Chương 6: Xác suất

6–1  Cơ may và khả năng xảy ra

“Cơ may” (chance) là một từ được dùng phổ biến trong đời sống hằng ngày. Các bản tin thời tiết trên đài phát thanh khi nói về thời tiết ngày mai có thể nói: “Có sáu mươi phần trăm cơ may trời mưa.” Bạn có thể nói: “Có một cơ may nhỏ là tôi sẽ sống đến một trăm tuổi.” Các nhà khoa học cũng dùng từ cơ may. Một nhà địa chấn học có thể quan tâm đến câu hỏi: “Cơ may xảy ra một trận động đất có độ lớn nhất định ở Nam California vào năm tới là bao nhiêu?” Một nhà vật lý có thể đặt câu hỏi: “Cơ may một bộ đếm Geiger nhất định sẽ ghi được hai mươi số đếm trong mười giây tới là bao nhiêu?” Một chính trị gia hay chính khách có thể quan tâm đến câu hỏi: “Cơ may xảy ra chiến tranh hạt nhân trong mười năm tới là bao nhiêu?” Bạn có thể quan tâm đến cơ may là bạn sẽ học được điều gì đó từ chương này.

Khi nói cơ may, chúng ta có ý nói một điều gì đó giống như một sự đoán định. Vì sao chúng ta đoán định? Chúng ta đoán định khi chúng ta muốn đưa ra một phán đoán nhưng lại có thông tin không đầy đủ hoặc kiến thức không chắc chắn. Chúng ta muốn đoán xem sự vật là như thế nào, hoặc sự vật có khả năng xảy ra như thế nào. Thường chúng ta muốn đoán vì chúng ta phải đưa ra một quyết định. Ví dụ: Ngày mai tôi có nên mang theo áo mưa không? Tôi nên thiết kế một tòa nhà mới để chịu được chuyển động mặt đất đến mức nào? Tôi có nên tự xây cho mình một hầm trú ẩn chống bụi phóng xạ không? Tôi có nên thay đổi lập trường của mình trong các cuộc đàm phán quốc tế không? Hôm nay tôi có nên đến lớp không?

Đôi khi chúng ta đoán định vì chúng ta muốn, với kiến thức hạn chế của mình, nói càng nhiều càng tốt về một tình huống nào đó. Thật ra, mọi sự khái quát hóa đều có bản chất của một sự đoán định. Mọi lý thuyết vật lý đều là một dạng công việc đoán định. Có những đoán định tốt và có những đoán định tồi. Lý thuyết xác suất là một hệ thống để đưa ra những đoán định tốt hơn. Ngôn ngữ của xác suất cho phép chúng ta nói một cách định lượng về một tình huống nào đó có thể rất biến thiên, nhưng vẫn có một hành vi trung bình nhất quán nào đó.

Chúng ta hãy xét việc tung một đồng xu. Nếu lần tung — và đồng xu — đều “trung thực”, chúng ta không có cách nào biết được nên kỳ vọng điều gì về kết quả của bất kỳ lần tung cụ thể nào. Tuy nhiên, chúng ta cảm thấy rằng trong một số lượng lớn các lần tung, số mặt ngửa và số mặt sấp phải xấp xỉ bằng nhau. Chúng ta nói: “Xác suất một lần tung rơi xuống mặt ngửa là 0,5.”

Chúng ta chỉ nói về xác suất đối với các quan sát mà chúng ta dự định sẽ thực hiện trong tương lai. Bằng “xác suất” của một kết quả cụ thể của một quan sát, chúng ta có ý nói ước lượng của mình về tỉ lệ phân số có khả năng nhất, trong một số các quan sát lặp lại, sẽ cho ra kết quả cụ thể đó. Nếu chúng ta tưởng tượng lặp lại một quan sát — chẳng hạn như nhìn vào một đồng xu vừa được tung — N lần, và nếu chúng ta gọi N_A là ước lượng của chúng ta về số lần có khả năng nhất trong các quan sát đó sẽ cho một kết quả đã định A nào đó, chẳng hạn kết quả “mặt ngửa”, thì bằng P(A), xác suất quan sát được A, chúng ta có ý nói

P(A) = N_A/N. (6.1)

Định nghĩa của chúng ta cần một số bình luận. Trước hết, chúng ta chỉ có thể nói về xác suất của một điều gì đó xảy ra nếu sự việc đó là một kết quả có thể có của một quan sát nào đó có thể lặp lại được. Không rõ việc hỏi câu này có ý nghĩa gì không: “Xác suất có một con ma trong ngôi nhà đó là bao nhiêu?”

Bạn có thể phản đối rằng không có tình huống nào là có thể lặp lại một cách chính xác cả. Điều đó đúng. Mỗi quan sát khác nhau ít nhất phải ở một thời gian hay một nơi chốn khác nhau. Tất cả những gì chúng ta có thể nói là các quan sát “lặp lại” đó, đối với các mục đích dự định của chúng ta, phải có vẻ tương đương nhau. Chúng ta phải giả thiết, ít nhất, rằng mỗi quan sát được thực hiện từ một tình huống được chuẩn bị một cách tương đương, và đặc biệt là với cùng một mức độ không biết lúc ban đầu. (Nếu chúng ta liếc trộm bài của đối thủ trong một ván bài, ước lượng của chúng ta về cơ may thắng của mình sẽ khác với khi chúng ta không làm vậy!)

Chúng ta cần nhấn mạnh rằng N và N_A trong Phương trình (6.1) không có ý đại diện cho các con số dựa trên các quan sát thực tế. N_A là ước lượng tốt nhất của chúng ta về điều sẽ xảy ra trong N quan sát tưởng tượng. Do đó xác suất phụ thuộc vào kiến thức của chúng ta và vào khả năng ước lượng của chúng ta. Thật ra, nó phụ thuộc vào lương tri của chúng ta! May mắn thay, có một mức độ thống nhất nhất định trong lương tri về nhiều sự vật, cho nên những người khác nhau sẽ đưa ra cùng một ước lượng. Tuy nhiên, xác suất không nhất thiết phải là các con số “tuyệt đối”. Vì chúng phụ thuộc vào sự không biết của chúng ta, chúng có thể trở nên khác đi nếu kiến thức của chúng ta thay đổi.

Bạn có thể đã chú ý đến một khía cạnh khá “chủ quan” khác của định nghĩa xác suất của chúng ta. Chúng ta đã gọi N_A là “ước lượng của chúng ta về số lần có khả năng nhất…”. Chúng ta không có ý nói rằng chúng ta kỳ vọng quan sát được đúng N_A, mà nói rằng chúng ta kỳ vọng một con số gần N_A, và con số N_A có khả năng xảy ra hơn bất kỳ con số nào khác ở lân cận. Nếu chúng ta tung một đồng xu, chẳng hạn, 30 lần, chúng ta nên kỳ vọng rằng số mặt ngửa sẽ không có nhiều khả năng là đúng 15, mà chỉ là một con số nào đó gần 15, chẳng hạn 12, 13, 14, 15, 16, hay 17. Tuy nhiên, nếu phải chọn, chúng ta sẽ quyết định rằng 15 mặt ngửa có khả năng xảy ra hơn bất kỳ con số nào khác. Chúng ta sẽ viết P(mặt ngửa) = 0,5.

Vì sao chúng ta chọn 15 là có khả năng xảy ra hơn bất kỳ con số nào khác? Hẳn chúng ta đã tự lập luận với chính mình theo cách sau: Nếu số mặt ngửa có khả năng nhất là N_H trong tổng số lần tung N, thì số mặt sấp có khả năng nhất N_T là (N − N_H). (Chúng ta đang giả thiết rằng mỗi lần tung hoặc cho mặt ngửa hoặc cho mặt sấp, và không có kết quả “khác” nào!) Nhưng nếu đồng xu là “trung thực”, thì không có sự ưu tiên nào cho mặt ngửa hay mặt sấp. Chừng nào chúng ta chưa có lý do nào để nghĩ rằng đồng xu (hay lần tung) là không trung thực, chúng ta phải cho mặt ngửa và mặt sấp các khả năng xảy ra bằng nhau. Vậy chúng ta phải đặt N_T = N_H. Suy ra N_T = N_H = N/2, hay P(H) = P(T) = 0,5.

Chúng ta có thể tổng quát hóa lập luận của mình cho bất kỳ tình huống nào trong đó có m kết quả có thể có khác nhau nhưng “tương đương” (tức là có khả năng xảy ra ngang nhau) của một quan sát. Nếu một quan sát có thể cho ra m kết quả khác nhau, và chúng ta có lý do để tin rằng bất kỳ kết quả nào trong chúng cũng có khả năng xảy ra như bất kỳ kết quả nào khác, thì xác suất của một kết quả cụ thể A là P(A) = 1/m.

Nếu có bảy quả bóng khác màu nhau trong một chiếc hộp không trong suốt và chúng ta lấy ra một quả “một cách ngẫu nhiên” (tức là không nhìn), xác suất lấy được một quả bóng có một màu cụ thể là 1/7. Xác suất một lần “rút mù” từ một bộ bài 52 lá đã được xáo trộn sẽ cho ra lá mười cơ là 1/52. Xác suất gieo được một đôi một (double-one) bằng các con xúc xắc là 1/36.

Trong Chương 5, chúng ta đã mô tả kích thước của một hạt nhân theo diện tích biểu kiến của nó, hay “tiết diện”. Khi làm vậy, thật ra chúng ta đã đang nói về xác suất. Khi chúng ta bắn một hạt năng lượng cao vào một tấm vật liệu mỏng, có một cơ may nào đó nó sẽ đi thẳng qua và một cơ may nào đó nó sẽ đập trúng một hạt nhân. (Vì hạt nhân nhỏ đến mức chúng ta không thể nhìn thấy nó, chúng ta không thể nhắm thẳng vào một hạt nhân. Chúng ta phải “bắn mù”.) Nếu có n nguyên tử trong tấm vật liệu của chúng ta và hạt nhân của mỗi nguyên tử có diện tích tiết diện σ, thì tổng diện tích bị “che bóng” bởi các hạt nhân là nσ. Trong một số lượng lớn N lần bắn ngẫu nhiên, chúng ta kỳ vọng số lần đập trúng N_C một hạt nhân nào đó sẽ tỉ lệ với N như diện tích bị che bóng tỉ lệ với tổng diện tích của tấm vật liệu:

N_C/N = nσ/A. (6.2)

Do đó chúng ta có thể nói rằng xác suất để bất kỳ một hạt đạn nào cũng sẽ chịu một va chạm khi đi qua tấm vật liệu là

P_C = (n/A) σ, (6.3)

trong đó n/A là số nguyên tử trên một đơn vị diện tích trong tấm vật liệu của chúng ta.

6–2  Các thăng giáng

Bây giờ chúng ta muốn dùng các ý tưởng của mình về xác suất để xét chi tiết hơn một chút câu hỏi: “Thật ra tôi kỳ vọng nhận được bao nhiêu mặt ngửa nếu tôi tung một đồng xu N lần?” Tuy nhiên, trước khi trả lời câu hỏi, chúng ta hãy xem điều thật sự xảy ra trong một “thí nghiệm” như vậy. Hình 6–1 cho thấy các kết quả thu được trong ba “lượt chạy” đầu tiên của một thí nghiệm như vậy, trong đó N = 30. Các dãy “mặt ngửa” và “mặt sấp” được trình bày đúng như chúng đã thu được. Ván đầu tiên cho 11 mặt ngửa; ván thứ hai cũng 11; ván thứ ba 16. Trong ba lần thử, chúng ta không một lần nào được 15 mặt ngửa. Chúng ta có nên bắt đầu nghi ngờ đồng xu không? Hay chúng ta đã sai khi nghĩ rằng số mặt ngửa có khả năng nhất trong một ván như vậy là 15? Thêm chín mươi bảy lượt chạy nữa đã được thực hiện để có tổng cộng 100 thí nghiệm, mỗi thí nghiệm 30 lần tung. Kết quả của các thí nghiệm được cho trong Bảng 6–1.¹

Bảng 6–1 — Số mặt ngửa trong các lần thử liên tiếp, mỗi lần 30 lần tung một đồng xu. (100 lần thử)

Nhìn vào các con số trong Bảng 6–1, chúng ta thấy rằng hầu hết các kết quả đều “gần” 15, theo nghĩa chúng nằm trong khoảng từ 12 đến 18. Chúng ta có thể có một cảm nhận tốt hơn về các chi tiết của các kết quả này nếu chúng ta vẽ một đồ thị của phân bố các kết quả. Chúng ta đếm số ván trong đó một điểm số k đã thu được, và vẽ số này cho mỗi k. Một đồ thị như vậy được cho thấy trong Hình 6–2. Điểm số 15 mặt ngửa đã thu được trong 13 ván. Điểm số 14 mặt ngửa cũng thu được 13 lần. Các điểm số 16 và 17 mỗi điểm đều thu được hơn 13 lần. Chúng ta có nên kết luận rằng có một thiên lệch nào đó về phía mặt ngửa không? “Ước lượng tốt nhất” của chúng ta có chưa đủ tốt không? Giờ chúng ta có nên kết luận rằng điểm số “có khả năng nhất” cho một lượt 30 lần tung thật ra là 16 mặt ngửa không? Nhưng khoan đã! Trong tất cả các ván cộng lại, đã có 3000 lần tung. Và tổng số mặt ngửa thu được là 1493. Tỉ lệ phân số các lần tung cho mặt ngửa là 0,498, rất gần, nhưng hơi nhỏ hơn một nửa. Chúng ta chắc chắn không nên giả thiết rằng xác suất tung được mặt ngửa lớn hơn 0,5! Việc một tập hợp quan sát cụ thể cho 16 mặt ngửa thường xuyên nhất là một thăng giáng. Chúng ta vẫn kỳ vọng rằng số mặt ngửa có khả năng nhất là 15.

Chúng ta có thể đặt câu hỏi: “Xác suất một ván 30 lần tung sẽ cho ra 15 mặt ngửa — hay 16, hay bất kỳ con số nào khác — là bao nhiêu?” Chúng ta đã nói rằng trong một ván một lần tung, xác suất thu được một mặt ngửa là 0,5, và xác suất thu được không mặt ngửa nào là 0,5. Trong một ván hai lần tung có bốn kết quả có thể có: HH, HT, TH, TT. Vì mỗi dãy trong các dãy này đều có khả năng xảy ra như nhau, chúng ta kết luận rằng (a) xác suất của một điểm số hai mặt ngửa là 1/4, (b) xác suất của một điểm số một mặt ngửa là 2/4, (c) xác suất của một điểm số không là 1/4. Có hai cách thu được một mặt ngửa, nhưng chỉ có một cách thu được hoặc không mặt ngửa nào hoặc hai mặt ngửa.

Bây giờ hãy xét một ván 3 lần tung. Lần tung thứ ba có khả năng là mặt ngửa hay mặt sấp như nhau. Chỉ có một cách duy nhất để thu được 3 mặt ngửa: chúng ta phải đã thu được 2 mặt ngửa ở hai lần tung đầu tiên, rồi mặt ngửa ở lần cuối. Tuy nhiên, có ba cách thu được 2 mặt ngửa. Chúng ta có thể tung ra mặt sấp sau khi đã tung được hai mặt ngửa (một cách) hoặc chúng ta có thể tung ra mặt ngửa sau khi chỉ tung được một mặt ngửa trong hai lần tung đầu tiên (hai cách). Vậy đối với các điểm số 3-H, 2-H, 1-H, 0-H, chúng ta có số cách có khả năng xảy ra như nhau là 1, 3, 3, 1, với tổng cộng 8 dãy có thể có khác nhau. Các xác suất là 1/8, 3/8, 3/8, 1/8.

Lập luận chúng ta vừa thực hiện có thể được tóm tắt bằng một sơ đồ như sơ đồ trong Hình 6–3. Rõ ràng sơ đồ nên được tiếp tục như thế nào cho các ván với số lần tung lớn hơn. Hình 6–4 cho thấy một sơ đồ như vậy cho một ván 6 lần tung. Số “cách” đến bất kỳ điểm nào trên sơ đồ đúng là số “đường đi” khác nhau (các dãy mặt ngửa và mặt sấp) có thể đi được từ điểm bắt đầu. Vị trí theo chiều đứng cho chúng ta tổng số mặt ngửa đã tung được. Tập hợp các con số xuất hiện trong một sơ đồ như vậy được gọi là tam giác Pascal. Các con số này cũng được gọi là các hệ số nhị thức, vì chúng cũng xuất hiện trong khai triển của (a + b)ⁿ. Nếu chúng ta gọi n là số lần tung và k là số mặt ngửa đã tung được, thì các con số trong sơ đồ thường được ký hiệu bằng ký hiệu C(n, k). Chúng ta có thể lưu ý thêm rằng các hệ số nhị thức cũng có thể được tính từ

C(n, k) = n! / [k!(n − k)!], (6.4)

trong đó n!, gọi là “n giai thừa”, đại diện cho tích (n)(n − 1)(n − 2)…(3)(2)(1).

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng tính xác suất P(k, n) của việc tung được k mặt ngửa trong n lần tung, dùng định nghĩa của chúng ta ở Phương trình (6.1). Tổng số dãy có thể có là 2ⁿ (vì có 2 kết quả cho mỗi lần tung), và số cách thu được k mặt ngửa là C(n, k), tất cả đều có khả năng xảy ra như nhau, vậy chúng ta có

P(k, n) = C(n, k) / 2ⁿ. (6.5)

Vì P(k, n) là tỉ lệ phân số các ván mà chúng ta kỳ vọng sẽ cho ra k mặt ngửa, nên trong 100 ván chúng ta nên kỳ vọng tìm thấy k mặt ngửa 100·P(k, n) lần. Đường cong đứt nét trong Hình 6–2 đi qua các điểm được tính từ 100·P(k, 30). Chúng ta thấy chúng ta kỳ vọng thu được điểm số 15 mặt ngửa trong 14 hoặc 15 ván, trong khi điểm số này đã được quan sát trong 13 ván. Chúng ta kỳ vọng một điểm số 16 trong 13 hoặc 14 ván, nhưng chúng ta đã thu được điểm số đó trong 15 ván. Những thăng giáng như vậy là “một phần của cuộc chơi”.

Phương pháp chúng ta vừa dùng có thể được áp dụng cho tình huống tổng quát nhất trong đó chỉ có hai kết quả có thể có của một quan sát duy nhất. Chúng ta hãy ký hiệu hai kết quả bằng W (cho “win”, thắng) và L (cho “lose”, thua). Trong trường hợp tổng quát, xác suất của W hay L trong một sự kiện duy nhất không nhất thiết phải bằng nhau. Đặt p là xác suất thu được kết quả W. Khi đó q, xác suất của L, nhất thiết là (1 − p). Trong một tập hợp n lần thử, xác suất P(k, n) để W sẽ thu được k lần là

P(k, n) = C(n, k) p^kq^n−k. (6.6)

Hàm xác suất này được gọi là xác suất Bernoulli, hay cũng gọi là xác suất nhị thức.

6–3  Bước đi ngẫu nhiên

Có một bài toán thú vị khác trong đó ý tưởng về xác suất là cần thiết. Đó là bài toán về “bước đi ngẫu nhiên”. Trong phiên bản đơn giản nhất của nó, chúng ta tưởng tượng một “trò chơi” trong đó một “người chơi” bắt đầu tại điểm x = 0 và ở mỗi “nước đi” buộc phải bước một bước hoặc về phía trước (về phía +x) hoặc về phía sau (về phía −x). Sự lựa chọn phải được thực hiện một cách ngẫu nhiên, chẳng hạn được quyết định bởi việc tung một đồng xu. Chúng ta sẽ mô tả chuyển động thu được như thế nào? Trong hình thức tổng quát của nó, bài toán có liên quan đến chuyển động của các nguyên tử (hay các hạt khác) trong một chất khí — gọi là chuyển động Brown — và cũng liên quan đến sự kết hợp của các sai số trong các phép đo. Bạn sẽ thấy rằng bài toán bước đi ngẫu nhiên có liên quan chặt chẽ với bài toán tung đồng xu mà chúng ta đã thảo luận.

Trước hết, chúng ta hãy xem một vài ví dụ về một bước đi ngẫu nhiên. Chúng ta có thể đặc trưng sự tiến triển của người đi bằng khoảng cách ròng D_N đã đi được trong N bước. Chúng ta cho thấy trong đồ thị của Hình 6–5 ba ví dụ về đường đi của một người đi ngẫu nhiên. (Chúng ta đã dùng, cho dãy ngẫu nhiên các lựa chọn, các kết quả của các lần tung đồng xu được cho thấy trong Hình 6–1.)

Chúng ta có thể nói gì về một chuyển động như vậy? Trước hết chúng ta có thể hỏi: “Trung bình thì anh ta đi được bao xa?” Chúng ta phải kỳ vọng rằng sự tiến triển trung bình của anh ta sẽ bằng không, vì anh ta có khả năng đi về phía trước hay về phía sau như nhau. Nhưng chúng ta có cảm giác rằng khi N tăng lên, anh ta có nhiều khả năng đã đi lạc xa hơn khỏi điểm bắt đầu. Do đó chúng ta có thể hỏi giá trị trung bình của khoảng cách đã đi được theo trị tuyệt đối là bao nhiêu, tức là trung bình của |D| là bao nhiêu. Tuy nhiên, sẽ thuận tiện hơn nếu xử lý một thước đo khác của “sự tiến triển”, bình phương của khoảng cách: D² là dương đối với chuyển động dương hay âm, và do đó là một thước đo hợp lý của một sự lang thang ngẫu nhiên như vậy.

Chúng ta có thể chứng tỏ rằng giá trị kỳ vọng của D_N² đúng là N, số bước đã thực hiện. Bằng “giá trị kỳ vọng” chúng ta có ý nói giá trị có khả năng nhất (đoán định tốt nhất của chúng ta), mà chúng ta có thể nghĩ là hành vi trung bình kỳ vọng trong nhiều dãy lặp lại. Chúng ta biểu diễn một giá trị kỳ vọng như vậy bằng ⟨D_N²⟩, và cũng có thể gọi nó là “khoảng cách bình phương trung bình”. Sau một bước, D² luôn là +1, vậy chắc chắn chúng ta có ⟨D₁²⟩ = 1. (Mọi khoảng cách sẽ được đo theo đơn vị là một bước. Chúng ta sẽ không tiếp tục viết các đơn vị của khoảng cách.)

Giá trị kỳ vọng của D_N² với N > 1 có thể thu được từ D_N−1. Nếu, sau (N − 1) bước, chúng ta có D_N−1, thì sau N bước chúng ta có D_N = D_N−1 + 1 hoặc D_N = D_N−1 − 1. Đối với các bình phương,

D_N² = D_N−1² + 2D_N−1 + 1, hoặc D_N² = D_N−1² − 2D_N−1 + 1. (6.7)

Trong một số các dãy độc lập, chúng ta kỳ vọng thu được mỗi giá trị một nửa số lần, vậy kỳ vọng trung bình của chúng ta đúng là trung bình của hai giá trị có thể có. Khi đó giá trị kỳ vọng của D_N² là D_N−1² + 1. Nói chung, chúng ta nên kỳ vọng đối với D_N−1² là “giá trị kỳ vọng” của nó ⟨D_N−1²⟩ (theo định nghĩa!). Vậy

⟨D_N²⟩ = ⟨D_N−1²⟩ + 1. (6.8)

Chúng ta đã chứng tỏ rằng ⟨D₁²⟩ = 1; suy ra khi đó

⟨D_N²⟩ = N, (6.9)

một kết quả đặc biệt đơn giản!

Nếu chúng ta muốn một con số giống một khoảng cách, chứ không phải một khoảng cách bình phương, để đại diện cho “sự tiến triển đã đi xa khỏi gốc” trong một bước đi ngẫu nhiên, chúng ta có thể dùng “khoảng cách căn trung bình bình phương” D_rms:

D_rms = √⟨D²⟩ = √N. (6.10)

Chúng ta đã chỉ ra rằng bước đi ngẫu nhiên rất giống, về mặt toán học, với trò chơi tung đồng xu mà chúng ta đã xét ở đầu chương. Nếu chúng ta tưởng tượng hướng của mỗi bước tương ứng với sự xuất hiện của mặt ngửa hay mặt sấp trong một lần tung đồng xu, thì D đúng là N_H − N_T, hiệu số giữa số mặt ngửa và số mặt sấp. Vì N_H + N_T = N, tổng số bước (và số lần tung), chúng ta có D = 2N_H − N. Trước đây chúng ta đã suy ra một biểu thức cho phân bố kỳ vọng của N_H (cũng gọi là k) và thu được kết quả của Phương trình (6.5). Vì N đúng là một hằng số, chúng ta có phân bố tương ứng cho D. (Vì đối với mỗi mặt ngửa vượt quá N/2 thì có một mặt sấp “bị thiếu”, chúng ta có hệ số 2 giữa N_H và D.) Đồ thị của Hình 6–2 đại diện cho phân bố các khoảng cách chúng ta có thể nhận được trong 30 bước ngẫu nhiên (trong đó k = 15 được đọc là D = 0; k = 16, D = 2; v.v.).

Sự biến thiên của N_H khỏi giá trị kỳ vọng của nó N/2 là

N_H − N/2 = D/2. (6.11)

Độ lệch rms là

(N_H − N/2)_rms = (1/2)√N. (6.12)

Theo kết quả của chúng ta đối với D_rms, chúng ta kỳ vọng rằng khoảng cách “điển hình” trong 30 bước phải là √30 ≈ 5,5, hay một k điển hình phải cách 15 khoảng 5,5/2 = 2,75 đơn vị. Chúng ta thấy rằng “độ rộng” của đường cong trong Hình 6–2, đo từ tâm, đúng vào khoảng 3 đơn vị, phù hợp với kết quả này.

Bây giờ chúng ta đã ở vị thế có thể xét một câu hỏi mà chúng ta đã tránh cho đến nay. Làm thế nào chúng ta biết được một đồng xu là “trung thực” hay “bị gian lận” (loaded)? Bây giờ chúng ta ít nhất có thể đưa ra một câu trả lời một phần. Đối với một đồng xu trung thực, chúng ta kỳ vọng tỉ lệ phân số số lần mặt ngửa xuất hiện là 0,5, tức là

⟨N_H⟩/N = 0,5. (6.13)

Chúng ta cũng kỳ vọng một N_H thực tế sẽ lệch khỏi N/2 khoảng √N/2, hay tỉ lệ phân số sẽ lệch khoảng

(1/N)·(√N/2) = 1/(2√N).

N càng lớn, chúng ta càng kỳ vọng tỉ lệ phân số N_H/N càng gần một nửa.

Trong Hình 6–6, chúng ta đã vẽ tỉ lệ phân số N_H/N cho các lần tung đồng xu đã báo cáo trước đó trong chương này. Chúng ta thấy xu hướng tỉ lệ phân số mặt ngửa tiến về 0,5 khi N lớn. Đáng tiếc là, đối với bất kỳ lượt chạy cho trước nào hay tổ hợp các lượt chạy nào, cũng không có bảo đảm nào rằng độ lệch quan sát được sẽ dù chỉ gần độ lệch kỳ vọng. Luôn luôn có một cơ may hữu hạn rằng một thăng giáng lớn — một dãy dài các mặt ngửa hay mặt sấp — sẽ cho một độ lệch lớn tùy ý. Tất cả những gì chúng ta có thể nói là nếu độ lệch gần giá trị kỳ vọng 1/(2√N) (chẳng hạn trong khoảng một hệ số 2 hay 3), chúng ta không có lý do gì để nghi ngờ sự trung thực của đồng xu. Nếu nó lớn hơn nhiều, chúng ta có thể nghi ngờ, nhưng không thể chứng minh, rằng đồng xu bị gian lận (hay người tung rất khéo!).

Chúng ta cũng chưa xét việc chúng ta nên xử lý như thế nào trường hợp một “đồng xu” hay một vật “mang tính cơ may” tương tự nào đó (chẳng hạn một hòn đá luôn luôn rơi xuống ở một trong hai vị trí) mà chúng ta có lý do tốt để tin rằng phải có một xác suất khác nhau cho mặt ngửa và mặt sấp. Chúng ta đã định nghĩa P(H) = ⟨N_H⟩/N. Làm thế nào chúng ta biết được nên kỳ vọng điều gì đối với N_H? Trong một số trường hợp, điều tốt nhất chúng ta có thể làm là quan sát số mặt ngửa thu được trong một số lượng lớn các lần tung. Vì không có gì tốt hơn, chúng ta phải đặt ⟨N_H⟩ = N_H(quan sát được). (Chúng ta còn có thể kỳ vọng điều gì khác?) Tuy nhiên, chúng ta phải hiểu rằng trong một trường hợp như vậy, một thí nghiệm khác, hay một người quan sát khác, có thể kết luận rằng P(H) là khác đi. Tuy vậy, chúng ta kỳ vọng rằng các đáp án khác nhau phải thống nhất với nhau trong phạm vi độ lệch 1/(2√N) [nếu P(H) gần một nửa]. Một nhà vật lý thực nghiệm thường nói rằng một xác suất “được xác định bằng thực nghiệm” có một “sai số”, và viết

P(H) = N_H/N ± 1/(2√N). (6.14)

Trong một biểu thức như vậy có một hàm ý rằng có một xác suất “đúng” hay “chính xác” nào đó có thể được tính ra nếu chúng ta biết đủ, và rằng quan sát có thể bị “sai số” do một thăng giáng. Tuy nhiên, không có cách nào làm cho cách suy nghĩ như vậy nhất quán về mặt logic. Có lẽ tốt hơn là nhận ra rằng khái niệm xác suất theo một nghĩa nào đó là chủ quan, rằng nó luôn dựa trên kiến thức không chắc chắn, và rằng việc đánh giá định lượng nó có thể thay đổi khi chúng ta thu được thêm thông tin.

6–4  Một phân bố xác suất

Chúng ta hãy quay lại bước đi ngẫu nhiên và xét một sự sửa đổi của nó. Giả sử rằng ngoài việc lựa chọn ngẫu nhiên hướng (+ hay −) của mỗi bước, độ dài của mỗi bước cũng biến thiên theo một cách không dự đoán được nào đó, điều kiện duy nhất là trung bình độ dài bước là một đơn vị. Trường hợp này tiêu biểu hơn cho một cái gì đó như chuyển động nhiệt của một phân tử trong một chất khí. Nếu chúng ta gọi độ dài của một bước là S, thì S có thể có bất kỳ giá trị nào, nhưng thường nhất sẽ “gần” 1. Để cho cụ thể, chúng ta sẽ đặt ⟨S²⟩ = 1 hay, tương đương, S_rms = 1. Phép suy luận của chúng ta đối với ⟨D²⟩ sẽ tiến hành như trước, ngoại trừ việc Phương trình (6.8) bây giờ sẽ thay đổi thành

⟨D_N²⟩ = ⟨D_N−1²⟩ + ⟨S²⟩ = ⟨D_N−1²⟩ + 1. (6.15)

Chúng ta có, như trước,

⟨D_N²⟩ = N. (6.16)

Chúng ta sẽ kỳ vọng điều gì bây giờ đối với phân bố các khoảng cách D? Chẳng hạn, xác suất để D = 0 sau 30 bước là bao nhiêu? Đáp án là không! Xác suất để D là bất kỳ giá trị cụ thể nào cũng bằng không, vì hoàn toàn không có cơ may nào để tổng các bước đi lùi (có độ dài biến thiên) đúng bằng tổng các bước đi tiến. Chúng ta không thể vẽ một đồ thị như đồ thị của Hình 6–2.

Tuy nhiên, chúng ta có thể thu được một biểu diễn tương tự như biểu diễn của Hình 6–2, nếu chúng ta hỏi, không phải xác suất thu được D đúng bằng 0, 1, hay 2 là bao nhiêu, mà thay vào đó là xác suất thu được D gần 0, 1, hay 2 là bao nhiêu. Chúng ta hãy định nghĩa P(x, Δx) là xác suất để D sẽ nằm trong khoảng Δx đặt tại x (chẳng hạn từ x đến x + Δx). Chúng ta kỳ vọng rằng đối với Δx nhỏ, cơ may để D rơi vào khoảng đó tỉ lệ với Δx, độ rộng của khoảng. Vậy chúng ta có thể viết

P(x, Δx) = p(x) Δx. (6.17)

Hàm p(x) được gọi là mật độ xác suất.

Dạng của p(x) sẽ phụ thuộc vào N, số bước đã thực hiện, và cũng phụ thuộc vào phân bố các độ dài bước riêng lẻ. Chúng ta không thể trình bày các chứng minh ở đây, nhưng đối với N lớn, p(x) là như nhau đối với mọi phân bố hợp lý của các độ dài bước riêng lẻ, và chỉ phụ thuộc vào N. Chúng ta vẽ p(x) cho ba giá trị của N trong Hình 6–7. Bạn sẽ chú ý rằng “nửa độ rộng” (độ trải điển hình khỏi x = 0) của các đường cong này là √N, như chúng ta đã chứng tỏ là phải như vậy.

Bạn cũng có thể chú ý rằng giá trị của p(x) gần không tỉ lệ nghịch với √N. Điều này xảy ra vì các đường cong đều có hình dạng tương tự nhau và diện tích dưới các đường cong của chúng đều phải bằng nhau. Vì p(x) Δx là xác suất tìm thấy D trong Δx khi Δx nhỏ, chúng ta có thể xác định cơ may tìm thấy D ở đâu đó bên trong một khoảng tùy ý từ x₁ đến x₂, bằng cách cắt khoảng thành một số gia số nhỏ Δx và tính tổng các số hạng p(x) Δx cho mỗi gia số. Xác suất để D rơi vào đâu đó giữa x₁ và x₂, mà chúng ta có thể viết là P(x₁ < D < x₂), bằng diện tích được tô bóng trong Hình 6–8. Chúng ta lấy các gia số Δx càng nhỏ, kết quả của chúng ta càng đúng. Do đó chúng ta có thể viết

P(x₁ < D < x₂) = Σ p(x) Δx = ∫_x1^x₂ p(x) dx. (6.18)

Diện tích dưới toàn bộ đường cong là xác suất để D rơi vào đâu đó (tức là có một giá trị nào đó giữa x = −∞ và x = +∞). Xác suất đó chắc chắn là 1. Chúng ta phải có

∫_−∞^+∞ p(x) dx = 1. (6.19)

Vì các đường cong trong Hình 6–7 rộng ra theo tỉ lệ với √N, chiều cao của chúng phải tỉ lệ với 1/√N để duy trì tổng diện tích bằng 1.

Hàm mật độ xác suất chúng ta vừa mô tả là hàm được gặp phổ biến nhất. Nó được gọi là mật độ xác suất chuẩn (normal) hay mật độ xác suất Gauss. Nó có dạng toán học

p(x) = [1/(σ√(2π))] e^−x2/2σ2, (6.20)

trong đó σ được gọi là độ lệch chuẩn và được cho, trong trường hợp của chúng ta, bởi σ = √N hay, nếu kích thước bước rms khác 1, bởi σ = √N S_rms.

Chúng ta đã nhận xét trước đây rằng chuyển động của một phân tử, hay của bất kỳ hạt nào, trong một chất khí giống như một bước đi ngẫu nhiên. Giả sử chúng ta mở một chai một hợp chất hữu cơ và để một ít hơi của nó thoát ra không khí. Nếu có các dòng không khí, khiến không khí lưu thông, các dòng đó cũng sẽ mang hơi đi theo chúng. Nhưng ngay cả trong không khí hoàn toàn tĩnh lặng, hơi vẫn sẽ dần dần lan ra — sẽ khuếch tán — cho đến khi nó đã thấm khắp phòng. Chúng ta có thể phát hiện nó bằng màu sắc hay mùi của nó. Các phân tử riêng lẻ của hơi hữu cơ lan ra trong không khí tĩnh lặng vì các chuyển động phân tử gây ra bởi các va chạm với các phân tử khác. Nếu chúng ta biết kích thước “bước” trung bình, và số bước thực hiện trong mỗi giây, chúng ta có thể tìm xác suất để một phân tử, hay vài phân tử, sẽ được tìm thấy ở một khoảng cách nào đó khỏi điểm bắt đầu của chúng sau bất kỳ khoảng thời gian cụ thể nào trôi qua. Khi thời gian trôi qua, nhiều bước hơn được thực hiện và chất khí lan ra như trong các đường cong liên tiếp của Hình 6–7. Trong một chương sau, chúng ta sẽ tìm ra các kích thước bước và tần suất bước liên quan như thế nào đến nhiệt độ và áp suất của một chất khí.

Trước đây, chúng ta đã nói rằng áp suất của một chất khí là do các phân tử đập vào các thành của bình chứa. Khi sau này chúng ta đi đến một mô tả định lượng hơn, chúng ta sẽ muốn biết các phân tử đang đi nhanh đến mức nào khi chúng đập, vì lực va chạm chúng tạo ra sẽ phụ thuộc vào tốc độ đó. Tuy nhiên, chúng ta không thể nói về tốc độ của các phân tử. Cần phải dùng một mô tả xác suất. Một phân tử có thể có bất kỳ tốc độ nào, nhưng một số tốc độ có khả năng xảy ra hơn các tốc độ khác. Chúng ta mô tả điều đang xảy ra bằng cách nói rằng xác suất để bất kỳ phân tử cụ thể nào cũng sẽ có một tốc độ giữa v và v + Δv là p(v) Δv, trong đó p(v), một mật độ xác suất, là một hàm cho trước của tốc độ v. Sau này chúng ta sẽ thấy Maxwell, dùng lương tri và các ý tưởng về xác suất, đã có thể tìm ra một biểu thức toán học cho p(v) như thế nào. Dạng² của hàm p(v) được cho thấy trong Hình 6–9. Vận tốc có thể có bất kỳ giá trị nào, nhưng có khả năng nhất là ở gần giá trị có khả năng nhất v_p.

Chúng ta thường nghĩ về đường cong của Hình 6–9 theo một cách hơi khác. Nếu chúng ta xét các phân tử trong một bình chứa điển hình (với thể tích, chẳng hạn, một lít), thì có một số lượng rất lớn N phân tử hiện diện (N ≈ 10²²). Vì p(v) Δv là xác suất một phân tử sẽ có vận tốc của nó trong Δv, theo định nghĩa xác suất của chúng ta, chúng ta có ý nói rằng số lượng kỳ vọng ⟨ΔN⟩ được tìm thấy với một vận tốc trong khoảng Δv được cho bởi

⟨ΔN⟩ = N p(v) Δv. (6.21)

Chúng ta gọi N p(v) là “phân bố theo vận tốc”. Diện tích dưới đường cong giữa hai vận tốc v₁ và v₂, chẳng hạn diện tích được tô bóng trong Hình 6–9, đại diện [đối với đường cong N p(v)] cho số phân tử kỳ vọng với các vận tốc giữa v₁ và v₂. Vì với một chất khí chúng ta thường xử lý các số lượng lớn phân tử, chúng ta kỳ vọng các độ lệch khỏi các số lượng kỳ vọng là nhỏ (như 1/√N), vậy chúng ta thường bỏ qua việc nói số lượng “kỳ vọng”, và thay vào đó nói: “Số phân tử với các vận tốc giữa v₁ và v₂ là diện tích dưới đường cong.” Tuy nhiên, chúng ta nên nhớ rằng những phát biểu như vậy luôn nói về các con số có khả năng xảy ra.

6–5  Nguyên lý bất định

Các ý tưởng về xác suất chắc chắn hữu ích trong việc mô tả hành vi của khoảng 10²² phân tử trong một mẫu chất khí, vì rõ ràng ngay cả việc cố gắng viết ra vị trí hay vận tốc của mỗi phân tử cũng là không thực tế. Khi xác suất lần đầu tiên được áp dụng cho các bài toán như vậy, nó được coi là một sự tiện lợi — một cách xử lý các tình huống rất phức tạp. Bây giờ chúng ta tin rằng các ý tưởng về xác suất là thiết yếu cho một mô tả về các sự việc nguyên tử. Theo cơ học lượng tử, lý thuyết toán học của các hạt, luôn luôn có một sự bất định nào đó trong việc xác định các vị trí và vận tốc. Tốt nhất, chúng ta có thể nói rằng có một xác suất nhất định để bất kỳ hạt nào cũng sẽ có một vị trí gần một tọa độ x nào đó.

Chúng ta có thể cho một mật độ xác suất p₁(x), sao cho p₁(x) Δx là xác suất hạt sẽ được tìm thấy giữa x và x + Δx. Nếu hạt được định vị khá tốt, chẳng hạn gần x₀, hàm p₁(x) có thể được cho bởi đồ thị của Hình 6–10(a). Tương tự, chúng ta phải xác định vận tốc của hạt bằng một mật độ xác suất p₂(v), với p₂(v) Δv là xác suất vận tốc sẽ được tìm thấy giữa v và v + Δv.

Một trong những kết quả cơ bản của cơ học lượng tử là hai hàm p₁(x) và p₂(v) không thể được chọn một cách độc lập và, đặc biệt, không thể cả hai đều được làm hẹp tùy ý. Nếu chúng ta gọi “độ rộng” điển hình của đường cong p₁(x) là [Δx], và của đường cong p₂(v) là [Δv] (như cho thấy trong hình), tự nhiên đòi hỏi tích của hai độ rộng ít nhất phải lớn bằng con số ħ/2m, trong đó m là khối lượng của hạt. Chúng ta có thể viết mối quan hệ cơ bản này là

[Δx]·[Δv] ≥ ħ/2m. (6.22)

Phương trình này là một phát biểu của nguyên lý bất định Heisenberg mà chúng ta đã nhắc đến trước đây.

Vì vế phải của Phương trình (6.22) là một hằng số, phương trình này nói rằng nếu chúng ta cố “ghim chặt” một hạt bằng cách buộc nó phải ở một nơi cụ thể, nó cuối cùng sẽ có một tốc độ cao. Hay nếu chúng ta cố buộc nó đi rất chậm, hay với một vận tốc chính xác, nó “lan rộng ra” khiến chúng ta không biết rõ lắm nó ở đâu. Các hạt hành xử theo một cách kỳ lạ!

Nguyên lý bất định mô tả một sự mờ nhòe cố hữu phải tồn tại trong bất kỳ cố gắng nào mô tả tự nhiên. Mô tả chính xác nhất của chúng ta về tự nhiên phải được diễn đạt theo xác suất. Có một số người không thích cách mô tả tự nhiên này. Họ cảm thấy bằng cách nào đó rằng nếu họ có thể nói được điều gì thật sự đang xảy ra với một hạt, họ có thể biết đồng thời tốc độ và vị trí của nó. Trong những ngày đầu của sự phát triển cơ học lượng tử, Einstein đã khá lo lắng về vấn đề này. Ông thường lắc đầu và nói: “Nhưng chắc chắn Chúa không gieo xúc xắc trong việc quyết định các electron nên đi như thế nào!” Ông đã lo lắng về vấn đề đó trong một thời gian dài và có lẽ ông không bao giờ thật sự chấp nhận được sự kiện rằng đây là mô tả tốt nhất về tự nhiên mà người ta có thể đưa ra. Vẫn còn một hay hai nhà vật lý đang làm việc về vấn đề này, những người có một niềm tin trực giác rằng bằng cách nào đó có thể mô tả thế giới theo một cách khác và rằng mọi sự bất định này về cách sự vật diễn ra có thể được loại bỏ. Chưa ai thành công cả.

Sự bất định cần thiết trong việc xác định vị trí của một hạt trở nên quan trọng nhất khi chúng ta muốn mô tả cấu trúc của các nguyên tử. Trong nguyên tử hiđrô, vốn có một hạt nhân gồm một proton với một electron ở bên ngoài hạt nhân, sự bất định trong vị trí của electron lớn bằng chính nguyên tử đó! Do đó chúng ta không thể nói một cách đúng đắn về việc electron chuyển động trong một “quỹ đạo” nào đó quanh proton. Điều nhiều nhất chúng ta có thể nói là có một cơ may nhất định p(r) ΔV, để quan sát electron trong một yếu tố thể tích ΔV ở khoảng cách r khỏi proton. Mật độ xác suất p(r) được cho bởi cơ học lượng tử. Đối với một nguyên tử hiđrô không bị nhiễu loạn, p(r) = Ae^−2r/a. Con số a là bán kính “điển hình”, nơi hàm giảm nhanh. Vì có một xác suất nhỏ tìm thấy electron ở các khoảng cách khỏi hạt nhân lớn hơn a nhiều, chúng ta có thể nghĩ a như “bán kính của nguyên tử”, khoảng 10⁻¹⁰ mét.

Chúng ta có thể tạo thành một hình ảnh của nguyên tử hiđrô bằng cách tưởng tượng một “đám mây” mà mật độ của nó tỉ lệ với mật độ xác suất để quan sát electron. Một mẫu của một đám mây như vậy được cho thấy trong Hình 6–11. Như vậy “bức tranh” tốt nhất của chúng ta về một nguyên tử hiđrô là một hạt nhân được bao quanh bởi một “đám mây electron” (mặc dù chúng ta thật sự có ý nói một “đám mây xác suất”). Electron ở đâu đó trong đó, nhưng tự nhiên chỉ cho phép chúng ta biết cơ may tìm thấy nó ở bất kỳ nơi cụ thể nào.

Trong các cố gắng của mình để học càng nhiều càng tốt về tự nhiên, vật lý hiện đại đã tìm thấy rằng một số điều không bao giờ có thể được “biết” một cách chắc chắn. Phần lớn kiến thức của chúng ta luôn luôn phải còn bất định. Điều nhiều nhất chúng ta có thể biết được diễn đạt theo xác suất.