Chương 40: Dòng chảy của nước khô

40–1  Thủy tĩnh học

Chủ đề về dòng chảy của các chất lưu, và đặc biệt là của nước, làm mê hoặc mọi người. Tất cả chúng ta đều có thể nhớ, khi còn nhỏ, chơi trong bồn tắm hay trong các vũng bùn với thứ chất kỳ lạ này. Khi lớn lên, chúng ta ngắm các dòng suối, thác nước, và các xoáy nước, và chúng ta bị mê hoặc bởi chất này, thứ dường như gần như có sự sống so với các chất rắn. Hành vi của các chất lưu theo nhiều cách rất bất ngờ và thú vị — đó là chủ đề của chương này và chương tiếp theo. Những nỗ lực của một đứa trẻ cố ngăn một dòng suối nhỏ chảy trên đường phố và sự ngạc nhiên của nó trước cách kỳ lạ mà nước tìm đường thoát ra có sự tương đồng với những nỗ lực của chúng ta qua nhiều năm để hiểu dòng chảy của các chất lưu. Chúng ta đã cố ngăn nước lại — trong sự hiểu biết của mình — bằng cách tìm ra các định luật và các phương trình mô tả dòng chảy. Chúng ta sẽ mô tả các nỗ lực này trong chương này. Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ mô tả cách độc đáo mà nước đã phá vỡ con đập và thoát khỏi các nỗ lực hiểu nó của chúng ta.

Chúng ta giả thiết rằng các tính chất sơ cấp của nước đã được bạn biết. Tính chất chính phân biệt một chất lưu với một chất rắn là một chất lưu không thể duy trì một ứng suất cắt trong bất kỳ khoảng thời gian nào. Nếu một lực cắt được đặt lên một chất lưu, nó sẽ chuyển động dưới lực cắt đó. Các chất lỏng đặc hơn như mật ong chuyển động khó khăn hơn các chất lưu như không khí hay nước. Thước đo mức độ dễ dàng mà một chất lưu chịu khuất phục là độ nhớt của nó. Trong chương này chúng ta sẽ chỉ xét các tình huống trong đó các hiệu ứng nhớt có thể bỏ qua. Các hiệu ứng của độ nhớt sẽ được xét trong chương tiếp theo.

Chúng ta bắt đầu bằng việc xét thủy tĩnh học, lý thuyết về các chất lỏng đứng yên. Khi các chất lỏng đứng yên, không có các lực cắt (ngay cả đối với các chất lỏng nhớt). Định luật của thủy tĩnh học, do đó, là các ứng suất luôn vuông góc với bất kỳ bề mặt nào bên trong chất lưu. Lực pháp tuyến trên một đơn vị diện tích được gọi là áp suất. Từ sự kiện rằng không có lực cắt trong một chất lưu tĩnh, suy ra rằng ứng suất áp suất là như nhau theo mọi hướng (Hình 40–1). Chúng tôi để bạn tự giải trí bằng cách chứng minh rằng nếu không có lực cắt trên bất kỳ mặt phẳng nào trong một chất lưu, áp suất phải như nhau theo mọi hướng.

Áp suất trong một chất lưu có thể thay đổi từ nơi này sang nơi khác. Chẳng hạn, trong một chất lưu tĩnh ở bề mặt trái đất, áp suất sẽ thay đổi theo độ cao vì trọng lượng của chất lưu. Nếu mật độ ρ của chất lưu được coi là không đổi, và nếu áp suất tại một mức 0 tùy ý nào đó được gọi là p₀ (Hình 40–2), thì áp suất tại độ cao h phía trên điểm này là p = p₀ − ρgh, trong đó g là lực hấp dẫn trên một đơn vị khối lượng. Do đó, tổ hợp

p + ρgh

là một hằng số trong chất lưu tĩnh. Hệ thức này quen thuộc với bạn, nhưng bây giờ chúng ta sẽ suy ra một kết quả tổng quát hơn mà nó là một trường hợp riêng.

Nếu chúng ta lấy một khối lập phương nhỏ của nước, hợp lực tác dụng lên nó từ áp suất là gì? Vì áp suất tại bất kỳ nơi nào cũng như nhau theo mọi hướng, chỉ có thể có một hợp lực trên một đơn vị thể tích vì áp suất thay đổi từ điểm này sang điểm khác. Giả sử rằng áp suất đang thay đổi theo hướng x — và chúng ta lấy các hướng tọa độ song song với các cạnh của khối lập phương. Áp suất trên mặt tại x cho lực p Δy Δz (Hình 40–3), và áp suất trên mặt tại x + Δx cho lực −[p + (∂p/∂x) Δx] Δy Δz, thành thử hợp lực là −(∂p/∂x) Δx Δy Δz. Nếu chúng ta lấy các cặp mặt còn lại của khối lập phương, chúng ta dễ dàng thấy rằng lực áp suất trên một đơn vị thể tích là −∇p. Nếu còn có các lực khác nữa — như trọng lực — thì áp suất phải cân bằng chúng để cho cân bằng.

Hãy lấy một hoàn cảnh trong đó một lực thêm như vậy có thể được mô tả bằng một thế năng, như đúng trong trường hợp hấp dẫn; chúng ta sẽ để ϕ là thế năng trên một đơn vị khối lượng. (Đối với trọng lực, chẳng hạn, ϕ chỉ là gz.) Lực trên một đơn vị khối lượng được cho theo thế bởi −∇ϕ, và nếu ρ là mật độ của chất lưu, lực trên một đơn vị thể tích là −ρ∇ϕ. Để cân bằng, lực trên một đơn vị thể tích này cộng với lực áp suất trên một đơn vị thể tích phải cho bằng không:

−∇p − ρ∇ϕ = 0.   (40.1)

Phương trình (40.1) là phương trình của thủy tĩnh học. Nói chung, nó không có nghiệm. Nếu mật độ thay đổi trong không gian theo một cách tùy ý, không có cách nào để các lực cân bằng, và chất lưu không thể ở cân bằng tĩnh. Các dòng đối lưu sẽ khởi phát. Chúng ta có thể thấy điều này từ phương trình vì số hạng áp suất là một gradient thuần túy, trong khi đối với ρ thay đổi, số hạng kia không phải. Chỉ khi ρ là một hằng số thì số hạng thế mới là một gradient thuần túy. Khi đó phương trình có nghiệm

p + ρφ = const.

Một khả năng khác cho phép cân bằng thủy tĩnh là ρ chỉ là một hàm của p. Tuy nhiên, chúng ta sẽ rời chủ đề thủy tĩnh học vì nó không thú vị gần bằng tình huống khi các chất lưu đang chuyển động.

40–2  Các phương trình chuyển động

Trước hết, chúng ta sẽ thảo luận các chuyển động của chất lưu theo một cách thuần túy trừu tượng, lý thuyết, và sau đó xét các ví dụ đặc biệt. Để mô tả chuyển động của một chất lưu, chúng ta phải cho các tính chất của nó tại mọi điểm. Chẳng hạn, tại các nơi khác nhau, nước (chúng ta hãy gọi chất lưu là “nước”) đang chuyển động với các vận tốc khác nhau. Do đó, để chỉ rõ đặc tính của dòng chảy, chúng ta phải cho ba thành phần của vận tốc tại mọi điểm và tại mọi thời gian. Nếu chúng ta có thể tìm các phương trình xác định vận tốc, thì chúng ta sẽ biết chất lỏng chuyển động như thế nào tại mọi thời gian. Tuy nhiên, vận tốc không phải là tính chất duy nhất của chất lưu thay đổi từ điểm này sang điểm khác. Chúng ta vừa thảo luận sự thay đổi của áp suất từ điểm này sang điểm khác. Và còn có các biến khác nữa. Cũng có thể có sự thay đổi của mật độ từ điểm này sang điểm khác. Thêm vào đó, chất lưu có thể là một vật dẫn và mang một dòng điện mà mật độ của nó j thay đổi từ điểm này sang điểm khác về độ lớn và hướng. Có thể có một nhiệt độ thay đổi từ điểm này sang điểm khác, hay một từ trường, và vân vân. Vì vậy, số trường cần thiết để mô tả tình huống hoàn chỉnh sẽ phụ thuộc vào mức độ phức tạp của bài toán. Có các hiện tượng thú vị khi các dòng điện và từ tính đóng vai trò chi phối trong việc xác định hành vi của chất lưu; môn học này được gọi là từ thủy động lực học, và hiện nay người ta đang dành nhiều sự chú ý cho nó. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không xét các tình huống phức tạp hơn này vì đã có các hiện tượng thú vị ở một mức độ phức tạp thấp hơn, và ngay cả mức sơ cấp hơn cũng sẽ đủ phức tạp.

Chúng ta sẽ lấy tình huống trong đó không có từ trường và không có độ dẫn điện, và chúng ta sẽ không lo về nhiệt độ vì chúng ta sẽ giả thiết rằng mật độ và áp suất xác định một cách duy nhất nhiệt độ tại bất kỳ điểm nào. Thực ra, chúng ta sẽ giảm độ phức tạp của công việc bằng cách đưa ra giả thiết rằng mật độ là một hằng số — chúng ta hình dung rằng chất lưu về cơ bản không nén được. Nói cách khác, chúng ta đang giả thiết rằng các biến thiên của áp suất nhỏ đến mức các thay đổi của mật độ do chúng gây ra là không đáng kể. Nếu không phải như vậy, chúng ta sẽ gặp các hiện tượng thêm vào các hiện tượng chúng ta sẽ thảo luận ở đây — chẳng hạn, sự lan truyền của âm thanh hay của các sóng xung kích. Chúng ta đã thảo luận sự lan truyền của âm thanh và các sóng xung kích ở một mức độ nào đó, vì vậy bây giờ chúng ta sẽ tách sự xét thủy động lực học của mình khỏi các hiện tượng khác này bằng cách đưa ra phép gần đúng rằng mật độ ρ là một hằng số. Dễ dàng xác định khi nào phép gần đúng ρ không đổi là một phép gần đúng tốt. Chúng ta có thể nói rằng nếu các vận tốc của dòng chảy nhỏ hơn nhiều so với tốc độ của một sóng âm trong chất lưu, chúng ta không phải lo về các biến thiên của mật độ. Sự thoát ra mà nước thực hiện trong các nỗ lực hiểu nó của chúng ta không liên quan tới phép gần đúng mật độ không đổi. Các sự phức tạp cho phép sự thoát ra đó sẽ được thảo luận trong chương tiếp theo.

Trong lý thuyết tổng quát về các chất lưu, người ta phải bắt đầu với một phương trình trạng thái cho chất lưu, phương trình này nối áp suất với mật độ. Trong phép gần đúng của chúng ta, phương trình trạng thái này đơn giản là

ρ = const.

Đây là hệ thức đầu tiên cho các biến của chúng ta. Hệ thức tiếp theo biểu diễn sự bảo toàn vật chất — nếu vật chất chảy ra khỏi một điểm, phải có một sự giảm của lượng còn lại phía sau. Nếu vận tốc của chất lưu là v, thì khối lượng chảy trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích bề mặt là thành phần của ρv vuông góc với bề mặt. Chúng ta đã có một hệ thức tương tự trong điện học. Chúng ta cũng biết từ điện học rằng divergence của một đại lượng như vậy cho tốc độ giảm của mật độ trên một đơn vị thời gian. Theo cùng cách đó, phương trình

∇·(ρv) = −∂ρ/∂t   (40.2)

biểu diễn sự bảo toàn khối lượng cho một chất lưu; nó là phương trình liên tục của thủy động lực học. Trong phép gần đúng của chúng ta, tức phép gần đúng chất lưu không nén được, ρ là một hằng số, và phương trình liên tục đơn giản là

∇·v = 0.   (40.3)

Vận tốc của chất lưu v — giống như từ trường B — có divergence bằng không. (Các phương trình thủy động lực học thường rất giống các phương trình điện động lực học; đó là lý do chúng ta học điện động lực học trước. Một số người lập luận ngược lại; họ nghĩ rằng người ta nên học thủy động lực học trước để sau đó dễ hiểu điện học hơn. Nhưng điện động lực học thực sự dễ hơn nhiều so với thủy động lực học.)

Chúng ta sẽ thu được phương trình tiếp theo từ định luật Newton, định luật này cho chúng ta biết vận tốc thay đổi như thế nào vì các lực. Khối lượng của một phần tử thể tích của chất lưu nhân với gia tốc của nó phải bằng lực tác dụng lên phần tử. Lấy một phần tử có thể tích đơn vị, và viết lực trên một đơn vị thể tích là f, chúng ta có

ρ × (gia tốc) = f.

Chúng ta sẽ viết mật độ lực dưới dạng tổng của ba số hạng. Chúng ta đã xét lực áp suất trên một đơn vị thể tích, −∇p. Sau đó là các lực “bên ngoài” tác dụng từ xa — như trọng lực hay điện lực. Khi chúng là các lực bảo toàn với một thế trên một đơn vị khối lượng, ϕ, chúng cho một mật độ lực −ρ∇ϕ. (Nếu các lực bên ngoài không bảo toàn, chúng ta sẽ phải viết f_ext cho lực bên ngoài trên một đơn vị thể tích.) Sau đó còn có một “lực nội” khác trên một đơn vị thể tích, vốn do sự kiện rằng trong một chất lưu đang chảy cũng có thể có một ứng suất cắt. Lực này được gọi là lực nhớt, mà chúng ta sẽ viết là f_visc. Phương trình chuyển động của chúng ta là

ρ × (gia tốc) = −∇p − ρ∇ϕ + f_visc.   (40.4)

Trong chương này chúng ta sẽ giả thiết rằng chất lỏng “loãng” theo nghĩa độ nhớt không quan trọng, vì vậy chúng ta sẽ bỏ f_visc. Khi chúng ta bỏ số hạng độ nhớt, chúng ta sẽ thực hiện một phép gần đúng mô tả một thứ chất lý tưởng nào đó chứ không phải nước thật. John von Neumann nhận thức rõ sự khác biệt to lớn giữa điều xảy ra khi bạn không có các số hạng nhớt và khi bạn có, và ông cũng nhận thức rằng, trong phần lớn sự phát triển của thủy động lực học cho tới khoảng năm 1900, mối quan tâm chính gần như là giải các bài toán toán học đẹp đẽ với phép gần đúng này, vốn hầu như không liên quan gì tới các chất lưu thật. Ông mô tả nhà lý thuyết thực hiện các phân tích như vậy là một người nghiên cứu “nước khô”. Các phân tích như vậy bỏ qua một tính chất thiết yếu của chất lưu. Chính vì chúng ta đang bỏ tính chất này ra khỏi các phép tính của mình trong chương này nên chúng ta đã đặt cho nó tiêu đề “Dòng chảy của nước khô”. Chúng ta đang hoãn cuộc thảo luận về nước thật sang chương tiếp theo.

Nếu chúng ta bỏ f_visc, chúng ta có trong phương trình (40.4) mọi thứ chúng ta cần ngoại trừ một biểu thức cho gia tốc. Bạn có thể nghĩ rằng công thức cho gia tốc của một hạt chất lưu sẽ rất đơn giản, vì dường như hiển nhiên rằng nếu v là vận tốc của một hạt chất lưu tại một nơi nào đó trong chất lưu, gia tốc sẽ chỉ là ∂v/∂t. Không phải vậy — và vì một lý do khá tinh tế. Đạo hàm ∂v/∂t là tốc độ mà vận tốc v(x, y, z, t) thay đổi tại một điểm cố định trong không gian. Điều chúng ta cần là vận tốc thay đổi nhanh như thế nào đối với một mẩu chất lưu cụ thể. Hãy hình dung rằng chúng ta đánh dấu một trong các giọt nước bằng một đốm màu để chúng ta có thể theo dõi nó. Trong một khoảng thời gian nhỏ Δt, giọt này sẽ di chuyển tới một vị trí khác. Nếu giọt đang chuyển động dọc theo một đường nào đó như phác họa trong Hình 40–4, nó có thể trong Δt di chuyển từ P₁ tới P₂. Thực ra, nó sẽ di chuyển theo hướng x một lượng v_x Δt, theo hướng y một lượng v_y Δt, và theo hướng z một lượng v_z Δt. Chúng ta thấy rằng, nếu v(x, y, z, t) là vận tốc của hạt chất lưu đang ở tại (x, y, z) tại thời gian t, thì vận tốc của cùng hạt đó, tại thời gian t + Δt, được cho bởi v(x + Δx, y + Δy, z + Δz, t + Δt) — với

Δx = v_x Δt,   Δy = v_y Δt,   và   Δz = v_z Δt.

Từ định nghĩa của các đạo hàm riêng — nhớ lại phương trình (2.7) — chúng ta có, tới bậc nhất, rằng

v(x + v_x Δt, y + v_y Δt, z + v_z Δt, t + Δt) = v(x, y, z, t) + (∂v/∂x) v_x Δt + (∂v/∂y) v_y Δt + (∂v/∂z) v_z Δt + (∂v/∂t) Δt.

Gia tốc Δv/Δt là

v_x ∂v/∂x + v_y ∂v/∂y + v_z ∂v/∂z + ∂v/∂t.

Chúng ta có thể viết điều này một cách ký hiệu — coi ∇ như một vectơ — thành

(v·∇)v + ∂v/∂t.   (40.5)

Lưu ý rằng có thể có một gia tốc ngay cả khi ∂v/∂t = 0, thành thử vận tốc tại một điểm cho trước không thay đổi. Ví dụ, nước chảy trong một vòng tròn với tốc độ không đổi đang gia tốc ngay cả khi vận tốc tại một điểm cho trước không thay đổi. Lý do, dĩ nhiên, là vận tốc của một mẩu nước cụ thể ban đầu ở một điểm trên vòng tròn có một hướng khác một lúc sau đó; có một gia tốc hướng tâm.

Phần còn lại của lý thuyết của chúng ta chỉ là toán học — tìm các nghiệm của phương trình chuyển động mà chúng ta thu được bằng cách đặt gia tốc (40.5) vào phương trình (40.4). Chúng ta được

∂v/∂t + (v·∇)v = −∇p/ρ − ∇ϕ,   (40.6)

trong đó độ nhớt đã bị bỏ qua. Chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này bằng cách dùng đẳng thức sau đây từ giải tích vectơ:

(v·∇)v = (∇×v)×v + ½∇(v·v).

Nếu bây giờ chúng ta định nghĩa một trường vectơ mới Ω, là curl của v,

Ω = ∇×v,   (40.7)

đẳng thức vectơ có thể được viết thành

(v·∇)v = Ω×v + ½∇v²,

và phương trình chuyển động (40.6) của chúng ta trở thành

∂v/∂t + Ω×v + ½∇v² = −∇p/ρ − ∇ϕ.   (40.8)

Bạn có thể kiểm chứng rằng các phương trình (40.6) và (40.8) là tương đương bằng cách kiểm tra rằng các thành phần của hai vế của phương trình là bằng nhau — và dùng (40.7).

Trường vectơ Ω được gọi là độ xoáy. Nếu độ xoáy bằng không ở khắp nơi, chúng ta nói rằng dòng chảy là không xoáy. Chúng ta đã định nghĩa trong Mục 3–5 một thứ gọi là lưu thông của một trường vectơ. Lưu thông quanh bất kỳ vòng kín nào trong một chất lưu là tích phân đường của vận tốc chất lưu, tại một thời điểm cho trước, quanh vòng đó:

(Lưu thông) = ∮ v·ds.

Khi đó lưu thông trên một đơn vị diện tích đối với một vòng vô cùng nhỏ — dùng định lý Stokes — bằng ∇×v. Vì vậy độ xoáy Ω là lưu thông quanh một đơn vị diện tích (vuông góc với hướng của Ω). Cũng suy ra rằng nếu bạn đặt một mẩu bụi nhỏ — không phải một điểm vô cùng nhỏ — tại bất kỳ nơi nào trong chất lỏng, nó sẽ quay với vận tốc góc Ω/2. Hãy thử xem bạn có thể chứng minh điều đó không. Bạn cũng có thể kiểm chứng rằng đối với một xô nước trên một bàn xoay, Ω bằng hai lần vận tốc góc cục bộ của nước.

Nếu chúng ta chỉ quan tâm tới trường vận tốc, chúng ta có thể loại áp suất khỏi các phương trình của mình. Lấy curl của cả hai vế của phương trình (40.8), nhớ rằng ρ là một hằng số và curl của bất kỳ gradient nào cũng bằng không, và dùng phương trình (40.3), chúng ta được

∂Ω/∂t + ∇×(Ω×v) = 0.   (40.9)

Phương trình này, cùng với các phương trình

Ω = ∇×v   (40.10)

và

∇·v = 0,   (40.11)

mô tả hoàn toàn trường vận tốc v. Nói theo toán học, nếu chúng ta biết Ω tại một thời gian nào đó, thì chúng ta biết curl của vectơ vận tốc, và chúng ta cũng biết divergence của nó bằng không, vì vậy với tình huống vật lý cho trước chúng ta có mọi thứ cần thiết để xác định v ở khắp nơi. (Nó giống hệt tình huống trong từ học, nơi chúng ta có ∇·B = 0 và ∇×B = j/ε₀c².) Như vậy, một Ω cho trước xác định v đúng như một j cho trước xác định B. Sau đó, biết v, phương trình (40.9) cho chúng ta tốc độ thay đổi của Ω, từ đó chúng ta có thể thu được Ω mới cho thời điểm tiếp theo. Dùng phương trình (40.10), chúng ta lại tìm được v mới, và cứ thế. Bạn thấy các phương trình này chứa toàn bộ bộ máy để tính dòng chảy như thế nào. Tuy nhiên, lưu ý rằng quy trình này chỉ cho trường vận tốc; chúng ta đã mất mọi thông tin về áp suất.

Chúng ta chỉ ra một hệ quả đặc biệt của phương trình của mình. Nếu Ω = 0 ở khắp nơi tại bất kỳ thời gian t nào, ∂Ω/∂t cũng triệt tiêu, thành thử Ω vẫn bằng không ở khắp nơi tại t + Δt. Chúng ta có một nghiệm của phương trình; dòng chảy vĩnh viễn không xoáy. Nếu một dòng chảy được khởi đầu với độ quay bằng không, nó sẽ luôn có độ quay bằng không. Các phương trình cần giải khi đó là

∇·v = 0,   ∇×v = 0.

Chúng đúng như các phương trình cho các trường tĩnh điện hay tĩnh từ trong không gian tự do. Chúng ta sẽ quay lại chúng và xem xét một số bài toán đặc biệt sau.

40–3  Dòng chảy dừng — định lý Bernoulli

Bây giờ chúng ta muốn quay lại phương trình chuyển động, phương trình (40.8), nhưng giới hạn mình trong các tình huống trong đó dòng chảy là “dừng”. Dòng chảy dừng có nghĩa là tại bất kỳ một nơi nào trong chất lưu, vận tốc không bao giờ thay đổi. Chất lưu tại bất kỳ điểm nào luôn được thay thế bằng chất lưu mới chuyển động đúng theo cùng một cách. Hình ảnh vận tốc luôn trông như nhau — v là một trường vectơ tĩnh. Theo cùng cách chúng ta đã vẽ “các đường sức” trong tĩnh từ học, bây giờ chúng ta có thể vẽ các đường luôn tiếp tuyến với vận tốc chất lưu như chỉ trong Hình 40–5. Các đường này được gọi là các đường dòng. Đối với dòng chảy dừng, chúng hiển nhiên là các quỹ đạo thực tế của các hạt chất lưu. (Trong dòng chảy không dừng, hình ảnh đường dòng thay đổi theo thời gian, và hình ảnh đường dòng tại bất kỳ thời điểm nào cũng không biểu diễn quỹ đạo của một hạt chất lưu.)

Một dòng chảy dừng không có nghĩa là không có gì đang xảy ra — các nguyên tử trong chất lưu đang chuyển động và thay đổi vận tốc của chúng. Nó chỉ có nghĩa là ∂v/∂t = 0. Khi đó nếu chúng ta lấy tích vô hướng của v vào phương trình chuyển động, số hạng v·(Ω×v) triệt tiêu, và chúng ta còn lại

v·∇{p/ρ + ϕ + ½v²} = 0.   (40.12)

Phương trình này nói rằng đối với một độ dịch chuyển nhỏ theo hướng của vận tốc chất lưu, đại lượng bên trong các dấu ngoặc không thay đổi. Bây giờ trong dòng chảy dừng, mọi độ dịch chuyển đều dọc theo các đường dòng, vì vậy phương trình (40.12) cho chúng ta biết rằng đối với mọi điểm dọc theo một đường dòng, chúng ta có thể viết

p/ρ + ½v² + ϕ = const (đường dòng).   (40.13)

Đây là định lý Bernoulli. Hằng số nói chung có thể khác nhau đối với các đường dòng khác nhau; tất cả những gì chúng ta biết là vế trái của phương trình (40.13) là như nhau dọc theo suốt một đường dòng cho trước. Nhân tiện, chúng ta có thể lưu ý rằng đối với chuyển động dừng không xoáy, với Ω = 0, phương trình chuyển động (40.8) cho chúng ta hệ thức

∇{p/ρ + ½v² + ϕ} = 0,

thành thử

p/ρ + ½v² + ϕ = const (ở khắp nơi).   (40.14)

Nó đúng như phương trình (40.13), ngoại trừ việc bây giờ hằng số có cùng một giá trị trong toàn bộ chất lưu.

Định lý Bernoulli thực ra không là gì hơn một phát biểu về sự bảo toàn năng lượng. Một định lý bảo toàn như thế này cho chúng ta nhiều thông tin về một dòng chảy mà không cần chúng ta phải thực sự giải các phương trình chi tiết. Định lý Bernoulli quan trọng và đơn giản đến mức chúng tôi muốn chỉ cho bạn cách nó có thể được suy ra theo một cách khác với các phép tính hình thức chúng ta vừa dùng. Hãy hình dung một bó các đường dòng kề nhau tạo thành một ống dòng như phác họa trong Hình 40–6. Vì các thành của ống gồm các đường dòng, không có chất lưu nào chảy ra qua thành. Hãy gọi diện tích tại một đầu của ống dòng là A₁, vận tốc chất lưu tại đó là v₁, mật độ của chất lưu là ρ₁, và thế năng là ϕ₁. Tại đầu kia của ống, chúng ta có các đại lượng tương ứng A₂, v₂, ρ₂, và ϕ₂. Bây giờ sau một khoảng thời gian ngắn Δt, chất lưu tại A₁ đã di chuyển một khoảng v₁ Δt, và chất lưu tại A₂ đã di chuyển một khoảng v₂ Δt [Hình 40–6(b)]. Sự bảo toàn khối lượng đòi hỏi khối lượng đi vào qua A₁ phải bằng khối lượng đi ra qua A₂. Các khối lượng tại hai đầu này phải như nhau:

ΔM = ρ₁A₁v₁ Δt = ρ₂A₂v₂ Δt.

Vì vậy chúng ta có đẳng thức

ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂.   (40.15)

Phương trình này cho chúng ta biết rằng vận tốc thay đổi tỉ lệ nghịch với diện tích của ống dòng nếu ρ là hằng số.

Bây giờ chúng ta tính công thực hiện bởi áp suất của chất lưu. Công thực hiện lên chất lưu đi vào tại A₁ là p₁A₁v₁ Δt, và công nhả ra tại A₂ là p₂A₂v₂ Δt. Do đó, công thực lên chất lưu giữa A₁ và A₂ là

p₁A₁v₁ Δt − p₂A₂v₂ Δt,

công này phải bằng sự tăng năng lượng của một khối lượng ΔM của chất lưu khi đi từ A₁ tới A₂. Nói cách khác,

p₁A₁v₁ Δt − p₂A₂v₂ Δt = ΔM(E₂ − E₁),   (40.16)

trong đó E₁ là năng lượng trên một đơn vị khối lượng của chất lưu tại A₁, và E₂ là năng lượng trên một đơn vị khối lượng tại A₂. Năng lượng trên một đơn vị khối lượng của chất lưu có thể được viết thành

E = ½v² + ϕ + U,

trong đó ½v² là động năng trên một đơn vị khối lượng, ϕ là thế năng trên một đơn vị khối lượng, và U là một số hạng thêm biểu diễn nội năng trên một đơn vị khối lượng của chất lưu. Nội năng có thể tương ứng, chẳng hạn, với nhiệt năng trong một chất lưu nén được, hay với hóa năng. Mọi đại lượng này đều có thể thay đổi từ điểm này sang điểm khác. Dùng dạng này cho các năng lượng trong (40.16), chúng ta có

p₁A₁v₁ Δt/ΔM − p₂A₂v₂ Δt/ΔM = ½v₂² + ϕ₂ + U₂ − ½v₁² − ϕ₁ − U₁.

Nhưng chúng ta đã thấy rằng ΔM = ρAv Δt, vì vậy chúng ta được

p₁/ρ₁ + ½v₁² + ϕ₁ + U₁ = p₂/ρ₂ + ½v₂² + ϕ₂ + U₂,   (40.17)

đó là kết quả Bernoulli với một số hạng thêm cho nội năng. Nếu chất lưu không nén được, số hạng nội năng là như nhau ở hai vế, và chúng ta lại được rằng phương trình (40.14) đúng dọc theo bất kỳ đường dòng nào.

Bây giờ chúng ta xét một số ví dụ đơn giản trong đó tích phân Bernoulli cho chúng ta một mô tả của dòng chảy. Giả sử chúng ta có nước chảy ra khỏi một lỗ gần đáy của một bể chứa, như vẽ trong Hình 40–7. Chúng ta lấy một tình huống trong đó tốc độ dòng chảy v_out tại lỗ lớn hơn nhiều so với tốc độ dòng chảy gần mặt trên của bể; nói cách khác, chúng ta hình dung rằng đường kính của bể lớn đến mức chúng ta có thể bỏ qua sự hạ xuống của mực chất lỏng. (Chúng ta có thể thực hiện một phép tính chính xác hơn nếu muốn.) Tại mặt trên của bể, áp suất là p₀, áp suất khí quyển, và áp suất tại các phía của tia nước cũng là p₀. Bây giờ chúng ta viết phương trình Bernoulli cho một đường dòng, như đường dòng được chỉ trong hình. Tại mặt trên của bể, chúng ta lấy v bằng không và chúng ta cũng lấy thế hấp dẫn ϕ bằng không. Tại lỗ, v = v_out và ϕ = −gh, thành thử

p₀ = p₀ + ½ρv_out² − ρgh,

hay

v_out = √(2gh).   (40.18)

Vận tốc này đúng như vận tốc chúng ta sẽ thu được cho một vật rơi một khoảng h. Điều này không quá ngạc nhiên, vì nước tại cửa ra thu được động năng bằng cái giá của thế năng của nước tại mặt trên. Tuy nhiên, đừng nảy ra ý nghĩ rằng bạn có thể tính tốc độ chất lưu chảy ra khỏi bể bằng cách nhân vận tốc này với diện tích của lỗ. Các vận tốc của chất lưu khi tia nước rời lỗ không song song với nhau mà có các thành phần hướng vào trong về phía tâm của dòng — tia nước đang hội tụ. Sau khi tia nước đi được một đoạn, sự co lại dừng lại và các vận tốc trở nên song song. Vì vậy tổng lưu lượng là vận tốc nhân với diện tích tại điểm đó. Thực ra, nếu chúng ta có một cửa xả chỉ là một lỗ tròn có cạnh sắc, tia nước co lại còn 62 phần trăm diện tích của lỗ. Diện tích hiệu dụng thu nhỏ của cửa xả thay đổi đối với các hình dạng khác nhau của ống xả, và các hệ số co thực nghiệm có sẵn dưới dạng các bảng hệ số lưu lượng.

Nếu ống xả thụt vào trong, như chỉ trong Hình 40–8, có thể chứng minh theo một cách đẹp nhất rằng hệ số lưu lượng đúng bằng 50 phần trăm. Chúng tôi sẽ chỉ đưa ra một gợi ý về cách chứng minh diễn ra. Chúng ta đã dùng sự bảo toàn năng lượng để thu được vận tốc, phương trình (40.18), nhưng cũng còn sự bảo toàn động lượng cần xét. Vì có một dòng động lượng chảy ra trong tia xả, phải có một lực đặt lên trên tiết diện của ống xả. Lực đó đến từ đâu? Lực phải đến từ áp suất trên các thành. Chừng nào lỗ xả còn nhỏ và ở xa các thành, vận tốc của chất lưu gần các thành của bể sẽ rất nhỏ. Do đó, áp suất trên mọi mặt gần như đúng bằng áp suất tĩnh trong một chất lưu đứng yên — từ phương trình (40.14). Khi đó áp suất tĩnh tại bất kỳ điểm nào trên một phía của bể phải được cân bằng bởi một áp suất bằng như vậy tại điểm trên thành đối diện, ngoại trừ tại các điểm trên thành đối diện với ống xả. Nếu chúng ta tính động lượng đổ ra qua tia nước bởi áp suất này, chúng ta có thể chỉ ra rằng hệ số lưu lượng là 1/2. Tuy nhiên, chúng ta không thể dùng phương pháp này cho một lỗ xả như chỉ trong Hình 40–7, vì sự tăng vận tốc dọc theo thành ngay gần vùng xả gây ra một sự giảm áp suất mà chúng ta không thể tính được.

Hãy xem một ví dụ khác — một ống nằm ngang có tiết diện thay đổi, như chỉ trong Hình 40–9, với nước chảy vào một đầu và chảy ra đầu kia. Sự bảo toàn năng lượng, tức công thức Bernoulli, nói rằng áp suất thấp hơn trong vùng bị thắt lại, nơi vận tốc cao hơn. Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh hiệu ứng này bằng cách đo áp suất tại các tiết diện khác nhau bằng các cột nước thẳng đứng nhỏ gắn vào ống dòng qua các lỗ đủ nhỏ để chúng không làm nhiễu dòng chảy. Áp suất khi đó được đo bằng chiều cao của nước trong các cột thẳng đứng này. Áp suất được thấy là nhỏ hơn tại chỗ thắt so với ở hai phía của nó. Nếu diện tích phía sau chỗ thắt trở lại cùng giá trị như trước chỗ thắt, áp suất lại tăng lên. Công thức Bernoulli sẽ dự đoán rằng áp suất ở phía hạ lưu của chỗ thắt phải như áp suất ở phía thượng lưu, nhưng thực ra nó nhỏ hơn một cách đáng chú ý. Lý do dự đoán của chúng ta sai là chúng ta đã bỏ qua các lực ma sát, nhớt, vốn gây ra một sự sụt áp dọc theo ống. Bất chấp sự sụt áp này, áp suất chắc chắn thấp hơn tại chỗ thắt (vì tốc độ tăng lên) so với ở hai phía của nó — như Bernoulli dự đoán. Tốc độ v₂ chắc chắn phải vượt v₁ để đưa cùng một lượng nước qua ống hẹp hơn. Vì vậy nước gia tốc khi đi từ phần rộng sang phần hẹp. Lực tạo ra gia tốc này đến từ sự sụt áp suất.

Chúng ta có thể kiểm tra các kết quả của mình bằng một minh họa đơn giản khác. Giả sử chúng ta có trên một bể một ống xả ném một tia nước lên trên như chỉ trong Hình 40–10. Nếu vận tốc xả đúng bằng √(2gh), nước xả ra phải dâng lên tới một mức ngang bằng bề mặt của nước trong bể. Thực nghiệm cho thấy nó thấp hơn một chút. Dự đoán của chúng ta gần đúng, nhưng một lần nữa ma sát nhớt, vốn chưa được bao gồm trong công thức bảo toàn năng lượng của chúng ta, đã gây ra một sự mất năng lượng.

Bạn đã bao giờ giữ hai tờ giấy gần nhau và cố thổi chúng tách ra chưa? Hãy thử đi! Chúng dính vào nhau. Lý do, dĩ nhiên, là không khí có tốc độ cao hơn khi đi qua khoảng không gian bị thắt giữa hai tờ giấy so với khi nó ra ngoài. Áp suất giữa hai tờ giấy thấp hơn áp suất khí quyển, vì vậy chúng dính vào nhau thay vì tách ra.

40–4  Lưu thông

Chúng ta đã thấy ở đầu mục trước rằng nếu chúng ta có một chất lưu không nén được và không có lưu thông, dòng chảy thỏa mãn hai phương trình sau:

∇·v = 0,   ∇×v = 0.   (40.19)

Chúng cũng là các phương trình của tĩnh điện học hay tĩnh từ học trong không gian trống. Divergence của điện trường bằng không khi không có điện tích, và curl của trường tĩnh điện luôn bằng không. Curl của trường tĩnh từ bằng không nếu không có dòng điện, và divergence của từ trường luôn bằng không. Do đó, các phương trình (40.19) có cùng các nghiệm như các phương trình cho E trong tĩnh điện học hay cho B trong tĩnh từ học. Thực ra, chúng ta đã giải bài toán về dòng chảy của một chất lưu qua một quả cầu, dưới dạng một tương tự tĩnh điện, trong Mục 12–5. Tương tự tĩnh điện là một điện trường đều cộng với một trường lưỡng cực. Trường lưỡng cực được điều chỉnh sao cho vận tốc chất lưu vuông góc với bề mặt của quả cầu bằng không. Bài toán tương tự về dòng chảy qua một hình trụ có thể được giải theo cách tương tự bằng cách dùng một lưỡng cực đường thích hợp với một trường dòng chảy đều. Nghiệm này đúng cho một tình huống trong đó vận tốc chất lưu tại các khoảng cách lớn là không đổi — cả về độ lớn và hướng. Nghiệm được phác họa trong Hình 40–11(a).

Có một nghiệm khác cho dòng chảy quanh một hình trụ khi các điều kiện là sao cho chất lưu tại các khoảng cách lớn chuyển động theo các vòng tròn quanh hình trụ. Khi đó dòng chảy là tròn ở khắp nơi, như trong Hình 40–11(b). Một dòng chảy như vậy có một lưu thông quanh hình trụ, mặc dù ∇×v vẫn bằng không trong chất lưu. Làm sao có thể có lưu thông mà không có curl? Chúng ta có một lưu thông quanh hình trụ vì tích phân đường của v quanh bất kỳ vòng nào bao quanh hình trụ không bằng không. Đồng thời, tích phân đường của v quanh bất kỳ đường kín nào không bao gồm hình trụ bằng không. Chúng ta đã thấy điều tương tự khi chúng ta tìm từ trường quanh một sợi dây. Curl của B bằng không bên ngoài sợi dây, mặc dù một tích phân đường của B quanh một đường bao quanh sợi dây không triệt tiêu. Trường vận tốc trong một lưu thông không xoáy quanh một hình trụ đúng như từ trường quanh một sợi dây. Đối với một đường tròn có tâm tại tâm của hình trụ, tích phân đường của vận tốc là

∮ v·ds = 2πrv.

Đối với dòng chảy không xoáy, tích phân phải không phụ thuộc vào r. Hãy gọi giá trị hằng số đó là C, khi đó chúng ta có

v = C/(2πr),   (40.20)

trong đó v là vận tốc tiếp tuyến, và r là khoảng cách tới trục.

Có một minh họa đẹp về một chất lưu lưu thông quanh một lỗ. Bạn lấy một bể hình trụ trong suốt có một lỗ thoát ở tâm của đáy. Bạn đổ đầy nước, khuấy lên một ít lưu thông bằng một cái que, và rút nút thoát. Bạn thu được hiệu ứng đẹp được chỉ trong Hình 40–12. (Bạn đã thấy một điều tương tự nhiều lần trong bồn tắm!) Mặc dù bạn đưa vào một ít ω lúc đầu, nó sớm tắt đi vì độ nhớt và dòng chảy trở thành không xoáy — mặc dù vẫn còn một ít lưu thông quanh lỗ.

Từ lý thuyết, chúng ta có thể tính hình dạng của bề mặt bên trong của nước. Khi một hạt của nước di chuyển vào trong, nó tăng tốc. Từ phương trình (40.20), vận tốc tiếp tuyến tỉ lệ như 1/r — nó chỉ là từ sự bảo toàn mômen động lượng, như vận động viên trượt băng kéo tay vào. Vận tốc hướng tâm cũng tỉ lệ như 1/r. Bỏ qua chuyển động tiếp tuyến, chúng ta có nước đi hướng tâm vào trong về phía một lỗ; từ ∇·v = 0, suy ra rằng vận tốc hướng tâm tỉ lệ với 1/r. Vì vậy tổng vận tốc cũng tăng như 1/r, và nước đi vào dọc theo các đường xoắn ốc đẳng giác (hay “logarit”). Bề mặt không khí–nước đều ở áp suất khí quyển, vì vậy nó phải có — từ phương trình (40.14) — tính chất

gz + ½v² = const.

Nhưng v tỉ lệ với 1/r, vì vậy hình dạng của bề mặt là

(z − z₀) = k/r².

Một điểm thú vị — không đúng nói chung nhưng đúng đối với dòng chảy không nén được, không xoáy — là nếu chúng ta có một nghiệm và một nghiệm thứ hai, thì tổng cũng là một nghiệm. Điều này đúng vì các phương trình trong (40.19) là tuyến tính. Các phương trình đầy đủ của thủy động lực học, các phương trình (40.9), (40.10), và (40.11), không tuyến tính, và điều đó tạo ra một sự khác biệt to lớn. Tuy nhiên, đối với dòng chảy không xoáy quanh hình trụ, chúng ta có thể chồng chập dòng chảy của Hình 40–11(a) lên dòng chảy của Hình 40–11(b) và thu được hình ảnh dòng chảy mới được chỉ trong Hình 40–11(c). Dòng chảy này có sự quan tâm đặc biệt. Vận tốc dòng chảy cao hơn ở phía trên của hình trụ so với phía dưới. Do đó áp suất thấp hơn ở phía trên so với phía dưới. Vì vậy khi chúng ta có một tổ hợp của một lưu thông quanh một hình trụ và một dòng chảy ngang thực, có một lực thẳng đứng thực tác dụng lên hình trụ — nó được gọi là lực nâng. Dĩ nhiên, nếu không có lưu thông, không có hợp lực nào tác dụng lên bất kỳ vật nào theo lý thuyết “nước khô” của chúng ta.

40–5  Các đường xoáy

Chúng ta đã viết xuống các phương trình tổng quát cho dòng chảy của một chất lưu không nén được khi có thể có độ xoáy. Chúng là

I.   ∇·v = 0,
II.   Ω = ∇×v,
III.   ∂Ω/∂t + ∇×(Ω×v) = 0.

Nội dung vật lý của các phương trình này đã được Helmholtz mô tả bằng lời dưới dạng ba định lý. Trước hết, hãy hình dung rằng trong chất lưu chúng ta vẽ các đường xoáy thay vì các đường dòng. Các đường xoáy có nghĩa là các đường trường có hướng của Ω và có một mật độ trong bất kỳ vùng nào tỉ lệ với độ lớn của Ω. Từ II, divergence của Ω luôn bằng không (nhớ rằng — Mục 3–7 — divergence của một curl luôn bằng không). Vì vậy các đường xoáy giống như các đường của B — chúng không bao giờ bắt đầu hay kết thúc, và sẽ có khuynh hướng đi thành các vòng kín. Bây giờ Helmholtz đã mô tả III bằng lời bằng phát biểu sau: các đường xoáy chuyển động cùng với chất lưu. Điều này có nghĩa là nếu bạn đánh dấu các hạt chất lưu dọc theo một số đường xoáy nào đó — bằng cách tô màu chúng bằng mực, chẳng hạn — thì khi chất lưu chuyển động và mang các hạt đó theo, chúng sẽ luôn đánh dấu các vị trí mới của các đường xoáy. Dù các nguyên tử của chất lỏng chuyển động theo cách nào, các đường xoáy cũng chuyển động cùng chúng. Đó là một cách mô tả các định luật.

Nó cũng gợi ý một phương pháp để giải mọi bài toán. Cho hình ảnh dòng chảy ban đầu — giả sử v ở khắp nơi — khi đó bạn có thể tính Ω. Từ v bạn cũng có thể cho biết các đường xoáy sẽ ở đâu một lúc sau — chúng chuyển động với tốc độ v. Với Ω mới, bạn có thể dùng I và II để tìm v mới. (Điều đó đúng như bài toán tìm B, cho trước các dòng điện.) Nếu chúng ta được cho hình ảnh dòng chảy tại một thời điểm, về nguyên tắc chúng ta có thể tính nó cho mọi thời gian tiếp theo. Chúng ta có nghiệm tổng quát cho dòng chảy không nhớt.

Chúng tôi muốn chỉ ra phát biểu của Helmholtz — và, do đó, III — có thể được hiểu ít nhất một phần như thế nào. Nó thực ra chỉ là định luật bảo toàn mômen động lượng áp dụng cho chất lưu. Giả sử chúng ta hình dung một hình trụ nhỏ của chất lỏng mà trục của nó song song với các đường xoáy, như trong Hình 40–13(a). Tại một thời gian nào đó sau đó, cùng mẩu chất lưu này sẽ ở một nơi khác. Nói chung nó sẽ chiếm một hình trụ có đường kính khác và ở một vị trí khác. Nó cũng có thể có một hướng khác, giả sử như trong Hình 40–13(b). Tuy nhiên, nếu đường kính đã giảm như chỉ trong Hình 40–13, chiều dài sẽ tăng lên để giữ thể tích không đổi (vì chúng ta đang giả thiết một chất lưu không nén được). Ngoài ra, vì các đường xoáy bị dính với vật chất, mật độ của chúng sẽ tăng lên khi diện tích tiết diện giảm xuống. Tích của độ xoáy Ω và diện tích A của hình trụ sẽ không đổi, vì vậy theo Helmholtz, chúng ta phải có

Ω₂A₂ = Ω₁A₁.   (40.21)

Bây giờ lưu ý rằng với độ nhớt bằng không, mọi lực trên bề mặt của thể tích hình trụ (hay bất kỳ thể tích nào, cũng vậy) đều vuông góc với bề mặt. Các lực áp suất có thể làm thể tích di chuyển từ nơi này sang nơi khác, hay có thể làm nó thay đổi hình dạng; nhưng khi không có các lực tiếp tuyến, độ lớn của mômen động lượng của vật chất bên trong không thể thay đổi. Mômen động lượng của chất lỏng trong hình trụ nhỏ là mômen quán tính I của nó nhân với vận tốc góc của chất lỏng, vốn tỉ lệ với độ xoáy Ω. Đối với một hình trụ, mômen quán tính tỉ lệ với mr². Vì vậy từ sự bảo toàn mômen động lượng, chúng ta sẽ kết luận rằng

(M₁R₁²) Ω₁ = (M₂R₂²) Ω₂.

Nhưng khối lượng là như nhau, M₁ = M₂, và các diện tích tỉ lệ với R², vì vậy chúng ta lại được đúng phương trình (40.21). Phát biểu của Helmholtz — vốn tương đương với III — chỉ là một hệ quả của sự kiện rằng khi không có độ nhớt, mômen động lượng của một phần tử của chất lưu không thể thay đổi.

Có một minh họa đẹp về một xoáy đang chuyển động được thực hiện bằng thiết bị đơn giản của Hình 40–14. Nó là một “cái trống” đường kính hai foot và dài hai foot được làm bằng cách căng một tấm cao su dày trên đầu hở của một “hộp” hình trụ. “Đáy” — cái trống được đặt nằm nghiêng — đặc, ngoại trừ một lỗ đường kính 3 inch. Nếu bạn đập mạnh lên màng cao su bằng tay, một vòng xoáy được phóng ra khỏi lỗ. Mặc dù vòng xoáy vô hình, bạn có thể biết nó ở đó vì nó sẽ thổi tắt một ngọn nến cách 10 tới 20 foot. Từ độ trễ của hiệu ứng, bạn có thể biết rằng “một cái gì đó” đang di chuyển với một tốc độ hữu hạn. Bạn có thể thấy rõ hơn điều gì đang xảy ra nếu trước đó bạn thổi một ít khói vào hộp. Khi đó bạn thấy vòng xoáy như một “vòng khói” tròn đẹp đẽ.

Vòng khói là một bó các đường xoáy có dạng hình xuyến, như chỉ trong Hình 40–15(a). Vì Ω = ∇×v, các đường xoáy này cũng biểu diễn một lưu thông của v như chỉ trong phần (b) của hình. Chúng ta có thể hiểu chuyển động tiến về phía trước của vòng theo cách sau: Vận tốc lưu thông quanh đáy của vòng vươn lên tới đỉnh của vòng, tại đó có một chuyển động về phía trước. Vì các đường của Ω chuyển động cùng với chất lưu, chúng cũng tiến lên phía trước với vận tốc v. (Dĩ nhiên, lưu thông của v quanh phần trên của vòng chịu trách nhiệm cho chuyển động về phía trước của các đường xoáy tại đáy.)

Bây giờ chúng ta phải nhắc tới một khó khăn nghiêm trọng. Chúng ta đã lưu ý rằng phương trình (40.9) nói rằng, nếu Ω ban đầu bằng không, nó sẽ luôn bằng không. Kết quả này là một thất bại lớn của lý thuyết “nước khô”, vì nó có nghĩa là một khi Ω bằng không thì nó luôn bằng không — không thể tạo ra bất kỳ độ xoáy nào trong bất kỳ hoàn cảnh nào. Thế nhưng, trong minh họa đơn giản của chúng ta với cái trống, chúng ta có thể tạo ra một vòng xoáy bắt đầu với không khí ban đầu đứng yên. (Chắc chắn, v = 0, Ω = 0 ở khắp nơi trong hộp trước khi chúng ta đập nó.) Ngoài ra, tất cả chúng ta đều biết rằng chúng ta có thể khởi phát một ít độ xoáy trong một cái hồ bằng một mái chèo. Rõ ràng, chúng ta phải đi tới một lý thuyết về nước “ướt” để có một sự hiểu biết đầy đủ về hành vi của một chất lưu.

Một đặc điểm khác của lý thuyết nước khô không đúng là giả thiết chúng ta đưa ra về dòng chảy tại biên giữa nó và bề mặt của một vật rắn. Khi chúng ta thảo luận dòng chảy qua một hình trụ — như trong Hình 40–11, chẳng hạn — chúng ta đã cho phép chất lưu trượt dọc theo bề mặt của vật rắn. Trong lý thuyết của chúng ta, vận tốc tại một bề mặt rắn có thể có bất kỳ giá trị nào tùy thuộc nó được khởi đầu như thế nào, và chúng ta đã không xét bất kỳ “ma sát” nào giữa chất lưu và vật rắn. Tuy nhiên, đó là một sự kiện thực nghiệm rằng vận tốc của một chất lưu thật luôn đi tới không tại bề mặt của một vật rắn. Do đó, nghiệm của chúng ta cho hình trụ, có hay không có lưu thông, là sai — cũng như kết quả của chúng ta về sự tạo ra độ xoáy. Chúng tôi sẽ cho bạn biết về các lý thuyết đúng hơn trong chương tiếp theo.