Chương 36: Tính sắt từ

36–1  Các dòng từ hóa

Trong chương này chúng ta sẽ thảo luận một số vật liệu trong đó hiệu ứng ròng của các mômen từ trong vật liệu lớn hơn rất nhiều so với trường hợp thuận từ hay nghịch từ. Hiện tượng này được gọi là tính sắt từ. Trong các vật liệu thuận từ và nghịch từ, các mômen từ cảm ứng thường yếu đến mức chúng ta không phải lo lắng về các trường phụ thêm do các mômen từ sinh ra. Tuy nhiên, đối với các vật liệu sắt từ, các mômen từ cảm ứng bởi các trường từ đặt vào lại khá lớn và có ảnh hưởng rất lớn lên chính các trường đó. Thực tế, các mômen cảm ứng mạnh đến mức chúng thường là hiệu ứng chi phối trong việc tạo ra các trường quan sát được. Vì vậy, một trong những điều chúng ta sẽ phải lo đến là lý thuyết toán học của các mômen từ cảm ứng lớn. Đó, dĩ nhiên, chỉ là một câu hỏi kỹ thuật. Vấn đề thực sự là, tại sao các mômen từ lại mạnh đến vậy — tất cả chuyện này hoạt động như thế nào? Chúng ta sẽ đến với câu hỏi đó sau một lúc nữa.

Việc tìm các trường từ của các vật liệu sắt từ có phần giống với bài toán tìm điện trường tĩnh khi có mặt các chất điện môi. Bạn sẽ nhớ rằng thoạt đầu chúng ta mô tả các tính chất bên trong của một chất điện môi theo một trường vectơ P, mômen lưỡng cực trên một đơn vị thể tích. Sau đó chúng ta tìm ra rằng các hiệu ứng của sự phân cực này tương đương với một mật độ điện tích ρ_pol cho bởi divergence của P:

ρ_pol = −∇·P.   (36.1)

Điện tích toàn phần trong bất kỳ tình huống nào cũng có thể được viết thành tổng của điện tích phân cực này cộng với mọi điện tích khác, mà mật độ của chúng ta viết¹ là ρ_other. Khi đó phương trình Maxwell liên hệ divergence của E với mật độ điện tích trở thành

∇·E = ρ/ε₀ = (ρ_pol + ρ_other)/ε₀,

hay

∇·E = −(∇·P)/ε₀ + ρ_other/ε₀.

Khi đó chúng ta có thể rút phần điện tích phân cực ra và đưa nó sang phía bên kia của phương trình, để được định luật mới

∇·(ε₀E + P) = ρ_other.   (36.2)

Định luật mới nói rằng divergence của đại lượng (ε₀E + P) bằng mật độ của các điện tích còn lại.

Dĩ nhiên, việc gộp E và P lại với nhau như trong phương trình (36.2) chỉ hữu ích nếu chúng ta biết một hệ thức nào đó giữa chúng. Chúng ta đã thấy rằng lý thuyết liên hệ mômen lưỡng cực điện cảm ứng với trường là một chuyện tương đối phức tạp và thực sự chỉ có thể áp dụng cho một số tình huống đơn giản, và ngay cả khi đó cũng chỉ là một phép gần đúng. Chúng tôi muốn nhắc bạn một trong những ý tưởng gần đúng mà chúng ta đã dùng. Để tìm mômen lưỡng cực cảm ứng của một nguyên tử bên trong một chất điện môi, cần phải biết điện trường tác dụng lên từng nguyên tử riêng lẻ. Chúng ta đã dùng phép gần đúng — mà trong nhiều trường hợp cũng không tệ lắm — rằng trường tại nguyên tử giống như trường tại tâm của một cái hốc nhỏ mà ta sẽ còn lại nếu lấy nguyên tử ra (giữ nguyên các mômen lưỡng cực của mọi nguyên tử lân cận). Bạn cũng sẽ nhớ rằng điện trường trong một cái hốc trong một chất điện môi đã phân cực phụ thuộc vào hình dạng của hốc. Chúng ta tóm tắt các kết quả trước đây trong Hình 36–1. Đối với một hốc mỏng hình đĩa vuông góc với sự phân cực, điện trường trong hốc được cho bởi

E_hole = E_dielectric + P/ε₀,

điều mà chúng ta đã chứng tỏ bằng cách dùng định luật Gauss. Mặt khác, trong một khe hình kim song song với sự phân cực, chúng ta đã chứng tỏ — bằng cách dùng sự kiện là curl của E bằng không — rằng điện trường bên trong và bên ngoài khe là như nhau. Cuối cùng, chúng ta tìm thấy rằng đối với một hốc hình cầu, điện trường bằng một phần ba quãng đường giữa trường của khe và trường của đĩa:

E_hole = E_dielectric + (1/3)(P/ε₀)  (hốc hình cầu).   (36.3)

Đây là trường mà chúng ta đã dùng khi suy nghĩ về điều gì xảy ra với một nguyên tử bên trong một chất điện môi đã phân cực.

Bây giờ chúng ta phải thảo luận sự tương tự của tất cả những điều này cho trường hợp từ học. Một cách đơn giản, tắt ngang để làm điều này là nói rằng M, mômen từ trên một đơn vị thể tích, cũng giống như P, mômen lưỡng cực điện trên một đơn vị thể tích, và do đó, âm của divergence của M tương đương với một “mật độ điện tích từ” ρ_m — dù điều đó có nghĩa là gì đi nữa. Rắc rối là, dĩ nhiên, không hề có một thứ như “điện tích từ” trong thế giới vật lý. Như chúng ta biết, divergence của B luôn bằng không. Nhưng điều đó không ngăn chúng ta tạo ra một sự tương tự nhân tạo và viết

∇·M = −ρ_m,   (36.4)

trong đó cần hiểu rằng ρ_m thuần túy là toán học. Khi đó chúng ta có thể tạo ra một sự tương tự hoàn toàn với trường hợp tĩnh điện và dùng mọi phương trình cũ của tĩnh điện học. Người ta thường đã làm điều gì đó như thế. Thực tế, về mặt lịch sử, người ta thậm chí còn tin rằng sự tương tự đó là đúng. Họ tin rằng đại lượng ρ_m biểu diễn mật độ của các “cực từ”. Tuy nhiên, ngày nay chúng ta biết rằng sự từ hóa của các vật liệu đến từ các dòng tuần hoàn bên trong các nguyên tử — hoặc từ các electron tự quay hoặc từ chuyển động của các electron trong nguyên tử. Vì vậy, từ quan điểm vật lý, sẽ đẹp hơn nếu mô tả mọi thứ một cách thực tế theo các dòng nguyên tử, thay vì theo mật độ của một thứ “cực từ” hoang đường nào đó. Nhân tiện, các dòng này đôi khi được gọi là các dòng “Ampère”, vì Ampère là người đầu tiên gợi ý rằng từ tính của vật chất đến từ các dòng nguyên tử tuần hoàn.

Dĩ nhiên, mật độ dòng vi mô thực tế trong vật chất đã từ hóa rất phức tạp. Giá trị của nó phụ thuộc vào chỗ bạn nhìn trong nguyên tử — nó lớn ở một số chỗ và nhỏ ở những chỗ khác; nó đi theo một chiều ở một phần của nguyên tử và theo chiều ngược lại ở một phần khác (giống như điện trường vi mô biến thiên ghê gớm bên trong một chất điện môi). Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, chúng ta chỉ quan tâm đến các trường bên ngoài vật chất hoặc đến trường từ trung bình bên trong vật chất — trong đó chúng ta có nghĩa là một trung bình lấy trên rất, rất nhiều nguyên tử. Chỉ đối với các bài toán vĩ mô như vậy mới thuận tiện khi mô tả trạng thái từ của vật chất theo M, mômen lưỡng cực trung bình trên một đơn vị thể tích. Điều chúng ta muốn chứng tỏ bây giờ là các dòng nguyên tử của vật chất đã từ hóa có thể làm phát sinh một số dòng quy mô lớn nào đó liên hệ với M.

Vậy điều chúng ta sẽ làm là tách mật độ dòng j — vốn là nguồn thực sự của các trường từ — thành nhiều phần: một phần để mô tả các dòng tuần hoàn của các nam châm nguyên tử, và các phần còn lại để mô tả bất cứ dòng nào khác có thể có. Thường thì thuận tiện nhất là tách các dòng thành ba phần. Trong Chương 32 chúng ta đã phân biệt giữa các dòng chảy tự do trên các vật dẫn và các dòng do chuyển động qua lại của các điện tích liên kết trong các chất điện môi. Trong Mục 32–2 chúng ta đã viết

j = j_pol + j_other,

trong đó j_pol biểu diễn các dòng từ chuyển động của các điện tích liên kết trong các chất điện môi và j_other lo liệu mọi dòng còn lại. Bây giờ chúng ta muốn đi xa hơn. Chúng ta muốn tách j_other thành một phần, j_mag, mô tả các dòng trung bình bên trong các vật liệu đã từ hóa, và một số hạng phụ thêm mà chúng ta có thể gọi là j_cond cho bất cứ thứ gì còn sót lại. Số hạng cuối cùng này nói chung sẽ chỉ các dòng trong các vật dẫn, nhưng nó cũng có thể bao gồm các dòng khác — chẳng hạn các dòng từ các điện tích chuyển động tự do qua không gian trống. Vậy chúng ta sẽ viết cho mật độ dòng toàn phần:

j = j_pol + j_mag + j_cond.   (36.5)

Dĩ nhiên chính dòng toàn phần này là thứ thuộc về phương trình Maxwell cho curl của B:

c²∇×B = j/ε₀ + ∂E/∂t.   (36.6)

Bây giờ chúng ta phải liên hệ dòng j_mag với vectơ từ hóa M. Để bạn thấy chúng ta đang đi tới đâu, chúng tôi sẽ nói cho bạn biết rằng kết quả sẽ là

j_mag = ∇×M.   (36.7)

Nếu chúng ta được cho vectơ từ hóa M ở khắp nơi trong một vật liệu từ, mật độ dòng tuần hoàn được cho bởi curl của M. Hãy xem chúng ta có thể hiểu tại sao điều này đúng hay không.

Trước hết, hãy xét trường hợp một thanh hình trụ có độ từ hóa đều song song với trục của nó. Về mặt vật lý, chúng ta biết rằng một độ từ hóa đều như vậy thực sự có nghĩa là một mật độ đều của các dòng nguyên tử tuần hoàn ở khắp nơi bên trong vật liệu. Giả sử chúng ta thử hình dung các dòng thực tế sẽ trông như thế nào trong một mặt cắt của vật liệu. Chúng ta sẽ kỳ vọng thấy các dòng giống như các dòng được chỉ trong Hình 36–2. Mỗi dòng nguyên tử đi vòng quanh trong một vòng tròn nhỏ, với mọi dòng tuần hoàn đều đi vòng theo cùng một chiều. Bây giờ dòng hiệu dụng của một thứ như vậy là gì? À, trong phần lớn của thanh thì không có hiệu ứng gì cả, vì ngay bên cạnh mỗi dòng lại có một dòng khác đi theo chiều ngược lại. Nếu chúng ta hình dung một bề mặt nhỏ — nhưng vẫn khá lớn hơn một nguyên tử đơn lẻ rất nhiều — như được chỉ trong Hình 36–2 bởi đường AB, dòng thực qua một bề mặt như vậy bằng không. Không có dòng thực ở bất cứ đâu bên trong vật liệu. Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng tại bề mặt của vật liệu có các dòng nguyên tử không bị triệt tiêu bởi các dòng kề bên đi theo chiều ngược lại. Tại bề mặt có một dòng thực luôn đi theo cùng một chiều vòng quanh thanh. Bây giờ bạn thấy tại sao trước đây chúng ta nói rằng một thanh được từ hóa đều tương đương với một solenoid dài mang một dòng điện.

Cái nhìn này khớp với phương trình (36.7) như thế nào? Trước hết, bên trong vật liệu độ từ hóa M là hằng số, nên mọi đạo hàm của nó đều bằng không. Điều này phù hợp với bức tranh hình học của chúng ta. Tuy nhiên, tại bề mặt, M không thực sự là hằng số — nó là hằng số cho tới mép và rồi đột ngột sụp xuống không. Vì vậy, ngay tại bề mặt có các gradient khủng khiếp mà, theo (36.7), sẽ cho ra một mật độ dòng cao. Giả sử chúng ta nhìn vào điều gì xảy ra gần điểm C trong Hình 36–2. Lấy các hướng x và y như trong hình, độ từ hóa M theo hướng z. Viết ra các thành phần của phương trình (36.7), chúng ta có

∂M_z/∂y = (j_mag)_x,    −∂M_z/∂x = (j_mag)_y.   (36.8)

Tại điểm C, đạo hàm ∂M_z/∂y bằng không, nhưng ∂M_z/∂x lớn và dương. Phương trình (36.7) nói rằng có một mật độ dòng lớn theo hướng y âm. Điều này phù hợp với bức tranh của chúng ta về một dòng mặt đi vòng quanh thanh.

Bây giờ chúng ta muốn tìm mật độ dòng cho một trường hợp phức tạp hơn, trong đó độ từ hóa thay đổi từ điểm này sang điểm khác trong một vật liệu. Dễ thấy một cách định tính rằng nếu độ từ hóa khác nhau ở hai vùng kề nhau, sẽ không có sự triệt tiêu hoàn hảo của các dòng tuần hoàn, thành thử sẽ có một dòng thực trong thể tích của vật liệu. Chính hiệu ứng này là thứ chúng ta muốn tính ra một cách định lượng.

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại các kết quả của Mục 14–5 rằng một dòng tuần hoàn I có một mômen từ μ cho bởi

μ = IA,   (36.9)

trong đó A là diện tích của vòng dòng điện (xem Hình 36–3). Bây giờ hãy xét một khối chữ nhật nhỏ bên trong một vật liệu đã từ hóa, như phác họa trong Hình 36–4. Chúng ta lấy khối nhỏ đến mức có thể coi độ từ hóa là đều bên trong nó. Nếu khối này có độ từ hóa M_z theo hướng z, hiệu ứng ròng sẽ giống như một dòng mặt đi vòng quanh trên các mặt đứng, như được chỉ ra. Chúng ta có thể tìm độ lớn của các dòng này từ phương trình (36.9). Mômen từ toàn phần của khối bằng độ từ hóa nhân với thể tích:

μ = M_z(abc),

từ đó chúng ta được (nhớ rằng diện tích của vòng là ac)

I = M_zb.

Nói cách khác, dòng trên một đơn vị độ dài (theo chiều đứng) trên mỗi bề mặt đứng bằng M_z.

Bây giờ giả sử chúng ta hình dung hai khối nhỏ như vậy cạnh nhau, như chỉ trong Hình 36–5. Vì khối 2 hơi lệch so với khối 1, nó sẽ có thành phần đứng của độ từ hóa hơi khác một chút, mà chúng ta gọi là M_z + ΔM_z. Bây giờ trên bề mặt giữa hai khối sẽ có hai đóng góp vào dòng toàn phần. Khối 1 sẽ tạo ra một dòng I₁ chảy theo hướng y dương, và khối 2 sẽ tạo ra một dòng mặt I₂ chảy theo hướng y âm. Dòng mặt toàn phần theo hướng y dương là tổng:

I = I₁ − I₂ = M_zb − (M_z + ΔM_z)b = −ΔM_zb.

Chúng ta có thể viết ΔM_z như đạo hàm của M_z theo hướng x nhân với độ dịch chuyển từ khối 1 tới khối 2, vốn chính là a:

ΔM_z = (∂M_z/∂x)a.

Khi đó dòng chảy giữa hai khối là

I = −(∂M_z/∂x)ab.

Để liên hệ dòng I với một mật độ dòng thể tích trung bình j, chúng ta phải nhận ra rằng dòng I này thực sự được trải ra trên một diện tích mặt cắt nào đó. Nếu chúng ta hình dung toàn bộ thể tích của vật liệu được lấp đầy bởi những khối nhỏ như vậy, một mặt bên như thế (vuông góc với trục x) có thể được gắn với mỗi khối.² Khi đó chúng ta thấy rằng diện tích được gắn với dòng I chính là diện tích ab của một trong các mặt trước. Chúng ta được kết quả

j_y = I/ab = −∂M_z/∂x.

Chúng ta đã có ít nhất phần mở đầu của curl của M.

Nên có một số hạng nữa trong j_y từ sự biến thiên của thành phần x của độ từ hóa theo z. Đóng góp này vào j sẽ đến từ bề mặt giữa hai khối nhỏ xếp chồng lên nhau, như chỉ trong Hình 36–6. Dùng cùng những lập luận chúng ta vừa làm, bạn có thể chứng tỏ rằng bề mặt này sẽ đóng góp vào j_y lượng ∂M_x/∂z. Đây là các bề mặt duy nhất có thể đóng góp vào thành phần y của dòng, nên chúng ta có mật độ dòng toàn phần theo hướng y là

j_y = ∂M_x/∂z − ∂M_z/∂x.

Làm việc với các dòng trên các mặt còn lại của một khối lập phương — hoặc dùng sự kiện là hướng z của chúng ta hoàn toàn tùy ý — chúng ta có thể kết luận rằng mật độ dòng vectơ quả thực được cho bởi phương trình

j = ∇×M.

Vậy nếu chúng ta chọn mô tả tình huống từ trong vật chất theo mômen từ trung bình trên một đơn vị thể tích M, chúng ta thấy rằng các dòng nguyên tử tuần hoàn tương đương với một mật độ dòng trung bình trong vật chất cho bởi phương trình (36.7). Nếu vật liệu cũng là một chất điện môi, ngoài ra còn có thể có một dòng phân cực j_pol = ∂P/∂t. Và nếu vật liệu cũng là một vật dẫn, chúng ta cũng có thể có một dòng dẫn j_cond. Chúng ta có thể viết dòng toàn phần là

j = j_cond + ∇×M + ∂P/∂t.   (36.10)

36–2  Trường H

Tiếp theo, chúng ta muốn đưa dòng như đã viết trong phương trình (36.10) vào các phương trình Maxwell. Chúng ta được

c²∇×B = j/ε₀ + ∂E/∂t = (1/ε₀)(j_cond + ∇×M + ∂P/∂t) + ∂E/∂t.

Chúng ta có thể chuyển số hạng chứa M sang vế trái:

c²∇×(B − M/ε₀c²) = j_cond/ε₀ + ∂/∂t(E + P/ε₀).   (36.11)

Như chúng ta đã nhận xét trong Chương 32, nhiều người thích viết (E + P/ε₀) thành một trường vectơ mới D/ε₀. Tương tự, thường cũng thuận tiện khi viết (B − M/ε₀c²) thành một trường vectơ duy nhất. Chúng ta chọn định nghĩa một trường vectơ mới H bởi

H = B − M/(ε₀c²).   (36.12)

Khi đó phương trình (36.11) trở thành

ε₀c²∇×H = j_cond + ∂D/∂t.   (36.13)

Trông nó đơn giản, nhưng mọi sự phức tạp chỉ bị giấu vào trong các chữ cái D và H.

Bây giờ chúng ta phải đưa ra cho bạn một lời cảnh báo. Hầu hết những người dùng đơn vị mks đã chọn dùng một định nghĩa khác của H. Gọi trường của họ là H′ (dĩ nhiên, họ vẫn gọi nó là H không có dấu phẩy), nó được định nghĩa bởi

H′ = ε₀c²B − M.   (36.14)

(Ngoài ra, họ thường viết ε₀c² thành một con số mới 1/μ₀; khi đó họ có thêm một hằng số nữa phải theo dõi!) Với định nghĩa này, phương trình (36.13) trông còn đơn giản hơn:

∇×H′ = j_cond + ∂D/∂t.   (36.15)

Nhưng các khó khăn với định nghĩa này của H′ là, thứ nhất, nó không khớp với định nghĩa của những người không dùng đơn vị mks, và thứ hai, nó khiến H′ và B có đơn vị khác nhau. Chúng tôi nghĩ rằng sẽ thuận tiện hơn nếu H có cùng đơn vị với B — thay vì đơn vị của M, như H′ có. Nhưng nếu bạn sắp trở thành một kỹ sư và làm việc về thiết kế máy biến áp, nam châm, và những thứ như vậy, bạn sẽ phải cẩn thận. Bạn sẽ thấy nhiều cuốn sách dùng cho H định nghĩa của phương trình (36.14) thay vì định nghĩa của chúng ta ở phương trình (36.12), và nhiều cuốn sách khác — đặc biệt là các sổ tay về vật liệu từ — liên hệ B và H theo cách chúng ta đã làm. Bạn sẽ phải cẩn thận tìm ra họ đang dùng quy ước nào.

Một cách để nhận biết là qua các đơn vị họ dùng. Hãy nhớ rằng trong hệ mks, B — và do đó H của chúng ta — được đo bằng đơn vị: một weber trên mét vuông, bằng 10.000 gauss. Trong hệ mks, một mômen từ (một dòng nhân với một diện tích) có đơn vị: một ampere-mét². Khi đó độ từ hóa M có đơn vị: một ampere trên mét. Đối với H′ đơn vị cũng giống như đối với M. Bạn có thể thấy điều này cũng phù hợp với phương trình (36.15), vì ∇ có thứ nguyên là một trên một độ dài. Những người làm việc với nam châm điện cũng có thói quen gọi đơn vị của H (với định nghĩa H′) là “một ampere-vòng trên mét” — nghĩ về các vòng dây trên một cuộn quấn. Nhưng một “vòng” thực sự là một con số không thứ nguyên, nên điều đó không cần làm bạn bối rối. Vì H của chúng ta bằng H′/ε₀c², nếu bạn dùng hệ mks, H (tính bằng weber/mét²) bằng 4π × 10⁻⁷ lần H′ (tính bằng ampere trên mét). Có lẽ thuận tiện hơn khi nhớ rằng H (tính bằng gauss) = 0,0126 H′ (tính bằng amp/mét).

Còn một điều khủng khiếp nữa. Nhiều người dùng định nghĩa của chúng ta về H đã quyết định gọi đơn vị của H và B bằng các tên khác nhau! Mặc dù chúng có cùng thứ nguyên, họ gọi đơn vị của B là một gauss, và đơn vị của H là một oersted (theo tên Gauss và Oersted, dĩ nhiên). Vì vậy, trong nhiều cuốn sách bạn sẽ thấy các đồ thị với B vẽ theo gauss và H theo oersted. Chúng thực sự là cùng một đơn vị — 10⁻⁴ của đơn vị mks. Chúng tôi đã tóm tắt sự nhập nhằng về các đơn vị từ trong Bảng 36–1.

36–3  Đường cong từ hóa

Bây giờ chúng ta sẽ xét một số tình huống đơn giản trong đó trường từ là hằng số, hoặc trong đó các trường biến đổi đủ chậm để chúng ta có thể bỏ qua ∂D/∂t so với j_cond. Khi đó các trường tuân theo các phương trình

∇·B = 0,   (36.16)

∇×H = j_cond/ε₀c²,   (36.17)

H = B − M/ε₀c².   (36.18)

Giả sử chúng ta có một hình xuyến (một cái bánh vòng) bằng sắt được quấn một cuộn dây đồng, như chỉ trong Hình 36–7(a). Một dòng I chảy trong dây. Trường từ là gì? Trường từ sẽ chủ yếu nằm bên trong sắt; ở đó, các đường của B sẽ là các vòng tròn, như vẽ trong Hình 36–7(b). Vì thông lượng của B liên tục, divergence của nó bằng không, và phương trình (36.16) được thỏa mãn. Tiếp theo, chúng ta viết phương trình (36.17) dưới một dạng khác bằng cách tích phân vòng quanh vòng kín Γ vẽ trong Hình 36–7(b). Từ định lý Stokes, chúng ta có

∮_Γ H·ds = (1/ε₀c²) ∫_S j_cond·n da,   (36.19)

trong đó tích phân của j được thực hiện trên bất kỳ bề mặt S nào bị giới hạn bởi Γ. Bề mặt này bị mỗi vòng của cuộn quấn cắt đúng một lần. Mỗi vòng đóng góp dòng I vào tích phân, và, nếu có tất cả N vòng, tích phân là NI. Từ tính đối xứng của bài toán của chúng ta, B là như nhau dọc khắp đường cong Γ; nếu chúng ta giả thiết rằng độ từ hóa, và do đó, trường H cũng là hằng số dọc theo Γ, phương trình (36.19) trở thành

Hl = NI/ε₀c²,

trong đó l là độ dài của đường cong Γ. Vậy,

H = (1/ε₀c²)(NI/l).   (36.20)

Chính vì H tỉ lệ thuận với dòng từ hóa trong các trường hợp như trường hợp này mà H đôi khi được gọi là trường từ hóa.

Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần là một phương trình liên hệ H với B. Nhưng không có một phương trình nào như vậy cả! Dĩ nhiên là có phương trình (36.18), nhưng nó không giúp ích gì vì không có hệ thức trực tiếp nào giữa M và B đối với một vật liệu sắt từ như sắt. Độ từ hóa M phụ thuộc vào toàn bộ quá khứ lịch sử của miếng sắt, chứ không chỉ vào B là gì tại thời điểm hiện tại.

Tuy nhiên, không phải tất cả đều mất hết. Chúng ta có thể tìm được nghiệm trong một số trường hợp đơn giản nhất định. Nếu chúng ta bắt đầu với sắt chưa bị từ hóa — chẳng hạn với sắt đã được ủ ở nhiệt độ cao — thì trong hình học đơn giản của hình xuyến, mọi phần của sắt sẽ có cùng một lịch sử từ. Khi đó chúng ta có thể nói điều gì đó về M — và do đó về hệ thức giữa B và H — từ các phép đo thực nghiệm. Trường H trong hình xuyến, từ phương trình (36.20), được cho như một hằng số nhân với dòng I trong cuộn quấn. Trường B có thể được đo bằng cách tích phân theo thời gian sức điện động trong cuộn dây (hoặc trong một cuộn phụ thêm quấn chồng lên cuộn từ hóa được chỉ trong hình). Sức điện động này bằng tốc độ biến thiên của thông lượng của B, nên tích phân của sức điện động theo thời gian bằng B nhân với diện tích mặt cắt của hình xuyến.

Hình 36–8 chỉ hệ thức giữa B và H, quan sát được với một hình xuyến bằng sắt mềm. Khi dòng lần đầu được bật lên, B tăng theo H tăng dọc theo đường cong a. Hãy lưu ý các thang khác nhau trên B và H; ban đầu, chỉ cần một H tương đối nhỏ để tạo ra một B lớn. Tại sao B lại lớn hơn nhiều khi có sắt so với khi có không khí? Vì có một độ từ hóa M lớn tương đương với một dòng mặt lớn trên sắt — trường B đến từ tổng của dòng này và dòng dẫn trong cuộn quấn. Tại sao M lại lớn đến vậy, chúng ta sẽ thảo luận sau.

Ở các giá trị cao hơn của H, đường cong từ hóa san bằng ra. Chúng ta nói rằng sắt bão hòa. Với các thang của hình của chúng ta, đường cong dường như trở thành nằm ngang. Thực tế, nó tiếp tục tăng lên một chút — đối với các trường lớn, B trở nên tỉ lệ với H, và với hệ số góc bằng một. Không còn sự tăng thêm nào của M. Nhân tiện, chúng ta nên chỉ ra rằng nếu hình xuyến được làm bằng một vật liệu không từ nào đó, M sẽ bằng không và B sẽ bằng H đối với mọi trường.

Điều đầu tiên chúng ta nhận thấy là đường cong a trong Hình 36–8 — vốn là đường cong được gọi là đường cong từ hóa — rất phi tuyến. Nhưng mọi chuyện còn tệ hơn thế. Nếu, sau khi đạt tới bão hòa, chúng ta giảm dòng trong cuộn dây để đưa H trở lại không, trường từ B giảm dọc theo đường cong b. Khi H đạt tới không, vẫn còn lại một ít B. Ngay cả khi không có dòng từ hóa vẫn có một trường từ trong sắt — nó đã trở nên bị từ hóa vĩnh viễn. Nếu bây giờ chúng ta bật một dòng âm trong cuộn dây, đường cong B–H tiếp tục dọc theo b cho tới khi sắt bão hòa theo hướng âm. Nếu sau đó chúng ta đưa dòng trở lại không một lần nữa, B đi dọc theo đường cong c. Nếu chúng ta luân phiên dòng giữa các giá trị dương lớn và âm lớn, đường cong B–H đi qua đi lại dọc theo gần như đúng các đường cong b và c. Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi H theo một cách tùy ý nào đó, chúng ta có thể được các đường cong phức tạp hơn mà, nói chung, sẽ nằm ở đâu đó giữa các đường cong b và c. Vòng được tạo ra bởi sự dao động lặp lại của các trường được gọi là một vòng trễ của sắt.

Vậy chúng ta thấy rằng chúng ta không thể viết một hệ thức hàm số như B = f(H), vì giá trị của B tại bất kỳ thời điểm nào phụ thuộc không chỉ vào H là gì tại thời điểm đó, mà vào toàn bộ lịch sử quá khứ của nó. Dĩ nhiên, các đường cong từ hóa và trễ là khác nhau đối với các chất khác nhau. Hình dạng của các đường cong phụ thuộc một cách quyết định vào thành phần hóa học của vật liệu, và cũng vào các chi tiết của việc chế tạo nó và cách xử lý vật lý sau đó. Chúng ta sẽ thảo luận một số cách giải thích vật lý cho những sự phức tạp này trong chương tiếp theo.

36–4  Các cuộn cảm lõi sắt

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của các vật liệu từ là trong các mạch điện — chẳng hạn, trong máy biến áp, động cơ điện, và vân vân. Một lý do là với sắt chúng ta có thể kiểm soát các trường từ đi đâu, và cũng thu được các trường lớn hơn nhiều đối với một dòng điện cho trước. Chẳng hạn, cuộn cảm “hình xuyến” điển hình được làm rất giống vật được chỉ trong Hình 36–7. Đối với một độ tự cảm cho trước, nó có thể nhỏ hơn nhiều về thể tích và dùng ít đồng hơn nhiều so với một cuộn cảm “lõi không khí” tương đương. Đối với một độ tự cảm cho trước, chúng ta thu được điện trở trong cuộn quấn nhỏ hơn nhiều, nên cuộn cảm gần với “lý tưởng” hơn — đặc biệt đối với các tần số thấp. Rất dễ hiểu, một cách định tính, một cuộn cảm như vậy hoạt động như thế nào. Nếu I là dòng trong cuộn quấn, thì trường H được tạo ra ở bên trong tỉ lệ với I — như cho bởi phương trình (36.20). Điện áp 𝒱 trên các đầu nối liên hệ với trường từ B. Bỏ qua điện trở của cuộn quấn, điện áp 𝒱 tỉ lệ với ∂B/∂t. Khi đó độ tự cảm ℒ, vốn là tỉ số của 𝒱 với dI/dt (xem Mục 17–7), liên quan tới hệ thức giữa B và H trong sắt. Vì B lớn hơn H rất nhiều, chúng ta thu được một hệ số lớn trong độ tự cảm. Về mặt vật lý, điều xảy ra là một dòng nhỏ trong cuộn dây, vốn thông thường sẽ tạo ra một trường từ nhỏ, khiến các “nam châm nô lệ” nhỏ xíu trong sắt xếp hàng ngay ngắn và tạo ra một dòng “từ” lớn hơn khủng khiếp so với dòng bên ngoài trong cuộn quấn. Cứ như thể chúng ta có dòng chạy qua cuộn dây nhiều hơn rất nhiều so với thực tế chúng ta có. Khi chúng ta đảo ngược dòng, mọi nam châm nhỏ đều lật ngược lại — mọi dòng nội tại đó đều đảo ngược — và chúng ta thu được một sức điện động cảm ứng cao hơn nhiều so với khi không có sắt. Nếu chúng ta muốn tính độ tự cảm, chúng ta có thể làm điều đó thông qua năng lượng — như mô tả trong Mục 17–8. Tốc độ mà năng lượng được chuyển giao từ nguồn dòng là I𝒱. Điện áp 𝒱 là diện tích mặt cắt A của lõi, nhân với N, nhân với dB/dt. Từ phương trình (36.20), I = (ε₀c²l/N)H. Vậy chúng ta có

dU/dt = 𝒱I = (ε₀c²lA)H dB/dt.

Tích phân theo thời gian, chúng ta có

U = (ε₀c²lA)∫H dB.   (36.21)

Hãy lưu ý rằng lA là thể tích của hình xuyến, vậy chúng ta đã chứng tỏ rằng mật độ năng lượng u = U/thể tích trong một vật liệu từ được cho bởi

u = ε₀c²∫H dB.   (36.22)

Một đặc điểm thú vị liên quan ở đây. Khi chúng ta dùng các dòng xoay chiều, sắt bị đẩy vòng quanh một vòng trễ. Vì B không phải là một hàm đơn trị của H, tích phân của ∫H dB quanh một chu trình hoàn chỉnh không bằng không. Nó là diện tích chứa bên trong đường cong trễ. Như vậy, nguồn điều khiển chuyển giao một năng lượng thực nào đó mỗi chu trình — một năng lượng tỉ lệ với diện tích bên trong vòng trễ. Và năng lượng đó bị “mất”. Nó bị mất khỏi các hoạt động điện từ, nhưng xuất hiện thành nhiệt trong sắt. Nó được gọi là tổn hao trễ. Để giữ các tổn hao năng lượng như vậy nhỏ, chúng ta muốn vòng trễ càng hẹp càng tốt. Một cách để giảm diện tích của vòng là giảm trường cực đại đạt được trong mỗi chu trình. Đối với các trường cực đại nhỏ hơn, chúng ta thu được một đường cong trễ như đường được chỉ trong Hình 36–9. Ngoài ra, các vật liệu đặc biệt được thiết kế để có một vòng rất hẹp. Cái gọi là sắt máy biến áp — vốn là các hợp kim sắt với một lượng nhỏ silic — đã được phát triển để có tính chất này.

Khi một cuộn cảm được vận hành trên một vòng trễ nhỏ, hệ thức giữa B và H có thể được gần đúng bằng một phương trình tuyến tính. Người ta thường viết

B = μH.   (36.23)

Hằng số μ không phải là mômen từ chúng ta đã dùng trước đây. Nó được gọi là độ từ thẩm của sắt. (Nó cũng đôi khi được gọi là “độ từ thẩm tương đối”.) Độ từ thẩm của các loại sắt thông thường điển hình là vài nghìn. Có các hợp kim đặc biệt như “supermalloy” có thể có độ từ thẩm cao tới một triệu.

Nếu chúng ta dùng phép gần đúng B = μH trong phương trình (36.21), chúng ta có thể viết năng lượng trong một cuộn cảm hình xuyến là

U = (ε₀c²lA)μ∫H dH = (ε₀c²lA) μH²/2.   (36.24)

Vậy mật độ năng lượng xấp xỉ là

u ≈ (ε₀c²/2)μH².

Bây giờ chúng ta có thể đặt năng lượng của phương trình (36.24) bằng năng lượng ℒI²/2 của một cuộn cảm, và giải tìm ℒ. Chúng ta được

ℒ = (ε₀c²lA)μ(H/I)².

Dùng H/I từ phương trình (36.20), chúng ta có

ℒ = μN²A/(ε₀c²l).   (36.25)

Độ tự cảm tỉ lệ với μ. Nếu bạn muốn các cuộn cảm cho những thứ như bộ khuếch đại âm tần, bạn sẽ cố vận hành chúng trên một vòng trễ mà ở đó hệ thức B–H càng tuyến tính càng tốt. (Bạn sẽ nhớ rằng chúng ta đã nói trong Chương 50, Tập I, về sự tạo ra các họa âm trong các hệ phi tuyến.) Đối với các mục đích như vậy, phương trình (36.23) là một phép gần đúng hữu ích. Mặt khác, nếu bạn muốn tạo ra các họa âm, bạn có thể dùng một cuộn cảm được cố ý vận hành theo một cách rất phi tuyến. Khi đó bạn sẽ phải dùng các đường cong B–H đầy đủ, và phân tích điều gì xảy ra bằng các phương pháp đồ thị hay số.

Một “máy biến áp” thường được làm bằng cách đặt hai cuộn dây trên cùng một hình xuyến — hay lõi — bằng một vật liệu từ. (Đối với các máy biến áp lớn hơn, lõi được làm với tỉ lệ hình chữ nhật cho tiện.) Khi đó một dòng biến thiên trong cuộn quấn “sơ cấp” khiến trường từ trong lõi thay đổi, điều này cảm ứng ra một sức điện động trong cuộn quấn “thứ cấp”. Vì thông lượng qua mỗi vòng của cả hai cuộn quấn là như nhau, các sức điện động trong hai cuộn quấn có cùng tỉ số như số vòng trên mỗi cuộn. Một điện áp đặt vào phía sơ cấp được biến đổi thành một điện áp khác ở phía thứ cấp. Vì cần một dòng thực nào đó vòng quanh lõi để tạo ra sự thay đổi cần thiết trong trường từ, tổng đại số của các dòng trong hai cuộn quấn sẽ cố định và bằng dòng “từ hóa” cần thiết. Nếu dòng rút ra từ phía thứ cấp tăng lên, dòng sơ cấp phải tăng theo tỉ lệ — có một sự “biến đổi” của các dòng cũng như của điện áp.

36–5  Nam châm điện

Bây giờ hãy thảo luận một tình huống thực tế phức tạp hơn một chút. Giả sử chúng ta có một nam châm điện có dạng khá tiêu chuẩn được chỉ trong Hình 36–10 — có một cái ách bằng sắt hình chữ “C”, với một cuộn dây gồm nhiều vòng quấn quanh ách. Trường từ B trong khe hở là gì?

Nếu bề dày của khe nhỏ so với mọi kích thước khác, chúng ta có thể, như một phép gần đúng đầu tiên, giả thiết rằng các đường của B sẽ đi vòng qua vòng kín, đúng như chúng đã làm trong hình xuyến. Chúng sẽ trông ít nhiều như được chỉ trong Hình 36–11(a). Chúng có khuynh hướng tản ra một chút trong khe, nhưng nếu khe hẹp, đây sẽ là một hiệu ứng nhỏ. Là một phép gần đúng khá tốt khi giả thiết rằng thông lượng của B qua bất kỳ mặt cắt nào của ách là một hằng số. Nếu ách có diện tích mặt cắt đều A — và nếu chúng ta bỏ qua mọi hiệu ứng mép tại các khe hay tại các góc — chúng ta có thể nói rằng B là đều vòng quanh ách.

Ngoài ra, B sẽ có cùng giá trị trong khe. Điều này suy ra từ phương trình (36.16). Hãy hình dung bề mặt kín S, được chỉ trong Hình 36–11(b), vốn có một mặt trong khe và mặt kia trong sắt. Thông lượng toàn phần của B ra khỏi bề mặt này phải bằng không. Gọi B₁ là trường trong khe và B₂ là trường trong sắt, chúng ta có (theo phép gần đúng của chúng ta) rằng

B₁A − B₂A = 0.

Suy ra B₁ = B₂.

Bây giờ hãy xét H. Chúng ta lại có thể dùng phương trình (36.19), lấy tích phân đường vòng quanh đường cong Γ trong Hình 36–11(b). Như trước, tích phân ở vế phải là NI, số vòng nhân với dòng. Tuy nhiên, bây giờ H sẽ khác nhau trong sắt và trong không khí. Gọi H₂ là trường trong sắt và l₂ là độ dài đường đi vòng quanh ách, phần này của đường cong sẽ đóng góp lượng H₂l₂ vào tích phân. Gọi H₁ là trường trong khe và l₁ là bề dày khe, chúng ta được đóng góp H₁l₁ từ khe. Chúng ta có

H₁l₁ + H₂l₂ = NI/ε₀c².   (36.26)

Bây giờ chúng ta biết thêm một điều nữa: rằng trong khe không khí, độ từ hóa là không đáng kể, nên B₁ = H₁. Vì B₁ = B₂, phương trình (36.26) trở thành

B₂l₁ + H₂l₂ = NI/ε₀c².   (36.27)

Chúng ta vẫn có hai ẩn số. Để tìm B₂ và H₂, chúng ta cần một hệ thức nữa — cụ thể là, hệ thức liên hệ B với H trong sắt.

Nếu chúng ta có thể dùng phép gần đúng B₂ = μH₂, chúng ta có thể giải phương trình bằng đại số. Tuy nhiên, hãy làm trường hợp tổng quát, trong đó đường cong từ hóa của sắt là một đường như đường được chỉ trong Hình 36–8. Điều chúng ta muốn là nghiệm đồng thời của hệ thức hàm số này cùng với phương trình (36.27). Chúng ta có thể tìm nó bằng cách vẽ đồ thị của phương trình (36.27) trên cùng một đồ thị với đường cong từ hóa, như được làm trong Hình 36–12. Nơi hai đường cong cắt nhau, chúng ta có nghiệm của mình.

Đối với một dòng I cho trước, hàm số (36.27) là đường thẳng được đánh dấu I > 0 trong Hình 36–12. Đường thẳng cắt trục H (B₂ = 0) tại H₂ = NI/ε₀c²l₂, và hệ số góc là −l₂/l₁. Các dòng khác nhau chỉ dịch chuyển đường thẳng theo chiều ngang. Từ Hình 36–12, chúng ta thấy rằng đối với một dòng cho trước có vài nghiệm khác nhau, tùy thuộc vào cách bạn đến được đó. Nếu bạn vừa mới chế tạo nam châm và tăng dòng lên tới I, trường B₂ (vốn cũng là B₁) sẽ có giá trị cho bởi điểm a. Nếu bạn đã chạy dòng tới một giá trị rất cao nào đó và hạ xuống tới I, trường sẽ được cho bởi điểm b. Hoặc, nếu bạn vừa có một dòng âm cao trong nam châm và sau đó đi lên tới I, trường là trường tại điểm c. Trường trong khe sẽ phụ thuộc vào những gì bạn đã làm trong quá khứ.

Khi dòng trong nam châm bằng không, hệ thức giữa B₂ và H₂ trong phương trình (36.27) được chỉ bởi đường thẳng đánh dấu I = 0 trong hình. Vẫn có nhiều nghiệm khả dĩ khác nhau. Nếu trước đó bạn đã bão hòa sắt, có thể có một trường dư đáng kể trong nam châm như cho bởi điểm d. Bạn có thể tháo cuộn dây ra, và bạn có một nam châm vĩnh cửu. Bạn có thể thấy rằng đối với một nam châm vĩnh cửu tốt, bạn sẽ muốn một vật liệu có vòng trễ rộng. Các hợp kim đặc biệt, như Alnico V, có các vòng rất rộng.

36–6  Sự từ hóa tự phát

Bây giờ chúng ta chuyển sang câu hỏi tại sao trong các vật liệu sắt từ một trường từ nhỏ lại tạo ra một độ từ hóa lớn đến vậy. Độ từ hóa của các vật liệu sắt từ như sắt và niken đến từ mômen từ của các electron trong lớp vỏ trong của nguyên tử. Mỗi electron có một mômen từ μ bằng q/2m nhân với hệ số g của nó, nhân với mômen động lượng J của nó. Đối với một electron đơn lẻ không có chuyển động quỹ đạo thực, g = 2, và thành phần của J theo bất kỳ hướng nào — chẳng hạn hướng z — là ±ℏ/2, nên thành phần của μ dọc theo trục z là

μ_z = qℏ/2m = 0,928 × 10⁻²³ amp·m².   (36.28)

Trong một nguyên tử sắt, thực tế có hai electron đóng góp vào tính sắt từ, nên để giữ cuộc thảo luận đơn giản hơn chúng ta sẽ nói về niken, vốn cũng sắt từ như sắt nhưng chỉ có một electron trong lớp vỏ trong. (Dễ dàng mở rộng các lập luận sang sắt.)

Bây giờ điểm mấu chốt là khi có mặt một trường ngoài B, các nam châm nguyên tử có khuynh hướng xếp thẳng hàng với trường, nhưng bị các chuyển động nhiệt đập phá lung tung đúng như chúng ta đã mô tả đối với các vật liệu thuận từ. Trong chương trước chúng ta đã tìm ra rằng sự cân bằng giữa một trường từ đang cố xếp thẳng hàng các nam châm nguyên tử và các chuyển động nhiệt đang cố làm chúng rối loạn tạo ra kết quả là mômen từ trung bình trên một đơn vị thể tích cuối cùng sẽ là

M = Nμ tanh(μB_a/kT).   (36.29)

Bởi B_a chúng ta có nghĩa là trường tác dụng tại nguyên tử, và kT là năng lượng Boltzmann. Trong lý thuyết thuận từ chúng ta đã dùng cho B_a chỉ là B tự nó, bỏ qua phần của trường tại bất kỳ nguyên tử cho trước nào do các nguyên tử gần đó đóng góp. Trong trường hợp sắt từ, có một sự phức tạp. Chúng ta không nên dùng trường trung bình trong sắt cho B_a tác dụng lên một nguyên tử riêng lẻ. Thay vào đó, chúng ta phải làm như chúng ta đã làm trong trường hợp các chất điện môi — chúng ta phải tìm trường cục bộ tác dụng tại một nguyên tử đơn lẻ. Để tính toán chính xác chúng ta nên cộng dồn các trường tại nguyên tử đang xét do mọi nguyên tử khác trong mạng tinh thể đóng góp. Nhưng như chúng ta đã làm đối với các chất điện môi, chúng ta sẽ dùng phép gần đúng rằng trường tại một nguyên tử giống như trường chúng ta sẽ tìm thấy trong một cái hốc hình cầu nhỏ trong vật liệu — giả thiết rằng các mômen của các nguyên tử trong vùng lân cận không bị thay đổi bởi sự hiện diện của hốc.

Làm theo các lập luận chúng ta đã làm trong Chương 11, chúng ta có thể nghĩ rằng mình có thể viết

B_hole = B + (1/3)(M/ε₀c²)  (sai!).

Nhưng điều đó không đúng. Tuy nhiên, chúng ta có thể tận dụng các kết quả của Chương 11 nếu chúng ta so sánh cẩn thận các phương trình của Chương 11 với các phương trình cho tính sắt từ trong chương này. Hãy đặt các phương trình tương ứng cạnh nhau. Đối với các vùng không có dòng dẫn hay điện tích, chúng ta có:

(36.30)

Hai tập hợp phương trình này có thể được nghĩ là tương tự nhau nếu chúng ta thực hiện các tương ứng thuần túy toán học sau đây:

E → B − M/ε₀c²,    E + P/ε₀ → B.

Điều này cũng giống như thực hiện sự tương tự

E → H,    P → M/c².   (36.31)

Nói cách khác, nếu chúng ta viết các phương trình của tính sắt từ thành

∇·(H + M/ε₀c²) = 0,    ∇×H = 0,   (36.32)

chúng trông giống các phương trình của tĩnh điện học.

Sự tương ứng thuần túy đại số này đã dẫn đến một số nhầm lẫn trong quá khứ. Người ta có khuynh hướng nghĩ rằng H là “trường từ”. Nhưng, như chúng ta đã thấy, B và E là các trường cơ bản về mặt vật lý, còn H là một ý tưởng suy ra. Vì vậy mặc dù các phương trình là tương tự, vật lý thì không tương tự. Tuy nhiên, điều đó không cần ngăn chúng ta dùng nguyên lý rằng cùng các phương trình thì có cùng các nghiệm.

Chúng ta có thể dùng các kết quả trước đây của mình cho điện trường bên trong các hốc có hình dạng khác nhau trong các chất điện môi — được tóm tắt trong Hình 36–1 — để tìm trường H bên trong các hốc tương ứng. Biết H, chúng ta có thể xác định B. Chẳng hạn (dùng các kết quả chúng ta đã tóm tắt trong Mục 36–1), trường H trong một hốc hình kim song song với M giống như H trong vật liệu,

H_hole = H_material.

Nhưng vì M trong hốc bằng không, chúng ta có

B_hole = B_material − M/ε₀c².   (36.33)

Mặt khác, đối với một hốc hình đĩa, vuông góc với M, chúng ta có

E_hole = E_dielectric + P/ε₀,

mà dịch sang thành

H_hole = H_material + M/ε₀c².

Hoặc, theo B,

B_hole = B_material.   (36.34)

Cuối cùng, đối với một hốc hình cầu, bằng cách thực hiện sự tương tự của chúng ta với phương trình (36.3) chúng ta sẽ có

H_hole = H_material + M/(3ε₀c²)

hay

B_hole = B_material − (2/3)(M/ε₀c²).   (36.35)

Kết quả này khá khác với điều chúng ta đã thu được cho E.

Dĩ nhiên, có thể thu được các kết quả này theo một cách vật lý hơn, bằng cách dùng trực tiếp các phương trình Maxwell. Chẳng hạn, phương trình (36.34) suy trực tiếp ra từ ∇·B = 0. (Bạn dùng một mặt Gauss mà một nửa nằm trong vật liệu và một nửa nằm ngoài.) Tương tự, bạn có thể thu được phương trình (36.33) bằng cách dùng một tích phân đường dọc theo một đường cong đi lên bên trong hốc và quay trở lại qua vật liệu. Về mặt vật lý, trường trong hốc bị giảm đi vì các dòng mặt — vốn được cho bởi ∇×M. Chúng tôi để dành cho bạn việc chứng tỏ rằng phương trình (36.35) cũng có thể thu được bằng cách xét các hiệu ứng của các dòng mặt trên biên của hốc hình cầu.

Khi tìm độ từ hóa cân bằng từ phương trình (36.29), hóa ra thuận tiện nhất là làm việc với H; vậy hãy viết

B_a = H + λM/ε₀c².   (36.36)

Trong phép gần đúng hốc hình cầu, chúng ta sẽ có λ = 1/3, nhưng, như bạn sẽ thấy, sau này chúng ta sẽ muốn dùng một giá trị nào khác, nên chúng ta để nó như một tham số điều chỉnh được. Ngoài ra, chúng ta sẽ lấy mọi trường đều theo cùng một hướng để không phải lo về các hướng vectơ. Nếu bây giờ chúng ta thay phương trình (36.36) vào phương trình (36.29), chúng ta sẽ có một phương trình liên hệ độ từ hóa M với trường từ hóa H:

M = Nμ tanh(μ(H + λM/ε₀c²)/kT).

Tuy nhiên, đó là một phương trình không thể giải tường minh, nên chúng ta sẽ giải nó bằng đồ thị.

Hãy đặt bài toán dưới một dạng tổng quát bằng cách viết phương trình (36.29) thành

M/M_sat = tanh x,   (36.37)

trong đó M_sat là giá trị bão hòa của độ từ hóa, cụ thể là Nμ, và x biểu diễn μB_a/kT. Sự phụ thuộc của M/M_sat vào x được chỉ bởi đường cong a trong Hình 36–13. Chúng ta cũng có thể viết x như một hàm của M — dùng phương trình (36.36) cho B_a — thành

x = μB_a/kT = μH/kT + (μλM_sat/ε₀c²kT)(M/M_sat).   (36.38)

Đối với bất kỳ giá trị cho trước nào của H, đây là một hệ thức đường thẳng giữa M/M_sat và x. Giao điểm với trục x là tại x = μH/kT, và hệ số góc là ε₀c²kT/μλM_sat. Đối với bất kỳ H cụ thể nào, chúng ta sẽ có một đường thẳng như đường được đánh dấu b trong Hình 36–13. Giao điểm của các đường cong a và b cho chúng ta nghiệm cho M/M_sat. Chúng ta đã giải xong bài toán.

Hãy xét xem các nghiệm sẽ diễn ra như thế nào trong các hoàn cảnh khác nhau. Chúng ta bắt đầu với H = 0. Có hai tình huống khả dĩ, được chỉ bởi các đường thẳng b₁ và b₂ trong Hình 36–14. Bạn sẽ nhận thấy từ phương trình (36.38) rằng hệ số góc của đường thẳng tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối T. Vì vậy, ở các nhiệt độ cao chúng ta sẽ có một đường thẳng như b₁. Nghiệm là M/M_sat = 0. Khi trường từ hóa bằng không, độ từ hóa cũng bằng không. Nhưng ở các nhiệt độ thấp, chúng ta sẽ có một đường thẳng như b₂, và có hai nghiệm cho M/M_sat — một nghiệm với M/M_sat = 0 và một nghiệm với M/M_sat gần bằng một. Hóa ra chỉ nghiệm ở trên mới bền — như bạn có thể thấy bằng cách xét các biến thiên nhỏ quanh các nghiệm này.

Vậy theo các ý tưởng này, một vật liệu từ nên tự từ hóa một cách tự phát ở các nhiệt độ đủ thấp. Nói ngắn gọn, khi các chuyển động nhiệt đủ nhỏ, sự liên kết giữa các nam châm nguyên tử khiến tất cả chúng xếp song song với nhau — chúng ta có một vật liệu bị từ hóa vĩnh viễn tương tự như các chất sắt điện chúng ta đã thảo luận trong Chương 11.

Nếu chúng ta bắt đầu ở các nhiệt độ cao và đi xuống, có một nhiệt độ tới hạn, gọi là nhiệt độ Curie T_c, tại đó hành vi sắt từ đột ngột xuất hiện. Nhiệt độ này tương ứng với đường thẳng b₃ của Hình 36–14, vốn tiếp tuyến với đường cong a, và do đó, có hệ số góc bằng 1. Nhiệt độ Curie được cho bởi

ε₀c²kT_c/(μλM_sat) = 1.   (36.39)

Chúng ta có thể, nếu muốn, viết phương trình (36.38) đơn giản hơn theo T_c thành

x = μH/kT + (T_c/T)(M/M_sat).   (36.40)

Bây giờ chúng ta muốn xem điều gì xảy ra đối với các trường từ hóa H nhỏ. Chúng ta có thể thấy từ Hình 36–14 mọi việc sẽ diễn ra như thế nào nếu chúng ta dịch chuyển các đường thẳng của mình một chút sang phải. Đối với trường hợp nhiệt độ thấp, điểm giao nhau sẽ di chuyển ra một chút dọc theo phần có độ dốc thấp của đường cong a, và M sẽ thay đổi tương đối ít. Tuy nhiên, đối với trường hợp nhiệt độ cao, điểm giao nhau chạy lên phần dốc của đường cong a, và M sẽ thay đổi tương đối nhanh. Thực tế, chúng ta có thể gần đúng phần này của đường cong a bằng một đường thẳng có hệ số góc bằng một, và viết:

M/M_sat = x = μH/kT + (T_c/T)(M/M_sat).

Bây giờ chúng ta có thể giải tìm M/M_sat:

M/M_sat = μH/(k(T − T_c)).   (36.41)

Chúng ta có một định luật có phần giống định luật chúng ta đã có cho tính thuận từ. Đối với tính thuận từ, chúng ta đã có

M/M_sat = μB/kT.   (36.42)

Một điểm khác biệt bây giờ là chúng ta có độ từ hóa theo H, vốn bao gồm một số hiệu ứng của tương tác giữa các nam châm nguyên tử, nhưng điểm khác biệt chính là độ từ hóa tỉ lệ nghịch với hiệu số giữa T và T_c, thay vì chỉ với nhiệt độ tuyệt đối T mà thôi. Việc bỏ qua các tương tác giữa các nguyên tử kề nhau tương ứng với việc lấy λ = 0, mà từ phương trình (36.39) có nghĩa là lấy T_c = 0. Khi đó các kết quả đúng là những gì chúng ta đã có trong Chương 35.

Chúng ta có thể kiểm tra bức tranh lý thuyết của mình với dữ liệu thực nghiệm cho niken. Người ta quan sát bằng thực nghiệm rằng hành vi sắt từ của niken biến mất khi nhiệt độ của nó được nâng lên trên 631°K. Chúng ta có thể so sánh điều này với T_c tính được từ phương trình (36.39). Nhớ rằng M_sat = μN, chúng ta có

T_c = λNμ²/(kε₀c²).

Từ mật độ và nguyên tử lượng của niken, chúng ta được

N = 9,1 × 10²⁸ m⁻³.

Lấy μ từ phương trình (36.28), và đặt λ = 1/3, chúng ta được

T_c = 0,24°K.

Có một sự chênh lệch khoảng 2600 lần! Lý thuyết của chúng ta về tính sắt từ thất bại hoàn toàn.

Chúng ta có thể thử “vá víu” lý thuyết như Weiss đã làm bằng cách nói rằng vì một lý do nào đó chưa biết λ không phải là một phần ba, mà là (2600) × 1/3 — hay khoảng 900. Hóa ra người ta thu được các giá trị tương tự đối với các vật liệu sắt từ khác như sắt. Để thấy điều này có nghĩa là gì, hãy quay lại phương trình (36.36). Chúng ta thấy rằng một λ lớn có nghĩa là B_a, trường cục bộ tại nguyên tử, dường như lớn hơn, lớn hơn rất nhiều so với chúng ta tưởng. Thực tế, viết H = B − M/ε₀c², chúng ta có

B_a = B + (λ − 1)M/ε₀c².

Theo ý tưởng ban đầu của chúng ta — với λ = 1/3 độ từ hóa cục bộ M làm giảm trường hiệu dụng B_a một lượng −(2/3)M/ε₀c². Ngay cả nếu mô hình hốc hình cầu của chúng ta không tốt lắm, chúng ta vẫn kỳ vọng có một sự giảm nào đó. Thay vào đó, để giải thích hiện tượng sắt từ, chúng ta phải hình dung rằng độ từ hóa của trường tăng cường trường cục bộ lên một hệ số lớn nào đó — như một nghìn lần hay hơn. Dường như không có cách hợp lý nào để chế tạo ra các trường khủng khiếp như vậy tại một nguyên tử — thậm chí cũng không có các trường có dấu đúng! Rõ ràng, lý thuyết “từ” của chúng ta về tính sắt từ là một thất bại thê thảm. Vậy chúng ta phải kết luận rằng tính sắt từ liên quan tới một tương tác phi từ nào đó giữa các electron đang quay trong các nguyên tử kề nhau. Tương tác này phải sinh ra một khuynh hướng mạnh mẽ khiến mọi spin gần đó xếp thẳng hàng theo cùng một hướng. Sau này chúng ta sẽ thấy nó liên quan tới cơ học lượng tử và nguyên lý loại trừ Pauli.

Cuối cùng, chúng ta xét điều gì xảy ra ở các nhiệt độ thấp — đối với T < T_c. Chúng ta đã thấy rằng khi đó sẽ có một độ từ hóa tự phát — ngay cả với H = 0 — cho bởi giao điểm của các đường cong a và b₂ của Hình 36–14. Nếu chúng ta giải tìm M đối với các nhiệt độ khác nhau — bằng cách thay đổi hệ số góc của đường thẳng b₂ — chúng ta thu được đường cong lý thuyết được chỉ trong Hình 36–15. Đường cong này phải giống nhau đối với mọi vật liệu sắt từ mà mômen nguyên tử của chúng đến từ một electron đơn lẻ. Các đường cong đối với các vật liệu khác chỉ hơi khác một chút.

Trong giới hạn, khi T tiến tới không tuyệt đối, M tiến tới M_sat. Khi nhiệt độ tăng, độ từ hóa giảm, rơi xuống không tại nhiệt độ Curie. Các điểm trong Hình 36–15 là các quan sát thực nghiệm đối với niken. Chúng khớp với đường cong lý thuyết khá tốt. Mặc dù chúng ta không hiểu cơ chế cơ bản, các đặc điểm tổng quát của lý thuyết dường như là đúng.

Cuối cùng, còn một sự chênh lệch đáng lo ngại nữa trong nỗ lực của chúng ta nhằm hiểu tính sắt từ. Chúng ta đã tìm thấy rằng trên một nhiệt độ nào đó vật liệu nên hành xử như một chất thuận từ với độ từ hóa M tỉ lệ với H (hay B), và dưới nhiệt độ đó nó nên trở nên bị từ hóa tự phát. Nhưng đó không phải là điều chúng ta đã tìm thấy khi chúng ta đo đường cong từ hóa của sắt. Nó chỉ trở nên bị từ hóa vĩnh viễn sau khi chúng ta đã “từ hóa” nó. Theo các ý tưởng vừa thảo luận, nó sẽ tự từ hóa lấy mình! Có gì sai vậy? À, hóa ra nếu bạn nhìn vào một tinh thể đủ nhỏ của sắt hay niken, nó quả thực bị từ hóa hoàn toàn! Nhưng trong các miếng sắt lớn, có nhiều vùng nhỏ hay “miền” (domain) được từ hóa theo các hướng khác nhau, thành thử trên quy mô lớn độ từ hóa trung bình dường như bằng không. Tuy nhiên, trong mỗi miền nhỏ, sắt có một độ từ hóa bị khóa chặt với M gần bằng M_sat. Hệ quả của cấu trúc miền này là các tính chất thô của các miếng vật liệu lớn khá khác với các tính chất vi mô mà chúng ta thực sự đã xét. Chúng ta sẽ tiếp tục trong bài giảng tiếp theo câu chuyện về hành vi thực tế của các vật liệu từ khối.