Chương 7: Điện trường trong các hoàn cảnh khác nhau (tiếp theo)

7–1  Các phương pháp tìm trường tĩnh điện

Chương này là sự tiếp nối của việc chúng ta xét các đặc trưng của điện trường trong các tình huống cụ thể khác nhau. Trước hết chúng ta sẽ mô tả một số phương pháp công phu hơn để giải các bài toán với các vật dẫn. Người ta không kỳ vọng rằng các phương pháp cao cấp hơn này có thể được làm chủ vào lúc này. Tuy nhiên, có thể là thú vị khi có một ít ý niệm về các loại bài toán có thể được giải, dùng các kỹ thuật có thể được học trong các khóa học cao cấp hơn. Sau đó chúng ta xét hai ví dụ trong đó phân bố điện tích không cố định cũng không được mang bởi một vật dẫn, mà thay vào đó được quyết định bởi một định luật vật lý nào khác.

Như chúng ta đã thấy trong Chương 6, bài toán trường tĩnh điện về cơ bản là đơn giản khi phân bố của các điện tích được chỉ định; nó chỉ đòi hỏi việc tính một tích phân. Tuy nhiên, khi có các vật dẫn hiện diện, các biến chứng nảy sinh bởi vì phân bố điện tích trên các vật dẫn không được biết ban đầu; điện tích phải tự phân bố trên bề mặt của vật dẫn sao cho vật dẫn là một mặt đẳng thế. Việc giải các bài toán như vậy không trực tiếp cũng không đơn giản.

Chúng ta đã xét một phương pháp gián tiếp để giải các bài toán như vậy, trong đó chúng ta tìm các mặt đẳng thế cho một phân bố điện tích đã chỉ định nào đó và thay một trong chúng bằng một bề mặt dẫn điện. Bằng cách này chúng ta có thể xây dựng một danh mục các nghiệm đặc biệt cho các vật dẫn có hình dạng của các quả cầu, mặt phẳng, v.v. Việc sử dụng các ảnh, được mô tả trong Chương 6, là một ví dụ của một phương pháp gián tiếp. Chúng ta sẽ mô tả một phương pháp nữa trong chương này.

Nếu bài toán cần giải không thuộc lớp các bài toán mà chúng ta có thể dựng các nghiệm bằng phương pháp gián tiếp, chúng ta buộc phải giải bài toán bằng một phương pháp trực tiếp hơn. Bài toán toán học của phương pháp trực tiếp là việc giải phương trình Laplace,

∇²ϕ = 0,   (7.1)

tuân theo điều kiện rằng ϕ là một hằng số thích hợp trên các biên nhất định — các bề mặt của các vật dẫn. Các bài toán liên quan đến việc giải một phương trình trường vi phân tuân theo các điều kiện biên nhất định được gọi là các bài toán giá trị biên. Chúng đã là đối tượng của nhiều nghiên cứu toán học. Trong trường hợp các vật dẫn có hình dạng phức tạp, không có các phương pháp giải tích tổng quát. Ngay cả một bài toán đơn giản như bài toán một lon kim loại hình trụ tích điện được đóng kín ở cả hai đầu — một lon bia — cũng trình bày các khó khăn toán học ghê gớm. Nó chỉ có thể được giải một cách gần đúng, dùng các phương pháp số. Các phương pháp giải duy nhất có tính tổng quát là các phương pháp số.

Có một vài bài toán mà đối với chúng phương trình (7.1) có thể được giải trực tiếp. Chẳng hạn, bài toán một vật dẫn tích điện có hình dạng của một ellipsoid tròn xoay có thể được giải chính xác theo các hàm đặc biệt đã biết. Nghiệm cho một đĩa mỏng có thể thu được bằng cách cho ellipsoid trở thành dẹt vô hạn. Theo một cách tương tự, nghiệm cho một cây kim có thể thu được bằng cách cho ellipsoid trở thành dài vô hạn. Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh rằng các phương pháp trực tiếp duy nhất có thể áp dụng tổng quát là các kỹ thuật số.

Các bài toán giá trị biên cũng có thể được giải bằng các phép đo trên một mô hình tương tự vật lý. Phương trình Laplace nảy sinh trong nhiều tình huống vật lý khác nhau: trong dòng nhiệt ở trạng thái dừng, trong dòng chất lưu không quay, trong dòng điện trong một môi trường trải rộng, và trong độ võng của một màng đàn hồi. Thường có thể thiết lập một mô hình vật lý tương tự với một bài toán điện mà chúng ta muốn giải. Bằng phép đo một đại lượng tương tự thích hợp trên mô hình, nghiệm của bài toán quan tâm có thể được xác định. Một ví dụ của kỹ thuật tương tự là việc sử dụng bể điện phân để giải các bài toán hai chiều trong tĩnh điện học. Điều này hoạt động bởi vì phương trình vi phân cho thế trong một môi trường dẫn điện đều là giống như đối với một chân không.

Có nhiều tình huống vật lý trong đó các biến thiên của các trường vật lý theo một hướng bằng không, hoặc có thể bỏ qua so với các biến thiên theo hai hướng còn lại. Các bài toán như vậy được gọi là hai chiều; trường chỉ phụ thuộc vào hai tọa độ. Chẳng hạn, nếu chúng ta đặt một sợi dây tích điện dài dọc theo trục z, thì đối với các điểm không quá xa sợi dây, điện trường phụ thuộc vào x và y, nhưng không phụ thuộc vào z; bài toán là hai chiều. Vì trong một bài toán hai chiều ∂ϕ/∂z = 0, phương trình cho ϕ trong không gian tự do là

∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂y² = 0.   (7.2)

Bởi vì phương trình hai chiều tương đối đơn giản, có một phạm vi rộng các điều kiện mà dưới đó nó có thể được giải bằng giải tích. Thực ra, có một kỹ thuật toán học gián tiếp rất mạnh vốn phụ thuộc vào một định lý từ toán học của các hàm của một biến phức, và chúng ta sẽ mô tả nó bây giờ.

7–2  Trường hai chiều; các hàm của biến phức

Biến phức 𝔷 được định nghĩa là

𝔷 = x + iy.

(Đừng nhầm 𝔷 với tọa độ z, mà chúng ta bỏ qua trong cuộc thảo luận sau đây bởi vì chúng ta giả thiết không có sự phụ thuộc z của các trường.) Mỗi điểm theo x và y khi đó tương ứng với một số phức 𝔷. Chúng ta có thể dùng 𝔷 như một biến (phức) duy nhất, và với nó viết các loại hàm toán học thông thường F(𝔷). Chẳng hạn,

F(𝔷) = 𝔷²,

hay

F(𝔷) = 1/𝔷³,

hay

F(𝔷) = 𝔷 ln 𝔷,

vân vân.

Cho bất kỳ F(𝔷) cụ thể nào, chúng ta có thể thay 𝔷 = x + iy, và chúng ta có một hàm của x và y — với các phần thực và phần ảo. Chẳng hạn,

𝔷² = (x+iy)² = x² − y² + 2ixy.   (7.3)

Bất kỳ hàm F(𝔷) nào cũng có thể được viết dưới dạng tổng của một phần thuần thực và một phần thuần ảo, mỗi phần là một hàm của x và y:

F(𝔷) = U(x,y) + iV(x,y),   (7.4)

trong đó U(x,y) và V(x,y) là các hàm thực. Như vậy từ bất kỳ hàm phức F(𝔷) nào, hai hàm mới U(x,y) và V(x,y) có thể được suy ra. Chẳng hạn, F(𝔷) = 𝔷² cho chúng ta hai hàm

U(x,y) = x² − y²,   (7.5)

và

V(x,y) = 2xy.   (7.6)

Bây giờ chúng ta đến một định lý toán học kỳ diệu vốn thú vị đến mức chúng ta sẽ để việc chứng minh nó cho một trong các khóa học toán của bạn. (Chúng ta không nên tiết lộ mọi bí ẩn của toán học, nếu không môn học đó sẽ trở nên quá tẻ nhạt.) Nó là thế này. Đối với bất kỳ “hàm thông thường” nào (các nhà toán học sẽ định nghĩa nó tốt hơn) các hàm U và V tự động thỏa mãn các hệ thức

∂U/∂x = ∂V/∂y,   (7.7)

∂V/∂x = −∂U/∂y.   (7.8)

Từ đó suy ra ngay rằng mỗi hàm trong các hàm U và V đều thỏa mãn phương trình Laplace:

∂²U/∂x² + ∂²U/∂y² = 0,   (7.9)

∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² = 0.   (7.10)

Các phương trình này rõ ràng đúng cho các hàm của (7.5) và (7.6).

Như vậy, bắt đầu với bất kỳ hàm thông thường nào, chúng ta có thể đi tới hai hàm U(x,y) và V(x,y), mà cả hai đều là các nghiệm của phương trình Laplace trong hai chiều. Mỗi hàm biểu diễn một thế tĩnh điện có thể. Chúng ta có thể chọn bất kỳ hàm F(𝔷) nào và nó hẳn biểu diễn một bài toán điện trường nào đó — thực ra, hai bài toán, bởi vì U và V mỗi cái biểu diễn các nghiệm. Chúng ta có thể viết ra bao nhiêu nghiệm tùy ý — bằng cách chỉ bịa ra các hàm — sau đó chúng ta chỉ phải tìm bài toán đi kèm với mỗi nghiệm. Nghe có vẻ ngược, nhưng đó là một cách tiếp cận có thể.

Để là ví dụ, hãy xem hàm F(𝔷) = 𝔷² cho chúng ta vật lý gì. Từ nó chúng ta thu được hai hàm thế của (7.5) và (7.6). Để xem hàm U thuộc về bài toán nào, chúng ta giải tìm các mặt đẳng thế bằng cách đặt U = A, một hằng số:

x² − y² = A.

Đây là phương trình của một hypebol chữ nhật. Đối với các giá trị khác nhau của A, chúng ta thu được các hypebol được chỉ trong Hình 7–1. Khi A = 0, chúng ta thu được trường hợp đặc biệt là các đường thẳng chéo qua gốc tọa độ.

Một họ mặt đẳng thế như vậy tương ứng với trường tại một góc vuông phía trong của một vật dẫn. Nếu chúng ta có hai điện cực có hình dạng như các điện cực trong Hình 7–2, được giữ ở các thế khác nhau, trường gần góc được đánh dấu C sẽ trông đúng như trường phía trên gốc tọa độ trong Hình 7–1. Các đường liền là các mặt đẳng thế, và các đường đứt nét ở các góc vuông tương ứng với các đường của E.

Trong khi tại các điểm nhọn hay các chỗ lồi điện trường có xu hướng cao, nó có xu hướng thấp trong các chỗ lõm hay hõm.

Nghiệm chúng ta đã tìm cũng tương ứng với nghiệm cho một điện cực hình hypebol gần một góc vuông, hay cho hai hypebol ở các thế thích hợp. Bạn sẽ để ý rằng trường của Hình 7–1 có một tính chất thú vị. Thành phần x của điện trường, E_x, được cho bởi

E_x = −∂ϕ/∂x = −2x.

Điện trường tỉ lệ với khoảng cách từ trục. Sự thật này được dùng để chế tạo các thiết bị (gọi là các thấu kính tứ cực) vốn hữu ích cho việc hội tụ các chùm hạt (xem Mục 29–7). Trường mong muốn thường thu được bằng cách dùng bốn điện cực hình hypebol, như trong Hình 7–3. Đối với các đường sức điện trường trong Hình 7–3, chúng ta chỉ đơn giản sao chép từ Hình 7–1 họ các đường cong đứt nét biểu diễn V = hằng số. Chúng ta có một món hời! Các đường cong cho V = hằng số trực giao với các đường cong cho U = hằng số vì các phương trình (7.7) và (7.8). Bất cứ khi nào chúng ta chọn một hàm F(𝔷), chúng ta thu được từ U và V cả các mặt đẳng thế lẫn các đường sức. Và bạn sẽ nhớ rằng chúng ta đã giải một trong hai bài toán, tùy thuộc vào họ đường cong nào chúng ta gọi là các mặt đẳng thế.

Để là ví dụ thứ hai, hãy xét hàm

F(𝔷) = √𝔷.   (7.11)

Nếu chúng ta viết

𝔷 = x + iy = ρe^iθ,

trong đó

ρ = √(x²+y²)

và

tan θ = y/x,

thì

F(𝔷) = ρ^1/2e^iθ/2 = ρ^1/2(cos (θ/2) + i sin (θ/2)),

từ đó

F(𝔷) = [((x²+y²)^1/2+x)/2]^1/2 + i[((x²+y²)^1/2−x)/2]^1/2.   (7.12)

Các đường cong cho U(x,y) = A và V(x,y) = B, dùng U và V từ phương trình (7.12), được vẽ trong Hình 7–4. Một lần nữa, có nhiều tình huống có thể được mô tả bởi các trường này. Một trong các tình huống thú vị nhất là trường gần mép của một bản mỏng. Nếu đường B = 0 — ở phía phải của trục y — biểu diễn một bản mỏng tích điện, các đường sức gần nó được cho bởi các đường cong cho các giá trị khác nhau của A. Tình huống vật lý được chỉ trong Hình 7–5.

Các ví dụ nữa là

F(𝔷) = 𝔷^2/3,   (7.13)

vốn cho trường bên ngoài một góc chữ nhật,

F(𝔷) = ln 𝔷,   (7.14)

vốn cho trường cho một điện tích đường, và

F(𝔷) = 1/𝔷,   (7.15)

vốn cho trường cho vật tương tự hai chiều của một lưỡng cực điện, tức là hai điện tích đường song song có cực tính đối nghịch, rất gần nhau.

Chúng ta sẽ không theo đuổi chủ đề này xa hơn trong khóa học này, nhưng nên nhấn mạnh rằng mặc dù kỹ thuật biến phức thường mạnh, nó bị giới hạn ở các bài toán hai chiều; và ngoài ra, nó là một phương pháp gián tiếp.

7–3  Dao động plasma

Bây giờ chúng ta xét một số tình huống vật lý trong đó trường được quyết định không phải bởi các điện tích cố định, cũng không phải bởi các điện tích trên các bề mặt dẫn điện, mà bởi một sự kết hợp của hai hiện tượng vật lý. Nói cách khác, trường sẽ bị chi phối đồng thời bởi hai tập hợp phương trình: (1) các phương trình từ tĩnh điện học liên hệ các điện trường với phân bố điện tích, và (2) một phương trình từ một phần khác của vật lý vốn quyết định vị trí hay chuyển động của các điện tích khi có mặt trường.

Ví dụ đầu tiên mà chúng ta sẽ thảo luận là một ví dụ động lực học, trong đó chuyển động của các điện tích bị chi phối bởi các định luật Newton. Một ví dụ đơn giản của một tình huống như vậy xảy ra trong một plasma, vốn là một khí bị ion hóa gồm các ion và các electron tự do phân bố trên một miền không gian. Tầng điện ly — một lớp trên của khí quyển — là một ví dụ của một plasma như vậy. Các tia tử ngoại từ mặt trời đánh bật các electron khỏi các phân tử của không khí, tạo ra các electron tự do và các ion. Trong một plasma như vậy, các ion dương nặng hơn rất nhiều so với các electron, nên chúng ta có thể bỏ qua chuyển động của ion, so với chuyển động của các electron.

Cho n₀ là mật độ của các electron trong trạng thái cân bằng, không bị nhiễu loạn. Giả thiết các phân tử bị ion hóa đơn, đây cũng phải là mật độ của các ion dương, vì plasma trung hòa điện (khi không bị nhiễu loạn). Bây giờ chúng ta giả sử rằng các electron bằng cách nào đó bị di chuyển khỏi cân bằng và hỏi điều gì xảy ra. Nếu mật độ của các electron trong một miền được tăng lên, chúng sẽ đẩy nhau và có xu hướng quay về các vị trí cân bằng của chúng. Khi các electron di chuyển về các vị trí ban đầu của chúng, chúng thu động năng, và thay vì dừng lại trong cấu hình cân bằng của chúng, chúng vọt quá đích. Chúng sẽ dao động qua lại. Tình huống tương tự với điều xảy ra trong các sóng âm, trong đó lực khôi phục là áp suất khí. Trong một plasma, lực khôi phục là lực điện tác dụng lên các electron.

Để đơn giản cuộc thảo luận, chúng ta sẽ chỉ lo về một tình huống trong đó các chuyển động đều theo một chiều, chẳng hạn x. Giả sử rằng các electron ban đầu ở x thì, tại thời điểm t, bị dịch chuyển khỏi các vị trí cân bằng của chúng một lượng nhỏ s(x,t). Vì các electron đã bị dịch chuyển, mật độ của chúng, nói chung, sẽ thay đổi. Sự thay đổi mật độ dễ dàng được tính. Tham chiếu Hình 7–6, các electron ban đầu chứa giữa hai mặt phẳng a và b đã di chuyển và bây giờ được chứa giữa các mặt phẳng a′ và b′. Số electron đã ở giữa a và b tỉ lệ với n₀Δx; cùng số đó bây giờ được chứa trong khoảng không gian mà bề rộng của nó là Δx + Δs. Mật độ đã thay đổi thành

n = n₀Δx/(Δx+Δs) = n₀/[1+(Δs/Δx)].   (7.16)

Nếu sự thay đổi mật độ là nhỏ, chúng ta có thể viết [dùng khai triển nhị thức cho (1+ε)⁻¹]

n = n₀(1 − Δs/Δx).   (7.17)

Chúng ta giả thiết rằng các ion dương không di chuyển đáng kể (vì quán tính lớn hơn nhiều), nên mật độ của chúng vẫn là n₀. Mỗi electron mang điện tích −q_e, nên mật độ điện tích trung bình tại bất kỳ điểm nào được cho bởi

ρ = −(n − n₀)q_e,

hay

ρ = n₀q_e ds/dx,   (7.18)

(trong đó chúng ta đã viết dạng vi phân cho Δs/Δx).

Mật độ điện tích liên hệ với điện trường bởi các phương trình Maxwell, cụ thể là

∇·E = ρ/ε₀.   (7.19)

Nếu bài toán quả thực là một chiều (và nếu không có các trường nào khác ngoài trường do các độ dịch chuyển của các electron gây ra), điện trường E có một thành phần duy nhất E_x. Phương trình (7.19), cùng với (7.18), cho

∂E_x/∂x = (n₀q_e/ε₀) ∂s/∂x.   (7.20)

Tích phân phương trình (7.20) cho

E_x = (n₀q_e/ε₀) s + K.   (7.21)

Vì E_x = 0 khi s = 0, hằng số tích phân K bằng không.

Lực tác dụng lên một electron ở vị trí đã dịch chuyển là

F_x = −(n₀q_e²/ε₀) s,   (7.22)

một lực khôi phục tỉ lệ với độ dịch chuyển s của electron. Điều này dẫn đến một dao động điều hòa của các electron. Phương trình chuyển động của một electron bị dịch chuyển là

m_e d²s/dt² = −(n₀q_e²/ε₀) s.   (7.23)

Chúng ta thấy rằng s sẽ thay đổi điều hòa. Sự thay đổi theo thời gian của nó sẽ như cos ω_pt, hay — dùng ký hiệu số mũ của Tập I — như

e^iω_pt.   (7.24)

Tần số dao động ω_p được xác định từ (7.23):

ω_p² = n₀q_e²/(ε₀m_e),   (7.25)

và được gọi là tần số plasma. Nó là một con số đặc trưng của plasma.

Khi xử lý các điện tích electron, nhiều người thích biểu diễn các đáp án của họ theo một đại lượng e² được định nghĩa bởi

e² = q_e²/4πε₀ = 2,3068×10⁻²⁸ newton·mét².   (7.26)

Dùng quy ước này, phương trình (7.25) trở thành

ω_p² = 4πe²n₀/m_e,   (7.27)

đó là dạng bạn sẽ tìm thấy trong hầu hết các cuốn sách.

Như vậy chúng ta đã thấy rằng một nhiễu loạn của một plasma sẽ thiết lập các dao động tự do của các electron quanh các vị trí cân bằng của chúng ở tần số riêng ω_p, vốn tỉ lệ với căn bậc hai của mật độ các electron. Các electron plasma hành xử như một hệ cộng hưởng, như các hệ chúng ta đã mô tả trong Chương 23 của Tập I.

Cộng hưởng riêng này của một plasma có một số hiệu ứng thú vị. Chẳng hạn, nếu người ta cố truyền một sóng vô tuyến qua tầng điện ly, người ta thấy rằng nó chỉ có thể xuyên qua nếu tần số của nó cao hơn tần số plasma. Nếu không, tín hiệu bị phản xạ trở lại. Chúng ta phải dùng các tần số cao nếu chúng ta muốn liên lạc với một vệ tinh trong không gian. Mặt khác, nếu chúng ta muốn liên lạc với một đài vô tuyến ở bên kia đường chân trời, chúng ta phải dùng các tần số thấp hơn tần số plasma, để tín hiệu sẽ bị phản xạ trở lại trái đất.

Một ví dụ thú vị khác của dao động plasma xảy ra trong các kim loại. Trong một kim loại, chúng ta có một plasma bị chứa gồm các ion dương và các electron tự do. Mật độ n₀ rất cao, nên ω_p cũng vậy. Nhưng hẳn vẫn có thể quan sát các dao động electron. Bây giờ, theo cơ học lượng tử, một dao động tử điều hòa với tần số riêng ω_p có các mức năng lượng cách nhau một lượng năng lượng ℏω_p. Nếu, khi đó, người ta bắn các electron qua, chẳng hạn, một lá nhôm, và thực hiện các phép đo rất cẩn thận về năng lượng electron ở phía bên kia, người ta có thể kỳ vọng thấy rằng các electron đôi khi mất năng lượng ℏω_p cho các dao động plasma. Điều này quả thực có xảy ra. Lần đầu tiên người ta quan sát bằng thực nghiệm vào năm 1936 rằng các electron có năng lượng vài trăm đến vài nghìn electron vôn mất năng lượng theo từng bước nhảy khi tán xạ khỏi hay đi qua một lá kim loại mỏng. Hiệu ứng đã không được hiểu cho đến năm 1953 khi Bohm và Pines¹ chứng tỏ rằng các quan sát có thể được giải thích theo các kích thích lượng tử của các dao động plasma trong kim loại.

7–4  Các hạt keo trong một chất điện phân

Chúng ta chuyển sang một hiện tượng khác, trong đó vị trí của các điện tích bị chi phối bởi một thế vốn nảy sinh một phần từ chính các điện tích đó. Các hiệu ứng sinh ra ảnh hưởng một cách quan trọng đến hành vi của các chất keo. Một chất keo gồm một huyền phù trong nước của các hạt nhỏ tích điện mà, tuy vi mô, xét từ góc độ nguyên tử vẫn rất lớn. Nếu các hạt keo không tích điện, chúng sẽ có xu hướng đông tụ thành các cục lớn; nhưng vì điện tích của chúng, chúng đẩy nhau và ở lại trong huyền phù.

Bây giờ nếu cũng có một ít muối hòa tan trong nước, nó sẽ bị phân ly thành các ion dương và âm. (Một dung dịch các ion như vậy được gọi là một chất điện phân.) Các ion âm bị hút về phía các hạt keo (giả thiết điện tích của chúng là dương) và các ion dương bị đẩy ra. Chúng ta sẽ xác định cách các ion bao quanh một hạt keo như vậy phân bố trong không gian.

Để giữ các ý tưởng đơn giản, chúng ta sẽ lại chỉ giải một trường hợp một chiều. Nếu chúng ta nghĩ một hạt keo như một quả cầu có bán kính rất lớn — trên quy mô nguyên tử! — khi đó chúng ta có thể xem một phần nhỏ bề mặt của nó như một mặt phẳng. (Bất cứ khi nào người ta đang cố hiểu một hiện tượng mới, việc lấy một mô hình có phần quá đơn giản là một ý hay; sau đó, khi đã hiểu bài toán với mô hình đó, người ta có khả năng tốt hơn để tiến tới xử lý phép tính chính xác hơn.)

Chúng ta giả sử rằng phân bố của các ion tạo ra một mật độ điện tích ρ(x), và một điện thế ϕ, liên hệ bởi định luật tĩnh điện ∇²ϕ = −ρ/ε₀ hay, đối với các trường chỉ thay đổi theo một chiều, bởi

d²ϕ/dx² = −ρ/ε₀.   (7.28)

Bây giờ giả sử có một thế ϕ(x) như vậy, các ion sẽ tự phân bố trong đó như thế nào? Điều này chúng ta có thể xác định bằng các nguyên lý của cơ học thống kê. Bài toán của chúng ta khi đó là xác định ϕ sao cho mật độ điện tích sinh ra từ cơ học thống kê cũng thỏa mãn (7.28).

Theo cơ học thống kê (xem Chương 40, Tập I), các hạt ở cân bằng nhiệt trong một trường lực được phân bố sao cho mật độ n của các hạt tại vị trí x được cho bởi

n(x) = n₀e^−U(x)/kT,   (7.29)

trong đó U(x) là thế năng, k là hằng số Boltzmann, và T là nhiệt độ tuyệt đối.

Chúng ta giả thiết rằng các ion mang một điện tích electron, dương hay âm. Tại khoảng cách x từ bề mặt của một hạt keo, một ion dương sẽ có thế năng q_eϕ(x), nên

U(x) = q_eϕ(x).

Mật độ của các ion dương, n₊, khi đó là

n₊(x) = n₀e^{−q_eϕ(x)/kT}.

Tương tự, mật độ của các ion âm là

n₋(x) = n₀e^+q_eϕ(x)/kT.

Tổng mật độ điện tích là

ρ = q_en₊ − q_en₋,

hay

ρ = q_en₀(e^−q_eϕ/kT − e^+q_eϕ/kT).   (7.30)

Kết hợp điều này với phương trình (7.28), chúng ta thấy rằng thế ϕ phải thỏa mãn

d²ϕ/dx² = −(q_en₀/ε₀)(e^−q_eϕ/kT − e^+q_eϕ/kT).   (7.31)

Phương trình này dễ dàng được giải trong trường hợp tổng quát [nhân cả hai vế với 2(dϕ/dx), và tích phân theo x], nhưng để giữ bài toán đơn giản hết mức có thể, chúng ta sẽ chỉ xét ở đây trường hợp giới hạn trong đó các thế là nhỏ hay nhiệt độ T là cao. Trường hợp ϕ nhỏ tương ứng với một dung dịch loãng. Đối với các trường hợp này số mũ là nhỏ, và chúng ta có thể gần đúng

e^±q_eϕ/kT = 1 ± q_eϕ/kT.   (7.32)

Phương trình (7.31) khi đó cho

d²ϕ/dx² = +[2n₀q_e²/(ε₀kT)] ϕ(x).   (7.33)

Hãy để ý rằng lần này dấu ở vế phải là dương. Các nghiệm cho ϕ không phải là dao động, mà là hàm mũ.

Nghiệm tổng quát của phương trình (7.33) là

ϕ = Ae^−x/D + Be^+x/D,   (7.34)

với

D² = ε₀kT/(2n₀q_e²).   (7.35)

Các hằng số A và B phải được xác định từ các điều kiện của bài toán. Trong trường hợp của chúng ta, B phải bằng không; nếu không thế sẽ đi tới vô hạn đối với x lớn. Vậy chúng ta có

ϕ = Ae^−x/D,   (7.36)

trong đó A là thế tại x = 0, bề mặt của hạt keo.

Thế giảm đi một thừa số 1/e mỗi lần khoảng cách tăng thêm D, như được chỉ trong đồ thị của Hình 7–7. Con số D được gọi là độ dài Debye, và là một thước đo của bề dày của vỏ ion bao quanh một hạt tích điện lớn trong một chất điện phân. Phương trình (7.35) nói rằng vỏ trở nên mỏng hơn khi nồng độ của các ion (n₀) tăng hoặc khi nhiệt độ giảm.

Hằng số A trong phương trình (7.36) dễ dàng thu được nếu chúng ta biết mật độ điện tích mặt σ trên hạt keo. Chúng ta biết rằng

E_n = E_x(0) = σ/ε₀.   (7.37)

Nhưng E cũng là gradient của −ϕ:

E_x(0) = −[dϕ/dx]₀ = +A/D,   (7.38)

từ đó chúng ta được

A = σD/ε₀.   (7.39)

Dùng kết quả này trong (7.36), chúng ta thấy (bằng cách lấy x = 0) rằng thế của hạt keo là

ϕ(0) = σD/ε₀.   (7.40)

Bạn sẽ để ý rằng thế này giống như hiệu điện thế trên một tụ điện với khoảng cách giữa các bản là D và một mật độ điện tích mặt σ.

Chúng ta đã nói rằng các hạt keo được giữ tách nhau ra bởi lực đẩy điện của chúng. Nhưng bây giờ chúng ta thấy rằng trường cách bề mặt của một hạt một khoảng nhỏ bị giảm đi bởi vỏ ion tụ lại quanh nó. Nếu các vỏ trở nên đủ mỏng, các hạt có một cơ hội tốt để va vào nhau. Khi đó chúng sẽ dính lại, và chất keo sẽ đông tụ và kết tủa ra khỏi chất lỏng. Từ phân tích của chúng ta, chúng ta hiểu tại sao thêm đủ muối vào một chất keo sẽ khiến nó kết tủa ra. Quá trình được gọi là “muối kết xuất một chất keo” (salting out a colloid).

Một ví dụ thú vị khác là hiệu ứng mà một dung dịch muối có trên các phân tử protein. Một phân tử protein là một chuỗi dài, phức tạp và linh hoạt của các axit amin. Phân tử có các điện tích khác nhau trên nó, và đôi khi xảy ra trường hợp có một điện tích ròng, chẳng hạn âm, vốn được phân bố dọc theo chuỗi. Vì sự đẩy lẫn nhau của các điện tích âm, chuỗi protein được giữ căng ra. Ngoài ra, nếu có các phân tử chuỗi tương tự khác hiện diện trong dung dịch, chúng sẽ được giữ tách nhau ra bởi cùng các hiệu ứng đẩy. Do đó, chúng ta có thể có một huyền phù của các phân tử chuỗi trong một chất lỏng. Nhưng nếu chúng ta thêm muối vào chất lỏng, chúng ta thay đổi các tính chất của huyền phù. Khi muối được thêm vào dung dịch, làm giảm khoảng cách Debye, các phân tử chuỗi có thể tiến lại gần nhau, và cũng có thể cuộn lại. Nếu đủ muối được thêm vào dung dịch, các phân tử chuỗi sẽ kết tủa ra khỏi dung dịch. Có nhiều hiệu ứng hóa học thuộc loại này có thể được hiểu theo các lực điện.

7–5  Trường tĩnh điện của một lưới

Để là ví dụ cuối cùng, chúng tôi muốn mô tả một tính chất thú vị khác của điện trường. Nó là một tính chất được tận dụng trong thiết kế các dụng cụ điện, trong việc chế tạo các ống chân không, và cho các mục đích khác. Đó là đặc trưng của điện trường gần một lưới các sợi dây tích điện. Để làm bài toán đơn giản hết mức có thể, hãy xét một mảng các sợi dây song song nằm trong một mặt phẳng, các sợi dây vô hạn dài và có khoảng cách đều nhau giữa chúng.

Nếu chúng ta nhìn vào trường ở khoảng cách lớn phía trên mặt phẳng của các sợi dây, chúng ta thấy một điện trường hằng số, đúng như thể điện tích được trải đều trên một mặt phẳng. Khi chúng ta tiến lại gần lưới các sợi dây, trường bắt đầu lệch khỏi trường đều chúng ta đã tìm thấy ở các khoảng cách lớn từ lưới. Chúng ta muốn ước lượng chúng ta phải tới gần lưới đến mức nào để thấy các biến thiên đáng kể trong thế. Hình 7–8 cho một phác họa thô của các mặt đẳng thế tại các khoảng cách khác nhau từ lưới. Chúng ta càng tới gần lưới, các biến thiên càng lớn. Khi chúng ta di chuyển song song với lưới, chúng ta quan sát thấy rằng trường dao động theo một cách tuần hoàn.

Bây giờ chúng ta đã thấy (Chương 50, Tập I) rằng bất kỳ đại lượng tuần hoàn nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các sóng sin (định lý Fourier). Hãy xem chúng ta có thể tìm một hàm điều hòa thích hợp thỏa mãn các phương trình trường của chúng ta hay không.

Nếu các sợi dây nằm trong mặt phẳng xy và chạy song song với trục y, khi đó chúng ta có thể thử các số hạng như

ϕ(x,z) = F_n(z) cos (2πnx/a),   (7.41)

trong đó a là khoảng cách giữa các sợi dây và n là số hài. (Chúng ta đã giả thiết các sợi dây dài, nên sẽ không có biến thiên theo y.) Một nghiệm hoàn chỉnh sẽ được tạo thành từ một tổng của các số hạng như vậy cho n = 1, 2, 3, …

Nếu đây là một thế hợp lệ, nó phải thỏa mãn phương trình Laplace trong miền phía trên các sợi dây (nơi không có điện tích). Tức là,

∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂z² = 0.

Thử phương trình này trên ϕ trong (7.41), chúng ta thấy rằng

−(4π²n²/a²) F_n(z) cos (2πnx/a) + [d²F_n/dz²] cos (2πnx/a) = 0,   (7.42)

hay rằng F_n(z) phải thỏa mãn

d²F_n/dz² = (4π²n²/a²) F_n.   (7.43)

Vậy chúng ta phải có

F_n = A_ne^−z/z₀,   (7.44)

trong đó

z₀ = a/2πn.   (7.45)

Chúng ta đã thấy rằng nếu có một thành phần Fourier của trường thuộc hài n, thành phần đó sẽ giảm theo hàm mũ với một khoảng cách đặc trưng z₀ = a/2πn. Đối với hài thứ nhất (n = 1), biên độ giảm đi một thừa số e^−2π (một sự giảm lớn) mỗi lần chúng ta tăng z thêm một khoảng cách lưới a. Các hài khác tắt còn nhanh hơn nữa khi chúng ta rời xa lưới. Chúng ta thấy rằng nếu chúng ta chỉ cách lưới một khoảng vài lần khoảng cách a, trường rất gần như đều, tức là các số hạng dao động là nhỏ. Dĩ nhiên, sẽ luôn còn trường “hài không”

ϕ₀ = −E₀z

để cho trường đều tại z lớn. Đối với một nghiệm hoàn chỉnh, chúng ta sẽ kết hợp số hạng này với một tổng các số hạng như (7.41) với F_n từ (7.44). Các hệ số A_n sẽ được điều chỉnh sao cho tổng toàn phần, khi lấy đạo hàm, sẽ cho một điện trường khớp với mật độ điện tích λ của các sợi dây lưới.

Phương pháp chúng ta vừa phát triển có thể được dùng để giải thích tại sao việc chắn tĩnh điện bằng một màn chắn thường tốt chẳng kém gì một tấm kim loại đặc. Ngoại trừ trong một khoảng cách từ màn chắn bằng vài lần khoảng cách giữa các sợi dây của màn chắn, trường bên trong một màn chắn kín bằng không. Chúng ta thấy tại sao màn chắn bằng đồng — nhẹ hơn và rẻ hơn tấm đồng — thường được dùng để chắn các thiết bị điện nhạy cảm khỏi các trường nhiễu bên ngoài.