Chương 21: Phương trình Schrödinger trong một bối cảnh cổ điển: Một bài seminar về siêu dẫn

21–1  Phương trình Schrödinger trong một từ trường

Bài giảng này chỉ để giải trí. Tôi muốn trình bày bài giảng theo một phong cách hơi khác — chỉ để xem nó ra sao. Nó không phải là một phần của khoá học — theo nghĩa nó không phải là một nỗ lực phút chót nhằm dạy bạn một điều gì mới. Mà thay vào đó, tôi tưởng tượng rằng mình đang trình bày một bài seminar hay một báo cáo nghiên cứu về chủ đề này trước một cử toạ cao cấp hơn, trước những người đã được đào tạo về cơ học lượng tử rồi. Khác biệt chính giữa một bài seminar và một bài giảng thông thường là người nói trong seminar không thực hiện mọi bước, hay mọi phần đại số. Anh ta nói: “Nếu bạn làm thế này thế này, thì đây là cái xuất hiện,” thay vì trình bày mọi chi tiết. Vì vậy trong bài giảng này tôi sẽ mô tả các ý tưởng xuyên suốt nhưng chỉ đưa ra kết quả của các phép tính. Bạn nên nhận thức rằng mình không phải hiểu mọi thứ ngay lập tức, mà tin (ít nhiều) rằng mọi thứ sẽ xuất hiện nếu bạn đi qua các bước.

Gạt tất cả điều đó sang một bên, đây là một chủ đề tôi muốn nói tới. Nó mới mẻ và hiện đại và sẽ là một bài nói hoàn toàn chính đáng để trình bày tại một seminar nghiên cứu. Chủ đề của tôi là phương trình Schrödinger trong một bối cảnh cổ điển — trường hợp của siêu dẫn.

Thông thường, hàm sóng xuất hiện trong phương trình Schrödinger chỉ áp dụng cho một hoặc hai hạt. Và bản thân hàm sóng không phải là một thứ có ý nghĩa cổ điển — không giống như điện trường, hay thế vectơ, hay những thứ thuộc loại đó. Hàm sóng cho một hạt đơn lẻ là một “trường” — theo nghĩa nó là một hàm của vị trí — nhưng nhìn chung nó không có một ý nghĩa cổ điển. Tuy nhiên, có một số tình huống trong đó một hàm sóng cơ học lượng tử quả thực có ý nghĩa cổ điển, và chúng là những tình huống tôi muốn đề cập. Hành vi cơ học lượng tử kỳ lạ của vật chất ở thang nhỏ thường không tự bộc lộ ở thang lớn ngoại trừ theo cách thông thường là nó tạo ra các định luật Newton — các định luật của cái gọi là cơ học cổ điển. Nhưng có những tình huống nhất định trong đó các đặc thù của cơ học lượng tử có thể xuất hiện theo một cách đặc biệt ở thang lớn.

Ở các nhiệt độ thấp, khi năng lượng của một hệ đã được giảm xuống rất, rất thấp, thay vì một số lớn các trạng thái có liên quan, chỉ một số rất, rất nhỏ các trạng thái gần trạng thái nền có liên quan. Trong các hoàn cảnh đó, đặc tính cơ học lượng tử của trạng thái nền đó có thể xuất hiện ở thang vĩ mô. Mục đích của bài giảng này là chỉ ra một mối liên hệ giữa cơ học lượng tử và các hiệu ứng thang lớn — không phải cuộc thảo luận thông thường về cách cơ học lượng tử tái tạo cơ học Newton theo trung bình, mà là một tình huống đặc biệt trong đó cơ học lượng tử sẽ tạo ra các hiệu ứng đặc trưng của riêng nó ở thang lớn hay “vĩ mô”.

Tôi sẽ bắt đầu bằng cách nhắc bạn về một số tính chất của phương trình Schrödinger.¹ Tôi muốn mô tả hành vi của một hạt trong một từ trường bằng phương trình Schrödinger, bởi vì các hiện tượng siêu dẫn có liên quan tới các từ trường. Một từ trường ngoài được mô tả bằng một thế vectơ, và bài toán là: các định luật của cơ học lượng tử trong một thế vectơ là gì? Nguyên lý mô tả hành vi của cơ học lượng tử trong một thế vectơ rất đơn giản. Biên độ để một hạt đi từ một nơi tới một nơi khác dọc theo một tuyến đường nào đó khi có một trường hiện diện thì bằng biên độ để nó đi dọc theo cùng tuyến đường đó khi không có trường, nhân với hàm mũ của tích phân đường của thế vectơ, nhân với điện tích chia cho hằng số Planck² (xem Hình 21–1):

⟨b|a⟩_{trong A} = ⟨b|a⟩_A=0 · exp[(iq/ħ)∫_a^b A·ds].   (21.1)

Đó là một phát biểu cơ bản của cơ học lượng tử.

Bây giờ khi không có thế vectơ, phương trình Schrödinger của một hạt tích điện (phi tương đối tính, không spin) là

−(ħ/i) ∂ψ/∂t = Ĥψ = (1/2m)[(ħ/i)∇]·[(ħ/i)∇]ψ + qφψ,   (21.2)

trong đó φ là thế điện sao cho qφ là thế năng.³ Phương trình (21.1) tương đương với phát biểu rằng trong một từ trường, các gradien trong Hamiltonian được thay, trong mỗi trường hợp, bằng gradien trừ qA, vì vậy Phương trình (21.2) trở thành

−(ħ/i) ∂ψ/∂t = Ĥψ = (1/2m)[(ħ/i)∇ − qA]·[(ħ/i)∇ − qA]ψ + qφψ.   (21.3)

Đây là phương trình Schrödinger cho một hạt có điện tích q chuyển động trong một trường điện từ A, φ (phi tương đối tính, không spin).

Để chỉ ra rằng điều này đúng, tôi muốn minh hoạ bằng một ví dụ đơn giản trong đó thay vì có một tình huống liên tục, chúng ta có một hàng các nguyên tử dọc theo trục x với khoảng cách b và chúng ta có một biên độ iK/ħ trên đơn vị thời gian để một electron nhảy từ một nguyên tử sang nguyên tử khác khi không có trường.⁴ Bây giờ theo Phương trình (21.1), nếu có một thế vectơ theo hướng x, A_x(x, t), biên độ để nhảy sẽ bị thay đổi so với trước bởi một thừa số exp[(iq/ħ) A_xb], số mũ là iq/ħ nhân với thế vectơ tích phân từ một nguyên tử tới nguyên tử tiếp theo. Để đơn giản chúng ta sẽ viết (q/ħ)A_x ≡ f(x), vì A_x, nói chung, sẽ phụ thuộc vào x. Nếu biên độ để tìm electron tại nguyên tử “n” nằm tại x được gọi là C(x) ≡ C_n, thì tốc độ thay đổi của biên độ đó được cho bởi phương trình sau:

−(ħ/i) dC(x)/dt = E₀C(x) − Ke^{−ibf(x+b/2)}C(x + b) − Ke^{+ibf(x−b/2)}C(x − b).   (21.4)

Có ba mảnh. Trước hết, có một năng lượng nào đó E₀ nếu electron nằm tại x. Như thường lệ, điều đó cho ra số hạng E₀C(x). Tiếp theo, có số hạng −KC(x + b), vốn là biên độ để electron đã nhảy ngược lại một bước từ nguyên tử “n + 1”, nằm tại x + b. Tuy nhiên, khi làm vậy trong một thế vectơ, pha của biên độ phải bị dịch chuyển theo quy tắc trong Phương trình (21.1). Nếu A_x không thay đổi đáng kể trong một khoảng cách nguyên tử, tích phân có thể được viết chỉ là giá trị của A_x tại điểm giữa, nhân với khoảng cách b. Vì vậy (iq/ħ) nhân với tích phân chỉ là ibf(x + b/2). Vì electron đang nhảy ngược lại, tôi đã chỉ sự dịch pha này bằng một dấu trừ. Điều đó cho ra mảnh thứ hai. Theo cùng cách, có một biên độ nào đó để đã nhảy từ phía bên kia, nhưng lần này chúng ta cần thế vectơ tại một khoảng cách (b/2) ở phía bên kia của x, nhân với khoảng cách b. Điều đó cho ra mảnh thứ ba. Tổng cho ra phương trình cho biên độ để ở tại x trong một thế vectơ.

Bây giờ chúng ta biết rằng nếu hàm C(x) đủ trơn (chúng ta lấy giới hạn bước sóng dài), và nếu chúng ta để các nguyên tử lại gần nhau hơn, Phương trình (21.4) sẽ tiệm cận hành vi của một electron trong không gian tự do. Vì vậy bước tiếp theo là khai triển vế phải của (21.4) theo các luỹ thừa của b, giả thiết b rất nhỏ. Chẳng hạn, nếu b bằng không, vế phải chỉ là (E₀ − 2K)C(x), vì vậy trong phép gần đúng bậc không năng lượng là E₀ − 2K. Tiếp theo đến các số hạng theo b. Nhưng vì hai hàm mũ có dấu ngược nhau, chỉ các luỹ thừa chẵn của b còn lại. Vì vậy nếu bạn thực hiện một khai triển Taylor của C(x), của f(x), và của các hàm mũ, rồi thu thập các số hạng theo b², bạn được

−(ħ/i) dC(x)/dt = E₀C(x) − 2KC(x) − Kb²{C″(x) − 2if(x)C′(x) − if′(x)C(x) − f²(x)C(x)}.   (21.5)

(Các “dấu phẩy” có nghĩa là lấy đạo hàm theo x.)

Bây giờ tổ hợp khủng khiếp này của các thứ trông khá phức tạp. Nhưng về mặt toán học nó đúng là cùng một thứ với

−(ħ/i) dC(x)/dt = (E₀ − 2K)C(x) − Kb²[d/dx − if(x)][d/dx − if(x)]C(x).   (21.6)

Dấu ngoặc thứ hai tác động lên C(x) cho ra C′(x) trừ if(x)C(x). Dấu ngoặc thứ nhất tác động lên hai số hạng này cho ra số hạng C″ và các số hạng theo đạo hàm bậc nhất của f(x) và đạo hàm bậc nhất của C(x). Bây giờ hãy nhớ rằng các nghiệm cho trường hợp từ trường bằng không⁵ biểu diễn một hạt có một khối lượng hiệu dụng m_eff cho bởi

Kb² = ħ²/2m_eff.

Nếu sau đó bạn đặt E₀ = 2K, và đặt lại f(x) = (q/ħ)A_x, bạn có thể dễ dàng kiểm tra rằng Phương trình (21.6) là cùng một thứ với phần đầu tiên của Phương trình (21.3). (Nguồn gốc của số hạng thế năng thì đã được biết rõ, vì vậy tôi đã không mất công đưa nó vào cuộc thảo luận này.) Mệnh đề của Phương trình (21.1) rằng thế vectơ thay đổi mọi biên độ bởi thừa số mũ thì cũng chính là quy tắc rằng toán tử động lượng, (ħ/i)∇, được thay bằng

(ħ/i)∇ − qA,

như bạn thấy trong phương trình Schrödinger của (21.3).

21–2  Phương trình liên tục cho các xác suất

Bây giờ tôi chuyển sang một điểm thứ hai. Một phần quan trọng của phương trình Schrödinger cho một hạt đơn lẻ là ý tưởng rằng xác suất để tìm hạt tại một vị trí được cho bởi bình phương tuyệt đối của hàm sóng. Nó cũng là đặc trưng của cơ học lượng tử rằng xác suất được bảo toàn theo một nghĩa cục bộ. Khi xác suất tìm electron ở một nơi nào đó giảm xuống, trong khi xác suất electron ở nơi khác tăng lên (giữ tổng xác suất không đổi), một điều gì đó phải đang diễn ra ở giữa. Nói cách khác, electron có một tính liên tục theo nghĩa nếu xác suất giảm tại một nơi và tích tụ tại một nơi khác, phải có một loại dòng chảy nào đó ở giữa. Nếu bạn đặt một bức tường, chẳng hạn, chắn đường, nó sẽ có một ảnh hưởng và các xác suất sẽ không còn như cũ. Vì vậy sự bảo toàn xác suất một mình không phải là phát biểu đầy đủ của định luật bảo toàn, đúng như sự bảo toàn năng lượng một mình không sâu sắc và quan trọng bằng sự bảo toàn cục bộ của năng lượng.⁶ Nếu năng lượng đang biến mất, phải có một dòng năng lượng tương ứng. Theo cùng cách, chúng ta muốn tìm một “dòng” xác suất sao cho nếu có bất kỳ thay đổi nào trong mật độ xác suất (xác suất được tìm thấy trong một đơn vị thể tích), nó có thể được xem như đến từ một dòng chảy vào hay một dòng chảy ra do một dòng nào đó. Dòng này sẽ là một vectơ có thể được diễn giải theo cách này — thành phần x sẽ là xác suất ròng trên giây và trên đơn vị diện tích để một hạt đi theo hướng x qua một mặt phẳng song song với mặt phẳng yz. Việc đi về phía +x được xem là một dòng dương, và việc đi theo hướng ngược lại, một dòng âm.

Có tồn tại một dòng như vậy không? Vâng, bạn biết rằng mật độ xác suất P(r, t) được cho theo hàm sóng bởi

P(r, t) = ψ*(r, t)ψ(r, t).   (21.7)

Tôi đang hỏi: Có tồn tại một dòng J sao cho

∂P/∂t = −∇·J?   (21.8)

Nếu tôi lấy đạo hàm theo thời gian của Phương trình (21.7), tôi được hai số hạng:

∂P/∂t = ψ* ∂ψ/∂t + ψ ∂ψ*/∂t.   (21.9)

Bây giờ hãy dùng phương trình Schrödinger — Phương trình (21.3) — cho ∂ψ/∂t; và lấy liên hợp phức của nó để được ∂ψ*/∂t — mỗi i bị đổi dấu. Bạn được

∂P/∂t = −(i/ħ)[ψ* (1/2m)[(ħ/i)∇ − qA]·[(ħ/i)∇ − qA]ψ + qφψ*ψ − ψ (1/2m)[−(ħ/i)∇ − qA]·[−(ħ/i)∇ − qA]ψ* − qφψψ*].   (21.10)

Các số hạng thế và rất nhiều thứ khác triệt tiêu lẫn nhau. Và hoá ra cái còn lại quả thực có thể được viết thành một divergence hoàn hảo. Toàn bộ phương trình tương đương với

∂P/∂t = −∇·{ (1/2m)ψ*[(ħ/i)∇ − qA]ψ + (1/2m)ψ[−(ħ/i)∇ − qA]ψ* }.   (21.11)

Nó thực ra không phức tạp như vẻ ngoài. Nó là một tổ hợp đối xứng của ψ* nhân với một phép toán nào đó lên ψ, cộng ψ nhân với phép toán liên hợp phức lên ψ*. Nó là một đại lượng nào đó cộng với chính liên hợp phức của nó, vì vậy toàn bộ là thực — như nó phải thế. Phép toán có thể được nhớ theo cách này: nó chỉ là toán tử động lượng 𝒫 trừ qA. Tôi có thể viết dòng trong Phương trình (21.8) thành

J = (1/2){ ψ*[(𝒫 − qA)/m]ψ + ψ[(𝒫 − qA)/m]*ψ* }.   (21.12)

Khi đó có một dòng J hoàn thiện Phương trình (21.8). Phương trình (21.11) chỉ ra rằng xác suất được bảo toàn cục bộ. Nếu một hạt biến mất khỏi một vùng, nó không thể xuất hiện trong một vùng khác mà không có điều gì đó diễn ra ở giữa. Hãy tưởng tượng rằng vùng thứ nhất được bao quanh bởi một mặt kín đủ xa sao cho có xác suất bằng không để tìm electron tại mặt đó. Tổng xác suất để tìm electron ở đâu đó bên trong mặt là tích phân thể tích của P. Nhưng theo định lý Gauss, tích phân thể tích của divergence của J bằng tích phân mặt của thành phần pháp tuyến của nó. Nếu ψ bằng không tại mặt, Phương trình (21.12) nói rằng J bằng không, vì vậy tổng xác suất để tìm hạt ở bên trong không thể thay đổi. Chỉ khi một phần xác suất tiến tới biên thì một phần của nó mới có thể rò rỉ ra ngoài. Chúng ta có thể nói rằng nó chỉ ra ngoài được bằng cách chuyển động qua mặt đó — và đó là sự bảo toàn cục bộ.

21–3  Hai loại động lượng

Phương trình cho dòng khá thú vị, và đôi khi gây ra một lượng lo lắng nhất định. Bạn sẽ nghĩ dòng sẽ là một thứ gì đó như mật độ hạt nhân với vận tốc. Mật độ nên là một thứ gì đó như ψψ*, điều đó ổn. Và mỗi số hạng trong Phương trình (21.12) trông như dạng điển hình cho giá trị trung bình của toán tử

(𝒫 − qA)/m,   (21.13)

vì vậy có lẽ chúng ta nên nghĩ về nó như vận tốc của dòng chảy. Có vẻ như chúng ta có hai gợi ý cho các quan hệ của vận tốc với động lượng, bởi vì chúng ta cũng sẽ nghĩ rằng động lượng chia cho khối lượng, 𝒫/m, nên là một vận tốc. Hai khả năng khác nhau bởi thế vectơ.

Hoá ra hai khả năng này cũng đã được phát hiện trong vật lý cổ điển, khi người ta tìm thấy rằng động lượng có thể được định nghĩa theo hai cách.⁷ Một trong chúng được gọi là “động lượng động học” (kinematic momentum), nhưng để hoàn toàn rõ ràng tôi sẽ trong bài giảng này gọi nó là “động lượng-mv”. Đây là động lượng thu được bằng cách nhân khối lượng với vận tốc. Cái còn lại là một động lượng toán học hơn, trừu tượng hơn, đôi khi được gọi là “động lượng động lực” (dynamical momentum), mà tôi sẽ gọi là “động lượng-p”. Hai khả năng là

động lượng-mv = mv,   (21.14)

động lượng-p = mv + qA.   (21.15)

Hoá ra trong cơ học lượng tử với các từ trường, chính động lượng-p là cái được nối với toán tử gradien 𝒫, vì vậy suy ra rằng (21.13) là toán tử của một vận tốc.

Tôi muốn thực hiện một đoạn rẽ ngắn để chỉ cho bạn tất cả chuyện này là về cái gì — tại sao phải có một thứ gì đó như Phương trình (21.15) trong cơ học lượng tử. Hàm sóng thay đổi theo thời gian theo phương trình Schrödinger trong Phương trình (21.3). Nếu tôi thay đổi đột ngột thế vectơ, hàm sóng sẽ không thay đổi ở khoảnh khắc đầu tiên; chỉ tốc độ thay đổi của nó thay đổi. Bây giờ hãy nghĩ về điều gì sẽ xảy ra trong hoàn cảnh sau. Giả sử tôi có một solenoid dài, trong đó tôi có thể tạo ra một thông lượng của từ trường (trường B), như chỉ trong Hình 21–2. Và có một hạt tích điện ngồi ở gần đó. Giả sử thông lượng này gần như tức thời tăng lên từ không tới một giá trị nào đó. Tôi bắt đầu với thế vectơ bằng không và sau đó tôi bật một thế vectơ lên. Điều đó có nghĩa là tôi tạo ra đột ngột một thế vectơ theo hướng vòng quanh A. Bạn sẽ nhớ rằng tích phân đường của A quanh một vòng kín thì bằng thông lượng của B qua vòng kín đó.⁸ Bây giờ điều gì xảy ra nếu tôi đột ngột bật một thế vectơ lên? Theo phương trình cơ học lượng tử, sự thay đổi đột ngột của A không làm thay đổi đột ngột ψ; hàm sóng vẫn như cũ. Vì vậy gradien cũng không thay đổi.

Nhưng hãy nhớ điều gì xảy ra về mặt điện khi tôi đột ngột bật một thông lượng lên. Trong khoảng thời gian ngắn mà thông lượng đang tăng, có một điện trường được tạo ra mà tích phân đường của nó là tốc độ thay đổi của thông lượng theo thời gian:

E = −∂A/∂t.   (21.16)

Điện trường đó là khổng lồ nếu thông lượng đang thay đổi nhanh, và nó tạo ra một lực lên hạt. Lực là điện tích nhân với điện trường, và vì vậy trong quá trình tăng lên của thông lượng, hạt thu được một xung tổng cộng (tức là, một sự thay đổi trong mv) bằng −qA. Nói cách khác, nếu bạn đột ngột bật một thế vectơ lên tại một điện tích, điện tích này ngay lập tức nhặt được một động lượng-mv bằng −qA. Nhưng có một thứ không bị thay đổi ngay lập tức và đó là hiệu giữa mv và −qA. Và vì vậy tổng p = mv + qA là một thứ không bị thay đổi khi bạn thực hiện một thay đổi đột ngột trong thế vectơ. Đại lượng p này là cái chúng ta đã gọi là động lượng-p và có tầm quan trọng trong cơ học cổ điển trong lý thuyết động lực học, nhưng nó cũng có một ý nghĩa trực tiếp trong cơ học lượng tử. Nó phụ thuộc vào đặc tính của hàm sóng, và nó là cái được đồng nhất với toán tử

𝒫 = (ħ/i)∇.

21–4  Ý nghĩa của hàm sóng

Khi Schrödinger lần đầu tiên phát hiện ra phương trình của mình, ông đã phát hiện định luật bảo toàn của Phương trình (21.8) như một hệ quả của phương trình của ông. Nhưng ông đã tưởng tượng không đúng rằng P là mật độ điện tích của electron và rằng J là mật độ dòng điện, vì vậy ông nghĩ rằng các electron tương tác với trường điện từ thông qua các điện tích và dòng điện này. Khi ông giải các phương trình của mình cho nguyên tử hydro và tính ψ, ông đã không tính xác suất của bất cứ thứ gì — lúc đó chưa có các biên độ — cách diễn giải hoàn toàn khác. Hạt nhân nguyên tử đứng yên nhưng có các dòng điện chuyển động xung quanh; các điện tích P và các dòng điện J sẽ tạo ra các trường điện từ và vật sẽ bức xạ ánh sáng. Ông sớm nhận thấy khi làm một số bài toán rằng nó không hoàn toàn ra đúng. Chính tại điểm này Born đã có một đóng góp thiết yếu cho các ý tưởng của chúng ta về cơ học lượng tử. Chính Born là người đã diễn giải đúng (theo như chúng ta biết) ψ của phương trình Schrödinger theo một biên độ xác suất — ý tưởng rất khó đó rằng bình phương của biên độ không phải là mật độ điện tích mà chỉ là xác suất trên đơn vị thể tích để tìm một electron ở đó, và rằng khi bạn quả thực tìm thấy electron ở một nơi nào đó thì toàn bộ điện tích ở đó. Toàn bộ ý tưởng đó là nhờ Born.

Hàm sóng ψ(r) cho một electron trong một nguyên tử, vậy, không mô tả một electron bị nhoè ra với một mật độ điện tích trơn. Electron hoặc ở đây, hoặc ở kia, hoặc ở một nơi nào khác, nhưng dù nó ở đâu, nó là một điện tích điểm. Mặt khác, hãy nghĩ về một tình huống trong đó có một số lượng khổng lồ các hạt ở đúng cùng một trạng thái, một số rất lớn chúng có đúng cùng một hàm sóng. Khi đó sao? Một trong chúng ở đây và một trong chúng ở kia, và xác suất để tìm bất kỳ một trong chúng tại một nơi cho trước tỉ lệ với ψψ*. Nhưng vì có rất nhiều hạt, nếu tôi nhìn vào bất kỳ thể tích nào dx dy dz tôi nói chung sẽ tìm thấy một số gần với ψψ* dx dy dz. Vì vậy trong một tình huống trong đó ψ là hàm sóng cho mỗi một trong một số lượng khổng lồ các hạt mà tất cả đều ở cùng một trạng thái, ψψ* có thể được diễn giải là mật độ của các hạt. Nếu, trong các hoàn cảnh này, mỗi hạt mang cùng một điện tích q, chúng ta quả thực có thể đi xa hơn và diễn giải ψ*ψ là mật độ của điện. Thông thường, ψψ* được cho thứ nguyên của một mật độ xác suất, khi đó ψ nên được nhân với q để cho ra thứ nguyên của một mật độ điện tích. Đối với các mục đích hiện tại của chúng ta, chúng ta có thể đưa thừa số hằng số này vào ψ, và lấy chính ψψ* làm mật độ điện tích. Với cách hiểu này, J (dòng xác suất tôi đã tính) trở thành trực tiếp mật độ dòng điện.

Vì vậy trong tình huống trong đó chúng ta có thể có rất nhiều hạt ở đúng cùng một trạng thái, có thể có một cách diễn giải vật lý mới của các hàm sóng. Mật độ điện tích và dòng điện có thể được tính trực tiếp từ các hàm sóng và các hàm sóng mang một ý nghĩa vật lý mở rộng vào các tình huống cổ điển, vĩ mô.

Một điều tương tự có thể xảy ra với các hạt trung hoà. Khi chúng ta có hàm sóng của một photon đơn lẻ, nó là biên độ để tìm một photon ở đâu đó. Mặc dù chúng ta chưa bao giờ viết nó ra, có một phương trình cho hàm sóng photon tương tự như phương trình Schrödinger cho electron. Phương trình photon đúng là cùng một thứ với các phương trình Maxwell cho trường điện từ, và hàm sóng đúng là cùng một thứ với thế vectơ A. Hàm sóng hoá ra đúng là thế vectơ. Vật lý lượng tử là cùng một thứ với vật lý cổ điển bởi vì các photon là các hạt Bose không tương tác và nhiều trong chúng có thể ở cùng một trạng thái — như bạn biết, chúng thích ở cùng một trạng thái. Khoảnh khắc bạn có hàng tỷ hạt ở cùng một trạng thái (tức là, trong cùng một sóng điện từ), bạn có thể đo hàm sóng, vốn là thế vectơ, một cách trực tiếp. Dĩ nhiên, về mặt lịch sử nó đã diễn ra theo chiều ngược lại. Các quan sát đầu tiên là trên các tình huống với nhiều photon ở cùng một trạng thái, và vì vậy chúng ta đã có thể phát hiện ra phương trình đúng cho một photon đơn lẻ bằng cách quan sát trực tiếp bằng tay của chúng ta ở mức vĩ mô bản chất của hàm sóng.

Bây giờ rắc rối với electron là bạn không thể đặt nhiều hơn một electron vào cùng một trạng thái. Do đó, từ lâu người ta đã tin rằng hàm sóng của phương trình Schrödinger sẽ không bao giờ có một biểu diễn vĩ mô tương tự như biểu diễn vĩ mô của biên độ cho các photon. Mặt khác, ngày nay người ta nhận ra rằng hiện tượng siêu dẫn trình bày cho chúng ta đúng tình huống này.

21–5  Siêu dẫn

Như bạn biết, rất nhiều kim loại trở nên siêu dẫn dưới một nhiệt độ nào đó⁹ — nhiệt độ khác nhau đối với các kim loại khác nhau. Khi bạn giảm nhiệt độ đủ thấp, các kim loại dẫn điện mà không có bất kỳ điện trở nào. Hiện tượng này đã được quan sát đối với một số rất lớn các kim loại nhưng không phải tất cả, và lý thuyết của hiện tượng này đã gây ra rất nhiều khó khăn. Phải mất một thời gian rất dài để hiểu điều gì đang diễn ra bên trong các chất siêu dẫn, và tôi sẽ chỉ mô tả đủ về nó cho các mục đích hiện tại của chúng ta. Hoá ra do các tương tác của các electron với các dao động của các nguyên tử trong mạng, có một lực hút hiệu dụng ròng nhỏ giữa các electron. Kết quả là các electron kết hợp với nhau, nếu tôi có thể nói rất định tính và thô thiển, thành các cặp liên kết.

Bây giờ bạn biết rằng một electron đơn lẻ là một hạt Fermi. Nhưng một cặp liên kết sẽ hoạt động như một hạt Bose, bởi vì nếu tôi hoán đổi cả hai electron trong một cặp, tôi thay đổi dấu của hàm sóng hai lần, và điều đó có nghĩa là tôi không thay đổi gì cả. Một cặp là một hạt Bose.

Năng lượng của việc tạo cặp — tức là, lực hút ròng — rất, rất yếu. Chỉ cần một nhiệt độ rất nhỏ để ném các electron ra xa nhau bởi sự khuấy động nhiệt, và biến chúng trở lại thành các electron “thường”. Nhưng khi bạn làm nhiệt độ đủ thấp để chúng phải cố hết sức để vào trạng thái thấp nhất tuyệt đối; khi đó chúng quả thực tập hợp thành các cặp.

Tôi không muốn bạn tưởng tượng rằng các cặp thực sự được giữ chặt với nhau như một hạt điểm. Thực tế, một trong các khó khăn lớn của việc hiểu hiện tượng này ban đầu là mọi thứ không diễn ra theo cách đó. Hai electron tạo thành cặp thực sự trải rộng trên một khoảng cách đáng kể; và khoảng cách trung bình giữa các cặp tương đối nhỏ hơn kích thước của một cặp đơn lẻ. Nhiều cặp đang chiếm cùng một không gian tại cùng một thời điểm. Cả lý do tại sao các electron trong một kim loại tạo thành các cặp lẫn một ước lượng của năng lượng nhả ra khi tạo thành một cặp đều là một thắng lợi của thời gian gần đây. Điểm cơ bản này trong lý thuyết siêu dẫn lần đầu tiên được giải thích trong lý thuyết của Bardeen, Cooper, và Schrieffer,¹⁰ nhưng đó không phải là chủ đề của seminar này. Tuy nhiên, chúng ta sẽ chấp nhận ý tưởng rằng các electron quả thực, theo một cách nào đó, làm việc theo cặp, rằng chúng ta có thể nghĩ về các cặp này như hoạt động ít nhiều giống các hạt, và rằng do đó chúng ta có thể nói về hàm sóng cho một “cặp”.

Bây giờ phương trình Schrödinger cho cặp sẽ ít nhiều giống Phương trình (21.3). Sẽ có một khác biệt ở chỗ điện tích q sẽ gấp đôi điện tích của một electron. Ngoài ra, chúng ta không biết quán tính — hay khối lượng hiệu dụng — cho cặp trong mạng tinh thể, vì vậy chúng ta không biết đặt con số nào cho m. Chúng ta cũng không nên nghĩ rằng nếu chúng ta đi tới các tần số rất cao (hay các bước sóng ngắn), đây đúng là dạng đúng, bởi vì động năng tương ứng với các hàm sóng biến thiên rất nhanh có thể lớn tới mức phá vỡ các cặp. Ở các nhiệt độ hữu hạn luôn có một vài cặp bị phá vỡ theo lý thuyết Boltzmann thông thường. Xác suất để một cặp bị phá vỡ tỉ lệ với exp(−E_cặp/κT). Các electron không được liên kết thành các cặp được gọi là các electron “thường” và sẽ chuyển động quanh trong tinh thể theo cách thông thường. Tuy nhiên, tôi sẽ chỉ xét tình huống ở nhiệt độ về cơ bản bằng không — hay, trong mọi trường hợp, tôi sẽ bỏ qua các phức tạp gây ra bởi các electron không ở trong các cặp đó.

Vì các cặp electron là các boson, khi có rất nhiều chúng trong một trạng thái cho trước, có một biên độ đặc biệt lớn để các cặp khác đi tới cùng trạng thái đó. Vì vậy gần như tất cả các cặp sẽ bị khoá chặt xuống ở năng lượng thấp nhất trong đúng cùng một trạng thái — sẽ không dễ để đưa một trong chúng vào một trạng thái khác. Có nhiều biên độ hơn để đi vào cùng một trạng thái so với để đi vào một trạng thái chưa bị chiếm bởi thừa số nổi tiếng √n, trong đó n − 1 là số chiếm của trạng thái thấp nhất. Vì vậy chúng ta sẽ kỳ vọng tất cả các cặp chuyển động trong cùng một trạng thái.

Vậy lý thuyết của chúng ta sẽ trông như thế nào? Tôi sẽ gọi ψ là hàm sóng của một cặp ở trạng thái năng lượng thấp nhất. Tuy nhiên, vì ψψ* sẽ tỉ lệ với mật độ điện tích ρ, tôi cũng có thể viết ψ như căn bậc hai của mật độ điện tích nhân với một thừa số pha nào đó:

ψ(r) = ρ^1/2(r)e^iθ(r),   (21.17)

trong đó ρ và θ là các hàm thực của r. (Bất kỳ hàm phức nào, dĩ nhiên, cũng có thể được viết theo cách này.) Rõ ràng chúng ta có ý gì khi nói về mật độ điện tích, nhưng ý nghĩa vật lý của pha θ của hàm sóng là gì? Vâng, hãy xem điều gì xảy ra nếu chúng ta thế ψ(r) vào Phương trình (21.12), và biểu diễn mật độ dòng theo các biến mới này ρ và θ. Nó chỉ là một phép đổi biến và tôi sẽ không đi qua mọi phần đại số, nhưng nó xuất hiện thành

J = (ħ/m)(∇θ − (q/ħ)A)ρ.   (21.18)

Vì cả mật độ dòng lẫn mật độ điện tích đều có một ý nghĩa vật lý trực tiếp đối với khí electron siêu dẫn, cả ρ lẫn θ đều là các thứ thực. Pha cũng có thể quan sát được như ρ; nó là một mảnh của mật độ dòng J. Pha tuyệt đối không thể quan sát được, nhưng nếu gradien của pha được biết ở khắp nơi, pha được biết ngoại trừ một hằng số. Bạn có thể định nghĩa pha tại một điểm, và sau đó pha ở khắp nơi được xác định.

Ngẫu nhiên, phương trình cho dòng có thể được phân tích đẹp hơn một chút, khi bạn nghĩ rằng mật độ dòng J thực ra là mật độ điện tích nhân với vận tốc chuyển động của chất lỏng electron, hay ρv. Phương trình (21.18) khi đó tương đương với

mv = ħ∇θ − qA.   (21.19)

Để ý rằng có hai mảnh trong động lượng-mv; một là một đóng góp từ thế vectơ, và cái còn lại, một đóng góp từ hành vi của hàm sóng. Nói cách khác, đại lượng ħ∇θ đúng là cái chúng ta đã gọi là động lượng-p.

21–6  Hiệu ứng Meissner

Bây giờ chúng ta có thể mô tả một số hiện tượng của siêu dẫn. Trước hết, không có điện trở. Không có điện trở bởi vì tất cả các electron đều cùng nhau ở trong cùng một trạng thái. Trong dòng chảy thông thường của dòng điện, bạn đánh bật electron này hay electron kia ra khỏi dòng chảy đều đặn, dần dần làm suy giảm động lượng chung. Nhưng ở đây để đưa một electron ra khỏi cái mọi electron khác đang làm là rất khó bởi vì xu hướng của mọi hạt Bose là đi vào cùng một trạng thái. Một dòng điện một khi đã bắt đầu, cứ tiếp tục đi mãi mãi.

Cũng dễ hiểu rằng nếu bạn có một miếng kim loại ở trạng thái siêu dẫn và bật lên một từ trường không quá mạnh (chúng ta sẽ không đi vào chi tiết mạnh tới mức nào), từ trường không thể xuyên qua kim loại. Nếu, khi bạn tăng từ trường lên, bất kỳ phần nào của nó tăng lên bên trong kim loại, sẽ có một tốc độ thay đổi của thông lượng vốn sẽ tạo ra một điện trường, và một điện trường sẽ ngay lập tức tạo ra một dòng điện mà, theo định luật Lenz, sẽ chống lại thông lượng. Vì mọi electron sẽ chuyển động cùng nhau, một điện trường vô cùng nhỏ sẽ tạo ra đủ dòng điện để chống lại hoàn toàn bất kỳ từ trường áp vào nào. Vì vậy nếu bạn bật trường lên sau khi bạn đã làm nguội một kim loại tới trạng thái siêu dẫn, nó sẽ bị loại trừ.

Còn thú vị hơn nữa là một hiện tượng liên quan được Meissner phát hiện bằng thực nghiệm.¹¹ Nếu bạn có một miếng kim loại ở nhiệt độ cao (để nó là một chất dẫn thường) và thiết lập một từ trường xuyên qua nó, và sau đó bạn hạ nhiệt độ xuống dưới nhiệt độ tới hạn (nơi kim loại trở thành một chất siêu dẫn), trường bị trục xuất ra. Nói cách khác, nó tự khởi đầu dòng điện của riêng nó — và với đúng lượng vừa đủ để đẩy trường ra ngoài.

Chúng ta có thể thấy lý do cho điều đó trong các phương trình, và tôi muốn giải thích cách. Giả sử chúng ta lấy một miếng vật liệu siêu dẫn nằm trong một khối. Khi đó trong bất kỳ tình huống ổn định nào, divergence của dòng điện phải bằng không bởi vì không có nơi nào cho nó đi. Sẽ tiện lợi nếu chọn làm cho divergence của A bằng không. (Đáng lẽ tôi nên giải thích tại sao việc chọn quy ước này không có nghĩa là mất tính tổng quát, nhưng tôi không muốn tốn thời gian.) Khi đó lấy divergence của Phương trình (21.18) cho ra rằng Laplacian của θ bằng không. Khoan đã. Còn sự biến thiên của ρ thì sao? Tôi quên đề cập tới một điểm quan trọng. Có một nền điện tích dương trong kim loại này do các ion nguyên tử của mạng. Nếu mật độ điện tích ρ là đồng đều thì không có điện tích ròng và không có điện trường. Nếu có bất kỳ sự tích tụ nào của các electron trong một vùng, điện tích sẽ không được trung hoà và sẽ có một lực đẩy khủng khiếp đẩy các electron ra xa nhau.¹² Vì vậy trong các hoàn cảnh thông thường, mật độ điện tích của các electron trong chất siêu dẫn là gần như hoàn toàn đồng đều — tôi có thể lấy ρ là một hằng số. Bây giờ cách duy nhất để ∇²θ có thể bằng không ở khắp nơi bên trong khối kim loại là θ là một hằng số. Và điều đó có nghĩa là không có đóng góp nào cho J từ động lượng-p. Phương trình (21.18) khi đó nói rằng dòng điện tỉ lệ với ρ nhân với A. Vì vậy ở khắp nơi trong một khối vật liệu siêu dẫn, dòng điện nhất thiết tỉ lệ với thế vectơ:

J = −ρ(q/m)A.   (21.20)

Vì ρ và q có cùng dấu (âm), và vì ρ là một hằng số, tôi có thể đặt −ρq/m = −(một hằng số dương nào đó); khi đó

J = −(một hằng số dương nào đó)A.   (21.21)

Phương trình này ban đầu được London và London¹³ đề xuất để giải thích các quan sát thực nghiệm về siêu dẫn — rất lâu trước khi nguồn gốc cơ học lượng tử của hiệu ứng được hiểu.

Bây giờ chúng ta có thể dùng Phương trình (21.20) trong các phương trình của điện từ học để giải ra các trường. Thế vectơ liên hệ với mật độ dòng bởi

∇²A = −(1/ε₀c²)J.   (21.22)

Nếu tôi dùng Phương trình (21.21) cho J, tôi có

∇²A = λ²A,   (21.23)

trong đó λ² chỉ là một hằng số mới;

λ² = ρq/(ε₀mc²).   (21.24)

Bây giờ chúng ta có thể thử giải phương trình này cho A và xem điều gì xảy ra một cách chi tiết. Chẳng hạn, trong một chiều Phương trình (21.23) có các nghiệm mũ dạng e^−λx và e^+λx. Các nghiệm này có nghĩa là thế vectơ phải giảm theo hàm mũ khi bạn đi từ bề mặt vào trong vật liệu. (Nó không thể tăng bởi vì sẽ có một sự bùng nổ.) Nếu miếng kim loại rất lớn so với 1/λ, trường chỉ xuyên tới một lớp mỏng tại bề mặt — một lớp dày khoảng 1/λ. Toàn bộ phần còn lại của bên trong không có trường, như được phác hoạ trong Hình 21–3. Đây là giải thích của hiệu ứng Meissner.

Khoảng cách 1/λ lớn cỡ nào? Vâng, hãy nhớ rằng r₀, “bán kính điện từ” của electron (2,8 × 10⁻¹³ cm), được cho bởi

mc² = q_e²/(4πε₀r₀).

Ngoài ra, hãy nhớ rằng q trong Phương trình (21.24) gấp đôi điện tích của một electron, vì vậy

q/(ε₀mc²) = 8πr₀/q_e.

Viết ρ thành q_eN, trong đó N là số electron trên mỗi centimet khối, chúng ta có

λ² = 8πNr₀.   (21.25)

Đối với một kim loại như chì có khoảng 3 × 10²² nguyên tử trên mỗi cm³, vì vậy nếu mỗi một nguyên tử chỉ đóng góp một electron dẫn, 1/λ sẽ là khoảng 2 × 10⁻⁶ cm. Điều đó cho bạn cấp độ lớn.

21–7  Lượng tử hoá thông lượng

Phương trình London (21.21) được đề xuất để giải thích các sự kiện đã quan sát của siêu dẫn bao gồm hiệu ứng Meissner. Tuy nhiên, trong thời gian gần đây, đã có một số tiên đoán còn kịch tính hơn nữa. Một tiên đoán do London đưa ra kỳ lạ tới mức không ai chú ý nhiều tới nó cho tới gần đây. Bây giờ tôi sẽ thảo luận nó. Lần này thay vì lấy một khối đơn lẻ, giả sử chúng ta lấy một vòng mà bề dày của nó lớn so với 1/λ, và thử xem điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta bắt đầu với một từ trường xuyên qua vòng, sau đó làm nguội nó tới trạng thái siêu dẫn, và sau đó nữa tháo bỏ nguồn ban đầu của B. Dãy các sự kiện được phác hoạ trong Hình 21–4. Ở trạng thái thường sẽ có một trường trong thân của vòng như được phác hoạ trong phần (a) của hình. Khi vòng được làm cho siêu dẫn, trường bị ép ra ngoài vật liệu (như chúng ta vừa thấy). Khi đó sẽ có một thông lượng nào đó qua lỗ của vòng như được phác hoạ trong phần (b). Nếu trường ngoài bây giờ bị tháo bỏ, các đường sức đi qua lỗ bị “mắc bẫy” như chỉ trong phần (c). Thông lượng Φ qua tâm không thể giảm bởi vì ∂Φ/∂t phải bằng tích phân đường của E quanh vòng, vốn bằng không trong một chất siêu dẫn. Khi trường ngoài bị tháo bỏ, một siêu dòng bắt đầu chảy quanh vòng để giữ thông lượng qua vòng là một hằng số. (Đó là ý tưởng dòng điện xoáy cũ, chỉ với điện trở bằng không.) Tuy nhiên, các dòng điện này sẽ tất cả chảy gần bề mặt (xuống tới một độ sâu 1/λ), như có thể được chỉ ra bằng cùng loại phân tích mà tôi đã làm cho khối đặc. Các dòng điện này có thể giữ từ trường ra khỏi thân của vòng, và tạo ra từ trường bị mắc bẫy vĩnh viễn nữa.

Tuy nhiên, bây giờ có một khác biệt thiết yếu, và các phương trình của chúng ta tiên đoán một hiệu ứng đáng ngạc nhiên. Lập luận tôi đã đưa ra ở trên rằng θ phải là một hằng số trong một khối đặc không áp dụng cho một vòng, như bạn có thể thấy từ các lập luận sau.

Sâu bên trong thân của vòng, mật độ dòng J bằng không; vì vậy Phương trình (21.18) cho ra

ħ∇θ = qA.   (21.26)

Bây giờ hãy xét điều chúng ta được nếu chúng ta lấy tích phân đường của A quanh một đường cong Γ, vốn đi quanh vòng gần tâm của tiết diện của nó để nó không bao giờ lại gần bề mặt, như được vẽ trong Hình 21–5. Từ Phương trình (21.26),

ħ∮∇θ·ds = q∮A·ds.   (21.27)

Bây giờ bạn biết rằng tích phân đường của A quanh bất kỳ vòng kín nào cũng bằng thông lượng của B qua vòng kín đó

∮A·ds = Φ.

Phương trình (21.27) khi đó trở thành

∮∇θ·ds = (q/ħ)Φ.   (21.28)

Tích phân đường của một gradien từ một điểm tới một điểm khác (chẳng hạn từ điểm 1 tới điểm 2) là hiệu của các giá trị của hàm tại hai điểm. Cụ thể,

∫₁²∇θ·ds = θ₂ − θ₁.

Nếu chúng ta để hai đầu mút 1 và 2 đến với nhau để tạo thành một vòng kín, thoạt đầu bạn có thể nghĩ rằng θ₂ sẽ bằng θ₁, vì vậy tích phân trong Phương trình (21.28) sẽ bằng không. Điều đó sẽ đúng cho một vòng kín trong một miếng siêu dẫn liên thông đơn giản, nhưng nó không nhất thiết đúng cho một miếng dạng vòng. Yêu cầu vật lý duy nhất chúng ta có thể đặt ra là chỉ có thể có một giá trị của hàm sóng cho mỗi điểm. Dù θ làm gì khi bạn đi quanh vòng, khi bạn quay lại điểm bắt đầu, θ bạn thu được phải cho cùng một giá trị cho hàm sóng

ψ = √ρ e^iθ.

Điều này sẽ xảy ra nếu θ thay đổi bởi 2πn, trong đó n là bất kỳ số nguyên nào. Vì vậy nếu chúng ta thực hiện một vòng trọn quanh vòng, vế trái của Phương trình (21.27) phải là ħ·2πn. Dùng Phương trình (21.28), tôi được rằng

2πnħ = qΦ.   (21.29)

Thông lượng bị mắc bẫy phải luôn là một số nguyên nhân với 2πħ/q! Nếu bạn nghĩ về vòng như một vật cổ điển với một độ dẫn hoàn hảo lý tưởng (tức là, vô hạn), bạn sẽ nghĩ rằng bất kỳ thông lượng nào ban đầu được tìm thấy qua nó sẽ cứ ở đó — bất kỳ lượng thông lượng nào cũng có thể bị mắc bẫy. Nhưng lý thuyết cơ học lượng tử của siêu dẫn nói rằng thông lượng có thể bằng không, hoặc 2πħ/q, hoặc 4πħ/q, hoặc 6πħ/q, và cứ thế, nhưng không có giá trị nào ở giữa. Nó phải là một bội số của một đơn vị cơ học lượng tử cơ bản.

London¹⁴ đã tiên đoán rằng thông lượng bị một vòng siêu dẫn mắc bẫy sẽ bị lượng tử hoá và nói rằng các giá trị khả dĩ của thông lượng sẽ được cho bởi Phương trình (21.29) với q bằng điện tích electron. Theo London, đơn vị cơ bản của thông lượng nên là 2πħ/q_e, vốn là khoảng 4 × 10⁻⁷ gauss·cm². Để hình dung một thông lượng như vậy, hãy nghĩ về một trụ nhỏ xíu có đường kính một phần mười milimét; từ trường bên trong nó khi nó chứa lượng thông lượng này là khoảng một phần trăm từ trường của trái đất. Lẽ ra phải có thể quan sát một thông lượng như vậy bằng một phép đo từ nhạy.

Năm 1961 một thông lượng lượng tử hoá như vậy đã được tìm kiếm và tìm thấy bởi Deaver và Fairbank¹⁵ tại Đại học Stanford và gần như cùng thời gian bởi Doll và Näbauer¹⁶ ở Đức.

Trong thí nghiệm của Deaver và Fairbank, một trụ nhỏ xíu bằng chất siêu dẫn được làm bằng cách mạ điện một lớp thiếc mỏng lên một đoạn dài một centimet của dây đồng số 56 (đường kính 1,3 × 10⁻³ cm). Thiếc trở nên siêu dẫn dưới 3,8°K trong khi đồng vẫn là một kim loại thường. Sợi dây được đặt trong một từ trường nhỏ được kiểm soát, và nhiệt độ được giảm cho tới khi thiếc trở nên siêu dẫn. Sau đó nguồn trường ngoài bị tháo bỏ. Bạn sẽ kỳ vọng điều này tạo ra một dòng điện theo định luật Lenz để thông lượng bên trong không thay đổi. Trụ nhỏ xíu bây giờ nên có mômen từ tỉ lệ với thông lượng bên trong. Mômen từ được đo bằng cách rung sợi dây lên xuống (như kim trên một máy may, nhưng với tốc độ 100 chu kỳ trên giây) bên trong một cặp cuộn dây nhỏ ở hai đầu của trụ thiếc. Điện áp cảm ứng trong các cuộn dây khi đó là một thước đo của mômen từ.

Khi thí nghiệm được Deaver và Fairbank thực hiện, họ tìm thấy rằng thông lượng bị lượng tử hoá, nhưng đơn vị cơ bản chỉ bằng một nửa so với London đã tiên đoán. Doll và Näbauer thu được cùng kết quả. Thoạt đầu điều này khá bí ẩn,¹⁷ nhưng bây giờ chúng ta hiểu tại sao nó phải như vậy. Theo lý thuyết siêu dẫn của Bardeen, Cooper, và Schrieffer, q xuất hiện trong Phương trình (21.29) là điện tích của một cặp electron và vì vậy bằng 2q_e. Đơn vị thông lượng cơ bản là

Φ₀ = πħ/q_e ≈ 2 × 10⁻⁷ gauss·cm²   (21.30)

hay một nửa lượng London đã tiên đoán. Mọi thứ bây giờ khớp với nhau, và các phép đo chỉ ra sự tồn tại của hiệu ứng thuần tuý cơ học lượng tử đã tiên đoán ở thang lớn.

21–8  Động lực học của siêu dẫn

Hiệu ứng Meissner và sự lượng tử hoá thông lượng là hai sự xác nhận của các ý tưởng tổng quát của chúng ta. Chỉ vì cho đầy đủ, tôi muốn chỉ cho bạn các phương trình đầy đủ của một chất lỏng siêu dẫn sẽ là gì từ quan điểm này — nó khá thú vị. Cho tới điểm này tôi mới chỉ đưa biểu thức cho ψ vào các phương trình cho mật độ điện tích và dòng điện. Nếu tôi đưa nó vào phương trình Schrödinger đầy đủ, tôi được các phương trình cho ρ và θ. Sẽ thú vị khi xem điều gì phát triển, bởi vì ở đây chúng ta có một “chất lỏng” các cặp electron với một mật độ điện tích ρ và một θ bí ẩn — chúng ta có thể thử xem chúng ta được loại phương trình nào cho một “chất lỏng” như vậy! Vì vậy chúng ta thế hàm sóng của Phương trình (21.17) vào phương trình Schrödinger (21.3) và nhớ rằng ρ và θ là các hàm thực của x, y, z, và t. Nếu chúng ta tách các phần thực và ảo, chúng ta thu được hai phương trình. Để viết chúng ở dạng ngắn hơn, tôi sẽ — theo Phương trình (21.19) — viết

(ħ/m)∇θ − (q/m)A = v.   (21.31)

Một trong các phương trình tôi được khi đó là

∂ρ/∂t = −∇·(ρv).   (21.32)

Vì ρv trước hết là J, đây đúng là phương trình liên tục một lần nữa. Phương trình còn lại tôi thu được cho biết θ biến thiên thế nào; nó là

ħ ∂θ/∂t = −(m/2)v² − qφ + (ħ²/2m){ (1/√ρ) ∇²(√ρ) }.   (21.33)

Những người hoàn toàn quen thuộc với thuỷ động lực học (mà tôi chắc chắn ít người trong các bạn quen) sẽ nhận ra đây là phương trình chuyển động cho một chất lỏng tích điện nếu chúng ta đồng nhất ħθ là “thế vận tốc” — ngoại trừ số hạng cuối cùng, vốn lẽ ra là năng lượng nén của chất lỏng, có một sự phụ thuộc khá lạ vào mật độ ρ. Trong mọi trường hợp, phương trình nói rằng tốc độ thay đổi của đại lượng ħθ được cho bởi một số hạng động năng, −½mv², cộng một số hạng thế năng, −qφ, với một số hạng bổ sung, chứa thừa số ħ², mà chúng ta có thể gọi là một “năng lượng cơ học lượng tử”. Chúng ta đã thấy rằng bên trong một chất siêu dẫn ρ được giữ rất đồng đều bởi các lực tĩnh điện, vì vậy số hạng này gần như chắc chắn có thể bị bỏ qua trong mọi ứng dụng thực tế miễn là chúng ta chỉ có một vùng siêu dẫn. Nếu chúng ta có một biên giới giữa hai chất siêu dẫn (hay các hoàn cảnh khác trong đó giá trị của ρ có thể thay đổi nhanh) số hạng này có thể trở nên quan trọng.

Đối với những người không quen lắm với các phương trình của thuỷ động lực học, tôi có thể viết lại Phương trình (21.33) ở một dạng làm cho vật lý rõ ràng hơn bằng cách dùng Phương trình (21.31) để biểu diễn θ theo v. Lấy gradien của toàn bộ Phương trình (21.33) và biểu diễn ∇θ theo A và v bằng cách dùng (21.31), tôi được

∂v/∂t = (q/m)(−∇φ − ∂A/∂t) − v×(∇×v) − (v·∇)v + ∇{ (ħ²/2m²)( (1/√ρ) ∇²√ρ ) }.   (21.34)

Phương trình này có nghĩa là gì? Trước hết, hãy nhớ rằng

−∇φ − ∂A/∂t = E.   (21.35)

Tiếp theo, để ý rằng nếu tôi lấy curl của Phương trình (21.31), tôi được

∇×v = −(q/m)∇×A,   (21.36)

vì curl của một gradien luôn bằng không. Nhưng ∇×A là từ trường B, vì vậy hai số hạng đầu tiên có thể được viết thành

(q/m)(E + v×B).

Cuối cùng, bạn nên hiểu rằng ∂v/∂t là tốc độ thay đổi của vận tốc của chất lỏng tại một điểm. Nếu bạn tập trung vào một hạt cụ thể, gia tốc của nó là đạo hàm toàn phần của v (hay, như đôi khi nó được gọi trong động lực học chất lỏng, “gia tốc đồng chuyển động”), vốn liên hệ với ∂v/∂t bởi¹⁸

dv/dt|_{đồng chuyển động} = ∂v/∂t + (v·∇)v.   (21.37)

Số hạng phụ này cũng xuất hiện như số hạng thứ ba ở vế phải của Phương trình (21.34). Đưa nó sang vế trái, tôi có thể viết Phương trình (21.34) theo cách sau:

m dv/dt|_{đồng chuyển động} = q(E + v×B) + ∇{ (ħ²/2m)( (1/√ρ) ∇²√ρ ) }.   (21.38)

Chúng ta cũng có từ Phương trình (21.36) rằng

∇×v = −(q/m)B.   (21.39)

Hai phương trình này là các phương trình chuyển động của chất lỏng electron siêu dẫn. Phương trình đầu tiên đúng là định luật Newton cho một chất lỏng tích điện trong một trường điện từ. Nó nói rằng gia tốc của mỗi hạt của chất lỏng mà điện tích của nó là q đến từ lực Lorentz thông thường q(E + v×B) cộng một lực bổ sung, vốn là gradien của một thế cơ học lượng tử thần bí nào đó — một lực không rất lớn ngoại trừ tại mối nối giữa hai chất siêu dẫn. Phương trình thứ hai nói rằng chất lỏng là “lý tưởng” — curl của v có divergence bằng không (divergence của B luôn bằng không). Điều đó có nghĩa là vận tốc có thể được biểu diễn theo thế vận tốc. Thông thường người ta viết rằng ∇×v = 0 cho một chất lỏng lý tưởng, nhưng cho một chất lỏng tích điện lý tưởng trong một từ trường, điều này được sửa đổi thành Phương trình (21.39).

Vì vậy, phương trình Schrödinger cho các cặp electron trong một chất siêu dẫn cho chúng ta các phương trình chuyển động của một chất lỏng lý tưởng tích điện. Siêu dẫn là cùng một thứ với bài toán thuỷ động lực học của một chất lỏng tích điện. Nếu bạn muốn giải bất kỳ bài toán nào về các chất siêu dẫn, bạn lấy các phương trình này cho chất lỏng [hay cặp tương đương, các Phương trình (21.32) và (21.33)], và kết hợp chúng với các phương trình Maxwell để được các trường. (Các điện tích và dòng điện bạn dùng để được các trường, dĩ nhiên, phải bao gồm cả các điện tích và dòng điện từ chất siêu dẫn lẫn từ các nguồn bên ngoài.)

Ngẫu nhiên, tôi tin rằng Phương trình (21.38) không hoàn toàn đúng, mà lẽ ra nên có một số hạng bổ sung liên quan tới mật độ. Số hạng mới này không phụ thuộc vào cơ học lượng tử, mà đến từ năng lượng thông thường gắn với các biến thiên của mật độ. Đúng như trong một chất lỏng thông thường nên có một mật độ năng lượng thế tỉ lệ với bình phương của độ lệch của ρ khỏi ρ₀, mật độ không bị nhiễu loạn (vốn, ở đây, cũng bằng mật độ điện tích của mạng tinh thể). Vì sẽ có các lực tỉ lệ với gradien của năng lượng này, nên có một số hạng nữa trong Phương trình (21.38) dạng: (hằng số)∇(ρ − ρ₀)². Số hạng này đã không xuất hiện từ phép phân tích bởi vì nó đến từ các tương tác giữa các hạt, mà tôi đã bỏ qua khi dùng một phép gần đúng hạt độc lập. Tuy nhiên, nó đúng là lực tôi đã nhắc tới khi tôi đưa ra phát biểu định tính rằng các lực tĩnh điện sẽ có xu hướng giữ ρ gần như không đổi bên trong một chất siêu dẫn.

21–9  Mối nối Josephson

Tiếp theo tôi muốn thảo luận một tình huống rất thú vị đã được Josephson¹⁹ để ý trong khi phân tích điều gì có thể xảy ra tại một mối nối giữa hai chất siêu dẫn. Giả sử chúng ta có hai chất siêu dẫn được nối bởi một lớp mỏng vật liệu cách điện như trong Hình 21–6. Một sắp xếp như vậy ngày nay được gọi là một “mối nối Josephson”. Nếu lớp cách điện dày, các electron không thể đi qua; nhưng nếu lớp đủ mỏng, có thể có một biên độ cơ học lượng tử đáng kể để các electron nhảy qua. Đây đúng là một ví dụ nữa của sự xuyên qua một rào cản theo cơ học lượng tử.

Josephson đã phân tích tình huống này và phát hiện rằng một số hiện tượng lạ nên xảy ra.

Để phân tích một mối nối như vậy, tôi sẽ gọi biên độ để tìm một electron ở một phía là ψ₁, và biên độ để tìm nó ở phía bên kia là ψ₂. Ở trạng thái siêu dẫn, hàm sóng ψ₁ là hàm sóng chung của mọi electron ở một phía, và ψ₂ là hàm tương ứng ở phía bên kia. Tôi có thể làm bài toán này cho các loại chất siêu dẫn khác nhau, nhưng hãy lấy một tình huống rất đơn giản trong đó vật liệu giống nhau ở cả hai phía để mối nối đối xứng và đơn giản. Ngoài ra, trong một lúc hãy để không có từ trường. Khi đó hai biên độ nên liên hệ theo cách sau:

iħ dψ₁/dt = U₁ψ₁ + Kψ₂,
iħ dψ₂/dt = U₂ψ₂ + Kψ₁.

Hằng số K là một đặc trưng của mối nối. Nếu K bằng không, hai phương trình này sẽ chỉ mô tả trạng thái năng lượng thấp nhất — với năng lượng U — của mỗi chất siêu dẫn. Nhưng có sự liên kết giữa hai phía bởi biên độ K rằng có thể có sự rò rỉ từ một phía sang phía bên kia. (Nó đúng là biên độ “lật qua lật lại” của một hệ hai trạng thái.) Nếu hai phía giống hệt nhau, U₁ sẽ bằng U₂ và tôi có thể chỉ trừ chúng đi. Nhưng bây giờ giả sử chúng ta nối hai vùng siêu dẫn vào hai đầu cực của một pin sao cho có một hiệu điện thế V qua mối nối. Khi đó U₁ − U₂ = qV. Tôi có thể, cho tiện, định nghĩa điểm không của năng lượng ở giữa hai phía, khi đó hai phương trình là

iħ dψ₁/dt = +(qV/2)ψ₁ + Kψ₂,
iħ dψ₂/dt = −(qV/2)ψ₂ + Kψ₁.   (21.40)

Đây là các phương trình chuẩn cho hai trạng thái cơ học lượng tử được liên kết với nhau. Lần này, hãy phân tích các phương trình này theo một cách khác. Hãy thực hiện các phép thế

ψ₁ = √ρ₁ e^iθ₁,
ψ₂ = √ρ₂ e^iθ₂,   (21.41)

trong đó θ₁ và θ₂ là các pha ở hai phía của mối nối và ρ₁ và ρ₂ là mật độ của các electron tại hai điểm đó. Hãy nhớ rằng trong thực tế ρ₁ và ρ₂ gần như đúng là giống nhau và bằng ρ₀, mật độ thông thường của các electron trong vật liệu siêu dẫn. Bây giờ nếu bạn thế các phương trình này cho ψ₁ và ψ₂ vào (21.40), bạn được bốn phương trình bằng cách cho bằng nhau các phần thực và ảo trong mỗi trường hợp. Đặt (θ₂ − θ₁) = δ, để cho gọn, kết quả là

ρ̇₁ = +(2/ħ)K√(ρ₂ρ₁) sin δ,
ρ̇₂ = −(2/ħ)K√(ρ₂ρ₁) sin δ,   (21.42)

θ̇₁ = −(K/ħ)√(ρ₂/ρ₁) cos δ − qV/(2ħ),
θ̇₂ = −(K/ħ)√(ρ₁/ρ₂) cos δ + qV/(2ħ).   (21.43)

Hai phương trình đầu tiên nói rằng ρ̇₁ = −ρ̇₂. “Nhưng,” bạn nói, “chúng phải cả hai đều bằng không nếu ρ₁ và ρ₂ đều không đổi và bằng ρ₀.” Không hẳn. Các phương trình này không phải là toàn bộ câu chuyện. Chúng nói ρ̇₁ và ρ̇₂ sẽ là gì nếu không có các lực điện phụ do một sự mất cân bằng giữa chất lỏng electron và nền các ion dương. Chúng cho biết các mật độ sẽ bắt đầu thay đổi như thế nào, và do đó mô tả loại dòng điện sẽ bắt đầu chảy. Dòng điện này từ phía 1 tới phía 2 sẽ đúng là ρ̇₁ (hay −ρ̇₂), hay

J = (2K/ħ)√(ρ₁ρ₂) sin δ.   (21.44)

Một dòng điện như vậy sẽ sớm tích điện cho phía 2, ngoại trừ chúng ta đã quên rằng hai phía được nối bằng các dây dẫn tới pin. Dòng điện chảy sẽ không tích điện cho vùng 2 (hay phóng điện vùng 1) bởi vì các dòng điện sẽ chảy để giữ điện thế không đổi. Các dòng điện này từ pin đã không được bao gồm trong các phương trình của chúng ta. Khi chúng được bao gồm, ρ₁ và ρ₂ quả thực không thay đổi, nhưng dòng điện qua mối nối vẫn được cho bởi Phương trình (21.44).

Vì ρ₁ và ρ₂ quả thực giữ không đổi và bằng ρ₀, hãy đặt 2Kρ₀/ħ = J₀, và viết

J = J₀ sin δ.   (21.45)

J₀, giống như K, khi đó là một con số là đặc trưng của mối nối cụ thể.

Cặp phương trình còn lại (21.43) cho chúng ta biết về θ₁ và θ₂. Chúng ta quan tâm tới hiệu δ = θ₂ − θ₁ để dùng Phương trình (21.45); cái chúng ta được là

δ̇ = θ̇₂ − θ̇₁ = qV/ħ.   (21.46)

Điều đó có nghĩa là chúng ta có thể viết

δ(t) = δ₀ + (q/ħ)∫V(t) dt,   (21.47)

trong đó δ₀ là giá trị của δ tại t = 0. Cũng hãy nhớ rằng q là điện tích của một cặp, cụ thể là q = 2q_e. Trong các Phương trình (21.45) và (21.47) chúng ta có một kết quả quan trọng, lý thuyết tổng quát của mối nối Josephson.

Bây giờ các hệ quả là gì? Trước hết, đặt một điện áp một chiều (dc). Nếu bạn đặt một điện áp dc, V₀, đối số của sin trở thành (δ₀ + (q/ħ)V₀t). Vì ħ là một con số nhỏ (so với điện áp và thời gian thông thường), sin dao động khá nhanh và dòng điện ròng bằng không. (Trong thực tế, vì nhiệt độ không bằng không, bạn sẽ được một dòng điện nhỏ do sự dẫn bởi các electron “thường”.) Mặt khác nếu bạn có điện áp bằng không qua mối nối, bạn có thể có một dòng điện! Với điện áp bằng không, dòng điện có thể là bất kỳ lượng nào giữa +J₀ và −J₀ (phụ thuộc vào giá trị của δ₀). Nhưng thử đặt một điện áp qua nó và dòng điện đi tới không. Hành vi lạ này gần đây đã được quan sát bằng thực nghiệm.²⁰

Có một cách khác để có một dòng điện — bằng cách áp một điện áp ở một tần số rất cao cộng thêm vào một điện áp dc. Đặt

V = V₀ + v cos ωt,

trong đó v ≪ V₀. Khi đó δ(t) là

δ₀ + (q/ħ)V₀t + (q/ħ)(v/ω) sin ωt.

Bây giờ với Δx nhỏ,

sin(x + Δx) ≈ sin x + Δx cos x.

Dùng phép gần đúng này cho sin δ, tôi được

J = J₀[sin(δ₀ + (q/ħ)V₀t) + (q/ħ)(v/ω) sin ωt cos(δ₀ + (q/ħ)V₀t)].

Số hạng đầu tiên bằng không theo trung bình, nhưng số hạng thứ hai thì không nếu

ω = (q/ħ)V₀.

Lẽ ra nên có một dòng điện nếu điện áp ac có đúng tần số này. Shapiro²¹ tuyên bố đã quan sát một hiệu ứng cộng hưởng như vậy.

Nếu bạn tra cứu các bài báo về chủ đề này, bạn sẽ thấy rằng chúng thường viết công thức cho dòng điện thành

J = J₀ sin(δ₀ + (2q_e/ħ)∫A·ds),   (21.48)

trong đó tích phân được lấy qua mối nối. Lý do cho điều này là khi có một thế vectơ qua mối nối, biên độ lật qua lật lại bị sửa đổi về pha theo cách chúng ta đã giải thích trước đây. Nếu bạn truy đuổi pha phụ đó xuyên suốt, nó xuất hiện như được cho ở trên.

Cuối cùng, tôi muốn mô tả một thí nghiệm rất kịch tính và thú vị gần đây đã được thực hiện về sự giao thoa của các dòng điện từ mỗi một trong hai mối nối. Trong cơ học lượng tử chúng ta quen với sự giao thoa giữa các biên độ từ hai khe khác nhau. Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện sự giao thoa giữa hai mối nối gây ra bởi sự khác biệt về pha của sự đến của các dòng điện qua hai đường khác nhau. Trong Hình 21–7, tôi chỉ hai mối nối khác nhau, “a” và “b”, được nối song song. Các đầu, P và Q, được nối vào các thiết bị điện của chúng ta vốn đo bất kỳ dòng chảy nào. Dòng điện bên ngoài, J_{toàn phần}, sẽ là tổng của các dòng điện qua hai mối nối. Đặt J_a và J_b là các dòng điện qua hai mối nối, và đặt các pha của chúng là δ_a và δ_b. Bây giờ hiệu pha của các hàm sóng giữa P và Q phải giống nhau dù bạn đi theo tuyến đường này hay tuyến đường kia. Dọc theo tuyến đường qua mối nối “a”, hiệu pha giữa P và Q là δ_a cộng tích phân đường của thế vectơ dọc theo tuyến đường trên:

ΔPha_P→Q = δ_a + (2q_e/ħ)∫_trên A·ds.   (21.49)

Tại sao? Bởi vì pha θ liên hệ với A bởi Phương trình (21.26). Nếu bạn tích phân phương trình đó dọc theo một đường nào đó, vế trái cho ra sự thay đổi pha, vốn khi đó đúng tỉ lệ với tích phân đường của A, như chúng ta đã viết ở đây. Sự thay đổi pha dọc theo tuyến đường dưới có thể được viết tương tự

ΔPha_P→Q = δ_b + (2q_e/ħ)∫_dưới A·ds.   (21.50)

Hai cái này phải bằng nhau; và nếu tôi trừ chúng cho nhau tôi được rằng hiệu của các delta phải là tích phân đường của A quanh mạch:

δ_b − δ_a = (2q_e/ħ)∮_Γ A·ds.

Ở đây tích phân là quanh vòng kín Γ của Hình 21–7 vốn vòng qua cả hai mối nối. Tích phân trên A là thông lượng từ Φ qua vòng kín. Vì vậy hai δ sẽ khác nhau bởi 2q_e/ħ nhân với thông lượng từ Φ đi qua giữa hai nhánh của mạch:

δ_b − δ_a = (2q_e/ħ)Φ.   (21.51)

Tôi có thể kiểm soát hiệu pha này bằng cách thay đổi từ trường trên mạch, vì vậy tôi có thể điều chỉnh các hiệu pha và xem liệu dòng điện tổng chảy qua hai mối nối có cho thấy bất kỳ sự giao thoa nào của hai phần hay không. Dòng điện tổng sẽ là tổng của J_a và J_b. Cho tiện, tôi sẽ viết

δ_a = δ₀ − (q_e/ħ)Φ,   δ_b = δ₀ + (q_e/ħ)Φ.

Khi đó,

J_{toàn phần} = J₀{sin(δ₀ − (q_e/ħ)Φ) + sin(δ₀ + (q_e/ħ)Φ)} = 2J₀ sin δ₀ cos(q_eΦ/ħ).   (21.52)

Bây giờ chúng ta không biết gì về δ₀, và tự nhiên có thể điều chỉnh nó theo bất kỳ cách nào cô ấy muốn phụ thuộc vào các hoàn cảnh. Cụ thể, nó sẽ phụ thuộc vào điện áp bên ngoài chúng ta áp vào mối nối. Tuy nhiên, dù chúng ta làm gì, sin δ₀ không bao giờ có thể lớn hơn 1. Vì vậy dòng điện cực đại cho bất kỳ Φ cho trước nào được cho bởi

J_max = 2J₀|cos(q_eΦ/ħ)|.

Dòng điện cực đại này sẽ biến thiên theo Φ và bản thân nó sẽ có các cực đại mỗi khi

Φ = n πħ/q_e,

với n là một số nguyên nào đó. Tức là dòng điện đạt các giá trị cực đại của nó tại nơi liên kết thông lượng có đúng các giá trị lượng tử hoá đó chúng ta đã tìm thấy trong Phương trình (21.30)!

Dòng điện Josephson qua một mối nối đôi gần đây đã được đo²² như một hàm của từ trường trong vùng giữa các mối nối. Các kết quả được chỉ trong Hình 21–8. Có một nền chung của dòng điện từ các hiệu ứng khác nhau chúng ta đã bỏ qua, nhưng các dao động nhanh của dòng điện theo các thay đổi trong từ trường là do số hạng giao thoa cos(q_eΦ/ħ) của Phương trình (21.52).

Một trong các câu hỏi hấp dẫn về cơ học lượng tử là câu hỏi liệu thế vectơ có tồn tại ở một nơi không có trường hay không.²³ Thí nghiệm này tôi vừa mô tả cũng đã được thực hiện với một solenoid nhỏ xíu giữa hai mối nối để trường B từ đáng kể duy nhất nằm bên trong solenoid và một lượng không đáng kể nằm trên chính các dây siêu dẫn. Tuy nhiên người ta báo cáo rằng lượng dòng điện phụ thuộc dao động vào thông lượng của từ trường bên trong solenoid đó mặc dù trường đó không bao giờ chạm vào các dây — một minh chứng nữa của “thực tại vật lý” của thế vectơ.²⁴

Tôi không biết điều gì sẽ đến tiếp theo. Nhưng hãy nhìn xem điều gì có thể làm được. Trước hết, để ý rằng sự giao thoa giữa hai mối nối có thể được dùng để tạo ra một từ kế nhạy. Nếu một cặp mối nối được làm với một diện tích khép kín, chẳng hạn, 1 mm², các cực đại trong đường cong của Hình 21–8 sẽ cách nhau bởi 2 × 10⁻⁶ gauss. Chắc chắn có thể nói được khi bạn ở 1/10 quãng đường giữa hai đỉnh; vì vậy sẽ có thể dùng một mối nối như vậy để đo các từ trường nhỏ cỡ 2 × 10⁻⁷ gauss — hay để đo các trường lớn hơn tới một độ chính xác như vậy. Người ta nên có thể đi xa hơn nữa. Giả sử chẳng hạn chúng ta đặt một tập hợp 10 hay 20 mối nối lại gần nhau và cách đều nhau. Khi đó chúng ta có thể có sự giao thoa giữa 10 hay 20 khe và khi chúng ta thay đổi từ trường chúng ta sẽ được các cực đại và cực tiểu rất sắc nét. Thay vì một giao thoa 2 khe chúng ta có thể có một giao thoa kế 20 — hay thậm chí có lẽ 100 — khe để đo từ trường. Có lẽ chúng ta có thể tiên đoán rằng việc đo các từ trường sẽ — bằng cách dùng các hiệu ứng của giao thoa cơ học lượng tử — cuối cùng trở nên gần như chính xác như việc đo bước sóng của ánh sáng.

Đây vậy là một số minh hoạ của những điều đang xảy ra trong thời hiện đại — transistor, laser, và bây giờ các mối nối này, mà các ứng dụng thực tế tối hậu của chúng vẫn chưa được biết. Cơ học lượng tử được phát hiện năm 1926 đã có gần 40 năm phát triển, và khá đột ngột nó đã bắt đầu được khai thác theo nhiều cách thực tế và thực sự. Chúng ta thực sự đang giành được quyền kiểm soát tự nhiên ở một mức rất tinh tế và đẹp đẽ.

Tôi rất tiếc phải nói, các quý ông, rằng để tham gia vào cuộc phiêu lưu này, việc các bạn học cơ học lượng tử càng sớm càng tốt là tuyệt đối cần thiết. Hy vọng của chúng tôi trong khoá học này là chúng tôi sẽ tìm được một cách để làm cho các bí ẩn của phần vật lý này trở nên dễ hiểu đối với bạn ở thời điểm sớm nhất có thể.