Chương 27: Năng lượng trường và động lượng trường
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập II, Chương 27: “Field Energy and Field Momentum”
27–1 Bảo toàn cục bộ
Rõ ràng năng lượng của vật chất không được bảo toàn. Khi một vật bức xạ ánh sáng, nó mất năng lượng. Tuy nhiên, năng lượng đã mất có thể được mô tả dưới một dạng khác, chẳng hạn trong ánh sáng. Vì vậy lý thuyết bảo toàn năng lượng là không đầy đủ nếu không xét tới năng lượng gắn liền với ánh sáng hay, nói chung, với trường điện từ. Bây giờ chúng ta xét định luật bảo toàn năng lượng và, đồng thời, bảo toàn động lượng đối với các trường. Chắc chắn, chúng ta không thể xử lý cái này mà không có cái kia, bởi vì trong lý thuyết tương đối chúng là các khía cạnh khác nhau của cùng một bốn-vector.
Rất sớm trong Tập I, chúng ta đã thảo luận về sự bảo toàn năng lượng; khi đó chúng ta chỉ nói đơn thuần rằng tổng năng lượng trong thế giới là hằng số. Bây giờ chúng ta muốn mở rộng ý tưởng về định luật bảo toàn năng lượng theo một cách quan trọng — một cách nói điều gì đó chi tiết về việc năng lượng được bảo toàn như thế nào. Định luật mới sẽ nói rằng nếu năng lượng rời khỏi một vùng, đó là bởi vì nó chảy ra qua các biên của vùng đó. Nó là một định luật có phần mạnh hơn định luật bảo toàn năng lượng không có sự hạn chế như vậy.
Để thấy phát biểu này có nghĩa là gì, hãy nhìn vào cách định luật bảo toàn điện tích hoạt động. Chúng ta đã mô tả sự bảo toàn điện tích bằng cách nói rằng có một mật độ dòng điện j và một mật độ điện tích ρ, và rằng khi điện tích giảm ở một nơi nào đó thì phải có một dòng điện tích chảy ra khỏi nơi đó. Chúng ta gọi đó là sự bảo toàn điện tích. Dạng toán học của định luật bảo toàn là
∇·j = −∂ρ/∂t. (27.1)
Định luật này có hệ quả là tổng điện tích trong thế giới luôn là hằng số — không bao giờ có bất kỳ sự tăng hay giảm ròng nào của điện tích. Tuy nhiên, tổng điện tích trong thế giới có thể là hằng số theo một cách khác. Giả sử có một điện tích Q1 nào đó gần một điểm (1) trong khi không có điện tích nào gần một điểm (2) ở cách đó một khoảng (Hình 27–1). Bây giờ giả sử rằng, theo thời gian, điện tích Q1 dần dần mờ đi và đồng thời với sự giảm của Q1 một điện tích Q2 nào đó sẽ xuất hiện gần điểm (2), và theo cách sao cho tại mọi thời điểm tổng của Q1 và Q2 là một hằng số. Nói cách khác, tại bất kỳ trạng thái trung gian nào, lượng điện tích bị Q1 mất đi sẽ được cộng vào Q2. Khi đó tổng lượng điện tích trong thế giới sẽ được bảo toàn. Đó là một sự bảo toàn “trên toàn thế giới”, nhưng không phải là cái chúng ta sẽ gọi là bảo toàn “cục bộ”, bởi vì để điện tích đi từ (1) tới (2), nó không cần phải xuất hiện ở bất cứ đâu trong không gian giữa điểm (1) và điểm (2). Một cách cục bộ, điện tích chỉ “bị mất”.
Có một khó khăn với một định luật bảo toàn “trên toàn thế giới” như vậy trong lý thuyết tương đối. Khái niệm “các thời điểm đồng thời” tại các điểm xa nhau là một khái niệm không tương đương trong các hệ khác nhau. Hai sự kiện đồng thời trong một hệ thì không đồng thời đối với một hệ khác đang chuyển động qua. Đối với sự bảo toàn “trên toàn thế giới” thuộc loại đã mô tả, điều cần thiết là điện tích bị Q1 mất đi phải xuất hiện đồng thời trong Q2. Nếu không sẽ có những thời điểm điện tích không được bảo toàn. Có vẻ như không có cách nào làm cho định luật bảo toàn điện tích bất biến tương đối tính mà không biến nó thành một định luật bảo toàn “cục bộ”. Thực ra, yêu cầu về tính bất biến tương đối tính Lorentz dường như hạn chế các định luật có thể của tự nhiên theo những cách đáng ngạc nhiên. Chẳng hạn, trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại, người ta thường muốn thay đổi lý thuyết bằng cách cho phép cái chúng ta gọi là một tương tác “phi cục bộ” — trong đó một cái gì đó ở đây có ảnh hưởng trực tiếp lên một cái gì đó ở kia — nhưng chúng ta gặp rắc rối với nguyên lý tương đối.
Bảo toàn “cục bộ” liên quan tới một ý tưởng khác. Nó nói rằng một điện tích chỉ có thể đi từ một nơi tới một nơi khác nếu có một cái gì đó đang xảy ra trong không gian ở giữa. Để mô tả định luật, chúng ta cần không chỉ mật độ điện tích, ρ, mà còn một loại đại lượng khác, cụ thể là j, một vector cho tốc độ dòng chảy của điện tích qua một mặt. Khi đó dòng chảy liên hệ với tốc độ thay đổi của mật độ bởi phương trình (27.1). Đây là loại định luật bảo toàn cực đoan hơn. Nó nói rằng điện tích được bảo toàn theo một cách đặc biệt — bảo toàn “cục bộ”.
Hóa ra sự bảo toàn năng lượng cũng là một quá trình cục bộ. Không chỉ có một mật độ năng lượng trong một vùng không gian cho trước mà còn có một vector biểu diễn tốc độ dòng chảy của năng lượng qua một mặt. Chẳng hạn, khi một nguồn sáng bức xạ, chúng ta có thể tìm thấy năng lượng ánh sáng chuyển động ra khỏi nguồn. Nếu chúng ta tưởng tượng một mặt toán học nào đó bao quanh nguồn sáng, năng lượng bị mất từ bên trong mặt bằng năng lượng chảy ra qua mặt.
27–2 Bảo toàn năng lượng và điện từ học
Bây giờ chúng ta muốn viết một cách định lượng sự bảo toàn năng lượng đối với điện từ học. Để làm điều đó, chúng ta phải mô tả có bao nhiêu năng lượng trong bất kỳ yếu tố thể tích nào của không gian, và cả tốc độ dòng năng lượng. Giả sử trước hết chúng ta chỉ nghĩ về năng lượng trường điện từ. Chúng ta sẽ để u biểu diễn mật độ năng lượng trong trường (tức là, lượng năng lượng trên một đơn vị thể tích trong không gian) và để vector S biểu diễn thông lượng năng lượng của trường (tức là, dòng năng lượng trên một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích vuông góc với dòng chảy). Khi đó, hoàn toàn tương tự với sự bảo toàn điện tích, phương trình (27.1), chúng ta có thể viết định luật bảo toàn năng lượng “cục bộ” trong trường là
∂u/∂t = −∇·S. (27.2)
Dĩ nhiên, định luật này nói chung không đúng; không đúng là năng lượng trường được bảo toàn. Giả sử bạn đang ở trong một căn phòng tối rồi bật công tắc đèn. Đột nhiên căn phòng đầy ánh sáng, nên có năng lượng trong trường, mặc dù trước đó không có năng lượng nào ở đó. Phương trình (27.2) không phải là định luật bảo toàn đầy đủ, bởi vì năng lượng trường đơn thuần không được bảo toàn, chỉ có tổng năng lượng trong thế giới — còn có năng lượng của vật chất nữa. Năng lượng trường sẽ thay đổi nếu có một công nào đó đang được vật chất thực hiện lên trường hoặc trường thực hiện lên vật chất.
Tuy nhiên, nếu có vật chất bên trong thể tích đang xét, chúng ta biết nó có bao nhiêu năng lượng: Mỗi hạt có năng lượng m0c2/√(1 − v2/c2). Tổng năng lượng của vật chất chỉ là tổng của mọi năng lượng hạt, và dòng chảy của năng lượng này qua một mặt chỉ là tổng năng lượng do mỗi hạt băng qua mặt mang theo. Bây giờ chúng ta chỉ muốn nói về năng lượng của trường điện từ. Vậy chúng ta phải viết một phương trình nói rằng tổng năng lượng trường trong một thể tích cho trước giảm hoặc bởi vì năng lượng trường chảy ra khỏi thể tích hoặc bởi vì trường mất năng lượng cho vật chất (hoặc nhận năng lượng, điều này chỉ là một sự mất mát âm). Năng lượng trường bên trong một thể tích V là
∫V u dV,
và tốc độ giảm của nó là đạo hàm theo thời gian có dấu trừ của tích phân này. Dòng năng lượng trường chảy ra khỏi thể tích V là tích phân của thành phần pháp tuyến của S trên mặt Σ bao quanh V,
∫Σ S·n da.
Vậy
−d/dt ∫V u dV = ∫Σ S·n da + (công thực hiện lên vật chất bên trong V). (27.3)
Chúng ta đã thấy trước đây rằng trường thực hiện công lên mỗi đơn vị thể tích của vật chất với tốc độ E·j. [Lực tác dụng lên một hạt là F = q(E + v×B), và tốc độ thực hiện công là F·v = qE·v. Nếu có N hạt trên một đơn vị thể tích, tốc độ thực hiện công trên một đơn vị thể tích là NqE·v, nhưng Nqv = j.] Vậy đại lượng E·j phải bằng sự mất năng lượng trên một đơn vị thời gian và trên một đơn vị thể tích của trường. Khi đó phương trình (27.3) trở thành
−d/dt ∫V u dV = ∫Σ S·n da + ∫V E·j dV. (27.4)
Đây là định luật bảo toàn năng lượng trong trường của chúng ta. Chúng ta có thể chuyển nó thành một phương trình vi phân như phương trình (27.2) nếu chúng ta có thể biến số hạng thứ hai thành một tích phân thể tích. Điều đó dễ làm bằng định lý Gauss. Tích phân mặt của thành phần pháp tuyến của S là tích phân của divergence của nó trên thể tích bên trong. Vậy phương trình (27.3) tương đương với
−∫V (∂u/∂t) dV = ∫V ∇·S dV + ∫V E·j dV,
trong đó chúng ta đã đặt đạo hàm theo thời gian của số hạng đầu tiên vào bên trong tích phân. Vì phương trình này đúng đối với bất kỳ thể tích nào, chúng ta có thể bỏ các tích phân đi và chúng ta có phương trình năng lượng cho các trường điện từ:
−∂u/∂t = ∇·S + E·j. (27.5)
Bây giờ phương trình này chẳng giúp ích gì cho chúng ta trừ khi chúng ta biết u và S là gì. Có lẽ chúng tôi nên nói thẳng cho bạn chúng là gì theo E và B, bởi vì tất cả những gì chúng ta thực sự muốn là kết quả. Tuy nhiên, chúng tôi thà chỉ cho bạn loại lập luận đã được Poynting dùng vào năm 1884 để thu được các công thức cho S và u, để bạn có thể thấy chúng đến từ đâu. (Tuy nhiên, bạn sẽ không cần học phép suy diễn này cho công việc sau này của chúng ta.)
27–3 Mật độ năng lượng và dòng năng lượng trong trường điện từ
Ý tưởng là giả sử rằng có một mật độ năng lượng trường u và một thông lượng S chỉ phụ thuộc vào các trường E và B. (Chẳng hạn, chúng ta biết rằng ít nhất trong tĩnh điện học, mật độ năng lượng có thể được viết là (1/2)ε0E·E.) Dĩ nhiên, u và S có thể phụ thuộc vào các thế hay một cái gì đó khác, nhưng hãy xem chúng ta có thể tìm ra được gì. Chúng ta có thể thử viết lại đại lượng E·j theo một cách sao cho nó trở thành tổng của hai số hạng: một số hạng là đạo hàm theo thời gian của một đại lượng và số hạng kia là divergence của một đại lượng thứ hai. Đại lượng đầu tiên khi đó sẽ là u và đại lượng thứ hai sẽ là S (với các dấu thích hợp). Cả hai đại lượng đều phải được viết chỉ theo các trường; tức là, chúng ta muốn viết đẳng thức của mình dưới dạng
E·j = −∂u/∂t − ∇·S. (27.6)
Vế trái trước hết phải được biểu diễn chỉ theo các trường. Làm thế nào chúng ta có thể làm điều đó? Dĩ nhiên, bằng cách dùng các phương trình Maxwell. Từ phương trình Maxwell cho rota của B,
j = ε0c2∇×B − ε0 ∂E/∂t.
Thay điều này vào (27.6) chúng ta sẽ chỉ có các E và các B:
E·j = ε0c2E·(∇×B) − ε0E·∂E/∂t. (27.7)
Chúng ta đã xong một phần. Số hạng cuối là một đạo hàm theo thời gian — nó là ∂/∂t((1/2)ε0E·E). Vậy (1/2)ε0E·E ít nhất là một phần của u. Nó là cùng một thứ chúng ta đã tìm trong tĩnh điện học. Bây giờ, tất cả những gì chúng ta phải làm là biến số hạng còn lại thành divergence của một cái gì đó.
Lưu ý rằng số hạng đầu tiên ở vế phải của (27.7) cũng giống như
(∇×B)·E. (27.8)
Và, như bạn biết từ đại số vector, (a×b)·c cũng giống như a·(b×c); vậy số hạng của chúng ta cũng giống như
∇·(B×E) (27.9)
và chúng ta có divergence của “một cái gì đó”, đúng như chúng ta muốn. Chỉ có điều nó sai! Chúng tôi đã cảnh báo bạn trước đây rằng ∇ “giống” một vector, nhưng không “hoàn toàn” giống. Lý do nó không giống là vì có một quy ước bổ sung từ giải tích: khi một toán tử đạo hàm đứng trước một tích, nó tác dụng lên mọi thứ ở phía bên phải. Trong phương trình (27.7), ∇ chỉ tác dụng lên B, không tác dụng lên E. Nhưng ở dạng (27.9), quy ước thông thường sẽ nói rằng ∇ tác dụng lên cả B và E. Vậy nó không phải là cùng một thứ. Thực ra, nếu chúng ta khai triển các thành phần của ∇·(B×E) chúng ta có thể thấy rằng nó bằng E·(∇×B) cộng thêm một số số hạng khác. Nó giống như điều xảy ra khi chúng ta lấy đạo hàm của một tích trong đại số. Chẳng hạn,
d/dx (fg) = (df/dx)g + f (dg/dx).
Thay vì khai triển mọi thành phần của ∇·(B×E), chúng tôi muốn chỉ cho bạn một mẹo rất hữu ích cho loại bài toán này. Đó là một mẹo cho phép bạn dùng mọi quy tắc của đại số vector trên các biểu thức có toán tử ∇, mà không gặp rắc rối. Mẹo là tạm thời vứt bỏ — ít nhất là trong chốc lát — quy tắc của ký hiệu giải tích về việc toán tử đạo hàm tác dụng lên cái gì. Bạn thấy đấy, thông thường, thứ tự của các số hạng được dùng cho hai mục đích riêng biệt. Một là cho giải tích: f(d/dx)g không giống như g(d/dx)f; và cái kia là cho các vector: a×b khác với b×a. Nếu muốn, chúng ta có thể chọn tạm thời từ bỏ quy tắc giải tích. Thay vì nói rằng một đạo hàm tác dụng lên mọi thứ ở phía bên phải, chúng ta đặt ra một quy tắc mới không phụ thuộc vào thứ tự các số hạng được viết xuống. Khi đó chúng ta có thể đảo lộn các số hạng mà không phải lo lắng.
Đây là quy ước mới của chúng ta: chúng ta chỉ ra, bằng một chỉ số dưới, toán tử vi phân tác dụng lên cái gì; thứ tự không có ý nghĩa. Giả sử chúng ta để toán tử D là ∂/∂x. Khi đó Df có nghĩa là chỉ đạo hàm của đại lượng biến thiên f được lấy. Khi đó
Dff = ∂f/∂x.
Nhưng nếu chúng ta có Dffg, nó có nghĩa là
Dffg = (∂f/∂x)g.
Nhưng lưu ý bây giờ rằng theo quy tắc mới của chúng ta, fDfg có cùng ý nghĩa. Chúng ta có thể viết cùng một thứ theo bất kỳ cách nào:
Dffg = gDff = fDfg = fgDf.
Bạn thấy đấy, Df thậm chí có thể đến sau mọi thứ. (Thật ngạc nhiên là một ký hiệu tiện lợi như vậy không bao giờ được dạy trong các sách về toán học hay vật lý.)
Bạn có thể tự hỏi: Thế nếu tôi muốn viết đạo hàm của fg thì sao? Tôi muốn đạo hàm của cả hai số hạng. Điều đó dễ, bạn chỉ cần nói vậy; bạn viết Df(fg) + Dg(fg). Đó đúng là g(∂f/∂x) + f(∂g/∂x), chính là điều bạn muốn nói trong ký hiệu cũ bằng ∂(fg)/∂x.
Bạn sẽ thấy rằng bây giờ sẽ rất dễ tính ra một biểu thức mới cho ∇·(B×E). Chúng ta bắt đầu bằng cách chuyển sang ký hiệu mới; chúng ta viết
∇·(B×E) = ∇B·(B×E) + ∇E·(B×E). (27.10)
Ngay khi chúng ta làm vậy, chúng ta không còn phải giữ thứ tự cho đúng nữa. Chúng ta luôn biết rằng ∇E chỉ tác dụng lên E, và ∇B chỉ tác dụng lên B. Trong các hoàn cảnh này, chúng ta có thể dùng ∇ như thể nó là một vector thông thường. (Dĩ nhiên, khi chúng ta làm xong, chúng ta sẽ muốn quay lại ký hiệu “chuẩn” mà mọi người thường dùng.) Vậy bây giờ chúng ta có thể làm các việc khác nhau như hoán đổi các dấu chấm và dấu chéo và thực hiện các sắp xếp lại khác của các số hạng. Chẳng hạn, số hạng ở giữa của phương trình (27.10) có thể được viết lại là E·∇B×B. (Bạn nhớ rằng a·b×c = b·c×a.) Và số hạng cuối cũng giống như B·E×∇E. Nó trông kỳ quái, nhưng nó ổn. Bây giờ nếu chúng ta thử quay lại quy ước thông thường, chúng ta phải sắp xếp sao cho ∇ chỉ tác dụng lên biến “của nó”. Cái đầu tiên đã như vậy rồi, nên chúng ta có thể bỏ chỉ số dưới đi. Cái thứ hai cần một chút sắp xếp lại để đặt ∇ trước E, điều chúng ta có thể làm bằng cách đảo ngược tích có hướng và đổi dấu:
B·(E×∇E) = −B·(∇E×E).
Bây giờ nó ở thứ tự quy ước, nên chúng ta có thể quay lại ký hiệu thông thường. Phương trình (27.10) tương đương với
∇·(B×E) = E·(∇×B) − B·(∇×E). (27.11)
(Một cách nhanh hơn là dùng các thành phần trong trường hợp đặc biệt này, nhưng đáng bỏ thời gian để chỉ cho bạn mẹo toán học này. Bạn có lẽ sẽ không thấy nó ở bất cứ đâu khác, và nó rất tốt để gỡ khóa đại số vector khỏi các quy tắc về thứ tự của các số hạng có đạo hàm.)
Bây giờ chúng ta quay lại cuộc thảo luận về bảo toàn năng lượng và dùng kết quả mới của mình, phương trình (27.11), để biến đổi số hạng ∇×B của phương trình (27.7). Phương trình năng lượng đó trở thành
E·j = ε0c2∇·(B×E) + ε0c2B·(∇×E) − ∂/∂t ((1/2)ε0E·E). (27.12)
Bây giờ bạn thấy đấy, chúng ta gần xong rồi. Chúng ta có một số hạng là một đạo hàm theo t đẹp để dùng cho u và một số hạng khác là một divergence đẹp để biểu diễn S. Không may, còn lại số hạng ở giữa, vốn không phải là một divergence cũng không phải là một đạo hàm theo t. Vậy chúng ta gần làm được, nhưng chưa hẳn. Sau một hồi suy nghĩ, chúng ta nhìn lại các phương trình vi phân của Maxwell và khám phá ra rằng ∇×E, may mắn thay, bằng −∂B/∂t, điều này có nghĩa là chúng ta có thể biến số hạng phụ thành một cái gì đó là một đạo hàm theo thời gian thuần túy:
B·(∇×E) = B·(−∂B/∂t) = −∂/∂t ((B·B)/2).
Bây giờ chúng ta có đúng những gì chúng ta muốn. Phương trình năng lượng của chúng ta là
E·j = ∇·(ε0c2B×E) − ∂/∂t ((ε0c2/2) B·B + (ε0/2) E·E), (27.13)
đúng giống như phương trình (27.6), nếu chúng ta đặt các định nghĩa
u = (ε0/2) E·E + (ε0c2/2) B·B (27.14)
và
S = ε0c2E×B. (27.15)
(Đảo ngược tích có hướng làm cho các dấu thành ra đúng.)
Chương trình của chúng ta đã thành công. Chúng ta có một biểu thức cho mật độ năng lượng là tổng của một mật độ năng lượng “điện” và một mật độ năng lượng “từ”, mà các dạng của chúng đúng như những dạng chúng ta đã tìm trong tĩnh học khi chúng ta tính năng lượng theo các trường. Ngoài ra, chúng ta đã tìm được một công thức cho vector dòng năng lượng của trường điện từ. Vector mới này, S = ε0c2E×B, được gọi là “vector Poynting”, theo tên người khám phá ra nó. Nó cho chúng ta biết tốc độ năng lượng trường chuyển động quanh trong không gian. Năng lượng chảy qua một diện tích nhỏ da trong một giây là S·n da, trong đó n là vector đơn vị vuông góc với da. (Bây giờ khi chúng ta đã có các công thức cho u và S, bạn có thể quên các phép suy diễn nếu muốn.)
27–4 Tính không duy nhất của năng lượng trường
Trước khi chúng ta xét một số ứng dụng của các công thức Poynting [các phương trình (27.14) và (27.15)], chúng tôi muốn nói rằng chúng ta chưa thực sự “chứng minh” chúng. Tất cả những gì chúng ta đã làm là tìm một “u” khả dĩ và một “S” khả dĩ. Làm thế nào chúng ta biết rằng bằng cách đảo lộn các số hạng thêm nữa chúng ta không thể tìm một công thức khác cho “u” và một công thức khác cho “S”? “S” mới và u mới sẽ khác, nhưng chúng vẫn sẽ thỏa mãn phương trình (27.6). Điều đó là có thể. Nó có thể được thực hiện, nhưng các dạng đã được tìm ra luôn liên quan tới các đạo hàm khác nhau của trường (và luôn với các số hạng bậc hai như một đạo hàm cấp hai hay bình phương của một đạo hàm cấp một). Thực ra, có vô số khả năng khác nhau cho u và S, và cho đến nay chưa ai nghĩ ra một cách thực nghiệm nào để biết cái nào là đúng! Người ta đã đoán rằng cái đơn giản nhất có lẽ là cái đúng, nhưng chúng ta phải nói rằng chúng ta không biết chắc chắn vị trí thực sự trong không gian của năng lượng trường điện từ là gì. Vậy chúng ta cũng sẽ chọn cách dễ dàng và nói rằng năng lượng trường được cho bởi phương trình (27.14). Khi đó vector dòng chảy S phải được cho bởi phương trình (27.15).
Thật thú vị là dường như không có cách duy nhất nào để giải quyết tính không xác định trong vị trí của năng lượng trường. Đôi khi người ta khẳng định rằng bài toán này có thể được giải quyết bằng cách dùng lý thuyết hấp dẫn trong lập luận sau. Trong lý thuyết hấp dẫn, mọi năng lượng đều là nguồn của lực hút hấp dẫn. Vì vậy mật độ năng lượng của điện phải được định vị đúng nếu chúng ta muốn biết lực hấp dẫn tác dụng theo hướng nào. Tuy nhiên, cho đến nay, chưa ai đã làm một thí nghiệm tinh vi như vậy đến mức vị trí chính xác của ảnh hưởng hấp dẫn của các trường điện từ có thể được xác định. Rằng các trường điện từ đơn thuần có thể là nguồn của lực hấp dẫn là một ý tưởng khó mà bỏ qua được. Thực ra, người ta đã quan sát thấy ánh sáng bị bẻ cong khi nó đi gần mặt trời — chúng ta có thể nói rằng mặt trời kéo ánh sáng xuống về phía nó. Bạn có muốn cho phép rằng ánh sáng kéo mặt trời một cách ngang bằng không? Dù sao, mọi người luôn chấp nhận các biểu thức đơn giản mà chúng ta đã tìm cho vị trí của năng lượng điện từ và dòng chảy của nó. Và mặc dù đôi khi các kết quả thu được từ việc dùng chúng có vẻ kỳ lạ, chưa ai từng tìm thấy điều gì sai với chúng — tức là, không có sự bất đồng nào với thực nghiệm. Vậy chúng ta sẽ đi theo phần còn lại của thế giới — ngoài ra, chúng ta tin rằng nó có lẽ hoàn toàn đúng.
Chúng ta nên đưa ra một nhận xét nữa về công thức năng lượng. Trước hết, năng lượng trên một đơn vị thể tích trong trường rất đơn giản: Nó là năng lượng tĩnh điện cộng với năng lượng từ, nếu chúng ta viết năng lượng tĩnh điện theo E2 và năng lượng từ là B2. Chúng ta đã tìm hai biểu thức như vậy làm các biểu thức khả dĩ cho năng lượng khi chúng ta làm các bài toán tĩnh. Chúng ta cũng đã tìm một số công thức khác cho năng lượng trong trường tĩnh điện, chẳng hạn ρφ, mà bằng tích phân của E·E trong trường hợp tĩnh điện. Tuy nhiên, trong một trường điện động, đẳng thức đó không còn đúng, và không có lựa chọn hiển nhiên nào về cái nào là cái đúng. Bây giờ chúng ta biết cái nào là cái đúng. Tương tự, chúng ta đã tìm được công thức cho năng lượng từ đúng nói chung. Công thức đúng cho mật độ năng lượng của các trường động là phương trình (27.14).
27–5 Các ví dụ về dòng năng lượng
Công thức cho vector dòng năng lượng S của chúng ta là một cái gì đó hoàn toàn mới. Bây giờ chúng ta muốn xem nó hoạt động như thế nào trong một số trường hợp đặc biệt và cũng xem liệu nó có khớp với bất cứ điều gì chúng ta đã biết trước đây không. Ví dụ đầu tiên chúng ta sẽ lấy là ánh sáng. Trong một sóng ánh sáng chúng ta có một vector E và một vector B vuông góc với nhau và với hướng truyền sóng. (Xem Hình 27–2.) Trong một sóng điện từ, độ lớn của B bằng 1/c lần độ lớn của E, và vì chúng vuông góc với nhau,
|E×B| = E2/c.
Vì vậy, đối với ánh sáng, dòng năng lượng trên một đơn vị diện tích trong một giây là
S = ε0cE2. (27.16)
Đối với một sóng ánh sáng trong đó E = E0 cos ω(t − x/c), tốc độ dòng năng lượng trung bình trên một đơn vị diện tích, ⟨S⟩ — được gọi là “cường độ” của ánh sáng — là giá trị trung bình của bình phương của điện trường nhân với ε0c:
Cường độ = ⟨S⟩ = ε0c⟨E2⟩. (27.17)
Tin hay không, chúng ta đã suy ra kết quả này trong Mục 31–5 của Tập I, khi chúng ta nghiên cứu ánh sáng. Chúng ta có thể tin rằng nó đúng bởi vì nó cũng khớp với một điều khác. Khi chúng ta có một chùm sáng, có một mật độ năng lượng trong không gian được cho bởi phương trình (27.14). Dùng cB = E đối với một sóng ánh sáng, chúng ta nhận được
u = (ε0/2) E2 + (ε0c2/2)(E2/c2) = ε0E2.
Nhưng E biến thiên trong không gian, nên mật độ năng lượng trung bình là
⟨u⟩ = ε0⟨E2⟩. (27.18)
Bây giờ sóng truyền với tốc độ c, nên chúng ta hẳn nghĩ rằng năng lượng đi qua một mét vuông trong một giây là c lần lượng năng lượng trong một mét khối. Vậy chúng ta sẽ nói rằng
⟨S⟩ = ε0c⟨E2⟩.
Và nó đúng; nó giống như phương trình (27.17).
Bây giờ chúng ta lấy một ví dụ khác. Đây là một ví dụ khá tò mò. Chúng ta nhìn vào dòng năng lượng trong một tụ điện mà chúng ta đang nạp điện một cách chậm chạp. (Chúng ta không muốn các tần số cao đến mức tụ điện bắt đầu trông giống một hốc cộng hưởng, nhưng chúng ta cũng không muốn dòng điện một chiều.) Giả sử chúng ta dùng một tụ điện bản song song hình tròn thuộc loại thông thường của chúng ta, như trong Hình 27–3. Có một điện trường gần như đều bên trong đang thay đổi theo thời gian. Tại bất kỳ thời điểm nào, tổng năng lượng điện từ bên trong là u nhân với thể tích. Nếu các bản có bán kính a và khoảng cách h, tổng năng lượng giữa các bản là
U = ((ε0/2) E2)(πa2h). (27.19)
Năng lượng này thay đổi khi E thay đổi. Khi tụ điện đang được nạp điện, thể tích giữa các bản đang nhận năng lượng với tốc độ
dU/dt = ε0πa2hEĖ. (27.20)
Vậy phải có một dòng năng lượng vào thể tích đó từ một nơi nào đó. Dĩ nhiên bạn biết rằng nó phải đến qua các dây nạp điện — hoàn toàn không! Nó không thể vào khoảng không gian giữa các bản từ hướng đó, bởi vì E vuông góc với các bản; E×B phải song song với các bản.
Dĩ nhiên, bạn nhớ rằng có một từ trường quấn quanh trục khi tụ điện đang nạp điện. Chúng ta đã thảo luận điều đó trong Chương 23. Dùng phương trình cuối cùng của Maxwell, chúng ta đã thấy rằng từ trường ở mép của tụ điện được cho bởi
2πac2B = Ė · πa2,
hay
B = (a/2c2) Ė.
Hướng của nó được chỉ trong Hình 27–3. Vậy có một dòng năng lượng tỉ lệ với E×B đi vào khắp xung quanh các mép, như trong hình. Năng lượng thực ra không đi xuống các dây, mà đến từ khoảng không gian bao quanh tụ điện.
Hãy kiểm tra xem tổng lượng dòng chảy qua toàn bộ mặt giữa các mép của các bản có khớp với tốc độ thay đổi của năng lượng bên trong không — nó phải khớp; chúng ta đã trải qua tất cả công việc đó để chứng minh phương trình (27.15) cho chắc, nhưng hãy xem. Diện tích của mặt là 2πah, và S = ε0c2E×B có độ lớn là
ε0c2E[(a/2c2) Ė],
vậy tổng thông lượng năng lượng là
πa2hε0EĖ.
Nó đúng là khớp với phương trình (27.20). Nhưng nó cho chúng ta biết một điều kỳ lạ: rằng khi chúng ta đang nạp điện cho một tụ điện, năng lượng không đi xuống các dây; nó đi vào qua các mép của khe. Đó là điều lý thuyết này nói!
Làm thế nào điều đó có thể được? Đó không phải là một câu hỏi dễ, nhưng đây là một cách nghĩ về nó. Giả sử chúng ta có một số điện tích ở phía trên và phía dưới tụ điện và ở rất xa. Khi các điện tích ở xa, có một trường yếu nhưng trải ra vô cùng rộng bao quanh tụ điện. (Xem Hình 27–4.) Khi đó, khi các điện tích đến gần nhau, trường trở nên mạnh hơn gần tụ điện hơn. Vậy năng lượng trường ở rất xa ngoài di chuyển về phía tụ điện và cuối cùng kết thúc ở giữa các bản.
Là một ví dụ khác, chúng ta hỏi điều gì xảy ra trong một đoạn dây điện trở khi nó đang mang một dòng điện. Vì dây có điện trở, có một điện trường dọc theo nó, điều khiển dòng điện. Bởi vì có một độ giảm thế dọc theo dây, cũng có một điện trường ngay bên ngoài dây, song song với bề mặt. (Xem Hình 27–5.) Thêm vào đó, có một từ trường quấn quanh dây vì dòng điện. E và B vuông góc với nhau; vì vậy có một vector Poynting hướng xuyên tâm vào trong, như trong hình. Có một dòng năng lượng vào dây khắp xung quanh. Dĩ nhiên, nó bằng năng lượng đang bị mất trong dây dưới dạng nhiệt. Vậy lý thuyết “điên rồ” của chúng ta nói rằng các electron đang nhận năng lượng của chúng để sinh nhiệt bởi vì năng lượng chảy vào dây từ trường bên ngoài. Trực giác dường như cho chúng ta biết rằng các electron nhận năng lượng của chúng từ việc bị đẩy dọc theo dây, nên năng lượng hẳn phải đang chảy xuống (hay lên) dọc theo dây. Nhưng lý thuyết nói rằng các electron thực ra đang bị đẩy bởi một điện trường, vốn đến từ một số điện tích ở rất xa, và rằng các electron nhận năng lượng của chúng để sinh nhiệt từ các trường này. Năng lượng bằng cách nào đó chảy từ các điện tích ở xa vào một vùng không gian rộng lớn và sau đó vào trong dây.
Cuối cùng, để thực sự thuyết phục bạn rằng lý thuyết này hiển nhiên là điên rồ, chúng ta sẽ lấy thêm một ví dụ nữa — một ví dụ trong đó một điện tích và một nam châm ở trạng thái nghỉ gần nhau — cả hai đều ngồi yên hoàn toàn. Giả sử chúng ta lấy ví dụ một điện tích điểm ngồi gần tâm của một thanh nam châm, như trong Hình 27–6. Mọi thứ đều đứng yên, nên năng lượng không thay đổi theo thời gian. Ngoài ra, E và B khá là tĩnh. Nhưng vector Poynting nói rằng có một dòng năng lượng, bởi vì có một E×B không bằng không. Nếu bạn nhìn vào dòng năng lượng, bạn thấy rằng nó chỉ lưu thông vòng quanh và vòng quanh. Không có sự thay đổi năng lượng ở bất cứ đâu — mọi thứ chảy vào một thể tích đều chảy ra lại. Nó giống như nước không nén được đang chảy vòng quanh. Vậy có một sự lưu thông của năng lượng trong cái gọi là điều kiện tĩnh này. Thật vô lý làm sao!
Có lẽ nó không quá khó hiểu, khi bạn nhớ rằng cái chúng ta gọi là một nam châm “tĩnh” thực ra là một dòng điện thường trực đang lưu thông. Trong một nam châm vĩnh cửu, các electron đang quay vĩnh viễn bên trong. Vậy có lẽ một sự lưu thông của năng lượng bên ngoài cũng không quá kỳ quặc.
Không nghi ngờ gì bạn bắt đầu có ấn tượng rằng lý thuyết Poynting ít nhất một phần vi phạm trực giác của bạn về việc năng lượng nằm ở đâu trong một trường điện từ. Bạn có thể tin rằng bạn phải làm lại mọi trực giác của mình, và, vì vậy có rất nhiều thứ phải học ở đây. Nhưng nó thực sự dường như không cần thiết. Bạn không cần cảm thấy rằng bạn sẽ gặp rắc rối lớn nếu thỉnh thoảng bạn quên rằng năng lượng trong một sợi dây đang chảy vào dây từ bên ngoài, thay vì dọc theo dây. Dường như chỉ hiếm khi có giá trị, khi dùng ý tưởng bảo toàn năng lượng, để lưu ý chi tiết năng lượng đang đi theo đường nào. Sự lưu thông của năng lượng quanh một nam châm và một điện tích dường như, trong hầu hết các hoàn cảnh, khá không quan trọng. Nó không phải là một chi tiết sống còn, nhưng rõ ràng là các trực giác thông thường của chúng ta khá là sai.
27–6 Động lượng trường
Tiếp theo chúng ta muốn nói về động lượng trong trường điện từ. Đúng như trường có năng lượng, nó sẽ có một động lượng nhất định trên một đơn vị thể tích. Hãy gọi mật độ động lượng đó là g. Dĩ nhiên, động lượng có các hướng có thể khác nhau, nên g phải là một vector. Hãy nói về từng thành phần một; trước hết, chúng ta lấy thành phần x. Vì mỗi thành phần của động lượng được bảo toàn, chúng ta hẳn có thể viết xuống một định luật trông giống như thế này:
−∂/∂t (động lượng của vật chất)x = ∂gx/∂t + (dòng động lượng chảy ra)x.
Vế trái thì dễ. Tốc độ thay đổi của động lượng của vật chất chỉ là lực tác dụng lên nó. Đối với một hạt, nó là F = q(E + v×B); đối với một phân bố điện tích, lực trên một đơn vị thể tích là (ρE + j×B). Tuy nhiên, số hạng “dòng động lượng chảy ra” thì kỳ lạ. Nó không thể là divergence của một vector bởi vì nó không phải là một vô hướng; nó là, đúng hơn, một thành phần x của một vector nào đó. Dù sao, nó có lẽ phải trông giống như
∂a/∂x + ∂b/∂y + ∂c/∂z,
bởi vì động lượng x có thể chảy theo bất kỳ hướng nào trong ba hướng. Trong bất kỳ trường hợp nào, dù a, b và c là gì, tổ hợp được cho là bằng dòng chảy ra của động lượng x.
Bây giờ trò chơi sẽ là viết ρE + j×B chỉ theo E và B — loại bỏ ρ và j bằng cách dùng các phương trình Maxwell — và sau đó đảo lộn các số hạng và thực hiện các phép thay thế để đưa nó vào một dạng trông giống như
∂gx/∂t + ∂a/∂x + ∂b/∂y + ∂c/∂z.
Khi đó, bằng cách đồng nhất các số hạng, chúng ta sẽ có các biểu thức cho gx, a, b và c. Đó là rất nhiều công việc, và chúng ta sẽ không làm nó. Thay vào đó, chúng ta sẽ chỉ tìm một biểu thức cho g, mật độ động lượng — và bằng một con đường khác.
Có một định lý quan trọng trong cơ học là thế này: mỗi khi có một dòng năng lượng trong bất kỳ hoàn cảnh nào (năng lượng trường hay bất kỳ loại năng lượng nào khác), năng lượng chảy qua một đơn vị diện tích trên một đơn vị thời gian, khi nhân với 1/c2, bằng động lượng trên một đơn vị thể tích trong không gian. Trong trường hợp đặc biệt của điện động lực học, định lý này cho kết quả là g bằng 1/c2 lần vector Poynting:
g = (1/c2) S. (27.21)
Vậy vector Poynting cho không chỉ dòng năng lượng mà, nếu bạn chia cho c2, còn cho mật độ động lượng. Cùng một kết quả sẽ xuất phát từ phép phân tích khác mà chúng tôi đã gợi ý, nhưng thú vị hơn là lưu ý kết quả tổng quát hơn này. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ và lập luận thú vị để thuyết phục bạn rằng định lý tổng quát là đúng.
Ví dụ đầu tiên: Giả sử chúng ta có rất nhiều hạt trong một hộp — hãy nói N hạt trên một mét khối — và chúng đang chuyển động dọc theo với một vận tốc v nào đó. Bây giờ hãy xét một mặt phẳng tưởng tượng vuông góc với v. Dòng năng lượng qua một đơn vị diện tích của mặt này trong một giây bằng Nv, số hạt chảy qua mặt trong một giây, nhân với năng lượng do mỗi hạt mang theo. Năng lượng trong mỗi hạt là m0c2/√(1 − v2/c2). Vậy dòng năng lượng trong một giây là
Nv [m0c2/√(1 − v2/c2)].
Nhưng động lượng của mỗi hạt là m0v/√(1 − v2/c2), nên mật độ động lượng là
N [m0v/√(1 − v2/c2)],
đúng bằng 1/c2 lần dòng năng lượng — như định lý nói. Vậy định lý đúng đối với một đám hạt.
Nó cũng đúng đối với ánh sáng. Khi chúng ta nghiên cứu ánh sáng trong Tập I, chúng ta đã thấy rằng khi năng lượng được hấp thụ từ một chùm sáng, một lượng động lượng nhất định được truyền cho vật hấp thụ. Thực ra, chúng ta đã chỉ ra trong Chương 34 của Tập I rằng động lượng bằng 1/c lần năng lượng bị hấp thụ [phương trình (34.24) của Tập I]. Nếu chúng ta để U là năng lượng tới một đơn vị diện tích trong một giây, thì động lượng tới một đơn vị diện tích trong một giây là U/c. Nhưng động lượng đang truyền đi với tốc độ c, nên mật độ của nó ở phía trước vật hấp thụ phải là U/c2. Vậy một lần nữa định lý đúng.
Cuối cùng chúng ta sẽ đưa ra một lập luận do Einstein đưa ra chứng minh cùng một điều một lần nữa. Giả sử chúng ta có một toa xe lửa trên các bánh xe (giả thiết không ma sát) với một khối lượng lớn M nào đó. Ở một đầu có một thiết bị sẽ bắn ra một số hạt hay ánh sáng (hay bất cứ thứ gì, nó không tạo ra sự khác biệt gì), những thứ này sau đó bị chặn lại ở đầu đối diện của toa xe. Ban đầu có một năng lượng nào đó ở một đầu — chẳng hạn năng lượng U được chỉ trong Hình 27–7(a) — và sau đó nó ở đầu đối diện, như trong Hình 27–7(c). Năng lượng U đã bị dời đi một khoảng L, chiều dài của toa xe. Bây giờ năng lượng U có khối lượng U/c2, nên nếu toa xe đứng yên, trọng tâm của toa xe sẽ bị di chuyển. Einstein không thích ý tưởng rằng trọng tâm của một vật có thể bị di chuyển chỉ bằng cách loay hoay ở bên trong, nên ông giả thiết rằng không thể di chuyển trọng tâm bằng cách làm bất cứ điều gì ở bên trong. Nhưng nếu đúng là vậy, khi chúng ta di chuyển năng lượng U từ một đầu tới đầu kia, toàn bộ toa xe phải giật lùi một khoảng x nào đó, như trong phần (c) của hình. Thực ra, bạn có thể thấy rằng tổng khối lượng của toa xe, nhân với x, phải bằng khối lượng của năng lượng đã di chuyển, U/c2 nhân với L (giả thiết rằng U/c2 nhỏ hơn M nhiều):
Mx = (U/c2) L. (27.22)
Bây giờ hãy xét trường hợp đặc biệt năng lượng được ánh sáng mang theo. (Lập luận sẽ hoạt động tốt như vậy đối với các hạt, nhưng chúng ta sẽ đi theo Einstein, người quan tâm tới bài toán ánh sáng.) Điều gì khiến toa xe bị di chuyển? Einstein lập luận như sau: Khi ánh sáng được phát ra phải có một sự giật lùi, một sự giật lùi chưa biết nào đó với động lượng p. Chính sự giật lùi này làm toa xe lăn ngược lại. Vận tốc giật lùi v của toa xe sẽ là động lượng này chia cho khối lượng của toa xe:
v = p/M.
Toa xe chuyển động với vận tốc này cho tới khi năng lượng ánh sáng U tới đầu đối diện. Khi đó, khi nó chạm vào, nó trả lại động lượng của nó và làm toa xe dừng lại. Nếu x nhỏ, thì thời gian toa xe chuyển động gần như bằng L/c; vậy chúng ta có
x = vt = v (L/c) = (p/M)(L/c).
Đặt x này vào phương trình (27.22), chúng ta nhận được
p = U/c.
Một lần nữa chúng ta có mối quan hệ của năng lượng và động lượng đối với ánh sáng, từ đó lập luận ở trên chỉ ra rằng mật độ động lượng là
g = U/c2. (27.23)
Bạn có thể tự hỏi: Điều gì quan trọng đến thế về định lý trọng tâm? Có lẽ nó sai. Có lẽ vậy, nhưng khi đó chúng ta cũng sẽ mất sự bảo toàn mômen động lượng. Giả sử toa xe của chúng ta đang chuyển động dọc theo một đường ray với một tốc độ v nào đó và chúng ta bắn một năng lượng ánh sáng nào đó từ trên xuống dưới của toa xe — chẳng hạn, từ A tới B trong Hình 27–8. Bây giờ chúng ta xét mômen động lượng của hệ quanh điểm P. Trước khi năng lượng U rời A, nó có khối lượng m = U/c2 và vận tốc v, nên nó có mômen động lượng mvrA. Khi nó tới B, nó có cùng khối lượng và, nếu động lượng tuyến tính của toàn bộ toa xe không thay đổi, nó vẫn phải có vận tốc v. Mômen động lượng của nó quanh P khi đó là mvrB. Mômen động lượng sẽ bị thay đổi trừ khi động lượng giật lùi đúng đã được truyền cho toa xe khi ánh sáng được phát ra — tức là, trừ khi ánh sáng mang theo động lượng U/c. Hóa ra sự bảo toàn mômen động lượng và định lý trọng tâm liên quan chặt chẽ với nhau trong lý thuyết tương đối. Vậy sự bảo toàn mômen động lượng cũng sẽ bị phá hủy nếu định lý của chúng ta không đúng. Dù sao, nó hóa ra là một định luật tổng quát đúng, và trong trường hợp điện động lực học chúng ta có thể dùng nó để nhận được động lượng trong trường.
Chúng ta sẽ nêu hai ví dụ nữa về động lượng trong trường điện từ. Trong Mục 26–2 chúng ta đã chỉ ra sự thất bại của định luật tác dụng và phản tác dụng khi hai hạt tích điện đang chuyển động trên các quỹ đạo vuông góc. Các lực tác dụng lên hai hạt không cân bằng nhau, nên tác dụng và phản tác dụng không bằng nhau; vì vậy động lượng ròng của vật chất phải đang thay đổi. Nó không được bảo toàn. Nhưng động lượng trong trường cũng đang thay đổi trong một tình huống như vậy. Nếu bạn tính ra lượng động lượng được vector Poynting cho, nó không phải là hằng số. Tuy nhiên, sự thay đổi của động lượng hạt đúng được bù bởi động lượng trường, nên tổng động lượng của các hạt cộng trường được bảo toàn.
Cuối cùng, một ví dụ khác là tình huống với nam châm và điện tích, được chỉ trong Hình 27–6. Chúng ta đã không vui khi thấy rằng năng lượng đang chảy vòng quanh theo các vòng tròn, nhưng bây giờ, vì chúng ta biết rằng dòng năng lượng và động lượng tỉ lệ với nhau, chúng ta cũng biết rằng có động lượng đang lưu thông trong không gian. Nhưng một động lượng lưu thông có nghĩa là có mômen động lượng. Vậy có mômen động lượng trong trường. Bạn có nhớ nghịch lý chúng ta đã mô tả trong Mục 17–4 về một solenoid và một số điện tích gắn trên một đĩa không? Dường như khi dòng điện bị ngắt, toàn bộ đĩa hẳn sẽ bắt đầu quay. Câu đố là: Mômen động lượng đến từ đâu? Đáp án là nếu bạn có một từ trường và một số điện tích, sẽ có một mômen động lượng nào đó trong trường. Nó hẳn đã được đưa vào đó khi trường được tạo dựng. Khi trường bị ngắt, mômen động lượng được trả lại. Vậy đĩa trong nghịch lý sẽ bắt đầu quay. Dòng năng lượng lưu thông thần bí này, lúc đầu có vẻ vô lý đến thế, là hoàn toàn cần thiết. Thực sự có một dòng động lượng. Nó cần thiết để duy trì sự bảo toàn mômen động lượng trong toàn bộ thế giới.