Chương 19: Nguyên lý tác dụng tối thiểu

“Thầy Bader đã nói với tôi điều sau đây: Giả sử bạn có một hạt (trong một trường hấp dẫn, chẳng hạn) bắt đầu ở một nơi nào đó và di chuyển tới một điểm khác bằng chuyển động tự do — bạn ném nó lên, và nó đi lên rồi đi xuống (Hình 19–1). Nó đi từ nơi ban đầu tới nơi cuối cùng trong một khoảng thời gian nhất định. Bây giờ, bạn thử một chuyển động khác. Giả sử rằng để đi từ đây tới đó, nó đi như trong Hình 19–2 nhưng đến nơi trong đúng cùng một khoảng thời gian. Rồi thầy nói thế này: Nếu bạn tính động năng tại mỗi khoảnh khắc trên quỹ đạo, trừ đi thế năng, và tích phân nó theo thời gian trong suốt quỹ đạo, bạn sẽ thấy rằng con số bạn thu được lớn hơn con số cho chuyển động thực.

“Nói cách khác, các định luật Newton có thể được phát biểu không phải dưới dạng F = ma mà dưới dạng: động năng trung bình trừ thế năng trung bình là nhỏ nhất có thể đối với quỹ đạo của một vật đi từ một điểm tới một điểm khác.

“Để tôi minh họa rõ hơn một chút ý nghĩa của nó. Nếu bạn lấy trường hợp trường hấp dẫn, thì nếu hạt có quỹ đạo x(t) (hãy chỉ lấy một chiều trong chốc lát; chúng ta lấy một quỹ đạo đi lên và đi xuống chứ không đi ngang), trong đó x là chiều cao trên mặt đất, động năng là (1/2)m(dx/dt)², và thế năng tại bất kỳ thời điểm nào là mgx. Bây giờ tôi lấy động năng trừ thế năng tại mỗi khoảnh khắc dọc theo quỹ đạo và tích phân nó theo thời gian từ thời điểm ban đầu tới thời điểm cuối cùng. Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu t₁ chúng ta bắt đầu ở một chiều cao nào đó và tại cuối thời gian t₂ chúng ta chắc chắn kết thúc ở một nơi khác nào đó (Hình 19–3).

“Khi đó tích phân là

∫_t1^t₂ [ (1/2)m(dx/dt)² − mgx ] dt.

“Chuyển động thực là một đường cong nào đó — nó là một parabol nếu chúng ta vẽ theo thời gian — và cho một giá trị nhất định cho tích phân. Nhưng chúng ta có thể hình dung một chuyển động khác nào đó đi rất cao và lên xuống theo một cách kỳ quặc nào đó (Hình 19–4). Chúng ta có thể tính động năng trừ thế năng và tích phân cho một quỹ đạo như vậy … hay cho bất kỳ quỹ đạo nào khác chúng ta muốn. Điều kỳ diệu là quỹ đạo đúng là quỹ đạo mà tích phân đó là nhỏ nhất.

“Hãy thử nghiệm nó. Đầu tiên, giả sử chúng ta lấy trường hợp một hạt tự do mà không có thế năng nào cả. Khi đó quy tắc nói rằng khi đi từ một điểm tới một điểm khác trong một khoảng thời gian cho trước, tích phân động năng là nhỏ nhất, nên nó phải đi với tốc độ đều. (Chúng ta biết đó là đáp án đúng — đi với tốc độ đều.) Tại sao vậy? Bởi vì nếu hạt đi theo bất kỳ cách nào khác, các vận tốc sẽ có lúc cao hơn và có lúc thấp hơn vận tốc trung bình. Vận tốc trung bình là như nhau trong mọi trường hợp bởi vì nó phải đi từ ‘đây’ tới ‘đó’ trong một khoảng thời gian cho trước.

“Chẳng hạn, giả sử công việc của bạn là khởi hành từ nhà và đến trường trong một khoảng thời gian cho trước bằng ô tô. Bạn có thể làm điều đó theo nhiều cách: Bạn có thể tăng tốc như điên lúc đầu và chậm lại bằng phanh gần cuối, hoặc bạn có thể đi với tốc độ đều, hoặc bạn có thể đi lùi một lúc rồi đi tiến, và cứ thế. Vấn đề là tốc độ trung bình phải là, dĩ nhiên, tổng quãng đường bạn đã đi chia cho thời gian. Nhưng nếu bạn làm bất cứ điều gì khác ngoài việc đi với tốc độ đều, thì có lúc bạn đi quá nhanh và có lúc bạn đi quá chậm. Bây giờ trung bình của bình phương của một cái gì đó lệch quanh một giá trị trung bình, như bạn biết, luôn lớn hơn bình phương của giá trị trung bình; vậy tích phân động năng sẽ luôn cao hơn nếu bạn dao động vận tốc của mình so với khi bạn đi với vận tốc đều. Vậy chúng ta thấy rằng tích phân là cực tiểu nếu vận tốc là hằng số (khi không có lực nào). Quỹ đạo đúng được chỉ ra trong Hình 19–5.

“Bây giờ, một vật được ném lên trong một trường hấp dẫn quả thực lúc đầu bay lên nhanh hơn rồi chậm dần. Đó là bởi vì còn có thế năng, và chúng ta phải có hiệu nhỏ nhất của động năng và thế năng tính trung bình. Bởi vì thế năng tăng khi chúng ta đi lên trong không gian, chúng ta sẽ thu được một hiệu nhỏ hơn nếu chúng ta có thể càng sớm càng tốt lên tới nơi có thế năng cao. Khi đó chúng ta có thể lấy thế năng đó trừ khỏi động năng và thu được một giá trị trung bình thấp hơn. Vậy tốt hơn là lấy một quỹ đạo đi lên và thu được nhiều thứ âm từ thế năng (Hình 19–6).

“Mặt khác, bạn không thể đi lên quá nhanh, hay quá xa, bởi vì khi đó bạn sẽ có quá nhiều động năng liên quan — bạn phải đi rất nhanh để lên thật cao và quay xuống lại trong khoảng thời gian cố định sẵn có. Vậy bạn không muốn đi lên quá xa, nhưng bạn muốn đi lên một ít. Vậy hóa ra nghiệm là một kiểu cân bằng nào đó giữa việc cố thu được nhiều thế năng hơn với lượng động năng thêm vào ít nhất — cố làm cho hiệu, động năng trừ thế năng, nhỏ nhất có thể.

“Đó là tất cả những gì thầy tôi đã nói với tôi, bởi vì thầy là một giáo viên rất giỏi và biết khi nào nên dừng nói. Nhưng tôi không biết khi nào nên dừng nói. Vậy thay vì để nó như một nhận xét thú vị, tôi sẽ làm bạn kinh hoàng và ghê tởm với những phức tạp của cuộc sống bằng cách chứng minh rằng điều đó đúng. Loại bài toán toán học chúng ta sẽ gặp là rất khó và là một loại mới. Chúng ta có một đại lượng nhất định được gọi là tác dụng, S. Nó là động năng, trừ thế năng, tích phân theo thời gian.

Tác dụng = S = ∫_t1^t₂ (ĐN − TN) dt.

“Hãy nhớ rằng TN và ĐN đều là các hàm của thời gian. Đối với mỗi quỹ đạo khả dĩ khác nhau bạn thu được một con số khác nhau cho tác dụng này. Bài toán toán học của chúng ta là tìm ra đối với đường cong nào thì con số đó là nhỏ nhất.

“Bạn nói — Ồ, đó chỉ là phép tính vi tích phân thông thường về cực đại và cực tiểu. Bạn tính tác dụng và chỉ cần lấy đạo hàm để tìm cực tiểu.

“Nhưng hãy cẩn thận. Thông thường chúng ta chỉ có một hàm của một biến nào đó, và chúng ta phải tìm giá trị của biến đó mà tại đó hàm là nhỏ nhất hay lớn nhất. Chẳng hạn, chúng ta có một thanh được nung nóng ở giữa và nhiệt lan ra xung quanh. Đối với mỗi điểm trên thanh chúng ta có một nhiệt độ, và chúng ta phải tìm điểm mà tại đó nhiệt độ là lớn nhất. Nhưng bây giờ đối với mỗi quỹ đạo trong không gian chúng ta có một con số — một điều hoàn toàn khác — và chúng ta phải tìm quỹ đạo trong không gian mà đối với nó con số là cực tiểu. Đó là một nhánh toán học hoàn toàn khác. Nó không phải là phép tính vi tích phân thông thường. Thực tế, nó được gọi là phép tính biến phân.

“Có nhiều bài toán trong loại toán học này. Chẳng hạn, đường tròn thường được định nghĩa là quỹ tích của mọi điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi, nhưng một cách khác để định nghĩa đường tròn là thế này: đường tròn là đường cong có độ dài cho trước mà nó bao quanh diện tích lớn nhất. Bất kỳ đường cong nào khác cũng bao quanh diện tích nhỏ hơn đối với một chu vi cho trước so với đường tròn. Vậy nếu chúng ta đặt bài toán: tìm đường cong bao quanh diện tích lớn nhất đối với một chu vi cho trước, chúng ta sẽ có một bài toán của phép tính biến phân — một loại phép tính khác với loại bạn đã quen.

“Vậy chúng ta thực hiện phép tính cho quỹ đạo của một vật. Đây là cách chúng ta sẽ làm. Ý tưởng là chúng ta hình dung rằng có một quỹ đạo đúng và bất kỳ đường cong nào khác chúng ta vẽ là một quỹ đạo sai, sao cho nếu chúng ta tính tác dụng cho quỹ đạo sai chúng ta sẽ thu được một giá trị lớn hơn so với khi chúng ta tính tác dụng cho quỹ đạo đúng (Hình 19–7).

“Bài toán: Tìm quỹ đạo đúng. Nó ở đâu? Một cách, dĩ nhiên, là tính tác dụng cho hàng triệu triệu quỹ đạo và xem cái nào là thấp nhất. Khi bạn tìm thấy cái thấp nhất, đó là quỹ đạo đúng.

“Đó là một cách khả dĩ. Nhưng chúng ta có thể làm tốt hơn thế. Khi chúng ta có một đại lượng có một cực tiểu — chẳng hạn, trong một hàm thông thường như nhiệt độ — một trong những tính chất của cực tiểu là nếu chúng ta rời khỏi cực tiểu ở cấp thứ nhất, độ lệch của hàm khỏi giá trị cực tiểu của nó chỉ ở cấp thứ hai. Tại bất kỳ nơi nào khác trên đường cong, nếu chúng ta di chuyển một khoảng nhỏ giá trị của hàm cũng thay đổi ở cấp thứ nhất. Nhưng tại một cực tiểu, một chuyển động nhỏ xíu ra xa, trong xấp xỉ thứ nhất, không tạo ra sự khác biệt nào (Hình 19–8).

“Đó là điều chúng ta sẽ dùng để tính quỹ đạo đúng. Nếu chúng ta có quỹ đạo đúng, một đường cong chỉ khác nó một chút sẽ, trong xấp xỉ thứ nhất, không tạo ra sự khác biệt nào trong tác dụng. Mọi sự khác biệt sẽ ở xấp xỉ thứ hai, nếu chúng ta thực sự có một cực tiểu.

“Điều đó dễ chứng minh. Nếu có một sự thay đổi ở cấp thứ nhất khi tôi làm lệch đường cong theo một cách nhất định, có một sự thay đổi trong tác dụng tỉ lệ với độ lệch. Sự thay đổi có lẽ làm tác dụng lớn hơn; nếu không chúng ta đã không có một cực tiểu. Nhưng khi đó nếu thay đổi dấu của độ lệch sẽ làm tác dụng nhỏ hơn. Chúng ta sẽ thu được tác dụng tăng theo một chiều và giảm theo chiều kia. Cách duy nhất để nó thực sự có thể là một cực tiểu là trong xấp xỉ thứ nhất nó không tạo ra sự thay đổi nào, rằng các thay đổi tỉ lệ với bình phương của các độ lệch khỏi quỹ đạo đúng.

“Vậy chúng ta làm việc thế này: Chúng ta gọi x(t) (có gạch dưới) là quỹ đạo đúng — cái chúng ta đang cố tìm. Chúng ta lấy một quỹ đạo thử nào đó x(t) khác quỹ đạo đúng một lượng nhỏ mà chúng ta sẽ gọi là η(t) (eta của t; Hình 19–9).

“Bây giờ ý tưởng là nếu chúng ta tính tác dụng S cho quỹ đạo x(t), thì hiệu giữa S đó và tác dụng chúng ta đã tính cho quỹ đạo x(t) — để đơn giản cách viết chúng ta có thể gọi nó là S — hiệu của S và S phải bằng không trong xấp xỉ cấp thứ nhất của η nhỏ. Nó có thể khác ở cấp thứ hai, nhưng ở cấp thứ nhất hiệu phải bằng không.

“Và điều đó phải đúng đối với bất kỳ η nào. Thật ra, không hoàn toàn. Phương pháp không có ý nghĩa gì trừ khi bạn xét các quỹ đạo đều bắt đầu và kết thúc tại cùng hai điểm — mỗi quỹ đạo bắt đầu tại một điểm nhất định tại t₁ và kết thúc tại một điểm nhất định khác tại t₂, và các điểm cùng thời gian đó được giữ cố định. Vậy các độ lệch trong η của chúng ta phải bằng không ở mỗi đầu, η(t₁) = 0 và η(t₂) = 0. Với điều kiện đó, chúng ta đã xác định bài toán toán học của mình.

“Nếu bạn không biết phép tính vi tích phân nào, bạn có thể làm điều tương tự để tìm cực tiểu của một hàm thông thường f(x). Bạn có thể thảo luận điều gì xảy ra nếu bạn lấy f(x) và cộng một lượng nhỏ h vào x và lập luận rằng số hiệu chỉnh cho f(x) ở cấp thứ nhất theo h phải bằng không tại cực tiểu. Bạn sẽ thay x + h cho x và khai triển tới cấp thứ nhất theo h … đúng như chúng ta sắp làm với η.

“Ý tưởng khi đó là chúng ta thay x(t) = x(t) + η(t) vào công thức cho tác dụng:

S = ∫ [ (m/2)(dx/dt)² − V(x) ] dt,

“trong đó tôi gọi thế năng là V(x). Đạo hàm dx/dt dĩ nhiên là đạo hàm của x(t) cộng đạo hàm của η(t), vậy đối với tác dụng tôi thu được biểu thức này:

S = ∫_t1^t₂ [ (m/2)(dx/dt + dη/dt)² − V(x + η) ] dt.

“Bây giờ tôi phải viết điều này ra chi tiết hơn. Đối với số hạng bình phương tôi thu được

(dx/dt)² + 2 (dx/dt)(dη/dt) + (dη/dt)².

“Nhưng khoan. Tôi không lo lắng về cao hơn cấp thứ nhất, nên tôi sẽ lấy mọi số hạng liên quan đến η² và các lũy thừa cao hơn và đặt chúng vào một cái hộp nhỏ gọi là ‘cấp thứ hai và cao hơn’. Từ số hạng này tôi chỉ thu được cấp thứ hai, nhưng sẽ có thêm từ một cái gì khác. Vậy phần động năng là

(m/2)(dx/dt)² + m (dx/dt)(dη/dt) + (cấp thứ hai và cao hơn).

“Bây giờ chúng ta cần thế V tại x + η. Tôi xét η nhỏ, nên tôi có thể viết V(x) dưới dạng một chuỗi Taylor. Nó xấp xỉ bằng V(x); trong xấp xỉ tiếp theo (từ bản chất thông thường của các đạo hàm) số hiệu chỉnh là η nhân với tốc độ thay đổi của V theo x, và cứ thế:

V(x + η) = V(x) + ηV′(x) + (η²/2) V″(x) + …

“Tôi đã viết V′ cho đạo hàm của V theo x để đỡ phải viết. Số hạng theo η² và các số hạng sau đó thuộc loại ‘cấp thứ hai và cao hơn’ và chúng ta không phải lo về chúng. Ghép tất cả lại với nhau,

S = ∫_t1^t₂ [ (m/2)(dx/dt)² − V(x) + m (dx/dt)(dη/dt) − ηV′(x) + (cấp thứ hai và cao hơn) ] dt.

“Bây giờ nếu chúng ta nhìn kỹ vào cái đó, chúng ta thấy rằng hai số hạng đầu tiên tôi đã sắp xếp ở đây tương ứng với tác dụng S mà tôi sẽ tính được với quỹ đạo đúng x. Điều tôi muốn tập trung vào là sự thay đổi trong S — hiệu giữa S và S mà chúng ta sẽ thu được đối với quỹ đạo đúng. Hiệu này chúng ta sẽ viết là δS, gọi là biến phân của S. Bỏ đi các số hạng ‘cấp thứ hai và cao hơn’, tôi có đối với δS

δS = ∫_t1^t₂ [ m (dx/dt)(dη/dt) − ηV′(x) ] dt.

“Bây giờ bài toán là thế này: Đây là một tích phân nhất định. Tôi chưa biết x là gì, nhưng tôi biết rằng cho dù η là bất cứ gì, tích phân này phải bằng không. Bạn nghĩ, cách duy nhất điều đó có thể xảy ra là cái nhân với η phải bằng không. Nhưng còn số hạng đầu tiên với dη/dt thì sao? Sau cùng, nếu η có thể là bất cứ gì, đạo hàm của nó cũng là bất cứ gì, nên bạn kết luận rằng hệ số của dη/dt cũng phải bằng không. Điều đó không hoàn toàn đúng. Nó không hoàn toàn đúng bởi vì có một mối liên hệ giữa η và đạo hàm của nó; chúng không hoàn toàn độc lập, bởi vì η(t) phải bằng không ở cả t₁ và t₂.

“Phương pháp giải mọi bài toán trong phép tính biến phân luôn dùng cùng một nguyên tắc tổng quát. Bạn thực hiện sự dịch chuyển trong cái bạn muốn biến phân (như chúng ta đã làm bằng cách cộng η); bạn nhìn vào các số hạng cấp thứ nhất; rồi bạn luôn sắp xếp mọi thứ dưới dạng sao cho bạn thu được một tích phân có dạng ‘một thứ gì đó nhân với sự dịch chuyển (η)’, nhưng không có các đạo hàm khác (không có dη/dt). Nó phải được sắp xếp lại sao cho luôn là ‘một cái gì đó’ nhân η. Bạn sẽ thấy giá trị lớn của điều đó trong giây lát. (Có các công thức cho bạn biết cách làm điều này trong một số trường hợp mà không cần thực sự tính toán, nhưng chúng không đủ tổng quát để đáng bận tâm; cách tốt nhất là tính ra theo cách này.)

“Làm thế nào tôi có thể sắp xếp lại số hạng theo dη/dt để làm cho nó có một η? Tôi có thể làm điều đó bằng cách tích phân từng phần. Hóa ra toàn bộ mẹo của phép tính biến phân bao gồm việc viết ra biến phân của S rồi tích phân từng phần sao cho các đạo hàm của η biến mất. Nó luôn như vậy trong mọi bài toán mà các đạo hàm xuất hiện.

“Bạn nhớ nguyên tắc tổng quát của tích phân từng phần. Nếu bạn có một hàm f bất kỳ nhân với dη/dt được tích phân theo t, bạn viết ra đạo hàm của ηf:

d/dt (ηf) = η df/dt + f dη/dt.

“Tích phân bạn muốn là trên số hạng cuối, vậy

∫ f (dη/dt) dt = ηf − ∫ η (df/dt) dt.

“Trong công thức của chúng ta cho δS, hàm f là m nhân dx/dt; do đó, tôi có công thức sau đây cho δS.

δS = [ m (dx/dt) η(t) ]|_t1^t₂ − ∫_t1^t₂ d/dt ( m dx/dt ) η(t) dt − ∫_t1^t₂ V′(x) η(t) dt.

“Số hạng đầu tiên phải được tính tại hai giới hạn t₁ và t₂. Rồi tôi phải có tích phân từ phần còn lại của phép tích phân từng phần. Số hạng cuối được mang xuống không thay đổi.

“Bây giờ đến một điều luôn xảy ra — phần đã tích phân biến mất. (Thực tế, nếu phần đã tích phân không biến mất, bạn phát biểu lại nguyên tắc, thêm các điều kiện để đảm bảo nó biến mất!) Chúng ta đã nói rằng η phải bằng không ở cả hai đầu của quỹ đạo, bởi vì nguyên tắc là tác dụng là cực tiểu với điều kiện đường cong đã biến phân bắt đầu và kết thúc tại các điểm đã chọn. Điều kiện là η(t₁) = 0, và η(t₂) = 0. Vậy số hạng đã tích phân bằng không. Chúng ta gom các số hạng khác lại với nhau và thu được điều này:

δS = ∫_t1^t₂ [ −m d²x/dt² − V′(x) ] η(t) dt.

“Biến phân của S bây giờ đúng theo cách chúng ta muốn — có cái thứ trong ngoặc vuông, gọi là F, tất cả nhân với η(t) và tích phân từ t₁ tới t₂.

“Chúng ta có rằng tích phân của một cái gì đó nhân η(t) luôn bằng không:

∫ F(t) η(t) dt = 0.

“Tôi có một hàm nào đó của t; tôi nhân nó với η(t); và tôi tích phân nó từ đầu này tới đầu kia. Và cho dù η là gì, tôi thu được không. Điều đó có nghĩa là hàm F(t) bằng không. Điều đó là hiển nhiên, nhưng dù sao tôi sẽ cho bạn thấy một kiểu chứng minh.

“Giả sử rằng đối với η(t) tôi lấy một cái gì đó bằng không đối với mọi t trừ ngay gần một giá trị cụ thể. Nó giữ nguyên bằng không cho đến khi tới t này, rồi nó vọt lên một khoảnh khắc và vọt ngay xuống lại (Hình 19–10). Khi chúng ta thực hiện tích phân của η này nhân với một hàm F bất kỳ, nơi duy nhất bạn thu được cái gì đó khác không là nơi η(t) đang vọt lên, và khi đó bạn thu được giá trị của F tại nơi đó nhân với tích phân trên cái vọt. Tích phân trên cái vọt một mình thì không bằng không, nhưng khi nhân với F nó phải bằng; vậy hàm F phải bằng không tại nơi cái vọt ở đó. Nhưng cái vọt ở bất cứ nơi nào tôi muốn đặt nó, nên F phải bằng không ở khắp nơi.

“Chúng ta thấy rằng nếu tích phân của chúng ta bằng không đối với bất kỳ η nào, thì hệ số của η phải bằng không. Tích phân tác dụng sẽ là cực tiểu đối với quỹ đạo thỏa mãn phương trình vi phân phức tạp này:

[ −m d²x/dt² − V′(x) ] = 0.

“Nó không thực sự phức tạp đến thế; bạn đã thấy nó trước đây. Nó chính là F = ma. Số hạng đầu tiên là khối lượng nhân gia tốc, và số hạng thứ hai là đạo hàm của thế năng, chính là lực.

“Vậy, ít nhất đối với một hệ bảo toàn, chúng ta đã chứng minh rằng nguyên lý tác dụng tối thiểu cho đáp án đúng; nó nói rằng quỹ đạo có tác dụng cực tiểu là quỹ đạo thỏa mãn định luật Newton.

“Một nhận xét: Tôi đã không chứng minh nó là một cực tiểu — có thể nó là một cực đại. Thực tế, nó không thực sự phải là một cực tiểu. Nó hoàn toàn tương tự điều chúng ta đã tìm thấy đối với ‘nguyên lý thời gian tối thiểu’ mà chúng ta đã thảo luận trong quang học. Ở đó nữa, lúc đầu chúng ta nói nó là thời gian ‘ít nhất’. Tuy nhiên, hóa ra có những tình huống mà nó không phải là thời gian ít nhất. Nguyên tắc cơ bản là đối với bất kỳ biến phân cấp thứ nhất nào ra khỏi quỹ đạo quang học, sự thay đổi trong thời gian bằng không; ở đây cũng cùng một câu chuyện. Điều chúng ta thực sự muốn nói bởi ‘ít nhất’ là sự thay đổi cấp thứ nhất trong giá trị của S, khi bạn thay đổi quỹ đạo, bằng không. Nó không nhất thiết là một ‘cực tiểu’.

“Tiếp theo, tôi nhận xét về một số mở rộng. Trước hết, việc này có thể làm trong ba chiều. Thay vì chỉ x, tôi sẽ có x, y, và z là các hàm của t; tác dụng phức tạp hơn. Đối với chuyển động ba chiều, bạn phải dùng động năng đầy đủ — (m/2) nhân toàn bộ vận tốc bình phương. Tức là,

ĐN = (m/2) [ (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² ].

“Ngoài ra, thế năng là một hàm của x, y, và z. Và quỹ đạo thì sao? Quỹ đạo là một đường cong tổng quát nào đó trong không gian, không dễ vẽ lắm, nhưng ý tưởng là như nhau. Và η thì sao? η có thể có ba thành phần. Bạn có thể dịch chuyển các quỹ đạo theo x, hoặc theo y, hoặc theo z — hoặc bạn có thể dịch chuyển theo cả ba hướng đồng thời. Vậy η sẽ là một vector. Điều này không thực sự làm mọi thứ phức tạp hơn nhiều. Vì chỉ biến phân cấp thứ nhất phải bằng không, chúng ta có thể thực hiện phép tính bằng ba lần dịch chuyển liên tiếp. Chúng ta có thể dịch chuyển η chỉ theo hướng x và nói rằng hệ số đó phải bằng không. Chúng ta thu được một phương trình. Rồi chúng ta dịch chuyển nó theo hướng y và thu được một phương trình khác. Và theo hướng z và thu được một phương trình nữa. Hoặc, dĩ nhiên, theo bất kỳ thứ tự nào bạn muốn. Dù sao, bạn thu được ba phương trình. Và, dĩ nhiên, định luật Newton thực sự là ba phương trình trong ba chiều — một cho mỗi thành phần. Tôi nghĩ bạn thực tế có thể thấy rằng nó hẳn sẽ hoạt động, nhưng chúng ta sẽ để bạn tự chỉ ra rằng nó sẽ hoạt động đối với ba chiều. Nhân tiện, bạn có thể dùng bất kỳ hệ tọa độ nào bạn muốn, tọa độ cực hay khác, và thu được các định luật Newton thích hợp cho hệ đó ngay lập tức bằng cách xem điều gì xảy ra nếu bạn có sự dịch chuyển η theo bán kính, hay theo góc, v.v.

“Tương tự, phương pháp có thể được mở rộng cho bất kỳ số hạt nào. Nếu bạn có, chẳng hạn, hai hạt với một lực giữa chúng, sao cho có một thế năng tương tác lẫn nhau, thì bạn chỉ cộng động năng của cả hai hạt và lấy thế năng của tương tác lẫn nhau. Và bạn biến phân cái gì? Bạn biến phân quỹ đạo của cả hai hạt. Khi đó, đối với hai hạt chuyển động trong ba chiều, có sáu phương trình. Bạn có thể biến phân vị trí của hạt 1 theo hướng x, theo hướng y, và theo hướng z, và tương tự đối với hạt 2; vậy có sáu phương trình. Và đúng như nó phải thế. Có ba phương trình xác định gia tốc của hạt 1 theo lực tác dụng lên nó và ba phương trình cho gia tốc của hạt 2, từ lực tác dụng lên nó. Bạn thực hiện cùng trò chơi đó, và bạn thu được định luật Newton trong ba chiều cho bất kỳ số hạt nào.

“Tôi đã nói rằng chúng ta thu được định luật Newton. Điều đó không hoàn toàn đúng, bởi vì định luật Newton bao gồm các lực không bảo toàn như ma sát. Newton nói rằng ma bằng bất kỳ F nào. Nhưng nguyên lý tác dụng tối thiểu chỉ hoạt động đối với các hệ bảo toàn — trong đó mọi lực đều có thể thu được từ một hàm thế. Tuy nhiên, bạn biết rằng ở mức vi mô — ở mức sâu nhất của vật lý — không có các lực không bảo toàn. Các lực không bảo toàn, như ma sát, chỉ xuất hiện bởi vì chúng ta bỏ qua các phức tạp vi mô — có quá nhiều hạt để phân tích. Nhưng các định luật cơ bản có thể được đưa về dạng của một nguyên lý tác dụng tối thiểu.

“Để tôi mở rộng thêm nữa. Giả sử chúng ta hỏi điều gì xảy ra nếu hạt chuyển động tương đối tính. Chúng ta đã không thu được phương trình chuyển động tương đối tính đúng; F = ma chỉ đúng phi tương đối tính. Câu hỏi là: Có tồn tại một nguyên lý tác dụng tối thiểu tương ứng cho trường hợp tương đối tính không? Có. Công thức trong trường hợp tương đối tính là như sau:

S = −m₀c² ∫_t1^t₂ √(1 − v²/c²) dt − q ∫_t1^t₂ [ φ(x,y,z,t) − v·A(x,y,z,t) ] dt.

“Phần đầu tiên của tích phân tác dụng là khối lượng nghỉ m₀ nhân c² nhân tích phân của một hàm của vận tốc, √(1 − v²/c²). Rồi thay vì chỉ thế năng, chúng ta có một tích phân trên thế vô hướng φ và trên v nhân thế vector A. Dĩ nhiên, khi đó chúng ta chỉ bao gồm các lực điện từ. Mọi điện trường và từ trường đều được cho theo φ và A. Hàm tác dụng này cho lý thuyết đầy đủ về chuyển động tương đối tính của một hạt đơn độc trong một trường điện từ.

“Dĩ nhiên, bất cứ nơi nào tôi đã viết v, bạn hiểu rằng trước khi bạn cố tính ra bất cứ điều gì, bạn phải thay dx/dt cho v_x và tương tự cho các thành phần khác. Ngoài ra, bạn đặt điểm dọc theo quỹ đạo tại thời gian t, x(t), y(t), z(t) tại nơi tôi viết đơn giản là x, y, z. Đúng ra, chỉ sau khi bạn đã thực hiện các thay thế đó cho các v bạn mới có công thức cho tác dụng đối với một hạt tương đối tính. Tôi sẽ để cho những người khéo léo hơn trong các bạn bài toán chứng minh rằng công thức tác dụng này, thực tế, cho các phương trình chuyển động đúng cho tương đối tính. Tôi có thể gợi ý bạn làm điều đó trước hết mà không có A, tức là, đối với trường hợp không có từ trường. Khi đó bạn sẽ thu được các thành phần của phương trình chuyển động, dp/dt = −q∇φ, trong đó, bạn nhớ, p = m₀v/√(1 − v²/c²).

“Việc bao gồm cả trường hợp có thế vector khó hơn nhiều. Các biến phân trở nên phức tạp hơn nhiều. Nhưng cuối cùng, số hạng lực quả thực ra bằng q(E + v×B), như nó phải thế. Nhưng tôi sẽ để điều đó cho bạn chơi.

“Tôi muốn nhấn mạnh rằng trong trường hợp tổng quát, chẳng hạn trong công thức tương đối tính, hàm dưới dấu tích phân của tác dụng không còn có dạng động năng trừ thế năng nữa. Điều đó chỉ đúng trong xấp xỉ phi tương đối tính. Chẳng hạn, số hạng m₀c²√(1 − v²/c²) không phải cái chúng ta đã gọi là động năng. Câu hỏi tác dụng nên là gì đối với bất kỳ trường hợp cụ thể nào phải được xác định bằng một kiểu thử và sai nào đó. Nó đúng là cùng một bài toán như việc xác định các định luật chuyển động là gì ngay từ đầu. Bạn chỉ phải mày mò với các phương trình bạn biết và xem liệu bạn có thể đưa chúng về dạng của nguyên lý tác dụng tối thiểu hay không.

“Một điểm nữa về thuật ngữ. Hàm được tích phân theo thời gian để thu được tác dụng S được gọi là Lagrangian, ℒ, là một hàm chỉ của các vận tốc và vị trí của các hạt. Vậy nguyên lý tác dụng tối thiểu cũng được viết là

S = ∫_t1^t₂ ℒ(x_i, v_i) dt,

“trong đó bởi x_i và v_i người ta hiểu mọi thành phần của các vị trí và các vận tốc. Vậy nếu bạn nghe ai đó nói về ‘Lagrangian’, bạn biết họ đang nói về hàm được dùng để tìm S. Đối với chuyển động tương đối tính trong một trường điện từ

ℒ = −m₀c²√(1 − v²/c²) − q(φ − v·A).

“Ngoài ra, tôi nên nói rằng S không thực sự được gọi là ‘tác dụng’ bởi những người chính xác và cầu kỳ nhất. Nó được gọi là ‘hàm chính thứ nhất của Hamilton’. Bây giờ tôi ghét phải giảng một bài về ‘nguyên-lý-tác-dụng-tối-thiểu-của-hàm-chính-thứ-nhất-của-Hamilton’. Vậy tôi gọi nó là ‘tác dụng’. Ngoài ra, ngày càng nhiều người gọi nó là tác dụng. Bạn thấy đấy, trong lịch sử một cái gì khác không hoàn toàn hữu ích như vậy đã được gọi là tác dụng, nhưng tôi nghĩ hợp lý hơn là thay đổi sang một định nghĩa mới hơn. Vậy bây giờ bạn cũng sẽ gọi hàm mới là tác dụng, và chẳng bao lâu mọi người sẽ gọi nó bằng cái tên đơn giản đó.

“Bây giờ tôi muốn nói một số điều về chủ đề này tương tự như các thảo luận tôi đã đưa ra về nguyên lý thời gian tối thiểu. Có một sự khác biệt khá lớn trong đặc trưng của một định luật nói rằng một tích phân nhất định từ một nơi tới một nơi khác là cực tiểu — điều nói lên một cái gì đó về toàn bộ quỹ đạo — và của một định luật nói rằng khi bạn đi dọc theo, có một lực làm bạn gia tốc. Cách thứ hai cho biết bạn nhích dọc theo quỹ đạo như thế nào, và cách kia là một phát biểu lớn về toàn bộ quỹ đạo. Trong trường hợp ánh sáng, chúng ta đã nói về mối liên hệ của hai cách này. Bây giờ, tôi muốn giải thích tại sao lại đúng rằng có các định luật vi phân khi có một nguyên lý tác dụng tối thiểu thuộc loại này. Lý do là như sau: Xét quỹ đạo thực trong không gian và thời gian. Như trước, hãy chỉ lấy một chiều, để chúng ta có thể vẽ đồ thị của x như một hàm của t. Dọc theo quỹ đạo đúng, S là cực tiểu. Giả sử rằng chúng ta có quỹ đạo đúng và nó đi qua một điểm a nào đó trong không gian và thời gian, và cũng qua một điểm b khác ở gần đó (Hình 19–11). Bây giờ nếu toàn bộ tích phân từ t₁ tới t₂ là cực tiểu, cũng cần thiết rằng tích phân dọc theo đoạn nhỏ từ a tới b cũng là cực tiểu. Không thể là phần từ a tới b lại lớn hơn một chút. Nếu không bạn có thể chỉ mày mò với đúng mảnh đó của quỹ đạo và làm toàn bộ tích phân thấp hơn một chút.

“Vậy mọi đoạn con của quỹ đạo cũng phải là cực tiểu. Và điều này đúng cho dù đoạn con ngắn đến đâu. Do đó, nguyên tắc rằng toàn bộ quỹ đạo cho một cực tiểu cũng có thể được phát biểu bằng cách nói rằng một đoạn vô cùng nhỏ của quỹ đạo cũng có một đường cong sao cho nó có tác dụng cực tiểu. Bây giờ nếu chúng ta lấy một đoạn quỹ đạo đủ ngắn — giữa hai điểm a và b rất gần nhau — thế thay đổi như thế nào từ nơi này sang nơi khác ở xa không phải điều quan trọng, bởi vì bạn ở gần như cùng một nơi trên toàn bộ mảnh nhỏ của quỹ đạo. Điều duy nhất bạn phải thảo luận là sự thay đổi cấp thứ nhất trong thế. Đáp án chỉ có thể phụ thuộc vào đạo hàm của thế chứ không vào thế ở khắp nơi. Vậy phát biểu về tính chất toàn cục của toàn bộ quỹ đạo trở thành một phát biểu về điều xảy ra đối với một đoạn ngắn của quỹ đạo — một phát biểu vi phân. Và phát biểu vi phân này chỉ liên quan đến các đạo hàm của thế, tức là, lực tại một điểm. Đó là giải thích định tính về mối liên hệ giữa định luật toàn cục và định luật vi phân.

“Trong trường hợp ánh sáng chúng ta cũng đã thảo luận câu hỏi: Hạt tìm thấy quỹ đạo đúng như thế nào? Từ góc nhìn vi phân, điều đó dễ hiểu. Mỗi khoảnh khắc nó nhận một gia tốc và chỉ biết phải làm gì tại khoảnh khắc đó. Nhưng mọi bản năng của bạn về nhân quả đều trở nên rối loạn khi bạn nói rằng hạt quyết định lấy quỹ đạo sẽ cho tác dụng cực tiểu. Nó có ‘ngửi’ các quỹ đạo lân cận để tìm ra liệu chúng có tác dụng lớn hơn hay không? Trong trường hợp ánh sáng, khi chúng ta đặt các vật chắn vào đường đi sao cho các photon không thể thử mọi quỹ đạo, chúng ta thấy rằng chúng không thể tìm ra đường nào để đi, và chúng ta có hiện tượng nhiễu xạ.

“Điều tương tự có đúng trong cơ học không? Có đúng là hạt không chỉ ‘lấy quỹ đạo đúng’ mà nó nhìn vào mọi quỹ đạo khả dĩ khác? Và nếu bằng cách có các vật trên đường đi, chúng ta không để nó nhìn, chúng ta sẽ thu được một hiện tượng tương tự nhiễu xạ không? Điều kỳ diệu của tất cả chuyện này là, dĩ nhiên, nó quả thực làm đúng như vậy. Đó là điều các định luật cơ học lượng tử nói. Vậy nguyên lý tác dụng tối thiểu của chúng ta được phát biểu chưa đầy đủ. Không phải là một hạt lấy quỹ đạo có tác dụng ít nhất mà nó ngửi mọi quỹ đạo trong vùng lân cận và chọn quỹ đạo có tác dụng ít nhất bằng một phương pháp tương tự phương pháp mà ánh sáng đã chọn thời gian ngắn nhất. Bạn nhớ rằng cách ánh sáng chọn thời gian ngắn nhất là thế này: Nếu nó đi trên một quỹ đạo mất một khoảng thời gian khác, nó sẽ đến với một pha khác. Và biên độ tổng tại một điểm nào đó là tổng các đóng góp biên độ đối với mọi cách khác nhau ánh sáng có thể đến. Mọi quỹ đạo cho các pha khác nhau một cách hoang dại đều không cộng lại thành cái gì. Nhưng nếu bạn có thể tìm thấy một dãy các quỹ đạo có các pha gần như đều như nhau, thì các đóng góp nhỏ sẽ cộng lại và bạn thu được một biên độ tổng hợp lý để đến. Quỹ đạo quan trọng trở thành quỹ đạo mà đối với nó có nhiều quỹ đạo gần đó cho cùng pha.

“Nó đúng y hệt như vậy đối với cơ học lượng tử. Cơ học lượng tử đầy đủ (đối với trường hợp phi tương đối tính và bỏ qua spin của electron) hoạt động như sau: Xác suất một hạt bắt đầu tại điểm 1 tại thời gian t₁ sẽ đến điểm 2 tại thời gian t₂ là bình phương của một biên độ xác suất. Biên độ tổng có thể được viết là tổng các biên độ đối với mỗi quỹ đạo khả dĩ — đối với mỗi cách đến. Đối với mỗi x(t) chúng ta có thể có — đối với mỗi quỹ đạo tưởng tượng khả dĩ — chúng ta phải tính một biên độ. Rồi chúng ta cộng tất cả chúng lại với nhau. Chúng ta lấy cái gì làm biên độ cho mỗi quỹ đạo? Tích phân tác dụng của chúng ta cho chúng ta biết biên độ cho một quỹ đạo đơn độc nên là gì. Biên độ tỉ lệ với một hằng số nào đó nhân e^iS/ℏ, trong đó S là tác dụng cho quỹ đạo đó. Tức là, nếu chúng ta biểu diễn pha của biên độ bằng một số phức, góc pha là S/ℏ. Tác dụng S có thứ nguyên của năng lượng nhân thời gian, và hằng số Planck ℏ có cùng thứ nguyên. Nó là hằng số xác định khi nào cơ học lượng tử là quan trọng.

“Đây là cách nó hoạt động: Giả sử rằng đối với mọi quỹ đạo, S rất lớn so với ℏ. Một quỹ đạo đóng góp một biên độ nhất định. Đối với một quỹ đạo gần đó, pha khá khác, bởi vì với một S khổng lồ ngay cả một thay đổi nhỏ trong S cũng có nghĩa là một pha hoàn toàn khác — bởi vì ℏ rất nhỏ. Vậy các quỹ đạo gần đó thông thường sẽ triệt tiêu các hiệu ứng của nhau khi lấy tổng — trừ một vùng, và đó là khi một quỹ đạo và một quỹ đạo gần đó đều cho cùng pha trong xấp xỉ thứ nhất (chính xác hơn, cùng tác dụng trong khoảng ℏ). Chỉ những quỹ đạo đó sẽ là những quỹ đạo quan trọng. Vậy trong trường hợp giới hạn mà hằng số Planck ℏ tiến tới không, các định luật cơ học lượng tử đúng có thể được tóm tắt bằng cách đơn giản nói: ‘Hãy quên mọi biên độ xác suất này đi. Hạt quả thực đi trên một quỹ đạo đặc biệt, đó là quỹ đạo mà đối với nó S không thay đổi trong xấp xỉ thứ nhất.’ Đó là mối liên hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và cơ học lượng tử. Sự kiện rằng cơ học lượng tử có thể được xây dựng theo cách này đã được khám phá vào năm 1942 bởi một học trò của cùng thầy giáo đó, Bader, tôi đã nói ở đầu bài giảng này. [Cơ học lượng tử ban đầu được xây dựng bằng cách cho một phương trình vi phân đối với biên độ (Schrödinger) và cũng bằng một toán học ma trận nào đó khác (Heisenberg).]

“Bây giờ tôi muốn nói về các nguyên lý cực tiểu khác trong vật lý. Có nhiều nguyên lý rất thú vị. Tôi sẽ không cố liệt kê tất cả chúng bây giờ mà chỉ mô tả thêm một cái nữa. Sau này, khi chúng ta đến một hiện tượng vật lý có một nguyên lý cực tiểu đẹp, tôi sẽ nói về nó khi đó. Bây giờ tôi muốn chỉ ra rằng chúng ta có thể mô tả tĩnh điện học, không phải bằng cách cho một phương trình vi phân đối với trường, mà bằng cách nói rằng một tích phân nhất định là cực đại hay cực tiểu. Trước hết, hãy lấy trường hợp trong đó mật độ điện tích được biết ở khắp nơi, và bài toán là tìm thế φ ở khắp nơi trong không gian. Bạn biết rằng đáp án phải là

∇²φ = −ρ/ε₀.

“Nhưng một cách khác để phát biểu cùng điều đó là thế này: Tính tích phân U*, trong đó

U* = (ε₀/2) ∫ (∇φ)² dV − ∫ ρφ dV,

“là một tích phân thể tích được lấy trên toàn bộ không gian. Cái này là cực tiểu đối với phân bố thế đúng φ(x,y,z).

“Chúng ta có thể chỉ ra rằng hai phát biểu về tĩnh điện học là tương đương. Giả sử chúng ta chọn một hàm φ bất kỳ. Chúng ta muốn chỉ ra rằng khi chúng ta lấy đối với φ thế đúng φ, cộng một độ lệch nhỏ f, thì ở cấp thứ nhất, sự thay đổi trong U* bằng không. Vậy chúng ta viết

φ = φ + f.

“Cái φ là cái chúng ta đang tìm, nhưng chúng ta đang thực hiện một biến phân của nó để tìm nó phải là gì để biến phân của U* bằng không tới cấp thứ nhất. Đối với phần đầu tiên của U*, chúng ta cần

(∇φ)² = (∇φ)² + 2 ∇φ·∇f + (∇f)².

“Số hạng cấp thứ nhất duy nhất sẽ thay đổi là

2 ∇φ·∇f.

“Trong số hạng thứ hai của đại lượng U*, hàm dưới dấu tích phân là

ρφ = ρφ + ρf,

“mà phần thay đổi của nó là ρf. Vậy, chỉ giữ các phần thay đổi, chúng ta cần tích phân

ΔU* = ∫ (ε₀ ∇φ·∇f − ρf) dV.

“Bây giờ, theo quy tắc tổng quát cũ, chúng ta phải làm cho cái thứ chết tiệt đó hoàn toàn sạch các đạo hàm của f. Hãy nhìn xem các đạo hàm là gì. Tích vô hướng là

(∂φ/∂x)(∂f/∂x) + (∂φ/∂y)(∂f/∂y) + (∂φ/∂z)(∂f/∂z),

“cái này chúng ta phải tích phân theo x, theo y, và theo z. Bây giờ đây là mẹo: để loại bỏ ∂f/∂x chúng ta tích phân từng phần theo x. Điều đó sẽ chuyển đạo hàm sang φ. Nó là cùng ý tưởng tổng quát chúng ta đã dùng để loại bỏ các đạo hàm theo t. Chúng ta dùng đẳng thức

∫ (∂φ/∂x)(∂f/∂x) dx = f (∂φ/∂x) − ∫ f (∂²φ/∂x²) dx.

“Số hạng đã tích phân bằng không, vì chúng ta phải làm cho f bằng không ở vô cực. (Điều đó tương ứng với việc làm cho η bằng không tại t₁ và t₂. Vậy nguyên tắc của chúng ta nên được phát biểu chính xác hơn: U* nhỏ hơn đối với φ đúng so với đối với bất kỳ φ(x,y,z) nào khác có cùng các giá trị ở vô cực.) Rồi chúng ta làm điều tương tự đối với y và z. Vậy tích phân ΔU* của chúng ta là

ΔU* = ∫ (−ε₀∇²φ − ρ) f dV.

“Để biến phân này bằng không đối với bất kỳ f nào, cho dù là gì, hệ số của f phải bằng không và, do đó,

∇²φ = −ρ/ε₀.

“Chúng ta quay lại phương trình cũ của mình. Vậy mệnh đề ‘cực tiểu’ của chúng ta là đúng.

“Chúng ta có thể tổng quát hóa mệnh đề của mình nếu chúng ta làm đại số của mình theo một cách hơi khác. Hãy quay lại và thực hiện phép tích phân từng phần mà không lấy các thành phần. Chúng ta bắt đầu bằng cách nhìn vào đẳng thức sau đây:

∇·(f ∇φ) = ∇f·∇φ + f ∇²φ.

“Nếu tôi khai triển đạo hàm vế trái, tôi có thể chỉ ra rằng nó đúng bằng vế phải. Bây giờ chúng ta có thể dùng phương trình này để tích phân từng phần. Trong tích phân ΔU* của chúng ta, chúng ta thay ∇φ·∇f bằng ∇·(f∇φ) − f∇²φ, cái này được tích phân trên thể tích. Số hạng divergence được tích phân trên thể tích có thể được thay bằng một tích phân mặt:

∫ ∇·(f ∇φ) dV = ∫ f ∇φ·n da.

“Vì chúng ta đang tích phân trên toàn bộ không gian, mặt mà chúng ta đang tích phân trên đó ở vô cực. Ở đó, f bằng không và chúng ta thu được cùng đáp án như trước.

“Chỉ bây giờ chúng ta mới thấy cách giải một bài toán khi chúng ta không biết mọi điện tích ở đâu. Giả sử rằng chúng ta có các vật dẫn với các điện tích trải ra trên chúng theo một cách nào đó. Chúng ta vẫn có thể dùng nguyên lý cực tiểu của mình nếu thế của mọi vật dẫn được cố định. Chúng ta thực hiện tích phân đối với U* chỉ trong không gian bên ngoài mọi vật dẫn. Khi đó, vì chúng ta không thể biến phân φ trên vật dẫn, f bằng không trên mọi bề mặt đó, và tích phân mặt

∫ f ∇φ·n da

“vẫn bằng không. Tích phân thể tích còn lại

ΔU* = ∫ (−ε₀ ∇²φ − ρ) f dV

“chỉ được thực hiện trong các không gian giữa các vật dẫn. Dĩ nhiên, chúng ta lại thu được phương trình Poisson,

∇²φ = −ρ/ε₀.

“Vậy chúng ta đã chỉ ra rằng tích phân gốc U* của chúng ta cũng là cực tiểu nếu chúng ta tính nó trên không gian bên ngoài các vật dẫn đều ở các thế cố định (tức là, sao cho bất kỳ φ(x,y,z) thử nào cũng phải bằng thế đã cho của các vật dẫn khi (x,y,z) là một điểm trên bề mặt của một vật dẫn).

“Có một trường hợp thú vị khi các điện tích duy nhất nằm trên các vật dẫn. Khi đó

U* = (ε₀/2) ∫ (∇φ)² dV.

“Nguyên lý cực tiểu của chúng ta nói rằng trong trường hợp có các vật dẫn được đặt ở các thế cho trước nhất định, thế giữa chúng tự điều chỉnh sao cho tích phân U* đó là ít nhất. Tích phân này là gì? Số hạng ∇φ là điện trường, vậy tích phân là năng lượng tĩnh điện. Trường đúng là trường, trong mọi trường đến từ gradient của một thế, có tổng năng lượng cực tiểu.

“Tôi muốn dùng kết quả này để tính một cái gì đó cụ thể để cho bạn thấy rằng những thứ này thực sự khá thực tế. Giả sử tôi lấy hai vật dẫn dưới dạng một tụ điện trụ (Hình 19–12). Vật dẫn bên trong có thế V, và vật dẫn bên ngoài ở thế không. Đặt bán kính của vật dẫn bên trong là a và của vật dẫn bên ngoài là b. Bây giờ chúng ta có thể giả thiết bất kỳ phân bố thế nào giữa hai vật. Nếu chúng ta dùng φ đúng, và tính (ε₀/2)∫(∇φ)² dV, nó phải là năng lượng của hệ, (1/2)CV². Vậy chúng ta cũng có thể tính C bằng nguyên tắc của mình. Nhưng nếu chúng ta dùng một phân bố thế sai và cố tính điện dung C bằng phương pháp này, chúng ta sẽ thu được một điện dung quá lớn, vì V được chỉ định. Bất kỳ thế giả thiết φ nào không phải là thế đúng chính xác sẽ cho một C giả lớn hơn giá trị đúng. Nhưng nếu φ sai của tôi là một xấp xỉ thô nào đó, C sẽ là một xấp xỉ tốt, bởi vì sai số trong C là cấp thứ hai theo sai số trong φ.

“Giả sử tôi không biết điện dung của một tụ điện trụ. Tôi có thể dùng nguyên tắc này để tìm nó. Tôi chỉ đoán hàm thế φ cho đến khi tôi thu được C thấp nhất. Giả sử, chẳng hạn, tôi chọn một thế tương ứng với một trường không đổi. (Dĩ nhiên bạn biết rằng trường không thực sự không đổi ở đây; nó thay đổi như 1/r.) Một trường không đổi có nghĩa là một thế đi tuyến tính theo khoảng cách. Để khớp các điều kiện tại hai vật dẫn, nó phải là

φ = V ( 1 − (r − a)/(b − a) ).

“Hàm này là V tại r = a, bằng không tại r = b, và ở giữa có một độ dốc không đổi bằng −V/(b − a). Vậy điều người ta làm để tìm tích phân U* là nhân bình phương của gradient này với ε₀/2 và tích phân trên toàn bộ thể tích. Hãy thực hiện phép tính này cho một hình trụ có độ dài đơn vị. Một phần tử thể tích tại bán kính r là 2πr dr. Thực hiện tích phân, tôi thấy rằng phép thử đầu tiên của tôi đối với điện dung cho

(1/2) CV² (phép thử đầu tiên) = (ε₀/2) ∫_a^b [ V²/(b − a)² ] 2πr dr.

“Tích phân thì dễ; nó chính là

πV² ( (b + a)/(b − a) ).

“Vậy tôi có một công thức cho điện dung không phải là công thức đúng nhưng là một việc làm xấp xỉ:

C/(2πε₀) = (b + a)/(2(b − a)).

“Nó, dĩ nhiên, khác với đáp án đúng C = 2πε₀/ln(b/a), nhưng nó không tệ lắm. Hãy so sánh nó với đáp án đúng đối với vài giá trị của b/a. Tôi đã tính ra các đáp án trong Bảng 19–1. Ngay cả khi b/a lớn tới 2 — điều cho một sự thay đổi khá lớn trong trường so với một trường biến thiên tuyến tính — tôi thu được một xấp xỉ khá tốt. Đáp án, dĩ nhiên, hơi quá cao, như kỳ vọng. Mọi việc trở nên tệ hơn nhiều nếu bạn có một sợi dây nhỏ xíu bên trong một hình trụ lớn. Khi đó trường có các biến thiên khổng lồ và nếu bạn biểu diễn nó bằng một hằng số, bạn không làm tốt lắm. Với b/a = 100, chúng ta lệch gần một thừa số hai. Mọi việc tốt hơn nhiều đối với b/a nhỏ. Để lấy cực trị ngược lại, khi các vật dẫn không xa nhau lắm — chẳng hạn b/a = 1,1 — khi đó trường không đổi là một xấp xỉ khá tốt, và chúng ta thu được giá trị đúng cho C trong vòng một phần mười phần trăm.

“Bây giờ tôi muốn nói cho bạn cách cải thiện một phép tính như vậy. (Dĩ nhiên, bạn biết đáp án đúng đối với hình trụ, nhưng phương pháp là như nhau đối với một số hình dạng lạ khác, trong đó bạn có thể không biết đáp án đúng.) Bước tiếp theo là thử một xấp xỉ tốt hơn cho φ đúng chưa biết. Chẳng hạn, chúng ta có thể thử một hằng số cộng một φ mũ, v.v. Nhưng làm sao bạn biết khi nào bạn có một xấp xỉ tốt hơn trừ khi bạn biết φ đúng? Đáp án: Bạn tính C; C thấp nhất là giá trị gần sự thật nhất. Hãy thử ý tưởng này ra. Giả sử rằng thế không phải tuyến tính mà chẳng hạn bậc hai theo r — rằng điện trường không phải hằng số mà tuyến tính. Dạng bậc hai tổng quát nhất khớp với φ = 0 tại r = b và φ = V tại r = a là

φ = V [ 1 + α ((r − a)/(b − a)) − (1 + α) ((r − a)/(b − a))² ],

“trong đó α là bất kỳ số hằng nào. Công thức này hơi phức tạp hơn một chút. Nó liên quan đến một số hạng bậc hai trong thế cũng như một số hạng tuyến tính. Rất dễ thu được trường từ nó. Trường chính là

E = −dφ/dr = −αV/(b − a) + 2(1 + α) (r − a)V/(b − a)².

“Bây giờ chúng ta phải bình phương cái này và tích phân trên thể tích. Nhưng khoan một chút. Tôi nên lấy gì cho α? Tôi có thể lấy một parabol cho φ; nhưng parabol nào? Tôi làm thế này: Tính điện dung với một α tùy ý. Cái tôi thu được là

C/(2πε₀) = (a/(b − a)) [ (b/a)(α²/6 + 2α/3 + 1) + (1/6)α² + 1/3 ].

“Nó trông hơi phức tạp, nhưng nó xuất phát từ việc tích phân bình phương của trường. Bây giờ tôi có thể chọn α của mình. Tôi biết rằng sự thật nằm thấp hơn bất cứ cái gì tôi sắp tính, vậy bất cứ cái gì tôi đặt vào cho α cũng sẽ cho tôi một đáp án quá lớn. Nhưng nếu tôi tiếp tục chơi với α và thu được giá trị thấp nhất có thể, giá trị thấp nhất đó gần sự thật hơn bất kỳ giá trị nào khác. Vậy điều tôi làm tiếp theo là chọn α cho giá trị cực tiểu cho C. Làm việc đó bằng phép tính vi tích phân thông thường, tôi thu được rằng C cực tiểu xảy ra đối với α = −2b/(b + a). Thay giá trị đó vào công thức, tôi thu được đối với điện dung cực tiểu

C/(2πε₀) = (b² + 4ab + a²)/(3(b² − a²)).

“Tôi đã tính ra công thức này cho C đối với các giá trị khác nhau của b/a. Tôi gọi các con số này là C (bậc hai). Bảng 19–2 so sánh C (bậc hai) với C đúng.

“Chẳng hạn, khi tỉ số của các bán kính là 2 trên 1, tôi có 1,444, là một xấp xỉ rất tốt cho đáp án đúng, 1,4427. Ngay cả đối với b/a lớn hơn, nó vẫn khá tốt — nó tốt hơn, tốt hơn nhiều so với xấp xỉ đầu tiên. Nó thậm chí khá tốt — chỉ lệch 10 phần trăm — khi b/a là 10 trên 1. Nhưng khi nó tới 100 trên 1 — mọi thứ bắt đầu trở nên hoang dại. Tôi thu được C là 0,347 thay vì 0,217. Mặt khác, đối với một tỉ số bán kính là 1,5, đáp án là tuyệt vời; và đối với b/a là 1,1, đáp án ra là 10,492063 thay vì 10,492059. Nơi đáp án nên tốt, nó rất, rất tốt.

“Tôi đã đưa ra các ví dụ này, thứ nhất, để chỉ ra giá trị lý thuyết của các nguyên lý tác dụng tối thiểu và các nguyên lý cực tiểu nói chung và, thứ hai, để chỉ ra tính hữu ích thực tế của chúng — không chỉ để tính một điện dung khi chúng ta đã biết đáp án. Đối với bất kỳ hình dạng nào khác, bạn có thể đoán một trường xấp xỉ với một số tham số chưa biết như α và điều chỉnh chúng để thu được một cực tiểu. Bạn sẽ thu được các kết quả số tuyệt vời cho các bài toán không thể xử lý được bằng cách khác.”

19–2  Một ghi chú thêm sau bài giảng

“Tôi muốn thêm một điều gì đó mà tôi đã không có thời gian trong bài giảng. (Tôi luôn dường như chuẩn bị nhiều hơn những gì tôi có thời gian để nói.) Như tôi đã đề cập trước đó, tôi đã quan tâm đến một bài toán trong khi làm việc với bài giảng này. Tôi muốn nói cho bạn bài toán đó là gì. Trong số các nguyên lý cực tiểu tôi có thể đề cập, tôi nhận thấy rằng hầu hết chúng nảy sinh, theo cách này hay cách khác, từ nguyên lý tác dụng tối thiểu của cơ học và điện động lực học. Nhưng cũng có một lớp không như vậy. Chẳng hạn, nếu các dòng điện được cho đi qua một mảnh vật liệu tuân theo định luật Ohm, các dòng điện tự phân bố bên trong mảnh sao cho tốc độ sinh nhiệt là ít nhất có thể. Ngoài ra chúng ta có thể nói (nếu mọi thứ được giữ đẳng nhiệt) rằng tốc độ năng lượng được sinh ra là cực tiểu. Bây giờ, nguyên tắc này cũng đúng, theo lý thuyết cổ điển, trong việc xác định ngay cả sự phân bố vận tốc của các electron bên trong một kim loại đang mang một dòng điện. Sự phân bố vận tốc không đúng là phân bố cân bằng [Chương 40, Tập I, phương trình (40.6)] bởi vì chúng đang trôi sang một bên. Phân bố mới có thể được tìm từ nguyên tắc rằng nó là phân bố đối với một dòng điện cho trước mà đối với nó entropy được tạo ra trong một giây bởi các va chạm là nhỏ nhất có thể. Tuy nhiên, mô tả đúng về hành vi của các electron phải là bằng cơ học lượng tử. Câu hỏi là: Nguyên tắc sinh entropy cực tiểu đó có còn đúng khi tình huống được mô tả bằng cơ học lượng tử hay không? Tôi vẫn chưa tìm ra.

“Câu hỏi dĩ nhiên thú vị về mặt học thuật. Các nguyên tắc như vậy thật hấp dẫn, và luôn đáng để cố xem chúng tổng quát đến đâu. Nhưng ngoài ra từ một góc nhìn thực tế hơn, tôi muốn biết. Tôi, cùng một số đồng nghiệp, đã công bố một bài báo trong đó chúng tôi đã tính bằng cơ học lượng tử một cách xấp xỉ điện trở điện mà một electron chuyển động qua một tinh thể ion như NaCl cảm thấy. [Feynman, Hellwarth, Iddings, và Platzman, “Mobility of Slow Electrons in a Polar Crystal” (Độ linh động của các electron chậm trong một tinh thể phân cực), Phys. Rev. 127, 1004 (1962).] Nhưng nếu một nguyên lý cực tiểu tồn tại, chúng ta có thể dùng nó để làm các kết quả chính xác hơn nhiều, đúng như nguyên lý cực tiểu đối với điện dung của một tụ điện đã cho phép chúng ta thu được độ chính xác như vậy cho điện dung đó mặc dù chúng ta chỉ có kiến thức thô về điện trường.”