Chương 32: Chiết suất của các vật liệu đậm đặc

32–1  Sự phân cực của vật chất

Bây giờ chúng ta muốn thảo luận hiện tượng khúc xạ ánh sáng — và do đó, cả sự hấp thụ ánh sáng — bởi các vật liệu đậm đặc. Trong Chương 31 của Tập I, chúng ta đã thảo luận lý thuyết về chiết suất, nhưng vì khả năng toán học của chúng ta khi đó còn hạn chế, chúng ta đã phải giới hạn ở việc tìm chiết suất chỉ cho các vật liệu có mật độ thấp, như các chất khí. Tuy nhiên, các nguyên lý vật lý tạo ra chiết suất đã được làm rõ. Điện trường của sóng ánh sáng làm phân cực các phân tử của chất khí, tạo ra các mômen lưỡng cực dao động. Gia tốc của các điện tích dao động bức xạ ra các sóng trường mới. Trường mới này, giao thoa với trường cũ, tạo ra một trường đã thay đổi, tương đương với một sự dịch pha của sóng ban đầu. Vì sự dịch pha này tỉ lệ với bề dày của vật liệu, hiệu ứng tương đương với việc có một vận tốc pha khác trong vật liệu. Khi chúng ta xét chủ đề này trước đây, chúng ta đã bỏ qua các phức tạp nảy sinh từ các hiệu ứng như sóng mới làm thay đổi trường tại các lưỡng cực đang dao động. Chúng ta đã giả thiết rằng các lực tác dụng lên các điện tích trong các nguyên tử chỉ đến từ sóng tới, trong khi, trên thực tế, dao động của chúng được thúc đẩy không chỉ bởi sóng tới mà còn bởi các sóng bức xạ của mọi nguyên tử khác. Khi đó chúng ta khó có thể đưa hiệu ứng này vào, nên chúng ta chỉ nghiên cứu chất khí loãng, nơi các hiệu ứng như vậy không quan trọng.

Bây giờ, tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy rằng rất dễ xử lý bài toán bằng cách dùng các phương trình vi phân. Phương pháp này làm mờ đi nguồn gốc vật lý của chiết suất (vốn đến từ các sóng bức xạ lại giao thoa với các sóng ban đầu), nhưng nó làm cho lý thuyết cho các vật liệu đậm đặc đơn giản hơn nhiều. Chương này sẽ tập hợp lại một lượng lớn các mảnh ghép từ công việc trước đây của chúng ta. Chúng ta đã xét hầu như mọi thứ mình sẽ cần, nên có tương đối ít ý tưởng thật sự mới cần giới thiệu. Vì bạn có thể cần ôn lại những gì chúng ta sẽ cần, chúng ta đưa ra trong Bảng 32–1 một danh sách các phương trình chúng ta sẽ dùng, kèm theo tham chiếu tới nơi có thể tìm thấy mỗi phương trình. Trong hầu hết các trường hợp, chúng ta sẽ không mất thời gian đưa lại các lập luận vật lý, mà chỉ dùng các phương trình.

Chúng ta bắt đầu bằng cách nhớ lại bộ máy của chiết suất đối với một chất khí. Giả sử có N hạt trong một đơn vị thể tích và mỗi hạt hành xử như một dao động tử điều hòa. Ta dùng một mô hình của một nguyên tử hay phân tử trong đó electron bị buộc bằng một lực tỉ lệ với độ dịch chuyển của nó (như thể electron được giữ tại chỗ bằng một lò xo). Chúng ta đã nhấn mạnh rằng đây không phải là một mô hình cổ điển hợp lệ của một nguyên tử, nhưng sau này chúng ta sẽ chỉ ra rằng lý thuyết cơ học lượng tử đúng đắn cho ra các kết quả tương đương với mô hình này (trong các trường hợp đơn giản). Trong cách xử lý trước đây, chúng ta đã không đưa vào khả năng có một lực cản trong các dao động tử nguyên tử, nhưng bây giờ chúng ta sẽ làm vậy. Một lực như vậy tương ứng với một sự cản trở chuyển động, tức là, một lực tỉ lệ với vận tốc của electron. Khi đó phương trình chuyển động là

F = q_eE = m(ẍ + γẋ + ω₀²x),   (32.1)

trong đó x là độ dịch chuyển song song với hướng của E. (Chúng ta giả thiết một dao động tử đẳng hướng mà lực kéo về của nó là như nhau theo mọi hướng. Đồng thời, chúng ta đang lấy, vào lúc này, một sóng phân cực thẳng, sao cho E không đổi hướng.) Nếu điện trường tác dụng lên nguyên tử biến thiên hình sin theo thời gian, ta viết

E = E₀e^iωt.   (32.2)

Độ dịch chuyển khi đó sẽ dao động với cùng tần số, và ta có thể đặt

x = x₀e^iωt.

Thay ẋ = iωx và ẍ = −ω²x, ta có thể giải tìm x theo E:

x = [(q_e/m)/(−ω² + iγω + ω₀²)] E.   (32.3)

Biết độ dịch chuyển, ta có thể tính gia tốc ẍ và tìm sóng bức xạ chịu trách nhiệm về chiết suất. Đó là cách chúng ta đã tính chiết suất trong Chương 31 của Tập I.

Bây giờ, tuy nhiên, chúng ta muốn đi theo một cách tiếp cận khác. Mômen lưỡng cực cảm ứng p của một nguyên tử là q_ex hay, dùng phương trình (32.3),

p = [(q_e²/m)/(−ω² + iγω + ω₀²)] E.   (32.4)

Vì p tỉ lệ với E, ta viết

p = ε₀α(ω)E,   (32.5)

trong đó α được gọi là độ phân cực nguyên tử.¹ Với định nghĩa này, ta có

α = (q_e²/mε₀)/(−ω² + iγω + ω₀²).   (32.6)

Nghiệm cơ học lượng tử cho chuyển động của các electron trong nguyên tử cho một đáp án tương tự, ngoại trừ các sửa đổi sau đây. Các nguyên tử có vài tần số riêng, mỗi tần số có hằng số tiêu tán γ riêng của nó. Ngoài ra, “độ mạnh” hiệu dụng của mỗi mode là khác nhau, điều mà ta có thể biểu diễn bằng cách nhân độ phân cực cho mỗi tần số với một hệ số độ mạnh f, một con số mà ta kỳ vọng có cấp độ lớn là 1. Biểu diễn ba tham số ω₀, γ, và f bằng ω_0k, γ_k, và f_k cho mỗi mode dao động, và cộng tổng trên các mode khác nhau, ta sửa phương trình (32.6) thành

α(ω) = (q_e²/ε₀m) Σ_k f_k/(−ω² + iγ_kω + ω_0k²).   (32.7)

Nếu N là số nguyên tử trong một đơn vị thể tích của vật liệu, độ phân cực P chỉ là Np = ε₀NαE, và tỉ lệ với E:

P = ε₀Nα(ω)E.   (32.8)

Nói cách khác, khi có một điện trường hình sin tác dụng trong một vật liệu, có một mômen lưỡng cực cảm ứng trên một đơn vị thể tích tỉ lệ với điện trường — với một hằng số tỉ lệ α mà, chúng ta nhấn mạnh, phụ thuộc vào tần số. Ở các tần số rất cao, α nhỏ; không có nhiều đáp ứng. Tuy nhiên, ở các tần số thấp có thể có một đáp ứng mạnh. Ngoài ra, hằng số tỉ lệ là một số phức, có nghĩa là độ phân cực không theo đúng điện trường, mà có thể bị dịch pha ở một mức độ nào đó. Dù sao đi nữa, có một độ phân cực trên một đơn vị thể tích mà độ lớn của nó tỉ lệ với cường độ của điện trường.

32–2  Các phương trình Maxwell trong một chất điện môi

Sự tồn tại của độ phân cực trong vật chất có nghĩa là có các điện tích và dòng điện phân cực bên trong vật liệu, và chúng phải được đưa vào các phương trình Maxwell đầy đủ để tìm các trường. Lần này chúng ta sẽ giải các phương trình Maxwell trong một tình huống mà các điện tích và dòng điện không bằng không, như trong chân không, mà được cho một cách ẩn bởi vector phân cực. Bước đầu tiên của chúng ta là tìm tường minh mật độ điện tích ρ và mật độ dòng điện j, lấy trung bình trên một thể tích nhỏ cùng kích cỡ mà chúng ta đã nghĩ tới khi định nghĩa P. Khi đó ρ và j chúng ta cần có thể thu được từ độ phân cực.

Chúng ta đã thấy trong Chương 10 rằng khi độ phân cực P thay đổi từ nơi này sang nơi khác, có một mật độ điện tích cho bởi

ρ_pol = −∇·P.   (32.9)

Vào lúc đó, chúng ta đang xử lý các trường tĩnh, nhưng cùng công thức cũng đúng cho các trường biến thiên theo thời gian. Tuy nhiên, khi P biến thiên theo thời gian, có các điện tích đang chuyển động, nên cũng có một dòng điện phân cực. Mỗi điện tích dao động đóng góp một dòng điện bằng điện tích q_e của nó, nhân với vận tốc v của nó. Với N điện tích như vậy trong một đơn vị thể tích, mật độ dòng điện j là

j = Nq_ev.

Vì ta biết rằng v = dx/dt, nên j = Nq_e(dx/dt), chính là dP/dt. Do đó mật độ dòng điện do độ phân cực biến thiên là

j_pol = ∂P/∂t.   (32.10)

Bài toán của chúng ta giờ đây trực tiếp và đơn giản. Ta viết các phương trình Maxwell với mật độ điện tích và mật độ dòng điện được biểu diễn theo P, dùng các phương trình (32.9) và (32.10). (Ta giả thiết rằng không có các dòng điện và điện tích nào khác trong vật liệu.) Sau đó ta liên hệ P với E bằng phương trình (32.8), và giải phương trình tìm E và B — tìm các nghiệm sóng.

Trước khi làm điều này, chúng ta muốn ghi một chú thích lịch sử. Maxwell ban đầu viết các phương trình của ông dưới một dạng khác với dạng chúng ta đã dùng. Vì các phương trình đã được viết dưới dạng khác đó trong nhiều năm — và vẫn được nhiều người viết như vậy — chúng ta sẽ giải thích sự khác biệt. Trong những ngày đầu, cơ chế của hằng số điện môi chưa được đánh giá đầy đủ và rõ ràng. Bản chất của nguyên tử chưa được hiểu, cũng như việc có một sự phân cực của vật liệu. Vì vậy người ta không đánh giá được rằng có một đóng góp vào mật độ điện tích ρ từ ∇·P. Họ chỉ nghĩ theo các điện tích không bị buộc vào các nguyên tử (như các điện tích chảy trong dây dẫn hay bị cọ xát khỏi các bề mặt).

Ngày nay, chúng ta thích để ρ biểu diễn mật độ điện tích toàn phần, bao gồm cả phần từ các điện tích nguyên tử bị buộc. Nếu ta gọi phần đó là ρ_pol, ta có thể viết

ρ = ρ_pol + ρ_khác,

trong đó ρ_khác là mật độ điện tích được Maxwell xét tới và chỉ các điện tích không bị buộc vào các nguyên tử riêng lẻ. Khi đó ta sẽ viết

∇·E = (ρ_pol + ρ_khác)/ε₀.

Thay ρ_pol từ phương trình (32.9),

∇·E = ρ_khác/ε₀ − (1/ε₀) ∇·P

hay

∇·(ε₀E + P) = ρ_khác.   (32.11)

Mật độ dòng điện trong phương trình Maxwell cho ∇×B cũng có, nói chung, các đóng góp từ các dòng điện nguyên tử bị buộc. Do đó ta có thể viết

j = j_pol + j_khác,

và phương trình Maxwell trở thành

c²∇×B = j_khác/ε₀ + j_pol/ε₀ + ∂E/∂t.   (32.12)

Dùng phương trình (32.10), ta được

ε₀c²∇×B = j_khác + ∂/∂t (ε₀E + P).   (32.13)

Bây giờ bạn có thể thấy rằng nếu chúng ta định nghĩa một vector mới D bởi

D = ε₀E + P,   (32.14)

hai phương trình trường sẽ trở thành

∇·D = ρ_khác   (32.15)

và

ε₀c²∇×B = j_khác + ∂D/∂t.   (32.16)

Đây thực ra là các dạng mà Maxwell đã dùng cho các chất điện môi. Hai phương trình còn lại của ông là

∇×E = −∂B/∂t,

và

∇·B = 0,

vốn cũng giống như chúng ta đã dùng.

Maxwell và các nhà nghiên cứu đầu tiên khác cũng gặp một vấn đề với các vật liệu từ (mà chúng ta sẽ xét tới sớm). Vì họ không biết về các dòng điện vòng chịu trách nhiệm về từ tính nguyên tử, họ đã dùng một mật độ dòng điện còn thiếu một phần nữa. Thay vì phương trình (32.16), họ thực ra đã viết

∇×H = j′ + ∂D/∂t,   (32.17)

trong đó H khác với ε₀c²B vì nó bao gồm các hiệu ứng của các dòng điện nguyên tử. (Khi đó j′ biểu diễn phần còn lại của các dòng điện.) Vậy Maxwell có bốn vector trường — E, D, B, và H — D và H là những cách ẩn giấu để không chú ý đến những gì đang xảy ra bên trong vật liệu. Bạn sẽ tìm thấy các phương trình được viết theo cách này ở nhiều nơi.

Để giải các phương trình, cần phải liên hệ D và H với các trường khác, và người ta thường viết

D = εE   và   B = μH.   (32.18)

Tuy nhiên, các hệ thức này chỉ đúng gần đúng cho một số vật liệu và ngay cả khi đó chỉ khi các trường không biến thiên nhanh theo thời gian. (Đối với các trường biến thiên hình sin, người ta thường có thể viết các phương trình theo cách này bằng cách làm cho ε và μ là các hàm phức của tần số, nhưng không phải cho một sự biến thiên tùy ý theo thời gian của các trường.) Vì vậy xưa kia có đủ mọi kiểu gian lận trong việc giải các phương trình. Chúng ta nghĩ cách đúng là giữ các phương trình theo các đại lượng cơ bản như chúng ta hiện nay hiểu chúng — và đó là cách chúng ta đã làm.

32–3  Sóng trong một chất điện môi

Bây giờ chúng ta muốn tìm hiểu loại sóng điện từ nào có thể tồn tại trong một vật liệu điện môi mà trong đó không có các điện tích phụ nào ngoài các điện tích bị buộc trong các nguyên tử. Vậy ta lấy ρ = −∇·P và j = ∂P/∂t. Các phương trình Maxwell khi đó trở thành

(a)  ∇·E = −(∇·P)/ε₀
(b)  c²∇×B = ∂/∂t (P/ε₀ + E)
(c)  ∇×E = −∂B/∂t
(d)  ∇·B = 0   (32.19)

Chúng ta có thể giải các phương trình này như đã làm trước đây. Ta bắt đầu bằng cách lấy curl của phương trình (32.19c):

∇×(∇×E) = −∂/∂t ∇×B.

Tiếp theo, ta dùng đồng nhất thức vector

∇×(∇×E) = ∇(∇·E) − ∇²E,

và cũng thay cho ∇×B, dùng phương trình (32.19b); ta được

∇(∇·E) − ∇²E = −[1/(ε₀c²)] ∂²P/∂t² − (1/c²) ∂²E/∂t².

Dùng phương trình (32.19a) cho ∇·E, ta được

∇²E − (1/c²) ∂²E/∂t² = −(1/ε₀)∇(∇·P) + [1/(ε₀c²)] ∂²P/∂t².   (32.20)

Vậy thay vì phương trình sóng, bây giờ ta được rằng toán tử d’Alembert của E bằng hai số hạng liên quan đến độ phân cực P.

Tuy nhiên, vì P phụ thuộc vào E, phương trình (32.20) vẫn có thể có các nghiệm sóng. Bây giờ chúng ta sẽ giới hạn ở các chất điện môi đẳng hướng, sao cho P luôn cùng hướng với E. Hãy thử tìm một nghiệm cho một sóng đi theo hướng z. Khi đó, điện trường có thể biến thiên như e^{i(ωt − kz)}. Chúng ta cũng sẽ giả sử rằng sóng phân cực theo hướng x — rằng điện trường chỉ có một thành phần x. Ta viết

E_x = E₀e^{i(ωt − kz)}.   (32.21)

Bạn biết rằng bất kỳ hàm nào của (z − vt) đều biểu diễn một sóng truyền với tốc độ v. Số mũ của phương trình (32.21) có thể được viết như

−ik(z − (ω/k)t),

nên phương trình (32.21) biểu diễn một sóng với vận tốc pha

v_ph = ω/k.

Chiết suất n được định nghĩa (xem Chương 31, Tập I) bằng cách đặt

v_ph = c/n.

Vậy phương trình (32.21) trở thành

E_x = E₀e^{iω(t − nz/c)}.

Vậy ta có thể tìm n bằng cách tìm giá trị k nào là cần thiết nếu phương trình (32.21) phải thỏa mãn các phương trình trường thích hợp, và sau đó dùng

n = kc/ω.   (32.22)

Trong một vật liệu đẳng hướng, sẽ chỉ có một thành phần x của độ phân cực; khi đó P không biến thiên theo tọa độ x, nên ∇·P = 0, và ta loại bỏ được số hạng đầu tiên ở vế phải của phương trình (32.20). Ngoài ra, vì ta giả thiết một chất điện môi tuyến tính, P_x sẽ biến thiên như e^iωt, và ∂²P_x/∂t² = −ω²P_x. Toán tử Laplace trong phương trình (32.20) trở nên đơn giản là ∂²E_x/∂z² = −k²E_x, nên ta được

−k²E_x + (ω²/c²)E_x = −(ω²/ε₀c²)P_x.   (32.23)

Bây giờ hãy giả thiết trong giây lát rằng vì E biến thiên hình sin, ta có thể đặt P tỉ lệ với E, như trong phương trình (32.8). (Chúng ta sẽ quay lại thảo luận giả thiết này sau.) Ta viết

P_x = ε₀NαE_x.

Khi đó E_x khử khỏi phương trình (32.23), và ta tìm được

k² = (ω²/c²)(1 + Nα).   (32.24)

Chúng ta đã tìm thấy rằng một sóng như phương trình (32.21), với số sóng k cho bởi phương trình (32.24), sẽ thỏa mãn các phương trình trường. Dùng phương trình (32.22), chiết suất n được cho bởi

n² = 1 + Nα.   (32.25)

Hãy so sánh công thức này với những gì chúng ta thu được trong lý thuyết về chiết suất của một chất khí (Chương 31, Tập I). Ở đó, chúng ta được phương trình (31.19), là

n = 1 + (1/2)·[Nq_e²/(mε₀)]·[1/(−ω² + ω₀²)].   (32.26)

Lấy α từ phương trình (32.6), phương trình (32.25) sẽ cho chúng ta

n² = 1 + [Nq_e²/(mε₀)]·[1/(−ω² + iγω + ω₀²)].   (32.27)

Thứ nhất, chúng ta có số hạng mới iγω, vì chúng ta đang đưa vào sự tiêu tán của các dao động tử. Thứ hai, vế trái là n thay vì n², và có thêm một thừa số 1/2. Nhưng hãy để ý rằng nếu N đủ nhỏ sao cho n gần bằng một (như trường hợp một chất khí), thì phương trình (32.27) nói rằng n² là một cộng một số nhỏ: n² = 1 + ε. Khi đó ta có thể viết n = √(1 + ε) ≈ 1 + ε/2, và hai biểu thức là tương đương. Vậy phương pháp mới của chúng ta cho đối với một chất khí cùng kết quả chúng ta đã tìm thấy trước đây.

Bây giờ bạn có thể nghĩ rằng phương trình (32.27) cũng sẽ cho chiết suất cho các vật liệu đậm đặc. Tuy nhiên, nó cần được sửa đổi, vì vài lý do. Thứ nhất, việc suy ra phương trình này giả thiết rằng trường phân cực tác dụng lên mỗi nguyên tử là trường E_x. Tuy nhiên, giả thiết đó không đúng, vì trong các vật liệu đậm đặc còn có trường do các nguyên tử khác ở lân cận tạo ra, trường này có thể so sánh được với E_x. Chúng ta đã xét một bài toán tương tự khi nghiên cứu các trường tĩnh trong chất điện môi. (Xem Chương 11.) Bạn sẽ nhớ rằng chúng ta đã ước lượng trường tại một nguyên tử đơn lẻ bằng cách tưởng tượng rằng nó nằm trong một lỗ cầu trong chất điện môi xung quanh. Trường trong một lỗ như vậy — mà chúng ta gọi là trường cục bộ — tăng hơn trường trung bình E một lượng P/3ε₀. (Tuy nhiên, hãy nhớ rằng kết quả này chỉ đúng nghiêm ngặt trong các vật liệu đẳng hướng — bao gồm trường hợp đặc biệt của một tinh thể lập phương.)

Cùng các lập luận đó sẽ đúng cho điện trường trong một sóng, miễn là bước sóng của sóng dài hơn nhiều so với khoảng cách giữa các nguyên tử. Giới hạn ở các trường hợp như vậy, ta viết

E_{cục bộ} = E + P/(3ε₀).   (32.28)

Trường cục bộ này là trường nên được dùng cho E trong phương trình (32.3); tức là, phương trình (32.8) nên được viết lại:

P = ε₀NαE_{cục bộ}.   (32.29)

Dùng E_{cục bộ} từ phương trình (32.28), ta tìm được

P = ε₀Nα(E + P/(3ε₀))

hay

P = [Nα/(1 − (Nα/3))] ε₀E.   (32.30)

Nói cách khác, đối với các vật liệu đậm đặc, P vẫn tỉ lệ với E (đối với các trường hình sin). Tuy nhiên, hằng số tỉ lệ không phải là ε₀Nα, như chúng ta đã viết dưới phương trình (32.23), mà nên là ε₀Nα/[1 − (Nα/3)]. Vậy chúng ta nên sửa phương trình (32.25) thành

n² = 1 + Nα/(1 − (Nα/3)).   (32.31)

Sẽ thuận tiện hơn nếu ta viết lại phương trình này dưới dạng

3(n² − 1)/(n² + 2) = Nα,   (32.32)

vốn tương đương về mặt đại số. Đây được gọi là phương trình Clausius–Mossotti.

Có một phức tạp nữa trong các vật liệu đậm đặc. Vì các nguyên tử lân cận rất gần nhau, có các tương tác mạnh giữa chúng. Do đó, các mode dao động nội tại bị biến đổi. Các tần số riêng của các dao động nguyên tử bị trải ra bởi các tương tác, và chúng thường bị tắt dần khá mạnh — hệ số cản trở trở nên khá lớn. Vì vậy các ω₀ và γ của chất rắn sẽ khá khác với các ω₀ và γ của các nguyên tử tự do. Với các lưu ý này, chúng ta vẫn có thể biểu diễn α, ít nhất một cách gần đúng, bằng phương trình (32.7). Khi đó ta có

3(n² − 1)/(n² + 2) = (Nq_e²/mε₀) Σ_k f_k/(−ω² + iγ_kω + ω_0k²).   (32.33)

Một phức tạp cuối cùng. Nếu vật liệu đậm đặc là một hỗn hợp của vài thành phần, mỗi thành phần sẽ đóng góp vào độ phân cực. α toàn phần sẽ là tổng các đóng góp từ mỗi thành phần của hỗn hợp [ngoại trừ sự không chính xác của gần đúng trường cục bộ, phương trình (32.28), trong các tinh thể có trật tự — các hiệu ứng chúng ta đã thảo luận khi phân tích các chất sắt điện]. Viết N_j là số nguyên tử của mỗi thành phần trong một đơn vị thể tích, ta nên thay phương trình (32.32) bằng

3[(n² − 1)/(n² + 2)] = Σ_j N_jα_j,   (32.34)

trong đó mỗi α_j sẽ được cho bởi một biểu thức như phương trình (32.7). Phương trình (32.34) hoàn tất lý thuyết của chúng ta về chiết suất. Đại lượng 3(n² − 1)/(n² + 2) được cho bởi một hàm phức nào đó của tần số, vốn là độ phân cực nguyên tử trung bình α(ω). Việc đánh giá chính xác α(ω) (tức là tìm f_k, γ_k và ω_0k) trong các chất đậm đặc là một bài toán khó của cơ học lượng tử. Nó đã được thực hiện từ các nguyên lý đầu tiên chỉ cho một số ít chất đặc biệt đơn giản.

32–4  Chiết suất phức

Bây giờ chúng ta muốn xét các hệ quả của kết quả của mình, phương trình (32.33). Trước hết, chúng ta để ý rằng α là số phức, nên chiết suất n sẽ là một số phức. Điều đó có nghĩa là gì? Giả sử ta viết n dưới dạng tổng của một phần thực và một phần ảo:

n = n_R − in_I,   (32.35)

trong đó n_R và n_I là các hàm thực của ω. Ta viết in_I với một dấu trừ, để n_I sẽ là một đại lượng dương trong mọi vật liệu quang học thông thường. (Trong các vật liệu thụ động thông thường — những vật liệu không phải, như laser, là các nguồn sáng tự thân — γ là một số dương, và điều đó làm cho phần ảo của n là âm.) Sóng phẳng của chúng ta ở phương trình (32.21) được viết theo n là

E_x = E₀e^{iω(t − nz/c)}.

Viết n như trong phương trình (32.35), ta sẽ có

E_x = E₀e^−ωn_Iz/ce^{iω(t − n_Rz/c)}.   (32.36)

Số hạng e^{iω(t − n_Rz/c)} biểu diễn một sóng truyền với tốc độ c/n_R, nên n_R biểu diễn cái chúng ta thường nghĩ là chiết suất. Nhưng biên độ của sóng này là

E₀e^−ωn_Iz/c,

vốn giảm theo hàm mũ theo z. Một đồ thị của cường độ điện trường tại một thời điểm nào đó theo z được chỉ trong Hình 32–1, cho n_I ≈ n_R/2π. Phần ảo của chiết suất biểu diễn sự suy giảm của sóng do các tổn hao năng lượng trong các dao động tử nguyên tử. Cường độ của sóng tỉ lệ với bình phương của biên độ, nên

Cường độ ∝ e^−2ωn_Iz/c.

Điều này thường được viết là

Cường độ ∝ e^−βz.

trong đó β = 2ωn_I/c được gọi là hệ số hấp thụ. Vậy trong phương trình (32.33) chúng ta có không chỉ lý thuyết về chiết suất của các vật liệu, mà còn lý thuyết về sự hấp thụ ánh sáng của chúng.

Trong cái chúng ta thường coi là vật liệu trong suốt, đại lượng c/ωn_I — vốn có thứ nguyên của một độ dài — khá lớn so với bề dày của vật liệu.

32–5  Chiết suất của một hỗn hợp

Có một dự đoán khác của lý thuyết chiết suất của chúng ta mà chúng ta có thể kiểm chứng với thực nghiệm. Giả sử ta xét một hỗn hợp của hai vật liệu. Chiết suất của hỗn hợp không phải là trung bình của hai chiết suất, mà nên được cho theo tổng của hai độ phân cực, như trong phương trình (32.34). Nếu ta hỏi về chiết suất của, chẳng hạn, một dung dịch đường, độ phân cực toàn phần là tổng của độ phân cực của nước và của đường. Mỗi cái, dĩ nhiên, phải được tính dùng cho N số phân tử của loại cụ thể đó trong một đơn vị thể tích. Nói cách khác, nếu một dung dịch cho trước có N₁ phân tử nước, mà độ phân cực của chúng là α₁, và N₂ phân tử sucrose (C₁₂H₂₂O₁₁), mà độ phân cực của chúng là α₂, ta sẽ có

3[(n² − 1)/(n² + 2)] = N₁α₁ + N₂α₂.   (32.37)

Ta có thể dùng công thức này để kiểm tra lý thuyết của mình với thực nghiệm bằng cách đo chiết suất cho các nồng độ khác nhau của sucrose trong nước. Tuy nhiên, chúng ta đang đưa ra vài giả thiết ở đây. Công thức của chúng ta giả thiết rằng không có tác dụng hóa học khi sucrose được hòa tan và rằng các nhiễu loạn đối với các dao động tử nguyên tử riêng lẻ không quá khác nhau ở các nồng độ khác nhau. Vì vậy kết quả của chúng ta chắc chắn chỉ là gần đúng. Dù sao, hãy xem nó tốt đến đâu.

Chúng ta đã chọn ví dụ về dung dịch đường vì có một bảng đo tốt về chiết suất trong Handbook of Chemistry and Physics (Sổ tay Hóa học và Vật lý) và cũng vì đường là một tinh thể phân tử đi vào dung dịch mà không bị ion hóa hay thay đổi trạng thái hóa học của nó theo cách nào khác.

^a nước tinh khiết   ^b tinh thể đường   ^c trung bình (xem văn bản)   ^d trọng lượng phân tử của sucrose = 342   ^e trọng lượng phân tử của nước = 18

Chúng ta đưa ra trong ba cột đầu tiên của Bảng 32–2 số liệu từ sổ tay. Cột A là phần trăm sucrose theo trọng lượng, cột B là khối lượng riêng đo được (g/cm³), và cột C là chiết suất đo được đối với ánh sáng có bước sóng 589,3 millimicron. Đối với đường tinh khiết, chúng ta đã lấy chiết suất đo được của các tinh thể đường. Các tinh thể không đẳng hướng, nên chiết suất đo được là khác nhau theo các hướng khác nhau. Sổ tay cho ba giá trị:

n₁ = 1,5376,   n₂ = 1,5651,   n₃ = 1,5705.

Chúng ta đã lấy giá trị trung bình.

Bây giờ chúng ta có thể thử tính n cho mỗi nồng độ, nhưng chúng ta không biết nên lấy giá trị nào cho α₁ hay α₂. Hãy kiểm tra lý thuyết theo cách này: Chúng ta sẽ giả thiết rằng độ phân cực của nước (α₁) là như nhau ở mọi nồng độ và tính độ phân cực của sucrose bằng cách dùng các giá trị thực nghiệm cho n và giải phương trình (32.37) tìm α₂. Nếu lý thuyết đúng, chúng ta sẽ được cùng một α₂ cho mọi nồng độ.

Trước hết, chúng ta cần biết N₁ và N₂: hãy biểu diễn chúng theo số Avogadro, N₀. Hãy lấy một lít (1000 cm³) làm đơn vị thể tích của chúng ta. Khi đó N_i/N₀ là trọng lượng mỗi lít chia cho trọng lượng phân tử gam. Và trọng lượng mỗi lít là khối lượng riêng (nhân với 1000 để được gam mỗi lít) nhân với phần trọng lượng của hoặc sucrose hoặc nước. Bằng cách này, ta được N₂/N₀ và N₁/N₀ như trong các cột D và E của bảng.

Trong cột F chúng ta đã tính 3(n² − 1)/(n² + 2) từ các giá trị thực nghiệm của n trong cột C. Đối với nước tinh khiết, 3(n² − 1)/(n² + 2) là 0,617, vốn bằng đúng N₁α₁. Khi đó ta có thể điền phần còn lại của cột G, vì đối với mỗi hàng G/E có thể theo cùng tỉ lệ — cụ thể là, 0,617:55,5. Trừ cột G khỏi cột F, ta được đóng góp N₂α₂ của sucrose, chỉ trong cột H. Chia các số hạng này cho các giá trị của N₂/N₀ trong cột D, ta được giá trị của N₀α₂ chỉ trong cột J.

Từ lý thuyết của chúng ta, ta kỳ vọng mọi giá trị của N₀α₂ đều như nhau. Chúng không đúng bằng nhau, nhưng khá gần. Ta có thể kết luận rằng các ý tưởng của chúng ta khá đúng đắn. Hơn nữa, chúng ta thấy rằng độ phân cực của phân tử đường dường như không phụ thuộc nhiều vào môi trường xung quanh nó — độ phân cực của nó trong một dung dịch loãng gần như bằng trong tinh thể.

32–6  Sóng trong kim loại

Lý thuyết chúng ta đã xây dựng trong chương này cho các vật liệu rắn cũng có thể được áp dụng cho các vật dẫn tốt, như kim loại, với rất ít sửa đổi. Trong kim loại, một số electron không có lực buộc giữ chúng vào bất kỳ nguyên tử cụ thể nào; chính các electron “tự do” này chịu trách nhiệm về độ dẫn điện. Có các electron khác bị buộc, và lý thuyết trên áp dụng trực tiếp cho chúng. Tuy nhiên, ảnh hưởng của chúng thường bị lấn át bởi các hiệu ứng của các electron dẫn. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ xét các hiệu ứng của các electron tự do.

Nếu không có lực kéo về tác dụng lên một electron — nhưng vẫn có một ít lực cản trở chuyển động của nó — phương trình chuyển động của nó khác phương trình (32.1) chỉ vì số hạng ω₀²x bị thiếu. Vậy tất cả những gì chúng ta phải làm là đặt ω₀² = 0 trong phần còn lại của các suy luận của mình — ngoại trừ có một khác biệt nữa. Lý do chúng ta phải phân biệt giữa trường trung bình và trường cục bộ trong một chất điện môi là vì trong một chất cách điện mỗi lưỡng cực được cố định tại chỗ, nên nó có một mối quan hệ xác định với vị trí của các lưỡng cực khác. Nhưng vì các electron dẫn trong một kim loại di chuyển khắp nơi, trường tác dụng lên chúng trung bình chỉ là trường trung bình E. Vì vậy việc sửa đổi chúng ta đã làm với phương trình (32.8) bằng cách dùng phương trình (32.28) không nên được thực hiện cho các electron dẫn. Do đó công thức cho chiết suất cho kim loại nên trông như phương trình (32.27), ngoại trừ với ω₀ đặt bằng không, cụ thể là,

n² = 1 + [Nq_e²/(mε₀)]·[1/(−ω² + iγω)].   (32.38)

Đây chỉ là đóng góp từ các electron dẫn, mà chúng ta sẽ giả thiết là số hạng chính đối với kim loại.

Bây giờ chúng ta thậm chí còn biết cách tìm giá trị nào nên dùng cho γ, vì nó liên hệ với độ dẫn điện của kim loại. Trong Chương 43 của Tập I, chúng ta đã thảo luận độ dẫn điện của một kim loại đến từ sự khuếch tán của các electron tự do qua tinh thể như thế nào. Các electron đi trên một đường gấp khúc từ một lần tán xạ này tới lần tán xạ tiếp theo, và giữa các lần tán xạ chúng chuyển động tự do ngoại trừ một gia tốc do bất kỳ điện trường trung bình nào (như chỉ trong Hình 32–2). Chúng ta đã tìm thấy trong Chương 43 của Tập I rằng vận tốc trôi trung bình chỉ là gia tốc nhân với thời gian trung bình τ giữa các va chạm. Gia tốc là q_eE/m, nên

v_trôi = (q_eE/m)τ.   (32.39)

Công thức này giả thiết rằng E là không đổi, nên v_trôi là một vận tốc đều. Vì không có gia tốc trung bình, lực cản bằng lực đặt vào. Chúng ta đã định nghĩa γ bằng cách nói rằng γmv là lực cản [xem phương trình (32.1)], vốn là q_eE; do đó ta có

γ = 1/τ.   (32.40)

Mặc dù chúng ta không thể dễ dàng đo τ trực tiếp, ta có thể xác định nó bằng cách đo độ dẫn điện của kim loại. Người ta tìm thấy bằng thực nghiệm rằng một điện trường E trong một kim loại tạo ra một dòng điện với mật độ j tỉ lệ với E (đối với các vật liệu đẳng hướng):

j = σE.

Hằng số tỉ lệ σ được gọi là độ dẫn điện. Đây chính là điều chúng ta kỳ vọng từ phương trình (32.39) nếu ta đặt

j = Nq_ev_trôi.

Khi đó

σ = (Nq_e²/m)τ.   (32.41)

Vậy τ — và do đó γ — có thể được liên hệ với độ dẫn điện đo được. Dùng các phương trình (32.40) và (32.41), ta có thể viết lại công thức của chúng ta cho chiết suất, phương trình (32.38), dưới dạng sau:

n² = 1 + (σ/ε₀)/[iω(1 + iωτ)],   (32.42)

trong đó

τ = 1/γ = mσ/(Nq_e²).   (32.43)

Đây là một công thức thuận tiện cho chiết suất của kim loại.

32–7  Các gần đúng tần số thấp và tần số cao; độ sâu bề mặt và tần số plasma

Kết quả của chúng ta, phương trình (32.42), cho chiết suất của kim loại dự đoán các đặc trưng khá khác nhau cho sự truyền sóng ở các tần số khác nhau. Trước hết hãy xem điều gì xảy ra ở các tần số rất thấp. Nếu ω đủ nhỏ, ta có thể gần đúng phương trình (32.42) bằng

n² = −i σ/(ε₀ω).   (32.44)

Bây giờ, như bạn có thể kiểm chứng bằng cách lấy căn bậc hai,²

√(−i) = (1 − i)/√2;

nên đối với các tần số thấp,

n = √(σ/2ε₀ω) (1 − i).   (32.45)

Phần thực và phần ảo của n có cùng độ lớn. Với một phần ảo lớn như vậy của n, sóng bị suy giảm nhanh trong kim loại. Tham chiếu phương trình (32.36), biên độ của một sóng đi theo hướng z giảm như

exp[−√(σω/2ε₀c²) z].   (32.46)

Hãy viết điều này dưới dạng

e^−z/δ,   (32.47)

trong đó δ khi đó là khoảng cách mà biên độ sóng giảm đi một thừa số e⁻¹ = 1/2,72 — hay khoảng một phần ba. Biên độ của một sóng như vậy theo z được chỉ trong Hình 32–3. Vì sóng điện từ sẽ chỉ thâm nhập vào một kim loại một khoảng cách như vậy, δ được gọi là độ sâu bề mặt. Nó được cho bởi

δ = √(2ε₀c²/σω).   (32.48)

Bây giờ chúng ta có ý gì bởi các tần số “thấp”? Nhìn vào phương trình (32.42), ta thấy rằng nó chỉ có thể được gần đúng bằng phương trình (32.44) nếu ωτ nhỏ hơn một nhiều và nếu ωε₀/σ cũng nhỏ hơn một nhiều — tức là, gần đúng tần số thấp của chúng ta áp dụng khi

ω ≪ 1/τ

và

ω ≪ σ/ε₀.   (32.49)

Hãy xem các điều này tương ứng với các tần số nào đối với một kim loại điển hình như đồng. Ta tính τ bằng cách dùng phương trình (32.43), và σ/ε₀, bằng cách dùng độ dẫn điện đo được. Ta lấy các số liệu sau đây từ một sổ tay:

σ = 5,76×10⁷ (ohm·mét)⁻¹,
trọng lượng nguyên tử = 63,5 gam,
khối lượng riêng = 8,9 gam·cm⁻³,
số Avogadro = 6,02×10²³ (trọng lượng nguyên tử gam)⁻¹.

Nếu ta giả thiết rằng có một electron tự do mỗi nguyên tử, thì số electron trong một mét khối là

N = 8,5×10²⁸ mét⁻³.

Dùng

q_e = 1,6×10⁻¹⁹ coulomb,
ε₀ = 8,85×10⁻¹² farad·mét⁻¹,
m = 9,11×10⁻³¹ kg,

ta được

τ = 2,4×10⁻¹⁴ giây,
1/τ = 4,1×10¹³ giây⁻¹,
σ/ε₀ = 6,5×10¹⁸ giây⁻¹.

Vậy đối với các tần số nhỏ hơn khoảng 10¹² chu kỳ mỗi giây, đồng sẽ có hành vi “tần số thấp” mà chúng ta mô tả (điều đó có nghĩa là đối với các sóng mà bước sóng trong không gian tự do dài hơn 0,3 milimét — các sóng vô tuyến rất ngắn!).

Đối với các sóng này, độ sâu bề mặt trong đồng là

δ = √(0,028 m²·giây⁻¹/ω)

Đối với vi sóng 10.000 mêga chu kỳ mỗi giây (sóng 3 cm)

δ = 6,7×10⁻⁵ cm.

Sóng chỉ thâm nhập một khoảng cách rất nhỏ.

Chúng ta có thể thấy từ điều này tại sao khi nghiên cứu các hốc (hay ống dẫn sóng) chúng ta chỉ cần lo về các trường bên trong hốc, chứ không phải trong kim loại hay bên ngoài hốc. Đồng thời, chúng ta thấy tại sao các tổn hao trong một hốc được giảm bởi một lớp mạ mỏng bạc hay vàng. Các tổn hao đến từ dòng điện, vốn chỉ đáng kể trong một lớp mỏng bằng độ sâu bề mặt.

Giả sử bây giờ chúng ta xét chiết suất của một kim loại như đồng ở các tần số cao. Đối với các tần số rất cao, ωτ lớn hơn một nhiều, và phương trình (32.42) được gần đúng tốt bằng

n² = 1 − σ/(ε₀ω²τ).   (32.50)

Đối với các sóng có tần số cao, chiết suất của một kim loại trở nên thực — và nhỏ hơn một! Điều này cũng hiển nhiên từ phương trình (32.38) nếu số hạng tiêu tán với γ bị bỏ qua, như có thể làm đối với ω rất lớn. Phương trình (32.38) cho

n² = 1 − Nq_e²/(mε₀ω²),   (32.51)

vốn, dĩ nhiên, cũng giống như phương trình (32.50). Chúng ta đã thấy trước đây đại lượng Nq_e²/mε₀, mà chúng ta gọi là bình phương của tần số plasma (Mục 7–3):

ω_p² = Nq_e²/(ε₀m),

nên ta có thể viết phương trình (32.50) hay phương trình (32.51) dưới dạng

n² = 1 − (ω_p/ω)².

Tần số plasma là một loại tần số “tới hạn”.

Đối với ω < ω_p, chiết suất của một kim loại có một phần ảo, và các sóng bị suy giảm; nhưng đối với ω ≫ ω_p, chiết suất là thực, và kim loại trở nên trong suốt. Bạn biết, dĩ nhiên, rằng kim loại khá trong suốt đối với tia X. Nhưng một số kim loại thậm chí còn trong suốt trong vùng tử ngoại. Trong Bảng 32–3, chúng ta đưa ra cho vài kim loại bước sóng quan sát thực nghiệm mà tại đó chúng bắt đầu trở nên trong suốt. Trong cột thứ hai, chúng ta đưa ra bước sóng tới hạn tính được λ_p = 2πc/ω_p. Xét rằng bước sóng thực nghiệm không được xác định quá rõ, sự phù hợp của lý thuyết là khá tốt.

* Từ: C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley and Sons, Inc., New York, ấn bản 2, 1956, tr. 266.

Bạn có thể tự hỏi tại sao tần số plasma ω_p lại có liên quan gì tới sự truyền của các sóng điện từ trong kim loại. Tần số plasma xuất hiện trong Chương 7 với vai trò là tần số riêng của các dao động mật độ của các electron tự do. (Một đám electron bị đẩy bởi các lực điện, và quán tính của các electron dẫn tới một dao động mật độ.) Vậy các sóng plasma dọc cộng hưởng tại ω_p. Nhưng chúng ta bây giờ đang nói về các sóng điện từ ngang, và chúng ta đã tìm thấy rằng các sóng ngang bị hấp thụ đối với các tần số dưới ω_p. (Đó là một sự trùng hợp thú vị và không ngẫu nhiên.)

Mặc dù chúng ta đã nói về sự truyền sóng trong kim loại, đến lúc này bạn hẳn đã đánh giá được tính phổ quát của các hiện tượng vật lý — rằng không có gì khác biệt dù các electron tự do ở trong một kim loại hay ở trong plasma của tầng điện ly của trái đất, hay trong khí quyển của một ngôi sao. Để hiểu sự truyền sóng vô tuyến trong tầng điện ly, chúng ta có thể dùng cùng các biểu thức — dùng, dĩ nhiên, các giá trị thích hợp cho N và τ. Bây giờ chúng ta có thể thấy tại sao các sóng vô tuyến dài bị tầng điện ly hấp thụ hay phản xạ, trong khi các sóng ngắn đi xuyên thẳng qua. (Các sóng ngắn phải được dùng để liên lạc với các vệ tinh.)

Chúng ta đã nói về các cực trị tần số cao và tần số thấp cho sự truyền sóng trong kim loại. Đối với các tần số ở giữa, công thức đầy đủ của phương trình (32.42) phải được dùng. Nói chung, chiết suất sẽ có phần thực và phần ảo; sóng bị suy giảm khi nó truyền vào trong kim loại. Đối với các lớp rất mỏng, kim loại hơi trong suốt ngay cả ở các tần số quang học. Ví dụ, các kính bảo hộ đặc biệt cho những người làm việc quanh các lò nhiệt độ cao được làm bằng cách bốc hơi một lớp vàng mỏng lên kính. Ánh sáng nhìn thấy được truyền qua khá tốt — với một sắc xanh lá mạnh — nhưng tia hồng ngoại bị hấp thụ mạnh.

Cuối cùng, hẳn bạn đọc đã để ý rằng nhiều công thức trong số này giống, theo một số cách, các công thức cho hằng số điện môi κ đã thảo luận trong Chương 10. Hằng số điện môi κ đo đáp ứng của vật liệu đối với một trường không đổi, tức là, đối với ω = 0. Nếu bạn nhìn kỹ định nghĩa của n và κ, bạn thấy rằng κ đơn giản là giới hạn của n² khi ω → 0. Thật vậy, đặt ω = 0 và n² = κ trong các phương trình của chương này sẽ tái tạo các phương trình của lý thuyết về hằng số điện môi của Chương 11.