Chương 33: Sự phản xạ từ các bề mặt

33–1  Sự phản xạ và khúc xạ của ánh sáng

Chủ đề của chương này là sự phản xạ và khúc xạ của ánh sáng — hay của các sóng điện từ nói chung — tại các bề mặt. Chúng ta đã thảo luận các định luật phản xạ và khúc xạ trong các Chương 26 và 33 của Tập I. Đây là những gì chúng ta đã tìm ra ở đó:

Góc phản xạ bằng góc tới. Với các góc được định nghĩa như chỉ trong Hình 33–1,

θ_r = θ_i.   (33.1)

Tích n sin θ là như nhau đối với các tia tới và tia truyền qua (định luật Snell):

n₁ sin θ_i = n₂ sin θ_t.   (33.2)

Cường độ của ánh sáng phản xạ phụ thuộc vào góc tới và cũng vào hướng phân cực. Đối với E vuông góc với mặt phẳng tới, hệ số phản xạ R_⊥ là

R_⊥ = I_r/I_i = sin²(θ_i − θ_t)/sin²(θ_i + θ_t).   (33.3)

Đối với E song song với mặt phẳng tới, hệ số phản xạ R_∥ là

R_∥ = I_r/I_i = tan²(θ_i − θ_t)/tan²(θ_i + θ_t).   (33.4)

Đối với tia tới vuông góc (dĩ nhiên, bất kỳ phân cực nào!),

I_r/I_i = [(n₂ − n₁)/(n₂ + n₁)]².   (33.5)

(Trước đây, chúng ta đã dùng i cho góc tới và r cho góc khúc xạ. Vì chúng ta không thể dùng r cho cả góc “khúc xạ” và góc “phản xạ”, bây giờ chúng ta dùng θ_i = góc tới, θ_r = góc phản xạ, và θ_t = góc truyền qua.)

Thảo luận trước đây của chúng ta thực ra là khoảng xa nhất mà bất kỳ ai cũng thường cần đi với chủ đề này, nhưng chúng ta sẽ làm lại tất cả theo một cách khác. Tại sao? Một lý do là trước đây chúng ta đã giả thiết rằng các chiết suất là thực (không có sự hấp thụ trong các vật liệu). Nhưng một lý do khác là bạn nên biết cách xử lý những gì xảy ra với các sóng tại các bề mặt từ quan điểm của các phương trình Maxwell. Chúng ta sẽ được cùng các đáp án như trước, nhưng bây giờ từ một cách giải thẳng thắn của bài toán sóng, thay vì bằng một số lập luận khéo léo.

Chúng ta muốn nhấn mạnh rằng biên độ của một phản xạ bề mặt không phải là một tính chất của vật liệu, như chiết suất. Nó là một “tính chất bề mặt”, một tính chất phụ thuộc chính xác vào cách bề mặt được tạo ra. Một lớp mỏng chất lạ trên bề mặt giữa hai vật liệu có chiết suất n₁ và n₂ thường sẽ làm thay đổi sự phản xạ. (Có đủ mọi khả năng giao thoa ở đây — như các màu của các màng dầu. Bề dày thích hợp thậm chí có thể làm giảm biên độ phản xạ xuống bằng không đối với một tần số cho trước; đó là cách các thấu kính được tráng phủ.) Các công thức chúng ta sẽ suy ra chỉ đúng nếu sự thay đổi của chiết suất là đột ngột — trong một khoảng cách rất nhỏ so với một bước sóng. Đối với ánh sáng, bước sóng khoảng 5000 Å, nên bởi một bề mặt “trơn” chúng ta có ý là một bề mặt trong đó các điều kiện thay đổi khi đi một khoảng cách chỉ vài nguyên tử (hay vài angstrom). Các phương trình của chúng ta sẽ đúng cho ánh sáng đối với các bề mặt được đánh bóng cao. Nói chung, nếu chiết suất thay đổi dần dần trên một khoảng cách vài bước sóng, có rất ít phản xạ.

33–2  Sóng trong các vật liệu đậm đặc

Trước hết, chúng ta nhắc bạn về cách thuận tiện để mô tả một sóng phẳng hình sin mà chúng ta đã dùng trong Chương 34 của Tập I. Bất kỳ thành phần trường nào trong sóng (chúng ta dùng E làm ví dụ) có thể được viết dưới dạng

E = E₀e^{i(ωt − k·r)},   (33.6)

trong đó E biểu diễn biên độ tại điểm r (từ gốc tọa độ) tại thời gian t. Vector k chỉ theo hướng sóng đang truyền, và độ lớn của nó |k| = k = 2π/λ là số sóng. Vận tốc pha của sóng là v_ph = ω/k; đối với một sóng ánh sáng trong một vật liệu có chiết suất n, v_ph = c/n, nên

k = ωn/c.   (33.7)

Giả sử k theo hướng z; khi đó k·r chỉ là kz, như chúng ta đã thường dùng. Đối với k theo bất kỳ hướng nào khác, ta nên thay z bằng r_k, khoảng cách từ gốc tọa độ theo hướng k; tức là, ta nên thay kz bằng kr_k, vốn chỉ là k·r. (Xem Hình 33–2.) Vậy phương trình (33.6) là một biểu diễn thuận tiện của một sóng theo bất kỳ hướng nào.

Dĩ nhiên, chúng ta phải nhớ rằng

k·r = k_xx + k_yy + k_zz,

trong đó k_x, k_y, và k_z là các thành phần của k dọc theo ba trục. Thật vậy, chúng ta đã từng chỉ ra rằng (ω, k_x, k_y, k_z) là một bốn-vector, và rằng tích vô hướng của nó với (t, x, y, z) là một bất biến. Vậy pha của một sóng là một bất biến, và phương trình (33.6) có thể được viết

E = E₀e^ik_μx_μ.

Nhưng bây giờ chúng ta không cần phải cầu kỳ như vậy.

Đối với một E hình sin, như trong phương trình (33.6), ∂E/∂t cũng như iωE, và ∂E/∂x là −ik_xE, và tương tự đối với các thành phần khác. Bạn có thể thấy tại sao rất thuận tiện khi dùng dạng trong phương trình (33.6) khi làm việc với các phương trình vi phân — các phép lấy đạo hàm được thay bằng các phép nhân. Một điểm hữu ích nữa: Toán tử ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) được thay bằng ba phép nhân (−ik_x, −ik_y, −ik_z). Nhưng ba thừa số này biến đổi như các thành phần của vector k, nên toán tử ∇ được thay bằng phép nhân với −ik:

∂/∂t → iω,
∇ → −ik.   (33.8)

Điều này vẫn đúng cho bất kỳ phép toán ∇ nào — dù nó là gradient, hay divergence, hay curl. Chẳng hạn, thành phần z của ∇×E là

∂E_y/∂x − ∂E_x/∂y.

Nếu cả E_y và E_x đều biến thiên như e^−ik·r, khi đó ta được

−ik_xE_y + ik_yE_x,

vốn là, bạn thấy đấy, thành phần z của −ik×E.

Vậy chúng ta có sự kiện tổng quát rất hữu ích là bất cứ khi nào bạn phải lấy gradient của một vector biến thiên như một sóng trong ba chiều (chúng là một phần quan trọng của vật lý), bạn luôn có thể lấy các đạo hàm một cách nhanh chóng và hầu như không cần suy nghĩ bằng cách nhớ rằng phép toán ∇ tương đương với phép nhân với −ik.

Chẳng hạn, phương trình Faraday

∇×E = −∂B/∂t

trở thành đối với một sóng

−ik×E = −iωB.

Điều này cho chúng ta biết rằng

B = (k×E)/ω,   (33.9)

vốn tương ứng với kết quả chúng ta đã tìm thấy trước đây cho các sóng trong không gian tự do — rằng B, trong một sóng, vuông góc với E và với hướng sóng. (Trong không gian tự do, ω/k = c.) Bạn có thể nhớ dấu trong phương trình (33.9) từ sự kiện là k theo hướng của vector Poynting S = ε₀c²E×B.

Nếu bạn dùng cùng quy tắc với các phương trình Maxwell khác, bạn lại được các kết quả của chương trước và, cụ thể, rằng

k·k = k² = ω²n²/c².   (33.10)

Nhưng vì chúng ta biết điều đó, chúng ta sẽ không làm lại.

Nếu bạn muốn tự giải trí, bạn có thể thử bài toán khủng khiếp sau đây vốn là bài kiểm tra tối hậu cho các sinh viên cao học hồi năm 1890: giải các phương trình Maxwell cho các sóng phẳng trong một tinh thể dị hướng, tức là, khi độ phân cực P liên hệ với điện trường E bởi một tensor độ phân cực. Dĩ nhiên, bạn nên chọn các trục của mình dọc theo các trục chính của tensor, sao cho các hệ thức là đơn giản nhất (khi đó P_x = α_aE_x, P_y = α_bE_y, và P_z = α_cE_z), nhưng để các sóng có một hướng và phân cực tùy ý. Bạn sẽ có thể tìm các hệ thức giữa E và B, và cách k biến thiên theo hướng và phân cực sóng. Khi đó bạn sẽ hiểu quang học của một tinh thể dị hướng. Tốt nhất là bắt đầu với trường hợp đơn giản hơn của một tinh thể lưỡng chiết — như canxit — mà đối với nó hai trong số các độ phân cực bằng nhau (chẳng hạn, α_b = α_c), và xem bạn có thể hiểu tại sao bạn nhìn thấy ảnh kép khi nhìn qua một tinh thể như vậy hay không. Nếu bạn làm được điều đó, hãy thử trường hợp khó nhất, trong đó cả ba α đều khác nhau. Khi đó bạn sẽ biết mình có đạt tới trình độ của một sinh viên cao học năm 1890 hay không. Tuy nhiên, trong chương này, chúng ta sẽ chỉ xét các chất đẳng hướng.

Chúng ta biết từ kinh nghiệm rằng khi một sóng phẳng tới biên giữa hai vật liệu khác nhau — chẳng hạn, không khí và thủy tinh, hay nước và dầu — có một sóng phản xạ và một sóng truyền qua. Giả sử chúng ta không giả thiết gì hơn thế và xem chúng ta có thể suy ra được gì. Ta chọn các trục của mình với mặt phẳng yz nằm trong bề mặt và mặt phẳng xy vuông góc với các mặt sóng tới, như chỉ trong Hình 33–3.

Vector điện của sóng tới khi đó có thể được viết là

E_i = E₀e^{i(ωt − k·r)}.   (33.11)

Vì k vuông góc với trục z,

k·r = k_xx + k_yy.   (33.12)

Ta viết sóng phản xạ là

E_r = E₀′e^{i(ω′t − k′·r)},   (33.13)

để tần số của nó là ω′, số sóng của nó là k′, và biên độ của nó là E₀′. (Dĩ nhiên, chúng ta biết rằng tần số là như nhau và độ lớn của k′ là như của sóng tới, nhưng chúng ta sẽ không giả thiết ngay cả điều đó. Chúng ta sẽ để nó tự xuất hiện từ bộ máy toán học.) Cuối cùng, ta viết cho sóng truyền qua,

E_t = E₀″e^{i(ω″t − k″·r)}.   (33.14)

Chúng ta biết rằng một trong các phương trình Maxwell cho ra phương trình (33.9), nên đối với mỗi sóng ta có

B_i = (k×E_i)/ω,   B_r = (k′×E_r)/ω′,   B_t = (k″×E_t)/ω″.   (33.15)

Ngoài ra, nếu ta gọi chiết suất của hai môi trường là n₁ và n₂, ta có từ phương trình (33.10)

k² = k_x² + k_y² = ω²n₁²/c².   (33.16)

Vì sóng phản xạ ở trong cùng vật liệu, nên

k′² = ω′²n₁²/c²   (33.17)

trong khi đối với sóng truyền qua,

k″² = ω″²n₂²/c².   (33.18)

33–3  Các điều kiện biên

Tất cả những gì chúng ta đã làm cho tới nay là mô tả ba sóng; bài toán của chúng ta bây giờ là tìm ra các tham số của các sóng phản xạ và truyền qua theo các tham số của sóng tới. Làm sao chúng ta có thể làm điều đó? Ba sóng chúng ta đã mô tả thỏa mãn các phương trình Maxwell trong vật liệu đồng nhất, nhưng các phương trình Maxwell cũng phải được thỏa mãn tại biên giữa hai vật liệu khác nhau. Vậy chúng ta phải xét điều gì xảy ra ngay tại biên. Chúng ta sẽ thấy rằng các phương trình Maxwell đòi hỏi ba sóng phải khớp với nhau theo một cách nhất định.

Làm ví dụ về ý chúng ta muốn nói, thành phần y của điện trường E phải như nhau ở hai phía của biên. Điều này được đòi hỏi bởi định luật Faraday,

∇×E = −∂B/∂t,   (33.19)

như chúng ta có thể thấy theo cách sau đây. Xét một vòng chữ nhật nhỏ Γ ôm lấy biên, như chỉ trong Hình 33–4. Phương trình (33.19) nói rằng tích phân đường của E quanh Γ bằng tốc độ thay đổi của thông lượng của B qua vòng:

∮_Γ E·ds = −∂/∂t ∫ B·n da.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng hình chữ nhật rất hẹp, sao cho vòng bao quanh một diện tích vô cùng nhỏ. Nếu B vẫn hữu hạn (và không có lý do gì nó phải vô hạn tại biên!) thông lượng qua diện tích bằng không. Vậy tích phân đường của E phải bằng không. Nếu E_y1 và E_y2 là các thành phần của trường ở hai phía của biên và nếu chiều dài của hình chữ nhật là l, ta có

E_y1l − E_y2l = 0

hay

E_y1 = E_y2,   (33.20)

như chúng ta đã nói. Điều này cho chúng ta một hệ thức giữa các trường của ba sóng.

Thủ tục tìm ra các hệ quả của các phương trình Maxwell tại biên được gọi là “xác định các điều kiện biên”. Thông thường, nó được thực hiện bằng cách tìm càng nhiều phương trình như phương trình (33.20) càng tốt, bằng cách đưa ra các lập luận về các hình chữ nhật nhỏ như Γ trong Hình 33–4, hay bằng cách dùng các mặt Gauss nhỏ ôm lấy biên. Mặc dù đó là một cách tiến hành hoàn toàn tốt, nó cho ấn tượng rằng bài toán xử lý một biên là khác nhau đối với mỗi bài toán vật lý khác nhau.

Chẳng hạn, trong một bài toán về dòng nhiệt qua một biên, các nhiệt độ ở hai phía liên hệ với nhau như thế nào? À, bạn có thể lập luận, chẳng hạn, rằng dòng nhiệt tới biên từ một phía sẽ phải bằng dòng ra khỏi biên ở phía bên kia. Thường thì có thể, và nói chung khá hữu ích, tìm ra các điều kiện biên bằng cách đưa ra các lập luận vật lý như vậy. Tuy nhiên, có thể có những lúc, khi làm việc trên một bài toán nào đó, bạn chỉ có một số phương trình, và bạn có thể không thấy ngay nên dùng các lập luận vật lý nào. Vì vậy, mặc dù vào lúc này chúng ta chỉ quan tâm tới một bài toán điện từ, nơi chúng ta có thể đưa ra các lập luận vật lý, chúng ta muốn chỉ cho bạn một phương pháp có thể được dùng cho bất kỳ bài toán nào — một cách tổng quát để tìm điều gì xảy ra tại một biên trực tiếp từ các phương trình vi phân.

Chúng ta bắt đầu bằng cách viết mọi phương trình Maxwell cho một chất điện môi — và lần này chúng ta rất cụ thể và viết tường minh mọi thành phần:

∇·E = −(∇·P)/ε₀   (33.21)

ε₀(∂E_x/∂x + ∂E_y/∂y + ∂E_z/∂z) = −(∂P_x/∂x + ∂P_y/∂y + ∂P_z/∂z)

∇×E = −∂B/∂t

∂E_z/∂y − ∂E_y/∂z = −∂B_x/∂t   (33.22a)

∂E_x/∂z − ∂E_z/∂x = −∂B_y/∂t   (33.22b)

∂E_y/∂x − ∂E_x/∂y = −∂B_z/∂t   (33.22c)

∇·B = 0   (33.23)

∂B_x/∂x + ∂B_y/∂y + ∂B_z/∂z = 0

c²∇×B = (1/ε₀) ∂P/∂t + ∂E/∂t

c²(∂B_z/∂y − ∂B_y/∂z) = (1/ε₀) ∂P_x/∂t + ∂E_x/∂t   (33.24a)

c²(∂B_x/∂z − ∂B_z/∂x) = (1/ε₀) ∂P_y/∂t + ∂E_y/∂t   (33.24b)

c²(∂B_y/∂x − ∂B_x/∂y) = (1/ε₀) ∂P_z/∂t + ∂E_z/∂t   (33.24c)

Bây giờ các phương trình này phải đúng trong miền 1 (ở phía trái của biên) và trong miền 2 (ở phía phải của biên). Chúng ta đã viết các nghiệm trong miền 1 và miền 2. Cuối cùng, chúng cũng phải được thỏa mãn trong biên, mà chúng ta có thể gọi là miền 3. Mặc dù chúng ta thường nghĩ biên là gián đoạn sắc nét, trên thực tế nó không phải vậy. Các tính chất vật lý thay đổi rất nhanh nhưng không nhanh vô hạn. Trong mọi trường hợp, chúng ta có thể tưởng tượng rằng có một sự chuyển tiếp rất nhanh, nhưng liên tục, của chiết suất giữa miền 1 và miền 2, trong một khoảng cách ngắn chúng ta có thể gọi là miền 3. Đồng thời, bất kỳ đại lượng trường nào như P_x, hay E_y, v.v., sẽ thực hiện một sự chuyển tiếp tương tự trong miền 3. Trong miền này, các phương trình vi phân vẫn phải được thỏa mãn, và chính bằng cách đi theo các phương trình vi phân trong miền này mà chúng ta có thể đi tới các “điều kiện biên” cần thiết.

Chẳng hạn, giả sử chúng ta có một biên giữa chân không (miền 1) và thủy tinh (miền 2). Không có gì để phân cực trong chân không, nên P₁ = 0. Giả sử có một độ phân cực P₂ nào đó trong thủy tinh. Giữa chân không và thủy tinh có một sự chuyển tiếp trơn, nhưng nhanh. Nếu ta nhìn vào bất kỳ thành phần nào của P, chẳng hạn P_x, nó có thể biến thiên như vẽ trong Hình 33–5(a). Giả sử bây giờ ta lấy phương trình đầu tiên của chúng ta, phương trình (33.21). Nó liên quan tới các đạo hàm của các thành phần của P theo x, y, và z. Các đạo hàm theo y và z không thú vị; không có gì ngoạn mục đang xảy ra theo các hướng đó. Nhưng đạo hàm theo x của P_x sẽ có một số giá trị rất lớn trong miền 3, vì độ dốc ghê gớm của P_x. Đạo hàm ∂P_x/∂x sẽ có một đỉnh nhọn sắc tại biên, như chỉ trong Hình 33–5(b). Nếu ta tưởng tượng nén biên thành một lớp còn mỏng hơn nữa, đỉnh sẽ trở nên cao hơn nhiều. Nếu biên thật sự sắc nét đối với các sóng chúng ta quan tâm, độ lớn của ∂P_x/∂x trong miền 3 sẽ lớn hơn, lớn hơn nhiều bất kỳ đóng góp nào chúng ta có thể có từ sự biến thiên của P trong sóng xa khỏi biên — nên chúng ta bỏ qua mọi biến thiên ngoại trừ các biến thiên do biên.

Bây giờ phương trình (33.21) có thể được thỏa mãn như thế nào nếu có một đỉnh lớn khủng khiếp ở vế phải? Chỉ khi có một đỉnh lớn khủng khiếp bằng như vậy ở phía bên kia. Một cái gì đó ở vế trái cũng phải lớn. Ứng cử viên duy nhất là ∂E_x/∂x, vì các biến thiên theo y và z chỉ là các hiệu ứng nhỏ trong sóng mà chúng ta vừa nhắc tới. Vậy −ε₀(∂E_x/∂x) phải như vẽ trong Hình 33–5(c) — chỉ là một bản sao của ∂P_x/∂x. Ta có

ε₀ ∂E_x/∂x = −∂P_x/∂x.

Nếu ta tích phân phương trình này theo x qua miền 3, ta kết luận rằng

ε₀(E_x2 − E_x1) = −(P_x2 − P_x1).   (33.25)

Nói cách khác, bước nhảy của ε₀E_x khi đi từ miền 1 sang miền 2 phải bằng bước nhảy của −P_x.

Chúng ta có thể viết lại phương trình (33.25) dưới dạng

ε₀E_x2 + P_x2 = ε₀E_x1 + P_x1,   (33.26)

vốn nói rằng đại lượng (ε₀E_x + P_x) có các giá trị bằng nhau trong miền 2 và miền 1. Người ta nói: đại lượng (ε₀E_x + P_x) là liên tục qua biên. Bằng cách này, chúng ta có một trong các điều kiện biên của mình.

Mặc dù chúng ta lấy làm minh họa trường hợp trong đó P₁ bằng không vì miền 1 là chân không, rõ ràng cùng lập luận áp dụng cho bất kỳ hai vật liệu nào trong hai miền, nên phương trình (33.26) đúng nói chung.

Bây giờ hãy đi qua phần còn lại của các phương trình Maxwell và xem mỗi phương trình cho chúng ta biết điều gì. Ta lấy tiếp phương trình (33.22a). Không có đạo hàm theo x, nên nó không cho chúng ta biết điều gì. (Hãy nhớ rằng bản thân các trường không trở nên đặc biệt lớn tại biên; chỉ các đạo hàm theo x mới có thể trở nên lớn đến mức chúng chi phối phương trình.) Tiếp theo, ta nhìn vào phương trình (33.22b). À! Có một đạo hàm theo x! Ta có ∂E_z/∂x ở vế trái. Giả sử nó có một đạo hàm lớn. Nhưng đợi một chút! Không có gì ở vế phải để khớp với nó; do đó E_z không thể có bất kỳ bước nhảy nào khi đi từ miền 1 sang miền 2. [Nếu nó có, sẽ có một đỉnh ở phía trái của phương trình (33.22b) nhưng không có ở phía phải, và phương trình sẽ sai.] Vậy ta có một điều kiện mới:

E_z2 = E_z1.   (33.27)

Bằng cùng lập luận, phương trình (33.22c) cho

E_y2 = E_y1.   (33.28)

Kết quả cuối cùng này chính là điều chúng ta đã được trong phương trình (33.20) bằng một lập luận tích phân đường.

Chúng ta đi tiếp tới phương trình (33.23). Số hạng duy nhất có thể có một đỉnh là ∂B_x/∂x. Nhưng không có gì ở phía phải để khớp với nó, nên ta kết luận rằng

B_x2 = B_x1.   (33.29)

Tới phương trình cuối cùng của Maxwell! Phương trình (33.24a) không cho gì, vì không có đạo hàm theo x. Phương trình (33.24b) có một, −c²∂B_z/∂x, nhưng một lần nữa, không có gì để khớp với nó. Ta được

B_z2 = B_z1.   (33.30)

Phương trình cuối cùng khá tương tự, và cho

B_y2 = B_y1.   (33.31)

Ba phương trình cuối cùng cho chúng ta rằng B₂ = B₁. Tuy nhiên, chúng ta muốn nhấn mạnh rằng chúng ta được kết quả này chỉ khi các vật liệu ở hai phía của biên là không từ tính — hay đúng hơn, khi chúng ta có thể bỏ qua mọi hiệu ứng từ của các vật liệu. Điều này thường có thể làm được đối với hầu hết các vật liệu, ngoại trừ các vật liệu sắt từ. (Chúng ta sẽ xử lý các tính chất từ của vật liệu trong một số chương sau.)

Chương trình của chúng ta đã thu về sáu hệ thức giữa các trường trong miền 1 và các trường trong miền 2. Chúng ta đã đặt tất cả chúng lại với nhau trong Bảng 33–1. Bây giờ chúng ta có thể dùng chúng để khớp các sóng trong hai miền. Tuy nhiên, chúng ta muốn nhấn mạnh rằng ý tưởng chúng ta vừa dùng sẽ đúng trong bất kỳ tình huống vật lý nào trong đó bạn có các phương trình vi phân và bạn muốn một nghiệm đi qua một biên sắc nét giữa hai miền nơi một tính chất nào đó thay đổi. Đối với mục đích hiện tại của chúng ta, chúng ta có thể dễ dàng suy ra cùng các phương trình bằng cách dùng các lập luận về các thông lượng và lưu thông tại biên. (Bạn có thể thử xem mình có thể được cùng kết quả theo cách đó không.) Nhưng bây giờ bạn đã thấy một phương pháp sẽ đúng trong trường hợp bạn bị kẹt và không thấy bất kỳ lập luận dễ dàng nào về vật lý của những gì đang xảy ra tại biên — bạn chỉ việc làm việc với các phương trình.

33–4  Các sóng phản xạ và sóng truyền qua

Bây giờ chúng ta sẵn sàng áp dụng các điều kiện biên của mình cho các sóng chúng ta đã viết xuống trong Mục 33–2. Chúng ta có:

E_i = E₀e^{i(ωt − k_xx − k_yy)},   (33.32)

E_r = E₀′e^{i(ω′t − k′_xx − k′_yy)},   (33.33)

E_t = E₀″e^{i(ω″t − k″_xx − k″_yy)},   (33.34)

B_i = (k×E_i)/ω,   (33.35)

B_r = (k′×E_r)/ω′,   (33.36)

B_t = (k″×E_t)/ω″.   (33.37)

Chúng ta có thêm một mẩu kiến thức nữa: E vuông góc với vector truyền k của nó đối với mỗi sóng.

Các kết quả sẽ phụ thuộc vào hướng của vector E (sự “phân cực”) của sóng tới. Việc phân tích được đơn giản hóa nhiều nếu chúng ta xử lý riêng trường hợp một sóng tới có vector E của nó song song với “mặt phẳng tới” (tức là, mặt phẳng xy) và trường hợp một sóng tới có vector E vuông góc với mặt phẳng tới. Một sóng có bất kỳ phân cực nào khác chỉ là một tổ hợp tuyến tính của hai sóng như vậy. Nói cách khác, các cường độ phản xạ và truyền qua là khác nhau đối với các phân cực khác nhau, và dễ nhất là chọn hai trường hợp đơn giản nhất và xử lý chúng riêng rẽ.

Chúng ta sẽ thực hiện việc phân tích cho một sóng tới phân cực vuông góc với mặt phẳng tới và sau đó chỉ đưa cho bạn kết quả cho trường hợp còn lại. Chúng ta gian lận một chút bằng cách lấy trường hợp đơn giản nhất, nhưng nguyên lý là như nhau đối với cả hai. Vậy ta lấy rằng E_i chỉ có một thành phần z, và vì mọi vector E đều theo cùng hướng, chúng ta có thể bỏ các dấu vector.

Miễn là cả hai vật liệu đều đẳng hướng, các dao động cảm ứng của các điện tích trong vật liệu cũng sẽ theo hướng z, và trường E của các sóng truyền qua và bức xạ sẽ chỉ có các thành phần z. Vậy đối với mọi sóng, E_x và E_y và P_x và P_y bằng không. Các sóng sẽ có các vector E và B của chúng như vẽ trong Hình 33–6. (Chúng ta đang cắt ngắn một góc ở đây so với kế hoạch ban đầu là lấy mọi thứ từ các phương trình. Kết quả này cũng sẽ xuất hiện từ các điều kiện biên, nhưng chúng ta có thể tiết kiệm nhiều đại số bằng cách dùng lập luận vật lý. Khi bạn có thời gian rảnh, hãy thử xem bạn có thể được cùng kết quả từ các phương trình không. Rõ ràng những gì chúng ta đã nói phù hợp với các phương trình; chỉ là chúng ta đã không chỉ ra rằng không có các khả năng khác.)

Bây giờ các điều kiện biên của chúng ta, các phương trình (33.26) tới (33.31), cho các hệ thức giữa các thành phần của E và B trong các miền 1 và 2. Đối với miền 2 chúng ta chỉ có sóng truyền qua, nhưng trong miền 1 chúng ta có hai sóng. Chúng ta dùng sóng nào? Dĩ nhiên, các trường trong miền 1 là chồng chập của các trường của sóng tới và sóng phản xạ. (Vì mỗi sóng thỏa mãn các phương trình Maxwell, tổng cũng vậy.) Vậy khi chúng ta dùng các điều kiện biên, chúng ta phải dùng rằng

E₁ = E_i + E_r,   E₂ = E_t,

và tương tự đối với các B.

Đối với sự phân cực chúng ta đang xét, các phương trình (33.26) và (33.28) không cho chúng ta thông tin mới nào; chỉ phương trình (33.27) là hữu ích. Nó nói rằng

E_i + E_r = E_t,

tại biên, tức là, đối với x = 0. Vậy ta có

E₀e^{i(ωt − k_yy)} + E₀′e^{i(ω′t − k′_yy)} = E₀″e^{i(ω″t − k″_yy)},   (33.38)

vốn phải đúng đối với mọi t và đối với mọi y. Giả sử trước hết ta nhìn vào y = 0. Khi đó ta có

E₀e^iωt + E₀′e^iω′t = E₀″e^iω″t.

Phương trình này nói rằng hai số hạng dao động bằng một dao động thứ ba. Điều đó chỉ có thể xảy ra nếu mọi dao động đều có cùng tần số. (Không thể nào có ba — hay bất kỳ số lượng nào — số hạng như vậy với các tần số khác nhau cộng lại bằng không đối với mọi thời gian.) Vậy

ω″ = ω′ = ω.   (33.39)

Như chúng ta đã biết từ lâu, các tần số của các sóng phản xạ và truyền qua là như của sóng tới.

Chúng ta thực ra nên tiết kiệm cho mình một ít rắc rối bằng cách đặt điều đó vào ngay từ đầu, nhưng chúng ta muốn chỉ cho bạn rằng nó cũng có thể được lấy ra từ các phương trình. Khi bạn làm một bài toán thật, thường tốt nhất là đặt mọi thứ bạn biết vào công việc ngay từ đầu và tiết kiệm cho mình nhiều rắc rối.

Theo định nghĩa, độ lớn của k được cho bởi k² = n²ω²/c², nên chúng ta cũng có rằng

k″²/n₂² = k′²/n₁² = k²/n₁².   (33.40)

Bây giờ nhìn vào phương trình (33.38) đối với t = 0. Dùng lại cùng loại lập luận chúng ta vừa thực hiện, nhưng lần này dựa trên sự kiện là phương trình phải đúng đối với mọi giá trị của y, ta được rằng

k″_y = k′_y = k_y.   (33.41)

Từ phương trình (33.40), k′² = k², nên

k′_x² + k′_y² = k_x² + k_y².

Kết hợp điều này với phương trình (33.41), ta có rằng

k′_x² = k_x²,

hay rằng k′_x = ±k_x. Dấu dương không có ý nghĩa; điều đó sẽ không cho một sóng phản xạ, mà một sóng tới khác, và chúng ta đã nói từ đầu rằng chúng ta đang giải bài toán chỉ có một sóng tới. Vậy ta có

k′_x = −k_x.   (33.42)

Hai phương trình (33.41) và (33.42) cho chúng ta rằng góc phản xạ bằng góc tới, như chúng ta kỳ vọng. (Xem Hình 33–3.) Sóng phản xạ là

E_r = E₀′e^{i(ωt + k_xx − k_yy)}.   (33.43)

Đối với sóng truyền qua, chúng ta đã có rằng

k″_y = k_y,

và

k″²/n₂² = k²/n₁²;   (33.44)

nên chúng ta có thể giải các phương trình này để tìm k″_x. Ta được

k″_x² = k″² − k″_y² = (n₂²/n₁²)k² − k_y².   (33.45)

Giả sử trong giây lát rằng n₁ và n₂ là các số thực (rằng các phần ảo của các chiết suất rất nhỏ). Khi đó mọi k cũng là các số thực, và từ Hình 33–3 ta thấy rằng

k_y/k = sin θ_i,   k″_y/k″ = sin θ_t.   (33.46)

Từ (33.44) ta được rằng

n₂ sin θ_t = n₁ sin θ_i,   (33.47)

vốn là định luật khúc xạ Snell — một lần nữa, một điều chúng ta đã biết. Nếu các chiết suất không thực, các số sóng là phức, và chúng ta phải dùng phương trình (33.45). [Chúng ta vẫn có thể định nghĩa các góc θ_i và θ_t bằng phương trình (33.46), và định luật Snell, phương trình (33.47), sẽ đúng nói chung. Nhưng khi đó các “góc” cũng là các số phức, do đó mất đi cách diễn giải hình học đơn giản của chúng như các góc. Khi đó tốt nhất là mô tả hành vi của các sóng bằng các giá trị k_x hay k″_x phức của chúng.]

Cho tới nay, chúng ta chưa tìm thấy điều gì mới. Chúng ta chỉ có niềm vui đơn giản là lấy được một số đáp án hiển nhiên từ một bộ máy toán học phức tạp. Bây giờ chúng ta sẵn sàng tìm các biên độ của các sóng mà chúng ta chưa biết. Dùng các kết quả của chúng ta cho các ω và các k, các thừa số mũ trong phương trình (33.38) có thể được khử, và ta được

E₀ + E₀′ = E₀″.   (33.48)

Vì cả E₀′ và E₀″ đều chưa biết, chúng ta cần thêm một hệ thức nữa. Chúng ta phải dùng một điều kiện biên khác. Các phương trình cho E_x và E_y không giúp ích gì, vì mọi E đều chỉ có một thành phần z. Vậy chúng ta phải dùng các điều kiện trên B. Hãy thử phương trình (33.29):

B_x2 = B_x1.

Từ các phương trình (33.35) tới (33.37),

B_xi = k_yE_i/ω,
B_xr = k′_yE_r/ω′,
B_xt = k″_yE_t/ω″.

Nhớ rằng ω″ = ω′ = ω và k″_y = k′_y = k_y, ta được rằng

E₀ + E₀′ = E₀″.

Nhưng đây chính là phương trình (33.48) một lần nữa! Chúng ta vừa lãng phí thời gian lấy được một điều chúng ta đã biết.

Chúng ta có thể thử phương trình (33.30), B_z2 = B_z1, nhưng không có thành phần z nào của B! Vậy chỉ còn lại một phương trình: phương trình (33.31), B_y2 = B_y1. Đối với ba sóng:

B_yi = −k_xE_i/ω,
B_yr = −k′_xE_r/ω′,   (33.49)
B_yt = −k″_xE_t/ω″.

Đặt cho E_i, E_r, và E_t biểu thức sóng đối với x = 0 (để ở tại biên), điều kiện biên là

(k_x/ω)E₀e^{i(ωt − k_yy)} + (k′_x/ω′)E₀′e^{i(ω′t − k′_yy)} = (k″_x/ω″)E₀″e^{i(ω″t − k″_yy)}.

Một lần nữa mọi ω và k_y đều bằng nhau, nên điều này rút gọn thành

k_xE₀ + k′_xE₀′ = k″_xE₀″.   (33.50)

Điều này cho chúng ta một phương trình cho các E khác với phương trình (33.48). Với hai phương trình, chúng ta có thể giải tìm E₀′ và E₀″. Nhớ rằng k′_x = −k_x, ta được

E₀′ = [(k_x − k″_x)/(k_x + k″_x)] E₀,   (33.51)

E₀″ = [2k_x/(k_x + k″_x)] E₀.   (33.52)

Các phương trình này, cùng với phương trình (33.45) hay phương trình (33.46) cho k″_x, cho chúng ta những gì chúng ta muốn biết. Chúng ta sẽ thảo luận các hệ quả của kết quả này trong mục tiếp theo.

Nếu chúng ta bắt đầu với một sóng phân cực có vector E của nó song song với mặt phẳng tới, E sẽ có cả thành phần x và thành phần y, như chỉ trong Hình 33–7. Đại số thì thẳng thắn nhưng phức tạp hơn. (Công việc có thể được giảm bớt phần nào bằng cách biểu diễn mọi thứ trong trường hợp này theo các trường từ, vốn đều theo hướng z.) Người ta tìm thấy rằng

|E₀′| = [(n₂²k_x − n₁²k″_x)/(n₂²k_x + n₁²k″_x)] |E₀|   (33.53)

và

|E₀″| = [(2n₁n₂k_x)/(n₂²k_x + n₁²k″_x)] |E₀|.   (33.54)

Hãy xem các kết quả của chúng ta có phù hợp với các kết quả chúng ta đã được trước đây không. Phương trình (33.3) là kết quả chúng ta đã xây dựng trong Chương 33 của Tập I cho tỉ số của cường độ của sóng phản xạ trên cường độ của sóng tới. Tuy nhiên, khi đó chúng ta chỉ xét các chiết suất thực. Đối với các chiết suất thực (và các k thực), ta có thể viết

k_x = k cos θ_i = (ωn₁/c) cos θ_i,
k″_x = k″ cos θ_t = (ωn₂/c) cos θ_t.

Thay vào phương trình (33.51), ta có

E₀′/E₀ = (n₁ cos θ_i − n₂ cos θ_t)/(n₁ cos θ_i + n₂ cos θ_t),   (33.55)

vốn trông không giống phương trình (33.3). Tuy nhiên, nó sẽ giống nếu chúng ta dùng định luật Snell để loại bỏ các n. Đặt n₂ = n₁ sin θ_i/sin θ_t, và nhân tử số và mẫu số với sin θ_t, ta được

E₀′/E₀ = (cos θ_i sin θ_t − sin θ_i cos θ_t)/(cos θ_i sin θ_t + sin θ_i cos θ_t).

Tử số và mẫu số chỉ là sin của −(θ_i − θ_t) và (θ_i + θ_t); ta được

E₀′/E₀ = −sin(θ_i − θ_t)/sin(θ_i + θ_t).   (33.56)

Vì E₀′ và E₀ ở trong cùng vật liệu, các cường độ tỉ lệ với bình phương của các điện trường, và ta được cùng kết quả như trước. Tương tự, phương trình (33.53) cũng giống như phương trình (33.4).

Đối với các sóng tới vuông góc, θ_i = 0 và θ_t = 0. Phương trình (33.56) cho 0/0, vốn không hữu ích lắm. Tuy nhiên, chúng ta có thể quay lại phương trình (33.55), vốn cho

I_r/I_i = (E₀′/E₀)² = [(n₁ − n₂)/(n₁ + n₂)]².   (33.57)

Kết quả này, dĩ nhiên, áp dụng cho “bất kỳ” phân cực nào, vì đối với tia tới vuông góc không có “mặt phẳng tới” đặc biệt nào.

33–5  Sự phản xạ từ kim loại

Bây giờ chúng ta quay sang xem điều gì xảy ra nếu màu thứ hai là một kim loại. Khi đó chiết suất là một số rất lớn và hoàn toàn tưởng tượng, như chúng ta đã thấy trong chương trước [xem phương trình (32.46)]. Chúng ta đi vào từ phía chân không, với n₁ = 1, tới một kim loại có n₂ = −in_I. Ta xét sự phản xạ tại góc tới vuông góc. Từ phương trình (33.57):

E₀′/E₀ = (1 − n₂)/(1 + n₂) = (1 + in_I)/(1 − in_I).

Vì tỉ số của các điện trường là một số phức, sẽ có một sự lệch pha của sóng phản xạ. Việc cộng một lượng bằng π vào pha tương đương với nhân với −1. Chúng ta có thể thấy bằng cách chia tử số và mẫu số cho (1 − in_I)^* rằng tỉ số của các điện trường sẽ có dạng

E₀′/E₀ = (1 − n_I²)/(1 + n_I²) + i (2n_I)/(1 + n_I²).

Độ lớn phải chính xác bằng 1. (Điều đó đúng với hai thành phần vì tổng các bình phương của chúng bằng 1.) Chúng ta có thể trực tiếp tìm ra rằng

I_r/I_i = |E₀′/E₀|² = 1,   (33.58)

nên mọi ánh sáng tới đều bị phản xạ! Nói một cách khác, nếu một chất có phần thực của chiết suất bằng không và một phần ảo lớn, nó sẽ phản xạ mọi ánh sáng. Đồng thời, nếu chỉ số phần ảo rất lớn, sóng truyền vào vật liệu sẽ chết chỉ sau khoảng một bước sóng.

Có một nghịch lý thú vị ở đây: một chất hấp thụ rất tốt là một vật phản xạ rất tốt. Nghĩ về nó như thế này: nếu bạn có một chất hấp thụ rất tốt và bạn làm nó chỉ dày vài phân tử, phần lớn ánh sáng sẽ bị hấp thụ trước khi nó đi xuyên qua. Nhưng nếu bạn làm nó dày hơn nữa, nói một nghìn lớp nguyên tử, hầu như không có ánh sáng nào có thể đi xuyên qua vật liệu thật ra khỏi phía bên kia. Vậy thì ánh sáng không thể đi xuyên qua. Nó đi đâu? Nó đi đâu đó khác ngoài sự hấp thụ. Tại phần phía trước của vật liệu, trước khi nó kịp được hấp thụ, một sóng phản xạ được tạo ra! Nói cách khác, điều thực sự xảy ra đối với một chất hấp thụ rất mạnh là các chuyển động trong lớp bề mặt tạo ra một sóng sẽ rời khỏi phía trước, “phản xạ” phần lớn ánh sáng. Bạn cần một vật liệu hấp thụ “trung bình”, chứ không phải một vật liệu hấp thụ quá tốt, để hấp thụ hầu hết ánh sáng chiếu tới nó.

Sau đây là một ví dụ thú vị. Chất lỏng mực tím là một chất hấp thụ rất tốt — nếu bạn đổ nó vào một tấm thủy tinh, nó chỉ cho một ánh sáng xanh tím hơi đỏ yếu đi qua. Nhưng bề mặt của chất lỏng mực đó, khi bạn chiếu ánh sáng lên nó, phản xạ một ánh sáng vàng rực rỡ đẹp tuyệt! Mực đỏ thì phản xạ ánh sáng có màu xanh lá ngả lục. Với một chất nhuộm mà phần ảo của chiết suất rất lớn, bề mặt mặc lấy một màu kim loại sáng. Bạn có thể xác minh điều này cho mình bằng cách sơn một vài tấm thủy tinh bằng các cây bút nỉ khác nhau mà bạn có. Rồi phủ một tấm thủy tinh thứ hai lên trên tấm đầu tiên và chiếu sáng bề mặt từ phía trước và phía sau. Nếu bạn nhìn xuyên qua cả hai tấm thủy tinh, bạn sẽ chỉ thấy ánh sáng truyền qua. Nếu bạn nhìn bề mặt thủy tinh từ phía trước, bạn sẽ thấy ánh sáng phản xạ có một màu khác.

Nói chung, nếu bạn viết trên một tấm thủy tinh bằng một cây bút đỏ, rất khó thấy nó trừ khi bạn nhìn từ một góc sao cho bạn thấy vệt sáng phản xạ trên thủy tinh. Nhưng chúng tôi khuyên bạn một cách trình diễn khá ấn tượng về hiện tượng này. Viết một vài chữ lên một tấm thủy tinh bằng một cây bút nỉ đỏ. Rồi thắp một ngọn nến trên bục giảng, nhìn thủy tinh, và di chuyển nó sao cho bạn thấy sự phản xạ. Bạn sẽ thấy hình ảnh đỏ rực của một ngọn nến, nhưng nó sẽ có màu xanh lục như vẽ trong Hình 33–8.

33–6  Phản xạ toàn phần bên trong

Một trường hợp thú vị khác xuất hiện nếu chúng ta đi từ một vật liệu có chiết suất lớn hơn sang một vật liệu có chiết suất thấp hơn. Để đơn giản, chúng ta đi từ thủy tinh ra không khí, với n₂ = 1. Khi đó định luật Snell có dạng sin θ_t = n sin θ_i. Nếu θ_i đủ lớn, sin θ_t và θ_t đều lớn hơn 1 — dẫu sao điều đó có thể có nghĩa gì?

Nếu chúng ta có một tình huống trong đó sin θ_i bằng 1/n, θ_t sẽ là 90° — sóng truyền qua có vector sóng k″ của nó trực tiếp dọc theo biên. Đó cũng có nghĩa là k″_x là số không. Khi sin θ_i lớn hơn 1/n, phương trình (33.45) cho k″_x vẫn được thỏa mãn, nhưng khi đó k″_x² là âm:

k″_x² = (ω²/c²)(1 − n² sin² θ_i) < 0.

Điều đó có nghĩa là k″_x là thuần hay tưởng tượng, nói k″_x = ±ik_I. Sóng truyền qua khi đó có dạng

E_t = E₀″e^∓k_Ix e^{i(ωt − k_yy)}.

Dấu nào? Dấu của số mũ phải được chọn sao cho sóng chết dần khi x tiến tới vô cực. Ngay cả vậy, chúng ta có một sóng “đuôi” nhô ra, chỉ có biên độ đáng kể ở khoảng một bước sóng bên ngoài bề mặt. Chúng ta có thể nói như sau: đối với θ_i lớn hơn cái gọi là góc tới hạn θ_c được xác định bởi

n sin θ_c = 1,   (33.59)

không có ánh sáng nào thoát ra khỏi vật liệu thứ nhất; chúng ta có phản xạ toàn phần. Theo các phương trình (33.51), (33.52), (33.53), và (33.54), chúng ta cũng có các hệ số phản xạ, nhưng chúng là các số phức. (Điều đó có nghĩa là có một sự lệch pha trong sóng phản xạ.) Chúng ta sẽ không thảo luận chi tiết các hệ số ở đây.

Có một tính chất rất thú vị của phản xạ toàn phần bên trong. Khi có một phản xạ toàn phần bên trong trong một tấm thủy tinh, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta mang một tấm thủy tinh thứ hai vào gần? Bạn có nhớ sóng đuôi nhô ra không? Nó có một biên độ không bằng không ở khoảng cách một bước sóng phía bên ngoài bề mặt. Nếu chúng ta đưa mặt dưới của một tấm thủy tinh thứ hai vào trong vòng một bước sóng của mặt trên, mặt mà tại đó sự phản xạ toàn phần đang xảy ra, một sóng có thể truyền qua vào tấm thủy tinh thứ hai. Hiện tượng này khá khác thường. Nó có thể dễ dàng được trình diễn bằng một nguồn lò vi sóng và các lăng kính bằng parafin, như được mô tả dưới đây.

Lò vi sóng có bước sóng khoảng 3 cm di chuyển dọc theo một ống dẫn sóng đặt nằm ngang tới một lăng kính bằng parafin đặc. Paraffin là một chất điện môi với chiết suất n = 1,50 đối với vi sóng. Lăng kính được cắt sao cho các sóng tới mặt huyền tại một góc sao cho có một phản xạ toàn phần bên trong. Nó không chệch hướng sóng; thành phần nằm ngang của vận tốc pha theo hướng của ống dẫn sóng tới vẫn giữ nguyên, do đó hướng sóng trong lăng kính cũng y như trong ống dẫn sóng. Góc của mặt huyền được chọn sao cho sóng tới là tại một góc 45°. Góc tới hạn là arcsin (1/1,50) = 41,5°, nên ta có một sự phản xạ toàn phần bên trong tại mặt.

Vì các sóng tới từ ống dẫn sóng theo một hướng ngang hoàn hảo, chúng ta biết rằng chùm sóng truyền vào lăng kính sẽ chạy ngang, y như trong ống dẫn sóng. Một bộ máy dò A đặt ở phía bên kia của lăng kính (như trong Hình 33–11) sẽ nhận được một tín hiệu bằng không vì, do sự phản xạ toàn phần, mọi sóng đều bị phản xạ ra khỏi mặt huyền vào một ống dẫn sóng khác (thứ hai) đặt theo chiều dọc. Bộ máy dò B này nhận được tín hiệu đầy đủ.

Sự phản xạ toàn phần bị phá vỡ khi một lăng kính parafin thứ hai, cắt tương tự, được đặt với mặt huyền của nó gần và song song với mặt huyền của lăng kính thứ nhất. Sau một khoảng khe vài centimét, lăng kính thứ hai thu thập gần như toàn bộ sóng. Một ít sóng vẫn đi vào bộ máy dò B, nhưng hầu hết đi qua lăng kính thứ hai và được thu thập bởi bộ máy dò A. Rõ ràng chúng ta có một sóng trong khoảng khe. Sóng này sẽ giảm theo hàm số mũ từ lăng kính này sang lăng kính kia khi khoảng cách tăng lên.

Điều này chỉ là một ví dụ của việc làm hư hỏng một hiện tượng đơn giản bằng cách xét nó từ một quan điểm quá đơn giản, chẳng hạn như một chùm tia; việc xét chi tiết một cách đầy đủ của điều thật sự xảy ra sẽ dẫn tới các hiệu ứng mới và thú vị.