Chương 15: Thế vector

15–1  Các lực tác dụng lên một vòng dòng điện; năng lượng của một lưỡng cực

Trong chương trước chúng ta đã nghiên cứu từ trường được tạo ra bởi một vòng dòng điện hình chữ nhật nhỏ. Chúng ta đã thấy rằng nó là một trường lưỡng cực, với mômen lưỡng cực được cho bởi

μ = IA,   (15.1)

trong đó I là dòng điện và A là diện tích của vòng. Hướng của mômen là pháp tuyến của mặt phẳng của vòng, nên chúng ta cũng có thể viết

μ = IAn,

trong đó n là pháp tuyến đơn vị của diện tích A.

Một vòng dòng điện — hay lưỡng cực từ — không chỉ tạo ra các từ trường, mà còn sẽ chịu các lực khi được đặt trong từ trường của các dòng điện khác. Trước hết chúng ta sẽ xem xét các lực tác dụng lên một vòng hình chữ nhật trong một từ trường đều. Đặt trục z dọc theo hướng của trường, và mặt phẳng của vòng được đặt qua trục y, tạo góc θ với mặt phẳng xy như trong Hình 15–1. Khi đó mômen từ của vòng — vốn là pháp tuyến của mặt phẳng của nó — sẽ tạo góc θ với từ trường.

Vì các dòng điện ngược nhau trên các cạnh đối diện của vòng, các lực cũng ngược nhau, nên không có hợp lực tác dụng lên vòng (khi trường đều). Tuy nhiên, vì các lực tác dụng lên hai cạnh được đánh dấu 1 và 2 trong hình, có một mômen lực có xu hướng làm quay vòng quanh trục y. Độ lớn của các lực F₁ và F₂ này là

F₁ = F₂ = IBb.

Cánh tay đòn của chúng là

a sin θ,

nên mômen lực là

τ = IabB sin θ,

hay, vì Iab là mômen từ của vòng,

τ = μB sin θ.

Mômen lực có thể được viết dưới ký hiệu vector:

τ = μ×B.   (15.2)

Mặc dù chúng ta mới chỉ chỉ ra rằng mômen lực được cho bởi phương trình (15.2) trong một trường hợp khá đặc biệt, kết quả là đúng đối với một vòng nhỏ có hình dạng bất kỳ, như chúng ta sẽ thấy. Cùng một loại hệ thức cũng đúng đối với mômen lực của một lưỡng cực điện trong một điện trường:

τ = p×E.

Bây giờ chúng ta hỏi về năng lượng cơ học của vòng dòng điện của chúng ta. Vì có một mômen lực, năng lượng rõ ràng phụ thuộc vào định hướng. Nguyên lý công ảo nói rằng mômen lực là tốc độ thay đổi của năng lượng theo góc, nên chúng ta có thể viết

dU = τ dθ.

Đặt τ = μB sin θ, và tích phân, chúng ta có thể viết cho năng lượng

U = −μB cos θ + một hằng số.   (15.3)

(Dấu là âm vì mômen lực cố gắng làm cho mômen thẳng hàng với trường; năng lượng là thấp nhất khi μ và B song song.)

Vì các lý do mà chúng ta sẽ thảo luận sau, năng lượng này không phải là tổng năng lượng của một vòng dòng điện. (Chẳng hạn, chúng ta chưa tính đến năng lượng cần thiết để duy trì dòng điện trong vòng.) Do đó, chúng ta sẽ gọi năng lượng này là U_mech (năng lượng cơ học), để nhắc chúng ta rằng nó chỉ là một phần của năng lượng. Ngoài ra, vì dù sao chúng ta cũng đang bỏ sót một phần năng lượng, chúng ta có thể đặt hằng số tích phân bằng không trong phương trình (15.3). Vậy chúng ta viết lại phương trình:

U_mech = −μ·B.   (15.4)

Một lần nữa, điều này tương ứng với kết quả đối với một lưỡng cực điện:

U = −p·E.   (15.5)

Bây giờ năng lượng tĩnh điện U trong phương trình (15.5) là năng lượng thật, nhưng U_mech trong (15.4) không phải là năng lượng thật. Tuy nhiên, nó có thể được dùng trong việc tính các lực, bằng nguyên lý công ảo, với giả thiết rằng dòng điện trong vòng — hay ít nhất là μ — được giữ không đổi.

Chúng ta có thể chỉ ra đối với vòng hình chữ nhật của chúng ta rằng U_mech cũng tương ứng với công cơ học được thực hiện khi đưa vòng vào trong trường. Tổng lực tác dụng lên vòng chỉ bằng không trong một trường đều; trong một trường không đều có các hợp lực tác dụng lên một vòng dòng điện. Khi đưa vòng vào một miền có trường, chúng ta hẳn đã phải đi qua những nơi mà trường không đều, và như vậy công đã được thực hiện. Để làm cho phép tính đơn giản, chúng ta sẽ tưởng tượng rằng vòng được đưa vào trường với mômen của nó hướng dọc theo trường. (Nó có thể được quay tới vị trí cuối cùng của nó sau khi đã ở vào vị trí.)

Tưởng tượng rằng chúng ta muốn di chuyển vòng theo hướng x — về phía một miền có trường mạnh hơn — và vòng được định hướng như được chỉ trong Hình 15–2. Chúng ta bắt đầu ở đâu đó nơi trường bằng không và tích phân lực nhân với khoảng cách khi chúng ta đưa vòng vào trong trường.

Trước hết, chúng ta hãy tính công được thực hiện trên mỗi cạnh một cách riêng rẽ rồi lấy tổng (thay vì cộng các lực trước khi tích phân). Các lực tác dụng lên các cạnh 3 và 4 vuông góc với hướng chuyển động, nên không có công nào được thực hiện trên chúng. Lực tác dụng lên cạnh 2 là IbB(x) theo hướng x, và để thu được công được thực hiện chống lại các lực từ chúng ta phải tích phân cái này từ một x nào đó nơi trường bằng không, chẳng hạn tại x = −∞, tới x₂, vị trí hiện tại của nó:

W₂ = −∫_−∞^x₂ F₂ dx = −Ib∫_−∞^x₂ B(x) dx.   (15.6)

Tương tự, công được thực hiện chống lại các lực tác dụng lên cạnh 1 là

W₁ = −∫_−∞^x₁ F₁ dx = Ib∫_−∞^x₁ B(x) dx.   (15.7)

Để tìm mỗi tích phân, chúng ta cần biết B(x) phụ thuộc vào x như thế nào. Nhưng hãy để ý rằng cạnh 1 đi theo ngay phía sau cạnh 2, nên tích phân của nó bao gồm phần lớn công được thực hiện trên cạnh 2. Quả thật, tổng của (15.6) và (15.7) chỉ là

W = −Ib∫_x1^x₂ B(x) dx.   (15.8)

Nhưng nếu chúng ta ở trong một miền nơi B gần như nhau trên cả hai cạnh 1 và 2, chúng ta có thể viết tích phân là

∫_x1^x₂ B(x) dx = (x₂ − x₁)B = aB,

trong đó B là trường tại tâm của vòng. Tổng năng lượng cơ học chúng ta đã đưa vào là

U_mech = W = −Iab B = −μB.   (15.9)

Kết quả phù hợp với năng lượng chúng ta đã lấy cho phương trình (15.4).

Dĩ nhiên, chúng ta cũng sẽ thu được cùng kết quả nếu chúng ta đã cộng các lực tác dụng lên vòng trước khi tích phân để tìm công. Nếu chúng ta đặt B₁ là trường tại cạnh 1 và B₂ là trường tại cạnh 2, thì tổng lực theo hướng x là

F_x = Ib(B₂ − B₁).

Nếu vòng là “nhỏ,” tức là, nếu B₂ và B₁ không quá khác nhau, chúng ta có thể viết

B₂ = B₁ + (∂B/∂x)Δx = B₁ + (∂B/∂x)a.

Vậy lực là

F_x = Iab ∂B/∂x.   (15.10)

Tổng công được thực hiện trên vòng bởi các ngoại lực là

−∫_−∞^x F_x dx = −Iab∫ (∂B/∂x) dx = −IabB,

mà một lần nữa chỉ là −μB. Chỉ đến bây giờ chúng ta mới thấy tại sao lực tác dụng lên một vòng dòng điện nhỏ lại tỉ lệ với đạo hàm của từ trường, như chúng ta sẽ kỳ vọng từ

F_x Δx = −ΔU_mech = −Δ(−μ·B).   (15.11)

Vậy kết quả của chúng ta là, mặc dù U_mech = −μ·B có thể không bao gồm toàn bộ năng lượng của một hệ — nó là một loại năng lượng giả — nó vẫn có thể được dùng với nguyên lý công ảo để tìm các lực tác dụng lên các vòng dòng điện dừng.

15–2  Năng lượng cơ học và năng lượng điện

Bây giờ chúng ta muốn chỉ ra tại sao năng lượng U_mech được thảo luận trong mục trước không phải là năng lượng đúng gắn với các dòng điện dừng — rằng nó không theo dõi được tổng năng lượng trong thế giới. Quả thật, chúng ta đã nhấn mạnh rằng nó có thể được dùng như năng lượng, để tính các lực từ nguyên lý công ảo, với điều kiện dòng điện trong vòng (và mọi dòng điện khác) không thay đổi. Chúng ta hãy xem tại sao tất cả những điều này lại hoạt động.

Tưởng tượng rằng vòng trong Hình 15–2 đang chuyển động theo hướng +x và lấy trục z theo hướng của B. Các electron dẫn trong cạnh 2 sẽ chịu một lực dọc theo dây, theo hướng y. Nhưng vì dòng chảy của chúng — dưới dạng một dòng điện — có một thành phần chuyển động theo cùng hướng với lực. Do đó, mỗi electron đang được thực hiện công trên nó với tốc độ F_yv_y, trong đó v_y là thành phần của vận tốc electron dọc theo dây. Chúng ta sẽ gọi công được thực hiện trên các electron này là công điện. Bây giờ hóa ra là nếu vòng đang chuyển động trong một trường đều, tổng công điện bằng không, vì công dương được thực hiện trên một số phần của vòng và một lượng công âm bằng như vậy được thực hiện trên các phần khác. Nhưng điều này không đúng nếu mạch đang chuyển động trong một trường không đều — khi đó sẽ có một lượng công ròng được thực hiện trên các electron. Nói chung, công này sẽ có xu hướng làm thay đổi dòng chảy của các electron, nhưng nếu dòng điện đang được giữ không đổi, năng lượng phải được hấp thụ hay cung cấp bởi pin hay nguồn khác đang giữ cho dòng điện ổn định. Năng lượng này đã không được bao gồm khi chúng ta tính U_mech trong phương trình (15.9), vì các phép tính của chúng ta chỉ bao gồm các lực cơ học tác dụng lên thân của sợi dây.

Bạn có thể đang nghĩ: Nhưng lực tác dụng lên các electron phụ thuộc vào việc sợi dây được di chuyển nhanh như thế nào; có lẽ nếu sợi dây được di chuyển đủ chậm thì năng lượng điện này có thể bỏ qua. Đúng là tốc độ mà năng lượng điện được cung cấp tỉ lệ với tốc độ của sợi dây, nhưng tổng năng lượng được cung cấp cũng tỉ lệ với thời gian mà tốc độ này diễn ra. Vậy tổng năng lượng điện tỉ lệ với vận tốc nhân với thời gian, vốn chỉ là khoảng cách đã di chuyển. Đối với một khoảng cách cho trước di chuyển trong một trường, cùng một lượng công điện được thực hiện.

Chúng ta hãy xét một đoạn dây có độ dài đơn vị mang dòng điện I và chuyển động theo một hướng vuông góc với chính nó và với một từ trường B với tốc độ v_wire (vận tốc của dây). Vì dòng điện, các electron sẽ có một vận tốc trôi v_drift dọc theo dây. Thành phần của lực từ tác dụng lên mỗi electron theo hướng của sự trôi là q_ev_wireB. Vậy tốc độ mà công điện đang được thực hiện là Fv_drift = (q_ev_wireB)v_drift. Nếu có N electron dẫn trong độ dài đơn vị của dây, tổng tốc độ mà công điện đang được thực hiện là

dU_elect/dt = Nq_ev_wireBv_drift.

Nhưng Nq_ev_drift = I, dòng điện trong dây, nên

dU_elect/dt = Iv_wireB.

Bây giờ vì dòng điện được giữ không đổi, các lực tác dụng lên các electron dẫn không khiến chúng gia tốc; năng lượng điện không đi vào các electron mà đi vào nguồn đang giữ cho dòng điện không đổi.

Nhưng hãy để ý rằng lực tác dụng lên sợi dây là IB, nên IBv_wire cũng là tốc độ công cơ học được thực hiện trên sợi dây, dU_mech/dt = IBv_wire. Chúng ta kết luận rằng công cơ học được thực hiện trên sợi dây đúng bằng công điện được thực hiện trên nguồn dòng điện, nên năng lượng của vòng là một hằng số!

Đây không phải là một sự trùng hợp, mà là một hệ quả của định luật chúng ta đã biết. Tổng lực tác dụng lên mỗi điện tích trong dây là

F = q(E + v×B).

Tốc độ mà công được thực hiện là

v·F = q[v·E + v·(v×B)].   (15.12)

Nếu không có điện trường, chúng ta chỉ có số hạng thứ hai, vốn luôn bằng không. Chúng ta sẽ thấy sau này rằng các từ trường thay đổi tạo ra các điện trường, nên lập luận của chúng ta chỉ áp dụng cho các dây chuyển động trong các từ trường dừng.

Vậy thì tại sao nguyên lý công ảo lại cho đáp án đúng? Vì chúng ta vẫn chưa tính đến tổng năng lượng của thế giới. Chúng ta chưa bao gồm năng lượng của các dòng điện đang tạo ra từ trường mà chúng ta bắt đầu với nó.

Giả sử chúng ta tưởng tượng một hệ đầy đủ như hệ được vẽ trong Hình 15–3(a), trong đó chúng ta đang di chuyển vòng của chúng ta với dòng điện I₁ vào trong từ trường B₁ được tạo ra bởi dòng điện I₂ trong một cuộn dây. Bây giờ dòng điện I₁ trong vòng cũng sẽ tạo ra một từ trường nào đó B₂ tại cuộn dây. Nếu vòng đang chuyển động, trường B₂ sẽ thay đổi. Như chúng ta sẽ thấy trong chương tiếp theo, một từ trường thay đổi tạo ra một trường E; và trường E này sẽ thực hiện công trên các điện tích trong cuộn dây. Năng lượng này cũng phải được bao gồm trong bảng cân đối tổng năng lượng của chúng ta.

Chúng ta có thể đợi đến chương tiếp theo để tìm hiểu về số hạng năng lượng mới này, nhưng chúng ta cũng có thể thấy nó sẽ là gì nếu chúng ta dùng nguyên lý tương đối theo cách sau. Khi chúng ta đang di chuyển vòng về phía cuộn dây đứng yên, chúng ta biết rằng năng lượng điện của nó đúng bằng và ngược dấu với công cơ học được thực hiện. Vậy

U_mech + U_elect(vòng) = 0.

Bây giờ giả sử chúng ta nhìn vào điều đang xảy ra từ một quan điểm khác, trong đó vòng đứng yên, và cuộn dây được di chuyển về phía nó. Khi đó cuộn dây đang chuyển động vào trong trường được tạo ra bởi vòng. Các lập luận tương tự sẽ cho rằng

U_mech + U_elect(cuộn dây) = 0.

Năng lượng cơ học là như nhau trong hai trường hợp vì nó đến từ lực giữa hai mạch.

Tổng của hai phương trình cho

2U_mech + U_elect(vòng) + U_elect(cuộn dây) = 0.

Tổng năng lượng của toàn hệ, dĩ nhiên, là tổng của hai năng lượng điện cộng với năng lượng cơ học được lấy chỉ một lần. Vậy chúng ta có

U_total = U_elect(vòng) + U_elect(cuộn dây) + U_mech = −U_mech.   (15.13)

Tổng năng lượng của thế giới thật ra là âm của U_mech. Nếu chúng ta muốn năng lượng thật của một lưỡng cực từ, chẳng hạn, chúng ta nên viết

U_total = +μ·B.

Chỉ khi chúng ta đặt điều kiện rằng mọi dòng điện đều không đổi thì chúng ta mới có thể dùng chỉ một phần của năng lượng, U_mech (vốn luôn là âm của năng lượng thật), để tìm các lực cơ học. Trong một bài toán tổng quát hơn, chúng ta phải cẩn thận bao gồm mọi năng lượng.

Chúng ta đã thấy một tình huống tương tự trong tĩnh điện học. Chúng ta đã chỉ ra rằng năng lượng của một tụ điện bằng Q²/2C. Khi chúng ta dùng nguyên lý công ảo để tìm lực giữa các bản của tụ điện, sự thay đổi năng lượng bằng Q²/2 nhân với sự thay đổi của 1/C. Tức là,

ΔU = (Q²/2) Δ(1/C) = −(Q²/2) (ΔC/C²).   (15.14)

Bây giờ giả sử rằng chúng ta tính công được thực hiện khi di chuyển hai vật dẫn với điều kiện khác là hiệu điện thế giữa chúng được giữ không đổi. Khi đó chúng ta có thể thu được các đáp án đúng cho lực từ nguyên lý công ảo nếu chúng ta làm một điều nhân tạo. Vì Q = CV, năng lượng thật là ½CV². Nhưng nếu chúng ta định nghĩa một năng lượng nhân tạo bằng −½CV², thì nguyên lý công ảo có thể được dùng để thu được các lực bằng cách đặt sự thay đổi trong năng lượng nhân tạo bằng công cơ học, với điều kiện chúng ta kiên quyết rằng hiệu điện thế V được giữ không đổi. Khi đó

ΔU_mech = Δ(−CV²/2) = −(V²/2) ΔC,   (15.15)

mà cũng giống như phương trình (15.14). Chúng ta thu được kết quả đúng mặc dù chúng ta đang bỏ qua công được thực hiện bởi hệ điện để giữ cho hiệu điện thế không đổi. Một lần nữa, năng lượng điện này đúng gấp đôi năng lượng cơ học và ngược dấu.

Vậy nếu chúng ta tính toán một cách nhân tạo, bất chấp sự thật rằng nguồn của điện thế phải thực hiện công để duy trì các hiệu điện thế không đổi, chúng ta thu được đáp án đúng. Nó đúng tương tự với tình huống trong từ tĩnh học.

15–3  Năng lượng của các dòng điện dừng

Bây giờ chúng ta có thể dùng kiến thức của mình rằng U_total = −U_mech để tìm năng lượng thật của các dòng điện dừng trong các từ trường. Chúng ta có thể bắt đầu với năng lượng thật của một vòng dòng điện nhỏ. Gọi U_total chỉ là U, chúng ta viết

U = μ·B.   (15.16)

Mặc dù chúng ta đã tính năng lượng này cho một vòng hình chữ nhật phẳng, cùng kết quả cũng đúng đối với một vòng phẳng nhỏ có hình dạng bất kỳ.

Chúng ta có thể tìm năng lượng của một mạch có hình dạng bất kỳ bằng cách tưởng tượng rằng nó được tạo thành từ các vòng dòng điện nhỏ. Giả sử chúng ta có một sợi dây có hình dạng của vòng Γ trong Hình 15–4. Chúng ta lấp đầy đường cong này bằng bề mặt S, và trên bề mặt đánh dấu ra một số lớn các vòng nhỏ, mỗi vòng có thể được coi là phẳng. Nếu chúng ta cho dòng điện I lưu thông quanh mỗi vòng nhỏ, kết quả ròng sẽ giống như một dòng điện quanh Γ, vì các dòng điện sẽ triệt tiêu trên mọi đường bên trong Γ. Về mặt vật lý, hệ các dòng điện nhỏ không thể phân biệt được với mạch ban đầu. Năng lượng cũng phải như nhau, và vậy chỉ là tổng năng lượng của các vòng nhỏ.

Nếu diện tích của mỗi vòng nhỏ là Δa, năng lượng của nó là IΔaB_n, trong đó B_n là thành phần pháp tuyến của Δa. Tổng năng lượng là

U = Σ IB_n Δa.

Đi tới giới hạn của các vòng vô cùng nhỏ, tổng trở thành một tích phân, và

U = I∫ B_n da = I∫ B·n da,   (15.17)

trong đó n là pháp tuyến đơn vị của da.

Nếu chúng ta đặt B = ∇×A, chúng ta có thể liên hệ tích phân mặt với một tích phân đường, bằng cách dùng định lý Stokes,

I∫_S (∇×A)·n da = I∮_Γ A·ds,   (15.18)

trong đó ds là phần tử đường dọc theo Γ. Vậy chúng ta có năng lượng cho một mạch có hình dạng bất kỳ:

U = I ∮_mạch A·ds,   (15.19)

Trong biểu thức này A, dĩ nhiên, chỉ thế vector do các dòng điện đó (khác với I trong dây) tạo ra trường B tại sợi dây.

Bây giờ bất kỳ phân bố nào của các dòng điện dừng cũng có thể được tưởng tượng là được tạo thành từ các sợi chạy song song với các đường của dòng chảy. Đối với mỗi cặp mạch như vậy, năng lượng được cho bởi (15.19), trong đó tích phân được lấy quanh một mạch, dùng thế vector A từ mạch còn lại. Đối với tổng năng lượng chúng ta muốn tổng của mọi cặp như vậy. Nếu, thay vì theo dõi các cặp, chúng ta lấy tổng đầy đủ trên mọi sợi, chúng ta sẽ đếm năng lượng hai lần (chúng ta đã thấy một hiệu ứng tương tự trong tĩnh điện học), nên tổng năng lượng có thể được viết

U = ½∫ j·A dV.   (15.20)

Công thức này tương ứng với kết quả chúng ta đã tìm cho năng lượng tĩnh điện:

U = ½∫ ρφ dV.   (15.21)

Vậy chúng ta có thể, nếu muốn, nghĩ về A như một loại thế cho các dòng điện trong từ tĩnh học. Tiếc thay, ý tưởng này không quá hữu ích, vì nó chỉ đúng đối với các trường tĩnh. Quả thật, cả hai phương trình (15.20) và (15.21) đều không cho năng lượng đúng khi các trường thay đổi theo thời gian.

15–4  B so với A

Trong mục này chúng ta muốn thảo luận các câu hỏi sau: Thế vector chỉ đơn thuần là một công cụ hữu ích trong việc thực hiện các phép tính — như thế vô hướng hữu ích trong tĩnh điện học — hay thế vector là một trường “thật”? Chẳng phải từ trường mới là trường “thật” sao, vì nó chịu trách nhiệm về lực tác dụng lên một hạt đang chuyển động? Trước hết chúng ta nên nói rằng cụm từ “một trường thật” không có nhiều ý nghĩa lắm. Vì một điều, có lẽ bạn cũng không cảm thấy từ trường là rất “thật” đâu, vì ngay cả toàn bộ ý tưởng về một trường cũng là một điều khá trừu tượng. Bạn không thể đưa tay ra và cảm nhận từ trường. Hơn nữa, giá trị của từ trường không được xác định lắm; chẳng hạn, bằng cách chọn một hệ tọa độ chuyển động thích hợp, bạn có thể làm cho một từ trường tại một điểm cho trước biến mất.

Điều chúng ta có ý ở đây khi nói một trường “thật” là thế này: một trường thật là một hàm toán học chúng ta dùng để tránh ý tưởng tác dụng từ xa. Nếu chúng ta có một hạt tích điện tại vị trí P, nó bị ảnh hưởng bởi các điện tích khác nằm ở một khoảng cách nào đó từ P. Một cách để mô tả tương tác là nói rằng các điện tích khác tạo ra một “điều kiện” nào đó — dù nó là gì — trong môi trường tại P. Nếu chúng ta biết điều kiện đó, mà chúng ta mô tả bằng cách cho các điện trường và từ trường, thì chúng ta có thể xác định hoàn toàn hành vi của hạt — mà không cần tham chiếu thêm tới việc các điều kiện đó đã xuất hiện như thế nào.

Nói cách khác, nếu các điện tích kia bị thay đổi theo một cách nào đó, nhưng các điều kiện tại P được mô tả bởi điện trường và từ trường tại P vẫn như cũ, thì chuyển động của điện tích cũng sẽ như cũ. Một trường “thật” khi đó là một tập hợp các con số chúng ta chỉ định theo cách sao cho điều xảy ra tại một điểm chỉ phụ thuộc vào các con số tại điểm đó. Chúng ta không cần biết thêm bất cứ điều gì về những gì đang xảy ra ở những nơi khác. Chính theo nghĩa này mà chúng ta sẽ thảo luận xem thế vector có phải là một trường “thật” hay không.

Bạn có thể đang băn khoăn về sự thật là thế vector không phải là duy nhất — rằng nó có thể được thay đổi bằng cách cộng gradient của bất kỳ vô hướng nào mà không có bất kỳ thay đổi nào trong các lực tác dụng lên các hạt. Tuy nhiên, điều đó không có liên quan gì tới câu hỏi về tính thật theo nghĩa chúng ta đang nói. Chẳng hạn, từ trường theo một nghĩa nào đó bị thay đổi bởi một sự thay đổi tương đối tính (cũng như E và A). Nhưng chúng ta không lo lắng về điều gì xảy ra nếu trường có thể bị thay đổi theo cách này. Điều đó thực ra không tạo ra bất kỳ sự khác biệt nào; điều đó không có liên quan gì tới câu hỏi thế vector có phải là một trường “thật” thích hợp để mô tả các hiệu ứng từ hay không, hay nó chỉ là một công cụ toán học hữu ích.

Chúng ta cũng nên đưa ra một số nhận xét về tính hữu ích của thế vector A. Chúng ta đã thấy rằng nó có thể được dùng trong một thủ tục hình thức để tính các từ trường của các dòng điện đã biết, đúng như φ có thể được dùng để tìm các điện trường. Trong tĩnh điện học chúng ta đã thấy rằng φ được cho bởi tích phân vô hướng

φ(1) = (1/4πϵ₀)∫ ρ(2)/r₁₂ dV₂.   (15.22)

Từ φ này, chúng ta thu được ba thành phần của E bằng ba phép toán vi phân. Thủ tục này thường dễ xử lý hơn việc đánh giá ba tích phân trong công thức vector

E(1) = (1/4πϵ₀)∫ ρ(2)e₁₂/r₁₂² dV₂.   (15.23)

Thứ nhất, có ba tích phân; và thứ hai, mỗi tích phân nói chung có phần khó hơn.

Các lợi thế ít rõ ràng hơn nhiều đối với từ tĩnh học. Tích phân cho A đã là một tích phân vector:

A(1) = (1/4πϵ₀c²)∫ j(2) dV₂/r₁₂,   (15.24)

mà, dĩ nhiên, là ba tích phân. Ngoài ra, khi chúng ta lấy curl của A để thu được B, chúng ta có sáu đạo hàm phải làm và kết hợp theo từng cặp. Không rõ ràng ngay được là trong hầu hết các bài toán thủ tục này có thật sự dễ hơn việc tính B trực tiếp từ

B(1) = (1/4πϵ₀c²)∫ [j(2)×e₁₂/r₁₂²] dV₂ hay không.   (15.25)

Dùng thế vector thường khó hơn đối với các bài toán đơn giản vì lý do sau. Giả sử chúng ta chỉ quan tâm đến từ trường B tại một điểm, và bài toán có một đối xứng đẹp nào đó — chẳng hạn chúng ta muốn trường tại một điểm trên trục của một vòng dòng điện. Vì đối xứng, chúng ta có thể dễ dàng thu được B bằng cách làm tích phân của phương trình (15.25). Tuy nhiên, nếu chúng ta tìm A trước, chúng ta sẽ phải tính B từ các đạo hàm của A, nên chúng ta phải biết A là gì tại mọi điểm trong vùng lân cận của điểm quan tâm. Và hầu hết các điểm này nằm ngoài trục đối xứng, nên tích phân cho A trở nên phức tạp. Trong bài toán vòng, chẳng hạn, chúng ta sẽ cần dùng các tích phân elliptic. Trong các bài toán như vậy, A rõ ràng không quá hữu ích. Đúng là trong nhiều bài toán phức tạp, làm việc với A dễ hơn, nhưng sẽ khó mà lập luận rằng sự dễ dàng về kỹ thuật này biện minh cho việc bắt bạn học về thêm một trường vector nữa.

Chúng ta đã giới thiệu A vì nó quả thực có một ý nghĩa vật lý quan trọng. Nó không chỉ liên quan đến năng lượng của các dòng điện, như chúng ta đã thấy trong mục trước, mà nó còn là một trường vật lý “thật” theo nghĩa chúng ta đã mô tả ở trên. Trong cơ học cổ điển, rõ ràng là chúng ta có thể viết lực tác dụng lên một hạt là

F = q(E + v×B),   (15.26)

nên, cho trước các lực, mọi điều về chuyển động đều được xác định. Trong bất kỳ miền nào nơi B = 0 dù A không bằng không, chẳng hạn như bên ngoài một solenoid, không có hiệu ứng nào có thể nhận thấy được của A. Do đó trong một thời gian dài người ta đã tin rằng A không phải là một trường “thật”. Tuy nhiên, hóa ra là có các hiện tượng liên quan đến cơ học lượng tử cho thấy trường A quả thật là một trường “thật” theo nghĩa chúng ta đã định nghĩa. Trong mục tiếp theo chúng ta sẽ chỉ cho bạn cách điều đó hoạt động.

15–5  Thế vector và cơ học lượng tử

Có nhiều thay đổi trong việc những khái niệm nào là quan trọng khi chúng ta đi từ cơ học cổ điển sang cơ học lượng tử. Chúng ta đã thảo luận một số trong chúng trong Tập I. Đặc biệt, khái niệm lực dần dần mờ đi, trong khi các khái niệm năng lượng và động lượng trở nên quan trọng hàng đầu. Bạn nhớ rằng thay vì các chuyển động của hạt, người ta xử lý các biên độ xác suất thay đổi trong không gian và thời gian. Trong các biên độ này có các bước sóng liên quan đến các động lượng, và các tần số liên quan đến các năng lượng. Các động lượng và năng lượng, vốn xác định các pha của các hàm sóng, do đó là các đại lượng quan trọng trong cơ học lượng tử. Thay vì các lực, chúng ta xử lý cách các tương tác làm thay đổi bước sóng của các sóng. Ý tưởng về một lực trở nên khá thứ yếu — nếu nó còn có mặt chút nào. Khi người ta nói về các lực hạt nhân, chẳng hạn, cái họ thường phân tích và làm việc với là năng lượng tương tác của hai nucleon, chứ không phải lực giữa chúng. Không ai từng vi phân năng lượng để tìm hiểu lực trông như thế nào. Trong mục này chúng ta muốn mô tả cách các thế vector và thế vô hướng đi vào cơ học lượng tử. Quả thật, chính vì động lượng và năng lượng đóng một vai trò trung tâm trong cơ học lượng tử mà A và φ cung cấp cách trực tiếp nhất để đưa các hiệu ứng điện từ vào các mô tả lượng tử.

Chúng ta phải ôn lại một chút về cách cơ học lượng tử hoạt động. Chúng ta sẽ lại xét thí nghiệm tưởng tượng được mô tả trong Chương 37 của Tập I, trong đó các electron bị nhiễu xạ bởi hai khe. Bố trí được chỉ lại trong Hình 15–5. Các electron, tất cả có gần như cùng năng lượng, rời nguồn và di chuyển về phía một bức tường có hai khe hẹp. Phía sau bức tường là một “tấm chắn” với một đầu dò di chuyển được. Đầu dò đo tốc độ, mà chúng ta gọi là I, tại đó các electron tới một miền nhỏ của tấm chắn ở khoảng cách x từ trục đối xứng. Tốc độ này tỉ lệ với xác suất mà một electron riêng lẻ rời nguồn sẽ tới được miền đó của tấm chắn. Xác suất này có phân bố trông phức tạp được chỉ trong hình, mà chúng ta hiểu là do sự giao thoa của hai biên độ, một từ mỗi khe. Sự giao thoa của hai biên độ phụ thuộc vào hiệu pha của chúng. Tức là, nếu các biên độ là C₁e^iΦ₁ và C₂e^iΦ₂, hiệu pha δ = Φ₁ − Φ₂ xác định hình ảnh giao thoa của chúng [xem phương trình (29.12) trong Tập I]. Nếu khoảng cách giữa màn và các khe là L, và nếu hiệu độ dài đường đi đối với các electron đi qua hai khe là a, như được chỉ trong hình, thì hiệu pha của hai sóng được cho bởi

δ = a/λ̄.   (15.27)

Như thường lệ, chúng ta đặt λ̄ = λ/2π, trong đó λ là bước sóng của sự biến thiên không gian của biên độ xác suất. Để đơn giản, chúng ta sẽ chỉ xét các giá trị của x nhỏ hơn L rất nhiều; khi đó chúng ta có thể đặt

a = (x/L)d

và

δ = (x/L)(d/λ̄).   (15.28)

Khi x bằng không, δ bằng không; các sóng cùng pha, và xác suất có một cực đại. Khi δ là π, các sóng ngược pha, chúng giao thoa triệt tiêu, và xác suất là một cực tiểu. Vậy chúng ta thu được hàm gợn sóng cho cường độ electron.

Bây giờ chúng ta muốn phát biểu định luật mà đối với cơ học lượng tử thay thế định luật lực F = qv×B. Nó sẽ là định luật xác định hành vi của các hạt cơ học lượng tử trong một trường điện từ. Vì điều xảy ra được xác định bởi các biên độ, định luật phải cho chúng ta biết các ảnh hưởng từ tác động lên các biên độ như thế nào; chúng ta không còn xử lý gia tốc của một hạt nữa. Định luật là như sau: pha của biên độ để tới nơi qua bất kỳ quỹ đạo nào bị thay đổi bởi sự hiện diện của một từ trường một lượng bằng tích phân của thế vector dọc theo toàn bộ quỹ đạo nhân với điện tích của hạt trên hằng số Planck. Tức là,

Sự thay đổi pha do từ trường = (q/ℏ)∫_{quỹ đạo} A·ds.   (15.29)

Nếu không có từ trường, sẽ có một pha tới nơi nào đó. Nếu có một từ trường ở đâu đó, pha của sóng tới nơi được tăng thêm bởi tích phân trong phương trình (15.29).

Mặc dù chúng ta sẽ không cần dùng nó cho thảo luận hiện tại của mình, chúng ta cũng nhắc rằng hiệu ứng của một trường tĩnh điện là tạo ra một sự thay đổi pha được cho bởi âm của tích phân theo thời gian của thế vô hướng φ:

Sự thay đổi pha do điện trường = −(q/ℏ)∫φ dt.

Hai biểu thức này đúng không chỉ đối với các trường tĩnh, mà cùng nhau cho kết quả đúng đối với bất kỳ trường điện từ nào, tĩnh hay động. Đây là định luật thay thế F = q(E + v×B). Tuy nhiên, bây giờ chúng ta chỉ muốn xét một từ trường tĩnh.

Giả sử rằng có một từ trường hiện diện trong thí nghiệm hai khe. Chúng ta muốn hỏi về pha tới nơi tại màn của hai sóng mà các đường đi của chúng qua hai khe. Sự giao thoa của chúng xác định các cực đại trong xác suất sẽ ở đâu. Chúng ta có thể gọi Φ₁ là pha của sóng dọc theo quỹ đạo (1). Nếu Φ₁(B = 0) là pha khi không có từ trường, thì khi trường được bật lên, pha sẽ là

Φ₁ = Φ₁(B = 0) + (q/ℏ)∫₍₁₎ A·ds.   (15.30)

Tương tự, pha đối với quỹ đạo (2) là

Φ₂ = Φ₂(B = 0) + (q/ℏ)∫₍₂₎ A·ds.   (15.31)

Sự giao thoa của các sóng tại đầu dò phụ thuộc vào hiệu pha

δ = Φ₁(B = 0) − Φ₂(B = 0) + (q/ℏ)∫₍₁₎ A·ds − (q/ℏ)∫₍₂₎ A·ds.   (15.32)

Hiệu khi không có trường chúng ta sẽ gọi là δ(B = 0); nó chỉ là hiệu pha chúng ta đã tính ở trên trong phương trình (15.28). Ngoài ra, chúng ta để ý rằng hai tích phân có thể được viết thành một tích phân đi tới dọc theo (1) và quay lại dọc theo (2); chúng ta gọi đó là đường kín (1–2). Vậy chúng ta có

δ = δ(B = 0) + (q/ℏ)∮_(1–2) A·ds.   (15.33)

Phương trình này cho chúng ta biết chuyển động của electron bị thay đổi bởi từ trường như thế nào; với nó chúng ta có thể tìm các vị trí mới của các cực đại và cực tiểu cường độ tại tấm chắn.

Tuy nhiên, trước khi làm điều đó, chúng ta muốn nêu ra điểm thú vị và quan trọng sau. Bạn nhớ rằng hàm thế vector có một sự tùy ý nào đó. Hai hàm thế vector khác nhau A và A′ mà hiệu của chúng là gradient của một hàm vô hướng nào đó ∇ψ, cả hai đều biểu diễn cùng một từ trường, vì curl của một gradient bằng không. Do đó chúng cho cùng một lực cổ điển qv×B. Nếu trong cơ học lượng tử các hiệu ứng phụ thuộc vào thế vector, thì hàm A nào trong nhiều hàm có thể là đúng?

Đáp án là cùng một sự tùy ý trong A tiếp tục tồn tại đối với cơ học lượng tử. Nếu trong phương trình (15.33) chúng ta thay đổi A thành A′ = A + ∇ψ, tích phân trên A trở thành

∮_(1–2) A′·ds = ∮_(1–2) A·ds + ∮_(1–2) ∇ψ·ds.

Tích phân của ∇ψ là trên đường kín (1–2), nhưng tích phân của thành phần tiếp tuyến của một gradient trên một đường kín luôn bằng không, bởi định lý Stokes. Do đó cả A và A′ đều cho cùng các hiệu pha và cùng các hiệu ứng giao thoa cơ học lượng tử. Trong cả lý thuyết cổ điển lẫn lý thuyết lượng tử, chỉ curl của A mới quan trọng; bất kỳ lựa chọn nào của hàm A có curl đúng đều cho vật lý đúng.

Cùng kết luận là hiển nhiên nếu chúng ta dùng các kết quả của Mục 14–1. Ở đó chúng ta đã thấy rằng tích phân đường của A quanh một đường kín là thông lượng của B qua đường đó, mà ở đây là thông lượng giữa các đường (1) và (2). Phương trình (15.33), nếu chúng ta muốn, có thể được viết là

δ = δ(B = 0) + (q/ℏ) [thông lượng của B giữa (1) và (2)],   (15.34)

trong đó bởi thông lượng của B chúng ta có ý chỉ, như thường lệ, tích phân mặt của thành phần pháp tuyến của B. Kết quả chỉ phụ thuộc vào B, và do đó chỉ phụ thuộc vào curl của A.

Bây giờ vì chúng ta có thể viết kết quả theo B cũng như theo A, bạn có thể có khuynh hướng nghĩ rằng B giữ vững vị thế của nó như một trường “thật” và A vẫn có thể được nghĩ là một cấu trúc nhân tạo. Nhưng định nghĩa về trường “thật” mà chúng ta đã đề xuất ban đầu dựa trên ý tưởng rằng một trường “thật” sẽ không tác dụng lên một hạt từ một khoảng cách. Tuy nhiên, chúng ta có thể đưa ra một ví dụ trong đó B bằng không — hay ít nhất nhỏ tùy ý — tại bất kỳ nơi nào có một cơ hội nào đó để tìm thấy các hạt, nên không thể nghĩ rằng nó tác dụng trực tiếp lên chúng.

Bạn nhớ rằng đối với một solenoid dài mang một dòng điện, có một trường B ở bên trong nhưng không có ở bên ngoài, trong khi có rất nhiều A lưu thông quanh bên ngoài, như được chỉ trong Hình 15–6. Nếu chúng ta bố trí một tình huống trong đó các electron chỉ được tìm thấy bên ngoài solenoid — chỉ nơi có A — vẫn sẽ có một ảnh hưởng lên chuyển động, theo phương trình (15.33). Về mặt cổ điển, điều đó là không thể. Về mặt cổ điển, lực chỉ phụ thuộc vào B; để biết rằng solenoid đang mang dòng điện, hạt phải đi qua nó. Nhưng về mặt cơ học lượng tử, bạn có thể tìm ra rằng có một từ trường bên trong solenoid bằng cách đi vòng quanh nó — mà không bao giờ tới gần nó!

Giả sử rằng chúng ta đặt một solenoid rất dài có đường kính nhỏ ngay phía sau bức tường và giữa hai khe, như được chỉ trong Hình 15–7. Đường kính của solenoid phải nhỏ hơn nhiều so với khoảng cách d giữa hai khe. Trong các hoàn cảnh này, sự nhiễu xạ của các electron tại khe cho xác suất không đáng kể rằng các electron sẽ tới gần solenoid. Hiệu ứng lên thí nghiệm giao thoa của chúng ta sẽ là gì?

Chúng ta so sánh tình huống có và không có một dòng điện qua solenoid. Nếu chúng ta không có dòng điện, chúng ta không có B hay A và chúng ta thu được hình ảnh ban đầu của cường độ electron tại tấm chắn. Nếu chúng ta bật dòng điện trong solenoid và xây dựng một từ trường B bên trong, thì có một A ở bên ngoài. Có một sự dịch chuyển trong hiệu pha tỉ lệ với lưu thông của A bên ngoài solenoid, điều này sẽ có nghĩa là hình ảnh các cực đại và cực tiểu bị dịch chuyển tới một vị trí mới. Quả thật, vì thông lượng của B bên trong là một hằng số đối với bất kỳ cặp đường đi nào, nên lưu thông của A cũng vậy. Đối với mọi điểm tới nơi, có cùng một sự thay đổi pha; điều này tương ứng với việc dịch chuyển toàn bộ hình ảnh theo x một lượng không đổi, chẳng hạn x₀, mà chúng ta có thể dễ dàng tính. Cường độ cực đại sẽ xảy ra nơi hiệu pha giữa hai sóng bằng không. Dùng phương trình (15.33) hay phương trình (15.34) cho δ và phương trình (15.28) cho x, chúng ta có

x₀ = −(L/d)λ̄ (q/ℏ)∮_(1–2) A·ds,   (15.35)

hay

x₀ = −(L/d)λ̄ (q/ℏ) [thông lượng của B giữa (1) và (2)].   (15.36)

Hình ảnh với solenoid ở vào vị trí sẽ xuất hiện¹ như được chỉ trong Hình 15–7. Ít nhất, đó là tiên đoán của cơ học lượng tử.

Chính xác thí nghiệm này gần đây đã được thực hiện. Nó là một thí nghiệm rất, rất khó. Vì bước sóng của các electron quá nhỏ, thiết bị phải ở một quy mô cực nhỏ để quan sát sự giao thoa. Các khe phải rất gần nhau, và điều đó có nghĩa là người ta cần một solenoid cực kỳ nhỏ. Hóa ra là trong một số hoàn cảnh nhất định, các tinh thể sắt sẽ mọc dưới dạng các sợi rất dài, mỏng ở cấp hiển vi gọi là râu tinh thể (whiskers). Khi các râu sắt này bị từ hóa, chúng giống như một solenoid tí hon, và không có trường ở bên ngoài ngoại trừ gần các đầu. Thí nghiệm giao thoa electron đã được thực hiện với một râu tinh thể như vậy giữa hai khe, và sự dịch chuyển được tiên đoán trong hình ảnh các electron đã được quan sát.

Vậy theo nghĩa của chúng ta, trường A là “thật.” Bạn có thể nói: “Nhưng có một từ trường.” Quả có, nhưng hãy nhớ ý tưởng ban đầu của chúng ta — rằng một trường là “thật” nếu nó là cái phải được chỉ định tại vị trí của hạt để thu được chuyển động. Trường B trong râu tinh thể tác dụng từ một khoảng cách. Nếu chúng ta muốn mô tả ảnh hưởng của nó không phải như một tác dụng từ xa, chúng ta phải dùng thế vector.

Chủ đề này có một lịch sử thú vị. Lý thuyết chúng ta đã mô tả đã được biết từ lúc khởi đầu của cơ học lượng tử vào năm 1926. Sự thật rằng thế vector xuất hiện trong phương trình sóng của cơ học lượng tử (gọi là phương trình Schrödinger) là hiển nhiên từ ngày nó được viết ra. Rằng nó không thể được thay thế bằng từ trường theo bất kỳ cách dễ dàng nào đã được quan sát bởi người này đến người khác đã cố làm như vậy. Điều này cũng rõ ràng từ ví dụ của chúng ta về các electron chuyển động trong một miền nơi không có trường mà vẫn bị ảnh hưởng. Nhưng vì trong cơ học cổ điển A dường như không có tầm quan trọng trực tiếp nào và, hơn nữa, vì nó có thể bị thay đổi bằng cách cộng một gradient, người ta liên tục nói rằng thế vector không có ý nghĩa vật lý trực tiếp nào — rằng chỉ các từ trường và điện trường mới là “đúng” ngay cả trong cơ học lượng tử. Nhìn lại dường như thật lạ là không ai nghĩ tới việc thảo luận thí nghiệm này cho tới năm 1956, khi Bohm và Aharonov lần đầu tiên đề xuất nó và làm cho toàn bộ câu hỏi trở nên rõ ràng như pha lê. Hàm ý đã ở đó suốt thời gian qua, nhưng không ai để ý tới nó. Như vậy nhiều người đã khá sốc khi vấn đề được nêu lên. Đó là lý do tại sao ai đó đã nghĩ rằng đáng làm thí nghiệm để xem nó có thật sự đúng không, mặc dù cơ học lượng tử, vốn đã được tin tưởng trong bao nhiêu năm, cho một đáp án không thể nhầm lẫn. Thật thú vị là một điều như thế này có thể hiện diện quanh ta trong ba mươi năm nhưng, vì một số thành kiến nào đó về cái gì là và cái gì không phải là quan trọng, tiếp tục bị bỏ qua.

Bây giờ chúng ta muốn tiếp tục phân tích của mình thêm một chút nữa. Chúng ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa công thức cơ học lượng tử và công thức cổ điển — để chỉ ra tại sao hóa ra là nếu chúng ta nhìn các sự vật ở một quy mô đủ lớn, nó sẽ trông như thể các hạt bị tác dụng bởi một lực bằng qv× curl của A. Để thu được cơ học cổ điển từ cơ học lượng tử, chúng ta cần xét các trường hợp trong đó mọi bước sóng đều rất nhỏ so với các khoảng cách mà trên đó các điều kiện bên ngoài, như các trường, thay đổi đáng kể. Chúng ta sẽ không chứng minh kết quả với tính tổng quát lớn, mà chỉ trong một ví dụ rất đơn giản, để chỉ ra nó hoạt động như thế nào. Một lần nữa chúng ta xét cùng thí nghiệm khe. Nhưng thay vì đặt toàn bộ từ trường trong một miền rất nhỏ giữa các khe, chúng ta tưởng tượng một từ trường kéo dài trên một miền lớn hơn phía sau các khe, như được chỉ trong Hình 15–8. Chúng ta sẽ lấy trường hợp lý tưởng hóa trong đó chúng ta có một từ trường đều trong một dải hẹp có bề rộng w, được coi là nhỏ so với L. (Điều đó có thể được bố trí dễ dàng; tấm chắn có thể được đặt ra xa tùy ý chúng ta muốn.) Để tính sự dịch chuyển pha, chúng ta phải lấy hai tích phân của A dọc theo hai quỹ đạo (1) và (2). Chúng khác nhau, như chúng ta đã thấy, chỉ bởi thông lượng của B giữa các đường đi. Theo phép gần đúng của chúng ta, thông lượng là Bwd. Hiệu pha đối với hai đường đi khi đó là

δ = δ(B = 0) + (q/ℏ)Bwd.   (15.37)

Chúng ta để ý rằng, theo phép gần đúng của chúng ta, sự dịch chuyển pha không phụ thuộc vào góc. Vậy một lần nữa hiệu ứng sẽ là dịch chuyển toàn bộ hình ảnh lên trên một lượng Δx. Dùng phương trình (15.35),

Δx = −(Lλ̄/d) Δδ = −(Lλ̄/d) [δ − δ(B = 0)].

Dùng (15.37) cho δ − δ(B = 0),

Δx = −Lλ̄ (q/ℏ) Bw.   (15.38)

Một sự dịch chuyển như vậy tương đương với việc làm lệch mọi quỹ đạo một góc nhỏ α (xem Hình 15–8), trong đó

α = Δx/L = −(λ̄/ℏ)qBw.   (15.39)

Bây giờ về mặt cổ điển chúng ta cũng sẽ kỳ vọng một dải từ trường mỏng làm lệch mọi quỹ đạo một góc nhỏ nào đó, chẳng hạn α′, như được chỉ trong Hình 15–9(a). Khi các electron đi qua từ trường, chúng cảm nhận một lực ngang qv×B kéo dài trong một thời gian w/v. Sự thay đổi động lượng ngang của chúng đúng bằng xung lượng này, nên

Δp_x = −qwB.   (15.40)

Sự lệch góc [Hình 15–9(b)] bằng tỉ số của động lượng ngang này với tổng động lượng p. Chúng ta thu được

α′ = Δp_x/p = −qwB/p.   (15.41)

Chúng ta có thể so sánh kết quả này với phương trình (15.39), vốn cho cùng đại lượng được tính theo cơ học lượng tử. Nhưng mối liên hệ giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử là thế này: Một hạt có động lượng p tương ứng với một biên độ lượng tử thay đổi với bước sóng λ̄ = ℏ/p. Với đẳng thức này, α và α′ là đồng nhất; các phép tính cổ điển và lượng tử cho cùng một kết quả.

Từ phân tích chúng ta thấy làm thế nào mà thế vector, vốn xuất hiện trong cơ học lượng tử dưới một dạng tường minh, lại tạo ra một lực cổ điển chỉ phụ thuộc vào các đạo hàm của nó. Trong cơ học lượng tử, điều quan trọng là sự giao thoa giữa các đường đi lân cận; nó luôn hóa ra là các hiệu ứng chỉ phụ thuộc vào việc trường A thay đổi bao nhiêu từ điểm này tới điểm kia, và do đó chỉ phụ thuộc vào các đạo hàm của A chứ không phụ thuộc vào chính giá trị của nó. Tuy nhiên, thế vector A (cùng với thế vô hướng φ đi kèm với nó) dường như cho sự mô tả trực tiếp nhất về vật lý. Điều này càng lúc càng rõ ràng khi chúng ta đi càng sâu vào lý thuyết lượng tử. Trong lý thuyết tổng quát của điện động lực học lượng tử, người ta lấy các thế vector và thế vô hướng làm các đại lượng cơ bản trong một tập hợp các phương trình thay thế các phương trình Maxwell: E và B đang dần dần biến mất khỏi sự biểu diễn hiện đại của các định luật vật lý; chúng đang được thay thế bởi A và φ.

15–6  Điều đúng đối với tĩnh học thì sai đối với động lực học

Chúng ta bây giờ đang ở cuối cuộc khảo sát của chúng ta về chủ đề các trường tĩnh. Ngay trong chương này chúng ta đã tới gần một cách nguy hiểm tới việc phải lo lắng về điều gì xảy ra khi các trường thay đổi theo thời gian. Chúng ta chỉ vừa đủ tránh được nó trong cách xử lý năng lượng từ của chúng ta bằng cách nương náu vào một lập luận tương đối tính. Dù vậy, cách xử lý vấn đề năng lượng của chúng ta có phần nhân tạo và có lẽ thậm chí khó hiểu, vì chúng ta đã bỏ qua sự thật rằng các cuộn dây chuyển động, trên thực tế, phải tạo ra các trường thay đổi. Bây giờ đã đến lúc đảm nhận việc xử lý các trường thay đổi theo thời gian — chủ đề của điện động lực học. Chúng ta sẽ làm như vậy trong chương tiếp theo. Tuy nhiên, trước hết, chúng ta muốn nhấn mạnh một vài điểm.

Mặc dù chúng ta đã bắt đầu khóa học này bằng một sự trình bày các phương trình đầy đủ và đúng của điện từ học, chúng ta ngay lập tức bắt đầu nghiên cứu một số mảnh không đầy đủ — vì điều đó dễ hơn. Có một lợi thế lớn trong việc bắt đầu với lý thuyết đơn giản hơn về các trường tĩnh, và chỉ sau đó mới tiến tới lý thuyết phức tạp hơn bao gồm các trường động. Có ít tài liệu mới phải học cùng một lúc hơn, và có thời gian để bạn phát triển các cơ bắp trí tuệ của mình chuẩn bị cho nhiệm vụ lớn hơn.

Nhưng có nguy cơ trong quá trình này là trước khi chúng ta được thấy câu chuyện đầy đủ, các sự thật không đầy đủ học được trên đường có thể trở nên ăn sâu và được coi là toàn bộ sự thật — rằng cái gì là đúng và cái gì chỉ đôi khi đúng sẽ trở nên lẫn lộn. Vậy chúng ta đưa ra trong Bảng 15–1 một bản tóm tắt các công thức quan trọng chúng ta đã bao quát, tách những công thức đúng nói chung khỏi những công thức đúng đối với tĩnh học, nhưng sai đối với động lực học. Bản tóm tắt này cũng chỉ ra, một phần, chúng ta đang đi tới đâu, vì khi chúng ta xử lý động lực học chúng ta sẽ phát triển chi tiết những điều mà ở đây chúng ta phải chỉ phát biểu mà không chứng minh.

Các phương trình được đánh dấu (➔) là các phương trình Maxwell.

Có thể hữu ích khi đưa ra một vài nhận xét về bảng. Thứ nhất, bạn nên để ý rằng các phương trình chúng ta bắt đầu với là các phương trình đúng — chúng ta đã không đánh lừa bạn ở chỗ đó. Lực điện từ (thường được gọi là lực Lorentz) F = q(E + v×B) là đúng. Chỉ có định luật Coulomb là sai, chỉ được dùng đối với tĩnh học. Bốn phương trình Maxwell cho E và B cũng đúng. Các phương trình chúng ta đã lấy đối với tĩnh học là sai, dĩ nhiên, vì chúng ta đã bỏ đi mọi số hạng có các đạo hàm theo thời gian.

Định luật Gauss, ∇·E = ρ/ϵ₀, vẫn còn, nhưng curl của E không bằng không nói chung. Vậy E không thể luôn được cho bằng gradient của một vô hướng — thế tĩnh điện. Chúng ta sẽ thấy rằng một thế vô hướng vẫn còn tồn tại, nhưng nó là một đại lượng thay đổi theo thời gian phải được dùng cùng với các thế vector để có một sự mô tả đầy đủ về điện trường. Các phương trình chi phối thế vô hướng mới này, một cách tất yếu, cũng mới.

Chúng ta cũng phải từ bỏ ý tưởng rằng E bằng không trong các vật dẫn. Khi các trường đang thay đổi, các điện tích trong các vật dẫn, nói chung, không có thời gian để tự sắp xếp lại để làm cho trường bằng không. Chúng bị đặt vào chuyển động, nhưng không bao giờ đạt cân bằng. Phát biểu tổng quát duy nhất là: các điện trường trong các vật dẫn tạo ra các dòng điện. Vậy trong các trường thay đổi, một vật dẫn không phải là một đẳng thế. Cũng suy ra rằng ý tưởng về một điện dung không còn chính xác nữa.

Vì không có các điện tích từ, divergence của B luôn bằng không. Vậy B luôn có thể được cho bằng ∇×A. (Không phải mọi thứ đều thay đổi!) Nhưng sự tạo thành của B không chỉ từ các dòng điện; ∇×B tỉ lệ với mật độ dòng điện cộng với một số hạng mới ∂E/∂t. Điều này có nghĩa là A liên hệ với các dòng điện bởi một phương trình mới. Nó cũng liên hệ với φ. Nếu chúng ta tận dụng sự tự do của mình để chọn ∇·A vì sự tiện lợi của riêng mình, các phương trình cho A hay φ có thể được sắp xếp để có một dạng đơn giản và thanh thoát. Do đó chúng ta đặt điều kiện rằng c²∇·A = −∂φ/∂t, và các phương trình vi phân cho A hay φ xuất hiện như được chỉ trong bảng.

Các thế A và φ vẫn có thể được tìm bằng các tích phân trên các dòng điện và điện tích, nhưng không phải cùng các tích phân như đối với tĩnh học. Tuyệt vời nhất, tuy nhiên, là các tích phân đúng giống như các tích phân tĩnh, chỉ với một sự sửa đổi nhỏ và hấp dẫn về mặt vật lý. Khi chúng ta làm các tích phân để tìm các thế tại một điểm nào đó, chẳng hạn điểm (1) trong Hình 15–10, chúng ta phải dùng các giá trị của j và ρ tại điểm (2) tại một thời điểm sớm hơn t′ = t − r₁₂/c. Như bạn sẽ kỳ vọng, các ảnh hưởng lan truyền từ điểm (2) tới điểm (1) với tốc độ c. Với sự thay đổi nhỏ này, người ta có thể giải tìm các trường của các dòng điện và điện tích thay đổi, vì một khi chúng ta có A và φ, chúng ta thu được B từ ∇×A, như trước, và E từ −∇φ − ∂A/∂t.

Cuối cùng, bạn sẽ để ý rằng một số kết quả — chẳng hạn, rằng mật độ năng lượng trong một điện trường là ϵ₀E²/2 — là đúng đối với điện động lực học cũng như đối với tĩnh học. Bạn không nên bị đánh lừa mà nghĩ rằng điều này là hoàn toàn “tự nhiên.” Tính hợp lệ của bất kỳ công thức nào được suy ra trong trường hợp tĩnh phải được chứng minh lại từ đầu đối với trường hợp động. Một ví dụ ngược lại là biểu thức cho năng lượng tĩnh điện theo một tích phân thể tích của ρφ. Kết quả này chỉ đúng đối với tĩnh học.

Chúng ta sẽ xét mọi vấn đề này chi tiết hơn vào lúc thích hợp, nhưng có lẽ sẽ hữu ích khi ghi nhớ bản tóm tắt này, để bạn sẽ biết bạn có thể quên điều gì, và bạn nên nhớ điều gì là luôn đúng.