Chương 10: Bảo toàn động lượng

Tóm tắt: Bảo toàn động lượng

Nếu mọi lực đều là nội lực — không có ngoại lực — thì tổng động lượng vẫn không đổi.

10–1  Định luật thứ ba của Newton

Dựa trên cơ sở của định luật thứ hai của Newton về chuyển động, định luật cho mối quan hệ giữa gia tốc của bất kỳ vật nào và lực tác dụng lên nó, về nguyên tắc mọi bài toán trong cơ học đều có thể giải được. Ví dụ, để xác định chuyển động của một vài hạt, người ta có thể dùng phương pháp số đã được phát triển trong chương trước. Nhưng có những lý do chính đáng để nghiên cứu thêm các định luật của Newton. Thứ nhất, có những trường hợp chuyển động khá đơn giản có thể được phân tích không chỉ bằng các phương pháp số, mà còn bằng phân tích toán học trực tiếp. Ví dụ, mặc dù chúng ta biết rằng gia tốc của một vật rơi là 32 ft/giây², và từ sự kiện này có thể tính chuyển động bằng các phương pháp số, việc phân tích chuyển động và tìm nghiệm tổng quát, s = s₀ + v₀t + 16t², thì dễ hơn nhiều và thỏa đáng hơn nhiều. Cũng theo cách như vậy, mặc dù chúng ta có thể tính ra các vị trí của một dao động tử điều hòa bằng các phương pháp số, người ta cũng có thể chỉ ra bằng phân tích rằng nghiệm tổng quát là một hàm cosin đơn giản của t, và vì vậy không cần phải mất bao nhiêu công sức số học như vậy khi có một cách đơn giản hơn và chính xác hơn để thu được kết quả. Cũng theo cách như vậy, mặc dù chuyển động của một vật quanh mặt trời, được xác định bởi lực hấp dẫn, có thể được tính từng điểm một bằng các phương pháp số của Chương 9, cho thấy hình dạng tổng thể của quỹ đạo, thì cũng thật hay khi thu được hình dạng chính xác, mà phân tích tiết lộ là một elip hoàn hảo.

Thật không may, thật sự có rất ít bài toán có thể được giải chính xác bằng phân tích. Ví dụ, trong trường hợp dao động tử điều hòa, nếu lực của lò xo không tỉ lệ với độ dời, mà là một cái gì đó phức tạp hơn, người ta phải quay lại phương pháp số. Hoặc nếu có hai vật đi quanh mặt trời, sao cho tổng số vật là ba, thì phân tích không thể tạo ra một công thức đơn giản cho chuyển động, và trong thực tế bài toán phải được làm bằng số. Đó là bài toán ba vật nổi tiếng, đã thách thức năng lực phân tích của con người trong một thời gian dài như vậy; thật thú vị là người ta đã mất bao lâu mới đánh giá đúng sự kiện rằng có lẽ năng lực của phân tích toán học là có giới hạn và có thể cần thiết phải dùng các phương pháp số.

Ngày nay một số lượng khổng lồ các bài toán không thể làm được bằng phân tích được giải bằng các phương pháp số, và bài toán ba vật cũ, vốn được cho là khó đến như vậy, được giải như một việc thường lệ theo đúng cách đã được mô tả trong chương trước, tức là bằng cách làm đủ phép tính số học. Tuy nhiên, cũng có những tình huống mà cả hai phương pháp đều thất bại: các bài toán đơn giản chúng ta có thể làm bằng phân tích, và các bài toán khó vừa phải bằng các phương pháp số, số học, nhưng các bài toán rất phức tạp chúng ta không thể làm bằng bất kỳ phương pháp nào. Một bài toán phức tạp là, ví dụ, vụ va chạm của hai chiếc ô tô, hay thậm chí chuyển động của các phân tử của một chất khí. Có vô số hạt trong một milimét khối khí, và sẽ thật lố bịch nếu cố thực hiện các phép tính với ngần ấy biến số (khoảng 10¹⁷ — một trăm triệu tỷ). Bất cứ thứ gì như chuyển động của các phân tử hay nguyên tử của một chất khí hay một khối sắt, hay chuyển động của các ngôi sao trong một cụm sao cầu, thay vì chỉ hai hay ba hành tinh đi quanh mặt trời — những bài toán như vậy chúng ta không thể làm trực tiếp, nên chúng ta phải tìm các phương tiện khác.

Trong các tình huống mà chúng ta không thể theo dõi các chi tiết, chúng ta cần biết một số tính chất tổng quát, tức là các định lý hay nguyên lý tổng quát vốn là hệ quả của các định luật của Newton.

Một trong số đó là nguyên lý bảo toàn năng lượng, đã được thảo luận trong Chương 4. Một nguyên lý khác là nguyên lý bảo toàn động lượng, chủ đề của chương này. Một lý do khác để nghiên cứu cơ học thêm nữa là có những khuôn mẫu chuyển động nhất định được lặp lại trong nhiều hoàn cảnh khác nhau, nên thật tốt khi nghiên cứu các khuôn mẫu này trong một hoàn cảnh cụ thể nào đó. Ví dụ, chúng ta sẽ nghiên cứu các va chạm; các loại va chạm khác nhau có nhiều điểm chung. Trong dòng chảy của các chất lưu, chất lưu là gì không tạo ra nhiều khác biệt, các định luật của dòng chảy là tương tự nhau. Các bài toán khác mà chúng ta sẽ nghiên cứu là các dao động và các dao động điều hòa và, đặc biệt, các hiện tượng kỳ lạ của sóng cơ học — âm thanh, dao động của các thanh, và cứ như vậy.

Trong phần thảo luận của chúng ta về các định luật của Newton, đã giải thích rằng các định luật này là một loại chương trình nói rằng “Hãy chú ý đến các lực”, và rằng Newton chỉ cho chúng ta biết hai điều về bản chất của các lực. Trong trường hợp lực hấp dẫn, ông đã cho chúng ta định luật hoàn chỉnh của lực. Trong trường hợp các lực rất phức tạp giữa các nguyên tử, ông đã không biết các định luật đúng cho các lực; tuy nhiên, ông đã khám phá ra một quy tắc, một tính chất tổng quát của các lực, được diễn đạt trong Định luật thứ ba của ông, và đó là toàn bộ kiến thức mà Newton có về bản chất của các lực — định luật hấp dẫn và nguyên lý này, nhưng không có chi tiết nào khác.

Nguyên lý này là tác dụng bằng phản tác dụng.

Điều được muốn nói là một cái gì đó như thế này: Giả sử chúng ta có hai vật nhỏ, chẳng hạn các hạt, và giả sử vật thứ nhất tác dụng một lực lên vật thứ hai, đẩy nó với một lực nào đó. Khi đó, đồng thời, theo Định luật thứ ba của Newton, hạt thứ hai sẽ đẩy hạt thứ nhất với một lực bằng như vậy, theo hướng ngược lại; hơn nữa, các lực này tác dụng một cách hiệu quả trên cùng một đường thẳng. Đây là giả thuyết, hay định luật, mà Newton đã đề xuất, và nó dường như khá chính xác, mặc dù không chính xác tuyệt đối (chúng ta sẽ thảo luận các sai số sau). Hiện tại chúng ta sẽ coi tác dụng bằng phản tác dụng là đúng. Dĩ nhiên, nếu có một hạt thứ ba, không nằm trên cùng đường thẳng với hai hạt còn lại, định luật không có nghĩa là tổng lực lên hạt thứ nhất bằng tổng lực lên hạt thứ hai, vì hạt thứ ba, chẳng hạn, tác dụng cú đẩy riêng của nó lên mỗi hạt trong hai hạt còn lại. Kết quả là tổng tác dụng lên hai hạt đầu tiên theo một hướng nào khác, và các lực lên hai hạt đầu tiên, nói chung, không bằng nhau cũng không ngược nhau. Tuy nhiên, các lực lên mỗi hạt có thể được phân giải thành các phần, có một đóng góp hay phần do mỗi hạt tương tác còn lại gây ra. Khi đó mỗi cặp hạt có các thành phần tương ứng của tương tác lẫn nhau bằng nhau về độ lớn và ngược nhau về hướng.

10–2  Bảo toàn động lượng

Bây giờ các hệ quả thú vị của mối quan hệ trên là gì? Để đơn giản, giả sử chúng ta chỉ có hai hạt tương tác, có thể có khối lượng khác nhau, và được đánh số 1 và 2. Các lực giữa chúng bằng nhau và ngược nhau; các hệ quả là gì? Theo Định luật thứ hai của Newton, lực là tốc độ thay đổi theo thời gian của động lượng, nên chúng ta kết luận rằng tốc độ thay đổi của động lượng p₁ của hạt 1 bằng trừ tốc độ thay đổi của động lượng p₂ của hạt 2, hay

dp₁/dt = −dp₂/dt.   (10.1)

Bây giờ nếu tốc độ thay đổi luôn bằng nhau và ngược nhau, thì hệ quả là tổng thay đổi trong động lượng của hạt 1 bằng và ngược với tổng thay đổi trong động lượng của hạt 2; điều này có nghĩa là nếu chúng ta cộng động lượng của hạt 1 với động lượng của hạt 2, tốc độ thay đổi của tổng của chúng, do các lực lẫn nhau (gọi là nội lực) giữa các hạt gây ra, bằng không; tức là

d(p₁ + p₂)/dt = 0.   (10.2)

Ở đây giả thiết là không có lực nào khác trong bài toán. Nếu tốc độ thay đổi của tổng này luôn bằng không, đó chỉ là một cách nói khác rằng đại lượng (p₁ + p₂) không thay đổi. (Đại lượng này cũng được viết là m₁v₁ + m₂v₂, và được gọi là tổng động lượng của hai hạt.) Bây giờ chúng ta đã thu được kết quả rằng tổng động lượng của hai hạt không thay đổi vì bất kỳ tương tác lẫn nhau nào giữa chúng. Phát biểu này diễn đạt định luật bảo toàn động lượng trong ví dụ cụ thể đó. Chúng ta kết luận rằng nếu có bất kỳ loại lực nào, dù phức tạp đến đâu, giữa hai hạt, và chúng ta đo hay tính m₁v₁ + m₂v₂, tức là tổng của hai động lượng, cả trước và sau khi các lực tác dụng, các kết quả phải bằng nhau, tức là tổng động lượng là một hằng số.

Nếu chúng ta mở rộng lập luận cho ba hay nhiều hạt tương tác hơn trong các hoàn cảnh phức tạp hơn, rõ ràng là chừng nào còn xét các nội lực, tổng động lượng của mọi hạt vẫn không đổi, vì một sự tăng động lượng của một hạt, do một hạt khác gây ra, được bù trừ đúng bởi sự giảm của hạt thứ hai, do hạt thứ nhất gây ra. Tức là, mọi nội lực sẽ triệt tiêu lẫn nhau, và do đó không thể thay đổi tổng động lượng của các hạt. Khi đó nếu không có các lực từ bên ngoài (ngoại lực), không có lực nào có thể thay đổi tổng động lượng; do đó tổng động lượng là một hằng số.

Thật đáng mô tả điều gì xảy ra nếu có các lực không đến từ các tác dụng lẫn nhau của các hạt đang xét: giả sử chúng ta cô lập các hạt tương tác. Nếu chỉ có các lực lẫn nhau, thì, như trước, tổng động lượng của các hạt không thay đổi, dù các lực phức tạp đến đâu. Mặt khác, giả sử cũng có các lực đến từ các hạt ở ngoài nhóm cô lập. Bất kỳ lực nào do các vật bên ngoài tác dụng lên các vật bên trong, chúng ta gọi là một lực ngoại lực. Sau này chúng ta sẽ chứng minh rằng tổng của mọi ngoại lực bằng tốc độ thay đổi của tổng động lượng của mọi hạt ở bên trong, một định lý rất hữu ích.

Sự bảo toàn tổng động lượng của một số hạt tương tác có thể được diễn đạt là

m₁v₁ + m₂v₂ + m₃v₃ + … = một hằng số,   (10.3)

nếu không có ngoại lực tổng hợp nào. Ở đây các khối lượng và các vận tốc tương ứng của các hạt được đánh số 1, 2, 3, 4, … Phát biểu tổng quát của Định luật thứ hai của Newton cho mỗi hạt,

F = d/dt(mv),   (10.4)

đúng một cách cụ thể cho các thành phần của lực và động lượng theo bất kỳ hướng cho trước nào; do đó thành phần x của lực lên một hạt bằng thành phần x của tốc độ thay đổi động lượng của hạt đó, hay

F_x = d/dt(mv_x),   (10.5)

và tương tự cho các hướng y và z. Do đó phương trình (10.3) thật ra là ba phương trình, một phương trình cho mỗi hướng.

Ngoài định luật bảo toàn động lượng, còn có một hệ quả thú vị khác của Định luật thứ hai của Newton, sẽ được chứng minh sau, nhưng hiện tại chỉ được phát biểu. Nguyên lý này là các định luật vật lý sẽ trông như nhau dù chúng ta đang đứng yên hay đang chuyển động với một tốc độ đều trên một đường thẳng. Ví dụ, một đứa trẻ nảy một quả bóng trong một chiếc máy bay thấy rằng quả bóng nảy giống như khi nó nảy quả bóng trên mặt đất. Mặc dù chiếc máy bay đang chuyển động với một vận tốc rất cao, chừng nào nó không thay đổi vận tốc của nó, các định luật trông như nhau đối với đứa trẻ như khi chiếc máy bay đang đứng yên. Đây là cái gọi là nguyên lý tương đối. Khi chúng ta dùng nó ở đây, chúng ta sẽ gọi nó là “tính tương đối Galileo” để phân biệt nó với phân tích cẩn thận hơn do Einstein thực hiện, mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau.

Chúng ta vừa suy ra định luật bảo toàn động lượng từ các định luật của Newton, và chúng ta có thể đi tiếp từ đây để tìm các định luật đặc biệt mô tả các va đập và các va chạm. Nhưng vì sự đa dạng, và cũng như một minh họa cho một loại suy luận có thể được dùng trong vật lý trong các hoàn cảnh khác mà, ví dụ, người ta có thể không biết các định luật của Newton và có thể đi theo một cách tiếp cận khác, chúng ta sẽ thảo luận các định luật của các va đập và các va chạm từ một quan điểm hoàn toàn khác. Chúng ta sẽ dựa phần thảo luận của mình trên nguyên lý tương đối Galileo, đã phát biểu ở trên, và sẽ kết thúc với định luật bảo toàn động lượng.

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách giả thiết rằng tự nhiên sẽ trông như nhau nếu chúng ta chạy dọc theo với một tốc độ nào đó và quan sát nó như khi chúng ta đang đứng yên. Trước khi thảo luận các va chạm trong đó hai vật va chạm và dính vào nhau, hay đến với nhau và nảy ra, trước hết chúng ta sẽ xét hai vật được giữ với nhau bởi một lò xo hay một cái gì đó khác, rồi đột ngột được thả ra và bị đẩy bởi lò xo hay có lẽ bởi một vụ nổ nhỏ. Hơn nữa, chúng ta sẽ chỉ xét chuyển động theo một hướng. Trước hết, giả sử hai vật hoàn toàn giống nhau, là các vật đối xứng đẹp đẽ, rồi chúng ta có một vụ nổ nhỏ giữa chúng. Sau vụ nổ, một trong các vật sẽ chuyển động, chẳng hạn về phía phải, với vận tốc v. Khi đó dường như hợp lý là vật còn lại đang chuyển động về phía trái với vận tốc v, bởi vì nếu các vật giống nhau thì không có lý do gì để phải hay trái được ưu tiên hơn và vì vậy các vật sẽ làm một điều gì đó đối xứng. Đây là một minh họa cho một loại tư duy rất hữu ích trong nhiều bài toán nhưng sẽ không được làm nổi bật nếu chúng ta chỉ bắt đầu với các công thức.

Kết quả đầu tiên từ thí nghiệm của chúng ta là các vật bằng nhau sẽ có tốc độ bằng nhau, nhưng bây giờ giả sử chúng ta có hai vật làm bằng các vật liệu khác nhau, chẳng hạn đồng và nhôm, và chúng ta làm cho hai khối lượng bằng nhau. Bây giờ chúng ta sẽ giả thiết rằng nếu chúng ta làm thí nghiệm với hai khối lượng bằng nhau, mặc dù các vật không giống hệt nhau, các vận tốc sẽ bằng nhau. Ai đó có thể phản đối: “Nhưng bạn biết đấy, bạn có thể làm ngược lại, bạn không phải giả thiết điều đó. Bạn có thể định nghĩa các khối lượng bằng nhau có nghĩa là hai khối lượng thu được các vận tốc bằng nhau trong thí nghiệm này.” Chúng ta làm theo gợi ý đó và tạo một vụ nổ nhỏ giữa đồng và một miếng nhôm rất lớn, nặng đến mức đồng bay ra và nhôm hầu như không nhúc nhích. Như vậy là quá nhiều nhôm, nên chúng ta giảm lượng nhôm cho đến khi chỉ còn một miếng rất nhỏ xíu, khi đó khi chúng ta tạo vụ nổ, nhôm bay đi, và đồng hầu như không nhúc nhích. Như vậy là không đủ nhôm. Rõ ràng có một lượng vừa đúng nào đó ở giữa; nên chúng ta cứ điều chỉnh lượng cho đến khi các vận tốc ra bằng nhau. Vậy thì rất tốt — chúng ta hãy đảo ngược nó lại, và nói rằng khi các vận tốc bằng nhau, các khối lượng bằng nhau. Điều này dường như chỉ là một định nghĩa, và dường như thật đáng chú ý là chúng ta có thể biến các định luật vật lý thành những định nghĩa đơn thuần. Tuy nhiên, có một số định luật vật lý có liên quan, và nếu chúng ta chấp nhận định nghĩa này về các khối lượng bằng nhau, chúng ta lập tức tìm ra một trong các định luật, như sau.

Giả sử chúng ta biết từ thí nghiệm vừa nêu rằng hai miếng vật chất, A và B (bằng đồng và nhôm), có khối lượng bằng nhau, và chúng ta so sánh một vật thứ ba, chẳng hạn một miếng vàng, với đồng theo cùng cách như trên, đảm bảo rằng khối lượng của nó bằng khối lượng của đồng. Nếu bây giờ chúng ta làm thí nghiệm giữa nhôm và vàng, không có điều gì trong logic nói rằng các khối lượng này phải bằng nhau; tuy nhiên, thí nghiệm cho thấy chúng thật sự bằng nhau. Vậy bây giờ, bằng thí nghiệm, chúng ta đã tìm ra một định luật mới. Một phát biểu của định luật này có thể là: Nếu hai khối lượng mỗi khối lượng đều bằng một khối lượng thứ ba (như được xác định bởi các vận tốc bằng nhau trong thí nghiệm này), thì chúng bằng nhau. (Phát biểu này không hề suy ra từ một phát biểu tương tự được dùng như một tiên đề liên quan đến các đại lượng toán học.) Từ ví dụ này chúng ta có thể thấy chúng ta bắt đầu suy ra các điều nhanh đến mức nào nếu chúng ta bất cẩn. Việc nói các khối lượng bằng nhau khi các vận tốc bằng nhau không chỉ là một định nghĩa, bởi vì nói các khối lượng bằng nhau là ngụ ý các định luật toán học của sự bằng nhau, điều đến lượt nó tạo ra một tiên đoán về một thí nghiệm.

Như một ví dụ thứ hai, giả sử A và B được tìm thấy là bằng nhau bằng cách làm thí nghiệm với một độ mạnh nào đó của vụ nổ, cho một vận tốc nào đó; nếu sau đó chúng ta dùng một vụ nổ mạnh hơn, điều các vận tốc thu được bây giờ bằng nhau sẽ đúng hay không đúng? Một lần nữa, trong logic không có gì có thể quyết định câu hỏi này, nhưng thí nghiệm cho thấy điều đó đúng. Vậy, đây là một định luật khác, có thể được phát biểu: Nếu hai vật có khối lượng bằng nhau, như được đo bởi các vận tốc bằng nhau ở một vận tốc, chúng sẽ có khối lượng bằng nhau khi được đo ở một vận tốc khác. Từ các ví dụ này chúng ta thấy rằng điều dường như chỉ là một định nghĩa thật ra có liên quan đến một số định luật vật lý.

Trong phần phát triển tiếp theo, chúng ta sẽ giả thiết điều đúng là các khối lượng bằng nhau có các vận tốc bằng nhau và ngược nhau khi một vụ nổ xảy ra giữa chúng. Chúng ta sẽ đưa ra một giả thiết khác trong trường hợp ngược lại: Nếu hai vật giống hệt nhau, chuyển động theo các hướng ngược nhau với các vận tốc bằng nhau, va chạm và dính vào nhau bởi một loại keo nào đó, thì chúng sẽ chuyển động theo hướng nào sau va chạm? Đây lại là một tình huống đối xứng, không có sự ưu tiên giữa phải và trái, nên chúng ta giả thiết rằng chúng đứng yên. Chúng ta cũng sẽ giả thiết rằng bất kỳ hai vật nào có khối lượng bằng nhau, dù các vật được làm bằng các vật liệu khác nhau, va chạm và dính vào nhau, khi chuyển động với cùng vận tốc theo các hướng ngược nhau, sẽ đi đến trạng thái nghỉ sau va chạm.

10–3  Động lượng được bảo toàn!

Chúng ta có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm các giả thiết trên: thứ nhất, rằng nếu hai vật đứng yên có khối lượng bằng nhau bị tách ra bởi một vụ nổ, chúng sẽ chuyển động ra xa với cùng tốc độ, và thứ hai, nếu hai vật có khối lượng bằng nhau, đến với nhau với cùng tốc độ, va chạm và dính vào nhau, chúng sẽ dừng lại. Điều này chúng ta có thể làm bằng một phát minh tuyệt vời gọi là máng khí,¹ vốn loại bỏ ma sát, thứ đã liên tục làm phiền Galileo (Hình 10–1). Ông không thể làm các thí nghiệm bằng cách trượt các vật vì chúng không trượt một cách tự do, nhưng, bằng cách thêm một nét kỳ diệu, ngày nay chúng ta có thể loại bỏ ma sát. Các vật của chúng ta sẽ trượt mà không gặp khó khăn, trượt mãi với một vận tốc không đổi, như Galileo đã quảng cáo. Điều này được thực hiện bằng cách đỡ các vật trên không khí. Vì không khí có ma sát rất thấp, một vật trượt đi với vận tốc thực tế không đổi khi không có lực tác dụng nào. Trước hết, chúng ta dùng hai khối trượt đã được làm cẩn thận để có cùng trọng lượng, hay khối lượng (trọng lượng của chúng thật ra đã được đo, nhưng chúng ta biết rằng trọng lượng này tỉ lệ với khối lượng), và chúng ta đặt một nắp nổ nhỏ trong một xi lanh kín giữa hai khối (Hình 10–2). Chúng ta sẽ cho các khối bắt đầu từ trạng thái nghỉ tại điểm giữa của đường ray và buộc chúng tách ra bằng cách làm nổ nắp bằng một tia lửa điện. Điều gì phải xảy ra? Nếu các tốc độ bằng nhau khi chúng bay ra xa nhau, chúng phải đến các đầu của máng cùng một lúc. Khi đến các đầu, cả hai sẽ nảy trở lại với vận tốc thực tế ngược lại, và sẽ đến với nhau và dừng lại ở trung tâm nơi chúng bắt đầu. Đó là một phép kiểm tra tốt; khi nó thật sự được thực hiện, kết quả đúng như chúng ta đã mô tả (Hình 10–3).

Bây giờ điều tiếp theo chúng ta muốn tìm ra là điều gì xảy ra trong một tình huống kém đơn giản hơn. Giả sử chúng ta có hai khối lượng bằng nhau, một khối lượng chuyển động với vận tốc v và khối lượng còn lại đứng yên, và chúng va chạm và dính vào nhau; điều gì sẽ xảy ra? Có một khối lượng tổng cộng là 2m khi chúng ta kết thúc, đang trôi đi với một vận tốc chưa biết. Vận tốc nào? Đó là bài toán. Để tìm câu trả lời, chúng ta đưa ra giả thiết rằng nếu chúng ta đi dọc theo trong một chiếc ô tô, vật lý sẽ trông như nhau như khi chúng ta đang đứng yên. Chúng ta bắt đầu với kiến thức rằng hai khối lượng bằng nhau, chuyển động theo các hướng ngược nhau với các tốc độ bằng nhau v, sẽ dừng chết khi chúng va chạm. Bây giờ giả sử rằng trong khi điều này xảy ra, chúng ta đang đi ngang qua trong một chiếc ô tô, với vận tốc −v. Khi đó nó trông như thế nào? Vì chúng ta đang đi dọc theo cùng với một trong hai khối lượng đang đến với nhau, khối lượng đó đối với chúng ta dường như có vận tốc bằng không. Tuy nhiên, khối lượng còn lại, đi theo hướng ngược lại với vận tốc v, đối với chúng ta sẽ dường như đang đến về phía chúng ta với vận tốc 2v (Hình 10–4). Cuối cùng, các khối lượng đã kết hợp sau va chạm sẽ dường như đang đi ngang qua với vận tốc v. Do đó chúng ta kết luận rằng một vật với vận tốc 2v, đập vào một vật bằng nó đang đứng yên, sẽ kết thúc với vận tốc v, hay điều về mặt toán học hoàn toàn giống như vậy, một vật với vận tốc v đập vào và dính vào một vật đang đứng yên sẽ tạo ra một vật chuyển động với vận tốc v/2. Lưu ý rằng nếu chúng ta nhân khối lượng và vận tốc trước đó và cộng chúng lại với nhau, mv + 0, chúng ta thu được cùng đáp án như khi chúng ta nhân khối lượng và vận tốc của mọi thứ sau đó, 2m nhân với v/2. Vậy điều đó cho chúng ta biết điều gì xảy ra khi một khối lượng có vận tốc v đập vào một khối lượng đang đứng yên.

Theo đúng cách như vậy, chúng ta có thể suy ra điều gì xảy ra khi các vật bằng nhau có bất kỳ hai vận tốc nào đập vào nhau.

Giả sử chúng ta có hai vật bằng nhau với các vận tốc lần lượt là v₁ và v₂, va chạm và dính vào nhau. Vận tốc v của chúng sau va chạm là gì? Một lần nữa chúng ta đi ngang qua trong một chiếc ô tô, chẳng hạn với vận tốc v₂, sao cho một vật dường như đang đứng yên. Khi đó vật còn lại dường như có vận tốc v₁ − v₂, và chúng ta có cùng trường hợp như chúng ta đã có trước đây. Khi mọi việc kết thúc, chúng sẽ chuyển động với vận tốc ½(v₁ − v₂) so với chiếc ô tô. Khi đó tốc độ thật sự trên mặt đất là gì? Nó là v = ½(v₁ − v₂) + v₂ hay ½(v₁ + v₂) (Hình 10–5). Một lần nữa chúng ta lưu ý rằng

mv₁ + mv₂ = 2m(v₁ + v₂)/2.   (10.6)

Như vậy, dùng nguyên lý này, chúng ta có thể phân tích bất kỳ loại va chạm nào trong đó hai vật có khối lượng bằng nhau đập vào nhau và dính vào nhau. Trên thực tế, mặc dù chúng ta chỉ làm việc trong một chiều, chúng ta có thể tìm ra rất nhiều điều về các va chạm phức tạp hơn nhiều bằng cách tưởng tượng rằng chúng ta đang đi ngang qua trong một chiếc ô tô theo một hướng xiên nào đó. Nguyên lý là như nhau, nhưng các chi tiết trở nên phần nào phức tạp.

Để kiểm chứng bằng thực nghiệm xem một vật chuyển động với vận tốc v, va chạm với một vật bằng nó đang đứng yên, có tạo thành một vật chuyển động với vận tốc v/2 hay không, chúng ta có thể thực hiện thí nghiệm sau với thiết bị máng khí của chúng ta. Chúng ta đặt trong máng ba vật có khối lượng bằng nhau, hai trong số đó ban đầu được nối với nhau bằng thiết bị xi lanh nổ của chúng ta, vật thứ ba ở rất gần nhưng hơi tách ra khỏi chúng và được trang bị một đệm dính sao cho nó sẽ dính vào một vật khác đập vào nó. Bây giờ, một lúc sau vụ nổ, chúng ta có hai vật có khối lượng m chuyển động với các vận tốc bằng nhau và ngược nhau v. Một lúc sau đó, một trong các vật này va chạm với vật thứ ba và tạo thành một vật có khối lượng 2m đang chuyển động, như chúng ta tin, với vận tốc v/2. Chúng ta kiểm tra xem nó thật sự là v/2 như thế nào? Bằng cách sắp xếp các vị trí ban đầu của các khối lượng trên máng sao cho các khoảng cách đến các đầu không bằng nhau, mà theo tỉ lệ 2:1. Như vậy khối lượng đầu tiên của chúng ta, vẫn tiếp tục chuyển động với vận tốc v, phải đi được khoảng cách gấp đôi trong một thời gian cho trước so với hai khối lượng đã dính vào nhau (có tính đến khoảng cách nhỏ mà vật thứ hai đã đi được trước khi nó va chạm với vật thứ ba). Khối lượng m và khối lượng 2m phải đến các đầu cùng một lúc, và khi chúng ta thử, chúng ta thấy rằng chúng thật sự như vậy (Hình 10–6).

Bài toán tiếp theo chúng ta muốn làm rõ là điều gì xảy ra nếu chúng ta có hai khối lượng khác nhau. Chúng ta hãy lấy một khối lượng m và một khối lượng 2m và áp dụng tương tác nổ của chúng ta. Khi đó điều gì sẽ xảy ra? Nếu, do kết quả của vụ nổ, m chuyển động với vận tốc v, thì 2m chuyển động với vận tốc nào? Thí nghiệm chúng ta vừa làm có thể được lặp lại với khoảng cách bằng không giữa khối lượng thứ hai và thứ ba, và khi chúng ta thử, chúng ta thu được cùng kết quả, tức là các khối lượng phản tác dụng m và 2m đạt các vận tốc −v và v/2. Như vậy phản tác dụng trực tiếp giữa m và 2m cho cùng kết quả như phản tác dụng đối xứng giữa m và m, tiếp theo là một va chạm giữa m và một khối lượng thứ ba m trong đó chúng dính vào nhau. Hơn nữa, chúng ta thấy rằng các khối lượng m và 2m quay trở lại từ các đầu của máng, với các vận tốc của chúng (gần như) đảo ngược đúng, sẽ dừng chết nếu chúng dính vào nhau.

Bây giờ câu hỏi tiếp theo chúng ta có thể đặt ra là thế này. Điều gì sẽ xảy ra nếu một khối lượng m với vận tốc v, chẳng hạn, đập vào và dính vào một khối lượng khác 2m đang đứng yên? Điều này rất dễ trả lời bằng nguyên lý tương đối Galileo của chúng ta, vì chúng ta chỉ việc quan sát va chạm chúng ta vừa mô tả từ một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc −v/2 (Hình 10–7). Từ chiếc ô tô, các vận tốc là

v₁′ = v − v(ô tô) = v + v/2 = 3v/2,

và

v₂′ = −v/2 − v(ô tô) = −v/2 + v/2 = 0.

Sau va chạm, khối lượng 3m đối với chúng ta dường như đang chuyển động với vận tốc v/2. Như vậy chúng ta có câu trả lời, tức là tỉ lệ của các vận tốc trước và sau va chạm là 3 trên 1: nếu một vật có khối lượng m va chạm với một vật đứng yên có khối lượng 2m, thì toàn bộ sẽ chuyển động đi, dính vào nhau, với vận tốc bằng 1/3 như vậy. Quy tắc tổng quát một lần nữa là tổng của các tích của các khối lượng và các vận tốc vẫn như nhau: mv + 0 bằng 3m nhân với v/3, nên chúng ta đang dần dần xây dựng định lý bảo toàn động lượng, từng mảnh một.

Bây giờ chúng ta có một chống lại hai. Dùng các lập luận như vậy, chúng ta có thể tiên đoán kết quả của một chống lại ba, hai chống lại ba, v.v. Trường hợp hai chống lại ba, bắt đầu từ trạng thái nghỉ, được cho thấy trong Hình 10–8.

Trong mọi trường hợp, chúng ta thấy rằng khối lượng của vật thứ nhất nhân với vận tốc của nó, cộng với khối lượng của vật thứ hai nhân với vận tốc của nó, bằng tổng khối lượng của vật cuối cùng nhân với vận tốc của nó. Đây đều là các ví dụ, vậy, về sự bảo toàn động lượng. Bắt đầu từ các trường hợp đơn giản, đối xứng, chúng ta đã chứng minh định luật cho các trường hợp phức tạp hơn. Trên thực tế, chúng ta có thể làm điều đó cho bất kỳ tỉ lệ khối lượng hữu tỉ nào, và vì mọi tỉ lệ đều cực kỳ gần với một tỉ lệ hữu tỉ, chúng ta có thể xử lý mọi tỉ lệ chính xác tùy ý chúng ta muốn.

10–4  Động lượng và năng lượng

Mọi ví dụ nêu trên đều là các trường hợp đơn giản trong đó các vật va chạm và dính vào nhau, hay ban đầu dính vào nhau và sau đó bị tách ra bởi một vụ nổ. Tuy nhiên, có những tình huống trong đó các vật không dính vào nhau, như, ví dụ, hai vật có khối lượng bằng nhau va chạm với các tốc độ bằng nhau rồi nảy ra. Trong một khoảnh khắc ngắn, chúng tiếp xúc với nhau và cả hai đều bị nén. Tại thời điểm nén cực đại, cả hai đều có vận tốc bằng không và năng lượng được trữ trong các vật đàn hồi, như trong một lò xo bị nén. Năng lượng này bắt nguồn từ động năng các vật có trước va chạm, động năng này trở thành bằng không tại thời điểm vận tốc của chúng bằng không. Tuy nhiên, sự mất động năng chỉ là nhất thời. Trạng thái bị nén tương tự như nắp nổ giải phóng năng lượng trong một vụ nổ. Các vật lập tức được giải nén trong một loại vụ nổ, và lại bay ra xa nhau; nhưng chúng ta đã biết trường hợp đó — các vật bay ra xa nhau với các tốc độ bằng nhau. Tuy nhiên, tốc độ nảy ra này, nói chung, nhỏ hơn tốc độ ban đầu, bởi vì không phải mọi năng lượng đều sẵn có cho vụ nổ, tùy thuộc vào vật liệu. Nếu vật liệu là đất nặn, không có động năng nào được thu hồi, nhưng nếu nó là một cái gì đó cứng hơn, một ít động năng thường được lấy lại. Trong va chạm, phần động năng còn lại được biến đổi thành nhiệt và năng lượng dao động — các vật nóng lên và đang rung. Năng lượng dao động cũng sớm được biến đổi thành nhiệt. Người ta có thể làm các vật va chạm từ các vật liệu có tính đàn hồi cao, chẳng hạn thép, với các đệm lò xo được thiết kế cẩn thận, sao cho va chạm tạo ra rất ít nhiệt và rung động. Trong các hoàn cảnh này, các vận tốc nảy ra thực tế bằng các vận tốc ban đầu; một va chạm như vậy được gọi là đàn hồi.

Việc các tốc độ trước và sau một va chạm đàn hồi bằng nhau không phải là vấn đề bảo toàn động lượng, mà là vấn đề bảo toàn động năng. Tuy nhiên, việc các vận tốc của các vật nảy ra sau một va chạm đối xứng bằng nhau và ngược nhau với nhau là vấn đề bảo toàn động lượng.

Chúng ta có thể phân tích tương tự các va chạm giữa các vật có khối lượng khác nhau, các vận tốc ban đầu khác nhau, và các mức độ đàn hồi khác nhau, và xác định các vận tốc cuối cùng và sự mất động năng, nhưng chúng ta sẽ không đi vào chi tiết của các quá trình này.

Các va chạm đàn hồi đặc biệt thú vị đối với các hệ không có “bánh răng, bánh xe, hay bộ phận” bên trong. Khi đó khi có một va chạm, không có nơi nào để năng lượng bị giữ lại, bởi vì các vật chuyển động ra xa nhau ở trong cùng trạng thái như khi chúng va chạm. Do đó, giữa các vật rất cơ bản, các va chạm luôn đàn hồi hay rất gần như đàn hồi. Ví dụ, các va chạm giữa các nguyên tử hay phân tử trong một chất khí được nói là hoàn toàn đàn hồi. Mặc dù đây là một phép gần đúng tuyệt vời, ngay cả các va chạm như vậy cũng không hoàn toàn đàn hồi; nếu không, người ta không thể hiểu được làm thế nào năng lượng dưới dạng bức xạ ánh sáng hay nhiệt có thể đi ra khỏi một chất khí. Thỉnh thoảng, trong một va chạm khí, một tia hồng ngoại năng lượng thấp được phát ra, nhưng sự việc này rất hiếm và năng lượng phát ra rất nhỏ. Vì vậy, đối với hầu hết các mục đích, các va chạm của các phân tử trong các chất khí được coi là hoàn toàn đàn hồi.

Như một ví dụ thú vị, chúng ta hãy xét một va chạm đàn hồi giữa hai vật có khối lượng bằng nhau. Nếu chúng đến với nhau với cùng tốc độ, chúng sẽ đi ra xa nhau với cùng tốc độ đó, do đối xứng. Nhưng bây giờ hãy nhìn điều này trong một hoàn cảnh khác, trong đó một trong chúng đang chuyển động với vận tốc v và vật còn lại đang đứng yên. Điều gì xảy ra? Chúng ta đã trải qua điều này trước đây. Chúng ta quan sát va chạm đối xứng từ một chiếc ô tô chuyển động dọc theo cùng với một trong các vật, và chúng ta thấy rằng nếu một vật đứng yên bị một vật khác có khối lượng đúng bằng như vậy đập vào một cách đàn hồi, vật đang chuyển động sẽ dừng lại, và vật vốn đang đứng yên bây giờ chuyển động đi với cùng tốc độ mà vật kia đã có; các vật đơn giản là trao đổi vận tốc. Hành vi này có thể dễ dàng được chứng minh bằng một thiết bị va đập thích hợp. Tổng quát hơn, nếu cả hai vật đều đang chuyển động, với các vận tốc khác nhau, chúng đơn giản là trao đổi vận tốc khi va đập.

Một ví dụ khác về một tương tác gần như đàn hồi là từ tính. Nếu chúng ta sắp xếp một cặp nam châm hình chữ U trong các khối trượt của chúng ta, sao cho chúng đẩy nhau, khi một nam châm lặng lẽ trôi đến gần nam châm còn lại, nó đẩy nam châm còn lại ra xa và đứng yên hoàn toàn, và bây giờ nam châm còn lại đi tiếp, không có ma sát.

Nguyên lý bảo toàn động lượng rất hữu ích, bởi vì nó cho phép chúng ta giải nhiều bài toán mà không cần biết các chi tiết. Chúng ta đã không biết các chi tiết của các chuyển động khí trong vụ nổ nắp, nhưng chúng ta vẫn có thể tiên đoán các vận tốc mà các vật tách ra, chẳng hạn. Một ví dụ thú vị khác là lực đẩy tên lửa. Một tên lửa có khối lượng lớn, M, phóng ra một miếng nhỏ, có khối lượng m, với một vận tốc khủng khiếp V so với tên lửa. Sau việc này, tên lửa, nếu ban đầu nó đang đứng yên, sẽ chuyển động với một vận tốc nhỏ, v. Dùng nguyên lý bảo toàn động lượng, chúng ta có thể tính vận tốc này là

v = (m/M) · V.

Chừng nào vật chất còn đang được phóng ra, tên lửa tiếp tục tăng tốc độ. Lực đẩy tên lửa về bản chất giống như độ giật của một khẩu súng: không cần có không khí nào để đẩy vào.

10–5  Động lượng tương đối tính

Trong thời hiện đại, định luật bảo toàn động lượng đã trải qua một số sửa đổi nhất định. Tuy nhiên, định luật vẫn đúng cho đến ngày nay, các sửa đổi chủ yếu nằm ở các định nghĩa của các thứ. Trong lý thuyết tương đối, hóa ra chúng ta quả thật có sự bảo toàn động lượng; các hạt có khối lượng và động lượng vẫn được cho bởi mv, khối lượng nhân với vận tốc, nhưng khối lượng thay đổi theo vận tốc, do đó động lượng cũng thay đổi. Khối lượng biến thiên theo vận tốc theo định luật

m = m₀/√(1 − v²/c²),   (10.7)

trong đó m₀ là khối lượng của vật khi đứng yên và c là tốc độ ánh sáng. Dễ thấy từ công thức rằng có sự khác biệt không đáng kể giữa m và m₀ trừ khi v rất lớn, và rằng đối với các vận tốc thông thường biểu thức cho động lượng rút gọn thành công thức cũ.

Các thành phần của động lượng đối với một hạt đơn lẻ được viết là

p_x = m₀v_x/√(1 − v²/c²),   p_y = m₀v_y/√(1 − v²/c²),   p_z = m₀v_z/√(1 − v²/c²),   (10.8)

trong đó v² = v_x² + v_y² + v_z². Nếu các thành phần x được cộng lại trên mọi hạt tương tác, cả trước và sau một va chạm, các tổng bằng nhau; tức là, động lượng được bảo toàn theo hướng x. Điều tương tự cũng đúng theo bất kỳ hướng nào.

Trong Chương 4, chúng ta đã thấy rằng định luật bảo toàn năng lượng không có hiệu lực trừ khi chúng ta nhận ra rằng năng lượng xuất hiện dưới các dạng khác nhau, năng lượng điện, năng lượng cơ học, năng lượng bức xạ, năng lượng nhiệt, và cứ như vậy. Trong một số trường hợp này, năng lượng nhiệt chẳng hạn, năng lượng có thể được nói là “bị giấu”. Ví dụ này có thể gợi ra câu hỏi, “Cũng có các dạng bị giấu của động lượng không — có lẽ là động lượng nhiệt?” Câu trả lời là rất khó giấu động lượng vì các lý do sau đây.

Các chuyển động ngẫu nhiên của các nguyên tử của một vật cung cấp một thước đo của năng lượng nhiệt, nếu các bình phương của các vận tốc được cộng lại. Tổng này sẽ là một kết quả dương, không có tính chất hướng nào. Nhiệt ở đó, dù vật có chuyển động như một toàn thể hay không, và sự bảo toàn năng lượng dưới dạng nhiệt không được rõ ràng lắm. Mặt khác, nếu người ta cộng các vận tốc, vốn có hướng, và tìm ra một kết quả không bằng không, điều đó có nghĩa là có một sự trôi của toàn bộ vật theo một hướng cụ thể nào đó, và một động lượng tổng thể như vậy dễ dàng được quan sát. Như vậy không có động lượng nội bộ ngẫu nhiên bị mất, bởi vì vật chỉ có động lượng tịnh khi nó chuyển động như một toàn thể. Do đó động lượng, như một đại lượng cơ học, khó giấu. Tuy nhiên, động lượng có thể bị giấu — trong trường điện từ, chẳng hạn. Trường hợp này là một hiệu ứng khác của thuyết tương đối.

Một trong các mệnh đề của Newton là các tương tác ở khoảng cách xa là tức thời. Hóa ra điều đó không đúng; trong các tình huống liên quan đến các lực điện, chẳng hạn, nếu một điện tích ở một vị trí đột ngột được di chuyển, các tác dụng lên một điện tích khác, ở một nơi khác, không xuất hiện tức thời — có một độ trễ nhỏ. Trong các hoàn cảnh đó, ngay cả khi các lực bằng nhau, động lượng sẽ không khớp; sẽ có một khoảng thời gian ngắn mà sẽ có rắc rối, bởi vì trong một lúc điện tích thứ nhất sẽ cảm thấy một lực phản tác dụng nào đó, chẳng hạn, và sẽ thu được một ít động lượng, nhưng điện tích thứ hai chưa cảm thấy gì và chưa thay đổi động lượng của nó. Cần có thời gian để ảnh hưởng đi qua khoảng cách ở giữa, điều nó thực hiện với tốc độ 186.000 dặm một giây. Trong khoảng thời gian nhỏ xíu đó, động lượng của các hạt không được bảo toàn. Dĩ nhiên sau khi điện tích thứ hai đã cảm thấy tác dụng của điện tích thứ nhất và mọi thứ đã lắng xuống, phương trình động lượng sẽ khớp đúng, nhưng trong khoảng nhỏ đó động lượng không được bảo toàn. Chúng ta biểu diễn điều này bằng cách nói rằng trong khoảng đó có một loại động lượng khác ngoài động lượng của hạt, mv, và đó là động lượng trong trường điện từ. Nếu chúng ta cộng động lượng của trường vào động lượng của các hạt, thì động lượng được bảo toàn ở mọi thời điểm mọi lúc. Sự kiện rằng trường điện từ có thể sở hữu động lượng và năng lượng làm cho trường đó rất thật, và vì vậy, để hiểu rõ hơn, ý tưởng ban đầu rằng chỉ có các lực giữa các hạt phải được sửa đổi thành ý tưởng rằng một hạt tạo ra một trường, và một trường tác dụng lên một hạt khác, và bản thân trường có các tính chất quen thuộc như hàm lượng năng lượng và động lượng, đúng như các hạt có thể có. Lấy một ví dụ khác: một trường điện từ có các sóng, mà chúng ta gọi là ánh sáng; hóa ra ánh sáng cũng mang động lượng theo nó, nên khi ánh sáng đập vào một vật, nó mang vào một lượng động lượng nào đó mỗi giây; điều này tương đương với một lực, bởi vì nếu vật được chiếu sáng đang thu được một lượng động lượng nào đó mỗi giây, động lượng của nó đang thay đổi và tình huống đúng như thể có một lực tác dụng lên nó. Ánh sáng có thể gây ra áp suất bằng cách bắn phá một vật; áp suất này rất nhỏ, nhưng với thiết bị đủ tinh vi nó có thể đo được.

Bây giờ trong cơ học lượng tử hóa ra động lượng là một thứ khác — nó không còn là mv nữa. Thật khó định nghĩa chính xác điều được muốn nói bởi vận tốc của một hạt, nhưng động lượng vẫn tồn tại. Trong cơ học lượng tử, sự khác biệt là khi các hạt được biểu diễn như các hạt, động lượng vẫn là mv, nhưng khi các hạt được biểu diễn như các sóng, động lượng được đo bởi số sóng trên một centimét: số sóng này càng lớn, động lượng càng lớn. Bất chấp các khác biệt, định luật bảo toàn động lượng cũng đúng trong cơ học lượng tử. Mặc dù định luật F = ma là sai, và mọi suy luận của Newton đều sai đối với sự bảo toàn động lượng, trong cơ học lượng tử, tuy nhiên, cuối cùng, định luật cụ thể đó vẫn tự duy trì!