Chương 11: Vectơ

Tóm tắt: Vectơ

Một “đại lượng có hướng” (mà thật ra là 3 đại lượng; các thành phần a_x, a_y, a_z trên ba trục) được biểu diễn bằng một ký hiệu duy nhất a. Chúng có thể được cộng lại: a + b = c có nghĩa là a_x + b_x = c_x, v.v. đối với y, z. Chúng có thể được nhân với một hằng số: αa = b có nghĩa là αa_x = b_x, v.v. đối với y, z. Hai vectơ có thể tạo thành một vô hướng (như nhau trong mọi hệ tọa độ): a · b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a| · |b| cos θ.

11–1  Đối xứng trong vật lý

Trong chương này, chúng ta giới thiệu một chủ đề mà về mặt kỹ thuật trong vật lý được gọi là tính đối xứng trong định luật vật lý. Từ “đối xứng” được dùng ở đây với một ý nghĩa đặc biệt, và do đó cần được định nghĩa. Khi nào một vật là đối xứng — chúng ta có thể định nghĩa nó như thế nào? Khi chúng ta có một bức tranh đối xứng, một phía bằng cách nào đó giống hệt phía còn lại. Giáo sư Hermann Weyl đã đưa ra định nghĩa về đối xứng như thế này: một vật là đối xứng nếu người ta có thể áp dụng lên nó một phép biến đổi nào đó mà sau phép biến đổi đó nó trông vẫn hệt như cũ. Ví dụ, nếu chúng ta nhìn vào hình bóng của một chiếc bình đối xứng trái–phải, rồi quay nó 180° quanh trục thẳng đứng, nó trông vẫn như cũ. Chúng ta sẽ chấp nhận định nghĩa đối xứng của Weyl ở dạng tổng quát hơn của nó, và ở dạng đó chúng ta sẽ thảo luận về tính đối xứng của các định luật vật lý.

Giả sử chúng ta chế tạo một cỗ máy phức tạp tại một nơi nào đó, với rất nhiều tương tác phức tạp, những quả bóng nảy qua lại với các lực giữa chúng, và cứ thế. Bây giờ giả sử chúng ta chế tạo đúng cùng một loại thiết bị tại một nơi khác, khớp từng bộ phận, cùng kích thước và cùng hướng, mọi thứ đều như nhau chỉ dời ngang đi một khoảng nào đó. Khi đó, nếu chúng ta khởi động hai cỗ máy trong cùng những hoàn cảnh ban đầu, tương ứng chính xác với nhau, chúng ta hỏi: liệu một cỗ máy có hoạt động hệt như cỗ máy kia không? Liệu nó có tuân theo mọi chuyển động trong sự song song chính xác không? Dĩ nhiên câu trả lời rất có thể là không, bởi vì nếu chúng ta chọn sai chỗ cho cỗ máy của mình, nó có thể nằm bên trong một bức tường và những can thiệp từ bức tường sẽ khiến cỗ máy không hoạt động được.

Mọi ý tưởng của chúng ta trong vật lý đều đòi hỏi một lượng lương tri nhất định khi áp dụng; chúng không phải là những ý tưởng thuần túy toán học hay trừu tượng. Chúng ta phải hiểu chúng ta có ý gì khi nói rằng các hiện tượng là như nhau khi chúng ta dời thiết bị đến một vị trí mới. Chúng ta có ý rằng chúng ta dời mọi thứ mà chúng ta tin là có liên quan; nếu hiện tượng không như cũ, chúng ta gợi ý rằng có một thứ gì đó có liên quan đã không được dời theo, và chúng ta tiến hành đi tìm nó. Nếu chúng ta không bao giờ tìm thấy nó, thì chúng ta khẳng định rằng các định luật vật lý không có tính đối xứng này. Ngược lại, chúng ta có thể tìm thấy nó — chúng ta kỳ vọng sẽ tìm thấy nó — nếu các định luật vật lý quả thật có tính đối xứng này; nhìn quanh, chúng ta có thể khám phá ra, chẳng hạn, rằng bức tường đang đẩy lên thiết bị. Câu hỏi cơ bản là, nếu chúng ta định nghĩa mọi thứ đủ tốt, nếu mọi lực thiết yếu đều được bao gồm bên trong thiết bị, nếu mọi bộ phận có liên quan đều được dời từ nơi này sang nơi khác, liệu các định luật có còn như cũ không? Liệu cỗ máy có hoạt động theo cùng một cách không?

Rõ ràng là điều chúng ta muốn làm là dời mọi thiết bị và những ảnh hưởng thiết yếu, chứ không phải mọi thứ trên đời — các hành tinh, các ngôi sao, và tất cả — bởi vì nếu chúng ta làm vậy, chúng ta lại có cùng một hiện tượng vì lý do hiển nhiên là chúng ta đã quay lại đúng chỗ chúng ta bắt đầu. Không, chúng ta không thể dời mọi thứ. Nhưng trong thực tế hóa ra là, với một lượng thông minh nhất định về việc nên dời cái gì, cỗ máy sẽ hoạt động. Nói cách khác, nếu chúng ta không đi vào bên trong một bức tường, nếu chúng ta biết nguồn gốc của các ngoại lực, và sắp xếp để những thứ đó cũng được dời theo, thì cỗ máy sẽ hoạt động như nhau ở vị trí này cũng như ở vị trí khác.

11–2  Phép tịnh tiến

Chúng ta sẽ giới hạn phân tích của mình chỉ trong cơ học, lĩnh vực mà hiện nay chúng ta đã có đủ kiến thức. Trong các chương trước, chúng ta đã thấy rằng các định luật cơ học có thể được tóm tắt bằng một tập hợp ba phương trình cho mỗi hạt:

m(d²x/dt²) = F_x,   m(d²y/dt²) = F_y,   m(d²z/dt²) = F_z.   (11.1)

Bây giờ điều này có nghĩa là tồn tại một cách đo x, y và z trên ba trục vuông góc, và các lực dọc theo những hướng đó, sao cho các định luật này đúng. Những đại lượng này phải được đo từ một gốc tọa độ nào đó, nhưng chúng ta đặt gốc tọa độ ở đâu? Tất cả những gì Newton sẽ nói với chúng ta lúc đầu là có tồn tại một nơi nào đó mà chúng ta có thể đo từ đó, có lẽ là tâm của vũ trụ, sao cho các định luật này đúng. Nhưng chúng ta có thể chỉ ra ngay rằng chúng ta không bao giờ có thể tìm thấy cái tâm đó, bởi vì nếu chúng ta dùng một gốc tọa độ khác thì cũng chẳng có gì khác biệt. Nói cách khác, giả sử có hai người — Joe, người có một gốc tọa độ ở một nơi, và Moe, người có một hệ song song mà gốc của nó ở một nơi khác (Hình 11–1). Bây giờ khi Joe đo vị trí của điểm trong không gian, anh ta thấy nó ở x, y và z (chúng ta thường sẽ bỏ z đi vì nó quá rối khi vẽ trong một bức tranh). Ngược lại, Moe, khi đo cùng một điểm đó, sẽ thu được một x khác (để phân biệt, chúng ta sẽ gọi nó là x′), và về nguyên tắc một y khác, mặc dù trong ví dụ của chúng ta chúng bằng nhau về số. Vậy chúng ta có

x′ = x − a,   y′ = y,   z′ = z.   (11.2)

Bây giờ để hoàn thành phân tích của mình, chúng ta phải biết Moe sẽ thu được gì đối với các lực. Lực được cho là tác dụng dọc theo một đường nào đó, và khi nói lực theo hướng x chúng ta có ý là phần của tổng lực nằm theo hướng x, tức là độ lớn của lực nhân với cosin này của góc của nó với trục x. Bây giờ chúng ta thấy rằng Moe sẽ dùng đúng cùng một hình chiếu như Joe sẽ dùng, vậy chúng ta có một tập hợp các phương trình

F_x′ = F_x,   F_y′ = F_y,   F_z′ = F_z.   (11.3)

Đây sẽ là các mối quan hệ giữa các đại lượng như được Joe và Moe nhìn thấy.

Câu hỏi là, nếu Joe biết các định luật Newton, và nếu Moe thử viết ra các định luật Newton, liệu chúng có cũng đúng đối với anh ta không? Liệu việc chúng ta đo các điểm từ gốc tọa độ nào có tạo ra sự khác biệt gì không? Nói cách khác, giả sử rằng các phương trình (11.1) là đúng, và các phương trình (11.2) và (11.3) cho mối quan hệ của các phép đo, thì điều sau đây có đúng hay không:

(a)  m(d²x′/dt²) = F_x′,    (b)  m(d²y′/dt²) = F_y′,    (c)  m(d²z′/dt²) = F_z′?   (11.4)

Để kiểm tra các phương trình này, chúng ta sẽ lấy đạo hàm công thức cho x′ hai lần. Trước hết

dx′/dt = d(x − a)/dt = dx/dt − da/dt.

Bây giờ chúng ta sẽ giả sử rằng gốc tọa độ của Moe cố định (không chuyển động) so với gốc của Joe; do đó a là một hằng số và da/dt = 0, vậy chúng ta thấy rằng

dx′/dt = dx/dt,

và do đó,

d²x′/dt² = d²x/dt²;

do đó chúng ta biết rằng phương trình (11.4a) trở thành

m(d²x/dt²) = F_x′.

(Chúng ta cũng giả sử rằng các khối lượng do Joe và Moe đo được là bằng nhau.) Như vậy gia tốc nhân với khối lượng cũng bằng như của người kia. Chúng ta cũng đã tìm ra công thức cho F_x′, bởi vì, thay từ phương trình (11.1), chúng ta thấy rằng

F_x′ = F_x.

Do đó các định luật như Moe nhìn thấy cũng hiện ra như cũ; anh ta cũng có thể viết các định luật Newton, với các tọa độ khác, và chúng vẫn sẽ đúng. Điều đó có nghĩa là không có cách duy nhất nào để định nghĩa gốc tọa độ của thế giới, bởi vì các định luật sẽ hiện ra như nhau, bất kể chúng được quan sát từ vị trí nào.

Điều này cũng đúng: nếu có một thiết bị ở một nơi với một loại máy móc nào đó ở trong nó, cùng một thiết bị đó ở một nơi khác sẽ hoạt động theo cùng một cách. Vì sao? Bởi vì một cỗ máy, khi được Moe phân tích, có đúng cùng các phương trình như cỗ máy kia, khi được Joe phân tích. Vì các phương trình là như nhau, các hiện tượng hiện ra như nhau. Vậy chứng minh rằng một thiết bị ở vị trí mới hoạt động như nó đã hoạt động ở vị trí cũ cũng chính là chứng minh rằng các phương trình khi bị dời trong không gian sẽ tự tái tạo lại chính chúng. Do đó chúng ta nói rằng các định luật vật lý là đối xứng đối với các phép dời tịnh tiến, đối xứng theo nghĩa là các định luật không thay đổi khi chúng ta thực hiện một phép tịnh tiến các tọa độ của mình. Dĩ nhiên, theo trực giác thì việc này đúng là hiển nhiên, nhưng thật thú vị và vui khi thảo luận về toán học của nó.

11–3  Phép quay

Điều ở trên là điều đầu tiên trong một loạt những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn liên quan đến tính đối xứng của một định luật vật lý. Mệnh đề tiếp theo là việc chúng ta chọn các trục theo hướng nào cũng không nên tạo ra sự khác biệt. Nói cách khác, nếu chúng ta chế tạo một thiết bị ở một nơi nào đó và xem nó vận hành, và gần đó chúng ta chế tạo cùng một loại thiết bị nhưng đặt nó nghiêng một góc, liệu nó có vận hành theo cùng một cách không? Hiển nhiên là nó sẽ không vận hành như vậy nếu nó là một chiếc đồng hồ quả lắc đứng (Grandfather clock), chẳng hạn! Nếu một chiếc đồng hồ quả lắc đứng thẳng, nó hoạt động tốt, nhưng nếu nó bị nghiêng đi, quả lắc rơi vào thành của vỏ đồng hồ và không có gì xảy ra cả. Vậy thì định lý là sai trong trường hợp đồng hồ quả lắc, trừ khi chúng ta bao gồm cả Trái Đất, vốn đang kéo quả lắc. Do đó chúng ta có thể đưa ra một tiên đoán về đồng hồ quả lắc nếu chúng ta tin vào tính đối xứng của định luật vật lý đối với phép quay: có một thứ gì đó khác nữa liên quan đến sự vận hành của một chiếc đồng hồ quả lắc ngoài bộ máy của chiếc đồng hồ, một thứ gì đó ở bên ngoài nó mà chúng ta nên đi tìm. Chúng ta cũng có thể tiên đoán rằng đồng hồ quả lắc sẽ không hoạt động theo cùng một cách khi được đặt ở những nơi khác nhau so với nguồn bí ẩn gây ra sự bất đối xứng này, có lẽ là Trái Đất. Quả thật, chúng ta biết rằng một chiếc đồng hồ quả lắc ở trên một vệ tinh nhân tạo, chẳng hạn, cũng sẽ không tích tắc, bởi vì không có lực hiệu dụng nào, và trên Sao Hỏa nó sẽ chạy với một tốc độ khác. Đồng hồ quả lắc quả thật liên quan đến một thứ gì đó hơn là chỉ bộ máy bên trong, chúng liên quan đến một thứ gì đó ở bên ngoài.

Một khi chúng ta nhận ra yếu tố này, chúng ta thấy rằng chúng ta phải quay Trái Đất cùng với thiết bị. Dĩ nhiên chúng ta không phải lo về điều đó, nó dễ làm thôi; người ta chỉ việc chờ một hay hai khoảnh khắc và Trái Đất quay; khi đó chiếc đồng hồ quả lắc lại tích tắc trong vị trí mới hệt như trước. Trong khi chúng ta đang quay trong không gian, các góc của chúng ta luôn luôn thay đổi, một cách tuyệt đối; sự thay đổi này dường như không làm phiền chúng ta nhiều lắm, bởi vì trong vị trí mới chúng ta dường như ở trong cùng một điều kiện như trong vị trí cũ. Điều này có một xu hướng nhất định làm người ta bối rối, bởi vì đúng là trong vị trí đã quay, các định luật là như cũ như trong vị trí chưa quay, nhưng không đúng là trong khi chúng ta quay một vật, nó tuân theo cùng các định luật như khi chúng ta không quay nó. Nếu chúng ta thực hiện những thí nghiệm đủ tinh vi, chúng ta có thể biết được rằng Trái Đất đang quay, nhưng không biết được rằng nó đã quay. Nói cách khác, chúng ta không thể xác định vị trí góc của nó, nhưng chúng ta có thể biết rằng nó đang thay đổi.

Bây giờ chúng ta có thể thảo luận về các ảnh hưởng của hướng góc lên các định luật vật lý. Chúng ta hãy tìm hiểu xem cùng một trò chơi với Joe và Moe có hoạt động trở lại không. Lần này, để tránh những phức tạp không cần thiết, chúng ta sẽ giả sử rằng Joe và Moe dùng cùng một gốc tọa độ (chúng ta đã chỉ ra rằng các trục có thể được dời bằng phép tịnh tiến đến một nơi khác). Giả sử rằng các trục của Moe đã quay so với các trục của Joe một góc θ. Hai hệ tọa độ được cho thấy trong Hình 11–2, hình này được giới hạn trong hai chiều. Xét một điểm P bất kỳ có tọa độ (x, y) trong hệ của Joe và (x′, y′) trong hệ của Moe. Chúng ta sẽ bắt đầu, như trong trường hợp trước, bằng cách biểu diễn các tọa độ x′ và y′ theo x, y và θ. Để làm vậy, trước hết chúng ta hạ các đường vuông góc từ P xuống cả bốn trục và vẽ AB vuông góc với PQ. Việc xem xét hình cho thấy rằng x′ có thể được viết thành tổng của hai độ dài dọc theo trục x′, và y′ thành hiệu của hai độ dài dọc theo AB. Tất cả các độ dài này được biểu diễn theo x, y và θ trong các phương trình (11.5), mà chúng ta đã thêm vào một phương trình cho chiều thứ ba:

x′ = x cos θ + y sin θ,   y′ = y cos θ − x sin θ,   z′ = z.   (11.5)

Bước tiếp theo là phân tích mối quan hệ của các lực như được hai người quan sát nhìn thấy, tuân theo cùng một phương pháp tổng quát như trước. Chúng ta hãy giả sử rằng một lực F, vốn đã được phân tích là có các thành phần F_x và F_y (như Joe nhìn thấy), đang tác dụng lên một hạt có khối lượng m, nằm tại điểm P trong Hình 11–2. Để đơn giản, chúng ta hãy dời cả hai tập hợp trục sao cho gốc tọa độ nằm tại P, như được cho thấy trong Hình 11–3. Moe nhìn thấy các thành phần của F dọc theo các trục của mình là F_x′ và F_y′. F_x có các thành phần dọc theo cả hai trục x′ và y′, và F_y cũng có các thành phần dọc theo cả hai trục này. Để biểu diễn F_x′ theo F_x và F_y, chúng ta cộng các thành phần này dọc theo trục x′, và theo cách tương tự chúng ta có thể biểu diễn F_y′ theo F_x và F_y. Các kết quả là

F_x′ = F_x cos θ + F_y sin θ,   F_y′ = F_y cos θ − F_x sin θ,   F_z′ = F_z.   (11.6)

Thật thú vị khi ghi nhận một sự trùng hợp thuộc loại nào đó, vốn có tầm quan trọng cực kỳ lớn: các công thức (11.5) và (11.6), lần lượt cho các tọa độ của P và các thành phần của F, có dạng hệt như nhau.

Như trước, các định luật Newton được giả sử là đúng trong hệ của Joe, và được biểu diễn bởi các phương trình (11.1). Câu hỏi, một lần nữa, là liệu Moe có thể áp dụng các định luật Newton không — liệu các kết quả có đúng đối với hệ các trục đã quay của anh ta không? Nói cách khác, nếu chúng ta giả sử rằng các phương trình (11.5) và (11.6) cho mối quan hệ của các phép đo, thì điều sau đây có đúng hay không đúng:

m(d²x′/dt²) = F_x′,   m(d²y′/dt²) = F_y′,   m(d²z′/dt²) = F_z′?   (11.7)

Để kiểm tra các phương trình này, chúng ta tính các vế trái và vế phải một cách độc lập, và so sánh các kết quả. Để tính các vế trái, chúng ta nhân các phương trình (11.5) với m, và lấy đạo hàm hai lần theo thời gian, giả sử góc θ là hằng số. Điều này cho

m(d²x′/dt²) = m(d²x/dt²) cos θ + m(d²y/dt²) sin θ,
m(d²y′/dt²) = m(d²y/dt²) cos θ − m(d²x/dt²) sin θ,
m(d²z′/dt²) = m(d²z/dt²).   (11.8)

Chúng ta tính các vế phải của các phương trình (11.7) bằng cách thay các phương trình (11.1) vào các phương trình (11.6). Điều này cho

F_x′ = m(d²x/dt²) cos θ + m(d²y/dt²) sin θ,
F_y′ = m(d²y/dt²) cos θ − m(d²x/dt²) sin θ,
F_z′ = m(d²z/dt²).   (11.9)

Kìa! Các vế phải của các phương trình (11.8) và (11.9) là hệt như nhau, vậy chúng ta kết luận rằng nếu các định luật Newton đúng trên một tập hợp trục, chúng cũng có hiệu lực trên bất kỳ tập hợp trục nào khác. Kết quả này, nay đã được thiết lập cho cả phép tịnh tiến và phép quay của các trục, có những hệ quả nhất định: thứ nhất, không ai có thể khẳng định các trục riêng của mình là duy nhất, nhưng dĩ nhiên chúng có thể thuận tiện hơn cho những bài toán cụ thể nhất định. Ví dụ, thật tiện khi có trọng lực dọc theo một trục, nhưng điều này không phải là cần thiết về mặt vật lý. Thứ hai, nó có nghĩa là bất kỳ thiết bị nào hoàn toàn tự chứa, với mọi thiết bị tạo lực hoàn toàn nằm bên trong thiết bị, sẽ hoạt động như nhau khi được quay đi một góc.

11–4  Vectơ

Không chỉ các định luật Newton, mà cả các định luật khác của vật lý, trong chừng mực chúng ta biết ngày nay, đều có hai tính chất mà chúng ta gọi là tính bất biến (hay tính đối xứng) dưới phép tịnh tiến các trục và phép quay các trục. Các tính chất này quan trọng đến mức một kỹ thuật toán học đã được phát triển để tận dụng chúng trong việc viết và sử dụng các định luật vật lý.

Phân tích ở trên liên quan đến khá nhiều công việc toán học tẻ nhạt. Để giảm các chi tiết xuống mức tối thiểu trong việc phân tích những câu hỏi như vậy, một bộ máy toán học rất mạnh đã được nghĩ ra. Hệ thống này, gọi là phép phân tích vectơ, cung cấp tiêu đề của chương này; tuy nhiên, nói một cách nghiêm ngặt, đây là một chương về tính đối xứng của các định luật vật lý. Bằng các phương pháp của phân tích trước đó, chúng ta đã có thể làm mọi thứ cần thiết để thu được các kết quả mà chúng ta tìm kiếm, nhưng trong thực tế chúng ta muốn làm mọi việc dễ dàng và nhanh chóng hơn, vì vậy chúng ta dùng kỹ thuật vectơ.

Chúng ta bắt đầu bằng cách ghi nhận một số đặc điểm của hai loại đại lượng quan trọng trong vật lý. (Thật ra có nhiều hơn hai loại, nhưng chúng ta hãy bắt đầu với hai loại.) Một trong chúng, như số củ khoai tây trong một bao, chúng ta gọi là một đại lượng thông thường, hay một đại lượng không có hướng, hay một vô hướng. Nhiệt độ là một ví dụ của một đại lượng như vậy. Các đại lượng khác quan trọng trong vật lý quả thật có hướng, chẳng hạn vận tốc: chúng ta phải theo dõi một vật đang đi theo hướng nào, chứ không chỉ tốc độ của nó. Động lượng và lực cũng có hướng, độ dời cũng vậy: khi ai đó bước từ một nơi đến một nơi khác trong không gian, chúng ta có thể theo dõi anh ta đã đi bao xa, nhưng nếu chúng ta cũng muốn biết anh ta đã đi đến đâu, chúng ta phải chỉ rõ một hướng.

Mọi đại lượng có một hướng, như một bước đi trong không gian, đều được gọi là vectơ. Một vectơ là ba con số. Để biểu diễn một bước đi trong không gian, chẳng hạn từ gốc tọa độ đến một điểm cụ thể nào đó P mà vị trí của nó là (x, y, z), chúng ta thật sự cần ba con số, nhưng chúng ta sẽ phát minh ra một ký hiệu toán học duy nhất, r, vốn không giống bất kỳ ký hiệu toán học nào khác mà chúng ta đã dùng cho đến nay.¹ Nó không phải là một con số duy nhất, nó biểu diễn ba con số: x, y và z. Nó có nghĩa là ba con số, nhưng không thật sự chỉ là những ba con số đó, bởi vì nếu chúng ta dùng một hệ tọa độ khác, ba con số đó sẽ bị thay đổi thành x′, y′ và z′. Tuy nhiên, chúng ta muốn giữ toán học của mình đơn giản và vì vậy chúng ta sẽ dùng cùng một dấu để biểu diễn ba con số (x, y, z) và ba con số (x′, y′, z′). Nghĩa là, chúng ta dùng cùng một dấu để biểu diễn tập hợp ba con số đầu tiên cho một hệ tọa độ, nhưng tập hợp ba con số thứ hai nếu chúng ta đang dùng hệ tọa độ còn lại. Điều này có lợi thế là khi chúng ta đổi hệ tọa độ, chúng ta không phải thay đổi các chữ cái trong các phương trình của mình. Nếu chúng ta viết một phương trình theo x, y, z, rồi sau đó dùng một hệ khác, chúng ta phải đổi sang x′, y′, z′, nhưng chúng ta sẽ chỉ viết r, với quy ước rằng nó biểu diễn (x, y, z) nếu chúng ta dùng một tập hợp trục, hay (x′, y′, z′) nếu chúng ta dùng tập hợp trục còn lại, và cứ thế. Ba con số mô tả đại lượng trong một hệ tọa độ cho trước được gọi là các thành phần của vectơ theo hướng của các trục tọa độ của hệ đó. Nghĩa là, chúng ta dùng cùng một ký hiệu cho ba chữ cái tương ứng với cùng một vật, như được nhìn từ các trục khác nhau. Chính sự kiện là chúng ta có thể nói “cùng một vật” ngụ ý một trực giác vật lý về tính hiện thực của một bước đi trong không gian, vốn độc lập với các thành phần mà chúng ta dùng để đo nó. Vậy ký hiệu r sẽ biểu diễn cùng một thứ bất kể chúng ta quay các trục như thế nào.

Bây giờ giả sử có một đại lượng vật lý có hướng khác, bất kỳ đại lượng nào khác, cũng có ba con số gắn với nó, như lực, và ba con số này thay đổi thành ba con số khác theo một quy tắc toán học nào đó, nếu chúng ta đổi các trục. Nó phải là cùng một quy tắc làm thay đổi (x, y, z) thành (x′, y′, z′). Nói cách khác, bất kỳ đại lượng vật lý nào gắn với ba con số biến đổi như các thành phần của một bước đi trong không gian đều là một vectơ. Một phương trình như

F = r

như vậy sẽ đúng trong bất kỳ hệ tọa độ nào nếu nó đúng trong một hệ. Dĩ nhiên, phương trình này đại diện cho ba phương trình

F_x = x,   F_y = y,   F_z = z,

hay, một cách khác, cho

F_x′ = x′,   F_y′ = y′,   F_z′ = z′.

Sự kiện là một mối quan hệ vật lý có thể được biểu diễn thành một phương trình vectơ đảm bảo cho chúng ta rằng mối quan hệ đó không thay đổi bởi một phép quay thuần túy của hệ tọa độ. Đó là lý do vì sao vectơ rất hữu ích trong vật lý.

Bây giờ chúng ta hãy xét một số tính chất của vectơ. Là các ví dụ của vectơ, chúng ta có thể kể đến vận tốc, động lượng, lực và gia tốc. Đối với nhiều mục đích, thật thuận tiện khi biểu diễn một đại lượng vectơ bằng một mũi tên chỉ hướng mà nó đang tác dụng. Vì sao chúng ta có thể biểu diễn lực, chẳng hạn, bằng một mũi tên? Bởi vì nó có cùng các tính chất biến đổi toán học như một “bước đi trong không gian”. Như vậy chúng ta biểu diễn nó trong một sơ đồ như thể nó là một bước đi, dùng một tỉ lệ xích sao cho một đơn vị lực, hay một newton, tương ứng với một độ dài thuận tiện nào đó. Một khi chúng ta đã làm điều này, mọi lực đều có thể được biểu diễn thành các độ dài, bởi vì một phương trình như

F = kr,

trong đó k là một hằng số nào đó, là một phương trình hoàn toàn hợp lệ. Như vậy chúng ta luôn có thể biểu diễn các lực bằng các đường thẳng, điều này rất thuận tiện, bởi vì một khi chúng ta đã vẽ đường thẳng đó, chúng ta không còn cần các trục nữa. Dĩ nhiên, chúng ta có thể nhanh chóng tính ra ba thành phần khi chúng thay đổi lúc quay các trục, bởi vì đó chỉ là một bài toán hình học.

11–5  Đại số vectơ

Bây giờ chúng ta phải mô tả các định luật, hay các quy tắc, để kết hợp các vectơ theo nhiều cách khác nhau. Sự kết hợp đầu tiên như vậy là phép cộng hai vectơ: giả sử rằng a là một vectơ mà trong một hệ tọa độ cụ thể nào đó có ba thành phần (a_x, a_y, a_z), và rằng b là một vectơ khác có ba thành phần (b_x, b_y, b_z). Bây giờ chúng ta hãy phát minh ra ba con số mới (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z). Liệu chúng có tạo thành một vectơ không? “Chà,” chúng ta có thể nói, “chúng là ba con số, và mọi bộ ba con số đều tạo thành một vectơ.” Không, không phải mọi bộ ba con số đều tạo thành một vectơ! Để nó là một vectơ, không chỉ phải có ba con số, mà những con số này phải gắn với một hệ tọa độ theo cách sao cho nếu chúng ta quay hệ tọa độ, ba con số đó sẽ “xoay” lẫn vào nhau, “trộn lẫn” vào nhau, theo đúng các định luật chính xác mà chúng ta đã mô tả. Vậy câu hỏi là, nếu bây giờ chúng ta quay hệ tọa độ sao cho (a_x, a_y, a_z) trở thành (a_x′, a_y′, a_z′) và (b_x, b_y, b_z) trở thành (b_x′, b_y′, b_z′), thì (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) trở thành cái gì? Chúng có trở thành (a_x′ + b_x′, a_y′ + b_y′, a_z′ + b_z′) hay không? Câu trả lời, dĩ nhiên, là có, bởi vì các phép biến đổi mẫu của phương trình (11.5) tạo thành cái mà chúng ta gọi là một phép biến đổi tuyến tính. Nếu chúng ta áp dụng các phép biến đổi đó cho a_x và b_x để thu được a_x′ + b_x′, chúng ta thấy rằng a_x + b_x đã biến đổi quả thật bằng đúng a_x′ + b_x′. Khi a và b được “cộng lại với nhau” theo nghĩa này, chúng sẽ tạo thành một vectơ mà chúng ta có thể gọi là c. Chúng ta sẽ viết điều này thành

c = a + b.

Bây giờ c có tính chất thú vị

c = b + a,

như chúng ta có thể thấy ngay từ các thành phần của nó. Như vậy cũng có,

a + (b + c) = (a + b) + c.

Chúng ta có thể cộng các vectơ theo bất kỳ thứ tự nào.

Ý nghĩa hình học của a + b là gì? Giả sử rằng a và b được biểu diễn bằng các đường thẳng trên một tờ giấy, c sẽ trông như thế nào? Điều này được cho thấy trong Hình 11–4. Chúng ta thấy rằng chúng ta có thể cộng các thành phần của b vào các thành phần của a một cách thuận tiện nhất nếu chúng ta đặt hình chữ nhật biểu diễn các thành phần của b bên cạnh hình chữ nhật biểu diễn các thành phần của a theo cách đã chỉ ra. Vì b vừa “khớp” vào hình chữ nhật của nó, cũng như a khớp vào hình chữ nhật của nó, điều này cũng giống như đặt “đuôi” của b lên “đầu” của a, mũi tên từ “đuôi” của a đến “đầu” của b chính là vectơ c. Dĩ nhiên, nếu chúng ta cộng a vào b theo cách ngược lại, chúng ta sẽ đặt “đuôi” của a lên “đầu” của b, và theo các tính chất hình học của hình bình hành chúng ta sẽ thu được cùng một kết quả cho c. Lưu ý rằng các vectơ có thể được cộng theo cách này mà không cần tham chiếu đến bất kỳ trục tọa độ nào.

Giả sử chúng ta nhân một vectơ với một số α, điều này có nghĩa là gì? Chúng ta định nghĩa nó có nghĩa là một vectơ mới mà các thành phần của nó là αa_x, αa_y và αa_z. Chúng ta để lại cho học sinh việc chứng minh rằng nó quả thật là một vectơ, như một bài tập.

Bây giờ chúng ta hãy xét phép trừ vectơ. Chúng ta có thể định nghĩa phép trừ theo cùng cách như phép cộng, nhưng thay vì cộng, chúng ta trừ các thành phần. Hay chúng ta có thể định nghĩa phép trừ bằng cách định nghĩa một vectơ âm, −b = −1b, và rồi chúng ta sẽ cộng các thành phần. Kết quả cũng như nhau. Kết quả được cho thấy trong Hình 11–5. Hình này cho thấy d = a − b = a + (−b); chúng ta cũng lưu ý rằng hiệu a − b có thể được tìm thấy rất dễ dàng từ a và b bằng cách dùng mối quan hệ tương đương a = b + d. Như vậy hiệu thậm chí còn dễ tìm hơn tổng: chúng ta chỉ việc vẽ vectơ từ b đến a, để thu được a − b!

Tiếp theo chúng ta thảo luận về vận tốc. Vì sao vận tốc là một vectơ? Nếu vị trí được cho bởi ba tọa độ (x, y, z), vận tốc là gì? Vận tốc được cho bởi dx/dt, dy/dt và dz/dt. Đó có phải là một vectơ hay không? Chúng ta có thể tìm ra bằng cách lấy đạo hàm các biểu thức trong phương trình (11.5) để tìm hiểu xem dx′/dt có biến đổi theo đúng cách hay không. Chúng ta thấy rằng các thành phần dx/dt và dy/dt quả thật biến đổi theo cùng một định luật như x và y, và do đó đạo hàm theo thời gian là một vectơ. Vậy vận tốc là một vectơ. Chúng ta có thể viết vận tốc theo một cách thú vị như sau

v = dr/dt.

Vận tốc là gì, và vì sao nó là một vectơ, cũng có thể được hiểu một cách trực quan hơn: Một hạt di chuyển được bao xa trong một thời gian ngắn Δt? Trả lời: Δr, vậy nếu một hạt “ở đây” tại một thời điểm và “ở kia” tại một thời điểm khác, thì hiệu vectơ của các vị trí Δr = r₂ − r₁, vốn nằm theo hướng chuyển động được cho thấy trong Hình 11–6, chia cho khoảng thời gian Δt = t₂ − t₁, là vectơ “vận tốc trung bình”.

Nói cách khác, khi nói vectơ vận tốc chúng ta có ý là giới hạn, khi Δt tiến đến 0, của hiệu giữa các vectơ bán kính tại thời điểm t + Δt và thời điểm t, chia cho Δt:

v = lim_Δt→0 (Δr/Δt) = dr/dt.   (11.10)

Như vậy vận tốc là một vectơ bởi vì nó là hiệu của hai vectơ. Nó cũng là định nghĩa đúng của vận tốc bởi vì các thành phần của nó là dx/dt, dy/dt và dz/dt. Trên thực tế, chúng ta thấy từ lập luận này rằng nếu chúng ta lấy đạo hàm bất kỳ vectơ nào theo thời gian, chúng ta tạo ra một vectơ mới. Vậy chúng ta có vài cách để tạo ra các vectơ mới: (1) nhân với một hằng số, (2) lấy đạo hàm theo thời gian, (3) cộng hay trừ hai vectơ.

11–6  Các định luật Newton dưới dạng ký hiệu vectơ

Để viết các định luật Newton dưới dạng vectơ, chúng ta phải đi thêm chỉ một bước nữa, và định nghĩa vectơ gia tốc. Đây là đạo hàm theo thời gian của vectơ vận tốc, và dễ dàng chứng minh được rằng các thành phần của nó là các đạo hàm cấp hai của x, y và z theo t:

a = dv/dt = (d/dt)(dr/dt) = d²r/dt²,   (11.11)

a_x = dv_x/dt = d²x/dt²,   a_y = dv_y/dt = d²y/dt²,   a_z = dv_z/dt = d²z/dt².   (11.12)

Với định nghĩa này, khi đó, các định luật Newton có thể được viết theo cách này:

ma = F,   (11.13)

hay,

m(d²r/dt²) = F.   (11.14)

Bây giờ bài toán chứng minh tính bất biến của các định luật Newton dưới phép quay các tọa độ là thế này: chứng minh rằng a là một vectơ; điều này chúng ta vừa làm xong. Chứng minh rằng F là một vectơ; chúng ta giả sử nó là vậy. Vậy nếu lực là một vectơ, thì, vì chúng ta biết gia tốc là một vectơ, phương trình (11.13) sẽ trông như nhau trong bất kỳ hệ tọa độ nào. Việc viết nó dưới một dạng không chứa một cách tường minh các x, các y và các z có lợi thế là từ nay trở đi chúng ta không cần viết ba định luật mỗi lần chúng ta viết các phương trình Newton hay các định luật khác của vật lý. Chúng ta viết cái trông như một định luật, nhưng thật ra, dĩ nhiên, nó là ba định luật cho bất kỳ tập hợp trục cụ thể nào, bởi vì bất kỳ phương trình vectơ nào cũng bao hàm phát biểu rằng mỗi thành phần đều bằng nhau.

Sự kiện là gia tốc là tốc độ thay đổi của vectơ vận tốc giúp chúng ta tính gia tốc trong một số hoàn cảnh khá phức tạp. Giả sử, chẳng hạn, một hạt đang chuyển động trên một đường cong phức tạp nào đó (Hình 11–7) và rằng, tại một thời điểm cho trước t₁, nó có một vận tốc nào đó v₁, nhưng khi chúng ta đi đến một thời điểm khác t₂ muộn hơn một chút, nó có một vận tốc khác v₂. Gia tốc là gì? Trả lời: Gia tốc là hiệu của vận tốc chia cho khoảng thời gian nhỏ, vậy chúng ta cần hiệu của hai vận tốc. Chúng ta thu được hiệu của các vận tốc như thế nào? Để trừ hai vectơ, chúng ta đặt vectơ bắc ngang qua các đầu mút của v₂ và v₁; nghĩa là, chúng ta vẽ Δv thành hiệu của hai vectơ, đúng không? Không! Điều đó chỉ đúng khi đuôi của các vectơ ở cùng một chỗ! Nó không có ý nghĩa gì nếu chúng ta dời vectơ đến một nơi khác rồi vẽ một đường bắc ngang qua, vậy hãy cẩn thận! Chúng ta phải vẽ một sơ đồ mới để trừ các vectơ. Trong Hình 11–8, v₁ và v₂ đều được vẽ song song và bằng với các vectơ tương ứng của chúng trong Hình 11–7, và bây giờ chúng ta có thể thảo luận về gia tốc. Dĩ nhiên gia tốc đơn giản là Δv/Δt. Thật thú vị khi ghi nhận rằng chúng ta có thể hợp thành hiệu vận tốc từ hai phần; chúng ta có thể nghĩ về gia tốc như có hai thành phần, Δv_∥, theo hướng tiếp tuyến với đường đi và Δv_⊥ vuông góc với đường đi, như được chỉ ra trong Hình 11–8. Gia tốc tiếp tuyến với đường đi, dĩ nhiên, chỉ là sự thay đổi độ dài của vectơ, tức là sự thay đổi tốc độ v:

a_∥ = dv/dt.   (11.15)

Thành phần còn lại của gia tốc, vuông góc với đường cong, thì dễ tính, dùng Hình 11–7 và 11–8. Trong thời gian ngắn Δt, đặt sự thay đổi góc giữa v₁ và v₂ là góc nhỏ Δθ. Nếu độ lớn của vận tốc được gọi là v, thì dĩ nhiên

Δv_⊥ = v Δθ

và gia tốc a sẽ là

a_⊥ = v (Δθ/Δt).

Bây giờ chúng ta cần biết Δθ/Δt, đại lượng này có thể được tìm như thế này: Nếu, tại thời điểm đang xét, đường cong được xấp xỉ thành một đường tròn có bán kính nào đó R, thì trong một thời gian Δt khoảng cách s là, dĩ nhiên, v Δt, trong đó v là tốc độ.

Δθ = (v Δt)/R,   hay   Δθ/Δt = v/R.

Do đó, chúng ta tìm thấy,

a_⊥ = v²/R,   (11.16)

như chúng ta đã thấy trước đây.

11–7  Tích vô hướng của các vectơ

Bây giờ chúng ta hãy xét thêm một chút các tính chất của vectơ. Dễ thấy rằng độ dài của một bước đi trong không gian sẽ như nhau trong bất kỳ hệ tọa độ nào. Nghĩa là, nếu một bước đi cụ thể r được biểu diễn bằng x, y, z, trong một hệ tọa độ, và bằng x′, y′, z′ trong một hệ tọa độ khác, thì chắc chắn khoảng cách r = |r| sẽ như nhau trong cả hai hệ. Bây giờ

r = √(x² + y² + z²),

và cũng vậy,

r′ = √(x′² + y′² + z′²).

Vậy điều chúng ta muốn kiểm chứng là hai đại lượng này bằng nhau. Sẽ thuận tiện hơn nhiều nếu chúng ta không phải bận tâm lấy căn bậc hai, vậy chúng ta hãy nói về bình phương của khoảng cách; nghĩa là, chúng ta hãy tìm hiểu xem

x² + y² + z² = x′² + y′² + z′²   (11.17)

có đúng không. Nó tốt hơn hết là phải đúng — và nếu chúng ta thay phương trình (11.5) vào, chúng ta quả thật thấy rằng nó đúng. Vậy chúng ta thấy rằng có những loại phương trình khác cũng đúng đối với bất kỳ hai hệ tọa độ nào. Một thứ gì đó mới có liên quan ở đây. Chúng ta có thể tạo ra một đại lượng mới, một hàm của x, y và z, gọi là một hàm vô hướng, một đại lượng không có hướng nhưng như nhau trong cả hai hệ. Từ một vectơ, chúng ta có thể tạo ra một vô hướng. Chúng ta phải tìm một quy tắc tổng quát cho việc đó. Quy tắc cho trường hợp vừa xét thì rõ ràng: cộng các bình phương của các thành phần. Bây giờ chúng ta hãy định nghĩa một thứ mới, mà chúng ta gọi là a · a. Đây không phải là một vectơ, mà là một vô hướng; nó là một con số như nhau trong mọi hệ tọa độ, và nó được định nghĩa là tổng các bình phương của ba thành phần của vectơ:

a · a = a_x² + a_y² + a_z².   (11.18)

Bây giờ bạn nói, “Nhưng với các trục nào?” Nó không phụ thuộc vào các trục, đáp án là như nhau trong mọi tập hợp trục. Vậy chúng ta có một loại đại lượng mới, một bất biến hay vô hướng mới được tạo ra bởi một vectơ “bình phương”. Nếu bây giờ chúng ta định nghĩa đại lượng sau đây cho bất kỳ hai vectơ nào a và b:

a · b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z,   (11.19)

chúng ta thấy rằng đại lượng này, được tính trong các hệ có phẩy và không phẩy, cũng giữ nguyên như cũ. Để chứng minh điều đó, chúng ta ghi nhận rằng nó đúng đối với a · a, b · b và c · c, trong đó c = a + b. Do đó tổng các bình phương (a_x + b_x)² + (a_y + b_y)² + (a_z + b_z)² sẽ là bất biến:

(a_x + b_x)² + (a_y + b_y)² + (a_z + b_z)² = (a_x′ + b_x′)² + (a_y′ + b_y′)² + (a_z′ + b_z′)².   (11.20)

Nếu cả hai vế của phương trình này được khai triển, sẽ có các tích chéo đúng thuộc loại xuất hiện trong phương trình (11.19), cũng như các tổng bình phương của các thành phần của a và b. Tính bất biến của các số hạng thuộc dạng của phương trình (11.18) khi đó để lại các số hạng tích chéo (11.19) cũng bất biến.

Đại lượng a · b được gọi là tích vô hướng của hai vectơ, a và b, và nó có nhiều tính chất thú vị và hữu ích. Ví dụ, dễ dàng chứng minh được rằng

a · (b + c) = a · b + a · c.   (11.21)

Ngoài ra, có một cách hình học đơn giản để tính a · b, mà không cần phải tính các thành phần của a và b: a · b là tích của độ dài của a và độ dài của b nhân với cosin của góc giữa chúng. Vì sao? Giả sử chúng ta chọn một hệ tọa độ đặc biệt trong đó trục x nằm dọc theo a; trong những hoàn cảnh đó, thành phần duy nhất của a sẽ có mặt là a_x, vốn dĩ nhiên là toàn bộ độ dài của a. Như vậy phương trình (11.19) rút gọn thành a · b = a_xb_x đối với trường hợp này, và đây là độ dài của a nhân với thành phần của b theo hướng của a, tức là b cos θ:

a · b = ab cos θ.

Do đó, trong hệ tọa độ đặc biệt đó, chúng ta đã chứng minh rằng a · b là độ dài của a nhân với độ dài của b nhân với cos θ. Nhưng nếu nó đúng trong một hệ tọa độ, nó đúng trong mọi hệ, bởi vì a · b là độc lập với hệ tọa độ; đó là lập luận của chúng ta.

Tích chấm (tích vô hướng) có ích lợi gì? Có trường hợp nào trong vật lý mà chúng ta cần nó không? Có, chúng ta cần nó mọi lúc. Ví dụ, trong Chương 4 động năng được gọi là ½mv², nhưng nếu vật đang chuyển động trong không gian thì nó phải là bình phương vận tốc theo hướng x, hướng y và hướng z, và vì vậy công thức cho động năng theo phép phân tích vectơ là

Đ.N. = ½m(v · v) = ½m(v_x² + v_y² + v_z²).   (11.22)

Năng lượng không có hướng. Động lượng có hướng; nó là một vectơ, và nó là khối lượng nhân với vectơ vận tốc.

Một ví dụ khác của tích vô hướng là công thực hiện bởi một lực khi một vật gì đó được đẩy từ một nơi đến một nơi khác. Chúng ta vẫn chưa định nghĩa công, nhưng nó tương đương với sự thay đổi năng lượng, là các vật nặng được nâng lên, khi một lực F tác dụng qua một khoảng cách s:

Công = F · s.   (11.23)

Đôi khi thật thuận tiện khi nói về thành phần của một vectơ theo một hướng nào đó (chẳng hạn hướng thẳng đứng bởi vì đó là hướng của trọng lực). Đối với những mục đích như vậy, thật hữu ích khi phát minh ra cái mà chúng ta gọi là một vectơ đơn vị theo hướng mà chúng ta muốn nghiên cứu. Khi nói một vectơ đơn vị, chúng ta có ý là một vectơ mà tích vô hướng của nó với chính nó bằng một. Chúng ta hãy gọi vectơ đơn vị này là i; khi đó i · i = 1. Khi đó, nếu chúng ta muốn thành phần của một vectơ nào đó theo hướng của i, chúng ta thấy rằng tích vô hướng a · i sẽ là a cos θ, tức là thành phần của a theo hướng của i. Đây là một cách hay để thu được thành phần; trên thực tế, nó cho phép chúng ta thu được mọi thành phần và viết ra một công thức khá thú vị. Giả sử rằng trong một hệ tọa độ cho trước, x, y và z, chúng ta phát minh ra ba vectơ: i, một vectơ đơn vị theo hướng x; j, một vectơ đơn vị theo hướng y; và k, một vectơ đơn vị theo hướng z. Trước hết lưu ý rằng i · i = 1. i · j là gì? Khi hai vectơ vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng bằng không. Như vậy

i · i = 1,   i · j = 0,   j · j = 1,   i · k = 0,   j · k = 0,   k · k = 1.   (11.24)

Bây giờ với các định nghĩa này, bất kỳ vectơ nào cũng có thể được viết theo cách này:

a = a_xi + a_yj + a_zk.   (11.25)

Bằng cách này, chúng ta có thể đi từ các thành phần của một vectơ đến chính vectơ đó.

Thảo luận này về vectơ hoàn toàn chưa đầy đủ. Tuy nhiên, thay vì cố đi sâu hơn vào chủ đề ngay bây giờ, trước hết chúng ta sẽ học cách sử dụng một số ý tưởng đã thảo luận cho đến nay trong các tình huống vật lý. Khi đó, khi chúng ta đã nắm vững một cách đúng đắn tài liệu cơ bản này, chúng ta sẽ thấy dễ dàng hơn để thâm nhập sâu hơn vào chủ đề mà không bị quá bối rối. Sau này chúng ta sẽ thấy rằng thật hữu ích khi định nghĩa một loại tích khác của hai vectơ, gọi là tích vectơ, và được viết thành a × b. Tuy nhiên, chúng ta sẽ tiến hành thảo luận về những vấn đề như vậy trong một chương sau.