Chương 5: Ứng dụng của định luật Gauss
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập II, Chương 5: “Application of Gauss’ Law”
5–1 Tĩnh điện học là định luật Gauss cộng với …
Có hai định luật của tĩnh điện học: rằng thông lượng của điện trường ra khỏi một thể tích tỉ lệ với điện tích bên trong — định luật Gauss, và rằng lưu thông của điện trường bằng không — E là một gradient. Từ hai định luật này, mọi tiên đoán của tĩnh điện học đều suy ra. Nhưng nói những điều này về mặt toán học là một chuyện; dùng chúng một cách dễ dàng, và với một ít khéo léo, là chuyện khác. Trong chương này chúng ta sẽ thực hiện một số phép tính có thể được làm trực tiếp với định luật Gauss. Chúng ta sẽ chứng minh các định lý và mô tả một số hiệu ứng, đặc biệt là trong các vật dẫn, vốn có thể được hiểu rất dễ dàng từ định luật Gauss. Định luật Gauss tự nó không thể cho đáp án của bất kỳ bài toán nào vì định luật còn lại cũng phải được tuân theo. Vì vậy khi chúng ta dùng định luật Gauss để giải các bài toán cụ thể, chúng ta sẽ phải cộng thêm một điều gì đó vào nó. Chẳng hạn, chúng ta sẽ phải giả định trước một ý tưởng nào đó về trường trông như thế nào — dựa, ví dụ, trên các lập luận về đối xứng. Hoặc chúng ta có thể phải đưa vào một cách cụ thể ý tưởng rằng trường là gradient của một điện thế.
5–2 Cân bằng trong một trường tĩnh điện
Trước hết hãy xét câu hỏi sau: Khi nào một điện tích điểm có thể ở cân bằng cơ học bền trong điện trường của các điện tích khác? Làm ví dụ, hãy tưởng tượng ba điện tích âm tại các góc của một tam giác đều trong một mặt phẳng ngang. Một điện tích dương đặt tại tâm của tam giác có ở lại đó không? (Sẽ đơn giản hơn nếu chúng ta bỏ qua trọng lực trong chốc lát, dù việc đưa nó vào cũng sẽ không làm thay đổi kết quả.) Lực tác dụng lên điện tích dương bằng không, nhưng cân bằng có bền không? Điện tích có quay trở lại vị trí cân bằng nếu bị dịch chuyển nhẹ không? Đáp án là không.
Không có điểm nào của cân bằng bền trong bất kỳ trường tĩnh điện nào — ngoại trừ ngay trên một điện tích khác. Dùng định luật Gauss, dễ thấy vì sao. Trước hết, để một điện tích ở cân bằng tại bất kỳ điểm cụ thể P0 nào, trường phải bằng không. Thứ hai, nếu cân bằng là cân bằng bền, chúng ta đòi hỏi rằng nếu chúng ta di chuyển điện tích ra khỏi P0 theo bất kỳ hướng nào, phải có một lực phục hồi hướng ngược với độ dịch chuyển. Điện trường tại mọi điểm lân cận phải hướng vào trong — hướng về điểm P0. Nhưng điều đó vi phạm định luật Gauss nếu không có điện tích tại P0, như chúng ta có thể dễ dàng thấy.
Hãy xét một mặt tưởng tượng nhỏ bao quanh P0, như trong Hình 5–1. Nếu điện trường ở khắp nơi trong vùng lân cận đều hướng về P0, tích phân mặt của thành phần pháp tuyến chắc chắn không bằng không. Đối với trường hợp được chỉ ra trong hình, thông lượng qua mặt phải là một số âm. Nhưng định luật Gauss nói rằng thông lượng của điện trường qua bất kỳ mặt nào cũng tỉ lệ với tổng điện tích bên trong. Nếu không có điện tích tại P0, trường mà chúng ta đã tưởng tượng vi phạm định luật Gauss. Không thể cân bằng một điện tích dương trong không gian trống — tại một điểm mà ở đó không có một ít điện tích âm nào đó. Một điện tích dương có thể ở cân bằng nếu nó ở giữa một phân bố điện tích âm. Dĩ nhiên, phân bố điện tích âm sẽ phải được giữ tại chỗ bởi các lực khác ngoài lực điện!
Kết quả của chúng ta đã được thu được đối với một điện tích điểm. Kết luận tương tự có đúng đối với một sắp xếp phức tạp các điện tích được giữ với nhau ở các vị trí tương đối cố định — chẳng hạn bằng các thanh — không? Chúng ta xét câu hỏi đối với hai điện tích bằng nhau cố định trên một thanh. Có thể nào tổ hợp này có thể ở cân bằng trong một trường tĩnh điện nào đó không? Đáp án lại là không. Tổng lực tác dụng lên thanh không thể là lực phục hồi đối với các độ dịch chuyển theo mọi hướng.
Gọi F là tổng lực tác dụng lên thanh ở bất kỳ vị trí nào — F khi đó là một trường vectơ. Theo lập luận đã dùng ở trên, chúng ta kết luận rằng tại một vị trí cân bằng bền, divergence của F phải là một số âm. Nhưng tổng lực tác dụng lên thanh là điện tích thứ nhất nhân với trường tại vị trí của nó, cộng với điện tích thứ hai nhân với trường tại vị trí của nó:
F = q1E1 + q2E2. (5.1)
Divergence của F được cho bởi
∇·F = q1(∇·E1) + q2(∇·E2).
Nếu mỗi điện tích trong hai điện tích q1 và q2 đều ở trong không gian tự do, cả ∇·E1 và ∇·E2 đều bằng không, và ∇·F bằng không — không phải âm, như sẽ được đòi hỏi cho cân bằng. Bạn có thể thấy rằng một sự mở rộng của lập luận chỉ ra rằng không tổ hợp cứng nào của bất kỳ số điện tích nào có thể có một vị trí cân bằng bền trong một trường tĩnh điện trong không gian tự do.
Bây giờ chúng ta chưa chỉ ra rằng cân bằng bị cấm nếu có các trục quay hay các ràng buộc cơ học khác. Làm ví dụ, hãy xét một ống rỗng trong đó một điện tích có thể di chuyển qua lại tự do, nhưng không di chuyển sang ngang. Bây giờ rất dễ tạo ra một điện trường hướng vào trong tại cả hai đầu của ống nếu cho phép trường có thể hướng sang ngang ra ngoài ở gần tâm của ống. Chúng ta đơn giản đặt các điện tích dương tại mỗi đầu của ống, như trong Hình 5–2. Bây giờ có thể có một điểm cân bằng dù divergence của E bằng không. Dĩ nhiên, điện tích sẽ không ở cân bằng bền đối với chuyển động sang ngang nếu không có các lực “phi điện” từ thành ống.
5–3 Cân bằng với các vật dẫn
Không có điểm bền nào trong trường của một hệ các điện tích cố định. Còn một hệ các vật dẫn tích điện thì sao? Một hệ các vật dẫn tích điện có thể tạo ra một trường sẽ có một điểm cân bằng bền cho một điện tích điểm không? (Dĩ nhiên chúng ta muốn nói tại một điểm khác hơn là trên một vật dẫn.) Bạn biết rằng các vật dẫn có tính chất là các điện tích có thể di chuyển tự do xung quanh trong chúng. Có lẽ khi điện tích điểm bị dịch chuyển nhẹ, các điện tích khác trên các vật dẫn sẽ di chuyển theo một cách sẽ cho một lực phục hồi đối với điện tích điểm? Đáp án vẫn là không — dù chứng minh chúng ta vừa đưa ra không chỉ ra điều đó. Chứng minh cho trường hợp này khó hơn, và chúng ta sẽ chỉ chỉ ra nó diễn tiến như thế nào.
Trước hết, chúng ta lưu ý rằng khi các điện tích tự phân bố lại trên các vật dẫn, chúng chỉ có thể làm vậy nếu chuyển động của chúng làm giảm tổng thế năng của chúng. (Một ít năng lượng bị mất thành nhiệt khi chúng di chuyển trong vật dẫn.) Bây giờ chúng ta đã chỉ ra rằng nếu các điện tích tạo ra một trường là đứng yên, thì ở gần bất kỳ điểm không P0 nào trong trường, có một hướng nào đó mà việc di chuyển một điện tích điểm ra khỏi P0 theo hướng đó sẽ làm giảm năng lượng của hệ (vì lực hướng ra xa khỏi P0). Bất kỳ sự điều chỉnh lại nào của các điện tích trên các vật dẫn cũng chỉ có thể làm giảm thế năng hơn nữa, vì vậy (theo nguyên lý công ảo) chuyển động của chúng sẽ chỉ làm tăng lực theo hướng cụ thể đó ra xa khỏi P0, chứ không đảo ngược nó.
Các kết luận của chúng ta không có nghĩa là không thể cân bằng một điện tích bằng các lực điện. Điều đó là có thể nếu người ta sẵn sàng kiểm soát các vị trí hoặc kích thước của các điện tích đỡ bằng các thiết bị thích hợp. Bạn biết rằng một thanh đứng trên đầu nhọn của nó trong một trường hấp dẫn là không bền, nhưng điều này không chứng minh rằng nó không thể được cân bằng trên đầu một ngón tay. Tương tự, một điện tích có thể được giữ tại một điểm bởi các điện trường nếu chúng thay đổi được. Nhưng không thể với một hệ thụ động — tức là một hệ tĩnh.
5–4 Tính bền vững của nguyên tử
Nếu các điện tích không thể được giữ bền tại chỗ, chắc chắn sẽ không đúng nếu tưởng tượng vật chất được làm từ các điện tích điểm tĩnh (electron và proton) chỉ chịu sự chi phối của các định luật của tĩnh điện học. Một cấu hình tĩnh như vậy là không thể; nó sẽ sụp đổ!
Đã có lúc người ta gợi ý rằng điện tích dương của một nguyên tử có thể được phân bố đều trong một quả cầu, và các điện tích âm, các electron, có thể đứng yên bên trong điện tích dương, như được chỉ ra trong Hình 5–3. Đây là mô hình nguyên tử đầu tiên, do Thomson đề xuất. Nhưng Rutherford kết luận từ thí nghiệm của Geiger và Marsden rằng các điện tích dương rất tập trung, trong cái mà ông gọi là hạt nhân. Mô hình tĩnh của Thomson phải bị từ bỏ.
Rutherford và Bohr khi đó gợi ý rằng cân bằng có thể là động, với các electron quay vòng trong các quỹ đạo, như được chỉ ra trong Hình 5–4. Các electron sẽ bị giữ không rơi vào hạt nhân bởi chuyển động quỹ đạo của chúng. Chúng ta đã biết ít nhất một khó khăn với bức tranh này. Với chuyển động như vậy, các electron sẽ đang gia tốc (vì chuyển động tròn) và do đó sẽ bức xạ năng lượng. Chúng sẽ mất động năng cần thiết để ở lại trong quỹ đạo, và sẽ xoắn ốc vào hạt nhân. Lại không bền nữa!
Tính bền vững của nguyên tử bây giờ được giải thích theo cơ học lượng tử. Các lực tĩnh điện kéo electron lại gần hạt nhân nhất có thể, nhưng electron buộc phải ở lại trải ra trong không gian trên một khoảng cách được cho bởi nguyên lý bất định. Nếu nó bị giam trong một không gian quá nhỏ, nó sẽ có độ bất định lớn về động lượng. Nhưng điều đó có nghĩa là nó sẽ có năng lượng kỳ vọng cao — mà nó sẽ dùng để thoát khỏi lực hút điện. Kết quả ròng là một cân bằng điện không quá khác với ý tưởng của Thomson — chỉ có điều nó là điện tích âm được trải ra (vì khối lượng của electron nhỏ hơn rất nhiều so với khối lượng của proton).
5–5 Trường của một đường điện tích
Định luật Gauss có thể được dùng để giải một số bài toán trường tĩnh điện liên quan tới một đối xứng đặc biệt — thường là đối xứng cầu, đối xứng trụ, hoặc đối xứng phẳng. Trong phần còn lại của chương này chúng ta sẽ áp dụng định luật Gauss cho một vài bài toán như vậy. Sự dễ dàng mà các bài toán này có thể được giải quyết có thể cho ấn tượng sai rằng phương pháp rất mạnh, và rằng người ta phải có thể tiếp tục tới nhiều bài toán khác nữa. Không may là không phải vậy. Người ta sẽ sớm cạn kiệt danh sách các bài toán có thể được giải quyết dễ dàng bằng định luật Gauss. Trong các chương sau chúng ta sẽ phát triển các phương pháp mạnh hơn để khảo sát các trường tĩnh điện.
Làm ví dụ đầu tiên của chúng ta, chúng ta xét một hệ có đối xứng trụ. Giả sử chúng ta có một thanh rất dài, tích điện đều. Với điều này, chúng ta muốn nói rằng các điện tích được phân bố đều dọc theo một đường thẳng dài vô hạn, với điện tích λ trên một đơn vị độ dài. Chúng ta muốn biết điện trường. Dĩ nhiên bài toán có thể được giải quyết bằng cách lấy tích phân đóng góp vào trường từ mọi phần của đường. Chúng ta sẽ làm nó mà không cần lấy tích phân, bằng cách dùng định luật Gauss và một ít phỏng đoán. Trước hết, chúng ta đoán rằng điện trường sẽ hướng xuyên tâm ra ngoài khỏi đường. Bất kỳ thành phần dọc trục nào từ các điện tích ở một phía sẽ được đi kèm bởi một thành phần dọc trục bằng như vậy từ các điện tích ở phía kia. Kết quả chỉ có thể là một trường xuyên tâm. Cũng có vẻ hợp lý rằng trường phải có cùng độ lớn tại mọi điểm cách đường một khoảng bằng nhau. Điều này là hiển nhiên. (Có thể không dễ chứng minh, nhưng nó đúng nếu không gian là đối xứng — như chúng ta tin là vậy.)
Chúng ta có thể dùng định luật Gauss theo cách sau. Chúng ta xét một mặt tưởng tượng có hình dạng của một hình trụ đồng trục với đường, như được chỉ ra trong Hình 5–5. Theo định luật Gauss, tổng thông lượng của E ra khỏi mặt này bằng điện tích bên trong chia cho ε0. Vì trường được giả sử là vuông góc với mặt, thành phần pháp tuyến là độ lớn của trường. Chúng ta hãy gọi nó là E. Ngoài ra, đặt bán kính của hình trụ là r, và độ dài của nó được lấy là một đơn vị, để thuận tiện. Thông lượng qua mặt trụ bằng E nhân với diện tích của mặt, tức là 2πr. Thông lượng qua hai mặt đầu bằng không vì điện trường tiếp tuyến với chúng. Tổng điện tích bên trong mặt của chúng ta đúng là λ, vì độ dài của đường ở phía trong là một đơn vị. Định luật Gauss khi đó cho
E·2πr = λ/ε0,
E = λ/(2πε0r). (5.2)
Điện trường của một đường điện tích phụ thuộc tỉ lệ nghịch vào lũy thừa bậc nhất của khoảng cách từ đường.
5–6 Một tấm điện tích; hai tấm
Làm một ví dụ khác, chúng ta sẽ tính trường từ một tấm điện tích phẳng đều. Giả sử tấm có phạm vi vô hạn và điện tích trên một đơn vị diện tích là σ. Chúng ta sẽ thực hiện một phỏng đoán nữa. Các xét đoán về đối xứng dẫn chúng ta tin rằng hướng của trường ở khắp mọi nơi đều vuông góc với mặt phẳng, và nếu chúng ta không có trường từ bất kỳ điện tích nào khác trên thế giới, các trường phải như nhau (về độ lớn) ở mỗi phía. Lần này chúng ta chọn cho mặt Gauss của chúng ta một hộp chữ nhật cắt qua tấm, như được chỉ ra trong Hình 5–6. Hai mặt song song với tấm sẽ có diện tích bằng nhau, gọi là A. Trường vuông góc với hai mặt này, và song song với bốn mặt còn lại. Tổng thông lượng là E nhân với diện tích của mặt thứ nhất, cộng E nhân với diện tích của mặt đối diện — không có đóng góp từ bốn mặt còn lại. Tổng điện tích được bao trong hộp là σA. Cân bằng thông lượng với điện tích bên trong, chúng ta có
EA + EA = σA/ε0,
từ đó,
E = σ/(2ε0), (5.3)
một kết quả đơn giản nhưng quan trọng.
Bạn có thể nhớ rằng cùng kết quả này đã được thu được trong một chương trước bằng một phép tích phân trên toàn bộ mặt. Định luật Gauss cho chúng ta đáp án, trong trường hợp này, nhanh hơn nhiều (dù nó không áp dụng được tổng quát như phương pháp trước).
Chúng ta nhấn mạnh rằng kết quả này chỉ áp dụng cho trường do các điện tích trên tấm gây ra. Nếu có các điện tích khác trong vùng lân cận, tổng trường ở gần tấm sẽ là tổng của (5.3) và trường của các điện tích khác. Định luật Gauss khi đó sẽ chỉ cho chúng ta biết rằng
E1 + E2 = σ/ε0, (5.4)
trong đó E1 và E2 là các trường hướng ra ngoài ở mỗi phía của tấm.
Bài toán hai tấm song song với các mật độ điện tích bằng nhau và trái dấu, +σ và −σ, cũng đơn giản không kém nếu chúng ta lại giả sử rằng thế giới bên ngoài khá đối xứng. Hoặc bằng cách chồng chập hai đáp án cho một tấm đơn độc hoặc bằng cách dựng một hộp Gauss bao gồm cả hai tấm, dễ thấy rằng trường bằng không ở bên ngoài hai tấm (Hình 5–7a). Bằng cách xét một hộp chỉ bao gồm mặt này hoặc mặt kia, như trong (b) hoặc (c) của hình, có thể thấy rằng trường giữa hai tấm phải gấp đôi trường đối với một tấm đơn độc. Kết quả là
E (giữa hai tấm) = σ/ε0, (5.5)
E (bên ngoài) = 0. (5.6)
5–7 Một khối cầu điện tích; một vỏ cầu
Chúng ta đã (trong Chương 4) dùng định luật Gauss để tìm trường bên ngoài một vùng cầu tích điện đều. Cùng phương pháp cũng có thể cho chúng ta trường tại các điểm bên trong quả cầu. Chẳng hạn, phép tính có thể được dùng để thu được một xấp xỉ tốt cho trường bên trong một hạt nhân nguyên tử. Bất chấp sự kiện rằng các proton trong một hạt nhân đẩy lẫn nhau, chúng, vì các lực hạt nhân mạnh, được trải ra gần như đều khắp thân của hạt nhân.
Giả sử chúng ta có một quả cầu bán kính R được lấp đầy đều bởi điện tích. Đặt ρ là điện tích trên một đơn vị thể tích. Lại dùng các lập luận về đối xứng, chúng ta giả sử trường có hướng xuyên tâm và bằng nhau về độ lớn tại mọi điểm ở cùng khoảng cách từ tâm. Để tìm trường tại khoảng cách r từ tâm, chúng ta lấy một mặt Gauss cầu bán kính r (r<R), như được chỉ ra trong Hình 5–8. Thông lượng ra khỏi mặt này là
4πr2E.
Điện tích bên trong mặt Gauss của chúng ta là thể tích bên trong nhân với ρ, hoặc
(4/3)πr3ρ.
Dùng định luật Gauss, suy ra rằng độ lớn của trường được cho bởi
E = ρr/(3ε0) (r<R). (5.7)
Bạn có thể thấy rằng công thức này cho kết quả đúng đối với r=R. Điện trường tỉ lệ với bán kính và hướng xuyên tâm ra ngoài.
Các lập luận chúng ta vừa đưa ra cho một khối cầu tích điện đều cũng có thể được áp dụng cho một vỏ cầu mỏng điện tích. Giả sử rằng trường ở khắp mọi nơi đều có hướng xuyên tâm và đối xứng cầu, người ta thu được ngay từ định luật Gauss rằng trường bên ngoài vỏ giống như trường của một điện tích điểm, trong khi trường ở khắp mọi nơi bên trong vỏ bằng không. (Một mặt Gauss bên trong vỏ sẽ không chứa điện tích nào.)
5–8 Trường của một điện tích điểm có đúng là 1/r2 không?
Nếu chúng ta nhìn chi tiết hơn một chút vào cách trường bên trong vỏ trở nên bằng không, chúng ta có thể thấy rõ hơn vì sao định luật Gauss đúng chỉ vì lực Coulomb phụ thuộc đúng vào bình phương khoảng cách. Xét bất kỳ điểm P nào bên trong một vỏ cầu điện tích đều. Hãy tưởng tượng một hình nón nhỏ có đỉnh tại P và mở rộng tới bề mặt của quả cầu, nơi nó cắt ra một diện tích mặt nhỏ Δa1, như trong Hình 5–9. Một hình nón đối xứng đúng hệt mở ra từ phía đối diện của P sẽ cắt ra diện tích mặt Δa2. Nếu các khoảng cách từ P tới hai yếu tố diện tích này là r1 và r2, các diện tích theo tỉ lệ
Δa2/Δa1 = r22/r12.
(Bạn có thể chỉ ra điều này bằng hình học đối với bất kỳ điểm P nào bên trong quả cầu.)
Nếu bề mặt của quả cầu được tích điện đều, điện tích Δq trên mỗi yếu tố diện tích tỉ lệ với diện tích, vì vậy
Δq2/Δq1 = Δa2/Δa1.
Định luật Coulomb khi đó nói rằng tỉ lệ của độ lớn các trường được tạo ra tại P bởi hai yếu tố mặt này là
E2/E1 = (Δq2/r22)/(Δq1/r12) = 1.
Các trường hủy nhau đúng hệt. Vì mọi phần của mặt đều có thể được ghép cặp theo cùng cách, tổng trường tại P bằng không. Nhưng bạn có thể thấy rằng điều đó sẽ không như vậy nếu số mũ của r trong định luật Coulomb không đúng bằng hai.
Tính đúng đắn của định luật Gauss phụ thuộc vào định luật nghịch đảo bình phương của Coulomb. Nếu định luật lực không đúng là nghịch đảo bình phương, sẽ không đúng rằng trường bên trong một quả cầu tích điện đều đúng bằng không. Chẳng hạn, nếu lực thay đổi nhanh hơn, như, chẳng hạn, lũy thừa nghịch đảo bậc ba của r, phần đó của mặt ở gần một điểm bên trong hơn sẽ tạo ra một trường lớn hơn trường do phần ở xa hơn tạo ra, dẫn tới một trường xuyên tâm hướng vào trong đối với một điện tích mặt dương. Những kết luận này gợi ý một cách thanh nhã để tìm ra xem định luật nghịch đảo bình phương có đúng chính xác không. Chúng ta chỉ cần xác định xem trường bên trong một vỏ cầu tích điện đều có đúng bằng không hay không.
Thật may mắn là một phương pháp như vậy tồn tại. Thường thì việc đo một đại lượng vật lý tới độ chính xác cao là khó — một kết quả một phần trăm có thể không quá khó, nhưng người ta sẽ đi đo, chẳng hạn, định luật Coulomb tới độ chính xác một phần tỉ như thế nào? Gần như chắc chắn là không thể với các kỹ thuật tốt nhất hiện có để đo lực giữa hai vật tích điện với độ chính xác như vậy. Nhưng bằng cách chỉ xác định rằng các điện trường bên trong một quả cầu tích điện nhỏ hơn một giá trị nào đó, chúng ta có thể thực hiện một phép đo rất chính xác về tính đúng đắn của định luật Gauss, và do đó của sự phụ thuộc nghịch đảo bình phương của định luật Coulomb. Điều người ta thực hiện, trên thực tế, là so sánh định luật lực với một nghịch đảo bình phương lý tưởng. Những so sánh như vậy giữa các thứ bằng nhau, hoặc gần như vậy, thường là cơ sở của các phép đo vật lý chính xác nhất.
Chúng ta sẽ quan sát trường bên trong một quả cầu tích điện như thế nào? Một cách là thử nạp điện cho một vật bằng cách chạm nó vào phía trong của một vật dẫn cầu. Bạn biết rằng nếu chúng ta chạm một quả cầu kim loại nhỏ vào một vật tích điện rồi chạm nó vào một điện nghiệm, cái đo sẽ trở nên tích điện và kim sẽ di chuyển khỏi số không (Hình 5–10a). Quả cầu nhặt được điện tích vì có các điện trường bên ngoài quả cầu tích điện khiến các điện tích chạy lên (hoặc chạy khỏi) quả cầu nhỏ. Nếu bạn thực hiện cùng thí nghiệm bằng cách chạm quả cầu nhỏ vào phía trong của quả cầu tích điện, bạn sẽ thấy rằng không có điện tích nào được mang tới điện nghiệm. Với một thí nghiệm như vậy, bạn có thể dễ dàng chỉ ra rằng trường bên trong tối đa là vài phần trăm của trường bên ngoài, và rằng định luật Gauss ít nhất là đúng một cách gần đúng.
Dường như Benjamin Franklin là người đầu tiên nhận thấy rằng trường bên trong một vỏ dẫn bằng không. Kết quả dường như lạ lùng đối với ông. Khi ông báo cáo quan sát của mình cho Priestley, người sau gợi ý rằng nó có thể liên quan tới một định luật nghịch đảo bình phương, vì người ta biết rằng một vỏ cầu vật chất không tạo ra trường hấp dẫn nào bên trong. Nhưng Coulomb đã không đo sự phụ thuộc nghịch đảo bình phương cho tới 18 năm sau, và định luật Gauss còn đến sau nữa.
Định luật Gauss đã được kiểm tra cẩn thận bằng cách đặt một điện nghiệm bên trong một quả cầu lớn và quan sát xem có độ lệch nào xảy ra khi quả cầu được nạp tới điện áp cao không. Một kết quả không luôn luôn thu được. Biết hình học của thiết bị và độ nhạy của cái đo, có thể tính trường tối thiểu sẽ được quan sát. Từ con số này có thể đặt một giới hạn trên cho độ lệch của số mũ khỏi hai. Nếu chúng ta viết rằng lực tĩnh điện phụ thuộc vào r−2+ε, chúng ta có thể đặt một cận trên cho ε. Bằng phương pháp này Maxwell xác định rằng ε nhỏ hơn 1/10.000. Thí nghiệm được lặp lại và cải tiến vào năm 1936 bởi Plimpton và Lawton. Họ tìm thấy rằng số mũ của Coulomb khác hai ít hơn một phần tỉ.
Bây giờ điều đó nêu lên một câu hỏi thú vị: Chúng ta biết định luật Coulomb này chính xác tới mức nào trong các hoàn cảnh khác nhau? Các thí nghiệm chúng ta vừa mô tả đo sự phụ thuộc của trường vào khoảng cách đối với các khoảng cách vài chục centimét. Nhưng còn các khoảng cách bên trong một nguyên tử — chẳng hạn trong nguyên tử hiđrô, nơi chúng ta tin rằng electron bị hút về phía hạt nhân bởi cùng định luật nghịch đảo bình phương — thì sao? Đúng là cơ học lượng tử phải được dùng cho phần cơ học của hành vi của electron, nhưng lực là lực tĩnh điện thông thường. Trong cách phát biểu bài toán, thế năng của một electron phải được biết như một hàm của khoảng cách từ hạt nhân, và định luật Coulomb cho một điện thế thay đổi tỉ lệ nghịch với lũy thừa bậc nhất của khoảng cách. Số mũ được biết chính xác tới mức nào đối với các khoảng cách nhỏ như vậy? Nhờ các phép đo rất cẩn thận vào năm 1947 bởi Lamb và Retherford về các vị trí tương đối của các mức năng lượng của hiđrô, chúng ta biết rằng số mũ lại đúng tới một phần tỉ trên quy mô nguyên tử — tức là, tại các khoảng cách cỡ một angstrom (10−8 centimét).
Độ chính xác của phép đo Lamb–Retherford là có thể lại nhờ một “tai nạn” vật lý. Hai trong các trạng thái của một nguyên tử hiđrô được kỳ vọng có năng lượng gần như giống hệt nhau chỉ nếu điện thế thay đổi đúng như 1/r. Một phép đo đã được thực hiện về hiệu rất nhỏ của các năng lượng bằng cách tìm tần số ω của các photon được phát ra hoặc hấp thụ trong sự chuyển đổi từ trạng thái này sang trạng thái kia, dùng cho hiệu năng lượng ΔE = ℏω. Các tính toán chỉ ra rằng ΔE sẽ khác một cách đáng chú ý so với điều đã được quan sát nếu số mũ trong định luật lực 1/r2 khác 2 tới một phần tỉ.
Số mũ tương tự có đúng tại các khoảng cách còn ngắn hơn không? Từ các phép đo trong vật lý hạt nhân, người ta tìm thấy rằng có các lực tĩnh điện tại các khoảng cách hạt nhân điển hình — ở khoảng 10−13 centimét — và rằng chúng vẫn thay đổi gần đúng như nghịch đảo bình phương. Chúng ta sẽ xem xét một ít bằng chứng trong một chương sau. Định luật Coulomb, chúng ta biết, vẫn còn hiệu lực, ít nhất tới một mức nào đó, tại các khoảng cách cỡ 10−13 centimét.
Còn 10−14 centimét thì sao? Phạm vi này có thể được khảo sát bằng cách bắn phá các proton bằng các electron rất giàu năng lượng và quan sát cách chúng bị tán xạ. Các kết quả cho tới nay dường như chỉ ra rằng định luật thất bại tại các khoảng cách này. Lực điện dường như yếu hơn khoảng 10 lần tại các khoảng cách nhỏ hơn 10−14 centimét. Bây giờ có hai cách giải thích có thể. Một là định luật Coulomb không hoạt động tại các khoảng cách nhỏ như vậy; cách khác là các vật của chúng ta, các electron và proton, không phải là các điện tích điểm. Có lẽ hoặc electron hoặc proton, hoặc cả hai, là một loại vệt nào đó. Hầu hết các nhà vật lý thích nghĩ rằng điện tích của proton bị nhòe ra. Chúng ta biết rằng các proton tương tác mạnh với các meson. Điều này hàm ý rằng một proton sẽ, thỉnh thoảng, tồn tại như một neutron với một meson π+ xung quanh nó. Một cấu hình như vậy sẽ tác dụng — trung bình — như một quả cầu nhỏ điện tích dương. Chúng ta biết rằng trường từ một quả cầu điện tích không thay đổi như 1/r2 suốt đường vào tâm. Rất có thể điện tích proton bị nhòe ra, nhưng lý thuyết về các pion vẫn khá không hoàn chỉnh, vì vậy cũng có thể là định luật Coulomb thất bại tại các khoảng cách rất nhỏ. Câu hỏi vẫn còn mở.
Một điểm nữa: Định luật nghịch đảo bình phương có hiệu lực tại các khoảng cách như một mét và cũng tại 10−10 m; nhưng hệ số 1/4πε0 có như nhau không? Đáp án là có; ít nhất tới độ chính xác 15 phần triệu.
Bây giờ chúng ta quay lại một vấn đề quan trọng chúng ta đã xem nhẹ khi nói về việc kiểm chứng thực nghiệm định luật Gauss. Bạn có thể đã băn khoăn làm thế nào thí nghiệm của Maxwell hoặc của Plimpton và Lawton có thể cho một độ chính xác như vậy trừ khi vật dẫn cầu họ dùng là một quả cầu hoàn hảo. Một độ chính xác một phần tỉ thực sự là một điều phải đạt được, và bạn có thể hỏi liệu họ có thể làm một quả cầu chính xác tới mức đó không. Chắc chắn sẽ có các bất thường nhỏ trong bất kỳ quả cầu thật nào và nếu có các bất thường, chúng sẽ không tạo ra các trường bên trong sao? Bây giờ chúng ta muốn chỉ ra rằng không cần thiết phải có một quả cầu hoàn hảo. Thực tế, có thể chỉ ra rằng không có trường bên trong một vỏ dẫn kín có hình dạng bất kỳ. Nói cách khác, các thí nghiệm phụ thuộc vào 1/r2, nhưng không liên quan gì tới việc mặt là một quả cầu (ngoại trừ việc với một quả cầu sẽ dễ tính hơn các trường sẽ là gì nếu Coulomb đã sai), vì vậy chúng ta xét chủ đề đó bây giờ. Để chỉ ra điều này, cần biết một số tính chất của các vật dẫn điện.
5–9 Các trường của một vật dẫn
Một vật dẫn điện là một chất rắn chứa nhiều electron “tự do”. Các electron có thể di chuyển tự do trong vật liệu, nhưng không thể rời khỏi bề mặt. Trong một kim loại có rất nhiều electron tự do đến mức bất kỳ điện trường nào cũng sẽ khiến một số lượng lớn chúng chuyển động. Hoặc dòng electron được tạo ra như vậy phải liên tục được giữ chuyển động bởi các nguồn năng lượng bên ngoài, hoặc chuyển động của các electron sẽ ngừng khi chúng xả hết các nguồn tạo ra trường ban đầu. Trong các tình huống “tĩnh điện”, chúng ta không xét các nguồn dòng liên tục (chúng sẽ được xét sau khi chúng ta nghiên cứu tĩnh từ học), vì vậy các electron chỉ di chuyển cho tới khi chúng đã tự sắp xếp để tạo ra điện trường bằng không ở khắp nơi bên trong vật dẫn. (Điều này thường xảy ra trong một phần nhỏ của một giây.)
Nếu còn bất kỳ trường nào sót lại, trường này sẽ thúc thêm nhiều electron nữa di chuyển; đáp án tĩnh điện duy nhất là trường bằng không ở khắp mọi nơi bên trong.
Bây giờ hãy xét phía trong của một vật tích điện dẫn điện. (Với “phía trong” chúng ta muốn nói trong chính kim loại.) Vì kim loại là một vật dẫn, trường bên trong phải bằng không, và vì vậy gradient của điện thế φ bằng không. Điều đó có nghĩa là φ không thay đổi từ điểm này tới điểm khác. Mọi vật dẫn là một vùng đẳng thế, và bề mặt của nó là một mặt đẳng thế. Vì trong một vật liệu dẫn điện, điện trường ở khắp mọi nơi đều bằng không, divergence của E bằng không, và theo định luật Gauss, mật độ điện tích ở phía trong của vật dẫn phải bằng không.
Nếu không thể có điện tích nào trong một vật dẫn, làm thế nào nó có thể bao giờ được tích điện? Chúng ta muốn nói gì khi chúng ta nói một vật dẫn “được tích điện”? Các điện tích ở đâu? Đáp án là chúng cư trú tại bề mặt của vật dẫn, nơi có các lực mạnh giữ chúng không rời đi — chúng không hoàn toàn “tự do.” Khi chúng ta nghiên cứu vật lý chất rắn, chúng ta sẽ thấy rằng điện tích dư của bất kỳ vật dẫn nào, trung bình, nằm trong vòng một hoặc hai lớp nguyên tử của bề mặt. Đối với các mục đích hiện tại của chúng ta, đủ chính xác khi nói rằng nếu bất kỳ điện tích nào được đặt lên, hoặc vào trong, một vật dẫn, tất cả đều tích tụ trên bề mặt; không có điện tích ở phía trong của một vật dẫn.
Chúng ta cũng lưu ý rằng điện trường ngay bên ngoài bề mặt của một vật dẫn phải vuông góc với bề mặt. Không thể có thành phần tiếp tuyến. Nếu có một thành phần tiếp tuyến, các electron sẽ di chuyển dọc theo bề mặt; không có lực nào ngăn điều đó. Nói cách khác: chúng ta biết rằng các đường sức điện trường phải luôn đi vuông góc với một mặt đẳng thế.
Chúng ta cũng, dùng định luật Gauss, có thể liên hệ cường độ trường ngay bên ngoài một vật dẫn với mật độ cục bộ của điện tích tại bề mặt. Đối với một mặt Gauss, chúng ta lấy một hộp trụ nhỏ một nửa ở trong và một nửa ở ngoài bề mặt, như hộp được chỉ ra trong Hình 5–11. Chỉ có đóng góp vào tổng thông lượng của E từ phía của hộp ở bên ngoài vật dẫn. Trường ngay bên ngoài bề mặt của một vật dẫn khi đó là
Ngay bên ngoài một vật dẫn:
E = σ/ε0, (5.8)
trong đó σ là mật độ điện tích mặt cục bộ.
Vì sao một tấm điện tích trên một vật dẫn tạo ra một trường khác với chỉ một tấm điện tích? Nói cách khác, vì sao (5.8) lớn gấp đôi (5.3)? Lý do, dĩ nhiên, là chúng ta đã không nói đối với vật dẫn rằng không có các điện tích “khác” xung quanh. Thực tế, phải có một ít để làm cho E = 0 trong vật dẫn. Các điện tích trong vùng lân cận trực tiếp của một điểm P trên bề mặt, thực tế, cho một trường Ecục bộ = σcục bộ/2ε0 cả bên trong lẫn bên ngoài bề mặt. Nhưng mọi điện tích còn lại trên vật dẫn “âm mưu” tạo ra một trường bổ sung tại điểm P bằng về độ lớn với Ecục bộ. Tổng trường bên trong đi tới không và trường bên ngoài đi tới 2Ecục bộ = σ/ε0.
5–10 Trường trong một hốc của một vật dẫn
Bây giờ chúng ta quay lại bài toán về vật chứa rỗng — một vật dẫn có một hốc. Không có trường trong kim loại, nhưng còn trong hốc thì sao? Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu hốc trống thì không có trường nào trong đó, bất kể hình dạng của vật dẫn hay hốc là gì — chẳng hạn đối với hốc trong Hình 5–12.
Hãy xét một mặt Gauss, như S trong Hình 5–12, bao quanh hốc nhưng ở khắp mọi nơi đều nằm trong vật liệu dẫn. Ở khắp mọi nơi trên S trường bằng không, vì vậy không có thông lượng qua S và tổng điện tích bên trong S bằng không. Đối với một vỏ cầu, người ta khi đó có thể lập luận từ đối xứng rằng không thể có điện tích nào bên trong. Nhưng, nói chung, chúng ta chỉ có thể nói rằng có lượng bằng nhau của điện tích dương và điện tích âm trên bề mặt trong của vật dẫn. Có thể có một điện tích mặt dương trên một phần và một điện tích âm ở đâu đó khác, như được chỉ ra trong Hình 5–12. Một điều như vậy không thể bị loại trừ bởi định luật Gauss.
Điều thực sự xảy ra, dĩ nhiên, là bất kỳ các điện tích bằng nhau và trái dấu nào trên bề mặt trong cũng sẽ trượt xung quanh để gặp nhau, hủy nhau hoàn toàn. Chúng ta có thể chỉ ra rằng chúng phải hủy nhau hoàn toàn bằng cách dùng định luật rằng lưu thông của E luôn bằng không (tĩnh điện học). Giả sử có các điện tích trên một số phần của bề mặt trong. Chúng ta biết rằng sẽ phải có một số bằng nhau các điện tích trái dấu ở đâu đó khác. Bây giờ bất kỳ đường nào của E cũng sẽ phải bắt đầu trên các điện tích dương và kết thúc trên các điện tích âm (vì chúng ta chỉ xét trường hợp không có điện tích tự do trong hốc). Bây giờ hãy tưởng tượng một vòng Γ đi qua hốc dọc theo một đường sức từ một điện tích dương nào đó tới một điện tích âm nào đó, và quay trở lại điểm xuất phát của nó qua vật dẫn (như trong Hình 5–12). Tích phân dọc theo một đường sức như vậy từ các điện tích dương tới các điện tích âm sẽ không bằng không. Tích phân qua kim loại bằng không, vì E = 0. Vì vậy chúng ta sẽ có
∮ E·ds ≠ 0???
Nhưng tích phân đường của E xung quanh bất kỳ vòng kín nào trong một trường tĩnh điện luôn bằng không. Vì vậy không thể có trường nào bên trong hốc trống, cũng không có điện tích nào trên bề mặt trong.
Bạn nên chú ý cẩn thận một điều kiện quan trọng chúng ta đã đưa ra. Chúng ta luôn nói “bên trong một hốc trống.” Nếu một ít điện tích được đặt tại một số vị trí cố định trong hốc — như trên một vật cách điện hoặc trên một vật dẫn nhỏ được cách điện khỏi vật dẫn chính — thì có thể có các trường trong hốc. Nhưng khi đó nó không phải là một hốc “trống.”
Chúng ta đã chỉ ra rằng nếu một hốc hoàn toàn được bao quanh bởi một vật dẫn, không phân bố tĩnh nào của các điện tích ở bên ngoài có thể bao giờ tạo ra bất kỳ trường nào bên trong. Điều này giải thích nguyên lý “che chắn” các thiết bị điện bằng cách đặt chúng trong một hộp kim loại. Các lập luận tương tự có thể được dùng để chỉ ra rằng không phân bố tĩnh nào của các điện tích bên trong một vỏ dẫn kín được nối đất có thể tạo ra bất kỳ trường nào ở bên ngoài.
Việc che chắn hoạt động theo cả hai chiều! Trong tĩnh điện học — nhưng không trong các trường thay đổi — các trường ở hai phía của một vỏ dẫn kín được nối đất hoàn toàn độc lập.
Bây giờ bạn thấy vì sao có thể kiểm tra định luật Coulomb tới độ chính xác lớn như vậy. Hình dạng của vỏ rỗng được dùng không quan trọng. Nó không cần phải là hình cầu; nó có thể là hình vuông! Nếu định luật Gauss là đúng hệt, trường bên trong luôn bằng không. Bây giờ bạn cũng hiểu vì sao an toàn khi ngồi bên trong cực điện áp cao của một máy phát Van de Graaff một triệu volt, mà không lo bị điện giật — là nhờ định luật Gauss.