Chương 22: Các mạch điện xoay chiều

22–1  Trở kháng

Phần lớn công việc của chúng ta trong khóa học này đều nhằm đi tới các phương trình đầy đủ của Maxwell. Trong hai chương vừa rồi, chúng ta đã thảo luận về các hệ quả của những phương trình này. Chúng ta đã thấy rằng các phương trình chứa mọi hiện tượng tĩnh mà chúng ta đã xét trước đây, cũng như các hiện tượng sóng điện từ và ánh sáng mà chúng ta đã đi qua khá chi tiết trong Tập I. Các phương trình Maxwell cho cả hai loại hiện tượng, tùy thuộc vào việc người ta tính các trường ở gần các dòng điện và điện tích, hay ở rất xa chúng. Không có nhiều điều thú vị để nói về vùng trung gian; không có hiện tượng đặc biệt nào xuất hiện ở đó.

Tuy nhiên, vẫn còn một số chủ đề trong điện từ học mà chúng ta muốn xét tới. Chúng ta muốn thảo luận câu hỏi về thuyết tương đối và các phương trình Maxwell — điều gì xảy ra khi người ta nhìn các phương trình Maxwell đối với các hệ tọa độ đang chuyển động. Cũng có câu hỏi về sự bảo toàn năng lượng trong các hệ điện từ. Rồi còn có chủ đề rộng lớn về các tính chất điện từ của vật liệu; cho đến nay, ngoại trừ việc nghiên cứu các tính chất của chất điện môi, chúng ta mới chỉ xét các trường điện từ trong không gian tự do. Và mặc dù chúng ta đã trình bày chủ đề ánh sáng khá chi tiết trong Tập I, vẫn còn vài điều chúng ta muốn làm lại từ quan điểm của các phương trình trường.

Đặc biệt, chúng ta muốn xét lại chủ đề chỉ số khúc xạ, nhất là đối với các vật liệu đậm đặc. Cuối cùng, có các hiện tượng gắn với sóng bị giam trong một vùng không gian giới hạn. Chúng ta đã chạm tới loại bài toán này một cách ngắn gọn khi nghiên cứu sóng âm. Các phương trình Maxwell cũng dẫn tới các nghiệm biểu diễn các sóng bị giam của điện trường và từ trường. Chúng ta sẽ xét chủ đề này, vốn có các ứng dụng kỹ thuật quan trọng, trong một số chương tiếp theo. Để dẫn tới chủ đề đó, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xét các tính chất của các mạch điện ở tần số thấp. Sau đó chúng ta sẽ có thể so sánh giữa những tình huống mà các xấp xỉ gần như tĩnh của các phương trình Maxwell áp dụng được và những tình huống mà các hiệu ứng tần số cao chiếm ưu thế.

Vậy là chúng ta hạ xuống từ những đỉnh cao vĩ đại và huyền bí của vài chương vừa rồi và quay sang chủ đề tương đối thấp — các mạch điện. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy rằng ngay cả một chủ đề tầm thường như vậy, khi được nhìn đủ chi tiết, cũng có thể chứa những phức tạp lớn.

Chúng ta đã thảo luận một số tính chất của các mạch điện trong các Chương 23 và 25 của Tập I. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày lại một phần cùng tài liệu đó, nhưng chi tiết hơn. Một lần nữa chúng ta sẽ chỉ xét các hệ tuyến tính và các điện áp, dòng điện đều biến thiên hình sin; khi đó chúng ta có thể biểu diễn mọi điện áp và dòng điện bằng các số phức, dùng ký hiệu hàm mũ đã mô tả trong Chương 23 của Tập I. Như vậy một điện áp biến thiên theo thời gian V(t) sẽ được viết

V(t) = V̂e^iωt,   (22.1)

trong đó V̂ biểu diễn một số phức không phụ thuộc vào t. Dĩ nhiên, điều được hiểu là điện áp thực biến thiên theo thời gian V(t) được cho bởi phần thực của hàm phức ở vế phải của phương trình.

Tương tự, mọi đại lượng biến thiên theo thời gian khác của chúng ta sẽ được lấy là biến thiên hình sin ở cùng tần số ω. Vậy ta viết

I = Îe^iωt  (dòng điện),
ℰ = ℰ̂e^iωt  (sđđ),
E = Êe^iωt  (điện trường),   (22.2)

vân vân.

Phần lớn thời gian chúng ta sẽ viết các phương trình theo V, I, ℰ, … (thay vì theo V̂, Î, ℰ̂, …), nhưng vẫn nhớ rằng các biến thiên theo thời gian là như đã cho trong (22.2).

Trong phần thảo luận trước đây của chúng ta về mạch điện, chúng ta đã giả thiết rằng những thứ như điện cảm, điện dung và điện trở là quen thuộc với bạn. Bây giờ chúng ta muốn nhìn chi tiết hơn một chút xem những phần tử mạch lý tưởng hóa này có nghĩa là gì. Chúng ta bắt đầu với điện cảm.

Một cuộn cảm được làm bằng cách quấn nhiều vòng dây thành dạng một cuộn dây và đưa hai đầu ra các cực ở một khoảng cách nào đó với cuộn dây, như trong Hình 22–1. Chúng ta muốn giả thiết rằng từ trường do các dòng điện trong cuộn dây tạo ra không lan tỏa mạnh ra khắp không gian và tương tác với các phần khác của mạch. Điều này thường được sắp xếp bằng cách quấn cuộn dây thành hình xuyến (hình bánh vòng), hoặc bằng cách giam từ trường bằng cách quấn cuộn dây trên một lõi sắt thích hợp, hoặc bằng cách đặt cuộn dây trong một hộp kim loại thích hợp nào đó, như được chỉ ra một cách sơ đồ trong Hình 22–1. Trong mọi trường hợp, chúng ta giả thiết rằng từ trường trong vùng bên ngoài gần các cực a và b là không đáng kể. Chúng ta cũng sẽ giả thiết rằng chúng ta có thể bỏ qua mọi điện trở điện trong dây của cuộn dây. Cuối cùng, chúng ta sẽ giả thiết rằng chúng ta có thể bỏ qua lượng điện tích xuất hiện trên bề mặt của một sợi dây khi tạo nên các điện trường.

Với tất cả các xấp xỉ này, chúng ta có cái gọi là một điện cảm “lý tưởng”. (Chúng ta sẽ quay lại sau và thảo luận điều gì xảy ra trong một cuộn cảm thực.) Đối với một điện cảm lý tưởng, chúng ta nói rằng điện áp giữa các cực bằng L(dI/dt). Hãy xem vì sao lại như vậy. Khi có một dòng điện chạy qua cuộn cảm, một từ trường tỉ lệ với dòng điện được tạo nên bên trong cuộn dây. Nếu dòng điện thay đổi theo thời gian, từ trường cũng thay đổi. Nói chung, rot của E bằng −∂B/∂t; hay nói cách khác, tích phân đường của E dọc theo bất kỳ đường kín nào cũng bằng số đối của tốc độ thay đổi của từ thông của B qua vòng đó. Bây giờ giả sử chúng ta xét đường đi sau đây: Bắt đầu tại cực a và đi dọc theo cuộn dây (luôn ở bên trong sợi dây) tới cực b; rồi quay lại từ cực b tới cực a qua không khí trong không gian bên ngoài cuộn cảm. Tích phân đường của E dọc theo đường kín này có thể được viết thành tổng của hai phần:

∮E·ds = ∫_a^b E·ds (qua cuộn dây) + ∫_b^a E·ds (bên ngoài).   (22.3)

Như chúng ta đã thấy trước đây, không thể có điện trường bên trong một vật dẫn lý tưởng. (Các trường nhỏ nhất cũng sẽ tạo ra các dòng điện vô hạn.) Vì vậy tích phân từ a tới b qua cuộn dây bằng không. Toàn bộ đóng góp vào tích phân đường của E đến từ đường đi bên ngoài cuộn cảm từ cực b tới cực a. Vì chúng ta đã giả thiết rằng không có từ trường trong không gian bên ngoài “chiếc hộp”, phần này của tích phân không phụ thuộc vào đường đi đã chọn và chúng ta có thể định nghĩa điện thế của hai cực. Hiệu của hai điện thế này là cái chúng ta gọi là hiệu điện thế, hay đơn giản là điện áp V, vậy ta có

V = −∫_b^a E·ds = −∮E·ds.

Tích phân đường đầy đủ là cái chúng ta trước đây đã gọi là suất điện động ℰ và, dĩ nhiên, nó bằng tốc độ thay đổi của từ thông trong cuộn dây. Chúng ta đã thấy trước đây rằng sđđ này tỉ lệ với số đối của tốc độ thay đổi của dòng điện, vậy ta có

V = −ℰ = L dI/dt,

trong đó L là độ tự cảm của cuộn dây. Vì dI/dt = iωI, ta có

V = iωLI.   (22.4)

Cách chúng ta đã mô tả cuộn cảm lý tưởng minh họa cách tiếp cận tổng quát đối với các phần tử mạch lý tưởng khác — thường được gọi là các phần tử “tập trung” (lumped). Các tính chất của phần tử được mô tả hoàn toàn theo các dòng điện và điện áp xuất hiện tại các cực. Bằng cách thực hiện các xấp xỉ thích hợp, có thể bỏ qua những phức tạp lớn của các trường xuất hiện bên trong vật. Một sự tách biệt được thực hiện giữa những gì xảy ra bên trong và những gì xảy ra bên ngoài.

Đối với mọi phần tử mạch, chúng ta sẽ tìm được một hệ thức như hệ thức trong phương trình (22.4), trong đó điện áp tỉ lệ với dòng điện với một hằng số tỉ lệ, nói chung, là một số phức. Hệ số tỉ lệ phức này được gọi là trở kháng (impedance) và thường được viết là z (đừng nhầm với tọa độ z). Nó, nói chung, là một hàm của tần số ω. Vậy đối với bất kỳ phần tử tập trung nào chúng ta viết

V/I = V̂/Î = z.   (22.5)

Đối với một cuộn cảm, ta có

z (cuộn cảm) = z_L = iωL.   (22.6)

Bây giờ hãy nhìn một tụ điện từ cùng quan điểm đó.¹ Một tụ điện gồm một cặp bản dẫn điện mà từ đó hai sợi dây được đưa ra các cực thích hợp. Các bản có thể có bất kỳ hình dạng nào, và thường được ngăn cách bởi một vật liệu điện môi nào đó. Chúng ta minh họa một tình huống như vậy một cách sơ đồ trong Hình 22–2. Một lần nữa chúng ta thực hiện một số giả thiết đơn giản hóa. Chúng ta giả thiết rằng các bản và các dây là vật dẫn lý tưởng. Chúng ta cũng giả thiết rằng lớp cách điện giữa các bản là lý tưởng, sao cho không điện tích nào có thể chảy qua lớp cách điện từ bản này sang bản kia. Tiếp theo, chúng ta giả thiết rằng hai vật dẫn ở gần nhau nhưng xa mọi vật khác, sao cho mọi đường sức trường rời khỏi một bản đều kết thúc trên bản kia. Khi đó luôn có các điện tích bằng nhau và trái dấu trên hai bản và các điện tích trên các bản lớn hơn nhiều so với các điện tích trên bề mặt của các dây dẫn vào. Cuối cùng, chúng ta giả thiết rằng không có từ trường ở gần tụ điện.

Bây giờ giả sử chúng ta xét tích phân đường của E dọc theo một vòng kín bắt đầu tại cực a, đi dọc bên trong sợi dây tới bản trên của tụ điện, nhảy qua không gian giữa các bản, đi từ bản dưới tới cực b qua sợi dây, và quay lại cực a trong không gian bên ngoài tụ điện. Vì không có từ trường, tích phân đường của E dọc theo đường kín này bằng không. Tích phân có thể được chia thành ba phần:

∮E·ds = ∫ E·ds (dọc các dây) + ∫ E·ds (giữa các bản) + ∫_b^a E·ds (bên ngoài).   (22.7)

Tích phân dọc các dây bằng không, vì không có điện trường bên trong các vật dẫn lý tưởng. Tích phân từ b tới a bên ngoài tụ điện bằng số đối của hiệu điện thế giữa các cực. Vì chúng ta đã hình dung rằng hai bản theo một cách nào đó được cô lập với phần còn lại của thế giới, tổng điện tích trên hai bản phải bằng không; nếu có một điện tích Q trên bản trên, thì có một điện tích bằng và trái dấu −Q trên bản dưới. Chúng ta đã thấy trước đây rằng nếu hai vật dẫn có các điện tích bằng nhau và trái dấu, cộng và trừ Q, thì hiệu điện thế giữa các bản bằng Q/C, trong đó C được gọi là điện dung của hai vật dẫn. Từ phương trình (22.7), hiệu điện thế giữa các cực a và b bằng hiệu điện thế giữa các bản. Vì vậy ta có

V = Q/C.

Dòng điện I đi vào tụ điện qua cực a (và rời khỏi qua cực b) bằng dQ/dt, tốc độ thay đổi của điện tích trên các bản. Viết dV/dt thành iωV, chúng ta có thể đặt hệ thức điện áp–dòng điện cho một tụ điện theo cách sau:

iωV = I/C,

hay

V = I/(iωC).   (22.8)

Trở kháng z của một tụ điện, khi đó là

z (tụ điện) = z_C = 1/(iωC).   (22.9)

Phần tử thứ ba chúng ta muốn xét là một điện trở. Tuy nhiên, vì chúng ta chưa thảo luận các tính chất điện của các vật liệu thực, chúng ta chưa sẵn sàng để nói về những gì xảy ra bên trong một vật dẫn thực. Chúng ta sẽ chỉ phải chấp nhận như một sự thật rằng điện trường có thể tồn tại bên trong các vật liệu thực, rằng các điện trường này làm phát sinh một dòng chảy của điện tích — tức là một dòng điện — và rằng dòng điện này tỉ lệ với tích phân của điện trường từ đầu này tới đầu kia của vật dẫn. Khi đó chúng ta hình dung một điện trở lý tưởng được cấu tạo như trong sơ đồ của Hình 22–3. Hai sợi dây mà chúng ta lấy là vật dẫn lý tưởng đi từ các cực a và b tới hai đầu của một thanh vật liệu có điện trở. Theo lối lập luận thông thường của chúng ta, hiệu điện thế giữa các cực a và b bằng tích phân đường của điện trường bên ngoài, cũng bằng tích phân đường của điện trường qua thanh vật liệu có điện trở. Từ đó suy ra rằng dòng điện I qua điện trở tỉ lệ với điện áp V ở hai cực:

I = V/R,

trong đó R được gọi là điện trở (resistance). Chúng ta sẽ thấy sau này rằng hệ thức giữa dòng điện và điện áp đối với các vật liệu dẫn điện thực chỉ tuyến tính một cách gần đúng. Chúng ta cũng sẽ thấy rằng tính tỉ lệ gần đúng này được kỳ vọng là không phụ thuộc vào tần số biến thiên của dòng điện và điện áp chỉ khi tần số không quá cao. Vậy đối với các dòng điện xoay chiều, điện áp trên một điện trở cùng pha với dòng điện, có nghĩa là trở kháng là một số thực:

z (điện trở) = z_R = R.   (22.10)

Kết quả của chúng ta cho ba phần tử mạch tập trung — cuộn cảm, tụ điện và điện trở — được tóm tắt trong Hình 22–4. Trong hình này, cũng như trong các hình trước, chúng ta đã chỉ điện áp bằng một mũi tên hướng từ cực này tới cực kia. Nếu điện áp “dương” — tức là, nếu cực a ở điện thế cao hơn cực b — mũi tên chỉ hướng của một “sụt áp” dương.

Mặc dù chúng ta đang nói về các dòng điện xoay chiều, dĩ nhiên chúng ta có thể bao gồm trường hợp đặc biệt của các mạch có dòng điện không đổi bằng cách lấy giới hạn khi tần số ω tiến tới không. Đối với tần số không — tức là đối với dòng một chiều (dc) — trở kháng của một cuộn cảm tiến tới không; nó trở thành một mạch ngắn (đoản mạch). Đối với dc, trở kháng của một tụ điện tiến tới vô hạn; nó trở thành một mạch hở. Vì trở kháng của một điện trở không phụ thuộc vào tần số, nó là phần tử duy nhất còn lại khi chúng ta phân tích một mạch cho dc.

Trong các phần tử mạch chúng ta đã mô tả cho tới nay, dòng điện và điện áp tỉ lệ với nhau. Nếu cái này bằng không, cái kia cũng vậy. Chúng ta thường nghĩ theo những cách như thế này: Một điện áp đặt vào “chịu trách nhiệm” về dòng điện, hay một dòng điện “làm phát sinh” một điện áp giữa các cực; vậy theo một nghĩa nào đó các phần tử “đáp ứng” lại các điều kiện bên ngoài “được đặt vào”. Vì lý do này các phần tử này được gọi là các phần tử thụ động. Như vậy chúng có thể được đối lập với các phần tử tích cực, như các máy phát điện mà chúng ta sẽ xét trong mục tiếp theo, vốn là nguồn của các dòng điện hay điện áp dao động trong một mạch.

22–2  Máy phát điện

Bây giờ chúng ta muốn nói về một phần tử mạch tích cực — một phần tử là nguồn của các dòng điện và điện áp trong một mạch — cụ thể là một máy phát điện.

Giả sử chúng ta có một cuộn dây giống như một cuộn cảm, ngoại trừ nó có rất ít vòng dây, sao cho chúng ta có thể bỏ qua từ trường của chính dòng điện của nó. Tuy nhiên, cuộn dây này nằm trong một từ trường đang thay đổi, chẳng hạn như từ trường có thể được tạo ra bởi một nam châm quay, như được phác họa trong Hình 22–5. (Chúng ta đã thấy trước đây rằng một từ trường quay như vậy cũng có thể được tạo ra bởi một bộ cuộn dây thích hợp với các dòng điện xoay chiều.) Một lần nữa chúng ta phải thực hiện một số giả thiết đơn giản hóa. Các giả thiết chúng ta sẽ thực hiện đều là những giả thiết chúng ta đã mô tả cho trường hợp cuộn cảm. Đặc biệt, chúng ta giả thiết rằng từ trường biến thiên bị giới hạn trong một vùng xác định ở lân cận cuộn dây và không xuất hiện bên ngoài máy phát điện trong không gian giữa các cực.

Đi sát theo phân tích chúng ta đã làm cho cuộn cảm, chúng ta xét tích phân đường của E dọc theo một vòng hoàn chỉnh bắt đầu tại cực a, đi qua cuộn dây tới cực b và quay lại điểm bắt đầu trong không gian giữa hai cực. Một lần nữa chúng ta kết luận rằng hiệu điện thế giữa các cực bằng tích phân đường toàn phần của E dọc theo vòng:

V = −∮E·ds.

Tích phân đường này bằng sđđ trong mạch, vậy hiệu điện thế V giữa các cực của máy phát điện cũng bằng tốc độ thay đổi của từ thông móc vòng qua cuộn dây:

V = −ℰ = d/dt (từ thông).   (22.11)

Đối với một máy phát điện lý tưởng, chúng ta giả thiết rằng từ thông móc vòng qua cuộn dây được quyết định bởi các điều kiện bên ngoài — như vận tốc góc của một từ trường quay — và không bị ảnh hưởng theo bất kỳ cách nào bởi các dòng điện chạy qua máy phát điện. Như vậy một máy phát điện — ít nhất là máy phát điện lý tưởng mà chúng ta đang xét — không phải là một trở kháng. Hiệu điện thế giữa các cực của nó được quyết định bởi suất điện động ℰ(t) được gán một cách tùy ý. Một máy phát điện lý tưởng như vậy được biểu diễn bằng ký hiệu trong Hình 22–6. Mũi tên nhỏ biểu diễn hướng của sđđ khi nó dương. Một sđđ dương trong máy phát điện của Hình 22–6 sẽ tạo ra một điện áp V = ℰ, với cực a ở điện thế cao hơn cực b.

Có một cách khác để làm một máy phát điện, khá khác biệt ở bên trong nhưng không thể phân biệt được với máy vừa mô tả xét về những gì xảy ra bên ngoài các cực của nó. Giả sử chúng ta có một cuộn dây được quay trong một từ trường cố định, như được chỉ trong Hình 22–7. Chúng ta vẽ một nam châm thanh để chỉ sự hiện diện của một từ trường; dĩ nhiên nó có thể được thay bằng bất kỳ nguồn nào khác của một từ trường không đổi, như một cuộn dây phụ mang dòng điện không đổi. Như được chỉ trong hình, các kết nối từ cuộn dây quay tới thế giới bên ngoài được thực hiện bằng các tiếp điểm trượt hay “vành trượt”. Một lần nữa, chúng ta quan tâm tới hiệu điện thế xuất hiện giữa hai cực a và b, vốn dĩ nhiên là tích phân của điện trường từ cực a tới cực b dọc theo một đường đi bên ngoài máy phát điện.

Bây giờ trong hệ của Hình 22–7 không có từ trường nào đang thay đổi, vậy thoạt tiên chúng ta có thể tự hỏi làm sao bất kỳ điện áp nào có thể xuất hiện tại các cực của máy phát điện. Thực ra, không có điện trường ở bất cứ đâu bên trong máy phát điện. Chúng ta, như thường lệ, đang giả thiết đối với các phần tử lý tưởng của mình rằng các sợi dây bên trong được làm bằng một vật liệu dẫn điện lý tưởng, và như chúng ta đã nói nhiều lần, điện trường bên trong một vật dẫn lý tưởng bằng không. Nhưng điều đó không đúng. Nó không đúng khi một vật dẫn đang chuyển động trong một từ trường. Phát biểu đúng là lực toàn phần tác dụng lên bất kỳ điện tích nào bên trong một vật dẫn lý tưởng phải bằng không. Nếu không, sẽ có một dòng chảy vô hạn của các điện tích tự do. Vậy điều luôn đúng là tổng của điện trường E và tích có hướng của vận tốc của vật dẫn với từ trường B — vốn là lực toàn phần tác dụng lên một đơn vị điện tích — phải có giá trị bằng không bên trong vật dẫn:

F/đơn vị điện tích = E + v×B = 0  (trong một vật dẫn lý tưởng),   (22.12)

trong đó v biểu diễn vận tốc của vật dẫn. Phát biểu trước đây của chúng ta rằng không có điện trường bên trong một vật dẫn lý tưởng là đúng nếu vận tốc v của vật dẫn bằng không; nếu không, phát biểu đúng được cho bởi phương trình (22.12).

Quay lại máy phát điện của chúng ta trong Hình 22–7, bây giờ chúng ta thấy rằng tích phân đường của điện trường E từ cực a tới cực b qua đường dẫn điện của máy phát điện phải bằng tích phân đường của v×B trên cùng đường đi,

∫_a^b E·ds (bên trong vật dẫn) = −∫_a^b (v×B)·ds (bên trong vật dẫn).   (22.13)

Tuy nhiên, vẫn đúng là tích phân đường của E dọc theo một vòng hoàn chỉnh, bao gồm cả đoạn quay lại từ b tới a bên ngoài máy phát điện, phải bằng không, vì không có từ trường nào đang thay đổi. Vậy tích phân thứ nhất trong phương trình (22.13) cũng bằng V, điện áp giữa hai cực. Hóa ra tích phân ở vế phải của phương trình (22.13) chính là tốc độ thay đổi của từ thông móc vòng qua cuộn dây và vì vậy — theo quy tắc từ thông — bằng sđđ trong cuộn dây. Vậy một lần nữa ta có hiệu điện thế giữa các cực bằng suất điện động trong mạch, phù hợp với phương trình (22.11). Vậy dù chúng ta có một máy phát điện trong đó một từ trường thay đổi ở gần một cuộn dây cố định, hay một máy trong đó một cuộn dây chuyển động trong một từ trường cố định, các tính chất bên ngoài của các máy phát điện là như nhau. Có một hiệu điện thế V giữa các cực, không phụ thuộc vào dòng điện trong mạch mà chỉ phụ thuộc vào các điều kiện được gán tùy ý bên trong máy phát điện.

Chừng nào chúng ta còn đang cố hiểu hoạt động của các máy phát điện từ quan điểm của các phương trình Maxwell, chúng ta cũng có thể hỏi về pin hóa học thông thường, như một pin đèn pin. Nó cũng là một máy phát điện, tức là một nguồn điện áp, mặc dù dĩ nhiên nó sẽ chỉ xuất hiện trong các mạch dc. Loại pin đơn giản nhất để hiểu được chỉ trong Hình 22–8. Chúng ta hình dung hai bản kim loại nhúng trong một dung dịch hóa học nào đó. Chúng ta giả sử rằng dung dịch chứa các ion dương và âm. Chúng ta cũng giả sử rằng một loại ion, chẳng hạn loại âm, nặng hơn nhiều so với loại có cực tính ngược lại, sao cho chuyển động của nó qua dung dịch bằng quá trình khuếch tán chậm hơn nhiều. Tiếp theo chúng ta giả sử rằng bằng cách này hay cách khác, người ta sắp xếp sao cho nồng độ của dung dịch thay đổi từ phần này sang phần khác của chất lỏng, sao cho số ion của cả hai cực tính ở gần, chẳng hạn, bản dưới lớn hơn nhiều so với nồng độ ion ở gần bản trên. Vì tính linh động nhanh của chúng, các ion dương sẽ trôi dễ dàng hơn vào vùng có nồng độ thấp hơn, sao cho sẽ có một lượng dư nhẹ điện tích dương tới bản trên. Bản trên sẽ trở nên tích điện dương và bản dưới sẽ có một điện tích âm thuần.

Khi ngày càng nhiều điện tích khuếch tán tới bản trên, điện thế của bản này sẽ tăng lên cho tới khi điện trường tạo thành giữa các bản sinh ra các lực tác dụng lên các ion vừa đủ bù cho tính linh động dư của chúng, vậy hai bản của pin nhanh chóng đạt tới một hiệu điện thế đặc trưng cho cấu tạo bên trong.

Lập luận đúng như chúng ta đã làm cho tụ điện lý tưởng, chúng ta thấy rằng hiệu điện thế giữa các cực a và b đúng bằng tích phân đường của điện trường giữa hai bản khi không còn sự khuếch tán thuần nào của các ion nữa. Dĩ nhiên, có một khác biệt thiết yếu giữa một tụ điện và một pin hóa học như vậy. Nếu chúng ta nối tắt các cực của một tụ điện trong chốc lát, tụ điện bị phóng điện và không còn hiệu điện thế nào giữa các cực nữa. Trong trường hợp pin hóa học, một dòng điện có thể được lấy ra từ các cực một cách liên tục mà không có bất kỳ thay đổi nào trong sđđ — cho tới khi, dĩ nhiên, các hóa chất bên trong pin đã dùng hết. Trong một pin thực, người ta thấy rằng hiệu điện thế giữa các cực giảm khi dòng điện lấy ra từ pin tăng. Tuy nhiên, để phù hợp với các trừu tượng hóa chúng ta đã thực hiện, chúng ta có thể hình dung một pin lý tưởng trong đó điện áp giữa các cực không phụ thuộc vào dòng điện. Một pin thực khi đó có thể được xem như một pin lý tưởng mắc nối tiếp với một điện trở.

22–3  Mạng các phần tử lý tưởng; các quy tắc Kirchhoff

Như chúng ta đã thấy trong mục trước, việc mô tả một phần tử mạch lý tưởng theo những gì xảy ra bên ngoài phần tử là khá đơn giản. Dòng điện và điện áp có hệ thức tuyến tính với nhau. Nhưng những gì thực sự xảy ra bên trong phần tử lại khá phức tạp, và khá khó để đưa ra một mô tả chính xác theo các phương trình Maxwell. Hãy hình dung việc cố đưa ra một mô tả chính xác về các điện trường và từ trường bên trong một chiếc radio chứa hàng trăm điện trở, tụ điện và cuộn cảm. Phân tích một thứ như vậy bằng cách dùng các phương trình Maxwell sẽ là một nhiệm vụ không thể thực hiện được. Nhưng bằng cách thực hiện nhiều xấp xỉ chúng ta đã mô tả trong Mục 22–2 và tóm tắt các đặc trưng thiết yếu của các phần tử mạch thực theo các lý tưởng hóa, việc phân tích một mạch điện theo một cách tương đối thẳng thắn trở nên khả thi. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra cách làm điều đó.

Giả sử chúng ta có một mạch gồm một máy phát điện và một số trở kháng nối với nhau, như trong Hình 22–9. Theo các xấp xỉ của chúng ta, không có từ trường trong vùng bên ngoài các phần tử mạch riêng lẻ. Vì vậy tích phân đường của E dọc theo bất kỳ đường cong nào không đi qua bất kỳ phần tử nào cũng bằng không. Khi đó hãy xét đường cong Γ được chỉ bởi đường đứt nét đi vòng quanh toàn bộ mạch trong Hình 22–9. Tích phân đường của E dọc theo đường cong này được tạo thành từ một số mảnh. Mỗi mảnh là tích phân đường từ cực này tới cực kia của một phần tử mạch. Tích phân đường này chúng ta đã gọi là sụt áp trên phần tử mạch. Tích phân đường đầy đủ khi đó đúng là tổng các sụt áp trên mọi phần tử trong mạch:

∮E·ds = ΣV_n.

Vì tích phân đường bằng không, chúng ta có tổng các hiệu điện thế xung quanh một vòng hoàn chỉnh của một mạch bằng không:

Σ V_n = 0  (xung quanh bất kỳ vòng nào).   (22.14)

Kết quả này tuân theo một trong các phương trình Maxwell — rằng trong một vùng không có từ trường, tích phân đường của E dọc theo bất kỳ vòng hoàn chỉnh nào cũng bằng không.

Bây giờ giả sử chúng ta xét một mạch như mạch được chỉ trong Hình 22–10. Đường ngang nối các cực a, b, c và d nhằm chỉ ra rằng các cực này đều được nối với nhau, hay chúng được nối bởi các dây có điện trở không đáng kể. Trong mọi trường hợp, hình vẽ có nghĩa là các cực a, b, c và d đều ở cùng một điện thế và, tương tự, các cực e, f, g và h cũng ở một điện thế chung. Khi đó sụt áp V trên mỗi phần tử trong bốn phần tử là như nhau.

Bây giờ một trong các lý tưởng hóa của chúng ta là các điện tích tích tụ trên các cực của các trở kháng là không đáng kể. Bây giờ chúng ta giả thiết thêm rằng mọi điện tích trên các dây nối các cực cũng có thể bỏ qua. Khi đó sự bảo toàn điện tích đòi hỏi rằng bất kỳ điện tích nào rời khỏi một phần tử mạch đều lập tức đi vào một phần tử mạch khác nào đó. Hay, điều tương tự, chúng ta đòi hỏi rằng tổng đại số của các dòng điện đi vào bất kỳ chỗ nối nào cho trước phải bằng không. Bởi một chỗ nối, dĩ nhiên, chúng ta hiểu bất kỳ tập hợp các cực nào như a, b, c và d được nối với nhau. Một tập hợp các cực được nối như vậy thường được gọi là một “nút”. Sự bảo toàn điện tích khi đó đòi hỏi rằng đối với mạch của Hình 22–10,

I₁ − I₂ − I₃ − I₄ = 0.   (22.15)

Tổng các dòng điện đi vào nút gồm bốn cực e, f, g và h cũng phải bằng không:

−I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0.   (22.16)

Điều này, dĩ nhiên, giống như phương trình (22.15). Hai phương trình không độc lập. Quy tắc tổng quát là tổng các dòng điện đi vào bất kỳ nút nào phải bằng không:

Σ I_n = 0  (vào một nút).   (22.17)

Kết luận trước đây của chúng ta rằng tổng các sụt áp xung quanh một vòng kín bằng không phải áp dụng cho bất kỳ vòng nào trong một mạch phức tạp. Cũng vậy, kết quả của chúng ta rằng tổng các dòng điện đi vào một nút bằng không phải đúng cho bất kỳ nút nào. Hai phương trình này được gọi là các quy tắc Kirchhoff. Với hai quy tắc này, có thể giải tìm các dòng điện và điện áp trong bất kỳ mạng nào.

Giả sử chúng ta xét mạch phức tạp hơn của Hình 22–11. Làm thế nào chúng ta sẽ tìm các dòng điện và điện áp trong mạch này? Chúng ta có thể tìm chúng theo cách thẳng thắn sau đây. Chúng ta xét riêng từng vòng trong bốn vòng kín con xuất hiện trong mạch. (Chẳng hạn, một vòng đi từ cực a tới cực b tới cực e tới cực d và quay lại cực a.) Đối với mỗi vòng, chúng ta viết phương trình cho quy tắc thứ nhất của Kirchhoff — rằng tổng các điện áp xung quanh mỗi vòng bằng không. Chúng ta phải nhớ tính sụt áp là dương nếu chúng ta đang đi theo chiều của dòng điện và âm nếu chúng ta đang đi qua một phần tử theo chiều ngược với dòng điện; và chúng ta phải nhớ rằng sụt áp trên một máy phát điện là số đối của sđđ theo chiều đó. Như vậy nếu chúng ta xét vòng nhỏ bắt đầu và kết thúc tại cực a, chúng ta có phương trình

z₁I₁ + z₃I₃ + z₄I₄ − ℰ₁ = 0.

Áp dụng cùng quy tắc cho các vòng còn lại, chúng ta sẽ được thêm ba phương trình cùng loại.

Tiếp theo, chúng ta phải viết phương trình dòng điện cho mỗi nút trong mạch. Chẳng hạn, cộng các dòng điện đi vào nút tại cực b cho phương trình

I₁ − I₃ − I₂ = 0.

Tương tự, đối với nút được đánh dấu e chúng ta sẽ có phương trình dòng điện

I₃ − I₄ + I₈ − I₅ = 0.

Đối với mạch được chỉ ra, có năm phương trình dòng điện như vậy. Tuy nhiên, hóa ra bất kỳ phương trình nào trong các phương trình này cũng có thể được suy ra từ bốn phương trình còn lại; vì vậy chỉ có bốn phương trình dòng điện độc lập. Như vậy chúng ta có tổng cộng tám phương trình tuyến tính độc lập: bốn phương trình điện áp và bốn phương trình dòng điện. Với tám phương trình này, chúng ta có thể giải tìm tám dòng điện chưa biết. Một khi các dòng điện đã biết, mạch đã được giải. Sụt áp trên bất kỳ phần tử nào được cho bởi dòng điện qua phần tử đó nhân với trở kháng của nó (hay, trong trường hợp các nguồn điện áp, nó đã được biết rồi).

Chúng ta đã thấy rằng khi viết các phương trình dòng điện, chúng ta được một phương trình không độc lập với các phương trình còn lại. Nói chung cũng có thể viết ra quá nhiều phương trình điện áp. Chẳng hạn, trong mạch của Hình 22–11, mặc dù chúng ta mới chỉ xét bốn vòng nhỏ, có một số lượng lớn các vòng khác mà chúng ta có thể viết phương trình điện áp cho chúng. Chẳng hạn, có vòng dọc theo đường abcfeda. Có một vòng khác đi theo đường abcfehgda. Bạn có thể thấy rằng có rất nhiều vòng. Khi phân tích các mạch phức tạp, rất dễ viết ra quá nhiều phương trình. Có các quy tắc cho chúng ta biết cách tiến hành sao cho chỉ số lượng tối thiểu các phương trình được viết ra, nhưng thường chỉ với một chút suy nghĩ là có thể thấy cách lấy đúng số phương trình ở dạng đơn giản nhất. Ngoài ra, viết thêm một hay hai phương trình không gây hại gì. Chúng sẽ không dẫn tới bất kỳ đáp án sai nào, chỉ có lẽ thêm một chút đại số không cần thiết.

Trong Chương 25 của Tập I, chúng ta đã chỉ ra rằng nếu hai trở kháng z₁ và z₂ mắc nối tiếp, chúng tương đương với một trở kháng duy nhất z_s cho bởi

z_s = z₁ + z₂.   (22.18)

Chúng ta cũng đã chỉ ra rằng nếu hai trở kháng được nối song song, chúng tương đương với trở kháng duy nhất z_p cho bởi

z_p = 1/((1/z₁) + (1/z₂)) = z₁z₂/(z₁ + z₂).   (22.19)

Nếu bạn nhìn lại, bạn sẽ thấy rằng khi suy ra các kết quả này, thực chất chúng ta đã dùng các quy tắc Kirchhoff. Thường có thể phân tích một mạch phức tạp bằng cách áp dụng lặp lại các công thức cho các trở kháng nối tiếp và song song. Chẳng hạn, mạch của Hình 22–12 có thể được phân tích theo cách đó. Trước hết, các trở kháng z₄ và z₅ có thể được thay bằng tương đương song song của chúng, và z₆ và z₇ cũng vậy. Sau đó trở kháng z₂ có thể được kết hợp với tương đương song song của z₆ và z₇ bằng quy tắc nối tiếp. Tiến hành theo cách này, toàn bộ mạch có thể được rút gọn thành một máy phát điện mắc nối tiếp với một trở kháng duy nhất Z. Dòng điện qua máy phát điện khi đó đúng bằng ℰ/Z. Sau đó, bằng cách làm việc ngược lại, người ta có thể giải tìm các dòng điện trong mỗi trở kháng.

Tuy nhiên, có những mạch khá đơn giản không thể phân tích bằng phương pháp này, chẳng hạn như mạch của Hình 22–13. Để phân tích mạch này, chúng ta phải viết ra các phương trình dòng điện và điện áp từ các quy tắc Kirchhoff. Hãy làm điều đó. Chỉ có một phương trình dòng điện:

I₁ + I₂ + I₃ = 0,

vậy chúng ta biết ngay rằng

I₃ = −(I₁ + I₂).

Chúng ta có thể tiết kiệm cho mình một ít đại số nếu ngay lập tức sử dụng kết quả này khi viết các phương trình điện áp. Đối với mạch này có hai phương trình điện áp độc lập; chúng là

−ℰ₁ + I₂z₂ − I₁z₁ = 0

và

ℰ₂ − (I₁ + I₂)z₃ − I₂z₂ = 0.

Có hai phương trình và hai dòng điện chưa biết. Giải các phương trình này cho I₁ và I₂, chúng ta được

I₁ = [z₂ℰ₂ − (z₂ + z₃)ℰ₁]/[z₁(z₂ + z₃) + z₂z₃]   (22.20)

và

I₂ = [z₁ℰ₂ + z₃ℰ₁]/[z₁(z₂ + z₃) + z₂z₃].   (22.21)

Dòng điện thứ ba thu được từ tổng của hai dòng này.

Một ví dụ khác về một mạch không thể phân tích bằng cách dùng các quy tắc cho trở kháng nối tiếp và song song được chỉ trong Hình 22–14. Một mạch như vậy được gọi là một “cầu”. Nó xuất hiện trong nhiều thiết bị dùng để đo các trở kháng. Với một mạch như vậy, người ta thường quan tâm tới câu hỏi: Các trở kháng khác nhau phải liên hệ với nhau như thế nào nếu dòng điện qua trở kháng z₃ phải bằng không? Chúng ta để cho bạn tìm các điều kiện để điều đó xảy ra.

22–4  Các mạch tương đương

Giả sử chúng ta nối một máy phát điện ℰ vào một mạch chứa một sự liên kết phức tạp nào đó của các trở kháng, như được chỉ một cách sơ đồ trong Hình 22–15(a). Mọi phương trình chúng ta thu được từ các quy tắc Kirchhoff đều tuyến tính, vậy khi chúng ta giải chúng cho dòng điện I qua máy phát điện, chúng ta sẽ được I tỉ lệ với ℰ. Chúng ta có thể viết

I = ℰ/z_eff,

trong đó z_eff bây giờ là một số phức nào đó, một hàm đại số của mọi phần tử trong mạch. (Nếu mạch không chứa máy phát điện nào khác ngoài máy được chỉ ra, không có số hạng phụ thêm nào không phụ thuộc vào ℰ.) Nhưng phương trình này đúng là những gì chúng ta sẽ viết cho mạch của Hình 22–15(b). Chừng nào chúng ta chỉ quan tâm tới những gì xảy ra ở phía trái của hai cực a và b, hai mạch của Hình 22–15 là tương đương. Vì vậy, chúng ta có thể đưa ra phát biểu tổng quát rằng bất kỳ mạng hai cực nào gồm các phần tử thụ động cũng có thể được thay bằng một trở kháng duy nhất z_eff mà không làm thay đổi các dòng điện và điện áp trong phần còn lại của mạch. Phát biểu này, dĩ nhiên, chỉ là một nhận xét về những gì rút ra được từ các quy tắc Kirchhoff — và cuối cùng là từ tính tuyến tính của các phương trình Maxwell.

Ý tưởng này có thể được tổng quát hóa cho một mạch chứa cả máy phát điện lẫn trở kháng. Giả sử chúng ta nhìn một mạch như vậy “từ quan điểm” của một trong các trở kháng, mà chúng ta sẽ gọi là z_n, như trong Hình 22–16(a). Nếu chúng ta giải phương trình cho toàn bộ mạch, chúng ta sẽ thấy rằng điện áp V_n giữa hai cực a và b là một hàm tuyến tính của I_n, mà chúng ta có thể viết

V_n = A − BI_n,   (22.22)

trong đó A và B phụ thuộc vào các máy phát điện và trở kháng trong mạch ở phía trái của các cực. Chẳng hạn, đối với mạch của Hình 22–13, chúng ta tìm được V₁ = I₁z₁. Điều này có thể được viết [bằng cách sắp xếp lại phương trình (22.20)] thành

V₁ = [(z₂/(z₂ + z₃))ℰ₂ − ℰ₁] − [z₂z₃/(z₂ + z₃)]I₁.   (22.23)

Nghiệm đầy đủ khi đó thu được bằng cách kết hợp phương trình này với phương trình cho trở kháng z₁, cụ thể là V₁ = I₁z₁, hay trong trường hợp tổng quát, bằng cách kết hợp phương trình (22.22) với

V_n = I_nz_n.

Nếu bây giờ chúng ta xét rằng z_n được gắn vào một mạch nối tiếp đơn giản gồm một máy phát điện và một trở kháng, như trong Hình 22–16(b), phương trình tương ứng với phương trình (22.22) là

V_n = ℰ_eff − I_nz_eff,

phương trình này đồng nhất với phương trình (22.22) với điều kiện chúng ta đặt ℰ_eff = A và z_eff = B. Vậy nếu chúng ta chỉ quan tâm tới những gì xảy ra ở phía phải của các cực a và b, mạch tùy ý của Hình 22–16 luôn có thể được thay bằng một tổ hợp tương đương gồm một máy phát điện mắc nối tiếp với một trở kháng.

22–5  Năng lượng

Chúng ta đã thấy rằng để tạo nên dòng điện I trong một cuộn cảm, năng lượng U = ½LI² phải được cung cấp bởi mạch bên ngoài. Khi dòng điện giảm trở về không, năng lượng này được trả lại cho mạch bên ngoài. Không có cơ chế mất năng lượng trong một cuộn cảm lý tưởng. Khi có một dòng điện xoay chiều chạy qua một cuộn cảm, năng lượng chảy qua lại giữa nó và phần còn lại của mạch, nhưng tốc độ trung bình mà năng lượng được đưa vào mạch bằng không. Chúng ta nói rằng một cuộn cảm là một phần tử không tiêu tán; không có năng lượng điện nào bị tiêu tán — tức là “mất” — trong nó.

Tương tự, năng lượng của một tụ điện, U = ½CV², được trả lại cho mạch bên ngoài khi một tụ điện phóng điện. Khi một tụ điện nằm trong một mạch điện xoay chiều, năng lượng chảy ra vào nó, nhưng dòng năng lượng thuần trong mỗi chu kỳ bằng không. Một tụ điện lý tưởng cũng là một phần tử không tiêu tán.

Chúng ta biết rằng một sđđ là một nguồn năng lượng. Khi một dòng điện I chảy theo chiều của sđđ, năng lượng được đưa vào mạch bên ngoài với tốc độ dU/dt = ℰI. Nếu dòng điện bị đẩy ngược lại sđđ — bởi các máy phát điện khác trong mạch — sđđ sẽ hấp thụ năng lượng với tốc độ ℰI; vì I âm, dU/dt cũng sẽ âm.

Nếu một máy phát điện được nối vào một điện trở R, dòng điện qua điện trở là I = ℰ/R. Năng lượng đang được máy phát điện cung cấp với tốc độ ℰI đang bị điện trở hấp thụ. Năng lượng này biến thành nhiệt trong điện trở và bị mất khỏi năng lượng điện của mạch. Chúng ta nói rằng năng lượng điện bị tiêu tán trong một điện trở. Tốc độ mà năng lượng bị tiêu tán trong một điện trở là dU/dt = RI².

Trong một mạch điện xoay chiều, tốc độ trung bình của năng lượng mất vào một điện trở là trung bình của RI² trên một chu kỳ. Vì I = Îe^iωt — với ý nghĩa thực sự là I biến thiên như cos ωt — trung bình của I² trên một chu kỳ là |Î|²/2, vì dòng điện cực đại là |Î| và trung bình của cos² ωt là 1/2.

Thế còn sự mất năng lượng khi một máy phát điện được nối vào một trở kháng tùy ý z thì sao? (Bởi “mất” chúng ta dĩ nhiên hiểu là sự chuyển hóa năng lượng điện thành năng lượng nhiệt.) Bất kỳ trở kháng z nào cũng có thể được viết thành tổng của phần thực và phần ảo của nó. Tức là,

z = R + iX,   (22.24)

trong đó R và X là các số thực. Từ quan điểm các mạch tương đương, chúng ta có thể nói rằng bất kỳ trở kháng nào cũng tương đương với một điện trở mắc nối tiếp với một trở kháng thuần ảo — được gọi là một điện kháng (reactance) — như được chỉ trong Hình 22–17.

Chúng ta đã thấy trước đây rằng bất kỳ mạch nào chỉ chứa các L và C đều có một trở kháng là một số thuần ảo. Vì trung bình không có sự mất năng lượng vào bất kỳ L và C nào, một điện kháng thuần chỉ chứa các L và C sẽ không có sự mất năng lượng. Chúng ta có thể thấy rằng điều này nói chung phải đúng đối với một điện kháng.

Nếu một máy phát điện với sđđ ℰ được nối vào trở kháng z của Hình 22–17, sđđ phải liên hệ với dòng điện I từ máy phát điện bởi

ℰ = I(R + iX).   (22.25)

Để tìm tốc độ trung bình mà năng lượng được đưa vào, chúng ta muốn trung bình của tích ℰI. Bây giờ chúng ta phải cẩn thận. Khi xử lý các tích như vậy, chúng ta phải xử lý các đại lượng thực ℰ(t) và I(t). (Các phần thực của các hàm phức sẽ chỉ biểu diễn các đại lượng vật lý thực khi chúng ta có các phương trình tuyến tính; bây giờ chúng ta đang quan tâm tới các tích, vốn chắc chắn không tuyến tính.)

Giả sử chúng ta chọn gốc của t sao cho biên độ Î là một số thực, chẳng hạn I₀; khi đó biến thiên thực theo thời gian của I được cho bởi

I = I₀ cos ωt.

Sđđ của phương trình (22.25) là phần thực của

I₀e^iωt(R + iX)

hay

ℰ = I₀R cos ωt − I₀X sin ωt.   (22.26)

Hai số hạng trong phương trình (22.26) biểu diễn các sụt áp trên R và X trong Hình 22–17. Chúng ta thấy rằng sụt áp trên điện trở cùng pha với dòng điện, trong khi sụt áp trên phần thuần kháng lệch pha với dòng điện.

Tốc độ trung bình của sự mất năng lượng, P̄, từ máy phát điện là tích phân của tích ℰI trên một chu kỳ chia cho chu kỳ T; nói cách khác,

P̄ = (1/T)∫₀^T ℰI dt = (1/T)∫₀^T I₀²R cos² ωt dt − (1/T)∫₀^T I₀²X cos ωt sin ωt dt.

Tích phân thứ nhất là ½I₀²R, và tích phân thứ hai bằng không. Vậy sự mất năng lượng trung bình trong một trở kháng z = R + iX chỉ phụ thuộc vào phần thực của z, và bằng I₀²R/2, phù hợp với kết quả trước đây của chúng ta cho sự mất năng lượng trong một điện trở. Không có sự mất năng lượng trong phần kháng.

22–6  Một mạng thang

Bây giờ chúng ta muốn xét một mạch thú vị có thể được phân tích theo các tổ hợp nối tiếp và song song. Giả sử chúng ta bắt đầu với mạch của Hình 22–18(a). Chúng ta có thể thấy ngay rằng trở kháng từ cực a tới cực b đơn giản là z₁ + z₂. Bây giờ hãy lấy một mạch khó hơn một chút, mạch được chỉ trong Hình 22–18(b). Chúng ta có thể phân tích mạch này bằng các quy tắc Kirchhoff, nhưng nó cũng dễ xử lý bằng các tổ hợp nối tiếp và song song. Chúng ta có thể thay hai trở kháng ở đầu phía phải bằng một trở kháng duy nhất z₃ = z₁ + z₂, như trong phần (c) của hình. Sau đó hai trở kháng z₂ và z₃ có thể được thay bằng trở kháng song song tương đương z₄ của chúng, như được chỉ trong phần (d) của hình. Cuối cùng, z₁ và z₄ tương đương với một trở kháng duy nhất z₅, như được chỉ trong phần (e).

Bây giờ chúng ta có thể đặt một câu hỏi thú vị: Điều gì sẽ xảy ra nếu trong mạng của Hình 22–18(b) chúng ta cứ tiếp tục cộng thêm mãi các mắt vô hạn — như được chỉ bởi các đường đứt nét trong Hình 22–19(a)? Chúng ta có thể giải một mạng vô hạn như vậy không? Ồ, điều đó không quá khó. Trước hết, chúng ta nhận thấy rằng một mạng vô hạn như vậy không thay đổi nếu chúng ta cộng thêm một mắt nữa ở đầu “trước”. Chắc chắn, nếu chúng ta cộng thêm một mắt nữa vào một mạng vô hạn, nó vẫn là cùng một mạng vô hạn. Giả sử chúng ta gọi trở kháng giữa hai cực a và b của mạng vô hạn là z₀; khi đó trở kháng của toàn bộ phần ở phía phải của hai cực c và d cũng là z₀. Vì vậy, xét về đầu trước, chúng ta có thể biểu diễn mạng như trong Hình 22–19(b). Tạo tổ hợp song song của z₂ với z₀ và cộng kết quả nối tiếp với z₁, chúng ta có thể viết ngay trở kháng của mạch này:

z = z₁ + 1/((1/z₂) + (1/z₀))  hay  z = z₁ + z₂z₀/(z₂ + z₀).

Nhưng trở kháng này cũng bằng z₀, vậy chúng ta có phương trình

z₀ = z₁ + z₂z₀/(z₂ + z₀).

Chúng ta có thể giải tìm z₀ để được

z₀ = z₁/2 + √((z₁²/4) + z₁z₂).   (22.27)

Vậy chúng ta đã tìm được nghiệm cho trở kháng của một mạng thang vô hạn gồm các trở kháng nối tiếp và song song lặp lại. Trở kháng z₀ được gọi là trở kháng đặc tính của một mạng vô hạn như vậy.

Bây giờ hãy xét một ví dụ cụ thể trong đó phần tử nối tiếp là một cuộn cảm L và phần tử song song (shunt) là một điện dung C, như trong Hình 22–20(a). Trong trường hợp này chúng ta tìm trở kháng của mạng vô hạn bằng cách đặt z₁ = iωL và z₂ = 1/iωC. Hãy để ý rằng số hạng thứ nhất, z₁/2, trong phương trình (22.27) đúng bằng một nửa trở kháng của phần tử đầu tiên. Vì vậy dường như tự nhiên hơn, hay ít nhất là đơn giản hơn đôi chút, nếu chúng ta vẽ mạng vô hạn của mình như trong Hình 22–20(b). Nhìn mạng vô hạn từ cực a′ chúng ta sẽ thấy trở kháng đặc tính

z₀ = √((L/C) − (ω²L²/4)).   (22.28)

Bây giờ có hai trường hợp thú vị, tùy thuộc vào tần số ω. Nếu ω² nhỏ hơn 4/LC, số hạng thứ hai trong căn sẽ nhỏ hơn số hạng thứ nhất, và trở kháng z₀ sẽ là một số thực. Mặt khác, nếu ω² lớn hơn 4/LC, trở kháng z₀ sẽ là một số thuần ảo mà chúng ta có thể viết thành

z₀ = i√((ω²L²/4) − (L/C)).

Chúng ta đã nói trước đây rằng một mạch chỉ chứa các trở kháng ảo, như các cuộn cảm và tụ điện, sẽ có một trở kháng thuần ảo. Vậy làm sao có thể là đối với mạch chúng ta đang nghiên cứu — vốn chỉ có các L và C — trở kháng lại là một điện trở thuần đối với các tần số dưới √(4/LC)? Đối với các tần số cao hơn, trở kháng thuần ảo, phù hợp với phát biểu trước đây của chúng ta. Đối với các tần số thấp hơn, trở kháng là một điện trở thuần và vì vậy sẽ hấp thụ năng lượng. Nhưng làm sao mạch có thể liên tục hấp thụ năng lượng, như một điện trở vẫn làm, nếu nó chỉ được làm từ các cuộn cảm và tụ điện? Đáp án: Bởi vì có một số vô hạn các cuộn cảm và tụ điện, sao cho khi một nguồn được nối vào mạch, nó cung cấp năng lượng cho cuộn cảm và tụ điện đầu tiên, rồi cho cái thứ hai, cái thứ ba, và cứ thế. Trong một mạch thuộc loại này, năng lượng liên tục bị hấp thụ khỏi máy phát điện với một tốc độ không đổi và liên tục chảy ra vào trong mạng, cung cấp năng lượng được lưu trữ trong các cuộn cảm và tụ điện dọc theo đường.

Ý tưởng này gợi ra một điểm thú vị về những gì đang xảy ra trong mạch. Chúng ta sẽ kỳ vọng rằng nếu chúng ta nối một nguồn vào đầu trước, các hiệu ứng của nguồn này sẽ được truyền qua mạng về phía đầu vô hạn. Sự truyền của các sóng dọc theo đường dây rất giống sự bức xạ từ một ăng-ten hấp thụ năng lượng từ nguồn kích thích của nó; tức là, chúng ta kỳ vọng một sự truyền như vậy xảy ra khi trở kháng là thực, điều này xảy ra nếu ω nhỏ hơn √(4/LC). Nhưng khi trở kháng thuần ảo, điều này xảy ra đối với ω lớn hơn √(4/LC), chúng ta sẽ không kỳ vọng thấy bất kỳ sự truyền nào như vậy.

22–7  Các bộ lọc

Chúng ta đã thấy trong mục trước rằng mạng thang vô hạn của Hình 22–20 hấp thụ năng lượng liên tục nếu nó được kích thích ở một tần số dưới một tần số tới hạn nhất định √(4/LC), mà chúng ta sẽ gọi là tần số cắt ω₀. Chúng ta đã gợi ý rằng hiệu ứng này có thể được hiểu theo một sự vận chuyển liên tục của năng lượng dọc theo đường dây. Mặt khác, ở các tần số cao, đối với ω > ω₀, không có sự hấp thụ liên tục của năng lượng; khi đó chúng ta nên kỳ vọng rằng có lẽ các dòng điện không “thâm nhập” được rất xa vào đường dây. Hãy xem các ý tưởng này có đúng không.

Giả sử chúng ta có đầu trước của mạng thang nối vào một máy phát điện xoay chiều nào đó và chúng ta hỏi điện áp trông như thế nào tại, chẳng hạn, mắt thứ 754 của mạng thang. Vì mạng là vô hạn, bất cứ điều gì xảy ra với điện áp từ mắt này sang mắt tiếp theo luôn là như nhau; vậy hãy chỉ nhìn vào điều gì xảy ra khi chúng ta đi từ một mắt nào đó, chẳng hạn mắt thứ n, sang mắt tiếp theo. Chúng ta sẽ định nghĩa các dòng điện I_n và các điện áp V_n như trong Hình 22–21(a).

Chúng ta có thể lấy điện áp V_n+1 từ V_n bằng cách nhớ rằng chúng ta luôn có thể thay phần còn lại của mạng thang sau mắt thứ n bằng trở kháng đặc tính z₀ của nó; khi đó chúng ta chỉ cần phân tích mạch của Hình 22–21(b). Trước hết, chúng ta nhận thấy rằng bất kỳ V_n nào, vì nó ở trên z₀, phải bằng I_nz₀. Cũng vậy, hiệu giữa V_n và V_n+1 đúng là I_nz₁:

V_n − V_n+1 = I_nz₁ = V_n z₁/z₀.

Vậy chúng ta được tỉ số

V_n+1/V_n = 1 − z₁/z₀ = (z₀ − z₁)/z₀.

Chúng ta có thể gọi tỉ số này là hệ số truyền (propagation factor) cho một mắt của mạng thang; chúng ta sẽ gọi nó là α. Dĩ nhiên, nó là như nhau đối với mọi mắt:

α = (z₀ − z₁)/z₀.   (22.29)

Điện áp sau mắt thứ n khi đó là

V_n = αⁿℰ.   (22.30)

Bây giờ bạn có thể tìm điện áp sau 754 mắt; nó đúng bằng α lũy thừa 754 nhân với ℰ.

Giả sử chúng ta xem α trông như thế nào đối với mạng thang L–C của Hình 22–20(a). Dùng z₀ từ phương trình (22.27), và z₁ = iωL, chúng ta được

α = [√((L/C) − (ω²L²/4)) − i(ωL/2)]/[√((L/C) − (ω²L²/4)) + i(ωL/2)].   (22.31)

Nếu tần số kích thích dưới tần số cắt ω₀ = √(4/LC), căn thức là một số thực, và độ lớn của các số phức trong tử số và mẫu số bằng nhau. Vì vậy, độ lớn của α bằng một; chúng ta có thể viết

α = e^iδ,

điều này có nghĩa là độ lớn của điện áp là như nhau tại mọi mắt; chỉ pha của nó thay đổi. Sự thay đổi pha δ, thực ra, là một số âm và biểu diễn sự “trễ” của điện áp khi nó đi dọc theo mạng.

Đối với các tần số trên tần số cắt ω₀, tốt hơn là tách một thừa số i ra khỏi tử số và mẫu số của phương trình (22.31) và viết lại nó thành

α = [√((ω²L²/4) − (L/C)) − (ωL/2)]/[√((ω²L²/4) − (L/C)) + (ωL/2)].   (22.32)

Hệ số truyền α bây giờ là một số thực, và là một số nhỏ hơn một. Điều đó có nghĩa là điện áp tại bất kỳ mắt nào cũng luôn nhỏ hơn điện áp tại mắt trước đó một thừa số α. Đối với bất kỳ tần số nào trên ω₀, điện áp chết đi nhanh chóng khi chúng ta đi dọc theo mạng. Một đồ thị của giá trị tuyệt đối của α theo tần số trông như đồ thị trong Hình 22–22.

Chúng ta thấy rằng hành vi của α, cả trên và dưới ω₀, đều phù hợp với cách diễn giải của chúng ta rằng mạng truyền năng lượng đối với ω < ω₀ và chặn nó đối với ω > ω₀. Chúng ta nói rằng mạng “cho qua” các tần số thấp và “loại bỏ” hay “lọc ra” các tần số cao. Bất kỳ mạng nào được thiết kế để có các đặc tính của nó biến thiên theo một cách quy định trước theo tần số đều được gọi là một “bộ lọc”. Chúng ta đã và đang phân tích một “bộ lọc thông thấp”.

Bạn có thể đang tự hỏi vì sao lại có tất cả những thảo luận này về một mạng vô hạn mà hiển nhiên không thể thực sự tồn tại. Điểm mấu chốt là các đặc tính tương tự cũng được tìm thấy trong một mạng hữu hạn nếu chúng ta kết thúc nó ở đầu cuối bằng một trở kháng bằng trở kháng đặc tính z₀. Bây giờ trong thực tế không thể tái tạo chính xác trở kháng đặc tính bằng một vài phần tử đơn giản — như các R, L và C. Nhưng thường có thể làm điều đó với một xấp xỉ khá tốt cho một khoảng tần số nhất định. Theo cách này người ta có thể làm một mạng lọc hữu hạn mà các tính chất của nó rất gần với các tính chất của trường hợp vô hạn. Chẳng hạn, mạng thang L–C hành xử gần như chúng ta đã mô tả nếu nó được kết thúc bằng điện trở thuần R = √(L/C).

Nếu trong mạng thang L–C của chúng ta, chúng ta hoán đổi vị trí của các L và các C, để làm thành mạng thang được chỉ trong Hình 22–23(a), chúng ta có thể có một bộ lọc truyền các tần số cao và loại bỏ các tần số thấp. Dễ thấy điều gì xảy ra với mạng này bằng cách dùng các kết quả chúng ta đã có. Bạn sẽ để ý rằng mỗi khi chúng ta đổi một L thành một C và ngược lại, chúng ta cũng đổi mọi iω thành 1/iω. Vậy bất cứ điều gì đã xảy ra tại ω trước đây bây giờ sẽ xảy ra tại 1/ω. Đặc biệt, chúng ta có thể thấy α sẽ biến thiên theo tần số như thế nào bằng cách dùng Hình 22–22 và đổi nhãn trên trục thành 1/ω, như chúng ta đã làm trong Hình 22–23(b).

Các bộ lọc thông thấp và thông cao chúng ta đã mô tả có nhiều ứng dụng kỹ thuật khác nhau. Một bộ lọc thông thấp L–C thường được dùng làm bộ lọc “làm phẳng” trong một bộ nguồn dc. Nếu chúng ta muốn sản xuất điện dc từ một nguồn ac, chúng ta bắt đầu với một bộ chỉnh lưu chỉ cho phép dòng điện chảy theo một chiều. Từ bộ chỉnh lưu chúng ta được một chuỗi các xung trông như hàm V(t) được chỉ trong Hình 22–24, vốn là thứ dc tồi tệ, vì nó nhấp nhô lên xuống. Giả sử chúng ta muốn một thứ dc thuần khiết đẹp đẽ, như một ăcquy cung cấp. Chúng ta có thể đến gần điều đó bằng cách đặt một bộ lọc thông thấp giữa bộ chỉnh lưu và tải.

Chúng ta biết từ Chương 50 của Tập I rằng hàm thời gian trong Hình 22–24 có thể được biểu diễn thành một sự chồng chập của một điện áp không đổi cộng một sóng sin, cộng một sóng sin có tần số cao hơn, cộng một sóng sin có tần số còn cao hơn nữa, v.v. — bằng một chuỗi Fourier. Nếu bộ lọc của chúng ta là tuyến tính (nếu, như chúng ta vẫn giả thiết, các L và các C không biến thiên theo các dòng điện hay điện áp) thì cái đi ra khỏi bộ lọc là sự chồng chập của các đầu ra cho mỗi thành phần ở đầu vào. Nếu chúng ta sắp xếp sao cho tần số cắt ω₀ của bộ lọc của chúng ta thấp hơn hẳn tần số thấp nhất trong hàm V(t), thành phần dc (mà đối với nó ω = 0) đi qua tốt, nhưng biên độ của hài thứ nhất sẽ bị cắt đi rất nhiều. Và biên độ của các hài cao hơn sẽ bị cắt còn nhiều hơn nữa. Vậy chúng ta có thể làm đầu ra phẳng như chúng ta muốn, chỉ tùy thuộc vào số mắt lọc chúng ta sẵn lòng mua.

Một bộ lọc thông cao được dùng nếu người ta muốn loại bỏ một số tần số thấp nhất định. Chẳng hạn, trong một bộ khuếch đại máy hát, một bộ lọc thông cao có thể được dùng để cho âm nhạc đi qua, trong khi chặn tiếng ầm ầm trầm từ động cơ của bàn quay đĩa.

Cũng có thể làm các bộ lọc “thông dải” loại bỏ các tần số dưới một tần số nào đó ω₁ và trên một tần số khác ω₂ (lớn hơn ω₁), nhưng cho qua các tần số giữa ω₁ và ω₂. Điều này có thể được làm đơn giản bằng cách ghép một bộ lọc thông cao và một bộ lọc thông thấp lại với nhau, nhưng thường nó được làm bằng cách tạo một mạng thang trong đó các trở kháng z₁ và z₂ phức tạp hơn — mỗi cái là một tổ hợp của các L và các C. Một bộ lọc thông dải như vậy có thể có một hằng số truyền như được chỉ trong Hình 22–25(a). Nó có thể được dùng, chẳng hạn, trong việc tách các tín hiệu chỉ chiếm một khoảng tần số, như mỗi kênh trong nhiều kênh thoại trong một cáp điện thoại tần số cao, hay sóng mang đã điều biến của một truyền dẫn vô tuyến.

Chúng ta đã thấy trong Chương 25 của Tập I rằng việc lọc như vậy cũng có thể được thực hiện bằng cách dùng tính chọn lọc của một đường cong cộng hưởng thông thường, mà chúng ta đã vẽ để so sánh trong Hình 22–25(b). Nhưng bộ lọc cộng hưởng không tốt bằng bộ lọc thông dải cho một số mục đích. Bạn sẽ nhớ (Chương 48, Tập I) rằng khi một sóng mang có tần số ω_c được điều biến bằng một tần số “tín hiệu” ω_s, tín hiệu toàn phần chứa không chỉ tần số sóng mang mà còn hai tần số dải biên ω_c + ω_s và ω_c − ω_s. Với một bộ lọc cộng hưởng, các dải biên này luôn bị suy giảm đôi chút, và sự suy giảm càng lớn khi tần số tín hiệu càng cao, như bạn có thể thấy từ hình. Vậy có một “đáp ứng tần số” kém. Các nốt nhạc cao không đi qua được. Nhưng nếu việc lọc được thực hiện bằng một bộ lọc thông dải được thiết kế sao cho độ rộng ω₂ − ω₁ ít nhất gấp đôi tần số tín hiệu cao nhất, đáp ứng tần số sẽ “phẳng” đối với các tín hiệu mong muốn.

Chúng ta muốn nói thêm một điểm nữa về bộ lọc thang: mạng thang L–C của Hình 22–20 cũng là một biểu diễn gần đúng của một đường truyền. Nếu chúng ta có một vật dẫn dài chạy song song với một vật dẫn khác — như một sợi dây trong một cáp đồng trục, hay một sợi dây treo trên mặt đất — sẽ có một điện dung nào đó giữa hai vật dẫn và cũng có một điện cảm nào đó do từ trường giữa chúng. Nếu chúng ta hình dung đường dây bị chia thành các đoạn nhỏ Δℓ, mỗi đoạn sẽ trông như một mắt của mạng thang L–C với một điện cảm nối tiếp ΔL và một điện dung song song ΔC. Khi đó chúng ta có thể dùng các kết quả của mình cho bộ lọc thang. Nếu chúng ta lấy giới hạn khi Δℓ tiến tới không, chúng ta có một mô tả tốt về đường truyền. Hãy để ý rằng khi Δℓ được làm ngày càng nhỏ, cả ΔL và ΔC đều giảm, nhưng theo cùng một tỉ lệ, sao cho tỉ số ΔL/ΔC vẫn không đổi. Vậy nếu chúng ta lấy giới hạn của phương trình (22.28) khi ΔL và ΔC tiến tới không, chúng ta thấy rằng trở kháng đặc tính z₀ là một điện trở thuần mà độ lớn của nó là √(ΔL/ΔC). Chúng ta cũng có thể viết tỉ số ΔL/ΔC thành L₀/C₀, trong đó L₀ và C₀ là điện cảm và điện dung của một đơn vị độ dài của đường dây; khi đó ta có

z₀ = √(L₀/C₀).   (22.33)

Bạn cũng sẽ để ý rằng khi ΔL và ΔC tiến tới không, tần số cắt ω₀ = √(4/LC) tiến tới vô hạn. Không có tần số cắt đối với một đường truyền lý tưởng.

22–8  Các phần tử mạch khác

Cho tới nay chúng ta mới chỉ định nghĩa các trở kháng mạch lý tưởng — điện cảm, điện dung và điện trở — cũng như máy phát điện áp lý tưởng. Bây giờ chúng ta muốn chỉ ra rằng các phần tử khác, như hỗ cảm hay transistor hay đèn điện tử, có thể được mô tả bằng cách chỉ dùng cùng các phần tử cơ bản đó. Giả sử chúng ta có hai cuộn dây và, cố ý hay không, một phần từ thông từ một trong các cuộn dây móc vòng qua cuộn kia, như trong Hình 22–26(a). Khi đó hai cuộn dây sẽ có một hỗ cảm M sao cho khi dòng điện biến thiên trong một cuộn dây, sẽ có một điện áp được sinh ra trong cuộn kia. Chúng ta có thể tính đến một hiệu ứng như vậy trong các mạch tương đương của mình không? Chúng ta có thể theo cách sau. Chúng ta đã thấy rằng các sđđ cảm ứng trong mỗi cuộn trong hai cuộn tương tác có thể được viết thành tổng của hai phần:

ℰ₁ = −L₁ dI₁/dt ± M dI₂/dt,
ℰ₂ = −L₂ dI₂/dt ± M dI₁/dt.   (22.34)

Số hạng thứ nhất đến từ tự cảm của cuộn dây, và số hạng thứ hai đến từ hỗ cảm của nó với cuộn dây kia. Dấu của số hạng thứ hai có thể là cộng hay trừ, tùy thuộc vào cách từ thông từ một cuộn dây móc vòng qua cuộn kia. Thực hiện cùng các xấp xỉ chúng ta đã dùng khi mô tả một cuộn cảm lý tưởng, chúng ta sẽ nói rằng hiệu điện thế giữa các cực của mỗi cuộn dây bằng suất điện động trong cuộn dây. Khi đó hai phương trình của (22.34) là cùng các phương trình chúng ta sẽ thu được từ mạch của Hình 22–26(b), với điều kiện suất điện động trong mỗi mạch trong hai mạch được chỉ ra phụ thuộc vào dòng điện trong mạch đối diện theo các hệ thức

ℰ₁ = ±iωMI₂,    ℰ₂ = ±iωMI₁.   (22.35)

Vậy điều chúng ta có thể làm là biểu diễn hiệu ứng của tự cảm theo cách thông thường nhưng thay hiệu ứng của hỗ cảm bằng một máy phát điện áp lý tưởng phụ trợ. Dĩ nhiên, chúng ta còn phải có thêm phương trình liên hệ sđđ này với dòng điện trong một phần nào đó khác của mạch; nhưng chừng nào phương trình này còn tuyến tính, chúng ta chỉ vừa cộng thêm nhiều phương trình tuyến tính nữa vào các phương trình mạch của mình, và mọi kết luận trước đây của chúng ta về các mạch tương đương và vân vân vẫn đúng.

Ngoài hỗ cảm cũng có thể có hỗ dung. Cho tới nay, khi chúng ta nói về các tụ điện, chúng ta luôn hình dung rằng chỉ có hai điện cực, nhưng trong nhiều tình huống, chẳng hạn trong một đèn điện tử, có thể có nhiều điện cực ở gần nhau. Nếu chúng ta đặt một điện tích lên bất kỳ điện cực nào trong các điện cực, điện trường của nó sẽ cảm ứng các điện tích trên mỗi điện cực khác và ảnh hưởng tới điện thế của nó. Chẳng hạn, hãy xét cách sắp xếp bốn bản được chỉ trong Hình 22–27(a). Giả sử bốn bản này được nối với các mạch bên ngoài bằng các sợi dây A, B, C và D. Chừng nào chúng ta chỉ lo về các hiệu ứng tĩnh điện, mạch tương đương của một cách sắp xếp các điện cực như vậy là như được chỉ trong phần (b) của hình. Sự tương tác tĩnh điện của bất kỳ điện cực nào với mỗi điện cực khác tương đương với một điện dung giữa hai điện cực.

Cuối cùng, hãy xét cách chúng ta nên biểu diễn các thiết bị phức tạp như transistor và đèn vô tuyến trong một mạch điện xoay chiều. Cần chỉ ra ngay từ đầu rằng các thiết bị như vậy thường được vận hành theo cách mà hệ thức giữa các dòng điện và điện áp không hề tuyến tính. Trong các trường hợp như vậy, những phát biểu chúng ta đã đưa ra mà phụ thuộc vào tính tuyến tính của các phương trình, dĩ nhiên, không còn đúng nữa. Mặt khác, trong nhiều ứng dụng, các đặc tính vận hành đủ tuyến tính để chúng ta có thể coi transistor và đèn là các thiết bị tuyến tính. Bởi điều này chúng ta hiểu rằng các dòng điện xoay chiều trong, chẳng hạn, anốt (plate) của một đèn điện tử tỉ lệ tuyến tính với các điện áp xuất hiện trên các điện cực khác, chẳng hạn điện áp lưới và điện áp anốt. Khi chúng ta có các hệ thức tuyến tính như vậy, chúng ta có thể đưa thiết bị vào biểu diễn mạch tương đương của mình.

Như trong trường hợp hỗ cảm, biểu diễn của chúng ta sẽ phải bao gồm các máy phát điện áp phụ trợ mô tả ảnh hưởng của các điện áp hay dòng điện trong một phần của thiết bị lên các dòng điện hay điện áp trong một phần khác. Chẳng hạn, mạch anốt của một triode thường có thể được biểu diễn bằng một điện trở mắc nối tiếp với một máy phát điện áp lý tưởng mà cường độ nguồn của nó tỉ lệ với điện áp lưới. Chúng ta được mạch tương đương được chỉ trong Hình 22–28.² Tương tự, mạch collector của một transistor được biểu diễn một cách thuận tiện như một điện trở mắc nối tiếp với một máy phát điện áp lý tưởng mà cường độ nguồn của nó tỉ lệ với dòng điện từ emitter tới base của transistor. Mạch tương đương khi đó như trong Hình 22–29. Chừng nào các phương trình mô tả hoạt động là tuyến tính, chúng ta có thể dùng các biểu diễn như vậy cho đèn hay transistor. Sau đó, khi chúng được đưa vào một mạng phức tạp, các kết luận tổng quát của chúng ta về biểu diễn tương đương của bất kỳ sự nối kết tùy ý nào của các phần tử vẫn còn giá trị.

Có một điều đáng chú ý về các mạch transistor và đèn vô tuyến khác với các mạch chỉ chứa các trở kháng: phần thực của trở kháng hiệu dụng z_eff có thể trở nên âm. Chúng ta đã thấy rằng phần thực của z biểu diễn sự mất năng lượng. Nhưng đặc tính quan trọng của transistor và đèn là chúng cung cấp năng lượng cho mạch. (Dĩ nhiên chúng không chỉ “tạo ra” năng lượng; chúng lấy năng lượng từ các mạch dc của các bộ nguồn và chuyển hóa nó thành năng lượng ac.) Vậy có thể có một mạch với một điện trở âm. Một mạch như vậy có tính chất là nếu bạn nối nó vào một trở kháng có phần thực dương, tức là một điện trở dương, và sắp xếp mọi thứ sao cho tổng của hai phần thực đúng bằng không, khi đó không có sự tiêu tán trong mạch kết hợp. Nếu không có sự mất năng lượng, bất kỳ điện áp xoay chiều nào một khi đã bắt đầu sẽ còn mãi mãi. Đây là ý tưởng cơ bản đằng sau hoạt động của một bộ dao động hay máy phát tín hiệu có thể được dùng làm nguồn điện áp xoay chiều ở bất kỳ tần số mong muốn nào.