Chương 20: Nghiệm của các phương trình Maxwell trong không gian tự do

20–1  Sóng trong không gian tự do; sóng phẳng

Trong Chương 18 chúng ta đã đi tới điểm có được các phương trình Maxwell ở dạng hoàn chỉnh. Mọi điều cần biết về lý thuyết cổ điển của điện trường và từ trường đều có thể tìm thấy trong bốn phương trình:

I.  ∇·E = ρ/ε₀      II.  ∇×E = −∂B/∂t
III.  ∇·B = 0      IV.  c²∇×B = j/ε₀ + ∂E/∂t   (20.1)

Khi chúng ta đặt tất cả các phương trình này lại với nhau, một hiện tượng mới đáng chú ý xuất hiện: các trường do các điện tích chuyển động sinh ra có thể rời khỏi nguồn và tự mình truyền đi trong không gian. Chúng ta đã xét một ví dụ đặc biệt trong đó một tấm dòng điện vô hạn được bật lên một cách đột ngột. Sau khi dòng điện đã được bật trong thời gian t, có các điện trường và từ trường đều kéo dài ra tới khoảng cách ct từ nguồn. Giả sử rằng tấm dòng điện nằm trong mặt phẳng yz với một mật độ dòng điện mặt J hướng về phía y dương. Điện trường sẽ chỉ có một thành phần y, và từ trường chỉ có một thành phần z. Các thành phần trường được cho bởi

E_y = cB_z = −J/(2ε₀c),   (20.2)

đối với các giá trị dương của x nhỏ hơn ct. Đối với x lớn hơn, các trường bằng không. Dĩ nhiên cũng có các trường tương tự kéo dài cùng một khoảng cách từ tấm dòng điện theo hướng x âm. Trong Hình 20–1 chúng ta chỉ ra một đồ thị của độ lớn của các trường theo x tại thời điểm t. Khi thời gian trôi qua, “mặt đầu sóng” tại ct di chuyển ra ngoài theo x với vận tốc không đổi c.

Bây giờ hãy xét dãy sự kiện sau đây. Chúng ta bật một dòng điện có cường độ một đơn vị trong một lúc, rồi đột ngột tăng cường độ dòng điện lên ba đơn vị, và giữ nó không đổi ở giá trị này. Khi đó các trường trông như thế nào? Chúng ta có thể thấy các trường sẽ trông như thế nào theo cách sau. Trước hết, chúng ta tưởng tượng một dòng điện có cường độ một đơn vị được bật tại t = 0 và để không đổi mãi mãi. Các trường đối với x dương khi đó được cho bởi đồ thị trong phần (a) của Hình 20–2. Tiếp theo, chúng ta hỏi điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta bật một dòng điện đều có cường độ hai đơn vị tại thời gian t₁.

Các trường trong trường hợp này sẽ cao gấp đôi trước, nhưng sẽ chỉ kéo dài ra theo x tới khoảng cách c(t − t₁), như được chỉ trong phần (b) của hình. Khi chúng ta cộng hai nghiệm này lại, dùng nguyên lý chồng chập, chúng ta thấy rằng tổng của hai nguồn là một dòng điện một đơn vị trong thời gian từ không tới t₁ và một dòng điện ba đơn vị đối với các thời gian lớn hơn t₁. Tại thời gian t các trường sẽ thay đổi theo x như được chỉ trong phần (c) của Hình 20–2.

Bây giờ hãy lấy một bài toán phức tạp hơn. Xét một dòng điện được bật lên một đơn vị trong một lúc, rồi tăng lên ba đơn vị, và sau đó tắt về không. Các trường đối với một dòng điện như vậy là gì? Chúng ta có thể tìm nghiệm theo cùng một cách — bằng cách cộng các nghiệm của ba bài toán riêng rẽ. Trước hết, chúng ta tìm các trường cho một dòng điện bậc thang có cường độ một đơn vị. (Chúng ta đã giải bài toán đó rồi.) Tiếp theo, chúng ta tìm các trường do một dòng điện bậc thang hai đơn vị sinh ra. Cuối cùng, chúng ta giải cho các trường của một dòng điện bậc thang âm ba đơn vị. Khi chúng ta cộng ba nghiệm lại, chúng ta sẽ có một dòng điện mạnh một đơn vị từ t = 0 tới một thời gian sau đó, chẳng hạn t₁, rồi mạnh ba đơn vị cho tới một thời gian còn sau hơn nữa t₂, và rồi tắt — tức là về không. Một đồ thị của dòng điện theo thời gian được chỉ trong Hình 20–3(a). Khi chúng ta cộng ba nghiệm cho điện trường, chúng ta thấy sự biến thiên của nó theo x, tại một thời điểm cho trước t, là như được chỉ trong Hình 20–3(b). Trường là một biểu diễn chính xác của dòng điện. Phân bố trường trong không gian là một đồ thị đẹp của sự biến thiên của dòng điện theo thời gian — chỉ có điều vẽ ngược lại. Khi thời gian trôi qua, toàn bộ bức tranh di chuyển ra ngoài với tốc độ c, vậy nên có một khối trường nhỏ, truyền về phía x dương, chứa một trí nhớ hoàn toàn chi tiết về lịch sử của mọi biến thiên của dòng điện. Nếu chúng ta đứng cách xa hàng dặm, chúng ta có thể nói, từ sự biến thiên của điện trường hay từ trường, chính xác dòng điện đã biến thiên như thế nào tại nguồn.

Bạn cũng sẽ để ý rằng rất lâu sau khi mọi hoạt động tại nguồn đã hoàn toàn dừng lại và mọi điện tích và dòng điện đều bằng không, khối trường vẫn tiếp tục truyền qua không gian. Chúng ta có một phân bố của điện trường và từ trường tồn tại độc lập với bất kỳ điện tích hay dòng điện nào. Đó là hiệu ứng mới xuất phát từ hệ đầy đủ các phương trình Maxwell. Nếu muốn, chúng ta có thể cho một biểu diễn toán học hoàn chỉnh của phép phân tích chúng ta vừa làm bằng cách viết rằng điện trường tại một nơi cho trước và một thời gian cho trước tỉ lệ với dòng điện tại nguồn, chỉ có điều không phải tại cùng thời gian, mà tại thời gian sớm hơn t − x/c. Chúng ta có thể viết

E_y(t) = −J(t − x/c)/(2ε₀c).   (20.3)

Tin hay không tùy bạn, chúng ta đã suy ra cùng phương trình này từ một quan điểm khác trong Tập I, khi chúng ta xử lý lý thuyết về chiết suất. Khi đó, chúng ta đã phải tìm ra các trường nào được sinh ra bởi một lớp mỏng các lưỡng cực dao động trong một tấm vật liệu điện môi, với các lưỡng cực được đưa vào chuyển động bởi điện trường của một sóng điện từ tới. Bài toán của chúng ta là tính các trường kết hợp của sóng gốc và các sóng bức xạ bởi các lưỡng cực dao động. Làm sao chúng ta có thể tính được các trường do các điện tích chuyển động sinh ra khi chúng ta chưa có các phương trình Maxwell? Vào lúc đó chúng ta đã lấy làm điểm xuất phát (mà không chứng minh gì cả) một công thức cho các trường bức xạ sinh ra tại các khoảng cách lớn từ một điện tích điểm đang gia tốc. Nếu bạn nhìn vào Chương 30 của Tập I, bạn sẽ thấy rằng phương trình (30.19) ở đó đúng là cùng một phương trình như phương trình (20.3) mà chúng ta vừa viết xuống. Mặc dù phép suy luận trước đây của chúng ta chỉ đúng tại các khoảng cách lớn từ nguồn, bây giờ chúng ta thấy rằng cùng một kết quả tiếp tục đúng ngay cả khi tới sát nguồn.

Bây giờ chúng ta muốn nhìn một cách tổng quát hành vi của điện trường và từ trường trong không gian trống ở xa các nguồn, tức là xa các dòng điện và điện tích. Rất gần các nguồn — đủ gần sao cho trong thời gian trễ của sự truyền, nguồn chưa kịp thay đổi nhiều — các trường rất giống như những trường chúng ta đã tìm thấy trong các trường hợp mà chúng ta gọi là tĩnh điện hay tĩnh từ. Tuy nhiên, nếu chúng ta đi ra tới các khoảng cách đủ lớn để các độ trễ trở nên quan trọng, bản chất của các trường có thể khác hẳn về căn bản so với các nghiệm mà chúng ta đã tìm thấy. Theo một nghĩa nào đó, các trường bắt đầu mang một tính cách riêng của chúng khi chúng đã đi rất xa khỏi mọi nguồn. Vậy chúng ta có thể bắt đầu bằng cách thảo luận hành vi của các trường trong một miền không có dòng điện hay điện tích nào.

Giả sử chúng ta hỏi: Các trường thuộc loại nào có thể tồn tại trong các miền mà cả ρ và j đều bằng không? Trong Chương 18 chúng ta đã thấy rằng vật lý của các phương trình Maxwell cũng có thể được biểu diễn theo các phương trình vi phân cho các thế vô hướng và thế vectơ:

∇²ϕ − (1/c²) ∂²ϕ/∂t² = −ρ/ε₀,   (20.4)

∇²A − (1/c²) ∂²A/∂t² = −j/(ε₀c²).   (20.5)

Nếu ρ và j bằng không, các phương trình này có dạng đơn giản hơn

∇²ϕ − (1/c²) ∂²ϕ/∂t² = 0,   (20.6)

∇²A − (1/c²) ∂²A/∂t² = 0.   (20.7)

Như vậy trong không gian tự do, thế vô hướng ϕ và mỗi thành phần của thế vectơ A đều thỏa mãn cùng một phương trình toán học. Giả sử chúng ta để ψ (psi) ký hiệu cho bất kỳ một trong bốn đại lượng ϕ, A_x, A_y, A_z; khi đó chúng ta muốn khảo sát các nghiệm tổng quát của phương trình sau:

∇²ψ − (1/c²) ∂²ψ/∂t² = 0.   (20.8)

Phương trình này được gọi là phương trình sóng ba chiều — ba chiều, bởi vì hàm ψ nói chung có thể phụ thuộc vào x, y và z, và chúng ta cần lo về các biến thiên theo cả ba tọa độ. Điều này trở nên rõ ràng nếu chúng ta viết tường minh ba số hạng của toán tử Laplace:

∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z² − (1/c²) ∂²ψ/∂t² = 0.   (20.9)

Trong không gian tự do, các điện trường E và B cũng thỏa mãn phương trình sóng. Chẳng hạn, vì B = ∇×A, chúng ta có thể thu được một phương trình vi phân cho B bằng cách lấy rôta của phương trình (20.7). Vì toán tử Laplace là một toán tử vô hướng, thứ tự của các phép toán Laplace và rôta có thể hoán đổi cho nhau:

∇×(∇²A) = ∇²(∇×A) = ∇²B.

Tương tự, thứ tự của các phép toán rôta và ∂/∂t có thể hoán đổi cho nhau:

∇×[(1/c²) ∂²A/∂t²] = (1/c²) ∂²/∂t²(∇×A) = (1/c²) ∂²B/∂t².

Dùng các kết quả này, chúng ta thu được phương trình vi phân sau cho B:

∇²B − (1/c²) ∂²B/∂t² = 0.   (20.10)

Vậy mỗi thành phần của từ trường B thỏa mãn phương trình sóng ba chiều. Tương tự, dùng sự thật rằng E = −∇ϕ − ∂A/∂t, suy ra rằng điện trường E trong không gian tự do cũng thỏa mãn phương trình sóng ba chiều:

∇²E − (1/c²) ∂²E/∂t² = 0.   (20.11)

Mọi trường điện từ của chúng ta đều thỏa mãn cùng một phương trình sóng, phương trình (20.8). Chúng ta có thể hỏi: Nghiệm tổng quát nhất của phương trình này là gì? Tuy nhiên, thay vì lao ngay vào câu hỏi khó đó, trước hết chúng ta sẽ nhìn vào những gì có thể nói tổng quát về các nghiệm trong đó không có gì biến thiên theo y và z. (Luôn làm một trường hợp dễ trước để bạn có thể thấy điều gì sẽ xảy ra, rồi sau đó bạn có thể đi tới các trường hợp phức tạp hơn.) Giả sử rằng độ lớn của các trường chỉ phụ thuộc vào x — rằng không có biến thiên nào của các trường theo y và z. Dĩ nhiên chúng ta lại đang xét các sóng phẳng. Chúng ta nên kỳ vọng thu được các kết quả giống như trong mục trước. Thực ra, chúng ta sẽ tìm thấy chính xác cùng các đáp án. Bạn có thể hỏi: “Cớ gì làm lại tất cả?” Việc làm lại là quan trọng, thứ nhất, bởi vì chúng ta chưa chỉ ra rằng các sóng chúng ta đã tìm thấy là các nghiệm tổng quát nhất cho các sóng phẳng, và thứ hai, bởi vì chúng ta đã tìm thấy các trường chỉ từ một loại nguồn dòng điện rất đặc biệt. Bây giờ chúng ta muốn hỏi: Loại sóng một chiều tổng quát nhất có thể tồn tại trong không gian tự do là gì? Chúng ta không thể tìm ra điều đó bằng cách xem điều gì xảy ra đối với nguồn này hay nguồn nọ đặc biệt, mà phải làm việc với tính tổng quát lớn hơn. Ngoài ra lần này chúng ta sẽ làm việc với các phương trình vi phân thay vì với các dạng tích phân. Mặc dù chúng ta sẽ thu được cùng các kết quả, đó là một cách luyện tập qua lại để chỉ ra rằng đi đường nào cũng chẳng khác gì. Bạn nên biết cách làm mọi việc theo mọi cách, bởi vì khi bạn gặp một bài toán khó, bạn sẽ thường thấy rằng chỉ một trong các cách khác nhau là có thể xử lý được.

Chúng ta có thể xét trực tiếp nghiệm của phương trình sóng cho một đại lượng điện từ nào đó. Thay vào đó, chúng ta muốn bắt đầu ngay từ đầu với các phương trình Maxwell trong không gian tự do để bạn có thể thấy mối quan hệ chặt chẽ của chúng với các sóng điện từ. Vậy chúng ta bắt đầu với các phương trình trong (20.1), đặt các điện tích và dòng điện bằng không. Chúng trở thành

I.  ∇·E = 0      II.  ∇×E = −∂B/∂t
III.  ∇·B = 0      IV.  c²∇×B = ∂E/∂t   (20.12)

Chúng ta viết phương trình thứ nhất ra theo các thành phần:

∇·E = ∂E_x/∂x + ∂E_y/∂y + ∂E_z/∂z = 0.   (20.13)

Chúng ta đang giả thiết rằng không có biến thiên theo y và z, nên hai số hạng cuối bằng không. Phương trình này khi đó nói với chúng ta rằng

∂E_x/∂x = 0.   (20.14)

Nghiệm của nó là E_x, thành phần của điện trường theo hướng x, là một hằng số trong không gian. Nếu bạn nhìn vào IV trong (20.12), giả thiết cũng không có biến thiên của B theo y và z, bạn có thể thấy rằng E_x cũng không đổi theo thời gian. Một trường như vậy có thể là trường một chiều đều tĩnh từ một số bản tụ điện tích điện ở rất xa. Hiện giờ chúng ta không quan tâm đến một trường tĩnh tẻ nhạt như vậy; lúc này chúng ta chỉ quan tâm đến các trường biến thiên động. Đối với các trường động, E_x = 0.

Khi đó chúng ta có kết quả quan trọng rằng đối với sự truyền của các sóng phẳng theo bất kỳ hướng nào, điện trường phải vuông góc với hướng truyền. Dĩ nhiên nó vẫn có thể biến thiên một cách phức tạp theo tọa độ x.

Trường E ngang luôn có thể được phân tích thành hai thành phần, chẳng hạn thành phần y và thành phần z. Vậy trước hết hãy giải quyết một trường hợp trong đó điện trường chỉ có một thành phần ngang. Trước hết chúng ta sẽ lấy một điện trường luôn theo hướng y, với thành phần z bằng không. Rõ ràng, nếu chúng ta giải được bài toán này chúng ta cũng có thể giải cho trường hợp điện trường luôn theo hướng z. Nghiệm tổng quát luôn có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chập của hai trường như vậy.

Các phương trình của chúng ta bây giờ trở nên dễ dàng làm sao. Thành phần duy nhất của điện trường không bằng không là E_y, và mọi đạo hàm — ngoại trừ các đạo hàm theo x — đều bằng không. Phần còn lại của các phương trình Maxwell khi đó trở nên khá đơn giản.

Tiếp theo hãy nhìn vào phương trình thứ hai của Maxwell [II của phương trình (20.12)]. Viết ra các thành phần của rôta của E, chúng ta có

(∇×E)_x = ∂E_z/∂y − ∂E_y/∂z = 0,
(∇×E)_y = ∂E_x/∂z − ∂E_z/∂x = 0,
(∇×E)_z = ∂E_y/∂x − ∂E_x/∂y = ∂E_y/∂x.

Thành phần x của ∇×E bằng không bởi vì các đạo hàm theo y và z bằng không. Thành phần y cũng bằng không; số hạng thứ nhất bằng không bởi vì đạo hàm theo z bằng không, và số hạng thứ hai bằng không bởi vì E_z bằng không. Thành phần duy nhất của rôta của E không bằng không là thành phần z, bằng ∂E_y/∂x. Đặt ba thành phần của ∇×E bằng các thành phần tương ứng của −∂B/∂t, chúng ta có thể kết luận như sau:

∂B_x/∂t = 0,   ∂B_y/∂t = 0,   (20.15)

∂B_z/∂t = −∂E_y/∂x.   (20.16)

Vì thành phần x của từ trường và thành phần y của từ trường đều có đạo hàm theo thời gian bằng không, hai thành phần này chỉ là các trường hằng và tương ứng với các nghiệm tĩnh từ mà chúng ta đã tìm thấy trước đây. Ai đó có thể đã để một số nam châm vĩnh cửu gần nơi các sóng đang truyền. Chúng ta sẽ bỏ qua các trường hằng này và đặt B_x và B_y bằng không.

Nhân tiện, chúng ta hẳn đã kết luận được rằng thành phần x của B nên bằng không vì một lý do khác. Vì phân kỳ của B bằng không (từ phương trình Maxwell thứ ba), áp dụng cùng các luận cứ chúng ta đã dùng ở trên cho điện trường, chúng ta sẽ kết luận rằng thành phần dọc của từ trường không thể có biến thiên theo x. Vì chúng ta đang bỏ qua các trường đều như vậy trong các nghiệm sóng của mình, chúng ta hẳn đã đặt B_x bằng không. Trong các sóng điện từ phẳng, trường B, cũng như trường E, phải hướng vuông góc với hướng truyền.

Phương trình (20.16) cho chúng ta mệnh đề thêm rằng nếu điện trường chỉ có một thành phần y, từ trường sẽ chỉ có một thành phần z. Vậy E và B vuông góc với nhau. Đây đúng là điều đã xảy ra trong sóng đặc biệt mà chúng ta đã xét.

Bây giờ chúng ta sẵn sàng dùng phương trình cuối cùng của Maxwell cho không gian tự do [IV của phương trình (20.12)]. Viết ra các thành phần, chúng ta có

c²(∇×B)_x = c²∂B_z/∂y − c²∂B_y/∂z = ∂E_x/∂t,
c²(∇×B)_y = c²∂B_x/∂z − c²∂B_z/∂x = ∂E_y/∂t,
c²(∇×B)_z = c²∂B_y/∂x − c²∂B_x/∂y = ∂E_z/∂t.   (20.17)

Trong sáu đạo hàm của các thành phần của B, chỉ số hạng ∂B_z/∂x là không bằng không. Vậy ba phương trình cho chúng ta đơn giản là

−c²∂B_z/∂x = ∂E_y/∂t.   (20.18)

Kết quả của mọi công việc của chúng ta là chỉ có một thành phần của mỗi trường, điện trường và từ trường, là không bằng không, và các thành phần này phải thỏa mãn các phương trình (20.16) và (20.18). Hai phương trình có thể được kết hợp thành một nếu chúng ta lấy đạo hàm của phương trình thứ nhất theo x và của phương trình thứ hai theo t; khi đó các vế trái của hai phương trình sẽ giống nhau (ngoại trừ thừa số c²). Vậy chúng ta thấy rằng E_y thỏa mãn phương trình

∂²E_y/∂x² − (1/c²) ∂²E_y/∂t² = 0.   (20.19)

Chúng ta đã thấy cùng phương trình vi phân này trước đây, khi chúng ta nghiên cứu sự truyền của âm thanh. Đó là phương trình sóng cho các sóng một chiều.

Bạn nên để ý rằng trong quá trình suy luận của chúng ta, chúng ta đã tìm thấy một điều gì đó nhiều hơn những gì chứa trong phương trình (20.11). Các phương trình Maxwell đã cho chúng ta thêm thông tin rằng các sóng điện từ có các thành phần trường chỉ vuông góc với hướng truyền sóng.

Hãy ôn lại những gì chúng ta biết về các nghiệm của phương trình sóng một chiều. Nếu bất kỳ đại lượng ψ nào thỏa mãn phương trình sóng một chiều

∂²ψ/∂x² − (1/c²) ∂²ψ/∂t² = 0,   (20.20)

thì một nghiệm có thể là một hàm ψ(x,t) có dạng

ψ(x,t) = f(x − ct),   (20.21)

tức là, một hàm nào đó của biến duy nhất (x − ct). Hàm f(x − ct) biểu diễn một “hình dạng” “cứng” trong x truyền về phía x dương với tốc độ c (xem Hình 20–4). Chẳng hạn, nếu hàm f có một cực đại khi đối số của nó bằng không, thì đối với t = 0 cực đại của ψ sẽ xuất hiện tại x = 0. Tại một thời gian sau đó, chẳng hạn t = 10, ψ sẽ có cực đại của nó tại x = 10c. Khi thời gian trôi qua, cực đại di chuyển về phía x dương với tốc độ c.

Đôi khi nói rằng một nghiệm của phương trình sóng một chiều là một hàm của (t − x/c) thì tiện hơn. Tuy nhiên, nói vậy cũng là nói cùng một điều, bởi vì bất kỳ hàm nào của (t − x/c) cũng là một hàm của (x − ct):

F(t − x/c) = F[−(x − ct)/c] = f(x − ct).

Hãy chỉ ra rằng f(x − ct) quả thực là một nghiệm của phương trình sóng. Vì nó là một hàm của chỉ một biến — biến (x − ct) — chúng ta sẽ để f′ ký hiệu cho đạo hàm của f theo biến của nó và f′′ ký hiệu cho đạo hàm cấp hai của f. Lấy đạo hàm phương trình (20.21) theo x, chúng ta có

∂ψ/∂x = f′(x − ct),

vì đạo hàm của (x − ct) theo x là 1. Đạo hàm cấp hai của ψ theo x rõ ràng là

∂²ψ/∂x² = f′′(x − ct).   (20.23)

Lấy các đạo hàm của ψ theo t, chúng ta tìm được

∂ψ/∂t = f′(x − ct)(−c),
∂²ψ/∂t² = +c²f′′(x − ct).

Chúng ta thấy rằng ψ quả thực thỏa mãn phương trình sóng một chiều.

Bạn có thể đang thắc mắc: “Nếu tôi có phương trình sóng, làm sao tôi biết rằng tôi nên lấy f(x − ct) làm nghiệm? Tôi không thích phương pháp ngược này. Không có cách nào tiến về phía trước để tìm nghiệm hay sao?” Ồ, một cách tiến về phía trước tốt là biết nghiệm. Có thể “nấu” ra một lập luận toán học có vẻ tiến về phía trước, đặc biệt bởi vì chúng ta biết nghiệm được cho là thế nào, nhưng với một phương trình đơn giản như thế này chúng ta không cần phải chơi trò đó. Chẳng bao lâu bạn sẽ tới mức khi bạn thấy phương trình (20.20), bạn gần như đồng thời thấy ψ = f(x − ct) là một nghiệm. (Đúng như bây giờ khi bạn thấy tích phân của x²dx, bạn biết ngay đáp án là x³/3.)

Thực ra bạn cũng nên thấy thêm một chút nữa. Không chỉ bất kỳ hàm nào của (x − ct) là một nghiệm, mà bất kỳ hàm nào của (x + ct) cũng là một nghiệm. Vì phương trình sóng chỉ chứa c², việc đổi dấu của c chẳng làm khác gì. Thực ra, nghiệm tổng quát nhất của phương trình sóng một chiều là tổng của hai hàm tùy ý, một hàm của (x − ct) và hàm kia của (x + ct):

ψ = f(x − ct) + g(x + ct).   (20.24)

Số hạng thứ nhất biểu diễn một sóng truyền về phía x dương, và số hạng thứ hai một sóng tùy ý truyền về phía x âm. Nghiệm tổng quát là chồng chập của hai sóng như vậy cùng tồn tại tại cùng một thời gian.

Chúng ta sẽ để lại câu hỏi thú vị sau đây cho bạn suy nghĩ. Lấy một hàm ψ có dạng sau:

ψ = cos kx cos kct.

Phương trình này không ở dạng một hàm của (x − ct) hay của (x + ct). Thế nhưng bạn có thể dễ dàng chỉ ra rằng hàm này là một nghiệm của phương trình sóng bằng cách thế trực tiếp vào phương trình (20.20). Vậy làm sao chúng ta có thể nói rằng nghiệm tổng quát có dạng của phương trình (20.24)?

Áp dụng các kết luận của chúng ta về nghiệm của phương trình sóng cho thành phần y của điện trường, E_y, chúng ta kết luận rằng E_y có thể biến thiên theo x theo bất kỳ cách tùy ý nào. Tuy nhiên, các trường tồn tại luôn có thể được coi là tổng của hai mẫu hình. Một sóng đang lướt qua không gian theo một hướng với tốc độ c, với một từ trường đi kèm vuông góc với điện trường; một sóng khác đang truyền theo hướng ngược lại với cùng tốc độ. Các sóng như vậy tương ứng với các sóng điện từ mà chúng ta biết — ánh sáng, sóng vô tuyến, bức xạ hồng ngoại, bức xạ tử ngoại, tia X, và vân vân. Chúng ta đã thảo luận sự bức xạ của ánh sáng rất chi tiết trong Tập I. Vì mọi điều chúng ta đã học ở đó áp dụng cho bất kỳ sóng điện từ nào, chúng ta không cần xét thật chi tiết ở đây hành vi của các sóng này.

Có lẽ chúng ta nên nói thêm vài nhận xét về câu hỏi sự phân cực của các sóng điện từ. Trong nghiệm của chúng ta, chúng ta đã chọn xét trường hợp đặc biệt trong đó điện trường chỉ có một thành phần y. Rõ ràng có một nghiệm khác cho các sóng truyền theo hướng x dương hay âm, với một điện trường chỉ có một thành phần z. Vì các phương trình Maxwell là tuyến tính, nghiệm tổng quát cho các sóng một chiều truyền theo hướng x là tổng của các sóng của E_y và các sóng của E_z. Nghiệm tổng quát này được tóm tắt trong các phương trình sau:

E = (0, E_y, E_z)
E_y = f(x − ct) + g(x + ct)
E_z = F(x − ct) + G(x + ct)
B = (0, B_y, B_z)
cB_z = f(x − ct) − g(x + ct)
cB_y = −F(x − ct) + G(x + ct)   (20.25)

Các sóng điện từ như vậy có một vectơ E mà hướng của nó không phải là hằng số mà quay cuồng theo một cách tùy ý nào đó trong mặt phẳng yz. Tại mọi điểm, từ trường luôn vuông góc với điện trường và với hướng truyền.

Nếu chỉ có các sóng truyền theo một hướng, chẳng hạn hướng x dương, có một quy tắc đơn giản cho biết hướng tương đối của điện trường và từ trường. Quy tắc là tích có hướng E×B — dĩ nhiên là một vectơ vuông góc với cả E lẫn B — chỉ theo hướng mà sóng đang truyền. Nếu E được quay vào B bằng một đinh ốc thuận tay phải, đinh ốc chỉ theo hướng của vận tốc sóng. (Chúng ta sẽ thấy sau này rằng vectơ E×B có một ý nghĩa vật lý đặc biệt: nó là một vectơ mô tả dòng năng lượng trong một trường điện từ.)

20–2  Sóng ba chiều

Bây giờ chúng ta muốn chuyển sang chủ đề các sóng ba chiều. Chúng ta đã thấy rằng vectơ E thỏa mãn phương trình sóng. Cũng dễ dàng đi tới cùng kết luận bằng cách lập luận trực tiếp từ các phương trình Maxwell. Giả sử chúng ta bắt đầu với phương trình

∇×E = −∂B/∂t

và lấy rôta của cả hai vế:

∇×(∇×E) = −∂/∂t (∇×B).   (20.26)

Bạn sẽ nhớ rằng rôta của rôta của bất kỳ vectơ nào cũng có thể được viết dưới dạng tổng của hai số hạng, một số hạng liên quan tới phân kỳ và số hạng kia liên quan tới toán tử Laplace,

∇×(∇×E) = ∇(∇·E) − ∇²E.   (20.27)

Tuy nhiên, trong không gian tự do, phân kỳ của E bằng không, nên chỉ còn lại số hạng Laplace. Ngoài ra, từ phương trình thứ tư của Maxwell trong không gian tự do [phương trình (20.12)] đạo hàm theo thời gian của c²∇×B là đạo hàm cấp hai của E theo t:

c² ∂/∂t (∇×B) = ∂²E/∂t².

Phương trình (20.26) khi đó trở thành

∇²E = (1/c²) ∂²E/∂t²,   (20.28)

đó là phương trình sóng ba chiều. Dĩ nhiên, viết ra trong tất cả vẻ huy hoàng của nó, phương trình này là

∂²E/∂x² + ∂²E/∂y² + ∂²E/∂z² − (1/c²) ∂²E/∂t² = 0.

Làm thế nào chúng ta tìm được nghiệm sóng tổng quát? Đáp án là mọi nghiệm của phương trình sóng ba chiều đều có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chập của các nghiệm một chiều mà chúng ta đã tìm thấy. Chúng ta đã thu được phương trình cho các sóng di chuyển theo hướng x bằng cách giả thiết rằng trường không phụ thuộc vào y và z. Rõ ràng, có các nghiệm khác trong đó các trường không phụ thuộc vào x và z, biểu diễn các sóng đi theo hướng y. Rồi có các nghiệm không phụ thuộc vào x và y, biểu diễn các sóng truyền theo hướng z. Hay nói tổng quát, vì chúng ta đã viết các phương trình của mình ở dạng vectơ, phương trình sóng ba chiều có thể có các nghiệm là các sóng phẳng di chuyển theo bất kỳ hướng nào. Lại nữa, vì các phương trình là tuyến tính, chúng ta có thể có đồng thời bao nhiêu sóng phẳng tùy ý, truyền theo bao nhiêu hướng khác nhau tùy ý. Như vậy nghiệm tổng quát nhất của phương trình sóng ba chiều là một chồng chập của đủ loại sóng phẳng di chuyển theo đủ loại hướng.

Hãy thử tưởng tượng điện trường và từ trường trông như thế nào vào lúc này trong không gian của phòng giảng này. Trước hết, có một từ trường đều; nó đến từ các dòng điện trong lòng trái đất — tức là, từ trường đều của trái đất. Rồi có một số điện trường tĩnh bất thường, gần như tĩnh, có lẽ được sinh ra bởi các điện tích do ma sát khi nhiều người khác nhau di chuyển trên ghế của họ và chà tay áo khoác của họ vào tay ghế. Rồi có các từ trường khác được sinh ra bởi các dòng điện dao động trong hệ thống dây điện — các trường biến thiên với tần số 60 chu kỳ mỗi giây, đồng bộ với máy phát điện tại đập Boulder. Nhưng thú vị hơn là các điện trường và từ trường biến thiên với các tần số cao hơn nhiều. Chẳng hạn, khi ánh sáng truyền từ cửa sổ tới sàn nhà và từ tường này tới tường kia, có các gợn nhỏ của điện trường và từ trường di chuyển dọc theo với vận tốc 186.000 dặm mỗi giây. Rồi cũng có các sóng hồng ngoại truyền từ những vầng trán ấm tới bảng đen lạnh. Và chúng ta đã quên mất ánh sáng tử ngoại, các tia X, và các sóng vô tuyến truyền qua căn phòng.

Bay ngang qua căn phòng là các sóng điện từ mang theo âm nhạc của một ban nhạc jazz. Có các sóng được điều biến bởi một dãy xung biểu diễn các hình ảnh của các sự kiện đang diễn ra ở các nơi khác trên thế giới, hay của các viên aspirin tưởng tượng đang hòa tan trong các dạ dày tưởng tượng. Để chứng minh tính thực của các sóng này, chỉ cần bật lên thiết bị điện tử chuyển các sóng này thành hình ảnh và âm thanh.

Nếu chúng ta đi vào chi tiết hơn nữa để phân tích ngay cả các gợn nhỏ nhất, có các sóng điện từ cực nhỏ đã đến căn phòng từ các khoảng cách khổng lồ. Hiện có các dao động cực nhỏ của điện trường, mà các đỉnh của chúng cách nhau một khoảng một foot, đã đến từ cách xa hàng triệu dặm, được truyền tới trái đất từ tàu vũ trụ Mariner II vừa đi qua Sao Kim. Các tín hiệu của nó mang theo các bản tóm tắt thông tin nó đã thu thập được về các hành tinh (thông tin thu được từ các sóng điện từ đã truyền từ hành tinh tới tàu vũ trụ).

Có các gợn cực nhỏ của điện trường và từ trường là các sóng bắt nguồn từ cách xa hàng tỷ năm ánh sáng — từ các thiên hà ở các góc xa xôi nhất của vũ trụ. Rằng điều này là đúng đã được tìm ra bằng cách “lấp đầy căn phòng bằng các sợi dây” — bằng cách xây dựng các ăng-ten lớn bằng cả căn phòng này. Các sóng vô tuyến như vậy đã được phát hiện từ các nơi trong không gian nằm ngoài tầm của các kính thiên văn quang học lớn nhất. Ngay cả chúng, các kính thiên văn quang học, cũng chỉ là các thiết bị thu thập các sóng điện từ. Những gì chúng ta gọi là các ngôi sao chỉ là các suy luận, các suy luận rút ra từ thực tại vật lý duy nhất chúng ta đã nhận được từ chúng — từ một nghiên cứu cẩn thận các gợn sóng phức tạp không bao giờ dứt của điện trường và từ trường tới được chúng ta trên trái đất.

Dĩ nhiên còn có nhiều hơn nữa: các trường do sét ở cách xa hàng dặm sinh ra, các trường của các hạt tia vũ trụ tích điện khi chúng lao vút qua căn phòng, và còn nữa, và còn nữa. Điện trường trong không gian quanh bạn là một thứ phức tạp biết bao! Thế nhưng nó luôn thỏa mãn phương trình sóng ba chiều.

20–3  Trí tưởng tượng khoa học

Tôi đã yêu cầu bạn tưởng tượng các điện trường và từ trường này. Bạn làm điều đó như thế nào? Bạn có biết cách không? Tôi tưởng tượng điện trường và từ trường như thế nào? Tôi thực sự thấy gì? Các đòi hỏi của trí tưởng tượng khoa học là gì? Nó có khác gì việc cố tưởng tượng rằng căn phòng đầy các thiên thần vô hình không? Không, nó không giống như tưởng tượng các thiên thần vô hình. Cần một mức độ tưởng tượng cao hơn nhiều để hiểu trường điện từ so với để hiểu các thiên thần vô hình. Tại sao? Bởi vì để làm cho các thiên thần vô hình trở nên có thể hiểu được, tất cả những gì tôi phải làm là thay đổi tính chất của chúng một chút — tôi làm cho chúng hơi nhìn thấy được, và rồi tôi có thể thấy hình dạng của đôi cánh, và cơ thể, và vầng hào quang của chúng. Một khi tôi thành công trong việc tưởng tượng một thiên thần nhìn thấy được, sự trừu tượng cần thiết — tức là lấy các thiên thần gần như vô hình và tưởng tượng chúng hoàn toàn vô hình — là tương đối dễ. Vậy bạn nói, “Thưa giáo sư, xin hãy cho tôi một mô tả gần đúng về các sóng điện từ, dù nó có thể hơi không chính xác, để tôi cũng có thể thấy chúng như tôi có thể thấy các thiên thần gần như vô hình. Rồi tôi sẽ sửa đổi bức tranh tới sự trừu tượng cần thiết.”

Tôi xin lỗi tôi không thể làm điều đó cho bạn. Tôi không biết cách. Tôi không có bức tranh nào về trường điện từ này mà theo bất kỳ nghĩa nào cũng chính xác. Tôi đã biết về trường điện từ từ lâu — tôi đã ở cùng vị trí 25 năm trước mà bạn đang ở bây giờ, và tôi đã có thêm 25 năm kinh nghiệm suy nghĩ về các sóng gợn này. Khi tôi bắt đầu mô tả từ trường di chuyển qua không gian, tôi nói về các trường E và B và vung tay, và bạn có thể tưởng tượng rằng tôi có thể thấy chúng. Tôi sẽ nói cho bạn tôi thấy gì. Tôi thấy một loại đường gợn sóng mờ ảo, mơ hồ nào đó — đây đó có một chữ E và B viết trên chúng theo cách nào đó, và có lẽ một số đường có mũi tên trên chúng — một mũi tên đây hay đó biến mất khi tôi nhìn quá kỹ vào nó. Khi tôi nói về các trường lướt qua không gian, tôi có một sự lẫn lộn khủng khiếp giữa các ký hiệu tôi dùng để mô tả các vật và chính các vật đó. Tôi thực sự không thể tạo ra một bức tranh thậm chí gần giống như các sóng thật. Vậy nếu bạn có chút khó khăn trong việc tạo ra một bức tranh như vậy, bạn không nên lo rằng khó khăn của bạn là bất thường.

Khoa học của chúng ta đặt ra các đòi hỏi khủng khiếp lên trí tưởng tượng. Mức độ tưởng tượng được đòi hỏi cực đoan hơn nhiều so với mức độ đòi hỏi cho một số ý tưởng cổ xưa. Các ý tưởng hiện đại khó tưởng tượng hơn nhiều. Tuy nhiên, chúng ta dùng rất nhiều công cụ. Chúng ta dùng các phương trình toán học và các quy tắc, và tạo ra rất nhiều bức tranh. Điều tôi nhận ra bây giờ là khi tôi nói về trường điện từ trong không gian, tôi thấy một loại chồng chập nào đó của mọi sơ đồ mà tôi đã từng thấy vẽ về chúng. Tôi không thấy các bó nhỏ các đường sức chạy quanh bởi vì tôi lo rằng nếu tôi chạy với một tốc độ khác các bó sẽ biến mất, tôi thậm chí không phải lúc nào cũng thấy điện trường và từ trường bởi vì đôi khi tôi nghĩ tôi đáng lẽ nên tạo ra một bức tranh với thế vectơ và thế vô hướng, vì đó có lẽ là những thứ có ý nghĩa vật lý hơn đang gợn sóng.

Có lẽ hy vọng duy nhất, bạn nói, là lấy một quan điểm toán học. Bây giờ một quan điểm toán học là gì? Từ một quan điểm toán học, có một vectơ điện trường và một vectơ từ trường tại mỗi điểm trong không gian; tức là, có sáu con số gắn với mỗi điểm. Bạn có thể tưởng tượng sáu con số gắn với mỗi điểm trong không gian không? Điều đó quá khó. Bạn có thể tưởng tượng ngay cả một con số gắn với mỗi điểm không? Tôi không thể! Tôi có thể tưởng tượng một thứ như nhiệt độ tại mỗi điểm trong không gian. Điều đó có vẻ có thể hiểu được. Có một sự nóng và lạnh thay đổi từ nơi này sang nơi khác. Nhưng tôi thành thật không hiểu ý tưởng về một con số tại mỗi điểm.

Vậy có lẽ chúng ta nên đặt câu hỏi: Chúng ta có thể biểu diễn điện trường bằng một thứ gì đó giống nhiệt độ hơn, chẳng hạn như độ dịch chuyển của một miếng thạch (jello) không? Giả sử rằng chúng ta bắt đầu bằng cách tưởng tượng rằng thế giới được lấp đầy bởi thạch mỏng và rằng các trường biểu diễn một biến dạng nào đó — chẳng hạn một sự kéo giãn hay xoắn vặn — của thạch. Khi đó chúng ta có thể hình dung trường. Sau khi chúng ta “thấy” nó như thế nào, chúng ta có thể trừu tượng hóa thạch đi. Trong nhiều năm đó là điều người ta đã cố làm. Maxwell, Ampère, Faraday, và những người khác đã cố hiểu điện từ học theo cách này. (Đôi khi họ gọi thạch trừu tượng đó là “ête.”) Nhưng hóa ra rằng nỗ lực tưởng tượng trường điện từ theo cách đó thực sự đã đứng cản đường của sự tiến bộ. Thật không may chúng ta bị giới hạn ở các trừu tượng, ở việc dùng các dụng cụ để phát hiện trường, ở việc dùng các ký hiệu toán học để mô tả trường, v.v. Nhưng dù vậy, theo một nghĩa nào đó các trường là thực, bởi vì sau khi chúng ta đã xong hết việc loay hoay với các phương trình toán học — có hay không có việc tạo ra các bức tranh và hình vẽ hay cố hình dung sự vật — chúng ta vẫn có thể làm cho các dụng cụ phát hiện được các tín hiệu từ Mariner II và tìm hiểu về các thiên hà cách xa một tỷ dặm, và vân vân.

Toàn bộ câu hỏi về trí tưởng tượng trong khoa học thường bị hiểu lầm bởi người trong các ngành khác. Họ cố kiểm tra trí tưởng tượng của chúng ta theo cách sau. Họ nói, “Đây là một bức tranh về một số người trong một tình huống. Bạn tưởng tượng điều gì sẽ xảy ra tiếp theo?” Khi chúng ta nói, “Tôi không thể tưởng tượng,” họ có thể nghĩ chúng ta có trí tưởng tượng yếu. Họ bỏ qua sự thật rằng bất cứ điều gì chúng ta được phép tưởng tượng trong khoa học đều phải nhất quán với mọi điều khác chúng ta biết: rằng các điện trường và các sóng chúng ta nói tới không chỉ là một số ý nghĩ vui vẻ nào đó mà chúng ta tự do tạo ra như chúng ta muốn, mà là các ý tưởng phải nhất quán với mọi định luật vật lý chúng ta biết. Chúng ta không thể cho phép mình tưởng tượng một cách nghiêm túc các thứ rõ ràng mâu thuẫn với các định luật đã biết của tự nhiên. Và vì vậy loại tưởng tượng của chúng ta là một trò chơi khá khó. Người ta phải có trí tưởng tượng để nghĩ về một thứ chưa bao giờ được thấy trước đây, chưa bao giờ được nghe trước đây. Đồng thời các ý nghĩ bị hạn chế trong một cái áo bó, có thể nói như vậy, bị giới hạn bởi các điều kiện đến từ kiến thức của chúng ta về cách tự nhiên thực sự hoạt động. Bài toán tạo ra một thứ gì đó mới, nhưng nhất quán với mọi thứ đã được thấy trước đây, là một bài toán cực kỳ khó.

Trong khi tôi đang nói về chủ đề này, tôi muốn nói về việc liệu có bao giờ có thể tưởng tượng được vẻ đẹp mà chúng ta không thể thấy hay không. Đó là một câu hỏi thú vị. Khi chúng ta nhìn một cầu vồng, nó trông đẹp đối với chúng ta. Mọi người đều nói, “Ồ, một cầu vồng.” (Bạn thấy tôi khoa học đến mức nào. Tôi sợ nói một thứ gì đó là đẹp trừ khi tôi có một cách thực nghiệm để định nghĩa nó.) Nhưng chúng ta sẽ mô tả một cầu vồng như thế nào nếu chúng ta bị mù? Chúng ta đang mù khi chúng ta đo hệ số phản xạ hồng ngoại của natri clorua, hay khi chúng ta nói về tần số của các sóng đang đến từ một thiên hà nào đó mà chúng ta không thể thấy — chúng ta tạo ra một sơ đồ, chúng ta tạo ra một đồ thị. Chẳng hạn, đối với cầu vồng, một đồ thị như vậy sẽ là cường độ bức xạ theo bước sóng được đo bằng một quang phổ kế đối với mỗi hướng trên bầu trời. Nói chung, các phép đo như vậy sẽ cho một đường cong khá phẳng. Rồi một ngày nào đó, ai đó sẽ khám phá ra rằng đối với các điều kiện thời tiết nhất định, và tại các góc nhất định trên bầu trời, phổ của cường độ theo bước sóng sẽ hành xử một cách lạ lùng; nó sẽ có một bướu. Khi góc của dụng cụ thay đổi chỉ một chút, cực đại của bướu sẽ di chuyển từ bước sóng này sang bước sóng khác. Rồi một ngày tạp chí vật lý của những người mù có thể đăng một bài báo kỹ thuật với tiêu đề “Cường độ bức xạ theo góc dưới các điều kiện thời tiết nhất định.” Trong bài báo này có thể xuất hiện một đồ thị như đồ thị trong Hình 20–5. Tác giả có lẽ sẽ nhận xét rằng tại các góc lớn hơn có nhiều bức xạ hơn ở các bước sóng dài, trong khi đối với các góc nhỏ hơn cực đại trong bức xạ đến ở các bước sóng ngắn hơn. (Từ quan điểm của chúng ta, chúng ta sẽ nói rằng ánh sáng tại 40° chủ yếu là màu lục và ánh sáng tại 42° chủ yếu là màu đỏ.)

Bây giờ chúng ta có thấy đồ thị của Hình 20–5 đẹp không? Nó chứa nhiều chi tiết hơn nhiều so với những gì chúng ta nắm bắt được khi chúng ta nhìn một cầu vồng, bởi vì mắt chúng ta không thể thấy các chi tiết chính xác trong hình dạng của một phổ. Tuy nhiên, mắt thấy cầu vồng đẹp. Chúng ta có đủ trí tưởng tượng để thấy trong các đường cong phổ cùng vẻ đẹp chúng ta thấy khi chúng ta nhìn trực tiếp vào cầu vồng không? Tôi không biết.

Nhưng giả sử tôi có một đồ thị của hệ số phản xạ của một tinh thể natri clorua theo bước sóng trong vùng hồng ngoại, và cũng theo góc. Tôi sẽ có một biểu diễn của nó sẽ trông như thế nào đối với mắt tôi nếu chúng có thể thấy trong vùng hồng ngoại — có lẽ một thứ “màu lục” phát sáng, bóng loáng nào đó, pha trộn với các phản xạ từ bề mặt trong một thứ “màu đỏ kim loại.” Đó sẽ là một thứ đẹp, nhưng tôi không biết liệu tôi có bao giờ có thể nhìn vào một đồ thị của hệ số phản xạ của NaCl được đo bằng một dụng cụ nào đó và nói rằng nó có cùng vẻ đẹp đó hay không.

Mặt khác, ngay cả khi chúng ta không thể thấy vẻ đẹp trong các kết quả đo cụ thể, chúng ta có thể đã khẳng định thấy một vẻ đẹp nhất định trong các phương trình mô tả các định luật vật lý tổng quát. Chẳng hạn, trong phương trình sóng (20.9), có một điều gì đó hay về tính đều đặn của sự xuất hiện của x, y, z, và t. Và sự đối xứng đẹp trong sự xuất hiện của x, y, z và t này gợi cho tâm trí một vẻ đẹp còn lớn hơn nữa liên quan tới bốn chiều, khả năng rằng không gian có tính đối xứng bốn chiều, khả năng phân tích điều đó và các phát triển của thuyết tương đối hẹp. Vậy có rất nhiều vẻ đẹp trí tuệ gắn với các phương trình.

20–4  Sóng cầu

Chúng ta đã thấy rằng có các nghiệm của phương trình sóng tương ứng với các sóng phẳng, và rằng bất kỳ sóng điện từ nào cũng có thể được mô tả dưới dạng chồng chập của nhiều sóng phẳng. Tuy nhiên, trong các trường hợp đặc biệt nhất định, việc mô tả trường sóng trong một dạng toán học khác thì tiện hơn. Bây giờ chúng ta muốn thảo luận lý thuyết về các sóng cầu — các sóng tương ứng với các mặt cầu đang lan ra từ một tâm nào đó. Khi bạn thả một hòn đá xuống một cái hồ, các gợn sóng lan ra trong các sóng tròn trên mặt nước — chúng là các sóng hai chiều. Một sóng cầu là một thứ tương tự ngoại trừ việc nó lan ra trong ba chiều.

Trước khi chúng ta bắt đầu mô tả các sóng cầu, chúng ta cần một ít toán học. Giả sử chúng ta có một hàm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách xuyên tâm r từ một gốc tọa độ nhất định — nói cách khác, một hàm đối xứng cầu. Hãy gọi hàm đó là ψ(r), trong đó bởi r chúng ta hiểu

r = √(x² + y² + z²),

khoảng cách xuyên tâm từ gốc tọa độ. Để tìm ra các hàm ψ(r) nào thỏa mãn phương trình sóng, chúng ta sẽ cần một biểu thức cho toán tử Laplace của ψ. Vậy chúng ta muốn tìm tổng của các đạo hàm cấp hai của ψ theo x, y và z. Chúng ta sẽ dùng ký hiệu rằng ψ′(r) biểu diễn đạo hàm của ψ theo r và ψ′′(r) biểu diễn đạo hàm cấp hai của ψ theo r.

Trước hết, chúng ta tìm các đạo hàm theo x. Đạo hàm thứ nhất là

∂ψ(r)/∂x = ψ′(r) ∂r/∂x.

Đạo hàm cấp hai của ψ theo x là

∂²ψ/∂x² = ψ′′(∂r/∂x)² + ψ′ ∂²r/∂x².

Chúng ta có thể tính các đạo hàm riêng của r theo x từ

∂r/∂x = x/r,    ∂²r/∂x² = (1/r)(1 − x²/r²).

Vậy đạo hàm cấp hai của ψ theo x là

∂²ψ/∂x² = (x²/r²)ψ′′ + (1/r)(1 − x²/r²)ψ′.

Tương tự,

∂²ψ/∂y² = (y²/r²)ψ′′ + (1/r)(1 − y²/r²)ψ′,   (20.29)

∂²ψ/∂z² = (z²/r²)ψ′′ + (1/r)(1 − z²/r²)ψ′.   (20.30)

Toán tử Laplace là tổng của ba đạo hàm này. Nhớ rằng x² + y² + z² = r², chúng ta thu được

∇²ψ(r) = ψ′′(r) + (2/r)ψ′(r).   (20.31)

Thường thì viết phương trình này dưới dạng sau đây tiện hơn:

∇²ψ(r) = (1/r) d²/dr² (rψ).   (20.32)

Nếu bạn thực hiện phép lấy đạo hàm được chỉ trong phương trình (20.32), bạn sẽ thấy rằng vế phải giống như trong phương trình (20.31).

Nếu chúng ta muốn xét các trường đối xứng cầu có thể truyền đi dưới dạng các sóng cầu, đại lượng trường của chúng ta phải là một hàm của cả r lẫn t. Vậy giả sử chúng ta hỏi, các hàm ψ(r,t) nào là các nghiệm của phương trình sóng ba chiều

∇²ψ(r,t) − (1/c²) ∂²/∂t² ψ(r,t) = 0.   (20.33)

Vì ψ(r,t) chỉ phụ thuộc vào các tọa độ không gian thông qua r, chúng ta có thể dùng phương trình cho toán tử Laplace mà chúng ta đã tìm thấy ở trên, phương trình (20.32). Tuy nhiên, để chính xác, vì ψ cũng là một hàm của t, chúng ta nên viết các đạo hàm theo r dưới dạng các đạo hàm riêng. Khi đó phương trình sóng trở thành

(1/r) ∂²/∂r² (rψ) − (1/c²) ∂²/∂t² ψ = 0.

Bây giờ chúng ta phải giải phương trình này, phương trình có vẻ phức tạp hơn nhiều so với trường hợp sóng phẳng. Nhưng hãy để ý rằng nếu chúng ta nhân phương trình này với r, chúng ta thu được

∂²/∂r² (rψ) − (1/c²) ∂²/∂t² (rψ) = 0.   (20.34)

Phương trình này nói với chúng ta rằng hàm rψ thỏa mãn phương trình sóng một chiều trong biến r. Dùng nguyên lý tổng quát mà chúng ta đã nhấn mạnh rất thường xuyên, rằng cùng các phương trình luôn có cùng các nghiệm, chúng ta biết rằng nếu rψ là một hàm chỉ của (r − ct) thì nó sẽ là một nghiệm của phương trình (20.34). Vậy chúng ta biết rằng các sóng cầu phải có dạng

rψ(r,t) = f(r − ct).

Hay, như chúng ta đã thấy trước đây, chúng ta cũng có thể nói như vậy rằng rψ có thể có dạng

rψ = f(t − r/c).

Chia cho r, chúng ta thấy rằng đại lượng trường ψ (dù nó có thể là gì) có dạng sau:

ψ = f(t − r/c)/r.   (20.35)

Một hàm như vậy biểu diễn một sóng cầu tổng quát truyền ra ngoài từ gốc tọa độ với tốc độ c. Nếu chúng ta quên đi r ở mẫu số trong một lúc, biên độ của sóng theo khoảng cách từ gốc tọa độ tại một thời gian cho trước có một hình dạng nhất định truyền ra ngoài với tốc độ c. Tuy nhiên, thừa số r ở mẫu số nói rằng biên độ của sóng giảm tỉ lệ với 1/r khi sóng truyền đi. Nói cách khác, không giống một sóng phẳng trong đó biên độ giữ không đổi khi sóng chạy dọc theo, trong một sóng cầu biên độ giảm đều đặn, như được chỉ trong Hình 20–6. Hiệu ứng này dễ hiểu từ một lập luận vật lý đơn giản.

Chúng ta biết rằng mật độ năng lượng trong một sóng phụ thuộc vào bình phương của biên độ sóng. Khi sóng lan ra, năng lượng của nó được trải trên các diện tích lớn hơn và lớn hơn tỉ lệ với bình phương khoảng cách xuyên tâm. Nếu tổng năng lượng được bảo toàn, mật độ năng lượng phải giảm như 1/r², và biên độ của sóng phải giảm như 1/r. Vậy phương trình (20.35) là dạng “hợp lý” cho một sóng cầu.

Chúng ta đã bỏ qua nghiệm có thể thứ hai của phương trình sóng một chiều:

rψ = g(t + r/c),

hay

ψ = g(t + r/c)/r.

Nghiệm này cũng biểu diễn một sóng cầu, nhưng là một sóng truyền vào trong từ r lớn về phía gốc tọa độ.

Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một giả thiết đặc biệt. Chúng ta nói, mà không có bất kỳ chứng minh nào hết, rằng các sóng do một nguồn sinh ra chỉ là các sóng đi ra ngoài. Vì chúng ta biết rằng các sóng được gây ra bởi chuyển động của các điện tích, chúng ta muốn nghĩ rằng các sóng tiến ra ngoài từ các điện tích. Sẽ khá lạ khi tưởng tượng rằng trước khi các điện tích được đưa vào chuyển động, một sóng cầu bắt đầu từ vô cực và đến các điện tích đúng vào lúc chúng bắt đầu chuyển động. Đó là một nghiệm có thể, nhưng kinh nghiệm cho thấy rằng khi các điện tích được gia tốc các sóng truyền ra ngoài từ các điện tích. Mặc dù các phương trình Maxwell sẽ cho phép cả hai khả năng, chúng ta sẽ đưa vào một sự thật bổ sung — dựa trên kinh nghiệm — rằng chỉ nghiệm sóng ra ngoài mới có “ý nghĩa vật lý.”

Tuy nhiên, chúng ta nên nhận xét rằng có một hệ quả thú vị của giả thiết bổ sung này: chúng ta đang loại bỏ tính đối xứng theo thời gian tồn tại trong các phương trình Maxwell. Các phương trình gốc cho E và B, và cả các phương trình sóng chúng ta đã suy ra từ chúng, có tính chất rằng nếu chúng ta đổi dấu của t, phương trình không thay đổi. Các phương trình này nói rằng đối với mỗi nghiệm tương ứng với một sóng đi theo một hướng có một nghiệm cũng hợp lệ như vậy cho một sóng truyền theo hướng ngược lại. Phát biểu của chúng ta rằng chúng ta sẽ chỉ xét các sóng cầu ra ngoài là một giả thiết bổ sung quan trọng. (Một công thức hóa của điện động lực học trong đó giả thiết bổ sung này được tránh đã được nghiên cứu cẩn thận. Điều ngạc nhiên là, trong nhiều hoàn cảnh, nó không dẫn tới các kết luận vô lý về vật lý, nhưng sẽ đưa chúng ta đi quá xa lạc đề để thảo luận các ý tưởng này lúc này. Chúng ta sẽ nói về chúng thêm một chút trong Chương 28.)

Chúng ta phải đề cập một điểm quan trọng nữa. Trong nghiệm của chúng ta cho một sóng ra ngoài, phương trình (20.35), hàm ψ là vô hạn tại gốc tọa độ. Điều đó hơi kỳ lạ. Chúng ta muốn có một nghiệm sóng trơn tru ở khắp mọi nơi. Nghiệm của chúng ta phải biểu diễn về mặt vật lý một tình huống trong đó có một nguồn nào đó tại gốc tọa độ. Nói cách khác, chúng ta đã vô ý phạm một sai lầm. Chúng ta đã không giải phương trình sóng tự do (20.33) ở khắp mọi nơi; chúng ta đã giải phương trình (20.33) với số không ở vế phải ở khắp mọi nơi, ngoại trừ tại gốc tọa độ. Sai lầm của chúng ta len vào bởi vì một số bước trong phép suy luận của chúng ta không “hợp lệ” khi r = 0.

Hãy chỉ ra rằng thật dễ phạm cùng loại sai lầm đó trong một bài toán tĩnh điện. Giả sử chúng ta muốn một nghiệm của phương trình cho một điện thế trong không gian tự do, ∇²ϕ = 0. Toán tử Laplace bằng không, bởi vì chúng ta đang giả thiết rằng không có điện tích ở bất cứ đâu. Nhưng thế còn một nghiệm đối xứng cầu của phương trình này — tức là, một hàm ϕ nào đó chỉ phụ thuộc vào r? Dùng công thức của phương trình (20.32) cho toán tử Laplace, chúng ta có

(1/r) d²/dr² (rϕ) = 0.

Nhân phương trình này với r, chúng ta có một phương trình dễ dàng tích phân được:

d²/dr² (rϕ) = 0.

Nếu chúng ta tích phân một lần theo r, chúng ta thấy rằng đạo hàm thứ nhất của rϕ là một hằng số, mà chúng ta có thể gọi là a:

d/dr (rϕ) = a.

Tích phân lần nữa, chúng ta thấy rằng rϕ có dạng

rϕ = ar + b,

trong đó b là một hằng số tích phân khác. Vậy chúng ta đã tìm thấy rằng ϕ sau đây là một nghiệm cho điện thế trong không gian tự do:

ϕ = a + b/r.

Rõ ràng có điều gì đó sai. Trong miền không có điện tích, chúng ta biết nghiệm cho điện thế: thế là một hằng số ở khắp mọi nơi. Điều đó tương ứng với số hạng thứ nhất trong nghiệm của chúng ta. Nhưng chúng ta cũng có số hạng thứ hai, số hạng nói rằng có một đóng góp vào thế biến thiên như một trên khoảng cách từ gốc tọa độ. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng một thế như vậy tương ứng với một điện tích điểm tại gốc tọa độ. Vậy, mặc dù chúng ta tưởng chúng ta đang giải cho thế trong không gian tự do, nghiệm của chúng ta cũng cho trường cho một nguồn điểm tại gốc tọa độ. Bạn có thấy sự tương tự giữa điều đã xảy ra bây giờ và điều đã xảy ra khi chúng ta giải cho một nghiệm đối xứng cầu của phương trình sóng không? Nếu thực sự không có điện tích hay dòng điện tại gốc tọa độ, sẽ không có các sóng cầu ra ngoài. Dĩ nhiên các sóng cầu phải được sinh ra bởi các nguồn tại gốc tọa độ. Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát mối liên hệ giữa các sóng điện từ ra ngoài và các dòng điện và điện áp sinh ra chúng.