán một sự suy giảm nhanh của các trường theo khoảng cách.

Bây giờ chúng ta đứng trước câu hỏi ngược lại: Vì sao sóng lại được truyền chút nào? Đó là phần bí ẩn! Lý do là ở các tần số cao sự trễ của các trường có thể đưa vào các thay đổi pha bổ sung có thể làm cho các trường của các nguồn lệch pha cộng lại thay vì triệt tiêu. Thực tế, trong Chương 29 của Tập I chúng ta đã nghiên cứu, đúng cho bài toán này, các trường được tạo ra bởi một dãy ăng-ten hay bởi một cách tử quang học. Ở đó chúng ta đã tìm thấy rằng khi vài ăng-ten radio được sắp xếp thích hợp, chúng có thể cho một hình giao thoa có một tín hiệu mạnh theo một hướng nào đó nhưng không có tín hiệu theo một hướng khác.

Giả sử chúng ta quay lại Hình 24–15 và nhìn vào các trường tới ở một khoảng cách lớn tính từ dãy các nguồn ảnh. Các trường sẽ chỉ mạnh theo một số hướng nhất định phụ thuộc vào tần số — chỉ theo các hướng đó mà đối với chúng các trường từ mọi nguồn cộng cùng pha. Ở một khoảng cách hợp lý tính từ các nguồn, trường truyền theo các hướng đặc biệt này dưới dạng sóng phẳng. Chúng ta đã phác họa một sóng như vậy trong Hình 24–16, trong đó các đường liền biểu diễn các đỉnh sóng và các đường đứt biểu diễn các hõm sóng. Hướng sóng sẽ là hướng mà đối với nó hiệu trong sự trễ đối với hai nguồn kề nhau tới một đỉnh của một sóng tương ứng với một nửa chu kỳ dao động. Nói cách khác, hiệu giữa r₂ và r₀ trong hình là một nửa bước sóng trong không gian tự do:

r₂ − r₀ = λ₀/2.

Góc θ khi đó được cho bởi

sin θ = λ₀/2a.   (24.33)

Dĩ nhiên, có một tập sóng khác truyền xuống dưới ở góc đối xứng đối với dãy các nguồn. Trường đầy đủ của ống dẫn sóng (không quá gần nguồn) là sự chồng chất của hai tập sóng này, như được chỉ trong Hình 24–17. Các trường thực tế dĩ nhiên thực sự như thế này, chỉ ở giữa hai thành của ống dẫn sóng.

Tại các điểm như A và C, các đỉnh của hai mẫu sóng trùng nhau, và trường sẽ có một cực đại; tại các điểm như B, cả hai sóng đều có giá trị âm đỉnh của chúng, và trường có cực tiểu của nó (giá trị âm lớn nhất). Khi thời gian trôi qua, trường trong ống dẫn dường như đang truyền dọc theo ống dẫn với một bước sóng λ_g, là khoảng cách từ A tới C. Khoảng cách đó liên hệ với θ bởi

cos θ = λ₀/λ_g.   (24.34)

Dùng Pt. (24.33) cho θ, chúng ta thu được rằng

λ_g = λ₀/cos θ = λ₀ / √[1 − (λ₀/2a)²],   (24.35)

đúng là điều chúng ta đã tìm thấy trong Pt. (24.19).

Bây giờ chúng ta thấy vì sao chỉ có sự truyền sóng trên tần số cắt ω₀. Nếu bước sóng trong không gian tự do dài hơn 2a, không có góc nào mà tại đó các sóng được chỉ trong Hình 24–16 có thể xuất hiện. Sự giao thoa tăng cường cần thiết xuất hiện đột ngột khi λ₀ giảm xuống dưới 2a, hay khi ω đi lên trên ω₀ = πc/a.

Nếu tần số đủ cao, có thể có hai hay nhiều hướng có thể mà theo đó các sóng sẽ xuất hiện. Đối với trường hợp của chúng ta, điều này sẽ xảy ra nếu λ₀ < (2/3)a. Tuy nhiên, nói chung, nó cũng có thể xảy ra khi λ₀ < a. Các sóng bổ sung này tương ứng với các mode ống dẫn cao hơn chúng ta đã đề cập.

Phân tích của chúng ta cũng đã làm rõ vì sao vận tốc pha của các sóng được dẫn lớn hơn c và vì sao vận tốc này phụ thuộc vào ω. Khi ω thay đổi, góc của các sóng tự do của Hình 24–16 thay đổi, và do đó tốc độ dọc theo ống dẫn cũng thế.

Mặc dù chúng ta đã mô tả sóng được dẫn như sự chồng chất của các trường của một dãy vô hạn các nguồn đường, bạn có thể thấy rằng chúng ta sẽ đi tới cùng kết quả nếu chúng ta tưởng tượng hai tập sóng trong không gian tự do liên tục bị phản xạ tới lui giữa hai gương hoàn hảo — nhớ rằng một phản xạ có nghĩa là một sự đảo ngược pha. Các tập sóng phản xạ này sẽ tất cả triệt tiêu lẫn nhau trừ khi chúng đang đi ở đúng góc θ được cho trong Pt. (24.33). Có nhiều cách nhìn vào cùng một điều.