Chương 4: Tĩnh điện học

4–1  Trường hợp tĩnh

Bây giờ chúng ta bắt đầu nghiên cứu chi tiết lý thuyết điện từ học. Toàn bộ điện từ học được chứa trong các phương trình Maxwell. Các phương trình Maxwell:

∇·E = ρ/ε₀,   (4.1)

∇×E = −∂B/∂t,   (4.2)

c²∇×B = ∂E/∂t + j/ε₀,   (4.3)

∇·B = 0.   (4.4)

Các tình huống được mô tả bởi những phương trình này có thể rất phức tạp. Trước hết chúng ta sẽ xét các tình huống tương đối đơn giản, và học cách xử lý chúng trước khi xét tới những tình huống phức tạp hơn. Hoàn cảnh dễ xử lý nhất là hoàn cảnh trong đó không có gì phụ thuộc vào thời gian — gọi là trường hợp tĩnh. Mọi điện tích đều cố định vĩnh viễn trong không gian, hoặc nếu chúng có chuyển động, chúng chuyển động như một dòng đều trong một mạch điện (sao cho ρ và j không đổi theo thời gian). Trong những hoàn cảnh này, mọi số hạng trong các phương trình Maxwell vốn là đạo hàm theo thời gian của trường đều bằng không. Trong trường hợp này, các phương trình Maxwell trở thành: Tĩnh điện học:

∇·E = ρ/ε₀,   (4.5)

∇×E = 0.   (4.6)

Tĩnh từ học:

∇×B = j/(ε₀c²),   (4.7)

∇·B = 0.   (4.8)

Bạn sẽ nhận thấy một điều thú vị về bộ bốn phương trình này. Nó có thể được tách ra thành hai cặp. Điện trường E chỉ xuất hiện trong hai phương trình đầu, và từ trường B chỉ xuất hiện trong hai phương trình sau. Hai trường không liên kết với nhau. Điều này có nghĩa là điện và từ là các hiện tượng tách biệt chừng nào các điện tích và dòng điện còn tĩnh. Sự phụ thuộc lẫn nhau của E và B không xuất hiện cho tới khi có các thay đổi trong các điện tích hay dòng điện, như khi một tụ điện được nạp điện, hay một nam châm được di chuyển. Chỉ khi có các thay đổi đủ nhanh, sao cho các đạo hàm theo thời gian trong các phương trình Maxwell trở nên đáng kể, thì E và B mới phụ thuộc vào nhau.

Bây giờ nếu bạn nhìn vào các phương trình của trường hợp tĩnh, bạn sẽ thấy rằng việc nghiên cứu hai chủ đề mà chúng ta gọi là tĩnh điện học và tĩnh từ học là lý tưởng xét từ quan điểm học về các tính chất toán học của các trường vectơ. Tĩnh điện học là một ví dụ gọn gàng của một trường vectơ có curl bằng không và một divergence cho trước. Tĩnh từ học là một ví dụ gọn gàng của một trường có divergence bằng không và một curl cho trước. Cách trình bày lý thuyết điện từ học thông thường hơn — và, hẳn bạn đang nghĩ, thỏa đáng hơn — là bắt đầu trước hết với tĩnh điện học và như vậy học về divergence. Tĩnh từ học và curl được xét tới sau. Cuối cùng, điện và từ được hợp lại với nhau. Chúng ta đã chọn bắt đầu với lý thuyết hoàn chỉnh của phép tính vectơ. Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng nó vào trường hợp đặc biệt của tĩnh điện học, trường của E được cho bởi cặp phương trình đầu tiên.

Chúng ta sẽ bắt đầu với các tình huống đơn giản nhất — những tình huống trong đó vị trí của mọi điện tích đều được xác định rõ. Nếu chúng ta chỉ phải nghiên cứu tĩnh điện học ở mức này (như chúng ta sẽ làm trong hai chương tiếp theo), cuộc sống sẽ rất đơn giản — thực tế là gần như tầm thường. Mọi thứ đều có thể thu được từ định luật Coulomb và một ít phép tích phân, như bạn sẽ thấy. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán tĩnh điện thực, ban đầu chúng ta không biết các điện tích ở đâu. Chúng ta chỉ biết rằng chúng đã phân bố theo những cách phụ thuộc vào các tính chất của vật chất. Các vị trí mà các điện tích chiếm giữ phụ thuộc vào trường E, mà trường này đến lượt nó lại phụ thuộc vào các vị trí của các điện tích. Khi ấy mọi thứ có thể trở nên khá phức tạp. Chẳng hạn, nếu một vật tích điện được đưa lại gần một vật dẫn hay vật cách điện, các electron và proton trong vật dẫn hay vật cách điện sẽ di chuyển xung quanh. Mật độ điện tích ρ trong Phương trình (4.5) có thể có một phần mà chúng ta biết, từ điện tích chúng ta đã đưa tới; nhưng sẽ có các phần khác từ các điện tích đã di chuyển xung quanh trong vật dẫn. Và mọi điện tích đều phải được tính đến. Người ta có thể gặp một số bài toán khá tinh tế và thú vị. Vì vậy, dù chương này là về tĩnh điện học, nó sẽ không bao quát các phần đẹp và tinh tế hơn của chủ đề. Nó sẽ chỉ xử lý tình huống mà chúng ta có thể giả sử rằng vị trí của mọi điện tích đều đã biết. Đương nhiên, bạn phải làm được trường hợp đó trước khi thử xử lý các trường hợp còn lại.

4–2  Định luật Coulomb; chồng chập

Sẽ là hợp lý nếu dùng các Phương trình (4.5) và (4.6) làm điểm xuất phát của chúng ta. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta bắt đầu từ một nơi khác và quay trở lại các phương trình này. Kết quả sẽ tương đương. Chúng ta sẽ bắt đầu với một định luật mà chúng ta đã nói tới trước đây, gọi là định luật Coulomb, định luật nói rằng giữa hai điện tích đứng yên có một lực tỉ lệ thuận với tích của các điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Lực nằm dọc theo đường thẳng từ điện tích này tới điện tích kia. Định luật Coulomb:

F₁ = (1/4πε₀)(q₁q₂/r₁₂²)e₁₂ = −F₂.   (4.9)

F₁ là lực tác dụng lên điện tích q₁, e₁₂ là vectơ đơn vị theo hướng tới q₁ từ q₂, và r₁₂ là khoảng cách giữa q₁ và q₂. Lực F₂ tác dụng lên q₂ bằng và ngược chiều với F₁.

Hằng số tỉ lệ, vì các lý do lịch sử, được viết là 1/4πε₀. Trong hệ đơn vị mà chúng ta dùng — hệ mks — nó được định nghĩa là đúng bằng 10⁻⁷ nhân với bình phương tốc độ ánh sáng. Nay vì tốc độ ánh sáng xấp xỉ 3×10⁸ mét trên giây, hằng số này xấp xỉ 9×10⁹, và đơn vị của nó hóa ra là newton·mét² trên coulomb² hoặc volt·mét trên coulomb.

1/4πε₀ = 10⁻⁷c²   (theo định nghĩa)
= 9,0×10⁹   (theo thực nghiệm).   (4.10)
Đơn vị: newton·mét²/coulomb², hoặc volt·mét/coulomb.

Khi có nhiều hơn hai điện tích hiện diện — những lúc duy nhất thực sự thú vị — chúng ta phải bổ sung cho định luật Coulomb một sự kiện khác của tự nhiên: lực tác dụng lên bất kỳ điện tích nào là tổng vectơ của các lực Coulomb từ mỗi điện tích khác. Sự kiện này được gọi là “nguyên lý chồng chập.” Tĩnh điện học chỉ có vậy thôi. Nếu chúng ta kết hợp định luật Coulomb và nguyên lý chồng chập, không còn gì khác nữa. Các Phương trình (4.5) và (4.6) — các phương trình tĩnh điện — không nói hơn cũng không nói kém.

Khi áp dụng định luật Coulomb, sẽ thuận tiện nếu đưa vào ý tưởng điện trường. Chúng ta nói rằng trường E(1) là lực trên một đơn vị điện tích tác dụng lên q₁ (do mọi điện tích khác gây ra). Chia Phương trình (4.9) cho q₁, chúng ta có, đối với một điện tích khác duy nhất ngoài q₁,

E(1) = (1/4πε₀)(q₂/r₁₂²)e₁₂.   (4.11)

Ngoài ra, chúng ta xem E(1) như mô tả một điều gì đó về điểm (1) ngay cả khi q₁ không ở đó — giả sử rằng mọi điện tích khác giữ nguyên vị trí của chúng. Chúng ta nói: E(1) là điện trường tại điểm (1).

Điện trường E là một vectơ, vì vậy theo Phương trình (4.11) chúng ta thực sự muốn nói tới ba phương trình — một phương trình cho mỗi thành phần. Viết ra tường minh thành phần x, Phương trình (4.11) có nghĩa là

E_x(x₁,y₁,z₁) = (q₂/4πε₀) · (x₁−x₂)/[(x₁−x₂)² + (y₁−y₂)² + (z₁−z₂)²]^3/2,   (4.12)

và tương tự đối với các thành phần khác.

Nếu có nhiều điện tích hiện diện, trường E tại bất kỳ điểm (1) nào là tổng các đóng góp từ mỗi điện tích khác. Mỗi số hạng của tổng sẽ trông giống (4.11) hoặc (4.12). Đặt q_j là độ lớn của điện tích thứ j, và r_1j là độ dịch chuyển từ q_j tới điểm (1), chúng ta viết

E(1) = Σ_j (1/4πε₀)(q_j/r_1j²)e_1j.   (4.13)

Điều này dĩ nhiên có nghĩa là

E_x(x₁,y₁,z₁) = Σ_j (1/4πε₀) · q_j(x₁−x_j)/[(x₁−x_j)² + (y₁−y_j)² + (z₁−z_j)²]^3/2,   (4.14)

và cứ thế.

Thường thì sẽ thuận tiện nếu bỏ qua sự kiện rằng các điện tích đến thành từng gói như electron và proton, và nghĩ về chúng như được trải ra trong một vệt liên tục — hoặc trong một “phân bố,” như người ta gọi. Điều này là được chừng nào chúng ta không quan tâm tới những gì đang xảy ra ở quy mô quá nhỏ. Chúng ta mô tả một phân bố điện tích bằng “mật độ điện tích,” ρ(x,y,z). Nếu lượng điện tích trong một thể tích nhỏ ΔV₂ nằm tại điểm (2) là Δq₂, thì ρ được định nghĩa bởi

Δq₂ = ρ(2)ΔV₂.   (4.15)

Để dùng định luật Coulomb với một mô tả như vậy, chúng ta thay các tổng của các Phương trình (4.13) hoặc (4.14) bằng các tích phân trên mọi thể tích chứa điện tích. Khi đó chúng ta có

E(1) = (1/4πε₀) ∫_{toàn không gian} ρ(2)e₁₂ dV₂/r₁₂².   (4.16)

Một số người thích viết

e₁₂ = r₁₂/r₁₂,

trong đó r₁₂ là vectơ độ dịch chuyển tới (1) từ (2), như được chỉ ra trong Hình 4–1. Tích phân cho E khi đó được viết là

E(1) = (1/4πε₀) ∫_{toàn không gian} ρ(2)r₁₂ dV₂/r₁₂³.   (4.17)

Khi chúng ta muốn tính toán một điều gì đó với những tích phân này, chúng ta thường phải viết chúng ra một cách tường minh chi tiết. Đối với thành phần x của hoặc Phương trình (4.16) hoặc (4.17), chúng ta sẽ có

E_x(x₁,y₁,z₁) = ∫_{toàn không gian} (x₁−x₂)ρ(x₂,y₂,z₂) dx₂ dy₂ dz₂ / {4πε₀[(x₁−x₂)² + (y₁−y₂)² + (z₁−z₂)²]^3/2}.   (4.18)

Chúng ta sẽ không dùng công thức này nhiều. Chúng ta viết nó ở đây chỉ để nhấn mạnh sự kiện rằng chúng ta đã giải quyết hoàn toàn mọi bài toán tĩnh điện trong đó chúng ta biết vị trí của mọi điện tích. Cho trước các điện tích, các trường là gì? Đáp án: Hãy thực hiện tích phân này. Vì vậy chủ đề này chẳng có gì nhiều; nó chỉ là chuyện thực hiện các tích phân phức tạp trên ba chiều — đúng là một công việc cho máy tính!

Với các tích phân của chúng ta, chúng ta có thể tìm các trường được tạo ra bởi một tấm điện tích, bởi một đường điện tích, bởi một vỏ cầu điện tích, hoặc bởi bất kỳ phân bố xác định nào. Điều quan trọng cần nhận ra, khi chúng ta tiếp tục vẽ các đường sức, nói về các điện thế, hoặc tính các divergence, là chúng ta đã có đáp án ở đây rồi. Nó đơn thuần là chuyện đôi khi việc thực hiện một tích phân bằng một chút phỏng đoán khôn khéo sẽ dễ dàng hơn là thực hiện nó thật. Việc phỏng đoán đòi hỏi học đủ thứ kỳ lạ. Trong thực tế, có thể sẽ dễ dàng hơn nếu quên chuyện cố trở nên khôn khéo và luôn thực hiện tích phân trực tiếp thay vì tỏ ra thông minh như vậy. Tuy nhiên, chúng ta sẽ cố tỏ ra thông minh về chuyện này. Chúng ta sẽ tiếp tục thảo luận một số đặc trưng khác của điện trường.

4–3  Điện thế

Trước hết chúng ta xét ý tưởng điện thế, vốn liên quan tới công thực hiện khi mang một điện tích từ điểm này tới điểm khác. Có một phân bố điện tích nào đó, nó tạo ra một điện trường. Chúng ta hỏi cần bao nhiêu công để mang một điện tích nhỏ từ nơi này tới nơi khác. Công thực hiện chống lại các lực điện khi mang một điện tích dọc theo một đường nào đó là số âm của thành phần của lực điện theo hướng chuyển động, lấy tích phân dọc theo đường đi. Nếu chúng ta mang một điện tích từ điểm a tới điểm b,

W = −∫_a^b F·ds,

trong đó F là lực điện tác dụng lên điện tích tại mỗi điểm, và ds là vectơ độ dịch chuyển vi phân dọc theo đường đi. (Xem Hình 4–2.)

Điều thú vị hơn cho mục đích của chúng ta là xét công sẽ được thực hiện khi mang một đơn vị điện tích. Khi đó lực tác dụng lên điện tích về số trị bằng điện trường. Gọi công thực hiện chống lại các lực điện trong trường hợp này là W(đơn vị), chúng ta viết

W(đơn vị) = −∫_a^b E·ds.   (4.19)

Bây giờ, nói chung, điều chúng ta thu được với loại tích phân này phụ thuộc vào đường đi chúng ta chọn. Nhưng nếu tích phân của (4.19) phụ thuộc vào đường đi từ a tới b, chúng ta có thể thu được công từ trường bằng cách mang điện tích tới b dọc theo một đường rồi quay trở lại a trên đường kia. Chúng ta sẽ đi tới b dọc theo đường mà W nhỏ hơn và quay về dọc theo đường còn lại, thu ra nhiều công hơn lượng công chúng ta bỏ vào. Về nguyên tắc, không có gì là không thể về chuyện thu năng lượng ra từ một trường. Thực tế, chúng ta sẽ gặp các trường mà điều đó là có thể. Có thể là khi bạn di chuyển một điện tích, bạn tạo ra các lực lên phần khác của “bộ máy.” Nếu “bộ máy” chuyển động ngược lại với lực, nó sẽ mất năng lượng, qua đó giữ cho tổng năng lượng trong thế giới không đổi. Tuy nhiên, đối với tĩnh điện học, không có “bộ máy” như vậy. Chúng ta biết các lực tác dụng ngược trở lại lên các nguồn của trường là gì. Chúng là các lực Coulomb tác dụng lên các điện tích chịu trách nhiệm cho trường. Nếu các điện tích khác cố định tại chỗ — như chúng ta chỉ giả sử trong tĩnh điện học — các lực ngược này không thể thực hiện công lên chúng. Không có cách nào thu năng lượng từ chúng — với điều kiện, dĩ nhiên, là nguyên lý bảo toàn năng lượng có hiệu lực cho các tình huống tĩnh điện. Chúng ta tin rằng nó sẽ có hiệu lực, nhưng chúng ta hãy chỉ ra rằng nó phải suy ra từ định luật lực Coulomb.

Chúng ta xét trước điều gì xảy ra trong trường do một điện tích đơn độc q gây ra. Đặt điểm a ở khoảng cách r_a từ q, và điểm b ở r_b. Bây giờ chúng ta mang một điện tích khác, mà chúng ta sẽ gọi là điện tích “thử,” và độ lớn của nó chúng ta chọn là một đơn vị, từ a tới b. Chúng ta hãy bắt đầu với đường đi dễ tính nhất có thể. Chúng ta mang điện tích thử của chúng ta trước hết dọc theo một cung của một đường tròn, rồi dọc theo một bán kính, như được chỉ ra trong phần (a) của Hình 4–3. Nay trên đường đi cụ thể đó, việc tìm công thực hiện là chuyện dễ như chơi (nếu không chúng ta đã không chọn nó). Trước hết, không có công nào được thực hiện cả trên đường đi từ a tới a′. Trường có hướng xuyên tâm (từ định luật Coulomb), vì vậy nó vuông góc với hướng chuyển động. Tiếp theo, trên đường đi từ a′ tới b, trường cùng hướng với chuyển động và thay đổi như 1/r². Như vậy công thực hiện lên điện tích thử khi mang nó từ a tới b sẽ là

−∫_a^b E·ds = −(q/4πε₀)∫_a′^b dr/r² = −(q/4πε₀)(1/r_a − 1/r_b).   (4.20)

Bây giờ chúng ta hãy chọn một đường đi dễ dàng khác. Chẳng hạn, đường đi được chỉ ra trong phần (b) của Hình 4–3. Nó đi một lúc dọc theo một cung của một đường tròn, rồi đi xuyên tâm một lúc, rồi lại dọc theo một cung, rồi xuyên tâm, và cứ thế. Mỗi lần chúng ta đi dọc theo các phần hình tròn, chúng ta không thực hiện công nào. Mỗi lần chúng ta đi dọc theo các phần xuyên tâm, chúng ta chỉ phải lấy tích phân của 1/r². Dọc theo đoạn xuyên tâm đầu tiên, chúng ta lấy tích phân từ r_a tới r_a′, rồi dọc theo đoạn xuyên tâm tiếp theo từ r_a′ tới r_a″, và cứ thế. Tổng của mọi tích phân này giống như một tích phân duy nhất trực tiếp từ r_a tới r_b. Chúng ta thu được cùng đáp án cho đường đi này như cho đường đi đầu tiên chúng ta đã thử. Rõ ràng là chúng ta sẽ thu được cùng đáp án cho bất kỳ đường đi nào được tạo thành từ một số tùy ý các mảnh cùng loại như vậy.

Còn các đường đi trơn tru thì sao? Chúng ta có thu được cùng đáp án không? Chúng ta đã thảo luận điểm này trước đây trong Chương 13 của Tập I. Áp dụng các lập luận tương tự đã dùng ở đó, chúng ta có thể kết luận rằng công thực hiện khi mang một điện tích đơn vị từ a tới b không phụ thuộc vào đường đi.

W(đơn vị), a→b = −∫_a^b (trên bất kỳ đường nào) E·ds.

Vì công thực hiện chỉ phụ thuộc vào các điểm đầu và cuối, nó có thể được biểu diễn như hiệu của hai con số. Chúng ta có thể thấy điều này theo cách sau. Chúng ta hãy chọn một điểm tham chiếu P₀ và thỏa thuận đánh giá tích phân của chúng ta bằng cách dùng một đường đi luôn đi qua điểm P₀. Đặt φ(a) là công thực hiện chống lại trường khi đi từ P₀ tới điểm a, và đặt φ(b) là công thực hiện khi đi từ P₀ tới điểm b (Hình 4–4). Công khi đi tới P₀ từ a (trên đường tới b) là số âm của φ(a), vì vậy chúng ta có

−∫_a^b E·ds = φ(b) − φ(a).   (4.21)

Vì chỉ hiệu của hàm φ tại hai điểm mới bao giờ liên quan, chúng ta thực sự không phải xác định vị trí của P₀. Tuy nhiên, một khi chúng ta đã chọn một điểm tham chiếu nào đó, một con số φ được xác định cho mọi điểm trong không gian; φ khi đó là một trường vô hướng. Nó là một hàm của x, y, z. Chúng ta gọi hàm vô hướng này là điện thế tĩnh điện tại bất kỳ điểm nào. Điện thế tĩnh điện:

φ(P) = −∫_P0^P E·ds.   (4.22)

Để thuận tiện, chúng ta thường sẽ lấy điểm tham chiếu ở vô cực. Khi đó, đối với một điện tích đơn độc tại gốc tọa độ, điện thế φ được cho, đối với bất kỳ điểm (x,y,z) nào — dùng Phương trình (4.20) — bởi

φ(x,y,z) = (q/4πε₀)(1/r).   (4.23)

Điện trường từ vài điện tích có thể được viết như tổng của điện trường từ điện tích thứ nhất, từ điện tích thứ hai, từ điện tích thứ ba, v.v. Khi chúng ta lấy tích phân của tổng để tìm điện thế, chúng ta thu được một tổng của các tích phân. Mỗi tích phân trong số đó là số âm của điện thế từ một trong các điện tích. Chúng ta kết luận rằng điện thế φ từ nhiều điện tích là tổng của các điện thế từ mọi điện tích riêng lẻ. Cũng có một nguyên lý chồng chập cho các điện thế. Dùng cùng loại lập luận mà nhờ đó chúng ta đã tìm được điện trường từ một nhóm điện tích và đối với một phân bố điện tích, chúng ta có thể thu được các công thức hoàn chỉnh cho điện thế φ tại một điểm chúng ta gọi là (1):

φ(1) = Σ_j (1/4πε₀)(q_j/r_1j),   (4.24)

φ(1) = (1/4πε₀) ∫_{toàn không gian} ρ(2) dV₂/r₁₂.   (4.25)

Hãy nhớ rằng điện thế φ có một ý nghĩa vật lý: nó là thế năng mà một điện tích đơn vị sẽ có nếu được đưa tới điểm đã xác định trong không gian từ một điểm tham chiếu nào đó.

4–4  E = −∇φ

Ai quan tâm tới φ? Các lực tác dụng lên các điện tích được cho bởi E, điện trường. Vấn đề là E có thể được thu được dễ dàng từ φ — thực tế nó dễ như lấy một đạo hàm. Xét hai điểm, một điểm ở x và một điểm ở (x+Δx), nhưng cả hai ở cùng y và z, và hỏi có bao nhiêu công được thực hiện khi mang một điện tích đơn vị từ điểm này tới điểm kia. Đường đi nằm dọc theo đường ngang từ x tới x+Δx. Công thực hiện là hiệu điện thế tại hai điểm:

ΔW = φ(x+Δx,y,z) − φ(x,y,z) = (∂φ/∂x)Δx.

Nhưng công thực hiện chống lại trường đối với cùng đường đi là

ΔW = −∫ E·ds = −E_xΔx.

Chúng ta thấy rằng

E_x = −∂φ/∂x.   (4.26)

Tương tự, E_y = −∂φ/∂y, E_z = −∂φ/∂z, hoặc, tóm tắt bằng ký hiệu của giải tích vectơ,

E = −∇φ.   (4.27)

Phương trình này là dạng vi phân của Phương trình (4.22). Bất kỳ bài toán nào với các điện tích xác định đều có thể được giải bằng cách tính điện thế từ (4.24) hoặc (4.25) và dùng (4.27) để thu được trường. Phương trình (4.27) cũng phù hợp với điều chúng ta đã tìm được từ phép tính vectơ: rằng đối với bất kỳ trường vô hướng φ nào,

∫_a^b ∇φ·ds = φ(b) − φ(a).   (4.28)

Theo Phương trình (4.25), điện thế vô hướng φ được cho bởi một tích phân ba chiều tương tự như tích phân chúng ta đã có đối với E. Có lợi thế nào khi tính φ thay vì E không? Có. Chỉ có một tích phân đối với φ, trong khi có ba tích phân đối với E — vì nó là một vectơ. Hơn nữa, 1/r thường dễ lấy tích phân hơn một chút so với x/r³. Hóa ra trong nhiều trường hợp thực tế, sẽ dễ dàng hơn khi tính φ rồi lấy gradient để tìm điện trường, so với việc đánh giá ba tích phân cho E. Nó đơn thuần là một vấn đề thực tiễn.

Cũng có một ý nghĩa vật lý sâu sắc hơn đối với điện thế φ. Chúng ta đã chỉ ra rằng E của định luật Coulomb được thu được từ E = −∇φ, khi φ được cho bởi (4.22). Nhưng nếu E bằng gradient của một trường vô hướng, thì chúng ta biết từ phép tính vectơ rằng curl của E phải triệt tiêu:

∇×E = 0.   (4.29)

Nhưng đó chính là phương trình cơ bản thứ hai của tĩnh điện học của chúng ta, Phương trình (4.6). Chúng ta đã chỉ ra rằng định luật Coulomb cho một trường E thỏa mãn điều kiện đó. Cho tới nay, mọi thứ đều ổn.

Thực ra chúng ta đã chứng minh rằng ∇×E bằng không trước khi chúng ta định nghĩa điện thế. Chúng ta đã chỉ ra rằng công thực hiện trên một đường kín bằng không. Tức là,

∮ E·ds = 0

đối với bất kỳ đường nào. Chúng ta đã thấy trong Chương 3 rằng đối với bất kỳ trường nào như vậy, ∇×E phải bằng không ở khắp mọi nơi. Điện trường trong tĩnh điện học là một ví dụ của một trường không có curl.

Bạn có thể luyện phép tính vectơ của mình bằng cách chứng minh rằng ∇×E bằng không theo một cách khác — bằng cách tính các thành phần của ∇×E đối với trường của một điện tích điểm, như được cho bởi Phương trình (4.11). Nếu bạn thu được số không, nguyên lý chồng chập nói rằng bạn sẽ thu được số không đối với trường của bất kỳ phân bố điện tích nào.

Chúng ta nên chỉ ra một sự kiện quan trọng. Đối với bất kỳ lực xuyên tâm nào, công thực hiện không phụ thuộc vào đường đi, và tồn tại một điện thế. Nếu bạn nghĩ về nó, toàn bộ lập luận chúng ta đã đưa ra ở trên để chỉ ra rằng tích phân công không phụ thuộc vào đường đi chỉ phụ thuộc vào sự kiện rằng lực từ một điện tích đơn độc có hướng xuyên tâm và đối xứng cầu. Nó không phụ thuộc vào sự kiện rằng sự phụ thuộc vào khoảng cách là 1/r² — có thể có bất kỳ sự phụ thuộc vào r nào. Sự tồn tại của một điện thế, và sự kiện rằng curl của E bằng không, thực sự chỉ đến từ sự đối xứng và hướng của các lực tĩnh điện. Vì điều này, Phương trình (4.28) — hoặc (4.29) — chỉ có thể chứa một phần của các định luật của điện học.

4–5  Thông lượng của E

Bây giờ chúng ta sẽ suy ra một phương trình trường phụ thuộc một cách đặc thù và trực tiếp vào sự kiện rằng định luật lực là nghịch đảo bình phương. Việc trường thay đổi tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đối với một số người dường như là “chỉ tự nhiên thôi,” vì “đó là cách mọi thứ lan tỏa ra.” Hãy lấy một nguồn sáng với ánh sáng truyền ra: lượng ánh sáng đi qua một mặt được cắt ra bởi một hình nón có đỉnh tại nguồn là như nhau bất kể mặt được đặt ở bán kính nào. Nó phải như vậy nếu có sự bảo toàn năng lượng ánh sáng. Lượng ánh sáng trên một đơn vị diện tích — cường độ — phải thay đổi tỉ lệ nghịch với diện tích bị cắt bởi hình nón, tức là tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ nguồn. Chắc chắn điện trường cũng phải thay đổi tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách vì cùng một lý do! Nhưng ở đây không có cái gọi là “cùng một lý do.” Không ai có thể nói rằng điện trường đo dòng chảy của một thứ gì đó giống như ánh sáng vốn phải được bảo toàn. Nếu chúng ta có một “mô hình” của điện trường trong đó vectơ điện trường biểu diễn hướng và tốc độ — chẳng hạn dòng — của một loại “viên đạn” nhỏ nào đó đang bay ra, và nếu mô hình của chúng ta đòi hỏi rằng những viên đạn này được bảo toàn, rằng không viên nào có thể biến mất một khi nó đã được bắn ra từ một điện tích, thì chúng ta có thể nói rằng chúng ta “thấy” được vì sao định luật nghịch đảo bình phương là cần thiết. Mặt khác, nhất thiết sẽ có một cách toán học nào đó để diễn đạt ý tưởng vật lý này. Nếu điện trường thực sự giống như các viên đạn được bảo toàn đang bay ra, thì nó sẽ thay đổi tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách và chúng ta có thể mô tả hành vi đó bằng một phương trình — là toán học thuần túy. Bây giờ, nghĩ theo cách này không có hại gì, chừng nào chúng ta không nói rằng điện trường được làm từ các viên đạn, mà nhận ra rằng chúng ta đang dùng một mô hình để giúp chúng ta tìm ra toán học đúng.

Thật vậy, giả sử chúng ta tưởng tượng trong chốc lát rằng điện trường thực sự biểu diễn dòng chảy của một thứ gì đó được bảo toàn — ở khắp mọi nơi, tức là, ngoại trừ tại các điện tích. (Nó phải bắt đầu ở đâu đó!) Chúng ta tưởng tượng rằng bất kể nó là gì, nó chảy ra khỏi một điện tích vào không gian xung quanh. Nếu E là vectơ của một dòng chảy như vậy (như h là đối với dòng nhiệt), nó sẽ có sự phụ thuộc 1/r² ở gần một nguồn điểm. Bây giờ chúng ta muốn dùng mô hình này để tìm ra cách phát biểu định luật nghịch đảo bình phương theo một cách sâu sắc hơn hay trừu tượng hơn, thay vì đơn giản nói “nghịch đảo bình phương.” (Bạn có thể băn khoăn vì sao chúng ta lại muốn tránh phát biểu trực tiếp một định luật đơn giản như vậy, và thay vào đó muốn ám chỉ cùng điều đó một cách lén lút theo một cách khác. Kiên nhẫn! Nó sẽ hóa ra là hữu ích.)

Chúng ta hỏi: “Dòng chảy” của E ra khỏi một mặt kín tùy ý trong vùng lân cận của một điện tích điểm là gì? Trước hết chúng ta hãy lấy một mặt dễ — mặt được chỉ ra trong Hình 4–5. Nếu trường E giống như một dòng chảy, dòng chảy ròng ra khỏi hộp này phải bằng không. Đó là điều chúng ta thu được nếu với “dòng chảy” từ mặt này, chúng ta muốn nói tích phân mặt của thành phần pháp tuyến của E — tức là thông lượng của E. Trên các mặt xuyên tâm, thành phần pháp tuyến bằng không. Trên các mặt cầu, thành phần pháp tuyến E_n đúng là độ lớn của E — dấu trừ đối với mặt nhỏ hơn và dấu cộng đối với mặt lớn hơn. Độ lớn của E giảm như 1/r², nhưng diện tích mặt tỉ lệ với r², vì vậy tích không phụ thuộc vào r. Thông lượng của E đi vào mặt a đúng bị hủy bởi thông lượng ra khỏi mặt b. Tổng dòng chảy ra khỏi S bằng không, tức là nói rằng đối với mặt này

∫_S E_n da = 0.   (4.30)

Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng hai mặt đầu có thể bị nghiêng so với đường xuyên tâm mà không làm thay đổi tích phân (4.30). Dù điều này đúng nói chung, đối với mục đích của chúng ta, chỉ cần chỉ ra rằng điều này đúng khi các mặt đầu nhỏ, sao cho chúng chắn một góc nhỏ từ nguồn — thực tế là một góc vô cùng nhỏ. Trong Hình 4–6 chúng ta chỉ ra một mặt S mà các “mặt bên” của nó có hướng xuyên tâm, nhưng các “đầu” của nó bị nghiêng. Các mặt đầu trong hình không nhỏ, nhưng bạn hãy tưởng tượng tình huống đối với các mặt đầu rất nhỏ. Khi đó trường E sẽ đủ đồng nhất trên mặt để chúng ta có thể dùng chỉ giá trị của nó tại tâm. Khi chúng ta nghiêng mặt đi một góc θ, diện tích tăng lên theo hệ số 1/cosθ. Nhưng E_n, thành phần của E vuông góc với mặt, giảm đi theo hệ số cosθ. Tích E_nΔa không đổi. Thông lượng ra khỏi toàn bộ mặt S vẫn bằng không.

Bây giờ dễ thấy rằng thông lượng ra khỏi một thể tích được bao bởi bất kỳ mặt S nào cũng phải bằng không. Bất kỳ thể tích nào cũng có thể được nghĩ là được tạo thành từ các mảnh, như mảnh trong Hình 4–6. Mặt sẽ được chia hoàn toàn thành các cặp mặt đầu, và vì các thông lượng vào và ra khỏi các mặt đầu này hủy nhau theo từng cặp, tổng thông lượng ra khỏi mặt sẽ bằng không. Ý tưởng được minh họa trong Hình 4–7. Chúng ta có kết quả hoàn toàn tổng quát rằng tổng thông lượng của E ra khỏi bất kỳ mặt S nào trong trường của một điện tích điểm đều bằng không.

Nhưng hãy chú ý! Chứng minh của chúng ta chỉ có hiệu lực nếu mặt S không bao quanh điện tích. Điều gì sẽ xảy ra nếu điện tích điểm ở bên trong mặt? Chúng ta vẫn có thể chia mặt của chúng ta thành các cặp diện tích được nối với nhau bởi các đường xuyên tâm đi qua điện tích, như được chỉ ra trong Hình 4–8. Các thông lượng qua hai mặt này vẫn bằng nhau — theo các lập luận tương tự như trước — chỉ có điều bây giờ chúng có cùng dấu. Thông lượng ra khỏi một mặt bao quanh một điện tích không bằng không. Vậy nó bằng gì? Chúng ta có thể tìm ra bằng một mẹo nhỏ. Giả sử chúng ta “loại bỏ” điện tích khỏi “phía trong” bằng cách bao quanh điện tích bởi một mặt nhỏ S′ hoàn toàn ở bên trong mặt gốc S, như được chỉ ra trong Hình 4–9. Bây giờ thể tích được bao giữa hai mặt S và S′ không có điện tích trong đó. Tổng thông lượng ra khỏi thể tích này (kể cả thông lượng qua S′) bằng không, theo các lập luận chúng ta đã đưa ra ở trên. Thực tế, các lập luận cho chúng ta biết rằng thông lượng đi vào thể tích qua S′ bằng thông lượng hướng ra ngoài qua S.

Chúng ta có thể chọn bất kỳ hình dạng nào chúng ta muốn cho S′, vì vậy chúng ta hãy biến nó thành một quả cầu có tâm tại điện tích, như trong Hình 4–10. Khi đó chúng ta có thể dễ dàng tính thông lượng qua nó. Nếu bán kính của quả cầu nhỏ là r, giá trị của E ở khắp nơi trên mặt của nó là

(1/4πε₀)(q/r²),

và luôn có hướng vuông góc với mặt. Chúng ta tìm tổng thông lượng qua S′ nếu chúng ta nhân thành phần pháp tuyến này của E với diện tích mặt:

Thông lượng qua mặt S′ = [(1/4πε₀)(q/r²)](4πr²) = q/ε₀,   (4.31)

một con số không phụ thuộc vào bán kính của quả cầu! Khi đó chúng ta biết rằng thông lượng hướng ra ngoài qua S cũng là q/ε₀ — một giá trị không phụ thuộc vào hình dạng của S chừng nào điện tích q còn ở bên trong. Chúng ta có thể viết các kết luận của chúng ta như sau:

∫_{mặt kín bất kỳ S} E_n da = 0, nếu q ở ngoài S;   = q/ε₀, nếu q ở trong S.   (4.32)

Chúng ta hãy quay lại với phép loại suy “viên đạn” của chúng ta và xem nó có hợp lý không. Định lý của chúng ta nói rằng dòng chảy ròng của các viên đạn qua một mặt bằng không nếu mặt không bao quanh khẩu súng bắn ra các viên đạn. Nếu khẩu súng được bao trong một mặt, bất kể kích thước và hình dạng của nó là gì, số viên đạn đi qua là như nhau — nó được cho bởi tốc độ mà các viên đạn được tạo ra tại khẩu súng. Tất cả dường như khá hợp lý đối với các viên đạn được bảo toàn. Nhưng mô hình có cho chúng ta biết điều gì hơn điều chúng ta thu được đơn giản bằng cách viết Phương trình (4.32) không? Không ai đã thành công trong việc làm cho những “viên đạn” này làm bất cứ điều gì khác ngoài việc tạo ra một định luật duy nhất này. Sau đó, chúng không tạo ra gì ngoài các sai lầm. Đó là lý do ngày nay chúng ta thích biểu diễn trường điện từ một cách trừu tượng thuần túy.

4–6  Định luật Gauss; divergence của E

Kết quả đẹp của chúng ta, Phương trình (4.32), đã được chứng minh đối với một điện tích điểm đơn độc. Bây giờ giả sử có hai điện tích, một điện tích q₁ tại một điểm và một điện tích q₂ tại một điểm khác. Bài toán trông khó hơn. Điện trường mà thành phần pháp tuyến của nó chúng ta lấy tích phân để tính thông lượng là trường do cả hai điện tích gây ra. Tức là, nếu E₁ biểu diễn điện trường lẽ ra đã được tạo ra bởi q₁ một mình, và E₂ biểu diễn điện trường được tạo ra bởi q₂ một mình, thì điện trường tổng là E = E₁ + E₂. Thông lượng qua bất kỳ mặt kín S nào là

∫_S(E_1n + E_2n) da = ∫_S E_1n da + ∫_S E_2n da.   (4.33)

Thông lượng khi cả hai điện tích đều hiện diện là thông lượng do một điện tích cộng với thông lượng do điện tích còn lại. Nếu cả hai điện tích đều ở ngoài S, thông lượng qua S bằng không. Nếu q₁ ở trong S nhưng q₂ ở ngoài, thì tích phân đầu tiên cho q₁/ε₀ và tích phân thứ hai cho không. Nếu mặt bao quanh cả hai điện tích, mỗi điện tích sẽ cho đóng góp của nó và chúng ta có thông lượng là (q₁+q₂)/ε₀. Quy tắc tổng quát rõ ràng là tổng thông lượng ra khỏi một mặt kín bằng tổng điện tích bên trong, chia cho ε₀. Kết quả của chúng ta là một định luật tổng quát quan trọng của trường tĩnh điện, gọi là định luật Gauss. Định luật Gauss:

∫_{mặt kín bất kỳ S} E_n da = (tổng các điện tích bên trong)/ε₀,   (4.34)

hoặc,

∫_{mặt kín bất kỳ S} E·n da = Q_trong/ε₀,   (4.35)

trong đó

Q_trong = Σ (trên phía trong S) q_i.   (4.36)

Nếu chúng ta mô tả vị trí của các điện tích theo mật độ điện tích ρ, chúng ta có thể xem mỗi thể tích vô cùng nhỏ dV chứa một điện tích “điểm” ρ dV. Tổng trên mọi điện tích khi đó là tích phân,

Q_trong = ∫_{thể tích trong S} ρ dV.   (4.37)

Từ cách suy ra của chúng ta, bạn thấy rằng định luật Gauss suy ra từ sự kiện rằng số mũ trong định luật Coulomb đúng bằng hai. Một trường 1/r³, hoặc bất kỳ trường 1/rⁿ nào với n≠2, sẽ không cho định luật Gauss. Vì vậy định luật Gauss chỉ là một cách diễn đạt, dưới một dạng khác, của định luật lực Coulomb giữa hai điện tích. Thực tế, làm ngược lại từ định luật Gauss, bạn có thể suy ra định luật Coulomb. Hai định luật khá tương đương chừng nào chúng ta ghi nhớ quy tắc rằng các lực giữa các điện tích có hướng xuyên tâm.

Bây giờ chúng ta muốn viết định luật Gauss theo các đạo hàm. Để làm điều này, chúng ta áp dụng định luật Gauss cho một mặt lập phương vô cùng nhỏ. Chúng ta đã chỉ ra trong Chương 3 rằng thông lượng của E ra khỏi một khối lập phương như vậy là ∇·E nhân với thể tích dV của khối lập phương. Điện tích bên trong dV, theo định nghĩa của ρ, bằng ρ dV, vì vậy định luật Gauss cho

∇·E dV = ρ dV/ε₀,

hoặc,

∇·E = ρ/ε₀.   (4.38)

Dạng vi phân của định luật Gauss là phương trình đầu tiên trong các phương trình trường cơ bản của tĩnh điện học của chúng ta, Phương trình (4.5). Bây giờ chúng ta đã chỉ ra rằng hai phương trình của tĩnh điện học, các Phương trình (4.5) và (4.6), tương đương với định luật lực Coulomb. Bây giờ chúng ta sẽ xét một ví dụ về việc dùng định luật Gauss. (Sau này chúng ta sẽ đến với nhiều ví dụ hơn nữa.)

4–7  Trường của một khối cầu tích điện

Một trong các bài toán khó chúng ta đã gặp khi nghiên cứu lý thuyết hấp dẫn là chứng minh rằng lực được tạo ra bởi một khối cầu đặc bằng vật chất là như nhau tại bề mặt của quả cầu như nó sẽ là nếu toàn bộ vật chất được tập trung tại tâm. Trong nhiều năm Newton đã không công bố lý thuyết hấp dẫn của mình, vì ông không thể chắc chắn định lý này là đúng. Chúng ta đã chứng minh định lý trong Chương 13 của Tập I bằng cách thực hiện tích phân cho điện thế rồi tìm lực hấp dẫn bằng cách dùng gradient. Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý theo một cách đơn giản nhất. Chỉ có điều lần này chúng ta sẽ chứng minh định lý tương ứng cho một khối cầu điện tích đều. (Vì các định luật của tĩnh điện học giống như các định luật của hấp dẫn, cùng một chứng minh cũng có thể được thực hiện cho trường hấp dẫn.)

Chúng ta hỏi: Điện trường E tại một điểm P ở bất kỳ đâu bên ngoài bề mặt của một quả cầu được lấp đầy bởi một phân bố điện tích đều là gì? Vì không có hướng “đặc biệt” nào, chúng ta có thể giả sử rằng E ở khắp mọi nơi đều hướng ra xa khỏi tâm của quả cầu. Chúng ta xét một mặt tưởng tượng có dạng cầu và đồng tâm với quả cầu điện tích, và đi qua điểm P (Hình 4–11). Đối với mặt này, thông lượng hướng ra ngoài là

∫ E_n da = E·4πR².

Định luật Gauss cho chúng ta biết rằng thông lượng này bằng tổng điện tích Q của quả cầu (trên ε₀):

E·4πR² = Q/ε₀,

hoặc,

E = (1/4πε₀)(Q/R²),   (4.39)

đó là cùng công thức chúng ta sẽ có đối với một điện tích điểm Q. Chúng ta đã chứng minh bài toán của Newton dễ dàng hơn so với việc thực hiện tích phân. Dĩ nhiên, nó là một kiểu dễ dàng giả tạo — bạn đã phải mất một ít thời gian mới có thể hiểu định luật Gauss, vì vậy bạn có thể nghĩ rằng thực ra không có thời gian nào được tiết kiệm. Nhưng sau khi bạn đã dùng định lý càng ngày càng nhiều, nó bắt đầu mang lại hiệu quả. Đó là một vấn đề về hiệu suất.

4–8  Đường sức; mặt đẳng thế

Bây giờ chúng ta muốn đưa ra một mô tả hình học của trường tĩnh điện. Hai định luật của tĩnh điện học, một là thông lượng tỉ lệ với điện tích bên trong và định luật còn lại là điện trường là gradient của một điện thế, cũng có thể được biểu diễn theo hình học. Chúng ta minh họa điều này bằng hai ví dụ.

Trước hết, chúng ta lấy trường của một điện tích điểm. Chúng ta vẽ các đường theo hướng của trường — các đường luôn tiếp tuyến với trường, như trong Hình 4–12. Chúng được gọi là đường sức. Các đường cho thấy ở khắp mọi nơi hướng của vectơ điện. Nhưng chúng ta cũng muốn biểu diễn độ lớn của vectơ. Chúng ta có thể đặt ra quy tắc rằng cường độ của điện trường sẽ được biểu diễn bởi “mật độ” của các đường. Với mật độ của các đường, chúng ta muốn nói số đường trên một đơn vị diện tích qua một mặt vuông góc với các đường. Với hai quy tắc này, chúng ta có thể có một bức tranh về điện trường. Đối với một điện tích điểm, mật độ của các đường phải giảm như 1/r². Nhưng diện tích của một mặt cầu vuông góc với các đường tại bất kỳ bán kính r nào tăng như r², vì vậy nếu chúng ta luôn giữ cùng số đường đối với mọi khoảng cách từ điện tích, mật độ sẽ giữ tỉ lệ với độ lớn của trường. Chúng ta có thể bảo đảm rằng có cùng số đường tại mọi khoảng cách nếu chúng ta khăng khăng rằng các đường phải liên tục — rằng một khi một đường đã bắt đầu từ điện tích, nó không bao giờ dừng lại. Theo ngôn ngữ của các đường sức, định luật Gauss nói rằng các đường chỉ nên bắt đầu tại các điện tích dương và dừng tại các điện tích âm. Số đường rời khỏi một điện tích q phải bằng q/ε₀.

Bây giờ, chúng ta có thể tìm một bức tranh hình học tương tự cho điện thế φ. Cách dễ nhất để biểu diễn điện thế là vẽ các mặt trên đó φ là một hằng số. Chúng ta gọi chúng là các mặt đẳng thế — các mặt có điện thế bằng nhau. Bây giờ mối quan hệ hình học của các mặt đẳng thế với các đường sức là gì? Điện trường là gradient của điện thế. Gradient nằm theo hướng thay đổi nhanh nhất của điện thế, và vì vậy vuông góc với một mặt đẳng thế. Nếu E không vuông góc với mặt, nó sẽ có một thành phần trong mặt. Điện thế sẽ thay đổi trong mặt, nhưng khi đó nó sẽ không phải là một mặt đẳng thế. Vì vậy các mặt đẳng thế phải ở khắp mọi nơi vuông góc với các đường sức điện trường. Đối với một điện tích điểm đứng một mình, các mặt đẳng thế là các quả cầu có tâm tại điện tích. Chúng ta đã chỉ ra trong Hình 4–12 giao tuyến của các quả cầu này với một mặt phẳng đi qua điện tích.

Làm ví dụ thứ hai, chúng ta xét trường ở gần hai điện tích bằng nhau, một điện tích dương và một điện tích âm. Việc thu được trường là dễ. Trường là chồng chập của các trường từ mỗi điện tích trong hai điện tích. Vì vậy, chúng ta có thể lấy hai bức tranh như Hình 4–12 và chồng chúng lên nhau — không thể được! Khi đó chúng ta sẽ có các đường sức cắt nhau, và điều đó là không thể, vì E không thể có hai hướng tại cùng một điểm. Nhược điểm của bức tranh đường sức bây giờ trở nên hiển nhiên. Bằng các lập luận hình học, không thể phân tích theo một cách rất đơn giản xem các đường mới đi đâu. Từ hai bức tranh độc lập, chúng ta không thể thu được bức tranh kết hợp. Nguyên lý chồng chập, một nguyên lý đơn giản và sâu sắc về các điện trường, không có một cách biểu diễn dễ dàng trong bức tranh đường sức.

Tuy nhiên, bức tranh đường sức có các công dụng của nó, vì vậy chúng ta có thể vẫn muốn vẽ bức tranh cho một cặp điện tích bằng nhau (và trái dấu). Nếu chúng ta tính các trường từ Phương trình (4.13) và các điện thế từ (4.24), chúng ta có thể vẽ các đường sức và các mặt đẳng thế. Hình 4–13 chỉ ra kết quả. Nhưng chúng ta đã phải giải bài toán bằng toán học trước!