Chương 7: Sự phụ thuộc của các biên độ vào thời gian

7–1  Các nguyên tử đứng yên; các trạng thái dừng

Bây giờ chúng ta muốn nói một chút về hành vi của các biên độ xác suất theo thời gian. Chúng ta nói “một chút”, vì hành vi thực tế theo thời gian nhất thiết liên quan đến hành vi trong không gian nữa. Vì vậy, chúng ta ngay lập tức rơi vào tình huống phức tạp nhất có thể nếu chúng ta phải làm nó một cách đúng đắn và chi tiết. Chúng ta luôn ở trong khó khăn là hoặc chúng ta có thể xử lý một cái gì đó theo một cách chặt chẽ về mặt logic nhưng khá trừu tượng, hoặc chúng ta có thể làm một cái gì đó không hề chặt chẽ nhưng cho chúng ta một ý niệm nào đó về một tình huống thực — hoãn lại một cách xử lý cẩn thận hơn tới sau. Về sự phụ thuộc vào năng lượng, chúng ta sẽ đi theo con đường thứ hai. Chúng ta sẽ đưa ra một số phát biểu. Chúng ta sẽ không cố chặt chẽ — mà sẽ chỉ cho các bạn biết những điều đã được tìm ra, để cho các bạn một cảm giác về hành vi của các biên độ như một hàm của thời gian. Khi chúng ta tiến triển, độ chính xác của sự mô tả sẽ tăng lên, vì vậy đừng lo lắng rằng chúng ta dường như đang lôi các thứ ra từ không khí. Dĩ nhiên, tất cả đều ra từ không khí — không khí của thực nghiệm và của trí tưởng tượng của con người. Nhưng sẽ mất quá nhiều thời gian để chúng ta đi qua sự phát triển lịch sử, vì vậy chúng ta phải lao vào ở đâu đó. Chúng ta có thể lao vào cái trừu tượng và suy ra mọi thứ — điều mà bạn sẽ không hiểu — hoặc chúng ta có thể đi qua một số lượng lớn các thí nghiệm để biện minh cho mỗi phát biểu. Chúng ta chọn làm một cái gì đó ở giữa.

Một electron một mình trong không gian trống có thể, trong một số hoàn cảnh nhất định, có một năng lượng xác định nào đó. Chẳng hạn, nếu nó đang đứng yên (vì vậy nó không có chuyển động tịnh tiến, không có động lượng, hay động năng), nó có năng lượng nghỉ của nó. Một vật phức tạp hơn như một nguyên tử cũng có thể có một năng lượng xác định khi đứng yên, nhưng nó cũng có thể bị kích thích bên trong tới một mức năng lượng khác. (Chúng ta sẽ mô tả bộ máy của điều này sau.) Chúng ta thường có thể nghĩ một nguyên tử trong một trạng thái kích thích là có một năng lượng xác định, nhưng điều này thực sự chỉ đúng một cách gần đúng. Một nguyên tử không ở trạng thái kích thích mãi mãi vì nó tìm cách xả năng lượng của nó bằng tương tác của nó với trường điện từ. Vì vậy có một biên độ nào đó rằng một trạng thái mới được tạo ra — với nguyên tử ở một trạng thái thấp hơn, và trường điện từ ở một trạng thái cao hơn, của sự kích thích. Năng lượng tổng của hệ là như nhau trước và sau, nhưng năng lượng của nguyên tử bị giảm. Vì vậy không chính xác khi nói một nguyên tử kích thích có một năng lượng xác định; nhưng thường sẽ tiện lợi và không quá sai khi nói rằng nó có.

[Nhân tiện, tại sao nó đi theo một chiều thay vì chiều kia? Tại sao một nguyên tử phát ra ánh sáng? Đáp án liên quan đến entropy. Khi năng lượng ở trong trường điện từ, có rất nhiều cách khác nhau nó có thể ở — rất nhiều nơi khác nhau nó có thể lang thang tới — đến mức nếu chúng ta tìm điều kiện cân bằng, chúng ta thấy rằng trong tình huống có khả năng nhất, trường bị kích thích với một photon, và nguyên tử bị khử kích thích. Phải mất một thời gian rất dài để photon quay trở lại và thấy rằng nó có thể đá nguyên tử quay lên trở lại. Nó khá tương tự với bài toán cổ điển: Tại sao một điện tích gia tốc lại bức xạ? Không phải nó “muốn” mất năng lượng, vì, thực ra, khi nó bức xạ, năng lượng của thế giới vẫn như trước. Bức xạ hay hấp thụ đi theo hướng tăng entropy.]

Các hạt nhân cũng có thể tồn tại ở các mức năng lượng khác nhau, và trong một phép gần đúng vốn bỏ qua các hiệu ứng điện từ, chúng ta có thể nói rằng một hạt nhân trong một trạng thái kích thích ở lại đó. Mặc dù chúng ta biết rằng nó không ở lại đó mãi mãi, thường hữu ích khi bắt đầu với một phép gần đúng có phần lý tưởng hóa và dễ nghĩ hơn. Ngoài ra nó thường là một phép gần đúng hợp lệ trong một số hoàn cảnh nhất định. (Khi chúng ta lần đầu giới thiệu các định luật cổ điển của một vật rơi, chúng ta đã không bao gồm ma sát, nhưng hầu như không bao giờ có một trường hợp nào mà không có một ít ma sát.)

Sau đó có các “hạt lạ” hạ hạt nhân, vốn có các khối lượng khác nhau. Nhưng các hạt nặng hơn phân rã thành các hạt nhẹ khác, vì vậy một lần nữa không đúng khi nói rằng chúng có một năng lượng xác định chính xác. Điều đó sẽ đúng chỉ nếu chúng tồn tại mãi mãi. Vì vậy khi chúng ta thực hiện phép gần đúng rằng chúng có một năng lượng xác định, chúng ta đang quên sự kiện là chúng phải nổ tung. Vậy thì, vào lúc này, chúng ta sẽ cố tình quên các quá trình như vậy và học sau cách tính đến chúng.

Giả sử chúng ta có một nguyên tử — hoặc một electron, hoặc bất kỳ hạt nào — mà khi đứng yên sẽ có một năng lượng xác định E₀. Bởi năng lượng E₀ chúng ta muốn nói khối lượng của toàn bộ vật nhân với c². Khối lượng này bao gồm bất kỳ năng lượng nội tại nào; vì vậy một nguyên tử kích thích có một khối lượng khác với khối lượng của cùng nguyên tử đó trong trạng thái cơ bản. (Trạng thái cơ bản có nghĩa là trạng thái có năng lượng thấp nhất.) Chúng ta sẽ gọi E₀ là “năng lượng nghỉ”.

Đối với một nguyên tử đứng yên, biên độ cơ học lượng tử để tìm một nguyên tử tại một nơi là như nhau ở khắp mọi nơi; nó không phụ thuộc vào vị trí. Điều này có nghĩa là, dĩ nhiên, xác suất tìm thấy nguyên tử ở bất cứ đâu là như nhau. Nhưng nó còn có nghĩa hơn thế. Xác suất có thể không phụ thuộc vào vị trí, và vẫn pha của biên độ có thể biến đổi từ điểm này tới điểm khác. Nhưng đối với một hạt đứng yên, biên độ đầy đủ là giống hệt nhau ở khắp mọi nơi. Tuy nhiên, nó phụ thuộc vào thời gian. Đối với một hạt trong một trạng thái có năng lượng xác định E₀, biên độ để tìm hạt tại (x, y, z) tại thời điểm t là

a e^{−i(E₀/ℏ)t},   (7.1)

trong đó a là một hằng số nào đó. Biên độ để ở tại bất kỳ điểm nào trong không gian là như nhau đối với mọi điểm, nhưng phụ thuộc vào thời gian theo (7.1). Chúng ta sẽ đơn giản giả thiết quy tắc này là đúng.

Dĩ nhiên, chúng ta cũng có thể viết (7.1) dưới dạng

a e^−iωt,   (7.2)

với

ℏω = E₀ = Mc²,

trong đó M là khối lượng nghỉ của trạng thái nguyên tử, hoặc hạt. Có ba cách khác nhau để chỉ định năng lượng: bởi tần số của một biên độ, bởi năng lượng theo nghĩa cổ điển, hoặc bởi quán tính. Chúng đều tương đương; chúng chỉ là các cách khác nhau để nói cùng một thứ.

Bạn có thể đang nghĩ rằng thật lạ khi nghĩ về một “hạt” vốn có các biên độ bằng nhau để được tìm thấy trong khắp không gian. Xét cho cùng, chúng ta thường tưởng tượng một “hạt” như một vật nhỏ nằm ở “đâu đó”. Nhưng đừng quên nguyên lý bất định. Nếu một hạt có một năng lượng xác định, nó cũng có một động lượng xác định. Nếu độ bất định trong động lượng bằng không, quan hệ bất định, Δp Δx = ℏ, cho chúng ta biết rằng độ bất định trong vị trí phải là vô hạn, và đó đúng là điều chúng ta đang nói khi chúng ta nói rằng có cùng một biên độ để tìm hạt tại mọi điểm trong không gian.

Nếu các bộ phận bên trong của một nguyên tử ở trong một trạng thái khác với một năng lượng tổng khác, thì sự biến đổi của biên độ theo thời gian là khác. Nếu bạn không biết nó ở trong trạng thái nào, sẽ có một biên độ nào đó để ở trong một trạng thái và một biên độ nào đó để ở trong một trạng thái khác — và mỗi biên độ này sẽ có một tần số khác nhau. Sẽ có một sự giao thoa giữa các thành phần khác nhau này — như một nốt phách — vốn có thể thể hiện dưới dạng một xác suất biến đổi. Một cái gì đó sẽ “đang xảy ra” bên trong nguyên tử — mặc dù nó “đứng yên” theo nghĩa là khối tâm của nó không trôi đi. Tuy nhiên, nếu nguyên tử có một năng lượng xác định, biên độ được cho bởi (7.1), và bình phương tuyệt đối của biên độ này không phụ thuộc vào thời gian. Vậy bạn thấy rằng nếu một vật có một năng lượng xác định và nếu bạn hỏi bất kỳ câu hỏi xác suất nào về nó, đáp án không phụ thuộc vào thời gian. Mặc dù các biên độ biến đổi theo thời gian, nếu năng lượng là xác định, chúng biến đổi như một hàm mũ ảo, và giá trị tuyệt đối không thay đổi.

Đó là lý do chúng ta thường nói rằng một nguyên tử trong một mức năng lượng xác định ở trong một trạng thái dừng. Nếu bạn thực hiện bất kỳ phép đo nào về các thứ bên trong, bạn sẽ thấy rằng không có gì (về xác suất) sẽ thay đổi theo thời gian. Để các xác suất thay đổi theo thời gian, chúng ta phải có sự giao thoa của hai biên độ ở hai tần số khác nhau, và điều đó có nghĩa là chúng ta không thể biết năng lượng là gì. Vật sẽ có một biên độ để ở trong một trạng thái có một năng lượng và một biên độ khác để ở trong một trạng thái có một năng lượng khác. Đó là sự mô tả cơ học lượng tử của một cái gì đó khi hành vi của nó phụ thuộc vào thời gian.

Nếu chúng ta có một “điều kiện” vốn là một hỗn hợp của hai trạng thái khác nhau với các năng lượng khác nhau, thì biên độ cho mỗi trạng thái trong hai trạng thái biến đổi theo thời gian theo phương trình (7.2), chẳng hạn, như

e^{−i(E₁/ℏ)t}   và   e^{−i(E₂/ℏ)t}.   (7.3)

Và nếu chúng ta có một tổ hợp nào đó của cả hai, chúng ta sẽ có một sự giao thoa. Nhưng hãy để ý rằng nếu chúng ta cộng một hằng số vào cả hai năng lượng, nó sẽ không tạo ra sự khác biệt nào. Nếu một người khác dùng một thang năng lượng khác trong đó mọi năng lượng đều được tăng (hoặc giảm) một lượng không đổi — chẳng hạn, một lượng A — thì các biên độ trong hai trạng thái sẽ, theo quan điểm của anh ta, là

e^{−i(E₁+A)t/ℏ}   và   e^{−i(E₂+A)t/ℏ}.   (7.4)

Mọi biên độ của anh ta sẽ được nhân với cùng một thừa số e^−i(A/ℏ)t, và mọi tổ hợp tuyến tính, hay giao thoa, sẽ có cùng thừa số đó. Khi chúng ta lấy bình phương tuyệt đối để tìm các xác suất, mọi đáp án sẽ như nhau. Việc chọn một gốc cho thang năng lượng của chúng ta không tạo ra sự khác biệt nào; chúng ta có thể đo năng lượng từ bất kỳ điểm không nào chúng ta muốn. Đối với các mục đích tương đối tính, thật tốt khi đo năng lượng sao cho khối lượng nghỉ được bao gồm, nhưng đối với nhiều mục đích không tương đối tính, thường tốt khi trừ một lượng chuẩn nào đó khỏi mọi năng lượng xuất hiện. Chẳng hạn, trong trường hợp của một nguyên tử, thường tiện lợi khi trừ năng lượng M_sc², trong đó M_s là khối lượng của mọi bộ phận riêng lẻ — hạt nhân và các electron — vốn, dĩ nhiên, khác với khối lượng của nguyên tử. Đối với các bài toán khác, có thể hữu ích khi trừ khỏi mọi năng lượng lượng M_gc², trong đó M_g là khối lượng của toàn bộ nguyên tử trong trạng thái cơ bản; khi đó năng lượng xuất hiện đúng là năng lượng kích thích của nguyên tử. Vì vậy, đôi khi chúng ta có thể dịch điểm không của năng lượng của mình một hằng số rất lớn nào đó, nhưng nó không tạo ra sự khác biệt nào, miễn là chúng ta dịch mọi năng lượng trong một phép tính cụ thể cùng một hằng số. Tới đây là về một hạt đang đứng yên.

7–2  Chuyển động đều

Nếu chúng ta giả sử rằng thuyết tương đối là đúng, một hạt đứng yên trong một hệ quán tính có thể đang chuyển động đều trong một hệ quán tính khác. Trong hệ quy chiếu nghỉ của hạt, biên độ xác suất là như nhau đối với mọi x, y, và z nhưng biến đổi theo t. Độ lớn của biên độ là như nhau đối với mọi t, nhưng pha phụ thuộc vào t. Chúng ta có thể có một hình dung nào đó về hành vi của biên độ nếu chúng ta vẽ các đường có pha bằng nhau — chẳng hạn, các đường có pha bằng không — như một hàm của x và t. Đối với một hạt đứng yên, các đường đẳng pha này song song với trục x và cách đều nhau theo tọa độ t, như được chỉ bởi các đường đứt nét trong Hình 7–1.

Trong một hệ khác — x′, y′, z′, t′ — vốn đang chuyển động so với hạt theo, chẳng hạn, hướng x, các tọa độ x′ và t′ của bất kỳ điểm cụ thể nào trong không gian liên hệ với x và t bởi phép biến đổi Lorentz. Phép biến đổi này có thể được biểu diễn bằng đồ thị bằng cách vẽ các trục x′ và t′, như được làm trong Hình 7–1. (Xem Chương 17, Tập I, Hình 17–2.) Bạn có thể thấy rằng trong hệ x′–t′, các điểm có pha bằng nhau¹ có một khoảng cách khác nhau dọc theo trục t′, vì vậy tần số của sự biến đổi theo thời gian là khác nhau. Ngoài ra có một sự biến đổi của pha theo x′, vì vậy biên độ xác suất phải là một hàm của x′.

Dưới một phép biến đổi Lorentz cho vận tốc v, chẳng hạn dọc theo hướng x âm, thời gian t liên hệ với thời gian t′ bởi

t = (t′ − x′v/c²) / √(1 − v²/c²),

vì vậy biên độ của chúng ta bây giờ biến đổi như

e^{−(i/ℏ)E₀t} = e^{−(i/ℏ)(E₀t′/√(1−v2/c2) − E₀vx′/c2√(1−v2/c2))}.

Trong hệ có dấu phẩy nó biến đổi trong không gian cũng như trong thời gian. Nếu chúng ta viết biên độ dưới dạng

e^{−(i/ℏ)(E_p′t′ − p′x′)},

chúng ta thấy rằng E_p′ = E₀/√(1 − v²/c²) là năng lượng được tính theo cách cổ điển cho một hạt có năng lượng nghỉ E₀ di chuyển với vận tốc v, và p′ = E_p′v/c² là động lượng hạt tương ứng.

Bạn biết rằng x_μ = (ct, x, y, z) và p_μ = (E/c, p_x, p_y, p_z) là các bốn-vectơ, và rằng p_μx_μ = Et − p·x là một bất biến vô hướng. Trong hệ quy chiếu nghỉ của hạt, p_μx_μ đúng là Et; vì vậy nếu chúng ta biến đổi sang một hệ khác, Et sẽ được thay bởi

E′t′ − p′·x′.

Như vậy, biên độ xác suất của một hạt vốn có động lượng p sẽ tỉ lệ với

e^{−(i/ℏ)(E_pt − p·x)},   (7.5)

trong đó E_p là năng lượng của hạt mà động lượng của nó là p, tức là,

E_p = √((pc)² + E₀²),   (7.6)

trong đó E₀ là, như trước, năng lượng nghỉ. Đối với các bài toán phi tương đối tính, chúng ta có thể viết

E_p = M_sc² + W_p,   (7.7)

trong đó W_p là năng lượng vượt quá năng lượng nghỉ M_sc² của các bộ phận của nguyên tử. Nói chung, W_p sẽ bao gồm cả động năng của nguyên tử lẫn năng lượng liên kết hay kích thích của nó, mà chúng ta có thể gọi là năng lượng “nội tại”. Chúng ta sẽ viết

W_p = W_nội + p²/2M,   (7.8)

và các biên độ sẽ là

e^{−(i/ℏ)(W_pt − p·x)}.   (7.9)

Vì chúng ta nói chung sẽ thực hiện các phép tính phi tương đối tính, chúng ta sẽ dùng dạng này cho các biên độ xác suất.

Hãy để ý rằng phép biến đổi tương đối tính của chúng ta đã cho chúng ta sự biến đổi của biên độ của một nguyên tử vốn chuyển động trong không gian mà không cần bất kỳ giả thiết phụ nào. Số sóng của các biến đổi trong không gian là, từ (7.9),

k = p/ℏ;   (7.10)

vì vậy bước sóng là

λ = 2π/k = h/p.   (7.11)

Đây là cùng một bước sóng chúng ta đã dùng trước đây cho các hạt có động lượng p. Công thức này lần đầu tiên được de Broglie đạt tới theo đúng cách này. Đối với một hạt chuyển động, tần số của các biến đổi biên độ vẫn được cho bởi

ℏω = W_p.   (7.12)

Bình phương tuyệt đối của (7.9) đúng bằng 1, vì vậy đối với một hạt chuyển động với một năng lượng xác định, xác suất tìm thấy nó là như nhau ở khắp mọi nơi và không thay đổi theo thời gian. (Điều quan trọng là để ý rằng biên độ là một sóng phức. Nếu chúng ta dùng một sóng sin thực, bình phương sẽ biến đổi từ điểm này tới điểm khác, điều đó sẽ không đúng.)

Chúng ta biết, dĩ nhiên, rằng có các tình huống trong đó các hạt di chuyển từ nơi này tới nơi khác sao cho xác suất phụ thuộc vào vị trí và thay đổi theo thời gian. Chúng ta mô tả các tình huống như vậy như thế nào? Chúng ta có thể làm điều đó bằng cách xét các biên độ là một chồng chập của hai hoặc nhiều biên độ cho các trạng thái có năng lượng xác định. Chúng ta đã thảo luận tình huống này trong Chương 48 của Tập I — ngay cả đối với các biên độ xác suất! Chúng ta đã thấy rằng tổng của hai biên độ với các số sóng k khác nhau (tức là, các động lượng) và các tần số ω khác nhau (tức là, các năng lượng) cho các bướu giao thoa, hay các phách, sao cho bình phương của biên độ biến đổi theo không gian và thời gian. Chúng ta cũng đã thấy rằng các phách này di chuyển với cái gọi là “vận tốc nhóm” được cho bởi

v_g = Δω/Δk,

trong đó Δk và Δω là các hiệu số giữa các số sóng và các tần số đối với hai sóng. Đối với các sóng phức tạp hơn — tạo thành từ tổng của nhiều biên độ tất cả gần cùng một tần số — vận tốc nhóm là

v_g = dω/dk.   (7.13)

Lấy ω = E_p/ℏ và k = p/ℏ, chúng ta thấy rằng

v_g = dE_p/dp.   (7.14)

Dùng phương trình (7.6), chúng ta có

dE_p/dp = c² p/E_p.   (7.15)

Ở các tốc độ phi tương đối tính E_p ≈ Mc², vì vậy

dE_p/dp = p/M,   (7.16)

vốn đúng là vận tốc cổ điển của hạt. Hoặc, nếu chúng ta dùng các biểu thức phi tương đối tính các phương trình (7.7) và (7.8), chúng ta có

ω = W_p/ℏ   và   k = p/ℏ,

và

dω/dk = dW_p/dp = d/dp (p²/2M) = p/M,   (7.17)

vốn lại là vận tốc cổ điển.

Vậy thì, kết quả của chúng ta là nếu chúng ta có nhiều biên độ cho các trạng thái năng lượng thuần túy có năng lượng gần như nhau, sự giao thoa của chúng cho các “cục” trong xác suất vốn di chuyển qua không gian với một vận tốc bằng vận tốc của một hạt cổ điển có năng lượng đó. Tuy nhiên, chúng ta nên nhận xét rằng khi chúng ta nói chúng ta có thể cộng hai biên độ có số sóng khác nhau lại với nhau để có một nốt phách tương ứng với một hạt chuyển động, chúng ta đã đưa vào một cái gì đó mới — một cái gì đó chúng ta không thể suy ra từ thuyết tương đối. Chúng ta đã nói biên độ làm gì đối với một hạt đang đứng yên và sau đó suy ra nó sẽ làm gì nếu hạt đang chuyển động. Nhưng chúng ta không thể suy ra từ các lập luận này điều gì sẽ xảy ra khi có hai sóng chuyển động với các tốc độ khác nhau. Nếu chúng ta dừng một sóng, chúng ta không thể dừng sóng kia. Vì vậy chúng ta đã ngầm thêm giả thiết phụ rằng không chỉ (7.9) là một nghiệm có thể, mà còn có thể có các nghiệm với mọi loại p cho cùng một hệ, và rằng các số hạng khác nhau sẽ giao thoa.

7–3  Thế năng; bảo toàn năng lượng

Bây giờ chúng ta muốn thảo luận điều gì xảy ra khi năng lượng của một hạt có thể thay đổi. Chúng ta bắt đầu bằng cách nghĩ về một hạt vốn chuyển động trong một trường lực được mô tả bởi một thế. Chúng ta thảo luận trước hết hiệu ứng của một thế không đổi. Giả sử chúng ta có một chiếc lon kim loại lớn mà chúng ta đã nâng lên một điện thế tĩnh điện φ nào đó, như trong Hình 7–2. Nếu có các vật tích điện bên trong lon, thế năng của chúng sẽ là qφ, mà chúng ta sẽ gọi là V, và sẽ hoàn toàn không phụ thuộc vào vị trí. Khi đó không thể có sự thay đổi nào trong vật lý bên trong, vì thế không đổi không tạo ra sự khác biệt nào đối với bất cứ thứ gì đang xảy ra bên trong lon. Bây giờ không có cách nào chúng ta có thể suy ra đáp án nên là gì, vì vậy chúng ta phải đưa ra một phỏng đoán. Phỏng đoán đúng là, ít nhiều, điều bạn có thể kỳ vọng: Đối với năng lượng, chúng ta phải dùng tổng của thế năng V và năng lượng E_p — vốn tự nó là tổng của các năng lượng nội tại và động năng. Biên độ tỉ lệ với

e^{−(i/ℏ)[(E_p+V)t − p·x]}.   (7.18)

Nguyên lý tổng quát là hệ số của t, mà chúng ta có thể gọi là ω, luôn được cho bởi năng lượng tổng của hệ: năng lượng nội tại (hay “khối lượng”), cộng với động năng, cộng với thế năng:

ℏω = E_p + V.   (7.19)

Hoặc, đối với các tình huống phi tương đối tính,

ℏω = W_nội + p²/2M + V.   (7.20)

Bây giờ còn các hiện tượng vật lý bên trong hộp thì sao? Nếu có nhiều trạng thái năng lượng khác nhau, chúng ta sẽ nhận được gì? Biên độ cho mỗi trạng thái có cùng một thừa số phụ

e^−(i/ℏ)Vt

so với cái nó sẽ có với V = 0. Điều đó đúng như một sự thay đổi điểm không của thang năng lượng của chúng ta. Nó tạo ra một thay đổi pha bằng nhau trong mọi biên độ, nhưng như chúng ta đã thấy trước đây, điều này không thay đổi bất kỳ xác suất nào. Mọi hiện tượng vật lý đều như nhau. (Chúng ta đã giả thiết rằng chúng ta đang nói về các trạng thái khác nhau của cùng một vật tích điện, sao cho qφ là như nhau đối với tất cả. Nếu một vật có thể thay đổi điện tích của nó khi đi từ một trạng thái này sang một trạng thái khác, chúng ta sẽ có một kết quả hoàn toàn khác, nhưng sự bảo toàn điện tích ngăn cản điều này.)

Cho đến nay, giả thiết của chúng ta khớp với điều chúng ta sẽ kỳ vọng đối với một sự thay đổi mức tham chiếu năng lượng. Nhưng nếu nó thực sự đúng, nó nên đúng đối với một thế năng không chỉ là một hằng số. Nói chung, V có thể biến đổi theo bất kỳ cách tùy ý nào theo cả thời gian và không gian, và kết quả đầy đủ cho biên độ phải được cho theo một phương trình vi phân. Chúng ta không muốn quan tâm tới trường hợp tổng quát ngay lúc này, mà chỉ muốn có một ý niệm nào đó về cách một số thứ xảy ra, vì vậy chúng ta sẽ chỉ nghĩ về một thế vốn không đổi theo thời gian và biến đổi rất chậm trong không gian. Khi đó chúng ta có thể thực hiện một sự so sánh giữa các ý tưởng cổ điển và lượng tử.

Giả sử chúng ta nghĩ về tình huống trong Hình 7–3, vốn có hai hộp được giữ ở các điện thế không đổi φ₁ và φ₂ và một miền ở giữa, nơi chúng ta sẽ giả thiết rằng điện thế biến đổi một cách trơn tru từ thế này sang thế kia. Chúng ta tưởng tượng rằng một hạt nào đó có một biên độ để được tìm thấy trong bất kỳ miền nào trong các miền. Chúng ta cũng giả thiết rằng động lượng đủ lớn sao cho trong bất kỳ miền nhỏ nào, trong đó có nhiều bước sóng, thế gần như không đổi. Khi đó chúng ta sẽ nghĩ rằng trong bất kỳ phần nào của không gian, biên độ nên trông như (7.18) với V thích hợp cho phần đó của không gian.

Hãy nghĩ về một trường hợp đặc biệt trong đó φ₁ = 0, sao cho thế năng ở đó bằng không, nhưng trong đó qφ₂ là âm, sao cho theo cách cổ điển hạt sẽ có nhiều năng lượng hơn trong hộp thứ hai. Theo cách cổ điển, nó sẽ đi nhanh hơn trong hộp thứ hai — nó sẽ có nhiều năng lượng hơn và, do đó, nhiều động lượng hơn. Hãy xem điều đó có thể xuất phát từ cơ học lượng tử như thế nào.

Với giả thiết của chúng ta, biên độ trong hộp thứ nhất sẽ tỉ lệ với

e^{−(i/ℏ)[(W_nội + p₁2/2M + V₁)t − p₁·x]},   (7.21)

và biên độ trong hộp thứ hai sẽ tỉ lệ với

e^{−(i/ℏ)[(W_nội + p₂2/2M + V₂)t − p₂·x]}.   (7.22)

(Hãy nói rằng năng lượng nội tại không bị thay đổi, mà vẫn như nhau trong cả hai miền.) Câu hỏi là: Hai biên độ này khớp với nhau như thế nào qua miền giữa các hộp?

Chúng ta sẽ giả sử rằng các điện thế đều không đổi theo thời gian — sao cho không có gì trong các điều kiện biến đổi. Khi đó chúng ta sẽ giả sử rằng các biến đổi của biên độ (tức là, pha của nó) có cùng tần số ở khắp mọi nơi — vì, có thể nói, không có gì trong “môi trường” phụ thuộc vào thời gian. Nếu không có gì trong không gian đang thay đổi, chúng ta có thể coi rằng sóng trong một miền “tạo ra” các sóng phụ trên khắp không gian, vốn tất cả sẽ dao động ở cùng một tần số — đúng như các sóng ánh sáng đi qua các vật liệu đang đứng yên không thay đổi tần số của chúng. Nếu các tần số trong (7.21) và (7.22) là như nhau, chúng ta phải có

W_nội + p₁²/2M + V₁ = W_nội + p₂²/2M + V₂.   (7.23)

Cả hai vế đúng là các năng lượng tổng cổ điển, vì vậy phương trình (7.23) là một phát biểu về sự bảo toàn năng lượng. Nói cách khác, phát biểu cổ điển về sự bảo toàn năng lượng tương đương với phát biểu cơ học lượng tử rằng các tần số đối với một hạt là như nhau ở khắp mọi nơi nếu các điều kiện không thay đổi theo thời gian. Tất cả đều khớp với ý tưởng rằng ℏω = E.

Trong ví dụ đặc biệt trong đó V₁ = 0 và V₂ là âm, phương trình (7.23) cho rằng p₂ lớn hơn p₁, vì vậy bước sóng của các sóng ngắn hơn trong miền 2. Các mặt đẳng pha được chỉ bởi các đường đứt nét trong Hình 7–3. Chúng ta cũng đã vẽ một đồ thị của phần thực của biên độ, vốn một lần nữa chỉ ra bước sóng giảm như thế nào khi đi từ miền 1 tới miền 2. Vận tốc nhóm của các sóng, vốn là p/M, cũng tăng lên theo cách người ta sẽ kỳ vọng từ sự bảo toàn năng lượng cổ điển, vì nó đúng là cùng một thứ như phương trình (7.23).

Có một trường hợp đặc biệt thú vị trong đó V₂ trở nên lớn đến mức V₂ − V₁ lớn hơn p₁²/2M. Khi đó p₂², vốn được cho bởi

p₂² = 2M[p₁²/2M − V₂ + V₁],   (7.24)

là âm. Điều đó có nghĩa là p₂ là một số ảo, chẳng hạn, ip′. Theo cách cổ điển, chúng ta sẽ nói rằng hạt không bao giờ lọt vào miền 2 — nó không có đủ năng lượng để leo lên ngọn đồi thế. Tuy nhiên, theo cơ học lượng tử, biên độ vẫn được cho bởi phương trình (7.22); sự biến đổi trong không gian của nó vẫn đi như

e^{(i/ℏ)p₂·x}.

Nhưng nếu p₂ là ảo, sự phụ thuộc vào không gian trở thành một hàm mũ thực. Chẳng hạn hạt ban đầu đang đi theo hướng +x; khi đó biên độ sẽ biến đổi như

e^−p′x/ℏ.   (7.25)

Biên độ giảm nhanh theo x tăng dần.

Hãy tưởng tượng rằng hai miền ở các điện thế khác nhau rất gần nhau, sao cho thế năng thay đổi đột ngột từ V₁ tới V₂, như được chỉ trong Hình 7–4(a). Nếu chúng ta vẽ phần thực của biên độ xác suất, chúng ta nhận được sự phụ thuộc được chỉ trong phần (b) của hình. Sóng trong miền thứ nhất tương ứng với một hạt đang cố lọt vào miền thứ hai, nhưng biên độ ở đó tắt dần nhanh chóng. Có một khả năng nào đó nó sẽ được quan sát trong miền thứ hai — nơi theo cách cổ điển nó không bao giờ có thể tới — nhưng biên độ rất nhỏ ngoại trừ ngay gần biên giới. Tình huống rất giống điều chúng ta đã tìm thấy đối với sự phản xạ toàn phần bên trong của ánh sáng. Ánh sáng thường không thoát ra ngoài, nhưng chúng ta có thể quan sát nó nếu chúng ta đặt một cái gì đó trong vòng một hoặc hai bước sóng tính từ bề mặt.

Bạn sẽ nhớ rằng nếu chúng ta đặt một bề mặt thứ hai gần biên giới nơi ánh sáng bị phản xạ toàn phần, chúng ta có thể có một ít ánh sáng được truyền vào mảnh vật liệu thứ hai. Điều tương ứng xảy ra với các hạt trong cơ học lượng tử. Nếu có một miền hẹp với một thế V, lớn đến mức động năng cổ điển sẽ là âm, hạt theo cách cổ điển sẽ không bao giờ vượt qua được. Nhưng theo cơ học lượng tử, biên độ tắt dần theo hàm mũ có thể vươn qua miền và cho một xác suất nhỏ rằng hạt sẽ được tìm thấy ở phía bên kia, nơi động năng lại là dương. Tình huống được minh họa trong Hình 7–5. Hiệu ứng này được gọi là “sự xuyên qua một rào thế” cơ học lượng tử.

Sự xuyên qua rào thế bởi một biên độ cơ học lượng tử cho ra lời giải thích — hay sự mô tả — của sự phân rã hạt-α của một hạt nhân uranium. Thế năng của một hạt α, như một hàm của khoảng cách từ tâm, được chỉ trong Hình 7–6(a). Nếu người ta cố bắn một hạt α với năng lượng E vào hạt nhân, nó sẽ cảm thấy một lực đẩy tĩnh điện từ điện tích hạt nhân z và sẽ, theo cách cổ điển, không tới gần hơn khoảng cách r₁ nơi năng lượng tổng của nó bằng thế năng V. Tuy nhiên, gần hơn vào trong, thế năng thấp hơn nhiều vì lực hút mạnh của các lực hạt nhân tầm ngắn. Vậy thì làm thế nào trong sự phân rã phóng xạ chúng ta tìm thấy các hạt α vốn bắt đầu bên trong hạt nhân lại đi ra với năng lượng E? Vì chúng bắt đầu với năng lượng E bên trong hạt nhân và “rò rỉ” qua rào thế. Biên độ xác suất gần như được phác họa trong phần (b) của Hình 7–6, mặc dù thực ra sự tắt dần theo hàm mũ lớn hơn nhiều so với được chỉ. Thực ra, điều khá đáng chú ý là thời gian sống trung bình của một hạt α trong hạt nhân uranium dài tới 4½ tỉ năm, khi các dao động tự nhiên bên trong hạt nhân cực kỳ nhanh — khoảng 10²² lần mỗi giây! Làm thế nào người ta có thể nhận được một con số như 10⁹ năm từ 10⁻²² giây? Đáp án là hàm mũ cho ra thừa số vô cùng nhỏ khoảng e⁻⁴⁵ — vốn cho xác suất rò rỉ rất nhỏ, dù xác định. Một khi hạt α ở trong hạt nhân, gần như không có biên độ nào để tìm thấy nó ở bên ngoài; tuy nhiên, nếu bạn lấy nhiều hạt nhân và chờ đủ lâu, bạn có thể may mắn và tìm thấy một hạt đã đi ra.

7–4  Các lực; giới hạn cổ điển

Giả sử chúng ta có một hạt đang di chuyển dọc theo và đi qua một miền nơi có một thế vốn biến đổi theo góc vuông với chuyển động. Theo cách cổ điển, chúng ta sẽ mô tả tình huống như được phác họa trong Hình 7–7. Nếu hạt đang chuyển động dọc theo hướng x và đi vào một miền nơi có một thế vốn biến đổi theo y, hạt sẽ nhận một gia tốc ngang từ lực F = −∂V/∂y. Nếu lực chỉ hiện diện trong một miền giới hạn có bề rộng w, lực sẽ tác dụng chỉ trong thời gian w/v. Hạt sẽ được cho động lượng ngang

p_y = F w/v.

Góc lệch δθ khi đó là

δθ = p_y/p = Fw/(pv),

trong đó p là động lượng ban đầu. Dùng −∂V/∂y cho F, chúng ta được

δθ = −(w/pv) ∂V/∂y.   (7.26)

Bây giờ tùy thuộc vào chúng ta xem liệu ý tưởng của chúng ta rằng các sóng đi như (7.20) có giải thích cùng một kết quả hay không. Chúng ta nhìn vào cùng một thứ theo cơ học lượng tử, giả thiết rằng mọi thứ ở trên một quy mô rất lớn so với một bước sóng của các biên độ xác suất của chúng ta. Trong bất kỳ miền nhỏ nào chúng ta có thể nói rằng biên độ biến đổi như

e^{−(i/ℏ)[(W + p2/2M + V)t − p·x]}.   (7.27)

Chúng ta có thể thấy rằng điều này cũng sẽ cho ra một sự lệch hướng của hạt khi V có một gradient ngang không? Chúng ta đã phác họa trong Hình 7–8 các sóng của biên độ xác suất sẽ trông như thế nào. Chúng ta đã vẽ một tập hợp các “nút sóng” mà bạn có thể nghĩ như các bề mặt nơi pha của biên độ bằng không. Trong mỗi miền nhỏ, bước sóng — khoảng cách giữa các nút liên tiếp — là

λ = h/p,

trong đó p liên hệ với V qua

W + p²/2M + V = const.   (7.28)

Trong miền nơi V lớn hơn, p nhỏ hơn, và bước sóng dài hơn. Vì vậy góc của các nút sóng bị thay đổi như được chỉ trong hình.

Để tìm sự thay đổi góc của các nút sóng, chúng ta để ý rằng đối với hai đường a và b trong Hình 7–8 có một hiệu thế năng ΔV = (∂V/∂y)D, vì vậy có một hiệu Δp trong động lượng dọc theo hai đường, vốn có thể được thu được từ (7.28):

Δ(p²/2M) = (p/M)Δp = −ΔV.   (7.29)

Số sóng p/ℏ, do đó, khác nhau dọc theo hai đường, điều này có nghĩa là pha đang tiến triển với một tốc độ khác nhau. Sự khác biệt trong tốc độ tăng của pha là Δk = Δp/ℏ, vì vậy hiệu pha tích lũy trong tổng khoảng cách w là

Δ(pha) = Δk·w = (Δp/ℏ)·w = −(M/pℏ)ΔV·w.   (7.30)

Đây là lượng mà pha trên đường b “đi trước” pha trên đường a khi sóng rời khỏi dải. Nhưng bên ngoài dải, một sự tiến pha lượng này tương ứng với nút sóng đi trước một lượng

Δx = (λ/2π)Δ(pha) = (ℏ/p)Δ(pha),

hoặc

Δx = −(M/p²)ΔV·w.   (7.31)

Tham chiếu Hình 7–8, chúng ta thấy rằng các mặt sóng mới sẽ ở góc δθ được cho bởi

Δx = D δθ,   (7.32)

vì vậy chúng ta có

D δθ = −(M/p²)ΔV·w.   (7.33)

Điều này giống hệt phương trình (7.26) nếu chúng ta thay p/M bởi v và ΔV/D bởi ∂V/∂y.

Kết quả chúng ta vừa nhận được chỉ đúng nếu các biến đổi thế là chậm và trơn tru — trong cái chúng ta gọi là giới hạn cổ điển. Chúng ta đã chỉ ra rằng dưới các điều kiện này chúng ta sẽ nhận được cùng các chuyển động hạt chúng ta nhận được từ F = ma, miễn là chúng ta giả thiết rằng một thế đóng góp một pha vào biên độ xác suất bằng Vt/ℏ. Trong giới hạn cổ điển, cơ học lượng tử sẽ khớp với cơ học Newton.

7–5  Sự “tiến động” của một hạt spin một phần hai

Hãy để ý rằng chúng ta đã không giả thiết bất cứ điều gì đặc biệt về thế năng — nó chỉ là năng lượng mà đạo hàm của nó cho ra một lực. Chẳng hạn, trong thí nghiệm Stern–Gerlach chúng ta có năng lượng U = −μ·B, vốn cho ra một lực nếu B có một sự biến đổi trong không gian. Nếu chúng ta muốn đưa ra một mô tả cơ học lượng tử, chúng ta sẽ nói rằng các hạt trong một chùm có một năng lượng biến đổi theo một cách và những hạt trong chùm kia có một sự biến đổi năng lượng ngược lại. (Chúng ta có thể đặt năng lượng từ U vào thế năng V hoặc vào năng lượng “nội tại” W; nó không quan trọng.) Vì sự biến đổi năng lượng, các sóng bị khúc xạ, và các chùm bị bẻ cong lên hoặc xuống. (Bây giờ chúng ta thấy rằng cơ học lượng tử sẽ cho chúng ta cùng một sự bẻ cong như chúng ta sẽ tính từ cơ học cổ điển.)

Từ sự phụ thuộc của biên độ vào thế năng, chúng ta cũng sẽ kỳ vọng rằng nếu một hạt ngồi trong một từ trường đều dọc theo hướng z, biên độ xác suất của nó phải đang thay đổi theo thời gian theo

e^{−(i/ℏ)(−μ_zB)t}.

(Chúng ta có thể coi rằng đây, về hiệu lực, là một định nghĩa của μ_z.) Nói cách khác, nếu chúng ta đặt một hạt trong một trường đều B trong một thời gian τ, biên độ xác suất của nó sẽ được nhân với

e^{−(i/ℏ)(−μ_zB)τ}

so với cái nó sẽ có khi không có trường. Vì đối với một hạt spin một phần hai, μ_z có thể là cộng hoặc trừ một số nào đó, chẳng hạn μ, hai trạng thái có thể trong một trường đều sẽ có các pha của chúng thay đổi với cùng một tốc độ nhưng theo các hướng ngược nhau. Hai biên độ được nhân với

e^{±(i/ℏ)μBτ}.   (7.34)

Kết quả này có một số hệ quả thú vị. Giả sử chúng ta có một hạt spin một phần hai trong một trạng thái nào đó không thuần túy là spin lên hoặc spin xuống. Chúng ta có thể mô tả điều kiện của nó theo các biên độ để ở trong các trạng thái lên thuần túy và xuống thuần túy. Nhưng trong một từ trường, hai trạng thái này sẽ có các pha thay đổi với một tốc độ khác nhau. Vì vậy nếu chúng ta hỏi một câu hỏi nào đó về các biên độ, đáp án sẽ phụ thuộc vào việc nó đã ở trong trường bao lâu.

Để là ví dụ, chúng ta xét sự phân rã của muon trong một từ trường. Khi các muon được tạo ra như các sản phẩm phân rã của các π-meson, chúng bị phân cực (nói cách khác, chúng có một hướng spin ưu tiên). Các muon, đến lượt chúng, phân rã — trong khoảng 2,2 micro giây trung bình — phát ra một electron và hai neutrino:

μ → e + ν + ν̄.

Trong sự phân rã này hóa ra là (ít nhất đối với các năng lượng cao nhất) các electron được phát ra ưu tiên theo hướng ngược với hướng spin của muon.

Vậy thì giả sử chúng ta xét bố trí thí nghiệm được chỉ trong Hình 7–9. Nếu các muon phân cực đi vào từ phía trái và được đưa tới trạng thái nghỉ trong một khối vật liệu tại A, chúng sẽ, một lúc sau, phân rã. Các electron phát ra sẽ, nói chung, đi ra theo mọi hướng có thể. Tuy nhiên, giả sử các muon tất cả đi vào khối chặn tại A với spin của chúng theo hướng x. Không có từ trường, sẽ có một phân bố góc nào đó của các hướng phân rã; chúng ta muốn biết phân bố này bị thay đổi như thế nào bởi sự hiện diện của từ trường. Chúng ta kỳ vọng rằng nó có thể biến đổi theo một cách nào đó theo thời gian. Chúng ta có thể tìm ra điều gì xảy ra bằng cách hỏi, tại bất kỳ thời điểm nào, biên độ muon sẽ được tìm thấy trong trạng thái (+x) là gì.

Chúng ta có thể phát biểu bài toán theo cách sau: Một muon được biết là có spin của nó theo hướng +x tại t = 0; biên độ nó sẽ ở trong cùng trạng thái tại thời điểm τ là bao nhiêu? Bây giờ chúng ta không có bất kỳ quy tắc nào cho hành vi của một hạt spin một phần hai trong một từ trường vuông góc với spin, nhưng chúng ta biết điều gì xảy ra với các trạng thái spin lên và spin xuống đối với trường — các biên độ của chúng được nhân với thừa số (7.34). Vậy thì, thủ tục của chúng ta là chọn biểu diễn trong đó các trạng thái cơ sở là spin lên và spin xuống đối với hướng z (hướng của trường). Bất kỳ câu hỏi nào khi đó có thể được biểu diễn tham chiếu tới các biên độ cho các trạng thái này.

Hãy nói rằng ψ(t) biểu diễn trạng thái muon. Khi nó đi vào khối A, trạng thái của nó là ψ(0), và chúng ta muốn biết ψ(τ) tại thời điểm sau τ. Nếu chúng ta biểu diễn hai trạng thái cơ sở bởi (+z) và (−z) chúng ta biết hai biên độ ⟨+z|ψ(0)⟩ và ⟨−z|ψ(0)⟩ — chúng ta biết các biên độ này vì chúng ta biết rằng ψ(0) biểu diễn một trạng thái với spin trong trạng thái (+x). Từ các kết quả của chương trước, các biên độ này là²

⟨+z|+x⟩ = C₊ = 1/√2,   ⟨−z|+x⟩ = C₋ = 1/√2.   (7.35)

Chúng tình cờ bằng nhau. Vì các biên độ này tham chiếu tới điều kiện tại t = 0, hãy gọi chúng là C₊(0) và C₋(0).

Bây giờ chúng ta biết điều gì xảy ra với hai biên độ này theo thời gian. Dùng (7.34), chúng ta có

C₊(t) = C₊(0)e^{−(i/ℏ)μBt},
C₋(t) = C₋(0)e^+(i/ℏ)μBt.   (7.36)

Nhưng nếu chúng ta biết C₊(t) và C₋(t), chúng ta có mọi thứ cần biết về điều kiện tại t. Rắc rối duy nhất là cái chúng ta muốn biết là xác suất tại t spin sẽ theo hướng +x. Tuy nhiên, các quy tắc tổng quát của chúng ta có thể xử lý bài toán này. Chúng ta viết rằng biên độ để ở trong trạng thái (+x) tại thời điểm t, mà chúng ta có thể gọi là A₊(t), là

A₊(t) = ⟨+x|ψ(t)⟩ = ⟨+x|+z⟩⟨+z|ψ(t)⟩ + ⟨+x|−z⟩⟨−z|ψ(t)⟩,

hoặc

A₊(t) = ⟨+x|+z⟩C₊(t) + ⟨+x|−z⟩C₋(t).   (7.37)

Một lần nữa dùng các kết quả của chương trước — hoặc tốt hơn là đẳng thức ⟨φ|χ⟩ = ⟨χ|φ⟩* từ Chương 5 — chúng ta biết rằng

⟨+x|+z⟩ = 1/√2,   ⟨+x|−z⟩ = 1/√2.

Vì vậy chúng ta biết mọi đại lượng trong phương trình (7.37). Chúng ta được

A₊(t) = ½e^(i/ℏ)μBt + ½e^{−(i/ℏ)μBt},

hoặc

A₊(t) = cos(μB/ℏ)t.

Một kết quả đặc biệt đơn giản! Hãy để ý rằng đáp án khớp với điều chúng ta kỳ vọng đối với t = 0. Chúng ta được A₊(0) = 1, điều đó đúng, vì chúng ta đã giả thiết rằng muon ở trong trạng thái (+x) tại t = 0.

Xác suất P₊ mà muon sẽ được tìm thấy trong trạng thái (+x) tại t là (A₊)² hoặc

P₊ = cos²(μBt/ℏ).

Xác suất dao động giữa không và một, như được chỉ trong Hình 7–10. Hãy để ý rằng xác suất trở lại một đối với μBt/ℏ = π (không phải 2π). Vì chúng ta đã bình phương hàm cosin, xác suất tự lặp lại với tần số 2μB/ℏ.

Như vậy, chúng ta thấy rằng khả năng bắt được electron phân rã trong bộ đếm electron của Hình 7–9 biến đổi tuần hoàn theo độ dài thời gian muon đã ngồi trong từ trường. Tần số phụ thuộc vào mômen từ μ. Mômen từ của muon, thực ra, đã được đo theo đúng cách này.

Dĩ nhiên, chúng ta có thể dùng cùng một phương pháp để trả lời bất kỳ câu hỏi nào khác về sự phân rã muon. Chẳng hạn, khả năng phát hiện một electron phân rã theo hướng y tại 90° so với hướng x nhưng vẫn vuông góc với trường phụ thuộc vào t như thế nào? Nếu bạn tính ra, xác suất để ở trong trạng thái (+y) biến đổi như cos²{(μBt/ℏ) − π/4}, vốn dao động với cùng chu kỳ nhưng đạt cực đại của nó muộn hơn một phần tư chu kỳ, khi μBt/ℏ = π/4. Thực ra, điều đang xảy ra là khi thời gian trôi qua, muon đi qua một dãy các trạng thái tương ứng với sự phân cực hoàn toàn theo một hướng vốn liên tục quay quanh trục z. Chúng ta có thể mô tả điều này bằng cách nói rằng spin đang tiến động với tần số

ω_p = 2μB/ℏ.   (7.38)

Bạn có thể bắt đầu thấy dạng mà mô tả cơ học lượng tử của chúng ta sẽ có khi chúng ta mô tả các vật hành xử như thế nào theo thời gian.