Chương 42: Không gian cong

42–1  Các không gian cong hai chiều

Theo Newton, mọi vật hút mọi vật khác với một lực tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ nó, và các vật đáp ứng lại các lực với các gia tốc tỉ lệ với các lực. Đó là các định luật về vạn vật hấp dẫn và về chuyển động của Newton. Như bạn đã biết, chúng giải thích được chuyển động của các quả bóng, các hành tinh, các vệ tinh, các thiên hà, và vân vân.

Einstein có một cách diễn giải khác về định luật hấp dẫn. Theo ông, không gian và thời gian — vốn phải được gộp chung lại thành không-thời gian — bị cong ở gần các khối lượng lớn. Và chính việc các vật cố gắng đi dọc theo các “đường thẳng” trong không-thời gian cong này khiến chúng chuyển động theo cách mà chúng chuyển động. Đó là một ý tưởng phức tạp — rất phức tạp. Đó là ý tưởng mà chúng ta muốn giải thích trong chương này.

Chủ đề của chúng ta có ba phần. Một phần liên quan đến các hiệu ứng của hấp dẫn. Một phần khác liên quan đến các ý tưởng về không-thời gian mà chúng ta đã nghiên cứu. Phần thứ ba liên quan đến ý tưởng về không-thời gian cong. Lúc đầu chúng ta sẽ đơn giản hóa chủ đề bằng cách không lo về hấp dẫn và bỏ thời gian ra ngoài — chỉ thảo luận không gian cong thuần túy. Các phần còn lại chúng ta sẽ nói sau, nhưng bây giờ chúng ta sẽ tập trung vào ý tưởng không gian cong — không gian cong có nghĩa là gì, và, cụ thể hơn, không gian cong có nghĩa là gì trong ứng dụng này của Einstein. Ngay cả chừng đó hóa ra cũng có phần khó khăn trong ba chiều. Vì vậy trước hết chúng ta sẽ thu hẹp bài toán thêm nữa và nói về ý nghĩa của cụm từ “không gian cong” trong hai chiều.

Để hiểu được ý tưởng về không gian cong trong hai chiều này, bạn thực sự phải thấu hiểu quan điểm hạn hẹp của nhân vật sống trong một không gian như vậy. Giả sử chúng ta tưởng tượng một con bọ không có mắt sống trên một mặt phẳng, như được chỉ trong Hình 42–1. Nó chỉ có thể di chuyển trên mặt phẳng, và nó không có cách nào biết rằng có bất kỳ cách nào để khám phá bất kỳ “thế giới bên ngoài” nào. (Nó không có trí tưởng tượng như của bạn.) Dĩ nhiên, chúng ta sẽ lập luận bằng phép tương tự. Chúng ta sống trong một thế giới ba chiều, và chúng ta không có chút trí tưởng tượng nào về việc đi ra khỏi thế giới ba chiều của mình theo một hướng mới; vì vậy chúng ta phải suy nghĩ mọi chuyện bằng phép tương tự. Cứ như thể chúng ta là những con bọ sống trên một mặt phẳng, và có một không gian theo một hướng khác. Đó là lý do vì sao trước hết chúng ta sẽ làm việc với con bọ, luôn nhớ rằng nó phải sống trên bề mặt của nó và không thể thoát ra ngoài.

Như một ví dụ khác về một con bọ sống trong hai chiều, hãy tưởng tượng một con sống trên một mặt cầu. Chúng ta tưởng tượng rằng nó có thể đi lại trên bề mặt của mặt cầu, như trong Hình 42–2, nhưng nó không thể nhìn “lên”, hay “xuống”, hay “ra ngoài”.

Bây giờ chúng ta muốn xét một sinh vật thứ ba nữa. Nó cũng là một con bọ giống như những con khác, và cũng sống trên một mặt phẳng, như con bọ đầu tiên của chúng ta, nhưng lần này mặt phẳng có điều kỳ lạ. Nhiệt độ khác nhau ở những nơi khác nhau. Ngoài ra, con bọ và bất kỳ chiếc thước nào nó dùng đều được làm từ cùng một vật liệu vốn nở ra khi bị nung nóng. Bất cứ khi nào nó đặt một chiếc thước ở đâu đó để đo cái gì, chiếc thước lập tức nở ra tới độ dài thích hợp với nhiệt độ tại nơi đó. Bất cứ nơi nào nó đặt bất kỳ vật gì — chính nó, một chiếc thước, một tam giác, hay bất cứ thứ gì — thứ đó đều tự giãn ra vì sự nở vì nhiệt. Mọi thứ đều dài hơn ở những nơi nóng so với ở những nơi lạnh, và mọi thứ đều có cùng một hệ số nở. Chúng ta sẽ gọi quê hương của con bọ thứ ba của chúng ta là một “tấm nóng”, mặc dù chúng ta sẽ đặc biệt muốn nghĩ về một loại tấm nóng đặc biệt vốn lạnh ở trung tâm và càng ra phía các mép thì càng nóng hơn (Hình 42–3).

Bây giờ chúng ta sẽ tưởng tượng rằng các con bọ của chúng ta bắt đầu nghiên cứu hình học. Mặc dù chúng ta tưởng tượng rằng chúng bị mù nên không thể nhìn thấy bất kỳ thế giới “bên ngoài” nào, chúng có thể làm được rất nhiều việc bằng chân và râu của chúng. Chúng có thể vẽ các đường, và chúng có thể làm thước, và đo các độ dài. Trước hết, giả sử chúng bắt đầu với ý tưởng đơn giản nhất trong hình học. Chúng học cách tạo ra một đường thẳng — được định nghĩa là đường ngắn nhất giữa hai điểm. Con bọ đầu tiên của chúng ta — xem Hình 42–4 — học cách tạo ra những đường rất tốt. Nhưng điều gì xảy ra với con bọ trên mặt cầu? Nó vẽ đường thẳng của nó như khoảng cách ngắn nhất — đối với nó — giữa hai điểm, như trong Hình 42–5. Đối với chúng ta nó có thể trông giống một đường cong, nhưng nó không có cách nào rời khỏi mặt cầu và phát hiện ra rằng “thực ra” có một đường ngắn hơn. Nó chỉ biết rằng nếu nó thử bất kỳ đường đi nào khác trong thế giới của nó thì đường đó luôn dài hơn đường thẳng của nó. Vì vậy chúng ta sẽ cho phép nó có đường thẳng của nó như là cung ngắn nhất giữa hai điểm. (Dĩ nhiên, nó là một cung của một vòng tròn lớn.)

Cuối cùng, con bọ thứ ba của chúng ta — con bọ trong Hình 42–3 — cũng sẽ vẽ những “đường thẳng” mà đối với chúng ta trông như những đường cong. Chẳng hạn, khoảng cách ngắn nhất giữa A và B trong Hình 42–6 sẽ nằm trên một đường cong như đường được chỉ ra. Tại sao? Vì khi đường của nó cong ra phía các phần ấm hơn của tấm nóng, các chiếc thước trở nên dài hơn (từ quan điểm toàn tri của chúng ta) và cần ít “thước đo” đặt nối tiếp nhau hơn để đi từ A đến B. Vì vậy đối với nó đường đó là thẳng — nó không có cách nào biết rằng có thể có một ai đó ở ngoài kia trong một thế giới ba chiều kỳ lạ sẽ gọi một đường khác là “thẳng”.

Chúng tôi nghĩ rằng giờ bạn đã nắm được ý tưởng rằng toàn bộ phần phân tích còn lại sẽ luôn từ quan điểm của các sinh vật trên các bề mặt cụ thể chứ không phải từ quan điểm của chúng ta. Với điều đó trong đầu, hãy xem phần còn lại của các hình học của chúng trông như thế nào. Hãy giả thiết rằng các con bọ đều đã học cách tạo hai đường thẳng cắt nhau ở các góc vuông. (Bạn có thể hình dung ra cách chúng có thể làm điều đó.) Khi đó con bọ đầu tiên của chúng ta (con bọ trên mặt phẳng thông thường) phát hiện một sự kiện thú vị. Nếu nó xuất phát tại điểm A và tạo một đường dài 100 inch, rồi tạo một góc vuông và đánh dấu thêm 100 inch nữa, rồi tạo một góc vuông nữa và đi thêm 100 inch nữa, rồi tạo một góc vuông thứ ba và một đường thứ tư dài 100 inch, nó kết thúc đúng tại điểm xuất phát như được chỉ trong Hình 42–7(a). Đó là một tính chất của thế giới của nó — một trong các sự kiện của “hình học” của nó.

Sau đó nó khám phá một điều thú vị khác. Nếu nó tạo một tam giác — một hình có ba đường thẳng — tổng các góc bằng 180°, tức là bằng tổng của hai góc vuông. Xem Hình 42–7(b).

Sau đó nó phát minh ra đường tròn. Đường tròn là gì? Một đường tròn được tạo ra như thế này: Bạn lao đi trên các đường thẳng theo rất nhiều hướng từ một điểm duy nhất, và đánh dấu rất nhiều điểm đều cách điểm đó cùng một khoảng. Xem Hình 42–7(c). (Chúng ta phải cẩn thận về cách chúng ta định nghĩa những thứ này vì chúng ta phải có thể tạo ra các tương tự cho những anh bạn kia.) Dĩ nhiên, nó tương đương với đường cong bạn có thể tạo ra bằng cách quay một chiếc thước quanh một điểm. Dù sao đi nữa, con bọ của chúng ta học cách tạo ra các đường tròn. Rồi một ngày nó nghĩ đến việc đo khoảng cách vòng quanh một đường tròn. Nó đo vài đường tròn và tìm ra một mối quan hệ gọn gàng: Khoảng cách vòng quanh luôn bằng cùng một số nhân với bán kính r (vốn, dĩ nhiên, là khoảng cách từ tâm ra tới đường cong). Chu vi và bán kính luôn có cùng một tỉ số — xấp xỉ 6,283 — không phụ thuộc vào kích thước của đường tròn.

Bây giờ hãy xem các con bọ khác của chúng ta đã khám phá ra những gì về hình học của chúng. Trước hết, điều gì xảy ra với con bọ trên mặt cầu khi nó cố tạo một “hình vuông”? Nếu nó làm theo chỉ dẫn chúng ta đã đưa ra ở trên, có lẽ nó sẽ nghĩ rằng kết quả chẳng đáng công sức bỏ ra. Nó thu được một hình như hình được chỉ trong Hình 42–8. Điểm cuối B của nó không nằm trên điểm xuất phát A. Nó hoàn toàn không thành một hình khép kín. Hãy lấy một quả cầu và thử xem. Một điều tương tự sẽ xảy ra với anh bạn của chúng ta trên tấm nóng. Nếu nó đặt ra bốn đường thẳng có độ dài bằng nhau — được đo bằng các chiếc thước nở ra của nó — nối với nhau bằng các góc vuông, nó thu được một hình như hình trong Hình 42–9.

Bây giờ giả sử mỗi con bọ của chúng ta đều có Euclid của riêng chúng, người đã bảo chúng hình học “nên” như thế nào, và chúng đã kiểm tra ông ta một cách sơ bộ bằng các phép đo thô trên một quy mô nhỏ. Rồi khi chúng cố tạo ra các hình vuông chính xác trên một quy mô lớn hơn, chúng sẽ khám phá rằng có điều gì đó không ổn. Điểm mấu chốt là, chỉ bằng các phép đo hình học chúng sẽ khám phá ra rằng có điều gì đó không ổn với không gian của chúng. Chúng ta định nghĩa một không gian cong là một không gian trong đó hình học không phải là những gì chúng ta kỳ vọng đối với một mặt phẳng. Hình học của các con bọ trên mặt cầu hay trên tấm nóng là hình học của một không gian cong. Các quy tắc của hình học Euclid không còn đúng nữa. Và không nhất thiết phải có thể tự nâng mình ra khỏi mặt phẳng mới phát hiện ra rằng thế giới bạn đang sống là cong. Không nhất thiết phải đi vòng quanh địa cầu mới phát hiện ra rằng nó là một quả bóng. Bạn có thể phát hiện ra rằng bạn sống trên một quả bóng bằng cách đặt ra một hình vuông. Nếu hình vuông rất nhỏ bạn sẽ cần rất nhiều độ chính xác, nhưng nếu hình vuông lớn thì phép đo có thể được thực hiện thô hơn.

Hãy lấy trường hợp một tam giác trên một mặt phẳng. Tổng các góc là 180 độ. Anh bạn của chúng ta trên mặt cầu có thể tìm ra những tam giác rất kỳ lạ. Chẳng hạn, nó có thể tìm ra những tam giác có ba góc vuông. Đúng thế thật! Một tam giác như vậy được chỉ trong Hình 42–10. Giả sử con bọ của chúng ta xuất phát tại cực bắc và tạo một đường thẳng đi thẳng xuống tận xích đạo. Sau đó nó tạo một góc vuông và một đường thẳng hoàn hảo nữa có cùng độ dài. Sau đó nó làm điều đó lần nữa. Với độ dài rất đặc biệt mà nó đã chọn, nó về đúng điểm xuất phát của mình, và cũng gặp đường đầu tiên ở một góc vuông. Vì vậy không còn nghi ngờ gì nữa rằng đối với nó tam giác này có ba góc vuông, hay 270 độ trong tổng số. Hóa ra đối với nó tổng các góc của tam giác luôn lớn hơn 180 độ. Thực tế, phần dư (đối với trường hợp đặc biệt được chỉ ra, phần dư là 90 độ) tỉ lệ với diện tích mà tam giác có. Nếu một tam giác trên một mặt cầu rất nhỏ, các góc của nó cộng lại thành rất gần 180 độ, chỉ hơn một chút. Khi tam giác lớn dần, sự chênh lệch tăng lên. Các con bọ trên tấm nóng sẽ khám phá ra những khó khăn tương tự với các tam giác của chúng.

Tiếp theo hãy xem các con bọ khác của chúng ta khám phá ra những gì về các đường tròn. Chúng tạo ra các đường tròn và đo chu vi của chúng. Chẳng hạn, con bọ trên mặt cầu có thể tạo một đường tròn như đường được chỉ trong Hình 42–11. Và nó sẽ khám phá ra rằng chu vi nhỏ hơn 2π lần bán kính. (Bạn có thể thấy điều đó vì từ sự khôn ngoan của cái nhìn ba chiều của chúng ta, rõ ràng là cái mà nó gọi là “bán kính” là một đường cong dài hơn bán kính thật của đường tròn.) Giả sử con bọ trên mặt cầu đã đọc Euclid, và quyết định dự đoán một bán kính bằng cách chia chu vi C cho 2π, tức là

r_pred = C/2π.   (42.1)

Khi đó nó sẽ thấy rằng bán kính đo được lớn hơn bán kính dự đoán. Tiếp tục theo đuổi chủ đề này, nó có thể định nghĩa hiệu số là “bán kính dư”, và viết

r_meas − r_pred = r_excess,   (42.2)

và nghiên cứu xem hiệu ứng bán kính dư phụ thuộc như thế nào vào kích thước của đường tròn.

Con bọ của chúng ta trên tấm nóng sẽ khám phá ra một hiện tượng tương tự. Giả sử nó vẽ một đường tròn có tâm tại điểm lạnh trên tấm như trong Hình 42–12. Nếu chúng ta quan sát nó khi nó tạo đường tròn, chúng ta sẽ nhận thấy rằng các chiếc thước của nó ngắn ở gần trung tâm và dài dần khi chúng được di chuyển ra ngoài — mặc dù dĩ nhiên con bọ không biết điều đó. Khi nó đo chu vi, chiếc thước dài trong suốt thời gian đó, vì vậy nó cũng phát hiện ra rằng bán kính đo được dài hơn bán kính dự đoán, C/2π. Con bọ trên tấm nóng cũng tìm thấy một “hiệu ứng bán kính dư”. Và một lần nữa kích thước của hiệu ứng phụ thuộc vào bán kính của đường tròn.

Chúng ta sẽ định nghĩa một “không gian cong” là một không gian trong đó các loại sai lệch hình học này xảy ra: Tổng các góc của một tam giác khác với 180 độ; chu vi của một đường tròn chia cho 2π không bằng bán kính; quy tắc tạo một hình vuông không cho ra một hình khép kín. Bạn có thể nghĩ ra những điều khác nữa.

Chúng ta đã đưa ra hai ví dụ khác nhau về không gian cong: mặt cầu và tấm nóng. Nhưng thật thú vị là nếu chúng ta chọn sự biến thiên nhiệt độ thích hợp như một hàm của khoảng cách trên tấm nóng, hai hình học sẽ hoàn toàn giống nhau. Khá là buồn cười. Chúng ta có thể làm cho con bọ trên tấm nóng thu được đúng những đáp án giống như con bọ trên quả bóng. Đối với những ai thích hình học và các bài toán hình học, chúng tôi sẽ cho bạn biết cách làm được điều đó. Nếu bạn giả thiết rằng độ dài của các chiếc thước (được quyết định bởi nhiệt độ) đi theo tỉ lệ với một cộng với một hằng số nào đó nhân với bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ, thì bạn sẽ thấy rằng hình học của tấm nóng đó hoàn toàn giống trong mọi chi tiết¹ với hình học của mặt cầu.

Dĩ nhiên, còn có các loại hình học khác. Chúng ta có thể hỏi về hình học của một con bọ sống trên một quả lê, tức là một vật gì đó có độ cong sắc nét hơn ở một nơi và độ cong yếu hơn ở nơi khác, sao cho phần dư trong các góc của các tam giác nghiêm trọng hơn khi nó tạo các tam giác nhỏ ở một phần của thế giới của nó so với khi nó tạo chúng ở một phần khác. Nói cách khác, độ cong của một không gian có thể biến thiên từ nơi này sang nơi khác. Đó chỉ là một sự tổng quát hóa của ý tưởng. Nó cũng có thể được mô phỏng bằng một sự phân bố nhiệt độ thích hợp trên một tấm nóng.

Chúng ta cũng có thể chỉ ra rằng các kết quả có thể cho ra loại sai lệch ngược lại. Chẳng hạn, bạn có thể phát hiện ra rằng mọi tam giác khi được tạo quá lớn đều có tổng các góc nhỏ hơn 180 độ. Điều đó nghe có vẻ không thể, nhưng hoàn toàn không phải vậy. Trước hết, chúng ta có thể có một tấm nóng với nhiệt độ giảm dần theo khoảng cách từ trung tâm. Khi đó mọi hiệu ứng sẽ bị đảo ngược. Nhưng chúng ta cũng có thể làm điều đó thuần túy bằng hình học bằng cách nhìn vào hình học hai chiều của bề mặt của một chiếc yên ngựa. Hãy tưởng tượng một bề mặt hình yên ngựa như bề mặt được phác họa trong Hình 42–13. Bây giờ hãy vẽ một “đường tròn” trên bề mặt, được định nghĩa là quỹ tích của mọi điểm cách một tâm cùng một khoảng. Đường tròn này là một đường cong dao động lên xuống với hiệu ứng hình vỏ sò. Vì vậy chu vi của nó lớn hơn bạn kỳ vọng từ việc tính 2πr_meas. Vì vậy C/2π bây giờ lớn hơn r_meas. “Bán kính dư” sẽ là âm.

Các mặt cầu và quả lê và những thứ tương tự đều là các mặt có độ cong dương; và những mặt còn lại được gọi là các mặt có độ cong âm. Nói chung, một thế giới hai chiều sẽ có một độ cong biến thiên từ nơi này sang nơi khác và có thể dương ở một số nơi và âm ở những nơi khác. Nói chung, chúng ta hiểu một không gian cong đơn giản là một không gian trong đó các quy tắc của hình học Euclid sụp đổ với sai lệch mang dấu này hay dấu kia. Lượng độ cong — được định nghĩa, chẳng hạn, bởi bán kính dư — có thể biến thiên từ nơi này sang nơi khác.

Chúng ta có thể chỉ ra rằng, theo định nghĩa của chúng ta về độ cong, một hình trụ, đáng ngạc nhiên thay, không cong. Nếu một con bọ sống trên một hình trụ, như được chỉ trong Hình 42–14, nó sẽ phát hiện ra rằng các tam giác, hình vuông và đường tròn đều có cùng hành vi như chúng có trên một mặt phẳng. Điều này dễ thấy, chỉ bằng cách nghĩ về việc mọi hình sẽ trông như thế nào nếu hình trụ được trải ra trên một mặt phẳng. Khi đó mọi hình hình học đều có thể được làm cho tương ứng chính xác với cách chúng ở trong một mặt phẳng. Vì vậy không có cách nào để một con bọ sống trên một hình trụ (giả thiết rằng nó không đi hết vòng quanh, mà chỉ thực hiện các phép đo cục bộ) khám phá ra rằng không gian của nó là cong. Theo nghĩa kỹ thuật của chúng ta, vậy thì, chúng ta coi rằng không gian của nó không cong. Cái chúng ta muốn nói tới được gọi chính xác hơn là độ cong nội tại; tức là, một độ cong có thể được tìm ra bằng các phép đo chỉ trong một vùng cục bộ. (Một hình trụ không có độ cong nội tại.) Đây là nghĩa mà Einstein đã định khi ông nói rằng không gian của chúng ta là cong. Nhưng chúng ta mới chỉ định nghĩa một không gian cong trong hai chiều; chúng ta phải tiếp tục để xem ý tưởng này có thể có nghĩa gì trong ba chiều.

42–2  Độ cong trong không gian ba chiều

Chúng ta sống trong không gian ba chiều và chúng ta sắp xét ý tưởng rằng không gian ba chiều là cong. Bạn nói: “Nhưng làm sao bạn có thể tưởng tượng nó bị uốn cong theo bất kỳ hướng nào?” Ồ, chúng ta không thể tưởng tượng không gian bị uốn cong theo bất kỳ hướng nào vì trí tưởng tượng của chúng ta không đủ tốt. (Có lẽ cũng tốt thôi là chúng ta không thể tưởng tượng quá nhiều, để chúng ta không đi quá xa khỏi thế giới thực.) Nhưng chúng ta vẫn có thể định nghĩa một độ cong mà không cần thoát ra khỏi thế giới ba chiều của mình. Tất cả những gì chúng ta đã nói trong hai chiều chỉ đơn giản là một bài tập để chỉ ra cách chúng ta có thể thu được một định nghĩa về độ cong mà không đòi hỏi chúng ta phải có khả năng “nhìn vào” từ bên ngoài.

Chúng ta có thể xác định xem thế giới của chúng ta có cong hay không theo một cách khá tương tự với cách được dùng bởi các quý ông sống trên mặt cầu và trên tấm nóng. Chúng ta có thể không phân biệt được giữa hai trường hợp như vậy nhưng chúng ta chắc chắn có thể phân biệt các trường hợp đó với không gian phẳng, mặt phẳng thông thường. Bằng cách nào? Khá dễ dàng: Chúng ta đặt ra một tam giác và đo các góc. Hoặc chúng ta tạo một đường tròn thật lớn và đo chu vi và bán kính. Hoặc chúng ta cố đặt ra một số hình vuông chính xác, hoặc cố tạo một khối lập phương. Trong mỗi trường hợp chúng ta kiểm tra xem các định luật hình học có đúng hay không. Nếu chúng không đúng, chúng ta nói rằng không gian của chúng ta là cong. Nếu chúng ta đặt ra một tam giác lớn và tổng các góc của nó vượt quá 180 độ, chúng ta có thể nói không gian của chúng ta là cong. Hoặc nếu bán kính đo được của một đường tròn không bằng chu vi của nó chia cho 2π, chúng ta có thể nói không gian của chúng ta là cong.

Bạn sẽ nhận thấy rằng trong ba chiều tình huống có thể phức tạp hơn nhiều so với trong hai chiều. Tại bất kỳ một nơi nào trong hai chiều cũng có một lượng độ cong nhất định. Nhưng trong ba chiều độ cong có thể có nhiều thành phần. Nếu chúng ta đặt ra một tam giác trong một mặt phẳng nào đó, chúng ta có thể thu được một đáp án khác so với khi chúng ta định hướng mặt phẳng của tam giác theo một cách khác. Hoặc lấy ví dụ về một đường tròn. Giả sử chúng ta vẽ một đường tròn và đo bán kính và nó không khớp với C/2π thành ra có một ít bán kính dư nào đó. Bây giờ chúng ta vẽ một đường tròn khác ở các góc vuông — như trong Hình 42–15. Không có lý do gì phần dư phải đúng bằng nhau cho cả hai đường tròn. Thực tế, có thể có một phần dư dương cho một đường tròn trong một mặt phẳng, và một phần thiếu (phần dư âm) cho một đường tròn trong mặt phẳng kia.

Có lẽ bạn đang nghĩ tới một ý tưởng tốt hơn: Chúng ta không thể lách qua mọi thành phần này bằng cách dùng một mặt cầu trong ba chiều sao? Chúng ta có thể xác định một mặt cầu bằng cách lấy mọi điểm cách một điểm cho trước trong không gian cùng một khoảng. Sau đó chúng ta có thể đo diện tích bề mặt bằng cách đặt ra một lưới hình chữ nhật có thang đo mịn trên bề mặt của mặt cầu và cộng tất cả các mẩu diện tích lại. Theo Euclid, tổng diện tích A phải bằng 4π lần bình phương bán kính; vì vậy chúng ta có thể định nghĩa một “bán kính dự đoán” là √(A/4π). Nhưng chúng ta cũng có thể đo bán kính trực tiếp bằng cách đào một cái lỗ tới tâm và đo khoảng cách. Một lần nữa, chúng ta có thể lấy bán kính đo được trừ đi bán kính dự đoán và gọi hiệu số là phần dư bán kính,

r_excess = r_meas − (diện tích đo được/4π)^1/2,

đại lượng này sẽ là một thước đo hoàn toàn thỏa đáng của độ cong. Nó có ưu điểm lớn là không phụ thuộc vào cách chúng ta định hướng một tam giác hay một đường tròn.

Nhưng phần dư bán kính của một mặt cầu cũng có một nhược điểm; nó không đặc trưng hoàn toàn cho không gian. Nó cho ra cái được gọi là độ cong trung bình của thế giới ba chiều, vì có một hiệu ứng lấy trung bình trên các độ cong khác nhau. Tuy nhiên, vì nó là một trung bình, nó không giải quyết hoàn toàn bài toán định nghĩa hình học. Nếu bạn chỉ biết con số này, bạn không thể dự đoán mọi tính chất của hình học của không gian, vì bạn không thể nói được điều gì sẽ xảy ra với các đường tròn có hướng khác nhau. Định nghĩa đầy đủ đòi hỏi việc xác định sáu “số độ cong” tại mỗi điểm. Dĩ nhiên các nhà toán học biết cách viết mọi con số đó. Một ngày nào đó bạn có thể đọc trong một cuốn sách toán học cách viết tất cả chúng dưới một dạng cao cấp và thanh lịch, nhưng trước hết thật tốt khi biết một cách sơ bộ cái mà bạn đang cố viết về là gì. Đối với hầu hết các mục đích của chúng ta, độ cong trung bình sẽ là đủ.²

42–3  Không gian của chúng ta là cong

Bây giờ đến câu hỏi chính. Điều đó có đúng không? Tức là, không gian vật lý ba chiều thực tế mà chúng ta sống trong đó có cong không? Một khi chúng ta có đủ trí tưởng tượng để nhận ra khả năng rằng không gian có thể cong, tâm trí con người tự nhiên trở nên tò mò về việc thế giới thực có cong hay không. Người ta đã thực hiện các phép đo hình học trực tiếp để cố tìm ra, và đã không tìm thấy bất kỳ sai lệch nào. Mặt khác, bằng các lập luận về hấp dẫn, Einstein đã khám phá ra rằng không gian là cong, và chúng tôi muốn cho bạn biết định luật của Einstein về lượng độ cong là gì, và cũng cho bạn biết một chút về cách ông phát hiện ra nó.

Einstein nói rằng không gian là cong và rằng vật chất là nguồn gốc của độ cong. (Vật chất cũng là nguồn gốc của hấp dẫn, vì vậy hấp dẫn liên hệ với độ cong — nhưng điều đó sẽ đến sau trong chương.) Để làm mọi chuyện dễ dàng hơn một chút, giả sử rằng vật chất được phân bố liên tục với một mật độ nào đó, mật độ này tuy nhiên có thể biến thiên tùy ý từ nơi này sang nơi khác.³ Quy tắc mà Einstein đưa ra cho độ cong là như sau: Nếu có một vùng không gian có vật chất trong đó và chúng ta lấy một mặt cầu đủ nhỏ sao cho mật độ ρ của vật chất bên trong nó thực tế là không đổi, thì phần dư bán kính của mặt cầu tỉ lệ với khối lượng bên trong mặt cầu. Dùng định nghĩa của phần dư bán kính, chúng ta có

Phần dư bán kính = r_meas − √(A/4π) = (G/3c²)·M.   (42.3)

Ở đây, G là hằng số hấp dẫn (của lý thuyết Newton), c là vận tốc ánh sáng, và M = 4πρr³/3 là khối lượng của vật chất bên trong mặt cầu. Đây là định luật của Einstein về độ cong trung bình của không gian.

Giả sử chúng ta lấy trái đất làm ví dụ và quên đi rằng mật độ biến thiên từ điểm này sang điểm khác — như vậy chúng ta sẽ không phải thực hiện bất kỳ tích phân nào. Giả sử chúng ta đo bề mặt của trái đất rất cẩn thận, và sau đó đào một cái lỗ tới tâm và đo bán kính. Từ diện tích bề mặt chúng ta có thể tính bán kính dự đoán mà chúng ta sẽ thu được từ việc đặt diện tích bằng 4πr². Khi chúng ta so sánh bán kính dự đoán với bán kính thực tế, chúng ta sẽ thấy rằng bán kính thực tế vượt quá bán kính dự đoán một lượng được cho bởi phương trình (42.3). Hằng số G/3c² là khoảng 2,5×10⁻²⁹ cm trên mỗi gam, vì vậy đối với mỗi gam vật chất bán kính đo được lệch đi 2,5×10⁻²⁹ cm. Đưa vào khối lượng của trái đất, vốn khoảng 6×10²⁷ gam, hóa ra trái đất có bán kính dài hơn 1,5 milimét so với mức nó nên có ứng với diện tích bề mặt của nó.⁴ Thực hiện cùng phép tính đó cho mặt trời, bạn thấy rằng bán kính của mặt trời dài hơn nửa kilômét.

Bạn nên lưu ý rằng định luật nói rằng độ cong trung bình phía trên diện tích bề mặt của trái đất bằng không. Nhưng điều đó không có nghĩa là mọi thành phần của độ cong đều bằng không. Vẫn có thể có — và thực tế là có — một ít độ cong nào đó phía trên trái đất. Đối với một đường tròn trong một mặt phẳng sẽ có một phần dư bán kính mang một dấu đối với một số hướng và mang dấu ngược lại đối với các hướng khác. Chỉ là hóa ra trung bình trên một mặt cầu bằng không khi không có khối lượng bên trong nó. Nhân tiện, hóa ra có một mối quan hệ giữa các thành phần khác nhau của độ cong và sự biến thiên của độ cong trung bình từ nơi này sang nơi khác. Vì vậy nếu bạn biết độ cong trung bình ở khắp mọi nơi, bạn có thể tìm ra các chi tiết của các thành phần độ cong tại mỗi nơi. Độ cong trung bình bên trong trái đất biến thiên theo độ cao, và điều này có nghĩa là một số thành phần độ cong khác không cả bên trong trái đất lẫn bên ngoài. Chính độ cong đó là cái chúng ta nhìn thấy như một lực hấp dẫn.

Giả sử chúng ta có một con bọ trên một mặt phẳng, và giả sử rằng “mặt phẳng” có những mụn nhỏ trên bề mặt. Ở bất cứ nơi nào có một mụn, con bọ sẽ kết luận rằng không gian của nó có những vùng cong cục bộ nhỏ. Chúng ta có điều tương tự trong ba chiều. Ở bất cứ nơi nào có một cục vật chất, không gian ba chiều của chúng ta có một độ cong cục bộ — một loại mụn ba chiều.

Nếu chúng ta tạo ra nhiều mụn trên một mặt phẳng, có thể có một độ cong tổng thể bên cạnh mọi mụn — bề mặt có thể trở nên giống như một quả bóng. Sẽ thật thú vị nếu biết được liệu không gian của chúng ta có một độ cong trung bình ròng cũng như các mụn cục bộ do các cục vật chất như trái đất và mặt trời hay không. Các nhà vật lý thiên văn đã cố trả lời câu hỏi đó bằng cách thực hiện các phép đo các thiên hà ở những khoảng cách rất lớn. Chẳng hạn, nếu số lượng thiên hà chúng ta nhìn thấy trong một lớp vỏ cầu ở một khoảng cách lớn khác với những gì chúng ta kỳ vọng từ hiểu biết của chúng ta về bán kính của lớp vỏ, chúng ta sẽ có một thước đo của phần dư bán kính của một mặt cầu vô cùng lớn. Từ các phép đo như vậy người ta hy vọng tìm ra liệu toàn bộ vũ trụ của chúng ta trung bình mà nói là phẳng, hay tròn — liệu nó “đóng”, như một mặt cầu, hay “mở” như một mặt phẳng. Bạn có thể đã nghe về các cuộc tranh luận đang diễn ra về chủ đề này. Có các cuộc tranh luận vì các phép đo thiên văn vẫn hoàn toàn chưa kết luận được; dữ liệu thực nghiệm không đủ chính xác để đưa ra một đáp án xác định. Không may thay, chúng ta không có chút ý niệm nào về độ cong tổng thể của vũ trụ của chúng ta trên quy mô lớn.

42–4  Hình học trong không-thời gian

Bây giờ chúng ta phải nói về thời gian. Như bạn đã biết từ thuyết tương đối hẹp, các phép đo không gian và các phép đo thời gian có liên hệ với nhau. Và sẽ hơi điên rồ nếu có điều gì đó xảy ra với không gian, mà thời gian lại không liên quan đến cùng chuyện đó. Bạn sẽ nhớ rằng phép đo thời gian phụ thuộc vào tốc độ mà bạn di chuyển. Chẳng hạn, nếu chúng ta quan sát một anh chàng đi ngang qua trong một con tàu vũ trụ, chúng ta thấy mọi thứ xảy ra chậm hơn đối với anh ta so với đối với chúng ta. Giả sử anh ta cất cánh trong một chuyến đi và trở về trong đúng 100 giây theo đồng hồ của chúng ta; đồng hồ của anh ta có thể nói rằng anh ta đã đi chỉ 95 giây. So với đồng hồ của chúng ta, đồng hồ của anh ta — và mọi quá trình khác, như nhịp tim của anh ta — đã chạy chậm lại.

Bây giờ hãy xét một bài toán thú vị. Giả sử bạn là người ở trong con tàu vũ trụ. Chúng tôi yêu cầu bạn xuất phát tại một tín hiệu cho trước và trở về điểm xuất phát của bạn vừa kịp để đón một tín hiệu sau đó — tại, chẳng hạn, đúng 100 giây sau đó theo đồng hồ của chúng ta. Và bạn cũng được yêu cầu thực hiện chuyến đi theo cách sao cho đồng hồ của bạn sẽ chỉ thời gian trôi qua dài nhất có thể. Bạn nên di chuyển như thế nào? Bạn nên đứng yên. Nếu bạn di chuyển chút nào, đồng hồ của bạn sẽ chỉ ít hơn 100 giây khi bạn quay về.

Tuy nhiên, giả sử chúng ta thay đổi bài toán một chút. Giả sử chúng tôi yêu cầu bạn xuất phát tại điểm A theo một tín hiệu cho trước và đi tới điểm B (cả hai đều cố định đối với chúng ta), và làm điều đó theo cách sao cho bạn quay về vừa đúng vào lúc của tín hiệu thứ hai (chẳng hạn 100 giây sau đó theo đồng hồ cố định của chúng ta). Một lần nữa bạn được yêu cầu thực hiện chuyến đi theo cách để bạn đến nơi với số chỉ muộn nhất có thể trên đồng hồ của bạn. Bạn sẽ làm điều đó như thế nào? Đối với đường đi và lịch trình nào đồng hồ của bạn sẽ chỉ thời gian trôi qua lớn nhất khi bạn đến nơi? Đáp án là bạn sẽ dành thời gian dài nhất từ quan điểm của bạn nếu bạn thực hiện chuyến đi bằng cách đi với một vận tốc đều dọc theo một đường thẳng. Lý do: Bất kỳ chuyển động phụ thêm nào và bất kỳ vận tốc cao phụ thêm nào cũng sẽ làm đồng hồ của bạn chạy chậm hơn. (Vì các độ lệch thời gian phụ thuộc vào bình phương của vận tốc, những gì bạn mất đi do đi quá nhanh ở một nơi bạn không bao giờ có thể bù lại bằng cách đi quá chậm ở một nơi khác.)

Điểm mấu chốt của tất cả điều này là chúng ta có thể dùng ý tưởng đó để định nghĩa “một đường thẳng” trong không-thời gian. Cái tương tự của một đường thẳng trong không gian, đối với không-thời gian, là một chuyển động với vận tốc đều theo một hướng không đổi.

Đường cong có khoảng cách ngắn nhất trong không gian tương ứng trong không-thời gian không phải với đường đi có thời gian ngắn nhất, mà với đường đi có thời gian dài nhất, vì những điều kỳ lạ xảy ra với các dấu của các số hạng t trong thuyết tương đối. Chuyển động “đường thẳng” — cái tương tự của “vận tốc đều dọc theo một đường thẳng” — khi đó là chuyển động mang một chiếc đồng hồ từ một nơi tại một thời điểm tới một nơi khác tại một thời điểm khác theo cách cho ra số chỉ thời gian dài nhất cho chiếc đồng hồ. Đây sẽ là định nghĩa của chúng ta cho cái tương tự của một đường thẳng trong không-thời gian.

42–5  Hấp dẫn và nguyên lý tương đương

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng thảo luận các định luật hấp dẫn. Einstein đã cố gắng tạo ra một lý thuyết hấp dẫn phù hợp với thuyết tương đối mà ông đã phát triển trước đó. Ông đã vật lộn mãi cho tới khi ông nắm được một nguyên lý quan trọng vốn dẫn dắt ông tìm được các định luật đúng. Nguyên lý đó dựa trên ý tưởng rằng khi một vật đang rơi tự do, mọi thứ bên trong nó dường như không trọng lượng. Chẳng hạn, một vệ tinh trên quỹ đạo đang rơi tự do trong trường hấp dẫn của trái đất, và một phi hành gia trong nó cảm thấy không trọng lượng. Ý tưởng này, khi được phát biểu với độ chính xác cao hơn, được gọi là nguyên lý tương đương của Einstein. Nó phụ thuộc vào sự kiện rằng mọi vật đều rơi với đúng cùng một gia tốc bất kể khối lượng của chúng là bao nhiêu, hay chúng được làm từ gì. Nếu chúng ta có một con tàu vũ trụ đang “trôi” — tức là nó đang trong một cú rơi tự do — và có một người bên trong, thì các định luật chi phối cú rơi của người đó và của con tàu là như nhau. Vì vậy nếu anh ta đặt mình vào giữa con tàu, anh ta sẽ ở yên đó. Anh ta không rơi so với con tàu. Đó là điều chúng ta muốn nói khi chúng ta nói anh ta “không trọng lượng”.

Bây giờ giả sử bạn đang ở trong một con tàu tên lửa đang gia tốc. Gia tốc so với cái gì? Hãy cứ nói rằng các động cơ của nó đang bật và tạo ra một lực đẩy sao cho nó không trôi trong một cú rơi tự do. Cũng hãy tưởng tượng rằng bạn đang ở rất xa ngoài không gian trống rỗng sao cho thực tế không có lực hấp dẫn nào tác dụng lên con tàu. Nếu con tàu đang gia tốc với “1 g” bạn sẽ có thể đứng trên “sàn” và sẽ cảm thấy trọng lượng bình thường của mình. Ngoài ra nếu bạn thả một quả bóng, nó sẽ “rơi” về phía sàn. Tại sao? Vì con tàu đang gia tốc “hướng lên trên”, nhưng quả bóng không có lực nào tác dụng lên nó, vì vậy nó sẽ không gia tốc; nó sẽ bị bỏ lại phía sau. Bên trong con tàu quả bóng sẽ dường như có một gia tốc hướng xuống là “1 g”.

Bây giờ hãy so sánh điều đó với tình huống trong một con tàu vũ trụ đang đứng yên trên bề mặt trái đất. Mọi thứ đều như nhau! Bạn sẽ bị ép về phía sàn, một quả bóng sẽ rơi với gia tốc 1 g, và vân vân. Thực tế, làm thế nào bạn có thể biết được bên trong một con tàu vũ trụ liệu bạn đang ngồi trên trái đất hay đang gia tốc trong không gian tự do? Theo nguyên lý tương đương của Einstein, không có cách nào để biết được nếu bạn chỉ thực hiện các phép đo về những gì xảy ra với các vật bên trong!

Nói một cách chặt chẽ, điều đó chỉ đúng cho một điểm bên trong con tàu. Trường hấp dẫn của trái đất không hoàn toàn đều, vì vậy một quả bóng rơi tự do có gia tốc hơi khác nhau ở những nơi khác nhau — hướng thay đổi và độ lớn thay đổi. Nhưng nếu chúng ta tưởng tượng một trường hấp dẫn hoàn toàn đều, nó được bắt chước hoàn toàn về mọi mặt bởi một hệ có một gia tốc không đổi. Đó là cơ sở của nguyên lý tương đương.

42–6  Tốc độ của các đồng hồ trong một trường hấp dẫn

Bây giờ chúng ta muốn dùng nguyên lý tương đương để tìm ra một điều kỳ lạ xảy ra trong một trường hấp dẫn. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn một điều xảy ra trong một con tàu tên lửa mà có lẽ bạn không kỳ vọng xảy ra trong một trường hấp dẫn. Giả sử chúng ta đặt một chiếc đồng hồ ở “đầu” của con tàu tên lửa — tức là, ở đầu “trước” — và chúng ta đặt một chiếc đồng hồ giống hệt khác ở “đuôi”, như trong Hình 42–16. Hãy gọi hai chiếc đồng hồ là A và B. Nếu chúng ta so sánh hai chiếc đồng hồ này khi con tàu đang gia tốc, chiếc đồng hồ ở đầu dường như chạy nhanh so với chiếc ở đuôi. Để thấy điều đó, hãy tưởng tượng rằng chiếc đồng hồ ở đầu phát ra một tia sáng lóe mỗi giây, và bạn đang ngồi ở đuôi so sánh sự đến nơi của các tia sáng lóe với các tiếng tích tắc của đồng hồ B. Giả sử con tàu tên lửa ở vị trí a của Hình 42–17 khi đồng hồ A phát ra một tia lóe, và ở vị trí b khi tia lóe tới đồng hồ B. Sau đó con tàu sẽ ở vị trí c khi đồng hồ A phát ra tia lóe tiếp theo của nó, và ở vị trí d khi bạn thấy nó tới đồng hồ B.

Tia lóe đầu tiên di chuyển khoảng cách L₁ và tia lóe thứ hai di chuyển khoảng cách ngắn hơn L₂. Đó là một khoảng cách ngắn hơn vì con tàu đang gia tốc và có vận tốc cao hơn vào thời điểm của tia lóe thứ hai. Bạn có thể thấy, vậy thì, rằng nếu hai tia lóe được phát ra từ đồng hồ A cách nhau một giây, chúng sẽ tới đồng hồ B với khoảng cách nhau nhỏ hơn một giây một chút, vì tia lóe thứ hai không tốn nhiều thời gian trên đường đi. Điều tương tự cũng sẽ xảy ra đối với mọi tia lóe sau đó. Vì vậy nếu bạn đang ngồi ở đuôi bạn sẽ kết luận rằng đồng hồ A chạy nhanh hơn đồng hồ B. Nếu bạn làm điều tương tự theo chiều ngược lại — để đồng hồ B phát ra ánh sáng và quan sát nó tại đồng hồ A — bạn sẽ kết luận rằng B chạy chậm hơn A. Mọi thứ khớp với nhau và không có gì bí ẩn về tất cả điều đó.

Nhưng bây giờ hãy nghĩ về con tàu tên lửa đang đứng yên trong trường hấp dẫn của trái đất. Điều tương tự cũng xảy ra. Nếu bạn ngồi trên sàn với một chiếc đồng hồ và quan sát một chiếc đồng hồ khác đang ngồi trên một cái kệ cao, nó sẽ dường như chạy nhanh hơn chiếc trên sàn! Bạn nói: “Nhưng điều đó sai. Các thời gian nên như nhau. Không có gia tốc thì không có lý do gì để các đồng hồ dường như lệch nhịp nhau.” Nhưng chúng phải như vậy nếu nguyên lý tương đương là đúng. Và Einstein khăng khăng rằng nguyên lý này là đúng, và đã can đảm và chính xác tiến lên phía trước. Ông đề xuất rằng các đồng hồ ở những nơi khác nhau trong một trường hấp dẫn phải dường như chạy ở các tốc độ khác nhau. Nhưng nếu một chiếc luôn dường như chạy ở một tốc độ khác so với chiếc kia, thì theo quan điểm của chiếc thứ nhất, chiếc kia đang chạy ở một tốc độ khác.

Nhưng bây giờ bạn thấy chúng ta có cái tương tự cho đồng hồ của chiếc thước nóng mà chúng ta đã nói tới trước đó, khi chúng ta có con bọ trên tấm nóng. Chúng ta đã tưởng tượng rằng các thước và các con bọ và mọi thứ thay đổi độ dài theo cùng một cách ở các nhiệt độ khác nhau nên chúng không bao giờ có thể biết được rằng các que đo của chúng đang thay đổi khi chúng di chuyển quanh trên tấm nóng. Điều tương tự với các đồng hồ trong một trường hấp dẫn. Mọi đồng hồ chúng ta đặt ở một mức cao hơn đều được thấy là chạy nhanh hơn. Nhịp tim đập nhanh hơn, mọi quá trình đều chạy nhanh hơn.

Nếu chúng không như vậy, bạn sẽ có thể phân biệt được sự khác nhau giữa một trường hấp dẫn và một hệ quy chiếu đang gia tốc. Ý tưởng rằng thời gian có thể biến thiên từ nơi này sang nơi khác là một ý tưởng khó khăn, nhưng đó là ý tưởng Einstein đã dùng, và nó đúng — tin hay không tùy bạn.

Dùng nguyên lý tương đương chúng ta có thể tìm ra tốc độ của một đồng hồ thay đổi bao nhiêu theo độ cao trong một trường hấp dẫn. Chúng ta chỉ việc tính ra độ lệch biểu kiến giữa hai đồng hồ trong con tàu tên lửa đang gia tốc. Cách dễ nhất để làm điều này là dùng kết quả chúng ta đã tìm thấy trong Chương 34 của Tập I về hiệu ứng Doppler. Ở đó, chúng ta đã tìm thấy — xem phương trình (34.14) — rằng nếu v là vận tốc tương đối của một nguồn và một máy thu, tần số thu được ω liên hệ với tần số phát ra ω₀ bởi

ω = ω₀(1 + v/c)/√(1 − v²/c²).   (42.4)

Bây giờ nếu chúng ta nghĩ về con tàu tên lửa đang gia tốc trong Hình 42–17, nguồn phát và máy thu đang chuyển động với các vận tốc bằng nhau tại bất kỳ một thời điểm nào. Nhưng trong thời gian các tín hiệu ánh sáng đi từ đồng hồ A tới đồng hồ B, con tàu đã gia tốc. Thực tế, nó đã nhận thêm vận tốc gt, trong đó g là gia tốc và t là thời gian ánh sáng cần để di chuyển khoảng cách H từ A tới B. Thời gian này rất gần bằng H/c. Vì vậy khi các tín hiệu tới B, con tàu đã tăng vận tốc của nó thêm gH/c. Máy thu luôn có vận tốc này so với nguồn phát tại thời điểm tín hiệu rời khỏi nó. Vì vậy đây là vận tốc chúng ta nên dùng trong công thức dịch chuyển Doppler, phương trình (42.4). Giả thiết rằng gia tốc và độ dài của con tàu đủ nhỏ sao cho vận tốc này nhỏ hơn nhiều so với c, chúng ta có thể bỏ qua số hạng theo v²/c². Chúng ta có

ω = ω₀(1 + gH/c²).   (42.5)

Vì vậy đối với hai đồng hồ trong con tàu vũ trụ chúng ta có mối quan hệ

(Tốc độ tại máy thu) = (Tốc độ phát) (1 + gH/c²),   (42.6)

trong đó H là độ cao của nguồn phát phía trên máy thu.

Từ nguyên lý tương đương, cùng kết quả đó phải đúng cho hai đồng hồ cách nhau độ cao H trong một trường hấp dẫn có gia tốc rơi tự do g.

Ý tưởng này quan trọng đến mức chúng tôi muốn chứng minh rằng nó cũng suy ra từ một định luật vật lý khác — từ sự bảo toàn năng lượng. Chúng ta biết rằng lực hấp dẫn tác dụng lên một vật tỉ lệ với khối lượng M của nó, khối lượng này liên hệ với tổng năng lượng nội tại E của nó bởi M = E/c². Chẳng hạn, các khối lượng của các hạt nhân được xác định từ năng lượng của các phản ứng hạt nhân vốn biến đổi một hạt nhân này thành một hạt nhân khác khớp với các khối lượng thu được từ khối lượng nguyên tử.

Bây giờ hãy nghĩ về một nguyên tử có một trạng thái năng lượng thấp nhất có tổng năng lượng E₀ và một trạng thái năng lượng cao hơn E₁, và nguyên tử đó có thể đi từ trạng thái E₁ xuống trạng thái E₀ bằng cách phát ra ánh sáng. Tần số ω của ánh sáng sẽ được cho bởi

ℏω = E₁ − E₀.   (42.7)

Bây giờ giả sử chúng ta có một nguyên tử như vậy ở trạng thái E₁ đang ngồi trên sàn, và chúng ta mang nó từ sàn lên độ cao H. Để làm điều đó chúng ta phải thực hiện một ít công trong việc mang khối lượng m₁ = E₁/c² lên ngược lại lực hấp dẫn. Lượng công thực hiện được là

(E₁/c²)gH.   (42.8)

Sau đó chúng ta để nguyên tử phát ra một photon và đi vào trạng thái năng lượng thấp hơn E₀. Sau đó chúng ta mang nguyên tử trở lại sàn. Trên chuyến trở về khối lượng là E₀/c²; chúng ta thu lại năng lượng

(E₀/c²)gH,   (42.9)

vì vậy chúng ta đã thực hiện một lượng công ròng bằng

ΔU = [(E₁ − E₀)/c²]gH.   (42.10)

Khi nguyên tử phát ra photon nó đã từ bỏ năng lượng E₁ − E₀. Bây giờ giả sử photon đó tình cờ đi xuống sàn và bị hấp thụ. Nó sẽ chuyển tới đó bao nhiêu năng lượng? Thoạt đầu bạn có thể nghĩ rằng nó sẽ chuyển đúng năng lượng E₁ − E₀. Nhưng điều đó không thể đúng nếu năng lượng được bảo toàn, như bạn có thể thấy từ lập luận sau đây. Chúng ta bắt đầu với năng lượng E₁ ở sàn. Khi chúng ta kết thúc, năng lượng ở mức sàn là năng lượng E₀ của nguyên tử ở trạng thái thấp hơn của nó cộng với năng lượng E_ph nhận được từ photon. Trong khi đó chúng ta đã phải cung cấp thêm năng lượng ΔU của phương trình (42.10). Nếu năng lượng được bảo toàn, năng lượng chúng ta kết thúc ở sàn phải lớn hơn năng lượng chúng ta bắt đầu đúng bằng công chúng ta đã thực hiện. Cụ thể, chúng ta phải có

E_ph + E₀ = E₁ + ΔU,

hay

E_ph = (E₁ − E₀) + ΔU.   (42.11)

Nhất thiết photon không tới sàn với đúng năng lượng E₁ − E₀ mà nó bắt đầu, mà với một ít năng lượng nhiều hơn. Nếu không, một ít năng lượng nào đó đã bị mất. Nếu chúng ta thay vào phương trình (42.11) giá trị ΔU chúng ta đã thu được trong phương trình (42.10), chúng ta thu được rằng photon tới sàn với năng lượng

E_ph = (E₁ − E₀)(1 + gH/c²).   (42.12)

Nhưng một photon có năng lượng E_ph có tần số ω = E_ph/ℏ. Gọi tần số của photon phát ra là ω₀ — theo phương trình (42.7) bằng (E₁ − E₀)/ℏ — kết quả của chúng ta trong phương trình (42.12) một lần nữa cho ra mối quan hệ (42.5) giữa tần số của photon khi nó bị hấp thụ trên sàn và tần số mà nó được phát ra.

Cùng kết quả đó có thể thu được theo một cách nữa. Một photon có tần số ω₀ có năng lượng E₀ = ℏω₀. Vì năng lượng E₀ có khối lượng tương đối tính E₀/c², photon có một khối lượng (không phải khối lượng nghỉ) ℏω₀/c², và bị trái đất “hút”. Khi rơi khoảng cách H nó sẽ thu thêm một năng lượng (ℏω₀/c²)gH, vì vậy nó tới nơi với năng lượng

E = ℏω₀(1 + gH/c²).

Nhưng tần số của nó sau cú rơi là E/ℏ, một lần nữa cho ra kết quả trong (42.5). Các ý tưởng của chúng ta về thuyết tương đối, vật lý lượng tử, và sự bảo toàn năng lượng chỉ khớp với nhau nếu các dự đoán của Einstein về các đồng hồ trong một trường hấp dẫn là đúng. Các thay đổi tần số chúng ta đang nói tới thường rất nhỏ. Chẳng hạn, đối với một hiệu độ cao 20 mét tại bề mặt trái đất, hiệu tần số chỉ khoảng hai phần trong 10¹⁵. Tuy nhiên, một sự thay đổi đúng như vậy gần đây đã được tìm thấy bằng thực nghiệm dùng hiệu ứng Mössbauer.⁵ Einstein đã hoàn toàn đúng.

42–7  Độ cong của không-thời gian

Bây giờ chúng ta muốn liên hệ những gì chúng ta vừa nói tới với ý tưởng về không-thời gian cong. Chúng ta đã chỉ ra rằng nếu thời gian trôi theo các tốc độ khác nhau ở những nơi khác nhau, điều đó tương tự như không gian cong của tấm nóng. Nhưng nó còn hơn một phép tương tự; nó có nghĩa là không-thời gian là cong. Hãy cố làm một ít hình học trong không-thời gian. Thoạt nghe điều đó có thể lạ lùng, nhưng chúng ta thường vẽ các đồ thị của không-thời gian với khoảng cách vẽ dọc theo một trục và thời gian dọc theo trục kia. Giả sử chúng ta cố tạo một hình chữ nhật trong không-thời gian. Chúng ta bắt đầu bằng cách vẽ một đồ thị của độ cao H theo t như trong Hình 42–18(a). Để tạo cạnh đáy của hình chữ nhật chúng ta lấy một vật đứng yên tại độ cao H₁ và đi theo đường thế giới của nó trong 100 giây. Chúng ta thu được đường BD trong phần (b) của hình, đường này song song với trục t. Bây giờ hãy lấy một vật khác ở cao hơn vật thứ nhất 100 feet tại t = 0. Nó bắt đầu tại điểm A trong Hình 42–18(c). Bây giờ chúng ta đi theo đường thế giới của nó trong 100 giây được đo bởi một đồng hồ tại A. Vật đi từ A tới C, như được chỉ trong phần (d) của hình. Nhưng hãy lưu ý rằng vì thời gian trôi theo các tốc độ khác nhau tại hai độ cao — chúng ta đang giả thiết rằng có một trường hấp dẫn — hai điểm C và D không đồng thời. Nếu chúng ta cố hoàn thành hình vuông bằng cách vẽ một đường tới điểm C′ vốn ở cao hơn D 100 feet tại cùng một thời điểm, như trong Hình 42–18(e), các mảnh không khớp với nhau. Và đó là điều chúng ta muốn nói khi chúng ta nói rằng không-thời gian là cong.

42–8  Chuyển động trong không-thời gian cong

Hãy xét một câu đố nhỏ thú vị. Chúng ta có hai đồng hồ giống hệt nhau, A và B, đang ngồi cùng nhau trên bề mặt trái đất. Bây giờ chúng ta nhấc đồng hồ A lên một độ cao H nào đó, giữ nó ở đó một lúc, và đưa nó trở lại mặt đất sao cho nó đến nơi đúng vào khoảnh khắc khi đồng hồ B đã tăng thêm 100 giây. Khi đó đồng hồ A sẽ chỉ khoảng 107 giây gì đó, vì nó đã chạy nhanh hơn khi nó ở trên không. Bây giờ đây là câu đố. Chúng ta nên di chuyển đồng hồ A như thế nào để nó chỉ thời gian muộn nhất có thể — luôn giả thiết rằng nó trở về khi B chỉ 100 giây? Bạn nói: “Điều đó dễ. Chỉ cần mang A lên càng cao càng tốt. Khi đó nó sẽ chạy nhanh nhất có thể, và sẽ là muộn nhất khi bạn trở về.” Sai. Bạn đã quên một điều — chúng ta chỉ có 100 giây để đi lên và quay xuống. Nếu chúng ta đi rất cao, chúng ta phải đi rất nhanh để đến nơi và quay về trong 100 giây. Và bạn không được quên hiệu ứng của thuyết tương đối hẹp vốn khiến các đồng hồ đang chuyển động chậm lại bởi thừa số √(1 − v²/c²). Hiệu ứng tương đối tính này tác động theo hướng làm cho đồng hồ A chỉ ít thời gian hơn đồng hồ B. Bạn thấy đó chúng ta có một loại trò chơi. Nếu chúng ta đứng yên với đồng hồ A, chúng ta thu được 100 giây. Nếu chúng ta đi lên chậm rãi tới một độ cao nhỏ và đi xuống chậm rãi, chúng ta có thể thu được nhiều hơn 100 giây một chút. Nếu chúng ta đi cao hơn một chút, có lẽ chúng ta có thể thu thêm được một chút nữa. Nhưng nếu chúng ta đi quá cao, chúng ta phải di chuyển nhanh để đến nơi, và chúng ta có thể làm chậm đồng hồ đủ để cuối cùng chúng ta có ít hơn 100 giây. Chương trình độ cao theo thời gian nào — lên cao bao nhiêu và với vận tốc bao nhiêu để tới đó, được điều chỉnh cẩn thận để đưa chúng ta trở về đồng hồ B khi nó đã tăng thêm 100 giây — sẽ cho chúng ta số chỉ thời gian lớn nhất có thể trên đồng hồ A?

Đáp án: Hãy tìm ra bạn phải ném một quả bóng lên không trung nhanh như thế nào để nó sẽ rơi trở lại trái đất trong đúng 100 giây. Chuyển động của quả bóng — bay lên nhanh, chậm dần, dừng lại, và rơi trở xuống — chính là chuyển động đúng để làm cho thời gian là cực đại trên một chiếc đồng hồ đeo tay buộc vào quả bóng.

Bây giờ hãy xét một trò chơi hơi khác một chút. Chúng ta có hai điểm A và B đều trên bề mặt trái đất tại một khoảng cách nào đó từ nhau, như trong Hình 42–19. Chúng ta chơi cùng trò chơi mà chúng ta đã làm trước đó để tìm cái chúng ta gọi là đường thẳng. Chúng ta hỏi chúng ta nên đi từ A tới B như thế nào để thời gian trên chiếc đồng hồ đang chuyển động của chúng ta sẽ là dài nhất — giả thiết chúng ta xuất phát tại A theo một tín hiệu cho trước và đến B theo một tín hiệu khác tại B mà chúng ta sẽ nói là 100 giây sau đó theo một đồng hồ cố định. Bây giờ bạn nói: “Ồ chúng ta đã tìm ra trước đó rằng điều nên làm là trôi dọc theo một đường thẳng với một vận tốc đều được chọn sao cho chúng ta đến B đúng 100 giây sau đó. Nếu chúng ta không đi dọc theo một đường thẳng thì cần nhiều vận tốc hơn, và đồng hồ của chúng ta bị làm chậm lại.” Nhưng khoan đã! Đó là trước khi chúng ta tính đến hấp dẫn. Chẳng phải tốt hơn là cong lên trên một chút và sau đó đi xuống sao? Khi đó trong một phần của thời gian chúng ta ở cao hơn và đồng hồ của chúng ta sẽ chạy nhanh hơn một chút? Quả thật đúng vậy. Nếu bạn giải bài toán toán học về việc điều chỉnh đường cong của chuyển động sao cho thời gian trôi qua của chiếc đồng hồ đang chuyển động là nhiều nhất có thể, bạn sẽ thấy rằng chuyển động là một parabol — cùng đường cong được đi theo bởi một vật gì đó chuyển động trên một đường đạn đạo tự do trong trường hấp dẫn, như trong Hình 42–19. Vì vậy định luật chuyển động trong một trường hấp dẫn cũng có thể được phát biểu: Một vật luôn chuyển động từ nơi này tới nơi khác sao cho một chiếc đồng hồ mang theo nó cho ra một thời gian dài hơn nó sẽ cho trên bất kỳ quỹ đạo khả dĩ nào khác — dĩ nhiên, với cùng các điều kiện bắt đầu và kết thúc. Thời gian được đo bởi một đồng hồ đang chuyển động thường được gọi là “thời gian riêng” của nó. Trong rơi tự do, quỹ đạo làm cho thời gian riêng của một vật là một cực đại.

Hãy xem tất cả điều này vận hành như thế nào. Chúng ta bắt đầu với phương trình (42.5), phương trình này nói rằng tốc độ dư của chiếc đồng hồ đang chuyển động là

ω₀gH/c².   (42.13)

Ngoài điều này, chúng ta phải nhớ rằng có một hiệu chỉnh mang dấu ngược lại cho vận tốc. Đối với hiệu ứng này chúng ta biết rằng

ω = ω₀√(1 − v²/c²).

Mặc dù nguyên lý có hiệu lực đối với bất kỳ vận tốc nào, chúng ta lấy một ví dụ trong đó các vận tốc luôn nhỏ hơn nhiều so với c. Khi đó chúng ta có thể viết phương trình này thành

ω = ω₀(1 − v²/2c²),

và phần thiếu trong tốc độ của đồng hồ của chúng ta là

−ω₀v²/2c².   (42.14)

Kết hợp hai số hạng trong (42.13) và (42.14) chúng ta có

Δω = (ω₀/c²)(gH − v²/2).   (42.15)

Một sự dịch chuyển tần số như vậy của chiếc đồng hồ đang chuyển động của chúng ta có nghĩa là nếu chúng ta đo một thời gian dt trên một đồng hồ cố định, chiếc đồng hồ đang chuyển động sẽ ghi lại thời gian

dt[1 + (gH/c² − v²/2c²)].   (42.16)

Tổng phần dư thời gian trên quỹ đạo là tích phân của số hạng phụ thêm theo thời gian, cụ thể là

(1/c²)∫(gH − v²/2)dt,   (42.17)

đại lượng này được cho là một cực đại.

Số hạng gH đúng là thế hấp dẫn φ. Giả sử chúng ta nhân toàn bộ với một thừa số hằng số −mc², trong đó m là khối lượng của vật. Hằng số sẽ không thay đổi điều kiện cho cực đại, nhưng dấu trừ sẽ chỉ biến cực đại thành cực tiểu. Phương trình (42.17) khi đó nói rằng vật sẽ chuyển động sao cho

∫(mv²/2 − mφ)dt = một cực tiểu.   (42.18)

Nhưng bây giờ biểu thức dưới dấu tích phân đúng là hiệu của động năng và thế năng. Và nếu bạn nhìn vào Chương 19 của Tập II bạn sẽ thấy rằng khi chúng ta thảo luận nguyên lý tác dụng tối thiểu chúng ta đã chỉ ra rằng các định luật của Newton cho một vật trong bất kỳ thế nào cũng có thể được viết chính xác dưới dạng của phương trình (42.18).

42–9  Thuyết hấp dẫn của Einstein

Dạng phương trình chuyển động của Einstein — rằng thời gian riêng phải là một cực đại trong không-thời gian cong — cho ra cùng các kết quả như các định luật của Newton đối với các vận tốc thấp. Khi anh ta đang bay vòng quanh trái đất, đồng hồ của Gordon Cooper đã chỉ muộn hơn nó sẽ chỉ trên bất kỳ đường đi nào khác bạn có thể tưởng tượng cho vệ tinh của anh ta.⁶

Vì vậy định luật hấp dẫn có thể được phát biểu theo các ý tưởng của hình học không-thời gian theo cách đáng chú ý này. Các hạt luôn lấy thời gian riêng dài nhất — trong không-thời gian là một đại lượng tương tự như “khoảng cách ngắn nhất”. Đó là định luật chuyển động trong một trường hấp dẫn. Ưu điểm lớn của việc phát biểu theo cách này là định luật không phụ thuộc vào bất kỳ tọa độ nào, hay bất kỳ cách nào khác để định nghĩa tình huống.

Bây giờ hãy tóm tắt những gì chúng ta đã làm. Chúng ta đã đưa cho bạn hai định luật về hấp dẫn:

1. Hình học của không-thời gian thay đổi như thế nào khi vật chất hiện diện — cụ thể là, độ cong được biểu diễn theo phần dư bán kính tỉ lệ với khối lượng bên trong một mặt cầu, phương trình (42.3).

2. Các vật chuyển động như thế nào nếu chỉ có các lực hấp dẫn — cụ thể là, các vật chuyển động sao cho thời gian riêng của chúng giữa hai điều kiện kết thúc là một cực đại.

Hai định luật đó tương ứng với các cặp định luật tương tự chúng ta đã thấy trước đó. Ban đầu chúng ta đã mô tả chuyển động trong một trường hấp dẫn theo định luật nghịch đảo bình phương về hấp dẫn của Newton và các định luật chuyển động của ông. Bây giờ các định luật (1) và (2) thay thế vị trí của chúng. Cặp định luật mới của chúng ta cũng tương ứng với những gì chúng ta đã thấy trong điện động lực học. Ở đó chúng ta có định luật của mình — tập hợp các phương trình Maxwell — vốn quyết định các trường được tạo ra bởi các điện tích. Nó cho biết đặc tính của “không gian” bị thay đổi như thế nào bởi sự hiện diện của vật chất tích điện, đó là điều định luật (1) làm đối với hấp dẫn. Ngoài ra, chúng ta có một định luật về cách các hạt chuyển động trong các trường cho trước — d(mv)/dt = q(E + v × B). Điều này, đối với hấp dẫn, được thực hiện bởi định luật (2).

Trong các định luật (1) và (2) bạn có một phát biểu chính xác của thuyết hấp dẫn của Einstein — mặc dù bạn thường sẽ thấy nó được phát biểu dưới một dạng toán học phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta nên bổ sung thêm một điều nữa. Cũng như các thang thời gian thay đổi từ nơi này sang nơi khác trong một trường hấp dẫn, các thang độ dài cũng vậy. Các chiếc thước thay đổi độ dài khi bạn di chuyển quanh. Với không gian và thời gian trộn lẫn mật thiết như vậy, không thể có điều gì đó xảy ra với thời gian mà lại không theo một cách nào đó phản ánh trong không gian. Hãy lấy ngay ví dụ đơn giản nhất: Bạn đang chạy ngang qua trái đất. Cái là “thời gian” từ quan điểm của bạn một phần là không gian từ quan điểm của chúng ta. Vì vậy cũng phải có các thay đổi trong không gian. Chính toàn bộ không-thời gian bị biến dạng bởi sự hiện diện của vật chất, và điều này phức tạp hơn một sự thay đổi chỉ trong thang thời gian. Tuy nhiên, quy tắc chúng ta đã đưa ra trong phương trình (42.3) là đủ để xác định hoàn toàn mọi định luật hấp dẫn, với điều kiện phải hiểu rằng quy tắc này về độ cong của không gian không chỉ áp dụng từ quan điểm của một người mà đúng đối với mọi người. Một ai đó chạy ngang qua một khối vật chất nhìn thấy một hàm lượng khối lượng khác vì năng lượng động học mà anh ta tính cho chuyển động của nó ngang qua anh ta, và anh ta phải bao gồm khối lượng tương ứng với năng lượng đó. Lý thuyết phải được sắp xếp sao cho mọi người — bất kể anh ta chuyển động như thế nào — sẽ, khi anh ta vẽ một mặt cầu, thấy rằng phần dư bán kính là G/3c² lần tổng khối lượng (hay, tốt hơn, G/3c⁴ lần tổng hàm lượng năng lượng) bên trong mặt cầu. Việc định luật này — định luật (1) — phải đúng trong bất kỳ hệ đang chuyển động nào là một trong các định luật lớn về hấp dẫn, được gọi là phương trình trường của Einstein. Định luật lớn còn lại là (2) — rằng các vật phải chuyển động sao cho thời gian riêng là một cực đại — và được gọi là phương trình chuyển động của Einstein.

Để viết các định luật này dưới một dạng đại số hoàn chỉnh, để so sánh chúng với các định luật của Newton, hay để liên hệ chúng với điện động lực học là khó khăn về mặt toán học. Nhưng đó là cách các định luật hoàn chỉnh nhất của chúng ta về vật lý của hấp dẫn trông như thế nào ngày nay.

Mặc dù chúng cho ra một kết quả phù hợp với cơ học Newton đối với ví dụ đơn giản chúng ta đã xét, chúng không phải lúc nào cũng vậy. Ba sai lệch đầu tiên được Einstein suy ra đã được thực nghiệm khẳng định: Quỹ đạo của sao Thủy không phải là một elip cố định; ánh sáng sao đi qua gần mặt trời bị lệch gấp đôi so với bạn nghĩ; và tốc độ của các đồng hồ phụ thuộc vào vị trí của chúng trong một trường hấp dẫn. Bất cứ khi nào các dự đoán của Einstein được tìm thấy là khác với các ý tưởng của cơ học Newton, Tự nhiên đã chọn của Einstein.

Hãy tóm tắt mọi điều chúng ta đã nói theo cách sau đây. Trước hết, các tốc độ thời gian và khoảng cách phụ thuộc vào nơi trong không gian bạn đo chúng và vào thời gian. Điều này tương đương với phát biểu rằng không-thời gian là cong. Từ diện tích đo được của một mặt cầu chúng ta có thể định nghĩa một bán kính dự đoán, √(A/4π), nhưng bán kính thực tế đo được sẽ có một phần dư trên con số này vốn tỉ lệ (hằng số là G/3c²) với tổng khối lượng chứa bên trong mặt cầu. Điều này cố định mức độ chính xác của độ cong của không-thời gian. Và độ cong phải như nhau bất kể ai đang nhìn vào vật chất hay nó đang chuyển động như thế nào. Thứ hai, các hạt chuyển động trên các “đường thẳng” (các quỹ đạo có thời gian riêng cực đại) trong không-thời gian cong này. Đây là nội dung của cách phát biểu của Einstein về các định luật hấp dẫn.