Chương 50: Các họa âm

50–1  Các âm nhạc

Người ta nói Pythagoras đã khám phá ra sự kiện rằng hai sợi dây giống nhau, chịu cùng một sức căng và chỉ khác nhau về độ dài, khi được cho vang lên cùng nhau sẽ cho một hiệu ứng dễ chịu đối với tai nếu độ dài của các sợi dây ở trong tỉ lệ của hai số nguyên nhỏ. Nếu độ dài là như một so với hai, thì chúng tương ứng với quãng tám trong âm nhạc. Nếu độ dài là như hai so với ba, thì chúng tương ứng với khoảng giữa C và G, được gọi là một quãng năm. Các khoảng này nói chung được chấp nhận là các hợp âm nghe “dễ chịu”.

Pythagoras ấn tượng với khám phá này đến mức ông lấy nó làm nền tảng cho một trường phái — họ được gọi là những người Pythagore — trường phái này mang những niềm tin thần bí vào sức mạnh to lớn của các con số. Người ta tin rằng rồi sẽ tìm ra được điều gì đó tương tự về các hành tinh — hay các “thiên cầu”. Chúng ta đôi khi nghe thấy cách diễn đạt: “âm nhạc của các thiên cầu”. Ý tưởng là sẽ có một số quan hệ bằng số nào đó giữa các quỹ đạo của các hành tinh hoặc giữa những thứ khác trong tự nhiên. Người ta thường nghĩ rằng đây chỉ là một kiểu mê tín của người Hy Lạp. Nhưng nó có khác mấy với mối quan tâm khoa học của chính chúng ta vào các quan hệ định lượng đâu? Khám phá của Pythagoras là ví dụ đầu tiên, ngoài hình học, về bất kỳ quan hệ bằng số nào trong tự nhiên. Chắc hẳn phải rất đáng ngạc nhiên khi đột nhiên khám phá ra rằng có một sự kiện của tự nhiên liên quan đến một quan hệ bằng số đơn giản. Các phép đo đơn giản về độ dài đã cho ra một dự đoán về một thứ không có mối liên hệ thấy rõ nào với hình học — việc tạo ra các âm thanh dễ chịu. Khám phá này dẫn tới sự mở rộng rằng có lẽ một công cụ tốt để hiểu tự nhiên sẽ là số học và phân tích toán học. Các kết quả của khoa học hiện đại biện minh cho quan điểm đó.

Pythagoras chỉ có thể thực hiện được khám phá của mình bằng cách thực hiện một quan sát thực nghiệm. Thế nhưng khía cạnh quan trọng này dường như đã không gây ấn tượng với ông. Nếu nó đã gây ấn tượng, vật lý có lẽ đã khởi đầu sớm hơn nhiều. (Nhìn lại điều người khác đã làm và quyết định xem lẽ ra người ấy nên làm gì thì bao giờ cũng dễ!)

Chúng ta có thể nhận xét về một khía cạnh thứ ba của khám phá rất thú vị này: rằng khám phá có liên quan đến hai nốt nhạc nghe dễ chịu đối với tai. Chúng ta có thể tự hỏi liệu chúng ta có khá hơn Pythagoras chút nào trong việc hiểu tại sao chỉ một số âm thanh nhất định mới dễ chịu đối với tai của chúng ta hay không. Lý thuyết tổng quát về thẩm mỹ có lẽ không tiến xa hơn bây giờ so với thời Pythagoras chút nào. Trong khám phá duy nhất này của người Hy Lạp, có ba khía cạnh: thực nghiệm, các quan hệ toán học, và thẩm mỹ. Vật lý đã đạt được tiến bộ lớn chỉ ở hai phần đầu tiên. Chương này sẽ đề cập đến hiểu biết ngày nay của chúng ta về khám phá của Pythagoras.

Trong số các âm thanh chúng ta nghe, có một loại chúng ta gọi là tiếng ồn. Tiếng ồn tương ứng với một thứ dao động bất thường của màng nhĩ, được tạo ra bởi dao động bất thường của một vật nào đó ở gần. Nếu chúng ta lập một đồ thị để biểu thị áp suất của không khí lên màng nhĩ (và do đó, độ dịch chuyển của màng nhĩ) theo thời gian, thì đồ thị tương ứng với một tiếng ồn có thể trông như được chỉ ra trong Hình 50–1(a). (Một tiếng ồn như vậy có thể tương ứng một cách gần đúng với tiếng của một bàn chân giẫm xuống.) Âm thanh của âm nhạc có một đặc tính khác. Âm nhạc được đặc trưng bởi sự hiện diện của các âm ít nhiều kéo dài — hay các “nốt” nhạc. (Các nhạc cụ cũng có thể tạo ra tiếng ồn!) Âm có thể kéo dài trong một khoảng thời gian tương đối ngắn, như khi một phím được nhấn trên một cây đàn piano, hoặc nó có thể được duy trì gần như vô hạn, như khi một người thổi sáo giữ một nốt dài.

Đặc tính đặc biệt của một nốt nhạc, xét theo quan điểm áp suất trong không khí, là gì? Một nốt nhạc khác với một tiếng ồn ở chỗ đồ thị của nó có tính tuần hoàn. Có một hình dạng gồ ghề nào đó trong sự biến thiên của áp suất không khí theo thời gian, và hình dạng đó lặp lại hết lần này đến lần khác. Một ví dụ về một hàm áp suất–thời gian tương ứng với một nốt nhạc được chỉ ra trong Hình 50–1(b).

Các nhạc sĩ thường sẽ nói về một âm nhạc theo ba đặc tính: độ to, cao độ, và “âm sắc”. “Độ to” được tìm thấy là tương ứng với độ lớn của các thay đổi áp suất. “Cao độ” tương ứng với khoảng thời gian cho một lần lặp lại của hàm áp suất cơ bản. (Các nốt “trầm” có chu kỳ dài hơn các nốt “cao”.) “Âm sắc” của một âm liên quan đến những khác biệt mà chúng ta vẫn có thể nghe thấy giữa hai nốt có cùng độ to và cao độ. Một cây kèn oboe, một cây vĩ cầm, hay một giọng nữ cao vẫn phân biệt được với nhau ngay cả khi chúng phát ra các nốt có cùng cao độ. Âm sắc liên quan đến cấu trúc của khuôn mẫu lặp lại.

Hãy xét, trong chốc lát, âm thanh được tạo ra bởi một sợi dây đang rung. Nếu chúng ta gảy sợi dây, bằng cách kéo nó sang một bên rồi thả ra, chuyển động tiếp theo sẽ được xác định bởi chuyển động của các sóng chúng ta đã tạo ra. Chúng ta biết rằng các sóng này sẽ truyền đi theo cả hai hướng, và sẽ bị phản xạ ở các đầu. Chúng sẽ dập dềnh qua lại trong một thời gian dài. Tuy nhiên, dù sóng có phức tạp đến đâu, nó cũng sẽ tự lặp lại. Chu kỳ lặp lại đúng bằng thời gian T cần cho sóng truyền đi hai lần độ dài đầy đủ của sợi dây. Vì đó đúng là thời gian cần cho bất kỳ sóng nào, một khi đã bắt đầu, phản xạ khỏi mỗi đầu và quay trở lại vị trí bắt đầu của nó, rồi tiếp tục đi theo hướng ban đầu. Thời gian là như nhau đối với các sóng bắt đầu đi theo bất kỳ hướng nào trong hai hướng. Khi đó mỗi điểm trên sợi dây sẽ quay trở lại vị trí bắt đầu của nó sau một chu kỳ, và lại một chu kỳ nữa sau đó, v.v. Sóng âm được tạo ra cũng phải có cùng sự lặp lại đó. Chúng ta thấy vì sao một sợi dây được gảy lại tạo ra một âm nhạc.

50–2  Chuỗi Fourier

Trong chương trước, chúng ta đã thảo luận một cách nhìn khác về chuyển động của một hệ đang rung. Chúng ta đã thấy rằng một sợi dây có nhiều mode dao động tự nhiên khác nhau, và rằng bất kỳ loại dao động cụ thể nào có thể được thiết lập bởi các điều kiện ban đầu đều có thể được nghĩ như một tổ hợp — theo các tỉ lệ thích hợp — của một số mode tự nhiên, dao động cùng nhau. Đối với một sợi dây, chúng ta tìm thấy rằng các mode dao động riêng có các tần số ω₀, 2ω₀, 3ω₀, … Chuyển động tổng quát nhất của một sợi dây được gảy, do đó, gồm tổng của một dao động hình sin ở tần số cơ bản ω₀, một dao động khác ở tần số họa âm thứ hai 2ω₀, một dao động khác ở họa âm thứ ba 3ω₀, v.v. Mode cơ bản tự lặp lại sau mỗi chu kỳ T₁ = 2π/ω₀. Mode họa âm thứ hai tự lặp lại sau mỗi T₂ = 2π/2ω₀. Nó cũng tự lặp lại sau mỗi T₁ = 2T₂, sau hai chu kỳ của nó. Tương tự, mode họa âm thứ ba tự lặp lại sau một thời gian T₁ bằng 3 chu kỳ của nó. Chúng ta lại thấy vì sao một sợi dây được gảy lặp lại toàn bộ khuôn mẫu của nó với tính tuần hoàn T₁. Nó tạo ra một âm nhạc.

Chúng ta đã nói về chuyển động của sợi dây. Nhưng âm thanh, tức chuyển động của không khí, được tạo ra bởi chuyển động của sợi dây, vậy các dao động của nó cũng phải gồm cùng các họa âm đó — mặc dù chúng ta không còn nghĩ về các mode riêng của không khí nữa. Ngoài ra, độ mạnh tương đối của các họa âm có thể khác trong không khí so với trong sợi dây, đặc biệt nếu sợi dây được “ghép nối” với không khí qua một hộp cộng hưởng. Hiệu suất của việc ghép nối với không khí là khác nhau đối với các họa âm khác nhau.

Nếu chúng ta để f(t) biểu diễn áp suất không khí theo thời gian đối với một âm nhạc [chẳng hạn như âm trong Hình 50–1(b)], thì chúng ta kỳ vọng rằng f(t) có thể được viết thành tổng của một số hàm điều hòa đơn giản của thời gian — như cos ωt — đối với mỗi tần số họa âm khác nhau. Nếu chu kỳ của dao động là T, tần số góc cơ bản sẽ là ω = 2π/T, và các họa âm sẽ là 2ω, 3ω, v.v.

Có một chút phức tạp nhỏ. Đối với mỗi tần số, chúng ta có thể kỳ vọng rằng các pha ban đầu sẽ không nhất thiết như nhau đối với mọi tần số. Do đó, chúng ta nên dùng các hàm như cos (ωt + ϕ). Tuy nhiên, dùng cả hàm sin lẫn hàm cosin cho mỗi tần số thì đơn giản hơn. Chúng ta nhớ lại rằng

cos (ωt + ϕ) = (cos ϕ cos ωt − sin ϕ sin ωt)   (50.1)

và vì ϕ là một hằng số, bất kỳ dao động hình sin nào ở tần số ω cũng có thể được viết thành tổng của một số hạng với cos ωt và một số hạng khác với sin ωt.

Khi đó chúng ta kết luận rằng bất kỳ hàm f(t) nào tuần hoàn với chu kỳ T cũng có thể được viết về mặt toán học như sau

f(t) = a₀ + a₁ cos ωt + b₁ sin ωt + a₂ cos 2ωt + b₂ sin 2ωt + a₃ cos 3ωt + b₃ sin 3ωt + ⋯   (50.2)

trong đó ω = 2π/T và các a và b là các hằng số bằng số cho chúng ta biết mỗi dao động thành phần có mặt bao nhiêu trong dao động f(t). Chúng ta đã cộng thêm số hạng “tần số bằng không” a₀ để công thức của chúng ta hoàn toàn tổng quát, mặc dù nó thường bằng không đối với một âm nhạc. Nó biểu diễn một sự dịch chuyển của giá trị trung bình (tức là mức “không”) của áp suất âm. Với nó, công thức của chúng ta có thể xử lý bất kỳ trường hợp nào. Đẳng thức của Phương trình (50.2) được biểu diễn một cách sơ đồ trong Hình 50–2. (Các biên độ, a_n và b_n, của các hàm họa âm phải được chọn thích hợp. Chúng được chỉ ra một cách sơ đồ và không theo một tỉ lệ cụ thể nào trong hình.) Chuỗi (50.2) được gọi là chuỗi Fourier của f(t).

Chúng ta đã nói rằng bất kỳ hàm tuần hoàn nào cũng có thể được tạo thành theo cách này. Chúng ta nên sửa lại điều đó và nói rằng bất kỳ sóng âm nào, hay bất kỳ hàm nào chúng ta thường gặp trong vật lý, cũng có thể được tạo thành từ một tổng như vậy. Các nhà toán học có thể phát minh ra các hàm không thể tạo thành từ các hàm điều hòa đơn giản — chẳng hạn, một hàm có một “vòng xoắn ngược” sao cho nó có hai giá trị đối với một số giá trị của t! Chúng ta không cần phải lo về các hàm như vậy ở đây.

50–3  Âm sắc và sự hòa hợp

Bây giờ chúng ta có thể mô tả điều gì xác định “âm sắc” của một âm nhạc. Đó là lượng tương đối của các họa âm khác nhau — các giá trị của các a và các b. Một âm chỉ có họa âm thứ nhất là một âm “thuần”. Một âm có nhiều họa âm mạnh là một âm “phong phú”. Một cây vĩ cầm tạo ra một tỉ lệ các họa âm khác với một cây kèn oboe.

Chúng ta có thể “chế tạo” các âm nhạc khác nhau nếu chúng ta nối một số “bộ dao động” với một loa. (Một bộ dao động thường tạo ra một hàm điều hòa đơn giản gần như thuần.) Chúng ta nên chọn các tần số của các bộ dao động là ω, 2ω, 3ω, v.v. Khi đó bằng cách điều chỉnh nút kiểm soát âm lượng trên mỗi bộ dao động, chúng ta có thể cộng vào bất kỳ lượng nào mình muốn của mỗi họa âm — qua đó tạo ra các âm có âm sắc khác nhau. Một cây đàn organ điện hoạt động theo cách gần như vậy. Các “phím” chọn tần số của bộ dao động cơ bản và các “nút chặn âm” là các công tắc kiểm soát các tỉ lệ tương đối của các họa âm. Bằng cách bật các công tắc này, cây đàn organ có thể được làm cho nghe giống như một cây sáo, hay một cây kèn oboe, hay một cây vĩ cầm.

Điều thú vị là để tạo ra các âm “nhân tạo” như vậy chúng ta chỉ cần một bộ dao động cho mỗi tần số — chúng ta không cần các bộ dao động riêng cho các thành phần sin và cosin. Tai không nhạy lắm với các pha tương đối của các họa âm. Nó chủ yếu chú ý tới tổng của các phần sin và cosin của mỗi tần số. Việc phân tích của chúng ta chính xác hơn mức cần thiết để giải thích khía cạnh chủ quan của âm nhạc. Tuy nhiên, đáp ứng của một microphone hay một dụng cụ vật lý khác có phụ thuộc vào các pha, và việc phân tích đầy đủ của chúng ta có thể cần đến để xử lý các trường hợp như vậy.

“Âm sắc” của một âm nói cũng xác định các âm nguyên âm mà chúng ta nhận ra trong tiếng nói. Hình dạng của miệng xác định các tần số của các mode dao động tự nhiên của không khí trong miệng. Một số mode trong số này được đưa vào dao động bởi các sóng âm từ các dây thanh âm. Theo cách này, biên độ của một số họa âm của âm thanh được tăng lên so với các họa âm khác. Khi chúng ta thay đổi hình dạng của miệng, các họa âm có tần số khác nhau được ưu tiên. Các hiệu ứng này giải thích khác biệt giữa một âm “e–e–e” và một âm “a–a–a”.

Tất cả chúng ta đều biết rằng một âm nguyên âm cụ thể — chẳng hạn “e–e–e” — vẫn “nghe giống” cùng một nguyên âm dù chúng ta nói (hay hát) nó ở một cao độ cao hay thấp. Từ cơ chế chúng ta mô tả, chúng ta sẽ kỳ vọng rằng các tần số cụ thể được nhấn mạnh khi chúng ta tạo hình miệng cho một âm “e–e–e”, và rằng chúng không thay đổi khi chúng ta thay đổi cao độ của giọng mình. Vậy quan hệ của các họa âm quan trọng với âm cơ bản — tức là “âm sắc” — thay đổi khi chúng ta thay đổi cao độ. Rõ ràng cơ chế mà nhờ đó chúng ta nhận ra tiếng nói không dựa trên các quan hệ họa âm cụ thể.

Bây giờ chúng ta nên nói gì về khám phá của Pythagoras? Chúng ta hiểu rằng hai sợi dây giống nhau có độ dài theo tỉ lệ 2 so với 3 sẽ có các tần số cơ bản theo tỉ lệ 3 so với 2. Nhưng tại sao chúng lại “nghe dễ chịu” cùng nhau? Có lẽ chúng ta nên lấy manh mối của mình từ các tần số của các họa âm. Họa âm thứ hai của sợi dây ngắn hơn, thấp hơn sẽ có cùng tần số như họa âm thứ ba của sợi dây dài hơn. (Dễ chỉ ra — hay tin — rằng một sợi dây được gảy tạo ra một cách mạnh mẽ một vài họa âm thấp nhất.)

Có lẽ chúng ta nên lập ra các quy tắc sau. Các nốt nghe hòa hợp khi chúng có các họa âm có cùng tần số. Các nốt nghe không hòa hợp nếu các họa âm trên của chúng có các tần số gần nhau nhưng đủ xa nhau để có các phách nhanh giữa hai nốt. Tại sao các phách không nghe dễ chịu, và tại sao sự trùng hợp của các họa âm trên lại nghe dễ chịu, là điều chúng ta không biết định nghĩa hay mô tả như thế nào. Chúng ta không thể nói, từ kiến thức này về điều gì nghe hay, chẳng hạn điều gì đáng ra phải ngửi thơm. Nói cách khác, hiểu biết của chúng ta về nó không có gì tổng quát hơn phát biểu rằng khi chúng trùng hợp thì chúng nghe hay. Nó không cho phép chúng ta suy ra bất cứ điều gì ngoài các tính chất của sự hòa hợp trong âm nhạc.

Dễ kiểm tra các quan hệ họa âm chúng ta đã mô tả bằng một số thí nghiệm đơn giản với một cây đàn piano. Hãy ký hiệu 3 nốt C liên tiếp gần giữa bàn phím bằng C, C′, và C′′, và các nốt G ngay phía trên bằng G, G′, và G′′. Khi đó các âm cơ bản sẽ có các tần số tương đối như sau:

C – 2    G – 3  ;   C′ – 4    G′ – 6  ;   C′′ – 8    G′′ – 12

Các quan hệ họa âm này có thể được chứng minh theo cách sau: Giả sử chúng ta nhấn C′ một cách chậm rãi — sao cho nó không vang lên nhưng chúng ta làm cho bộ chặn âm được nhấc lên. Nếu sau đó chúng ta cho C vang lên, nó sẽ tạo ra âm cơ bản của chính nó và một ít họa âm thứ hai. Họa âm thứ hai đó sẽ làm cho các sợi dây của C′ dao động. Nếu bây giờ chúng ta thả C ra (giữ C′ vẫn nhấn) bộ chặn âm sẽ dừng dao động của các sợi dây C, và chúng ta có thể nghe (nhẹ nhàng) nốt C′ khi nó tắt dần. Theo một cách tương tự, họa âm thứ ba của C có thể gây ra một dao động của G′. Hoặc họa âm thứ sáu của C (bây giờ yếu đi nhiều) có thể thiết lập một dao động trong âm cơ bản của G′′.

Một kết quả hơi khác được thu được nếu chúng ta nhấn G một cách lặng lẽ rồi cho C′ vang lên. Họa âm thứ ba của C′ sẽ tương ứng với họa âm thứ tư của G, vậy chỉ họa âm thứ tư của G sẽ bị kích thích. Chúng ta có thể nghe (nếu chúng ta lắng nghe kỹ) âm thanh của G′′, âm này cao hơn hai quãng tám so với nốt G chúng ta đã nhấn! Dễ nghĩ ra nhiều tổ hợp nữa cho trò chơi này.

Chúng ta có thể nhận xét qua loa rằng thang âm trưởng có thể được định nghĩa chỉ bằng điều kiện rằng ba hợp âm trưởng (F–A–C); (C–E–G); và (G–B–D) mỗi hợp âm biểu diễn các dãy âm có tỉ lệ tần số (4 : 5 : 6). Các tỉ lệ này — cộng với sự kiện rằng một quãng tám (C–C′, B–B′, v.v.) có tỉ lệ 1 : 2 — xác định toàn bộ thang âm cho trường hợp “lý tưởng”, hay cho điều được gọi là “intonation đúng”. Các nhạc cụ có bàn phím như đàn piano thường không được lên dây theo cách này, mà một chút “gian lận” được thực hiện sao cho các tần số gần đúng đối với mọi nốt bắt đầu có thể. Đối với cách lên dây này, được gọi là “lên dây đều” (tempered), quãng tám (vẫn là 1 : 2) được chia thành 12 khoảng bằng nhau mà tỉ lệ tần số của chúng là (2)^1/12. Một quãng năm không còn có tỉ lệ tần số 3/2, mà là 2^7/12 = 1,499, điều này rõ ràng đủ gần đối với hầu hết các tai.

Chúng ta đã phát biểu một quy tắc cho sự hòa hợp theo sự trùng hợp của các họa âm. Sự trùng hợp này có lẽ có phải là lý do hai nốt hòa hợp hay không? Một người nghiên cứu đã tuyên bố rằng hai âm thuần — các âm được chế tạo cẩn thận để không có họa âm — không cho ra các cảm giác hòa hợp hay không hòa hợp khi các tần số tương đối được đặt ở hay gần các tỉ lệ kỳ vọng. (Các thí nghiệm như vậy khó vì khó chế tạo các âm thuần, vì những lý do chúng ta sẽ thấy về sau.) Chúng ta vẫn không thể chắc chắn liệu tai có đang đối sánh các họa âm hay đang làm phép tính số học khi chúng ta quyết định rằng mình thích một âm thanh hay không.

50–4  Các hệ số Fourier

Bây giờ hãy quay lại ý tưởng rằng bất kỳ nốt nào — tức là một âm tuần hoàn — cũng có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp thích hợp của các họa âm. Chúng ta muốn chỉ ra làm thế nào chúng ta có thể tìm ra lượng của mỗi họa âm cần thiết. Dĩ nhiên, dễ tính f(t), dùng Phương trình (50.2), nếu chúng ta được cho mọi hệ số a và b. Câu hỏi bây giờ là, nếu chúng ta được cho f(t) thì làm thế nào chúng ta có thể biết các hệ số của các số hạng họa âm khác nhau nên là gì? (Dễ làm một chiếc bánh từ một công thức; nhưng chúng ta có thể viết xuống công thức nếu chúng ta được cho một chiếc bánh không?)

Fourier khám phá ra rằng điều đó thật ra không khó lắm. Số hạng a₀ chắc chắn là dễ. Chúng ta đã nói rằng nó đúng là giá trị trung bình của f(t) trên một chu kỳ (từ t = 0 tới t = T). Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng điều này quả thật đúng như vậy. Giá trị trung bình của một hàm sin hay cosin trên một chu kỳ bằng không. Trên hai, hay ba, hay bất kỳ số nguyên chu kỳ nào, nó cũng bằng không. Vậy giá trị trung bình của mọi số hạng ở vế phải của Phương trình (50.2) bằng không, ngoại trừ a₀. (Nhớ lại rằng chúng ta phải chọn ω = 2π/T.)

Bây giờ trung bình của một tổng là tổng của các trung bình. Vậy trung bình của f(t) đúng là trung bình của a₀. Nhưng a₀ là một hằng số, vậy trung bình của nó đúng bằng giá trị của nó. Nhớ lại định nghĩa của một trung bình, chúng ta có

a₀ = (1/T) ∫₀^T f(t) dt.   (50.3)

Các hệ số khác chỉ khó hơn một chút. Để tìm chúng, chúng ta có thể dùng một mẹo do Fourier khám phá ra. Giả sử chúng ta nhân cả hai vế của Phương trình (50.2) với một hàm họa âm nào đó — chẳng hạn với cos 7ωt. Khi đó chúng ta có

f(t)·cos 7ωt = a₀·cos 7ωt + a₁ cos ωt·cos 7ωt + b₁ sin ωt·cos 7ωt + a₂ cos 2ωt·cos 7ωt + b₂ sin 2ωt·cos 7ωt + ⋯ + a₇ cos 7ωt·cos 7ωt + b₇ sin 7ωt·cos 7ωt + ⋯   (50.4)

Bây giờ hãy lấy trung bình cả hai vế. Trung bình của a₀ cos 7ωt trên thời gian T tỉ lệ với trung bình của một cosin trên 7 chu kỳ trọn. Nhưng trung bình đó đúng bằng không. Trung bình của hầu như mọi số hạng còn lại cũng bằng không. Hãy nhìn vào số hạng a₁. Chúng ta biết, nói chung, rằng

cos A cos B = ½ cos (A + B) + ½ cos (A − B).   (50.5)

Số hạng a₁ trở thành

½a₁(cos 8ωt + cos 6ωt).   (50.6)

Như vậy chúng ta có hai số hạng cosin, một số hạng có 8 chu kỳ trọn trong T và số hạng kia có 6. Cả hai đều có trung bình bằng không. Do đó trung bình của số hạng a₁ bằng không.

Đối với số hạng a₂, chúng ta sẽ tìm thấy a₂ cos 9ωt và a₂ cos 5ωt, mỗi số hạng cũng có trung bình bằng không. Đối với số hạng a₉, chúng ta sẽ tìm thấy cos 16ωt và cos (−2ωt). Nhưng cos (−2ωt) cũng giống như cos 2ωt, vậy cả hai số hạng này đều có trung bình bằng không. Rõ ràng mọi số hạng a đều sẽ có trung bình bằng không ngoại trừ một số hạng. Và số hạng đó là số hạng a₇. Đối với số hạng này chúng ta có

½a₇(cos 14ωt + cos 0).   (50.7)

Cosin của không bằng một, và trung bình của nó, dĩ nhiên, bằng một. Vậy chúng ta có kết quả rằng trung bình của mọi số hạng a của Phương trình (50.4) bằng ½a₇.

Các số hạng b còn dễ hơn nữa. Khi chúng ta nhân với bất kỳ số hạng cosin nào như cos nωt, chúng ta có thể chỉ ra bằng cùng phương pháp rằng mọi số hạng b đều có giá trị trung bình bằng không.

Chúng ta thấy rằng “mẹo” của Fourier đã hành động như một cái sàng. Khi chúng ta nhân với cos 7ωt và lấy trung bình, mọi số hạng đều biến mất ngoại trừ a₇, và chúng ta tìm thấy rằng

Trung bình [f(t)·cos 7ωt] = a₇/2,   (50.8)

hay

a₇ = (2/T) ∫₀^T f(t)·cos 7ωt dt.   (50.9)

Chúng ta sẽ để cho bạn đọc tự chỉ ra rằng hệ số b₇ có thể được thu được bằng cách nhân Phương trình (50.2) với sin 7ωt và lấy trung bình cả hai vế. Kết quả là

b₇ = (2/T) ∫₀^T f(t)·sin 7ωt dt.   (50.10)

Bây giờ điều gì đúng với 7 chúng ta kỳ vọng cũng đúng với bất kỳ số nguyên nào. Vậy chúng ta có thể tóm tắt chứng minh và kết quả của mình trong dạng toán học thanh nhã hơn sau đây. Nếu m và n là các số nguyên khác không, và nếu ω = 2π/T, thì

I.  ∫₀^T sin nωt cos mωt dt = 0.   (50.11)

II.  ∫₀^T cos nωt cos mωt dt  ;   III.  ∫₀^T sin nωt sin mωt dt  =  { 0 nếu n ≠ m;  T/2 nếu n = m }.   (50.12)

IV.  f(t) = a₀ + Σ_n=1^∞ a_n cos nωt + Σ_n=1^∞ b_n sin nωt.   (50.13)

V.  a₀ = (1/T) ∫₀^T f(t) dt;   (50.14)   a_n = (2/T) ∫₀^T f(t)·cos nωt dt;   (50.15)   b_n = (2/T) ∫₀^T f(t)·sin nωt dt.   (50.16)

Trong các chương trước, việc dùng ký hiệu hàm mũ để biểu diễn chuyển động điều hòa đơn giản là thuận tiện. Thay vì cos ωt chúng ta đã dùng Re e^iωt, phần thực của hàm mũ. Chúng ta đã dùng các hàm cosin và sin trong chương này vì nó làm cho các phép suy ra có lẽ rõ ràng hơn một chút. Tuy nhiên, kết quả cuối cùng của chúng ta ở Phương trình (50.13) có thể được viết trong dạng gọn

f(t) = Re Σ_n=0^∞ â_ne^inωt,   (50.17)

trong đó â_n là số phức a_n − ib_n (với b₀ = 0). Nếu chúng ta muốn dùng cùng ký hiệu xuyên suốt, chúng ta cũng có thể viết

â_n = (2/T) ∫₀^T f(t)e^−inωt dt   (n ≥ 1).   (50.18)

Bây giờ chúng ta biết làm thế nào để “phân tích” một sóng tuần hoàn thành các thành phần họa âm của nó. Thủ tục được gọi là phân tích Fourier, và các số hạng riêng được gọi là các thành phần Fourier. Tuy nhiên, chúng ta chưa chỉ ra rằng một khi chúng ta tìm thấy mọi thành phần Fourier và cộng chúng lại với nhau, chúng ta thật sự thu lại được f(t) của mình. Các nhà toán học đã chỉ ra, đối với một lớp hàm rộng, trên thực tế đối với mọi hàm các nhà vật lý quan tâm, rằng nếu chúng ta có thể thực hiện các tích phân thì chúng ta sẽ thu lại được f(t). Có một ngoại lệ nhỏ. Nếu hàm f(t) là gián đoạn, tức là nếu nó nhảy đột ngột từ một giá trị sang một giá trị khác, tổng Fourier sẽ cho một giá trị tại điểm gãy nằm giữa giá trị trên và giá trị dưới tại chỗ gián đoạn. Vậy nếu chúng ta có hàm lạ f(t) = 0, 0 ≤ t < t₀, và f(t) = 1 đối với t₀ ≤ t ≤ T, tổng Fourier sẽ cho giá trị đúng ở mọi nơi ngoại trừ tại t₀, nơi nó sẽ có giá trị ½ thay vì 1. Dù sao việc khăng khăng rằng một hàm nên bằng không cho tới t₀, nhưng bằng 1 ngay tại t₀, cũng khá phi vật lý. Vậy có lẽ chúng ta nên lập “quy tắc” cho các nhà vật lý rằng bất kỳ hàm gián đoạn nào (vốn chỉ có thể là một sự đơn giản hóa của một hàm vật lý thật) nên được định nghĩa với các giá trị ở giữa tại các chỗ gián đoạn. Khi đó bất kỳ hàm nào như vậy — với bất kỳ số hữu hạn bước nhảy nào như vậy — cũng như mọi hàm thú vị về mặt vật lý khác, đều được cho đúng bởi tổng Fourier.

Như một bài tập, chúng tôi gợi ý bạn đọc xác định chuỗi Fourier cho hàm được chỉ ra trong Hình 50–3. Vì hàm không thể được viết trong một dạng đại số tường minh, bạn sẽ không thể thực hiện các tích phân từ không tới T theo cách thông thường. Tuy nhiên, các tích phân là dễ, nếu chúng ta tách chúng thành hai phần: tích phân từ không tới T/2 (trên đó f(t) = 1) và tích phân từ T/2 tới T (trên đó f(t) = −1). Kết quả nên là

f(t) = (4/π)(sin ωt + (1/3) sin 3ωt + (1/5) sin 5ωt + ⋯),   (50.19)

trong đó ω = 2π/T. Như vậy chúng ta tìm thấy rằng sóng vuông của chúng ta (với pha cụ thể đã chọn) chỉ có các họa âm lẻ, và biên độ của chúng tỉ lệ nghịch với tần số của chúng.

Hãy kiểm tra rằng Phương trình (50.19) thật sự cho chúng ta lại f(t) đối với một giá trị nào đó của t. Hãy chọn t = T/4, hay ωt = π/2. Chúng ta có

f(t) = (4/π)(sin (π/2) + (1/3) sin (3π/2) + (1/5) sin (5π/2) + ⋯)   (50.20)

= (4/π)(1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 ± ⋯).   (50.21)

Chuỗi¹ có giá trị π/4, và chúng ta tìm thấy rằng f(t) = 1.

50–5  Định lý năng lượng

Năng lượng trong một sóng tỉ lệ với bình phương của biên độ của nó. Đối với một sóng có hình dạng phức tạp, năng lượng trong một chu kỳ sẽ tỉ lệ với ∫₀^T f²(t) dt. Chúng ta cũng có thể liên hệ năng lượng này với các hệ số Fourier. Chúng ta viết

∫₀^T f²(t) dt = ∫₀^T [a₀ + Σ_n=1^∞ a_n cos nωt + Σ_n=1^∞ b_n sin nωt]² dt.   (50.22)

Khi chúng ta khai triển bình phương của số hạng trong ngoặc, chúng ta sẽ thu được mọi số hạng chéo có thể, chẳng hạn như a₅ cos 5ωt·a₇ cos 7ωt và a₅ cos 5ωt·b₇ sin 7ωt. Tuy nhiên, chúng ta đã chỉ ra ở trên [các Phương trình (50.11) và (50.12)] rằng tích phân của mọi số hạng như vậy trên một chu kỳ bằng không. Chúng ta chỉ còn lại các số hạng bình phương như a₅² cos² 5ωt. Tích phân của bất kỳ cosin bình phương hay sin bình phương nào trên một chu kỳ bằng T/2, vậy chúng ta thu được

∫₀^T f²(t) dt = Ta₀² + (T/2)(a₁² + a₂² + ⋯ + b₁² + b₂² + ⋯) = Ta₀² + (T/2) Σ_n=1^∞ (a_n² + b_n²).   (50.23)

Phương trình này được gọi là “định lý năng lượng”, và phát biểu rằng tổng năng lượng trong một sóng đúng là tổng của các năng lượng trong mọi thành phần Fourier. Chẳng hạn, áp dụng định lý này vào chuỗi (50.19), vì [f(t)]² = 1 chúng ta thu được

T = (T/2)·(4/π)²(1 + 1/3² + 1/5² + 1/7² + ⋯),

vậy chúng ta biết được rằng tổng của các bình phương của các nghịch đảo của các số nguyên lẻ là π²/8. Theo một cách tương tự, bằng cách trước hết thu được chuỗi Fourier cho hàm f(t) = (t − T/2)² và dùng định lý năng lượng, chúng ta có thể chứng minh rằng 1 + 1/2⁴ + 1/3⁴ + ⋯ là π⁴/90, một kết quả chúng ta đã cần trong Chương 45.

50–6  Đáp ứng phi tuyến

Cuối cùng, trong lý thuyết về các họa âm có một hiện tượng quan trọng nên được nhắc đến vì tầm quan trọng thực tiễn của nó — đó là các hiệu ứng phi tuyến. Trong mọi hệ chúng ta đã xét cho đến nay, chúng ta đã giả thiết rằng mọi thứ đều tuyến tính, rằng các đáp ứng đối với các lực, chẳng hạn các độ dịch chuyển hay các gia tốc, luôn tỉ lệ với các lực. Hay rằng các dòng điện trong các mạch tỉ lệ với các điện áp, và cứ như vậy. Bây giờ chúng ta muốn xét các trường hợp trong đó không có một sự tỉ lệ chặt chẽ. Lúc này chúng ta nghĩ tới một thiết bị nào đó trong đó đáp ứng, mà chúng ta sẽ gọi là x_out tại thời điểm t, được xác định bởi đầu vào x_in tại thời điểm t. Chẳng hạn, x_in có thể là lực và x_out có thể là độ dịch chuyển. Hay x_in có thể là dòng điện và x_out là điện áp. Nếu thiết bị là tuyến tính, chúng ta sẽ có

x_out(t) = Kx_in(t),   (50.24)

trong đó K là một hằng số không phụ thuộc vào t và vào x_in. Tuy nhiên, giả sử thiết bị gần như, nhưng không đúng là, tuyến tính, sao cho chúng ta có thể viết

x_out(t) = K[x_in(t) + ϵx_in²(t)],   (50.25)

trong đó ϵ nhỏ so với một. Các đáp ứng tuyến tính và phi tuyến như vậy được chỉ ra trong các đồ thị của Hình 50–4.

Các đáp ứng phi tuyến có một số hệ quả thực tiễn quan trọng. Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận một số trong chúng. Trước hết chúng ta xét điều gì xảy ra nếu chúng ta áp dụng một âm thuần ở đầu vào. Chúng ta đặt x_in = cos ωt. Nếu chúng ta vẽ x_out theo thời gian, chúng ta thu được đường cong liền nét được chỉ ra trong Hình 50–5. Đường cong đứt nét cho, để so sánh, đáp ứng của một hệ tuyến tính. Chúng ta thấy rằng đầu ra không còn là một hàm cosin nữa. Nó nhọn hơn ở đỉnh và phẳng hơn ở đáy. Chúng ta nói rằng đầu ra bị méo. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng một sóng như vậy không còn là một âm thuần nữa, rằng nó sẽ có các họa âm. Chúng ta có thể tìm ra các họa âm là gì. Dùng x_in = cos ωt với Phương trình (50.25), chúng ta có

x_out(t) = K(cos ωt + ϵ cos² ωt).   (50.26)

Từ đẳng thức cos² θ = ½(1 + cos 2θ), chúng ta có

x_out(t) = K(cos ωt + ϵ/2 + (ϵ/2) cos 2ωt).   (50.27)

Đầu ra không chỉ có một thành phần ở tần số cơ bản, tần số đã có mặt ở đầu vào, mà còn có một ít họa âm thứ hai của nó. Ở đầu ra cũng đã xuất hiện một số hạng hằng số K(ϵ/2), tương ứng với sự dịch chuyển của giá trị trung bình, được chỉ ra trong Hình 50–5. Quá trình tạo ra một sự dịch chuyển của giá trị trung bình được gọi là chỉnh lưu.

Một đáp ứng phi tuyến sẽ chỉnh lưu và sẽ tạo ra các họa âm của các tần số ở đầu vào của nó. Mặc dù tính phi tuyến chúng ta đã giả thiết chỉ tạo ra các họa âm thứ hai, các tính phi tuyến bậc cao hơn — những tính phi tuyến có các số hạng như x_in³ và x_in⁴, chẳng hạn — sẽ tạo ra các họa âm cao hơn thứ hai.

Một hiệu ứng khác xuất phát từ một đáp ứng phi tuyến là điều biến. Nếu hàm đầu vào của chúng ta chứa hai (hay nhiều) âm thuần, đầu ra sẽ không chỉ có các họa âm của chúng, mà còn có các thành phần tần số khác nữa. Đặt x_in = A cos ω₁t + B cos ω₂t, trong đó bây giờ ω₁ và ω₂ không được dự định ở trong một quan hệ họa âm. Ngoài số hạng tuyến tính (bằng K nhân với đầu vào) chúng ta sẽ có một thành phần trong đầu ra được cho bởi

x_out = Kϵ(A cos ω₁t + B cos ω₂t)²   (50.28)

= Kϵ(A² cos² ω₁t + B² cos² ω₂t + 2AB cos ω₁t cos ω₂t).   (50.29)

Hai số hạng đầu tiên trong các dấu ngoặc của Phương trình (50.29) đúng là những số hạng đã cho ra các số hạng hằng số và các số hạng họa âm thứ hai chúng ta đã tìm thấy ở trên. Số hạng cuối cùng là mới.

Chúng ta có thể nhìn vào “số hạng chéo” mới này AB cos ω₁t cos ω₂t theo hai cách. Trước hết, nếu hai tần số rất khác nhau (chẳng hạn, nếu ω₁ lớn hơn nhiều so với ω₂) chúng ta có thể coi rằng số hạng chéo biểu diễn một dao động cosin có biên độ biến thiên. Nghĩa là, chúng ta có thể nghĩ về các thừa số theo cách này:

AB cos ω₁t cos ω₂t = C(t) cos ω₁t,   (50.30)

với

C(t) = AB cos ω₂t.   (50.31)

Chúng ta nói rằng biên độ của cos ω₁t được điều biến với tần số ω₂.

Cách khác, chúng ta có thể viết số hạng chéo theo một cách khác:

AB cos ω₁t cos ω₂t = (AB/2)[cos (ω₁ + ω₂)t + cos (ω₁ − ω₂)t].   (50.32)

Khi đó chúng ta sẽ nói rằng hai thành phần mới đã được tạo ra, một thành phần ở tần số tổng (ω₁ + ω₂), một thành phần khác ở tần số hiệu (ω₁ − ω₂).

Chúng ta có hai cách nhìn khác nhau, nhưng tương đương, về cùng một kết quả. Trong trường hợp đặc biệt ω₁ ≫ ω₂, chúng ta có thể liên hệ hai cách nhìn khác nhau này bằng cách nhận xét rằng vì (ω₁ + ω₂) và (ω₁ − ω₂) gần nhau nên chúng ta sẽ kỳ vọng quan sát thấy các phách giữa chúng. Nhưng các phách này đúng có hiệu ứng điều biến biên độ của tần số trung bình ω₁ bởi một nửa tần số hiệu 2ω₂. Khi đó chúng ta thấy vì sao hai mô tả là tương đương.

Tóm lại, chúng ta đã tìm thấy rằng một đáp ứng phi tuyến tạo ra một số hiệu ứng: chỉnh lưu, tạo ra các họa âm, và điều biến, hay việc tạo ra các thành phần có các tần số tổng và hiệu.

Chúng ta nên lưu ý rằng mọi hiệu ứng này (Phương trình 50.29) tỉ lệ không chỉ với hệ số phi tuyến ϵ, mà còn với tích của hai biên độ — hoặc A², B², hay AB. Chúng ta kỳ vọng các hiệu ứng này quan trọng hơn nhiều đối với các tín hiệu mạnh so với các tín hiệu yếu.

Các hiệu ứng chúng ta đã mô tả có nhiều ứng dụng thực tiễn. Trước hết, đối với âm thanh, người ta tin rằng tai là phi tuyến. Điều này được tin là giải thích cho sự kiện rằng với các âm thanh to, chúng ta có cảm giác rằng mình nghe thấy các họa âm và cả các tần số tổng và hiệu ngay cả khi các sóng âm chỉ chứa các âm thuần.

Các thành phần được dùng trong thiết bị tái tạo âm thanh — các bộ khuếch đại, loa, v.v. — luôn có một ít tính phi tuyến. Chúng tạo ra các biến dạng trong âm thanh — chúng tạo ra các họa âm, v.v. — vốn không có mặt trong âm thanh gốc. Các thành phần mới này được tai nghe thấy và rõ ràng gây khó chịu. Chính vì lý do này thiết bị “Hi-Fi” được thiết kế để càng tuyến tính càng tốt. (Tại sao các tính phi tuyến của tai lại không “gây khó chịu” theo cùng một cách, hay làm thế nào chúng ta thậm chí biết rằng tính phi tuyến là ở loa chứ không phải ở tai, thì không rõ!)

Các tính phi tuyến là khá cần thiết, và trên thực tế, được cố ý làm cho lớn trong một số bộ phận nhất định của thiết bị phát và thu vô tuyến. Trong một máy phát AM, tín hiệu “tiếng nói” (với các tần số khoảng một số kilô chu kỳ trên giây) được tổ hợp với tín hiệu “sóng mang” (với một tần số khoảng một số mêga chu kỳ trên giây) trong một mạch phi tuyến được gọi là một bộ điều biến, để tạo ra dao động đã điều biến được truyền đi. Trong máy thu, các thành phần của tín hiệu đã thu được đưa vào một mạch phi tuyến, mạch này tổ hợp các tần số tổng và hiệu của sóng mang đã điều biến để lại tạo ra tín hiệu tiếng nói.

Khi chúng ta thảo luận sự truyền ánh sáng, chúng ta đã giả thiết rằng các dao động cảm ứng của các điện tích tỉ lệ với điện trường của ánh sáng — rằng đáp ứng là tuyến tính. Đó quả thật là một phép gần đúng rất tốt. Chỉ trong vài năm gần đây các nguồn sáng mới được chế tạo (các laser) tạo ra một cường độ ánh sáng đủ mạnh để các hiệu ứng phi tuyến có thể được quan sát. Bây giờ người ta có thể tạo ra các họa âm của các tần số ánh sáng. Khi một ánh sáng đỏ mạnh đi qua một miếng thủy tinh, một ít ánh sáng xanh lam — họa âm thứ hai — đi ra!