Chương 21: Nghiệm của các phương trình Maxwell với các dòng điện và điện tích

21–1  Ánh sáng và các sóng điện từ

Chúng ta đã thấy trong chương trước rằng trong số các nghiệm của chúng, các phương trình Maxwell có các sóng của điện và từ. Các sóng này tương ứng với các hiện tượng của sóng vô tuyến, ánh sáng, tia X, và vân vân, tùy thuộc vào bước sóng. Chúng ta đã nghiên cứu ánh sáng rất chi tiết trong Tập I. Trong chương này chúng ta muốn gắn hai chủ đề lại với nhau — chúng ta muốn chỉ ra rằng các phương trình Maxwell quả thực có thể tạo thành cơ sở cho cách xử lý trước đây của chúng ta về các hiện tượng của ánh sáng.

Khi chúng ta nghiên cứu ánh sáng, chúng ta đã bắt đầu bằng cách viết xuống các phương trình cho điện trường và từ trường được sinh ra bởi một điện tích chuyển động theo bất kỳ cách tùy ý nào. Các phương trình đó là

E = [q/(4πε₀)] [ e_r′/r′² + (r′/c) d/dt ( e_r′/r′² ) + (1/c²) d²/dt² e_r′ ]   (21.1)

và

cB = e_r′ × E.

[Xem các phương trình (28.3) và (28.4), Tập I. Như được giải thích dưới đây, các dấu ở đây là các số âm của các dấu cũ.]

Nếu một điện tích chuyển động theo bất kỳ cách tùy ý nào, điện trường chúng ta sẽ tìm thấy bây giờ tại một điểm nào đó chỉ phụ thuộc vào vị trí và chuyển động của điện tích không phải bây giờ, mà tại một thời gian sớm hơn — tại một thời điểm sớm hơn một khoảng bằng thời gian ánh sáng, truyền với tốc độ c, cần để đi hết khoảng cách r′ từ điện tích tới điểm trường. Nói cách khác, nếu chúng ta muốn điện trường tại điểm (1) tại thời gian t, chúng ta phải tính vị trí (2′) của điện tích và chuyển động của nó tại thời gian (t − r′/c), trong đó r′ là khoảng cách tới điểm (1) từ vị trí của điện tích (2′) tại thời gian (t − r′/c). Dấu phẩy là để nhắc bạn rằng r′ là cái gọi là “khoảng cách trễ” từ điểm (2′) tới điểm (1), chứ không phải khoảng cách thực giữa điểm (2), vị trí của điện tích tại thời gian t, và điểm trường (1) (xem Hình 21–1). Hãy để ý rằng chúng ta đang dùng một quy ước khác bây giờ cho hướng của vectơ đơn vị e_r. Trong các Chương 28 và 34 của Tập I, việc lấy r (và do đó e_r) chỉ về phía nguồn là tiện lợi. Bây giờ chúng ta đang tuân theo định nghĩa chúng ta đã lấy cho định luật Coulomb, trong đó r hướng từ điện tích, tại (2), về phía điểm trường tại (1). Dĩ nhiên điểm khác biệt duy nhất là r mới của chúng ta (và e_r) là các số âm của các cái cũ.

Chúng ta cũng đã thấy rằng nếu vận tốc v của một điện tích luôn nhỏ hơn nhiều so với c, và nếu chúng ta chỉ xét các điểm tại các khoảng cách lớn từ điện tích, để chỉ số hạng cuối cùng của phương trình (21.1) là quan trọng, các trường cũng có thể được viết dưới dạng

E = [q/(4πε₀c²r′)] × [gia tốc của điện tích tại (t − r′/c), chiếu vuông góc với r′]   (21.1′)

và

cB = e_r′ × E.

Hãy nhìn vào chi tiết hơn một chút phương trình đầy đủ, phương trình (21.1), nói gì. Vectơ e_r′ là vectơ đơn vị tới điểm (1) từ vị trí trễ (2′). Vậy số hạng thứ nhất là điều chúng ta sẽ kỳ vọng cho trường Coulomb của điện tích tại vị trí trễ của nó — chúng ta có thể gọi đây là “trường Coulomb trễ.” Điện trường phụ thuộc tỉ lệ nghịch với bình phương của khoảng cách và hướng ra xa khỏi vị trí trễ của điện tích (tức là, theo hướng của e_r′).

Nhưng đó chỉ là số hạng thứ nhất. Các số hạng khác nói với chúng ta rằng các định luật của điện không nói rằng mọi trường đều giống như các trường tĩnh, mà chỉ bị trễ (điều người ta đôi khi thích nói). Vào “trường Coulomb trễ” chúng ta phải cộng thêm hai số hạng còn lại. Số hạng thứ hai nói rằng có một “hiệu chỉnh” cho trường Coulomb trễ là tốc độ thay đổi của trường Coulomb trễ nhân với r′/c, độ trễ do sự trễ. Theo một cách nói, số hạng này có xu hướng bù cho sự trễ trong số hạng thứ nhất. Hai số hạng thứ nhất tương ứng với việc tính “trường Coulomb trễ” rồi ngoại suy nó về phía tương lai một lượng r′/c, tức là, đúng tới thời gian t! Phép ngoại suy là tuyến tính, như thể chúng ta giả thiết rằng “trường Coulomb trễ” sẽ tiếp tục thay đổi với tốc độ được tính cho điện tích tại điểm (2′). Nếu trường đang thay đổi chậm, hiệu ứng của sự trễ gần như hoàn toàn bị loại bỏ bởi số hạng hiệu chỉnh, và hai số hạng cùng nhau cho chúng ta một điện trường là “trường Coulomb tức thời” — tức là, trường Coulomb của điện tích tại điểm (2) — với một xấp xỉ rất tốt.

Cuối cùng, có một số hạng thứ ba trong phương trình (21.1) là đạo hàm cấp hai của vectơ đơn vị e_r′. Đối với nghiên cứu của chúng ta về các hiện tượng của ánh sáng, chúng ta đã tận dụng sự thật rằng ở xa điện tích hai số hạng đầu tiên đi tỉ lệ nghịch với bình phương của khoảng cách và, đối với các khoảng cách lớn, trở nên rất yếu so với số hạng cuối cùng, số hạng giảm như 1/r. Vậy chúng ta đã tập trung hoàn toàn vào số hạng cuối cùng, và chúng ta đã chỉ ra rằng nó (lại nữa, đối với các khoảng cách lớn) tỉ lệ với thành phần của gia tốc của điện tích vuông góc với đường ngắm. (Ngoài ra, đối với hầu hết công việc của chúng ta trong Tập I, chúng ta đã lấy trường hợp trong đó các điện tích đang chuyển động phi tương đối tính. Chúng ta đã xét các hiệu ứng tương đối tính trong chỉ một chương, Chương 34.)

Bây giờ chúng ta nên cố gắn hai điều lại với nhau. Chúng ta có các phương trình Maxwell, và chúng ta có phương trình (21.1) cho trường của một điện tích điểm. Chúng ta chắc chắn nên hỏi liệu chúng có tương đương hay không. Nếu chúng ta có thể suy ra phương trình (21.1) từ các phương trình Maxwell, chúng ta sẽ thực sự hiểu mối liên hệ giữa ánh sáng và điện từ học. Tạo ra mối liên hệ này là mục đích chính của chương này.

Hóa ra chúng ta sẽ không hoàn toàn làm được điều đó — rằng các chi tiết toán học trở nên quá phức tạp để chúng ta thực hiện xuyên suốt trong mọi chi tiết đẫm máu của chúng. Nhưng chúng ta sẽ đến đủ gần để bạn dễ dàng thấy mối liên hệ có thể được tạo ra như thế nào. Các mảnh còn thiếu sẽ chỉ nằm trong các chi tiết toán học. Một số bạn có thể thấy toán học trong chương này khá phức tạp, và bạn có thể không muốn theo sát lập luận cho lắm. Tuy nhiên, chúng tôi nghĩ điều quan trọng là tạo ra mối liên hệ giữa những gì bạn đã học trước đây và những gì bạn đang học bây giờ, hay ít nhất chỉ ra một mối liên hệ như vậy có thể được tạo ra như thế nào. Bạn sẽ để ý, nếu bạn nhìn lại các chương trước, rằng bất cứ khi nào chúng ta đã lấy một phát biểu làm điểm xuất phát cho một cuộc thảo luận, chúng ta đã giải thích cẩn thận xem nó là một “giả thiết” mới là một “định luật cơ bản,” hay nó cuối cùng có thể được suy ra từ một số định luật khác. Chúng tôi nợ bạn, trong tinh thần của các bài giảng này, việc tạo ra mối liên hệ giữa ánh sáng và các phương trình Maxwell. Nếu nó trở nên khó ở một số chỗ, thì, đó là cuộc sống — không có cách nào khác.

21–2  Các sóng cầu từ một nguồn điểm

Trong Chương 18 chúng ta đã tìm thấy rằng các phương trình Maxwell có thể được giải bằng cách đặt

E = −∇ϕ − ∂A/∂t   (21.2)

B = ∇×A,   (21.3)

trong đó ϕ và A khi đó phải là các nghiệm của các phương trình

∇²ϕ − (1/c²) ∂²ϕ/∂t² = −ρ/ε₀   (21.4)

∇²A − (1/c²) ∂²A/∂t² = −j/(ε₀c²),   (21.5)

và cũng phải thỏa mãn điều kiện rằng

∇·A = −(1/c²) ∂ϕ/∂t.   (21.6)

Bây giờ chúng ta sẽ tìm nghiệm của các phương trình (21.4) và (21.5). Để làm điều đó chúng ta phải tìm nghiệm ψ, của phương trình

∇²ψ − (1/c²) ∂²ψ/∂t² = −s,   (21.7)

trong đó s, mà chúng ta gọi là nguồn, được biết. Dĩ nhiên, s tương ứng với ρ/ε₀ và ψ với ϕ đối với phương trình (21.4), hay s là j_x/ε₀c² nếu ψ là A_x, v.v., nhưng chúng ta muốn giải phương trình (21.7) như một bài toán toán học bất kể ψ và s là gì về mặt vật lý.

Ở các nơi mà ρ và j bằng không — trong cái chúng ta đã gọi là không gian “tự do” — các thế ϕ và A, và các trường E và B, đều thỏa mãn phương trình sóng ba chiều không có nguồn, mà dạng toán học của nó là

∇²ψ − (1/c²) ∂²ψ/∂t² = 0.   (21.8)

Trong Chương 20 chúng ta đã thấy rằng các nghiệm của phương trình này có thể biểu diễn các sóng thuộc nhiều loại: các sóng phẳng theo hướng x, ψ = f(t − x/c); các sóng phẳng theo hướng y hay z, hay theo bất kỳ hướng nào khác; hay các sóng cầu có dạng

ψ(x,y,z,t) = f(t − r/c)/r.   (21.9)

(Các nghiệm cũng có thể được viết theo các cách khác nữa, chẳng hạn các sóng trụ lan ra từ một trục.)

Chúng ta cũng đã nhận xét rằng, về mặt vật lý, phương trình (21.9) không biểu diễn một sóng trong không gian tự do — rằng phải có các điện tích tại gốc tọa độ để khởi động sóng ra ngoài. Nói cách khác, phương trình (21.9) là một nghiệm của phương trình (21.8) ở khắp mọi nơi ngoại trừ ngay gần r = 0, nơi nó phải là một nghiệm của phương trình đầy đủ (21.7), gồm cả một số nguồn nào đó. Hãy xem điều đó hoạt động như thế nào. Loại nguồn s nào trong phương trình (21.7) sẽ sinh ra một sóng như phương trình (21.9)?

Giả sử chúng ta có sóng cầu của phương trình (21.9) và nhìn vào điều đang xảy ra đối với r rất nhỏ. Khi đó sự trễ −r/c trong f(t − r/c) có thể bỏ qua — với điều kiện f là một hàm trơn tru — và ψ trở thành

ψ = f(t)/r  (r → 0).   (21.10)

Vậy ψ đúng như một trường Coulomb đối với một điện tích tại gốc tọa độ biến thiên theo thời gian. Tức là, nếu chúng ta có một cục điện tích nhỏ, giới hạn trong một miền rất nhỏ gần gốc tọa độ, với một mật độ ρ, chúng ta biết rằng

ϕ = (Q/4πε₀)/r,

trong đó Q = ∫ρ dV. Bây giờ chúng ta biết rằng một ϕ như vậy thỏa mãn phương trình

∇²ϕ = −ρ/ε₀.

Tuân theo cùng toán học đó, chúng ta sẽ nói rằng ψ của phương trình (21.10) thỏa mãn

∇²ψ = −s  (r → 0),   (21.11)

trong đó s liên hệ với f bởi

f = S/4π,

với

S = ∫s dV.

Điểm khác biệt duy nhất là trong trường hợp tổng quát, s, và do đó S, có thể là một hàm của thời gian.

Bây giờ điều quan trọng là nếu ψ thỏa mãn phương trình (21.11) đối với r nhỏ, nó cũng thỏa mãn phương trình (21.7). Khi chúng ta đi rất gần gốc tọa độ, sự phụ thuộc 1/r của ψ khiến các đạo hàm theo không gian trở nên rất lớn. Nhưng các đạo hàm theo thời gian giữ nguyên các giá trị của chúng. [Chúng chỉ là các đạo hàm theo thời gian của f(t).] Vậy khi r tiến tới không, số hạng ∂²ψ/∂t² trong phương trình (21.7) có thể bỏ qua so với ∇²ψ, và phương trình (21.7) trở nên tương đương với phương trình (21.11).

Vậy tóm lại, nếu hàm nguồn s(t) của phương trình (21.7) được định xứ tại gốc tọa độ và có cường độ tổng cộng

S(t) = ∫s(t) dV,   (21.12)

nghiệm của phương trình (21.7) là

ψ(x,y,z,t) = (1/4π) S(t − r/c)/r.   (21.13)

Hiệu ứng duy nhất của số hạng ∂²ψ/∂t² trong phương trình (21.7) là đưa sự trễ (t − r/c) vào thế kiểu Coulomb.

21–3  Nghiệm tổng quát của các phương trình Maxwell

Chúng ta đã tìm thấy nghiệm của phương trình (21.7) cho một nguồn “điểm.” Câu hỏi tiếp theo là: Nghiệm cho một nguồn trải rộng là gì? Điều đó dễ; chúng ta có thể nghĩ bất kỳ nguồn s(x,y,z,t) nào cũng được tạo thành từ tổng của nhiều nguồn “điểm,” một nguồn cho mỗi phần tử thể tích dV, và mỗi nguồn có cường độ nguồn s(x,y,z,t) dV. Vì phương trình (21.7) là tuyến tính, trường kết quả là chồng chập của các trường từ mọi phần tử nguồn như vậy.

Dùng các kết quả của mục trước [phương trình (21.13)] chúng ta biết rằng trường dψ tại điểm (x₁,y₁,z₁) — hay gọi tắt là (1) — tại thời gian t, từ một phần tử nguồn s dV tại điểm (x₂,y₂,z₂) — hay gọi tắt là (2) — được cho bởi

dψ(1,t) = s(2, t − r₁₂/c) dV₂/(4πr₁₂),   (21.14)

trong đó r₁₂ là khoảng cách từ (2) tới (1). Cộng các đóng góp từ mọi mảnh của nguồn dĩ nhiên có nghĩa là làm một tích phân trên mọi miền mà s ≠ 0; vậy chúng ta có

ψ(1,t) = ∫ s(2, t − r₁₂/c)/(4πr₁₂) dV₂.

Tức là, trường tại (1) tại thời gian t là tổng của mọi sóng cầu rời các phần tử nguồn tại (2) tại các thời gian (t − r₁₂/c). Đây là nghiệm của phương trình sóng của chúng ta cho bất kỳ tập hợp nguồn nào.

Bây giờ chúng ta thấy làm thế nào để thu được một nghiệm tổng quát cho các phương trình Maxwell. Nếu đối với ψ chúng ta hiểu là thế vô hướng ϕ, hàm nguồn s trở thành ρ/ε₀. Hay chúng ta có thể để ψ biểu diễn bất kỳ một trong ba thành phần của thế vectơ A, thay s bằng thành phần tương ứng của j/ε₀c². Như vậy, nếu chúng ta biết mật độ điện tích ρ(x,y,z,t) và mật độ dòng điện j(x,y,z,t) ở khắp mọi nơi, chúng ta có thể viết xuống ngay các nghiệm của các phương trình (21.4) và (21.5). Chúng là

ϕ(1,t) = ∫ ρ(2, t − r₁₂/c)/(4πε₀r₁₂) dV₂   (21.15)

A(1,t) = ∫ j(2, t − r₁₂/c)/(4πε₀c²r₁₂) dV₂.   (21.16)

Các trường E và B khi đó có thể được tìm bằng cách lấy đạo hàm các thế, dùng các phương trình (21.2) và (21.3). [Nhân tiện, có thể kiểm chứng rằng ϕ và A thu được từ các phương trình (21.15) và (21.16) quả thực thỏa mãn đẳng thức (21.6).]

Chúng ta đã giải các phương trình Maxwell. Cho các dòng điện và điện tích trong bất kỳ hoàn cảnh nào, chúng ta có thể tìm các thế trực tiếp từ các tích phân này rồi lấy đạo hàm và thu được các trường. Vậy chúng ta đã xong với lý thuyết Maxwell. Điều này cũng cho phép chúng ta khép vòng tròn trở lại lý thuyết ánh sáng của chúng ta, bởi vì để nối với công việc trước đây của chúng ta về ánh sáng, chúng ta chỉ cần tính điện trường từ một điện tích chuyển động. Mọi điều còn lại là lấy một điện tích chuyển động, tính các thế từ các tích phân này, rồi lấy đạo hàm để tìm E từ −∇ϕ − ∂A/∂t. Chúng ta sẽ thu được phương trình (21.1). Hóa ra đó là rất nhiều công việc, nhưng đó là nguyên lý.

Vậy đây là trung tâm của vũ trụ điện từ học — lý thuyết hoàn chỉnh của điện và từ, và của ánh sáng; một mô tả hoàn chỉnh của các trường được sinh ra bởi bất kỳ điện tích chuyển động nào; và còn hơn nữa. Tất cả đều ở đây. Đây là cấu trúc được xây dựng bởi Maxwell, hoàn chỉnh trong mọi sức mạnh và vẻ đẹp của nó. Nó có lẽ là một trong các thành tựu vĩ đại nhất của vật lý. Để nhắc bạn về tầm quan trọng của nó, chúng ta sẽ đặt tất cả lại với nhau trong một khung đẹp.

21–4  Trường của một lưỡng cực dao động

Chúng ta vẫn chưa thực hiện lời hứa của mình là suy ra phương trình (21.1) cho điện trường của một điện tích điểm đang chuyển động. Ngay cả với các kết quả chúng ta đã có, việc suy ra nó là một việc tương đối phức tạp. Chúng ta chưa tìm thấy phương trình (21.1) ở bất cứ đâu trong tài liệu đã công bố ngoại trừ trong Tập I của các bài giảng này.¹ Vậy bạn có thể thấy rằng suy ra nó không dễ. (Dĩ nhiên, trường của một điện tích chuyển động đã được viết dưới nhiều dạng khác tương đương.) Ở đây chúng ta sẽ phải giới hạn mình chỉ ở việc chỉ ra rằng, trong một vài ví dụ, các phương trình (21.15) và (21.16) cho cùng các kết quả như phương trình (21.1). Trước hết, chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương trình (21.1) cho các trường đúng với chỉ hạn chế rằng chuyển động của hạt tích điện là phi tương đối tính. (Chỉ riêng trường hợp đặc biệt này sẽ lo cho 90 phần trăm, hay hơn, của những gì chúng ta đã nói về ánh sáng.)

Chúng ta xét một tình huống trong đó chúng ta có một cục điện tích đang chuyển động quanh quẩn theo một cách nào đó, trong một miền nhỏ, và chúng ta sẽ tìm các trường ở rất xa. Nói cách khác, chúng ta đang tìm trường tại bất kỳ khoảng cách nào từ một điện tích điểm đang lắc lên xuống trong một chuyển động rất nhỏ. Vì ánh sáng thường được phát ra từ các vật trung hòa như các nguyên tử, chúng ta sẽ xét rằng điện tích q đang lắc lư của chúng ta nằm gần một điện tích bằng và trái dấu đang đứng yên. Nếu khoảng cách giữa các tâm của các điện tích là d, các điện tích sẽ có một mômen lưỡng cực p = qd, mà chúng ta lấy là một hàm của thời gian. Bây giờ chúng ta nên kỳ vọng rằng nếu chúng ta nhìn vào các trường gần các điện tích, chúng ta sẽ không phải lo về sự trễ; điện trường sẽ đúng y như điện trường chúng ta đã tính trước đây cho một lưỡng cực tĩnh điện — dĩ nhiên dùng mômen lưỡng cực tức thời p(t). Nhưng nếu chúng ta đi rất xa ra ngoài, chúng ta nên tìm thấy một số hạng trong trường đi như 1/r và phụ thuộc vào gia tốc của điện tích vuông góc với đường ngắm. Hãy xem chúng ta có thu được một kết quả như vậy không.

Chúng ta bắt đầu bằng cách tính thế vectơ A, dùng phương trình (21.16). Giả sử rằng điện tích đang chuyển động của chúng ta nằm trong một cục nhỏ mà mật độ điện tích của nó được cho bởi ρ(x,y,z), và toàn bộ vật đang chuyển động tại bất kỳ thời điểm nào với vận tốc v. Khi đó mật độ dòng điện j(x,y,z) sẽ bằng vρ(x,y,z). Việc lấy hệ tọa độ của chúng ta sao cho trục z theo hướng của v sẽ tiện lợi; khi đó hình học của bài toán của chúng ta là như được chỉ trong Hình 21–2. Chúng ta muốn tích phân

∫ j(2, t − r₁₂/c)/r₁₂ dV₂.   (21.17)

Bây giờ nếu kích thước của cục điện tích thực sự rất nhỏ so với r₁₂, chúng ta có thể đặt số hạng r₁₂ ở mẫu số bằng r, khoảng cách tới tâm của cục, và đưa r ra ngoài tích phân. Tiếp theo, chúng ta cũng sẽ đặt r₁₂ = r trong tử số, mặc dù điều đó không hoàn toàn đúng. Nó không đúng bởi vì chúng ta nên lấy j tại, chẳng hạn, đỉnh của cục tại một thời gian hơi khác với thời gian chúng ta dùng cho j tại đáy của cục. Khi chúng ta đặt r₁₂ = r trong j(t − r₁₂/c), chúng ta đang lấy mật độ dòng điện cho toàn bộ cục tại cùng thời gian (t − r/c). Đó là một xấp xỉ sẽ chỉ tốt nếu vận tốc v của điện tích nhỏ hơn nhiều so với c. Vậy chúng ta đang làm một phép tính phi tương đối tính. Thay j bằng ρv, tích phân (21.17) trở thành

(1/r) ∫ vρ(2, t − r/c) dV₂.   (21.18)

Vì mọi điện tích có cùng vận tốc, tích phân này đúng bằng v/r nhân với tổng điện tích q. Nhưng qv đúng là dp/dt, tốc độ thay đổi của mômen lưỡng cực — dĩ nhiên là phải được tính tại thời gian trễ (t − r/c). Chúng ta sẽ viết nó dưới dạng ṗ(t − r/c). Vậy chúng ta thu được cho thế vectơ

A(1,t) = [1/(4πε₀c²)] ṗ(t − r/c)/r.   (21.19)

Kết quả của chúng ta nói rằng dòng điện trong một lưỡng cực biến thiên sinh ra một thế vectơ dưới dạng các sóng cầu mà cường độ nguồn của chúng là ṗ/ε₀c².

Bây giờ chúng ta có thể thu được từ trường từ B = ∇×A. Vì ṗ hoàn toàn theo hướng z, A chỉ có một thành phần z; chỉ có hai đạo hàm không bằng không trong rôta. Vậy B_x = ∂A_z/∂y và B_y = −∂A_z/∂x. Trước hết hãy nhìn vào B_x:

B_x = ∂A_z/∂y = [1/(4πε₀c²)] ∂/∂y [ṗ(t − r/c)/r].   (21.20)

Để thực hiện phép lấy đạo hàm, chúng ta phải nhớ rằng r = √(x² + y² + z²), vậy

B_x = [1/(4πε₀c²)] ṗ(t − r/c) ∂/∂y (1/r) + [1/(4πε₀c²)] (1/r) ∂/∂y ṗ(t − r/c).

Nhớ rằng ∂r/∂y = y/r, số hạng thứ nhất cho

−[1/(4πε₀c²)] yṗ(t − r/c)/r³,   (21.21)

số hạng giảm như 1/r² giống như thế của một lưỡng cực tĩnh (bởi vì y/r là hằng số đối với một hướng cho trước).

Số hạng thứ hai trong phương trình (21.20) cho chúng ta các hiệu ứng mới. Thực hiện phép lấy đạo hàm, chúng ta thu được

−[1/(4πε₀c²)] [y/(cr²)] p̈(t − r/c),   (21.22)

trong đó p̈ dĩ nhiên có nghĩa là đạo hàm cấp hai của p theo t. Số hạng này, đến từ việc lấy đạo hàm tử số, chịu trách nhiệm cho sự bức xạ. Thứ nhất, nó mô tả một trường chỉ giảm theo khoảng cách như 1/r. Thứ hai, nó phụ thuộc vào gia tốc của điện tích. Bạn có thể bắt đầu thấy chúng ta sẽ thu được một kết quả như phương trình (21.1′) như thế nào, phương trình mô tả sự bức xạ của ánh sáng.

Hãy khảo sát chi tiết hơn một chút cách số hạng bức xạ này xuất hiện — nó là một kết quả thú vị và quan trọng như vậy. Chúng ta bắt đầu với biểu thức (21.18), biểu thức có một sự phụ thuộc 1/r và do đó giống như một thế Coulomb, ngoại trừ số hạng trễ trong tử số. Vậy tại sao khi chúng ta lấy đạo hàm theo các tọa độ không gian để thu được các trường, chúng ta không chỉ thu được một trường 1/r² — dĩ nhiên với các độ trễ thời gian tương ứng?

Chúng ta có thể thấy tại sao theo cách sau: Giả sử rằng chúng ta để lưỡng cực của chúng ta dao động lên xuống trong một chuyển động hình sin. Khi đó chúng ta sẽ có

p = p_z = p₀ sin ωt

và

A_z = [1/(4πε₀c²)] ωp₀ cos ω(t − r/c)/r.

Nếu chúng ta vẽ một đồ thị của A_z theo r tại một thời điểm cho trước, chúng ta thu được đường cong được chỉ trong Hình 21–3. Biên độ đỉnh giảm như 1/r, nhưng ngoài ra, có một dao động trong không gian, bị chặn bởi đường bao 1/r. Khi chúng ta lấy các đạo hàm theo không gian, chúng sẽ tỉ lệ với độ dốc của đường cong. Từ hình chúng ta thấy rằng có các độ dốc dốc hơn nhiều so với độ dốc của chính đường cong 1/r. Thực ra, hiển nhiên là đối với một tần số cho trước các độ dốc đỉnh tỉ lệ với biên độ của sóng, biên độ biến thiên như 1/r. Vậy điều đó giải thích tốc độ giảm của số hạng bức xạ.

Tất cả xuất hiện bởi vì các biến thiên theo thời gian tại nguồn được dịch thành các biến thiên trong không gian khi các sóng được truyền ra ngoài, và các từ trường phụ thuộc vào các đạo hàm theo không gian của thế.

Hãy quay lại và hoàn thành phép tính từ trường của chúng ta. Chúng ta có cho B_x hai số hạng (21.21) và (21.22), vậy

B_x = [1/(4πε₀c²)] [ −yṗ(t − r/c)/r³ − yp̈(t − r/c)/(cr²) ].

Với cùng loại toán học, chúng ta thu được

B_y = [1/(4πε₀c²)] [ xṗ(t − r/c)/r³ + xp̈(t − r/c)/(cr²) ].

Hay chúng ta có thể đặt tất cả lại với nhau trong một công thức vectơ đẹp:

B = [1/(4πε₀c²)] [ [ṗ + (r/c)p̈]_t−r/c × r ] / r³.   (21.23)

Bây giờ hãy nhìn vào công thức này. Trước hết, nếu chúng ta đi rất xa ra ngoài theo r, chỉ số hạng p̈ mới đáng kể. Hướng của B được cho bởi p̈ × r, vuông góc với bán kính r và cũng vuông góc với gia tốc, như trong Hình 21–4. Mọi thứ đang diễn ra đúng; đó cũng là kết quả chúng ta thu được từ phương trình (21.1′).

Bây giờ hãy nhìn vào điều chúng ta không quen — vào điều xảy ra gần hơn. Trong Mục 14–7 chúng ta đã giải quyết định luật Biot và Savart cho từ trường của một phần tử dòng điện. Chúng ta đã tìm thấy rằng một phần tử dòng điện j dV đóng góp vào từ trường một lượng

dB = [1/(4πε₀c²)] (j × r/r³) dV.   (21.24)

Bạn thấy rằng công thức này trông rất giống số hạng thứ nhất của phương trình (21.23), nếu chúng ta nhớ rằng ṗ là dòng điện. Nhưng có một điểm khác biệt. Trong phương trình (21.23), dòng điện phải được tính tại thời gian (t − r/c), điều không xuất hiện trong phương trình (21.24). Tuy nhiên, thực ra, phương trình (21.24) vẫn rất tốt đối với r nhỏ, bởi vì số hạng thứ hai của phương trình (21.23) có xu hướng triệt tiêu hiệu ứng của sự trễ trong số hạng thứ nhất. Hai số hạng cùng nhau cho một kết quả rất gần với phương trình (21.24) khi r nhỏ.

Chúng ta có thể thấy điều này như sau: Khi r nhỏ, (t − r/c) không khác t nhiều lắm, vậy chúng ta có thể khai triển dấu ngoặc trong phương trình (21.23) thành một chuỗi Taylor. Đối với số hạng thứ nhất,

ṗ(t − r/c) = ṗ(t) − (r/c) p̈(t) + v.v.,

và tới cùng bậc trong r/c,

(r/c) p̈(t − r/c) = (r/c) p̈(t) + v.v.

Khi chúng ta lấy tổng, hai số hạng trong p̈ triệt tiêu, và chúng ta còn lại dòng điện không trễ ṗ: tức là, ṗ(t) — cộng các số hạng thuộc bậc (r/c)² hay cao hơn [chẳng hạn, ½(r/c)²p⃛] sẽ rất nhỏ đối với r đủ nhỏ để ṗ không thay đổi đáng kể trong thời gian r/c.

Vậy phương trình (21.23) cho các trường rất giống lý thuyết tức thời — gần hơn nhiều so với lý thuyết tức thời có một độ trễ; các hiệu ứng bậc nhất của độ trễ được lấy ra bởi số hạng thứ hai. Các công thức tĩnh chính xác một cách đáng ngạc nhiên, chính xác hơn nhiều so với bạn có thể nghĩ. Dĩ nhiên, sự bù trừ chỉ hoạt động đối với các điểm ở gần. Đối với các điểm ở xa, sự hiệu chỉnh trở nên rất tệ, bởi vì các độ trễ thời gian sinh ra một hiệu ứng rất lớn, và chúng ta thu được số hạng 1/r quan trọng của bức xạ.

Chúng ta vẫn còn bài toán tính điện trường và chứng minh rằng nó giống như phương trình (21.1′). Đối với các khoảng cách lớn chúng ta có thể thấy rằng đáp án sẽ diễn ra ổn thỏa. Chúng ta biết rằng ở xa các nguồn, nơi chúng ta có một sóng đang truyền, E vuông góc với B (và cũng với r), như trong Hình 21–4, và rằng cB = E. Vậy E tỉ lệ với gia tốc p̈, như được kỳ vọng từ phương trình (21.1′).

Để thu được điện trường một cách đầy đủ đối với mọi khoảng cách, chúng ta cần giải cho điện thế. Khi chúng ta tính tích phân dòng điện cho A để thu được phương trình (21.18), chúng ta đã đưa ra một xấp xỉ bằng cách bỏ qua sự biến thiên nhẹ của r trong các số hạng trễ. Điều này sẽ không hoạt động đối với điện thế, bởi vì khi đó chúng ta sẽ thu được 1/r nhân với tích phân của mật độ điện tích, là một hằng số. Xấp xỉ này quá thô. Chúng ta cần đi tới một bậc cao hơn. Thay vì dính vào phép tính bậc cao hơn đó một cách trực tiếp, chúng ta có thể làm một điều khác — chúng ta có thể xác định thế vô hướng từ phương trình (21.6), dùng thế vectơ chúng ta đã tìm thấy. Phân kỳ của A, trong trường hợp của chúng ta, chỉ là ∂A_z/∂z — vì A_x và A_y đồng nhất bằng không. Lấy đạo hàm theo cùng cách chúng ta đã làm ở trên để tìm B,

∇·A = [1/(4πε₀c²)] [ ṗ(t − r/c) ∂/∂z (1/r) + (1/r) ∂/∂z ṗ(t − r/c) ]
= [1/(4πε₀c²)] [ −zṗ(t − r/c)/r³ − zp̈(t − r/c)/(cr²) ].

Hay, trong ký hiệu vectơ,

∇·A = −[1/(4πε₀c²)] [ [ṗ + (r/c)p̈]_t−r/c · r ] / r³.

Dùng phương trình (21.6), chúng ta có một phương trình cho ϕ:

∂ϕ/∂t = [1/(4πε₀)] [ [ṗ + (r/c)p̈]_t−r/c · r ] / r³.

Tích phân theo t chỉ loại bỏ một dấu chấm khỏi mỗi p, vậy

ϕ(r,t) = [1/(4πε₀)] [ [p + (r/c)ṗ]_t−r/c · r ] / r³.   (21.25)

(Hằng số tích phân sẽ tương ứng với một trường tĩnh chồng chập nào đó dĩ nhiên có thể tồn tại. Đối với lưỡng cực dao động chúng ta đã lấy, không có trường tĩnh.)

Bây giờ chúng ta có thể tìm điện trường E từ

E = −∇ϕ − ∂A/∂t.

Vì các bước là tẻ nhạt nhưng thẳng thắn [với điều kiện bạn nhớ rằng p(t − r/c) và các đạo hàm theo thời gian của nó phụ thuộc vào x, y và z thông qua sự trễ r/c], chúng ta sẽ chỉ đưa ra kết quả:

E(r,t) = [1/(4πε₀r³)] [ 3(p*·r)r/r² − p* + (1/c²){p̈(t − r/c) × r} × r ]   (21.26)

với

p* = p(t − r/c) + (r/c) ṗ(t − r/c).

Mặc dù nó trông khá phức tạp, kết quả dễ diễn giải. Vectơ p* là mômen lưỡng cực bị trễ rồi được “hiệu chỉnh” cho sự trễ, vậy hai số hạng với p* đúng cho trường lưỡng cực tĩnh khi r nhỏ. [Xem Chương 6, phương trình (6.14).] Khi r lớn, số hạng trong p̈ chiếm ưu thế, và điện trường tỉ lệ với gia tốc của các điện tích, vuông góc với r, và, thực ra, hướng dọc theo hình chiếu của p̈ trong một mặt phẳng vuông góc với r.

Kết quả này phù hợp với điều chúng ta sẽ thu được khi dùng phương trình (21.1). Dĩ nhiên, phương trình (21.1) tổng quát hơn; nó hoạt động với bất kỳ chuyển động nào, trong khi phương trình (21.26) chỉ hợp lệ đối với các chuyển động nhỏ mà đối với chúng chúng ta có thể lấy sự trễ r/c là hằng số trên nguồn. Dù sao đi nữa, bây giờ chúng ta đã cung cấp nền móng cho toàn bộ cuộc thảo luận trước đây của chúng ta về ánh sáng (ngoại trừ một số vấn đề được thảo luận trong Chương 34 của Tập I), vì tất cả đều xoay quanh số hạng cuối cùng của phương trình (21.26). Tiếp theo chúng ta sẽ thảo luận cách các trường có thể được thu được cho các điện tích chuyển động nhanh hơn (dẫn tới các hiệu ứng tương đối tính của Chương 34 của Tập I).

21–5  Các thế của một điện tích chuyển động; nghiệm tổng quát của Liénard và Wiechert

Trong mục trước chúng ta đã đưa ra một sự đơn giản hóa trong việc tính tích phân của chúng ta cho A bằng cách chỉ xét các vận tốc thấp. Nhưng khi làm như vậy chúng ta đã bỏ sót một điểm quan trọng và cũng là một điểm dễ sai. Do đó bây giờ chúng ta sẽ thực hiện một phép tính các thế cho một điện tích điểm chuyển động theo bất kỳ cách nào — ngay cả với một vận tốc tương đối tính. Một khi chúng ta có kết quả này, chúng ta sẽ có điện từ học hoàn chỉnh của các điện tích. Ngay cả phương trình (21.1) khi đó cũng có thể được suy ra bằng cách lấy đạo hàm. Câu chuyện sẽ hoàn chỉnh. Vậy hãy kiên nhẫn với chúng tôi.

Hãy cố tính thế vô hướng ϕ(1) tại điểm (x₁,y₁,z₁) được sinh ra bởi một điện tích điểm, chẳng hạn một electron, chuyển động theo bất kỳ cách nào. Bởi một điện tích “điểm” chúng ta hiểu là một quả cầu điện tích rất nhỏ, thu nhỏ xuống nhỏ tùy ý bạn thích, với một mật độ điện tích ρ(x,y,z). Chúng ta có thể tìm ϕ từ phương trình (21.15):

ϕ(1,t) = [1/(4πε₀)] ∫ ρ(2, t − r₁₂/c)/r₁₂ dV₂.   (21.28)

Đáp án có vẻ sẽ là — và gần như mọi người, lúc đầu, sẽ nghĩ — rằng tích phân của ρ trên một điện tích “điểm” như vậy đúng là tổng điện tích q, vậy nên

ϕ(1,t) = [1/(4πε₀)] q/r′₁₂  (sai).

Bởi r′₁₂ chúng ta hiểu là vectơ bán kính từ điện tích tại điểm (2) tới điểm (1) tại thời gian trễ (t − r₁₂/c). Nó sai.

Đáp án đúng là

ϕ(1,t) = [1/(4πε₀)] (q/r′₁₂) · [1/(1 − v_r′/c)],   (21.29)

trong đó v_r′ là thành phần của vận tốc của điện tích song song với r′₁₂ — cụ thể là, hướng về phía điểm (1). Bây giờ chúng ta sẽ chỉ cho bạn tại sao. Để làm cho lập luận dễ theo dõi hơn, trước hết chúng ta sẽ làm phép tính cho một điện tích “điểm” có dạng một khối lập phương điện tích nhỏ đang chuyển động về phía điểm (1) với tốc độ v, như được chỉ trong Hình 21–5(a). Đặt độ dài của một cạnh của khối lập phương là a, mà chúng ta lấy là nhỏ hơn rất, rất nhiều so với r₁₂, khoảng cách từ tâm của điện tích tới điểm (1).

Bây giờ để tính tích phân của phương trình (21.28), chúng ta sẽ quay về các nguyên lý cơ bản; chúng ta sẽ viết nó dưới dạng tổng

Σ_i ρ_i ΔV_i/r_i,

trong đó r_i là khoảng cách từ điểm (1) tới phần tử thể tích thứ i ΔV_i và ρ_i là mật độ điện tích tại ΔV_i tại thời gian t_i = t − r_i/c. Vì r_i ≫ a, luôn luôn, việc lấy các ΔV_i của chúng ta dưới dạng các lát mỏng, hình chữ nhật vuông góc với r₁₂ sẽ tiện lợi, như được chỉ trong Hình 21–5(b).

Giả sử chúng ta bắt đầu bằng cách lấy các phần tử thể tích ΔV_i với một độ dày nào đó w nhỏ hơn nhiều so với a. Các phần tử riêng lẻ sẽ xuất hiện như được chỉ trong Hình 21–6(a), trong đó chúng ta đã đặt vào nhiều hơn đủ để bao phủ điện tích. Nhưng chúng ta đã không chỉ ra điện tích, và có một lý do tốt. Chúng ta nên vẽ nó ở đâu? Đối với mỗi phần tử thể tích ΔV_i chúng ta phải lấy ρ tại thời gian t_i = (t − r_i/c), nhưng vì điện tích đang chuyển động, nó ở một nơi khác nhau đối với mỗi phần tử thể tích ΔV_i!

Giả sử chúng ta nói rằng chúng ta bắt đầu với phần tử thể tích được ghi nhãn “1” trong Hình 21–6(a), được chọn sao cho tại thời gian t₁ = (t − r₁/c) cạnh “sau” của điện tích chiếm ΔV₁, như được chỉ trong Hình 21–6(b). Khi đó khi chúng ta tính ρ₂ ΔV₂, chúng ta phải dùng vị trí của điện tích tại thời gian hơi muộn hơn t₂ = (t − r₂/c), khi điện tích sẽ ở vị trí được chỉ trong Hình 21–6(c). Và cứ như vậy, đối với ΔV₃, ΔV₄, v.v. Bây giờ chúng ta có thể tính tổng.

Vì độ dày của mỗi ΔV_i là w, thể tích của nó là wa². Khi đó mỗi phần tử thể tích chồng lên phân bố điện tích chứa một lượng điện tích wa²ρ, trong đó ρ là mật độ điện tích bên trong khối lập phương — mà chúng ta lấy là đều. Khi khoảng cách từ điện tích tới điểm (1) là lớn, chúng ta sẽ phạm một sai số không đáng kể bằng cách đặt mọi r_i ở các mẫu số bằng một giá trị trung bình nào đó, chẳng hạn vị trí trễ r′ của tâm của điện tích. Khi đó tổng (21.30) là

Σ_i=1..N ρwa²/r′,   (21.30)

trong đó ΔV_N là ΔV_i cuối cùng chồng lên các phân bố điện tích, như được chỉ trong Hình 21–6(e). Tổng, rõ ràng, là

N ρwa²/r′ = (ρa³/r′)(Nw/a).

Bây giờ ρa³ đúng là tổng điện tích q và Nw là độ dài b được chỉ trong phần (e) của hình. Vậy chúng ta có

ϕ = [q/(4πε₀r′)] (b/a).

b là gì? Nó là độ dài của khối lập phương điện tích được tăng lên bởi khoảng cách điện tích đã di chuyển giữa t₁ = (t − r₁/c) và t_N = (t − r_N/c) — tức là khoảng cách điện tích di chuyển trong thời gian

Δt = t_N − t₁ = (r₁ − r_N)/c = b/c.

Vì tốc độ của điện tích là v, khoảng cách đã di chuyển là v Δt = vb/c. Nhưng độ dài b là khoảng cách này cộng với a:

b = a + (v/c) b.

Giải cho b, chúng ta thu được

b = a/[1 − (v/c)].

Dĩ nhiên bởi v chúng ta hiểu là vận tốc tại thời gian trễ t′ = (t − r′/c), điều chúng ta có thể chỉ ra bằng cách viết [1 − v/c]_trễ, và phương trình (21.31) cho thế trở thành

ϕ(1,t) = [q/(4πε₀r′)] · 1/[1 − (v/c)]_trễ.   (21.31)

Kết quả này phù hợp với khẳng định của chúng ta, phương trình (21.29). Có một số hạng hiệu chỉnh xuất hiện bởi vì điện tích đang chuyển động khi tích phân của chúng ta “quét qua điện tích.” Khi điện tích đang chuyển động về phía điểm (1), đóng góp của nó vào tích phân được tăng lên bởi tỉ số b/a. Do đó tích phân đúng là q/r′ nhân với b/a, tức là 1/[1 − v/c]_trễ.

Nếu vận tốc của điện tích không hướng về phía điểm quan sát (1), bạn có thể thấy rằng điều quan trọng là thành phần của vận tốc của nó hướng về phía điểm (1). Gọi thành phần vận tốc này là v_r, thừa số hiệu chỉnh là 1/[1 − v_r/c]_trễ. Ngoài ra, phép phân tích chúng ta đã làm diễn ra đúng y như vậy đối với một phân bố điện tích có bất kỳ hình dạng nào — nó không nhất thiết phải là một khối lập phương. Cuối cùng, vì “kích thước” của điện tích q không đi vào kết quả cuối cùng, cùng kết quả vẫn đúng khi chúng ta để điện tích thu nhỏ tới bất kỳ kích thước nào — ngay cả tới một điểm. Kết quả tổng quát là thế vô hướng đối với một điện tích điểm chuyển động với bất kỳ vận tốc nào là

ϕ(1,t) = q/(4πε₀r′[1 − (v_r/c)]_trễ).   (21.32)

Phương trình này thường được viết dưới dạng tương đương

ϕ(1,t) = q/(4πε₀[r − (v·r/c)]_trễ),   (21.33)

trong đó r là vectơ từ điện tích tới điểm (1), nơi ϕ đang được tính, và mọi đại lượng trong dấu ngoặc phải có các giá trị của chúng tại thời gian trễ t′ = t − r′/c.

Điều tương tự cũng xảy ra khi chúng ta tính A cho một điện tích điểm, từ phương trình (21.16). Mật độ dòng điện là ρv và tích phân trên ρ giống như chúng ta đã tìm thấy cho ϕ. Thế vectơ là

A(1,t) = qv_trễ/(4πε₀c²[r − (v·r/c)]_trễ).   (21.34)

Các thế đối với một điện tích điểm lần đầu tiên được suy ra dưới dạng này bởi Liénard và Wiechert và được gọi là các thế Liénard–Wiechert.²

21–6  Các thế đối với một điện tích chuyển động với vận tốc không đổi; công thức Lorentz

Tiếp theo chúng ta muốn dùng các thế Liénard–Wiechert cho một trường hợp đặc biệt — để tìm các trường của một điện tích chuyển động với vận tốc đều theo một đường thẳng. Chúng ta sẽ làm lại điều đó sau này, dùng nguyên lý tương đối. Chúng ta đã biết các thế là gì khi chúng ta đang đứng trong hệ quy chiếu nghỉ của một điện tích. Khi điện tích đang chuyển động, chúng ta có thể tìm ra mọi thứ bằng một phép biến đổi tương đối tính từ hệ này sang hệ kia. Nhưng thuyết tương đối có nguồn gốc của nó trong lý thuyết về điện và từ. Các công thức của phép biến đổi Lorentz (Chương 15, Tập I) là các khám phá được Lorentz thực hiện khi ông đang nghiên cứu các phương trình của điện và từ. Vậy để bạn có thể đánh giá mọi thứ đã đến từ đâu, chúng tôi muốn chỉ ra rằng các phương trình Maxwell quả thực dẫn tới phép biến đổi Lorentz. Chúng ta bắt đầu bằng cách tính các thế của một điện tích chuyển động với vận tốc đều, trực tiếp từ điện động lực học của các phương trình Maxwell. Chúng ta đã chỉ ra rằng các phương trình Maxwell dẫn tới các thế cho một điện tích chuyển động mà chúng ta đã thu được trong mục trước. Vậy khi chúng ta dùng các thế này, chúng ta đang dùng lý thuyết Maxwell.

Giả sử chúng ta có một điện tích chuyển động dọc theo trục x với tốc độ v. Chúng ta muốn các thế tại điểm P(x,y,z), như được chỉ trong Hình 21–7. Nếu t = 0 là thời điểm khi điện tích ở gốc tọa độ, tại thời gian t điện tích ở x = vt, y = z = 0. Tuy nhiên, điều chúng ta cần biết là vị trí của nó tại thời gian trễ

t′ = t − r′/c,   (21.35)

trong đó r′ là khoảng cách tới điểm P từ điện tích tại thời gian trễ. Tại thời gian sớm hơn t′, điện tích ở x = vt′, vậy

r′ = √[(x − vt′)² + y² + z²].   (21.36)

Để tìm r′ hay t′ chúng ta phải kết hợp phương trình này với phương trình (21.35). Trước hết, chúng ta khử r′ bằng cách giải phương trình (21.35) cho r′ và thế vào phương trình (21.36). Khi đó, bình phương cả hai vế, chúng ta thu được

c²(t − t′)² = (x − vt′)² + y² + z²,

đó là một phương trình bậc hai theo t′. Khai triển các bình phương của các nhị thức và gom các số hạng đồng dạng theo t′, chúng ta thu được

(v² − c²)t′² − 2(xv − c²t)t′ + x² + y² + z² − (ct)² = 0.

Giải cho t′,

(1 − v²/c²)t′ = t − vx/c² − (1/c) √[(x − vt)² + (1 − v²/c²)(y² + z²)].   (21.37)

Để thu được r′ chúng ta phải thế biểu thức này cho t′ vào

r′ = c(t − t′).

Bây giờ chúng ta sẵn sàng tìm ϕ từ phương trình (21.33), phương trình mà, vì v là hằng số, trở thành

ϕ(x,y,z,t) = [q/(4πε₀)] · 1/[r′ − (v·r′/c)].   (21.38)

Thành phần của v theo hướng của r′ là v×(x − vt′)/r′, vậy v·r′ đúng là v×(x − vt′), và toàn bộ mẫu số là

c(t − t′) − (v/c)(x − vt′) = c[ t − vx/c² − (1 − v²/c²)t′ ].

Thế cho (1 − v²/c²)t′ từ phương trình (21.37), chúng ta thu được cho ϕ

ϕ(x,y,z,t) = [q/(4πε₀)] · 1/√[(x − vt)² + (1 − v²/c²)(y² + z²)].   (21.39)

Phương trình này dễ hiểu hơn nếu chúng ta viết lại nó dưới dạng

ϕ(x,y,z,t) = [q/(4πε₀)] · [1/√(1 − v²/c²)] · 1/[( (x − vt)/√(1 − v²/c²) )² + y² + z²]^1/2.

Thế vectơ A là cùng biểu thức với một thừa số thêm v/c²:

A = (v/c²) ϕ.   (21.40)

Trong phương trình (21.39) bạn có thể thấy rõ sự khởi đầu của phép biến đổi Lorentz. Nếu điện tích ở gốc tọa độ trong hệ quy chiếu nghỉ của chính nó, thế của nó sẽ là

ϕ(x,y,z) = [q/(4πε₀)] · 1/[x² + y² + z²]^1/2.

Chúng ta đang thấy nó trong một hệ tọa độ chuyển động, và có vẻ như các tọa độ nên được biến đổi bởi

x → (x − vt)/√(1 − v²/c²),   y → y,   z → z.

Đó đúng là phép biến đổi Lorentz, và điều chúng ta đã làm về cơ bản là cách Lorentz đã khám phá ra nó.

Nhưng thế còn thừa số thêm 1/√(1 − v²/c²) xuất hiện ở phía trước của phương trình (21.39) thì sao? Ngoài ra, thế vectơ A xuất hiện như thế nào, khi nó ở khắp mọi nơi bằng không trong hệ quy chiếu nghỉ của hạt? Chúng ta sẽ sớm chỉ ra rằng (khi c = 1) A và ϕ cùng nhau tạo thành một bốn-vectơ, giống như mômen p và tổng năng lượng U của một hạt. Thừa số thêm 1/√(1 − v²/c²) trong phương trình (21.39) là cùng thừa số luôn xuất hiện khi người ta biến đổi các thành phần của một bốn-vectơ — đúng như mật độ điện tích ρ biến đổi thành ρ/√(1 − v²/c²). Thực ra, từ các phương trình (21.4) và (21.5) gần như hiển nhiên rằng A và ϕ/c là các thành phần của một bốn-vectơ, bởi vì chúng ta đã chỉ ra trong Chương 13 rằng j và cρ là các thành phần của một bốn-vectơ.

Sau này chúng ta sẽ xét chi tiết hơn tính tương đối của điện động lực học; ở đây chúng tôi chỉ muốn chỉ ra các phương trình Maxwell dẫn tới phép biến đổi Lorentz một cách tự nhiên như thế nào. Khi đó, bạn sẽ không ngạc nhiên khi thấy rằng các định luật của điện và từ đã đúng sẵn đối với thuyết tương đối của Einstein. Chúng ta sẽ không phải “sửa chữa chúng,” như chúng ta đã phải làm đối với các định luật cơ học của Newton.