Chương 13: Từ tĩnh học

13–1  Từ trường

Lực tác dụng lên một điện tích phụ thuộc không chỉ vào nó ở đâu, mà còn vào nó đang chuyển động nhanh như thế nào. Mỗi điểm trong không gian được đặc trưng bởi hai đại lượng vector xác định lực tác dụng lên bất kỳ điện tích nào. Thứ nhất, có lực điện, cho một thành phần lực không phụ thuộc vào chuyển động của điện tích. Chúng ta mô tả nó bằng điện trường, E. Thứ hai, có một thành phần lực bổ sung, gọi là lực từ, phụ thuộc vào vận tốc của điện tích. Lực từ này có một tính chất hướng kỳ lạ: Tại bất kỳ điểm cụ thể nào trong không gian, cả hướng của lực lẫn độ lớn của nó đều phụ thuộc vào hướng chuyển động của hạt: ở mỗi tức thời, lực luôn vuông góc với vector vận tốc; đồng thời, tại bất kỳ điểm cụ thể nào, lực luôn vuông góc với một hướng cố định trong không gian (xem Hình 13–1); và cuối cùng, độ lớn của lực tỉ lệ với thành phần của vận tốc vuông góc với hướng duy nhất này. Người ta có thể mô tả mọi hành vi này bằng cách định nghĩa vector từ trường B, vector này chỉ định cả hướng duy nhất trong không gian lẫn hằng số tỉ lệ với vận tốc, và viết lực từ là qv×B. Tổng lực điện từ tác dụng lên một điện tích khi đó có thể được viết là

F = q(E + v×B).   (13.1)

Đây được gọi là lực Lorentz.

Lực từ dễ dàng được chứng minh bằng cách đưa một nam châm thanh lại gần một ống tia cathode. Sự lệch của chùm electron cho thấy sự hiện diện của nam châm dẫn đến các lực tác dụng lên các electron theo phương ngang đối với hướng chuyển động của chúng, như chúng ta đã mô tả trong Chương 12 của Tập I.

Đơn vị của từ trường B rõ ràng là một newton·giây trên coulomb-mét. Cùng đơn vị đó cũng là một volt·giây trên mét². Nó cũng được gọi là một weber trên mét vuông.

13–2  Dòng điện; sự bảo toàn điện tích

Chúng ta trước hết xét cách chúng ta có thể hiểu các lực từ tác dụng lên các sợi dây mang dòng điện. Để làm điều này, chúng ta định nghĩa mật độ dòng điện có nghĩa là gì. Các dòng điện là các electron hay các điện tích khác đang chuyển động với một sự trôi hay dòng thuần. Chúng ta có thể biểu diễn dòng điện tích bằng một vector cho lượng điện tích đi qua trong một đơn vị diện tích và một đơn vị thời gian qua một phần tử mặt vuông góc với dòng (đúng như chúng ta đã làm cho trường hợp dòng nhiệt). Chúng ta gọi đây là mật độ dòng điện và biểu diễn nó bằng vector j. Nó hướng dọc theo chuyển động của các điện tích. Nếu chúng ta lấy một diện tích nhỏ ΔS tại một nơi cho trước trong vật liệu, lượng điện tích chảy qua diện tích đó trong một đơn vị thời gian là

j·n ΔS,   (13.2)

trong đó n là vector đơn vị pháp tuyến với ΔS.

Mật độ dòng điện liên quan đến vận tốc dòng trung bình của các điện tích. Giả sử chúng ta có một phân bố điện tích mà chuyển động trung bình của nó là một sự trôi với vận tốc v. Khi phân bố này đi qua một phần tử mặt ΔS, điện tích Δq đi qua phần tử mặt trong một thời gian Δt bằng điện tích chứa trong một hình hộp song song có đáy là ΔS và chiều cao là v Δt, như được chỉ ra trong Hình 13–2. Thể tích của hình hộp là hình chiếu của ΔS vuông góc với v nhân với v Δt, mà khi nhân với mật độ điện tích ρ sẽ cho Δq. Vậy

Δq = ρv·n ΔS Δt.

Điện tích trên một đơn vị thời gian khi đó là ρv·n ΔS, từ đó chúng ta được

j = ρv.   (13.3)

Nếu phân bố điện tích gồm các điện tích riêng lẻ, chẳng hạn các electron, mỗi cái có điện tích q và chuyển động với vận tốc trung bình v, thì mật độ dòng điện là

j = Nqv,   (13.4)

trong đó N là số điện tích trên một đơn vị thể tích.

Tổng điện tích đi qua trong một đơn vị thời gian qua bất kỳ mặt S nào được gọi là dòng điện, I. Nó bằng tích phân của thành phần pháp tuyến của dòng qua mọi phần tử của mặt:

I = ∫_S j·n dS   (13.5)

(xem Hình 13–3).

Dòng điện I ra khỏi một mặt kín S biểu diễn tốc độ mà điện tích rời thể tích V được bao bởi S. Một trong những định luật cơ bản của vật lý là điện tích không thể bị phá hủy; nó không bao giờ mất đi hay được tạo ra. Các điện tích có thể di chuyển từ nơi này sang nơi khác nhưng không bao giờ xuất hiện từ hư không. Chúng ta nói rằng điện tích được bảo toàn. Nếu có một dòng điện thuần ra khỏi một mặt kín, lượng điện tích bên trong phải giảm một lượng tương ứng (Hình 13–4). Do đó chúng ta có thể viết định luật bảo toàn điện tích là

∫_{mọi mặt kín} j·n dS = −d/dt (Q_{bên trong}).   (13.6)

Điện tích bên trong có thể được viết như một tích phân thể tích của mật độ điện tích:

Q_{bên trong} = ∫_{V bên trong S} ρ dV.   (13.7)

Nếu chúng ta áp dụng (13.6) cho một thể tích nhỏ ΔV, chúng ta biết rằng tích phân ở vế trái là ∇·j ΔV. Điện tích bên trong là ρ ΔV, cho nên sự bảo toàn điện tích cũng có thể được viết là

∇·j = −∂ρ/∂t   (13.8)

(Lại là toán học của Gauss một lần nữa!).

13–3  Lực từ tác dụng lên một dòng điện

Bây giờ chúng ta sẵn sàng tìm lực tác dụng lên một sợi dây mang dòng điện trong một từ trường. Dòng điện gồm các hạt tích điện chuyển động với vận tốc v dọc theo sợi dây. Mỗi điện tích cảm thấy một lực ngang

F = qv×B

(Hình 13–5a). Nếu có N điện tích như vậy trên một đơn vị thể tích, số trong một thể tích nhỏ ΔV của sợi dây là N ΔV. Tổng lực từ ΔF trên thể tích ΔV là tổng của các lực trên các điện tích riêng lẻ, tức là,

ΔF = (N ΔV)(qv×B).

Nhưng Nqv chính là j, cho nên

ΔF = j×B ΔV   (13.9)

(Hình 13–5b). Lực trên một đơn vị thể tích là j×B.

Nếu dòng điện đều trên một sợi dây có diện tích tiết diện là A, chúng ta có thể lấy phần tử thể tích là một hình trụ có diện tích đáy A và độ dài ΔL. Khi đó

ΔF = j×B A ΔL.   (13.10)

Bây giờ chúng ta có thể gọi jA là dòng điện vector I trong sợi dây. (Độ lớn của nó là dòng điện trong sợi dây, và hướng của nó dọc theo sợi dây.) Khi đó

ΔF = I×B ΔL.   (13.11)

Lực trên một đơn vị độ dài trên một sợi dây là I×B.

Phương trình này cho kết quả quan trọng rằng lực từ tác dụng lên một sợi dây, do chuyển động của các điện tích trong nó, chỉ phụ thuộc vào tổng dòng điện, và không phụ thuộc vào lượng điện tích được mang bởi mỗi hạt — hay thậm chí dấu của nó! Lực từ tác dụng lên một sợi dây gần một nam châm dễ dàng được chỉ ra bằng cách quan sát sự lệch của nó khi một dòng điện được bật lên, như đã mô tả trong Chương 1 (xem Hình 1–6).

13–4  Từ trường của các dòng điện dừng; định luật Ampère

Chúng ta đã thấy rằng có một lực tác dụng lên một sợi dây khi có một từ trường, được tạo ra, chẳng hạn, bởi một nam châm. Từ nguyên lý tác dụng bằng phản tác dụng, chúng ta có thể kỳ vọng rằng sẽ có một lực tác dụng lên nguồn của từ trường, tức là, lên nam châm, khi có một dòng điện chạy qua sợi dây.¹ Thực sự có các lực như vậy, như được thấy bởi sự lệch của một kim la bàn gần một sợi dây mang dòng điện. Bây giờ chúng ta biết rằng các nam châm cảm thấy các lực từ các nam châm khác, cho nên điều đó có nghĩa là khi có một dòng điện trong một sợi dây, chính sợi dây tạo ra một từ trường. Các điện tích chuyển động, vậy, tạo ra một từ trường. Bây giờ chúng ta muốn cố khám phá các định luật xác định cách các từ trường như vậy được tạo ra. Câu hỏi là: Cho một dòng điện, nó tạo ra từ trường nào? Đáp án cho câu hỏi này đã được xác định bằng thực nghiệm nhờ ba thí nghiệm then chốt và một lập luận lý thuyết xuất sắc do Ampère đưa ra. Chúng ta sẽ bỏ qua diễn biến lịch sử thú vị này và chỉ nói rằng một số lượng lớn các thí nghiệm đã chứng minh tính đúng đắn của các phương trình Maxwell. Chúng ta lấy chúng làm điểm xuất phát của mình. Nếu chúng ta bỏ các số hạng liên quan đến các đạo hàm theo thời gian trong các phương trình này, chúng ta được các phương trình của từ tĩnh học:

∇·B = 0   (13.12)

c²∇×B = j/ϵ₀.   (13.13)

Các phương trình này chỉ đúng nếu mọi mật độ điện tích là không đổi và mọi dòng điện là dừng, cho nên các điện trường và từ trường không thay đổi theo thời gian — mọi trường đều “tĩnh”.

Chúng ta có thể nhận xét rằng khá nguy hiểm khi nghĩ rằng có một thứ như một tình huống từ tĩnh, vì phải có các dòng điện để có được một từ trường nào đó — và các dòng điện chỉ có thể đến từ các điện tích chuyển động. “Từ tĩnh học”, do đó, là một phép gần đúng. Nó đề cập đến một loại tình huống động đặc biệt với một số lượng lớn các điện tích đang chuyển động, mà chúng ta có thể gần đúng bằng một dòng điện tích dừng. Chỉ khi đó chúng ta mới có thể nói về một mật độ dòng điện j không thay đổi theo thời gian. Chủ đề này chính xác hơn nên được gọi là nghiên cứu về các dòng điện dừng. Giả thiết rằng mọi trường đều dừng, chúng ta bỏ mọi số hạng trong ∂E/∂t và ∂B/∂t khỏi các phương trình Maxwell đầy đủ, các phương trình (2.41), và thu được hai phương trình (13.12) và (13.13) ở trên. Cũng lưu ý rằng vì divergence của curl của bất kỳ vector nào nhất thiết bằng không, phương trình (13.13) đòi hỏi ∇·j = 0. Điều này chỉ đúng, theo phương trình (13.8), nếu ∂ρ/∂t bằng không. Nhưng điều đó phải đúng nếu E không thay đổi theo thời gian, cho nên các giả thiết của chúng ta là nhất quán.

Yêu cầu ∇·j = 0 có nghĩa là chúng ta chỉ có thể có các điện tích chảy trong các đường khép kín lại với chính chúng. Chẳng hạn, chúng có thể chảy trong các sợi dây tạo thành các vòng kín đầy đủ — gọi là các mạch điện. Các mạch, dĩ nhiên, có thể chứa các máy phát hay pin giữ cho các điện tích chảy. Nhưng chúng có thể không bao gồm các tụ điện đang nạp hay đang xả. (Dĩ nhiên chúng ta sẽ mở rộng lý thuyết sau này để bao gồm các trường động, nhưng trước hết chúng ta muốn lấy trường hợp đơn giản hơn của các dòng điện dừng.)

Bây giờ hãy nhìn vào các phương trình (13.12) và (13.13) để xem chúng có nghĩa là gì. Phương trình thứ nhất nói rằng divergence của B bằng không. So sánh nó với phương trình tương tự trong tĩnh điện học, phương trình nói rằng ∇·E = ρ/ϵ₀, chúng ta có thể kết luận rằng không có tương tự từ của một điện tích. Không có các điện tích từ mà từ đó các đường của B có thể xuất phát. Nếu chúng ta nghĩ theo “các đường” của trường vector B, chúng không bao giờ bắt đầu và chúng không bao giờ dừng lại. Vậy chúng đến từ đâu? Các từ trường “xuất hiện” khi có các dòng điện; chúng có một curl tỉ lệ với mật độ dòng điện. Ở bất cứ đâu có các dòng điện, ở đó có các đường sức từ trường tạo thành các vòng quanh các dòng điện. Vì các đường của B không bắt đầu hay kết thúc, chúng sẽ thường khép kín lại với chính chúng, tạo thành các vòng kín. Nhưng cũng có thể có các tình huống phức tạp trong đó các đường không phải là các vòng kín đơn giản. Nhưng dù chúng làm gì, chúng không bao giờ phân kỳ từ các điểm. Chưa bao giờ có điện tích từ nào được khám phá, cho nên ∇·B = 0. Điều này đúng không chỉ đối với từ tĩnh học, nó luôn đúng — ngay cả đối với các trường động.

Mối liên hệ giữa trường B và các dòng điện được chứa trong phương trình (13.13). Ở đây chúng ta có một loại tình huống mới khá khác với tĩnh điện học, nơi chúng ta có ∇×E = 0. Phương trình đó có nghĩa là tích phân đường của E quanh bất kỳ đường kín nào cũng bằng không:

∮_vòng E·ds = 0.

Chúng ta đã thu được kết quả đó từ định lý Stokes, định lý nói rằng tích phân quanh bất kỳ đường kín nào của bất kỳ trường vector nào cũng bằng tích phân mặt của thành phần pháp tuyến của curl của vector (lấy trên bất kỳ mặt nào có đường kín làm chu vi của nó). Áp dụng cùng định lý cho vector từ trường và dùng các ký hiệu được chỉ ra trong Hình 13–6, chúng ta được

∮_Γ B·ds = ∫_S (∇×B)·n dS.   (13.14)

Lấy curl của B từ phương trình (13.13), chúng ta có

∮_Γ B·ds = [1/ϵ₀c²] ∫_S j·n dS.   (13.15)

Tích phân trên S, theo (13.5), là tổng dòng điện I qua mặt S. Vì đối với các dòng điện dừng, dòng điện qua S không phụ thuộc vào hình dạng của S, chừng nào nó bị giới hạn bởi đường cong Γ, người ta thường nói về “dòng điện qua vòng Γ”. Khi đó chúng ta có một định luật tổng quát: lưu thông của B quanh bất kỳ đường cong kín nào bằng dòng điện I qua vòng, chia cho ϵ₀c²:

∮_Γ B·ds = I_{qua Γ}/ϵ₀c².   (13.16)

Định luật này — gọi là định luật Ampère — đóng cùng một vai trò trong từ tĩnh học như định luật Gauss đã đóng trong tĩnh điện học. Chỉ riêng định luật Ampère không xác định B từ các dòng điện; nói chung chúng ta cũng phải dùng ∇·B = 0. Nhưng, như chúng ta sẽ thấy trong mục tiếp theo, nó có thể được dùng để tìm trường trong các hoàn cảnh đặc biệt có một số đối xứng đơn giản nào đó.

13–5  Từ trường của một sợi dây thẳng và của một solenoid; các dòng điện nguyên tử

Chúng ta có thể minh họa việc dùng định luật Ampère bằng cách tìm từ trường gần một sợi dây. Chúng ta hỏi: Trường bên ngoài một sợi dây thẳng dài có tiết diện trụ là gì? Chúng ta sẽ giả thiết một điều có thể hoàn toàn không hiển nhiên, nhưng tuy nhiên là đúng: rằng các đường sức của B đi vòng quanh sợi dây trong các vòng tròn kín. Nếu chúng ta thực hiện giả thiết này, thì định luật Ampère, phương trình (13.16), cho chúng ta biết trường mạnh đến mức nào. Từ tính đối xứng của bài toán, B có cùng độ lớn tại mọi điểm trên một vòng tròn đồng tâm với sợi dây (xem Hình 13–7). Khi đó chúng ta có thể thực hiện tích phân đường của B·ds khá dễ dàng; nó chỉ là độ lớn của B nhân với chu vi. Nếu r là bán kính của vòng tròn, thì

∮ B·ds = B·2πr.

Tổng dòng điện qua vòng chỉ là dòng điện I trong sợi dây, cho nên

B·2πr = I/ϵ₀c²,

hay

B = [1/4πϵ₀c²] · 2I/r.   (13.17)

Cường độ của từ trường giảm nghịch đảo với r, khoảng cách đến trục của sợi dây. Nếu muốn, chúng ta có thể viết phương trình (13.17) dưới dạng vector. Ghi nhớ rằng B vuông góc với cả I lẫn r, chúng ta có

B = [1/4πϵ₀c²] · 2I×e_r/r.   (13.18)

Chúng ta đã tách ra thừa số 1/4πϵ₀c², vì nó xuất hiện thường xuyên. Đáng ghi nhớ rằng nó chính xác bằng 10⁻⁷ (trong hệ mks), vì một phương trình như (13.17) được dùng để định nghĩa đơn vị của dòng điện, ampere. Tại một mét từ một dòng điện một ampere, từ trường là 2×10⁻⁷ weber trên mét vuông.

Vì một dòng điện tạo ra một từ trường, nó sẽ tác dụng một lực lên một sợi dây gần đó cũng đang mang một dòng điện. Trong Chương 1 chúng ta đã mô tả một minh họa đơn giản về các lực giữa hai sợi dây mang dòng điện. Nếu các sợi dây song song, mỗi sợi vuông góc với trường B của sợi kia; các sợi dây khi đó nên bị đẩy hoặc về phía nhau hoặc ra xa nhau. Khi các dòng điện cùng hướng, các sợi dây hút nhau; khi các dòng điện chuyển động theo các hướng ngược nhau, các sợi dây đẩy nhau.

Hãy lấy một ví dụ khác có thể được phân tích bằng định luật Ampère nếu chúng ta cộng thêm một ít kiến thức về trường. Giả sử chúng ta có một cuộn dây dài được quấn theo một xoắn ốc chặt, như được chỉ ra bởi các tiết diện trong Hình 13–8. Một cuộn như vậy được gọi là một solenoid. Chúng ta quan sát bằng thực nghiệm rằng khi một solenoid rất dài so với đường kính của nó, trường bên ngoài rất nhỏ so với trường bên trong. Chỉ dùng thực tế đó, cùng với định luật Ampère, chúng ta có thể tìm độ lớn của trường bên trong.

Vì trường ở lại bên trong (và có divergence bằng không), các đường của nó phải đi dọc song song với trục, như được chỉ ra trong Hình 13–8. Trong trường hợp đó, chúng ta có thể dùng định luật Ampère với “đường cong” hình chữ nhật Γ được chỉ ra trong hình. Vòng này đi một khoảng L bên trong solenoid, nơi trường là, chẳng hạn, B₀, rồi đi vuông góc với trường, và quay lại dọc theo bên ngoài, nơi trường không đáng kể. Tích phân đường của B đối với đường cong này chỉ là B₀L, và nó phải bằng 1/ϵ₀c² lần tổng dòng điện qua Γ, là NI nếu có N vòng của solenoid trong độ dài L. Chúng ta có

B₀L = NI/ϵ₀c².

Hay, gọi n là số vòng trên một đơn vị độ dài của solenoid (tức là, n = N/L), chúng ta được

B₀ = nI/ϵ₀c².   (13.19)

Điều gì xảy ra với các đường của B khi chúng đến đầu của solenoid? Có lẽ, chúng tỏa ra theo một cách nào đó và quay lại để đi vào solenoid ở đầu kia, như được phác họa trong Hình 13–9. Một trường như vậy chính là điều được quan sát bên ngoài một nam châm thanh. Nhưng một nam châm là gì vậy? Các phương trình của chúng ta nói rằng B đến từ sự hiện diện của các dòng điện. Vậy mà chúng ta biết rằng các thanh sắt thông thường (không có pin hay máy phát) cũng tạo ra từ trường. Bạn có thể kỳ vọng rằng sẽ có một số số hạng khác ở phía bên phải của (13.12) hay (13.13) để biểu diễn “mật độ của sắt từ” hay một đại lượng nào đó tương tự. Nhưng không có số hạng nào như vậy. Lý thuyết của chúng ta nói rằng các hiệu ứng từ của sắt đến từ một số dòng điện nội tại đã được tính đến bởi số hạng j.

Vật chất rất phức tạp khi được nhìn từ một quan điểm cơ bản — như chúng ta đã thấy khi chúng ta cố hiểu các chất điện môi. Để không làm gián đoạn cuộc thảo luận hiện tại của chúng ta, chúng ta sẽ đợi đến sau để xử lý chi tiết các cơ chế bên trong của các vật liệu từ như sắt: Lúc này bạn sẽ phải chấp nhận rằng mọi từ tính đều được tạo ra từ các dòng điện, và rằng trong một nam châm vĩnh cửu có các dòng điện nội tại vĩnh cửu. Trong trường hợp của sắt, các dòng điện này đến từ các electron quay quanh các trục của chính chúng. Mỗi electron có một spin như vậy, tương ứng với một dòng điện tuần hoàn nhỏ xíu. Dĩ nhiên, một electron không tạo ra nhiều từ trường, nhưng trong một mẩu vật chất thông thường có hàng tỉ và hàng tỉ electron. Thông thường các electron này quay và chỉ về mọi hướng, cho nên không có hiệu ứng thuần. Điều kỳ diệu là trong một số rất ít chất, như sắt, một phần lớn các electron quay với các trục của chúng theo cùng một hướng — đối với sắt, hai electron của mỗi nguyên tử tham gia vào chuyển động hợp tác này. Trong một nam châm thanh có một số lượng lớn các electron tất cả đều quay theo cùng một hướng và, như chúng ta sẽ thấy, tổng hiệu ứng của chúng tương đương với một dòng điện tuần hoàn trên bề mặt của thanh. (Điều này khá tương tự với điều chúng ta đã tìm thấy đối với các chất điện môi — rằng một chất điện môi phân cực đều tương đương với một phân bố điện tích trên bề mặt của nó.) Do đó, không phải ngẫu nhiên mà một nam châm thanh tương đương với một solenoid.

13–6  Tính tương đối của từ trường và điện trường

Khi chúng ta nói rằng lực từ tác dụng lên một điện tích tỉ lệ với vận tốc của nó, bạn có thể đã tự hỏi: “Vận tốc nào? Đối với hệ quy chiếu nào?” Thực ra, rõ ràng từ định nghĩa của B được đưa ra ở đầu chương này rằng vector này là gì sẽ phụ thuộc vào việc chúng ta chọn hệ quy chiếu nào để chỉ định vận tốc của các điện tích. Nhưng chúng ta chưa nói gì về việc đâu là hệ thích hợp để chỉ định từ trường.

Hóa ra bất kỳ hệ quy chiếu quán tính nào cũng được. Chúng ta cũng sẽ thấy rằng từ học và điện học không phải là các thứ độc lập — rằng chúng luôn nên được lấy cùng nhau như một trường điện từ hoàn chỉnh duy nhất. Mặc dù trong trường hợp tĩnh, các phương trình Maxwell tách thành hai cặp riêng biệt, một cặp cho điện và một cặp cho từ, không có mối liên hệ rõ ràng giữa hai trường, tuy nhiên, trong chính tự nhiên có một mối quan hệ rất mật thiết giữa chúng nảy sinh từ nguyên lý tương đối. Trong lịch sử, nguyên lý tương đối được khám phá sau các phương trình Maxwell. Thực ra, chính nghiên cứu về điện và từ đã cuối cùng dẫn đến khám phá của Einstein về nguyên lý tương đối của ông. Nhưng hãy xem kiến thức của chúng ta về thuyết tương đối sẽ cho chúng ta biết điều gì về các lực từ nếu chúng ta giả thiết rằng nguyên lý tương đối áp dụng được — như nó áp dụng — cho điện từ học.

Giả sử chúng ta suy nghĩ về điều xảy ra khi một điện tích âm chuyển động với vận tốc v₀ song song với một sợi dây mang dòng điện, như trong Hình 13–10. Chúng ta sẽ cố hiểu điều gì đang diễn ra trong hai hệ quy chiếu: một hệ cố định đối với sợi dây, như trong phần (a) của hình, và một hệ cố định đối với hạt, như trong phần (b). Chúng ta sẽ gọi hệ thứ nhất là S và hệ thứ hai là S′.

Trong hệ S, rõ ràng có một lực từ tác dụng lên hạt. Lực hướng về phía sợi dây, cho nên nếu điện tích chuyển động tự do, chúng ta sẽ thấy nó cong vào phía sợi dây. Nhưng trong hệ S′, không thể có lực từ tác dụng lên hạt, vì vận tốc của nó bằng không. Vậy, nó có ở yên tại chỗ của nó không? Liệu chúng ta có thấy các điều khác nhau xảy ra trong hai hệ không? Nguyên lý tương đối sẽ nói rằng trong S′ chúng ta cũng nên thấy hạt di chuyển lại gần sợi dây hơn. Chúng ta phải cố hiểu tại sao điều đó sẽ xảy ra.

Chúng ta quay lại mô tả nguyên tử của mình về một sợi dây mang một dòng điện. Trong một vật dẫn bình thường, như đồng, các dòng điện đến từ chuyển động của một số electron âm — gọi là các electron dẫn — trong khi các điện tích hạt nhân dương và phần còn lại của các electron đứng yên trong thân của vật liệu. Gọi mật độ điện tích của các electron dẫn là ρ₋ và vận tốc của chúng trong S là v. Mật độ của các điện tích đứng yên trong S là ρ₊, mật độ này phải bằng âm của ρ₋, vì chúng ta đang xét một sợi dây không tích điện. Do đó không có điện trường bên ngoài sợi dây, và lực tác dụng lên hạt đang chuyển động chỉ là

F = qv₀×B.

Dùng kết quả chúng ta đã tìm thấy trong phương trình (13.18) cho từ trường ở khoảng cách r đến trục của một sợi dây, chúng ta kết luận rằng lực tác dụng lên hạt hướng về phía sợi dây và có độ lớn

F = [1/4πϵ₀c²] · 2Iqv₀/r.

Dùng các phương trình (13.3) và (13.5), dòng điện I có thể được viết là ρ₋vA, trong đó A là diện tích của một tiết diện của sợi dây. Khi đó

F = [1/4πϵ₀c²] · 2qρ₋Avv₀/r.   (13.20)

Chúng ta có thể tiếp tục xử lý trường hợp tổng quát với các vận tốc tùy ý cho v và v₀, nhưng cũng tốt như vậy nếu nhìn vào trường hợp đặc biệt trong đó vận tốc v₀ của hạt giống như vận tốc v của các electron dẫn. Vậy chúng ta viết v₀ = v, và phương trình (13.20) trở thành

F = [q/2πϵ₀] · [ρ₋A/r] · v²/c².   (13.21)

Bây giờ chúng ta chuyển sự chú ý sang điều xảy ra trong S′, trong đó hạt đứng yên và sợi dây chạy qua (về phía trái trong hình) với tốc độ v. Các điện tích dương chuyển động cùng với sợi dây sẽ tạo ra một từ trường B′ nào đó tại hạt. Nhưng hạt bây giờ đứng yên, cho nên không có lực từ tác dụng lên nó! Nếu có bất kỳ lực nào tác dụng lên hạt, nó phải đến từ một điện trường. Phải là sợi dây đang chuyển động đã tạo ra một điện trường. Nhưng nó chỉ có thể làm điều đó nếu nó trông có vẻ tích điện — phải là một sợi dây trung tính có một dòng điện trông có vẻ tích điện khi được đặt chuyển động.

Chúng ta phải tìm hiểu điều này. Chúng ta phải cố tính mật độ điện tích trong sợi dây trong S′ từ điều chúng ta biết về nó trong S. Thoạt đầu, người ta có thể nghĩ chúng là như nhau; nhưng chúng ta biết rằng các độ dài thay đổi giữa S và S′ (xem Chương 15, Tập I), cho nên các thể tích cũng sẽ thay đổi. Vì các mật độ điện tích phụ thuộc vào thể tích bị chiếm bởi các điện tích, các mật độ cũng sẽ thay đổi.

Trước khi chúng ta có thể quyết định về các mật độ điện tích trong S′, chúng ta phải biết điều gì xảy ra với điện tích của một đám electron khi các điện tích đang chuyển động. Chúng ta biết rằng khối lượng biểu kiến của một hạt thay đổi bởi 1/√(1 − v²/c²). Điện tích của nó có làm một điều tương tự không? Không! Các điện tích luôn như nhau, chuyển động hay không. Nếu không, chúng ta sẽ không luôn quan sát thấy rằng tổng điện tích được bảo toàn.

Giả sử chúng ta lấy một khối vật liệu, chẳng hạn một vật dẫn, ban đầu không tích điện. Bây giờ chúng ta đun nóng nó lên. Vì các electron có khối lượng khác với các proton, vận tốc của các electron và của các proton sẽ thay đổi các lượng khác nhau. Nếu điện tích của một hạt phụ thuộc vào tốc độ của hạt mang nó, trong khối đã được đun nóng, điện tích của các electron và proton sẽ không còn cân bằng nữa. Một khối sẽ trở nên tích điện khi bị đun nóng. Như chúng ta đã thấy trước đây, một sự thay đổi phân số rất nhỏ trong điện tích của mọi electron trong một khối sẽ gây ra các điện trường khổng lồ. Chưa bao giờ có hiệu ứng nào như vậy được quan sát.

Ngoài ra, chúng ta có thể chỉ ra rằng tốc độ trung bình của các electron trong vật chất phụ thuộc vào thành phần hóa học của nó. Nếu điện tích trên một electron thay đổi theo tốc độ, điện tích thuần trong một mẩu vật liệu sẽ thay đổi trong một phản ứng hóa học. Một lần nữa, một phép tính trực tiếp cho thấy rằng ngay cả một sự phụ thuộc rất nhỏ của điện tích vào tốc độ cũng sẽ cho các trường khổng lồ từ các phản ứng hóa học đơn giản nhất. Không có hiệu ứng nào như vậy được quan sát, và chúng ta kết luận rằng điện tích của một hạt đơn lẻ không phụ thuộc vào trạng thái chuyển động của nó.

Vậy điện tích q trên một hạt là một đại lượng vô hướng bất biến, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Điều đó có nghĩa là trong bất kỳ hệ nào, mật độ điện tích của một phân bố electron chỉ tỉ lệ với số electron trên một đơn vị thể tích. Chúng ta chỉ cần lo về thực tế là thể tích có thể thay đổi vì sự co tương đối tính của các khoảng cách.

Bây giờ chúng ta áp dụng các ý tưởng này cho sợi dây đang chuyển động của mình. Nếu chúng ta lấy một độ dài L₀ của sợi dây, trong đó có một mật độ điện tích ρ₀ của các điện tích đứng yên, nó sẽ chứa tổng điện tích Q = ρ₀L₀A₀. Nếu cùng các điện tích đó được quan sát trong một hệ khác đang chuyển động với vận tốc v, chúng sẽ đều được tìm thấy trong một mẩu vật liệu có độ dài ngắn hơn

L = L₀√(1 − v²/c²),   (13.22)

nhưng với cùng diện tích A₀ (vì các kích thước ngang với chuyển động không thay đổi). Xem Hình 13–11.

Nếu chúng ta gọi ρ là mật độ của các điện tích trong hệ mà trong đó chúng đang chuyển động, tổng điện tích Q sẽ là ρLA₀. Cái này cũng phải bằng ρ₀L₀A₀, vì điện tích là như nhau trong bất kỳ hệ nào, cho nên ρL = ρ₀L₀ hay, từ (13.22),

ρ = ρ₀/√(1 − v²/c²).   (13.23)

Mật độ điện tích của một phân bố điện tích đang chuyển động biến thiên cùng cách như khối lượng tương đối tính của một hạt.

Bây giờ chúng ta dùng kết quả tổng quát này cho mật độ điện tích dương ρ₊ của sợi dây của chúng ta. Các điện tích này đứng yên trong hệ S. Tuy nhiên trong S′, nơi sợi dây chuyển động với tốc độ v, mật độ điện tích dương trở thành

ρ₊′ = ρ₊/√(1 − v²/c²).   (13.24)

Các điện tích âm đứng yên trong S′. Cho nên chúng có “mật độ nghỉ” ρ₀ của chúng trong hệ này. Trong phương trình (13.23), ρ₀ = ρ₋′, vì chúng có mật độ ρ₋ khi sợi dây đứng yên, tức là, trong hệ S, nơi tốc độ của các điện tích âm là v. Đối với các electron dẫn, khi đó chúng ta có

ρ₋ = ρ₋′/√(1 − v²/c²),   (13.25)

hay

ρ₋′ = ρ₋√(1 − v²/c²).   (13.26)

Bây giờ chúng ta có thể thấy tại sao có các điện trường trong S′ — vì trong hệ này sợi dây có mật độ điện tích thuần ρ′ được cho bởi

ρ′ = ρ₊′ + ρ₋′.

Dùng (13.24) và (13.26), chúng ta có

ρ′ = ρ₊/√(1 − v²/c²) + ρ₋√(1 − v²/c²).

Vì sợi dây đứng yên là trung tính, ρ₋ = −ρ₊, và chúng ta có

ρ′ = ρ₊ (v²/c²)/√(1 − v²/c²).   (13.27)

Sợi dây đang chuyển động của chúng ta tích điện dương và sẽ tạo ra một điện trường E′ tại hạt đứng yên bên ngoài. Chúng ta đã giải bài toán tĩnh điện của một hình trụ tích điện đều. Điện trường ở khoảng cách r đến trục của hình trụ là

E′ = ρ′A/2πϵ₀r = [ρ₊Av²/c²]/[2πϵ₀r√(1 − v²/c²)].   (13.28)

Lực tác dụng lên hạt tích điện âm hướng về phía sợi dây. Chúng ta có, ít nhất, một lực theo cùng hướng từ hai quan điểm; lực điện trong S′ có cùng hướng với lực từ trong S.

Độ lớn của lực trong S′ là

F′ = [q/2πϵ₀] · [ρ₊A/r] · (v²/c²)/√(1 − v²/c²).   (13.29)

So sánh kết quả này cho F′ với kết quả của chúng ta cho F trong phương trình (13.21), chúng ta thấy rằng các độ lớn của các lực gần như đồng nhất từ hai quan điểm. Thực ra,

F′ = F/√(1 − v²/c²),   (13.30)

cho nên đối với các vận tốc nhỏ chúng ta đã xét, hai lực bằng nhau. Chúng ta có thể nói rằng ít nhất đối với các vận tốc thấp, chúng ta hiểu rằng từ học và điện học chỉ là “hai cách nhìn cùng một thứ”.

Nhưng mọi thứ còn tốt hơn thế nữa. Nếu chúng ta tính đến thực tế là các lực cũng biến đổi khi chúng ta đi từ một hệ này sang hệ kia, chúng ta thấy rằng hai cách nhìn vào điều đang xảy ra thực sự cho cùng kết quả vật lý đối với bất kỳ vận tốc nào.

Một cách thấy điều này là đặt một câu hỏi như: Động lượng ngang mà hạt sẽ có sau khi lực đã tác dụng một lúc là bao nhiêu? Chúng ta biết từ Chương 16 của Tập I rằng động lượng ngang của một hạt phải như nhau trong cả hai hệ S và S′. Gọi tọa độ ngang là y, chúng ta muốn so sánh Δp_y và Δp_y′. Dùng phương trình chuyển động đúng tương đối tính, F = dp/dt, chúng ta kỳ vọng rằng sau thời gian Δt hạt của chúng ta sẽ có một động lượng ngang Δp_y trong hệ S được cho bởi

Δp_y = F Δt.   (13.31)

Trong hệ S′, động lượng ngang sẽ là

Δp_y′ = F′ Δt′.   (13.32)

Dĩ nhiên chúng ta phải so sánh Δp_y và Δp_y′ đối với các khoảng thời gian tương ứng Δt và Δt′. Chúng ta đã thấy trong Chương 15 của Tập I rằng các khoảng thời gian được quy về một hạt đang chuyển động dường như dài hơn các khoảng trong hệ nghỉ của hạt. Vì hạt của chúng ta ban đầu đứng yên trong S′, chúng ta kỳ vọng, đối với Δt nhỏ, rằng

Δt = Δt′/√(1 − v²/c²),   (13.33)

và mọi thứ trở nên ổn thỏa. Từ (13.31) và (13.32),

Δp_y′/Δp_y = F′ Δt′/F Δt,

cái này đúng bằng 1 nếu chúng ta kết hợp (13.30) và (13.33).

Chúng ta đã thấy rằng chúng ta được cùng kết quả vật lý dù chúng ta phân tích chuyển động của một hạt chuyển động dọc theo một sợi dây trong một hệ tọa độ đứng yên đối với sợi dây, hay trong một hệ đứng yên đối với hạt. Trong trường hợp thứ nhất, lực hoàn toàn là “từ”, trong trường hợp thứ hai, nó hoàn toàn là “điện”. Hai quan điểm được minh họa trong Hình 13–12 (mặc dù vẫn còn một từ trường B′ trong hệ thứ hai, nó không tạo ra lực nào lên hạt đứng yên).

Nếu chúng ta đã chọn một hệ tọa độ khác nữa, chúng ta sẽ tìm thấy một hỗn hợp khác của các trường E và B. Các lực điện và từ là phần của một hiện tượng vật lý duy nhất — các tương tác điện từ của các hạt. Việc tách tương tác này thành các phần điện và từ phụ thuộc rất nhiều vào hệ quy chiếu được chọn cho mô tả. Nhưng một mô tả điện từ đầy đủ là bất biến; điện và từ lấy cùng nhau nhất quán với thuyết tương đối của Einstein.

Vì các điện trường và từ trường xuất hiện trong các hỗn hợp khác nhau nếu chúng ta thay đổi hệ quy chiếu của mình, chúng ta phải cẩn thận về cách chúng ta nhìn các trường E và B. Chẳng hạn, nếu chúng ta nghĩ về “các đường” của E hay B, chúng ta không được gắn quá nhiều thực tại cho chúng. Các đường có thể biến mất nếu chúng ta cố quan sát chúng từ một hệ tọa độ khác. Chẳng hạn, trong hệ S′ có các đường sức điện trường, mà chúng ta không tìm thấy “đang chuyển động qua chúng ta với vận tốc v trong hệ S”. Trong hệ S hoàn toàn không có đường sức điện trường nào! Do đó nói một điều như: Khi tôi di chuyển một nam châm, nó mang trường của nó theo, cho nên các đường của B cũng được di chuyển, là vô nghĩa. Không có cách nào, nói chung, để làm cho ý tưởng về “tốc độ của một đường sức đang chuyển động” có ý nghĩa. Các trường là cách của chúng ta để mô tả điều đang diễn ra tại một điểm trong không gian. Đặc biệt, E và B cho chúng ta biết về các lực sẽ tác dụng lên một hạt đang chuyển động. Câu hỏi “Lực tác dụng lên một điện tích từ một từ trường đang chuyển động là gì?” không có nghĩa chính xác nào. Lực được cho bởi các giá trị của E và B tại điện tích, và công thức (13.1) không bị thay đổi nếu nguồn của E hay B đang chuyển động (chính các giá trị của E và B sẽ bị thay đổi bởi chuyển động). Mô tả toán học của chúng ta chỉ xử lý các trường như một hàm của x, y, z, và t đối với một hệ quy chiếu quán tính nào đó.

Sau này chúng ta sẽ nói về “một sóng của các điện trường và từ trường di chuyển qua không gian”, như, chẳng hạn, một sóng ánh sáng. Nhưng điều đó giống như nói về một sóng di chuyển trên một sợi dây. Khi đó chúng ta không có ý nói rằng một phần nào đó của sợi dây đang chuyển động theo hướng của sóng, chúng ta có ý nói rằng độ dịch chuyển của sợi dây xuất hiện trước hết tại một nơi và sau đó tại một nơi khác. Tương tự, trong một sóng điện từ, sóng di chuyển; nhưng độ lớn của các trường thay đổi. Vậy trong tương lai khi chúng ta — hay một ai khác — nói về một trường “đang chuyển động”, bạn nên nghĩ về nó chỉ như một cách nói ngắn gọn tiện lợi để mô tả một trường đang thay đổi trong một số hoàn cảnh nào đó.

13–7  Phép biến đổi của các dòng điện và điện tích

Bạn có thể đã lo lắng về phép đơn giản hóa chúng ta đã thực hiện ở trên khi chúng ta lấy cùng vận tốc v cho hạt và cho các electron dẫn trong sợi dây. Chúng ta có thể quay lại và thực hiện lại phân tích cho hai vận tốc khác nhau, nhưng dễ dàng hơn là chỉ đơn giản nhận thấy rằng điện tích và mật độ dòng điện là các thành phần của một bốn-vector (xem Chương 17, Tập I).

Chúng ta đã thấy rằng nếu ρ₀ là mật độ của các điện tích trong hệ nghỉ của chúng, thì trong một hệ mà trong đó chúng có vận tốc v, mật độ là

ρ = ρ₀/√(1 − v²/c²).

Trong hệ đó mật độ dòng điện của chúng là

j = ρv = ρ₀v/√(1 − v²/c²).   (13.34)

Bây giờ chúng ta biết rằng năng lượng U và động lượng p của một hạt chuyển động với vận tốc v được cho bởi

U = m₀c²/√(1 − v²/c²),    p = m₀v/√(1 − v²/c²),

trong đó m₀ là khối lượng nghỉ của nó. Chúng ta cũng biết rằng U/c = m₀c/√(1 − v²/c²) và p tạo thành một bốn-vector tương đối tính. Vì cρ = cρ₀/√(1 − v²/c²) và j phụ thuộc vào vận tốc v đúng như U/c và p phụ thuộc, chúng ta có thể kết luận rằng cρ và j cũng là các thành phần của một bốn-vector tương đối tính. Tính chất này là chìa khóa cho một phân tích tổng quát về trường của một sợi dây chuyển động với bất kỳ vận tốc nào, điều chúng ta sẽ cần nếu chúng ta muốn làm lại bài toán với vận tốc v₀ của hạt khác với vận tốc của các electron dẫn.

Nếu chúng ta muốn biến đổi ρ và j sang một hệ tọa độ chuyển động với vận tốc u theo hướng x, chúng ta biết rằng chúng biến đổi đúng như t và (x,y,z), cho nên chúng ta có (xem Chương 15, Tập I)

x′ = (x − ut)/√(1 − u²/c²),    j_x′ = (j_x − uρ)/√(1 − u²/c²)

y′ = y,    j_y′ = j_y,

z′ = z,    j_z′ = j_z,

t′ = (t − ux/c²)/√(1 − u²/c²),    ρ′ = (ρ − uj_x/c²)/√(1 − u²/c²).   (13.35)

Với các phương trình này chúng ta có thể liên hệ các điện tích và dòng điện trong một hệ với các điện tích và dòng điện trong một hệ khác. Lấy các điện tích và dòng điện trong bất kỳ hệ nào, chúng ta có thể giải bài toán điện từ trong hệ đó bằng cách dùng các phương trình Maxwell của chúng ta. Kết quả chúng ta thu được cho chuyển động của các hạt sẽ như nhau dù chúng ta chọn hệ nào. Chúng ta sẽ quay lại vào một lúc sau với các phép biến đổi tương đối tính của các trường điện từ.

13–8  Chồng chất; quy tắc bàn tay phải

Chúng ta sẽ kết luận chương này bằng cách đưa ra hai điểm nữa liên quan đến chủ đề từ tĩnh học. Thứ nhất, các phương trình cơ bản của chúng ta cho từ trường,

∇·B = 0,    ∇×B = j/c²ϵ₀,

là tuyến tính theo B và j. Điều đó có nghĩa là nguyên lý chồng chất cũng áp dụng cho các từ trường. Trường tạo ra bởi hai dòng điện dừng khác nhau là tổng của các trường riêng lẻ từ mỗi dòng điện tác dụng một mình. Nhận xét thứ hai của chúng ta liên quan đến các quy tắc bàn tay phải chúng ta đã gặp (như quy tắc bàn tay phải cho từ trường tạo ra bởi một dòng điện). Chúng ta cũng đã quan sát thấy rằng sự từ hóa của một nam châm sắt được hiểu từ spin của các electron trong vật liệu. Hướng của từ trường của một electron đang quay liên quan đến trục spin của nó bởi cùng một quy tắc bàn tay phải. Vì B được xác định bởi một quy tắc “thuận tay” — liên quan đến hoặc một tích chéo hoặc một curl — nó được gọi là một vector trục (axial). (Các vector mà hướng của chúng trong không gian không phụ thuộc vào một tham chiếu đến một bàn tay phải hay trái được gọi là các vector cực (polar). Dịch chuyển, vận tốc, lực, và E, chẳng hạn, là các vector cực.)

Các đại lượng quan sát được về mặt vật lý trong điện từ học, tuy nhiên, không thuận tay phải (hay trái). Các tương tác điện từ là đối xứng qua phản chiếu (xem Chương 52, Tập I). Bất cứ khi nào các lực từ giữa hai tập hợp dòng điện được tính, kết quả là bất biến đối với một sự thay đổi trong quy ước tay. Các phương trình của chúng ta dẫn đến, một cách độc lập với quy ước bàn tay phải, kết quả cuối cùng là các dòng điện song song hút nhau, hay các dòng điện theo các hướng ngược nhau đẩy nhau. (Hãy thử tính lực bằng cách dùng “các quy tắc bàn tay trái”.) Một sự hút hay đẩy là một vector cực. Điều này xảy ra vì trong việc mô tả bất kỳ tương tác đầy đủ nào, chúng ta dùng quy tắc bàn tay phải hai lần — một lần để tìm B từ các dòng điện, một lần nữa để tìm lực mà B này tạo ra lên một dòng điện thứ hai. Dùng quy tắc bàn tay phải hai lần cũng giống như dùng quy tắc bàn tay trái hai lần. Nếu chúng ta thay đổi các quy ước của mình thành một hệ bàn tay trái, mọi trường B của chúng ta sẽ bị đảo ngược, nhưng mọi lực — hay, điều có lẽ liên quan hơn, các gia tốc quan sát được của các vật — sẽ không thay đổi.

Mặc dù các nhà vật lý gần đây đã bất ngờ khám phá ra rằng không phải mọi định luật tự nhiên đều luôn bất biến qua các phản chiếu gương, các định luật của điện từ học có một đối xứng cơ bản như vậy.