Chương 9: Maser amoniac

9–1  Các trạng thái của một phân tử amoniac

Trong chương này chúng ta sẽ thảo luận về ứng dụng của cơ học lượng tử vào một thiết bị thực tiễn, maser amoniac. Bạn có thể thắc mắc tại sao chúng ta dừng sự phát triển hình thức của cơ học lượng tử lại để làm một bài toán đặc biệt, nhưng bạn sẽ thấy rằng nhiều đặc điểm của bài toán đặc biệt này khá phổ biến trong lý thuyết tổng quát của cơ học lượng tử, và bạn sẽ học được rất nhiều bằng cách xét bài toán này một cách chi tiết. Maser amoniac là một thiết bị để tạo ra các sóng điện từ, mà hoạt động của nó dựa trên các tính chất của phân tử amoniac mà chúng ta đã thảo luận vắn tắt trong chương trước. Chúng ta bắt đầu bằng cách tóm tắt những gì chúng ta đã tìm ra ở đó. Phân tử amoniac có nhiều trạng thái, nhưng chúng ta đang xét nó như một hệ hai trạng thái, giờ chỉ nghĩ về điều gì xảy ra khi phân tử ở trong bất kỳ trạng thái cụ thể nào của sự quay hoặc tịnh tiến. Một mô hình vật lý cho hai trạng thái có thể được hình dung như sau. Nếu phân tử amoniac được coi là đang quay quanh một trục đi qua nguyên tử nitơ và vuông góc với mặt phẳng của các nguyên tử hydro, như được chỉ trong Hình 9–1, vẫn còn hai điều kiện khả dĩ — nitơ có thể ở một phía của mặt phẳng các nguyên tử hydro hoặc ở phía bên kia. Chúng ta gọi hai trạng thái này là |1⟩ và |2⟩. Chúng được lấy làm một tập hợp các trạng thái cơ sở cho phân tích của chúng ta về hành vi của phân tử amoniac.

Trong một hệ có hai trạng thái cơ sở, bất kỳ trạng thái |ψ⟩ nào của hệ cũng luôn có thể được mô tả thành một tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái cơ sở; tức là, có một biên độ C₁ nào đó để ở trong một trạng thái cơ sở và một biên độ C₂ để ở trong trạng thái kia. Chúng ta có thể viết vectơ trạng thái của nó thành

|ψ⟩ = |1⟩C₁ + |2⟩C₂,   (9.1)

trong đó

C₁ = ⟨1|ψ⟩   và   C₂ = ⟨2|ψ⟩.

Hai biên độ này thay đổi theo thời gian theo các phương trình Hamilton, Phương trình (8.43). Tận dụng đối xứng của hai trạng thái của phân tử amoniac, chúng ta đặt H₁₁ = H₂₂ = E₀, và H₁₂ = H₂₁ = −A, và nhận được nghiệm [xem các Phương trình (8.50) và (8.51)]

C₁ = (a/2)e^{−(i/ℏ)(E₀−A)t} + (b/2)e^{−(i/ℏ)(E₀+A)t},   (9.2)
C₂ = (a/2)e^{−(i/ℏ)(E₀−A)t} − (b/2)e^{−(i/ℏ)(E₀+A)t}.   (9.3)

Giờ chúng ta muốn nhìn kỹ hơn vào các nghiệm tổng quát này. Giả sử rằng phân tử ban đầu được đặt vào một trạng thái |ψ_II⟩ mà đối với nó hệ số b bằng không. Khi đó tại t = 0 các biên độ để ở trong các trạng thái |1⟩ và |2⟩ là đồng nhất, và chúng cứ như vậy mãi mãi. Pha của chúng đều biến thiên theo thời gian theo cùng một cách — với tần số (E₀ − A)/ℏ. Tương tự, nếu chúng ta đặt phân tử vào một trạng thái |ψ_I⟩ mà đối với nó a = 0, biên độ C₂ là âm của C₁, và mối quan hệ này sẽ cứ như vậy mãi mãi. Cả hai biên độ giờ sẽ biến thiên theo thời gian với tần số (E₀ + A)/ℏ. Đây là hai khả năng duy nhất của các trạng thái mà đối với chúng mối quan hệ giữa C₁ và C₂ độc lập với thời gian. Chúng ta đã tìm ra hai nghiệm đặc biệt trong đó hai biên độ không biến thiên về độ lớn và, hơn nữa, có các pha biến thiên ở cùng các tần số. Đây là các trạng thái dừng như chúng ta đã định nghĩa chúng trong Mục 7–1, điều đó có nghĩa là chúng là các trạng thái có năng lượng xác định. Trạng thái |ψ_II⟩ có năng lượng E_II = E₀ − A, và trạng thái |ψ_I⟩ có năng lượng E_I = E₀ + A. Chúng là hai trạng thái dừng duy nhất tồn tại, vì vậy chúng ta thấy rằng phân tử có hai mức năng lượng, với hiệu năng lượng 2A. (Dĩ nhiên, chúng ta muốn nói hai mức năng lượng cho trạng thái đã giả thiết của sự quay và dao động mà chúng ta đã nhắc tới trong các giả thiết ban đầu của mình.)¹ Nếu chúng ta đã không cho phép khả năng nitơ lật qua lại, chúng ta đã sẽ lấy A bằng không và hai mức năng lượng sẽ nằm chồng lên nhau ở năng lượng E₀. Các mức thực không phải như vậy; năng lượng trung bình của chúng là E₀, nhưng chúng bị tách ra ±A, cho một khoảng cách 2A giữa các năng lượng của hai trạng thái. Vì A, thực ra, rất nhỏ, hiệu năng lượng cũng rất nhỏ. Để kích thích một electron bên trong một nguyên tử, các năng lượng liên quan tương đối rất cao — đòi hỏi các photon trong vùng quang học hoặc tử ngoại. Để kích thích các dao động của các phân tử liên quan đến các photon trong vùng hồng ngoại. Nếu bạn nói về kích thích các phép quay, các hiệu năng lượng của các trạng thái tương ứng với các photon trong vùng hồng ngoại xa. Nhưng hiệu năng lượng 2A thấp hơn bất kỳ cái nào trong số đó và, thực ra, ở dưới vùng hồng ngoại và vào sâu trong vùng vi sóng. Bằng thực nghiệm, người ta đã tìm ra rằng có một cặp mức năng lượng với khoảng cách 10⁻⁴ electron volt — tương ứng với một tần số 24.000 megacycle. Rõ ràng điều này có nghĩa là 2A = hf, với f = 24.000 megacycle (tương ứng với một bước sóng 1¼ cm). Vậy ở đây chúng ta có một phân tử có một chuyển đổi không phát ra ánh sáng theo nghĩa thông thường, mà phát ra các vi sóng. Đối với công việc tiếp theo chúng ta cần mô tả hai trạng thái có năng lượng xác định này tốt hơn một chút. Giả sử chúng ta xây dựng một biên độ C_II bằng cách lấy tổng của hai số C₁ và C₂:

C_II = C₁ + C₂ = ⟨1|φ⟩ + ⟨2|φ⟩.   (9.4)

Điều đó có nghĩa là gì? À, đây chỉ là biên độ để tìm trạng thái |φ⟩ trong một trạng thái mới |II⟩ trong đó các biên độ của các trạng thái cơ sở gốc bằng nhau. Tức là, viết C_II = ⟨II|φ⟩, chúng ta có thể trừu tượng hóa |φ⟩ khỏi Phương trình (9.4) — vì nó đúng với bất kỳ φ nào — và nhận được

⟨II| = ⟨1| + ⟨2|,

điều này có nghĩa giống như

|II⟩ = |1⟩ + |2⟩.   (9.5)

Biên độ để trạng thái |II⟩ ở trong trạng thái |1⟩ là

⟨1|II⟩ = ⟨1|1⟩ + ⟨1|2⟩,

vốn, dĩ nhiên, chỉ là 1, vì |1⟩ và |2⟩ là các trạng thái cơ sở. Biên độ để trạng thái |II⟩ ở trong trạng thái |2⟩ cũng là 1, vì vậy trạng thái |II⟩ là một trạng thái có các biên độ bằng nhau để ở trong hai trạng thái cơ sở |1⟩ và |2⟩. Tuy nhiên, chúng ta gặp một chút rắc rối. Trạng thái |II⟩ có một xác suất tổng lớn hơn một để ở trong một trạng thái cơ sở nào đó. Điều đó đơn giản có nghĩa, tuy nhiên, là vectơ trạng thái không được “chuẩn hóa” đúng cách. Chúng ta có thể xử lý điều đó bằng cách nhớ rằng chúng ta phải có ⟨II|II⟩ = 1, điều này phải đúng cho bất kỳ trạng thái nào. Dùng hệ thức tổng quát rằng

⟨χ|φ⟩ = ∑_i ⟨χ|i⟩⟨i|φ⟩,

để cả φ và χ đều là trạng thái II, và lấy tổng trên các trạng thái cơ sở |1⟩ và |2⟩, chúng ta nhận được rằng

⟨II|II⟩ = ⟨II|1⟩⟨1|II⟩ + ⟨II|2⟩⟨2|II⟩.

Điều này sẽ bằng một như nó phải thế nếu chúng ta thay đổi định nghĩa của C_II — trong Phương trình (9.4) — thành

C_II = (1/√2)[C₁ + C₂].

Theo cùng một cách chúng ta có thể xây dựng một biên độ

C_I = (1/√2)[C₁ − C₂],

hay

C_I = (1/√2)[⟨1|φ⟩ − ⟨2|φ⟩].   (9.6)

Biên độ này là hình chiếu của trạng thái |φ⟩ vào một trạng thái mới |I⟩ vốn có các biên độ ngược nhau để ở trong các trạng thái |1⟩ và |2⟩. Cụ thể, Phương trình (9.6) có nghĩa giống như

⟨I| = (1/√2)[⟨1| − ⟨2|],

hay

|I⟩ = (1/√2)[|1⟩ − |2⟩],   (9.7)

từ đó suy ra rằng

⟨1|I⟩ = 1/√2 = −⟨2|I⟩.

Giờ lý do chúng ta đã làm tất cả những điều này là các trạng thái |I⟩ và |II⟩ có thể được lấy làm một tập hợp mới các trạng thái cơ sở đặc biệt tiện lợi cho việc mô tả các trạng thái dừng của phân tử amoniac. Bạn còn nhớ rằng yêu cầu cho một tập hợp các trạng thái cơ sở là

⟨i|j⟩ = δ_ij.

Chúng ta đã sửa mọi thứ để

⟨I|I⟩ = ⟨II|II⟩ = 1.

Bạn có thể dễ dàng chỉ ra từ các Phương trình (9.5) và (9.7) rằng

⟨I|II⟩ = ⟨II|I⟩ = 0.

Các biên độ C_I = ⟨I|φ⟩ và C_II = ⟨II|φ⟩ cho bất kỳ trạng thái φ nào để ở trong các trạng thái cơ sở mới |I⟩ và |II⟩ của chúng ta cũng phải thỏa mãn một phương trình Hamilton có dạng của Phương trình (8.39). Thực ra, nếu chúng ta chỉ trừ hai phương trình (9.2) và (9.3) và lấy đạo hàm theo t, chúng ta thấy rằng

iℏ dC_I/dt = (E₀ + A)C_I = E_IC_I.   (9.8)

Và lấy tổng của các Phương trình (9.2) và (9.3), chúng ta thấy rằng

iℏ dC_II/dt = (E₀ − A)C_II = E_IIC_II.   (9.9)

Dùng |I⟩ và |II⟩ cho các trạng thái cơ sở, ma trận Hamilton có dạng đơn giản

H_I,I = E_I,    H_I,II = 0,
H_II,I = 0,    H_II,II = E_II.

Hãy để ý rằng mỗi phương trình trong các Phương trình (9.8) và (9.9) trông đúng như cái chúng ta đã có trong Mục 8–6 cho phương trình của một hệ một trạng thái. Chúng có một sự phụ thuộc hàm mũ đơn giản vào thời gian tương ứng với một năng lượng duy nhất. Khi thời gian trôi qua, các biên độ để ở trong mỗi trạng thái hành xử độc lập. Hai trạng thái dừng |ψ_I⟩ và |ψ_II⟩ chúng ta đã tìm ra ở trên, dĩ nhiên, là các nghiệm của các Phương trình (9.8) và (9.9). Trạng thái |ψ_I⟩ (mà đối với nó C₁ = −C₂) có

C_I = e^{−(i/ℏ)(E₀+A)t},    C_II = 0.   (9.10)

Và trạng thái |ψ_II⟩ (mà đối với nó C₁ = C₂) có

C_I = 0,    C_II = e^{−(i/ℏ)(E₀−A)t}.   (9.11)

Hãy nhớ rằng các biên độ trong Phương trình (9.10) là

C_I = ⟨I|ψ_I⟩,   và   C_II = ⟨II|ψ_I⟩;

vì vậy Phương trình (9.10) có nghĩa giống như

|ψ_I⟩ = |I⟩e^{−(i/ℏ)(E₀+A)t}.

Tức là, vectơ trạng thái của trạng thái dừng |ψ_I⟩ cũng giống như vectơ trạng thái của trạng thái cơ sở |I⟩ ngoại trừ thừa số hàm mũ thích hợp với năng lượng của trạng thái. Thực ra tại t = 0

|ψ_I⟩ = |I⟩;

trạng thái |I⟩ có cùng cấu hình vật lý như trạng thái dừng có năng lượng E₀ + A. Theo cùng một cách, chúng ta có cho trạng thái dừng thứ hai rằng

|ψ_II⟩ = |II⟩e^{−(i/ℏ)(E₀−A)t}.

Trạng thái |II⟩ chỉ là trạng thái dừng có năng lượng E₀ − A tại t = 0. Vậy hai trạng thái cơ sở mới |I⟩ và |II⟩ của chúng ta có về mặt vật lý dạng của các trạng thái có năng lượng xác định, với thừa số thời gian hàm mũ được lấy ra để chúng có thể là các trạng thái cơ sở độc lập với thời gian. (Trong những điều tiếp theo chúng ta sẽ thấy tiện lợi khi không phải luôn phân biệt giữa các trạng thái dừng |ψ_I⟩ và |ψ_II⟩ và các trạng thái cơ sở của chúng |I⟩ và |II⟩, vì chúng chỉ khác nhau bởi các thừa số thời gian hiển nhiên.) Tóm lại, các vectơ trạng thái |I⟩ và |II⟩ là một cặp vectơ cơ sở thích hợp cho việc mô tả các trạng thái có năng lượng xác định của phân tử amoniac. Chúng liên hệ với các vectơ cơ sở gốc của chúng ta bởi

|I⟩ = (1/√2)[|1⟩ − |2⟩],    |II⟩ = (1/√2)[|1⟩ + |2⟩].   (9.12)

Các biên độ để ở trong |I⟩ và |II⟩ liên hệ với C₁ và C₂ bởi

C_I = (1/√2)[C₁ − C₂],    C_II = (1/√2)[C₁ + C₂].   (9.13)

Bất kỳ trạng thái nào cũng có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính của |1⟩ và |2⟩ — với các hệ số C₁ và C₂ — hoặc bởi một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở có năng lượng xác định |I⟩ và |II⟩ — với các hệ số C_I và C_II. Vậy,

|φ⟩ = |1⟩C₁ + |2⟩C₂

hoặc

|φ⟩ = |I⟩C_I + |II⟩C_II.

Dạng thứ hai cho chúng ta các biên độ để tìm trạng thái |φ⟩ trong một trạng thái với năng lượng E_I = E₀ + A hoặc trong một trạng thái với năng lượng E_II = E₀ − A.

9–2  Phân tử trong một điện trường tĩnh

Nếu phân tử amoniac ở trong một trong hai trạng thái có năng lượng xác định và chúng ta nhiễu loạn nó ở một tần số ω sao cho ℏω = E_I − E_II = 2A, hệ có thể thực hiện một chuyển đổi từ trạng thái này sang trạng thái kia. Hay, nếu nó ở trạng thái trên, nó có thể chuyển sang trạng thái dưới và phát ra một photon. Nhưng để gây ra các chuyển đổi như vậy bạn phải có một kết nối vật lý tới các trạng thái — một cách nào đó để nhiễu loạn hệ. Phải có một bộ máy bên ngoài nào đó để tác động lên các trạng thái, như các từ trường hoặc điện trường. Trong trường hợp đặc biệt này, các trạng thái này nhạy với một điện trường. Vì vậy, tiếp theo chúng ta sẽ xét bài toán về hành vi của phân tử amoniac trong một điện trường bên ngoài.

Để thảo luận hành vi trong một điện trường, chúng ta sẽ quay lại hệ cơ sở gốc |1⟩ và |2⟩, thay vì dùng |I⟩ và |II⟩. Giả sử rằng có một điện trường theo một hướng vuông góc với mặt phẳng của các nguyên tử hydro. Tạm thời bỏ qua khả năng lật qua lại, liệu có đúng là năng lượng của phân tử này là như nhau đối với hai vị trí của nguyên tử nitơ? Nói chung, không. Các electron có xu hướng nằm gần nitơ hơn so với các hạt nhân hydro, vì vậy các hydro hơi dương. Lượng thực tế phụ thuộc vào các chi tiết của sự phân bố electron. Việc tìm ra chính xác sự phân bố này là gì là một bài toán phức tạp, nhưng trong mọi trường hợp kết quả ròng là phân tử amoniac có một mômen lưỡng cực điện, như được chỉ trong Hình 9–1. Chúng ta có thể tiếp tục phân tích của mình mà không cần biết chi tiết hướng hay độ lớn của sự dịch chuyển của điện tích. Tuy nhiên, để nhất quán với ký hiệu của những người khác, hãy giả sử rằng mômen lưỡng cực điện là μ, với hướng của nó chỉ ra xa khỏi nguyên tử nitơ và vuông góc với mặt phẳng của các nguyên tử hydro.

Giờ, khi nitơ lật từ phía này sang phía kia, khối tâm sẽ không chuyển động, nhưng mômen lưỡng cực điện sẽ lật ngược lại. Do mômen này, năng lượng trong một điện trường ℰ sẽ phụ thuộc vào định hướng của phân tử.² Với giả thiết đã thực hiện ở trên, thế năng sẽ cao hơn nếu nguyên tử nitơ chỉ theo hướng của trường, và thấp hơn nếu nó ở hướng ngược lại; khoản chênh lệch trong hai năng lượng sẽ là 2μℰ.

Trong thảo luận cho tới thời điểm này, chúng ta đã giả thiết các giá trị của E₀ và A mà không biết cách tính chúng. Theo lý thuyết vật lý đúng, lẽ ra phải có thể tính các hằng số này theo các vị trí và chuyển động của tất cả các hạt nhân và electron. Nhưng chưa ai từng làm điều đó. Một hệ như vậy liên quan đến mười electron và bốn hạt nhân và đó đơn giản là một bài toán quá phức tạp. Thực ra, không có ai biết nhiều hơn về phân tử này so với chúng ta. Tất cả những gì bất kỳ ai có thể nói là khi có một điện trường, năng lượng của hai trạng thái là khác nhau, hiệu đó tỉ lệ với điện trường. Chúng ta đã gọi hệ số tỉ lệ là 2μ, nhưng giá trị của nó phải được xác định bằng thực nghiệm. Chúng ta cũng có thể nói rằng phân tử có biên độ A để lật qua, nhưng điều này sẽ phải được đo bằng thực nghiệm. Không ai có thể cho chúng ta các giá trị lý thuyết chính xác của μ và A, vì các tính toán quá phức tạp để thực hiện chi tiết.

Đối với phân tử amoniac trong một điện trường, mô tả của chúng ta phải được thay đổi. Nếu chúng ta bỏ qua biên độ để phân tử lật từ cấu hình này sang cấu hình kia, chúng ta sẽ kỳ vọng các năng lượng của hai trạng thái |1⟩ và |2⟩ là (E₀ ± μℰ). Theo thủ tục của chương trước, chúng ta lấy

H₁₁ = E₀ + μℰ,    H₂₂ = E₀ − μℰ.   (9.14)

Chúng ta cũng sẽ giả thiết rằng đối với các điện trường chúng ta quan tâm, trường không ảnh hưởng đáng kể tới hình học của phân tử và, vì vậy, không ảnh hưởng tới biên độ mà nitơ sẽ nhảy từ vị trí này sang vị trí kia. Khi đó chúng ta có thể lấy H₁₂ và H₂₁ không thay đổi; vì vậy

H₁₂ = H₂₁ = −A.   (9.15)

Giờ chúng ta phải giải các phương trình Hamilton, Phương trình (8.43), với các giá trị mới này của H_ij. Chúng ta có thể giải chúng đúng như chúng ta đã làm trước đây, nhưng vì chúng ta sẽ có vài dịp cần các nghiệm cho các hệ hai trạng thái, hãy giải các phương trình một lần cho xong trong trường hợp tổng quát của H_ij tùy ý — chỉ giả thiết rằng chúng không thay đổi theo thời gian. Chúng ta muốn nghiệm tổng quát của cặp phương trình Hamilton

iℏ dC₁/dt = H₁₁C₁ + H₁₂C₂,   (9.16)
iℏ dC₂/dt = H₂₁C₁ + H₂₂C₂.   (9.17)

Vì đây là các phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằng, chúng ta luôn có thể tìm các nghiệm là các hàm mũ của biến phụ thuộc t. Trước hết chúng ta sẽ tìm một nghiệm trong đó C₁ và C₂ đều có cùng sự phụ thuộc vào thời gian; chúng ta có thể dùng các hàm thử

C₁ = a₁e^−iωt,    C₂ = a₂e^−iωt.

Vì một nghiệm như vậy tương ứng với một trạng thái có năng lượng E = ℏω, chúng ta cũng có thể viết ngay rằng

C₁ = a₁e^−(i/ℏ)Et,   (9.18)
C₂ = a₂e^−(i/ℏ)Et,   (9.19)

trong đó E vẫn chưa biết và phải được xác định sao cho các phương trình vi phân (9.16) và (9.17) được thỏa mãn. Khi chúng ta thế C₁ và C₂ từ (9.18) và (9.19) vào các phương trình vi phân (9.16) và (9.17), các đạo hàm cho chúng ta chỉ là −iE/ℏ lần C₁ hoặc C₂, vì vậy các vế trái trở thành chỉ là EC₁ và EC₂. Triệt tiêu các thừa số mũ chung, chúng ta nhận được

Ea₁ = H₁₁a₁ + H₁₂a₂,    Ea₂ = H₂₁a₁ + H₂₂a₂.

Hay, sắp xếp lại các số hạng, chúng ta có

(E − H₁₁)a₁ − H₁₂a₂ = 0,   (9.20)
−H₂₁a₁ + (E − H₂₂)a₂ = 0.   (9.21)

Với một tập hợp các phương trình đại số đồng nhất như vậy, sẽ có các nghiệm khác không cho a₁ và a₂ chỉ nếu định thức của các hệ số của a₁ và a₂ bằng không, tức là, nếu

= 0.   (9.22)

Tuy nhiên, khi chỉ có hai phương trình và hai ẩn, chúng ta không cần một ý tưởng tinh vi như vậy. Hai phương trình (9.20) và (9.21) mỗi cái cho một tỉ số cho hai hệ số a₁ và a₂, và hai tỉ số này phải bằng nhau. Từ (9.20) chúng ta có

a₁/a₂ = H₁₂/(E − H₁₁),   (9.23)

và từ (9.21) rằng

a₁/a₂ = (E − H₂₂)/H₂₁.   (9.24)

Cho hai tỉ số này bằng nhau, chúng ta nhận được rằng E phải thỏa mãn

(E − H₁₁)(E − H₂₂) − H₁₂H₂₁ = 0.

Đây là cùng kết quả chúng ta sẽ nhận được bằng cách giải Phương trình (9.22). Dù bằng cách nào, chúng ta có một phương trình bậc hai cho E có hai nghiệm:

E = (H₁₁ + H₂₂)/2 ± √[ ((H₁₁ − H₂₂)²)/4 + H₁₂H₂₁ ].   (9.25)

Có hai giá trị khả dĩ cho năng lượng E. Hãy để ý rằng cả hai nghiệm đều cho các số thực cho năng lượng, vì H₁₁ và H₂₂ là thực, và H₁₂H₂₁ bằng H₁₂H₁₂* = |H₁₂|², vốn vừa thực vừa dương. Dùng cùng quy ước chúng ta đã lấy trước đây, chúng ta sẽ gọi năng lượng trên là E_I và năng lượng dưới là E_II. Chúng ta có

E_I = (H₁₁ + H₂₂)/2 + √[ ((H₁₁ − H₂₂)²)/4 + H₁₂H₂₁ ],   (9.26)
E_II = (H₁₁ + H₂₂)/2 − √[ ((H₁₁ − H₂₂)²)/4 + H₁₂H₂₁ ].   (9.27)

Dùng mỗi một trong hai năng lượng này một cách riêng rẽ trong các Phương trình (9.18) và (9.19), chúng ta có các biên độ cho hai trạng thái dừng (các trạng thái có năng lượng xác định). Nếu không có các nhiễu loạn bên ngoài, một hệ ban đầu ở trong một trong các trạng thái này sẽ cứ như vậy mãi mãi — chỉ pha của nó thay đổi.

Chúng ta có thể kiểm tra các kết quả của mình cho hai trường hợp đặc biệt. Nếu H₁₂ = H₂₁ = 0, chúng ta có E_I = H₁₁ và E_II = H₂₂. Điều này chắc chắn đúng, vì khi đó các Phương trình (9.16) và (9.17) không liên kết, và mỗi cái biểu diễn một trạng thái có năng lượng H₁₁ và H₂₂. Tiếp theo, nếu chúng ta đặt H₁₁ = H₂₂ = E₀ và H₂₁ = H₁₂ = −A, chúng ta nhận được nghiệm chúng ta đã tìm ra trước đây:

E_I = E₀ + A   và   E_II = E₀ − A.

Đối với trường hợp tổng quát, hai nghiệm E_I và E_II quy chiếu tới hai trạng thái — mà chúng ta có thể lại gọi là các trạng thái

|ψ_I⟩ = |I⟩e^{−(i/ℏ)E_It}   và   |ψ_II⟩ = |II⟩e^{−(i/ℏ)E_IIt}.

Các trạng thái này sẽ có C₁ và C₂ như đã cho trong các Phương trình (9.18) và (9.19), trong đó a₁ và a₂ vẫn còn phải được xác định. Tỉ số của chúng được cho bởi hoặc Phương trình (9.23) hoặc Phương trình (9.24). Chúng cũng phải thỏa mãn một điều kiện nữa. Nếu hệ được biết là ở trong một trong các trạng thái dừng, tổng của các xác suất mà nó sẽ được tìm thấy trong |1⟩ hoặc |2⟩ phải bằng một. Chúng ta phải có

|C₁|² + |C₂|² = 1,   (9.28)

hay, tương đương,

|a₁|² + |a₂|² = 1.   (9.29)

Các điều kiện này không chỉ rõ duy nhất a₁ và a₂; chúng vẫn chưa được xác định bởi một pha tùy ý — nói cách khác, bởi một thừa số như e^iδ. Mặc dù các nghiệm tổng quát cho các a có thể được viết ra,³ thường tiện lợi hơn khi tính chúng cho từng trường hợp đặc biệt.

Giờ hãy quay lại ví dụ cụ thể của chúng ta về phân tử amoniac trong một điện trường. Dùng các giá trị cho H₁₁, H₂₂, và H₁₂ đã cho trong (9.14) và (9.15), chúng ta nhận được cho các năng lượng của hai trạng thái dừng

E_I = E₀ + √(A² + μ²ℰ²),    E_II = E₀ − √(A² + μ²ℰ²).   (9.30)

Hai năng lượng này được vẽ như hàm của cường độ điện trường ℰ trong Hình 9–2. Khi điện trường bằng không, hai năng lượng, dĩ nhiên, chỉ là E₀ ± A. Khi một điện trường được đặt vào, sự tách ra giữa hai mức tăng lên. Sự tách ra lúc đầu tăng chậm theo ℰ, nhưng cuối cùng trở nên tỉ lệ với ℰ. (Đường cong là một hyperbol.) Đối với các trường cực mạnh, các năng lượng chỉ là

E_I = E₀ + μℰ = H₁₁,    E_II = E₀ − μℰ = H₂₂.   (9.31)

Việc có một biên độ để nitơ lật qua lại có ít tác dụng khi hai vị trí có các năng lượng rất khác nhau. Đây là một điểm thú vị mà chúng ta sẽ quay lại sau này.

Cuối cùng chúng ta đã sẵn sàng để hiểu hoạt động của maser amoniac. Ý tưởng là như sau. Trước hết, chúng ta tìm một cách để tách các phân tử ở trạng thái |I⟩ ra khỏi các phân tử ở trạng thái |II⟩.⁴ Sau đó các phân tử ở trạng thái năng lượng cao hơn |I⟩ được đưa qua một khoang chứa có tần số cộng hưởng 24.000 megacycle. Các phân tử có thể chuyển giao năng lượng cho khoang — theo một cách chúng ta sẽ thảo luận sau — và rời khoang ở trạng thái |II⟩. Mỗi phân tử thực hiện một chuyển đổi như vậy sẽ chuyển giao năng lượng E = E_I − E_II cho khoang. Năng lượng từ các phân tử sẽ xuất hiện dưới dạng năng lượng điện trong khoang.

Chúng ta có thể tách hai trạng thái phân tử như thế nào? Một phương pháp là như sau. Khí amoniac được cho thoát ra từ một tia nhỏ và đi qua một cặp khe để cho một chùm hẹp, như được chỉ trong Hình 9–3. Chùm sau đó được gửi qua một vùng trong đó có một điện trường ngang lớn. Các điện cực để tạo ra trường được tạo hình sao cho điện trường biến thiên nhanh qua chùm. Khi đó bình phương của điện trường ℰ·ℰ sẽ có một gradient lớn vuông góc với chùm. Giờ một phân tử ở trạng thái |I⟩ có một năng lượng tăng theo ℰ², và vì vậy phần này của chùm sẽ bị làm lệch về phía vùng có ℰ² thấp hơn. Một phân tử ở trạng thái |II⟩, mặt khác, sẽ bị làm lệch về phía vùng có ℰ² lớn hơn, vì năng lượng của nó giảm khi ℰ² tăng.

Ngẫu nhiên, với các điện trường có thể được tạo ra trong phòng thí nghiệm, năng lượng μℰ luôn nhỏ hơn A rất nhiều. Trong các trường hợp như vậy, căn bậc hai trong các Phương trình (9.30) có thể được gần đúng bởi

A(1 + ½ μ²ℰ²/A²).   (9.32)

Vì vậy các mức năng lượng là, đối với mọi mục đích thực tiễn,

E_I = E₀ + A + μ²ℰ²/(2A),   (9.33)

và

E_II = E₀ − A − μ²ℰ²/(2A).   (9.34)

Và các năng lượng biến thiên gần như tuyến tính theo ℰ². Lực lên các phân tử khi đó là

F = (μ²/(2A))∇(ℰ²).   (9.35)

Nhiều phân tử có một năng lượng trong một điện trường tỉ lệ với ℰ². Hệ số là độ phân cực của phân tử. Amoniac có một độ phân cực cao bất thường vì giá trị nhỏ của A ở mẫu số. Vì vậy, các phân tử amoniac nhạy bất thường với một điện trường. (Bạn sẽ kỳ vọng điều gì cho hệ số điện môi của khí NH₃?)

9–3  Các chuyển đổi trong một trường phụ thuộc thời gian

Trong maser amoniac, chùm với các phân tử ở trạng thái |I⟩ và với năng lượng E_I được gửi qua một khoang cộng hưởng, như được chỉ trong Hình 9–4. Chùm còn lại bị loại bỏ. Bên trong khoang, sẽ có một điện trường biến thiên theo thời gian, vì vậy bài toán tiếp theo chúng ta phải thảo luận là hành vi của một phân tử trong một điện trường biến thiên theo thời gian. Chúng ta có một loại bài toán hoàn toàn khác — một bài toán với một Hamiltonian phụ thuộc thời gian. Vì H_ij phụ thuộc vào ℰ, các H_ij biến thiên theo thời gian, và chúng ta phải xác định hành vi của hệ trong hoàn cảnh này. Để bắt đầu, chúng ta viết ra các phương trình cần giải:

iℏ dC₁/dt = (E₀ + μℰ)C₁ − AC₂,   (9.36)
iℏ dC₂/dt = −AC₁ + (E₀ − μℰ)C₂.

Để cho xác định, hãy giả sử rằng điện trường biến thiên theo hình sin; khi đó chúng ta có thể viết

ℰ = 2ℰ₀ cos ωt = ℰ₀(e^iωt + e^−iωt).   (9.37)

Trong hoạt động thực tế tần số ω sẽ rất gần bằng tần số cộng hưởng của chuyển đổi phân tử ω₀ = 2A/ℏ, nhưng tạm thời chúng ta muốn giữ mọi thứ tổng quát, vì vậy chúng ta sẽ để nó có bất kỳ giá trị nào. Cách tốt nhất để giải các phương trình của chúng ta là tạo các tổ hợp tuyến tính của C₁ và C₂ như chúng ta đã làm trước đây. Vì vậy chúng ta cộng hai phương trình, chia cho căn bậc hai của 2, và dùng các định nghĩa của C_I và C_II mà chúng ta đã có trong Phương trình (9.13). Chúng ta nhận được

iℏ dC_II/dt = (E₀ − A)C_II + μℰC_I.   (9.38)

Bạn sẽ để ý rằng điều này giống như Phương trình (9.9) với một số hạng thêm vào do điện trường. Tương tự, nếu chúng ta trừ hai phương trình (9.36), chúng ta nhận được

iℏ dC_I/dt = (E₀ + A)C_I + μℰC_II.   (9.39)

Giờ câu hỏi là, làm thế nào để giải các phương trình này? Chúng khó hơn tập hợp trước đây của chúng ta, vì ℰ phụ thuộc vào t; và, thực ra, đối với một ℰ(t) tổng quát nghiệm không biểu diễn được bằng các hàm sơ cấp. Tuy nhiên, chúng ta có thể nhận được một phép gần đúng tốt chừng nào điện trường nhỏ. Trước hết chúng ta sẽ viết

C_I = γ_Ie^{−i(E₀+A)t/ℏ} = γ_Ie^−iE_It/ℏ,   (9.40)
C_II = γ_IIe^{−i(E₀−A)t/ℏ} = γ_IIe^{−iE_IIt/ℏ}.

Nếu không có điện trường, các nghiệm này sẽ đúng với γ_I và γ_II chỉ được chọn là hai hằng số phức. Thực ra, vì xác suất để ở trong trạng thái |I⟩ là bình phương tuyệt đối của C_I và xác suất để ở trong trạng thái |II⟩ là bình phương tuyệt đối của C_II, xác suất để ở trong trạng thái |I⟩ hoặc trong trạng thái |II⟩ chỉ là |γ_I|² hoặc |γ_II|². Chẳng hạn, nếu hệ ban đầu bắt đầu ở trạng thái |II⟩ sao cho γ_I bằng không và |γ_II|² bằng một, điều kiện này sẽ tiếp tục mãi mãi. Sẽ không có cơ hội nào, nếu phân tử ban đầu ở trong trạng thái |II⟩, để từng đến được trạng thái |I⟩.

Giờ ý tưởng của việc viết các phương trình của chúng ta dưới dạng của Phương trình (9.40) là nếu μℰ nhỏ so với A, các nghiệm vẫn có thể được viết theo cách này, nhưng khi đó γ_I và γ_II trở thành các hàm biến thiên chậm của thời gian — trong đó bởi “biến thiên chậm” chúng ta muốn nói chậm so với các hàm mũ. Đó là thủ thuật. Chúng ta dùng sự việc rằng γ_I và γ_II biến thiên chậm để nhận được một nghiệm gần đúng.

Giờ chúng ta muốn thế C_I từ Phương trình (9.40) vào phương trình vi phân (9.39), nhưng chúng ta phải nhớ rằng γ_I cũng là một hàm của t. Chúng ta có

iℏ dC_I/dt = E_Iγ_Ie^−iE_It/ℏ + iℏ (dγ_I/dt)e^−iE_It/ℏ.

Phương trình vi phân trở thành

(E_Iγ_I + iℏ dγ_I/dt)e^{−(i/ℏ)E_It} = E_Iγ_Ie^{−(i/ℏ)E_It} + μℰγ_IIe^{−(i/ℏ)E_IIt}.   (9.41)

Tương tự, phương trình theo dC_II/dt trở thành

(E_IIγ_II + iℏ dγ_II/dt)e^{−(i/ℏ)E_IIt} = E_IIγ_IIe^{−(i/ℏ)E_IIt} + μℰγ_Ie^{−(i/ℏ)E_It}.   (9.42)

Giờ bạn sẽ để ý rằng chúng ta có các số hạng bằng nhau ở cả hai phía của mỗi phương trình. Chúng ta triệt tiêu các số hạng này, và chúng ta cũng nhân phương trình thứ nhất với e^+iE_It/ℏ và phương trình thứ hai với e^+iE_IIt/ℏ. Nhớ rằng (E_I − E_II) = 2A = ℏω₀, cuối cùng chúng ta có

iℏ dγ_I/dt = μℰ(t)e^iω₀tγ_II,   (9.43)
iℏ dγ_II/dt = μℰ(t)e^−iω₀tγ_I.

Giờ chúng ta có một cặp phương trình trông có vẻ đơn giản — và chúng vẫn chính xác, dĩ nhiên. Đạo hàm của một biến là một hàm của thời gian μℰ(t)e^iω₀t, nhân với biến thứ hai; đạo hàm của biến thứ hai là một hàm thời gian tương tự, nhân với biến thứ nhất. Mặc dù các phương trình đơn giản này không thể được giải trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ giải chúng cho một số trường hợp đặc biệt. Chúng ta, ít nhất là vào lúc này, chỉ quan tâm tới trường hợp của một điện trường dao động. Lấy ℰ(t) như đã cho trong Phương trình (9.37), chúng ta thấy rằng các phương trình cho γ_I và γ_II trở thành

iℏ dγ_I/dt = μℰ₀[e^i(ω+ω₀)t + e^{−i(ω−ω₀)t}]γ_II,   (9.44)
iℏ dγ_II/dt = μℰ₀[e^{i(ω−ω₀)t} + e^{−i(ω+ω₀)t}]γ_I.

Giờ nếu ℰ₀ đủ nhỏ, tốc độ thay đổi của γ_I và γ_II cũng nhỏ. Hai γ sẽ không biến thiên nhiều theo t, đặc biệt là so với các biến thiên nhanh do các số hạng mũ. Các số hạng mũ này có các phần thực và phần ảo dao động ở tần số ω + ω₀ hoặc ω − ω₀. Các số hạng với ω + ω₀ dao động rất nhanh quanh một giá trị trung bình bằng không và, vì vậy, không đóng góp nhiều lắm vào trung bình vào tốc độ thay đổi của γ. Vì vậy chúng ta có thể thực hiện một phép gần đúng khá tốt bằng cách thay các số hạng này bằng giá trị trung bình của chúng, cụ thể là, không. Chúng ta sẽ chỉ bỏ chúng đi, và lấy làm phép gần đúng của chúng ta:

iℏ dγ_I/dt = μℰ₀e^{−i(ω−ω₀)t}γ_II,   (9.45)
iℏ dγ_II/dt = μℰ₀e^{i(ω−ω₀)t}γ_I.

Ngay cả các số hạng còn lại, với các số mũ tỉ lệ với (ω − ω₀), cũng sẽ biến thiên nhanh trừ khi ω gần ω₀. Chỉ khi đó vế phải mới biến thiên đủ chậm để bất kỳ lượng đáng kể nào tích lũy khi chúng ta tích phân các phương trình theo t. Nói cách khác, với một điện trường yếu các tần số đáng kể duy nhất là các tần số gần ω₀.

Với phép gần đúng đã thực hiện để nhận được Phương trình (9.45), các phương trình có thể được giải chính xác, nhưng công việc hơi công phu, vì vậy chúng ta sẽ không làm điều đó cho tới sau này khi chúng ta xét một bài toán khác cùng loại. Giờ chúng ta sẽ chỉ giải chúng một cách gần đúng — hay đúng hơn, chúng ta sẽ tìm một nghiệm chính xác cho trường hợp cộng hưởng hoàn hảo, ω = ω₀, và một nghiệm gần đúng cho các tần số gần cộng hưởng.

9–4  Các chuyển đổi tại cộng hưởng

Trước hết hãy lấy trường hợp cộng hưởng hoàn hảo. Nếu chúng ta lấy ω = ω₀, các số mũ bằng một trong cả hai phương trình của (9.45), và chúng ta chỉ có

dγ_I/dt = −(iμℰ₀/ℏ)γ_II,    dγ_II/dt = −(iμℰ₀/ℏ)γ_I.   (9.46)

Nếu chúng ta khử trước γ_I và sau đó γ_II khỏi các phương trình này, chúng ta thấy rằng mỗi cái thỏa mãn phương trình vi phân của chuyển động điều hòa đơn giản:

d²γ/dt² = −(μℰ₀/ℏ)²γ.   (9.47)

Các nghiệm tổng quát cho các phương trình này có thể được tạo thành từ các sin và cosin. Như bạn có thể dễ dàng kiểm chứng, các phương trình sau đây là một nghiệm:

γ_I = a cos(μℰ₀t/ℏ) + b sin(μℰ₀t/ℏ),   (9.48)
γ_II = ib cos(μℰ₀t/ℏ) − ia sin(μℰ₀t/ℏ),

trong đó a và b là các hằng số phải được xác định để phù hợp với bất kỳ tình huống vật lý cụ thể nào. Chẳng hạn, giả sử rằng tại t = 0 hệ phân tử của chúng ta ở trong trạng thái năng lượng trên |I⟩, điều này sẽ đòi hỏi — từ Phương trình (9.40) — rằng γ_I = 1 và γ_II = 0 tại t = 0. Đối với tình huống này chúng ta sẽ cần a = 1 và b = 0. Xác suất để phân tử ở trong trạng thái |I⟩ tại một thời điểm t nào đó sau là bình phương tuyệt đối của γ_I, hay

P_I = |γ_I|² = cos²(μℰ₀t/ℏ).   (9.49)

Tương tự, xác suất để phân tử sẽ ở trong trạng thái |II⟩ được cho bởi bình phương tuyệt đối của γ_II,

P_II = |γ_II|² = sin²(μℰ₀t/ℏ).   (9.50)

Chừng nào ℰ nhỏ và chúng ta ở tại cộng hưởng, các xác suất được cho bởi các hàm dao động đơn giản. Xác suất để ở trong trạng thái |I⟩ giảm từ một xuống không rồi quay lại, trong khi xác suất để ở trong trạng thái |II⟩ tăng từ không lên một rồi quay lại. Sự biến thiên theo thời gian của hai xác suất được chỉ trong Hình 9–5. Không cần nói, tổng của hai xác suất luôn bằng một; phân tử luôn ở trong một trạng thái nào đó!

Hãy giả sử rằng phân tử mất thời gian T để đi qua khoang. Nếu chúng ta làm khoang vừa đủ dài sao cho μℰ₀T/ℏ = π/2, khi đó một phân tử đi vào trong trạng thái |I⟩ sẽ chắc chắn rời nó trong trạng thái |II⟩. Nếu nó đi vào khoang trong trạng thái trên, nó sẽ rời khoang trong trạng thái dưới. Nói cách khác, năng lượng của nó bị giảm đi, và sự mất năng lượng không thể đi đâu khác ngoài vào bộ máy tạo ra trường. Các chi tiết mà qua đó bạn có thể thấy năng lượng của phân tử được nạp vào các dao động của khoang như thế nào là không đơn giản; tuy nhiên, chúng ta không cần nghiên cứu các chi tiết này, vì chúng ta có thể dùng nguyên lý bảo toàn năng lượng. (Chúng ta có thể nghiên cứu chúng nếu chúng ta phải làm, nhưng khi đó chúng ta sẽ phải xử lý cơ học lượng tử của trường trong khoang thêm vào cơ học lượng tử của nguyên tử.) Tóm lại: phân tử đi vào khoang, trường của khoang — dao động ở đúng tần số chính xác — gây ra các chuyển đổi từ trạng thái trên xuống trạng thái dưới, và năng lượng được giải phóng được nạp vào trường dao động. Trong một maser đang hoạt động các phân tử chuyển giao đủ năng lượng để duy trì các dao động của khoang — không chỉ cung cấp đủ công suất để bù cho các tổn thất của khoang mà còn cung cấp các lượng công suất dư nhỏ có thể được rút ra từ khoang. Vì vậy, năng lượng phân tử được chuyển đổi thành năng lượng của một trường điện từ bên ngoài.

Hãy nhớ rằng trước khi chùm đi vào khoang, chúng ta phải dùng một bộ lọc tách chùm sao cho chỉ trạng thái trên đi vào. Dễ dàng chứng minh rằng nếu bạn bắt đầu với các phân tử trong trạng thái dưới, quá trình sẽ đi theo chiều ngược lại và lấy năng lượng ra khỏi khoang. Nếu bạn đưa chùm chưa lọc vào, sẽ có bao nhiêu phân tử lấy năng lượng ra thì bấy nhiêu phân tử đưa năng lượng vào, vì vậy sẽ chẳng có gì nhiều xảy ra. Trong hoạt động thực tế dĩ nhiên không cần thiết phải làm cho (μℰ₀T/ℏ) đúng bằng π/2. Đối với bất kỳ giá trị nào khác (ngoại trừ một bội số nguyên chính xác của π), có một xác suất nào đó cho các chuyển đổi từ trạng thái |I⟩ sang trạng thái |II⟩. Tuy nhiên, đối với các giá trị khác, thiết bị không hiệu quả 100 phần trăm; nhiều phân tử rời khoang lẽ ra đã có thể chuyển giao một ít năng lượng cho khoang nhưng đã không làm.

Trong sử dụng thực tế, vận tốc của mọi phân tử không giống nhau; chúng có một phân bố Maxwell nào đó. Điều này có nghĩa là các khoảng thời gian lý tưởng cho các phân tử khác nhau sẽ khác nhau, và không thể đạt hiệu quả 100 phần trăm cho mọi phân tử cùng một lúc. Ngoài ra, còn một sự phức tạp nữa dễ dàng tính đến, nhưng chúng ta không muốn bận tâm về nó ở giai đoạn này. Bạn còn nhớ rằng điện trường trong một khoang thường biến thiên từ nơi này sang nơi khác qua khoang. Vì vậy, khi các phân tử trôi qua khoang, điện trường tại phân tử biến thiên theo một cách phức tạp hơn dao động hình sin đơn giản theo thời gian mà chúng ta đã giả thiết. Rõ ràng, người ta sẽ phải dùng một phép tích phân phức tạp hơn để làm bài toán một cách chính xác, nhưng ý tưởng tổng quát vẫn như vậy.

Có các cách khác để chế tạo maser. Thay vì tách các nguyên tử ở trạng thái |I⟩ ra khỏi các nguyên tử ở trạng thái |II⟩ bằng một thiết bị Stern–Gerlach, người ta có thể có các nguyên tử đã ở trong khoang (dưới dạng khí hoặc chất rắn) và dịch chuyển các nguyên tử từ trạng thái |II⟩ sang trạng thái |I⟩ bằng một phương tiện nào đó. Một cách là cách được dùng trong cái gọi là maser ba trạng thái. Đối với nó, các hệ nguyên tử được dùng có ba mức năng lượng, như được chỉ trong Hình 9–6, với các tính chất đặc biệt sau đây. Hệ sẽ hấp thụ bức xạ (chẳng hạn, ánh sáng) có tần số ℏω₁ và đi từ mức năng lượng thấp nhất E_II, tới một mức năng lượng cao nào đó E′, và sau đó sẽ nhanh chóng phát ra các photon có tần số ℏω₂ và đi tới trạng thái |I⟩ với năng lượng E_I. Trạng thái |I⟩ có một thời gian sống dài vì vậy mật độ của nó có thể được tăng lên, và các điều kiện khi đó thích hợp cho hoạt động maser giữa các trạng thái |I⟩ và |II⟩. Mặc dù một thiết bị như vậy được gọi là maser “ba trạng thái”, hoạt động maser thực sự hoạt động đúng như một hệ hai trạng thái như chúng ta đang mô tả.

Một laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — Khuếch đại ánh sáng bằng phát xạ kích thích của bức xạ) chỉ là một maser hoạt động ở các tần số quang học. “Khoang” cho một laser thường chỉ gồm hai gương phẳng mà giữa chúng các sóng đứng được tạo ra.

9–5  Các chuyển đổi lệch cộng hưởng

Cuối cùng, chúng ta muốn tìm ra các trạng thái biến thiên như thế nào trong hoàn cảnh tần số của khoang gần, nhưng không chính xác, bằng ω₀. Chúng ta có thể giải bài toán này một cách chính xác, nhưng thay vì cố làm điều đó, chúng ta sẽ lấy trường hợp quan trọng là điện trường nhỏ và khoảng thời gian T cũng nhỏ, sao cho μℰ₀T/ℏ nhỏ hơn một rất nhiều. Khi đó, ngay cả trong trường hợp cộng hưởng hoàn hảo mà chúng ta vừa tính, xác suất thực hiện một chuyển đổi là nhỏ. Giả sử rằng chúng ta bắt đầu lại với γ_I = 1 và γ_II = 0. Trong thời gian T chúng ta sẽ kỳ vọng γ_I vẫn gần bằng một, và γ_II vẫn rất nhỏ so với một. Khi đó bài toán rất dễ. Chúng ta có thể tính γ_II từ phương trình thứ hai trong (9.45), lấy γ_I bằng một và tích phân từ t = 0 tới t = T. Chúng ta nhận được

γ_II = (μℰ₀/ℏ) [ (1 − e^{i(ω−ω₀)T})/(ω − ω₀) ].   (9.51)

γ_II này, dùng cùng Phương trình (9.40), cho biên độ để đã thực hiện một chuyển đổi từ trạng thái |I⟩ sang trạng thái |II⟩ trong khoảng thời gian T. Xác suất P(I→II) để thực hiện chuyển đổi là |γ_II|², hay

P(I→II) = |γ_II|² = [(μℰ₀T)/ℏ]² · sin²[(ω−ω₀)T/2] / [((ω−ω₀)T/2)²].   (9.52)

Thú vị là vẽ xác suất này cho một khoảng thời gian cố định như hàm của tần số của khoang để xem nó nhạy như thế nào với các tần số gần tần số cộng hưởng ω₀. Chúng ta chỉ một đồ thị như vậy của P(I→II) trong Hình 9–7. (Thang dọc đã được điều chỉnh để bằng 1 tại đỉnh bằng cách chia cho giá trị của xác suất khi ω = ω₀.) Chúng ta đã thấy một đường cong như thế này trong lý thuyết nhiễu xạ, vì vậy bạn lẽ ra đã quen với nó. Đường cong giảm khá đột ngột xuống không tại (ω − ω₀) = 2π/T và không bao giờ lấy lại kích thước đáng kể đối với các độ lệch tần số lớn. Thực ra, phần lớn nhất của diện tích dưới đường cong nằm trong khoảng ±π/T. Có thể chỉ ra rằng⁵ diện tích dưới đường cong chỉ là 2π/T và bằng diện tích của hình chữ nhật được tô bóng vẽ trong hình.

Hãy xét hệ quả của các kết quả của chúng ta đối với một maser thực. Giả sử rằng phân tử amoniac ở trong khoang trong một khoảng thời gian hợp lý, chẳng hạn một mili giây. Khi đó đối với f₀ = 24.000 megacycle, chúng ta có thể tính rằng xác suất cho một chuyển đổi giảm xuống không đối với một độ lệch tần số (f − f₀)/f₀ = 1/(f₀T), vốn là bốn phần trong 10⁸. Rõ ràng tần số phải rất gần ω₀ để nhận được một xác suất chuyển đổi đáng kể. Một hiệu ứng như vậy là cơ sở của độ chính xác lớn có thể đạt được với các đồng hồ “nguyên tử”, vốn hoạt động trên nguyên lý maser.

9–6  Sự hấp thụ ánh sáng

Cách xử lý của chúng ta ở trên áp dụng cho một tình huống tổng quát hơn maser amoniac. Chúng ta đã xử lý hành vi của một phân tử dưới ảnh hưởng của một điện trường, cho dù trường đó bị giam trong một khoang hay không. Vì vậy chúng ta có thể đơn giản là chiếu một chùm “ánh sáng” — ở các tần số vi sóng — vào phân tử và hỏi xác suất phát xạ hay hấp thụ. Các phương trình của chúng ta áp dụng tốt như nhau cho trường hợp này, nhưng hãy viết lại chúng theo cường độ của bức xạ thay vì điện trường. Nếu chúng ta định nghĩa cường độ ℐ là dòng năng lượng trung bình trên một đơn vị diện tích trong một giây, khi đó từ Chương 27 của Tập II, chúng ta có thể viết

ℐ = ε₀c²|ℰ×B|_{trung bình} = ½ε₀c²|ℰ×B|_{cực đại} = 2ε₀cℰ₀².

(Giá trị cực đại của ℰ là 2ℰ₀.) Xác suất chuyển đổi giờ trở thành:

P(I→II) = 2π[μ²/(4πε₀ℏ²c)] ℐT² · sin²[(ω−ω₀)T/2] / [((ω−ω₀)T/2)²].   (9.53)

Thông thường ánh sáng chiếu lên một hệ như vậy không chính xác đơn sắc. Vì vậy, thú vị là giải thêm một bài toán nữa — tức là, tính xác suất chuyển đổi khi ánh sáng có cường độ ℐ(ω) trên một đơn vị khoảng tần số, bao phủ một khoảng rộng bao gồm ω₀. Khi đó, xác suất đi từ |I⟩ sang |II⟩ sẽ trở thành một tích phân:

P(I→II) = 2π[μ²/(4πε₀ℏ²c)]T² ∫₀^∞ ℐ(ω) · sin²[(ω−ω₀)T/2] / [((ω−ω₀)T/2)²] dω.   (9.54)

Nói chung, ℐ(ω) sẽ biến thiên chậm hơn nhiều theo ω so với số hạng cộng hưởng sắc nét. Hai hàm có thể xuất hiện như được chỉ trong Hình 9–8. Trong các trường hợp như vậy, chúng ta có thể thay ℐ(ω) bằng giá trị của nó ℐ(ω₀) tại tâm của đường cong cộng hưởng sắc nét và đưa nó ra ngoài tích phân. Cái còn lại chỉ là tích phân dưới đường cong của Hình 9–7, vốn, như chúng ta đã thấy, chỉ bằng 2π/T. Chúng ta nhận được kết quả rằng

P(I→II) = 4π²[μ²/(4πε₀ℏ²c)] ℐ(ω₀)T.   (9.55)

Đây là một kết quả quan trọng, vì nó là lý thuyết tổng quát của sự hấp thụ ánh sáng bởi bất kỳ hệ phân tử hay nguyên tử nào. Mặc dù chúng ta đã bắt đầu bằng cách xét một trường hợp trong đó trạng thái |I⟩ có năng lượng cao hơn trạng thái |II⟩, không lập luận nào của chúng ta phụ thuộc vào sự việc đó. Phương trình (9.55) vẫn đúng nếu trạng thái |I⟩ có năng lượng thấp hơn trạng thái |II⟩; khi đó P(I→II) biểu diễn xác suất cho một chuyển đổi với sự hấp thụ năng lượng từ sóng điện từ tới. Sự hấp thụ ánh sáng bởi bất kỳ hệ nguyên tử nào luôn liên quan đến biên độ cho một chuyển đổi trong một điện trường dao động giữa hai trạng thái cách nhau một năng lượng E = ℏω₀. Đối với bất kỳ trường hợp cụ thể nào, nó luôn được tính đúng theo cách chúng ta đã làm ở đây và cho ra một biểu thức như Phương trình (9.55). Vì vậy, chúng ta nhấn mạnh các đặc điểm sau đây của kết quả này. Thứ nhất, xác suất tỉ lệ với T. Nói cách khác, có một xác suất không đổi trên một đơn vị thời gian rằng các chuyển đổi sẽ xảy ra. Thứ hai, xác suất này tỉ lệ với cường độ của ánh sáng tới hệ. Cuối cùng, xác suất chuyển đổi tỉ lệ với μ², trong đó, bạn còn nhớ, μℰ định nghĩa sự dịch chuyển năng lượng do điện trường ℰ. Vì điều này, μℰ cũng xuất hiện trong các Phương trình (9.38) và (9.39) như số hạng liên kết chịu trách nhiệm cho chuyển đổi giữa các trạng thái nếu không thì dừng |I⟩ và |II⟩. Nói cách khác, đối với ℰ nhỏ chúng ta đã xét, μℰ là cái gọi là “số hạng nhiễu loạn” trong phần tử ma trận Hamilton liên kết các trạng thái |I⟩ và |II⟩. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ có μℰ được thay bằng phần tử ma trận ⟨II|H|I⟩ (xem Mục 5–6).

Trong Tập I (Mục 42–5) chúng ta đã nói về các mối quan hệ giữa sự hấp thụ ánh sáng, phát xạ cảm ứng, và phát xạ tự phát theo các hệ số A và B của Einstein. Ở đây, cuối cùng chúng ta đã có thủ tục cơ học lượng tử để tính các hệ số này. Cái chúng ta đã gọi là P(I→II) cho phân tử amoniac hai trạng thái của chúng ta tương ứng chính xác với hệ số hấp thụ B_nm của lý thuyết bức xạ Einstein. Đối với phân tử amoniac phức tạp — vốn quá khó đối với bất kỳ ai để tính — chúng ta đã lấy phần tử ma trận ⟨II|H|I⟩ là μℰ, nói rằng μ phải được lấy từ thực nghiệm. Đối với các hệ nguyên tử đơn giản hơn, μ_mn thuộc về bất kỳ chuyển đổi cụ thể nào có thể được tính từ định nghĩa

μ_mnℰ = ⟨m|H|n⟩ = H_mn,   (9.56)

trong đó H_mn là phần tử ma trận của Hamiltonian bao gồm các tác động của một điện trường yếu. μ_mn được tính theo cách này được gọi là phần tử ma trận lưỡng cực điện. Lý thuyết cơ học lượng tử của sự hấp thụ và phát xạ ánh sáng, vì vậy, được rút gọn thành một phép tính các phần tử ma trận này cho các hệ nguyên tử cụ thể. Nghiên cứu của chúng ta về một hệ hai trạng thái đơn giản vì vậy đã dẫn chúng ta tới một sự hiểu biết về bài toán tổng quát của sự hấp thụ và phát xạ ánh sáng.