Chương 41: Dòng chảy của nước ướt

41–1  Độ nhớt

Trong chương trước chúng ta đã thảo luận hành vi của nước, bỏ qua hiện tượng độ nhớt. Bây giờ chúng ta muốn thảo luận các hiện tượng của dòng chảy của các chất lưu, bao gồm các hiệu ứng của độ nhớt. Chúng ta muốn nhìn vào hành vi thật của các chất lưu. Chúng ta sẽ mô tả định tính hành vi thực tế của các chất lưu dưới các hoàn cảnh khác nhau để bạn sẽ có một ít cảm nhận về môn học này. Mặc dù bạn sẽ thấy một số phương trình phức tạp và nghe về một số thứ phức tạp, mục đích của chúng ta không phải là bạn phải học mọi thứ này. Đây, theo một nghĩa nào đó, là một chương “văn hóa” sẽ cho bạn một ý niệm về thế giới như thế nào. Chỉ có một mục đáng học, và đó là định nghĩa đơn giản của độ nhớt mà chúng ta sẽ đến trong chốc lát. Phần còn lại chỉ để bạn giải trí.

Trong chương trước chúng ta đã tìm thấy rằng các định luật chuyển động của một chất lưu được chứa trong phương trình

∂v/∂t + (v·∇)v = −∇p/ρ − ∇ϕ + f_visc/ρ.   (41.1)

Trong phép gần đúng “nước khô” chúng ta đã bỏ số hạng cuối, vì vậy chúng ta đã bỏ qua mọi hiệu ứng nhớt. Ngoài ra, đôi khi chúng ta đã thực hiện một phép gần đúng thêm bằng cách coi chất lưu là không nén được; khi đó chúng ta có phương trình thêm

∇·v = 0.

Phép gần đúng cuối này thường khá tốt — đặc biệt khi các tốc độ dòng chảy chậm hơn nhiều so với tốc độ âm thanh. Nhưng trong các chất lưu thật, hầu như không bao giờ đúng rằng chúng ta có thể bỏ qua ma sát nội mà chúng ta gọi là độ nhớt; hầu hết các điều thú vị xảy ra đều đến từ nó theo cách này hay cách khác. Chẳng hạn, chúng ta đã thấy rằng trong “nước khô” lưu thông không bao giờ thay đổi — nếu ban đầu không có, sẽ không bao giờ có. Thế nhưng, lưu thông trong các chất lưu là một sự việc hằng ngày. Chúng ta phải sửa lại lý thuyết của mình.

Chúng ta bắt đầu với một sự kiện thực nghiệm quan trọng. Khi chúng ta tính dòng chảy của “nước khô” quanh hay qua một hình trụ — cái gọi là “dòng thế” — chúng ta không có lý do gì để không cho phép nước có một vận tốc tiếp tuyến với bề mặt; chỉ thành phần pháp tuyến mới phải bằng không. Chúng ta đã không tính tới khả năng rằng có thể có một lực cắt giữa chất lỏng và vật rắn. Hóa ra — mặc dù điều đó hoàn toàn không hiển nhiên — rằng trong mọi hoàn cảnh đã được kiểm tra thực nghiệm, vận tốc của một chất lưu đúng bằng không tại bề mặt của một vật rắn. Bạn chắc chắn đã lưu ý rằng cánh của một cái quạt sẽ thu thập một lớp bụi mỏng — và nó vẫn ở đó sau khi quạt đã khuấy không khí. Bạn có thể thấy hiệu ứng tương tự ngay cả trên cái quạt lớn của một hầm gió. Tại sao bụi không bị không khí thổi bay? Bất chấp sự kiện rằng cánh quạt đang chuyển động với tốc độ cao qua không khí, tốc độ của không khí so với cánh quạt đi tới không ngay tại bề mặt. Vì vậy các hạt bụi nhỏ nhất không bị xáo trộn.¹ Chúng ta phải sửa đổi lý thuyết để phù hợp với sự kiện thực nghiệm rằng trong mọi chất lưu thông thường, các phân tử kề một bề mặt rắn có vận tốc bằng không (so với bề mặt).²

Ban đầu chúng ta đã đặc trưng một chất lỏng bằng sự kiện rằng nếu bạn đặt một ứng suất cắt lên nó — dù nhỏ thế nào — nó sẽ chịu khuất phục. Nó chảy. Trong các tình huống tĩnh, không có ứng suất cắt. Nhưng trước khi đạt cân bằng — chừng nào bạn còn đẩy nó — có thể có các lực cắt. Độ nhớt mô tả các lực cắt này tồn tại trong một chất lưu đang chuyển động. Để thu được một thước đo của các lực cắt trong chuyển động của một chất lưu, chúng ta xét loại thí nghiệm sau. Giả sử chúng ta có hai bề mặt phẳng rắn với nước ở giữa chúng, như trong Hình 41–1, và chúng ta giữ một bề mặt đứng yên trong khi di chuyển bề mặt kia song song với nó với tốc độ chậm v₀. Nếu bạn đo lực cần thiết để giữ bản trên tiếp tục chuyển động, bạn thấy rằng nó tỉ lệ với diện tích của các bản và với v₀/d, trong đó d là khoảng cách giữa các bản. Vì vậy ứng suất cắt F/A tỉ lệ với v₀/d:

F/A = η v₀/d.

Hằng số tỉ lệ η được gọi là hệ số độ nhớt.

Nếu chúng ta có một tình huống phức tạp hơn, chúng ta luôn có thể xét một ô nhỏ, phẳng, hình chữ nhật trong nước với các mặt của nó song song với dòng chảy, như trong Hình 41–2. Lực cắt qua ô này được cho bởi

ΔF/ΔA = η Δv_x/Δy = η ∂v_x/∂y.   (41.2)

Bây giờ, ∂v_x/∂y là tốc độ thay đổi của biến dạng cắt mà chúng ta đã định nghĩa trong Chương 39, vì vậy đối với một chất lỏng, ứng suất cắt tỉ lệ với tốc độ thay đổi của biến dạng cắt.

Trong trường hợp tổng quát chúng ta viết

S_xy = η(∂v_y/∂x + ∂v_x/∂y).   (41.3)

Nếu có một sự quay đều của chất lưu, ∂v_x/∂y là số đối của ∂v_y/∂x và S_xy bằng không — như nó phải thế vì không có ứng suất trong một chất lưu quay đều. (Chúng ta đã làm một điều tương tự khi định nghĩa e_xy trong Chương 39.) Dĩ nhiên, có các biểu thức tương ứng cho S_yz và S_zx.

Làm một ví dụ về việc áp dụng các ý tưởng này, chúng ta xét chuyển động của một chất lưu giữa hai hình trụ đồng trục. Để hình trụ trong có bán kính a và vận tốc ngoại vi v_a, và hình trụ ngoài có bán kính b và vận tốc v_b. Xem Hình 41–3. Chúng ta có thể hỏi, phân bố vận tốc giữa các hình trụ là gì? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta bắt đầu bằng cách tìm một công thức cho lực cắt nhớt trong chất lưu tại khoảng cách r tới trục. Từ tính đối xứng của bài toán, chúng ta có thể giả thiết rằng dòng chảy luôn tiếp tuyến và độ lớn của nó chỉ phụ thuộc vào r; v = v(r). Nếu chúng ta quan sát một đốm trong nước tại bán kính r, tọa độ của nó theo thời gian là

x = r cos ωt,   y = r sin ωt,

trong đó ω = v/r. Khi đó các thành phần x và y của vận tốc là

v_x = −rω sin ωt = −ωy   và   v_y = rω cos ωt = ωx.   (41.4)

Từ phương trình (41.3), chúng ta có

S_xy = η[x ∂ω/∂x − y ∂ω/∂y].   (41.5)

Đối với một điểm tại y = 0, ∂ω/∂y = 0, và x ∂ω/∂x cũng như r dω/dr. Vì vậy tại điểm đó

(S_xy)_y=0 = ηr dω/dr.   (41.6)

(Thật hợp lý rằng S phải phụ thuộc vào dω/dr; khi không có sự thay đổi của ω theo r, chất lỏng đang quay đều và không có ứng suất.)

Ứng suất chúng ta đã tính là lực cắt tiếp tuyến, như nhau quanh khắp hình trụ. Chúng ta có thể thu được mômen lực tác dụng qua một bề mặt hình trụ tại bán kính r bằng cách nhân ứng suất cắt với cánh tay đòn r và diện tích 2πrl (trong đó l là chiều dài của hình trụ). Chúng ta được

τ = 2πr²l(S_xy)_y=0 = 2πηlr³ dω/dr.   (41.7)

Vì chuyển động của nước là dừng — không có gia tốc góc — mômen lực thực trên vỏ hình trụ của nước giữa r và r + dr phải bằng không; tức là, mômen lực tại r phải được cân bằng bởi một mômen lực bằng và ngược lại tại r + dr, thành thử τ phải không phụ thuộc vào r. Nói cách khác, r³ dω/dr bằng một hằng số nào đó, giả sử A, và

dω/dr = A/r³.   (41.8)

Tích phân, chúng ta tìm thấy rằng ω thay đổi theo r thành

ω = −A/(2r²) + B.   (41.9)

Các hằng số A và B được xác định để phù hợp với các điều kiện ω = ω_a tại r = a, và ω = ω_b tại r = b. Chúng ta được

A = 2a²b²/(b² − a²) (ω_b − ω_a),
B = (b²ω_b − a²ω_a)/(b² − a²).   (41.10)

Vì vậy chúng ta biết ω như một hàm của r, và từ nó v = ωr.

Nếu chúng ta muốn mômen lực, chúng ta có thể thu được nó từ các phương trình (41.7) và (41.8):

τ = 2πηlA

hay

τ = 4πηla²b²/(b² − a²) (ω_b − ω_a).   (41.11)

Nó tỉ lệ với các vận tốc góc tương đối của hai hình trụ. Một thiết bị tiêu chuẩn để đo các hệ số độ nhớt được chế tạo theo cách này. Một hình trụ — giả sử hình trụ ngoài — nằm trên các trục quay nhưng được giữ đứng yên bởi một cân lò xo đo mômen lực tác dụng lên nó, trong khi hình trụ trong được quay với một vận tốc góc không đổi. Hệ số độ nhớt khi đó được xác định từ phương trình (41.11).

Từ định nghĩa của nó, bạn thấy rằng đơn vị của η là newton·giây/m². Đối với nước tại 20°C,

η = 10⁻³ newton·giây/m².

Thường thuận tiện hơn khi dùng độ nhớt động học, là η chia cho mật độ ρ. Khi đó các giá trị đối với nước và không khí là tương đương:

nước tại 20°C,   η/ρ = 10⁻⁶ m²/giây,
không khí tại 20°C,   η/ρ = 15×10⁻⁶ m²/giây.   (41.12)

Độ nhớt thường phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ. Chẳng hạn, đối với nước ngay trên điểm đóng băng, η/ρ lớn hơn 1,8 lần so với tại 20°C.

41–2  Dòng chảy nhớt

Bây giờ chúng ta đi tới một lý thuyết tổng quát về dòng chảy nhớt — ít nhất là ở dạng tổng quát nhất mà con người biết. Chúng ta đã hiểu rằng các thành phần ứng suất cắt tỉ lệ với các đạo hàm theo không gian của các thành phần vận tốc khác nhau như ∂v_x/∂y hay ∂v_y/∂x. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát của một chất lưu nén được, còn có một số hạng khác trong ứng suất phụ thuộc vào các đạo hàm khác của vận tốc. Biểu thức tổng quát là

S_ij = η(∂v_i/∂x_j + ∂v_j/∂x_i) + η′ δ_ij(∇·v),   (41.13)

trong đó x_i là bất kỳ tọa độ Descartes nào trong x, y, hay z, và v_i là bất kỳ thành phần Descartes nào của vận tốc. (Ký hiệu δ_ij là delta Kronecker, bằng 1 khi i = j và 0 khi i ≠ j.) Số hạng thêm cộng η′(∇·v) vào mọi phần tử đường chéo S_ii của tenxơ ứng suất. Nếu chất lỏng không nén được, ∇·v = 0, và số hạng thêm này không xuất hiện. Vì vậy nó liên quan tới các lực nội trong quá trình nén. Vì vậy cần hai hằng số để mô tả chất lỏng, đúng như chúng ta đã có hai hằng số để mô tả một vật rắn đàn hồi đồng nhất. Hệ số η là hệ số độ nhớt “thông thường” mà chúng ta đã gặp. Nó cũng được gọi là hệ số độ nhớt thứ nhất hay “hệ số độ nhớt cắt”, và hệ số mới η′ được gọi là hệ số độ nhớt thứ hai.

Bây giờ chúng ta muốn xác định lực nhớt trên một đơn vị thể tích, f_visc, để chúng ta có thể đặt nó vào phương trình (41.1) nhằm thu được phương trình chuyển động cho một chất lưu thật. Lực tác dụng lên một phần tử thể tích lập phương nhỏ của một chất lưu là hợp của các lực trên cả sáu mặt. Lấy chúng từng hai mặt một, chúng ta sẽ thu được các hiệu phụ thuộc vào các đạo hàm của các ứng suất, và, do đó, vào các đạo hàm bậc hai của vận tốc. Điều này đẹp vì nó sẽ đưa chúng ta trở lại một phương trình vectơ. Thành phần của lực nhớt trên một đơn vị thể tích theo hướng của tọa độ Descartes x_i là

(f_visc)_i = Σ_j=1³ ∂S_ij/∂x_j = Σ_j=1³ ∂/∂x_j {η(∂v_i/∂x_j + ∂v_j/∂x_i)} + ∂/∂x_i (η′ ∇·v).   (41.14)

Thông thường, sự thay đổi của các hệ số độ nhớt theo vị trí là không đáng kể và có thể bỏ qua. Khi đó, lực nhớt trên một đơn vị thể tích chỉ chứa các đạo hàm bậc hai của vận tốc. Chúng ta đã thấy trong Chương 39 rằng dạng tổng quát nhất của các đạo hàm bậc hai có thể xuất hiện trong một phương trình vectơ là tổng của một số hạng trong Laplacian (∇·∇v = ∇²v), và một số hạng trong gradient của divergence (∇(∇·v)). Phương trình (41.14) đúng là một tổng như vậy với các hệ số η và (η + η′). Chúng ta được

f_visc = η∇²v + (η + η′)∇(∇·v).   (41.15)

Trong trường hợp không nén được, ∇·v = 0, và lực nhớt trên một đơn vị thể tích chỉ là η∇²v. Đó là tất cả những gì nhiều người dùng; tuy nhiên, nếu bạn muốn tính sự hấp thụ âm thanh trong một chất lưu, bạn sẽ cần số hạng thứ hai.

Bây giờ chúng ta có thể hoàn thành phương trình chuyển động tổng quát của mình cho một chất lưu thật. Thay phương trình (41.15) vào phương trình (41.1), chúng ta được

ρ{∂v/∂t + (v·∇)v} = −∇p − ρ∇ϕ + η∇²v + (η + η′)∇(∇·v).

Nó phức tạp. Nhưng tự nhiên là như vậy.

Nếu chúng ta đưa vào độ xoáy Ω = ∇×v, như chúng ta đã làm trước đây, chúng ta có thể viết phương trình của mình thành

ρ{∂v/∂t + Ω×v + ½∇v²} = −∇p − ρ∇ϕ + η∇²v + (η + η′)∇(∇·v).   (41.16)

Chúng ta lại đang giả thiết rằng các lực khối duy nhất tác dụng là các lực bảo toàn như trọng lực. Để thấy số hạng mới có nghĩa gì, hãy nhìn vào trường hợp chất lưu không nén được. Khi đó, nếu chúng ta lấy curl của phương trình (41.16), chúng ta được

∂Ω/∂t + ∇×(Ω×v) = (η/ρ)∇²Ω.   (41.17)

Điều này giống phương trình (40.9) ngoại trừ số hạng mới ở vế phải. Khi vế phải bằng không, chúng ta có định lý Helmholtz rằng độ xoáy ở lại với chất lưu. Bây giờ, chúng ta có số hạng khác không khá phức tạp ở vế phải, tuy nhiên nó có các hệ quả vật lý trực tiếp. Nếu chúng ta bỏ qua trong chốc lát số hạng ∇×(Ω×v), chúng ta có một phương trình khuếch tán. Số hạng mới có nghĩa là độ xoáy Ω khuếch tán qua chất lưu. Nếu có một gradient lớn trong độ xoáy, nó sẽ lan ra vào chất lưu kề bên.

Đây là số hạng làm cho vòng khói trở nên dày hơn khi nó di chuyển. Ngoài ra, nó thể hiện đẹp nếu bạn gửi một vòng xoáy “sạch” (một vòng “không khói” được tạo bởi thiết bị mô tả trong chương trước) qua một đám mây khói. Khi nó ra khỏi đám mây, nó sẽ đã nhặt được một ít khói, và bạn sẽ thấy một vỏ rỗng của một vòng khói. Một phần của Ω khuếch tán ra ngoài vào khói, trong khi vẫn duy trì chuyển động về phía trước của nó cùng với vòng xoáy.

41–3  Số Reynolds

Bây giờ chúng ta sẽ mô tả các thay đổi được tạo ra trong đặc tính của dòng chảy chất lưu như một hệ quả của số hạng độ nhớt mới. Chúng ta sẽ nhìn vào hai bài toán với một ít chi tiết. Bài toán đầu tiên là dòng chảy của một chất lưu qua một hình trụ — một dòng chảy mà chúng ta đã cố tính trong chương trước dùng lý thuyết cho dòng chảy không nhớt. Hóa ra các phương trình nhớt ngày nay chỉ có thể được con người giải cho một vài trường hợp đặc biệt. Vì vậy một phần của những gì chúng tôi sẽ cho bạn biết dựa trên các phép đo thực nghiệm — giả thiết rằng mô hình thực nghiệm thỏa mãn phương trình (41.17).

Bài toán toán học là thế này: Chúng ta muốn nghiệm cho dòng chảy của một chất lưu nhớt, không nén được qua một hình trụ dài có đường kính D. Dòng chảy phải được cho bởi phương trình (41.17) và bởi

Ω = ∇×v   (41.18)

với các điều kiện rằng vận tốc tại các khoảng cách lớn là một vận tốc không đổi nào đó, giả sử V (song song với trục x), và tại bề mặt của hình trụ bằng không. Tức là,

v_x = v_y = v_z = 0   (41.19)

tại

x² + y² = D²/4.

Điều đó chỉ rõ hoàn toàn bài toán toán học.

Nếu bạn nhìn vào các phương trình, bạn thấy rằng có bốn tham số khác nhau trong bài toán: η, ρ, D, và V. Bạn có thể nghĩ rằng chúng ta sẽ phải đưa ra một loạt các trường hợp cho các V khác nhau, các D khác nhau, và vân vân. Tuy nhiên, không phải vậy. Mọi nghiệm khả dĩ khác nhau đều tương ứng với các giá trị khác nhau của một tham số. Đây là điều tổng quát quan trọng nhất chúng ta có thể nói về dòng chảy nhớt. Để thấy tại sao lại như vậy, trước hết lưu ý rằng độ nhớt và mật độ chỉ xuất hiện trong tỉ số η/ρ — độ nhớt động học. Điều đó giảm số tham số độc lập xuống còn ba. Bây giờ giả sử chúng ta đo mọi khoảng cách bằng độ dài duy nhất xuất hiện trong bài toán, đường kính D của hình trụ; tức là, chúng ta thay cho x, y, z các biến mới x′, y′, z′ với

x = x′D,   y = y′D,   z = z′D.

Khi đó D biến mất khỏi (41.19). Theo cùng cách, nếu chúng ta đo mọi vận tốc theo V — tức là, chúng ta đặt v = v′V — chúng ta loại bỏ V, và v′ chỉ bằng 1 tại các khoảng cách lớn. Vì chúng ta đã cố định các đơn vị độ dài và vận tốc của mình, đơn vị thời gian của chúng ta bây giờ là D/V; vì vậy chúng ta nên đặt

t = t′ D/V.   (41.20)

Với các biến mới của chúng ta, các đạo hàm trong phương trình (41.18) được thay đổi từ ∂/∂x thành (1/D) ∂/∂x′, và cứ thế; vì vậy phương trình (41.18) trở thành

Ω = ∇×v = (V/D) ∇′×v′ = (V/D) Ω′.   (41.21)

Phương trình chính (41.17) của chúng ta khi đó đọc thành

∂Ω′/∂t′ + ∇′×(Ω′×v′) = (η/(ρVD)) ∇′²Ω′.

Mọi hằng số ngưng tụ thành một thừa số duy nhất mà chúng ta viết, theo truyền thống, thành 1/ℛ:

ℛ = (ρ/η) VD.   (41.22)

Nếu chúng ta chỉ nhớ rằng mọi phương trình của chúng ta phải được viết với mọi đại lượng trong các đơn vị mới, chúng ta có thể bỏ mọi dấu phẩy. Các phương trình của chúng ta cho dòng chảy khi đó là

∂Ω/∂t + ∇×(Ω×v) = (1/ℛ)∇²Ω.   (41.23)

và

Ω = ∇×v

với các điều kiện

v = 0

tại

x² + y² = 1/4   (41.24)

và

v_x = 1,   v_y = v_z = 0

tại

x² + y² + z² ≫ 1.

Tất cả điều này có nghĩa vật lý rất thú vị. Nó có nghĩa, chẳng hạn, rằng nếu chúng ta giải bài toán dòng chảy cho một vận tốc V₁ và một đường kính hình trụ nào đó D₁, và sau đó hỏi về dòng chảy cho một đường kính khác D₂ và một chất lưu khác, dòng chảy sẽ như nhau đối với vận tốc V₂ cho cùng số Reynolds — tức là, khi

ℛ₁ = (ρ₁/η₁)V₁D₁ = ℛ₂ = (ρ₂/η₂)V₂D₂.   (41.25)

Đối với bất kỳ hai tình huống nào có cùng số Reynolds, các dòng chảy sẽ “trông” như nhau — theo các x′, y′, z′, và t′ đã tỉ lệ hóa thích hợp. Đây là một mệnh đề quan trọng vì nó có nghĩa là chúng ta có thể xác định hành vi của dòng chảy của không khí qua một cánh máy bay sẽ như thế nào mà không cần phải chế tạo một máy bay và thử nó. Thay vào đó, chúng ta có thể làm một mô hình và thực hiện các phép đo dùng một vận tốc cho cùng số Reynolds. Đây là nguyên lý cho phép chúng ta áp dụng các kết quả của các phép đo “hầm gió” trên các máy bay mô hình tỉ lệ nhỏ, hay các kết quả “bể mô hình” trên các tàu mô hình tỉ lệ, vào các vật thể kích thước thật. Tuy nhiên, hãy nhớ rằng chúng ta chỉ có thể làm điều này với điều kiện tính nén được của chất lưu có thể bỏ qua. Nếu không, một đại lượng mới bước vào — tốc độ âm thanh. Và các tình huống khác nhau sẽ thực sự tương ứng với nhau chỉ nếu tỉ số của V với tốc độ âm thanh cũng như nhau. Tỉ số thứ hai này được gọi là số Mach. Vì vậy, đối với các vận tốc gần tốc độ âm thanh hay cao hơn, các dòng chảy là như nhau trong hai tình huống nếu cả số Mach và số Reynolds đều như nhau đối với cả hai tình huống.

41–4  Dòng chảy qua một trụ tròn

Hãy quay lại bài toán dòng chảy tốc độ thấp (gần như không nén được) qua hình trụ. Chúng ta sẽ đưa ra một mô tả định tính về dòng chảy của một chất lưu thật. Có nhiều thứ chúng ta có thể muốn biết về một dòng chảy như vậy — chẳng hạn, lực cản tác dụng lên hình trụ là gì? Lực cản trên một hình trụ được vẽ trong Hình 41–4 như một hàm của ℛ — vốn tỉ lệ với tốc độ không khí V nếu mọi thứ khác được giữ cố định. Điều thực sự được vẽ là cái gọi là hệ số cản C_D, là một số không thứ nguyên bằng lực chia cho ½ρV²Dl, trong đó D là đường kính, l là chiều dài của hình trụ, và ρ là mật độ của chất lỏng:

C_D = F/(½ρV²Dl).

Hệ số cản thay đổi theo một cách khá phức tạp, cho chúng ta một gợi ý trước rằng có một điều gì đó khá thú vị và phức tạp đang xảy ra trong dòng chảy. Bây giờ chúng ta sẽ mô tả bản chất của dòng chảy đối với các khoảng khác nhau của số Reynolds. Trước hết, khi số Reynolds rất nhỏ, dòng chảy khá dừng; tức là, vận tốc không đổi tại bất kỳ nơi nào, và dòng chảy đi quanh hình trụ. Tuy nhiên, phân bố thực tế của các đường dòng không giống như trong dòng thế. Chúng là các nghiệm của một phương trình có phần khác. Khi vận tốc rất thấp hay, điều tương đương, khi độ nhớt rất cao thành thử chất này như mật ong, thì các số hạng quán tính là không đáng kể và dòng chảy được mô tả bởi phương trình

∇²Ω = 0.

Phương trình này lần đầu được Stokes giải. Ông cũng giải bài toán tương tự cho một quả cầu. Nếu bạn có một quả cầu nhỏ chuyển động dưới các điều kiện số Reynolds thấp như vậy, lực cần thiết để kéo nó bằng 6πηaV, trong đó a là bán kính của quả cầu và V là vận tốc của nó. Đây là một công thức rất hữu ích vì nó cho tốc độ mà các hạt bụi bẩn nhỏ (hay các hạt khác có thể được gần đúng thành các quả cầu) chuyển động qua một chất lưu dưới một lực cho trước — như, chẳng hạn, trong một máy ly tâm, hay trong sự lắng đọng, hay khuếch tán. Trong vùng số Reynolds thấp — đối với ℛ nhỏ hơn 1 — các đường của v quanh một hình trụ là như vẽ trong Hình 41–5.

Nếu bây giờ chúng ta tăng tốc độ chất lưu để thu được một số Reynolds lớn hơn 1 một ít, chúng ta thấy rằng dòng chảy khác đi. Có một lưu thông phía sau hình trụ, như chỉ trong Hình 41–6(b). Vẫn còn là một câu hỏi mở rằng liệu luôn có một lưu thông ở đó ngay cả tại số Reynolds nhỏ nhất hay mọi thứ đột ngột thay đổi tại một số Reynolds nào đó. Trước đây người ta nghĩ rằng lưu thông tăng liên tục. Nhưng bây giờ người ta nghĩ rằng nó xuất hiện đột ngột, và chắc chắn rằng lưu thông tăng theo ℛ. Trong mọi trường hợp, có một đặc tính khác của dòng chảy đối với ℛ trong vùng từ khoảng 10 tới 30. Có một cặp xoáy phía sau hình trụ.

Dòng chảy lại thay đổi khi chúng ta tới một số khoảng 40 hay khoảng đó. Đột nhiên có một sự thay đổi hoàn toàn trong đặc tính của chuyển động. Điều xảy ra là một trong các xoáy phía sau hình trụ trở nên dài đến mức nó tách ra và di chuyển về phía hạ lưu cùng với chất lưu. Sau đó chất lưu cuộn lại phía sau hình trụ và tạo một xoáy mới. Các xoáy bong ra luân phiên ở mỗi phía, thành thử một hình ảnh tức thời của dòng chảy trông gần như phác họa trong Hình 41–6(c). Dòng các xoáy được gọi là “đường xoáy Kármán”. Chúng luôn xuất hiện đối với ℛ > 40. Chúng tôi chỉ một bức ảnh của một dòng chảy như vậy trong Hình 41–7.

Sự khác biệt giữa hai dòng chảy trong Hình 41–6(c) và 41–6(b) hay 41–6(a) gần như là một sự khác biệt hoàn toàn về chế độ. Trong Hình 41–6(a) hay (b), vận tốc không đổi, trong khi trong Hình 41–6(c), vận tốc tại bất kỳ điểm nào thay đổi theo thời gian. Không có nghiệm dừng phía trên ℛ = 40 — điều chúng ta đã đánh dấu trên Hình 41–4 bằng một đường đứt nét. Đối với các số Reynolds cao hơn này, dòng chảy thay đổi theo thời gian nhưng theo một cách đều đặn, tuần hoàn.

Chúng ta có thể thu được một ý niệm vật lý về cách các xoáy này được tạo ra. Chúng ta biết rằng vận tốc chất lưu phải bằng không tại bề mặt của hình trụ và nó cũng tăng nhanh ra xa bề mặt đó. Độ xoáy được tạo ra bởi sự biến thiên cục bộ lớn này của vận tốc chất lưu. Bây giờ khi vận tốc dòng chính đủ thấp, có đủ thời gian để độ xoáy này khuếch tán ra khỏi vùng mỏng gần bề mặt rắn nơi nó được tạo ra và lớn lên thành một vùng xoáy lớn. Bức tranh vật lý này sẽ giúp chuẩn bị chúng ta cho sự thay đổi tiếp theo trong bản chất của dòng chảy khi vận tốc dòng chính, hay ℛ, được tăng thêm nữa.

Khi vận tốc ngày càng cao, ngày càng có ít thời gian hơn để độ xoáy khuếch tán vào một vùng chất lưu lớn hơn. Đến khi chúng ta đạt một số Reynolds vài trăm, độ xoáy bắt đầu lấp đầy một dải mỏng, như chỉ trong Hình 41–6(d). Trong lớp này dòng chảy hỗn loạn và bất thường. Vùng này được gọi là lớp biên và vùng dòng chảy bất thường này tiến ngày càng xa hơn về phía thượng lưu khi ℛ tăng. Trong vùng rối, các vận tốc rất bất thường và “ồn ào”; ngoài ra dòng chảy không còn hai chiều mà xoắn và quay theo cả ba chiều. Vẫn còn một chuyển động luân phiên đều đặn chồng lên chuyển động rối.

Khi số Reynolds tăng thêm nữa, vùng rối tiến về phía trước cho tới khi nó đạt điểm nơi các đường dòng rời khỏi hình trụ — đối với các dòng chảy phần nào phía trên ℛ = 10⁵. Dòng chảy là như chỉ trong Hình 41–6(e), và chúng ta có cái gọi là “lớp biên rối”. Ngoài ra, có một sự thay đổi mạnh mẽ trong lực cản; nó giảm xuống một thừa số lớn, như chỉ trong Hình 41–4. Trong vùng tốc độ này, lực cản thực ra giảm khi tốc độ tăng. Dường như có ít bằng chứng về tính tuần hoàn.

Điều gì xảy ra đối với các số Reynolds còn lớn hơn? Khi chúng ta tăng tốc độ thêm nữa, vệt phía sau lại tăng kích thước và lực cản tăng. Các thí nghiệm mới nhất — vốn đi tới khoảng ℛ = 10⁷ — chỉ ra rằng một tính tuần hoàn mới xuất hiện trong vệt, hoặc vì toàn bộ vệt đang dao động qua lại trong một chuyển động thô, hoặc vì một loại xoáy mới nào đó đang xảy ra cùng với một chuyển động ồn ào bất thường. Các chi tiết vẫn chưa hoàn toàn rõ ràng, và vẫn đang được nghiên cứu thực nghiệm.

41–5  Giới hạn độ nhớt bằng không

Chúng tôi muốn chỉ ra rằng không dòng chảy nào chúng ta đã mô tả giống chút nào với nghiệm dòng thế chúng ta đã tìm trong chương trước. Điều này, thoạt nhìn, khá ngạc nhiên. Rốt cuộc, ℛ tỉ lệ với 1/η. Vì vậy η tiến tới không tương đương với ℛ tiến tới vô cực. Và nếu chúng ta lấy giới hạn ℛ lớn trong phương trình (41.23), chúng ta loại bỏ vế phải và thu được đúng các phương trình của chương trước. Thế nhưng, bạn sẽ khó tin rằng dòng chảy rối mạnh tại ℛ = 10⁷ đang tiến tới dòng chảy trơn tru được tính từ các phương trình của “nước khô”. Làm sao có thể là khi chúng ta tiến tới ℛ = ∞, dòng chảy được mô tả bởi phương trình (41.23) cho một nghiệm hoàn toàn khác với nghiệm chúng ta thu được khi lấy η = 0 ngay từ đầu? Câu trả lời rất thú vị. Lưu ý rằng số hạng bên phải của phương trình (41.23) có 1/ℛ nhân với một đạo hàm bậc hai. Nó là một đạo hàm bậc cao hơn bất kỳ đạo hàm nào khác trong phương trình. Điều xảy ra là mặc dù hệ số 1/ℛ nhỏ, có các biến thiên rất nhanh của Ω trong không gian gần bề mặt. Các biến thiên nhanh này bù cho hệ số nhỏ, và tích không tiến tới không khi ℛ tăng. Các nghiệm không tiến tới trường hợp giới hạn khi hệ số của ∇²Ω tiến tới không.

Bạn có thể đang tự hỏi, “Rối hạt mịn là gì và nó tự duy trì như thế nào? Làm sao độ xoáy được tạo ra ở đâu đó tại mép của hình trụ có thể tạo ra nhiều nhiễu ồn đến vậy trong nền?” Câu trả lời lại thú vị. Độ xoáy có khuynh hướng tự khuếch đại. Nếu chúng ta quên trong chốc lát sự khuếch tán của độ xoáy vốn gây ra một sự mất mát, các định luật của dòng chảy nói (như chúng ta đã thấy) rằng các đường xoáy được mang theo cùng với chất lưu, với vận tốc v. Chúng ta có thể hình dung một số đường nào đó của Ω đang bị biến dạng và xoắn bởi hình ảnh dòng chảy phức tạp của v. Điều này kéo các đường lại gần nhau hơn và trộn lẫn chúng cả lên. Các đường trước đây đơn giản sẽ bị thắt nút và bị kéo lại gần nhau. Chúng sẽ dài hơn và chặt hơn với nhau. Cường độ của độ xoáy sẽ tăng và các bất thường của nó — các dấu cộng và dấu trừ — nói chung sẽ tăng. Vì vậy độ lớn của độ xoáy trong ba chiều tăng khi chúng ta xoắn chất lưu quanh.

Bạn có thể hỏi, “Khi nào thì dòng thế là một lý thuyết thỏa đáng chút nào?” Trước hết, nó thỏa đáng bên ngoài vùng rối nơi độ xoáy chưa xâm nhập đáng kể bằng khuếch tán. Bằng cách tạo các vật thể có dạng khí động học đặc biệt, chúng ta có thể giữ vùng rối nhỏ hết mức có thể; dòng chảy quanh các cánh máy bay — vốn được thiết kế cẩn thận — gần như hoàn toàn là dòng thế thật.

41–6  Dòng chảy Couette

Có thể chứng minh rằng đặc tính phức tạp và thay đổi của dòng chảy qua một hình trụ không phải là đặc biệt mà sự đa dạng to lớn của các khả năng dòng chảy xảy ra một cách tổng quát. Chúng ta đã tính trong Mục 41–1 một nghiệm cho dòng chảy nhớt giữa hai hình trụ, và chúng ta có thể so sánh các kết quả với điều thực sự xảy ra. Nếu chúng ta lấy hai hình trụ đồng tâm với một dầu trong khoảng không gian giữa chúng và đặt một bột nhôm mịn làm huyền phù trong dầu, dòng chảy dễ thấy. Bây giờ nếu chúng ta quay hình trụ ngoài chậm, không có gì bất ngờ xảy ra; xem Hình 41–8(a). Ngược lại, nếu chúng ta quay hình trụ trong chậm, không có gì rất nổi bật xảy ra. Tuy nhiên, nếu chúng ta quay hình trụ trong với một tốc độ cao hơn, chúng ta thu được một bất ngờ. Chất lưu vỡ thành các dải ngang, như chỉ trong Hình 41–8(b). Khi hình trụ ngoài quay với một tốc độ tương tự với hình trụ trong đứng yên, không có hiệu ứng như vậy xảy ra. Làm sao có thể có một sự khác biệt giữa việc quay hình trụ trong hay hình trụ ngoài? Rốt cuộc, hình ảnh dòng chảy chúng ta đã suy ra trong Mục 41–1 chỉ phụ thuộc vào ω_b − ω_a. Chúng ta có thể thu được câu trả lời bằng cách nhìn vào các tiết diện được chỉ trong Hình 41–9. Khi các lớp trong của chất lưu đang chuyển động nhanh hơn các lớp ngoài, chúng có khuynh hướng chuyển động ra ngoài — lực ly tâm lớn hơn áp suất giữ chúng tại chỗ. Một lớp toàn thể không thể di chuyển ra ngoài một cách đều vì các lớp ngoài chắn đường. Nó phải vỡ thành các ô và lưu thông, như chỉ trong Hình 41–9(b). Nó giống như các dòng đối lưu trong một căn phòng có không khí nóng tại đáy. Khi hình trụ trong đứng yên và hình trụ ngoài có vận tốc cao, các lực ly tâm xây dựng một gradient áp suất giữ mọi thứ trong cân bằng — xem Hình 41–9(c) (như trong một căn phòng có không khí nóng tại đỉnh).

Bây giờ hãy tăng tốc hình trụ trong. Trước hết, số dải tăng lên. Sau đó đột nhiên bạn thấy các dải trở nên lượn sóng, như trong Hình 41–8(c), và các sóng di chuyển quanh hình trụ. Tốc độ của các sóng này dễ dàng đo được. Đối với các tốc độ quay cao chúng tiến tới 1/3 tốc độ của hình trụ trong. Và không ai biết tại sao! Đó là một thách thức. Một con số đơn giản như 1/3, và không có lời giải thích. Thực ra, toàn bộ cơ chế của sự hình thành sóng không được hiểu rõ lắm; thế nhưng nó là dòng chảy tầng dừng.

Nếu bây giờ chúng ta bắt đầu quay hình trụ ngoài nữa — nhưng theo hướng ngược lại — hình ảnh dòng chảy bắt đầu vỡ ra. Chúng ta thu được các vùng lượn sóng luân phiên với các vùng dường như yên tĩnh, như phác họa trong Hình 41–8(d), tạo thành một hình ảnh xoắn ốc. Tuy nhiên, trong các vùng “yên tĩnh” này, chúng ta có thể thấy rằng dòng chảy thực sự khá bất thường; nó, thực ra, hoàn toàn rối. Các vùng lượn sóng cũng bắt đầu cho thấy dòng chảy rối bất thường. Nếu các hình trụ được quay còn nhanh hơn nữa, toàn bộ dòng chảy trở nên rối một cách hỗn loạn.

Trong thí nghiệm đơn giản này chúng ta thấy nhiều chế độ dòng chảy thú vị khá khác nhau, và thế nhưng chúng đều chứa trong phương trình đơn giản của chúng ta đối với các giá trị khác nhau của tham số duy nhất ℛ. Với các hình trụ quay của chúng ta, chúng ta có thể thấy nhiều hiệu ứng xảy ra trong dòng chảy qua một hình trụ: trước hết, có một dòng chảy dừng; thứ hai, một dòng chảy khởi phát thay đổi theo thời gian nhưng theo một cách đều đặn, trơn tru; cuối cùng, dòng chảy trở nên hoàn toàn bất thường. Tất cả các bạn đều đã thấy các hiệu ứng tương tự trong cột khói dâng lên từ một điếu thuốc lá trong không khí yên tĩnh. Có một cột trơn tru dừng, tiếp theo là một loạt các xoắn vặn khi dòng khói bắt đầu vỡ ra, cuối cùng kết thúc trong một đám mây khói rối bất thường cuộn xoáy.

Bài học chính cần học từ tất cả điều này là một sự đa dạng to lớn của hành vi được ẩn trong tập hợp các phương trình đơn giản trong (41.23). Mọi nghiệm đều cho cùng các phương trình, chỉ với các giá trị khác nhau của ℛ. Chúng ta không có lý do để nghĩ rằng có bất kỳ số hạng nào thiếu trong các phương trình này. Khó khăn duy nhất là chúng ta ngày nay không có sức mạnh toán học để phân tích chúng ngoại trừ đối với các số Reynolds rất nhỏ — tức là, trong trường hợp hoàn toàn nhớt. Việc chúng ta đã viết một phương trình không loại bỏ khỏi dòng chảy của các chất lưu sự quyến rũ hay bí ẩn hay sự ngạc nhiên của nó.

Nếu một sự đa dạng như vậy có thể trong một phương trình đơn giản với chỉ một tham số, với các phương trình phức tạp hơn thì còn có thể nhiều đến thế nào! Có lẽ phương trình cơ bản mô tả các tinh vân xoáy và các ngôi sao và thiên hà đang ngưng tụ, quay, và phát nổ chỉ là một phương trình đơn giản về hành vi thủy động lực học của khí hydro gần như tinh khiết. Thường thường, những người trong một nỗi sợ vật lý không có cơ sở nói rằng bạn không thể viết một phương trình cho sự sống. Ồ, có lẽ chúng ta có thể. Thực ra, chúng ta rất có thể đã có phương trình với một phép gần đúng đủ tốt khi chúng ta viết phương trình của cơ học lượng tử:

Hψ = −(ℏ/i) ∂ψ/∂t.

Chúng ta vừa thấy rằng các sự phức tạp của sự vật có thể thoát khỏi sự đơn giản của các phương trình mô tả chúng dễ dàng và kịch tính đến thế nào. Không ý thức được phạm vi của các phương trình đơn giản, con người thường kết luận rằng không gì khác ngoài Chúa, không phải chỉ các phương trình, mới có thể giải thích các sự phức tạp của thế giới.

Chúng ta đã viết các phương trình của dòng chảy nước. Từ thực nghiệm, chúng ta tìm thấy một tập hợp các khái niệm và phép gần đúng để dùng khi thảo luận nghiệm — các đường xoáy, các vệt rối, các lớp biên. Khi chúng ta có các phương trình tương tự trong một tình huống ít quen thuộc hơn, và một tình huống mà chúng ta chưa thể thí nghiệm, chúng ta cố giải các phương trình theo một cách nguyên sơ, ngập ngừng, và bối rối để cố xác định những đặc điểm định tính mới nào có thể xuất hiện, hay những dạng định tính mới nào là một hệ quả của các phương trình. Các phương trình của chúng ta cho mặt trời, chẳng hạn, như một quả cầu khí hydro, mô tả một mặt trời không có vết đen mặt trời, không có cấu trúc hạt gạo của bề mặt, không có các tai lửa, không có vành nhật hoa. Thế nhưng, tất cả những thứ này thực sự ở trong các phương trình; chúng ta chỉ chưa tìm được cách lấy chúng ra.

Có những người sẽ thất vọng khi không tìm thấy sự sống trên các hành tinh khác. Không phải tôi — tôi muốn được nhắc nhở và vui thích và ngạc nhiên một lần nữa, qua sự thám hiểm liên hành tinh, với sự đa dạng và mới lạ vô hạn của các hiện tượng có thể được tạo ra từ các nguyên lý đơn giản như vậy. Thử nghiệm của khoa học là khả năng dự đoán của nó. Nếu bạn chưa bao giờ thăm trái đất, bạn có thể dự đoán các cơn giông bão, các núi lửa, các sóng đại dương, các cực quang, và hoàng hôn đầy màu sắc không? Một bài học lành mạnh sẽ đến khi chúng ta học được mọi điều diễn ra trên mỗi hành tinh chết đó — tám hay mười quả cầu đó, mỗi quả tụ lại từ cùng một đám mây bụi và mỗi quả tuân theo đúng cùng các định luật vật lý.

Kỷ nguyên thức tỉnh vĩ đại tiếp theo của trí tuệ con người rất có thể sẽ tạo ra một phương pháp để hiểu nội dung định tính của các phương trình. Ngày nay chúng ta không thể. Ngày nay chúng ta không thể thấy rằng các phương trình dòng chảy nước chứa các thứ như cấu trúc cột thợ cạo của sự rối mà người ta thấy giữa các hình trụ quay. Ngày nay chúng ta không thể thấy phương trình Schrödinger có chứa ếch, các nhà soạn nhạc, hay đạo đức hay không — hay nó không chứa. Chúng ta không thể nói liệu một cái gì đó vượt trên nó như Chúa có cần thiết hay không. Và vì vậy tất cả chúng ta đều có thể giữ các ý kiến mạnh mẽ theo cả hai hướng.