Chương 30: Hình học bên trong của các tinh thể

30–1  Hình học bên trong của các tinh thể

Chúng ta đã học xong các định luật cơ bản của điện và từ, và bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất điện từ của vật chất. Chúng ta bắt đầu bằng cách mô tả các chất rắn — tức là, các tinh thể. Khi các nguyên tử của vật chất không di chuyển quanh nhiều lắm, chúng dính lại với nhau và sắp xếp thành một cấu hình có năng lượng thấp nhất có thể. Nếu các nguyên tử ở một nơi nào đó đã tìm thấy một mẫu hình dường như có năng lượng thấp, thì các nguyên tử ở một nơi khác có lẽ sẽ tạo cùng một sự sắp xếp. Vì các lý do này, chúng ta có trong một vật liệu rắn một mẫu hình lặp lại của các nguyên tử.

Nói cách khác, các điều kiện trong một tinh thể là như thế này: Môi trường của một nguyên tử cụ thể trong một tinh thể có một sự sắp xếp nào đó, và nếu bạn nhìn vào cùng loại nguyên tử ở một nơi khác xa hơn dọc theo, bạn sẽ tìm thấy một nguyên tử mà môi trường xung quanh của nó đúng y như vậy. Nếu bạn chọn một nguyên tử xa hơn nữa với cùng khoảng cách, bạn sẽ lại tìm thấy các điều kiện đúng y như vậy một lần nữa. Mẫu hình được lặp lại mãi mãi — và, dĩ nhiên, trong ba chiều.

Hãy tưởng tượng bài toán thiết kế một giấy dán tường — hay một tấm vải, hay một thiết kế hình học nào đó cho một diện tích phẳng — trong đó bạn phải có một phần tử thiết kế lặp lại và lặp lại và lặp lại, sao cho bạn có thể làm diện tích lớn tùy ý. Đây là tương tự hai chiều của một bài toán mà một tinh thể giải quyết trong ba chiều. Chẳng hạn, Hình 30–1(a) cho thấy một loại thiết kế giấy dán tường thông thường. Có một phần tử duy nhất được lặp lại trong một mẫu hình có thể tiếp tục mãi mãi. Các đặc trưng hình học của thiết kế giấy dán tường này, chỉ xét các tính chất lặp lại của nó và không lo về hình học của bông hoa tự nó hay giá trị nghệ thuật của nó, được chứa trong Hình 30–1(b). Nếu bạn bắt đầu ở bất kỳ điểm nào, bạn có thể tìm thấy điểm tương ứng bằng cách di chuyển khoảng cách a dọc theo hướng của mũi tên 1. Bạn cũng có thể tới một điểm tương ứng nếu bạn di chuyển khoảng cách b theo hướng của mũi tên còn lại. Dĩ nhiên, có nhiều hướng khác. Bạn có thể đi, chẳng hạn, từ điểm α tới điểm β và tới một vị trí tương ứng, nhưng một bước như vậy có thể được coi là một tổ hợp của một bước dọc theo hướng 1, tiếp theo là một bước dọc theo hướng 2. Một trong các tính chất cơ bản của mẫu hình có thể được mô tả bằng hai bước ngắn nhất tới các vị trí bằng nhau gần đó. Bởi các vị trí “bằng nhau” chúng ta có nghĩa là nếu bạn đứng ở bất kỳ một trong chúng và nhìn quanh, bạn sẽ thấy đúng y như khi bạn đứng ở một vị trí khác. Đó là tính chất căn bản của một tinh thể. Khác biệt duy nhất là một tinh thể là một sự sắp xếp ba chiều thay vì một sự sắp xếp hai chiều; và dĩ nhiên, thay vì các bông hoa, mỗi phần tử của mạng là một sự sắp xếp nào đó của các nguyên tử — có lẽ sáu nguyên tử hydro và hai nguyên tử cacbon — trong một mẫu hình nào đó. Mẫu hình của các nguyên tử trong một tinh thể có thể được tìm ra bằng thực nghiệm bởi nhiễu xạ tia X. Chúng ta đã đề cập vắn tắt phương pháp này trước đây, và sẽ không nói thêm nữa bây giờ ngoại trừ rằng sự sắp xếp chính xác của các nguyên tử trong không gian đã được tính ra cho hầu hết các tinh thể đơn giản và cũng cho một số tinh thể khá phức tạp.

Mẫu hình nội tại của một tinh thể xuất hiện theo vài cách. Trước hết, độ bền liên kết của các nguyên tử theo các hướng nhất định thường mạnh hơn theo các hướng khác. Điều này có nghĩa là có các mặt phẳng nhất định qua tinh thể mà dọc theo chúng nó dễ bị vỡ hơn các mặt khác. Chúng được gọi là các mặt phẳng cát khai. Nếu bạn nứt một tinh thể bằng một lưỡi dao, nó sẽ thường tách ra dọc theo một mặt phẳng như vậy. Thứ hai, cấu trúc nội tại thường xuất hiện ở bề mặt vì cách tinh thể được hình thành. Hãy tưởng tượng một tinh thể đang được lắng đọng ra khỏi một dung dịch. Có các nguyên tử trôi nổi quanh trong dung dịch và cuối cùng lắng xuống khi chúng tìm thấy một vị trí có năng lượng thấp nhất. (Nó như thể giấy dán tường được tạo ra bởi các bông hoa trôi dạt quanh cho tới khi một bông tình cờ trôi vào đúng chỗ và bị dính lại, rồi bông tiếp theo, và bông tiếp theo nữa, sao cho mẫu hình dần dần lớn lên.) Bạn có thể thấy rằng sẽ có các hướng nhất định mà dọc theo chúng nó sẽ tăng trưởng với một tốc độ khác so với các hướng khác, qua đó lớn lên thành một hình dạng hình học nào đó. Vì các hiệu ứng như vậy, các bề mặt ngoài của nhiều tinh thể cho thấy một phần đặc tính của sự sắp xếp nội tại của các nguyên tử.

Chẳng hạn, Hình 30–2(a) cho thấy hình dạng của một tinh thể thạch anh điển hình mà mẫu hình nội tại của nó là lục giác. Nếu bạn nhìn kỹ một tinh thể như vậy, bạn sẽ để ý rằng mặt ngoài không tạo thành một lục giác rất tốt vì các cạnh không phải tất cả đều có độ dài bằng nhau — chúng, thực ra, thường rất không bằng nhau. Nhưng ở một khía cạnh nó là một lục giác rất tốt: các góc giữa các mặt đúng bằng 120°. Rõ ràng, kích thước của bất kỳ mặt cụ thể nào là một tai nạn của sự tăng trưởng, nhưng các góc là một biểu diễn của hình học nội tại. Vậy mọi tinh thể thạch anh đều có một hình dạng khác nhau, mặc dù các góc giữa các mặt tương ứng luôn như nhau.

Hình học nội tại của một tinh thể natri clorua cũng hiển nhiên từ hình dạng bên ngoài của nó. Hình 30–2(b) cho thấy hình dạng của một hạt muối điển hình. Lại nữa tinh thể không phải là một khối lập phương hoàn hảo, nhưng các mặt thì đúng vuông góc với nhau.

Một tinh thể phức tạp hơn là mica, có hình dạng chỉ trong Hình 30–2(c). Nó là một tinh thể rất dị hướng, như dễ thấy từ sự thật rằng nó rất dai nếu bạn cố kéo nó rời ra theo một hướng (theo chiều ngang trong hình), nhưng rất dễ tách ra bằng cách kéo rời theo hướng khác (theo chiều dọc). Nó thường được dùng để thu được các tấm rất dai, mỏng. Mica và thạch anh là hai ví dụ của các khoáng vật tự nhiên chứa silica. Một ví dụ thứ ba của một khoáng vật có silica là amiăng, có tính chất thú vị là nó dễ dàng bị kéo rời theo hai hướng nhưng không theo hướng thứ ba. Nó dường như được làm bằng các sợi tuyến tính rất bền.

30–2  Các liên kết hóa học trong tinh thể

Các tính chất cơ học của tinh thể rõ ràng phụ thuộc vào loại liên kết hóa học giữa các nguyên tử. Độ bền rất khác nhau một cách nổi bật của mica dọc theo các hướng khác nhau phụ thuộc vào các loại liên kết giữa các nguyên tử theo các hướng khác nhau. Bạn đã học trong hóa học, không nghi ngờ gì, về các loại liên kết hóa học khác nhau. Trước hết, có các liên kết ion, như chúng ta đã thảo luận đối với natri clorua. Nói một cách thô, các nguyên tử natri đã mất một electron và trở thành các ion dương; các nguyên tử clo đã nhận một electron và trở thành các ion âm. Các ion dương và âm được sắp xếp trong một bàn cờ ba chiều và được giữ lại với nhau bởi các lực điện.

Liên kết cộng hóa trị — trong đó các electron được chia sẻ giữa hai nguyên tử — phổ biến hơn và thường rất mạnh. Trong một viên kim cương, chẳng hạn, các nguyên tử cacbon có các liên kết cộng hóa trị theo cả bốn hướng tới các lân cận gần nhất, nên tinh thể quả thực rất cứng. Cũng có liên kết cộng hóa trị giữa silic và oxy trong một tinh thể thạch anh, nhưng ở đó liên kết thực ra chỉ cộng hóa trị một phần. Vì không có sự chia sẻ hoàn toàn của các electron, các nguyên tử bị tích điện một phần, và tinh thể có phần nào tính ion. Tự nhiên không đơn giản như chúng ta cố làm cho nó; thực ra có mọi cấp độ có thể giữa liên kết cộng hóa trị và liên kết ion.

Một tinh thể đường có một loại liên kết nữa. Trong nó có các phân tử lớn mà trong đó các nguyên tử được giữ mạnh với nhau bởi các liên kết cộng hóa trị, nên phân tử là một cấu trúc dai. Nhưng vì các liên kết mạnh đã hoàn toàn bão hòa, chỉ có các lực hút tương đối yếu giữa các phân tử riêng rẽ, độc lập. Trong các tinh thể phân tử như vậy các phân tử giữ bản sắc riêng của chúng, có thể nói như vậy, và sự sắp xếp nội tại có thể như chỉ trong Hình 30–3. Vì các phân tử không được giữ mạnh với nhau, các tinh thể dễ vỡ. Chúng khá khác với một thứ như kim cương, thực ra là một phân tử khổng lồ duy nhất không thể bị vỡ ở bất cứ đâu mà không phá vỡ các liên kết cộng hóa trị mạnh. Paraffin là một ví dụ khác của một tinh thể phân tử.

Một ví dụ cực đoan của một tinh thể phân tử xảy ra trong một chất như argon rắn. Có rất ít lực hút giữa các nguyên tử — mỗi nguyên tử là một phân tử đơn nguyên tử hoàn toàn bão hòa. Nhưng ở các nhiệt độ rất thấp, chuyển động nhiệt rất nhỏ, nên các lực giữa các nguyên tử nhẹ cũng có thể khiến các nguyên tử lắng xuống thành một mảng đều đặn như một đống các quả cầu xếp chặt.

Các kim loại tạo thành một lớp chất hoàn toàn khác. Liên kết thuộc một loại hoàn toàn khác. Trong một kim loại, liên kết không phải giữa các nguyên tử kề nhau mà là một tính chất của toàn bộ tinh thể. Các electron hóa trị không gắn với một nguyên tử hay với một cặp nguyên tử mà được chia sẻ khắp tinh thể. Mỗi nguyên tử đóng góp một electron vào một bể electron phổ quát, và các ion dương nguyên tử cư trú trong biển các electron âm. Biển electron giữ các ion lại với nhau như một loại keo nào đó.

Trong các kim loại, vì không có các liên kết đặc biệt theo bất kỳ hướng cụ thể nào, không có tính định hướng mạnh trong liên kết. Tuy nhiên, chúng vẫn là tinh thể, bởi vì tổng năng lượng là thấp nhất khi các ion nguyên tử được sắp xếp trong một mảng xác định nào đó — mặc dù năng lượng của sự sắp xếp được ưa thích thường không thấp hơn nhiều so với các khả năng khác. Theo một gần đúng thứ nhất, các nguyên tử của nhiều kim loại giống như các quả cầu nhỏ được đóng gói chặt nhất có thể.

30–3  Sự tăng trưởng của tinh thể

Hãy thử tưởng tượng sự hình thành tự nhiên của các tinh thể trong trái đất. Trong bề mặt trái đất có một hỗn hợp lớn của mọi loại nguyên tử. Chúng liên tục bị khuấy đảo bởi tác động núi lửa, bởi gió, và bởi nước — liên tục bị di chuyển quanh và trộn lẫn. Thế nhưng, bằng một mánh khóe nào đó, các nguyên tử silic dần dần bắt đầu tìm thấy nhau, và tìm thấy các nguyên tử oxy, để tạo ra silica. Từng nguyên tử một được thêm vào các nguyên tử khác để xây dựng một tinh thể — hỗn hợp được không-trộn. Và ở đâu đó gần đó, các nguyên tử natri và clo đang tìm thấy nhau và xây dựng một tinh thể muối.

Làm thế nào mà một khi một tinh thể đã bắt đầu, nó chỉ cho phép một loại nguyên tử cụ thể tham gia vào? Nó xảy ra bởi vì toàn bộ hệ đang hoạt động hướng tới năng lượng thấp nhất có thể. Một tinh thể đang tăng trưởng sẽ chấp nhận một nguyên tử mới nếu nó sẽ làm năng lượng thấp nhất có thể. Nhưng làm thế nào nó biết rằng một nguyên tử silic — hay một nguyên tử oxy — ở một chỗ cụ thể nào đó sẽ dẫn đến năng lượng thấp nhất có thể? Nó làm điều đó bằng thử và sai. Trong chất lỏng, mọi nguyên tử đều trong chuyển động vĩnh cửu. Mỗi nguyên tử va chạm với các lân cận của nó khoảng 10¹³ lần mỗi giây. Nếu nó va vào đúng chỗ của tinh thể đang tăng trưởng, nó có một cơ hội hơi nhỏ hơn để nhảy ra lại nếu năng lượng thấp. Bằng cách liên tục kiểm tra trong các khoảng thời gian hàng triệu năm với tốc độ 10¹³ lần kiểm tra mỗi giây, các nguyên tử dần dần xây dựng tại các nơi mà chúng tìm thấy năng lượng thấp nhất của chúng. Cuối cùng chúng lớn lên thành các tinh thể lớn.

30–4  Các mạng tinh thể

Sự sắp xếp của các nguyên tử trong một tinh thể — mạng tinh thể — có thể nhận nhiều dạng hình học. Chúng ta muốn mô tả trước hết các mạng đơn giản nhất, vốn là đặc trưng của hầu hết các kim loại và của dạng rắn của các khí trơ. Chúng là các mạng lập phương có thể xảy ra trong hai dạng: lập phương tâm khối, chỉ trong Hình 30–4(a), và lập phương tâm mặt chỉ trong Hình 30–4(b). Các hình vẽ chỉ cho thấy, dĩ nhiên, một khối lập phương của mạng; bạn phải tưởng tượng rằng mẫu hình được lặp lại vô hạn trong ba chiều. Cũng vậy, để làm hình vẽ rõ ràng hơn, chỉ các “tâm” của các nguyên tử được chỉ ra. Trong một tinh thể thực, các nguyên tử giống các quả cầu tiếp xúc với nhau hơn. Các quả cầu tối và sáng trong các hình vẽ có thể, nói chung, đại diện cho các loại nguyên tử khác nhau hoặc có thể cùng loại. Chẳng hạn, sắt có một mạng lập phương tâm khối ở các nhiệt độ thấp, nhưng một mạng lập phương tâm mặt ở các nhiệt độ cao hơn. Các tính chất vật lý khá khác nhau trong hai dạng tinh thể.

Làm thế nào các dạng như vậy xuất hiện? Hãy tưởng tượng rằng bạn có bài toán đóng gói các nguyên tử hình cầu lại với nhau chặt nhất có thể. Một cách sẽ là bắt đầu bằng cách tạo một lớp trong một “mảng lục giác xếp chặt,” như chỉ trong Hình 30–5(a). Sau đó bạn có thể xây dựng một lớp thứ hai giống lớp đầu, nhưng bị dịch chuyển theo chiều ngang, như chỉ trong Hình 30–5(b). Tiếp theo, bạn có thể đặt lên lớp thứ ba. Nhưng hãy để ý! Có hai cách phân biệt để đặt lớp thứ ba. Nếu bạn bắt đầu lớp thứ ba bằng cách đặt một nguyên tử tại A trong Hình 30–5(b), mỗi nguyên tử trong lớp thứ ba nằm trực tiếp phía trên một nguyên tử của lớp đáy. Mặt khác, nếu bạn bắt đầu lớp thứ ba bằng cách đặt một nguyên tử tại vị trí B, các nguyên tử của lớp thứ ba sẽ được đặt tại các điểm đúng ở giữa của một tam giác tạo bởi ba nguyên tử của lớp đáy. Bất kỳ nơi bắt đầu nào khác cũng tương đương với A hoặc B, nên chỉ có hai cách đặt lớp thứ ba.

Nếu lớp thứ ba có một nguyên tử tại điểm B, mạng tinh thể là một lập phương tâm mặt — nhưng nhìn ở một góc. Có vẻ buồn cười là bắt đầu với các lục giác bạn có thể kết thúc với các khối lập phương. Nhưng hãy để ý rằng một khối lập phương nhìn từ một góc có một đường viền lục giác. Chẳng hạn, Hình 30–6 có thể biểu diễn một lục giác phẳng hoặc một khối lập phương nhìn trong phối cảnh!

Nếu một lớp thứ ba được thêm vào Hình 30–5(b) bằng cách bắt đầu với một nguyên tử tại A, không có cấu trúc lập phương, và mạng thay vào đó chỉ có một đối xứng lục giác. Rõ ràng là cả hai khả năng chúng ta đã mô tả đều xếp chặt như nhau.

Một số kim loại — chẳng hạn, đồng và bạc — chọn khả năng thứ nhất, lập phương tâm mặt. Các kim loại khác — chẳng hạn, beryllium và magiê — chọn khả năng còn lại; chúng tạo thành các tinh thể lục giác. Rõ ràng, mạng tinh thể nào xuất hiện không thể chỉ phụ thuộc vào việc đóng gói các quả cầu nhỏ, mà còn phải được xác định một phần bởi các yếu tố khác. Cụ thể, nó phụ thuộc vào sự phụ thuộc góc còn lại nhẹ của các lực giữa các nguyên tử (hay, trong trường hợp các kim loại, vào năng lượng của bể electron). Bạn sẽ, không nghi ngờ gì, học mọi thứ như vậy trong các khóa hóa học của mình.

30–5  Các đối xứng trong hai chiều

Bây giờ chúng ta muốn thảo luận một số tính chất của tinh thể từ quan điểm các đối xứng nội tại của chúng. Đặc trưng chính của một tinh thể là nếu bạn bắt đầu ở một nguyên tử và di chuyển tới một nguyên tử tương ứng cách một đơn vị mạng, bạn lại ở trong cùng loại môi trường. Đó là mệnh đề căn bản. Nhưng nếu bạn là một nguyên tử, sẽ có một loại thay đổi khác có thể đưa bạn lại tới cùng môi trường — tức là, một “đối xứng” khác có thể. Hình 30–7(a) cho thấy một “thiết kế kiểu giấy dán tường” khác có thể (mặc dù một thiết kế bạn có lẽ chưa từng thấy). Giả sử chúng ta so sánh các môi trường cho các điểm A và B. Bạn có thể, lúc đầu, nghĩ rằng chúng như nhau — nhưng không hẳn. Các điểm C và D tương đương với A, nhưng môi trường của B giống môi trường của A chỉ nếu môi trường xung quanh được đảo ngược, như trong một phản xạ gương.

Có các loại điểm “tương đương” khác trong mẫu hình. Chẳng hạn, các điểm E và F có các môi trường “như nhau” ngoại trừ một điểm được quay 90° so với điểm còn lại. Mẫu hình khá đặc biệt. Một phép quay 90° — hay bất kỳ bội số nào của nó — quanh một đỉnh như A cho lại cùng mẫu hình một lần nữa. Một tinh thể có cấu trúc như vậy sẽ có các góc vuông ở mặt ngoài, nhưng bên trong nó phức tạp hơn một khối lập phương đơn giản.

Bây giờ chúng ta đã mô tả một số ví dụ đặc biệt, hãy thử tìm ra mọi đối xứng có thể mà một tinh thể có thể có. Trước hết, chúng ta xét điều gì xảy ra trong một mặt phẳng. Một mạng phẳng có thể được định nghĩa bởi hai vector được gọi là nguyên thủy đi từ một điểm của mạng tới hai điểm tương đương gần nhất. Hai vector 1 và 2 là các vector nguyên thủy của mạng của Hình 30–1. Hai vector a và b của Hình 30–7(a) là các vector nguyên thủy của mẫu hình ở đó. Dĩ nhiên, chúng ta cũng có thể thay a bằng −a, hay b bằng −b. Vì a và b bằng nhau về độ lớn và vuông góc, một phép quay 90° biến a thành b, và b thành −a, cho lại cùng một mạng một lần nữa.

Chúng ta thấy rằng có các mạng có một đối xứng “bốn cạnh.” Và chúng ta đã mô tả trước đây một mảng xếp chặt dựa trên một lục giác có thể có một đối xứng sáu cạnh. Một phép quay mảng các vòng tròn trong Hình 30–5(a) đi một góc 60° quanh tâm của bất kỳ vòng tròn nào cũng đưa mẫu hình trở lại chính nó.

Có các loại đối xứng quay nào khác? Chúng ta có thể có, chẳng hạn, một đối xứng quay năm bậc hay tám bậc không? Dễ thấy rằng chúng là không thể. Đối xứng duy nhất có nhiều cạnh hơn bốn là một đối xứng sáu cạnh. Trước hết, hãy chỉ ra rằng đối xứng lớn hơn sáu bậc là không thể. Giả sử chúng ta thử tưởng tượng một mạng với hai vector nguyên thủy bằng nhau với một góc bao nhỏ hơn 60°, như trong Hình 30–8(a). Chúng ta giả thiết rằng các điểm B và C tương đương với A, và rằng a và b là hai vector ngắn nhất từ A tới các lân cận tương đương của nó. Nhưng điều đó rõ ràng sai, bởi vì khoảng cách giữa B và C ngắn hơn khoảng cách từ một trong hai tới A. Hẳn phải có một lân cận tại D tương đương với A gần hơn B hay C. Chúng ta nên đã chọn b′ làm một trong các vector nguyên thủy của mình. Vậy góc giữa hai vector nguyên thủy phải là 60° hoặc lớn hơn. Đối xứng bát giác là không thể.

Thế còn đối xứng năm bậc? Nếu chúng ta giả thiết rằng các vector nguyên thủy a và b có độ dài bằng nhau và tạo một góc 2π/5 = 72°, như trong Hình 30–8(b), thì cũng sẽ có một điểm mạng tương đương tại D, ở 72° từ C. Nhưng vector b′ từ E tới D khi đó nhỏ hơn b, nên b không phải là một vector nguyên thủy. Không thể có đối xứng năm bậc. Các khả năng duy nhất không đưa chúng ta vào loại khó khăn này là θ = 60°, 90°, hoặc 120°. Không hay 180° cũng rõ ràng có thể. Một cách phát biểu kết quả của chúng ta là mẫu hình có thể được để nguyên không đổi bởi một phép quay một vòng đầy đủ (không thay đổi chút nào), một nửa vòng, một phần ba, một phần tư, hoặc một phần sáu của một vòng. Và đó là mọi đối xứng quay có thể trong một mặt phẳng — tổng cộng năm. Nếu θ = 2π/n, chúng ta nói về một đối xứng “n bậc.” Chúng ta nói rằng một mẫu hình với n bằng 4 hoặc bằng 6 có một “đối xứng cao hơn” một mẫu hình với n bằng 1 hoặc bằng 2.

Quay lại Hình 30–7(a), chúng ta thấy rằng mẫu hình có một đối xứng quay bốn bậc. Chúng ta đã vẽ trong Hình 30–7(b) một thiết kế khác có cùng các tính chất đối xứng như phần (a). Các hình nhỏ giống dấu phẩy là các vật không đối xứng dùng để định nghĩa đối xứng của thiết kế bên trong mỗi hình vuông. Hãy để ý rằng các dấu phẩy được đảo ngược trong các hình vuông xen kẽ, nên ô đơn vị lớn hơn một trong các hình vuông nhỏ. Nếu không có các dấu phẩy, mẫu hình vẫn sẽ có đối xứng bốn bậc, nhưng ô đơn vị sẽ nhỏ hơn. Các mẫu hình của Hình 30–7 cũng có các tính chất đối xứng khác. Chẳng hạn, một phản xạ qua bất kỳ đường đứt nét R–R nào cũng tái tạo cùng mẫu hình.

Các mẫu hình của Hình 30–7 còn có một loại đối xứng nữa. Nếu mẫu hình được phản xạ qua đường Y–Y và được dịch chuyển một hình vuông sang phải (hay trái), chúng ta quay lại mẫu hình gốc. Đường Y–Y được gọi là một đường “trượt” (glide).

Đây là mọi đối xứng có thể trong hai chiều. Còn một phép toán đối xứng không gian nữa tương đương trong hai chiều với một phép quay 180°, nhưng là một phép toán hoàn toàn phân biệt trong ba chiều. Đó là nghịch đảo. Bởi một phép nghịch đảo chúng ta có nghĩa là bất kỳ điểm nào ở độ dịch chuyển vector R từ một gốc nào đó [chẳng hạn, điểm A trong Hình 30–9(b)] được di chuyển tới điểm ở −R.

Một phép nghịch đảo của mẫu (a) của Hình 30–9 tạo ra một mẫu hình mới, nhưng một phép nghịch đảo của mẫu (b) tái tạo cùng mẫu hình. Đối với một mẫu hình hai chiều (như bạn có thể thấy từ hình), một phép nghịch đảo của mẫu (b) qua điểm A tương đương với một phép quay 180° quanh cùng điểm. Tuy nhiên, giả sử chúng ta làm mẫu hình trong Hình 30–9(b) thành ba chiều bằng cách tưởng tượng rằng các số 6 và 9 nhỏ mỗi cái có một “mũi tên” chỉ ra khỏi trang. Sau một phép nghịch đảo trong ba chiều mọi mũi tên sẽ bị đảo ngược, nên mẫu hình không được tái tạo. Nếu chúng ta chỉ các đầu và đuôi của các mũi tên bằng các dấu chấm và dấu chéo, lần lượt, chúng ta có thể tạo một mẫu hình ba chiều, như trong Hình 30–9(c), không đối xứng dưới một phép nghịch đảo, hoặc chúng ta có thể tạo một mẫu hình như mẫu chỉ trong (d), thì có một đối xứng như vậy. Hãy để ý rằng không thể mô phỏng một phép nghịch đảo ba chiều bằng bất kỳ tổ hợp phép quay nào.

Nếu chúng ta đặc trưng “đối xứng” của một mẫu hình — hay mạng — bằng các loại phép toán đối xứng chúng ta đã mô tả, hóa ra rằng đối với hai chiều có 17 mẫu hình phân biệt có thể. Chúng ta đã vẽ một mẫu hình có đối xứng thấp nhất có thể trong Hình 30–1, và một mẫu có đối xứng cao trong Hình 30–7. Chúng ta sẽ để lại cho bạn trò chơi thử tìm ra mọi mẫu hình trong 17 mẫu hình có thể.

Thật kỳ lạ là rất ít trong 17 mẫu hình có thể được dùng trong việc làm giấy dán tường và vải. Người ta luôn thấy cùng ba hay bốn mẫu hình cơ bản. Đây là vì thiếu trí tưởng tượng của các nhà thiết kế, hay bởi vì nhiều mẫu hình có thể không đẹp mắt?

30–6  Các đối xứng trong ba chiều

Cho tới nay chúng ta chỉ nói về các mẫu hình trong hai chiều. Tuy nhiên, những gì chúng ta thực sự quan tâm là các mẫu hình của các nguyên tử trong ba chiều. Trước hết, rõ ràng là một tinh thể ba chiều sẽ có ba vector nguyên thủy. Nếu chúng ta sau đó hỏi về các phép toán đối xứng có thể trong ba chiều, chúng ta thấy rằng có 230 đối xứng phân biệt có thể! Đối với một số mục đích, 230 loại này có thể được nhóm thành bảy lớp, được vẽ trong Hình 30–10. Mạng có đối xứng ít nhất được gọi là tam tà (triclinic). Ô đơn vị của nó là một hình hộp (parallelepiped). Các vector nguyên thủy có độ dài khác nhau, và không có hai góc nào giữa chúng bằng nhau. Không có khả năng của bất kỳ đối xứng quay hay đối xứng phản xạ nào. Tuy nhiên, vẫn có hai đối xứng có thể — ô đơn vị bị, hoặc không bị, thay đổi bởi một phép nghịch đảo qua đỉnh. (Bởi một phép nghịch đảo trong ba chiều, chúng ta lại có nghĩa là các độ dịch chuyển không gian R được thay bằng −R — nói cách khác, rằng (x, y, z) đi vào (−x, −y, −z)). Vậy mạng tam tà chỉ có hai đối xứng có thể, trừ khi có một quan hệ đặc biệt nào đó giữa các vector nguyên thủy. Chẳng hạn, nếu mọi vector đều bằng nhau và được tách bởi các góc bằng nhau, người ta có mạng tam phương (trigonal) chỉ trong hình. Hình này có thể có một đối xứng thêm; nó có thể không đổi bởi một phép quay quanh đường chéo chính dài.

Nếu một trong các vector nguyên thủy, chẳng hạn c, vuông góc với hai vector còn lại, chúng ta được một ô đơn vị đơn tà (monoclinic). Một đối xứng mới có thể — một phép quay 180° quanh c. Ô lục giác là một trường hợp đặc biệt trong đó các vector a và b bằng nhau và góc giữa chúng là 60°, nên một phép quay 60°, hoặc 120°, hoặc 180° quanh vector c lặp lại cùng một mạng (đối với một số đối xứng nội tại nhất định).

Nếu cả ba vector nguyên thủy đều vuông góc, nhưng có độ dài khác nhau, chúng ta được ô trực thoi (orthorhombic). Hình đối xứng đối với các phép quay 180° quanh ba trục. Các đối xứng bậc cao hơn có thể với ô tứ phương (tetragonal), có mọi góc vuông và hai vector nguyên thủy bằng nhau. Cuối cùng, có ô lập phương, là đối xứng nhất trong tất cả.

Điểm của mọi thảo luận này về các đối xứng là các đối xứng nội tại của các tinh thể xuất hiện — đôi khi theo các cách tinh tế — trong các tính chất vật lý vĩ mô của tinh thể. Chẳng hạn, một tinh thể sẽ, nói chung, có một độ phân cực điện tensor. Nếu chúng ta mô tả tensor theo ellipsoid phân cực, chúng ta nên kỳ vọng rằng một số đối xứng tinh thể cũng sẽ xuất hiện trong ellipsoid. Chẳng hạn, một tinh thể lập phương đối xứng đối với một phép quay 90° quanh bất kỳ một trong ba hướng trực giao nào. Rõ ràng, ellipsoid duy nhất có tính chất này là một mặt cầu. Một tinh thể lập phương phải là một chất điện môi đẳng hướng.

Mặt khác, một tinh thể tứ phương có một đối xứng quay bốn bậc. Ellipsoid của nó phải có hai trong các trục chính của nó bằng nhau, và trục thứ ba phải song song với trục của tinh thể. Tương tự, vì tinh thể trực thoi có đối xứng quay hai bậc quanh ba trục trực giao, các trục của nó phải trùng với các trục của ellipsoid phân cực. Theo cách tương tự, một trong các trục của một tinh thể đơn tà phải song song với một trong các trục chính của ellipsoid, mặc dù chúng ta không thể nói gì về các trục còn lại. Vì một tinh thể tam tà không có đối xứng quay, ellipsoid có thể có bất kỳ định hướng nào.

Như bạn có thể thấy, chúng ta có thể tạo một trò chơi lớn về việc tìm ra các đối xứng có thể và liên hệ chúng với các tensor vật lý có thể. Chúng ta chỉ xét tensor phân cực, nhưng mọi thứ trở nên phức tạp hơn đối với các tensor khác — chẳng hạn, đối với tensor đàn hồi. Có một nhánh của toán học gọi là “lý thuyết nhóm” xử lý các chủ đề như vậy, nhưng thường thì bạn có thể tìm ra những gì bạn muốn bằng lẽ thường.

30–7  Độ bền của kim loại

Chúng ta đã nói rằng các kim loại thường có một cấu trúc tinh thể lập phương đơn giản; bây giờ chúng ta muốn thảo luận các tính chất cơ học của chúng — vốn phụ thuộc vào cấu trúc này. Các kim loại, nói chung, rất “mềm,” bởi vì dễ dàng trượt một lớp của tinh thể qua lớp tiếp theo. Bạn có thể nghĩ: “Điều đó thật vô lý; kim loại thì bền.” Không phải vậy, một đơn tinh thể của một kim loại có thể bị biến dạng rất dễ dàng.

Giả sử chúng ta nhìn vào hai lớp của một tinh thể chịu một lực cắt, như chỉ trong sơ đồ của Hình 30–11(a). Bạn có thể lúc đầu nghĩ rằng toàn bộ lớp sẽ chống lại chuyển động cho tới khi lực đủ lớn để đẩy toàn bộ lớp “qua gò,” sao cho nó dịch chuyển một nấc sang trái. Mặc dù sự trượt có xảy ra dọc theo một mặt phẳng, nó không xảy ra theo cách đó. (Nếu nó xảy ra, bạn sẽ tính rằng kim loại bền hơn nhiều so với nó thực sự.) Điều xảy ra giống một nguyên tử đi một lúc hơn; trước hết nguyên tử ở phía trái thực hiện bước nhảy của nó, sau đó nguyên tử tiếp theo, và cứ thế, như chỉ trong Hình 30–11(b). Về hiệu quả nó là khoảng trống giữa hai nguyên tử nhanh chóng di chuyển sang phải, với kết quả ròng là toàn bộ lớp thứ hai đã di chuyển qua một khoảng cách nguyên tử. Sự trượt đi theo cách này bởi vì cần ít năng lượng hơn nhiều để nâng một nguyên tử một lúc qua gò so với nâng cả một hàng. Một khi lực đủ để bắt đầu quá trình, nó đi phần còn lại của đường rất nhanh.

Hóa ra rằng trong một tinh thể thực, sự trượt sẽ xảy ra lặp lại tại một mặt phẳng, sau đó sẽ dừng ở đó và bắt đầu tại một mặt phẳng khác nào đó. Các chi tiết về tại sao nó bắt đầu và dừng khá bí ẩn. Thực ra, khá lạ là các miền trượt liên tiếp thường cách nhau khá đều. Hình 30–12 cho thấy một bức ảnh của một tinh thể đồng mỏng nhỏ đã bị kéo căng. Bạn có thể thấy các mặt phẳng khác nhau nơi sự trượt đã xảy ra.

Sự trượt đột ngột của các mặt phẳng tinh thể riêng lẻ khá rõ ràng nếu bạn lấy một mảnh dây thiếc có các tinh thể lớn trong nó và kéo căng nó trong khi giữ nó cạnh tai bạn. Bạn có thể nghe một cơn mưa “tích tắc” khi các mặt phẳng bật tới các vị trí mới của chúng, cái này sau cái khác.

Bài toán có một nguyên tử “thiếu” trong một hàng hơi khó hơn nó có thể xuất hiện từ Hình 30–11. Khi có nhiều lớp hơn, tình huống phải là một cái gì đó như chỉ trong Hình 30–13. Một khuyết tật như vậy trong một tinh thể được gọi là một lệch mạng (dislocation). Người ta giả thiết rằng các lệch mạng như vậy hoặc hiện diện khi tinh thể được hình thành hoặc được tạo ra tại một khía hay vết nứt nào đó ở bề mặt. Một khi chúng được tạo ra, chúng có thể di chuyển tương đối tự do qua tinh thể. Các biến dạng thô là kết quả của các chuyển động của nhiều lệch mạng như vậy.

Các lệch mạng có thể di chuyển tự do — tức là, chúng cần ít năng lượng thêm — miễn là phần còn lại của tinh thể có một mạng hoàn hảo. Nhưng chúng có thể bị “mắc kẹt” nếu chúng gặp một loại khuyết tật khác nào đó trong tinh thể. Nếu cần nhiều năng lượng để chúng đi qua khuyết tật, chúng sẽ bị dừng lại. Đây chính là cơ chế cho độ bền cho các tinh thể kim loại không hoàn hảo. Các tinh thể sắt nguyên chất khá mềm, nhưng một nồng độ nhỏ của các nguyên tử tạp chất có thể gây đủ khuyết tật để cố định hiệu quả các lệch mạng. Như bạn biết, thép, chủ yếu là sắt, rất cứng. Để làm thép, một lượng nhỏ cacbon được hòa tan trong sắt nóng chảy; nếu chất nóng chảy được làm nguội nhanh, cacbon kết tủa ra trong các hạt nhỏ, tạo nhiều biến dạng vi mô trong mạng. Các lệch mạng không còn có thể di chuyển quanh, và kim loại cứng.

Đồng nguyên chất rất mềm, nhưng có thể được “hóa bền nguội” (work-hardened). Điều này được làm bằng cách búa đập lên nó hoặc uốn nó qua lại. Trong trường hợp này, nhiều lệch mạng mới thuộc nhiều loại được tạo ra, chúng can thiệp lẫn nhau, làm giảm tính di động của chúng. Có lẽ bạn đã thấy mánh lấy một thanh đồng “mềm chết” và nhẹ nhàng uốn nó quanh cổ tay của ai đó làm vòng đeo tay. Trong quá trình, nó trở nên hóa bền nguội và không thể dễ dàng uốn thẳng lại! Một kim loại đã hóa bền nguội như đồng có thể được làm mềm lại bằng cách ủ ở nhiệt độ cao. Chuyển động nhiệt của các nguyên tử “là phẳng” các lệch mạng và tạo lại các đơn tinh thể lớn. Chúng ta, cho tới nay, chỉ mô tả cái gọi là lệch mạng trượt. Có nhiều loại khác, một trong chúng là lệch mạng xoắn chỉ trong Hình 30–14. Các lệch mạng như vậy thường đóng một vai trò quan trọng trong sự tăng trưởng tinh thể.

30–8  Các lệch mạng và sự tăng trưởng tinh thể

Một trong những câu đố lớn trong một thời gian dài là làm thế nào các tinh thể có thể tăng trưởng. Chúng ta đã mô tả làm thế nào mà mỗi nguyên tử, bằng cách kiểm tra lặp lại, có thể xác định liệu nó ở trong tinh thể có tốt hơn không. Nhưng điều đó có nghĩa là mỗi nguyên tử phải tìm một nơi có năng lượng thấp. Tuy nhiên, một nguyên tử đặt trên một bề mặt mới chỉ được liên kết bởi một hay hai liên kết từ phía dưới, và không có cùng năng lượng như nó sẽ có nếu nó được đặt trong một góc, nơi nó sẽ có các nguyên tử ở ba phía. Giả sử chúng ta tưởng tượng một tinh thể đang tăng trưởng như một chồng các khối, như chỉ trong Hình 30–15. Nếu chúng ta thử một khối mới tại, chẳng hạn, vị trí A, nó sẽ chỉ có một trong sáu lân cận mà cuối cùng nó nên có. Với nhiều liên kết thiếu như vậy, năng lượng của nó không rất thấp. Nó sẽ tốt hơn tại vị trí B, nơi nó đã có một nửa số liên kết của nó. Các tinh thể quả thực tăng trưởng bằng cách gắn các nguyên tử mới tại các nơi như B.

Tuy nhiên, điều gì xảy ra khi hàng đó kết thúc? Để bắt đầu một hàng mới, một nguyên tử phải đến nghỉ với chỉ hai phía được gắn, và điều đó lại không rất có khả năng. Ngay cả nếu nó xảy ra, điều gì sẽ xảy ra khi lớp kết thúc? Làm thế nào một lớp mới có thể bắt đầu? Một đáp án là tinh thể ưa thích tăng trưởng tại một lệch mạng, chẳng hạn quanh một lệch mạng xoắn như lệch mạng chỉ trong Hình 30–14. Khi các khối được thêm vào tinh thể này, luôn có một nơi nào đó có ba liên kết sẵn có. Do đó, tinh thể ưa thích tăng trưởng với một lệch mạng được xây dựng sẵn bên trong. Một mẫu hình tăng trưởng xoắn ốc như vậy được chỉ trong Hình 30–16, là một bức ảnh của một đơn tinh thể paraffin.

30–9  Mô hình tinh thể Bragg–Nye

Dĩ nhiên, chúng ta không thể thấy điều gì xảy ra với các nguyên tử riêng lẻ trong một tinh thể. Cũng vậy, như bạn nhận ra bây giờ, có nhiều hiện tượng phức tạp không dễ xử lý định lượng. Sir Lawrence Bragg và J. F. Nye đã nghĩ ra một phương án để tạo một mô hình của một tinh thể kim loại cho thấy một cách ấn tượng nhiều hiện tượng được tin là xảy ra trong một kim loại thực. Trong các trang sau chúng ta đã tái tạo bài báo gốc của họ, mô tả phương pháp của họ và cho thấy một số kết quả họ thu được với nó. (Bài báo được in lại từ Proceedings of the Royal Society of London, Tập 190, tháng 9 năm 1947, tr. 474–481 — với sự cho phép của các tác giả và của Hội Hoàng gia.)¹

MỘT MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA MỘT CẤU TRÚC TINH THỂ

Của Sir Lawrence Bragg, F.R.S. và J. F. Nye
Phòng thí nghiệm Cavendish, Đại học Cambridge

(Nhận ngày 9 tháng 1 năm 1947 — Đọc ngày 19 tháng 6 năm 1947)

[Các bản hình 8 tới 21]

Cấu trúc tinh thể của một kim loại được biểu diễn bởi một tập hợp các bong bóng, có đường kính một milimét hoặc nhỏ hơn, nổi trên bề mặt của một dung dịch xà phòng. Các bong bóng được thổi từ một ống pipette nhỏ bên dưới bề mặt với một áp suất không khí không đổi, và có kích thước rất đều một cách đáng kể. Chúng được giữ lại với nhau bởi sức căng bề mặt, hoặc trong một lớp đơn trên bề mặt hoặc trong một khối ba chiều. Một tập hợp có thể chứa hàng trăm nghìn bong bóng và tồn tại trong một giờ hoặc hơn. Các tập hợp cho thấy các cấu trúc đã được giả thiết là tồn tại trong các kim loại, và mô phỏng các hiệu ứng đã được quan sát, như các biên hạt, các lệch mạng và các loại lỗi khác, sự trượt, sự tái kết tinh, sự ủ, và các biến dạng do các nguyên tử ‘lạ’.

Các mô hình của cấu trúc tinh thể đã được mô tả thỉnh thoảng trong đó các nguyên tử được biểu diễn bởi các nam châm nhỏ nổi hay treo, hoặc bởi các đĩa tròn nổi trên một bề mặt nước và được giữ lại với nhau bởi các lực hút mao dẫn. Các mô hình này có một số bất lợi nhất định; chẳng hạn, trong trường hợp các vật nổi tiếp xúc, các lực ma sát cản trở chuyển động tương đối tự do của chúng. Một bất lợi nghiêm trọng hơn là số lượng các thành phần bị giới hạn, vì một số lượng lớn các thành phần là cần thiết để tiếp cận trạng thái sự việc trong một tinh thể thực. Bài báo này mô tả hành vi của một mô hình trong đó các nguyên tử được biểu diễn bởi các bong bóng nhỏ từ 2,0 tới 0,1 mm đường kính nổi trên bề mặt của một dung dịch xà phòng. Các bong bóng nhỏ này đủ bền cho các thí nghiệm kéo dài một giờ hoặc hơn, chúng trượt qua nhau mà không có ma sát, và chúng có thể được sản xuất với số lượng lớn. Một số minh họa trong bài báo này được lấy từ các tập hợp bong bóng có số lượng 100.000 hoặc hơn. Mô hình biểu diễn gần nhất hành vi của một cấu trúc kim loại, bởi vì các bong bóng chỉ thuộc một loại duy nhất và được giữ lại với nhau bởi một lực hút mao dẫn tổng quát, biểu diễn lực liên kết của các electron tự do trong kim loại. Một mô tả vắn tắt của mô hình đã được đưa ra trong Journal of Scientific Instruments (Bragg 1942b).

Các bong bóng được thổi từ một lỗ nhỏ, bên dưới bề mặt của một dung dịch xà phòng. Chúng tôi đã có các kết quả tốt nhất với một dung dịch mà công thức của nó được cho chúng tôi bởi ông Green của Viện Hoàng gia. 15,2 c.c. axit oleic (tinh khiết, chưng cất lại) được lắc kỹ trong 50 c.c. nước cất. Nó được trộn kỹ với 73 c.c. dung dịch 10% của tri-ethanolamine và hỗn hợp được pha tới 200 c.c. Vào đó thêm 164 c.c. glycerine tinh khiết. Nó được để yên và chất lỏng trong được rút ra từ phía dưới. Trong một số thí nghiệm nó được pha loãng trong ba lần thể tích nước của nó để giảm độ nhớt. Lỗ của ống phun ở khoảng 5 mm bên dưới bề mặt. Một áp suất không khí không đổi từ 50 tới 200 cm nước được cung cấp bằng hai bình Winchester. Thông thường các bong bóng có kích thước rất đều một cách đáng kể. Thỉnh thoảng chúng xuất ra một cách không đều, nhưng điều này có thể được sửa bằng một sự thay đổi ống phun hoặc áp suất. Các bong bóng không mong muốn có thể dễ dàng bị phá hủy bằng cách đưa một ngọn lửa nhỏ qua bề mặt. Hình 1 cho thấy thiết bị. Chúng tôi đã thấy có lợi khi làm đen đáy của bình, bởi vì các chi tiết của cấu trúc, như các biên hạt và các lệch mạng, khi đó hiện ra rõ ràng hơn.

Hình 2, bản hình 8, cho thấy một phần của một bè hay tinh thể hai chiều của các bong bóng. Tính đều đặn của nó có thể được đánh giá bằng cách nhìn hình theo một hướng liếc. Kích thước của các bong bóng thay đổi theo lỗ, nhưng dường như không thay đổi ở một mức độ đáng kể nào theo áp suất hay độ sâu của lỗ bên dưới bề mặt. Hiệu ứng chính của việc tăng áp suất là tăng tốc độ xuất ra của các bong bóng. Như một ví dụ, một ống phun thành dày có lỗ 49 μ với một áp suất 100 cm đã tạo các bong bóng có đường kính 1,2 mm. Một ống phun thành mỏng có đường kính 27 μ và một áp suất 180 cm đã tạo các bong bóng có đường kính 0,6 mm. Thuận tiện để gọi các bong bóng có đường kính từ 2,0 tới 1,0 mm là các bong bóng ‘lớn’, những cái từ 0,8 tới 0,6 mm là các bong bóng ‘trung bình’, và những cái từ 0,3 tới 0,1 mm là các bong bóng ‘nhỏ’, vì hành vi của chúng thay đổi theo kích thước của chúng.

Với thiết bị này chúng tôi đã không thấy có thể giảm kích thước của ống phun và như vậy tạo các bong bóng có đường kính nhỏ hơn 0,6 mm. Vì mong muốn thí nghiệm với các bong bóng rất nhỏ, chúng tôi đã nhờ đến việc đặt dung dịch xà phòng trong một bình quay và đưa vào một ống phun nhỏ càng song song càng tốt với một đường dòng. Các bong bóng bị quét đi khi chúng hình thành, và dưới các điều kiện ổn định thì khá đều. Chúng xuất ra với tốc độ một nghìn hoặc hơn mỗi giây, cho một nốt cao. Dung dịch xà phòng leo lên thành một bức tường dốc quanh chu vi của bình trong khi nó đang quay, nhưng mang trở lại hầu hết các bong bóng với nó khi sự quay ngừng. Với thiết bị này, minh họa trong hình 3, các bong bóng xuống tới đường kính 0,12 mm có thể thu được. Như một ví dụ, một lỗ có đường kính ngang 38 μ trong một ống phun thành mỏng, với một áp suất 190 cm nước, và một tốc độ của chất lỏng 180 cm/giây qua lỗ, đã tạo các bong bóng có đường kính 0,14 mm. Trong trường hợp này một đĩa có đường kính 9,5 cm và tốc độ 6 vòng/giây được dùng. Hình 4, bản hình 8, là một bức ảnh phóng to của các bong bóng ‘nhỏ’ này và cho thấy mức độ đều đặn của chúng; mẫu hình không hoàn hảo như với một bình quay so với một bình đứng yên, các hàng được thấy hơi không đều khi nhìn theo một hướng liếc.

Các tinh thể hai chiều này cho thấy các cấu trúc đã được giả thiết là tồn tại trong các kim loại, và mô phỏng các hiệu ứng đã được quan sát, như các biên hạt, các lệch mạng và các loại lỗi khác, sự trượt, sự tái kết tinh, sự ủ, và các biến dạng do các nguyên tử ‘lạ’.

Các hình 5a, 5b và 5c, các bản hình 9 và 10, cho thấy các biên hạt điển hình cho các bong bóng có đường kính lần lượt 1,87, 0,76 và 0,30 mm. Bề rộng của vùng bị nhiễu loạn ở biên, nơi các bong bóng có một phân bố không đều, nói chung lớn hơn khi các bong bóng nhỏ hơn. Trong hình 5a, cho thấy các phần của vài hạt kề nhau, các bong bóng tại một biên giữa hai hạt tuân theo dứt khoát sự sắp xếp tinh thể này hay sự sắp xếp tinh thể kia. Trong hình 5c có một ‘lớp Beilby’ rõ rệt giữa hai hạt. Các bong bóng nhỏ, như sẽ thấy, có một độ cứng lớn hơn các bong bóng lớn, và điều này dường như gây ra sự không đều nhiều hơn ở mặt phân giới.

Các hạt riêng rẽ hiện ra phân biệt khi các bức ảnh của các bè đa tinh thể như các hình 5a tới 5c, các bản hình 9 và 10, và các hình 12a tới 12e, các bản hình 14 tới 16, được nhìn xiên. Với ánh sáng thích hợp, bè bong bóng nổi tự nó khi nhìn xiên giống một kim loại đã được đánh bóng và ăn mòn một cách đáng kể.

Thường xảy ra là một số ‘nguyên tử tạp chất’, hay các bong bóng lớn hơn hoặc nhỏ hơn đáng kể so với trung bình, được tìm thấy trong một bè đa tinh thể, và khi điều này xảy ra một tỉ lệ lớn trong chúng nằm ở các biên hạt. Sẽ không đúng nếu nói rằng các bong bóng không đều tìm đường tới các biên; đó là một khuyết điểm của mô hình là không có sự khuếch tán nào của các bong bóng qua cấu trúc có thể xảy ra, chỉ các điều chỉnh lẫn nhau của các lân cận là có thể. Dường như các biên có xu hướng tự điều chỉnh lại bằng sự tăng trưởng của một tinh thể trên sự hy sinh của một tinh thể khác cho tới khi chúng đi qua các nguyên tử không đều.

Khi một đơn tinh thể hay bè đa tinh thể bị nén, bị kéo dài, hay bị biến dạng khác, nó thể hiện một hành vi rất giống với hành vi đã được hình dung cho các kim loại chịu biến dạng. Tới một giới hạn nhất định mô hình nằm trong khoảng đàn hồi của nó. Vượt quá điểm đó nó chảy (yield) bằng sự trượt dọc theo một trong ba hướng nghiêng đều nhau của các hàng xếp chặt. Sự trượt diễn ra bởi các bong bóng trong một hàng di chuyển về phía trước qua những cái trong hàng tiếp theo một lượng bằng khoảng cách giữa các lân cận. Rất thú vị khi xem quá trình này diễn ra. Chuyển động không đồng thời dọc theo toàn bộ hàng mà bắt đầu ở một đầu với sự xuất hiện của một ‘lệch mạng’, nơi có cục bộ thêm một bong bóng trong các hàng ở một phía của đường trượt so với các hàng ở phía còn lại. Lệch mạng này sau đó chạy dọc theo đường trượt từ một phía của tinh thể sang phía còn lại, kết quả cuối cùng là một sự trượt đi một khoảng cách ‘giữa các nguyên tử’. Một quá trình như vậy đã được viện dẫn bởi Orowan, bởi Polanyi và bởi Taylor để giải thích các lực nhỏ cần thiết để tạo ra sự trượt dẻo trong các cấu trúc kim loại. Lý thuyết được đưa ra bởi Taylor (1934) để giải thích cơ chế của sự biến dạng dẻo của các tinh thể xét tác động lẫn nhau và cân bằng của các lệch mạng như vậy. Các bong bóng cho một bức tranh rất ấn tượng về những gì đã được giả thiết xảy ra trong kim loại. Đôi khi các lệch mạng chạy dọc khá chậm, mất vài giây để qua một tinh thể; các lệch mạng đứng yên cũng được thấy trong các tinh thể không bị biến dạng đồng nhất. Chúng xuất hiện như các đường đen ngắn, và có thể được thấy trong loạt ảnh, các hình 12a tới 12e, các bản hình 14 tới 16. Khi một bè đa tinh thể bị nén, các đường tối này được thấy lao nhao theo mọi hướng qua các tinh thể.

Các hình 6a, 6b và 6c, các bản hình 10 và 11, cho thấy các ví dụ của các lệch mạng. Trong hình 6a, nơi đường kính của các bong bóng là 1,9 mm, lệch mạng rất cục bộ, kéo dài trên khoảng sáu bong bóng. Trong hình 6b (đường kính 0,76 mm) nó kéo dài trên mười hai bong bóng, và trong hình 6c (đường kính 0,30 mm) ảnh hưởng của nó có thể được truy vết trong một độ dài khoảng năm mươi bong bóng. Độ cứng lớn hơn của các bong bóng nhỏ dẫn đến các lệch mạng dài hơn. Tuy nhiên, việc nghiên cứu bất kỳ khối bong bóng nào cũng cho thấy rằng không có một độ dài chuẩn của lệch mạng cho mỗi kích thước. Độ dài phụ thuộc vào bản chất của biến dạng trong tinh thể. Một biên giữa hai tinh thể với các trục tương ứng ở khoảng 30° (góc tối đa có thể xảy ra) có thể được coi là một loạt các lệch mạng trong các hàng xen kẽ, và trong trường hợp này các lệch mạng rất ngắn. Khi góc giữa các tinh thể lân cận giảm, các lệch mạng xảy ra ở các khoảng rộng hơn và đồng thời trở nên dài hơn, cho tới khi cuối cùng người ta có các lệch mạng đơn lẻ trong một khối lớn của cấu trúc hoàn hảo như chỉ trong các hình 6a, 6b và 6c.

Hình 7, bản hình 11, cho thấy ba lệch mạng song song. Nếu chúng ta gọi chúng là dương và âm (theo Taylor) chúng là dương, âm, dương, đọc từ trái sang phải. Dải giữa hai cái cuối cùng có ba bong bóng thừa, như có thể thấy bằng cách nhìn dọc theo các hàng theo một hướng ngang. Hình 8, bản hình 12, cho thấy một lệch mạng nhô ra từ một biên hạt, một hiệu ứng thường được quan sát.

Hình 9, bản hình 12, cho thấy một nơi mà hai bong bóng chiếm chỗ của một. Điều này có thể được coi là một trường hợp giới hạn của các lệch mạng dương và âm trên các hàng kề nhau, với các phía nén của các lệch mạng đối mặt nhau. Trường hợp ngược lại sẽ dẫn đến một lỗ trong cấu trúc, một bong bóng bị thiếu tại điểm mà các lệch mạng gặp nhau.

Hình 10, bản hình 12, cho thấy một dải hẹp giữa hai tinh thể có định hướng song song, dải bị cắt qua bởi một số đường lỗi nơi các bong bóng không ở trong sự đóng gói chặt. Chính ở các nơi như thế này mà sự tái kết tinh có thể được kỳ vọng. Các biên tiếp cận và dải được hấp thụ vào một vùng rộng hơn của tinh thể hoàn hảo.

Các hình 11a tới 11g, các bản hình 13 và 14 là các ví dụ của các sự sắp xếp thường xuất hiện ở các nơi có một sự thiếu hụt cục bộ của các bong bóng. Trong khi một lệch mạng được thấy như một sọc tối trong một cái nhìn tổng quát, các cấu trúc này hiện ra ở hình dạng của chữ V hay như các tam giác. Một cấu trúc V điển hình được thấy trong hình 11a. Khi mô hình đang bị biến dạng, một cấu trúc V được hình thành bởi hai lệch mạng gặp nhau ở một độ nghiêng 60°; nó bị phá hủy bởi các lệch mạng tiếp tục dọc theo các đường của chúng. Hình 11b cho thấy một tam giác nhỏ, cũng thể hiện một lệch mạng, vì sẽ để ý rằng các hàng bên dưới lỗi có thêm một bong bóng so với các hàng bên dưới. Nếu một lượng ‘chuyển động nhiệt’ nhẹ được áp đặt bằng cách khuấy nhẹ một phía của tinh thể, các nơi lỗi như vậy biến mất và một cấu trúc hoàn hảo được hình thành.

Đây đó trong các tinh thể có một khoảng trống nơi một bong bóng bị thiếu, hiện ra như một chấm đen trong một cái nhìn tổng quát. Các ví dụ xảy ra trong hình 11g. Một khoảng trống như vậy không thể được đóng lại bằng một sự điều chỉnh cục bộ, vì việc lấp lỗ gây ra một lỗ khác xuất hiện. Các lỗ như vậy vừa xuất hiện vừa biến mất khi tinh thể bị ‘hóa bền nguội’. Các cấu trúc này trong mô hình gợi ý rằng các lỗi cục bộ tương tự có thể tồn tại trong một kim loại thực. Chúng có thể đóng một vai trò trong các quá trình như sự khuếch tán hay sự thay đổi trật tự–mất trật tự bằng cách giảm các rào năng lượng trong vùng lân cận của chúng, và hoạt động như các mầm cho sự kết tinh trong một sự thay đổi thù hình (allotropic).

Các hình 12a tới 12e, các bản hình 14 tới 16, cho thấy cùng một bè bong bóng ở các thời điểm liên tiếp. Một bè bao phủ bề mặt của dung dịch được khuấy mạnh bằng một cái cào thủy tinh, và sau đó được để tự điều chỉnh. Hình 12a cho thấy khía cạnh của nó khoảng 1 giây sau khi việc khuấy ngừng. Bè bị vỡ thành một số ‘tinh thể con’ nhỏ; chúng ở trong một trạng thái biến dạng không đồng nhất cao như được chỉ bởi nhiều lệch mạng và các lỗi khác. Bức ảnh sau (hình 12b) cho thấy cùng bè 32 giây sau. Các hạt nhỏ đã hợp nhất để tạo thành các hạt lớn hơn, và nhiều biến dạng đã biến mất trong quá trình. Sự tái kết tinh diễn ra xuyên suốt loạt ảnh, ba bức ảnh cuối cùng trong đó cho thấy sự xuất hiện của bè 2, 14 và 25 phút sau lần khuấy ban đầu. Không thể theo dõi sự sắp xếp lại trong các thời gian dài hơn nhiều, bởi vì các bong bóng co lại sau khi đứng lâu, dường như do sự khuếch tán của không khí qua các thành của chúng, và chúng cũng trở nên mỏng và có xu hướng vỡ. Không có sự khuấy nào được cho mô hình trong quá trình này. Một quá trình sắp xếp lại ngày càng chậm hơn diễn ra, chuyển động của các bong bóng trong một phần của bè thiết lập các biến dạng kích hoạt một sự sắp xếp lại trong một phần kề bên, và phần đó đến lượt nó lại một phần khác nữa.

Một số điểm thú vị sẽ được thấy trong loạt này. Hãy để ý ba hạt nhỏ tại các điểm được chỉ bởi các tọa độ AA, BB, CC. A tồn tại, mặc dù thay đổi về hình dạng, xuyên suốt toàn bộ loạt. B vẫn hiện diện sau 14 phút, nhưng đã biến mất trong 25 phút, để lại phía sau nó bốn lệch mạng đánh dấu biến dạng nội tại trong hạt. Hạt C co lại và cuối cùng biến mất trong hình 12d, để lại một lỗ và một chữ V đã biến mất trong hình 12e. Đồng thời biên không rõ ràng trong hình 12d tại DD đã trở thành một biên xác định trong hình 12e. Cũng hãy để ý sự thẳng ra của biên hạt trong vùng lân cận của EE trong các hình 12b tới 12e. Các lệch mạng có độ dài khác nhau có thể được thấy, đánh dấu mọi giai đoạn giữa một sự cong vênh nhẹ của cấu trúc và một biên xác định. Các lỗ nơi các bong bóng bị thiếu hiện ra như các chấm đen. Một số lỗ này được hình thành hoặc bị lấp bởi các chuyển động của các lệch mạng, nhưng các lỗ khác biểu diễn các nơi mà một bong bóng đã vỡ. Nhiều ví dụ của các chữ V và một số tam giác có thể được thấy. Các điểm thú vị khác sẽ rõ ràng từ việc nghiên cứu loạt ảnh này.

Các hình 13a, 13b và 13c, bản hình 17, cho thấy một phần của một bè 1 giây, 4 giây và 4 phút sau quá trình khuấy, và thú vị ở chỗ cho thấy hai giai đoạn liên tiếp trong sự thư giãn hướng tới một sự sắp xếp hoàn hảo hơn. Các thay đổi hiện ra tốt khi người ta nhìn theo một hướng liếc qua trang. Sự sắp xếp rất vỡ trong hình 13a. Trong hình 13b các bong bóng đã tự nhóm thành các hàng, nhưng độ cong của các hàng này chỉ ra một mức độ biến dạng nội tại cao. Trong hình 13c biến dạng này đã được giải tỏa bằng sự hình thành của một biên mới tại A–A, các hàng ở hai phía bây giờ thẳng. Dường như năng lượng của tinh thể bị biến dạng này lớn hơn năng lượng của biên giữa các tinh thể. Chúng tôi nợ Messrs Kodak các bức ảnh của hình 13, được chụp khi bộ phim điện ảnh được đề cập dưới đây được sản xuất.

Hình 14, bản hình 18, cho thấy hiệu ứng lan rộng của một bong bóng có kích thước sai. Nếu hình này được so sánh với các bè hoàn hảo chỉ trong các hình 2 và 4, bản hình 8, sẽ thấy rằng ba bong bóng, một lớn hơn và hai nhỏ hơn bình thường, làm nhiễu loạn tính đều đặn của các hàng trên toàn bộ hình. Như đã đề cập ở trên, các bong bóng có kích thước sai thường được tìm thấy trong các biên hạt, nơi các lỗ có kích thước không đều xảy ra có thể chứa chúng.

Các tính chất cơ học của một bè hoàn hảo hai chiều đã được mô tả trong bài báo được đề cập ở trên (Bragg 1942b). Bè nằm giữa hai lò xo song song nhúng theo chiều ngang trong bề mặt của dung dịch xà phòng. Bước của các lò xo được điều chỉnh để khớp với khoảng cách của các hàng bong bóng, chúng sau đó bám chặt vào chúng. Một lò xo có thể được tịnh tiến song song với chính nó bởi một vít vi mét, và lò xo còn lại được đỡ bởi hai sợi thủy tinh mỏng đứng. Ứng suất cắt có thể được đo bằng cách để ý độ lệch của các sợi thủy tinh. Khi chịu một biến dạng cắt, bè tuân theo định luật đàn hồi của Hooke tới điểm mà giới hạn đàn hồi đạt được. Sau đó nó trượt dọc theo một hàng trung gian nào đó một lượng bằng bề rộng của một bong bóng. Sự cắt đàn hồi và sự trượt có thể được lặp lại vài lần. Giới hạn đàn hồi xấp xỉ đạt được khi một phía của bè đã bị cắt một lượng bằng một bề rộng bong bóng qua phía còn lại. Đặc trưng này ủng hộ giả thiết cơ bản được thực hiện bởi một trong chúng tôi trong việc tính giới hạn đàn hồi của một kim loại (Bragg 1942a), trong đó giả thiết rằng mỗi tinh thể con trong một kim loại đã hóa bền nguội chỉ chảy khi biến dạng trong nó đã đạt một giá trị sao cho năng lượng được giải phóng bởi sự trượt.

Một tính toán đã được thực hiện bởi M. M. Nicolson về các lực giữa các bong bóng, và sẽ được công bố sớm. Nó cho thấy hai điểm thú vị. Đường cong cho sự biến thiên của thế năng theo khoảng cách giữa các tâm rất giống các đường cong đã được vẽ cho các nguyên tử. Nó có một cực tiểu đối với một khoảng cách giữa các tâm hơi nhỏ hơn một đường kính bong bóng tự do, và tăng mạnh đối với các khoảng cách nhỏ hơn. Hơn nữa, sự tăng cực kỳ mạnh đối với các bong bóng có đường kính 0,1 mm nhưng ít hơn nhiều đối với các bong bóng có đường kính 1 mm, qua đó xác nhận ấn tượng được cho bởi mô hình rằng các bong bóng nhỏ hành xử như thể chúng cứng hơn nhiều so với các bong bóng lớn.

Nếu các bong bóng được để tích tụ trong nhiều lớp trên bề mặt, chúng tạo thành một khối các ‘tinh thể’ ba chiều với một trong các sự sắp xếp của sự đóng gói chặt nhất. Hình 15, bản hình 18, cho thấy một cái nhìn xiên của một khối như vậy; sự giống nhau của nó với một bề mặt kim loại đã được đánh bóng và ăn mòn là đáng để ý. Trong hình 16, bản hình 20, một khối tương tự được thấy nhìn thẳng. Các phần của cấu trúc dứt khoát ở trong sự đóng gói chặt nhất lập phương, bề mặt ngoài là mặt (111) hoặc mặt (100). Hình 17a, bản hình 19, cho thấy một mặt (111). Các đường viền của ba bong bóng mà trên chúng mỗi bong bóng phía trên tựa có thể được thấy rõ ràng, và lớp tiếp theo của các bong bóng này hiển hiện mờ ở một vị trí không bên dưới lớp trên cùng, cho thấy rằng sự đóng gói của các mặt phẳng (111) có sự liên tiếp lập phương nổi tiếng. Hình 17b, bản hình 19, cho thấy một mặt (100) với mỗi bong bóng tựa trên bốn cái khác. Các trục lập phương dĩ nhiên nghiêng ở 45° so với các hàng đóng gói chặt của lớp bề mặt. Hình 17c, bản hình 19, cho thấy một song tinh trong cấu trúc lập phương qua mặt (111). Các mặt trên cùng là (111) và (100), và chúng tạo một góc nhỏ với nhau, mặc dù điều này không rõ ràng trong hình; nó hiện ra trong một cái nhìn xiên. Hình 17d, bản hình 19, dường như cho thấy cả sự liên tiếp lập phương lẫn lục giác của các mặt phẳng đóng gói chặt, nhưng khó kiểm chứng liệu phía trái có theo cấu trúc lục giác xếp chặt thực sự hay không bởi vì không chắc chắn rằng tập hợp có độ sâu hơn hai lớp tại điểm này. Nhiều trường hợp của các song tinh, và của các biên giữa các tinh thể, có thể được thấy trong hình 16, bản hình 20.

Hình 18, bản hình 21, cho thấy vài lệch mạng trong một cấu trúc ba chiều chịu một biến dạng uốn.

Với sự hợp tác của Messrs Kodak, một bộ phim điện ảnh 16 mm đã được làm về các chuyển động của các lệch mạng và các biên hạt khi các bè đơn tinh thể và đa tinh thể bị cắt, bị nén, hoặc bị kéo dài. Hơn nữa, nếu dung dịch xà phòng được đặt trong một bình thủy tinh có đáy phẳng, mô hình tự nó cho phép chiếu lên quy mô lớn bằng ánh sáng truyền qua. Vì một độ sâu nhất định là cần thiết để tạo các bong bóng, và dung dịch khá mờ, mong muốn làm phép chiếu qua một khối thủy tinh tựa trên đáy của bình và vừa ngập bên dưới bề mặt.

Để kết luận, chúng tôi muốn bày tỏ lời cảm ơn tới ông C. E. Harrold, của King’s College, Cambridge, người đã làm cho chúng tôi một số ống pipette được dùng để tạo các bong bóng.

Tài liệu tham khảo
Bragg, W. L. 1942a Nature, 149, 511.
Bragg, W. L. 1942b J. Sci. Instrum., 19, 148.
Taylor, G. I. 1934 Proc. Roy. Soc. A, 145, 362.

Hình 11. Các loại lỗi.

Hình 12. Sự tái kết tinh. Đường kính 0,60 mm.

Hình 13. Hai giai đoạn của sự tái kết tinh. Đường kính 1,64 mm.

Đường kính 0,70 mm. Hình 17.