Chương 28: Khối lượng điện từ
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập II, Chương 28: “Electromagnetic Mass”
28–1 Năng lượng trường của một điện tích điểm
Khi kết hợp thuyết tương đối với các phương trình Maxwell, chúng ta đã hoàn thành công việc chính của mình về lý thuyết điện từ học. Dĩ nhiên, có một số chi tiết chúng ta đã bỏ qua và một lĩnh vực lớn mà chúng ta sẽ quan tâm trong tương lai — sự tương tác của trường điện từ với vật chất. Nhưng chúng ta muốn dừng lại một lúc để cho bạn thấy rằng tòa nhà vĩ đại này, vốn là một thành công đẹp đẽ trong việc giải thích rất nhiều hiện tượng, cuối cùng lại sụp đổ thảm hại. Khi bạn theo đuổi bất kỳ phần vật lý nào của chúng ta quá xa, bạn sẽ thấy rằng nó luôn gặp phải một loại rắc rối nào đó. Bây giờ chúng ta muốn thảo luận một rắc rối nghiêm trọng — sự thất bại của lý thuyết điện từ cổ điển. Bạn có thể nhận thấy rằng có một sự thất bại của mọi vật lý cổ điển do các hiệu ứng cơ học lượng tử. Cơ học cổ điển là một lý thuyết nhất quán về mặt toán học; nó chỉ không phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, điều thú vị là lý thuyết điện từ cổ điển tự nó đã là một lý thuyết không thỏa đáng. Có những khó khăn gắn liền với các ý tưởng của lý thuyết Maxwell mà không được giải quyết bởi cơ học lượng tử và cũng không liên quan trực tiếp với cơ học lượng tử. Bạn có thể nói: “Có lẽ chẳng ích gì lo lắng về những khó khăn này. Vì cơ học lượng tử sẽ thay đổi các định luật của điện động lực học, chúng ta nên chờ xem sau khi sửa đổi thì còn những khó khăn gì.” Tuy nhiên, khi điện từ học được kết hợp với cơ học lượng tử, các khó khăn vẫn còn. Vì vậy, việc bây giờ chúng ta xem xét những khó khăn này là gì sẽ không lãng phí thời gian. Hơn nữa, chúng có tầm quan trọng lịch sử lớn. Và bạn cũng có thể có được một cảm giác thành tựu nào đó khi có thể đi đủ xa với lý thuyết để nhìn thấy mọi thứ — kể cả mọi rắc rối của nó.
Khó khăn mà chúng ta nói tới gắn liền với các khái niệm động lượng điện từ và năng lượng điện từ, khi áp dụng cho electron hay bất kỳ hạt tích điện nào. Các khái niệm về hạt tích điện đơn giản và trường điện từ theo một cách nào đó không nhất quán với nhau. Để mô tả khó khăn này, chúng ta bắt đầu bằng một số bài tập với các khái niệm năng lượng và động lượng của mình.
Trước hết, chúng ta tính năng lượng của một hạt tích điện. Giả sử chúng ta lấy một mô hình đơn giản của electron, trong đó toàn bộ điện tích q của nó được phân bố đều trên bề mặt của một hình cầu bán kính a, mà ta có thể lấy bằng không cho trường hợp đặc biệt của một điện tích điểm. Bây giờ hãy tính năng lượng trong trường điện từ. Nếu điện tích đứng yên, sẽ không có từ trường, và năng lượng trên một đơn vị thể tích tỉ lệ với bình phương của điện trường. Độ lớn của điện trường là q/4πε0r2, và mật độ năng lượng là
u = (ε0/2)E2 = q2/(32π2ε0r4).
Để được tổng năng lượng, chúng ta phải tích phân mật độ này trên toàn không gian. Dùng phần tử thể tích 4πr2dr, tổng năng lượng, mà chúng ta sẽ gọi là Uelec, là
Uelec = ∫ q2/(8πε0r2) dr.
Tích phân này dễ dàng tính được. Giới hạn dưới là a, và giới hạn trên là ∞, vậy
Uelec = (1/2) · q2/(4πε0) · 1/a. (28.1)
Nếu chúng ta dùng điện tích electron qe cho q và ký hiệu e2 cho qe2/4πε0, thì
Uelec = (1/2) · e2/a. (28.2)
Mọi thứ đều ổn cho đến khi chúng ta đặt a bằng không cho một điện tích điểm — đó chính là khó khăn lớn. Vì năng lượng của trường biến thiên tỉ lệ nghịch với lũy thừa bốn của khoảng cách từ tâm, tích phân thể tích của nó là vô hạn. Có một lượng năng lượng vô hạn trong trường bao quanh một điện tích điểm.
Năng lượng vô hạn thì có gì sai? Nếu năng lượng không thể thoát ra ngoài, mà phải ở đó mãi mãi, thì năng lượng vô hạn có gây ra khó khăn thực sự nào không? Dĩ nhiên, một đại lượng cho ra vô hạn có thể gây khó chịu, nhưng điều thực sự quan trọng chỉ là liệu có bất kỳ hiệu ứng vật lý có thể quan sát được nào hay không. Để trả lời câu hỏi đó, chúng ta phải xét một thứ khác ngoài năng lượng. Giả sử chúng ta hỏi năng lượng thay đổi như thế nào khi chúng ta di chuyển điện tích. Khi đó, nếu các thay đổi là vô hạn, chúng ta sẽ gặp rắc rối.
28–2 Động lượng trường của một điện tích chuyển động
Giả sử một electron đang chuyển động với vận tốc đều trong không gian, tạm giả thiết rằng vận tốc nhỏ so với tốc độ ánh sáng. Gắn liền với electron chuyển động này có một động lượng — ngay cả khi electron không có khối lượng trước khi được tích điện — do động lượng trong trường điện từ. Chúng ta có thể chứng tỏ rằng động lượng trường hướng theo hướng của vận tốc v của điện tích và, đối với các vận tốc nhỏ, tỉ lệ với v. Đối với một điểm P ở khoảng cách r từ tâm của điện tích và ở góc θ so với đường chuyển động (xem Hình 28–1), điện trường hướng theo phương bán kính và, như chúng ta đã thấy, từ trường là v×E/c2. Mật độ động lượng, phương trình (27.21), là
g = ε0E×B.
Nó hướng xiên về phía đường chuyển động, như chỉ trong hình, và có độ lớn
g = (ε0v/c2)E2 sin θ.
Các trường đối xứng quanh đường chuyển động, nên khi chúng ta tích phân trên không gian, các thành phần ngang sẽ tổng hợp bằng không, cho một động lượng hợp thành song song với v. Thành phần của g theo hướng này là g sin θ, mà chúng ta phải tích phân trên toàn không gian. Chúng ta lấy phần tử thể tích là một vòng có mặt phẳng vuông góc với v, như trong Hình 28–2. Thể tích của nó là 2πr2 sin θ dθ dr. Tổng động lượng khi đó là
p = ∫ (ε0v/c2) E2 sin2θ · 2πr2 sin θ dθ dr.
Vì E không phụ thuộc vào θ (đối với v ≪ c), chúng ta có thể tích phân ngay theo θ; tích phân là
∫ sin3θ dθ = −∫(1 − cos2θ) d(cos θ) = −cos θ + cos3θ/3.
Các giới hạn của θ là 0 và π, nên tích phân theo θ chỉ cho một thừa số 4/3, và
p = (8π/3) · (ε0v/c2) ∫ E2r2 dr.
Tích phân (đối với v ≪ c) là tích phân chúng ta vừa tính để tìm năng lượng; nó bằng q2/16π2ε02a, và
p = (2/3) · [q2/(4πε0)] · v/(ac2),
hay
p = (2/3) · (e2/ac2) v. (28.3)
Động lượng trong trường — động lượng điện từ — tỉ lệ với v. Nó đúng là điều chúng ta kỳ vọng đối với một hạt có khối lượng bằng hệ số của v. Do đó, chúng ta có thể gọi hệ số này là khối lượng điện từ, melec, và viết nó là
melec = (2/3) · e2/(ac2). (28.4)
28–3 Khối lượng điện từ
Khối lượng đến từ đâu? Trong các định luật cơ học, chúng ta đã giả thiết rằng mọi vật đều “mang” một thứ mà chúng ta gọi là khối lượng — điều đó cũng có nghĩa là nó “mang” một động lượng tỉ lệ với vận tốc của nó. Bây giờ chúng ta khám phá ra rằng điều dễ hiểu là một hạt tích điện mang một động lượng tỉ lệ với vận tốc của nó. Thực tế, có thể khối lượng chỉ là hiệu ứng của điện động lực học. Nguồn gốc của khối lượng cho đến nay vẫn chưa được giải thích. Cuối cùng, trong lý thuyết điện động lực học, chúng ta đã có một cơ hội lớn để hiểu một điều mà trước đây chúng ta chưa bao giờ hiểu. Nó xuất hiện bất ngờ — hay đúng hơn, từ Maxwell và Poynting — rằng bất kỳ hạt tích điện nào cũng sẽ có một động lượng tỉ lệ với vận tốc của nó chỉ từ các ảnh hưởng điện từ.
Hãy thận trọng và nói, trong chốc lát, rằng có hai loại khối lượng — rằng tổng động lượng của một vật có thể là tổng của một động lượng cơ học và động lượng điện từ. Động lượng cơ học là “khối lượng cơ học”, mmech, nhân với v. Trong các thí nghiệm mà chúng ta đo khối lượng của một hạt bằng cách xem nó có bao nhiêu động lượng, hoặc nó quay như thế nào trong một quỹ đạo, chúng ta đang đo tổng khối lượng. Nói chung, chúng ta nói rằng động lượng là tổng khối lượng (mmech + melec) nhân với vận tốc. Vậy khối lượng quan sát được có thể gồm hai phần (hoặc có thể nhiều hơn nếu tính thêm các trường khác): một phần cơ học cộng một phần điện từ. Chúng ta biết chắc chắn rằng có một phần điện từ, và chúng ta có một công thức cho nó. Và có khả năng ly kỳ rằng phần cơ học hoàn toàn không có ở đó — rằng khối lượng hoàn toàn là điện từ.
Hãy xem electron phải có kích thước bao nhiêu nếu không có khối lượng cơ học. Chúng ta có thể tìm ra bằng cách đặt khối lượng điện từ của phương trình (28.4) bằng khối lượng quan sát được me của một electron. Chúng ta tìm được
a = (2/3) · e2/(mec2). (28.5)
Đại lượng
r0 = e2/(mec2) (28.6)
được gọi là “bán kính electron cổ điển”; nó có giá trị số 2,82×10−13 cm, khoảng một phần một trăm nghìn của đường kính một nguyên tử.
Tại sao r0 được gọi là bán kính electron, thay vì a của chúng ta? Vì chúng ta cũng có thể làm cùng phép tính như vậy với các phân bố điện tích giả thiết khác — điện tích có thể được trải đều trong thể tích của một hình cầu hoặc có thể được nhòe ra như một quả bóng mờ. Đối với mỗi giả thiết cụ thể, thừa số 2/3 sẽ thay đổi thành một phân số khác nào đó. Chẳng hạn, đối với một điện tích phân bố đều trong thể tích của một hình cầu, 2/3 được thay bằng 4/5. Thay vì tranh cãi phân bố nào đúng, người ta quyết định định nghĩa r0 là bán kính “danh nghĩa”. Khi đó các lý thuyết khác nhau có thể cung cấp các hệ số ưa thích của chúng.
Hãy theo đuổi lý thuyết điện từ về khối lượng của chúng ta. Phép tính của chúng ta là cho v ≪ c; điều gì xảy ra nếu chúng ta đi tới các vận tốc cao? Các thử nghiệm ban đầu đã dẫn đến một sự nhầm lẫn nhất định, nhưng Lorentz nhận ra rằng hình cầu tích điện sẽ co lại thành một ellipsoid ở vận tốc cao và các trường sẽ thay đổi theo các công thức (26.6) và (26.7) mà chúng ta đã suy ra cho trường hợp tương đối tính trong Chương 26. Nếu bạn thực hiện các tích phân cho p trong trường hợp đó, bạn sẽ thấy rằng đối với một vận tốc tùy ý v, động lượng bị thay đổi bởi thừa số 1/√(1 − v2/c2):
p = (2/3) · [e2/(ac2)] · v/√(1 − v2/c2). (28.7)
Nói cách khác, khối lượng điện từ tăng theo vận tốc tỉ lệ nghịch với √(1 − v2/c2) — một khám phá đã được thực hiện trước cả thuyết tương đối.
Các thí nghiệm ban đầu đã được đề xuất để đo các thay đổi theo vận tốc của khối lượng quan sát được của một hạt, nhằm xác định bao nhiêu khối lượng là cơ học và bao nhiêu là điện. Người ta tin vào thời đó rằng phần điện sẽ thay đổi theo vận tốc, trong khi phần cơ học thì không. Nhưng trong khi các thí nghiệm đang được thực hiện, các nhà lý thuyết cũng đang làm việc. Chẳng bao lâu thuyết tương đối được phát triển, thuyết này đề xuất rằng bất kể nguồn gốc của khối lượng là gì, toàn bộ nó cũng sẽ thay đổi như m0/√(1 − v2/c2). Phương trình (28.7) là khởi đầu của lý thuyết cho rằng khối lượng phụ thuộc vào vận tốc.
Bây giờ hãy quay lại phép tính năng lượng trong trường của chúng ta, vốn dẫn đến phương trình (28.2). Theo thuyết tương đối, năng lượng U sẽ có khối lượng U/c2; phương trình (28.2) khi đó nói rằng trường của electron phải có khối lượng
m′elec = Uelec/c2 = (1/2) · e2/(ac2), (28.8)
vốn không giống với khối lượng điện từ, melec, của phương trình (28.4). Thực tế, nếu chúng ta chỉ kết hợp các phương trình (28.2) và (28.4), chúng ta sẽ viết
Uelec = (3/4) melecc2.
Công thức này đã được khám phá trước thuyết tương đối, và khi Einstein và những người khác bắt đầu nhận ra rằng luôn luôn phải có U = mc2, đã có sự nhầm lẫn lớn.
28–4 Lực của một electron tác dụng lên chính nó
Sự khác biệt giữa hai công thức cho khối lượng điện từ đặc biệt gây khó chịu, vì chúng ta đã chứng minh cẩn thận rằng lý thuyết điện động lực học nhất quán với nguyên lý tương đối. Thế nhưng thuyết tương đối hàm ý không chút nghi ngờ rằng động lượng phải bằng năng lượng nhân với v/c2. Vậy chúng ta đang gặp một loại rắc rối nào đó; chúng ta hẳn đã mắc một sai lầm. Chúng ta không mắc sai lầm đại số nào trong các phép tính, nhưng chúng ta đã bỏ sót một điều gì đó.
Khi suy ra các phương trình của chúng ta cho năng lượng và động lượng, chúng ta đã giả thiết các định luật bảo toàn. Chúng ta đã giả thiết rằng mọi lực đều được tính đến và rằng bất kỳ công nào được thực hiện và bất kỳ động lượng nào được mang bởi các bộ máy “phi điện” khác đều được bao gồm. Bây giờ nếu chúng ta có một hình cầu điện tích, các lực điện đều là lực đẩy và một electron sẽ có xu hướng bay tản ra. Vì hệ có các lực không cân bằng, chúng ta có thể mắc đủ loại sai lầm trong các định luật liên hệ năng lượng và động lượng. Để có được một bức tranh nhất quán, chúng ta phải tưởng tượng rằng có cái gì đó giữ electron lại với nhau. Các điện tích phải được giữ trên hình cầu bằng một loại dây thun nào đó — một thứ gì đó giữ các điện tích khỏi bay đi. Poincaré là người đầu tiên chỉ ra rằng các dây thun — hay bất cứ thứ gì giữ electron lại với nhau — phải được bao gồm trong các phép tính năng lượng và động lượng. Vì lý do này, các lực phi điện phụ thêm còn được biết dưới cái tên thanh lịch hơn là “các ứng suất Poincaré”. Nếu các lực phụ thêm được bao gồm trong các phép tính, các khối lượng thu được theo hai cách sẽ thay đổi (theo một cách phụ thuộc vào các giả thiết chi tiết). Và các kết quả nhất quán với thuyết tương đối; tức là, khối lượng ra từ phép tính động lượng giống với khối lượng ra từ phép tính năng lượng. Tuy nhiên, cả hai đều chứa hai đóng góp: một khối lượng điện từ và đóng góp từ các ứng suất Poincaré. Chỉ khi hai đóng góp cộng lại với nhau chúng ta mới được một lý thuyết nhất quán.
Do đó, không thể làm cho toàn bộ khối lượng là điện từ theo cách chúng ta đã hy vọng. Đó không phải là một lý thuyết hợp lệ nếu chúng ta chỉ có điện động lực học. Phải thêm vào một thứ gì đó khác. Dù bạn gọi chúng là “dây thun”, hay “ứng suất Poincaré”, hay một thứ gì khác — phải có các lực khác trong tự nhiên để tạo ra một lý thuyết nhất quán thuộc loại này.
Rõ ràng, ngay khi chúng ta phải đặt các lực vào bên trong electron, vẻ đẹp của toàn bộ ý tưởng bắt đầu biến mất. Mọi thứ trở nên rất phức tạp. Bạn sẽ muốn hỏi: Các ứng suất mạnh đến đâu? Electron rung như thế nào? Nó có dao động không? Tất cả các tính chất nội tại của nó là gì? Và cứ thế. Có thể một electron thực sự có một số tính chất nội tại phức tạp. Nếu chúng ta xây dựng một lý thuyết về electron theo các đường hướng này, nó sẽ tiên đoán các tính chất kỳ lạ, như các mode dao động, mà dường như chưa được quan sát. Chúng ta nói “dường như” vì chúng ta quan sát rất nhiều thứ trong tự nhiên mà vẫn chưa có ý nghĩa. Một ngày nào đó chúng ta có thể phát hiện ra rằng một trong những thứ chúng ta không hiểu ngày nay (chẳng hạn, muon) thực tế có thể được giải thích như một dao động của các ứng suất Poincaré. Điều đó có vẻ không chắc, nhưng không ai có thể nói chắc chắn. Có rất nhiều điều về các hạt cơ bản mà chúng ta vẫn chưa hiểu. Dù sao đi nữa, cấu trúc phức tạp mà lý thuyết này hàm ý là không mong muốn, và nỗ lực giải thích mọi khối lượng theo điện từ học — ít nhất là theo cách chúng ta đã mô tả — đã dẫn đến một ngõ cụt.
Chúng ta muốn suy nghĩ thêm một chút về việc tại sao chúng ta nói rằng chúng ta có một khối lượng khi động lượng trong trường tỉ lệ với vận tốc. Dễ thôi! Khối lượng là hệ số giữa động lượng và vận tốc. Nhưng chúng ta có thể nhìn khối lượng theo một cách khác: một hạt có khối lượng nếu bạn phải tác dụng một lực để gia tốc nó. Vì vậy, việc xem xét kỹ hơn các lực đến từ đâu có thể giúp chúng ta hiểu. Làm sao chúng ta biết rằng phải có một lực? Vì chúng ta đã chứng minh định luật bảo toàn động lượng cho các trường. Nếu chúng ta có một hạt tích điện và đẩy nó một lúc, sẽ có một động lượng nào đó trong trường điện từ. Động lượng hẳn đã được đổ vào trường bằng cách nào đó. Do đó hẳn đã có một lực đẩy electron để làm nó chuyển động — một lực cộng thêm vào lực cần thiết do quán tính cơ học của nó, một lực do tương tác điện từ của nó. Và phải có một lực tương ứng tác dụng ngược lại lên “người đẩy”. Nhưng lực đó đến từ đâu?
Bức tranh là như thế này. Chúng ta có thể nghĩ electron như một hình cầu tích điện. Khi nó đứng yên, mỗi phần điện tích đẩy điện mỗi phần khác, nhưng các lực đều cân bằng theo từng cặp, nên không có lực tổng hợp. [Xem Hình 28–3(a).] Tuy nhiên, khi electron đang được gia tốc, các lực sẽ không còn cân bằng nữa do sự thật rằng các ảnh hưởng điện từ cần thời gian để đi từ phần này sang phần khác. Chẳng hạn, lực trên phần α trong Hình 28–3(b) từ một phần β ở phía đối diện phụ thuộc vào vị trí của β ở một thời điểm sớm hơn, như được chỉ ra. Cả độ lớn và hướng của lực đều phụ thuộc vào chuyển động của điện tích. Nếu điện tích đang gia tốc, các lực trên các phần khác nhau của electron có thể như trong Hình 28–3(c). Khi tất cả các lực này cộng lại, chúng không triệt tiêu nhau. Chúng sẽ triệt tiêu đối với một vận tốc đều, mặc dù thoạt nhìn có vẻ như sự trễ sẽ cho một lực không cân bằng ngay cả đối với vận tốc đều. Nhưng hóa ra không có lực tổng hợp trừ phi electron đang được gia tốc. Với gia tốc, nếu chúng ta nhìn vào các lực giữa các phần khác nhau của electron, tác dụng và phản tác dụng không chính xác bằng nhau, và electron tác dụng một lực lên chính nó để cố giữ lại gia tốc. Nó tự níu giữ mình lại bằng chính dây giày của mình.
Có thể, nhưng khó, tính lực tự phản ứng này; tuy nhiên, chúng ta không muốn đi vào một phép tính công phu như vậy ở đây. Chúng ta sẽ cho bạn biết kết quả đối với trường hợp đặc biệt của chuyển động tương đối đơn giản theo một chiều, chẳng hạn x. Khi đó, tự lực có thể được viết thành một chuỗi. Số hạng đầu tiên trong chuỗi phụ thuộc vào gia tốc ẍ, số hạng tiếp theo tỉ lệ với x⃛, và cứ thế.1 Kết quả là
F = α · [e2/(ac2)] ẍ − (2/3) · [e2/c3] x⃛ + γ · [e2a/c4] x⃜ + … (28.9)
trong đó α và γ là các hệ số số có cỡ 1. Hệ số α của số hạng ẍ phụ thuộc vào phân bố điện tích được giả thiết; nếu điện tích phân bố đều trên một hình cầu, thì α = 2/3. Vậy có một số hạng, tỉ lệ với gia tốc, biến thiên tỉ lệ nghịch với bán kính a của electron và khớp chính xác với giá trị chúng ta thu được trong phương trình (28.4) cho melec. Nếu phân bố điện tích được chọn khác đi, sao cho α thay đổi, phân số 2/3 trong phương trình (28.4) sẽ thay đổi theo cùng một cách. Số hạng chứa x⃛ không phụ thuộc vào bán kính giả thiết a, và cũng không phụ thuộc vào phân bố giả thiết của điện tích; hệ số của nó luôn luôn là 2/3. Số hạng tiếp theo tỉ lệ với bán kính a, và hệ số γ của nó phụ thuộc vào phân bố điện tích. Bạn sẽ để ý rằng nếu chúng ta cho bán kính electron a tiến tới không, số hạng cuối (và mọi số hạng cao hơn) sẽ tiến tới không; số hạng thứ hai giữ nguyên không đổi, nhưng số hạng đầu tiên — khối lượng điện từ — tiến tới vô hạn. Và chúng ta có thể thấy rằng sự vô hạn nảy sinh do lực của một phần của electron tác dụng lên một phần khác — vì chúng ta đã cho phép điều có lẽ ngớ ngẩn, khả năng của electron “điểm” tác dụng lên chính nó.
28–5 Các thử nghiệm sửa đổi lý thuyết Maxwell
Bây giờ chúng ta muốn thảo luận việc có thể sửa đổi lý thuyết điện động lực học của Maxwell như thế nào để ý tưởng về một electron như một điện tích điểm đơn giản có thể được duy trì. Nhiều thử nghiệm đã được thực hiện, và một số lý thuyết thậm chí đã có thể sắp xếp mọi thứ sao cho toàn bộ khối lượng electron là điện từ. Nhưng tất cả các lý thuyết này đều đã chết. Việc thảo luận một số khả năng đã được gợi ý vẫn thú vị — để thấy các cuộc vật lộn của trí óc con người.
Chúng ta đã bắt đầu lý thuyết điện của mình bằng cách nói về sự tương tác của một điện tích với một điện tích khác. Sau đó chúng ta tạo ra một lý thuyết về các điện tích tương tác này và kết thúc với một lý thuyết trường. Chúng ta tin vào nó đến mức chúng ta cho phép nó nói cho chúng ta về lực của một phần của electron tác dụng lên một phần khác. Có lẽ toàn bộ khó khăn là ở chỗ các electron không tác dụng lên chính chúng; có lẽ chúng ta đang ngoại suy quá xa từ sự tương tác của các electron riêng biệt tới ý tưởng rằng một electron tương tác với chính nó. Do đó một số lý thuyết đã được đề xuất trong đó khả năng một electron tác dụng lên chính nó bị loại trừ. Khi đó không còn sự vô hạn do tự tác dụng nữa. Ngoài ra, cũng không còn khối lượng điện từ nào gắn với hạt; toàn bộ khối lượng trở lại là cơ học, nhưng có những khó khăn mới trong lý thuyết.
Chúng ta phải nói ngay rằng các lý thuyết như vậy đòi hỏi một sự sửa đổi ý tưởng về trường điện từ. Bạn nhớ chúng ta đã nói lúc bắt đầu rằng lực trên một hạt tại bất kỳ điểm nào được xác định bởi chỉ hai đại lượng — E và B. Nếu chúng ta từ bỏ “tự lực” thì điều này không còn đúng nữa, vì nếu có một electron ở một nơi nào đó, lực không được cho bởi E và B toàn phần, mà chỉ bởi những phần do các điện tích khác gây ra. Vì vậy chúng ta phải luôn theo dõi bao nhiêu phần của E và B là do điện tích mà chúng ta đang tính lực trên đó và bao nhiêu là do các điện tích khác. Điều này làm cho lý thuyết trở nên công phu hơn nhiều, nhưng nó loại bỏ khó khăn về sự vô hạn.
Vậy chúng ta có thể, nếu chúng ta muốn, nói rằng không có cái gọi là electron tác dụng lên chính nó, và vứt bỏ toàn bộ tập hợp các lực trong phương trình (28.9). Tuy nhiên, khi đó chúng ta đã vứt bỏ cả đứa bé cùng với nước tắm! Vì số hạng thứ hai trong phương trình (28.9), số hạng chứa x⃛, là cần thiết. Lực đó làm một việc rất xác định. Nếu bạn vứt nó đi, bạn lại gặp rắc rối. Khi chúng ta gia tốc một điện tích, nó bức xạ sóng điện từ, nên nó mất năng lượng. Do đó, để gia tốc một điện tích, chúng ta phải cần nhiều lực hơn lực cần để gia tốc một vật trung hòa có cùng khối lượng; nếu không năng lượng sẽ không được bảo toàn. Tốc độ mà chúng ta thực hiện công trên một điện tích đang gia tốc phải bằng tốc độ mất năng lượng do bức xạ. Chúng ta đã nói về hiệu ứng này trước đây — nó được gọi là điện trở bức xạ. Chúng ta vẫn phải trả lời câu hỏi: Lực phụ thêm, mà chúng ta phải thực hiện công chống lại nó, đến từ đâu? Khi một anten lớn đang bức xạ, các lực đến từ ảnh hưởng của một phần của dòng điện anten lên một phần khác. Đối với một electron đơn độc đang gia tốc và bức xạ vào không gian trống rỗng còn lại, dường như chỉ có một nơi duy nhất lực có thể đến từ — tác dụng của một phần của electron lên một phần khác.
Chúng ta đã tìm thấy hồi Chương 32 của Tập I rằng một điện tích dao động bức xạ năng lượng với tốc độ
dW/dt = (2/3) · e2(ẍ)2/c3. (28.10)
Hãy xem chúng ta thu được gì cho tốc độ thực hiện công trên một electron chống lại lực bootstrap của phương trình (28.9). Tốc độ công là lực nhân với vận tốc, hay Fẋ:
dW/dt = α · [e2/(ac2)] ẍẋ − (2/3) · [e2/c3] x⃛ẋ + … (28.11)
Số hạng đầu tiên tỉ lệ với dẋ2/dt, và do đó chỉ tương ứng với tốc độ thay đổi của động năng ½mv2 gắn với khối lượng điện từ. Số hạng thứ hai phải tương ứng với công suất bức xạ trong phương trình (28.10). Nhưng nó khác. Sự khác biệt đến từ sự thật rằng số hạng trong phương trình (28.11) đúng nói chung, trong khi phương trình (28.10) chỉ đúng đối với một điện tích dao động. Chúng ta có thể chứng tỏ rằng hai thứ tương đương nhau nếu chuyển động của điện tích là tuần hoàn. Để làm điều đó, chúng ta viết lại số hạng thứ hai của phương trình (28.11) thành
−(2/3) · [e2/c3] d/dt(ẋẍ) + (2/3) · [e2/c3](ẍ)2,
vốn chỉ là một phép biến đổi đại số. Nếu chuyển động của electron là tuần hoàn, đại lượng ẋẍ quay lại cùng một giá trị một cách tuần hoàn, nên nếu chúng ta lấy trung bình đạo hàm theo thời gian của nó, chúng ta được không. Tuy nhiên, số hạng thứ hai luôn dương (nó là một bình phương), nên trung bình của nó cũng dương. Số hạng này cho công ròng được thực hiện và đúng bằng phương trình (28.10).
Số hạng chứa x⃛ của lực bootstrap là cần thiết để có bảo toàn năng lượng trong các hệ bức xạ, và chúng ta không thể vứt bỏ nó. Thực tế, một trong những thắng lợi của Lorentz là chứng tỏ rằng có một lực như vậy và nó đến từ tác dụng của electron lên chính nó. Chúng ta phải tin vào ý tưởng về tác dụng của electron lên chính nó, và chúng ta cần số hạng chứa x⃛. Vấn đề là làm thế nào chúng ta có thể có được số hạng đó mà không có số hạng đầu tiên trong phương trình (28.9), vốn gây mọi rắc rối. Chúng ta không biết làm thế nào. Bạn thấy rằng lý thuyết electron cổ điển đã tự đẩy mình vào một ngõ cụt chật hẹp.
Đã có một số thử nghiệm khác để sửa đổi các định luật nhằm gỡ rối mọi thứ. Một cách, do Born và Infeld đề xuất, là thay đổi các phương trình Maxwell theo một cách phức tạp sao cho chúng không còn tuyến tính. Khi đó năng lượng và động lượng điện từ có thể được làm cho ra hữu hạn. Nhưng các định luật mà họ gợi ý tiên đoán các hiện tượng chưa bao giờ được quan sát. Lý thuyết của họ cũng mắc một khó khăn khác mà chúng ta sẽ gặp sau, vốn chung cho mọi thử nghiệm tránh các rắc rối chúng ta đã mô tả.
Khả năng kỳ lạ sau đây đã được Dirac gợi ý. Ông nói: Hãy thừa nhận rằng một electron tác dụng lên chính nó qua số hạng thứ hai trong phương trình (28.9) nhưng không qua số hạng đầu tiên. Sau đó ông có một ý tưởng khéo léo để loại bỏ cái này mà không loại bỏ cái kia. Nhìn này, ông nói, chúng ta đã thực hiện một giả thiết đặc biệt khi chúng ta chỉ lấy các nghiệm sóng trễ của các phương trình Maxwell; nếu thay vào đó chúng ta lấy các sóng sớm, chúng ta sẽ thu được một điều khác. Công thức cho tự lực sẽ là
F = α · [e2/(ac2)] ẍ + (2/3) · [e2/c3] x⃛ + γ · [e2a/c4] x⃜ + … (28.12)
Phương trình này giống hệt phương trình (28.9) ngoại trừ dấu của số hạng thứ hai — và một số số hạng cao hơn — của chuỗi. [Việc thay đổi từ sóng trễ sang sóng sớm chỉ là thay đổi dấu của độ trễ, điều này, không khó thấy, tương đương với việc thay đổi dấu của t ở khắp mọi nơi. Hiệu ứng duy nhất lên phương trình (28.9) là thay đổi dấu của mọi đạo hàm thời gian bậc lẻ.] Vì vậy, Dirac nói, hãy đặt ra quy tắc mới rằng một electron tác dụng lên chính nó bằng một nửa hiệu của các trường trễ và sớm mà nó tạo ra. Hiệu của các phương trình (28.9) và (28.12), chia cho hai, khi đó là
F = −(2/3) · [e2/c3] x⃛ + các số hạng cao hơn.
Trong mọi số hạng cao hơn, bán kính a xuất hiện với một lũy thừa dương nào đó ở tử số. Do đó, khi chúng ta đi tới giới hạn của một điện tích điểm, chúng ta chỉ được một số hạng duy nhất — đúng điều cần thiết. Bằng cách này, Dirac thu được lực điện trở bức xạ và không có lực quán tính nào. Không có khối lượng điện từ, và lý thuyết cổ điển được cứu — nhưng với cái giá là một giả thiết tùy ý về tự lực.
Tính tùy ý của giả thiết phụ thêm của Dirac đã được loại bỏ, ít nhất là đến một mức độ nào đó, bởi Wheeler và Feynman, những người đã đề xuất một lý thuyết còn kỳ lạ hơn. Họ gợi ý rằng các điện tích điểm tương tác chỉ với các điện tích khác, nhưng sự tương tác là một nửa qua các sóng sớm và một nửa qua các sóng trễ. Hóa ra, đáng ngạc nhiên nhất, rằng trong hầu hết các tình huống bạn sẽ không thấy bất kỳ hiệu ứng nào của các sóng sớm, nhưng chúng có hiệu ứng tạo ra đúng lực phản ứng bức xạ. Điện trở bức xạ không do electron tác dụng lên chính nó, mà từ hiệu ứng kỳ lạ sau đây. Khi một electron được gia tốc tại thời điểm t, nó làm rung mọi điện tích khác trong thế giới tại một thời điểm muộn hơn t′ = t + r/c (trong đó r là khoảng cách tới điện tích khác), do các sóng trễ. Nhưng sau đó các điện tích khác này phản ứng ngược lại lên electron gốc qua các sóng sớm của chúng, vốn sẽ đến tại thời điểm t″, bằng t′ trừ r/c, tức là, dĩ nhiên, đúng bằng t. (Chúng cũng phản ứng ngược bằng các sóng trễ của chúng nữa, nhưng điều đó chỉ tương ứng với các sóng “phản xạ” thông thường.) Sự kết hợp của các sóng sớm và trễ có nghĩa là tại thời điểm nó được gia tốc, một điện tích dao động cảm thấy một lực từ mọi điện tích mà sẽ “đi đến” hấp thụ các sóng bức xạ của nó. Bạn thấy mọi người đã rơi vào những nút thắt chặt chẽ như thế nào khi cố tạo ra một lý thuyết về electron!
Bây giờ chúng ta sẽ mô tả thêm một loại lý thuyết nữa, để cho thấy những loại điều mà mọi người nghĩ ra khi họ bị bí. Đây là một sửa đổi khác của các định luật điện động lực học, do Bopp đề xuất. Bạn nhận ra rằng một khi bạn quyết định thay đổi các phương trình của điện từ học, bạn có thể bắt đầu từ bất cứ đâu bạn muốn. Bạn có thể thay đổi định luật lực cho một electron, hoặc bạn có thể thay đổi các phương trình Maxwell (như chúng ta đã thấy trong các ví dụ đã mô tả), hoặc bạn có thể thực hiện một thay đổi ở một nơi nào khác. Một khả năng là thay đổi các công thức cho các thế theo các điện tích và dòng điện. Một trong các công thức của chúng ta là các thế tại một điểm nào đó được cho bởi mật độ dòng điện (hoặc điện tích) tại mỗi điểm khác tại một thời điểm sớm hơn. Dùng ký hiệu bốn-vector của chúng ta cho các thế, chúng ta viết
Aμ(1,t) = [1/(4πε0c2)] ∫ jμ(2, t − r12/c)/r12 dV2. (28.13)
Ý tưởng đơn giản đẹp đẽ của Bopp là: Có lẽ rắc rối nằm ở thừa số 1/r trong tích phân. Giả sử chúng ta bắt đầu bằng cách giả thiết chỉ rằng thế tại một điểm phụ thuộc vào mật độ điện tích tại bất kỳ điểm nào khác như một hàm nào đó của khoảng cách giữa các điểm, chẳng hạn như f(r12). Tổng thế tại điểm (1) khi đó sẽ được cho bởi tích phân của jμ nhân với hàm này trên toàn không gian:
Aμ(1,t) = ∫ jμ(2, t − r12/c) f(r12) dV2.
Chỉ vậy thôi. Không phương trình vi phân, không gì khác. À, còn một điều nữa. Chúng ta cũng yêu cầu rằng kết quả phải bất biến tương đối tính. Vì vậy bằng “khoảng cách” chúng ta nên lấy “khoảng cách” bất biến giữa hai điểm trong không-thời gian. Bình phương khoảng cách này (trong một dấu không quan trọng) là
s122 = c2(t1 − t2)2 − r122 = c2(t1 − t2)2 − (x1 − x2)2 − (y1 − y2)2 − (z1 − z2)2. (28.14)
Vì vậy, đối với một lý thuyết bất biến tương đối tính, chúng ta nên lấy một hàm nào đó của độ lớn của s12, hay điều tương tự, một hàm nào đó của s122. Vậy lý thuyết của Bopp là
Aμ(1,t1) = ∫ jμ(2,t2) F(s122) dV2 c dt2. (28.15)
(Dĩ nhiên, tích phân phải trên thể tích bốn chiều c dt2 dx2 dy2 dz2.)
Tất cả những gì còn lại là chọn một hàm thích hợp cho F. Chúng ta chỉ giả thiết một điều về F — rằng nó rất nhỏ ngoại trừ khi đối số của nó gần không — sao cho một đồ thị của F sẽ là một đường cong như trong Hình 28–4. Nó là một gai hẹp với một diện tích hữu hạn có tâm tại s2 = 0, và với một bề rộng mà chúng ta có thể nói là vào khoảng a2. Chúng ta có thể nói, một cách thô thiển, rằng khi chúng ta tính thế tại điểm (1), chỉ những điểm (2) tạo ra bất kỳ hiệu ứng đáng kể nào nếu s122 = c2(t1 − t2)2 − r122 nằm trong khoảng ±a2 của không. Chúng ta có thể chỉ ra điều này bằng cách nói rằng F quan trọng chỉ đối với
s122 = c2(t1 − t2)2 − r122 ≈ ±a2. (28.16)
Bạn có thể làm cho nó toán học hơn nếu bạn muốn, nhưng đó là ý tưởng.
Bây giờ giả sử rằng a rất nhỏ so với kích thước của các vật thông thường như động cơ, máy phát điện, v.v., sao cho đối với các bài toán thông thường r12 ≫ a. Khi đó phương trình (28.16) nói rằng các điện tích đóng góp vào tích phân của phương trình (28.15) chỉ khi t1 − t2 nằm trong khoảng nhỏ
c(t1 − t2) ≈ √(r122 ± a2) = r12√(1 ± a2/r122).
Vì a2/r122 ≪ 1, căn bậc hai có thể được gần đúng bằng 1 ± a2/2r122, vậy
t1 − t2 = (r12/c)(1 ± a2/2r122) = r12/c ± a2/(2r12c).
Ý nghĩa là gì? Kết quả này nói rằng các thời gian t2 duy nhất quan trọng trong tích phân của Aμ là những thời gian khác với thời gian t1, tại đó chúng ta muốn thế, một lượng bằng độ trễ r12/c — với một hiệu chỉnh không đáng kể chừng nào r12 ≫ a. Nói cách khác, lý thuyết này của Bopp tiếp cận lý thuyết Maxwell — chừng nào chúng ta ở xa bất kỳ điện tích cụ thể nào — theo nghĩa nó cho các hiệu ứng sóng trễ.
Thực tế, chúng ta có thể thấy một cách gần đúng tích phân của phương trình (28.15) sẽ cho ra gì. Nếu chúng ta tích phân trước theo t2 từ −∞ tới +∞ — giữ r12 cố định — thì s122 cũng sẽ đi từ −∞ tới +∞. Tích phân sẽ toàn bộ đến từ các t2 trong một khoảng nhỏ có bề rộng Δt2 = 2 × a2/2r12c, có tâm tại t1 − r12/c. Giả sử hàm F(s2) có giá trị K tại s2 = 0; khi đó tích phân theo t2 cho xấp xỉ KjμΔt2, hay
(Ka2/c) · (jμ/r12).
Chúng ta, dĩ nhiên, nên lấy giá trị của jμ tại t2 = t1 − r12/c, sao cho phương trình (28.15) trở thành
Aμ(1,t1) = (Ka2/c) ∫ jμ(2, t1 − r12/c)/r12 dV2.
Nếu chúng ta chọn K = 1/4πε0ca2, chúng ta quay lại đúng nghiệm thế trễ của các phương trình Maxwell — bao gồm tự động cả sự phụ thuộc 1/r! Và tất cả xuất phát từ mệnh đề đơn giản rằng thế tại một điểm trong không-thời gian phụ thuộc vào mật độ dòng điện tại mọi điểm khác trong không-thời gian, nhưng với một thừa số trọng số là một hàm hẹp nào đó của khoảng cách bốn chiều giữa hai điểm. Lý thuyết này một lần nữa tiên đoán một khối lượng điện từ hữu hạn cho electron, và năng lượng và khối lượng có mối liên hệ đúng cho thuyết tương đối. Chúng phải như vậy, vì lý thuyết bất biến tương đối tính ngay từ đầu, và mọi thứ dường như đều ổn.
Tuy nhiên, có một phản đối cơ bản đối với lý thuyết này và đối với mọi lý thuyết khác chúng ta đã mô tả. Mọi hạt chúng ta biết đều tuân theo các định luật của cơ học lượng tử, vì vậy một sự sửa đổi lượng tử của điện động lực học phải được thực hiện. Ánh sáng cư xử như các photon. Nó không 100 phần trăm giống lý thuyết Maxwell. Vì vậy lý thuyết điện động lực học phải được thay đổi. Chúng ta đã đề cập rằng có thể là lãng phí thời gian khi làm việc vất vả như vậy để gỡ rối lý thuyết cổ điển, vì có thể hóa ra trong điện động lực học lượng tử các khó khăn sẽ biến mất hoặc có thể được giải quyết theo một cách nào khác. Nhưng các khó khăn không biến mất trong điện động lực học lượng tử. Đó là một trong những lý do mọi người đã bỏ nhiều công sức để cố gỡ rối các khó khăn cổ điển, hy vọng rằng nếu họ có thể gỡ rối khó khăn cổ điển và sau đó thực hiện các sửa đổi lượng tử, mọi thứ sẽ được gỡ rối. Lý thuyết Maxwell vẫn có các khó khăn sau khi các sửa đổi cơ học lượng tử được thực hiện.
Các hiệu ứng lượng tử thực sự tạo ra một số thay đổi — công thức cho khối lượng được sửa đổi, và hằng số Planck ℏ xuất hiện — nhưng đáp án vẫn ra vô hạn trừ phi bạn cắt một tích phân nào đó — đúng như chúng ta đã phải dừng các tích phân cổ điển tại r = a. Và các đáp án phụ thuộc vào cách bạn dừng các tích phân. Rất tiếc, chúng ta không thể chứng minh cho bạn ở đây rằng các khó khăn thực sự về cơ bản là giống nhau, vì chúng ta đã phát triển quá ít lý thuyết cơ học lượng tử và còn ít hơn về điện động lực học lượng tử. Vì vậy bạn chỉ phải tin lời chúng ta rằng lý thuyết lượng tử hóa của điện động lực học Maxwell cho một khối lượng vô hạn đối với một electron điểm.
Tuy nhiên, hóa ra không ai từng thành công trong việc tạo ra một lý thuyết lượng tử tự nhất quán từ bất kỳ lý thuyết sửa đổi nào. Các ý tưởng của Born và Infeld chưa bao giờ được đưa thành một lý thuyết lượng tử thỏa đáng. Các lý thuyết với các sóng sớm và trễ của Dirac, hoặc của Wheeler và Feynman, chưa bao giờ được đưa thành một lý thuyết lượng tử thỏa đáng. Lý thuyết của Bopp chưa bao giờ được đưa thành một lý thuyết lượng tử thỏa đáng. Vì vậy ngày nay, không có nghiệm nào được biết cho bài toán này. Chúng ta không biết làm thế nào tạo ra một lý thuyết nhất quán — bao gồm cơ học lượng tử — mà không tạo ra một sự vô hạn cho tự năng lượng của một electron, hay bất kỳ điện tích điểm nào. Và đồng thời, không có lý thuyết thỏa đáng nào mô tả một điện tích không phải điểm. Đó là một bài toán chưa được giải quyết.
Trong trường hợp bạn đang quyết định vội vàng tạo ra một lý thuyết trong đó tác dụng của một electron lên chính nó bị loại bỏ hoàn toàn, sao cho khối lượng điện từ không còn ý nghĩa, và sau đó tạo một lý thuyết lượng tử của nó, bạn nên được cảnh báo rằng bạn chắc chắn sẽ gặp rắc rối. Có bằng chứng thực nghiệm xác định về sự tồn tại của quán tính điện từ — có bằng chứng rằng một phần khối lượng của các hạt tích điện có nguồn gốc điện từ.
Trong các sách cũ, người ta thường nói rằng vì Tự nhiên hiển nhiên sẽ không cho chúng ta hai hạt — một hạt trung hòa và hạt kia tích điện, nhưng mặt khác giống nhau — nên chúng ta sẽ không bao giờ có thể biết được bao nhiêu khối lượng là điện từ và bao nhiêu là cơ học. Nhưng hóa ra Tự nhiên đã tử tế cho chúng ta đúng những vật như vậy, để bằng cách so sánh khối lượng quan sát được của hạt tích điện với khối lượng quan sát được của hạt trung hòa, chúng ta có thể biết được có bất kỳ khối lượng điện từ nào hay không. Chẳng hạn, có neutron và proton. Chúng tương tác với các lực cực mạnh — các lực hạt nhân — mà nguồn gốc chưa được biết. Tuy nhiên, như chúng ta đã mô tả, các lực hạt nhân có một tính chất đáng chú ý. Đối với chúng, neutron và proton hoàn toàn giống nhau. Các lực hạt nhân giữa neutron và neutron, neutron và proton, và proton và proton đều giống hệt nhau theo như chúng ta có thể biết. Chỉ có các lực điện từ nhỏ là khác nhau; về điện, proton và neutron khác nhau như ngày và đêm. Đây đúng là điều chúng ta muốn. Có hai hạt, giống hệt nhau từ quan điểm của các tương tác mạnh, nhưng khác nhau về điện. Và chúng có một hiệu khối lượng nhỏ. Hiệu khối lượng giữa proton và neutron — biểu diễn dưới dạng hiệu năng lượng nghỉ mc2 theo đơn vị MeV — là khoảng 1,3 MeV, khoảng 2,6 lần khối lượng electron. Lý thuyết cổ điển khi đó sẽ tiên đoán một bán kính khoảng 1/3 tới 1/2 bán kính electron cổ điển, hay khoảng 10−13 cm. Dĩ nhiên, người ta thực sự nên dùng lý thuyết lượng tử, nhưng do một sự tình cờ kỳ lạ nào đó, mọi hằng số — các 2π và ℏ, v.v. — ra sao cho lý thuyết lượng tử cho xấp xỉ cùng bán kính như lý thuyết cổ điển. Khó khăn duy nhất là dấu sai! Neutron nặng hơn proton.
Tự nhiên cũng đã cho chúng ta vài cặp — hoặc bộ ba — hạt khác mà dường như hoàn toàn giống nhau ngoại trừ điện tích của chúng. Chúng tương tác với proton và neutron, qua các tương tác “mạnh” của các lực hạt nhân. Trong các tương tác như vậy, các hạt của một loại nhất định — chẳng hạn các π-meson — cư xử về mọi mặt như một vật ngoại trừ điện tích của chúng. Trong Bảng 28–1 chúng ta cho một danh sách các hạt như vậy, cùng với khối lượng đo được của chúng. Các π-meson tích điện — dương hoặc âm — có khối lượng 139,6 MeV, nhưng π-meson trung hòa nhẹ hơn 4,6 MeV. Chúng ta tin rằng hiệu khối lượng này là điện từ; nó sẽ tương ứng với một bán kính hạt từ 3 tới 4×10−14 cm. Bạn sẽ thấy từ bảng rằng các hiệu khối lượng của các hạt khác thường có cùng cỡ chung.
| Hạt | Điện tích (electron) | Khối lượng (MeV) | Δm1 (MeV) |
|---|---|---|---|
| n (neutron) | 0 | 939,5 | |
| p (proton) | +1 | 938,2 | −1,3 |
| π (π-meson) | 0 | 135,0 | |
| ±1 | 139,6 | +4,6 | |
| K (K-meson) | 0 | 497,8 | |
| ±1 | 493,9 | −3,9 | |
| Σ (sigma) | 0 | 1191,5 | |
| +1 | 1189,4 | −2,1 | |
| −1 | 1196,0 | +4,5 |
1Δm = (khối lượng của hạt tích điện) − (khối lượng của hạt trung hòa).
Bây giờ kích thước của các hạt này có thể được xác định bằng các phương pháp khác, chẳng hạn bằng các đường kính mà chúng dường như có trong các va chạm năng lượng cao. Vì vậy khối lượng điện từ dường như phù hợp nói chung với lý thuyết điện từ, nếu chúng ta dừng các tích phân năng lượng trường tại cùng bán kính thu được bằng các phương pháp khác này. Đó là lý do chúng ta tin rằng các hiệu đúng là biểu diễn khối lượng điện từ.
Bạn chắc chắn đang lo lắng về các dấu khác nhau của các hiệu khối lượng trong bảng. Dễ thấy tại sao các hạt tích điện phải nặng hơn các hạt trung hòa. Nhưng còn những cặp như proton và neutron, trong đó khối lượng đo được lại ra ngược lại thì sao? À, hóa ra các hạt này phức tạp, và việc tính khối lượng điện từ phải công phu hơn đối với chúng. Chẳng hạn, mặc dù neutron không có điện tích ròng, nó có một phân bố điện tích bên trong nó — chỉ có điện tích ròng mới bằng không. Thực tế, chúng ta tin rằng neutron trông — ít nhất đôi khi — như một proton với một π-meson âm trong một “đám mây” xung quanh nó, như chỉ trong Hình 28–5. Mặc dù neutron “trung hòa”, vì tổng điện tích của nó bằng không, vẫn có các năng lượng điện từ (chẳng hạn, nó có một mômen từ), nên không dễ biết dấu của hiệu khối lượng điện từ mà không có một lý thuyết chi tiết về cấu trúc nội tại.
Ở đây chúng ta chỉ muốn nhấn mạnh các điểm sau: (1) lý thuyết điện từ tiên đoán sự tồn tại của một khối lượng điện từ, nhưng nó cũng sụp đổ thảm hại khi làm điều đó, vì nó không tạo ra một lý thuyết nhất quán — và điều tương tự cũng đúng với các sửa đổi lượng tử; (2) có bằng chứng thực nghiệm về sự tồn tại của khối lượng điện từ; và (3) mọi khối lượng này đều xấp xỉ bằng khối lượng của một electron. Vì vậy chúng ta quay lại ý tưởng gốc của Lorentz — có lẽ toàn bộ khối lượng của một electron hoàn toàn là điện từ, có lẽ toàn bộ 0,511 MeV là do điện động lực học. Đúng hay không? Chúng ta không có một lý thuyết, nên chúng ta không thể nói.
Chúng ta phải đề cập thêm một thông tin nữa, vốn là điều gây khó chịu nhất. Có một hạt khác trong thế giới gọi là muon mà, theo như chúng ta có thể biết, không khác electron ở bất kỳ điểm nào ngoại trừ khối lượng của nó. Nó hoạt động về mọi mặt như một electron: nó tương tác với các neutrino và với trường điện từ, và nó không có lực hạt nhân. Nó không làm điều gì khác với điều một electron làm — ít nhất, không điều gì không thể được hiểu là chỉ đơn thuần là hệ quả của khối lượng cao hơn của nó (206,77 lần khối lượng electron). Do đó, mỗi khi ai đó cuối cùng tìm được lời giải thích cho khối lượng của một electron, anh ta sẽ có câu đố về việc một muon lấy khối lượng của nó từ đâu. Tại sao? Vì bất cứ điều gì electron làm, muon cũng làm giống hệt — nên khối lượng phải ra giống nhau. Có những người tin tưởng trung thành vào ý tưởng rằng muon và electron là cùng một hạt và rằng, trong lý thuyết cuối cùng về khối lượng, công thức cho khối lượng sẽ là một phương trình bậc hai với hai nghiệm — một nghiệm cho mỗi hạt. Cũng có những người đề xuất rằng nó sẽ là một phương trình siêu việt với một số vô hạn nghiệm, và đang bận đoán khối lượng của các hạt khác trong dãy phải là gì, và tại sao các hạt này chưa được khám phá.
28–6 Trường lực hạt nhân
Chúng ta muốn đưa ra một số nhận xét thêm về phần khối lượng của các hạt hạt nhân không phải là điện từ. Phần lớn còn lại này đến từ đâu? Có các lực khác ngoài điện động lực học — như các lực hạt nhân — vốn có các lý thuyết trường của riêng chúng, mặc dù không ai biết các lý thuyết hiện tại có đúng hay không. Các lý thuyết này cũng tiên đoán một năng lượng trường cho các hạt hạt nhân một số hạng khối lượng tương tự như khối lượng điện từ; chúng ta có thể gọi nó là “khối lượng-trường-π-mesic”. Nó có lẽ rất lớn, vì các lực rất mạnh, và nó là nguồn gốc có thể của khối lượng của các hạt nặng. Nhưng các lý thuyết trường meson vẫn còn ở trạng thái rất sơ khai. Ngay cả với lý thuyết điện từ học đã phát triển tốt, chúng ta thấy không thể vượt qua căn cứ đầu tiên trong việc giải thích khối lượng electron. Với lý thuyết về các meson, chúng ta thua trắng.
Chúng ta có thể dành một lúc để phác thảo lý thuyết về các meson, vì mối liên hệ thú vị của nó với điện động lực học. Trong điện động lực học, trường có thể được mô tả theo một bốn-thế thỏa mãn phương trình
□2Aμ = các nguồn.
Bây giờ chúng ta đã thấy rằng các phần của trường có thể được bức xạ đi, sao cho chúng tồn tại tách biệt khỏi các nguồn. Đó là các photon của ánh sáng, và chúng được mô tả bởi một phương trình vi phân không có nguồn:
□2Aμ = 0.
Mọi người đã lập luận rằng trường của các lực hạt nhân cũng phải có “photon” của riêng nó — chúng có lẽ sẽ là các π-meson — và rằng chúng phải được mô tả bởi một phương trình vi phân tương tự. (Do sự yếu ớt của bộ não con người, chúng ta không thể nghĩ ra điều gì thực sự mới; vì vậy chúng ta lập luận theo phép tương tự với những gì chúng ta biết.) Vậy phương trình meson có thể là
□2φ = 0,
trong đó φ có thể là một bốn-vector khác hoặc có lẽ là một vô hướng. Hóa ra pion không có phân cực, nên φ phải là một vô hướng. Với phương trình đơn giản □2φ = 0, trường meson sẽ biến thiên theo khoảng cách từ một nguồn như 1/r2, đúng như điện trường. Nhưng chúng ta biết rằng các lực hạt nhân có khoảng cách tác dụng ngắn hơn nhiều, nên phương trình đơn giản sẽ không hoạt động. Có một cách chúng ta có thể thay đổi mọi thứ mà không phá vỡ tính bất biến tương đối tính: chúng ta có thể cộng hoặc trừ vào toán tử d’Alembert một hằng số, nhân với φ. Vì vậy Yukawa gợi ý rằng các lượng tử tự do của trường lực hạt nhân có thể tuân theo phương trình
−□2φ − μ2φ = 0, (28.17)
trong đó μ2 là một hằng số — tức là, một vô hướng bất biến. (Vì □2 là một toán tử vi phân vô hướng trong bốn chiều, tính bất biến của nó không thay đổi nếu chúng ta cộng thêm một vô hướng khác vào nó.)
Hãy xem phương trình (28.17) cho ra gì đối với lực hạt nhân khi mọi thứ không thay đổi theo thời gian. Chúng ta muốn một nghiệm đối xứng cầu của
∇2φ − μ2φ = 0
quanh một nguồn điểm nào đó, chẳng hạn tại gốc tọa độ. Nếu φ chỉ phụ thuộc vào r, chúng ta biết rằng
∇2φ = (1/r) ∂2/∂r2 (rφ).
Vậy chúng ta có phương trình
(1/r) ∂2/∂r2(rφ) − μ2φ = 0
hay
∂2/∂r2(rφ) = μ2(rφ).
Nghĩ (rφ) như biến phụ thuộc của chúng ta, đây là một phương trình chúng ta đã thấy nhiều lần. Nghiệm của nó là
rφ = Ke±μr.
Rõ ràng, φ không thể trở thành vô hạn đối với r lớn, nên dấu + trong số mũ bị loại trừ. Nghiệm là
φ = K e−μr/r. (28.18)
Hàm này được gọi là thế Yukawa. Đối với một lực hút, K là một số âm mà độ lớn của nó phải được điều chỉnh để phù hợp với độ mạnh quan sát thực nghiệm của các lực.
Thế Yukawa của các lực hạt nhân tắt nhanh hơn 1/r bởi thừa số mũ. Thế — và do đó lực — giảm về không nhanh hơn nhiều so với 1/r đối với các khoảng cách vượt quá 1/μ, như chỉ trong Hình 28–6. “Tầm” của các lực hạt nhân nhỏ hơn nhiều so với “tầm” của các lực tĩnh điện. Thực nghiệm cho thấy các lực hạt nhân không kéo dài quá khoảng 10−13 cm, nên μ ≈ 1015 m−1.
Cuối cùng, hãy xét nghiệm sóng tự do của phương trình (28.17). Nếu chúng ta thế
φ = φ0ei(ωt − kz)
vào phương trình (28.17), chúng ta được rằng
ω2/c2 − k2 − μ2 = 0.
Liên hệ tần số với năng lượng và số sóng với động lượng, như chúng ta đã làm ở cuối Chương 34 của Tập I, chúng ta được rằng
E2/c2 − p2 = μ2ℏ2,
điều này nói rằng “photon” Yukawa có một khối lượng bằng μℏ/c. Nếu chúng ta dùng cho μ ước lượng 1015 m−1, vốn cho tầm quan sát được của các lực hạt nhân, khối lượng ra là 3×10−25 g, hay 170 MeV, vốn xấp xỉ bằng khối lượng quan sát được của π-meson. Vì vậy, theo phép tương tự với điện động lực học, chúng ta sẽ nói rằng π-meson là “photon” của trường lực hạt nhân. Nhưng bây giờ chúng ta đã đẩy các ý tưởng của điện động lực học vào các miền mà chúng có thể thực sự không còn đúng — chúng ta đã đi xa hơn điện động lực học tới bài toán của các lực hạt nhân.
1. Chúng ta đang dùng ký hiệu: ẋ = dx/dt, ẍ = d2x/dt2, x⃛ = d3x/dt3, v.v.