Chương 34: Từ tính của vật chất

34–1  Nghịch từ và thuận từ

Trong chương này chúng ta sẽ nói về các tính chất từ của vật liệu. Vật liệu có tính chất từ nổi bật nhất, dĩ nhiên, là sắt. Các tính chất từ tương tự cũng có ở các nguyên tố niken, coban, và — ở nhiệt độ đủ thấp (dưới 16°C) — gadolini, cũng như ở một số hợp kim đặc biệt. Loại từ tính đó, được gọi là sắt từ, đủ nổi bật và phức tạp đến mức chúng ta sẽ thảo luận nó trong một chương riêng. Tuy nhiên, mọi chất thông thường đều biểu hiện một số hiệu ứng từ, dù rất nhỏ — nhỏ hơn các hiệu ứng trong vật liệu sắt từ từ một nghìn đến một triệu lần. Ở đây chúng ta sẽ mô tả từ tính thông thường, tức là từ tính của các chất khác với các chất sắt từ.

Từ tính nhỏ bé này có hai loại. Một số vật liệu bị hút về phía từ trường; một số khác bị đẩy. Khác với hiệu ứng điện trong vật chất, vốn luôn khiến các chất điện môi bị hút, hiệu ứng từ có hai dấu. Hai dấu này có thể dễ dàng được chỉ ra nhờ một nam châm điện mạnh có một cực nhọn và một cực phẳng, như vẽ trong Hình 34–1. Từ trường gần cực nhọn mạnh hơn nhiều so với gần cực phẳng. Nếu một mẩu vật liệu nhỏ được buộc vào một sợi dây dài và treo lơ lửng giữa hai cực, nói chung sẽ có một lực nhỏ tác dụng lên nó. Lực nhỏ này có thể được nhìn thấy qua độ dịch chuyển nhẹ của vật liệu đang treo khi nam châm được bật lên. Một số ít vật liệu sắt từ bị hút rất mạnh về phía cực nhọn; mọi vật liệu khác chỉ chịu một lực rất yếu. Một số bị hút yếu về phía cực nhọn; và một số bị đẩy yếu.

Hiệu ứng này dễ nhìn thấy nhất với một khối trụ nhỏ bằng bitmut, vốn bị đẩy ra khỏi vùng trường mạnh. Các chất bị đẩy như vậy được gọi là nghịch từ. Bitmut là một trong những vật liệu nghịch từ mạnh nhất, nhưng ngay cả với nó, hiệu ứng vẫn khá yếu. Nghịch từ bao giờ cũng rất yếu. Nếu một mẩu nhôm nhỏ được treo giữa hai cực, cũng có một lực yếu, nhưng hướng về phía cực nhọn. Các chất như nhôm được gọi là thuận từ. (Trong một thí nghiệm như vậy, các lực dòng điện xoáy xuất hiện khi nam châm được bật và tắt, và chúng có thể tạo ra các xung mạnh. Bạn phải cẩn thận nhìn vào độ dịch chuyển ròng sau khi vật treo đã ổn định.)

Bây giờ chúng ta muốn mô tả ngắn gọn cơ chế của hai hiệu ứng này. Trước hết, trong nhiều chất, các nguyên tử không có mômen từ vĩnh cửu, hay nói đúng hơn, mọi nam châm bên trong mỗi nguyên tử đều cân bằng lẫn nhau sao cho mômen ròng của nguyên tử bằng không. Các spin electron và các chuyển động quỹ đạo đều cân bằng nhau một cách chính xác, nên bất kỳ nguyên tử nào cũng không có mômen từ trung bình. Trong những điều kiện này, khi bạn bật một từ trường lên, các dòng điện phụ nhỏ được sinh ra bên trong nguyên tử do cảm ứng. Theo định luật Lenz, các dòng điện này có hướng sao cho chống lại trường đang tăng. Vì vậy các mômen từ cảm ứng của các nguyên tử hướng ngược với từ trường. Đây là cơ chế của nghịch từ.

Sau đó, có một số chất mà các nguyên tử của chúng thực sự có một mômen từ vĩnh cửu — trong đó các spin electron và các quỹ đạo có một dòng điện tuần hoàn ròng không bằng không. Vì vậy, ngoài hiệu ứng nghịch từ (vốn luôn hiện diện), còn có khả năng các mômen từ nguyên tử riêng lẻ tự sắp thẳng hàng. Trong trường hợp này, các mômen có xu hướng sắp thẳng hàng với từ trường (theo cách các lưỡng cực vĩnh cửu của một chất điện môi được sắp thẳng hàng bởi điện trường), và từ tính cảm ứng có xu hướng làm tăng từ trường. Đó là các chất thuận từ. Thuận từ nói chung khá yếu vì các lực sắp thẳng hàng tương đối nhỏ so với các lực từ chuyển động nhiệt vốn có xu hướng phá vỡ trật tự. Cũng suy ra rằng thuận từ thường nhạy với nhiệt độ. (Thuận từ phát sinh từ spin của các electron chịu trách nhiệm về tính dẫn điện trong kim loại là một ngoại lệ. Chúng ta sẽ không thảo luận hiện tượng này ở đây.) Đối với thuận từ thông thường, nhiệt độ càng thấp, hiệu ứng càng mạnh. Có nhiều sự sắp thẳng hàng hơn ở nhiệt độ thấp khi các hiệu ứng phá vỡ trật tự của các va chạm yếu đi. Nghịch từ, mặt khác, ít nhiều không phụ thuộc vào nhiệt độ. Trong bất kỳ chất nào có các mômen từ có sẵn, sẽ có cả hiệu ứng nghịch từ lẫn hiệu ứng thuận từ, nhưng hiệu ứng thuận từ thường chiếm ưu thế.

Trong Chương 11 chúng ta đã mô tả một vật liệu sắt điện, trong đó mọi lưỡng cực điện đều tự sắp thẳng hàng nhờ các điện trường tương hỗ của chính chúng. Cũng có thể hình dung tương tự từ của sắt điện, trong đó mọi mômen nguyên tử sẽ sắp thẳng hàng và khóa chặt vào nhau. Nếu bạn làm các phép tính xem điều này nên xảy ra như thế nào, bạn sẽ thấy rằng vì các lực từ nhỏ hơn rất nhiều so với các lực điện, chuyển động nhiệt sẽ phá vỡ sự sắp thẳng hàng này ngay cả ở nhiệt độ thấp tới vài phần mười độ Kelvin. Vì vậy ở nhiệt độ phòng sẽ không thể có bất kỳ sự sắp thẳng hàng vĩnh cửu nào của các nam châm.

Mặt khác, đây chính xác là điều xảy ra trong sắt — nó thực sự tự sắp thẳng hàng. Có một lực hiệu dụng giữa các mômen từ của các nguyên tử sắt khác nhau, lớn hơn rất, rất nhiều so với tương tác từ trực tiếp. Nó là một hiệu ứng gián tiếp chỉ có thể giải thích bằng cơ học lượng tử. Nó mạnh hơn tương tác từ trực tiếp khoảng mười nghìn lần, và là thứ sắp thẳng hàng các mômen trong các vật liệu sắt từ. Chúng ta sẽ thảo luận tương tác đặc biệt này trong một chương sau.

Bây giờ, sau khi đã cố gắng cho bạn một giải thích định tính về nghịch từ và thuận từ, chúng ta phải tự sửa lại và nói rằng không thể hiểu các hiệu ứng từ của vật liệu theo bất kỳ cách trung thực nào từ quan điểm của vật lý cổ điển. Các hiệu ứng từ như vậy là một hiện tượng hoàn toàn thuộc về cơ học lượng tử. Tuy nhiên, có thể đưa ra một số lập luận cổ điển giả tạo và có được một ít ý niệm về những gì đang diễn ra. Chúng ta có thể nói thế này. Bạn có thể đưa ra một số lập luận cổ điển và đoán được hành vi của vật liệu, nhưng các lập luận này không “hợp lệ” theo bất kỳ nghĩa nào vì điều tuyệt đối thiết yếu là cơ học lượng tử phải tham gia vào mọi hiện tượng từ này. Mặt khác, có những tình huống, chẳng hạn trong một plasma hay một vùng không gian có nhiều electron tự do, trong đó các electron thực sự tuân theo các định luật của cơ học cổ điển. Và trong những hoàn cảnh đó, một số định lý của từ học cổ điển có giá trị. Ngoài ra, các lập luận cổ điển có một số giá trị vì lý do lịch sử. Những lần đầu tiên con người có thể đoán được ý nghĩa và hành vi của các vật liệu từ, họ đã dùng các lập luận cổ điển. Cuối cùng, như chúng ta đã minh họa, cơ học cổ điển có thể cho chúng ta một số phỏng đoán hữu ích về những gì có thể xảy ra — mặc dù cách nghiên cứu trung thực thực sự về chủ đề này là học cơ học lượng tử trước rồi hiểu từ tính theo cơ học lượng tử.

Mặt khác, chúng ta không muốn chờ cho đến khi học cơ học lượng tử một cách thấu đáo mới hiểu một điều đơn giản như nghịch từ. Chúng ta sẽ phải dựa vào cơ học cổ điển như một thứ chỉ cho thấy một nửa những gì xảy ra, tuy nhận thức rằng các lập luận thực sự không đúng. Do đó chúng ta đưa ra một loạt các định lý về từ học cổ điển sẽ làm bạn bối rối vì chúng sẽ chứng minh những điều khác nhau. Ngoại trừ định lý cuối cùng, mọi định lý trong số chúng đều sẽ sai. Hơn nữa, tất cả chúng đều sẽ sai với tư cách mô tả thế giới vật lý, vì cơ học lượng tử bị bỏ ngoài.

34–2  Mômen từ và mômen động lượng

Định lý đầu tiên chúng ta muốn chứng minh từ cơ học cổ điển là như sau: Nếu một electron chuyển động trên một quỹ đạo tròn (chẳng hạn, quay quanh một hạt nhân dưới ảnh hưởng của một lực hướng tâm), có một tỉ số xác định giữa mômen từ và mômen động lượng. Hãy gọi J là mômen động lượng và μ là mômen từ của electron trên quỹ đạo. Độ lớn của mômen động lượng là khối lượng của electron nhân với vận tốc nhân với bán kính. (Xem Hình 34–2.) Nó hướng vuông góc với mặt phẳng của quỹ đạo.

J = mvr.   (34.1)

(Đây, dĩ nhiên, là một công thức phi tương đối tính, nhưng nó là một gần đúng tốt cho các nguyên tử, vì đối với các electron liên quan, v/c nói chung vào cỡ e²/ℏc ≈ 1/137, hay khoảng 1 phần trăm.)

Mômen từ của cùng quỹ đạo đó là dòng điện nhân với diện tích. (Xem Mục 14–5.) Dòng điện là điện tích đi qua bất kỳ điểm nào trên quỹ đạo trong một đơn vị thời gian, cụ thể là điện tích q nhân với tần số quay. Tần số là vận tốc chia cho chu vi của quỹ đạo; vậy

I = q v/(2πr).

Diện tích là πr², nên mômen từ là

μ = qvr/2.   (34.2)

Nó cũng hướng vuông góc với mặt phẳng của quỹ đạo. Vậy J và μ cùng hướng:

μ = (q/2m)J   (quỹ đạo).   (34.3)

Tỉ số của chúng không phụ thuộc vào vận tốc cũng không phụ thuộc vào bán kính. Đối với bất kỳ hạt nào chuyển động trên một quỹ đạo tròn, mômen từ bằng q/2m lần mômen động lượng. Đối với một electron, điện tích là âm — chúng ta có thể gọi nó là −q_e; vậy đối với một electron

μ = −(q_e/2m)J   (quỹ đạo electron).   (34.4)

Đó là điều chúng ta kỳ vọng theo cổ điển và, một cách kỳ diệu, nó cũng đúng theo cơ học lượng tử. Đó là một trong những điều như vậy. Tuy nhiên, nếu bạn tiếp tục với vật lý cổ điển, bạn sẽ thấy những chỗ khác mà nó cho đáp án sai, và việc cố nhớ điều nào đúng điều nào sai là một trò chơi thú vị. Chúng ta cũng nên cho bạn ngay điều đúng nói chung trong cơ học lượng tử. Trước hết, phương trình (34.4) đúng cho chuyển động quỹ đạo, nhưng đó không phải là từ tính duy nhất tồn tại. Electron còn có một chuyển động quay spin quanh trục của chính nó (giống như trái đất quay quanh trục của nó), và do spin đó nó có cả mômen động lượng lẫn mômen từ. Nhưng vì những lý do hoàn toàn thuộc về cơ học lượng tử — không có giải thích cổ điển nào — tỉ số của μ đối với J cho spin electron lớn gấp đôi so với chuyển động quỹ đạo của electron đang quay:

μ = −(q_e/m)J   (spin electron).   (34.5)

Trong bất kỳ nguyên tử nào, nói chung có vài electron và một tổ hợp nào đó của các chuyển động quay spin và quỹ đạo tạo thành một mômen động lượng toàn phần và một mômen từ toàn phần. Mặc dù không có lý do cổ điển nào cho việc nó phải như vậy, trong cơ học lượng tử luôn đúng là (đối với một nguyên tử cô lập) hướng của mômen từ chính xác ngược với hướng của mômen động lượng. Tỉ số của hai đại lượng không nhất thiết là −q_e/m hay −q_e/2m, mà ở đâu đó ở giữa, vì có sự pha trộn các đóng góp từ các quỹ đạo và các spin. Chúng ta có thể viết

μ = −g(q_e/2m)J,   (34.6)

trong đó g là một thừa số đặc trưng cho trạng thái của nguyên tử. Nó sẽ bằng 1 đối với một mômen thuần quỹ đạo, hay 2 đối với một mômen thuần spin, hay một số nào khác ở giữa đối với một hệ phức tạp như một nguyên tử. Công thức này, dĩ nhiên, không cho chúng ta biết nhiều lắm. Nó nói rằng mômen từ song song với mômen động lượng, nhưng có thể có độ lớn tùy ý. Tuy nhiên, dạng của phương trình (34.6) là tiện lợi, vì g — được gọi là “thừa số g Landé” — là một hằng số không thứ nguyên có độ lớn vào cỡ một. Một trong những nhiệm vụ của cơ học lượng tử là dự đoán thừa số g cho bất kỳ trạng thái nguyên tử cụ thể nào.

Bạn cũng có thể quan tâm đến những gì xảy ra trong các hạt nhân. Trong hạt nhân có các proton và neutron, chúng có thể chuyển động quanh trong một loại quỹ đạo nào đó và đồng thời, giống như electron, có một spin nội tại. Một lần nữa mômen từ song song với mômen động lượng. Chỉ có điều bây giờ, cỡ độ lớn của tỉ số của hai đại lượng là điều bạn sẽ kỳ vọng cho một proton chuyển động vòng tròn, với m trong phương trình (34.3) bằng khối lượng proton. Do đó, người ta thường viết cho các hạt nhân

μ = g(q_e/2m_p)J,   (34.7)

trong đó m_p là khối lượng của proton, và g — được gọi là thừa số g hạt nhân — là một số gần một, cần xác định cho từng hạt nhân.

Một khác biệt quan trọng khác đối với một hạt nhân là mômen từ spin của proton không có thừa số g bằng 2, như electron. Đối với một proton, g = 2·(2,79). Đáng ngạc nhiên là neutron cũng có một mômen từ spin, và mômen từ của nó so với mômen động lượng của nó là 2·(−1,91). Nói cách khác, neutron không hoàn toàn “trung hòa” theo nghĩa từ. Nó giống như một nam châm nhỏ, và nó có loại mômen từ mà một điện tích âm đang quay sẽ có.

34–3  Sự tiến động của các nam châm nguyên tử

Một trong các hệ quả của việc mômen từ tỉ lệ với mômen động lượng là một nam châm nguyên tử đặt trong một từ trường sẽ tiến động. Trước hết chúng ta lập luận theo cổ điển. Giả sử chúng ta có mômen từ μ treo tự do trong một từ trường đều. Nó sẽ chịu một mômen lực τ, bằng μ×B, vốn cố gắng đưa nó thẳng hàng với hướng của trường. Nhưng nam châm nguyên tử là một con quay hồi chuyển — nó có mômen động lượng J. Vì vậy mômen lực do từ trường sẽ không khiến nam châm sắp thẳng hàng. Thay vào đó, nam châm sẽ tiến động, như chúng ta đã thấy khi phân tích một con quay hồi chuyển trong Chương 20 của Tập I. Mômen động lượng — và cùng với nó là mômen từ — tiến động quanh một trục song song với từ trường. Chúng ta có thể tìm tốc độ tiến động bằng cùng phương pháp đã dùng trong Chương 20 của tập đầu tiên.

Giả sử rằng trong một thời gian nhỏ Δt, mômen động lượng thay đổi từ J thành J′, như vẽ trong Hình 34–3, luôn ở cùng một góc θ so với hướng của từ trường B. Hãy gọi ω_p là vận tốc góc của sự tiến động, sao cho trong thời gian Δt, góc tiến động là ω_p Δt. Từ hình học của hình vẽ, chúng ta thấy sự thay đổi của mômen động lượng trong thời gian Δt là

ΔJ = (J sin θ)(ω_p Δt).

Vậy tốc độ thay đổi của mômen động lượng là

dJ/dt = ω_pJ sin θ,   (34.8)

vốn phải bằng mômen lực:

τ = μB sin θ.   (34.9)

Vậy vận tốc góc của sự tiến động là

ω_p = (μ/J)B.   (34.10)

Thay μ/J từ phương trình (34.6), chúng ta thấy rằng đối với một hệ nguyên tử

ω_p = g q_eB/(2m);   (34.11)

tần số tiến động tỉ lệ với B. Sẽ tiện để nhớ rằng đối với một nguyên tử (hay electron)

f_p = ω_p/2π = (1,4 megacycle/gauss)gB,   (34.12)

và rằng đối với một hạt nhân

f_p = ω_p/2π = (0,76 kilocycle/gauss)gB.   (34.13)

(Các công thức cho nguyên tử và hạt nhân khác nhau chỉ vì các quy ước khác nhau về g cho hai trường hợp.)

Theo lý thuyết cổ điển, vậy thì, các quỹ đạo electron — và các spin — trong một nguyên tử sẽ tiến động trong một từ trường. Điều này cũng đúng theo cơ học lượng tử chăng? Về cơ bản là đúng, nhưng ý nghĩa của “sự tiến động” là khác. Trong cơ học lượng tử người ta không thể nói về hướng của mômen động lượng theo cùng nghĩa như trong cổ điển; tuy nhiên, có một sự tương tự rất gần — gần đến mức chúng ta tiếp tục gọi nó là “tiến động”. Chúng ta sẽ thảo luận nó sau khi nói về quan điểm cơ học lượng tử.

34–4  Nghịch từ

Tiếp theo chúng ta muốn xét nghịch từ từ quan điểm cổ điển. Nó có thể được tính ra bằng nhiều cách, nhưng một trong những cách hay là như sau. Giả sử chúng ta từ từ bật một từ trường lên trong vùng lân cận của một nguyên tử. Khi từ trường thay đổi, một điện trường được sinh ra do cảm ứng từ. Từ định luật Faraday, tích phân đường của E quanh bất kỳ đường kín nào bằng tốc độ thay đổi của từ thông qua đường đó. Giả sử chúng ta chọn một đường Γ là một đường tròn bán kính r đồng tâm với tâm của nguyên tử, như chỉ trong Hình 34–4. Điện trường tiếp tuyến trung bình E quanh đường này được cho bởi

E 2πr = −d/dt (Bπr²),

và có một điện trường tuần hoàn mà cường độ của nó là

E = −(r/2) dB/dt.

Điện trường cảm ứng tác dụng lên một electron trong nguyên tử tạo ra một mômen lực bằng −q_eEr, vốn phải bằng tốc độ thay đổi của mômen động lượng dJ/dt:

dJ/dt = (q_er²/2) dB/dt.   (34.14)

Tích phân theo thời gian từ trường bằng không, chúng ta thấy sự thay đổi của mômen động lượng do việc bật trường lên là

ΔJ = (q_er²/2)B.   (34.15)

Đây là mômen động lượng phụ thêm từ cú xoắn tác dụng lên các electron khi trường được bật lên.

Mômen động lượng cộng thêm này tạo ra một mômen từ phụ thêm mà, vì nó là một chuyển động quỹ đạo, đúng bằng −q_e/2m lần mômen động lượng. Mômen nghịch từ cảm ứng là

Δμ = −(q_e/2m) ΔJ = −(q_e²r²/4m)B.   (34.16)

Dấu trừ (như bạn có thể thấy là đúng bằng cách dùng định luật Lenz) có nghĩa là mômen cộng thêm ngược với từ trường.

Chúng ta muốn viết phương trình (34.16) hơi khác đi một chút. Đại lượng r² xuất hiện là bán kính tính từ một trục qua nguyên tử song song với B, nên nếu B dọc theo hướng z, nó là x² + y². Nếu chúng ta xét các nguyên tử đối xứng cầu (hay lấy trung bình trên các nguyên tử có các trục tự nhiên theo mọi hướng) thì trung bình của x² + y² bằng 2/3 trung bình của bình phương khoảng cách xuyên tâm thực sự từ điểm tâm của nguyên tử. Do đó thường tiện hơn khi viết phương trình (34.16) dưới dạng

Δμ = −(q_e²/6m)⟨r²⟩B.   (34.17)

Trong mọi trường hợp, chúng ta đã tìm được một mômen nguyên tử cảm ứng tỉ lệ với từ trường B và ngược với nó. Đây là nghịch từ của vật chất. Chính hiệu ứng từ này chịu trách nhiệm về lực nhỏ tác dụng lên một mẩu bitmut trong một từ trường không đều. (Bạn có thể tính lực bằng cách tính năng lượng của các mômen cảm ứng trong trường và xem năng lượng thay đổi như thế nào khi vật liệu được di chuyển vào hay ra khỏi vùng trường mạnh.)

Chúng ta vẫn còn lại bài toán: Bình phương bán kính trung bình, ⟨r²⟩, là gì? Cơ học cổ điển không thể cho đáp án. Chúng ta phải quay lại và bắt đầu lại với cơ học lượng tử. Trong một nguyên tử, chúng ta không thể thực sự nói electron ở đâu, mà chỉ biết xác suất nó sẽ ở một chỗ nào đó. Nếu chúng ta hiểu ⟨r²⟩ là trung bình của bình phương khoảng cách từ tâm đối với phân bố xác suất, thì mômen nghịch từ cho bởi cơ học lượng tử đúng như công thức (34.17). Phương trình này, dĩ nhiên, là mômen cho một electron. Mômen toàn phần được cho bởi tổng trên mọi electron trong nguyên tử. Điều đáng ngạc nhiên là lập luận cổ điển và cơ học lượng tử cho cùng một đáp án, mặc dù, như chúng ta sẽ thấy, lập luận cổ điển cho ra phương trình (34.17) không thực sự hợp lệ trong cơ học cổ điển.

Cùng hiệu ứng nghịch từ này cũng xảy ra ngay cả khi một nguyên tử đã có một mômen vĩnh cửu. Khi đó hệ sẽ tiến động trong từ trường. Khi toàn bộ nguyên tử tiến động, nó nhận thêm một vận tốc góc nhỏ phụ thêm, và sự quay chậm đó tạo ra một dòng điện nhỏ biểu diễn một hiệu chỉnh đối với mômen từ. Đây chính là hiệu ứng nghịch từ được biểu diễn theo một cách khác. Nhưng chúng ta thực sự không phải lo về điều đó khi nói về thuận từ. Nếu hiệu ứng nghịch từ được tính trước, như chúng ta đã làm ở đây, chúng ta không phải lo về sự kiện là có một dòng điện nhỏ phụ thêm từ sự tiến động. Điều đó đã được bao gồm trong số hạng nghịch từ.

34–5  Định lý Larmor

Chúng ta đã có thể kết luận một điều gì đó từ các kết quả của mình cho đến nay. Trước hết, trong lý thuyết cổ điển, mômen μ luôn tỉ lệ với J, với một hằng số tỉ lệ cho trước đối với một nguyên tử cụ thể. Không có spin của các electron, và hằng số tỉ lệ luôn là −q_e/2m; tức là, trong phương trình (34.6) chúng ta nên đặt g = 1. Tỉ số của μ đối với J không phụ thuộc vào chuyển động nội tại của các electron. Vì vậy, theo lý thuyết cổ điển, mọi hệ electron sẽ tiến động với cùng một vận tốc góc. (Điều này không đúng trong cơ học lượng tử.) Kết quả này liên quan tới một định lý trong cơ học cổ điển mà bây giờ chúng ta muốn chứng minh. Giả sử chúng ta có một nhóm electron, tất cả bị giữ lại với nhau bởi lực hút hướng về một điểm trung tâm — như các electron bị hút bởi một hạt nhân. Các electron cũng sẽ tương tác lẫn nhau, và nói chung có thể có các chuyển động phức tạp. Giả sử bạn đã giải được các chuyển động khi không có từ trường và sau đó muốn biết các chuyển động sẽ như thế nào khi có một từ trường yếu. Định lý nói rằng chuyển động với một từ trường yếu luôn là một trong các nghiệm không-có-trường cộng thêm một phép quay, quanh trục của trường, với vận tốc góc ω_L = q_eB/2m. (Điều này giống như ω_p, nếu g = 1.) Dĩ nhiên có nhiều chuyển động khả dĩ. Điểm mấu chốt là đối với mỗi chuyển động không có từ trường, có một chuyển động tương ứng trong trường, vốn là chuyển động gốc cộng thêm một phép quay đều. Điều này được gọi là định lý Larmor, và ω_L được gọi là tần số Larmor.

Chúng ta muốn chỉ ra định lý có thể được chứng minh như thế nào, nhưng chúng ta sẽ để bạn tự làm các chi tiết. Trước hết, lấy một electron trong một trường lực trung tâm. Lực tác dụng lên nó chỉ là F(r), hướng về tâm. Nếu bây giờ chúng ta bật một từ trường đều lên, có một lực phụ thêm, qv×B; vậy lực toàn phần là

F(r) + qv×B.   (34.18)

Bây giờ hãy nhìn cùng hệ đó từ một hệ tọa độ quay với vận tốc góc ω quanh một trục qua tâm lực và song song với B. Đây không còn là một hệ quán tính nữa, nên chúng ta phải đưa vào các lực giả thích hợp — các lực ly tâm và Coriolis mà chúng ta đã nói trong Chương 19 của Tập I. Chúng ta đã thấy ở đó rằng trong một hệ quy chiếu quay với vận tốc góc ω, có một lực tiếp tuyến biểu kiến tỉ lệ với v_r, thành phần xuyên tâm của vận tốc:

F_t = −2mωv_r.   (34.19)

Và có một lực xuyên tâm biểu kiến được cho bởi

F_r = mω²r + 2mωv_t,   (34.20)

trong đó v_t là thành phần tiếp tuyến của vận tốc, đo trong hệ quy chiếu quay. (Thành phần xuyên tâm v_r là như nhau đối với hệ quay và hệ quán tính.)

Bây giờ với các vận tốc góc đủ nhỏ (tức là, nếu ωr ≪ v_t), chúng ta có thể bỏ qua số hạng thứ nhất (ly tâm) trong phương trình (34.20) so với số hạng thứ hai (Coriolis). Khi đó các phương trình (34.19) và (34.20) có thể được viết cùng nhau dưới dạng

F = −2mω×v.   (34.21)

Nếu bây giờ chúng ta kết hợp một phép quay và một từ trường, chúng ta phải cộng lực trong phương trình (34.21) với lực trong phương trình (34.18). Lực toàn phần là

F(r) + qv×B + 2mv×ω   (34.22)

[chúng ta đảo ngược tích có hướng và dấu của phương trình (34.21) để được số hạng cuối]. Nhìn vào kết quả của mình, chúng ta thấy rằng nếu

2mω = −qB

thì hai số hạng ở vế phải triệt tiêu nhau, và trong hệ quy chiếu chuyển động, lực duy nhất là F(r). Chuyển động của electron đúng như khi không có từ trường — và, dĩ nhiên, không có phép quay. Chúng ta đã chứng minh định lý Larmor cho một electron. Vì phép chứng minh giả thiết ω nhỏ, nó cũng có nghĩa là định lý chỉ đúng cho các từ trường yếu. Điều duy nhất chúng ta có thể yêu cầu bạn cải tiến là lấy trường hợp nhiều electron tương tác lẫn nhau, nhưng tất cả trong cùng một trường trung tâm, và chứng minh cùng định lý. Vậy dù một nguyên tử phức tạp đến đâu, nếu nó có một trường trung tâm thì định lý đúng. Nhưng đó là điểm cuối của cơ học cổ điển, vì thực tế các chuyển động không tiến động theo cách đó. Tần số tiến động ω_p của phương trình (34.11) chỉ bằng ω_L nếu g tình cờ bằng 1.

34–6  Vật lý cổ điển không cho ra nghịch từ cũng chẳng cho ra thuận từ

Bây giờ chúng ta muốn chứng minh rằng theo cơ học cổ điển không thể có nghịch từ và cũng không thể có thuận từ gì cả. Nghe có vẻ điên rồ — trước hết, chúng ta đã chứng minh rằng có thuận từ, nghịch từ, các quỹ đạo tiến động, v.v., và bây giờ chúng ta sắp chứng minh rằng tất cả đều sai. Đúng vậy! — Chúng ta sắp chứng minh rằng nếu bạn theo cơ học cổ điển đủ xa, sẽ không có các hiệu ứng từ như vậy — chúng đều triệt tiêu hết. Nếu bạn bắt đầu một lập luận cổ điển ở một chỗ nào đó và không đi đủ xa, bạn có thể được bất kỳ đáp án nào bạn muốn. Nhưng phép chứng minh hợp lệ và đúng đắn duy nhất cho thấy không có hiệu ứng từ nào hết.

Đó là một hệ quả của cơ học cổ điển rằng nếu bạn có bất kỳ loại hệ nào — một chất khí với các electron, proton, và bất cứ gì — được giữ trong một hộp sao cho toàn bộ không thể quay, sẽ không có hiệu ứng từ. Có thể có một hiệu ứng từ nếu bạn có một hệ cô lập, như một ngôi sao được giữ lại với nhau bởi chính nó, vốn có thể bắt đầu quay khi bạn đặt một từ trường vào. Nhưng nếu bạn có một mẩu vật liệu bị giữ cố định sao cho nó không thể bắt đầu quay, thì sẽ không có các hiệu ứng từ. Điều chúng ta muốn nói về việc giữ không cho quay được tóm tắt như sau: Ở một nhiệt độ cho trước, chúng ta giả thiết rằng chỉ có một trạng thái cân bằng nhiệt duy nhất. Định lý khi đó nói rằng nếu bạn bật một từ trường lên và chờ cho hệ đạt cân bằng nhiệt, sẽ không có thuận từ hay nghịch từ — sẽ không có mômen từ cảm ứng. Chứng minh: Theo cơ học thống kê, xác suất để một hệ có bất kỳ trạng thái chuyển động cho trước nào tỉ lệ với e^−U/kT, trong đó U là năng lượng của chuyển động đó. Bây giờ năng lượng của chuyển động là gì? Đối với một hạt chuyển động trong một từ trường không đổi, năng lượng là thế năng thông thường cộng mv²/2, không có gì cộng thêm cho từ trường. [Bạn biết rằng các lực từ trường điện từ là q(E + v×B), và rằng tốc độ sinh công F·v chỉ là qE·v, vốn không bị ảnh hưởng bởi từ trường.] Vậy năng lượng của một hệ, dù nó có ở trong một từ trường hay không, luôn được cho bởi động năng cộng thế năng. Vì xác suất của bất kỳ chuyển động nào chỉ phụ thuộc vào năng lượng — tức là vào vận tốc và vị trí — nên nó là như nhau dù có hay không có một từ trường. Do đó, đối với cân bằng nhiệt, từ trường không có hiệu ứng. Nếu chúng ta có một hệ trong một hộp, và sau đó có một hệ khác trong một hộp thứ hai, lần này với một từ trường, xác suất của bất kỳ vận tốc cụ thể nào tại bất kỳ điểm nào trong hộp thứ nhất là như trong hộp thứ hai. Nếu hộp thứ nhất không có dòng điện tuần hoàn trung bình (điều nó sẽ không có nếu nó ở cân bằng với các vách đứng yên), thì không có mômen từ trung bình. Vì trong hộp thứ hai mọi chuyển động đều như vậy, ở đó cũng không có mômen từ trung bình. Do đó, nếu nhiệt độ được giữ không đổi và cân bằng nhiệt được thiết lập lại sau khi trường được bật lên, không thể có mômen từ nào được cảm ứng bởi trường — theo cơ học cổ điển. Chúng ta chỉ có thể có được một sự hiểu biết thỏa đáng về các hiện tượng từ từ cơ học lượng tử.

Thật không may, chúng ta không thể giả thiết rằng bạn có một sự hiểu biết thấu đáo về cơ học lượng tử, nên đây khó có thể là nơi để thảo luận vấn đề. Mặt khác, chúng ta không phải lúc nào cũng phải học một điều gì đó trước hết bằng cách học các quy tắc chính xác rồi sau đó học cách chúng áp dụng trong các trường hợp khác nhau. Hầu như mọi chủ đề chúng ta đã đề cập trong khóa học này đều được xử lý theo một cách khác. Trong trường hợp điện học, chúng ta đã viết các phương trình Maxwell lên “Trang Một” rồi suy ra mọi hệ quả. Đó là một cách. Nhưng chúng ta sẽ không bây giờ thử bắt đầu một “Trang Một” mới, viết các phương trình của cơ học lượng tử và suy ra mọi thứ từ chúng. Chúng ta sẽ chỉ phải cho bạn biết một số hệ quả của cơ học lượng tử, trước khi bạn học chúng từ đâu ra. Vậy chúng ta bắt đầu.

34–7  Mômen động lượng trong cơ học lượng tử

Chúng ta đã cho bạn một hệ thức giữa mômen từ và mômen động lượng. Điều đó thật dễ chịu. Nhưng mômen từ và mômen động lượng có nghĩa là gì trong cơ học lượng tử? Trong cơ học lượng tử, hóa ra tốt nhất là định nghĩa những thứ như mômen từ theo các khái niệm khác như năng lượng, để chắc chắn rằng người ta biết nó có nghĩa gì. Bây giờ, dễ dàng định nghĩa một mômen từ theo năng lượng, vì năng lượng của một mômen trong một từ trường, theo lý thuyết cổ điển, là μ·B. Do đó, định nghĩa sau đã được lấy trong cơ học lượng tử: Nếu chúng ta tính năng lượng của một hệ trong một từ trường và thấy rằng nó tỉ lệ với cường độ trường (đối với trường nhỏ), hệ số đó được gọi là thành phần của mômen từ theo hướng của trường. (Chúng ta không cần phải trang trọng như vậy cho công việc của mình bây giờ; chúng ta vẫn có thể nghĩ về mômen từ theo nghĩa thông thường, ở một mức độ nào đó là cổ điển.)

Bây giờ chúng ta muốn thảo luận ý tưởng về mômen động lượng trong cơ học lượng tử — hay đúng hơn, các đặc trưng của cái, trong cơ học lượng tử, được gọi là mômen động lượng. Bạn thấy đấy, khi bạn đi tới các loại định luật mới, bạn không thể cứ giả thiết rằng mỗi từ sẽ có nghĩa chính xác như cũ. Bạn có thể nghĩ, chẳng hạn, “Ồ, tôi biết mômen động lượng là gì. Nó là thứ bị thay đổi bởi một mômen lực.” Nhưng mômen lực là gì? Trong cơ học lượng tử chúng ta phải có các định nghĩa mới cho các đại lượng cũ. Do đó, về mặt pháp lý, tốt nhất là gọi nó bằng một cái tên khác như “mômen động lượng lượng tử”, hay đại loại như vậy, vì nó là mômen động lượng như được định nghĩa trong cơ học lượng tử. Nhưng nếu chúng ta có thể tìm một đại lượng trong cơ học lượng tử giống hệt ý tưởng cũ của chúng ta về mômen động lượng khi hệ trở nên đủ lớn, thì chẳng ích gì phát minh thêm một từ. Chúng ta cũng cứ gọi nó là mômen động lượng. Với sự hiểu ngầm đó, cái thứ kỳ lạ mà chúng ta sắp mô tả là mômen động lượng. Nó là thứ mà trong một hệ lớn chúng ta nhận ra là mômen động lượng trong cơ học cổ điển.

Trước hết, chúng ta lấy một hệ trong đó mômen động lượng được bảo toàn, chẳng hạn một nguyên tử một mình trong không gian trống rỗng. Bây giờ một vật như vậy (như trái đất quay quanh trục của nó) có thể, theo nghĩa thông thường, quay quanh bất kỳ trục nào người ta muốn chọn. Và đối với một tốc độ quay cho trước, có thể có nhiều “trạng thái” khác nhau, tất cả cùng một năng lượng, mỗi “trạng thái” tương ứng với một hướng cụ thể của trục của mômen động lượng. Vậy trong lý thuyết cổ điển, với một mômen động lượng cho trước, có vô số trạng thái khả dĩ, tất cả cùng một năng lượng.

Tuy nhiên, trong cơ học lượng tử hóa ra vài điều kỳ lạ xảy ra. Trước hết, số trạng thái mà một hệ như vậy có thể tồn tại là bị giới hạn — chỉ có một số hữu hạn. Nếu hệ nhỏ, số hữu hạn đó rất nhỏ, và nếu hệ lớn, số hữu hạn đó trở nên rất, rất lớn. Thứ hai, chúng ta không thể mô tả một “trạng thái” bằng cách cho hướng của mômen động lượng của nó, mà chỉ bằng cách cho thành phần của mômen động lượng dọc theo một hướng nào đó — chẳng hạn theo hướng z. Theo cổ điển, một vật với một mômen động lượng toàn phần cho trước J có thể có, đối với thành phần z của nó, bất kỳ giá trị nào từ +J tới −J. Nhưng theo cơ học lượng tử, thành phần z của mômen động lượng chỉ có thể có một số giá trị rời rạc nhất định. Bất kỳ hệ cho trước nào — một nguyên tử cụ thể, hay một hạt nhân, hay bất cứ gì — với một năng lượng cho trước, có một số đặc trưng j, và thành phần z của mômen động lượng của nó chỉ có thể là một trong tập hợp các giá trị sau:

jℏ
(j−1)ℏ
(j−2)ℏ
⋮
−(j−2)ℏ
−(j−1)ℏ
−jℏ   (34.23)

Thành phần z lớn nhất là j lần ℏ; giá trị nhỏ hơn tiếp theo kém một đơn vị ℏ, và cứ thế xuống tới −jℏ. Số j được gọi là “spin của hệ”. (Một số người gọi nó là “số lượng tử mômen động lượng toàn phần”; nhưng chúng ta sẽ gọi nó là “spin”.)

Bạn có thể lo lắng rằng điều chúng ta đang nói chỉ có thể đúng cho một trục z “đặc biệt” nào đó. Nhưng không phải vậy. Đối với một hệ có spin là j, thành phần của mômen động lượng dọc theo bất kỳ trục nào cũng chỉ có thể có một trong các giá trị trong (34.23). Mặc dù khá bí ẩn, chúng tôi yêu cầu bạn cứ tạm chấp nhận nó lúc này. Chúng ta sẽ quay lại và thảo luận điểm này sau. Ít nhất bạn có thể vui mừng khi nghe rằng thành phần z đi từ một số nào đó xuống trừ cùng số đó, nên ít nhất chúng ta không phải quyết định đâu là hướng dương của trục z. (Chắc chắn, nếu chúng ta nói rằng nó đi từ +j xuống trừ một lượng khác, điều đó sẽ bí ẩn vô hạn, vì chúng ta sẽ không thể định nghĩa được trục z, chỉ theo hướng ngược lại.)

Bây giờ nếu thành phần z của mômen động lượng phải giảm theo các số nguyên từ +j xuống −j, thì j phải là một số nguyên. Không! Không hẳn; hai lần j phải là một số nguyên. Chỉ hiệu giữa +j và −j mới phải là một số nguyên. Vì vậy, nói chung, spin j hoặc là một số nguyên hoặc là một bán nguyên, tùy thuộc 2j là chẵn hay lẻ. Lấy ví dụ, một hạt nhân như liti, có spin bằng ba phần hai, j = 3/2. Khi đó mômen động lượng quanh trục z, theo đơn vị ℏ, là một trong các giá trị sau:

+3/2
+1/2
−1/2
−3/2.

Có bốn trạng thái khả dĩ, mỗi trạng thái có cùng năng lượng, nếu hạt nhân ở trong không gian trống rỗng không có trường ngoài. Nếu chúng ta có một hệ có spin bằng hai, thì thành phần z của mômen động lượng chỉ có các giá trị, theo đơn vị ℏ,

2
1
0
−1
−2.

Nếu bạn đếm có bao nhiêu trạng thái cho một j cho trước, có (2j + 1) khả năng. Nói cách khác, nếu bạn cho tôi biết năng lượng và cả spin j, hóa ra có đúng (2j + 1) trạng thái với năng lượng đó, mỗi trạng thái tương ứng với một trong các giá trị khả dĩ khác nhau của thành phần z của mômen động lượng.

Chúng ta muốn thêm một sự kiện nữa. Nếu bạn chọn bất kỳ nguyên tử nào có j đã biết một cách ngẫu nhiên và đo thành phần z của mômen động lượng, thì bạn có thể được bất kỳ một trong các giá trị khả dĩ nào, và mỗi giá trị đều nhiều khả năng như nhau. Mọi trạng thái trên thực tế đều là các trạng thái đơn lẻ, và mỗi trạng thái cũng tốt như bất kỳ trạng thái nào khác. Mỗi trạng thái có cùng “trọng lượng” trong thế giới. (Chúng ta đang giả thiết rằng không có gì đã được làm để chọn ra một mẫu đặc biệt.) Sự kiện này, ngẫu nhiên thay, có một tương tự cổ điển đơn giản. Nếu bạn đặt cùng câu hỏi theo cổ điển: Khả năng của một thành phần z cụ thể của mômen động lượng là bao nhiêu nếu bạn lấy một mẫu ngẫu nhiên các hệ, tất cả có cùng mômen động lượng toàn phần? — đáp án là mọi giá trị từ cực đại tới cực tiểu đều nhiều khả năng như nhau. (Bạn có thể dễ dàng tính ra điều đó.) Kết quả cổ điển tương ứng với xác suất bằng nhau của (2j + 1) khả năng trong cơ học lượng tử.

Từ những gì chúng ta có cho đến nay, chúng ta có thể rút ra một kết luận thú vị khác và có phần đáng ngạc nhiên. Trong một số phép tính cổ điển, đại lượng xuất hiện trong kết quả cuối cùng là bình phương độ lớn của mômen động lượng J — nói cách khác, J·J. Hóa ra thường có thể đoán được công thức cơ học lượng tử đúng bằng cách dùng phép tính cổ điển và quy tắc đơn giản sau: Thay J² = J·J bằng j(j + 1)ℏ². Quy tắc này thường được dùng, và thường cho kết quả đúng, nhưng không phải luôn luôn. Chúng ta có thể đưa ra lập luận sau để chỉ ra vì sao bạn có thể kỳ vọng quy tắc này hoạt động.

Tích vô hướng J·J có thể được viết dưới dạng

J·J = J_x² + J_y² + J_z².

Vì nó là một vô hướng, nó phải như nhau đối với bất kỳ định hướng nào của spin. Giả sử chúng ta chọn các mẫu của bất kỳ hệ nguyên tử cho trước nào một cách ngẫu nhiên và đo J_x², hay J_y², hay J_z², thì giá trị trung bình phải như nhau đối với mỗi thành phần. (Không có sự phân biệt đặc biệt nào cho bất kỳ hướng nào trong các hướng.) Do đó, trung bình của J·J đúng bằng ba lần trung bình của bình phương bất kỳ thành phần nào, chẳng hạn của J_z²;

⟨J·J⟩ = 3⟨J_z²⟩.

Nhưng vì J·J là như nhau đối với mọi định hướng, trung bình của nó, dĩ nhiên, đúng là giá trị không đổi của nó; chúng ta có

J·J = 3⟨J_z²⟩.   (34.24)

Nếu bây giờ chúng ta nói rằng chúng ta sẽ dùng cùng phương trình cho cơ học lượng tử, chúng ta có thể dễ dàng tìm ⟨J_z²⟩. Chúng ta chỉ phải lấy tổng của (2j + 1) giá trị khả dĩ của J_z², và chia cho tổng số;

⟨J_z²⟩ = [j² + (j−1)² + … + (−j+1)² + (−j)²]/(2j + 1) ℏ².   (34.25)

Đối với một hệ có spin bằng 3/2, nó diễn ra như thế này:

⟨J_z²⟩ = [(3/2)² + (1/2)² + (−1/2)² + (−3/2)²]/4 ℏ² = (5/4)ℏ².

Chúng ta kết luận rằng

J·J = 3⟨J_z²⟩ = 3·(5/4)ℏ² = (3/2)(3/2 + 1)ℏ².

Chúng ta sẽ để bạn tự chỉ ra rằng phương trình (34.25), cùng với phương trình (34.24), cho kết quả tổng quát

J·J = j(j + 1)ℏ².   (34.26)

Mặc dù theo cổ điển chúng ta sẽ nghĩ rằng giá trị lớn nhất khả dĩ của thành phần z của J đúng là độ lớn của J — cụ thể là √(J·J) — theo cơ học lượng tử giá trị cực đại của J_z luôn nhỏ hơn một chút so với giá trị đó, vì jℏ luôn nhỏ hơn √[j(j + 1)]ℏ. Mômen động lượng không bao giờ “hoàn toàn dọc theo hướng z”.

34–8  Năng lượng từ của các nguyên tử

Bây giờ chúng ta muốn nói lại về mômen từ. Chúng ta đã nói rằng trong cơ học lượng tử mômen từ của một hệ nguyên tử cụ thể có thể được viết theo mômen động lượng bằng phương trình (34.6);

μ = −g(q_e/2m)J,   (34.27)

trong đó −q_e và m là điện tích và khối lượng của electron.

Một nam châm nguyên tử đặt trong một từ trường ngoài sẽ có một năng lượng từ phụ thêm phụ thuộc vào thành phần của mômen từ của nó dọc theo hướng trường. Chúng ta biết rằng

U_mag = −μ·B.   (34.28)

Chọn trục z của chúng ta dọc theo hướng của B,

U_mag = −μ_zB.   (34.29)

Dùng phương trình (34.27), chúng ta có

U_mag = g(q_e/2m)J_zB.

Cơ học lượng tử nói rằng J_z chỉ có thể có một số giá trị nhất định: jℏ, (j−1)ℏ, …, −jℏ. Do đó, năng lượng từ của một hệ nguyên tử không tùy ý; nó chỉ có thể có một số giá trị nhất định. Giá trị cực đại của nó, chẳng hạn, là

g(q_e/2m)ℏjB.

Đại lượng q_eℏ/2m thường được đặt tên là “magneton Bohr” và viết là μ_B:

μ_B = q_eℏ/2m.

Các giá trị khả dĩ của năng lượng từ là

U_mag = gμ_BB J_z/ℏ,

trong đó J_z/ℏ nhận các giá trị khả dĩ j, (j−1), (j−2), …, (−j+1), −j.

Nói cách khác, năng lượng của một hệ nguyên tử bị thay đổi khi nó được đặt trong một từ trường một lượng tỉ lệ với trường, và tỉ lệ với J_z. Chúng ta nói rằng năng lượng của một hệ nguyên tử “bị tách thành 2j + 1 mức” bởi một từ trường. Chẳng hạn, một nguyên tử có năng lượng là U₀ bên ngoài một từ trường và có j bằng 3/2, sẽ có bốn năng lượng khả dĩ khi đặt trong một trường. Chúng ta có thể chỉ ra các năng lượng này bằng một giản đồ mức năng lượng như vẽ trong Hình 34–5. Bất kỳ nguyên tử cụ thể nào cũng chỉ có thể có một trong bốn năng lượng khả dĩ trong bất kỳ trường B cho trước nào. Đó là điều cơ học lượng tử nói về hành vi của một hệ nguyên tử trong một từ trường.

Hệ “nguyên tử” đơn giản nhất là một electron đơn độc. Spin của một electron là 1/2, nên có hai trạng thái khả dĩ: J_z = ℏ/2 và J_z = −ℏ/2. Đối với một electron đứng yên (không có chuyển động quỹ đạo), mômen từ spin có giá trị g bằng 2, nên năng lượng từ có thể là ±μ_BB. Các năng lượng khả dĩ trong một từ trường được chỉ trong Hình 34–6. Nói một cách lỏng lẻo, chúng ta nói rằng electron hoặc có spin “hướng lên” (dọc theo trường) hoặc “hướng xuống” (ngược với trường).

Đối với các hệ có spin cao hơn, có nhiều trạng thái hơn. Chúng ta có thể nghĩ rằng spin “hướng lên” hoặc “hướng xuống” hoặc nghiêng ở một “góc” nào đó ở giữa, tùy thuộc vào giá trị của J_z.

Chúng ta sẽ dùng các kết quả cơ học lượng tử này để thảo luận các tính chất từ của vật liệu trong chương tiếp theo.