Chương 26: Các phép biến đổi Lorentz của các trường

26–1  Bốn-thế của một điện tích chuyển động

Ở chương trước, chúng ta đã thấy rằng thế A_μ = (φ, A) là một bốn-vector. Thành phần thời gian là thế vô hướng φ, và ba thành phần không gian là thế vector A. Chúng ta cũng đã tính ra các thế của một hạt chuyển động với tốc độ đều trên một đường thẳng bằng cách dùng phép biến đổi Lorentz. (Chúng ta đã tìm được chúng bằng một phương pháp khác trong Chương 21.) Đối với một điện tích điểm mà vị trí của nó tại thời điểm t là (vt, 0, 0), các thế tại điểm (x, y, z) là

φ = [1/(4πε₀√(1 − v²))] · q/[(x − vt)²/(1 − v²) + y² + z²]^1/2,

A_x = [1/(4πε₀√(1 − v²))] · qv/[(x − vt)²/(1 − v²) + y² + z²]^1/2,

A_y = A_z = 0.   (26.1)

Các phương trình (26.1) cho các thế tại x, y và z tại thời điểm t, đối với một điện tích mà vị trí “hiện tại” của nó (theo nghĩa vị trí tại thời điểm t) là ở x = vt. Lưu ý rằng các phương trình được viết theo (x − vt), y và z, là các tọa độ đo từ vị trí hiện tại P của điện tích đang chuyển động (xem Hình 26–1). Ảnh hưởng thực sự, như chúng ta biết, truyền đi với tốc độ c, nên chính hành trạng của điện tích ở vị trí trễ P′ mới thực sự quan trọng.¹ Điểm P′ ở x = vt′ (trong đó t′ = t − r′/c là thời gian trễ). Nhưng chúng ta đã nói rằng điện tích chuyển động với vận tốc đều trên một đường thẳng, nên hiển nhiên hành trạng tại P′ và vị trí hiện tại liên hệ trực tiếp với nhau. Thực ra, nếu chúng ta thêm giả thiết rằng các thế chỉ phụ thuộc vào vị trí và vận tốc tại thời điểm trễ, chúng ta có trong các phương trình (26.1) một công thức đầy đủ cho các thế của một điện tích chuyển động theo bất kỳ cách nào. Nó vận hành như sau. Giả sử bạn có một điện tích chuyển động theo một cách tùy ý nào đó, chẳng hạn với quỹ đạo trong Hình 26–2, và bạn đang cố tìm các thế tại điểm (x, y, z). Trước hết, bạn tìm vị trí trễ P′ và vận tốc v′ tại điểm đó. Sau đó bạn tưởng tượng rằng điện tích sẽ tiếp tục chuyển động với vận tốc này trong suốt thời gian trễ (t′ − t), sao cho nó sẽ xuất hiện tại một vị trí tưởng tượng P_proj, mà chúng ta có thể gọi là “vị trí chiếu”, và sẽ tới đó với vận tốc v′. (Dĩ nhiên, nó không làm vậy; vị trí thật của nó tại t là ở P.) Khi đó các thế tại (x, y, z) đúng là những gì các phương trình (26.1) sẽ cho đối với điện tích tưởng tượng tại vị trí chiếu P_proj. Điều chúng ta đang nói là: vì các thế chỉ phụ thuộc vào những gì điện tích đang làm tại thời điểm trễ, các thế sẽ như nhau dù điện tích tiếp tục chuyển động với vận tốc không đổi hay nó thay đổi vận tốc sau t′ — tức là, sau khi các thế sắp xuất hiện tại (x, y, z) tại thời điểm t đã được quyết định xong.

Dĩ nhiên, bạn biết rằng ngay khi chúng ta có công thức cho các thế từ một điện tích chuyển động theo bất kỳ cách nào, chúng ta có toàn bộ điện động lực học; chúng ta có thể nhận được các thế của bất kỳ phân bố điện tích nào bằng phép chồng chất. Vì vậy chúng ta có thể tóm tắt mọi hiện tượng của điện động lực học hoặc bằng cách viết các phương trình Maxwell, hoặc bằng chuỗi nhận xét sau đây. (Hãy nhớ chúng phòng khi bạn bị lạc trên một hoang đảo. Từ chúng, mọi thứ đều có thể được tái dựng lại. Dĩ nhiên, bạn sẽ biết phép biến đổi Lorentz; bạn sẽ không bao giờ quên nó, trên hoang đảo hay ở bất cứ đâu.)

Thứ nhất, A_μ là một bốn-vector. Thứ hai, thế Coulomb của một điện tích đứng yên là q/4πε₀r. Thứ ba, các thế do một điện tích chuyển động theo bất kỳ cách nào tạo ra chỉ phụ thuộc vào vận tốc và vị trí tại thời điểm trễ. Với ba sự kiện đó, chúng ta có mọi thứ. Từ sự kiện A_μ là một bốn-vector, chúng ta biến đổi thế Coulomb mà chúng ta đã biết, và nhận được các thế cho vận tốc không đổi. Rồi, bằng khẳng định cuối cùng rằng các thế chỉ phụ thuộc vào vận tốc quá khứ tại thời điểm trễ, chúng ta có thể dùng trò “vị trí chiếu” để tìm chúng. Đó không phải là một cách làm đặc biệt hữu ích, nhưng thật thú vị khi thấy rằng các định luật vật lý có thể được diễn đạt theo nhiều cách khác nhau đến thế.

Đôi khi người ta nói một cách cẩu thả rằng toàn bộ điện động lực học có thể được suy ra chỉ từ phép biến đổi Lorentz và định luật Coulomb. Dĩ nhiên, điều đó hoàn toàn sai. Trước hết, chúng ta phải giả thiết rằng có một thế vô hướng và một thế vector, mà hợp lại thành một bốn-vector. Điều đó cho chúng ta biết các thế biến đổi như thế nào. Thế thì tại sao chỉ những ảnh hưởng tại thời điểm trễ mới quan trọng? Hơn nữa, tại sao các thế chỉ phụ thuộc vào vị trí và vận tốc mà không phụ thuộc, chẳng hạn, vào gia tốc? Các trường E và B thì có phụ thuộc vào gia tốc. Nếu bạn thử đưa ra cùng một lập luận như vậy đối với chúng, bạn sẽ nói rằng chúng chỉ phụ thuộc vào vị trí và vận tốc tại thời điểm trễ. Nhưng khi đó các trường từ một điện tích đang tăng tốc sẽ giống như các trường từ một điện tích tại vị trí chiếu — điều này sai. Các trường phụ thuộc không chỉ vào vị trí và vận tốc dọc đường đi mà còn vào gia tốc. Vì vậy có vài giả thiết ngầm bổ sung trong phát biểu hoành tráng rằng mọi thứ đều có thể suy ra từ phép biến đổi Lorentz. (Mỗi khi bạn thấy một phát biểu bao quát rằng một lượng khổng lồ có thể xuất phát từ một số rất ít giả thiết, bạn luôn thấy rằng nó sai. Thường có một số lượng lớn các giả thiết ngầm mà xa mới thấy rõ nếu bạn suy nghĩ về chúng đủ cẩn thận.)

26–2  Các trường của một điện tích điểm có vận tốc không đổi

Bây giờ khi đã có các thế từ một điện tích điểm chuyển động với vận tốc không đổi, chúng ta nên tìm các trường — vì những lý do thực tế. Có nhiều trường hợp chúng ta có các hạt chuyển động đều — chẳng hạn, các tia vũ trụ đi qua một buồng mây, hay thậm chí các electron chuyển động chậm trong một sợi dây. Vậy ít nhất hãy xem các trường thực sự trông như thế nào đối với bất kỳ tốc độ nào — ngay cả với các tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng — chỉ giả thiết rằng không có gia tốc. Đó là một câu hỏi thú vị.

Chúng ta nhận được các trường từ các thế theo các quy tắc thông thường:

E = −∇φ − ∂A/∂t,    B = ∇×A.

Trước hết, đối với E_z

E_z = −∂φ/∂z − ∂A_z/∂t.

Nhưng A_z bằng không; vậy lấy đạo hàm φ trong các phương trình (26.1), chúng ta được

E_z = [q/(4πε₀√(1 − v²))] · z/[(x − vt)²/(1 − v²) + y² + z²]^3/2.   (26.2)

Tương tự, đối với E_y,

E_y = [q/(4πε₀√(1 − v²))] · y/[(x − vt)²/(1 − v²) + y² + z²]^3/2.   (26.3)

Thành phần x tốn công hơn một chút. Đạo hàm của φ phức tạp hơn và A_x không bằng không. Trước hết,

−∂φ/∂x = [q/(4πε₀√(1 − v²))] · [(x − vt)/(1 − v²)]/[(x − vt)²/(1 − v²) + y² + z²]^3/2.   (26.4)

Sau đó, lấy đạo hàm A_x theo t, chúng ta tìm được

−∂A_x/∂t = [q/(4πε₀√(1 − v²))] · [−v²(x − vt)/(1 − v²)]/[(x − vt)²/(1 − v²) + y² + z²]^3/2.   (26.5)

Và cuối cùng, lấy tổng,

E_x = [q/(4πε₀√(1 − v²))] · (x − vt)/[(x − vt)²/(1 − v²) + y² + z²]^3/2.   (26.6)

Chúng ta sẽ xem xét vật lý của E trong chốc lát; trước hết hãy tìm B. Đối với thành phần z,

B_z = ∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y.

Vì A_y bằng không, chúng ta chỉ có một đạo hàm phải tính. Tuy nhiên, lưu ý rằng A_x đúng bằng vφ, và đạo hàm theo y của vφ đúng bằng −vE_y. Vậy

B_z = vE_y.   (26.7)

Tương tự,

B_y = ∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x = +v ∂φ/∂z,

và

B_y = −vE_z.   (26.8)

Cuối cùng, B_x bằng không, vì cả A_y và A_z đều bằng không. Chúng ta có thể viết từ trường đơn giản là

B = v×E.   (26.9)

Bây giờ hãy xem các trường trông như thế nào. Chúng ta sẽ thử vẽ một bức tranh của trường tại các vị trí khác nhau quanh vị trí hiện tại của điện tích. Đúng là ảnh hưởng của điện tích, theo một nghĩa nào đó, đến từ vị trí trễ; nhưng vì chuyển động được xác định chính xác, vị trí trễ được cho một cách duy nhất theo vị trí hiện tại. Đối với vận tốc đều, việc liên hệ các trường với vị trí hiện tại thì thuận tiện hơn, bởi vì các thành phần trường tại (x, y, z) chỉ phụ thuộc vào (x − vt), y và z — là các thành phần của độ dời r từ vị trí hiện tại tới (x, y, z) (xem Hình 26–3).

Xét trước hết một điểm với z = 0. Khi đó E chỉ có các thành phần x và y. Từ các phương trình (26.3) và (26.6), tỉ số của các thành phần này đúng bằng tỉ số của các thành phần x và y của độ dời. Điều đó có nghĩa là E có cùng hướng với r, như trong Hình 26–3. Vì E_z cũng tỉ lệ với z, rõ ràng kết quả này đúng trong ba chiều. Tóm lại, điện trường hướng xuyên tâm ra từ điện tích, và các đường sức tỏa trực tiếp ra khỏi điện tích, đúng như chúng đối với một điện tích đứng yên. Dĩ nhiên, trường không hoàn toàn giống như đối với điện tích đứng yên, vì mọi thừa số phụ (1 − v²). Nhưng chúng ta có thể chỉ ra một điều khá thú vị. Sự khác biệt đúng là những gì bạn nhận được nếu bạn vẽ trường Coulomb với một hệ tọa độ kỳ cục, trong đó thang đo của x bị nén lại bởi thừa số √(1 − v²). Nếu bạn làm vậy, các đường sức sẽ trải ra ở phía trước và phía sau điện tích và bị ép lại với nhau quanh hai bên, như trong Hình 26–4.

Nếu chúng ta liên hệ cường độ của E với mật độ của các đường sức theo cách thông thường, chúng ta thấy một trường mạnh hơn ở hai bên và một trường yếu hơn ở phía trước và phía sau, đúng như các phương trình nói. Trước hết, nếu chúng ta nhìn vào cường độ của trường ở các góc vuông với đường chuyển động, tức là đối với (x − vt) = 0, khoảng cách từ điện tích là √(y² + z²). Ở đây cường độ trường toàn phần là √(E_y² + E_z²), bằng

E = [q/(4πε₀√(1 − v²))] · 1/(y² + z²).   (26.10)

Trường tỉ lệ với nghịch đảo bình phương của khoảng cách — đúng như trường Coulomb, ngoại trừ việc được tăng lên bởi thừa số phụ không đổi 1/√(1 − v²), thừa số này luôn lớn hơn một. Vậy ở hai bên của một điện tích đang chuyển động, điện trường mạnh hơn trường bạn nhận được từ định luật Coulomb. Thực ra, trường theo hướng ngang lớn hơn thế Coulomb theo tỉ số của năng lượng của hạt so với khối lượng nghỉ của nó.

Ở phía trước điện tích (và phía sau), y và z bằng không và

E = E_x = q(1 − v²)/(4πε₀(x − vt)²).   (26.11)

Trường một lần nữa biến thiên theo nghịch đảo bình phương của khoảng cách từ điện tích nhưng bây giờ bị giảm bởi thừa số (1 − v²), phù hợp với bức tranh các đường sức. Nếu v/c nhỏ, v²/c² còn nhỏ hơn, và ảnh hưởng của các số hạng (1 − v²) rất nhỏ; chúng ta quay lại định luật Coulomb. Nhưng nếu một hạt chuyển động rất gần tốc độ ánh sáng, trường theo hướng về phía trước bị giảm đi rất nhiều, và trường theo hướng ngang tăng lên rất nhiều.

Kết quả của chúng ta về điện trường của một điện tích có thể được diễn đạt như sau: Giả sử bạn vẽ trên một tờ giấy các đường sức của một điện tích đứng yên, rồi cho bức tranh chuyển động với tốc độ v. Khi đó, dĩ nhiên, toàn bộ bức tranh sẽ bị nén bởi sự co Lorentz; tức là, các hạt carbon trên giấy sẽ xuất hiện ở những chỗ khác nhau. Điều kỳ diệu là bức tranh bạn sẽ thấy khi trang giấy bay qua vẫn biểu diễn các đường sức của điện tích điểm. Sự co rút di chuyển chúng lại gần nhau hơn ở hai bên và trải chúng ra ở phía trước và phía sau, đúng theo cách cần thiết để cho mật độ đường sức đúng. Trước đây chúng ta đã nhấn mạnh rằng các đường sức không có thật mà chỉ là một cách biểu diễn trường. Tuy nhiên, ở đây chúng gần như có vẻ có thật. Trong trường hợp đặc biệt này, nếu bạn mắc sai lầm khi nghĩ rằng các đường sức bằng cách nào đó thực sự ở đó trong không gian, và biến đổi chúng, bạn nhận được trường đúng. Tuy nhiên, điều đó không làm cho các đường sức trở nên thực hơn chút nào. Tất cả những gì bạn cần làm để tự nhắc mình rằng chúng không có thật là nghĩ về các điện trường do một điện tích cùng với một nam châm tạo ra; khi nam châm chuyển động, các điện trường mới được tạo ra, và phá hủy bức tranh đẹp đẽ. Vậy ý tưởng gọn gàng về bức tranh co rút không hoạt động nói chung. Tuy nhiên, nó là một cách tiện lợi để nhớ các trường từ một điện tích chuyển động nhanh trông như thế nào.

Từ trường là v×E [từ phương trình (26.9)]. Nếu bạn lấy tích có hướng của vận tốc với một trường E xuyên tâm, bạn nhận được một B quấn quanh đường chuyển động, như trong Hình 26–5. Nếu chúng ta đặt lại các c, bạn sẽ thấy đó là cùng kết quả chúng ta đã có cho các điện tích tốc độ thấp. Một cách tốt để thấy các c phải đi đâu là quay lại định luật lực,

F = q(E + v×B).

Bạn thấy rằng một vận tốc nhân với một từ trường có cùng thứ nguyên như một điện trường. Vậy vế phải của phương trình (26.9) phải có một thừa số 1/c²:

B = (v×E)/c².   (26.12)

Đối với một điện tích chuyển động chậm (v ≪ c), chúng ta có thể lấy trường Coulomb cho E; khi đó

B = [q/(4πε₀c²)] · (v×r)/r³.   (26.13)

Công thức này tương ứng chính xác với các phương trình cho từ trường của một dòng điện mà chúng ta đã tìm trong Mục 14–7.

Nhân tiện, chúng tôi muốn chỉ ra một điều thú vị để bạn suy nghĩ. (Chúng ta sẽ quay lại thảo luận về nó sau.) Hãy tưởng tượng hai proton với các vận tốc vuông góc với nhau, sao cho một proton sẽ băng qua đường đi của proton kia, nhưng ở phía trước nó, để chúng không va chạm. Tại một thời điểm nào đó, vị trí tương đối của chúng sẽ như trong Hình 26–6(a). Chúng ta xét lực tác dụng lên q₁ do q₂ và ngược lại. Trên q₂ chỉ có lực điện từ q₁, vì q₁ không tạo ra từ trường dọc theo đường chuyển động của nó. Tuy nhiên, trên q₁, lại có lực điện nhưng, thêm vào đó, một lực từ, vì nó đang chuyển động trong trường B do q₂ tạo ra. Các lực được vẽ như trong Hình 26–6(b). Các lực điện trên q₁ và q₂ bằng nhau và ngược chiều. Tuy nhiên, có một lực ngang (từ) tác dụng lên q₁ và không có lực ngang nào tác dụng lên q₂. Phải chăng tác dụng không bằng phản tác dụng? Chúng tôi để bạn tự lo nghĩ về điều đó.

26–3  Phép biến đổi tương đối tính của các trường

Trong mục trước chúng ta đã tính điện trường và từ trường từ các thế đã biến đổi. Các trường, dĩ nhiên, là quan trọng, bất chấp các lập luận đã đưa ra trước đây rằng các thế có ý nghĩa vật lý và tính thực tại. Các trường cũng có thật. Đối với nhiều mục đích, sẽ thuận tiện nếu có một cách tính các trường trong một hệ đang chuyển động nếu bạn đã biết các trường trong một hệ “nghỉ” nào đó. Chúng ta có các định luật biến đổi cho φ và A, bởi vì A_μ là một bốn-vector. Bây giờ chúng ta muốn biết các định luật biến đổi của E và B. Cho E và B trong một hệ quy chiếu, chúng trông như thế nào trong một hệ quy chiếu khác đang chuyển động qua? Đó là một phép biến đổi thuận tiện nên có. Chúng ta luôn có thể lần ngược lại qua các thế, nhưng đôi khi việc biến đổi trực tiếp các trường là hữu ích. Bây giờ chúng ta sẽ xem việc đó diễn ra như thế nào.

Làm thế nào chúng ta tìm được các định luật biến đổi của các trường? Chúng ta biết các định luật biến đổi của φ và A, và chúng ta biết các trường được cho theo φ và A như thế nào — hẳn phải dễ dàng tìm ra phép biến đổi cho B và E. (Bạn có thể nghĩ rằng với mỗi vector phải có một cái gì đó đi kèm để biến nó thành một bốn-vector, nên với E phải có một cái gì đó khác chúng ta có thể dùng làm thành phần thứ tư. Và với B cũng vậy. Nhưng không phải vậy. Nó khá khác với những gì bạn có thể kỳ vọng.) Để bắt đầu, hãy lấy chỉ một từ trường B, mà dĩ nhiên là ∇×A. Bây giờ chúng ta biết rằng thế vector với các thành phần x, y và z của nó chỉ là một phần của một cái gì đó; còn có một thành phần t nữa. Chúng ta cũng biết rằng đối với các đạo hàm như ∇, ngoài các phần x, y, z, còn có một đạo hàm theo t. Vậy hãy thử tìm xem điều gì xảy ra nếu chúng ta thay một “y” bằng một “t”, hay một “z” bằng một “t”, hay một cái gì đó như vậy.

Trước hết, hãy lưu ý dạng của các số hạng trong ∇×A khi chúng ta viết ra các thành phần:

B_x = ∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z,    B_y = ∂A_x/∂z − ∂A_z/∂x,    B_z = ∂A_y/∂x − ∂A_x/∂y.   (26.14)

Thành phần x bằng một cặp số hạng chỉ liên quan tới các thành phần y và z. Giả sử chúng ta gọi tổ hợp các đạo hàm và các thành phần này là một “vật-zy”, và cho nó một tên viết tắt, F_zy. Chúng ta chỉ đơn giản có ý rằng

F_zy ≡ ∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z.   (26.15)

Tương tự, B_y bằng cùng một loại “vật”, nhưng lần này nó là một “vật-xz”. Và B_z, dĩ nhiên, là “vật-yx” tương ứng. Chúng ta có

B_x = F_zy,    B_y = F_xz,    B_z = F_yx.   (26.16)

Bây giờ điều gì xảy ra nếu chúng ta đơn giản thử bịa ra cả một số “vật” loại t như F_xt và F_tz (vì tự nhiên hẳn phải đẹp và đối xứng trong x, y, z và t)? Chẳng hạn, F_tz là gì? Dĩ nhiên, nó là

∂A_t/∂z − ∂A_z/∂t.

Nhưng hãy nhớ rằng A_t = φ, nên nó cũng là

∂φ/∂z − ∂A_z/∂t.

Bạn đã thấy điều đó trước đây. Nó là thành phần z của E. À, gần như vậy — có một dấu sai. Nhưng chúng ta đã quên rằng trong gradient bốn chiều, đạo hàm theo t có dấu ngược với x, y và z. Vậy thực ra chúng ta nên lấy phần mở rộng nhất quán hơn của F_tz, là

F_tz = ∂A_t/∂z + ∂A_z/∂t.   (26.17)

Khi đó nó đúng bằng −E_z. Thử cả F_tx và F_ty, chúng ta thấy ba khả năng cho ra

F_tx = −E_x,    F_ty = −E_y,    F_tz = −E_z.   (26.18)

Điều gì xảy ra nếu cả hai chỉ số dưới đều là t? Hay, cũng vậy, nếu cả hai đều là x? Chúng ta nhận được những thứ như

F_tt = ∂A_t/∂t − ∂A_t/∂t,

và

F_xx = ∂A_x/∂x − ∂A_x/∂x,

chúng cho không gì ngoài zero.

Vậy chúng ta có sáu vật F này. Còn sáu vật nữa mà bạn nhận được bằng cách đảo ngược các chỉ số dưới, nhưng chúng không cho điều gì thực sự mới, vì

F_xy = −F_yx,

vân vân. Vậy, trong mười sáu tổ hợp có thể của bốn chỉ số dưới lấy từng cặp, chúng ta chỉ nhận được sáu đối tượng vật lý khác nhau; và chúng là các thành phần của B và E.

Để biểu diễn số hạng tổng quát của F, chúng ta sẽ dùng các chỉ số dưới tổng quát μ và ν, trong đó mỗi chỉ số có thể là 0, 1, 2 hoặc 3 — nghĩa là, trong ký hiệu bốn-vector thông thường của chúng ta, t, x, y và z. Ngoài ra, mọi thứ sẽ nhất quán với ký hiệu bốn-vector của chúng ta nếu chúng ta định nghĩa F_μν bởi

F_μν = ∇_μA_ν − ∇_νA_μ,   (26.19)

hãy nhớ rằng ∇_μ = (∂/∂t, −∂/∂x, −∂/∂y, −∂/∂z) và rằng A_μ = (φ, A_x, A_y, A_z).

Những gì chúng ta đã tìm thấy là có sáu đại lượng thuộc về nhau trong tự nhiên — là các khía cạnh khác nhau của cùng một thứ. Điện trường và từ trường mà chúng ta đã xét như các vector riêng biệt trong thế giới chuyển động chậm của chúng ta (nơi chúng ta không lo về tốc độ ánh sáng) không phải là các vector trong không-thời gian bốn chiều. Chúng là các phần của một “thứ” mới. “Trường” vật lý của chúng ta thực ra là đối tượng sáu thành phần F_μν. Đó là cách chúng ta phải nhìn nó đối với thuyết tương đối. Chúng ta tóm tắt các kết quả của mình về F_μν trong Bảng 26–1.

Bạn thấy rằng những gì chúng ta đã làm ở đây là tổng quát hóa tích có hướng. Chúng ta bắt đầu với phép toán curl (rota), và sự kiện rằng các tính chất biến đổi của rota cũng giống như các tính chất biến đổi của hai vector — vector ba chiều thông thường A và toán tử gradient, mà chúng ta cũng biết hành xử như một vector. Hãy nhìn trong chốc lát vào một tích có hướng thông thường trong ba chiều, chẳng hạn, mômen động lượng của một hạt. Khi một vật chuyển động trong một mặt phẳng, đại lượng (xv_y − yv_x) là quan trọng. Đối với chuyển động trong ba chiều, có ba đại lượng quan trọng như vậy, mà chúng ta gọi là mômen động lượng:

L_xy = m(xv_y − yv_x),    L_yz = m(yv_z − zv_y),    L_zx = m(zv_x − xv_z).

Khi đó (dù bạn có thể đã quên vào lúc này) chúng ta đã khám phá trong Chương 20 của Tập I điều kỳ diệu là ba đại lượng này có thể được đồng nhất với các thành phần của một vector. Để làm vậy, chúng ta phải tạo ra một quy tắc nhân tạo với quy ước bàn tay phải. Đó chỉ là may mắn. Nó may mắn bởi vì L_ij (với i và j là x, y hoặc z) là một đối tượng phản đối xứng:

L_ij = −L_ji,    L_ii = 0.

Trong chín đại lượng có thể, chỉ có ba con số độc lập. Và thật tình cờ là khi bạn thay đổi hệ tọa độ, ba đối tượng này biến đổi đúng như các thành phần của một vector.

Điều tương tự cho phép chúng ta biểu diễn một yếu tố diện tích như một vector. Một yếu tố diện tích có hai phần — chẳng hạn dx và dy — mà chúng ta có thể biểu diễn bằng vector da pháp tuyến với mặt. Nhưng chúng ta không thể làm vậy trong bốn chiều. “Pháp tuyến” đối với dx dy là gì? Nó nằm dọc theo z hay dọc theo t?

Tóm lại, đối với ba chiều, tình cờ một cách may mắn là sau khi bạn đã lấy một tổ hợp của hai vector như L_ij, bạn lại có thể biểu diễn nó bằng một vector khác bởi vì có đúng ba số hạng tình cờ biến đổi như các thành phần của một vector. Nhưng trong bốn chiều, điều đó hiển nhiên là không thể, bởi vì có sáu số hạng độc lập, và bạn không thể biểu diễn sáu thứ bằng bốn thứ.

Ngay cả trong ba chiều cũng có thể có các tổ hợp của các vector mà không thể biểu diễn bằng các vector. Giả sử chúng ta lấy bất kỳ hai vector nào a = (a_x, a_y, a_z) và b = (b_x, b_y, b_z), và tạo các tổ hợp có thể khác nhau của các thành phần, như a_xb_x, a_xb_y, v.v. Sẽ có chín đại lượng có thể:

a_xb_x,   a_xb_y,   a_xb_z,
a_yb_x,   a_yb_y,   a_yb_z,
a_zb_x,   a_zb_y,   a_zb_z.

Chúng ta có thể gọi các đại lượng này là T_ij.

Nếu bây giờ chúng ta chuyển sang một hệ tọa độ đã quay (chẳng hạn quay quanh trục z), các thành phần của a và b thay đổi. Trong hệ mới, chẳng hạn, a_x được thay bằng

a_x′ = a_x cos θ + a_y sin θ,

và b_y được thay bằng

b_y′ = b_y cos θ − b_x sin θ.

Và tương tự đối với các thành phần khác. Dĩ nhiên, chín thành phần của đại lượng tích T_ij mà chúng ta đã bịa ra cũng đều thay đổi. Chẳng hạn, T_xy = a_xb_y thay đổi thành

T_xy′ = a_xb_y(cos²θ) − a_xb_x(cos θ sin θ) + a_yb_y(sin θ cos θ) − a_yb_x(sin²θ),

hay

T_xy′ = T_xy cos²θ − T_xx cos θ sin θ + T_yy sin θ cos θ − T_yx sin²θ.

Mỗi thành phần của T_ij′ là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần của T_ij.

Vậy chúng ta khám phá ra rằng không chỉ có thể có một “tích vector” như a×b có ba thành phần biến đổi như một vector, mà chúng ta còn có thể — một cách nhân tạo — tạo ra một loại “tích” khác của hai vector T_ij với chín thành phần biến đổi dưới một phép quay theo một tập hợp quy tắc phức tạp mà chúng ta có thể tìm ra. Một đối tượng như vậy có hai chỉ số để mô tả nó, thay vì một, được gọi là một tensor. Nó là một tensor “hạng hai”, bởi vì bạn cũng có thể chơi trò này với ba vector và nhận được một tensor hạng ba — hay với bốn, để nhận được một tensor hạng bốn, vân vân. Một tensor hạng nhất là một vector.

Điểm mấu chốt của tất cả những điều này là đại lượng điện từ F_μν của chúng ta cũng là một tensor hạng hai, bởi vì nó có hai chỉ số trong đó. Tuy nhiên, nó là một tensor trong bốn chiều. Nó biến đổi theo một cách đặc biệt mà chúng ta sẽ tính ra trong chốc lát — nó đúng là cách một tích của các vector biến đổi. Đối với F_μν, tình cờ xảy ra là nếu bạn đổi chỗ các chỉ số, F_μν đổi dấu. Đó là một trường hợp đặc biệt — nó là một tensor phản đối xứng. Vậy chúng ta nói: điện trường và từ trường đều là các phần của một tensor phản đối xứng hạng hai trong bốn chiều.

Bạn đã đi được một chặng đường dài. Hãy nhớ lại hồi chúng ta định nghĩa vận tốc có nghĩa là gì? Bây giờ chúng ta đang nói về “một tensor phản đối xứng hạng hai trong bốn chiều”.

Bây giờ chúng ta phải tìm định luật biến đổi của F_μν. Việc đó hoàn toàn không khó; nó chỉ tốn công — trí tuệ liên quan thì không có gì, nhưng công việc thì không ít. Những gì chúng ta muốn là phép biến đổi Lorentz của ∇_μA_ν − ∇_νA_μ. Vì ∇_μ chỉ là một trường hợp đặc biệt của một vector, chúng ta sẽ làm việc với tổ hợp vector phản đối xứng tổng quát, mà chúng ta có thể gọi là G_μν:

G_μν = a_μb_ν − a_νb_μ.   (26.20)

(Đối với mục đích của chúng ta, a_μ cuối cùng sẽ được thay bằng ∇_μ và b_μ sẽ được thay bằng thế A_μ.) Các thành phần của a_μ và b_μ biến đổi theo các công thức Lorentz, là

a_t′ = (a_t − va_x)/√(1 − v²),    b_t′ = (b_t − vb_x)/√(1 − v²),
a_x′ = (a_x − va_t)/√(1 − v²),    b_x′ = (b_x − vb_t)/√(1 − v²),
a_y′ = a_y,    b_y′ = b_y,
a_z′ = a_z,    b_z′ = b_z.   (26.21)

Bây giờ hãy biến đổi các thành phần của G_μν. Chúng ta bắt đầu với G_tx:

G_tx′ = a_t′b_x′ − a_x′b_t′ = [(a_t − va_x)/√(1 − v²)][(b_x − vb_t)/√(1 − v²)] − [(a_x − va_t)/√(1 − v²)][(b_t − vb_x)/√(1 − v²)] = a_tb_x − a_xb_t.

Nhưng đó đúng là G_tx; vậy chúng ta có kết quả đơn giản

G_tx′ = G_tx.

Chúng ta sẽ làm thêm một cái nữa.

G_ty′ = [(a_t − va_x)/√(1 − v²)] b_y − a_y [(b_t − vb_x)/√(1 − v²)] = [(a_tb_y − a_yb_t) − v(a_xb_y − a_yb_x)]/√(1 − v²).

Vậy chúng ta nhận được

G_ty′ = (G_ty − vG_xy)/√(1 − v²).

Và, dĩ nhiên, theo cùng cách,

G_tz′ = (G_tz − vG_xz)/√(1 − v²).

Rõ ràng phần còn lại sẽ diễn ra như thế nào. Hãy lập một bảng tất cả sáu số hạng; chỉ có điều bây giờ chúng ta cũng có thể viết chúng cho F_μν:

F_tx′ = F_tx,    F_xy′ = (F_xy − vF_ty)/√(1 − v²),
F_ty′ = (F_ty − vF_xy)/√(1 − v²),    F_yz′ = F_yz,
F_tz′ = (F_tz − vF_xz)/√(1 − v²),    F_zx′ = (F_zx − vF_zt)/√(1 − v²).   (26.22)

Dĩ nhiên, chúng ta vẫn có F_μν′ = −F_νμ′ và F_μμ′ = 0.

Vậy chúng ta đã có phép biến đổi của điện trường và từ trường. Tất cả những gì chúng ta phải làm là nhìn vào Bảng 26–1 để tìm ra ký hiệu hoành tráng của chúng ta theo F_μν có nghĩa là gì theo E và B. Nó chỉ là vấn đề thay thế. Để chúng ta có thể thấy nó trông như thế nào trong các ký hiệu thông thường, chúng ta sẽ viết lại phép biến đổi của các thành phần trường trong Bảng 26–2.

Các phương trình trong Bảng 26–2 cho chúng ta biết E và B thay đổi như thế nào nếu chúng ta đi từ một hệ quán tính này sang một hệ quán tính khác. Nếu chúng ta biết E và B trong một hệ, chúng ta có thể tìm chúng là gì trong một hệ khác chuyển động qua với tốc độ v.

Chúng ta có thể viết các phương trình này dưới một dạng dễ nhớ hơn nếu chúng ta lưu ý rằng vì v nằm theo hướng x, mọi số hạng có v đều là các thành phần của các tích có hướng v×E và v×B. Vậy chúng ta có thể viết lại các phép biến đổi như trong Bảng 26–3.

Bây giờ việc nhớ thành phần nào đi đâu dễ dàng hơn. Thực ra, phép biến đổi có thể được viết thậm chí còn đơn giản hơn nếu chúng ta định nghĩa các thành phần trường dọc theo x là các thành phần “song song” E_∥ và B_∥ (bởi vì chúng song song với vận tốc tương đối của S và S′), và các thành phần ngang toàn phần — các tổng vector của các thành phần y và z — là các thành phần “vuông góc” E_⊥ và B_⊥. Khi đó chúng ta nhận được các phương trình trong Bảng 26–4. (Chúng ta cũng đã đặt lại các c, để sẽ thuận tiện hơn khi chúng ta muốn tra lại sau này.)

Các phép biến đổi trường cho chúng ta một cách khác để giải một số bài toán chúng ta đã làm trước đây — chẳng hạn, để tìm các trường của một điện tích điểm đang chuyển động. Trước đây chúng ta đã tính các trường bằng cách lấy đạo hàm các thế. Nhưng bây giờ chúng ta có thể làm điều đó bằng cách biến đổi trường Coulomb. Nếu chúng ta có một điện tích điểm đứng yên trong hệ S, thì chỉ có trường E xuyên tâm đơn giản. Trong hệ S′ chúng ta sẽ thấy một điện tích điểm chuyển động với vận tốc u, nếu hệ S′ chuyển động qua hệ S với tốc độ v = −u. Chúng tôi để bạn tự chứng tỏ rằng các phép biến đổi của Bảng 26–3 và 26–4 cho cùng các điện trường và từ trường mà chúng ta đã nhận được trong Mục 26–2.

Phép biến đổi của Bảng 26–2 cho chúng ta một đáp án thú vị và đơn giản cho những gì chúng ta thấy nếu chúng ta chuyển động qua bất kỳ hệ điện tích cố định nào. Chẳng hạn, giả sử chúng ta muốn biết các trường trong hệ S′ của chúng ta nếu chúng ta đang chuyển động dọc giữa hai bản của một tụ điện, như trong Hình 26–7. (Dĩ nhiên, nó cũng là cùng một điều nếu chúng ta nói rằng một tụ điện tích điện đang chuyển động qua chúng ta.) Chúng ta thấy gì? Phép biến đổi dễ dàng trong trường hợp này bởi vì trường B trong hệ gốc bằng không. Trước hết, giả sử chuyển động của chúng ta vuông góc với E; khi đó chúng ta sẽ thấy một E′ = E/√(1 − v²/c²) vẫn hoàn toàn là ngang. Ngoài ra, chúng ta sẽ thấy một từ trường B′ = −v×E′/c². (Thừa số √(1 − v²/c²) không xuất hiện trong công thức của chúng ta cho B′ bởi vì chúng ta đã viết nó theo E′ thay vì E; nhưng nó là cùng một điều.) Vậy khi chúng ta chuyển động dọc vuông góc với một điện trường tĩnh, chúng ta thấy thêm một B ngang. Nếu chuyển động của chúng ta không vuông góc với E, chúng ta tách E thành E_∥ và E_⊥. Phần song song không thay đổi, E_∥′ = E_∥, và thành phần vuông góc diễn ra như vừa mô tả.

Hãy xét trường hợp ngược lại, và tưởng tượng chúng ta đang chuyển động qua một từ trường tĩnh thuần túy. Lần này chúng ta sẽ thấy một điện trường E′ bằng v×B′, và từ trường thay đổi bởi thừa số 1/√(1 − v²/c²) (giả thiết nó là ngang). Chừng nào v còn nhỏ hơn c nhiều, chúng ta có thể bỏ qua sự thay đổi trong từ trường, và hiệu ứng chính là một điện trường xuất hiện. Là một ví dụ của hiệu ứng này, hãy xét bài toán từng nổi tiếng này về việc xác định tốc độ của một máy bay. Nó không còn nổi tiếng nữa, vì radar bây giờ có thể được dùng để xác định tốc độ không khí từ các phản xạ mặt đất, nhưng trong nhiều năm việc tìm tốc độ của một máy bay trong thời tiết xấu là rất khó. Bạn không thể nhìn thấy mặt đất và bạn không biết hướng nào là lên, vân vân. Vậy mà việc biết bạn đang chuyển động nhanh như thế nào so với mặt đất là quan trọng. Làm thế nào điều này có thể được thực hiện mà không nhìn thấy mặt đất? Nhiều người biết các công thức biến đổi đã nghĩ ra ý tưởng dùng sự kiện rằng máy bay chuyển động trong từ trường của trái đất. Giả sử một máy bay đang bay ở nơi có một từ trường ít nhiều đã biết. Hãy chỉ xét trường hợp đơn giản trong đó từ trường là thẳng đứng. Nếu chúng ta bay qua nó với một vận tốc ngang v, thì, theo công thức của chúng ta, chúng ta hẳn sẽ thấy một điện trường là v×B, tức là, vuông góc với đường chuyển động. Nếu chúng ta treo một sợi dây cách điện ngang qua máy bay, điện trường này sẽ cảm ứng các điện tích ở hai đầu sợi dây. Điều đó chẳng có gì mới. Từ quan điểm của một người trên mặt đất, chúng ta đang di chuyển một sợi dây qua một trường, và lực v×B khiến các điện tích di chuyển tới hai đầu sợi dây. Các phương trình biến đổi chỉ nói cùng một điều theo một cách khác. (Sự kiện rằng chúng ta có thể nói cùng một điều theo nhiều cách không có nghĩa là một cách tốt hơn cách khác. Chúng ta đang nhận được quá nhiều phương pháp và công cụ khác nhau đến nỗi chúng ta thường có thể nhận được cùng một kết quả theo 65 cách khác nhau!)

Vậy để đo v, tất cả những gì chúng ta phải làm là đo hiệu điện thế giữa hai đầu sợi dây. Chúng ta không thể làm điều đó bằng một vôn kế bởi vì cùng các trường đó sẽ tác dụng lên các dây trong vôn kế, nhưng có những cách đo các trường như vậy. Chúng ta đã nói về một số trong chúng khi thảo luận về điện khí quyển trong Chương 9. Vậy hẳn là có thể đo tốc độ của máy bay.

Tuy nhiên, bài toán quan trọng này chưa bao giờ được giải quyết theo cách này. Lý do là điện trường được tạo ra có cỡ millivolt trên mét. Có thể đo các trường như vậy, nhưng rắc rối là các trường này, không may, không khác gì bất kỳ điện trường nào khác. Trường được tạo ra bởi chuyển động qua từ trường không thể phân biệt được với một điện trường nào đó đã có sẵn trong không khí từ một nguyên nhân khác, chẳng hạn từ các điện tích tĩnh điện trong không khí, hay trên các đám mây. Chúng ta đã mô tả trong Chương 9 rằng, một cách điển hình, có các điện trường phía trên bề mặt trái đất với cường độ khoảng 100 volt trên mét. Nhưng chúng khá bất thường. Vậy khi máy bay bay qua không khí, nó thấy các dao động của điện trường khí quyển khổng lồ so với các trường nhỏ bé do số hạng v×B tạo ra, và hóa ra vì các lý do thực tế không thể đo tốc độ của một máy bay bằng chuyển động của nó qua từ trường trái đất.

26–4  Các phương trình chuyển động trong ký hiệu tương đối tính²

Việc tìm điện trường và từ trường từ các phương trình Maxwell chẳng có ích gì nhiều trừ khi chúng ta biết các trường làm gì khi chúng ta có chúng. Bạn có thể nhớ rằng các trường cần thiết để tìm các lực tác dụng lên các điện tích, và các lực đó quyết định chuyển động của điện tích. Vậy, dĩ nhiên, một phần của lý thuyết điện động lực học là mối quan hệ giữa chuyển động của các điện tích và các lực.

Đối với một điện tích đơn lẻ trong các trường E và B, lực là

F = q(E + v×B).   (26.23)

Lực này bằng khối lượng nhân gia tốc đối với các vận tốc thấp, nhưng định luật đúng cho bất kỳ vận tốc nào là lực bằng dp/dt. Viết p = m₀v/√(1 − v²/c²), chúng ta thấy rằng phương trình chuyển động đúng tương đối tính là

d/dt [m₀v/√(1 − v²/c²)] = F = q(E + v×B).   (26.24)

Bây giờ chúng ta muốn thảo luận phương trình này từ quan điểm của thuyết tương đối. Vì chúng ta đã đặt các phương trình Maxwell của mình ở dạng tương đối tính, sẽ thú vị khi xem các phương trình chuyển động trông như thế nào ở dạng tương đối tính. Hãy xem liệu chúng ta có thể viết lại phương trình trong ký hiệu bốn-vector hay không.

Chúng ta biết rằng động lượng là một phần của một bốn-vector p_μ mà thành phần thời gian của nó là năng lượng m₀c²/√(1 − v²/c²) chia cho c. Vậy chúng ta có thể nghĩ đến việc thay vế trái của phương trình (26.24) bằng dp_μ/dt. Khi đó chúng ta chỉ cần tìm một thành phần thứ tư đi cùng với F. Thành phần thứ tư này phải liên quan tới tốc độ thay đổi của năng lượng, hay tốc độ thực hiện công, là F·v. Khi đó chúng ta muốn viết vế phải của phương trình (26.24) dưới dạng một bốn-vector như (F·v/c, F_x, F_y, F_z). Nhưng cái này không tạo thành một bốn-vector.

Đạo hàm theo thời gian của một bốn-vector không còn là một bốn-vector nữa, bởi vì d/dt đòi hỏi việc chọn một hệ đặc biệt nào đó để đo t. Chúng ta đã gặp rắc rối này trước đây khi cố biến v thành một bốn-vector. Đoán đầu tiên của chúng ta là thành phần thời gian sẽ là cdt/dt = c. Nhưng các đại lượng

(c, dx/dt, dy/dt, dz/dt) = (c, v)   (26.25)

không phải là các thành phần của một bốn-vector. Chúng ta đã thấy rằng chúng có thể được biến thành một bốn-vector bằng cách nhân mỗi thành phần với 1/√(1 − v²/c²). “Bốn-vận tốc” u_μ là bốn-vector

u_μ = (c/√(1 − v²/c²), v/√(1 − v²/c²)).   (26.26)

Vậy có vẻ như mẹo là nhân d/dt với 1/√(1 − v²/c²), nếu chúng ta muốn các đạo hàm tạo thành một bốn-vector.

Đoán thứ hai của chúng ta khi đó là

[1/√(1 − v²/c²)] d(p_μ)/dt   (26.27)

hẳn là một bốn-vector. Nhưng v là gì? Nó là vận tốc của hạt — không phải của một hệ tọa độ! Khi đó đại lượng f_μ được định nghĩa bởi

f_μ = ((F·v/c)/√(1 − v²/c²), F/√(1 − v²/c²))   (26.28)

là phần mở rộng vào bốn chiều của một lực — chúng ta có thể gọi nó là “bốn-lực”. Nó quả thực là một bốn-vector, và các thành phần không gian của nó không phải là các thành phần của F mà là của F/√(1 − v²/c²).

Câu hỏi là — tại sao f_μ là một bốn-vector? Sẽ thật tốt nếu hiểu một chút về thừa số 1/√(1 − v²/c²) đó. Vì nó đã xuất hiện hai lần rồi, đã đến lúc xem tại sao d/dt luôn có thể được sửa bằng cùng một thừa số. Đáp án nằm ở điều sau: Khi chúng ta lấy đạo hàm theo thời gian của một hàm x nào đó, chúng ta tính số gia Δx trong một khoảng nhỏ Δt của biến t. Nhưng trong một hệ khác, khoảng Δt có thể tương ứng với một sự thay đổi trong cả t′ và x′, nên nếu chúng ta chỉ thay đổi t′, sự thay đổi trong x sẽ khác. Chúng ta phải tìm một biến cho phép vi phân của chúng ta, một biến là thước đo của một “khoảng” trong không-thời gian, khi đó sẽ như nhau trong mọi hệ tọa độ. Khi chúng ta lấy Δx cho khoảng đó, nó sẽ như nhau đối với mọi hệ tọa độ. Khi một hạt “chuyển động” trong không-thời gian bốn chiều, có các sự thay đổi Δt, Δx, Δy, Δz. Chúng ta có thể tạo ra một khoảng bất biến từ chúng không? À, chúng là các thành phần của bốn-vector x_μ = (ct, x, y, z), nên nếu chúng ta định nghĩa một đại lượng Δs bởi

(Δs)² = (1/c²) Δx_μΔx_μ = (1/c²)(c²Δt² − Δx² − Δy² − Δz²)   (26.29)

— là một tích vô hướng bốn chiều — khi đó chúng ta có một bốn-vô-hướng tốt để dùng làm thước đo của một khoảng bốn chiều. Từ Δs — hay giới hạn của nó ds — chúng ta có thể định nghĩa một tham số s = ∫ ds. Và một đạo hàm theo s, d/ds, là một phép toán bốn chiều đẹp, bởi vì nó bất biến đối với một phép biến đổi Lorentz.

Thật dễ liên hệ ds với dt đối với một hạt đang chuyển động. Đối với một hạt điểm đang chuyển động,

dx = v_x dt,    dy = v_y dt,    dz = v_z dt,   (26.30)

và

ds = √[(dt²/c²)(c² − v_x² − v_y² − v_z²)] = dt√(1 − v²/c²).   (26.31)

Vậy toán tử

[1/√(1 − v²/c²)] d/dt

là một toán tử bất biến. Nếu chúng ta tác dụng nó lên bất kỳ bốn-vector nào, chúng ta nhận được một bốn-vector khác. Chẳng hạn, nếu chúng ta tác dụng lên (ct, x, y, z), chúng ta nhận được bốn-vận tốc u_μ:

dx_μ/ds = u_μ.

Bây giờ chúng ta thấy tại sao thừa số √(1 − v²/c²) sửa mọi thứ lại được.

Biến bất biến s là một đại lượng vật lý hữu ích. Nó được gọi là “thời gian riêng” dọc theo đường đi của một hạt, bởi vì ds luôn là một khoảng thời gian trong một hệ đang chuyển động cùng với hạt tại bất kỳ thời điểm cụ thể nào. (Khi đó, Δx = Δy = Δz = 0, và Δs = Δt.) Nếu bạn có thể tưởng tượng một “đồng hồ” nào đó mà tốc độ của nó không phụ thuộc vào gia tốc, một đồng hồ như vậy mang theo cùng hạt sẽ chỉ thời gian s.

Bây giờ chúng ta có thể quay lại và viết định luật Newton (như Einstein đã sửa) dưới dạng gọn gàng

dp_μ/ds = f_μ,   (26.32)

trong đó f_μ được cho trong phương trình (26.28). Ngoài ra, động lượng p_μ có thể được viết là

p_μ = m₀u_μ = m₀ dx_μ/ds,   (26.33)

trong đó các tọa độ x_μ = (ct, x, y, z) bây giờ mô tả quỹ đạo của hạt. Cuối cùng, ký hiệu bốn chiều cho chúng ta dạng rất đơn giản này của các phương trình chuyển động:

f_μ = m₀ d²x_μ/ds²,   (26.34)

dạng này gợi nhớ F = ma. Điều quan trọng là phải lưu ý rằng phương trình (26.34) không phải là cùng một thứ như F = ma, bởi vì công thức bốn-vector (26.34) chứa trong nó cơ học tương đối tính, khác với định luật Newton đối với các vận tốc cao. Nó không giống trường hợp của các phương trình Maxwell, ở đó chúng ta có thể viết lại các phương trình ở dạng tương đối tính mà không có bất kỳ thay đổi nào về ý nghĩa cả — mà chỉ với một sự thay đổi ký hiệu.

Bây giờ hãy quay lại phương trình (26.24) và xem chúng ta có thể viết vế phải trong ký hiệu bốn-vector như thế nào. Ba thành phần — khi chia cho √(1 − v²/c²) — là các thành phần của f_μ, nên

f_x = q(E + v×B)_x/√(1 − v²/c²) = q[E_x/√(1 − v²/c²) + v_yB_z/√(1 − v²/c²) − v_zB_y/√(1 − v²/c²)].   (26.35)

Bây giờ chúng ta phải đặt mọi đại lượng vào ký hiệu tương đối tính của chúng. Trước hết, c/√(1 − v²/c²) và v_y/√(1 − v²/c²) và v_z/√(1 − v²/c²) là các thành phần t, y và z của bốn-vận tốc u_μ. Và các thành phần của E và B là các thành phần của tensor hạng hai của các trường F_μν. Tra lại trong Bảng 26–1 các thành phần của F_μν tương ứng với E_x, B_z và B_y, chúng ta nhận được³

f_x = q(u_tF_xt − u_yF_xy − u_zF_xz),

điều này bắt đầu trông thú vị. Mọi số hạng đều có chỉ số dưới x, điều này hợp lý, vì chúng ta đang tìm một thành phần x. Sau đó mọi thành phần khác xuất hiện thành từng cặp: tt, yy, zz — ngoại trừ số hạng xx bị thiếu. Vậy chúng ta chỉ việc đưa nó vào, và viết

f_x = q(u_tF_xt − u_xF_xx − u_yF_xy − u_zF_xz).   (26.36)

Chúng ta đã không thay đổi gì cả bởi vì F_μν là phản đối xứng, và F_xx bằng không. Lý do muốn đưa số hạng xx vào là để chúng ta có thể viết phương trình (26.36) dưới dạng viết tắt

f_μ = qu_νF_μν.   (26.37)

Phương trình này cũng giống như phương trình (26.36) nếu chúng ta đặt ra quy tắc rằng mỗi khi bất kỳ chỉ số dưới nào xuất hiện hai lần (như ν ở đây), bạn tự động cộng tổng qua các số hạng theo cùng cách như đối với tích vô hướng, dùng cùng quy ước về các dấu.

Bạn có thể dễ dàng tin rằng (26.37) hoạt động tốt như nhau đối với μ = y hay μ = z, nhưng còn μ = t thì sao? Hãy xem, cho vui, nó nói gì:

f_t = q(u_tF_tt − u_xF_tx − u_yF_ty − u_zF_tz).

Bây giờ chúng ta phải dịch ngược lại thành các E và B. Chúng ta nhận được

f_t = q(0 + [v_x/√(1 − v²/c²)] E_x/c + [v_y/√(1 − v²/c²)] E_y/c + [v_z/√(1 − v²/c²)] E_z/c),   (26.38)

hay

f_t = q v·E/(c√(1 − v²/c²)).

Nhưng từ phương trình (26.28), f_t được cho là

(F·v/c)/√(1 − v²/c²) = q(E + v×B)·v/(c√(1 − v²/c²)).

Nó cũng là cùng một thứ như phương trình (26.38), vì (v×B)·v bằng không. Vậy mọi thứ đều đâu vào đấy.

Tóm tắt lại, phương trình chuyển động của chúng ta có thể được viết dưới dạng thanh lịch

m₀ d²x_μ/ds² = f_μ = qu_νF_μν.   (26.39)

Mặc dù thật dễ chịu khi thấy các phương trình có thể được viết như vậy, dạng này không đặc biệt hữu ích. Thường thì việc giải chuyển động của hạt bằng cách dùng các phương trình gốc (26.24) thuận tiện hơn, và đó là điều chúng ta thường sẽ làm.