Chương 8: Ma trận Hamilton

8–1  Các biên độ và các vectơ

Trước khi bắt đầu chủ đề chính của chương này, chúng ta muốn mô tả một số ý tưởng toán học được dùng rất nhiều trong các tài liệu về cơ học lượng tử. Biết chúng sẽ giúp bạn đọc các sách hoặc bài báo khác về chủ đề này dễ dàng hơn. Ý tưởng đầu tiên là sự tương đồng toán học chặt chẽ giữa các phương trình của cơ học lượng tử và các phương trình của tích vô hướng của hai vectơ. Bạn còn nhớ rằng nếu χ và φ là hai trạng thái, biên độ để bắt đầu ở φ và kết thúc ở χ có thể được viết thành một tổng trên một tập đầy đủ các trạng thái cơ sở, của biên độ đi từ φ vào một trong các trạng thái cơ sở rồi từ trạng thái cơ sở đó đi ra lại vào χ:

⟨χ|φ⟩ = ∑_{mọi i} ⟨χ|i⟩⟨i|φ⟩.   (8.1)

Chúng ta đã giải thích điều này theo ngôn ngữ của một thiết bị Stern–Gerlach, nhưng chúng ta nhắc lại rằng không cần phải có thiết bị. Phương trình (8.1) là một định luật toán học đúng y như vậy dù chúng ta có đặt thiết bị lọc vào hay không — không phải lúc nào cũng cần tưởng tượng rằng thiết bị ở đó. Chúng ta có thể nghĩ về nó đơn giản như một công thức cho biên độ ⟨χ|φ⟩. Chúng ta muốn so sánh Phương trình (8.1) với công thức cho tích vô hướng của hai vectơ B và A. Nếu B và A là các vectơ thông thường trong ba chiều, chúng ta có thể viết tích vô hướng theo cách này:

∑_{mọi i} (B·e_i)(e_i·A),   (8.2)

với quy ước rằng ký hiệu e_i là chỉ ba vectơ đơn vị theo các hướng x, y, và z. Khi đó B·e₁ là cái chúng ta thường gọi là B_x; B·e₂ là cái chúng ta thường gọi là B_y; và cứ thế. Vậy Phương trình (8.2) tương đương với

B_xA_x + B_yA_y + B_zA_z,

vốn là tích vô hướng B·A. So sánh các Phương trình (8.1) và (8.2), chúng ta có thể thấy sự tương tự sau đây: Các trạng thái χ và φ tương ứng với hai vectơ B và A. Các trạng thái cơ sở i tương ứng với các vectơ đặc biệt e_i mà mọi vectơ khác đều được quy chiếu về chúng. Bất kỳ vectơ nào cũng có thể được biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của ba “vectơ cơ sở” e_i. Hơn nữa, nếu bạn biết các hệ số của mỗi “vectơ cơ sở” trong tổ hợp này — tức là ba thành phần của nó — bạn biết mọi điều về một vectơ. Theo một cách tương tự, bất kỳ trạng thái cơ học lượng tử nào cũng có thể được mô tả hoàn toàn bởi biên độ ⟨i|φ⟩ để đi vào các trạng thái cơ sở; và nếu bạn biết các hệ số này, bạn biết mọi điều có thể biết về trạng thái. Vì sự tương tự chặt chẽ này, cái chúng ta đã gọi là một “trạng thái” thường cũng được gọi là một “vectơ trạng thái”. Vì các vectơ cơ sở e_i đều vuông góc với nhau, chúng ta có hệ thức

e_i·e_j = δ_ij.   (8.3)

Điều này tương ứng với các hệ thức (5.25) giữa các trạng thái cơ sở i,

⟨i|j⟩ = δ_ij.   (8.4)

Giờ bạn đã thấy tại sao người ta nói rằng các trạng thái cơ sở i đều “trực giao”. Có một khác biệt nhỏ giữa Phương trình (8.1) và tích vô hướng. Chúng ta có

⟨φ|χ⟩ = ⟨χ|φ⟩*.   (8.5)

Nhưng trong đại số vectơ

A·B = B·A.

Với các số phức của cơ học lượng tử, chúng ta phải giữ cho đúng thứ tự của các số hạng, trong khi với tích vô hướng, thứ tự không quan trọng. Bây giờ hãy xét phương trình vectơ sau đây:

A = ∑_i e_i(e_i·A).   (8.6)

Nó hơi khác thường, nhưng đúng. Nó có nghĩa giống hệt như

A = ∑_i A_ie_i = A_xe_x + A_ye_y + A_ze_z.   (8.7)

Tuy nhiên, hãy để ý rằng Phương trình (8.6) chứa một đại lượng khác với một tích vô hướng. Một tích vô hướng chỉ là một số, trong khi Phương trình (8.6) là một phương trình vectơ. Một trong những thủ thuật vĩ đại của giải tích vectơ là trừu tượng hóa khỏi các phương trình ý tưởng về chính một vectơ. Người ta cũng có thể có khuynh hướng tương tự là trừu tượng hóa một thứ là tương tự của một “vectơ” khỏi công thức cơ học lượng tử Phương trình (8.1) — và quả thực người ta có thể làm được. Chúng ta loại bỏ ⟨χ| khỏi cả hai vế của Phương trình (8.1) và viết phương trình sau đây (đừng sợ — nó chỉ là một ký hiệu và trong vài phút nữa bạn sẽ biết các ký hiệu có nghĩa là gì):

|φ⟩ = ∑_i |i⟩⟨i|φ⟩.   (8.8)

Người ta nghĩ về dấu ngoặc ⟨χ|φ⟩ như bị chia thành hai mảnh. Mảnh thứ hai |φ⟩ thường được gọi là một ket, và mảnh thứ nhất ⟨χ| được gọi là một bra (gộp lại, chúng tạo thành một “bra-ket” — một ký hiệu do Dirac đề xuất); các nửa ký hiệu |φ⟩ và ⟨χ| cũng được gọi là các vectơ trạng thái. Trong bất kỳ trường hợp nào, chúng không phải là số, và, nói chung, chúng ta muốn kết quả của các phép tính của chúng ta cho ra các số; vì vậy những đại lượng “chưa hoàn chỉnh” như vậy chỉ là những bước đi nửa chừng trong các phép tính của chúng ta. Đã xảy ra là cho đến nay chúng ta đã viết mọi kết quả của mình theo ngôn ngữ của các số. Chúng ta đã xoay xở tránh các vectơ bằng cách nào? Thật thú vị khi để ý rằng ngay cả trong đại số vectơ thông thường, chúng ta có thể làm cho mọi phương trình chỉ chứa các số. Chẳng hạn, thay vì một phương trình vectơ như

F = ma,

chúng ta luôn có thể đã viết

C·F = C·(ma).

Khi đó chúng ta có một phương trình giữa các tích vô hướng đúng với bất kỳ vectơ C nào. Nhưng nếu nó đúng với bất kỳ C nào, thì việc cứ viết C mãi thật chẳng có ý nghĩa gì! Bây giờ hãy nhìn vào Phương trình (8.1). Nó là một phương trình đúng với bất kỳ χ nào. Vậy để tiết kiệm việc viết, chúng ta nên bỏ đi χ và viết Phương trình (8.8) thay vào đó. Nó có cùng thông tin với điều kiện chúng ta hiểu rằng nó luôn phải được “hoàn tất” bằng cách “nhân vào phía trái bởi” — điều này đơn giản có nghĩa là chèn lại — một ⟨χ| nào đó vào cả hai vế. Vậy Phương trình (8.8) có nghĩa đúng như Phương trình (8.1) — không hơn, không kém. Khi bạn muốn các số, bạn đặt vào ⟨χ| mà bạn muốn. Có lẽ bạn đã thắc mắc về φ trong Phương trình (8.8). Vì phương trình đúng với bất kỳ φ nào, tại sao chúng ta còn giữ nó? Quả thực, Dirac gợi ý rằng φ cũng có thể được trừu tượng hóa đi, để chúng ta chỉ còn lại

| = ∑_i |i⟩⟨i|.   (8.9)

Và đây là định luật vĩ đại của cơ học lượng tử! (Không có cái tương tự trong giải tích vectơ.) Nó nói rằng nếu bạn đặt vào bất kỳ hai trạng thái χ và φ nào ở phía trái và phía phải của cả hai vế, bạn nhận lại Phương trình (8.1). Nó không thực sự hữu ích lắm, nhưng là một nhắc nhở dễ chịu rằng phương trình đúng với bất kỳ hai trạng thái nào.

8–2  Phân giải các vectơ trạng thái

Hãy nhìn lại Phương trình (8.8); chúng ta có thể nghĩ về nó theo cách sau đây. Bất kỳ vectơ trạng thái |φ⟩ nào cũng có thể được biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính với các hệ số thích hợp của một tập hợp các “vectơ” cơ sở — hoặc, nếu bạn thích hơn, thành một chồng chập của các “vectơ đơn vị” theo những tỉ lệ thích hợp. Để nhấn mạnh rằng các hệ số ⟨i|φ⟩ chỉ là các số (phức) thông thường, giả sử chúng ta viết

⟨i|φ⟩ = C_i.

Khi đó Phương trình (8.8) cũng chính là

|φ⟩ = ∑_i |i⟩C_i.   (8.10)

Chúng ta có thể viết một phương trình tương tự cho bất kỳ vectơ trạng thái nào khác, chẳng hạn |χ⟩, dĩ nhiên với các hệ số khác — chẳng hạn D_i. Khi đó chúng ta có

|χ⟩ = ∑_i |i⟩D_i.   (8.11)

Các D_i chỉ là các biên độ ⟨i|χ⟩. Giả sử chúng ta đã bắt đầu bằng cách trừu tượng hóa φ khỏi Phương trình (8.1). Chúng ta đã có thể có

⟨χ| = ∑_i ⟨χ|i⟩⟨i|.   (8.12)

Nhớ rằng ⟨χ|i⟩ = ⟨i|χ⟩*, chúng ta có thể viết điều này thành

⟨χ| = ∑_i D_i* ⟨i|.   (8.13)

Bây giờ điều thú vị là chúng ta có thể chỉ cần nhân Phương trình (8.13) và Phương trình (8.10) để nhận lại ⟨χ|φ⟩. Khi chúng ta làm điều đó, chúng ta phải cẩn thận với các chỉ số tổng, vì chúng hoàn toàn khác nhau trong hai phương trình. Trước hết hãy viết lại Phương trình (8.13) thành

⟨χ| = ∑_j D_j* ⟨j|,

điều này không thay đổi gì cả. Sau đó ghép nó với Phương trình (8.10), chúng ta có

⟨χ|φ⟩ = ∑_ij D_j* ⟨j|i⟩C_i.   (8.14)

Tuy nhiên, hãy nhớ rằng ⟨j|i⟩ = δ_ij, vì vậy trong tổng chỉ còn lại các số hạng với j = i. Chúng ta được

⟨χ|φ⟩ = ∑_i D_i*C_i,   (8.15)

trong đó, dĩ nhiên, D_i* = ⟨i|χ⟩* = ⟨χ|i⟩, và C_i = ⟨i|φ⟩. Một lần nữa chúng ta thấy sự tương tự chặt chẽ với tích vô hướng

B·A = ∑_i B_iA_i.

Khác biệt duy nhất là liên hợp phức trên D_i. Vậy Phương trình (8.15) nói rằng nếu các vectơ trạng thái ⟨χ| và |φ⟩ được khai triển theo các vectơ cơ sở ⟨i| hoặc |i⟩, biên độ để đi từ φ tới χ được cho bởi một thứ giống tích vô hướng trong Phương trình (8.15). Phương trình này, dĩ nhiên, chỉ là Phương trình (8.1) được viết bằng các ký hiệu khác. Vậy chúng ta vừa đi một vòng tròn để làm quen với các ký hiệu mới. Có lẽ chúng ta nên nhấn mạnh lại rằng trong khi các vectơ không gian trong ba chiều được mô tả theo ba vectơ đơn vị trực giao, các vectơ cơ sở |i⟩ của các trạng thái cơ học lượng tử phải trải trên toàn bộ tập đầy đủ áp dụng được cho bất kỳ bài toán cụ thể nào. Tùy thuộc vào tình huống, hai, hoặc ba, hoặc năm, hoặc một số vô hạn các trạng thái cơ sở có thể liên quan. Chúng ta cũng đã nói về điều gì xảy ra khi các hạt đi qua một thiết bị. Nếu chúng ta cho các hạt bắt đầu trong một trạng thái φ nào đó, rồi gửi chúng qua một thiết bị, và sau đó thực hiện một phép đo để xem chúng có ở trong trạng thái χ hay không, kết quả được mô tả bởi biên độ

⟨χ|A|φ⟩.   (8.16)

Một ký hiệu như vậy không có cái tương tự gần gũi trong đại số vectơ. (Nó gần với đại số tenxơ hơn, nhưng sự tương tự không đặc biệt hữu ích.) Chúng ta đã thấy trong Chương 5, Phương trình (5.32), rằng chúng ta có thể viết (8.16) thành

⟨χ|A|φ⟩ = ∑_ij ⟨χ|i⟩⟨i|A|j⟩⟨j|φ⟩.   (8.17)

Đây chỉ là một ví dụ của quy tắc cơ bản Phương trình (8.9), được dùng hai lần. Chúng ta cũng đã tìm ra rằng nếu một thiết bị B khác được đặt nối tiếp với A, khi đó chúng ta có thể viết

⟨χ|BA|φ⟩ = ∑_ijk ⟨χ|i⟩⟨i|B|j⟩⟨j|A|k⟩⟨k|φ⟩.   (8.18)

Một lần nữa, điều này suy ra trực tiếp từ cách viết Phương trình (8.9) của Dirac — hãy nhớ rằng chúng ta luôn có thể đặt một vạch (|), vốn cũng giống như thừa số 1, giữa B và A. Nhân tiện, chúng ta có thể nghĩ về Phương trình (8.17) theo một cách khác. Giả sử chúng ta nghĩ về hạt đi vào thiết bị A trong trạng thái φ và đi ra khỏi A trong trạng thái ψ, (“psi”). Nói cách khác, chúng ta có thể tự hỏi câu hỏi này: Chúng ta có thể tìm một ψ sao cho biên độ để đi từ ψ tới χ luôn luôn đồng nhất và ở khắp mọi nơi giống với biên độ ⟨χ|A|φ⟩ hay không? Đáp án là có. Chúng ta muốn Phương trình (8.17) được thay thế bởi

⟨χ|ψ⟩ = ∑_i ⟨χ|i⟩⟨i|ψ⟩.   (8.19)

Rõ ràng chúng ta có thể làm điều này nếu

⟨i|ψ⟩ = ∑_j ⟨i|A|j⟩⟨j|φ⟩ = ⟨i|A|φ⟩,   (8.20)

điều này xác định ψ. “Nhưng nó không xác định ψ,” bạn nói; “nó chỉ xác định ⟨i|ψ⟩.” Tuy nhiên, ⟨i|ψ⟩ có xác định ψ, vì nếu bạn có mọi hệ số liên hệ ψ với các trạng thái cơ sở i, thì ψ được xác định duy nhất. Thực ra, chúng ta có thể đùa với ký hiệu của mình và viết số hạng cuối của Phương trình (8.20) thành

⟨i|ψ⟩ = ∑_j ⟨i|j⟩⟨j|A|φ⟩.   (8.21)

Khi đó, vì phương trình này đúng với mọi i, chúng ta có thể viết đơn giản

|ψ⟩ = ∑_j |j⟩⟨j|A|φ⟩.   (8.22)

Khi đó chúng ta có thể nói: “Trạng thái ψ là cái chúng ta nhận được nếu chúng ta bắt đầu với φ và đi qua thiết bị A.” Một ví dụ cuối cùng về các thủ thuật trong nghề. Chúng ta bắt đầu lại với Phương trình (8.17). Vì nó đúng với bất kỳ χ và φ nào, chúng ta có thể bỏ cả hai đi! Khi đó chúng ta được¹

A = ∑_ij |i⟩⟨i|A|j⟩⟨j|.   (8.23)

Nó có nghĩa là gì? Nó có nghĩa không hơn, không kém, cái bạn nhận được nếu bạn đặt lại φ và χ vào. Như nó đang đứng, nó là một phương trình “mở” và chưa hoàn chỉnh. Nếu chúng ta nhân nó “vào phía phải” bởi |φ⟩, nó trở thành

A|φ⟩ = ∑_ij |i⟩⟨i|A|j⟩⟨j|φ⟩,   (8.24)

vốn chỉ là Phương trình (8.22) một lần nữa. Thực ra, chúng ta có thể đã bỏ luôn các j khỏi phương trình đó và viết

|ψ⟩ = A|φ⟩.   (8.25)

Ký hiệu A không phải là một biên độ, cũng không phải một vectơ; nó là một thứ mới gọi là một toán tử. Nó là một thứ “tác dụng lên” một trạng thái để tạo ra một trạng thái mới — Phương trình (8.25) nói rằng |ψ⟩ là kết quả nếu A tác dụng lên |φ⟩. Một lần nữa, nó vẫn là một phương trình mở cho đến khi nó được hoàn tất với một bra nào đó như ⟨χ| để cho ra

⟨χ|ψ⟩ = ⟨χ|A|φ⟩.   (8.26)

Toán tử A, dĩ nhiên, được mô tả hoàn toàn nếu chúng ta cho ma trận các biên độ ⟨i|A|j⟩ — cũng được viết là A_ij — theo bất kỳ tập hợp các vectơ cơ sở nào. Chúng ta thực sự không thêm gì mới với tất cả ký hiệu toán học mới này. Một lý do để đưa ra tất cả những điều này là để chỉ cho bạn cách viết các mảnh của phương trình, vì trong nhiều cuốn sách bạn sẽ thấy các phương trình được viết ở các dạng chưa hoàn chỉnh, và không có lý do gì để bạn bị tê liệt khi bắt gặp chúng. Nếu bạn thích, bạn luôn có thể thêm các mảnh còn thiếu để tạo thành một phương trình giữa các số trông giống một cái gì đó quen thuộc hơn. Ngoài ra, như bạn sẽ thấy, ký hiệu “bra” và “ket” là một ký hiệu rất tiện lợi. Chẳng hạn, từ nay chúng ta có thể xác định một trạng thái bằng cách cho vectơ trạng thái của nó. Khi chúng ta muốn nhắc tới một trạng thái có động lượng xác định p chúng ta có thể nói: “trạng thái |p⟩.” Hoặc chúng ta có thể nói về một trạng thái tùy ý nào đó |ψ⟩. Để nhất quán, chúng ta sẽ luôn dùng ket, viết |ψ⟩, để xác định một trạng thái. (Dĩ nhiên đó là một lựa chọn tùy ý; chúng ta cũng hoàn toàn có thể đã chọn dùng bra, ⟨ψ|.)

8–3  Các trạng thái cơ sở của thế giới là gì?

Chúng ta đã khám phá ra rằng bất kỳ trạng thái nào trong thế giới cũng có thể được biểu diễn thành một chồng chập — một tổ hợp tuyến tính với các hệ số thích hợp — của các trạng thái cơ sở. Trước hết bạn có thể hỏi, các trạng thái cơ sở nào? À, có nhiều khả năng khác nhau. Chẳng hạn, bạn có thể chiếu một spin theo hướng z hoặc theo một hướng nào khác. Có rất nhiều, rất nhiều cách biểu diễn khác nhau, vốn là các tương tự của các hệ tọa độ khác nhau mà người ta có thể dùng để biểu diễn các vectơ thông thường. Tiếp theo, các hệ số nào? À, điều đó phụ thuộc vào các hoàn cảnh vật lý. Các tập hợp hệ số khác nhau tương ứng với các điều kiện vật lý khác nhau. Điều quan trọng cần biết là “không gian” mà bạn đang làm việc trong đó — nói cách khác, các trạng thái cơ sở có nghĩa vật lý là gì. Vậy điều đầu tiên bạn phải biết, nói chung, là các trạng thái cơ sở trông như thế nào. Sau đó bạn có thể hiểu cách mô tả một tình huống theo các trạng thái cơ sở này. Chúng ta muốn nhìn về phía trước một chút và nói đôi điều về việc mô tả cơ học lượng tử tổng quát về tự nhiên sẽ như thế nào — theo các ý tưởng hiện tại của vật lý, dù sao đi nữa. Trước hết, người ta quyết định một cách biểu diễn cụ thể cho các trạng thái cơ sở — các cách biểu diễn khác nhau luôn luôn có thể. Chẳng hạn, đối với một hạt spin một phần hai, chúng ta có thể dùng các trạng thái cộng và trừ đối với trục z. Nhưng không có gì đặc biệt về trục z — bạn có thể lấy bất kỳ trục nào khác bạn thích. Tuy nhiên, để nhất quán, chúng ta sẽ luôn chọn trục z. Giả sử chúng ta bắt đầu với một tình huống có một electron. Ngoài hai khả năng cho spin (“lên” và “xuống” dọc theo hướng z), còn có động lượng của electron. Chúng ta chọn một tập hợp các trạng thái cơ sở, mỗi trạng thái tương ứng với một giá trị của động lượng. Thế nếu electron không có một động lượng xác định thì sao? Không sao cả; chúng ta chỉ đang nói các trạng thái cơ sở là gì. Nếu electron không có một động lượng xác định, nó có một biên độ nào đó để có một động lượng và một biên độ khác để có một động lượng khác, và cứ thế. Và nếu nó không nhất thiết spin lên, nó có một biên độ nào đó để spin lên đi với động lượng này, và một biên độ nào đó để spin xuống đi với động lượng kia, và cứ thế. Mô tả đầy đủ của một electron, theo như chúng ta biết, chỉ đòi hỏi rằng các trạng thái cơ sở được mô tả bởi động lượng và spin. Vậy một tập hợp chấp nhận được của các trạng thái cơ sở |i⟩ cho một electron đơn độc quy chiếu tới các giá trị khác nhau của động lượng và việc spin hướng lên hay xuống. Các hỗn hợp khác nhau của các biên độ — tức là, các tổ hợp khác nhau của các C — mô tả các hoàn cảnh khác nhau. Bất kỳ electron cụ thể nào đang làm gì được mô tả bằng cách nói với biên độ nào nó có spin lên hoặc spin xuống và động lượng này hay động lượng khác — đối với mọi động lượng có thể. Vậy bạn có thể thấy điều gì liên quan trong một mô tả cơ học lượng tử đầy đủ của một electron đơn độc. Thế còn các hệ có hơn một electron thì sao? Khi đó các trạng thái cơ sở trở nên phức tạp hơn. Giả sử chúng ta có hai electron. Trước hết, chúng ta có bốn trạng thái khả dĩ đối với spin: cả hai electron đều spin lên, electron thứ nhất xuống và electron thứ hai lên, electron thứ nhất lên và electron thứ hai xuống, hoặc cả hai đều xuống. Chúng ta cũng phải chỉ rõ rằng electron thứ nhất có động lượng p₁, và electron thứ hai, động lượng p₂. Các trạng thái cơ sở cho hai electron đòi hỏi việc chỉ rõ hai động lượng và hai đặc tính spin. Với bảy electron, chúng ta phải chỉ rõ bảy cái mỗi loại. Nếu chúng ta có một proton và một electron, chúng ta phải chỉ rõ hướng spin của proton và động lượng của nó, và hướng spin của electron và động lượng của nó. Ít nhất điều đó đúng một cách gần đúng. Chúng ta không thực sự biết cách biểu diễn đúng cho thế giới là gì. Bắt đầu bằng việc giả thiết rằng nếu bạn chỉ rõ spin trong electron và động lượng của nó, và tương tự đối với một proton, bạn sẽ có các trạng thái cơ sở thì mọi chuyện đều ổn; nhưng thế còn “ruột gan” của proton thì sao? Hãy nhìn nó theo cách này. Trong một nguyên tử hydro có một proton và một electron, chúng ta có nhiều trạng thái cơ sở khác nhau để mô tả — spin lên và xuống của proton và electron và các động lượng khả dĩ khác nhau của proton và electron. Sau đó có các tổ hợp khác nhau của các biên độ C_i cùng nhau mô tả đặc tính của nguyên tử hydro trong các trạng thái khác nhau. Nhưng giả sử chúng ta nhìn toàn bộ nguyên tử hydro như một “hạt”. Nếu chúng ta không biết rằng nguyên tử hydro được làm từ một proton và một electron, chúng ta có thể đã bắt đầu và nói: “Ồ, tôi biết các trạng thái cơ sở là gì — chúng tương ứng với một động lượng cụ thể của nguyên tử hydro.” Không, vì nguyên tử hydro có các bộ phận bên trong. Vì vậy, nó có thể có các trạng thái khác nhau với năng lượng nội tại khác nhau, và việc mô tả bản chất thực đòi hỏi chi tiết hơn. Câu hỏi là: Một proton có các bộ phận bên trong không? Chúng ta có phải mô tả một proton bằng cách cho mọi trạng thái khả dĩ của các proton, và các meson, và các hạt lạ không? Chúng ta không biết. Và mặc dù chúng ta giả thiết rằng electron là đơn giản, để mọi điều chúng ta phải nói về nó chỉ là động lượng và spin của nó, có lẽ ngày mai chúng ta sẽ khám phá ra rằng electron cũng có các bánh răng và bánh xe bên trong. Điều đó có nghĩa là cách biểu diễn của chúng ta là không đầy đủ, hoặc sai, hoặc gần đúng — theo cùng một cách mà một cách biểu diễn của nguyên tử hydro chỉ mô tả động lượng của nó sẽ là không đầy đủ, vì nó bỏ qua sự kiện rằng nguyên tử hydro có thể đã bị kích thích bên trong. Nếu một electron có thể bị kích thích bên trong và biến thành một cái gì đó khác như, chẳng hạn, một muon, thì nó sẽ được mô tả không chỉ bằng cách cho các trạng thái của hạt mới, mà có lẽ theo một số bánh xe nội tại phức tạp hơn. Vấn đề chính trong nghiên cứu các hạt cơ bản ngày nay là khám phá ra các cách biểu diễn đúng cho việc mô tả tự nhiên là gì. Tại thời điểm hiện tại, chúng ta đoán rằng đối với electron, chỉ cần chỉ rõ động lượng và spin của nó là đủ. Chúng ta cũng đoán rằng có một proton lý tưởng hóa vốn có các π-meson, và các K-meson, và cứ thế, của nó, tất cả đều phải được chỉ rõ. Vài chục hạt — thật điên rồ! Câu hỏi cái gì là một hạt cơ bản và cái gì không phải là một hạt cơ bản — một chủ đề mà bạn nghe nói rất nhiều trong những ngày này — là câu hỏi cách biểu diễn cuối cùng sẽ trông như thế nào trong mô tả cơ học lượng tử tối hậu của thế giới. Động lượng của electron vẫn sẽ là thứ đúng để mô tả tự nhiên chứ? Hay thậm chí, toàn bộ câu hỏi có nên được đặt ra theo cách này không! Câu hỏi này phải luôn nảy sinh trong bất kỳ cuộc khảo sát khoa học nào. Dù sao đi nữa, chúng ta thấy một vấn đề — làm thế nào để tìm một cách biểu diễn. Chúng ta không biết đáp án. Chúng ta thậm chí không biết liệu chúng ta có vấn đề “đúng” hay không, nhưng nếu có, trước hết chúng ta phải cố tìm ra xem bất kỳ hạt cụ thể nào có “cơ bản” hay không. Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính — nếu các năng lượng không quá cao, để bạn không làm xáo trộn hoạt động bên trong của các hạt lạ và những thứ tương tự — bạn có thể làm khá tốt mà không phải lo lắng về các chi tiết này. Bạn có thể chỉ cần quyết định chỉ rõ các động lượng và spin của các electron và của các hạt nhân; khi đó mọi thứ sẽ ổn. Trong hầu hết các phản ứng hóa học và các sự kiện năng lượng thấp khác, không có gì xảy ra trong các hạt nhân; chúng không bị kích thích. Hơn nữa, nếu một nguyên tử hydro đang chuyển động chậm và va chạm nhẹ nhàng với các nguyên tử hydro khác — không bao giờ bị kích thích bên trong, hay bức xạ, hay bất cứ thứ gì phức tạp như thế, mà luôn ở trong trạng thái năng lượng cơ bản đối với chuyển động nội tại — bạn có thể dùng một phép gần đúng trong đó bạn nói về nguyên tử hydro như một vật, hay hạt, và không lo lắng về sự kiện rằng nó có thể làm gì đó bên trong. Đây sẽ là một phép gần đúng tốt chừng nào động năng trong bất kỳ va chạm nào còn nhỏ hơn nhiều so với 10 electron volt — năng lượng cần thiết để kích thích nguyên tử hydro lên một trạng thái nội tại khác. Chúng ta sẽ thường thực hiện một phép gần đúng trong đó chúng ta không bao gồm khả năng chuyển động bên trong, qua đó giảm số chi tiết mà chúng ta phải đưa vào các trạng thái cơ sở của mình. Dĩ nhiên, khi đó chúng ta bỏ qua một số hiện tượng vốn sẽ xuất hiện (thường là) ở một năng lượng cao hơn nào đó, nhưng bằng cách thực hiện các phép gần đúng như vậy chúng ta có thể đơn giản hóa rất nhiều việc phân tích các bài toán vật lý. Chẳng hạn, chúng ta có thể thảo luận về va chạm của hai nguyên tử hydro ở năng lượng thấp — hay bất kỳ quá trình hóa học nào — mà không phải lo lắng về sự kiện rằng các hạt nhân nguyên tử có thể bị kích thích. Tóm lại, khi đó, khi chúng ta có thể bỏ qua các hiệu ứng của bất kỳ trạng thái kích thích nội tại nào của một hạt, chúng ta có thể chọn một tập cơ sở là các trạng thái có động lượng xác định và thành phần z xác định của mômen động lượng. Vậy một vấn đề trong việc mô tả tự nhiên là tìm một cách biểu diễn thích hợp cho các trạng thái cơ sở. Nhưng đó mới chỉ là khởi đầu. Chúng ta vẫn muốn có thể nói điều gì “xảy ra”. Nếu chúng ta biết “tình trạng” của thế giới tại một thời điểm, chúng ta muốn biết tình trạng tại một thời điểm sau đó. Vậy chúng ta cũng phải tìm các định luật xác định mọi thứ thay đổi theo thời gian như thế nào. Giờ chúng ta hướng mình tới phần thứ hai này của khuôn khổ cơ học lượng tử — các trạng thái thay đổi theo thời gian như thế nào.

8–4  Các trạng thái thay đổi theo thời gian như thế nào

Chúng ta đã nói về cách chúng ta có thể biểu diễn một tình huống trong đó chúng ta đưa một cái gì đó qua một thiết bị. Giờ một “thiết bị” tiện lợi, thú vị để xét là chỉ đơn thuần một khoảng chờ vài phút; tức là, bạn chuẩn bị một trạng thái φ, và rồi trước khi bạn phân tích nó, bạn chỉ để nó ngồi yên. Có lẽ bạn để nó ngồi trong một điện trường hoặc từ trường cụ thể nào đó — điều đó phụ thuộc vào các hoàn cảnh vật lý trong thế giới. Dù sao đi nữa, dù các điều kiện là gì, bạn để vật ngồi từ thời điểm t₁ tới thời điểm t₂. Giả sử rằng nó được thả ra khỏi thiết bị đầu tiên của bạn trong điều kiện φ tại t₁. Và rồi nó đi qua một “thiết bị”, nhưng “thiết bị” chỉ gồm sự trì hoãn cho tới t₂. Trong thời gian trì hoãn, nhiều thứ có thể đang diễn ra — các lực ngoài tác dụng hoặc các trò quỷ quái khác — để có một cái gì đó đang xảy ra. Vào cuối khoảng trì hoãn, biên độ để tìm thấy vật trong một trạng thái χ nào đó không còn đúng như nó đã sẽ là nếu không có sự trì hoãn. Vì “chờ đợi” chỉ là một trường hợp đặc biệt của một “thiết bị”, chúng ta có thể mô tả điều gì xảy ra bằng cách cho một biên độ có cùng dạng như Phương trình (8.17). Vì phép toán “chờ đợi” đặc biệt quan trọng, chúng ta sẽ gọi nó là U thay vì A, và để chỉ rõ các thời điểm bắt đầu và kết thúc t₁ và t₂, chúng ta sẽ viết U(t₂, t₁). Biên độ chúng ta muốn là

⟨χ|U(t₂,t₁)|φ⟩.   (8.27)

Giống như bất kỳ biên độ nào như vậy, nó có thể được biểu diễn trong một hệ cơ sở này hay hệ cơ sở khác bằng cách viết nó thành

∑_ij ⟨χ|i⟩⟨i|U(t₂,t₁)|j⟩⟨j|φ⟩.   (8.28)

Khi đó U được mô tả hoàn toàn bằng cách cho toàn bộ tập hợp các biên độ — ma trận

⟨i|U(t₂,t₁)|j⟩.   (8.29)

Chúng ta có thể chỉ ra, nhân tiện, rằng ma trận ⟨i|U(t₂,t₁)|j⟩ cho nhiều chi tiết hơn có thể cần. Nhà vật lý lý thuyết hạng sang làm việc trong vật lý năng lượng cao xét các bài toán có bản chất tổng quát sau đây (vì đó là cách các thí nghiệm thường được thực hiện). Anh ta bắt đầu với một vài hạt, như một proton và một proton, đến với nhau từ vô cực. (Trong phòng thí nghiệm, thường một hạt đứng yên, và hạt kia đến từ một máy gia tốc thực tế ở vô cực trên quy mô nguyên tử.) Các vật đâm sầm vào nhau và đi ra, chẳng hạn, hai K-meson, sáu π-meson, và hai neutron theo các hướng nhất định với các động lượng nhất định. Biên độ để điều này xảy ra là bao nhiêu? Toán học trông như thế này: Trạng thái φ chỉ rõ các spin và động lượng của các hạt đến. χ sẽ là câu hỏi về cái gì đi ra. Chẳng hạn, với biên độ nào bạn nhận được sáu meson đi theo những hướng như thế này như thế kia, và hai neutron đi ra theo những hướng này, với spin của chúng như thế này như thế kia. Nói cách khác, χ sẽ được chỉ rõ bằng cách cho mọi động lượng, và spin, và cứ thế của các sản phẩm cuối cùng. Khi đó công việc của nhà lý thuyết là tính biên độ (8.27). Tuy nhiên, anh ta thực sự chỉ quan tâm đến trường hợp đặc biệt mà t₁ là −∞ và t₂ là +∞. (Không có bằng chứng thực nghiệm về các chi tiết của quá trình, chỉ về cái gì đi vào và cái gì đi ra.) Trường hợp giới hạn của U(t₂,t₁) khi t₁ → −∞ và t₂ → +∞ được gọi là S, và cái anh ta muốn là

⟨χ|S|φ⟩.

Hoặc, dùng dạng (8.28), anh ta sẽ tính ma trận

⟨i|S|j⟩,

vốn được gọi là ma trận S. Vậy nếu bạn thấy một nhà vật lý lý thuyết đi đi lại lại trong phòng và nói, “Tất cả những gì tôi phải làm là tính ma trận S,” bạn sẽ biết anh ta đang lo lắng về điều gì. Cách phân tích — cách chỉ rõ các định luật cho — ma trận S là một câu hỏi thú vị. Trong cơ học lượng tử tương đối tính cho các năng lượng cao, nó được thực hiện theo một cách, nhưng trong cơ học lượng tử phi tương đối tính nó có thể được thực hiện theo một cách khác, rất tiện lợi. (Cách khác này cũng có thể được thực hiện trong trường hợp tương đối tính, nhưng khi đó nó không tiện lợi bằng.) Đó là tính ma trận U cho một khoảng thời gian nhỏ — nói cách khác cho t₂ và t₁ gần nhau. Nếu chúng ta có thể tìm một dãy các U như vậy cho các khoảng thời gian liên tiếp chúng ta có thể theo dõi mọi thứ diễn ra như thế nào theo thời gian. Bạn có thể thấy ngay rằng cách này không tốt lắm cho thuyết tương đối, vì bạn không muốn phải chỉ rõ mọi thứ trông “đồng thời” như thế nào ở khắp mọi nơi. Nhưng chúng ta sẽ không lo về điều đó — chúng ta chỉ lo về cơ học phi tương đối tính. Giả sử chúng ta nghĩ về ma trận U cho một sự trì hoãn từ t₁ cho tới t₃ lớn hơn t₂. Nói cách khác, hãy lấy ba thời điểm liên tiếp: t₁ nhỏ hơn t₂ nhỏ hơn t₃. Khi đó chúng ta khẳng định rằng ma trận đi giữa t₁ và t₃ là tích nối tiếp của điều xảy ra khi bạn trì hoãn từ t₁ cho tới t₂ và rồi từ t₂ cho tới t₃. Nó đúng như tình huống khi chúng ta có hai thiết bị B và A nối tiếp. Khi đó chúng ta có thể viết, theo ký hiệu của Mục 5–6,

U(t₃,t₁) = U(t₃,t₂)·U(t₂,t₁).   (8.30)

Nói cách khác, chúng ta có thể phân tích bất kỳ khoảng thời gian nào nếu chúng ta có thể phân tích một dãy các khoảng thời gian ngắn ở giữa. Chúng ta chỉ nhân tất cả các mảnh lại với nhau; đó là cách cơ học lượng tử được phân tích theo kiểu phi tương đối tính. Vậy bài toán của chúng ta là hiểu ma trận U(t₂,t₁) cho một khoảng thời gian vô cùng nhỏ — cho t₂ = t₁ + Δt. Chúng ta tự hỏi điều này: Nếu chúng ta có một trạng thái φ bây giờ, trạng thái trông như thế nào một thời gian vô cùng nhỏ Δt sau đó? Hãy xem chúng ta viết điều đó ra như thế nào. Gọi trạng thái tại thời điểm t là |ψ(t)⟩ (chúng ta chỉ ra sự phụ thuộc vào thời gian của ψ để hoàn toàn rõ ràng rằng chúng ta muốn nói điều kiện tại thời điểm t). Giờ chúng ta hỏi câu hỏi: Điều kiện sau khoảng thời gian nhỏ Δt sau đó là gì? Đáp án là

|ψ(t + Δt)⟩ = U(t + Δt, t)|ψ(t)⟩.   (8.31)

Điều này có nghĩa giống như chúng ta đã muốn nói bởi (8.25), cụ thể là, biên độ để tìm χ tại thời điểm t + Δt là

⟨χ|ψ(t + Δt)⟩ = ⟨χ|U(t + Δt, t)|ψ(t)⟩.   (8.32)

Vì chúng ta chưa giỏi lắm về những thứ trừu tượng này, hãy chiếu các biên độ của chúng ta vào một cách biểu diễn xác định. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của Phương trình (8.31) bởi ⟨i|, chúng ta được

⟨i|ψ(t + Δt)⟩ = ⟨i|U(t + Δt, t)|ψ(t)⟩.   (8.33)

Chúng ta cũng có thể phân giải |ψ(t)⟩ thành các trạng thái cơ sở và viết

⟨i|ψ(t + Δt)⟩ = ∑_j ⟨i|U(t + Δt, t)|j⟩⟨j|ψ(t)⟩.   (8.34)

Chúng ta có thể hiểu Phương trình (8.34) theo cách sau đây. Nếu chúng ta để C_i(t) = ⟨i|ψ(t)⟩ là biên độ để ở trong trạng thái cơ sở i tại thời điểm t, khi đó chúng ta có thể nghĩ biên độ này (chỉ là một số, hãy nhớ!) biến thiên theo thời gian. Mỗi C_i trở thành một hàm của t. Và chúng ta cũng có một ít thông tin về việc các biên độ C_i biến thiên theo thời gian như thế nào. Mỗi biên độ tại (t + Δt) tỉ lệ với mọi biên độ khác tại t nhân với một tập hợp các hệ số. Hãy gọi ma trận U là U_ij, theo đó chúng ta muốn nói

U_ij = ⟨i|U|j⟩.

Khi đó chúng ta có thể viết Phương trình (8.34) thành

C_i(t + Δt) = ∑_j U_ij(t + Δt, t)C_j(t).   (8.35)

Vậy, đây là hình dạng mà động lực học của cơ học lượng tử sẽ có. Chúng ta chưa biết nhiều về các U_ij, ngoại trừ một điều. Chúng ta biết rằng nếu Δt tiến tới không, không có gì có thể xảy ra — chúng ta sẽ nhận lại đúng trạng thái ban đầu. Vậy, U_ii → 1 và U_ij → 0, nếu i ≠ j. Nói cách khác, U_ij → δ_ij đối với Δt → 0. Ngoài ra, chúng ta có thể giả thiết rằng đối với Δt nhỏ, mỗi hệ số U_ij sẽ khác δ_ij một lượng tỉ lệ với Δt; vậy chúng ta có thể viết

U_ij = δ_ij + K_ij Δt.   (8.36)

Tuy nhiên, người ta thường tách thừa số (−i/ℏ)² ra khỏi các hệ số K_ij, vì các lý do lịch sử và các lý do khác; chúng ta thích viết hơn

U_ij(t + Δt, t) = δ_ij − (i/ℏ)H_ij(t) Δt.   (8.37)

Dĩ nhiên, nó cũng giống như Phương trình (8.36) và, nếu bạn muốn, chỉ định nghĩa các hệ số H_ij(t). Các số hạng H_ij chỉ là các đạo hàm theo t₂ của các hệ số U_ij(t₂, t₁), được tính tại t₂ = t₁ = t. Dùng dạng này cho U trong Phương trình (8.35), chúng ta có

C_i(t + Δt) = ∑_j [δ_ij − (i/ℏ)H_ij(t) Δt]C_j(t).   (8.38)

Lấy tổng trên số hạng δ_ij, chúng ta được đúng C_i(t), mà chúng ta có thể chuyển sang vế bên kia của phương trình. Sau đó chia cho Δt, chúng ta có cái chúng ta nhận ra là một đạo hàm

[C_i(t + Δt) − C_i(t)]/Δt = −(i/ℏ)∑_j H_ij(t)C_j(t)

hay

iℏ dC_i(t)/dt = ∑_j H_ij(t)C_j(t).   (8.39)

Bạn còn nhớ rằng C_i(t) là biên độ ⟨i|ψ⟩ để tìm trạng thái ψ trong một trong các trạng thái cơ sở i (tại thời điểm t). Vậy Phương trình (8.39) cho chúng ta biết mỗi hệ số ⟨i|ψ⟩ biến thiên theo thời gian như thế nào. Nhưng điều đó cũng giống như nói rằng Phương trình (8.39) cho chúng ta biết trạng thái ψ biến thiên theo thời gian như thế nào, vì chúng ta đang mô tả ψ theo các biên độ ⟨i|ψ⟩. Sự biến thiên của ψ theo thời gian được mô tả theo ma trận H_ij, vốn phải bao gồm, dĩ nhiên, những thứ chúng ta đang làm với hệ để khiến nó thay đổi. Nếu chúng ta biết các H_ij — vốn chứa vật lý của tình huống và có thể, nói chung, phụ thuộc vào thời gian — chúng ta có một mô tả đầy đủ về hành vi theo thời gian của hệ. Phương trình (8.39) khi đó là định luật cơ học lượng tử cho động lực học của thế giới. (Chúng ta nên nói rằng chúng ta sẽ luôn lấy một tập hợp các trạng thái cơ sở cố định và không biến thiên theo thời gian. Có những người dùng các trạng thái cơ sở cũng biến thiên. Tuy nhiên, điều đó giống như dùng một hệ tọa độ quay trong cơ học, và chúng ta không muốn dính vào các phức tạp như vậy.)

8–5  Ma trận Hamilton

Ý tưởng, vậy, là để mô tả thế giới cơ học lượng tử chúng ta cần chọn một tập hợp các trạng thái cơ sở i và viết các định luật vật lý bằng cách cho ma trận các hệ số H_ij. Khi đó chúng ta có mọi thứ — chúng ta có thể trả lời bất kỳ câu hỏi nào về điều gì sẽ xảy ra. Vậy chúng ta phải học các quy tắc để tìm các H đi với bất kỳ tình huống vật lý nào là gì — cái gì tương ứng với một từ trường, hoặc một điện trường, và cứ thế. Và đó là phần khó nhất. Chẳng hạn, đối với các hạt lạ mới, chúng ta không có ý niệm nào về việc dùng các H_ij nào. Nói cách khác, không ai biết H_ij đầy đủ cho toàn bộ thế giới. (Một phần của khó khăn là người ta khó có thể hy vọng khám phá ra các H_ij khi không ai thậm chí biết các trạng thái cơ sở là gì!) Chúng ta có các phép gần đúng xuất sắc cho các hiện tượng phi tương đối tính và cho một số trường hợp đặc biệt khác. Đặc biệt, chúng ta có các dạng cần thiết cho các chuyển động của các electron trong các nguyên tử — để mô tả hóa học. Nhưng chúng ta không biết H đúng đầy đủ cho toàn bộ vũ trụ. Các hệ số H_ij được gọi là ma trận Hamilton hay, nói ngắn gọn, chỉ là Hamiltonian. (Việc Hamilton, người làm việc trong những năm 1830, có tên của mình trên một ma trận cơ học lượng tử như thế nào là một câu chuyện lịch sử.) Nó sẽ tốt hơn nhiều nếu được gọi là ma trận năng lượng, vì các lý do sẽ trở nên rõ ràng khi chúng ta làm việc với nó. Vậy vấn đề là: Hãy biết Hamiltonian của bạn! Hamiltonian có một tính chất có thể được suy ra ngay, cụ thể là,

H_ij* = H_ji.   (8.40)

Điều này suy ra từ điều kiện rằng xác suất tổng để hệ ở trong một trạng thái nào đó không thay đổi. Nếu bạn bắt đầu với một hạt — một vật hoặc thế giới — thì bạn vẫn có nó khi thời gian trôi qua. Xác suất tổng để tìm thấy nó ở đâu đó là

∑_i |C_i(t)|²,

vốn không được biến thiên theo thời gian. Nếu điều này phải đúng với bất kỳ điều kiện bắt đầu φ nào, thì Phương trình (8.40) cũng phải đúng. Như ví dụ đầu tiên của chúng ta, chúng ta lấy một tình huống trong đó các hoàn cảnh vật lý không thay đổi theo thời gian; chúng ta muốn nói các điều kiện vật lý bên ngoài, để H độc lập với thời gian. Không ai đang bật và tắt các nam châm. Chúng ta cũng chọn một hệ mà chỉ một trạng thái cơ sở là cần thiết cho việc mô tả; đó là một phép gần đúng chúng ta có thể thực hiện cho một nguyên tử hydro đứng yên, hoặc một cái gì đó tương tự. Phương trình (8.39) khi đó nói

iℏ dC₁/dt = H₁₁C₁.   (8.41)

Chỉ một phương trình — chỉ thế thôi! Và nếu H₁₁ là hằng số, phương trình vi phân này dễ dàng được giải để cho ra

C₁ = (hằng số)e^{−(i/ℏ)H₁₁t}.   (8.42)

Đây là sự phụ thuộc vào thời gian của một trạng thái có năng lượng xác định E = H₁₁. Bạn thấy tại sao H_ij nên được gọi là ma trận năng lượng. Nó là sự tổng quát hóa của năng lượng cho các tình huống phức tạp hơn. Tiếp theo, để hiểu thêm một chút về ý nghĩa của các phương trình, chúng ta nhìn vào một hệ có hai trạng thái cơ sở. Khi đó Phương trình (8.39) đọc là

iℏ dC₁/dt = H₁₁C₁ + H₁₂C₂,    iℏ dC₂/dt = H₂₁C₁ + H₂₂C₂.   (8.43)

Nếu các H một lần nữa độc lập với thời gian, bạn có thể dễ dàng giải các phương trình này. Chúng ta để bạn thử cho vui, và chúng ta sẽ quay lại và làm chúng sau. Vâng, bạn có thể giải cơ học lượng tử mà không cần biết các H, chừng nào chúng độc lập với thời gian.

8–6  Phân tử amoniac

Giờ chúng ta muốn chỉ cho bạn cách phương trình động lực học của cơ học lượng tử có thể được dùng để mô tả một hoàn cảnh vật lý cụ thể. Chúng ta đã chọn một ví dụ thú vị nhưng đơn giản trong đó, bằng cách thực hiện một số đoán hợp lý về Hamiltonian, chúng ta có thể tính ra một số kết quả quan trọng — và thậm chí thực tiễn. Chúng ta sẽ lấy một tình huống có thể mô tả được bởi hai trạng thái: phân tử amoniac.

Phân tử amoniac có một nguyên tử nitơ và ba nguyên tử hydro nằm trong một mặt phẳng bên dưới nitơ để phân tử có dạng một hình chóp, như được vẽ trong Hình 8–1(a). Giờ phân tử này, giống như bất kỳ phân tử nào khác, có một số vô hạn các trạng thái. Nó có thể quay quanh bất kỳ trục khả dĩ nào; nó có thể đang chuyển động theo bất kỳ hướng nào; nó có thể đang dao động bên trong, và cứ thế, và cứ thế. Vì vậy, nó hoàn toàn không phải là một hệ hai trạng thái. Nhưng chúng ta muốn thực hiện một phép gần đúng rằng mọi trạng thái khác vẫn cố định, vì chúng không can dự vào điều chúng ta đang quan tâm lúc này. Chúng ta sẽ chỉ xét rằng phân tử đang quay quanh trục đối xứng của nó (như được chỉ trong hình), rằng nó có động lượng tịnh tiến bằng không, và rằng nó đang dao động ít nhất có thể. Điều đó chỉ rõ mọi điều kiện ngoại trừ một: vẫn còn hai vị trí khả dĩ cho nguyên tử nitơ — nitơ có thể ở một phía của mặt phẳng các nguyên tử hydro hoặc ở phía bên kia, như được chỉ trong Hình 8–1(a) và (b). Vậy chúng ta sẽ thảo luận về phân tử như thể nó là một hệ hai trạng thái. Chúng ta muốn nói rằng chỉ có hai trạng thái chúng ta sẽ thực sự lo lắng về chúng, mọi thứ khác được giả thiết là đứng yên. Bạn thấy đấy, ngay cả nếu chúng ta biết rằng nó đang quay với một mômen động lượng nào đó quanh trục và rằng nó đang chuyển động với một động lượng nào đó và dao động theo một cách xác định, vẫn còn hai trạng thái khả dĩ. Chúng ta sẽ nói rằng phân tử ở trong trạng thái |1⟩ khi nitơ “ở trên”, như trong Hình 8–1(a), và ở trong trạng thái |2⟩ khi nitơ “ở dưới”, như trong (b). Các trạng thái |1⟩ và |2⟩ sẽ được lấy làm tập hợp các trạng thái cơ sở cho phân tích của chúng ta về hành vi của phân tử amoniac. Tại bất kỳ thời điểm nào, trạng thái thực |ψ⟩ của phân tử có thể được biểu diễn bằng cách cho C₁ = ⟨1|ψ⟩, biên độ để ở trong trạng thái |1⟩, và C₂ = ⟨2|ψ⟩, biên độ để ở trong trạng thái |2⟩. Khi đó, dùng Phương trình (8.8) chúng ta có thể viết vectơ trạng thái |ψ⟩ thành

|ψ⟩ = |1⟩⟨1|ψ⟩ + |2⟩⟨2|ψ⟩

hay

|ψ⟩ = |1⟩C₁ + |2⟩C₂.   (8.44)

Giờ điều thú vị là nếu phân tử được biết là ở trong một trạng thái nào đó tại một thời điểm nào đó, nó sẽ không ở trong cùng trạng thái đó một lúc sau. Hai hệ số C sẽ thay đổi theo thời gian theo các phương trình (8.43) — vốn đúng cho bất kỳ hệ hai trạng thái nào. Giả sử, chẳng hạn, rằng bạn đã thực hiện một quan sát nào đó — hoặc đã thực hiện một sự lựa chọn nào đó các phân tử — để bạn biết rằng phân tử ban đầu ở trong trạng thái |1⟩. Tại một thời điểm sau đó, có một khả năng nào đó rằng nó sẽ được tìm thấy trong trạng thái |2⟩. Để tìm ra khả năng này là gì, chúng ta phải giải phương trình vi phân cho chúng ta biết các biên độ thay đổi theo thời gian như thế nào. Rắc rối duy nhất là chúng ta không biết dùng cái gì cho các hệ số H_ij trong Phương trình (8.43). Tuy nhiên, có một số điều chúng ta có thể nói. Giả sử rằng một khi phân tử đã ở trong trạng thái |1⟩ thì không có khả năng nào nó có thể từng đến được |2⟩, và ngược lại. Khi đó H₁₂ và H₂₁ đều sẽ bằng không, và Phương trình (8.43) sẽ đọc là

iℏ dC₁/dt = H₁₁C₁,    iℏ dC₂/dt = H₂₂C₂.

Chúng ta có thể dễ dàng giải hai phương trình này; chúng ta được

C₁ = (hằng số)e^{−(i/ℏ)H₁₁t},    C₂ = (hằng số)e^{−(i/ℏ)H₂₂t}.   (8.45)

Đây chỉ là các biên độ cho các trạng thái dừng với các năng lượng E₁ = H₁₁ và E₂ = H₂₂. Tuy nhiên, chúng ta để ý rằng đối với phân tử amoniac, hai trạng thái |1⟩ và |2⟩ có một đối xứng xác định. Nếu tự nhiên hợp lý chút nào, các phần tử ma trận H₁₁ và H₂₂ phải bằng nhau. Chúng ta sẽ gọi cả hai là E₀, vì chúng tương ứng với năng lượng các trạng thái sẽ có nếu H₁₂ và H₂₁ bằng không. Nhưng các Phương trình (8.45) không cho chúng ta biết amoniac thực sự làm gì. Hóa ra là nitơ có thể tự đẩy qua ba hydro và lật sang phía bên kia. Điều đó khá khó khăn; để đi được nửa đường qua đòi hỏi rất nhiều năng lượng. Nó có thể qua được như thế nào nếu nó không có đủ năng lượng? Có một biên độ nào đó rằng nó sẽ xuyên qua rào năng lượng. Trong cơ học lượng tử người ta có thể lén nhanh chóng qua một vùng bị cấm về mặt năng lượng. Vì vậy, có một biên độ nhỏ nào đó rằng một phân tử bắt đầu trong |1⟩ sẽ đến được trạng thái |2⟩. Các hệ số H₁₂ và H₂₁ không thực sự bằng không. Một lần nữa, theo đối xứng, chúng phải đều giống nhau — ít nhất là về độ lớn. Thực ra, chúng ta đã biết rằng, nói chung, H_ij phải bằng liên hợp phức của H_ji, vì vậy chúng chỉ có thể khác nhau bởi một pha. Hóa ra, như bạn sẽ thấy, không có mất mát tính tổng quát nào nếu chúng ta lấy chúng bằng nhau. Để tiện về sau chúng ta đặt chúng bằng một số âm; chúng ta lấy H₁₂ = H₂₁ = −A. Khi đó chúng ta có cặp phương trình sau đây:

iℏ dC₁/dt = E₀C₁ − AC₂,   (8.46)
iℏ dC₂/dt = E₀C₂ − AC₁.   (8.47)

Các phương trình này đủ đơn giản và có thể được giải bằng nhiều cách. Một cách tiện lợi là như sau. Lấy tổng của cả hai, chúng ta được

iℏ d/dt (C₁ + C₂) = (E₀ − A)(C₁ + C₂),

mà nghiệm của nó là

C₁ + C₂ = a e^{−(i/ℏ)(E₀−A)t}.   (8.48)

Sau đó, lấy hiệu của (8.46) và (8.47), chúng ta thấy rằng

iℏ d/dt (C₁ − C₂) = (E₀ + A)(C₁ − C₂),

điều này cho ra

C₁ − C₂ = b e^{−(i/ℏ)(E₀+A)t}.   (8.49)

Chúng ta đã gọi hai hằng số tích phân là a và b; dĩ nhiên, chúng phải được chọn để cho ra điều kiện bắt đầu thích hợp cho bất kỳ bài toán vật lý cụ thể nào. Giờ, bằng cách cộng và trừ (8.48) và (8.49), chúng ta được C₁ và C₂:

C₁(t) = (a/2)e^{−(i/ℏ)(E₀−A)t} + (b/2)e^{−(i/ℏ)(E₀+A)t},   (8.50)
C₂(t) = (a/2)e^{−(i/ℏ)(E₀−A)t} − (b/2)e^{−(i/ℏ)(E₀+A)t}.   (8.51)

Chúng giống nhau ngoại trừ dấu của số hạng thứ hai. Chúng ta có các nghiệm; giờ chúng có nghĩa là gì? (Rắc rối với cơ học lượng tử không chỉ ở việc giải các phương trình mà còn ở việc hiểu các nghiệm có nghĩa là gì!) Trước hết, hãy để ý rằng nếu b = 0, cả hai số hạng đều có cùng tần số ω = (E₀ − A)/ℏ. Nếu mọi thứ thay đổi ở một tần số, điều đó có nghĩa là hệ ở trong một trạng thái có năng lượng xác định — ở đây, năng lượng (E₀ − A). Vậy có một trạng thái dừng có năng lượng này trong đó hai biên độ C₁ và C₂ bằng nhau. Chúng ta nhận được kết quả rằng phân tử amoniac có một năng lượng xác định (E₀ − A) nếu có các biên độ bằng nhau để nguyên tử nitơ “ở trên” và “ở dưới”. Có một trạng thái dừng khả dĩ khác nếu a = 0; khi đó cả hai biên độ đều có tần số (E₀ + A)/ℏ. Vậy có một trạng thái khác với năng lượng xác định (E₀ + A) nếu hai biên độ bằng nhau nhưng với dấu ngược; C₂ = −C₁. Đây là hai trạng thái duy nhất có năng lượng xác định. Chúng ta sẽ thảo luận về các trạng thái của phân tử amoniac chi tiết hơn trong chương tiếp theo; chúng ta sẽ chỉ đề cập ở đây một vài điều. Chúng ta kết luận rằng vì có một khả năng nào đó rằng nguyên tử nitơ có thể lật từ vị trí này sang vị trí kia, năng lượng của phân tử không chỉ là E₀, như chúng ta đã kỳ vọng, mà có hai mức năng lượng (E₀ + A) và (E₀ − A). Mọi trạng thái khả dĩ của phân tử, dù nó có năng lượng nào, đều bị “tách” thành hai mức. Chúng ta nói mọi trạng thái vì, bạn còn nhớ, chúng ta đã chọn ra một trạng thái cụ thể của sự quay, và năng lượng nội tại, và cứ thế. Đối với mỗi điều kiện khả dĩ thuộc loại đó có một cặp đôi các mức năng lượng vì sự lật qua lật lại của phân tử. Giờ hãy hỏi câu hỏi sau đây về một phân tử amoniac. Giả sử rằng tại t = 0, chúng ta biết rằng một phân tử ở trong trạng thái |1⟩ hay, nói cách khác, rằng C₁(0) = 1 và C₂(0) = 0. Xác suất để phân tử sẽ được tìm thấy trong trạng thái |2⟩ tại thời điểm t là bao nhiêu, hay sẽ vẫn được tìm thấy trong trạng thái |1⟩ tại thời điểm t? Điều kiện bắt đầu của chúng ta cho chúng ta biết a và b là gì trong các Phương trình (8.50) và (8.51). Đặt t = 0, chúng ta có

C₁(0) = (a + b)/2 = 1,    C₂(0) = (a − b)/2 = 0.

Rõ ràng, a = b = 1. Đặt các giá trị này vào các công thức cho C₁(t) và C₂(t) và sắp xếp lại một số số hạng, chúng ta có

C₁(t) = e^{−(i/ℏ)E₀t}[(e^(i/ℏ)At + e^−(i/ℏ)At)/2],
C₂(t) = e^{−(i/ℏ)E₀t}[(e^(i/ℏ)At − e^−(i/ℏ)At)/2].

Chúng ta có thể viết lại chúng thành

C₁(t) = e^{−(i/ℏ)E₀t} cos(At/ℏ),   (8.52)
C₂(t) = i e^{−(i/ℏ)E₀t} sin(At/ℏ).   (8.53)

Hai biên độ có một độ lớn biến thiên điều hòa theo thời gian. Xác suất để phân tử được tìm thấy trong trạng thái |2⟩ tại thời điểm t là bình phương tuyệt đối của C₂(t):

|C₂(t)|² = sin²(At/ℏ).   (8.54)

Xác suất bắt đầu ở không (như nó phải thế), tăng lên một, và sau đó dao động qua lại giữa không và một, như được chỉ trong đường cong được đánh dấu P₂ của Hình 8–2. Xác suất ở trong trạng thái |1⟩, dĩ nhiên, không ở yên ở một. Nó “đổ” vào trạng thái thứ hai cho tới khi xác suất tìm thấy phân tử trong trạng thái thứ nhất bằng không, như được chỉ bởi đường cong P₁ của Hình 8–2. Xác suất chảy qua lại giữa hai trạng thái.

Đã lâu rồi chúng ta đã thấy điều gì xảy ra khi chúng ta có hai con lắc bằng nhau với một liên kết nhẹ. (Xem Chương 49, Tập I.) Khi chúng ta nâng một cái lên và thả ra, nó đu đưa, nhưng sau đó dần dần cái kia bắt đầu đu đưa. Khá nhanh sau đó con lắc thứ hai đã nhận hết năng lượng. Sau đó, quá trình đảo ngược, và con lắc số một nhận lại năng lượng. Nó đúng là cùng một loại sự việc. Tốc độ mà năng lượng được hoán đổi qua lại phụ thuộc vào liên kết giữa hai con lắc — tốc độ mà “dao động” có thể rò rỉ qua. Ngoài ra, bạn còn nhớ, với hai con lắc có hai chuyển động đặc biệt — mỗi cái có một tần số xác định — mà chúng ta gọi là các mode cơ bản. Nếu chúng ta kéo cả hai con lắc ra cùng nhau, chúng đu đưa cùng nhau ở một tần số. Mặt khác, nếu chúng ta kéo một cái ra một phía và cái kia ra phía bên kia, có một mode dừng khác cũng ở một tần số xác định. À, ở đây chúng ta có một tình huống tương tự — phân tử amoniac về mặt toán học giống như cặp con lắc. Đây là hai tần số — (E₀ − A)/ℏ và (E₀ + A)/ℏ — cho khi chúng dao động cùng nhau, hay dao động ngược nhau. Sự tương tự với con lắc không sâu xa hơn nguyên lý rằng cùng các phương trình có cùng các nghiệm. Các phương trình tuyến tính cho các biên độ (8.39) rất giống các phương trình tuyến tính của các dao động tử điều hòa. (Thực ra, đây là lý do đằng sau sự thành công của lý thuyết cổ điển của chúng ta về chiết suất, trong đó chúng ta đã thay thế nguyên tử cơ học lượng tử bằng một dao động tử điều hòa, mặc dù, theo cổ điển, đây không phải là một quan điểm hợp lý về các electron quay quanh một hạt nhân.) Nếu bạn kéo nitơ sang một phía, khi đó bạn nhận được một chồng chập của hai tần số này, và bạn nhận được một thứ như một nốt phách, vì hệ không ở trong trạng thái này hay trạng thái kia có tần số xác định. Tuy nhiên, sự tách các mức năng lượng của phân tử amoniac là một hiệu ứng hoàn toàn cơ học lượng tử. Sự tách các mức năng lượng của phân tử amoniac có các ứng dụng thực tiễn quan trọng mà chúng ta sẽ mô tả trong chương tiếp theo. Cuối cùng chúng ta đã có một ví dụ về một bài toán vật lý thực tiễn mà bạn có thể hiểu bằng cơ học lượng tử!