Chương 34: Các hiệu ứng tương đối tính trong bức xạ
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập I, Chương 34: “Relativistic Effects in Radiation”
34–1 Các nguồn chuyển động
Trong chương này, chúng ta sẽ mô tả một số hiệu ứng linh tinh liên quan đến bức xạ, và sau đó chúng ta sẽ kết thúc với lý thuyết cổ điển về sự truyền ánh sáng. Trong phân tích của mình về ánh sáng, chúng ta đã đi khá xa và vào khá nhiều chi tiết. Hiện tượng duy nhất có tầm quan trọng nào đó gắn với bức xạ điện từ mà chúng ta chưa thảo luận là điều xảy ra nếu sóng vô tuyến bị chứa trong một hộp có các thành phản xạ, kích thước của hộp sánh được với một bước sóng, hay được truyền xuống một ống dài. Các hiện tượng của cái gọi là các hốc cộng hưởng và ống dẫn sóng chúng ta sẽ thảo luận sau; trước hết chúng ta sẽ dùng một ví dụ vật lý khác — âm thanh — và sau đó chúng ta sẽ quay lại chủ đề này. Ngoài điều đó ra, chương này là lần xét cuối cùng của chúng ta về lý thuyết cổ điển của ánh sáng.
Chúng ta có thể tóm tắt mọi hiệu ứng mà bây giờ chúng ta sẽ thảo luận bằng cách nhận xét rằng chúng liên quan đến các hiệu ứng của các nguồn chuyển động. Chúng ta không còn giả thiết rằng nguồn được định xứ, với mọi chuyển động của nó đều ở tốc độ tương đối thấp gần một điểm cố định.
Chúng ta nhớ lại rằng các định luật cơ bản của điện động lực học nói rằng, tại các khoảng cách lớn từ một điện tích chuyển động, điện trường được cho bởi công thức
E = −q/(4πε0c2) · d2eR′/dt2. (34.1)
Đạo hàm bậc hai của vectơ đơn vị eR′ vốn chỉ theo hướng biểu kiến của điện tích, là đặc trưng quyết định của điện trường. Dĩ nhiên vectơ đơn vị này không chỉ về vị trí hiện tại của điện tích, mà đúng hơn là theo hướng mà điện tích dường như ở đó, nếu thông tin chỉ truyền với tốc độ hữu hạn c từ điện tích tới người quan sát.
Gắn liền với điện trường là một từ trường, luôn vuông góc với điện trường và vuông góc với hướng biểu kiến của nguồn, được cho bởi công thức
B = −eR′ × E/c. (34.2)
Cho tới nay chúng ta chỉ xét trường hợp trong đó các chuyển động là phi tương đối tính về tốc độ, sao cho không có chuyển động đáng kể nào theo hướng của nguồn cần xét. Bây giờ chúng ta sẽ tổng quát hơn và nghiên cứu trường hợp trong đó chuyển động ở một vận tốc tùy ý, và xem những hiệu ứng khác nhau nào có thể được kỳ vọng trong các hoàn cảnh đó. Chúng ta sẽ để chuyển động ở một tốc độ tùy ý, nhưng dĩ nhiên chúng ta vẫn sẽ giả thiết rằng máy dò ở rất xa nguồn.
Chúng ta đã biết từ thảo luận của mình trong Chương 28 rằng những thứ duy nhất có ý nghĩa trong d2eR′/dt2 là các thay đổi trong hướng của eR′. Đặt các tọa độ của điện tích là (x, y, z), với z đo dọc theo hướng quan sát (Hình 34–1). Tại một thời điểm cho trước, chẳng hạn thời điểm τ, ba thành phần của vị trí là x(τ), y(τ) và z(τ). Khoảng cách R rất gần bằng R(τ) = R0 + z(τ). Bây giờ hướng của vectơ eR′ phụ thuộc chủ yếu vào x và y, nhưng hầu như không phụ thuộc vào z: các thành phần ngang của vectơ đơn vị là x/R và y/R, và khi chúng ta vi phân các thành phần này chúng ta được những thứ như R2 ở mẫu số:
d(x/R)/dt = (dx/dt)/R − (dz/dt)·x/R2.
Vậy, khi chúng ta ở đủ xa, những số hạng duy nhất chúng ta phải lo là các biến thiên của x và y. Như vậy chúng ta lấy thừa số R0 ra và được
Ex = −q/(4πε0c2R0) · d2x′/dt2, Ey = −q/(4πε0c2R0) · d2y′/dt2, (34.3)
trong đó R0 là khoảng cách, ít nhiều, tới q; chúng ta hãy lấy nó là khoảng cách OP tới gốc của các tọa độ (x, y, z). Như vậy điện trường là một hằng số nhân với một thứ rất đơn giản, các đạo hàm bậc hai của các tọa độ x- và y-. (Chúng ta có thể nói điều đó một cách toán học hơn bằng cách gọi x và y là các thành phần ngang của vectơ vị trí r của điện tích, nhưng điều này sẽ không làm nó rõ ràng hơn.)
Dĩ nhiên, chúng ta nhận ra rằng các tọa độ phải được đo tại thời gian trễ. Ở đây chúng ta thấy rằng z(τ) thật sự ảnh hưởng đến độ trễ. Thời gian trễ là thời gian nào? Nếu thời gian quan sát được gọi là t (thời gian tại P) thì thời gian τ mà điều này tương ứng tại A không phải là thời gian t, mà bị trễ bởi tổng khoảng cách ánh sáng phải đi, chia cho tốc độ ánh sáng. Trong xấp xỉ bậc nhất, độ trễ này là R0/c, một hằng số (một đặc điểm không thú vị), nhưng trong xấp xỉ tiếp theo chúng ta phải bao gồm các hiệu ứng của vị trí theo hướng z tại thời gian τ, bởi vì nếu q ở xa hơn một chút về phía sau, thì có thêm một chút độ trễ nữa. Đây là một hiệu ứng chúng ta đã bỏ qua trước đây, và nó là thay đổi duy nhất cần thiết để làm cho các kết quả của chúng ta có hiệu lực cho mọi tốc độ.
Điều chúng ta phải làm bây giờ là chọn một giá trị nào đó của t và tính giá trị của τ từ nó, và như vậy tìm ra x và y ở đâu tại τ đó. Những cái này khi đó là x và y trễ, mà chúng ta gọi là x′ và y′, mà các đạo hàm bậc hai của chúng quyết định trường. Như vậy τ được xác định bởi
t = τ + R0/c + z(τ)/c
và
x′(t) = x(τ), y′(t) = y(τ). (34.4)
Bây giờ đây là các phương trình phức tạp, nhưng khá dễ để tạo một bức tranh hình học mô tả nghiệm của chúng. Bức tranh này sẽ cho chúng ta một cảm nhận định tính tốt về cách mọi thứ hoạt động, nhưng vẫn cần rất nhiều toán học chi tiết để suy ra các kết quả chính xác của một bài toán phức tạp.
34–2 Tìm chuyển động “biểu kiến”
Phương trình trên có một sự đơn giản hóa thú vị. Nếu chúng ta bỏ qua độ trễ hằng số không thú vị R0/c, điều này chỉ có nghĩa là chúng ta phải thay đổi gốc của t đi một hằng số, thì nó nói rằng
ct = cτ + z(τ), x′ = x(τ), y′ = y(τ). (34.5)
Bây giờ chúng ta cần tìm x′ và y′ theo hàm của t, không phải τ, và chúng ta có thể làm điều này theo cách sau: Phương trình (34.5) nói rằng chúng ta nên lấy chuyển động thực và cộng một hằng số (tốc độ ánh sáng) nhân với τ. Điều đó hóa ra có nghĩa gì được chỉ ra trong Hình 34–2. Chúng ta lấy chuyển động thực của điện tích (được chỉ ra ở bên trái) và tưởng tượng rằng khi nó đang đi vòng quanh nó đang bị quét ra xa khỏi điểm P với tốc độ c (không có sự co rút nào từ thuyết tương đối hay bất cứ thứ gì như vậy; đây chỉ là một phép cộng toán học của cτ). Theo cách này chúng ta được một chuyển động mới, trong đó tọa độ dọc theo đường ngắm là ct, như được chỉ ra ở bên phải. (Hình vẽ chỉ ra kết quả cho một chuyển động khá phức tạp trong một mặt phẳng, nhưng dĩ nhiên chuyển động có thể không nằm trong một mặt phẳng — nó có thể còn phức tạp hơn chuyển động trong một mặt phẳng.) Điểm cốt yếu là khoảng cách ngang (tức là, dọc theo đường ngắm) bây giờ không còn là z cũ nữa, mà là z + cτ, và do đó là ct. Như vậy chúng ta đã tìm được một bức tranh của đường cong, x′ (và y′) theo t! Mọi điều chúng ta phải làm để tìm trường là nhìn vào gia tốc của đường cong này, tức là, vi phân nó hai lần. Vậy đáp án cuối cùng là: để tìm điện trường cho một điện tích chuyển động, hãy lấy chuyển động của điện tích và tịnh tiến nó ngược lại với tốc độ c để “mở nó ra”; khi đó đường cong, được vẽ như vậy, là một đường cong của các vị trí x′ và y′ theo hàm của t. Gia tốc của đường cong này cho điện trường theo hàm của t. Hoặc, nếu chúng ta muốn, bây giờ chúng ta có thể tưởng tượng rằng toàn bộ đường cong “cứng” này chuyển động về phía trước với tốc độ c qua mặt phẳng ngắm, sao cho điểm giao nhau với mặt phẳng ngắm có các tọa độ x′ và y′. Gia tốc của điểm này tạo ra điện trường. Nghiệm này cũng chính xác như công thức chúng ta đã bắt đầu — nó đơn giản là một biểu diễn hình học.
Nếu chuyển động tương đối chậm, chẳng hạn nếu chúng ta có một dao động tử chỉ đi lên xuống chậm rãi, thì khi chúng ta bắn chuyển động đó ra xa với tốc độ ánh sáng, chúng ta dĩ nhiên sẽ được một đường cong cosin đơn giản, và điều đó cho một công thức chúng ta đã nhìn vào trong một thời gian dài: nó cho trường được tạo ra bởi một điện tích dao động. Một ví dụ thú vị hơn là một electron chuyển động nhanh, rất gần với tốc độ ánh sáng, trên một đường tròn. Nếu chúng ta nhìn trong mặt phẳng của đường tròn, x′(t) trễ xuất hiện như được chỉ ra trong Hình 34–3. Đường cong này là gì? Nếu chúng ta tưởng tượng một vectơ bán kính từ tâm của đường tròn tới điện tích, và nếu chúng ta kéo dài đường bán kính này một chút qua điện tích, chỉ một chút xíu nếu nó đang đi nhanh, thì chúng ta tới một điểm trên đường thẳng đó vốn đi với tốc độ ánh sáng. Do đó, khi chúng ta tịnh tiến chuyển động ngược lại với tốc độ ánh sáng, điều đó tương ứng với việc có một bánh xe với một điện tích trên nó lăn ngược lại (không trượt) với tốc độ c; như vậy chúng ta tìm được một đường cong rất gần với một cycloid — nó được gọi là một curtate cycloid. Nếu điện tích đang đi rất gần với tốc độ ánh sáng, các “điểm nhọn” quả thật rất sắc; nếu nó đi đúng với tốc độ ánh sáng, chúng sẽ là các điểm nhọn thật sự, sắc vô hạn. “Sắc vô hạn” thật thú vị; nó có nghĩa là gần một điểm nhọn đạo hàm bậc hai là khổng lồ. Một lần trong mỗi chu trình chúng ta được một xung điện trường sắc. Đây hoàn toàn không phải là điều chúng ta sẽ được từ một chuyển động phi tương đối tính, trong đó mỗi lần điện tích đi vòng quanh có một dao động có “độ mạnh” gần như nhau trong suốt thời gian. Thay vào đó, có các xung điện trường rất sắc cách nhau các khoảng thời gian T0, trong đó T0 là chu kỳ quay. Các điện trường mạnh này được phát ra trong một hình nón hẹp theo hướng chuyển động của điện tích. Khi điện tích đang chuyển động ra xa khỏi P, có rất ít độ cong và có rất ít trường bức xạ theo hướng của P.
34–3 Bức xạ synchrotron
Chúng ta có các electron rất nhanh chuyển động trên các đường tròn trong synchrotron; chúng đang di chuyển rất gần với tốc độ c, và có thể nhìn thấy bức xạ nói trên dưới dạng ánh sáng thực! Chúng ta hãy thảo luận điều này chi tiết hơn.
Trong synchrotron chúng ta có các electron đi vòng quanh trên các đường tròn trong một từ trường đều. Trước hết, chúng ta hãy xem vì sao chúng đi trên các đường tròn. Từ phương trình (28.2), chúng ta biết rằng lực trên một hạt trong một từ trường được cho bởi
F = qv × B, (34.6)
và nó vuông góc với cả trường lẫn vận tốc. Như thường lệ, lực bằng tốc độ thay đổi của động lượng theo thời gian. Nếu trường hướng lên trên ra khỏi mặt giấy, động lượng của hạt và lực trên nó như được chỉ ra trong Hình 34–4. Vì lực vuông góc với vận tốc, động năng, và do đó tốc độ, vẫn không đổi. Mọi điều từ trường làm là thay đổi hướng chuyển động. Trong một thời gian ngắn Δt, vectơ động lượng thay đổi vuông góc với chính nó một lượng Δp = F Δt, và do đó p quay qua một góc Δθ = Δp/p = qvB Δt/p, vì |F| = qvB. Nhưng trong cùng thời gian này hạt đã đi một khoảng Δs = v Δt. Rõ ràng, hai đường thẳng AB và CD sẽ cắt nhau tại một điểm O sao cho OA = OC = R, trong đó Δs = R Δθ. Kết hợp điều này với các biểu thức trước, chúng ta tìm được R Δθ/Δt = Rω = v = qvBR/p, từ đó chúng ta tìm được
p = qBR (34.7)
và
ω = qvB/p. (34.8)
Vì cùng một lập luận này có thể được áp dụng trong khoảnh khắc tiếp theo, khoảnh khắc tiếp theo nữa, và cứ thế, chúng ta kết luận rằng hạt phải đang chuyển động trên một đường tròn bán kính R, với vận tốc góc ω.
Kết quả rằng động lượng của hạt bằng một điện tích nhân với bán kính nhân với từ trường là một định luật rất quan trọng được dùng rất nhiều. Nó quan trọng cho các mục đích thực tế bởi vì nếu chúng ta có các hạt cơ bản đều có cùng điện tích và chúng ta quan sát chúng trong một từ trường, chúng ta có thể đo các bán kính cong của quỹ đạo của chúng và, biết từ trường, như vậy xác định được động lượng của các hạt. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của phương trình (34.7) với c, và biểu diễn q theo điện tích electron, chúng ta có thể đo động lượng theo đơn vị electron volt. Trong các đơn vị đó công thức của chúng ta là
pc (eV) = 3×108(q/qe)BR, (34.9)
trong đó B, R, và tốc độ ánh sáng đều được biểu diễn trong hệ mks, cái cuối cùng là 3×108, về số trị.
Đơn vị mks của từ trường được gọi là weber trên mét vuông. Có một đơn vị cũ hơn vẫn còn được dùng phổ biến, gọi là gauss. Một weber/m2 bằng 104 gauss. Để cho một ý niệm về từ trường lớn đến mức nào, từ trường mạnh nhất người ta thường có thể tạo ra trong sắt là khoảng 1,5×104 gauss; vượt quá đó, lợi thế của việc dùng sắt biến mất. Ngày nay, các nam châm điện quấn bằng dây siêu dẫn có thể tạo ra các trường ổn định mạnh trên 105 gauss — tức là, 10 đơn vị mks. Trường của trái đất là vài phần mười gauss tại xích đạo.
Quay lại phương trình (34.9), chúng ta có thể tưởng tượng synchrotron chạy ở một tỷ electron volt, vậy pc sẽ là 109 cho một tỷ electron volt. (Chúng ta sẽ quay lại năng lượng trong chốc lát.) Khi đó, nếu chúng ta có một B tương ứng với, chẳng hạn, 10.000 gauss, vốn là một trường tốt và đáng kể, một đơn vị mks, thì chúng ta thấy rằng R sẽ phải là 3,3 mét. Bán kính thực của synchrotron Caltech là 3,7 mét, trường lớn hơn một chút, và năng lượng là 1,5 tỷ, nhưng ý tưởng là như nhau. Vậy bây giờ chúng ta có một cảm nhận về vì sao synchrotron có kích thước như nó có.
Chúng ta đã tính động lượng, nhưng chúng ta biết rằng tổng năng lượng, bao gồm năng lượng nghỉ, được cho bởi W = √(p2c2 + m2c4), và đối với một electron năng lượng nghỉ tương ứng với mc2 là 0,511×106 eV, vậy khi pc là 109 eV chúng ta có thể bỏ qua mc2, và vậy cho mọi mục đích thực tế W = pc khi các tốc độ là tương đối tính. Nói năng lượng của một electron là một tỷ electron volt thực tế cũng như nói động lượng nhân với c là một tỷ electron volt. Nếu W = 109 eV, dễ chỉ ra rằng tốc độ chỉ khác tốc độ ánh sáng một phần trong tám triệu!
Bây giờ chúng ta chuyển sang bức xạ do một hạt như vậy phát ra. Một hạt chuyển động trên một đường tròn bán kính 3,3 mét, hay chu vi 20 mét, đi vòng quanh một lần trong khoảng thời gian ánh sáng cần để đi 20 mét. Vậy bước sóng lẽ ra được phát ra bởi một hạt như vậy sẽ là 20 mét — trong vùng vô tuyến sóng ngắn. Nhưng vì hiệu ứng chồng chất mà chúng ta đã thảo luận (Hình 34–3), và vì khoảng cách chúng ta phải kéo dài bán kính để đạt tốc độ c chỉ là một phần trong tám triệu của bán kính, các điểm nhọn của curtate cycloid là sắc một cách khổng lồ so với khoảng cách giữa chúng. Gia tốc, vốn liên quan đến một đạo hàm bậc hai theo thời gian, nhận được hai lần “hệ số nén” 8×106 bởi vì thang thời gian bị rút xuống tám triệu lần hai lần trong vùng lân cận của điểm nhọn. Như vậy chúng ta có thể kỳ vọng bước sóng hiệu dụng sẽ ngắn hơn nhiều, tới mức nhỏ hơn 20 mét 64 lần 1012, và điều đó tương ứng với vùng tia X. (Thật ra, bản thân điểm nhọn không phải là yếu tố quyết định toàn bộ; người ta cũng phải bao gồm một vùng nào đó quanh điểm nhọn. Điều này thay đổi hệ số thành lũy thừa 3/2 thay vì bình phương, nhưng vẫn để chúng ta ở trên vùng quang học.) Như vậy, mặc dù một electron chuyển động chậm sẽ đã bức xạ các sóng vô tuyến 20 mét, hiệu ứng tương đối tính cắt bước sóng xuống nhiều đến mức chúng ta có thể nhìn thấy nó! Rõ ràng, ánh sáng nên bị phân cực, với điện trường vuông góc với từ trường đều.
Để cảm nhận thêm điều chúng ta sẽ quan sát, giả sử chúng ta lấy ánh sáng như vậy (để đơn giản hóa mọi thứ, bởi vì các xung này cách nhau rất xa theo thời gian, chúng ta sẽ chỉ lấy một xung) và hướng nó vào một cách tử nhiễu xạ, vốn là rất nhiều dây tán xạ. Sau khi xung này đi ra khỏi cách tử, chúng ta thấy gì? (Chúng ta nên thấy ánh sáng đỏ, ánh sáng xanh lam, và cứ thế, nếu chúng ta thấy bất kỳ ánh sáng nào cả.) Chúng ta thấy gì? Xung đập thẳng vào cách tử, và mọi dao động tử trong cách tử, cùng nhau, bị di chuyển dữ dội lên rồi lại xuống, chỉ một lần. Sau đó chúng tạo ra các hiệu ứng theo các hướng khác nhau, như được chỉ ra trong Hình 34–5. Nhưng điểm P gần một đầu của cách tử hơn đầu kia, vậy tại điểm này điện trường đến trước hết từ dây A, tiếp theo từ B, và cứ thế; cuối cùng, xung từ dây cuối cùng đến. Tóm lại, tổng của các phản xạ từ mọi dây liên tiếp là như được chỉ ra trong Hình 34–6(a); nó là một điện trường vốn là một chuỗi các xung, và nó rất giống một sóng hình sin mà bước sóng của nó là khoảng cách giữa các xung, đúng như nó sẽ là đối với ánh sáng đơn sắc đập vào cách tử! Vậy, chúng ta được ánh sáng có màu thật. Nhưng, bằng cùng lập luận đó, chúng ta sẽ không được ánh sáng từ bất kỳ loại “xung” nào sao? Không. Giả sử đường cong mượt hơn nhiều; khi đó chúng ta sẽ cộng mọi sóng tán xạ lại với nhau, cách nhau một thời gian nhỏ giữa chúng (Hình 34–6b). Khi đó chúng ta thấy rằng trường sẽ không rung chút nào, nó sẽ là một đường cong rất mượt, bởi vì mỗi xung không biến thiên nhiều trong khoảng thời gian giữa các xung.
Bức xạ điện từ phát ra bởi các hạt tích điện tương đối tính quay vòng trong một từ trường được gọi là bức xạ synchrotron. Nó được đặt tên như vậy vì những lý do hiển nhiên, nhưng nó không bị giới hạn riêng cho các synchrotron, hay thậm chí cho các phòng thí nghiệm trên mặt đất. Thật thú vị và hấp dẫn là nó cũng xảy ra trong tự nhiên!
34–4 Bức xạ synchrotron vũ trụ
Vào năm 1054 các nền văn minh Trung Hoa và Nhật Bản nằm trong số những nền văn minh tiên tiến nhất trên thế giới; họ ý thức về vũ trụ bên ngoài, và họ đã ghi lại, một cách đáng chú ý nhất, một ngôi sao sáng bùng nổ trong năm đó. (Thật đáng kinh ngạc là không một thầy tu châu Âu nào, đang viết mọi cuốn sách của thời trung cổ, thậm chí buồn viết rằng một ngôi sao đã nổ trên bầu trời, nhưng họ đã không viết.) Ngày nay chúng ta có thể chụp một bức ảnh của ngôi sao đó, và điều chúng ta thấy được chỉ ra trong Hình 34–7. Ở bên ngoài là một khối lớn các sợi đỏ, vốn được tạo ra bởi các nguyên tử của khí loãng “kêu” ở các tần số tự nhiên của chúng; điều này tạo ra một phổ vạch sáng với các tần số khác nhau trong đó. Màu đỏ trong trường hợp này hóa ra là do nitơ. Mặt khác, ở vùng trung tâm là một mảng ánh sáng mờ bí ẩn trong một phân bố tần số liên tục, tức là, không có các tần số đặc biệt nào gắn với các nguyên tử cụ thể. Tuy nhiên đây không phải là bụi được “thắp sáng” bởi các ngôi sao gần đó, vốn là một cách người ta có thể được một phổ liên tục. Chúng ta có thể nhìn thấy các ngôi sao qua nó, vậy nó trong suốt, nhưng nó đang phát ra ánh sáng.
Trong Hình 34–8 chúng ta nhìn cùng một vật thể, dùng ánh sáng trong một vùng của phổ vốn không có vạch phổ sáng nào, vậy chúng ta chỉ thấy vùng trung tâm. Nhưng trong trường hợp này, ngoài ra, các bộ phân cực đã được đặt trên kính thiên văn, và hai hình nhìn tương ứng với hai hướng lệch nhau 90°. Chúng ta thấy rằng các bức ảnh là khác nhau! Tức là, ánh sáng bị phân cực. Lý do, có lẽ, là có một từ trường cục bộ, và nhiều electron rất giàu năng lượng đang đi vòng quanh trong từ trường đó.
Chúng ta vừa minh họa cách các electron có thể đi vòng quanh trường trên một đường tròn. Dĩ nhiên chúng ta có thể cộng vào điều này bất kỳ chuyển động đều nào theo hướng của trường, vì lực, qv × B, không có thành phần theo hướng này và, như chúng ta đã nhận xét, bức xạ synchrotron rõ ràng bị phân cực theo một hướng vuông góc với hình chiếu của từ trường lên mặt phẳng ngắm.
Đặt hai sự kiện này lại với nhau, chúng ta thấy rằng trong một vùng trong đó một bức ảnh sáng và bức kia đen, ánh sáng phải có điện trường của nó hoàn toàn phân cực theo một hướng. Điều này có nghĩa là có một từ trường vuông góc với hướng này, trong khi ở các vùng khác, trong đó có một sự phát xạ mạnh trong bức ảnh kia, từ trường phải theo hướng ngược lại. Nếu chúng ta nhìn kỹ vào Hình 34–8, chúng ta có thể nhận thấy rằng có, nói một cách đại khái, một tập hợp chung các “đường” đi theo một hướng trong một bức ảnh và vuông góc với điều này trong bức kia. Các bức ảnh cho thấy một loại cấu trúc dạng sợi. Có lẽ, các đường sức từ sẽ có xu hướng kéo dài các khoảng tương đối dài theo hướng của chính chúng, và vậy, có lẽ, có các vùng dài của từ trường với mọi electron xoắn ốc theo một hướng, trong khi ở một vùng khác trường theo hướng ngược lại và các electron cũng xoắn ốc theo hướng đó.
Điều gì giữ năng lượng electron cao như vậy trong một thời gian dài như vậy? Dù sao, đã 900 năm kể từ vụ nổ — làm sao chúng có thể cứ đi nhanh như vậy? Cách chúng duy trì năng lượng của chúng và cách toàn bộ thứ này cứ tiếp tục vẫn chưa được hiểu thấu đáo.
34–5 Bức xạ hãm (Bremsstrahlung)
Tiếp theo chúng ta sẽ nhận xét ngắn gọn về một hiệu ứng thú vị khác của một hạt chuyển động rất nhanh vốn bức xạ năng lượng. Ý tưởng rất giống với ý tưởng chúng ta vừa thảo luận. Giả sử có các hạt tích điện trong một mảnh vật chất và một electron rất nhanh, chẳng hạn, đi ngang qua (Hình 34–9). Khi đó, vì điện trường quanh hạt nhân nguyên tử electron bị kéo, được gia tốc, sao cho đường cong chuyển động của nó có một chỗ gấp khúc hay uốn cong nhẹ trong đó. Nếu electron đang di chuyển rất gần với tốc độ ánh sáng, điện trường được tạo ra theo hướng C là gì? Hãy nhớ quy tắc của chúng ta: chúng ta lấy chuyển động thực, tịnh tiến nó ngược lại với tốc độ c, và điều đó cho chúng ta một đường cong mà độ cong của nó đo điện trường. Nó đang đến về phía chúng ta với tốc độ v, vậy chúng ta được một chuyển động ngược lại, với toàn bộ bức tranh bị nén vào một khoảng nhỏ hơn theo tỉ lệ c − v nhỏ hơn c. Vậy, nếu 1 − v/c ≪ 1, có một độ cong rất sắc và nhanh tại B′, và khi chúng ta lấy đạo hàm bậc hai của điều đó chúng ta được một trường rất cao theo hướng chuyển động. Vậy khi các electron rất giàu năng lượng chuyển động qua vật chất chúng phun bức xạ theo một hướng về phía trước. Điều này được gọi là bremsstrahlung. Thật ra, synchrotron được dùng, không quá nhiều để tạo các electron năng lượng cao (thật ra nếu chúng ta có thể lấy chúng ra khỏi máy một cách thuận tiện hơn chúng ta sẽ không nói điều này) mà là để tạo các photon rất giàu năng lượng — các tia gamma — bằng cách cho các electron giàu năng lượng đi qua một “bia” vonfram rắn, và để chúng bức xạ các photon từ hiệu ứng bremsstrahlung này.
34–6 Hiệu ứng Doppler
Bây giờ chúng ta đi tiếp để xét một số ví dụ khác về các hiệu ứng của các nguồn chuyển động. Chúng ta hãy giả sử nguồn là một nguyên tử đứng yên vốn đang dao động ở một trong các tần số tự nhiên của nó, ω0. Khi đó chúng ta biết rằng tần số của ánh sáng chúng ta sẽ quan sát là ω0. Nhưng bây giờ chúng ta hãy lấy một ví dụ khác, trong đó chúng ta có một dao động tử tương tự dao động với một tần số ω1, và đồng thời toàn bộ nguyên tử, toàn bộ dao động tử, đang chuyển động dọc theo một hướng về phía người quan sát với vận tốc v. Khi đó chuyển động thực trong không gian, dĩ nhiên, là như được chỉ ra trong Hình 34–10(a). Bây giờ chúng ta chơi trò chơi thường lệ của mình, chúng ta cộng cτ; tức là, chúng ta tịnh tiến toàn bộ đường cong ngược lại và khi đó chúng ta thấy rằng nó dao động như trong Hình 34–10(b). Trong một lượng thời gian τ cho trước, khi dao động tử sẽ đã đi một khoảng vτ, trên đồ thị x′ theo ct nó đi một khoảng (c − v)τ. Vậy mọi dao động có tần số ω1 trong thời gian Δτ bây giờ được tìm thấy trong khoảng Δt = (1 − v/c) Δτ; chúng bị ép lại với nhau, và khi đường cong này đi ngang qua chúng ta với tốc độ c, chúng ta sẽ thấy ánh sáng có tần số cao hơn, cao hơn đúng bằng hệ số nén (1 − v/c). Như vậy chúng ta quan sát
ω = ω1/(1 − v/c). (34.10)
Dĩ nhiên chúng ta có thể phân tích tình huống này theo nhiều cách khác nhau. Giả sử nguyên tử đang phát ra, thay vì các sóng hình sin, một chuỗi các xung, pip, pip, pip, pip, ở một tần số nào đó ω1. Chúng sẽ được chúng ta nhận ở tần số nào? Cái đầu tiên đến có một độ trễ nào đó, nhưng cái tiếp theo bị trễ ít hơn bởi vì trong thời gian đó nguyên tử di chuyển gần hơn tới máy thu. Do đó, thời gian giữa các “pip” bị giảm bởi chuyển động. Nếu chúng ta phân tích hình học của tình huống, chúng ta thấy rằng tần số của các pip được tăng lên bởi thừa số 1/(1 − v/c).
Vậy ω = ω0/(1 − v/c) có phải là tần số sẽ được quan sát nếu chúng ta lấy một nguyên tử thông thường, vốn có một tần số tự nhiên ω0, và di chuyển nó về phía máy thu với tốc độ v không? Không; như chúng ta biết rõ, tần số tự nhiên ω1 của một nguyên tử chuyển động không giống như tần số đo được khi nó đứng yên, vì sự giãn tương đối tính trong tốc độ trôi qua của thời gian. Như vậy nếu ω0 là tần số tự nhiên thật, thì tần số tự nhiên đã biến đổi ω1 sẽ là
ω1 = ω0√(1 − v2/c2). (34.11)
Do đó tần số quan sát được ω là
ω = ω0√(1 − v2/c2)/(1 − v/c). (34.12)
Độ dịch chuyển tần số quan sát được trong tình huống trên được gọi là hiệu ứng Doppler: nếu một thứ gì đó di chuyển về phía chúng ta ánh sáng nó phát ra dường như tím hơn, và nếu nó di chuyển ra xa nó dường như đỏ hơn.
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra hai cách suy ra nữa cùng kết quả thú vị và quan trọng này. Giả sử, bây giờ, nguồn đang đứng yên và đang phát ra các sóng ở tần số ω0, trong khi người quan sát đang chuyển động với tốc độ v về phía nguồn. Sau một khoảng thời gian t nào đó người quan sát sẽ đã di chuyển tới một vị trí mới, một khoảng vt từ nơi anh ta ở tại t = 0. Anh ta sẽ đã thấy bao nhiêu radian pha đi qua? Một số nào đó, ω0t, đã đi qua bất kỳ điểm cố định nào, và ngoài ra người quan sát đã quét qua thêm một số nữa bởi chuyển động của chính anh ta, cụ thể là một số vtk0 (số radian trên mét nhân với khoảng cách). Vậy tổng số radian trong thời gian t, hay tần số quan sát được, sẽ là ω1 = ω0 + k0v. Chúng ta đã làm phân tích này từ quan điểm của một người đứng yên; chúng ta muốn biết nó sẽ trông như thế nào đối với người đang chuyển động. Ở đây chúng ta lại phải lo về sự khác nhau trong nhịp đồng hồ đối với hai người quan sát, và lần này điều đó có nghĩa là chúng ta phải chia cho √(1 − v2/c2). Vậy nếu k0 là số sóng, số radian trên mét theo hướng chuyển động, và ω0 là tần số, thì tần số quan sát được đối với một người chuyển động là
ω = (ω0 + k0v)/√(1 − v2/c2). (34.13)
Đối với trường hợp ánh sáng, chúng ta biết rằng k0 = ω0/c. Vậy, trong bài toán cụ thể này, phương trình sẽ đọc là
ω = ω0(1 + v/c)/√(1 − v2/c2), (34.14)
điều này trông hoàn toàn không giống công thức (34.12)! Tần số chúng ta sẽ quan sát nếu chúng ta di chuyển về phía một nguồn có khác với tần số chúng ta sẽ thấy nếu nguồn di chuyển về phía chúng ta không? Dĩ nhiên là không! Thuyết tương đối nói rằng hai cái này phải đúng bằng nhau. Nếu chúng ta là những nhà toán học đủ giỏi chúng ta có lẽ sẽ nhận ra rằng hai biểu thức toán học này đúng bằng nhau! Thật vậy, sự bằng nhau cần thiết của hai biểu thức là một trong những cách mà một số người thích chứng tỏ rằng thuyết tương đối đòi hỏi một sự giãn thời gian, bởi vì nếu chúng ta không đặt các thừa số căn bậc hai đó vào, chúng sẽ không còn bằng nhau nữa.
Vì chúng ta biết về thuyết tương đối, chúng ta hãy phân tích nó theo một cách thứ ba nữa, cách này có thể dường như tổng quát hơn một chút. (Nó thật ra là cùng một thứ, vì cách chúng ta làm không tạo ra khác biệt nào!) Theo thuyết tương đối có một quan hệ giữa vị trí và thời gian như được quan sát bởi một người và vị trí và thời gian như được nhìn bởi một người khác đang chuyển động tương đối với anh ta. Chúng ta đã viết xuống các quan hệ đó từ lâu rồi (Chương 16). Đây là phép biến đổi Lorentz và nghịch đảo của nó:
x′ = (x + vt)/√(1 − v2/c2), x = (x′ − vt′)/√(1 − v2/c2),
t′ = (t + vx/c2)/√(1 − v2/c2), t = (t′ − vx′/c2)/√(1 − v2/c2). (34.15)
Nếu chúng ta đang đứng yên trên mặt đất, dạng của một sóng sẽ là cos (ωt − kx); mọi nút và cực đại và cực tiểu sẽ tuân theo dạng này. Nhưng một người đang chuyển động, quan sát cùng một sóng vật lý, sẽ thấy gì? Nơi trường bằng không, vị trí của mọi nút là như nhau (khi trường bằng không, mọi người đều đo trường là bằng không); đó là một bất biến tương đối tính. Vậy dạng là như nhau đối với người kia nữa, ngoại trừ chúng ta phải biến đổi nó vào hệ quy chiếu của anh ta:
cos (ωt − kx) = cos [ω(t′ − vx′/c2)/√(1 − v2/c2) − k(x′ − vt′)/√(1 − v2/c2)].
Nếu chúng ta nhóm lại các số hạng bên trong các dấu ngoặc, chúng ta được
cos (ωt − kx) = cos [(ω + kv)/√(1 − v2/c2) · t′ − (k + vω/c2)/√(1 − v2/c2) · x′] = cos [ω′t′ − k′x′]. (34.16)
Đây lại là một sóng, một sóng cosin, trong đó có một tần số nào đó ω′, một hằng số nhân với t′, và một hằng số khác nào đó, k′, nhân với x′. Chúng ta gọi k′ là số sóng, hay số sóng trên mét, đối với người kia. Do đó người kia sẽ thấy một tần số mới và một số sóng mới được cho bởi
ω′ = (ω + kv)/√(1 − v2/c2), (34.17)
k′ = (k + ωv/c2)/√(1 − v2/c2). (34.18)
Nếu chúng ta nhìn vào (34.17), chúng ta thấy rằng nó là cùng công thức (34.13), mà chúng ta đã thu được bằng một lập luận vật lý hơn.
34–7 Vectơ bốn chiều ω, k
Các quan hệ được chỉ ra trong các phương trình (34.17) và (34.18) rất thú vị, bởi vì chúng nói rằng tần số mới ω′ là một tổ hợp của tần số cũ ω và số sóng cũ k, và số sóng mới là một tổ hợp của số sóng cũ và tần số. Bây giờ số sóng là tốc độ thay đổi của pha theo khoảng cách, và tần số là tốc độ thay đổi của pha theo thời gian, và trong các biểu thức này chúng ta thấy một sự tương tự gần với phép biến đổi Lorentz của vị trí và thời gian: nếu ω được nghĩ là giống như t, và k được nghĩ là giống như x chia cho c2, thì ω′ mới sẽ giống như t′, và k′ mới sẽ giống như x′/c2. Tức là, dưới phép biến đổi Lorentz ω và k biến đổi theo cùng cách như t và x. Chúng tạo thành cái chúng ta gọi là một vectơ bốn chiều; khi một đại lượng có bốn thành phần biến đổi như thời gian và không gian, nó là một vectơ bốn chiều. Mọi thứ dường như đều ổn, khi đó, ngoại trừ một điều nhỏ: chúng ta đã nói rằng một vectơ bốn chiều phải có bốn thành phần; hai thành phần kia ở đâu? Chúng ta đã thấy rằng ω và k giống như thời gian và không gian theo một hướng không gian, nhưng không theo mọi hướng, và vậy tiếp theo chúng ta phải nghiên cứu bài toán về sự truyền ánh sáng trong ba chiều không gian, không chỉ theo một hướng, như chúng ta đã làm cho tới nay.
Giả sử chúng ta có một hệ tọa độ, x, y, z, và một sóng đang di chuyển dọc theo và các mặt sóng của nó như được chỉ ra trong Hình 34–11. Bước sóng của sóng là λ, nhưng hướng chuyển động của sóng không tình cờ nằm theo hướng của một trong các trục. Công thức cho một sóng như vậy là gì? Đáp án rõ ràng là cos (ωt − ks), trong đó k = 2π/λ và s là khoảng cách dọc theo hướng chuyển động của sóng — thành phần của vị trí không gian theo hướng chuyển động. Chúng ta hãy nói theo cách này: nếu r là vectơ vị trí của một điểm trong không gian, thì s là r · ek, trong đó ek là một vectơ đơn vị theo hướng chuyển động. Tức là, s đúng là r cos (r, ek), thành phần của khoảng cách theo hướng chuyển động. Do đó sóng của chúng ta là cos (ωt − kek · r).
Bây giờ hóa ra rất thuận tiện để định nghĩa một vectơ k, được gọi là vectơ sóng, vốn có độ lớn bằng số sóng, 2π/λ, và chỉ theo hướng truyền của các sóng:
k = 2πek/λ = kek. (34.19)
Dùng vectơ này, sóng của chúng ta có thể được viết là cos (ωt − k · r), hay là cos (ωt − kxx − kyy − kzz). Ý nghĩa của một thành phần của k, chẳng hạn kx, là gì? Rõ ràng, kx là tốc độ thay đổi của pha theo x. Chiếu theo Hình 34–11, chúng ta thấy rằng pha thay đổi khi chúng ta thay đổi x, đúng như thể có một sóng dọc theo x, nhưng có bước sóng dài hơn. “Bước sóng theo hướng x” dài hơn một bước sóng tự nhiên, thật, bởi secant của góc α giữa hướng truyền thực và trục x:
λx = λ/cos α. (34.20)
Do đó tốc độ thay đổi của pha, vốn tỉ lệ với nghịch đảo của λx, nhỏ hơn bởi thừa số cos α; đó đúng là cách kx sẽ biến thiên — nó sẽ là độ lớn của k, nhân với cosin của góc giữa k và trục x!
Đó, khi đó, là bản chất của vectơ sóng mà chúng ta dùng để biểu diễn một sóng trong ba chiều. Bốn đại lượng ω, kx, ky, kz biến đổi trong thuyết tương đối như một vectơ bốn chiều, trong đó ω tương ứng với thời gian, và kx, ky, kz tương ứng với các thành phần x-, y- và z- của vectơ bốn chiều.
Trong thảo luận trước của chúng ta về thuyết tương đối hẹp (Chương 17), chúng ta đã học rằng có các cách tạo các tích vô hướng tương đối tính với các vectơ bốn chiều. Nếu chúng ta dùng vectơ vị trí xμ, trong đó μ là viết tắt cho bốn thành phần (thời gian và ba thành phần không gian), và nếu chúng ta gọi vectơ sóng là kμ, trong đó chỉ số μ lại có bốn giá trị, thời gian và ba giá trị không gian, thì tích vô hướng của xμ và kμ được viết là Σ′kμxμ (xem Chương 17). Tích vô hướng này là một bất biến, không phụ thuộc vào hệ tọa độ; nó bằng gì? Theo định nghĩa của tích vô hướng này trong bốn chiều, nó là
Σ′ kμxμ = ωt − kxx − kyy − kzz. (34.21)
Chúng ta biết từ nghiên cứu của mình về vectơ rằng Σ′kμxμ là bất biến dưới phép biến đổi Lorentz, vì kμ là một vectơ bốn chiều. Nhưng đại lượng này đúng là đại lượng xuất hiện bên trong cosin đối với một sóng phẳng, và nó phải là bất biến dưới một phép biến đổi Lorentz. Chúng ta không thể có một công thức với thứ gì đó thay đổi bên trong cosin, vì chúng ta biết rằng pha của sóng không thể thay đổi khi chúng ta thay đổi hệ tọa độ.
34–8 Quang sai
Trong việc suy ra các phương trình (34.17) và (34.18), chúng ta đã lấy một ví dụ đơn giản trong đó k tình cờ nằm theo một hướng chuyển động, nhưng dĩ nhiên chúng ta cũng có thể tổng quát hóa nó cho các trường hợp khác. Chẳng hạn, giả sử có một nguồn phát ra ánh sáng theo một hướng nào đó từ quan điểm của một người đứng yên, nhưng chúng ta đang chuyển động dọc theo trên trái đất, chẳng hạn (Hình 34–12). Ánh sáng dường như đến từ hướng nào? Để tìm ra, chúng ta sẽ phải viết xuống bốn thành phần của kμ và áp dụng phép biến đổi Lorentz. Tuy nhiên, đáp án có thể được tìm bằng lập luận sau: chúng ta phải hướng kính thiên văn của mình ở một góc để nhìn thấy ánh sáng. Vì sao? Bởi vì ánh sáng đang đi xuống với tốc độ c, và chúng ta đang chuyển động ngang với tốc độ v, vậy kính thiên văn phải nghiêng về phía trước sao cho khi ánh sáng đi xuống nó đi “thẳng” xuống ống. Rất dễ thấy rằng khoảng ngang là vt khi khoảng dọc là ct, và do đó, nếu θ′ là góc nghiêng, tan θ′ = v/c. Thật đẹp! Thật đẹp, thật vậy — ngoại trừ một điều nhỏ: θ′ không phải là góc chúng ta sẽ phải đặt kính thiên văn so với trái đất, bởi vì chúng ta đã làm phân tích của mình từ quan điểm của một người quan sát “cố định”. Khi chúng ta nói khoảng ngang là vt, người trên trái đất sẽ đã tìm được một khoảng khác, vì anh ta đo bằng một thước “bị ép”. Hóa ra rằng, vì hiệu ứng co rút đó,
tan θ = (v/c)/√(1 − v2/c2), (34.22)
điều này tương đương với
sin θ = v/c. (34.23)
Sẽ có tính hướng dẫn cho sinh viên nếu tự suy ra kết quả này, dùng phép biến đổi Lorentz.
Hiệu ứng này, rằng một kính thiên văn phải nghiêng, được gọi là quang sai, và nó đã được quan sát. Chúng ta có thể quan sát nó như thế nào? Ai có thể nói một ngôi sao cho trước nên ở đâu? Giả sử chúng ta thật sự phải nhìn theo hướng sai để thấy một ngôi sao; làm sao chúng ta biết đó là hướng sai? Bởi vì trái đất đi vòng quanh mặt trời. Hôm nay chúng ta phải hướng kính thiên văn theo một hướng; sáu tháng sau chúng ta phải nghiêng kính thiên văn theo hướng ngược lại. Đó là cách chúng ta có thể biết rằng có một hiệu ứng như vậy.
34–9 Động lượng của ánh sáng
Bây giờ chúng ta chuyển sang một chủ đề khác. Chúng ta chưa bao giờ, trong mọi thảo luận của mình trong vài chương qua, nói bất cứ điều gì về các hiệu ứng của từ trường gắn liền với ánh sáng. Thông thường, các hiệu ứng của từ trường rất nhỏ, nhưng có một hiệu ứng thú vị và quan trọng là hệ quả của từ trường. Giả sử ánh sáng đang đến từ một nguồn và đang tác dụng lên một điện tích và làm điện tích đó chuyển động lên xuống. Chúng ta sẽ giả sử điện trường nằm theo hướng x, vậy chuyển động của điện tích cũng nằm theo hướng x: nó có một vị trí x và một vận tốc v, như được chỉ ra trong Hình 34–13. Từ trường vuông góc với điện trường. Bây giờ khi điện trường tác dụng lên điện tích và làm nó chuyển động lên xuống, từ trường làm gì? Từ trường tác dụng lên điện tích (chẳng hạn một electron) chỉ khi nó đang chuyển động; nhưng electron đang chuyển động, nó bị điện trường làm cho chuyển động, vậy hai cái làm việc cùng nhau: Trong khi vật đang đi lên xuống nó có một vận tốc và có một lực trên nó, B nhân v nhân q; nhưng lực này theo hướng nào? Nó theo hướng truyền của ánh sáng. Do đó, khi ánh sáng đang chiếu lên một điện tích và nó đang dao động đáp ứng với ánh sáng đó, có một lực đẩy theo hướng của chùm ánh sáng. Điều này được gọi là áp suất bức xạ hay áp suất ánh sáng.
Chúng ta hãy xác định áp suất bức xạ mạnh đến mức nào. Rõ ràng nó là F = qvB hay, vì mọi thứ đang dao động, nó là trung bình theo thời gian của điều này, ⟨F⟩. Từ (34.2) độ mạnh của từ trường bằng độ mạnh của điện trường chia cho c, vậy chúng ta cần tìm trung bình của điện trường, nhân với vận tốc, nhân với điện tích, nhân với 1/c: ⟨F⟩ = q⟨vE⟩/c. Nhưng điện tích q nhân với trường E là lực điện trên một điện tích, và lực trên điện tích nhân với vận tốc là công dW/dt đang được thực hiện trên điện tích! Do đó lực, “động lượng đẩy”, được ánh sáng truyền mỗi giây, bằng 1/c nhân với năng lượng được hấp thụ từ ánh sáng mỗi giây! Đó là một quy tắc tổng quát, vì chúng ta đã không nói dao động tử mạnh đến mức nào, hay liệu một số điện tích có triệt tiêu nhau không. Trong bất kỳ hoàn cảnh nào trong đó ánh sáng đang bị hấp thụ, có một áp suất. Động lượng ánh sáng truyền luôn bằng năng lượng được hấp thụ, chia cho c:
⟨F⟩ = (dW/dt)/c. (34.24)
Rằng ánh sáng mang năng lượng chúng ta đã biết rồi. Bây giờ chúng ta hiểu rằng nó cũng mang động lượng, và hơn nữa, động lượng được mang luôn là 1/c nhân với năng lượng.
Khi ánh sáng được phát ra từ một nguồn có một hiệu ứng giật lùi: cùng một thứ theo chiều ngược lại. Nếu một nguyên tử đang phát ra một năng lượng W theo một hướng nào đó, thì có một động lượng giật lùi p = W/c. Nếu ánh sáng bị phản xạ vuông góc từ một gương, chúng ta được gấp đôi lực.
Đó là mức xa nhất chúng ta sẽ đi dùng lý thuyết cổ điển của ánh sáng. Dĩ nhiên chúng ta biết rằng có một lý thuyết lượng tử, và trong nhiều khía cạnh ánh sáng hành xử như một hạt. Năng lượng của một hạt ánh sáng là một hằng số nhân với tần số:
W = hν = ℏω. (34.25)
Bây giờ chúng ta cảm nhận rằng ánh sáng cũng mang một động lượng bằng năng lượng chia cho c, vậy cũng đúng là các hạt hiệu dụng này, các photon này, mang một động lượng
p = W/c = ℏω/c = ℏk. (34.26)
Hướng của động lượng, dĩ nhiên, là hướng truyền của ánh sáng. Vậy, để nói theo dạng vectơ,
W = ℏω, p = ℏk. (34.27)
Chúng ta cũng biết, dĩ nhiên, rằng năng lượng và động lượng của một hạt nên tạo thành một vectơ bốn chiều. Chúng ta vừa khám phá rằng ω và k tạo thành một vectơ bốn chiều. Do đó thật tốt là (34.27) có cùng hằng số trong cả hai trường hợp; nó có nghĩa là lý thuyết lượng tử và thuyết tương đối nhất quán lẫn nhau.
Phương trình (34.27) có thể được viết thanh lịch hơn là pμ = ℏkμ, một phương trình tương đối tính, cho một hạt gắn với một sóng. Mặc dù chúng ta đã thảo luận điều này chỉ cho các photon, mà đối với chúng k (độ lớn của k) bằng ω/c và p = W/c, quan hệ này tổng quát hơn nhiều. Trong cơ học lượng tử mọi hạt, không chỉ photon, đều thể hiện các tính chất giống sóng, nhưng tần số và số sóng của các sóng liên quan đến năng lượng và động lượng của các hạt bởi (34.27) (được gọi là các quan hệ de Broglie) ngay cả khi p không bằng W/c.
Trong chương trước chúng ta đã thấy rằng một chùm ánh sáng phân cực tròn phải hay trái cũng mang mômen động lượng theo một lượng tỉ lệ với năng lượng ℰ của sóng. Trong bức tranh lượng tử, một chùm ánh sáng phân cực tròn được coi là một dòng các photon, mỗi photon mang một mômen động lượng ±ℏ, dọc theo hướng truyền. Đó là điều phân cực trở thành theo quan điểm hạt — các photon mang mômen động lượng như các viên đạn súng trường đang quay. Nhưng bức tranh “viên đạn” này thật ra cũng không đầy đủ như bức tranh “sóng”, và chúng ta sẽ phải thảo luận các ý tưởng này đầy đủ hơn trong một chương sau về Hành vi Lượng tử.