Chương 18: Mômen động lượng

18–1  Bức xạ lưỡng cực điện

Trong chương trước, chúng ta đã phát triển ý tưởng về sự bảo toàn mômen động lượng trong cơ học lượng tử, và đã chỉ ra nó có thể được dùng như thế nào để dự đoán phân bố góc của proton từ sự phân rã của hạt Λ. Bây giờ chúng ta muốn đưa cho bạn một số minh hoạ khác, tương tự, về các hệ quả của sự bảo toàn mômen động lượng trong các hệ nguyên tử. Ví dụ đầu tiên của chúng ta là sự bức xạ ánh sáng từ một nguyên tử. Sự bảo toàn mômen động lượng (cùng với những thứ khác) sẽ quyết định sự phân cực và phân bố góc của các photon phát ra.

Giả sử chúng ta có một nguyên tử đang ở một trạng thái kích thích có mômen động lượng xác định — chẳng hạn với spin bằng một — và nó chuyển xuống một trạng thái có mômen động lượng bằng không ở năng lượng thấp hơn, đồng thời phát ra một photon. Bài toán là tìm ra phân bố góc và sự phân cực của các photon. (Bài toán này gần như hoàn toàn giống với sự phân rã Λ⁰, ngoại trừ việc chúng ta có các hạt spin một thay vì các hạt spin một phần hai.) Vì trạng thái trên của nguyên tử là spin một, nên có ba khả năng cho thành phần z của mômen động lượng của nó. Giá trị của m có thể là +1, hoặc 0, hoặc −1. Chúng ta sẽ lấy m = +1 làm ví dụ. Khi bạn đã thấy nó diễn ra như thế nào, bạn có thể tự tính các trường hợp còn lại. Chúng ta giả sử rằng nguyên tử đang nằm với mômen động lượng của nó dọc theo trục +z — như trong Hình 18–1(a) — và hỏi với biên độ nào nó sẽ phát ra ánh sáng phân cực tròn phải hướng lên dọc theo trục z, để nguyên tử kết thúc với mômen động lượng bằng không — như được chỉ trong phần (b) của hình. Được thôi, chúng ta không biết đáp án cho điều đó. Nhưng chúng ta biết rằng ánh sáng phân cực tròn phải có một đơn vị mômen động lượng quanh hướng truyền của nó. Vì vậy sau khi photon được phát ra, tình huống sẽ phải như được chỉ trong Hình 18–1(b) — nguyên tử còn lại với mômen động lượng bằng không quanh trục z, vì chúng ta đã giả thiết một nguyên tử mà trạng thái dưới của nó là spin không. Chúng ta sẽ để a ký hiệu cho biên độ của một sự kiện như vậy. Nói chính xác hơn, chúng ta để a là biên độ để phát ra một photon vào một góc khối nhỏ nhất định ΔΩ, có tâm trên trục z, trong một thời gian dt. Để ý rằng biên độ để phát ra một photon LHC trong cùng hướng là bằng không. Mômen động lượng toàn phần quanh trục z sẽ là −1 đối với một photon như vậy và bằng không đối với nguyên tử, cho tổng là −1, điều này sẽ không bảo toàn mômen động lượng.

Tương tự, nếu spin của nguyên tử ban đầu “hướng xuống” (−1 dọc theo trục z), nó chỉ có thể phát ra một photon phân cực LHC theo hướng của trục +z, như được chỉ trong Hình 18–2. Chúng ta sẽ để b ký hiệu cho biên độ của sự kiện này — vẫn có nghĩa là biên độ để photon đi vào một góc khối nhất định ΔΩ. Mặt khác, nếu nguyên tử ở trong trạng thái m = 0, nó không thể phát ra một photon theo hướng +z chút nào, bởi vì một photon chỉ có thể có mômen động lượng +1 hoặc −1 dọc theo hướng chuyển động của nó.

Tiếp theo, chúng ta có thể chỉ ra rằng b liên hệ với a. Giả sử chúng ta thực hiện một phép nghịch đảo tình huống trong Hình 18–1, điều đó có nghĩa là chúng ta nên tưởng tượng hệ sẽ trông như thế nào nếu chúng ta di chuyển mỗi phần của hệ tới một điểm tương đương ở phía đối diện của gốc toạ độ. Điều này không có nghĩa là chúng ta nên phản xạ các vectơ mômen động lượng, bởi vì chúng là các vectơ nhân tạo. Thay vào đó, chúng ta nên nghịch đảo tính chất thực tế của chuyển động vốn tương ứng với một mômen động lượng như vậy. Trong Hình 18–3(a) và (b), chúng ta chỉ ra quá trình của Hình 18–1 trông như thế nào trước và sau một phép nghịch đảo đối với tâm của nguyên tử. Để ý rằng chiều quay của nguyên tử không thay đổi.¹ Trong hệ đã nghịch đảo của Hình 18–3(b), chúng ta có một nguyên tử với m = +1 đang phát ra một photon LHC hướng xuống.

Nếu bây giờ chúng ta quay hệ của Hình 18–3(b) đi 180° quanh trục x hoặc y, nó trở nên hoàn toàn giống Hình 18–2. Sự kết hợp của phép nghịch đảo và phép quay biến quá trình thứ hai thành quá trình thứ nhất. Dùng Bảng 17–2, chúng ta thấy rằng một phép quay 180° quanh trục y chỉ đơn giản ném một trạng thái m = −1 thành một trạng thái m = +1, vì vậy biên độ b phải bằng biên độ a ngoại trừ một sự đổi dấu có thể có do phép nghịch đảo. Sự đổi dấu trong phép nghịch đảo sẽ phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của các trạng thái đầu và cuối của nguyên tử.

Trong các quá trình nguyên tử, tính chẵn lẻ được bảo toàn, vì vậy tính chẵn lẻ của toàn hệ phải như nhau trước và sau sự phát xạ photon. Điều gì xảy ra sẽ phụ thuộc vào việc tính chẵn lẻ của các trạng thái đầu và cuối của nguyên tử là chẵn hay lẻ — phân bố góc của bức xạ sẽ khác nhau đối với các trường hợp khác nhau. Chúng ta sẽ lấy trường hợp thông thường là tính chẵn lẻ lẻ cho trạng thái đầu và tính chẵn lẻ chẵn cho trạng thái cuối; nó sẽ cho cái được gọi là “bức xạ lưỡng cực điện”. (Nếu các trạng thái đầu và cuối có cùng tính chẵn lẻ, chúng ta nói có “bức xạ lưỡng cực từ”, vốn có tính chất của bức xạ từ một dòng điện dao động trong một vòng dây.) Nếu tính chẵn lẻ của trạng thái đầu là lẻ, biên độ của nó đảo dấu trong phép nghịch đảo vốn đưa hệ từ (a) sang (b) của Hình 18–3. Trạng thái cuối của nguyên tử có tính chẵn lẻ chẵn, vì vậy biên độ của nó không đổi dấu. Nếu phản ứng phải bảo toàn tính chẵn lẻ, biên độ b phải bằng a về độ lớn nhưng ngược dấu.

Chúng ta kết luận rằng nếu biên độ là a để một trạng thái m = +1 phát ra một photon hướng lên, thì đối với các tính chẵn lẻ đã giả thiết của các trạng thái đầu và cuối, biên độ để một trạng thái m = −1 phát ra một photon LHC hướng lên là −a.²

Chúng ta đã có mọi thứ cần biết để tìm biên độ cho một photon được phát ra ở bất kỳ góc θ nào đối với trục z. Giả sử chúng ta có một nguyên tử ban đầu được phân cực với m = +1. Chúng ta có thể phân giải trạng thái này thành các trạng thái +1, 0 và −1 đối với một trục z′ mới theo hướng phát xạ photon. Các biên độ cho ba trạng thái này chính là các biên độ được cho trong nửa dưới của Bảng 17–2. Biên độ để một photon RHC được phát ra theo hướng θ khi đó là a nhân với biên độ để có m = +1 theo hướng đó, cụ thể là

a⟨+|R_y(θ)|+⟩ = (a/2)(1 + cos θ).   (18.1)

Biên độ để một photon LHC được phát ra theo cùng hướng là −a nhân với biên độ để có m = −1 theo hướng mới. Dùng Bảng 17–2, nó là

−a⟨−|R_y(θ)|+⟩ = −(a/2)(1 − cos θ).   (18.2)

Nếu bạn quan tâm tới các phân cực khác, bạn có thể tìm ra biên độ cho chúng từ sự chồng chất của hai biên độ này. Để được cường độ của bất kỳ thành phần nào như một hàm của góc, dĩ nhiên bạn phải lấy bình phương tuyệt đối của các biên độ.

18–2  Sự tán xạ ánh sáng

Hãy dùng các kết quả này để giải một bài toán hơi phức tạp hơn — nhưng cũng là một bài toán thực hơn một chút. Chúng ta giả sử rằng cùng các nguyên tử đó đang ngồi ở trạng thái cơ bản của chúng (j = 0), và tán xạ một chùm ánh sáng tới. Giả sử rằng ánh sáng ban đầu đi theo hướng +z, vì vậy chúng ta có các photon tiến đến nguyên tử từ hướng −z, như được chỉ trong Hình 18–4(a). Chúng ta có thể xem sự tán xạ ánh sáng như một quá trình hai bước: photon bị hấp thụ, và sau đó bị phát xạ trở lại. Nếu chúng ta bắt đầu với một photon RHC như trong Hình 18–4(a), và mômen động lượng được bảo toàn, nguyên tử sẽ ở trong trạng thái m = +1 sau sự hấp thụ — như được chỉ trong Hình 18–4(b). Chúng ta gọi biên độ cho quá trình này là c. Nguyên tử sau đó có thể phát ra một photon RHC theo hướng θ — như trong Hình 18–4(c). Biên độ toàn phần để một photon RHC bị tán xạ theo hướng θ chỉ là c nhân với (18.1). Hãy gọi biên độ tán xạ này là ⟨R′|S|R⟩; chúng ta có

⟨R′|S|R⟩ = (ac/2)(1 + cos θ).   (18.3)

Cũng có một biên độ để một photon RHC bị hấp thụ và một photon LHC bị phát ra. Tích của hai biên độ là biên độ ⟨L′|S|R⟩ để một photon RHC bị tán xạ thành một photon LHC. Dùng (18.2), chúng ta có

⟨L′|S|R⟩ = −(ac/2)(1 − cos θ).   (18.4)

Bây giờ hãy hỏi điều gì xảy ra nếu một photon LHC đi vào. Khi nó bị hấp thụ, nguyên tử sẽ đi vào trạng thái m = −1. Bằng cùng loại lập luận chúng ta đã dùng trong mục trước, chúng ta có thể chỉ ra rằng biên độ này phải là −c. Biên độ để một nguyên tử trong trạng thái m = −1 phát ra một photon RHC tại góc θ là a nhân với biên độ ⟨+|R_y(θ)|−⟩, vốn bằng ½(1 − cos θ). Vì vậy chúng ta có

⟨R′|S|L⟩ = −(ac/2)(1 − cos θ).   (18.5)

Cuối cùng, biên độ cho một photon LHC bị tán xạ thành một photon LHC là

⟨L′|S|L⟩ = (ac/2)(1 + cos θ).   (18.6)

(Có hai dấu trừ triệt tiêu lẫn nhau.)

Nếu chúng ta thực hiện một phép đo cường độ tán xạ đối với bất kỳ tổ hợp nào cho trước của các phân cực tròn, nó sẽ tỉ lệ với bình phương của một trong bốn biên độ của chúng ta. Chẳng hạn, với một chùm tới là ánh sáng RHC, cường độ của ánh sáng RHC trong bức xạ tán xạ sẽ biến thiên như (1 + cos θ)².

Điều đó rất tốt, nhưng giả sử chúng ta bắt đầu với ánh sáng phân cực thẳng thì sao? Điều gì xảy ra khi đó? Nếu chúng ta có ánh sáng phân cực x, nó có thể được biểu diễn như một chồng chất của ánh sáng RHC và LHC. Chúng ta viết (xem Mục 11–4)

|x⟩ = (1/√2)(|R⟩ + |L⟩).   (18.7)

Hay, nếu chúng ta có ánh sáng phân cực y, chúng ta sẽ có

|y⟩ = −(i/√2)(|R⟩ − |L⟩).   (18.8)

Bây giờ bạn muốn biết điều gì? Bạn muốn biên độ để một photon phân cực x tán xạ thành một photon RHC tại góc θ chăng? Bạn có thể được nó bằng quy tắc thông thường để kết hợp các biên độ. Trước hết, nhân (18.7) với ⟨R′|S để được

⟨R′|S|x⟩ = (1/√2)(⟨R′|S|R⟩ + ⟨R′|S|L⟩),   (18.9)

và sau đó dùng (18.3) và (18.5) cho hai biên độ. Bạn được

⟨R′|S|x⟩ = (ac/√2) cos θ.   (18.10)

Nếu bạn muốn biên độ để một photon x tán xạ thành một photon LHC, bạn sẽ được

⟨L′|S|x⟩ = (ac/√2) cos θ.   (18.11)

Cuối cùng, giả sử bạn muốn biết biên độ để một photon phân cực x bị tán xạ trong khi vẫn giữ nguyên phân cực x của nó. Cái bạn muốn là ⟨x′|S|x⟩. Điều này có thể được viết dưới dạng

⟨x′|S|x⟩ = ⟨x′|R′⟩⟨R′|S|x⟩ + ⟨x′|L′⟩⟨L′|S|x⟩.   (18.12)

Nếu sau đó bạn dùng các hệ thức

|R′⟩ = (1/√2)(|x′⟩ + i|y′⟩),   (18.13)

|L′⟩ = (1/√2)(|x′⟩ − i|y′⟩)   (18.14)

thì suy ra rằng

⟨x′|R′⟩ = 1/√2,   (18.15)

⟨x′|L′⟩ = 1/√2.   (18.16)

Vì vậy bạn được rằng

⟨x′|S|x⟩ = ac cos θ.   (18.17)

Đáp án là một chùm ánh sáng phân cực x sẽ bị tán xạ theo hướng θ (trong mặt phẳng xz) với một cường độ tỉ lệ với cos² θ. Nếu bạn hỏi về ánh sáng phân cực y, bạn thấy rằng

⟨y′|S|x⟩ = 0.   (18.18)

Vì vậy ánh sáng tán xạ hoàn toàn bị phân cực theo hướng x.

Bây giờ chúng ta để ý một điều thú vị. Các kết quả (18.17) và (18.18) tương ứng chính xác với lý thuyết cổ điển về sự tán xạ ánh sáng chúng ta đã đưa ra trong Tập I, Mục 32–5, trong đó chúng ta tưởng tượng rằng electron bị buộc vào nguyên tử bằng một lực khôi phục tuyến tính — vì vậy nó hoạt động như một dao động tử cổ điển. Có lẽ bạn đang nghĩ: “Trong lý thuyết cổ điển nó dễ dàng hơn nhiều; nếu nó cho đáp án đúng thì tại sao phải bận tâm với lý thuyết lượng tử?” Có một lý do là, cho tới nay chúng ta mới chỉ xét trường hợp đặc biệt — dù thông thường — của một nguyên tử có trạng thái kích thích j = 1 và trạng thái cơ bản j = 0. Nếu trạng thái kích thích có spin hai, bạn sẽ được một kết quả khác. Ngoài ra, không có lý do gì mô hình một electron gắn vào một lò xo và bị điều khiển bởi một điện trường dao động lại hoạt động đối với một photon đơn lẻ. Nhưng chúng ta đã thấy rằng thực tế nó quả thực hoạt động, và rằng sự phân cực và các cường độ đều ra đúng. Vì vậy theo một nghĩa nào đó, chúng ta đang đưa toàn bộ khoá học quay lại sự thật thực sự. Trong khi chúng ta, trong Tập I, đã làm lý thuyết về chiết suất, và về sự tán xạ ánh sáng, bằng lý thuyết cổ điển, chúng ta bây giờ đã chỉ ra rằng lý thuyết lượng tử cho cùng kết quả đối với trường hợp thông thường nhất. Thực tế chúng ta bây giờ đã làm sự phân cực của ánh sáng bầu trời, chẳng hạn, bằng các lập luận cơ học lượng tử, vốn là cách hợp lệ duy nhất thực sự.

Một cách hiển nhiên, nó phải như vậy, rằng mọi lý thuyết cổ điển vốn hoạt động đều rốt cuộc được chống đỡ bởi các lập luận lượng tử hợp lệ. Một cách tự nhiên, những thứ chúng ta đã dành nhiều thời gian để giải thích cho bạn được chọn từ chính những phần của vật lý cổ điển vốn vẫn còn giữ tính hợp lệ trong cơ học lượng tử. Bạn sẽ để ý rằng chúng ta đã không thảo luận chi tiết bất kỳ mô hình nào của nguyên tử vốn có các electron đi vòng quanh trên các quỹ đạo. Đó là bởi vì một mô hình như vậy không cho các kết quả phù hợp với cơ học lượng tử. Nhưng electron trên một lò xo — vốn, theo một nghĩa nào đó, hoàn toàn không phải là cách một nguyên tử “trông như thế nào” — lại hoạt động, và vì vậy chúng ta đã dùng mô hình đó cho lý thuyết về chiết suất.

18–3  Sự huỷ của positronium

Tiếp theo chúng ta muốn lấy một ví dụ rất đẹp. Nó khá thú vị và, dù hơi phức tạp, chúng ta hy vọng không quá phức tạp. Ví dụ của chúng ta là hệ được gọi là positronium, vốn là một “nguyên tử” được tạo thành từ một electron và một positron — một trạng thái liên kết của một e⁺ và một e⁻. Nó giống như một nguyên tử hydro, ngoại trừ việc một positron thay thế proton. Vật thể này có — giống như nguyên tử hydro — nhiều trạng thái. Cũng giống như hydro, trạng thái cơ bản bị tách ra thành một “cấu trúc siêu tinh tế” bởi tương tác của các mômen từ. Các spin của electron và positron mỗi cái đều bằng một phần hai, và chúng có thể song song hay phản song song với bất kỳ trục nào cho trước. (Trong trạng thái cơ bản không có mômen động lượng nào khác do chuyển động quỹ đạo.) Vì vậy có bốn trạng thái: ba trạng thái là các trạng thái con của một hệ spin một, tất cả có cùng năng lượng; và một trạng thái là trạng thái spin không với một năng lượng khác. Tuy nhiên, sự tách năng lượng lớn hơn nhiều so với 1420 megachu kỳ của hydro bởi vì mômen từ của positron mạnh hơn rất nhiều — mạnh hơn 1000 lần — so với mômen của proton.

Tuy nhiên, sự khác biệt quan trọng nhất là positronium không thể tồn tại mãi mãi. Positron là phản hạt của electron; chúng có thể huỷ lẫn nhau. Hai hạt biến mất hoàn toàn — chuyển hoá năng lượng nghỉ của chúng thành bức xạ, vốn xuất hiện dưới dạng các tia γ (photon). Trong sự phân rã, hai hạt có khối lượng nghỉ hữu hạn đi thành hai hay nhiều vật thể có khối lượng nghỉ bằng không.³

Chúng ta bắt đầu bằng cách phân tích sự phân rã của trạng thái spin không của positronium. Nó phân rã thành hai tia γ với thời gian sống khoảng 10⁻¹⁰ giây. Ban đầu, chúng ta có một positron và một electron ở gần nhau và với các spin phản song song, tạo thành hệ positronium. Sau sự phân rã có hai photon bay ra với các động lượng bằng nhau và ngược chiều (Hình 18–5). Các động lượng phải bằng nhau và ngược chiều, bởi vì động lượng toàn phần sau sự phân rã phải bằng không, như nó đã là trước đó, nếu chúng ta đang lấy trường hợp huỷ ở trạng thái nghỉ. Nếu positronium không ở trạng thái nghỉ, chúng ta có thể đi cùng với nó, giải bài toán, và sau đó biến đổi mọi thứ trở lại hệ phòng thí nghiệm. (Thấy chưa, bây giờ chúng ta có thể làm bất cứ điều gì; chúng ta có mọi công cụ.)

Trước hết, chúng ta để ý rằng phân bố góc không thú vị lắm. Vì trạng thái đầu có spin bằng không, nó không có trục đặc biệt nào — nó đối xứng dưới mọi phép quay. Trạng thái cuối khi đó cũng phải đối xứng dưới mọi phép quay. Điều đó có nghĩa là mọi góc đối với sự phân rã đều có khả năng như nhau — biên độ là như nhau cho một photon đi theo bất kỳ hướng nào. Dĩ nhiên, một khi chúng ta tìm thấy một trong các photon theo một hướng nào đó thì photon kia phải ở hướng ngược lại.

Câu hỏi duy nhất còn lại, mà bây giờ chúng ta muốn xem xét, là về sự phân cực của các photon. Hãy gọi các hướng chuyển động của hai photon là các trục +z và −z. Chúng ta có thể dùng bất kỳ cách biểu diễn nào chúng ta muốn cho các trạng thái phân cực của các photon; chúng ta sẽ chọn cho mô tả của mình sự phân cực tròn phải và trái — luôn luôn đối với các hướng chuyển động.⁴ Ngay lập tức, chúng ta có thể thấy rằng nếu photon đi lên là RHC, thì mômen động lượng sẽ được bảo toàn nếu photon đi xuống cũng là RHC. Mỗi photon sẽ mang +1 đơn vị mômen động lượng đối với hướng động lượng của nó, điều đó có nghĩa là cộng và trừ một đơn vị quanh trục z. Tổng sẽ bằng không, và mômen động lượng sau sự phân rã sẽ như trước. Xem Hình 18–6.

Cùng các lập luận đó chỉ ra rằng nếu photon đi lên là RHC, photon đi xuống không thể là LHC. Khi đó trạng thái cuối sẽ có hai đơn vị mômen động lượng. Điều này không được phép nếu trạng thái đầu có spin bằng không. Để ý rằng một trạng thái cuối như vậy cũng không thể có đối với trạng thái cơ bản spin một còn lại của positronium, bởi vì nó có thể có tối đa một đơn vị mômen động lượng theo bất kỳ hướng nào.

Bây giờ chúng ta muốn chỉ ra rằng sự huỷ hai photon hoàn toàn không thể có từ trạng thái spin một. Bạn có thể nghĩ rằng nếu chúng ta lấy trạng thái j = 1, m = 0 — vốn có mômen động lượng bằng không quanh trục z — nó sẽ giống trạng thái spin không, và có thể phân rã thành hai photon RHC. Chắc chắn, sự phân rã được phác hoạ trong Hình 18–7(a) bảo toàn mômen động lượng quanh trục z. Nhưng bây giờ hãy xem điều gì xảy ra nếu chúng ta quay hệ này quanh trục y đi 180°; chúng ta được bức tranh được chỉ trong Hình 18–7(b). Nó hoàn toàn giống như trong phần (a) của hình. Tất cả những gì chúng ta đã làm là hoán đổi hai photon. Bây giờ các photon là các hạt Bose; nếu chúng ta hoán đổi chúng, biên độ có cùng dấu, vì vậy biên độ cho sự phân rã trong phần (b) phải như trong phần (a). Nhưng chúng ta đã giả thiết rằng vật thể ban đầu là spin một. Và khi chúng ta quay một vật thể spin một trong một trạng thái với m = 0 đi 180° quanh trục y, các biên độ của nó đổi dấu (xem Bảng 17–2 cho θ = π). Vì vậy các biên độ cho (a) và (b) trong Hình 18–7 sẽ phải có dấu ngược nhau; trạng thái spin một không thể phân rã thành hai photon.

Khi positronium được hình thành, bạn sẽ kỳ vọng nó kết thúc ở trạng thái spin không 1/4 số lần và ở trạng thái spin một (với m = −1, 0, hoặc +1) 3/4 số lần. Vì vậy 1/4 số lần bạn sẽ được các sự huỷ hai photon. 3/4 số lần còn lại không thể có các sự huỷ hai photon. Vẫn có một sự huỷ, nhưng nó phải đi với ba photon. Nó khó làm điều đó hơn và thời gian sống dài hơn 1000 lần — khoảng 10⁻⁷ giây. Đây là điều được quan sát trong thực nghiệm. Chúng ta sẽ không đi vào thêm bất kỳ chi tiết nào của sự huỷ spin một.

Cho tới nay chúng ta có rằng nếu chúng ta chỉ lo về mômen động lượng, trạng thái spin không của positronium có thể đi thành hai photon RHC. Cũng có một khả năng khác: nó có thể đi thành hai photon LHC như được chỉ trong Hình 18–8. Câu hỏi tiếp theo là, mối quan hệ giữa các biên độ cho hai kiểu phân rã có thể này là gì? Chúng ta có thể tìm ra từ sự bảo toàn tính chẵn lẻ.

Tuy nhiên, để làm điều đó, chúng ta cần biết tính chẵn lẻ của positronium. Bây giờ các nhà vật lý lý thuyết đã chỉ ra theo một cách không dễ giải thích rằng tính chẵn lẻ của electron và của positron — phản hạt của nó — phải ngược nhau, vì vậy trạng thái cơ bản spin không của positronium phải là lẻ. Chúng ta sẽ chỉ giả thiết rằng nó là lẻ, và vì chúng ta sẽ được sự phù hợp với thực nghiệm, chúng ta có thể lấy đó làm bằng chứng đầy đủ.

Vậy hãy xem điều gì xảy ra nếu chúng ta thực hiện một phép nghịch đảo quá trình trong Hình 18–6. Khi chúng ta làm điều đó, hai photon đảo ngược hướng và phân cực. Bức tranh đã nghịch đảo trông đúng như Hình 18–8. Giả thiết rằng tính chẵn lẻ của positronium là lẻ, các biên độ cho hai quá trình trong Hình 18–6 và 18–8 phải có dấu ngược nhau. Hãy để |R₁R₂⟩ ký hiệu cho trạng thái cuối của Hình 18–6 trong đó cả hai photon đều là RHC, và để |L₁L₂⟩ ký hiệu cho trạng thái cuối của Hình 18–8, trong đó cả hai photon đều là LHC. Trạng thái cuối thực sự — hãy gọi nó là |F⟩ — phải là

|F⟩ = |R₁R₂⟩ − |L₁L₂⟩.   (18.19)

Khi đó một phép nghịch đảo biến các R thành các L và cho trạng thái

P|F⟩ = |L₁L₂⟩ − |R₁R₂⟩ = −|F⟩,   (18.20)

vốn là âm của (18.19). Vì vậy trạng thái cuối |F⟩ có tính chẵn lẻ âm, vốn giống như trạng thái đầu spin không của positronium. Đây là trạng thái cuối duy nhất bảo toàn cả mômen động lượng lẫn tính chẵn lẻ. Có một biên độ nào đó để sự phân rã vào trạng thái này xảy ra, điều mà chúng ta không cần lo lúc này, tuy nhiên, vì chúng ta chỉ quan tâm tới các câu hỏi về sự phân cực.

Trạng thái cuối của (18.19) có ý nghĩa vật lý gì? Một điều nó có nghĩa là như sau: Nếu chúng ta quan sát hai photon trong hai máy dò có thể được đặt để đếm riêng các photon RHC hoặc LHC, chúng ta sẽ luôn thấy hai photon RHC cùng nhau, hoặc hai photon LHC cùng nhau. Nghĩa là, nếu bạn đứng ở một phía của positronium và một người khác đứng ở phía đối diện, bạn có thể đo sự phân cực và nói cho người kia biết anh ta sẽ được phân cực nào. Bạn có cơ hội 50–50 bắt được một photon RHC hoặc một photon LHC; dù bạn được cái nào, bạn có thể dự đoán rằng anh ta sẽ được cái giống vậy.

Vì có cơ hội 50–50 cho phân cực RHC hoặc LHC, nghe có vẻ như nó có thể giống phân cực thẳng. Hãy hỏi điều gì xảy ra nếu chúng ta quan sát photon trong các máy đếm chỉ chấp nhận ánh sáng phân cực thẳng. Đối với các tia γ, việc đo sự phân cực không dễ dàng như đối với ánh sáng; không có kính phân cực nào hoạt động tốt đối với các bước sóng ngắn như vậy. Nhưng hãy tưởng tượng rằng có một cái, để làm cho việc thảo luận dễ dàng hơn. Giả sử rằng bạn có một máy đếm chỉ chấp nhận ánh sáng có phân cực x, và rằng có một người ở phía bên kia cũng tìm kiếm ánh sáng phân cực thẳng với, chẳng hạn, phân cực y. Cơ hội bạn sẽ bắt được hai photon từ một sự huỷ là bao nhiêu? Cái chúng ta cần hỏi là biên độ để |F⟩ ở trong trạng thái |x₁y₂⟩. Nói cách khác, chúng ta muốn biên độ

⟨x₁y₂|F⟩,

vốn, dĩ nhiên, chỉ là

⟨x₁y₂|R₁R₂⟩ − ⟨x₁y₂|L₁L₂⟩.   (18.21)

Bây giờ mặc dù chúng ta đang làm việc với các biên độ hai hạt cho hai photon, chúng ta có thể xử lý chúng đúng như chúng ta đã làm với các biên độ một hạt, vì mỗi hạt hoạt động độc lập với hạt kia. Điều đó có nghĩa là biên độ ⟨x₁y₂|R₁R₂⟩ chỉ là tích của hai biên độ độc lập ⟨x₁|R₁⟩ và ⟨y₂|R₂⟩. Dùng Bảng 17–3, hai biên độ này là 1/√2 và i/√2 — vì vậy

⟨x₁y₂|R₁R₂⟩ = +i/2.

Tương tự, chúng ta thấy rằng

⟨x₁y₂|L₁L₂⟩ = −i/2.

Trừ hai biên độ này theo (18.21), chúng ta được rằng

⟨x₁y₂|F⟩ = +i.   (18.22)

Vì vậy có một xác suất bằng đơn vị⁵ rằng nếu bạn được một photon trong máy dò phân cực x của bạn, người kia sẽ được một photon trong máy dò phân cực y của anh ta.

Bây giờ giả sử người kia đặt máy đếm của anh ta cho phân cực x giống như của bạn. Anh ta sẽ không bao giờ được một số đếm khi bạn được một số đếm. Nếu bạn tính qua, bạn sẽ thấy rằng

⟨x₁x₂|F⟩ = 0.   (18.23)

Nó, một cách tự nhiên, cũng sẽ ra rằng nếu bạn đặt máy đếm của bạn cho phân cực y thì anh ta sẽ chỉ được các số đếm trùng hợp nếu anh ta được đặt cho phân cực x.

Bây giờ tất cả điều này dẫn tới một tình huống thú vị. Giả sử bạn bố trí một thứ gì đó như một miếng canxit vốn tách các photon thành các chùm phân cực x và phân cực y, và đặt một máy đếm trong mỗi chùm. Hãy gọi một cái là máy đếm x và cái kia là máy đếm y. Nếu người ở phía bên kia làm điều tương tự, bạn luôn có thể nói cho anh ta biết photon của anh ta sẽ đi vào chùm nào. Bất cứ khi nào bạn và anh ta được các số đếm đồng thời, bạn có thể thấy máy dò nào của bạn đã bắt được photon và sau đó nói cho anh ta biết máy đếm nào của anh ta đã có một photon. Giả sử rằng trong một sự phân rã nào đó bạn thấy rằng một photon đã đi vào máy đếm x của bạn; bạn có thể nói cho anh ta biết rằng anh ta hẳn đã có một số đếm trong máy đếm y của anh ta.

Bây giờ nhiều người học cơ học lượng tử theo cách thông thường (kiểu cũ) thấy điều này gây bối rối. Họ muốn nghĩ rằng một khi các photon được phát ra, nó đi tiếp như một sóng với một tính chất xác định. Họ sẽ nghĩ rằng vì “bất kỳ photon nào cho trước” cũng có một “biên độ” nào đó để phân cực x hoặc phân cực y, nên sẽ có một cơ hội nào đó để bắt được nó trong máy đếm x hoặc máy đếm y và cơ hội này không nên phụ thuộc vào điều một người nào khác tìm ra về một photon hoàn toàn khác. Họ lập luận rằng “một người khác thực hiện một phép đo không nên có khả năng thay đổi xác suất tôi sẽ tìm thấy một cái gì đó.” Tuy nhiên cơ học lượng tử của chúng ta nói rằng, bằng cách thực hiện một phép đo trên photon số một, bạn có thể dự đoán chính xác sự phân cực của photon số hai sẽ là gì khi nó được phát hiện. Điểm này không bao giờ được Einstein chấp nhận, và ông đã lo lắng về nó rất nhiều — nó trở nên được biết tới với tên “nghịch lý Einstein–Podolsky–Rosen”. Nhưng khi tình huống được mô tả như chúng ta đã làm ở đây, dường như không có nghịch lý nào chút nào; nó ra một cách khá tự nhiên rằng cái được đo ở một nơi tương quan với cái được đo ở một nơi nào đó khác. Lập luận cho rằng kết quả là nghịch lý diễn ra đại khái như thế này: Nếu bạn có một máy đếm cho bạn biết photon của bạn là RHC hay LHC, bạn có thể dự đoán chính xác loại photon nào (RHC hay LHC) anh ta sẽ tìm thấy. Các photon anh ta nhận được, do đó, mỗi cái phải thuần tuý là RHC hoặc thuần tuý là LHC, một số thuộc loại này và một số thuộc loại kia. Chắc chắn bạn không thể thay đổi bản chất vật lý của các photon của anh ta bằng cách thay đổi loại quan sát bạn thực hiện trên các photon của bạn. Dù bạn thực hiện các phép đo nào trên các photon của bạn, các photon của anh ta vẫn phải hoặc là RHC hoặc là LHC. Bây giờ giả sử anh ta thay đổi thiết bị của mình để tách các photon của mình thành hai chùm phân cực thẳng bằng một miếng canxit để mọi photon của anh ta hoặc đi vào một chùm phân cực x hoặc vào một chùm phân cực y. Hoàn toàn không có cách nào, theo cơ học lượng tử, để nói một photon RHC cụ thể nào sẽ đi vào chùm nào. Có xác suất 50% nó sẽ đi vào chùm x và xác suất 50% nó sẽ đi vào chùm y. Và điều tương tự cũng đúng đối với một photon LHC. Vì mỗi photon là RHC hoặc LHC — theo (2) và (3) — mỗi cái phải có cơ hội 50–50 đi vào chùm x hoặc chùm y và không có cách nào để dự đoán nó sẽ đi đường nào. Tuy nhiên lý thuyết dự đoán rằng nếu bạn thấy photon của bạn đi qua một kính phân cực x, bạn có thể dự đoán chắc chắn rằng photon của anh ta sẽ đi vào chùm phân cực y của anh ta. Điều này mâu thuẫn với (5) vì vậy có một nghịch lý.

Tuy nhiên, Tự nhiên dường như không thấy “nghịch lý”, bởi vì thực nghiệm chỉ ra rằng dự đoán trong (6) thực tế là đúng. Chúng ta đã thảo luận chìa khoá của “nghịch lý” này trong bài giảng đầu tiên của chúng ta về hành vi cơ học lượng tử trong Chương 37, Tập I.⁶ Trong lập luận ở trên, các bước (1), (2), (4) và (6) đều đúng, nhưng (3), và hệ quả (5) của nó, là sai; chúng không phải là một mô tả đúng về tự nhiên. Lập luận (3) nói rằng bằng phép đo của bạn (thấy một photon RHC hoặc một photon LHC) bạn có thể xác định sự kiện nào trong hai sự kiện thay thế xảy ra đối với anh ta (thấy một photon RHC hoặc một photon LHC), và rằng ngay cả khi bạn không thực hiện phép đo của bạn, bạn vẫn có thể nói rằng sự kiện của anh ta sẽ xảy ra hoặc theo phương án này hoặc theo phương án kia. Nhưng chính điểm của Chương 37, Tập I, là chỉ ra ngay từ đầu rằng điều này không đúng trong Tự nhiên. Cách của bà ấy đòi hỏi một mô tả theo các biên độ giao thoa, một biên độ cho mỗi phương án. Một phép đo về việc phương án nào thực sự xảy ra sẽ phá huỷ sự giao thoa, nhưng nếu một phép đo không được thực hiện, bạn vẫn không thể nói rằng “một phương án này hay phương án kia vẫn đang xảy ra.”

Nếu bạn có thể xác định đối với mỗi photon của bạn nó là RHC hay LHC, và cũng xác định nó có phân cực x hay không (tất cả đối với cùng một photon) thì quả thực sẽ có một nghịch lý. Nhưng bạn không thể làm điều đó — nó là một ví dụ của nguyên lý bất định.

Bạn vẫn nghĩ có một “nghịch lý” chăng? Hãy chắc chắn rằng nó quả thực là một nghịch lý về hành vi của Tự nhiên, bằng cách bố trí một thí nghiệm tưởng tượng mà đối với nó lý thuyết cơ học lượng tử sẽ dự đoán các kết quả không nhất quán qua hai lập luận khác nhau. Nếu không thì “nghịch lý” chỉ là một xung đột giữa thực tại và cảm giác của bạn về việc thực tại “nên là” như thế nào.

Bạn nghĩ rằng nó không phải là một “nghịch lý”, nhưng nó vẫn rất kỳ lạ chăng? Về điều đó tất cả chúng ta đều có thể đồng ý. Nó là cái làm cho vật lý trở nên hấp dẫn.

18–4  Ma trận quay cho spin bất kỳ

Đến lúc này bạn có thể thấy, chúng ta hy vọng, ý tưởng về mômen động lượng quan trọng như thế nào trong việc hiểu các quá trình nguyên tử. Cho tới nay, chúng ta mới chỉ xét các hệ có spin — hay “mômen động lượng toàn phần” — bằng không, một phần hai, hoặc một. Dĩ nhiên, có các hệ nguyên tử với các mômen động lượng cao hơn. Để phân tích các hệ như vậy, chúng ta sẽ cần có các bảng biên độ quay như các bảng trong Mục 17–6. Nghĩa là, chúng ta sẽ cần ma trận các biên độ cho spin 3/2, 2, 5/2, 3, v.v. Mặc dù chúng ta sẽ không tính chi tiết các bảng này, chúng ta muốn chỉ cho bạn cách nó được làm, để bạn có thể làm nếu bạn bao giờ cần tới.

Như chúng ta đã thấy trước đây, bất kỳ hệ nào có spin hay “mômen động lượng toàn phần” j cũng có thể tồn tại trong bất kỳ trạng thái nào trong (2j + 1) trạng thái mà đối với chúng thành phần z của mômen động lượng có thể có bất kỳ giá trị rời rạc nào trong dãy j, j − 1, j − 2, …, −(j − 1), −j (tất cả theo đơn vị ℏ). Gọi thành phần z của mômen động lượng của bất kỳ trạng thái cụ thể nào là mℏ, chúng ta có thể định nghĩa một trạng thái mômen động lượng cụ thể bằng cách cho các giá trị số của hai “số lượng tử mômen động lượng” j và m. Chúng ta có thể chỉ một trạng thái như vậy bằng vectơ trạng thái |j, m⟩. Trong trường hợp một hạt spin một phần hai, hai trạng thái khi đó là |½, ½⟩ và |½, −½⟩; hay đối với một hệ spin một, các trạng thái sẽ được viết trong ký hiệu này là |1, +1⟩, |1, 0⟩, |1, −1⟩. Một hạt spin không, dĩ nhiên, chỉ có một trạng thái duy nhất |0, 0⟩.

Bây giờ chúng ta muốn biết điều gì xảy ra khi chúng ta chiếu trạng thái tổng quát |j, m⟩ vào một cách biểu diễn đối với một bộ trục đã quay. Trước hết, chúng ta biết rằng j là một số đặc trưng cho hệ, vì vậy nó không thay đổi. Nếu chúng ta quay các trục, tất cả những gì chúng ta làm là được một hỗn hợp của các giá trị m khác nhau đối với cùng một j. Nói chung, sẽ có một biên độ nào đó để trong hệ đã quay hệ sẽ ở trong trạng thái |j, m′⟩, trong đó m′ cho thành phần z mới của mômen động lượng. Vì vậy cái chúng ta muốn là mọi phần tử ma trận ⟨j, m′|R|j, m⟩ đối với các phép quay khác nhau. Chúng ta đã biết điều gì xảy ra nếu chúng ta quay đi một góc φ quanh trục z. Trạng thái mới chỉ là trạng thái cũ nhân với e^imφ — nó vẫn có cùng giá trị m. Chúng ta có thể viết điều này bằng

R_z(φ)|j, m⟩ = e^imφ|j, m⟩.   (18.24)

Hay, nếu bạn thích,

⟨j, m′|R_z(φ)|j, m⟩ = δ_m,m′ e^imφ   (18.25)

(trong đó δ_m,m′ là 1 nếu m′ = m, hoặc bằng không nếu khác).

Đối với một phép quay quanh bất kỳ trục nào khác sẽ có một sự trộn lẫn của các trạng thái m khác nhau. Dĩ nhiên, chúng ta có thể thử tính các phần tử ma trận cho một phép quay tùy ý được mô tả bởi các góc Euler β, α và γ. Nhưng dễ nhớ hơn rằng phép quay tổng quát nhất như vậy có thể được tạo thành từ ba phép quay R_z(γ), R_y(α), R_z(β); vì vậy nếu chúng ta biết các phần tử ma trận cho một phép quay quanh trục y, chúng ta sẽ có mọi thứ chúng ta cần.

Làm thế nào chúng ta có thể tìm ma trận quay cho một phép quay đi một góc θ quanh trục y đối với một hạt có spin j? Chúng ta không thể nói cho bạn cách làm nó theo một cách cơ bản (với những gì chúng ta đã có). Chúng ta đã làm nó cho spin một phần hai bằng một lập luận đối xứng phức tạp. Sau đó chúng ta đã làm nó cho spin một bằng cách lấy trường hợp đặc biệt của một hệ spin một vốn được tạo thành từ hai hạt spin một phần hai. Nếu bạn đi cùng chúng ta và chấp nhận sự kiện rằng trong trường hợp tổng quát các đáp án chỉ phụ thuộc vào spin j, và độc lập với cách các bộ phận bên trong của vật thể có spin j được lắp ráp với nhau, chúng ta có thể mở rộng lập luận spin một tới một spin tùy ý. Chẳng hạn, chúng ta có thể chế tạo một hệ giả tạo có spin 3/2 từ ba vật thể spin một phần hai. Chúng ta thậm chí có thể tránh các phức tạp bằng cách tưởng tượng rằng chúng đều là các hạt phân biệt — như một proton, một electron và một muon. Bằng cách biến đổi mỗi vật thể spin một phần hai, chúng ta có thể thấy điều gì xảy ra với toàn hệ — nhớ rằng ba biên độ được nhân với nhau đối với trạng thái kết hợp. Hãy xem nó diễn ra như thế nào trong trường hợp này.

Giả sử chúng ta lấy ba vật thể spin một phần hai tất cả với các spin “hướng lên”; chúng ta có thể chỉ trạng thái này bằng |+ + +⟩. Nếu chúng ta nhìn hệ này trong một hệ đã quay quanh trục z đi một góc φ, mỗi dấu cộng vẫn là một dấu cộng, nhưng được nhân với e^iφ/2. Chúng ta có ba thừa số như vậy, vì vậy

R_z(φ)|+ + +⟩ = e^i(3φ/2)|+ + +⟩.   (18.26)

Rõ ràng trạng thái |+ + +⟩ chính là cái chúng ta muốn nói bằng trạng thái m = +3/2, hay trạng thái |3/2, +3/2⟩.

Nếu bây giờ chúng ta quay hệ này quanh trục y, mỗi vật thể spin một phần hai sẽ có một biên độ nào đó để là dấu cộng hoặc là dấu trừ, vì vậy hệ bây giờ sẽ là một hỗn hợp của tám tổ hợp khả dĩ |+ + +⟩, |+ + −⟩, |+ − +⟩, |− + +⟩, |+ − −⟩, |− + −⟩, |− − +⟩, hoặc |− − −⟩. Tuy nhiên, rõ ràng là các tổ hợp này có thể được chia thành bốn nhóm, mỗi nhóm tương ứng với một giá trị cụ thể của m. Trước hết, chúng ta có |+ + +⟩, mà đối với nó m = 3/2. Sau đó có ba trạng thái |+ + −⟩, |+ − +⟩ và |− + +⟩ — mỗi cái có hai dấu cộng và một dấu trừ. Vì mỗi vật thể spin một phần hai có cùng cơ hội trở thành dấu trừ dưới phép quay, số lượng của mỗi tổ hợp trong ba tổ hợp này sẽ phải bằng nhau. Vì vậy hãy lấy tổ hợp

(1/√3){ |+ + −⟩ + |+ − +⟩ + |− + +⟩ }   (18.27)

với thừa số 1/√3 được đưa vào để chuẩn hoá trạng thái. Nếu chúng ta quay trạng thái này quanh trục z, chúng ta được một thừa số e^iφ/2 cho mỗi dấu cộng, và e^−iφ/2 cho mỗi dấu trừ. Mỗi số hạng trong (18.27) được nhân với e^iφ/2, vì vậy có thừa số chung e^iφ/2. Trạng thái này thoả mãn ý tưởng của chúng ta về một trạng thái m = +½; chúng ta có thể kết luận rằng

(1/√3){ |+ + −⟩ + |+ − +⟩ + |− + +⟩ } = |3/2, +½⟩.   (18.28)

Tương tự, chúng ta có thể viết

(1/√3){ |+ − −⟩ + |− + −⟩ + |− − +⟩ } = |3/2, −½⟩,   (18.29)

vốn tương ứng với một trạng thái có m = −½. Để ý rằng chúng ta chỉ lấy các tổ hợp đối xứng — chúng ta không lấy bất kỳ tổ hợp nào có các dấu trừ. Chúng sẽ tương ứng với các trạng thái có cùng m nhưng một j khác. (Nó đúng như trường hợp spin một, trong đó chúng ta đã thấy rằng (1/√2){ |+ −⟩ + |− +⟩ } là trạng thái |1, 0⟩, nhưng trạng thái (1/√2){ |+ −⟩ − |− +⟩ } là trạng thái |0, 0⟩.) Cuối cùng, chúng ta sẽ có rằng

|3/2, −3/2⟩ = |− − −⟩.   (18.30)

Chúng ta tóm tắt bốn trạng thái của chúng ta trong Bảng 18–1.

Bây giờ tất cả những gì chúng ta phải làm là lấy mỗi trạng thái và quay nó quanh trục y và xem nó cho bao nhiêu các trạng thái còn lại — dùng ma trận quay đã biết của chúng ta cho các hạt spin một phần hai. Chúng ta có thể tiến hành đúng theo cùng cách chúng ta đã làm cho trường hợp spin một trong Mục 12–6. (Nó chỉ tốn thêm một chút đại số.) Chúng ta sẽ đi trực tiếp theo các ý tưởng của Chương 12, vì vậy chúng ta sẽ không lặp lại mọi giải thích chi tiết. Các trạng thái trong hệ S sẽ được ghi nhãn |3/2, +3/2, S⟩ = |+ + +⟩, |3/2, +½, S⟩ = (1/√3){ |+ + −⟩ + |+ − +⟩ + |− + +⟩ }, và cứ thế. Hệ T sẽ là một hệ đã quay quanh trục y của S đi một góc θ. Các trạng thái trong T sẽ được ghi nhãn |3/2, +3/2, T⟩, |3/2, +½, T⟩, và cứ thế. Dĩ nhiên, |3/2, +3/2, T⟩ là cùng một thứ với |+′ +′ +′⟩, các dấu phẩy luôn luôn ám chỉ hệ T. Tương tự, |3/2, +½, T⟩ sẽ bằng (1/√3){ |+′ +′ −′⟩ + |+′ −′ +′⟩ + |−′ +′ +′⟩ }, và cứ thế. Mỗi trạng thái |+′⟩ trong hệ T đến từ cả trạng thái |+⟩ và trạng thái |−⟩ trong S qua các phần tử ma trận của Bảng 12–4.

Khi chúng ta có ba hạt spin một phần hai, Phương trình (12.47) được thay bằng

|+ + +⟩ = a³|+′ +′ +′⟩ + a²b{ |+′ +′ −′⟩ + |+′ −′ +′⟩ + |−′ +′ +′⟩ } + ab²{ |+′ −′ −′⟩ + |−′ +′ −′⟩ + |−′ −′ +′⟩ } + b³|−′ −′ −′⟩.   (18.31)

Dùng phép biến đổi của Bảng 12–4, chúng ta được thay cho (12.48) phương trình

|3/2, +3/2, S⟩ = a³|3/2, +3/2, T⟩ + √3 a²b|3/2, +½, T⟩ + √3 ab²|3/2, −½, T⟩ + b³|3/2, −3/2, T⟩.   (18.32)

Điều này đã cho chúng ta vài phần tử ma trận ⟨jT|iS⟩ của chúng ta. Để được biểu thức cho |3/2, +½, S⟩, chúng ta bắt đầu với phép biến đổi của một trạng thái có hai phần “+” và một phần “−”. Chẳng hạn,

|+ + −⟩ = a²c|+′ +′ +′⟩ + a²d|+′ +′ −′⟩ + abc|+′ −′ +′⟩ + bac|−′ +′ +′⟩ + abd|+′ −′ −′⟩ + bad|−′ +′ −′⟩ + b²c|−′ −′ +′⟩ + b²d|−′ −′ −′⟩.   (18.33)

Cộng hai biểu thức tương tự cho |+ − +⟩ và |− + +⟩ và chia cho √3, chúng ta thấy

|3/2, +½, S⟩ = √3 a²c|3/2, +3/2, T⟩ + (a²d + 2abc)|3/2, +½, T⟩ + (2bad + b²c)|3/2, −½, T⟩ + √3 b²d|3/2, −3/2, T⟩.   (18.34)

Tiếp tục quá trình, chúng ta tìm thấy mọi phần tử ⟨jT|iS⟩ của ma trận biến đổi như được cho trong Bảng 18–2. Cột đầu tiên đến từ Phương trình (18.32); cột thứ hai từ (18.34). Hai cột cuối cùng được tính theo cùng cách.

Bây giờ giả sử hệ T được quay đối với S đi một góc θ quanh các trục y của chúng. Khi đó a, b, c và d có các giá trị [xem (12.54)] a = d = cos θ/2, và c = −b = sin θ/2. Dùng các giá trị này trong Bảng 18–2, chúng ta được các dạng tương ứng với phần thứ hai của Bảng 17–2, nhưng bây giờ cho một hệ spin 3/2.

Các lập luận chúng ta vừa đi qua có thể dễ dàng được tổng quát hoá thành một hệ có spin j bất kỳ. Các trạng thái |j, m⟩ có thể được lắp ráp từ 2j hạt, mỗi hạt có spin một phần hai. (Có j + m hạt trong số chúng ở trạng thái |+⟩ và j − m ở trạng thái |−⟩.) Các tổng được lấy trên mọi cách khả dĩ điều này có thể được làm, và trạng thái được chuẩn hoá bằng cách nhân với một hằng số thích hợp. Những ai trong các bạn có thiên hướng toán học có thể chỉ ra được rằng kết quả sau đây sẽ ra⁷:

⟨j, m′|R_y(θ)|j, m⟩ = [(j + m)!(j − m)!(j + m′)!(j − m′)!]^1/2 × Σ_k (−1)^k+m−m′(cos θ/2)^{2j+m′−m−2k}(sin θ/2)^m−m′+2k / [(m − m′ + k)!(j + m′ − k)!(j − m − k)!k!],   (18.35)

trong đó k đi qua mọi giá trị cho các số hạng ≥ 0 trong mọi giai thừa.

Đây là một công thức khá lộn xộn, nhưng với nó bạn có thể kiểm tra Bảng 17–2 cho j = 1 và chuẩn bị các bảng của riêng bạn cho các j lớn hơn. Một vài phần tử ma trận đặc biệt có tầm quan trọng thêm và đã được cho các tên đặc biệt. Chẳng hạn các phần tử ma trận cho m = m′ = 0 và j nguyên được biết tới với tên các đa thức Legendre và được gọi là P_j(cos θ):

⟨j, 0|R_y(θ)|j, 0⟩ = P_j(cos θ).   (18.36)

Vài đa thức đầu tiên trong các đa thức này là:

P₀(cos θ) = 1,   (18.37)

P₁(cos θ) = cos θ,   (18.38)

P₂(cos θ) = ½(3 cos² θ − 1),   (18.39)

P₃(cos θ) = ½(5 cos³ θ − 3 cos θ).   (18.40)

18–5  Đo spin của hạt nhân

Chúng ta muốn chỉ cho bạn một ví dụ về việc áp dụng các hệ số chúng ta vừa mô tả. Nó liên quan tới một thí nghiệm gần đây, thú vị mà bây giờ bạn sẽ có thể hiểu. Một số nhà vật lý muốn tìm ra spin của một trạng thái kích thích nào đó của hạt nhân Ne²⁰. Để làm điều này, họ bắn phá một bia cacbon bằng một chùm ion cacbon được gia tốc, và tạo ra trạng thái kích thích mong muốn của Ne²⁰ — được gọi là Ne^20* — trong phản ứng

C¹² + C¹² → Ne^20* + α₁,

trong đó α₁ là hạt α, hay He⁴. Một vài trạng thái kích thích của Ne²⁰ được tạo ra theo cách này là không bền và phân rã trong phản ứng

Ne^20* → O¹⁶ + α₂.

Vì vậy trong thực nghiệm có hai hạt α đi ra khỏi phản ứng. Chúng ta gọi chúng là α₁ và α₂; vì chúng đi ra với các năng lượng khác nhau, chúng có thể được phân biệt với nhau. Ngoài ra, bằng cách chọn một năng lượng cụ thể cho α₁, chúng ta có thể chọn ra bất kỳ trạng thái kích thích cụ thể nào của Ne²⁰.

Thí nghiệm được bố trí như được chỉ trong Hình 18–9. Một chùm ion cacbon 16-MeV được hướng vào một lá cacbon mỏng. Hạt α đầu tiên được đếm trong một máy dò mối nối khuếch tán silic được đánh dấu α₁ — được đặt để chấp nhận các hạt α có năng lượng thích hợp chuyển động theo hướng về phía trước (đối với chùm C¹² tới). Hạt α thứ hai được bắt trong máy đếm α₂ tại góc θ đối với α₁. Tốc độ đếm các tín hiệu trùng hợp từ α₁ và α₂ được đo như một hàm của góc θ.

Ý tưởng của thí nghiệm là như sau. Trước hết, bạn cần biết rằng các spin của C¹², O¹⁶ và hạt α đều bằng không. Nếu chúng ta gọi hướng chuyển động của C¹² ban đầu là hướng +z, thì chúng ta biết rằng Ne^20* phải có mômen động lượng bằng không quanh trục z. Không hạt nào trong các hạt còn lại có spin nào; C¹² tới dọc theo trục z và α₁ rời đi dọc theo trục z vì vậy chúng không thể có mômen động lượng nào quanh nó. Vì vậy dù spin j của Ne^20* là gì, chúng ta biết rằng nó ở trong trạng thái |j, 0⟩. Bây giờ điều gì sẽ xảy ra khi Ne^20* phân rã thành một O¹⁶ và hạt α thứ hai? Được thôi, hạt α được bắt trong máy đếm α₂ và để bảo toàn động lượng O¹⁶ phải bay đi theo hướng ngược lại.⁸ Quanh trục mới đi qua α₂, không thể có thành phần nào của mômen động lượng. Trạng thái cuối có mômen động lượng bằng không quanh trục mới, vì vậy Ne^20* chỉ có thể phân rã theo cách này nếu nó có một biên độ nào đó để có m′ bằng không, trong đó m′ là số lượng tử của thành phần mômen động lượng quanh trục mới. Thực tế, xác suất quan sát α₂ tại góc θ chỉ là bình phương của biên độ (hay phần tử ma trận)

⟨j, 0|R_y(θ)|j, 0⟩.   (18.41)

Để tìm spin của trạng thái Ne^20* đang xét, cường độ của hạt α thứ hai được vẽ như một hàm của góc và so sánh với các đường cong lý thuyết đối với các giá trị khác nhau của j. Như chúng ta đã nói trong mục trước, các biên độ ⟨j, 0|R_y(θ)|j, 0⟩ chính là các hàm P_j(cos θ). Vì vậy các phân bố góc khả dĩ là các đường cong của [P_j(cos θ)]². Các kết quả thực nghiệm được chỉ trong Hình 18–10 đối với hai trạng thái kích thích. Bạn có thể thấy rằng phân bố góc đối với trạng thái 5,80-MeV khớp rất tốt với đường cong cho [P₁(cos θ)]², và vì vậy nó phải là một trạng thái spin một. Mặt khác, dữ liệu đối với trạng thái 5,63-MeV khá khác; chúng khớp với đường cong [P₃(cos θ)]². Trạng thái có spin bằng 3.

Từ thí nghiệm này, chúng ta đã có thể tìm ra mômen động lượng của hai trạng thái kích thích của Ne^20*. Thông tin này sau đó có thể được dùng để cố hiểu cấu hình của các proton và neutron bên trong hạt nhân này là gì — thêm một mẩu thông tin nữa về các lực hạt nhân bí ẩn.

18–6  Sự hợp thành mômen động lượng

Khi chúng ta nghiên cứu cấu trúc siêu tinh tế của nguyên tử hydro trong Chương 12, chúng ta đã phải tính các trạng thái nội tại của một hệ gồm hai hạt — electron và proton — mỗi hạt có spin bằng một phần hai. Chúng ta đã thấy rằng bốn trạng thái spin khả dĩ của một hệ như vậy có thể được xếp thành hai nhóm — một nhóm có một năng lượng trông đối với thế giới bên ngoài như một hạt spin một, và một trạng thái còn lại hành xử như một hạt có spin bằng không. Nghĩa là, khi đặt hai hạt spin một phần hai lại với nhau, chúng ta có thể tạo thành một hệ mà “spin toàn phần” của nó là một, hoặc không. Trong mục này chúng ta muốn thảo luận theo các thuật ngữ tổng quát hơn các trạng thái spin của một hệ được tạo thành từ hai hạt có spin tùy ý. Nó là một bài toán quan trọng khác về mômen động lượng trong các hệ cơ học lượng tử.

Trước hết hãy viết lại các kết quả của Chương 12 cho nguyên tử hydro dưới một dạng sẽ dễ mở rộng hơn tới trường hợp tổng quát hơn. Chúng ta bắt đầu với hai hạt mà bây giờ chúng ta sẽ gọi là hạt a (electron) và hạt b (proton). Hạt a có spin j_a (= ½), và thành phần z của mômen động lượng của nó m_a có thể có một trong vài giá trị (thực tế là 2, cụ thể là m_a = +½ hoặc m_a = −½). Tương tự, trạng thái spin của hạt b được mô tả bằng spin j_b của nó và thành phần z của mômen động lượng của nó m_b. Nhiều tổ hợp khác nhau của các trạng thái spin của hai hạt có thể được tạo thành. Chẳng hạn, chúng ta có thể có hạt a với m_a = ½ và hạt b với m_b = −½, để tạo thành một trạng thái |a, +½; b, −½⟩. Nói chung, các trạng thái kết hợp tạo thành một hệ mà “spin của hệ”, hay “spin toàn phần”, hay “mômen động lượng toàn phần” J của nó có thể là 1, hoặc 0. Và hệ có thể có một thành phần z của mômen động lượng M, vốn là +1, 0, hoặc −1 khi J = 1, hoặc 0 khi J = 0. Trong ngôn ngữ mới này, chúng ta có thể viết lại các công thức trong (12.41) và (12.42) như được chỉ trong Bảng 18–3.

Trong bảng, cột bên trái mô tả trạng thái hợp thành theo mômen động lượng toàn phần J của nó và thành phần z M. Cột bên phải chỉ ra các trạng thái này được tạo thành như thế nào theo các giá trị m của hai hạt a và b.

Bây giờ chúng ta muốn tổng quát hoá kết quả này thành các trạng thái được tạo thành từ hai vật thể a và b có các spin tùy ý j_a và j_b. Chúng ta bắt đầu bằng cách xét một ví dụ mà đối với nó j_a = ½ và j_b = 1, cụ thể là nguyên tử đơteri trong đó hạt a là một electron (e) và hạt b là hạt nhân — một deuteron (d). Khi đó chúng ta có j_a = j_e = ½. Deuteron được tạo thành từ một proton và một neutron trong một trạng thái mà spin toàn phần của nó là một, vì vậy j_b = j_d = 1. Chúng ta muốn thảo luận các trạng thái siêu tinh tế của đơteri — đúng theo cách chúng ta đã làm đối với hydro. Vì deuteron có ba trạng thái khả dĩ m_b = m_d = +1, 0, −1, và electron có hai, m_a = m_e = +½, −½, nên có sáu trạng thái khả dĩ như sau (dùng ký hiệu |e, m_e; d, m_d⟩):

|e, +½; d, +1⟩,
|e, +½; d, 0⟩; |e, −½; d, +1⟩,
|e, +½; d, −1⟩; |e, −½; d, 0⟩,
|e, −½; d, −1⟩.   (18.42)

Bạn sẽ để ý rằng chúng ta đã nhóm các trạng thái theo các giá trị của tổng của m_e và m_d — được sắp xếp theo thứ tự giảm dần.

Bây giờ chúng ta hỏi: Điều gì xảy ra với các trạng thái này nếu chúng ta chiếu vào một hệ toạ độ khác? Nếu hệ mới chỉ được quay quanh trục z đi một góc φ, thì trạng thái |e, m_e; d, m_d⟩ được nhân với

e^im_e^φe^im_d^φ = e^{i(m_e + m_d)φ}.   (18.43)

(Trạng thái có thể được nghĩ đến như tích |e, m_e⟩|d, m_d⟩, và mỗi vectơ trạng thái đóng góp một cách độc lập thừa số mũ của riêng nó.) Thừa số (18.43) có dạng e^iMφ, vì vậy trạng thái |e, m_e; d, m_d⟩ có một thành phần z của mômen động lượng bằng

M = m_e + m_d.   (18.44)

Thành phần z của mômen động lượng toàn phần là tổng của các thành phần z của mômen động lượng của các phần.

Vì vậy trong danh sách của (18.42), trạng thái trong dòng trên cùng có M = +3/2, hai trạng thái trong dòng thứ hai có M = +½, hai trạng thái tiếp theo có M = −½, và trạng thái cuối cùng có M = −3/2. Chúng ta thấy ngay một khả năng cho spin J của trạng thái kết hợp (mômen động lượng toàn phần) phải là 3/2, và điều này sẽ đòi hỏi bốn trạng thái với M = +3/2, +½, −½ và −3/2.

Chỉ có một ứng viên duy nhất cho M = +3/2, vì vậy chúng ta đã biết rằng

|J = 3/2, M = +3/2⟩ = |e, +½; d, +1⟩.   (18.45)

Nhưng trạng thái |J = 3/2, M = +½⟩ là gì? Chúng ta có hai ứng viên trong dòng thứ hai của (18.42), và, thực tế, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của chúng cũng sẽ có M = ½. Vì vậy, nói chung, chúng ta phải kỳ vọng tìm thấy rằng

|J = 3/2, M = +½⟩ = α|e, +½; d, 0⟩ + β|e, −½; d, +1⟩,   (18.46)

trong đó α và β là hai số. Chúng được gọi là các hệ số Clebsch–Gordan. Bài toán tiếp theo của chúng ta là tìm ra chúng là gì.

Chúng ta có thể tìm ra một cách dễ dàng nếu chúng ta chỉ cần nhớ rằng deuteron được tạo thành từ một neutron và một proton, và viết các trạng thái deuteron ra một cách tường minh hơn dùng các quy tắc của Bảng 18–3. Nếu chúng ta làm điều đó, các trạng thái được liệt kê trong (18.42) khi đó trông như được chỉ trong Bảng 18–4.

Chúng ta muốn tạo thành bốn trạng thái của J = 3/2, dùng các trạng thái trong bảng. Nhưng chúng ta đã biết đáp án, bởi vì trong Bảng 18–1 chúng ta có các trạng thái spin 3/2 được tạo thành từ ba hạt spin một phần hai. Trạng thái đầu tiên trong Bảng 18–1 có |J = 3/2, M = +3/2⟩ và nó là |+ + +⟩, vốn — trong ký hiệu hiện tại của chúng ta — là cùng một thứ với |e, +½; n, +½; p, +½⟩, hay trạng thái đầu tiên trong Bảng 18–4. Nhưng trạng thái này cũng là cùng một thứ với trạng thái đầu tiên trong danh sách của (18.42), khẳng định phát biểu của chúng ta trong (18.45). Dòng thứ hai của Bảng 18–1 nói — đổi sang ký hiệu hiện tại của chúng ta — rằng

|J = 3/2, M = +½⟩ = (1/√3){ |e, +½; n, +½; p, −½⟩ + |e, +½; n, −½; p, +½⟩ + |e, −½; n, +½; p, +½⟩ }.   (18.47)

Vế phải hiển nhiên có thể được lắp ráp từ hai mục trong dòng thứ hai của Bảng 18–4 bằng cách lấy √(2/3) của số hạng đầu tiên với √(1/3) của số hạng thứ hai. Nghĩa là, Phương trình (18.47) tương đương với

|J = 3/2, M = +½⟩ = √(2/3)|e, +½; d, 0⟩ + √(1/3)|e, −½; d, +1⟩.   (18.48)

Chúng ta đã tìm thấy hai hệ số Clebsch–Gordan α và β của chúng ta trong Phương trình (18.46):

α = √(2/3),   β = √(1/3).   (18.49)

Đi theo cùng thủ tục, chúng ta có thể tìm thấy rằng

|J = 3/2, M = −½⟩ = √(1/3)|e, +½; d, −1⟩ + √(2/3)|e, −½; d, 0⟩.   (18.50)

Và, dĩ nhiên, cũng

|J = 3/2, M = −3/2⟩ = |e, −½; d, −1⟩.   (18.51)

Đây là các quy tắc cho sự hợp thành spin 1 và spin ½ để tạo thành một J toàn phần = 3/2. Chúng ta tóm tắt (18.45), (18.48), (18.50) và (18.51) trong Bảng 18–5.

Tuy nhiên, chúng ta mới chỉ có bốn trạng thái ở đây trong khi hệ chúng ta đang xét có sáu trạng thái khả dĩ. Trong hai trạng thái của dòng thứ hai của (18.42), chúng ta mới chỉ dùng một tổ hợp tuyến tính để tạo thành |J = 3/2, M = +½⟩. Có một tổ hợp tuyến tính khác trực giao với tổ hợp chúng ta đã lấy cũng có M = +½, cụ thể là

√(1/3)|e, +½; d, 0⟩ − √(2/3)|e, −½; d, +1⟩.   (18.52)

Tương tự, hai trạng thái trong dòng thứ ba của (18.42) có thể được kết hợp để cho hai trạng thái trực giao, mỗi cái có M = −½. Cái trực giao với (18.52) là

√(2/3)|e, +½; d, −1⟩ − √(1/3)|e, −½; d, 0⟩.   (18.53)

Đây là hai trạng thái còn lại. Chúng có M = m_e + m_d = ±½; và phải là hai trạng thái tương ứng với J = ½. Vì vậy chúng ta có

|J = ½, M = +½⟩ = √(1/3)|e, +½; d, 0⟩ − √(2/3)|e, −½; d, +1⟩,
|J = ½, M = −½⟩ = √(2/3)|e, +½; d, −1⟩ − √(1/3)|e, −½; d, 0⟩.   (18.54)

Chúng ta có thể kiểm chứng rằng hai trạng thái này quả thực hành xử như các trạng thái của một vật thể spin một phần hai bằng cách viết các phần deuteron ra theo các trạng thái neutron và proton — dùng Bảng 18–4. Trạng thái đầu tiên trong (18.52) là

√(1/6){ |e, +½; n, +½; p, −½⟩ + |e, +½; n, −½; p, +½⟩ } − √(2/3)|e, −½; n, +½; p, +½⟩,   (18.55)

vốn cũng có thể được viết

√(1/3)[ √(1/2){ |e, +½; n, +½; p, −½⟩ − |e, −½; n, +½; p, +½⟩ } + √(1/2){ |e, +½; n, −½; p, +½⟩ − |e, −½; n, +½; p, +½⟩ } ].   (18.56)

Bây giờ hãy nhìn các số hạng trong dấu ngoặc nhọn đầu tiên, và nghĩ về e và p được lấy cùng nhau. Cùng nhau chúng tạo thành một trạng thái spin không (xem dòng dưới cùng của Bảng 18–3), và không đóng góp mômen động lượng nào. Chỉ neutron còn lại, vì vậy toàn bộ dấu ngoặc nhọn đầu tiên của (18.56) hành xử dưới các phép quay như một neutron, cụ thể là như một trạng thái với J = ½, M = +½. Đi theo cùng lập luận, chúng ta thấy rằng trong dấu ngoặc nhọn thứ hai của (18.56) electron và neutron hợp sức để tạo ra mômen động lượng bằng không, và chỉ đóng góp của proton — với m_p = ½ — còn lại. Các số hạng hành xử như một vật thể với J = ½, M = +½. Vì vậy toàn bộ biểu thức của (18.56) biến đổi như |J = ½, M = +½⟩ đúng như nó phải thế. Trạng thái M = −½ tương ứng với (18.53) có thể được viết xuống (bằng cách đổi các +½ thích hợp thành các −½) để được

√(1/3)[ √(1/2){ |e, +½; n, −½; p, −½⟩ − |e, −½; n, −½; p, +½⟩ } + √(1/2){ |e, +½; n, −½; p, −½⟩ − |e, −½; n, +½; p, −½⟩ } ].   (18.57)

Bạn có thể dễ dàng kiểm tra rằng điều này bằng dòng thứ hai của (18.54), đúng như nó phải thế nếu hai số hạng của cặp đó là hai trạng thái của một hệ spin một phần hai. Vì vậy các kết quả của chúng ta được khẳng định. Một deuteron và một electron có thể tồn tại trong sáu trạng thái spin, bốn trong số chúng hành xử như các trạng thái của một vật thể spin 3/2 (Bảng 18–5) và hai trong số chúng hành xử như một vật thể có spin một phần hai (18.54).

Các kết quả của Bảng 18–5 và của Phương trình (18.54) đã được suy ra bằng cách dùng sự kiện rằng deuteron được tạo thành từ một neutron và một proton. Tính đúng đắn của các phương trình không phụ thuộc vào hoàn cảnh đặc biệt đó. Đối với bất kỳ vật thể spin một nào được đặt cùng với bất kỳ vật thể spin một phần hai nào, các định luật hợp thành (và các hệ số) cũng như vậy. Tập hợp các phương trình trong Bảng 18–5 có nghĩa là nếu các toạ độ được quay quanh, chẳng hạn, trục y — để các trạng thái của hạt spin một phần hai và của hạt spin một thay đổi theo Bảng 17–1 và Bảng 17–2 — các tổ hợp tuyến tính ở vế phải sẽ thay đổi theo cách thích hợp đối với một vật thể spin 3/2. Dưới cùng phép quay đó, các trạng thái của (18.54) sẽ thay đổi như các trạng thái của một vật thể spin một phần hai. Các kết quả chỉ phụ thuộc vào các tính chất quay (nghĩa là, các trạng thái spin) của hai hạt gốc chứ không phụ thuộc theo bất kỳ cách nào vào nguồn gốc của các mômen động lượng của chúng. Chúng ta mới chỉ dùng sự kiện này để tính các công thức bằng cách chọn một trường hợp đặc biệt trong đó một trong các phần cấu thành tự nó được tạo thành từ hai hạt spin một phần hai trong một trạng thái đối xứng. Chúng ta đã đặt mọi kết quả của chúng ta lại với nhau trong Bảng 18–6, đổi ký hiệu “e” và “d” thành “a” và “b” để nhấn mạnh tính tổng quát của các kết luận.

Giả sử chúng ta có bài toán tổng quát là tìm các trạng thái có thể được tạo thành khi hai vật thể có spin tùy ý được kết hợp. Giả sử một vật thể có j_a (vì vậy thành phần z của nó m_a chạy qua 2j_a + 1 giá trị từ −j_a tới +j_a) và vật thể kia có j_b (với thành phần z m_b chạy qua các giá trị từ −j_b tới +j_b). Các trạng thái kết hợp là |a, m_a; b, m_b⟩, và có (2j_a + 1)(2j_b + 1) trạng thái khác nhau như vậy. Bây giờ các trạng thái có spin toàn phần J nào có thể được tìm thấy?

Thành phần z toàn phần của mômen động lượng M bằng m_a + m_b, và các trạng thái đều có thể được liệt kê theo M [như trong (18.42)]. M lớn nhất là duy nhất; nó tương ứng với m_a = j_a và m_b = j_b, và, do đó, chỉ là j_a + j_b. Điều đó có nghĩa là spin toàn phần lớn nhất J cũng bằng tổng j_a + j_b:

J = (M)_max = j_a + j_b.

Đối với giá trị M đầu tiên nhỏ hơn (M)_max, có hai trạng thái (hoặc m_a hoặc m_b nhỏ hơn giá trị cực đại của nó một đơn vị). Chúng phải đóng góp một trạng thái vào tập hợp đi với J = j_a + j_b, và trạng thái còn lại sẽ thuộc về một tập hợp mới với J = j_a + j_b − 1. Giá trị M tiếp theo — giá trị thứ ba từ trên cùng của danh sách — có thể được tạo thành theo ba cách. (Từ m_a = j_a − 2, m_b = j_b; từ m_a = j_a − 1, m_b = j_b − 1; và từ m_a = j_a, m_b = j_b − 2.) Hai trong số này thuộc về các nhóm đã bắt đầu ở trên; cái thứ ba nói cho chúng ta biết rằng các trạng thái có J = j_a + j_b − 2 cũng phải được bao gồm. Lập luận này tiếp tục cho tới khi chúng ta đạt một giai đoạn mà trong danh sách của chúng ta, chúng ta không còn có thể đi xuống thêm một bước nữa trong một trong các m để tạo ra các trạng thái mới.

Để j_b là cái nhỏ hơn trong j_a và j_b (nếu chúng bằng nhau thì lấy một trong hai); khi đó chỉ 2j_b giá trị của J được đòi hỏi — đi theo các bước nguyên từ j_a + j_b xuống tới j_a − j_b. Nghĩa là, khi hai vật thể có spin j_a và j_b được kết hợp, hệ có thể có một mômen động lượng toàn phần J bằng bất kỳ giá trị nào trong các giá trị

J = { j_a + j_b;  j_a + j_b − 1;  j_a + j_b − 2;  ⋮;  |j_a − j_b| }.   (18.58)

(Bằng cách viết |j_a − j_b| thay vì j_a − j_b, chúng ta có thể tránh lời nhắc thêm rằng j_a ≥ j_b.)

Đối với mỗi giá trị J này có 2J + 1 trạng thái có các giá trị M khác nhau — với M đi từ +J tới −J. Mỗi trạng thái trong số này được tạo thành từ các tổ hợp tuyến tính của các trạng thái gốc |a, m_a; b, m_b⟩ với các thừa số thích hợp — các hệ số Clebsch–Gordan cho mỗi số hạng cụ thể. Chúng ta có thể xem các hệ số này cho “lượng” của trạng thái |j_a, m_a; j_b, m_b⟩ xuất hiện trong trạng thái |J, M⟩. Vì vậy mỗi hệ số Clebsch–Gordan, nếu bạn muốn, có sáu chỉ số xác định vị trí của nó trong các công thức như các công thức của Bảng 18–3 và 18–6. Nghĩa là, gọi các hệ số này là C(J, M; j_a, m_a; j_b, m_b), chúng ta có thể biểu diễn sự bằng nhau của dòng thứ hai của Bảng 18–6 bằng cách viết

C(3/2, +½; ½, +½; 1, 0) = √(2/3),
C(3/2, +½; ½, −½; 1, +1) = √(1/3).

Chúng ta sẽ không tính ở đây các hệ số cho bất kỳ trường hợp đặc biệt nào khác.⁹ Tuy nhiên, bạn có thể tìm các bảng trong nhiều sách. Bạn có thể muốn tự thử một trường hợp đặc biệt khác. Trường hợp tiếp theo cần làm sẽ là sự hợp thành của hai hạt spin một. Chúng ta chỉ đưa kết quả cuối cùng trong Bảng 18–7.

Các định luật về sự hợp thành các mômen động lượng này rất quan trọng trong vật lý hạt — trong đó chúng có vô số ứng dụng. Đáng tiếc, chúng ta không có thời gian để xem thêm các ví dụ ở đây.

18–7  Ghi chú bổ sung 1: Phép suy ra ma trận quay¹⁰

Đối với những ai muốn xem các chi tiết, chúng ta tính ở đây ma trận quay tổng quát cho một hệ có spin (mômen động lượng toàn phần) j. Việc tính trường hợp tổng quát thực ra không quan trọng lắm; một khi bạn đã có ý tưởng, bạn có thể tìm các kết quả tổng quát trong các bảng ở nhiều sách. Mặt khác, sau khi đã đi xa tới mức này, bạn có thể muốn thấy rằng bạn quả thực có thể hiểu ngay cả các công thức rất phức tạp của cơ học lượng tử, như Phương trình (18.35), vốn xuất hiện trong việc mô tả mômen động lượng.

Chúng ta mở rộng các lập luận của Mục 18–4 thành một hệ có spin j, mà chúng ta xem là được tạo thành từ 2j vật thể spin một phần hai. Trạng thái với m = j sẽ là |+ + + … +⟩ (với 2j dấu cộng). Đối với m = j − 1, sẽ có 2j số hạng như |+ + … + + −⟩, |+ + … + − +⟩, và cứ thế. Hãy xét trường hợp tổng quát trong đó có r dấu cộng và s dấu trừ — với r + s = 2j. Dưới một phép quay quanh trục z, mỗi dấu cộng trong r dấu cộng sẽ đóng góp e^+iφ/2. Kết quả là một sự thay đổi pha (r/2 − s/2)φ. Bạn thấy rằng

m = (r − s)/2.   (18.59)

Đúng như đối với j = 3/2, mỗi trạng thái có m xác định phải là tổ hợp tuyến tính với các dấu cộng của mọi trạng thái có cùng r và s — nghĩa là, các trạng thái tương ứng với mọi cách sắp xếp khả dĩ có r dấu cộng và s dấu trừ. Chúng ta giả thiết rằng bạn có thể tính ra rằng có (r + s)!/r!s! cách sắp xếp như vậy. Để chuẩn hoá mỗi trạng thái, chúng ta nên chia tổng cho căn bậc hai của số này. Chúng ta có thể viết

[(r + s)!/r!s!]^−1/2{ |+ + + … + (r dấu) − − − … − (s dấu)⟩ + (mọi cách sắp xếp lại thứ tự) } = |j, m⟩,   (18.60)

với

j = (r + s)/2,   m = (r − s)/2.   (18.61)

Nó sẽ giúp ích cho công việc của chúng ta nếu bây giờ chúng ta chuyển sang một ký hiệu khác nữa. Một khi chúng ta đã định nghĩa các trạng thái bằng Phương trình (18.60), hai số r và s định nghĩa một trạng thái tốt như j và m. Nó sẽ giúp chúng ta theo dõi mọi thứ nếu chúng ta viết

|j, m⟩ = |r trên s⟩,   (18.62)

trong đó, dùng các đẳng thức của (18.61),

r = j + m,   s = j − m.

Tiếp theo, chúng ta muốn viết Phương trình (18.60) bằng một ký hiệu đặc biệt mới dưới dạng

|j, m⟩ = |r trên s⟩ = [(r + s)!/r!s!]^+1/2{ |+⟩^r|−⟩^s }_perm.   (18.63)

Để ý rằng chúng ta đã đổi số mũ của thừa số ở đằng trước thành cộng ½. Chúng ta làm điều đó bởi vì có đúng N = (r + s)!/r!s! số hạng bên trong các dấu ngoặc nhọn. So sánh (18.63) với (18.60), rõ ràng là

{ |+⟩^r|−⟩^s }_perm

chỉ là một cách viết tắt cho

{ |+ + … − −⟩ + mọi cách sắp xếp lại } / N,

trong đó N là số các số hạng khác nhau trong dấu ngoặc. Lý do ký hiệu này tiện lợi là mỗi lần chúng ta thực hiện một phép quay, mọi dấu cộng đều đóng góp cùng một thừa số, vì vậy chúng ta được thừa số này lũy thừa r. Tương tự, tất cả cùng nhau các số hạng dấu trừ đóng góp một thừa số lũy thừa s dù dãy các số hạng là như thế nào.

Bây giờ giả sử chúng ta quay hệ của chúng ta đi một góc θ quanh trục y. Cái chúng ta muốn là R_y(θ)|r trên s⟩. Khi R_y(θ) tác động lên mỗi |+⟩, nó cho

R_y(θ)|+⟩ = |+⟩C + |−⟩S,   (18.64)

trong đó C = cos θ/2 và S = −sin θ/2. Khi R_y(θ) tác động lên mỗi |−⟩, nó cho

R_y(θ)|−⟩ = |−⟩C − |+⟩S.

Vì vậy cái chúng ta muốn là

R_y(θ)|r trên s⟩ = [(r + s)!/r!s!]^1/2 R_y(θ){ |+⟩^r|−⟩^s }_perm = [(r + s)!/r!s!]^1/2{ (R_y(θ)|+⟩)^r(R_y(θ)|−⟩)^s }_perm = [(r + s)!/r!s!]^1/2{ (|+⟩C + |−⟩S)^r(|−⟩C − |+⟩S)^s }_perm.   (18.65)

Bây giờ mỗi nhị thức phải được khai triển ra tới lũy thừa thích hợp của nó và hai biểu thức được nhân với nhau. Sẽ có các số hạng với |+⟩ ở mọi lũy thừa từ không tới (r + s). Hãy nhìn mọi số hạng có |+⟩ ở lũy thừa r′. Chúng sẽ luôn xuất hiện nhân với |−⟩ ở lũy thừa s′, trong đó s′ = 2j − r′. Giả sử chúng ta thu thập mọi số hạng như vậy. Đối với mỗi hoán vị, chúng sẽ có một hệ số số nào đó liên quan tới các thừa số của khai triển nhị thức cũng như các thừa số C và S. Giả sử chúng ta gọi thừa số đó là A_r′. Khi đó Phương trình (18.65) sẽ trông như

R_y(θ)|r trên s⟩ = Σ_r′=0^r+s { A_r′|+⟩^r′|−⟩^s′ }_perm.   (18.66)

Bây giờ giả sử chúng ta chia A_r′ cho thừa số [(r′ + s′)!/r′!s′!]^1/2 và gọi thương là B_r′. Phương trình (18.66) khi đó tương đương với

R_y(θ)|r trên s⟩ = Σ_r′=0^r+s B_r′[(r′ + s′)!/r′!s′!]^1/2{ |+⟩^r′|−⟩^s′ }_perm.   (18.67)

(Chúng ta có thể chỉ nói rằng phương trình này định nghĩa B_r′ bằng yêu cầu rằng (18.67) cho cùng biểu thức xuất hiện trong (18.65).)

Với định nghĩa này của B_r′, các thừa số còn lại ở vế phải của Phương trình (18.67) chính là các trạng thái |r′ trên s′⟩. Vì vậy chúng ta có rằng

R_y(θ)|r trên s⟩ = Σ_r′=0^r+s B_r′|r′ trên s′⟩,   (18.68)

với s′ luôn bằng r + s − r′. Điều này, dĩ nhiên, có nghĩa là các hệ số B_r′ chính là các phần tử ma trận chúng ta muốn, cụ thể là

⟨r′ trên s′|R_y(θ)|r trên s⟩ = B_r′.   (18.69)

Bây giờ chúng ta chỉ phải đẩy qua phần đại số để tìm các B_r′ khác nhau. So sánh (18.65) với (18.67) — và nhớ rằng r′ + s′ = r + s — chúng ta thấy rằng B_r′ chính là hệ số của a^r′b^s′ trong biểu thức sau:

(r′!s′!/r!s!)^1/2(aC + bS)^r(bC − aS)^s.   (18.70)

Bây giờ nó chỉ là một công việc bẩn thỉu để thực hiện các khai triển bằng định lý nhị thức, và thu thập các số hạng có lũy thừa cho trước của a và b. Nếu bạn tính tất cả ra, bạn thấy rằng hệ số của a^r′b^s′ trong (18.70) là

[(r′!s′!)/(r!s!)]^1/2 Σ_k (−1)^kS^r−r′+2kC^s+r′−2k · [r!/((r − r′ + k)!(r′ − k)!)] · [s!/((s − k)!k!)].   (18.71)

Tổng được lấy trên mọi số nguyên k cho các số hạng bằng không hoặc lớn hơn trong các giai thừa. Biểu thức này khi đó là phần tử ma trận chúng ta muốn.

Cuối cùng, chúng ta có thể quay lại ký hiệu gốc của chúng ta theo j, m và m′ dùng

r = j + m,   r′ = j + m′,   s = j − m,   s′ = j − m′.

Thực hiện các phép thế này, chúng ta được Phương trình (18.35) trong Mục 18–4.

18–8  Ghi chú bổ sung 2: Bảo toàn tính chẵn lẻ trong sự phát xạ photon

Trong Mục 18–1 của chương này, chúng ta đã xét sự phát xạ ánh sáng bởi một nguyên tử đi từ một trạng thái kích thích có spin 1 xuống một trạng thái cơ bản có spin 0. Nếu trạng thái kích thích có spin của nó hướng lên (m = +1), nó có thể phát ra một photon RHC dọc theo trục +z hoặc một photon LHC dọc theo trục −z. Hãy gọi hai trạng thái này của photon là |R_lên⟩ và |L_xuống⟩. Không trạng thái nào trong hai trạng thái này có tính chẵn lẻ xác định. Để P là toán tử tính chẵn lẻ, P|R_lên⟩ = |L_xuống⟩ và P|L_xuống⟩ = |R_lên⟩.

Thế còn chứng minh trước đây của chúng ta rằng một nguyên tử trong một trạng thái có năng lượng xác định phải có một tính chẵn lẻ xác định, và phát biểu của chúng ta rằng tính chẵn lẻ được bảo toàn trong các quá trình nguyên tử? Trạng thái cuối trong bài toán này (trạng thái sau sự phát xạ một photon) không nên có một tính chẵn lẻ xác định sao? Nó có, nếu chúng ta xét trạng thái cuối hoàn chỉnh vốn chứa các biên độ cho sự phát xạ các photon vào đủ mọi loại góc. Trong Mục 18–1, chúng ta đã chọn chỉ xét một phần của trạng thái cuối hoàn chỉnh.

Nếu muốn, chúng ta có thể chỉ nhìn vào các trạng thái cuối quả thực có một tính chẵn lẻ xác định. Chẳng hạn, xét một trạng thái cuối |ψ_F⟩ vốn có một biên độ nào đó α để là một photon RHC đi dọc theo +z và một biên độ nào đó β để là một photon LHC đi dọc theo −z. Chúng ta có thể viết

|ψ_F⟩ = α|R_lên⟩ + β|L_xuống⟩.   (18.72)

Phép toán tính chẵn lẻ trên trạng thái này cho

P|ψ_F⟩ = α|L_xuống⟩ + β|R_lên⟩.   (18.73)

Trạng thái này sẽ là ±|ψ_F⟩ nếu β = α hoặc nếu β = −α. Vì vậy một trạng thái cuối có tính chẵn lẻ chẵn là

|ψ_F⁺⟩ = α{ |R_lên⟩ + |L_xuống⟩ },   (18.74)

và một trạng thái có tính chẵn lẻ lẻ là

|ψ_F⁻⟩ = α{ |R_lên⟩ − |L_xuống⟩ }.   (18.75)

Tiếp theo, chúng ta muốn xét sự phân rã của một trạng thái kích thích có tính chẵn lẻ lẻ xuống một trạng thái cơ bản có tính chẵn lẻ chẵn. Nếu tính chẵn lẻ phải được bảo toàn, trạng thái cuối của photon phải có tính chẵn lẻ lẻ. Nó phải là trạng thái trong (18.75). Nếu biên độ để tìm |R_lên⟩ là α, biên độ để tìm |L_xuống⟩ là −α.

Bây giờ để ý điều gì xảy ra khi chúng ta thực hiện một phép quay 180° quanh trục y. Trạng thái kích thích ban đầu của nguyên tử trở thành một trạng thái m = −1 (mà không đổi dấu, theo Bảng 17–2). Và phép quay của trạng thái cuối cho

R_y(180°)|ψ_F⁻⟩ = α{ |R_xuống⟩ − |L_lên⟩ }.   (18.76)

So sánh phương trình này với (18.75), bạn thấy rằng đối với tính chẵn lẻ đã giả thiết của trạng thái cuối, biên độ để được một photon LHC dọc theo +z từ trạng thái đầu m = −1 là âm của biên độ để được một photon RHC từ trạng thái đầu m = +1. Điều này phù hợp với kết quả chúng ta đã tìm thấy trong Mục 18–1.