Chương 8: Chuyển động

8–1  Mô tả chuyển động

Để tìm ra các định luật chi phối những thay đổi khác nhau diễn ra trong các vật khi thời gian trôi qua, chúng ta phải có khả năng mô tả những thay đổi đó và có một cách nào đó để ghi lại chúng. Thay đổi đơn giản nhất có thể quan sát ở một vật là sự thay đổi biểu kiến của vị trí của nó theo thời gian, cái mà chúng ta gọi là chuyển động. Chúng ta hãy xét một vật rắn nào đó có một dấu vĩnh viễn, mà chúng ta sẽ gọi là một điểm, mà chúng ta có thể quan sát. Chúng ta sẽ thảo luận chuyển động của cái dấu nhỏ đó, nó có thể là nắp két nước của một chiếc ô tô hoặc tâm của một quả bóng đang rơi, và sẽ cố mô tả sự kiện rằng nó chuyển động và nó chuyển động như thế nào.

Những ví dụ này nghe có vẻ tầm thường, nhưng có nhiều điều tinh tế tham gia vào việc mô tả sự thay đổi. Một số thay đổi khó mô tả hơn chuyển động của một điểm trên một vật rắn, chẳng hạn tốc độ trôi của một đám mây đang trôi rất chậm, nhưng lại nhanh chóng hình thành hoặc tan đi, hay sự thay đổi trong ý nghĩ của một người phụ nữ. Chúng ta không biết một cách đơn giản nào để phân tích một sự thay đổi của ý nghĩ, nhưng vì đám mây có thể được biểu diễn hoặc mô tả bằng nhiều phân tử, có lẽ chúng ta có thể mô tả chuyển động của đám mây về nguyên tắc bằng cách mô tả chuyển động của mọi phân tử riêng lẻ của nó. Tương tự, có lẽ ngay cả những thay đổi trong tâm trí cũng có thể có một bản sao song song trong những thay đổi của các nguyên tử bên trong bộ não, nhưng chúng ta chưa có tri thức như vậy.

Dù sao đi nữa, đó là lý do chúng ta bắt đầu với chuyển động của các điểm; có lẽ chúng ta nên nghĩ về chúng như các nguyên tử, nhưng có lẽ tốt hơn là nên thô sơ hơn lúc đầu và đơn giản nghĩ về một loại vật nhỏ nào đó — nhỏ, tức là, so với khoảng cách đã di chuyển. Ví dụ, khi mô tả chuyển động của một chiếc xe đi một trăm dặm, chúng ta không phải phân biệt giữa phần đầu và phần đuôi của chiếc xe. Chắc chắn là có những khác biệt nhỏ, nhưng cho các mục đích thô sơ chúng ta nói “chiếc xe”, và tương tự không quan trọng rằng các điểm của chúng ta không phải là các điểm tuyệt đối; cho các mục đích hiện tại của chúng ta, không cần phải cực kỳ chính xác. Ngoài ra, trong khi chúng ta nhìn lần đầu vào chủ đề này, chúng ta sẽ quên đi ba chiều của thế giới. Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào việc di chuyển theo một hướng, như một chiếc xe trên một con đường. Chúng ta sẽ quay lại ba chiều sau khi chúng ta thấy cách mô tả chuyển động trong một chiều. Bây giờ, bạn có thể nói, “Tất cả chuyện này là một thứ tầm thường nào đó”, và quả thật là vậy. Làm thế nào chúng ta có thể mô tả một chuyển động một chiều như vậy — chẳng hạn, của một chiếc xe? Không gì có thể đơn giản hơn. Trong số nhiều cách có thể, một cách sẽ là như sau. Để xác định vị trí của chiếc xe ở các thời điểm khác nhau, chúng ta đo khoảng cách của nó từ điểm bắt đầu và ghi lại mọi quan sát. Trong Bảng 8–1, s biểu diễn khoảng cách của chiếc xe, tính bằng feet, từ điểm bắt đầu, và t biểu diễn thời gian tính bằng phút. Dòng đầu tiên trong bảng biểu diễn khoảng cách không và thời gian không — chiếc xe chưa khởi hành. Sau một phút nó đã khởi hành và đã đi được 1200 feet. Sau đó, trong hai phút, nó đi xa hơn — hãy chú ý rằng nó nhận thêm nhiều khoảng cách hơn trong phút thứ hai — nó đã tăng tốc; nhưng có điều gì đó đã xảy ra giữa phút 3 và 4 và thậm chí còn hơn thế ở phút 5 — có lẽ nó đã dừng lại ở một đèn tín hiệu? Sau đó nó lại tăng tốc và đi được 13.000 feet vào cuối phút 6, 18.000 feet vào cuối phút 7, và 23.500 feet trong 8 phút; ở phút 9 nó chỉ tiến được đến 24.000 feet, bởi vì trong phút cuối cùng nó đã bị một cảnh sát chặn lại.

Đó là một cách để mô tả chuyển động. Một cách khác là bằng một đồ thị. Nếu chúng ta vẽ thời gian theo chiều ngang và khoảng cách theo chiều dọc, chúng ta thu được một đường cong giống như đường cong cho thấy trong Hình 8–1. Khi thời gian tăng, khoảng cách tăng, lúc đầu rất chậm rồi nhanh hơn, và lại rất chậm trong một lúc ở phút 4; sau đó nó lại tăng trong vài phút và cuối cùng, ở phút 9, dường như đã ngừng tăng. Những quan sát này có thể được thực hiện từ đồ thị, không cần bảng. Dĩ nhiên, để có một mô tả đầy đủ, người ta cũng sẽ phải biết chiếc xe ở đâu tại các dấu mốc nửa phút, nhưng chúng ta giả thiết rằng đồ thị có một ý nghĩa nào đó, rằng chiếc xe có một vị trí nào đó ở mọi thời điểm trung gian.

Chuyển động của một chiếc xe thì phức tạp. Để có một ví dụ khác, chúng ta lấy một thứ chuyển động theo một cách đơn giản hơn, tuân theo những định luật đơn giản hơn: một quả bóng đang rơi. Bảng 8–2 cho thời gian tính bằng giây và khoảng cách tính bằng feet đối với một vật đang rơi. Ở giây không, quả bóng bắt đầu ở không feet, và vào cuối giây 1 nó đã rơi 16 feet. Vào cuối giây 2, nó đã rơi 64 feet, vào cuối giây 3, 144 feet, và cứ như vậy; nếu các số trong bảng được vẽ lên, chúng ta thu được đường cong parabol đẹp cho thấy trong Hình 8–2. Công thức cho đường cong này có thể được viết là

s = 16t².  (8.1)

Công thức này cho phép chúng ta tính các khoảng cách ở bất kỳ thời điểm nào. Bạn có thể nói cũng nên có một công thức cho đồ thị thứ nhất. Thật ra, người ta có thể viết một công thức như vậy một cách trừu tượng, dưới dạng

s = f(t),  (8.2)

với nghĩa s là một đại lượng nào đó phụ thuộc vào t hay, theo cách nói của toán học, s là một hàm của t. Vì chúng ta không biết hàm đó là gì, không có cách nào chúng ta có thể viết nó dưới dạng đại số xác định.

Như vậy chúng ta đã thấy hai ví dụ về chuyển động, được mô tả thỏa đáng bằng những ý tưởng rất đơn giản, không có điều tinh tế nào. Tuy nhiên, vẫn có những điều tinh tế — vài điều trong số đó. Trước hết, chúng ta có ý gì khi nói thời gian và không gian? Hóa ra những câu hỏi triết học sâu sắc này phải được phân tích rất cẩn thận trong vật lý, và việc này không dễ làm. Thuyết tương đối cho thấy các ý tưởng của chúng ta về không gian và thời gian không đơn giản như người ta có thể nghĩ lúc mới nhìn. Tuy nhiên, cho các mục đích hiện tại của chúng ta, với độ chính xác mà chúng ta cần lúc đầu, chúng ta không cần phải quá cẩn thận về việc định nghĩa mọi thứ một cách chính xác. Có lẽ bạn nói, “Thật là một điều khủng khiếp — tôi đã học được rằng trong khoa học chúng ta phải định nghĩa mọi thứ một cách chính xác.” Chúng ta không thể định nghĩa bất cứ thứ gì một cách chính xác! Nếu chúng ta cố làm vậy, chúng ta sẽ rơi vào sự tê liệt của tư duy vẫn đến với các triết gia, những người ngồi đối diện nhau, một người nói với người kia, “Bạn không biết mình đang nói về cái gì!” Người thứ hai nói, “Bạn có ý gì khi nói biết? Bạn có ý gì khi nói nói? Bạn có ý gì khi nói bạn?”, và cứ như vậy. Để có thể nói chuyện một cách xây dựng, chúng ta chỉ cần đồng ý rằng chúng ta đang nói về gần như cùng một thứ. Bạn biết về thời gian nhiều như chúng ta cần cho hiện tại, nhưng hãy nhớ rằng có một số điều tinh tế phải được thảo luận; chúng ta sẽ thảo luận chúng sau này.

Một điều tinh tế khác có liên quan, và đã được nhắc đến, là người ta nên có thể tưởng tượng rằng điểm đang chuyển động mà chúng ta đang quan sát luôn nằm ở một nơi nào đó. (Dĩ nhiên khi chúng ta đang nhìn nó, nó ở đó, nhưng có thể khi chúng ta nhìn đi chỗ khác thì nó không ở đó.) Hóa ra trong chuyển động của các nguyên tử, ý tưởng đó cũng sai — chúng ta không thể tìm một dấu trên một nguyên tử và nhìn nó chuyển động. Điều tinh tế đó chúng ta sẽ phải vượt qua trong cơ học lượng tử. Nhưng trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu các vấn đề là gì trước khi đưa vào các phức tạp, và sau đó chúng ta sẽ ở một vị trí tốt hơn để thực hiện các hiệu chỉnh, dưới ánh sáng của tri thức gần đây hơn về chủ đề này. Do đó, chúng ta sẽ lấy một quan điểm đơn giản về thời gian và không gian. Chúng ta biết những khái niệm này là gì theo một cách thô sơ, và những người đã lái xe thì biết tốc độ nghĩa là gì.

8–2  Tốc độ

Mặc dù chúng ta biết một cách thô sơ “tốc độ” nghĩa là gì, vẫn còn một số điều tinh tế khá sâu sắc; hãy xét rằng những người Hy Lạp uyên bác không bao giờ có thể mô tả một cách thỏa đáng các bài toán liên quan đến vận tốc. Điều tinh tế xuất hiện khi chúng ta cố nắm bắt chính xác điều được hiểu bởi “tốc độ”. Người Hy Lạp đã rất bối rối về điều này, và một nhánh toán học mới đã phải được khám phá, vượt ra ngoài hình học và đại số của người Hy Lạp, người Ả Rập, và người Babylon. Để minh họa khó khăn đó, hãy cố giải bài toán này bằng đại số thuần túy: Một quả bóng bay đang được thổi phồng sao cho thể tích của quả bóng bay đang tăng với tốc độ 100 cm³ mỗi giây; bán kính đang tăng với tốc độ bao nhiêu khi thể tích là 1000 cm³? Người Hy Lạp đã phần nào bối rối trước những bài toán như vậy, dĩ nhiên được một số người Hy Lạp rất gây bối rối trợ giúp. Để cho thấy rằng đã có những khó khăn trong việc lập luận về tốc độ vào thời đó, Zeno đã đưa ra một số lượng lớn các nghịch lý, trong đó chúng ta sẽ nhắc đến một nghịch lý để minh họa điểm của ông rằng có những khó khăn rõ ràng trong việc suy nghĩ về chuyển động. “Hãy nghe,” ông nói, “lập luận sau đây: Achilles chạy nhanh gấp 10 lần một con rùa, tuy vậy anh ta không bao giờ có thể bắt kịp con rùa. Bởi vì, giả sử rằng họ bắt đầu trong một cuộc đua trong đó con rùa ở trước Achilles 100 mét; khi đó khi Achilles đã chạy 100 mét đến nơi con rùa đã ở, con rùa đã tiến được 10 mét, vì đã chạy chậm bằng một phần mười. Bây giờ, Achilles phải chạy thêm 10 mét nữa để bắt kịp con rùa, nhưng khi đến cuối chặng chạy đó, anh ta thấy con rùa vẫn còn ở trước anh ta 1 mét; chạy thêm một mét nữa, anh ta thấy con rùa ở trước 10 centimét, và cứ như vậy, đến vô hạn. Do đó, ở bất kỳ thời điểm nào con rùa cũng luôn ở trước Achilles và Achilles không bao giờ có thể bắt kịp con rùa.” Điều gì sai trong lập luận đó? Đó là một khoảng thời gian hữu hạn có thể được chia thành một số vô hạn các mảnh, đúng như một độ dài của đường thẳng có thể được chia thành một số vô hạn các mảnh bằng cách liên tục chia đôi. Và như vậy, mặc dù có một số vô hạn các bước (trong lập luận) đến điểm mà Achilles đuổi kịp con rùa, điều đó không có nghĩa là có một lượng thời gian vô hạn. Chúng ta có thể thấy từ ví dụ này rằng quả thật có một số điều tinh tế trong việc lập luận về tốc độ.

Để đi đến những điều tinh tế theo một cách rõ ràng hơn, chúng ta nhắc bạn về một câu chuyện cười mà chắc chắn bạn đã nghe. Ở điểm mà người phụ nữ trong chiếc xe bị cảnh sát bắt gặp, viên cảnh sát bước đến chỗ cô và nói, “Thưa bà, bà đã đi 60 dặm một giờ!” Cô nói, “Điều đó là không thể, thưa ông, tôi chỉ đã đi được bảy phút. Thật nực cười — làm sao tôi có thể đi 60 dặm một giờ khi tôi chưa đi được một giờ?” Bạn sẽ trả lời cô ấy như thế nào nếu bạn là viên cảnh sát? Dĩ nhiên, nếu bạn thật sự là viên cảnh sát, thì không có điều tinh tế nào liên quan; rất đơn giản: bạn nói, “Hãy nói điều đó với thẩm phán!” Nhưng chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta không có lối thoát đó và chúng ta thực hiện một cuộc tấn công trí tuệ, trung thực hơn vào bài toán, và cố giải thích cho người phụ nữ này điều chúng ta hiểu bởi ý tưởng rằng cô ấy đã đi 60 dặm một giờ. Chính xác chúng ta có ý gì? Chúng ta nói, “Điều chúng tôi muốn nói, thưa bà, là thế này: nếu bà cứ tiếp tục đi theo cách bà đang đi bây giờ, trong giờ tiếp theo bà sẽ đi 60 dặm.” Cô ấy có thể nói, “Chà, chân tôi đã rời khỏi bàn đạp ga và chiếc xe đang chậm lại, vậy nếu tôi cứ tiếp tục đi theo cách đó nó sẽ không đi được 60 dặm.” Hay hãy xét quả bóng đang rơi và giả sử chúng ta muốn biết tốc độ của nó ở thời điểm ba giây nếu quả bóng cứ tiếp tục đi theo cách nó đang đi. Điều đó có nghĩa gì — cứ tiếp tục tăng tốc, đi nhanh hơn? Không — cứ tiếp tục đi với cùng vận tốc. Nhưng đó là điều chúng ta đang cố định nghĩa! Bởi vì nếu quả bóng cứ tiếp tục đi theo cách nó đang đi, nó sẽ chỉ cứ tiếp tục đi theo cách nó đang đi. Như vậy chúng ta cần định nghĩa vận tốc tốt hơn. Cái gì phải được giữ nguyên như cũ? Người phụ nữ cũng có thể lập luận theo cách này: “Nếu tôi cứ tiếp tục đi theo cách tôi đang đi thêm một giờ nữa, tôi sẽ đâm vào bức tường ở cuối phố đó!” Không dễ để nói chúng ta có ý gì.

Nhiều nhà vật lý nghĩ rằng phép đo là định nghĩa duy nhất của bất cứ thứ gì. Rõ ràng, vậy thì chúng ta nên dùng dụng cụ đo tốc độ — đồng hồ tốc độ — và nói, “Hãy nhìn, thưa bà, đồng hồ tốc độ của bà chỉ 60.” Vậy là cô ấy nói, “Đồng hồ tốc độ của tôi bị hỏng và không chỉ gì cả.” Điều đó có nghĩa chiếc xe đang đứng yên chăng? Chúng ta tin rằng có một thứ gì đó để đo trước khi chúng ta chế tạo đồng hồ tốc độ. Chỉ khi đó chúng ta mới có thể nói, chẳng hạn, “Đồng hồ tốc độ không hoạt động đúng,” hay “đồng hồ tốc độ bị hỏng.” Đó sẽ là một câu vô nghĩa nếu vận tốc không có ý nghĩa độc lập với đồng hồ tốc độ. Vậy trong đầu chúng ta, rõ ràng, có một ý tưởng độc lập với đồng hồ tốc độ, và đồng hồ tốc độ chỉ được dùng để đo ý tưởng này. Vậy chúng ta hãy xem liệu chúng ta có thể có một định nghĩa tốt hơn về ý tưởng đó không. Chúng ta nói, “Vâng, dĩ nhiên, trước khi bà đi được một giờ, bà sẽ đâm vào bức tường đó, nhưng nếu bà đi một giây, bà sẽ đi 88 feet; thưa bà, bà đã đi 88 feet mỗi giây, và nếu bà cứ tiếp tục đi, giây tiếp theo nó sẽ là 88 feet, và bức tường ở dưới kia ở xa hơn thế.” Cô ấy nói, “Vâng, nhưng không có luật nào cấm đi 88 feet mỗi giây! Chỉ có một luật cấm đi 60 dặm một giờ.” “Nhưng,” chúng ta trả lời, “nó là cùng một thứ.” Nếu nó là cùng một thứ, thì không cần thiết phải đi vào lối nói vòng vo này về 88 feet mỗi giây. Thật ra, quả bóng đang rơi không thể cứ tiếp tục đi theo cùng một cách dù chỉ một giây bởi vì nó sẽ thay đổi tốc độ, và chúng ta sẽ phải định nghĩa tốc độ theo một cách nào đó.

Bây giờ chúng ta dường như đang đi đúng hướng; nó diễn ra đại khái như thế này: Nếu người phụ nữ cứ tiếp tục đi thêm 1/1000 của một giờ nữa, cô ấy sẽ đi 1/1000 của 60 dặm. Nói cách khác, cô ấy không phải cứ tiếp tục đi trong cả giờ; điểm chính là trong một khoảnh khắc cô ấy đang đi ở tốc độ đó. Bây giờ điều đó có nghĩa là nếu cô ấy đi thêm chỉ một chút nữa về thời gian, khoảng cách phụ thêm mà cô ấy đi được sẽ giống như khoảng cách của một chiếc xe đi ở một tốc độ đều 60 dặm một giờ. Có lẽ ý tưởng về 88 feet mỗi giây là đúng; chúng ta xem cô ấy đã đi bao xa trong giây cuối cùng, chia cho 88 feet, và nếu nó cho ra 1 thì tốc độ là 60 dặm một giờ. Nói cách khác, chúng ta có thể tìm tốc độ theo cách này: Chúng ta hỏi, chúng ta đi bao xa trong một thời gian rất ngắn? Chúng ta chia khoảng cách đó cho thời gian, và điều đó cho tốc độ. Nhưng thời gian nên được làm càng ngắn càng tốt, càng ngắn càng tốt hơn, bởi vì một số thay đổi có thể diễn ra trong khoảng thời gian đó. Nếu chúng ta lấy thời gian của một vật đang rơi là một giờ, ý tưởng này thật nực cười. Nếu chúng ta lấy nó là một giây, kết quả khá tốt cho một chiếc xe, bởi vì không có nhiều thay đổi trong tốc độ, nhưng không tốt cho một vật đang rơi; vậy để có tốc độ chính xác hơn và hơn nữa, chúng ta nên lấy một khoảng thời gian nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa. Điều chúng ta nên làm là lấy một phần triệu của một giây, tìm ra chiếc xe đã đi bao xa, và chia khoảng cách đó cho một phần triệu của một giây. Kết quả cho khoảng cách mỗi giây, đó là điều chúng ta hiểu bởi vận tốc, vậy chúng ta có thể định nghĩa nó theo cách đó. Đó là một câu trả lời thành công cho người phụ nữ, hay đúng hơn, đó là định nghĩa mà chúng ta sẽ sử dụng.

Định nghĩa nói trên liên quan đến một ý tưởng mới, một ý tưởng không sẵn có cho người Hy Lạp dưới một hình thức tổng quát. Ý tưởng đó là lấy một khoảng cách vô cùng nhỏ và khoảng thời gian vô cùng nhỏ tương ứng, tạo thành tỉ số, và quan sát điều gì xảy ra với tỉ số đó khi thời gian mà chúng ta sử dụng trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa. Nói cách khác, lấy giới hạn của khoảng cách đã đi được chia cho thời gian cần thiết, khi thời gian được lấy nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa, đến vô hạn. Ý tưởng này được phát minh bởi Newton và bởi Leibniz, một cách độc lập, và là khởi đầu của một nhánh toán học mới, gọi là phép tính vi phân. Phép tính được phát minh để mô tả chuyển động, và ứng dụng đầu tiên của nó là vào bài toán định nghĩa điều được hiểu bởi việc đi “60 dặm một giờ”.

Chúng ta hãy cố định nghĩa vận tốc tốt hơn một chút. Giả sử rằng trong một thời gian ngắn, ε, chiếc xe hay một vật khác đi một khoảng cách ngắn x; khi đó vận tốc, v, được định nghĩa là

v = x/ε,

một xấp xỉ trở nên tốt hơn và tốt hơn khi ε được lấy nhỏ hơn và nhỏ hơn. Nếu một biểu thức toán học được mong muốn, chúng ta có thể nói rằng vận tốc bằng giới hạn khi ε được làm cho đi đến nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa trong biểu thức x/ε, hay

v = lim_{ε → 0} x/ε.  (8.3)

Chúng ta không thể làm điều tương tự với người phụ nữ trong chiếc xe, bởi vì bảng là không đầy đủ. Chúng ta chỉ biết cô ấy ở đâu tại các khoảng cách nhau một phút; chúng ta có thể có một ý tưởng thô rằng cô ấy đã đi 5000 ft/phút trong phút thứ 7, nhưng chúng ta không biết, tại đúng thời điểm 7 phút, liệu cô ấy đã đang tăng tốc và tốc độ là 4900 ft/phút ở đầu phút thứ 6, và bây giờ là 5100 ft/phút, hay một điều gì khác, bởi vì chúng ta không có các chi tiết chính xác ở giữa. Vậy chỉ khi bảng được hoàn thành với một số vô hạn các mục thì chúng ta mới thật sự có thể tính vận tốc từ một bảng như vậy. Mặt khác, khi chúng ta có một công thức toán học đầy đủ, như trong trường hợp của một vật đang rơi (Phương trình 8.1), thì có thể tính vận tốc, bởi vì chúng ta có thể tính vị trí ở bất kỳ thời điểm nào.

Chúng ta hãy lấy làm ví dụ bài toán xác định vận tốc của quả bóng đang rơi ở thời điểm cụ thể 5 giây. Một cách làm điều này là xem từ Bảng 8–2 nó đã làm gì trong giây thứ 5; nó đã đi 400 − 256 = 144 ft, vậy nó đang đi 144 ft/giây; tuy nhiên, điều đó là sai, bởi vì tốc độ đang thay đổi; tính trung bình nó là 144 ft/giây trong khoảng này, nhưng quả bóng đang tăng tốc và thật sự đang đi nhanh hơn 144 ft/giây. Chúng ta muốn tìm ra chính xác nó nhanh bao nhiêu. Kỹ thuật liên quan trong quá trình này là như sau: Chúng ta biết quả bóng ở đâu ở 5 giây. Ở 5,1 giây, khoảng cách mà nó đã đi được tổng cộng là 16(5,1)² = 416,16 ft (xem Phương trình 8.1). Ở 5 giây nó đã rơi 400 ft; trong phần mười giây cuối cùng nó rơi 416,16 − 400 = 16,16 ft. Vì 16,16 ft trong 0,1 giây cũng giống như 161,6 ft/giây, đó là tốc độ gần đúng, nhưng nó không chính xác. Đó là tốc độ ở 5, hay ở 5,1, hay ở giữa chừng ở 5,05 giây, hay khi nào đó là tốc độ? Đừng bận tâm — bài toán là tìm tốc độ ở 5 giây, và chúng ta không có đúng điều đó; chúng ta phải làm một việc tốt hơn. Vậy, chúng ta lấy một phần nghìn của một giây nhiều hơn 5 giây, hay 5,001 giây, và tính tổng quãng rơi là

s = 16(5,001)² = 16(25,010001) = 400,160016 ft.

Trong 0,001 giây cuối cùng quả bóng rơi 0,160016 ft, và nếu chúng ta chia số này cho 0,001 giây chúng ta thu được tốc độ là 160,016 ft/giây. Điều đó gần hơn, rất gần, nhưng vẫn không chính xác. Giờ đây hẳn đã rõ chúng ta phải làm gì để tìm tốc độ một cách chính xác. Để thực hiện toán học, chúng ta phát biểu bài toán trừu tượng hơn một chút: tìm vận tốc ở một thời điểm đặc biệt, t₀, mà trong bài toán gốc là 5 giây. Bây giờ khoảng cách ở t₀, mà chúng ta gọi là s₀, là 16t₀², hay 400 ft trong trường hợp này. Để tìm vận tốc, chúng ta hỏi, “Ở thời điểm t₀ + (một chút), hay t₀ + ε, vật ở đâu?” Vị trí mới là 16(t₀ + ε)² = 16t₀² + 32t₀ε + 16ε². Vậy nó ở xa hơn dọc đường so với trước, bởi vì trước đó nó chỉ ở 16t₀². Khoảng cách này chúng ta sẽ gọi là s₀ + (thêm một chút nữa), hay s₀ + x (nếu x là phần phụ thêm). Bây giờ nếu chúng ta trừ khoảng cách ở t₀ khỏi khoảng cách ở t₀ + ε, chúng ta thu được x, khoảng cách phụ thêm đã đi, là x = 32t₀·ε + 16ε². Xấp xỉ đầu tiên của chúng ta cho vận tốc là

v = x/ε = 32t₀ + 16ε.  (8.4)

Vận tốc đúng là giá trị của tỉ số này, x/ε, khi ε trở nên nhỏ đến mức biến mất. Nói cách khác, sau khi tạo thành tỉ số, chúng ta lấy giới hạn khi ε trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa, tức là, tiến đến 0. Phương trình rút gọn thành,

v (ở thời điểm t₀) = 32t₀.

Trong bài toán của chúng ta, t₀ = 5 giây, vậy đáp án là v = 32 × 5 = 160 ft/giây. Vài dòng ở trên, trong đó chúng ta lấy ε lần lượt là 0,1 và 0,001 giây, giá trị chúng ta thu được cho v lớn hơn điều này một chút, nhưng bây giờ chúng ta thấy rằng vận tốc thực tế là đúng 160 ft/giây.

8–3  Tốc độ dưới dạng một đạo hàm

Quá trình chúng ta vừa thực hiện được thực hiện thường xuyên trong toán học đến mức, để tiện lợi, những ký hiệu đặc biệt đã được gán cho các đại lượng ε và x của chúng ta. Trong ký hiệu này, ε được dùng ở trên trở thành Δt và x trở thành Δs. Δt này có nghĩa “một phần phụ thêm của t”, và mang một hàm ý rằng nó có thể được làm nhỏ hơn. Tiền tố Δ không phải là một thừa số, cũng như sinθ không có nghĩa s·i·n·θ — nó đơn giản định nghĩa một số gia của thời gian, và nhắc chúng ta về tính chất đặc biệt của nó. Δs có một ý nghĩa tương tự cho khoảng cách s. Vì Δ không phải là một thừa số, nó không thể bị triệt tiêu trong tỉ số Δs/Δt để cho s/t, cũng như tỉ số sinθ/sin2θ không thể rút gọn thành 1/2 bằng cách triệt tiêu. Trong ký hiệu này, vận tốc bằng giới hạn của Δs/Δt khi Δt trở nên nhỏ hơn, hay

v = lim_{Δt → 0} Δs/Δt.  (8.5)

Điều này thật sự giống như biểu thức trước của chúng ta (8.3) với ε và x, nhưng nó có ưu điểm là cho thấy một thứ gì đó đang thay đổi, và nó theo dõi thứ đang thay đổi là gì.

Nhân tiện, với một xấp xỉ tốt chúng ta có một định luật khác, nói rằng sự thay đổi khoảng cách của một điểm đang chuyển động là vận tốc nhân với khoảng thời gian, hay Δs = v Δt. Phát biểu này chỉ đúng nếu vận tốc không thay đổi trong khoảng thời gian đó, và điều kiện này chỉ đúng trong giới hạn khi Δt đi đến 0. Các nhà vật lý thích viết nó là ds = v dt, bởi vì với dt họ hiểu là Δt trong những hoàn cảnh trong đó nó rất nhỏ; với sự hiểu này, biểu thức đúng đến một xấp xỉ gần. Nếu Δt quá dài, vận tốc có thể thay đổi trong khoảng, và xấp xỉ sẽ trở nên kém chính xác hơn. Đối với một thời gian dt, tiến đến không, ds = v dt một cách chính xác. Trong ký hiệu này chúng ta có thể viết (8.5) dưới dạng

v = lim_{Δt → 0} Δs/Δt = ds/dt.

Đại lượng ds/dt mà chúng ta đã tìm ở trên được gọi là “đạo hàm của s theo t” (ngôn ngữ này giúp theo dõi cái đã được thay đổi), và quá trình phức tạp của việc tìm nó được gọi là tìm một đạo hàm, hay lấy đạo hàm. Các ds và dt xuất hiện riêng rẽ được gọi là các vi phân. Để làm quen với các từ này, chúng ta nói chúng ta đã tìm đạo hàm của hàm 16t², hay đạo hàm (theo t) của 16t² là 32t. Khi chúng ta quen với các từ, các ý tưởng được hiểu dễ dàng hơn. Để luyện tập, chúng ta hãy tìm đạo hàm của một hàm phức tạp hơn. Chúng ta sẽ xét công thức s = At³ + Bt + C, nó có thể mô tả chuyển động của một điểm. Các chữ cái A, B, và C biểu diễn các số hằng, như trong dạng tổng quát quen thuộc của một phương trình bậc hai. Bắt đầu từ công thức cho chuyển động, chúng ta muốn tìm vận tốc ở bất kỳ thời điểm nào. Để tìm vận tốc theo cách tao nhã hơn, chúng ta đổi t thành t + Δt và lưu ý rằng s khi đó đổi thành s + một Δs nào đó; sau đó chúng ta tìm Δs theo Δt. Tức là,

s + Δs = A(t + Δt)³ + B(t + Δt) + C = At³ + Bt + C + 3At² Δt + B Δt + 3At(Δt)² + A(Δt)³,

nhưng vì

s = At³ + Bt + C,

chúng ta thấy rằng

Δs = 3At² Δt + B Δt + 3At(Δt)² + A(Δt)³.

Nhưng chúng ta không muốn Δs — chúng ta muốn Δs chia cho Δt. Chúng ta chia phương trình trên cho Δt, thu được

Δs/Δt = 3At² + B + 3At(Δt) + A(Δt)².

Khi Δt đi về 0 giới hạn của Δs/Δt là ds/dt và bằng

ds/dt = 3At² + B.

Đây là quá trình cơ bản của phép tính, việc lấy đạo hàm các hàm. Quá trình này thậm chí còn đơn giản hơn vẻ ngoài của nó. Hãy quan sát rằng khi những khai triển này chứa bất kỳ số hạng nào với một bình phương hay một lập phương hay bất kỳ lũy thừa cao hơn nào của Δt, những số hạng như vậy có thể được bỏ ngay, vì chúng sẽ đi đến 0 khi giới hạn được lấy. Sau một ít luyện tập quá trình này trở nên dễ dàng hơn bởi vì người ta biết cái gì nên bỏ qua. Có nhiều quy tắc hay công thức để lấy đạo hàm các loại hàm khác nhau. Chúng có thể được ghi nhớ, hoặc có thể được tìm trong các bảng. Một danh sách ngắn được tìm thấy trong Bảng 8–3.

8–4  Khoảng cách dưới dạng một tích phân

Bây giờ chúng ta phải thảo luận bài toán ngược. Giả sử rằng thay vì một bảng các khoảng cách, chúng ta có một bảng các tốc độ ở các thời điểm khác nhau, bắt đầu từ không. Đối với quả bóng đang rơi, những tốc độ và thời gian như vậy được cho thấy trong Bảng 8–4. Một bảng tương tự có thể được lập cho vận tốc của chiếc xe, bằng cách ghi lại số chỉ của đồng hồ tốc độ mỗi phút hay nửa phút. Nếu chúng ta biết chiếc xe đang đi nhanh bao nhiêu ở bất kỳ thời điểm nào, chúng ta có thể xác định nó đi bao xa không? Bài toán này đúng là bài toán ngược của bài toán đã giải ở trên; chúng ta được cho vận tốc và được yêu cầu tìm khoảng cách. Làm thế nào chúng ta có thể tìm khoảng cách nếu chúng ta biết tốc độ? Nếu tốc độ của chiếc xe không hằng định, và người phụ nữ đi sáu mươi dặm một giờ trong một khoảnh khắc, sau đó chậm lại, tăng tốc, và cứ như vậy, làm thế nào chúng ta có thể xác định cô ấy đã đi bao xa? Điều đó dễ. Chúng ta dùng cùng ý tưởng, và biểu diễn khoảng cách theo các lượng vô cùng nhỏ. Chúng ta hãy nói, “Trong giây đầu tiên tốc độ của cô ấy là thế này thế nọ, và từ công thức Δs = v Δt chúng ta có thể tính chiếc xe đã đi bao xa trong giây đầu tiên ở tốc độ đó.” Bây giờ trong giây tiếp theo tốc độ của cô ấy gần như cũ, nhưng hơi khác một chút; chúng ta có thể tính cô ấy đã đi bao xa trong giây tiếp theo bằng cách lấy tốc độ mới nhân với thời gian. Chúng ta tiến hành tương tự cho mỗi giây, đến cuối chuyến đi. Bây giờ chúng ta có một số các khoảng cách nhỏ, và tổng khoảng cách sẽ là tổng của mọi mảnh nhỏ này. Tức là, khoảng cách sẽ là tổng của các vận tốc nhân với các thời gian, hay s = Σ v Δt, trong đó chữ cái Hy Lạp Σ (sigma) được dùng để chỉ phép cộng. Chính xác hơn, nó là tổng của vận tốc ở một thời điểm nào đó, chúng ta hãy nói thời điểm thứ i, nhân với Δt.

s = Σ_i v(t_i) Δt.  (8.6)

Quy tắc cho các thời điểm là t_i+1 = t_i + Δt. Tuy nhiên, khoảng cách chúng ta thu được bằng phương pháp này sẽ không đúng, bởi vì vận tốc thay đổi trong khoảng thời gian Δt. Nếu chúng ta lấy các thời gian đủ ngắn, tổng là chính xác, vậy chúng ta lấy chúng nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa cho đến khi chúng ta thu được độ chính xác mong muốn. s đúng là

s = lim_{Δt → 0} Σ_i v(t_i) Δt.  (8.7)

Các nhà toán học đã phát minh một ký hiệu cho giới hạn này, tương tự như ký hiệu cho vi phân. Δ biến thành một d để nhắc chúng ta rằng thời gian là nhỏ như nó có thể là; vận tốc khi đó được gọi là v ở thời điểm t, và phép cộng được viết như một tổng với một chữ “s” lớn, ∫ (từ chữ Latin summa), nó đã trở nên méo mó và bây giờ không may là chỉ được gọi là một dấu tích phân. Như vậy chúng ta viết

s = ∫ v(t) dt.  (8.8)

Quá trình cộng tất cả các số hạng này lại với nhau được gọi là phép lấy tích phân, và nó là quá trình ngược với phép lấy đạo hàm. Đạo hàm của tích phân này là v, vậy một toán tử (d) triệt tiêu toán tử kia (∫). Người ta có thể thu được các công thức cho các tích phân bằng cách lấy các công thức cho các đạo hàm và chạy chúng ngược lại, bởi vì chúng liên quan đến nhau một cách nghịch đảo. Như vậy người ta có thể tự lập bảng tích phân của mình bằng cách lấy đạo hàm đủ loại hàm. Với mỗi công thức có một vi phân, chúng ta thu được một công thức tích phân nếu chúng ta quay nó lại.

Mọi hàm đều có thể được lấy đạo hàm một cách giải tích, tức là, quá trình có thể được thực hiện bằng đại số, và dẫn đến một hàm xác định. Nhưng không thể theo một cách đơn giản viết một giá trị giải tích cho bất kỳ tích phân nào theo ý muốn. Bạn có thể tính nó, chẳng hạn, bằng cách thực hiện tổng ở trên, và sau đó thực hiện lại với một khoảng Δt mịn hơn và lại với một khoảng mịn hơn cho đến khi bạn có nó gần như đúng. Nói chung, cho một hàm cụ thể nào đó, không thể tìm, một cách giải tích, tích phân là gì. Người ta luôn có thể cố tìm một hàm mà, khi được lấy đạo hàm, cho một hàm mong muốn nào đó; nhưng người ta có thể không tìm thấy nó, và nó có thể không tồn tại, theo nghĩa có thể biểu diễn được theo các hàm đã được đặt tên.

8–5  Gia tốc

Bước tiếp theo trong việc phát triển các phương trình của chuyển động là đưa vào một ý tưởng khác vượt ra ngoài khái niệm vận tốc đến khái niệm sự thay đổi của vận tốc, và bây giờ chúng ta hỏi, “Vận tốc thay đổi như thế nào?” Trong các chương trước chúng ta đã thảo luận các trường hợp trong đó các lực tạo ra những thay đổi trong vận tốc. Bạn có thể đã nghe với sự phấn khích lớn về một chiếc xe nào đó có thể đi từ đứng yên đến 60 dặm một giờ trong mười giây chẵn. Từ một thành tích như vậy chúng ta có thể thấy tốc độ thay đổi nhanh bao nhiêu, nhưng chỉ tính trung bình. Điều chúng ta bây giờ sẽ thảo luận là mức độ phức tạp tiếp theo, đó là vận tốc đang thay đổi nhanh bao nhiêu. Nói cách khác, vận tốc thay đổi bao nhiêu feet mỗi giây trong một giây, tức là, bao nhiêu feet mỗi giây, mỗi giây? Chúng ta trước đây đã suy ra công thức cho vận tốc của một vật đang rơi là v = 32t, được lập bảng trong Bảng 8–4, và bây giờ chúng ta muốn tìm ra vận tốc thay đổi bao nhiêu mỗi giây; đại lượng này được gọi là gia tốc.

Gia tốc được định nghĩa là tốc độ thay đổi theo thời gian của vận tốc. Từ cuộc thảo luận trước chúng ta đã biết đủ để viết gia tốc dưới dạng đạo hàm dv/dt, theo cùng cách mà vận tốc là đạo hàm của khoảng cách. Nếu bây giờ chúng ta lấy đạo hàm công thức v = 32t chúng ta thu được, đối với một vật đang rơi,

a = dv/dt = 32.  (8.9)

[Để lấy đạo hàm số hạng 32t chúng ta có thể sử dụng kết quả thu được trong một bài toán trước, trong đó chúng ta đã tìm thấy rằng đạo hàm của Bt đơn giản là B (một hằng số). Vậy bằng cách cho B = 32, chúng ta có ngay rằng đạo hàm của 32t là 32.] Điều này có nghĩa là vận tốc của một vật đang rơi đang thay đổi 32 feet mỗi giây, mỗi giây, luôn luôn. Chúng ta cũng thấy từ Bảng 8–4 rằng vận tốc tăng 32 ft/giây trong mỗi giây. Đây là một trường hợp rất đơn giản, vì các gia tốc thường không hằng định. Lý do gia tốc là hằng định ở đây là lực tác dụng lên vật đang rơi là hằng định, và định luật Newton nói rằng gia tốc tỉ lệ với lực.

Làm một ví dụ nữa, chúng ta hãy tìm gia tốc trong bài toán chúng ta đã giải cho vận tốc. Bắt đầu với

s = At³ + Bt + C

chúng ta đã thu được, đối với v = ds/dt,

v = 3At² + B.

Vì gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, chúng ta cần lấy đạo hàm biểu thức cuối cùng ở trên. Hãy nhớ lại quy tắc rằng đạo hàm của hai số hạng ở bên phải bằng tổng của các đạo hàm của các số hạng riêng lẻ. Để lấy đạo hàm số hạng đầu tiên trong số này, thay vì đi qua quá trình cơ bản một lần nữa chúng ta lưu ý rằng chúng ta đã lấy đạo hàm một số hạng bậc hai khi chúng ta lấy đạo hàm 16t², và hiệu quả là nhân đôi hệ số số và đổi t² thành t; chúng ta hãy giả thiết rằng điều tương tự sẽ xảy ra lần này, và bạn có thể tự kiểm tra kết quả. Đạo hàm của 3At² khi đó sẽ là 6At. Tiếp theo chúng ta lấy đạo hàm B, một số hạng hằng; nhưng theo một quy tắc đã phát biểu trước đó, đạo hàm của B bằng không; do đó số hạng này không đóng góp gì cho gia tốc. Kết quả cuối cùng, do đó, là a = dv/dt = 6At.

Để tham khảo, chúng ta phát biểu hai công thức rất hữu ích, có thể thu được bằng phép lấy tích phân. Nếu một vật bắt đầu từ đứng yên và chuyển động với một gia tốc hằng định, g, vận tốc v của nó ở bất kỳ thời điểm t nào được cho bởi

v = gt.

Khoảng cách nó đi được trong cùng thời gian là

s = ½gt².

Nhiều ký hiệu toán học khác nhau được sử dụng trong việc viết các đạo hàm. Vì vận tốc là ds/dt và gia tốc là đạo hàm theo thời gian của vận tốc, chúng ta cũng có thể viết

a = d/dt (ds/dt) = d²s/dt²,  (8.10)

chúng là những cách viết thông thường của một đạo hàm cấp hai.

Chúng ta có một định luật khác rằng vận tốc bằng tích phân của gia tốc. Điều này đúng là điều ngược lại của a = dv/dt; chúng ta đã thấy rằng khoảng cách là tích phân của vận tốc, vậy khoảng cách có thể được tìm bằng cách lấy tích phân gia tốc hai lần.

Trong cuộc thảo luận ở trên chuyển động chỉ trong một chiều, và không gian chỉ cho phép một cuộc thảo luận ngắn gọn về chuyển động trong ba chiều. Hãy xét một hạt P chuyển động trong ba chiều theo bất kỳ cách nào. Ở đầu chương này, chúng ta đã mở đầu cuộc thảo luận của mình về trường hợp một chiều của một chiếc xe đang chuyển động bằng cách quan sát khoảng cách của chiếc xe từ điểm bắt đầu của nó ở các thời điểm khác nhau. Sau đó chúng ta đã thảo luận vận tốc theo các thay đổi của những khoảng cách này theo thời gian, và gia tốc theo các thay đổi trong vận tốc. Chúng ta có thể xử lý chuyển động ba chiều một cách tương tự. Sẽ đơn giản hơn nếu minh họa chuyển động trên một sơ đồ hai chiều, và sau đó mở rộng các ý tưởng sang ba chiều. Chúng ta thiết lập một cặp trục vuông góc với nhau, và xác định vị trí của hạt ở bất kỳ thời điểm nào bằng cách đo nó cách mỗi trục trong hai trục bao xa. Như vậy mỗi vị trí được cho theo một khoảng cách-x và một khoảng cách-y, và chuyển động có thể được mô tả bằng cách lập một bảng trong đó cả hai khoảng cách này được cho dưới dạng các hàm của thời gian. (Việc mở rộng quá trình này sang ba chiều chỉ cần thêm một trục nữa, vuông góc với hai trục đầu tiên, và đo một khoảng cách thứ ba, khoảng cách-z. Các khoảng cách bây giờ được đo từ các mặt phẳng tọa độ thay vì các đường thẳng.) Sau khi đã lập một bảng với các khoảng cách-x và -y, làm thế nào chúng ta có thể xác định vận tốc? Trước hết chúng ta tìm các thành phần của vận tốc trong mỗi hướng. Phần nằm ngang của vận tốc, hay thành phần-x, là đạo hàm của khoảng cách-x theo thời gian, hay

v_x = dx/dt.  (8.11)

Tương tự, phần thẳng đứng của vận tốc, hay thành phần-y, là

v_y = dy/dt.  (8.12)

Trong chiều thứ ba,

v_z = dz/dt.  (8.13)

Bây giờ, cho các thành phần của vận tốc, làm thế nào chúng ta có thể tìm vận tốc dọc theo đường đi thực tế của chuyển động? Trong trường hợp hai chiều, hãy xét hai vị trí liên tiếp của hạt, cách nhau một khoảng cách ngắn Δs và một khoảng thời gian ngắn t₂ − t₁ = Δt. Trong thời gian Δt hạt di chuyển theo chiều ngang một khoảng Δx ≈ v_x Δt, và theo chiều dọc một khoảng Δy ≈ v_y Δt. (Ký hiệu “≈” được đọc là “xấp xỉ bằng”.) Khoảng cách thực tế đã di chuyển xấp xỉ là

Δs ≈ √[(Δx)² + (Δy)²],  (8.14)

như cho thấy trong Hình 8–3. Vận tốc xấp xỉ trong khoảng này có thể thu được bằng cách chia cho Δt và cho Δt đi đến 0, như ở đầu chương. Khi đó chúng ta thu được vận tốc là

v = ds/dt = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] = √(v_x² + v_y²).  (8.15)

Đối với ba chiều kết quả là

v = √(v_x² + v_y² + v_z²).  (8.16)

Theo cùng cách chúng ta đã định nghĩa các vận tốc, chúng ta có thể định nghĩa các gia tốc: chúng ta có một thành phần-x của gia tốc a_x, nó là đạo hàm của v_x, thành phần-x của vận tốc (tức là, a_x = d²x/dt², đạo hàm cấp hai của x theo t), và cứ như vậy.

Chúng ta hãy xét một ví dụ đẹp về chuyển động hợp thành trong một mặt phẳng. Chúng ta sẽ lấy một chuyển động trong đó một quả bóng di chuyển theo chiều ngang với một vận tốc hằng định u, và đồng thời đi xuống theo chiều dọc với một gia tốc hằng định −g; chuyển động là gì? Chúng ta có thể nói dx/dt = v_x = u. Vì vận tốc v_x là hằng định,

x = ut,  (8.17)

và vì gia tốc hướng xuống −g là hằng định, khoảng cách y mà vật rơi xuống có thể được viết là

y = −½gt².  (8.18)

Đường cong của đường đi của nó là gì, tức là, mối quan hệ giữa y và x là gì? Chúng ta có thể khử t khỏi Phương trình (8.18), vì t = x/u. Khi chúng ta thực hiện phép thế này chúng ta thấy rằng

y = −[g/(2u²)] x².  (8.19)

Mối quan hệ này giữa y và x có thể được coi là phương trình của đường đi của quả bóng đang chuyển động. Khi phương trình này được vẽ lên chúng ta thu được một đường cong gọi là một parabol; bất kỳ vật rơi tự do nào được bắn ra theo bất kỳ hướng nào cũng sẽ di chuyển theo một parabol, như cho thấy trong Hình 8–4.