Chương 26: Quang học: Nguyên lý thời gian ngắn nhất

26–1  Ánh sáng

Đây là chương đầu tiên trong một số chương về chủ đề bức xạ điện từ. Ánh sáng, thứ mà ta nhìn bằng nó, chỉ là một phần nhỏ của một phổ rộng lớn gồm những thứ cùng một loại, các phần khác nhau của phổ này được phân biệt bởi các giá trị khác nhau của một đại lượng nào đó thay đổi. Đại lượng biến thiên này có thể được gọi là “bước sóng”. Khi nó thay đổi trong phổ khả kiến, ánh sáng dường như đổi màu từ đỏ sang tím. Nếu ta khảo sát phổ một cách hệ thống, từ các bước sóng dài về phía các bước sóng ngắn hơn, ta sẽ bắt đầu với cái thường được gọi là sóng vô tuyến. Sóng vô tuyến về mặt kỹ thuật có sẵn trong một dải bước sóng rộng, một số còn dài hơn cả những sóng dùng trong các buổi phát thanh thông thường; các buổi phát thanh thông thường có bước sóng tương ứng khoảng 500 mét. Sau đó là cái gọi là “sóng ngắn”, tức là sóng radar, sóng milimét, và vân vân. Không có ranh giới thực sự nào giữa dải bước sóng này và dải bước sóng khác, vì tự nhiên không bày cho ta những lằn ranh sắc nét. Con số gắn với một tên gọi nào đó cho các sóng chỉ là gần đúng và, dĩ nhiên, cả những cái tên ta đặt cho các dải khác nhau cũng vậy.

Sau đó, đi xuống một quãng dài qua các sóng milimét, ta đến cái ta gọi là hồng ngoại, và từ đó đến phổ khả kiến. Rồi đi tiếp theo hướng kia, ta vào một vùng được gọi là tử ngoại. Tử ngoại dừng ở đâu thì tia X bắt đầu ở đó, nhưng ta không thể định nghĩa chính xác điều này ở chỗ nào; nó vào khoảng 10⁻⁸ m, hay 10⁻² μm. Đó là các tia X “mềm”; sau đó là các tia X thông thường và các tia X rất cứng; rồi đến tia γ, và cứ thế, với các giá trị ngày càng nhỏ của cái kích thước gọi là bước sóng này.

Trong dải bước sóng mênh mông này, có ba hoặc hơn ba vùng xấp xỉ đặc biệt thú vị. Trong một vùng, tồn tại một điều kiện trong đó các bước sóng liên quan là rất nhỏ so với kích thước của thiết bị dùng để nghiên cứu chúng; hơn nữa, năng lượng photon, theo thuyết lượng tử, là nhỏ so với độ nhạy năng lượng của thiết bị. Trong những điều kiện ấy, ta có thể thực hiện một phép xấp xỉ thô đầu tiên bằng một phương pháp gọi là quang học hình học. Ngược lại, nếu các bước sóng là tương đương với kích thước của thiết bị — điều khó sắp xếp với ánh sáng khả kiến nhưng dễ hơn với sóng vô tuyến — và nếu năng lượng photon vẫn còn nhỏ không đáng kể, thì một phép xấp xỉ rất hữu ích có thể được thực hiện bằng cách nghiên cứu hành vi của các sóng, vẫn bỏ qua cơ học lượng tử. Phương pháp này dựa trên thuyết cổ điển về bức xạ điện từ, sẽ được thảo luận trong một chương sau. Tiếp nữa, nếu ta đi tới các bước sóng rất ngắn, ở đó ta có thể bỏ qua tính chất sóng nhưng các photon lại có năng lượng rất lớn so với độ nhạy của thiết bị, thì mọi chuyện lại trở nên đơn giản. Đó là bức tranh photon đơn giản, mà ta sẽ chỉ mô tả rất sơ lược. Bức tranh đầy đủ, thống nhất mọi thứ thành một mô hình duy nhất, sẽ chưa đến với ta trong một thời gian dài.

Trong chương này, cuộc thảo luận của ta bị giới hạn ở vùng quang học hình học, trong đó ta quên đi bước sóng và tính chất photon của ánh sáng — tất cả những điều đó sẽ được giải thích vào lúc thích hợp. Ta thậm chí không bận tâm nói ánh sáng là gì, mà chỉ tìm hiểu xem nó hành xử như thế nào trên quy mô lớn so với các kích thước ta quan tâm. Tất cả những điều này phải được nói ra để nhấn mạnh thực tế rằng cái ta sắp bàn chỉ là một phép xấp xỉ rất thô; đây là một trong những chương mà ta sẽ phải “học lại từ đầu” về sau. Nhưng ta sẽ học lại rất nhanh, vì ta sẽ gần như ngay lập tức chuyển sang một phương pháp chính xác hơn.

Mặc dù quang học hình học chỉ là một phép xấp xỉ, nó có tầm quan trọng rất lớn về mặt kỹ thuật và có sự thú vị lớn về mặt lịch sử. Ta sẽ trình bày chủ đề này theo lối lịch sử nhiều hơn một số chủ đề khác, để cho thấy đôi nét về sự phát triển của một lý thuyết vật lý hay một ý tưởng vật lý.

Trước hết, ánh sáng, dĩ nhiên, quen thuộc với mọi người, và đã quen thuộc từ thời xa xưa. Nay một vấn đề là: ta nhìn thấy ánh sáng bằng quá trình nào? Đã có nhiều lý thuyết, nhưng cuối cùng nó ổn định lại thành một lý thuyết, đó là có một cái gì đó đi vào mắt — cái nảy ra khỏi các vật thể rồi đi vào mắt. Ta đã nghe ý tưởng đó lâu đến mức ta chấp nhận nó, và ta gần như không thể nhận ra rằng những người rất thông minh đã đề xuất các lý thuyết ngược lại — chẳng hạn, rằng có một cái gì đó đi ra khỏi mắt và dò tìm vật thể. Một số quan sát quan trọng khác là: khi ánh sáng đi từ nơi này đến nơi khác, nó đi theo đường thẳng, nếu không có gì chắn đường, và các tia dường như không gây trở ngại lẫn nhau. Nghĩa là, ánh sáng đan chéo nhau theo mọi hướng trong phòng, nhưng ánh sáng đi ngang qua đường nhìn của ta không ảnh hưởng đến ánh sáng đến với ta từ một vật nào đó. Đây từng là một lập luận rất mạnh chống lại thuyết hạt; nó đã được Huygens sử dụng.

Nếu ánh sáng giống như vô số mũi tên bắn dọc theo đường đi, làm sao các mũi tên khác lại có thể xuyên qua chúng dễ dàng như vậy? Những lập luận triết học như thế không có nhiều trọng lượng. Người ta luôn có thể nói rằng ánh sáng được tạo thành từ những mũi tên xuyên qua lẫn nhau!

26–2  Phản xạ và khúc xạ

Cuộc thảo luận ở trên cho đủ ý tưởng cơ bản của quang học hình học — bây giờ ta phải đi xa hơn một chút vào các đặc trưng định lượng. Cho đến nay ta mới có ánh sáng đi theo đường thẳng giữa hai điểm; nay hãy nghiên cứu hành vi của ánh sáng khi nó chạm vào các vật liệu khác nhau. Vật đơn giản nhất là một tấm gương, và định luật đối với gương là: khi ánh sáng chạm vào gương, nó không tiếp tục đi thẳng, mà nảy ra khỏi gương thành một đường thẳng mới, đường này thay đổi khi ta thay đổi độ nghiêng của gương. Câu hỏi đối với người xưa là: mối quan hệ giữa hai góc liên quan là gì? Đây là một mối quan hệ rất đơn giản, đã được khám phá từ lâu. Ánh sáng đập vào một tấm gương truyền đi sao cho hai góc, giữa mỗi tia sáng và gương, là bằng nhau. Vì một lý do nào đó, người ta có lệ đo các góc từ pháp tuyến của mặt gương. Như vậy, cái gọi là định luật phản xạ là

θ_i = θ_r.   (26.1)

Đó là một mệnh đề đủ đơn giản, nhưng một bài toán khó hơn xuất hiện khi ánh sáng đi từ một môi trường vào một môi trường khác, chẳng hạn từ không khí vào nước; ở đây nữa, ta thấy nó không đi theo đường thẳng. Trong nước, tia sáng nghiêng một góc so với đường đi của nó trong không khí; nếu ta thay đổi góc θ_i sao cho nó đi xuống gần theo phương thẳng đứng hơn, thì góc “gãy khúc” không lớn bằng. Nhưng nếu ta nghiêng chùm sáng ở một góc khá lớn, thì góc lệch rất lớn. Câu hỏi là: quan hệ giữa góc này và góc kia là gì? Điều này cũng làm người xưa bối rối trong một thời gian dài, và ở đây họ không bao giờ tìm ra đáp án! Tuy nhiên, đây là một trong số ít nơi trong toàn bộ vật lý Hy Lạp mà người ta có thể tìm thấy bất kỳ kết quả thực nghiệm nào được liệt kê. Claudius Ptolemy đã lập một danh sách các góc trong nước ứng với một số góc khác nhau trong không khí. Bảng 26–1 cho thấy các góc trong không khí, tính bằng độ, và góc tương ứng đo được trong nước. (Người ta thường nói rằng các nhà khoa học Hy Lạp không bao giờ làm thực nghiệm. Nhưng sẽ không thể thu được bảng giá trị này nếu không biết định luật đúng, ngoại trừ bằng thực nghiệm. Tuy vậy, cũng nên lưu ý rằng những số này không đại diện cho các phép đo cẩn thận độc lập cho từng góc, mà chỉ là một số con số được nội suy từ một vài phép đo, vì tất cả chúng khớp hoàn hảo trên một parabol.)

Như vậy, đây là một trong những bước quan trọng trong sự phát triển của định luật vật lý: trước hết ta quan sát một hiệu ứng, sau đó ta đo nó và liệt kê nó vào một bảng; rồi ta cố tìm quy tắc mà theo đó một thứ có thể liên hệ với một thứ khác. Bảng số trên được lập vào năm 140 sau Công nguyên, nhưng mãi đến năm 1621 mới có người cuối cùng tìm ra quy tắc liên hệ hai góc! Quy tắc, do Willebrord Snell, một nhà toán học người Hà Lan, tìm ra, là như sau: nếu θ_i là góc trong không khí và θ_r là góc trong nước, thì hóa ra sin của θ_i bằng một hằng số nào đó nhân với sin của θ_r:

sin θ_i = n sin θ_r.   (26.2)

Đối với nước, con số n xấp xỉ bằng 1,33.

Phương trình (26.2) được gọi là định luật Snell; nó cho phép ta dự đoán ánh sáng sẽ cong như thế nào khi nó đi từ không khí vào nước. Bảng 26–2 cho thấy các góc trong không khí và trong nước theo định luật Snell. Hãy lưu ý sự phù hợp đáng kinh ngạc với danh sách của Ptolemy.

26–3  Nguyên lý thời gian ngắn nhất của Fermat

Giờ đây, trong sự phát triển tiếp theo của khoa học, ta muốn nhiều hơn một công thức đơn thuần. Trước hết ta có một quan sát, sau đó ta có những con số mà ta đo được, rồi ta có một định luật tóm tắt mọi con số. Nhưng vinh quang thực sự của khoa học là ở chỗ ta có thể tìm ra một cách nghĩ sao cho định luật trở nên hiển nhiên.

Cách nghĩ đầu tiên làm cho định luật về hành vi của ánh sáng trở nên hiển nhiên đã được Fermat khám phá vào khoảng năm 1650, và nó được gọi là nguyên lý thời gian ngắn nhất, hay nguyên lý Fermat. Ý tưởng của ông là thế này: trong mọi đường đi khả dĩ mà ánh sáng có thể chọn để đi từ một điểm đến một điểm khác, ánh sáng chọn đường đi đòi hỏi thời gian ngắn nhất.

Trước hết ta hãy chứng tỏ rằng điều này đúng đối với trường hợp gương, rằng nguyên lý đơn giản này chứa cả định luật truyền thẳng lẫn định luật đối với gương. Như vậy, hiểu biết của ta đang lớn dần! Ta hãy thử tìm lời giải cho bài toán sau. Trong Hình 26–3 có hai điểm, A và B, và một gương phẳng, MM′. Cách nào để đi từ A đến B trong thời gian ngắn nhất? Đáp án là đi thẳng từ A đến B! Nhưng nếu ta thêm quy tắc phụ rằng ánh sáng phải đập vào gương rồi quay lại trong thời gian ngắn nhất, thì đáp án không còn dễ dàng như vậy. Một cách là đi càng nhanh càng tốt đến gương rồi đến B, theo đường ADB. Dĩ nhiên, khi đó ta có một đoạn đường DB dài. Nếu ta dịch sang phải một chút, đến E, ta làm khoảng cách thứ nhất tăng lên một chút, nhưng làm khoảng cách thứ hai giảm đi rất nhiều, và như vậy tổng độ dài đường đi, và do đó thời gian di chuyển, là ít hơn. Làm sao ta tìm được điểm C mà tại đó thời gian là ngắn nhất? Ta có thể tìm nó rất khéo bằng một thủ thuật hình học.

Ta dựng ở phía bên kia của MM′ một điểm giả tạo B′, ở cùng một khoảng cách bên dưới mặt phẳng MM′ như điểm B ở phía trên mặt phẳng. Sau đó ta kẻ đường EB′. Nay vì BFM là một góc vuông và BF = FB′, nên EB bằng EB′. Do đó tổng của hai khoảng cách, AE + EB, vốn tỉ lệ với thời gian cần thiết nếu ánh sáng truyền với vận tốc không đổi, cũng là tổng của hai độ dài AE + EB′. Vậy bài toán trở thành: khi nào tổng của hai độ dài này là nhỏ nhất? Đáp án rất dễ: khi đường đi qua điểm C như một đường thẳng từ A đến B′! Nói cách khác, ta phải tìm điểm mà tại đó ta đi hướng về điểm giả tạo, và đó sẽ là điểm đúng. Nay nếu ACB′ là một đường thẳng, thì góc BCF bằng góc B′CF và do đó bằng góc ACM. Như vậy, mệnh đề rằng góc tới bằng góc phản xạ là tương đương với mệnh đề rằng ánh sáng đi tới gương sao cho nó quay lại điểm B trong thời gian ngắn nhất có thể. Ban đầu, mệnh đề này được Hero của Alexandria phát biểu rằng ánh sáng truyền đi sao cho nó đến gương và đến điểm kia trong khoảng cách ngắn nhất có thể, nên đó không phải là một lý thuyết hiện đại. Chính điều này đã gợi ý cho Fermat tự hỏi rằng có lẽ khúc xạ cũng vận hành trên một cơ sở tương tự. Nhưng đối với khúc xạ, ánh sáng rõ ràng không dùng đường đi có khoảng cách ngắn nhất, nên Fermat thử ý tưởng rằng nó chọn thời gian ngắn nhất.

Trước khi tiếp tục phân tích khúc xạ, ta nên nói thêm một nhận xét về gương. Nếu ta có một nguồn sáng tại điểm B và nó gửi ánh sáng về phía gương, thì ta thấy rằng ánh sáng đi tới A từ điểm B đến A đúng theo cách như nó lẽ ra đã đến A nếu có một vật thể tại B′, và không có gương. Nay dĩ nhiên mắt chỉ phát hiện ánh sáng thực sự đi vào nó, nên nếu ta có một vật tại B và một tấm gương khiến ánh sáng đi vào mắt đúng theo cách như nó lẽ ra đã đi vào mắt nếu vật ở tại B′, thì hệ mắt–não diễn giải điều đó, với giả định nó không biết quá nhiều, như là có một vật tại B′. Vì vậy ảo giác rằng có một vật ở sau gương chỉ đơn thuần là do thực tế rằng ánh sáng đi vào mắt đang đi vào đúng theo cách, về mặt vật lý, như nó lẽ ra đã đi vào nếu có một vật ở đằng sau đó (ngoại trừ bụi bẩn trên gương, và sự hiểu biết của ta về sự tồn tại của gương, vân vân, những thứ được não hiệu chỉnh).

Giờ ta hãy chứng minh rằng nguyên lý thời gian ngắn nhất sẽ cho ra định luật khúc xạ của Snell. Tuy nhiên, ta phải đưa ra một giả định về tốc độ của ánh sáng trong nước. Ta sẽ giả định rằng tốc độ ánh sáng trong nước thấp hơn tốc độ ánh sáng trong không khí một hệ số nào đó, n.

Trong Hình 26–4, bài toán của ta lại là đi từ A đến B trong thời gian ngắn nhất. Để minh họa rằng điều tốt nhất cần làm không chỉ đơn giản là đi theo đường thẳng, hãy tưởng tượng một cô gái xinh đẹp rơi khỏi thuyền, và cô đang kêu cứu trong nước tại điểm B. Đường được đánh dấu x là đường bờ. Ta đang ở điểm A trên đất liền, ta nhìn thấy tai nạn, và ta có thể chạy và cũng có thể bơi. Nhưng ta chạy nhanh hơn bơi. Ta làm gì? Ta có đi theo đường thẳng không? (Vâng, chắc chắn rồi!) Tuy nhiên, bằng cách dùng thêm một chút trí thông minh, ta sẽ nhận ra rằng sẽ có lợi nếu đi một khoảng cách lớn hơn một chút trên đất liền để giảm khoảng cách trong nước, vì ta đi chậm hơn rất nhiều trong nước. (Đi theo dòng lập luận này đến cùng, ta sẽ nói điều đúng đắn cần làm là tính toán thật cẩn thận xem nên làm gì!)

Dù sao đi nữa, ta hãy thử chứng tỏ rằng lời giải cuối cùng của bài toán là đường ACB, và đường này tốn thời gian ngắn nhất trong mọi đường khả dĩ. Nếu nó là đường ngắn nhất, điều đó có nghĩa là nếu ta chọn bất kỳ đường nào khác, nó sẽ dài hơn. Vì vậy, nếu ta vẽ đồ thị thời gian cần thiết theo vị trí của điểm X, ta sẽ được một đường cong giống như đường cong trong Hình 26–5, trong đó điểm C ứng với thời gian ngắn nhất trong mọi thời gian khả dĩ. Điều này có nghĩa là nếu ta dịch điểm X đến các điểm gần C, thì trong phép xấp xỉ bậc nhất về cơ bản không có thay đổi về thời gian vì độ dốc bằng không tại đáy của đường cong. Vậy cách của ta để tìm định luật sẽ là xét việc ta dịch chuyển điểm đó một lượng rất nhỏ, và yêu cầu rằng về cơ bản không có thay đổi về thời gian. (Dĩ nhiên có một thay đổi vô cùng nhỏ ở bậc hai; ta hẳn phải có một sự tăng dương đối với các độ dịch chuyển theo cả hai hướng ra khỏi C.) Vậy ta xét một điểm X ở gần và tính xem đi từ A đến B theo hai đường sẽ mất bao lâu, và so sánh đường mới với đường cũ. Việc này rất dễ làm. Dĩ nhiên, ta muốn hiệu số gần bằng không nếu khoảng cách XC là ngắn. Trước hết, hãy nhìn vào đường đi trên đất liền. Nếu ta kẻ một đường vuông góc XE, ta thấy đường đi này được rút ngắn một lượng EC. Ta hãy nói là ta được lợi vì không phải đi thêm khoảng cách thừa đó. Mặt khác, trong nước, bằng cách kẻ một đường vuông góc tương ứng, CF, ta thấy ta phải đi thêm khoảng cách XF, và đó là cái ta mất. Hay, tính theo thời gian, ta được lợi khoảng thời gian lẽ ra cần để đi khoảng cách EC, nhưng ta mất khoảng thời gian lẽ ra cần để đi khoảng cách XF. Hai khoảng thời gian đó phải bằng nhau vì, trong phép xấp xỉ bậc nhất, sẽ không có thay đổi về thời gian. Nhưng giả sử trong nước tốc độ bằng 1/n lần tốc độ trong không khí, thì ta phải có

EC = n · XF.   (26.3)

Do đó ta thấy rằng khi ta có điểm đúng, XC sin EXC = n · XC sin XCF hay, sau khi triệt tiêu độ dài cạnh huyền chung XC và lưu ý rằng EXC = ECN = θ_i và XCF ≈ BCN′ = θ_r (khi X ở gần C), ta có,

sin θ_i = n sin θ_r.   (26.4)

Vậy ta thấy rằng để đi từ một điểm đến một điểm khác trong thời gian ngắn nhất khi tỉ số các tốc độ là n, ánh sáng phải đi vào ở một góc sao cho tỉ số sin của các góc θ_i và θ_r bằng tỉ số các tốc độ trong hai môi trường.

26–4  Các ứng dụng của nguyên lý Fermat

Giờ ta hãy xét một số hệ quả thú vị của nguyên lý thời gian ngắn nhất. Đầu tiên là nguyên lý thuận nghịch. Nếu để đi từ A đến B ta đã tìm được đường đi có thời gian ngắn nhất, thì để đi theo hướng ngược lại (giả sử ánh sáng đi với cùng tốc độ theo mọi hướng), thời gian ngắn nhất sẽ là cùng một đường đó, và do đó, nếu ánh sáng có thể được gửi đi theo một chiều, nó cũng có thể được gửi đi theo chiều ngược lại.

Một ví dụ thú vị là một khối thủy tinh có các mặt phẳng song song, đặt nghiêng một góc so với một chùm sáng. Ánh sáng, khi đi qua khối từ một điểm A đến một điểm B (Hình 26–6), không đi qua theo đường thẳng, mà thay vào đó nó giảm thời gian ở trong khối bằng cách làm cho góc trong khối ít nghiêng hơn, mặc dù nó mất một chút trong không khí. Chùm sáng đơn giản chỉ bị dịch chuyển song song với chính nó vì các góc vào và ra là như nhau.

Một hiện tượng thú vị thứ ba là thực tế rằng khi ta nhìn thấy mặt trời đang lặn, nó đã ở dưới đường chân trời rồi! Nó không trông như ở dưới đường chân trời, nhưng nó ở đó (Hình 26–7). Khí quyển của trái đất mỏng ở trên cao và đặc ở dưới thấp. Ánh sáng truyền chậm hơn trong không khí so với trong chân không, và vì vậy ánh sáng của mặt trời có thể đến điểm S ở phía bên kia đường chân trời nhanh hơn nếu, thay vì chỉ đi theo đường thẳng, nó tránh các vùng đặc nơi nó đi chậm bằng cách xuyên qua chúng với độ nghiêng dốc hơn. Khi nó dường như đi xuống dưới đường chân trời, thực ra nó đã ở khá sâu dưới đường chân trời rồi.

Một ví dụ khác của hiện tượng này là ảo ảnh (ảo giác sa mạc) mà người ta thường thấy khi lái xe trên những con đường nóng. Người ta nhìn thấy “nước” trên đường, nhưng khi đến nơi, nó khô như sa mạc! Hiện tượng là như sau. Cái ta thực sự nhìn thấy là ánh sáng bầu trời “phản xạ” trên đường: ánh sáng từ bầu trời, hướng về phía đường, có thể kết thúc trong mắt, như được chỉ ra trong Hình 26–8. Tại sao? Không khí rất nóng ngay phía trên mặt đường nhưng mát hơn ở trên cao. Không khí nóng hơn giãn nở nhiều hơn không khí mát hơn và loãng hơn, và điều này làm giảm tốc độ ánh sáng ít hơn. Nghĩa là, ánh sáng đi nhanh hơn trong vùng nóng so với trong vùng mát. Do đó, thay vì ánh sáng quyết định đến theo cách thẳng thắn, nó cũng có một đường đi thời gian ngắn nhất mà theo đó nó đi vào vùng nơi nó đi nhanh hơn một lúc, để tiết kiệm thời gian. Vì vậy, nó có thể đi theo một đường cong.

Như một ví dụ quan trọng khác của nguyên lý thời gian ngắn nhất, giả sử ta muốn sắp xếp một tình huống trong đó ta có mọi ánh sáng phát ra từ một điểm, P, được thu thập trở lại với nhau tại một điểm khác, P′ (Hình 26–9). Điều đó, dĩ nhiên, có nghĩa là ánh sáng có thể đi theo đường thẳng từ P đến P′. Điều đó không có vấn đề gì. Nhưng làm sao ta có thể sắp xếp để không chỉ nó đi thẳng, mà cả ánh sáng khởi hành từ P hướng về phía Q cũng kết thúc ở P′? Ta muốn đưa mọi ánh sáng trở lại cái ta gọi là một tiêu điểm. Bằng cách nào? Nếu ánh sáng luôn chọn đường đi có thời gian ngắn nhất, thì chắc chắn nó không nên muốn đi theo mọi đường khác này. Cách duy nhất để ánh sáng có thể hoàn toàn hài lòng chọn vài đường kề nhau là làm cho các thời gian đó bằng nhau một cách chính xác! Nếu không, nó sẽ chọn đường có thời gian ngắn nhất. Do đó bài toán chế tạo một hệ hội tụ chẳng qua là sắp xếp một thiết bị sao cho ánh sáng mất cùng một thời gian để đi trên mọi đường khác nhau!

Việc này dễ làm. Giả sử ta có một mảnh thủy tinh trong đó ánh sáng đi chậm hơn so với trong không khí (Hình 26–10). Nay xét một tia đi trong không khí theo đường PQP′. Đó là một đường dài hơn so với từ P trực tiếp đến P′ và chắc chắn mất thời gian lâu hơn. Nhưng nếu ta chèn vào một mảnh thủy tinh có độ dày vừa đúng (ta sẽ tính sau xem dày bao nhiêu) thì nó có thể bù chính xác thời gian thừa mà ánh sáng lẽ ra mất khi đi theo một góc! Trong những hoàn cảnh đó, ta có thể sắp xếp để thời gian ánh sáng cần để đi thẳng qua bằng thời gian nó cần để đi theo đường PQP′. Tương tự, nếu ta lấy một tia PRR′P′ có phần nghiêng, nó không dài bằng PQP′, và ta không phải bù nhiều như đối với tia thẳng, nhưng ta vẫn phải bù một phần nào đó. Cuối cùng ta thu được một mảnh thủy tinh trông giống như Hình 26–10. Với hình dạng này, mọi ánh sáng đến từ P sẽ đi tới P′. Điều này, dĩ nhiên, đã quen thuộc với ta, và ta gọi một thiết bị như thế là một thấu kính hội tụ. Trong chương tiếp theo, ta sẽ thực sự tính hình dạng mà thấu kính phải có để tạo ra một tiêu điểm hoàn hảo.

Lấy một ví dụ khác: giả sử ta muốn sắp xếp một số gương sao cho ánh sáng từ P luôn đi tới P′ (Hình 26–11). Trên bất kỳ đường nào, nó đi tới một gương nào đó rồi quay lại, và mọi thời gian phải bằng nhau. Ở đây ánh sáng luôn truyền trong không khí, nên thời gian và khoảng cách tỉ lệ với nhau. Do đó mệnh đề rằng mọi thời gian đều như nhau cũng là mệnh đề rằng tổng khoảng cách là như nhau. Như vậy tổng của hai khoảng cách r₁ và r₂ phải là một hằng số. Một elip là đường cong có tính chất rằng tổng các khoảng cách từ hai điểm là một hằng số đối với mọi điểm trên elip; như vậy ta có thể chắc chắn rằng ánh sáng từ một tiêu điểm sẽ đến tiêu điểm kia.

Cùng một nguyên lý cũng hoạt động để thu thập ánh sáng của một ngôi sao. Kính thiên văn Palomar 200 inch vĩ đại được chế tạo theo nguyên lý sau. Hãy tưởng tượng một ngôi sao cách xa hàng tỷ dặm; ta muốn làm cho mọi ánh sáng đến đều đi đến một tiêu điểm. Dĩ nhiên ta không thể vẽ các tia đi hết quãng đường lên tới ngôi sao, nhưng ta vẫn muốn kiểm tra xem các thời gian có bằng nhau không. Dĩ nhiên ta biết rằng khi các tia khác nhau đã đến một mặt phẳng nào đó KK′, vuông góc với các tia, mọi thời gian trong mặt phẳng này đều bằng nhau (Hình 26–12). Sau đó các tia phải đi xuống gương và tiến về phía P′ trong những thời gian bằng nhau. Nghĩa là, ta phải tìm một đường cong có tính chất rằng tổng các khoảng cách XX′ + X′P′ là một hằng số, bất kể X được chọn ở đâu. Một cách dễ dàng để tìm nó là kéo dài độ dài của đoạn XX′ xuống tới một mặt phẳng LL′. Nay nếu ta sắp xếp đường cong của ta sao cho A′A″ = A′P′, B′B″ = B′P′, C′C″ = C′P′, và cứ thế, ta sẽ có đường cong của ta, vì khi đó dĩ nhiên, AA′ + A′P′ = AA′ + A′A″ sẽ là hằng số. Như vậy đường cong của ta là quỹ tích của mọi điểm cách đều một đường thẳng và một điểm. Một đường cong như vậy được gọi là một parabol; gương được làm theo hình dạng của một parabol.

Các ví dụ trên minh họa nguyên lý mà theo đó những thiết bị quang học như thế có thể được thiết kế. Các đường cong chính xác có thể được tính bằng nguyên lý rằng, để hội tụ hoàn hảo, thời gian di chuyển phải bằng nhau một cách chính xác đối với mọi tia sáng, cũng như nhỏ hơn so với bất kỳ đường đi lân cận nào khác.

Ta sẽ thảo luận thêm về các thiết bị quang học hội tụ này trong chương tiếp theo; giờ ta hãy thảo luận sự phát triển tiếp theo của lý thuyết. Khi một nguyên lý lý thuyết mới được phát triển, chẳng hạn nguyên lý thời gian ngắn nhất, khuynh hướng đầu tiên của ta có thể là nói: “Ồ, điều đó rất đẹp; nó thật thú vị; nhưng câu hỏi là, nó có giúp ích gì chút nào trong việc hiểu vật lý không?” Ai đó có thể nói: “Vâng, hãy nhìn xem có bao nhiêu điều ta có thể hiểu bây giờ!” Một người khác nói: “Rất tốt, nhưng tôi cũng có thể hiểu gương. Tôi cần một đường cong sao cho mọi mặt phẳng tiếp tuyến đều tạo các góc bằng nhau với hai tia. Tôi cũng có thể tính ra một thấu kính, vì mọi tia đến nó đều bị bẻ cong qua một góc được cho bởi định luật Snell.” Rõ ràng mệnh đề thời gian ngắn nhất và mệnh đề rằng các góc bằng nhau khi phản xạ, và sin của các góc tỉ lệ với nhau khi khúc xạ, là cùng một điều. Vậy đó chỉ là một câu hỏi triết học, hay một câu hỏi về vẻ đẹp? Có thể có lập luận ở cả hai phía.

Tuy nhiên, tầm quan trọng của một nguyên lý mạnh mẽ là ở chỗ nó dự đoán những điều mới.

Dễ dàng chứng tỏ rằng có một số điều mới được nguyên lý Fermat dự đoán. Trước hết, giả sử có ba môi trường, thủy tinh, nước và không khí, và ta thực hiện một thí nghiệm khúc xạ rồi đo chỉ số n của môi trường này so với môi trường kia. Ta gọi n₁₂ là chỉ số của không khí (1) so với nước (2); n₁₃ là chỉ số của không khí (1) so với thủy tinh (3). Nếu ta đo nước so với thủy tinh, ta sẽ tìm thấy một chỉ số khác, mà ta sẽ gọi là n₂₃. Nhưng không có lý do tiên nghiệm nào cho việc phải có bất kỳ mối liên hệ nào giữa n₁₂, n₁₃ và n₂₃. Mặt khác, theo ý tưởng thời gian ngắn nhất, có một mối quan hệ xác định. Chỉ số n₁₂ là tỉ số của hai thứ, tốc độ trong không khí trên tốc độ trong nước; n₁₃ là tỉ số tốc độ trong không khí trên tốc độ trong thủy tinh; n₂₃ là tỉ số tốc độ trong nước trên tốc độ trong thủy tinh. Do đó ta triệt tiêu không khí đi, và được,

n₂₃ = v₂/v₃ = (v₁/v₃)/(v₁/v₂) = n₁₃/n₁₂.   (26.5)

Nói cách khác, ta dự đoán rằng chỉ số đối với một cặp vật liệu mới có thể thu được từ các chỉ số của từng vật liệu riêng lẻ, cả hai đều so với không khí hoặc so với chân không. Vì vậy nếu ta đo tốc độ ánh sáng trong mọi vật liệu, và từ đó thu được một con số duy nhất cho mỗi vật liệu, cụ thể là chỉ số của nó so với chân không, gọi là n_i (n₁ là tốc độ trong chân không so với tốc độ trong không khí, vân vân), thì công thức của ta rất dễ. Chỉ số đối với bất kỳ hai vật liệu i và j nào là,

n_ij = v_i/v_j = n_j/n_i.   (26.6)

Chỉ dùng định luật Snell, không có cơ sở cho một dự đoán thuộc loại này.¹ Nhưng dĩ nhiên dự đoán này đúng. Hệ thức (26.5) đã được biết từ rất sớm, và là một lập luận rất mạnh cho nguyên lý thời gian ngắn nhất.

Một lập luận khác cho nguyên lý thời gian ngắn nhất, một dự đoán khác, là nếu ta đo tốc độ ánh sáng trong nước, nó sẽ thấp hơn trong không khí. Đây là một dự đoán thuộc loại hoàn toàn khác. Đó là một dự đoán xuất sắc, vì tất cả những gì ta đã đo cho đến nay chỉ là các góc; ở đây ta có một dự đoán lý thuyết hoàn toàn khác với các quan sát mà từ đó Fermat suy ra ý tưởng thời gian ngắn nhất. Hóa ra, trên thực tế, tốc độ trong nước thực sự chậm hơn tốc độ trong không khí, đúng với tỉ lệ cần thiết để cho ra chỉ số đúng!

26–5  Phát biểu chính xác hơn của nguyên lý Fermat

Thực ra, ta phải phát biểu nguyên lý thời gian ngắn nhất chính xác hơn một chút. Nó đã không được phát biểu đúng ở trên. Nó bị gọi sai là nguyên lý thời gian ngắn nhất và ta đã đi theo cách mô tả sai đó cho thuận tiện, nhưng giờ ta phải xem phát biểu đúng là gì. Giả sử ta có một tấm gương như trong Hình 26–3. Điều gì khiến ánh sáng nghĩ rằng nó phải đi tới gương? Đường đi có thời gian ngắn nhất rõ ràng là AB. Vì vậy một số người có thể nói: “Đôi khi nó là thời gian cực đại.” Nó không phải là thời gian cực đại, vì chắc chắn một đường cong sẽ còn tốn nhiều thời gian hơn nữa! Phát biểu đúng là như sau: một tia đi theo một đường cụ thể nào đó có tính chất rằng nếu ta thực hiện một thay đổi nhỏ (chẳng hạn dịch chuyển một phần trăm) đối với tia theo bất kỳ cách nào đi nữa, chẳng hạn vị trí mà tại đó nó đến gương, hay hình dạng của đường cong, hay bất cứ thứ gì, thì sẽ không có thay đổi bậc nhất về thời gian; sẽ chỉ có một thay đổi bậc hai về thời gian. Nói cách khác, nguyên lý là ánh sáng chọn một đường đi sao cho có nhiều đường khác ở gần đó cũng tốn gần như chính xác cùng một thời gian.

Sau đây là một khó khăn khác với nguyên lý thời gian ngắn nhất, và là điều mà những người không thích loại lý thuyết này không bao giờ có thể nuốt trôi. Với lý thuyết của Snell, ta có thể “hiểu” ánh sáng. Ánh sáng đi dọc, nó nhìn thấy một bề mặt, nó bẻ cong vì nó làm một điều gì đó tại bề mặt. Ý tưởng về nhân quả, rằng nó đi từ một điểm đến điểm khác, rồi điểm khác nữa, và cứ thế, rất dễ hiểu. Nhưng nguyên lý thời gian ngắn nhất là một nguyên lý triết học hoàn toàn khác về cách tự nhiên vận hành. Thay vì nói nó là một thứ nhân quả, rằng khi ta làm một việc, một việc khác xảy ra, và cứ thế, nó nói thế này: ta thiết lập tình huống, và ánh sáng quyết định thời gian nào là ngắn nhất, hay cực trị, và chọn đường đó. Nhưng nó làm gì, nó tìm ra bằng cách nào? Nó có đánh hơi các đường gần đó, và kiểm tra chúng so với nhau không? Đáp án là, đúng, nó có làm vậy, theo một cách nào đó. Đó là đặc điểm, dĩ nhiên, không được biết trong quang học hình học, và có liên quan đến ý tưởng về bước sóng; bước sóng cho ta biết xấp xỉ ánh sáng phải “đánh hơi” đường đi ở khoảng cách bao xa để kiểm tra nó. Rất khó chứng minh thực tế này trên quy mô lớn với ánh sáng, vì các bước sóng quá ngắn một cách khủng khiếp. Nhưng với sóng vô tuyến, chẳng hạn sóng 3 cm, các khoảng cách mà sóng vô tuyến kiểm tra là lớn hơn. Nếu ta có một nguồn sóng vô tuyến, một máy dò, và một khe, như trong Hình 26–13, các tia dĩ nhiên đi từ S đến D vì đó là đường thẳng, và nếu ta khép khe lại thì vẫn không sao — chúng vẫn đi. Nhưng bây giờ nếu ta dịch máy dò sang một bên đến D′, các sóng sẽ không đi qua khe rộng từ S đến D′, vì chúng kiểm tra vài đường ở gần đó, và nói: “Không, anh bạn, tất cả những đường đó đều ứng với các thời gian khác nhau.” Mặt khác, nếu ta ngăn bức xạ kiểm tra các đường đi bằng cách khép khe xuống thành một vết nứt rất hẹp, thì chỉ có một đường duy nhất khả dụng, và bức xạ chọn nó! Với một khe hẹp, nhiều bức xạ đến được D′ hơn là đến được nó với một khe rộng!

Người ta có thể làm điều tương tự với ánh sáng, nhưng khó chứng minh trên quy mô lớn. Hiệu ứng có thể được nhìn thấy trong các điều kiện đơn giản sau. Tìm một nguồn sáng nhỏ, sáng, chẳng hạn một bóng đèn không mờ trong một đèn đường ở xa hay sự phản chiếu của mặt trời trong một cản xe ô tô cong. Sau đó đặt hai ngón tay trước một mắt, sao cho nhìn qua khe, và ép ánh sáng về không thật nhẹ nhàng. Bạn sẽ thấy hình ảnh của ánh sáng, vốn trước đó là một chấm nhỏ, trở nên khá bị kéo dài, và thậm chí kéo giãn thành một đường dài. Lý do là các ngón tay rất khít gần nhau, và ánh sáng lẽ ra đến theo đường thẳng lại bị trải ra ở một góc, nên khi nó đi vào mắt, nó đến từ nhiều hướng. Ngoài ra bạn sẽ nhận thấy, nếu thật cẩn thận, các cực đại phụ, rất nhiều vân dọc theo các mép nữa. Hơn nữa, toàn bộ sự việc có màu sắc. Tất cả điều này sẽ được giải thích vào lúc thích hợp, nhưng hiện tại nó là một minh chứng rằng ánh sáng không phải lúc nào cũng đi theo đường thẳng, và là một minh chứng rất dễ thực hiện.

26–6  Nó hoạt động như thế nào

Cuối cùng, ta đưa ra một cái nhìn rất thô về những gì thực sự xảy ra, toàn bộ sự việc thực sự hoạt động như thế nào, theo quan điểm mà ta nay tin là đúng, chính xác về mặt động lực học lượng tử, nhưng dĩ nhiên chỉ được mô tả định tính. Khi đi theo ánh sáng từ A đến B trong Hình 26–3, ta thấy rằng ánh sáng dường như không hề ở dạng sóng. Thay vào đó các tia dường như được tạo thành từ các photon, và chúng thực sự tạo ra các tiếng “tách” trong một máy đếm photon, nếu ta đang dùng một máy như thế. Độ sáng của ánh sáng tỉ lệ với số photon trung bình đến trong một giây, và cái ta tính là khả năng một photon đi được từ A đến B, chẳng hạn bằng cách đập vào gương. Định luật cho khả năng đó là định luật rất kỳ lạ sau đây. Lấy bất kỳ đường nào và tìm thời gian cho đường đó; sau đó tạo một số phức, hay vẽ một vectơ phức nhỏ, ρe^iθ, mà góc θ của nó tỉ lệ với thời gian. Số vòng quay trong một giây là tần số của ánh sáng. Nay lấy một đường khác; nó, chẳng hạn, có một thời gian khác, nên vectơ của nó bị quay qua một góc khác — góc luôn tỉ lệ với thời gian. Lấy mọi đường khả dụng và cộng thêm một vectơ nhỏ cho mỗi đường; khi đó đáp án là khả năng photon đến nơi tỉ lệ với bình phương của độ dài của vectơ cuối cùng, từ đầu đến cuối!

Giờ ta hãy chứng tỏ điều này hàm ý nguyên lý thời gian ngắn nhất đối với gương như thế nào. Ta xét mọi tia, mọi đường khả dĩ ADB, AEB, ACB, vân vân, trong Hình 26–3. Đường ADB tạo ra một đóng góp nhỏ nào đó, nhưng đường tiếp theo, AEB, tốn một thời gian hoàn toàn khác, nên góc θ của nó hoàn toàn khác. Ta hãy nói điểm C ứng với thời gian cực tiểu, nơi nếu ta thay đổi các đường đi thì các thời gian không thay đổi. Vì vậy trong một lúc các thời gian có thay đổi, và rồi chúng bắt đầu thay đổi ngày càng ít khi ta đến gần điểm C (Hình 26–14). Vậy các mũi tên ta phải cộng đang đến gần như chính xác ở cùng một góc trong một lúc gần C, và rồi dần dần thời gian bắt đầu tăng trở lại, và các pha quay vòng theo hướng ngược lại, và cứ thế. Cuối cùng, ta có một nút thắt khá chặt. Tổng xác suất là khoảng cách từ đầu này đến đầu kia, bình phương lên. Hầu như toàn bộ xác suất tích lũy đó xảy ra trong vùng nơi mọi mũi tên đều cùng hướng (hay cùng pha). Mọi đóng góp từ các đường có thời gian rất khác nhau khi ta thay đổi đường đi đều tự triệt tiêu lẫn nhau bằng cách chỉ theo các hướng khác nhau. Đó là lý do tại sao, nếu ta che đi các phần cực biên của gương, nó vẫn phản xạ gần như chính xác như cũ, vì tất cả những gì ta làm chỉ là lấy ra một phần của sơ đồ bên trong các đầu xoắn ốc, và điều đó chỉ tạo ra một thay đổi rất nhỏ trong ánh sáng. Vậy đó là mối quan hệ giữa bức tranh tối hậu về các photon với một xác suất đến nơi phụ thuộc vào sự tích lũy của các mũi tên, và nguyên lý thời gian ngắn nhất.