Chương 15: Thuyết tương đối hẹp

15–1  Nguyên lý tương đối

Trong hơn 200 năm, các phương trình chuyển động do Newton công bố được tin là mô tả đúng tự nhiên, và lần đầu tiên một sai lầm trong các định luật này được phát hiện, cách sửa chữa nó cũng được phát hiện. Cả sai lầm lẫn cách sửa chữa đều được Einstein phát hiện vào năm 1905.

Định luật thứ hai của Newton, mà chúng ta đã biểu diễn bằng phương trình

F = d(mv)/dt,

đã được phát biểu với giả định ngầm rằng m là một hằng số, nhưng bây giờ chúng ta biết điều này không đúng, và rằng khối lượng của một vật tăng theo vận tốc. Trong công thức đã sửa chữa của Einstein, m có giá trị

m = m₀/√(1 − v²/c²),   (15.1)

trong đó “khối lượng nghỉ” m₀ biểu diễn khối lượng của một vật không chuyển động và c là tốc độ ánh sáng, khoảng 3×10⁵ km·giây⁻¹ hay khoảng 186.000 dặm·giây⁻¹.

Đối với những ai muốn học vừa đủ về nó để có thể giải các bài toán, đó là tất cả những gì có trong thuyết tương đối — nó chỉ thay đổi các định luật Newton bằng cách đưa vào một hệ số hiệu chỉnh cho khối lượng. Từ chính công thức, dễ thấy rằng sự tăng khối lượng này rất nhỏ trong những hoàn cảnh thông thường. Nếu vận tốc thậm chí lớn bằng vận tốc của một vệ tinh, vốn đi vòng quanh trái đất ở tốc độ 5 dặm/giây, thì v/c = 5/186.000: đặt giá trị này vào công thức cho thấy sự hiệu chỉnh cho khối lượng chỉ là một phần trong hai đến ba tỷ, gần như không thể quan sát được. Thật ra, tính đúng đắn của công thức đã được xác nhận dồi dào bởi việc quan sát nhiều loại hạt, chuyển động ở các tốc độ lên tới gần như tốc độ ánh sáng. Tuy nhiên, vì hiệu ứng thông thường quá nhỏ, dường như đáng chú ý rằng nó đã được phát hiện bằng lý thuyết trước khi được phát hiện bằng thực nghiệm. Theo kinh nghiệm, ở một vận tốc đủ cao, hiệu ứng rất lớn, nhưng nó không được phát hiện theo cách đó. Do đó thật thú vị khi thấy làm thế nào một định luật liên quan đến một sự sửa đổi tinh tế như vậy (vào thời nó lần đầu được phát hiện) lại được đưa ra ánh sáng bởi một sự kết hợp của các thí nghiệm và suy luận vật lý. Các đóng góp cho sự phát hiện này được thực hiện bởi một số người, mà kết quả cuối cùng của công việc của họ là phát hiện của Einstein.

Thật ra có hai thuyết tương đối của Einstein. Chương này liên quan đến Thuyết tương đối hẹp, có từ năm 1905. Năm 1915 Einstein công bố một thuyết bổ sung, gọi là Thuyết tương đối rộng. Thuyết sau này này bàn về sự mở rộng của Thuyết hẹp cho trường hợp định luật hấp dẫn; chúng ta sẽ không thảo luận Thuyết rộng ở đây.

Nguyên lý tương đối lần đầu được phát biểu bởi Newton, trong một trong các hệ quả của ông đối với các định luật chuyển động: “Các chuyển động của các vật được bao gồm trong một không gian cho trước là như nhau giữa chúng, cho dù không gian đó đứng yên hay chuyển động đều về phía trước theo một đường thẳng.” Điều này có nghĩa là, chẳng hạn, nếu một tàu vũ trụ đang trôi đi với một vận tốc đều, mọi thí nghiệm được thực hiện trong tàu vũ trụ và mọi hiện tượng trong tàu vũ trụ sẽ hiện ra như nhau như thể con tàu không chuyển động, với điều kiện, dĩ nhiên, người ta không nhìn ra bên ngoài. Đó là ý nghĩa của nguyên lý tương đối. Đây là một ý tưởng đủ đơn giản, và câu hỏi duy nhất là liệu có đúng hay không rằng trong mọi thí nghiệm được thực hiện bên trong một hệ chuyển động, các định luật vật lý sẽ hiện ra như nhau như chúng sẽ hiện ra nếu hệ đứng yên. Trước hết chúng ta hãy điều tra xem các định luật Newton có hiện ra như nhau trong hệ chuyển động hay không.

Giả sử Moe đang chuyển động theo hướng x với một vận tốc đều u, và anh ta đo vị trí của một điểm nhất định, được thể hiện trong Hình 15–1. Anh ta gọi “khoảng cách x” của điểm trong hệ tọa độ của mình là x′. Joe đứng yên, và đo vị trí của cùng điểm đó, gọi tọa độ x của nó trong hệ của mình là x. Mối quan hệ của các tọa độ trong hai hệ rõ ràng từ hình vẽ. Sau thời gian t, gốc tọa độ của Moe đã di chuyển một khoảng ut, và nếu hai hệ ban đầu trùng nhau,

x′ = x − ut,   y′ = y,   z′ = z,   t′ = t.   (15.2)

Nếu chúng ta thay phép biến đổi tọa độ này vào các định luật Newton, chúng ta thấy rằng các định luật này biến đổi thành cùng các định luật trong hệ có dấu phẩy; tức là, các định luật Newton có cùng dạng trong một hệ chuyển động như trong một hệ đứng yên, và do đó không thể biết được, bằng cách làm các thí nghiệm cơ học, hệ có đang chuyển động hay không.

Nguyên lý tương đối đã được sử dụng trong cơ học từ lâu. Nó đã được nhiều người sử dụng, đặc biệt là Huygens, để thu được các quy tắc cho sự va chạm của các quả bóng bi-a, theo cùng cách chúng ta đã dùng nó trong Chương 10 để thảo luận về sự bảo toàn động lượng. Vào thế kỷ 19, sự quan tâm đến nó tăng cao như một kết quả của các cuộc điều tra về các hiện tượng điện, từ và ánh sáng. Một loạt dài các nghiên cứu cẩn thận về các hiện tượng này bởi nhiều người đã đạt đỉnh trong các phương trình Maxwell của trường điện từ, vốn mô tả điện, từ và ánh sáng trong một hệ thống nhất. Tuy nhiên, các phương trình Maxwell dường như không tuân theo nguyên lý tương đối. Tức là, nếu chúng ta biến đổi các phương trình Maxwell bằng cách thay các phương trình (15.2), dạng của chúng không còn như cũ; do đó, trong một tàu vũ trụ chuyển động, các hiện tượng điện và quang sẽ khác với các hiện tượng trong một con tàu đứng yên. Vậy người ta có thể dùng các hiện tượng quang này để xác định tốc độ của con tàu; đặc biệt, người ta có thể xác định tốc độ tuyệt đối của con tàu bằng cách thực hiện các phép đo quang hay điện thích hợp. Một trong các hệ quả của các phương trình Maxwell là nếu có một nhiễu loạn trong trường sao cho ánh sáng được tạo ra, các sóng điện từ này đi ra mọi hướng như nhau và với cùng tốc độ c, hay 186.000 dặm/giây. Một hệ quả khác của các phương trình là nếu nguồn của nhiễu loạn đang chuyển động, ánh sáng phát ra đi qua không gian với cùng tốc độ c. Điều này tương tự trường hợp âm thanh, tốc độ của sóng âm cũng độc lập với chuyển động của nguồn.

Sự độc lập với chuyển động của nguồn này, trong trường hợp ánh sáng, nêu lên một bài toán thú vị:

Giả sử chúng ta đang đi trong một chiếc xe đang chạy với tốc độ u, và ánh sáng từ phía sau đang đi qua chiếc xe với tốc độ c. Lấy đạo hàm phương trình đầu tiên trong (15.2) cho ra

dx′/dt = dx/dt − u,

có nghĩa là theo phép biến đổi Galileo, tốc độ biểu kiến của ánh sáng đi qua, như chúng ta đo trong xe, sẽ không phải là c mà là c − u. Chẳng hạn, nếu xe đang đi 100.000 dặm/giây, và ánh sáng đang đi 186.000 dặm/giây, thì dường như ánh sáng đi qua xe sẽ đi 86.000 dặm/giây. Trong bất kỳ trường hợp nào, bằng cách đo tốc độ của ánh sáng đi qua xe (nếu phép biến đổi Galileo đúng đối với ánh sáng), người ta có thể xác định tốc độ của xe. Một số thí nghiệm dựa trên ý tưởng tổng quát này đã được thực hiện để xác định vận tốc của trái đất, nhưng tất cả đều thất bại — chúng cho ra không có vận tốc nào cả. Chúng ta sẽ thảo luận một trong các thí nghiệm này một cách chi tiết, để cho thấy chính xác cái gì đã được làm và vấn đề là ở đâu; có điều gì đó không ổn, dĩ nhiên, có điều gì đó sai với các phương trình vật lý. Nó có thể là gì?

15–2  Phép biến đổi Lorentz

Khi sự thất bại của các phương trình vật lý trong trường hợp trên được đưa ra ánh sáng, ý nghĩ đầu tiên xuất hiện là rắc rối chắc chắn nằm ở các phương trình Maxwell mới của điện động lực học, vốn mới chỉ 20 năm tuổi vào thời điểm đó. Dường như gần như hiển nhiên rằng các phương trình này chắc chắn sai, vì vậy việc cần làm là thay đổi chúng theo một cách sao cho dưới phép biến đổi Galileo, nguyên lý tương đối sẽ được thỏa mãn. Khi điều này được thử, các số hạng mới phải được đưa vào các phương trình đã dẫn đến các tiên đoán về các hiện tượng điện mới mà hoàn toàn không tồn tại khi được kiểm tra bằng thực nghiệm, vì vậy nỗ lực này đã phải bị từ bỏ. Khi đó dần dần trở nên rõ ràng rằng các định luật điện động lực học của Maxwell là đúng, và rắc rối phải được tìm ở nơi khác.

Trong lúc đó, H. A. Lorentz nhận thấy một điều đáng chú ý và kỳ lạ khi ông thực hiện các phép thay thế sau đây trong các phương trình Maxwell:

x′ = (x − ut)/√(1 − u²/c²),   y′ = y,   z′ = z,   t′ = (t − ux/c²)/√(1 − u²/c²),   (15.3)

cụ thể là, các phương trình Maxwell vẫn giữ cùng dạng khi phép biến đổi này được áp dụng cho chúng! Các phương trình (15.3) được gọi là một phép biến đổi Lorentz. Einstein, theo một gợi ý ban đầu được đưa ra bởi Poincaré, khi đó đã đề xuất rằng mọi định luật vật lý nên thuộc loại sao cho chúng vẫn không thay đổi dưới một phép biến đổi Lorentz. Nói cách khác, chúng ta nên thay đổi, không phải các định luật điện động lực học, mà là các định luật cơ học. Chúng ta sẽ thay đổi các định luật Newton như thế nào để chúng vẫn không thay đổi bởi phép biến đổi Lorentz? Nếu mục tiêu này được đặt ra, khi đó chúng ta phải viết lại các phương trình Newton theo cách sao cho các điều kiện chúng ta đã áp đặt được thỏa mãn. Như hóa ra, yêu cầu duy nhất là khối lượng m trong các phương trình Newton phải được thay bằng dạng được thể hiện trong Phương trình (15.1). Khi sự thay đổi này được thực hiện, các định luật Newton và các định luật điện động lực học sẽ hòa hợp. Khi đó nếu chúng ta dùng phép biến đổi Lorentz khi so sánh các phép đo của Moe với của Joe, chúng ta sẽ không bao giờ có thể phát hiện được ai trong hai người đang chuyển động, vì dạng của mọi phương trình sẽ như nhau trong cả hai hệ tọa độ!

Thật thú vị khi thảo luận điều đó có nghĩa là gì khi chúng ta thay phép biến đổi cũ giữa các tọa độ và thời gian bằng một phép biến đổi mới, vì phép cũ (Galileo) dường như là hiển nhiên, và phép mới (Lorentz) trông kỳ lạ. Chúng ta muốn biết liệu có khả thi về mặt logic và thực nghiệm không rằng phép biến đổi mới, chứ không phải phép cũ, có thể đúng. Để tìm ra điều đó, việc chỉ nghiên cứu các định luật cơ học là không đủ mà, như Einstein đã làm, chúng ta cũng phải phân tích các ý tưởng của mình về không gian và thời gian để hiểu phép biến đổi này. Chúng ta sẽ phải thảo luận các ý tưởng này và các hàm ý của chúng đối với cơ học khá dài, vì vậy chúng ta nói trước rằng nỗ lực sẽ được biện minh, vì các kết quả phù hợp với thí nghiệm.

15–3  Thí nghiệm Michelson–Morley

Như đã đề cập ở trên, các nỗ lực đã được thực hiện để xác định vận tốc tuyệt đối của trái đất xuyên qua “ête” giả định vốn được cho là tràn ngập khắp không gian. Thí nghiệm nổi tiếng nhất trong số này là thí nghiệm được thực hiện bởi Michelson và Morley vào năm 1887. Phải 18 năm sau kết quả âm tính của thí nghiệm mới cuối cùng được giải thích, bởi Einstein.

Thí nghiệm Michelson–Morley được thực hiện với một thiết bị như được thể hiện theo sơ đồ trong Hình 15–2. Thiết bị này về cơ bản gồm một nguồn sáng A, một tấm kính mạ bạc một phần B, và hai gương C và E, tất cả được gắn trên một đế cứng. Các gương được đặt ở khoảng cách bằng nhau L từ B. Tấm B tách một chùm sáng tới, và hai chùm kết quả tiếp tục đi theo các hướng vuông góc lẫn nhau đến các gương, nơi chúng bị phản xạ trở lại B. Khi trở lại B, hai chùm được kết hợp lại thành hai chùm chồng lên nhau, D và F. Nếu thời gian ánh sáng đi từ B đến E và trở lại bằng thời gian từ B đến C và trở lại, các chùm đi ra D và F sẽ cùng pha và sẽ tăng cường lẫn nhau, nhưng nếu hai thời gian hơi khác nhau, các chùm sẽ hơi lệch pha và giao thoa sẽ xảy ra. Nếu thiết bị “đứng yên” trong ête, các thời gian phải đúng bằng nhau, nhưng nếu nó đang chuyển động về phía phải với vận tốc u, sẽ có một sự khác biệt về thời gian. Chúng ta hãy xem tại sao.

Trước hết, chúng ta hãy tính thời gian cần thiết để ánh sáng đi từ B đến E và trở lại. Giả sử thời gian để ánh sáng đi từ tấm B đến gương E là t₁, và thời gian cho chuyến trở lại là t₂. Bây giờ, trong khi ánh sáng đang trên đường từ B đến gương, thiết bị di chuyển một khoảng ut₁, vì vậy ánh sáng phải đi qua một khoảng L + ut₁, với tốc độ c. Chúng ta cũng có thể biểu diễn khoảng cách này là ct₁, vì vậy chúng ta có

ct₁ = L + ut₁,   hay   t₁ = L/(c − u).

(Kết quả này cũng hiển nhiên từ quan điểm rằng vận tốc của ánh sáng so với thiết bị là c − u, vì vậy thời gian là độ dài L chia cho c − u.) Theo một cách tương tự, thời gian t₂ có thể được tính. Trong thời gian này tấm B tiến lên một khoảng ut₂, vì vậy khoảng cách trở lại của ánh sáng là L − ut₂. Khi đó chúng ta có

ct₂ = L − ut₂,   hay   t₂ = L/(c + u).

Khi đó tổng thời gian là

t₁ + t₂ = 2Lc/(c² − u²).

Để tiện cho việc so sánh các thời gian sau này, chúng ta viết điều này thành

t₁ + t₂ = (2L/c)/(1 − u²/c²).   (15.4)

Phép tính thứ hai của chúng ta sẽ là thời gian t₃ để ánh sáng đi từ B đến gương C. Như trước đây, trong thời gian t₃ gương C di chuyển sang phải một khoảng ut₃ đến vị trí C′; trong cùng thời gian, ánh sáng đi một khoảng ct₃ dọc theo cạnh huyền của một tam giác, vốn là BC′. Đối với tam giác vuông này chúng ta có

(ct₃)² = L² + (ut₃)²

hay

L² = c²t₃² − u²t₃² = (c² − u²)t₃²,

từ đó chúng ta thu được

t₃ = L/√(c² − u²).

Đối với chuyến trở lại từ C′, khoảng cách là như nhau, như có thể thấy từ tính đối xứng của hình vẽ; do đó thời gian trở lại cũng như nhau, và tổng thời gian là 2t₃. Với một chút sắp xếp lại dạng, chúng ta có thể viết

2t₃ = 2L/√(c² − u²) = (2L/c)/√(1 − u²/c²).   (15.5)

Bây giờ chúng ta có thể so sánh các thời gian được dùng bởi hai chùm sáng. Trong các biểu thức (15.4) và (15.5) các tử số là giống hệt nhau, và biểu diễn thời gian sẽ được dùng nếu thiết bị đứng yên. Trong các mẫu số, số hạng u²/c² sẽ nhỏ, trừ khi u có độ lớn sánh được với c. Các mẫu số biểu diễn các sự sửa đổi về thời gian do chuyển động của thiết bị gây ra. Và này, các sự sửa đổi này không giống nhau — thời gian đi đến C và trở lại hơi ít hơn thời gian đi đến E và trở lại, mặc dù các gương cách đều B, và tất cả những gì chúng ta phải làm là đo sự khác biệt đó với độ chính xác.

Ở đây nảy sinh một điểm kỹ thuật nhỏ — giả sử hai độ dài L không đúng bằng nhau? Thật ra, chắc chắn chúng ta không thể làm cho chúng đúng bằng nhau. Trong trường hợp đó chúng ta chỉ đơn giản quay thiết bị 90 độ, sao cho BC nằm trên đường chuyển động và BE vuông góc với chuyển động. Bất kỳ sự khác biệt nhỏ nào về độ dài khi đó trở nên không quan trọng, và cái chúng ta tìm kiếm là một sự dịch chuyển của các vân giao thoa khi chúng ta quay thiết bị.

Khi thực hiện thí nghiệm, Michelson và Morley định hướng thiết bị sao cho đường BE gần như song song với chuyển động của trái đất trên quỹ đạo của nó (vào những thời điểm nhất định trong ngày và đêm). Tốc độ quỹ đạo này khoảng 18 dặm mỗi giây, và bất kỳ “sự trôi ête” nào cũng phải ít nhất bằng chừng đó tại một thời điểm nào đó trong ngày hay đêm và tại một thời điểm nào đó trong năm. Thiết bị đủ nhạy để quan sát một hiệu ứng như vậy, nhưng không có sự khác biệt về thời gian nào được tìm thấy — vận tốc của trái đất xuyên qua ête không thể được phát hiện. Kết quả của thí nghiệm là không (null).

Kết quả của thí nghiệm Michelson–Morley rất khó hiểu và rất đáng lo ngại. Ý tưởng hiệu quả đầu tiên để tìm một lối thoát khỏi bế tắc đến từ Lorentz. Ông gợi ý rằng các vật vật chất co lại khi chúng đang chuyển động, và sự rút ngắn này chỉ theo hướng của chuyển động, và ngoài ra, rằng nếu độ dài là L₀ khi một vật đứng yên, thì khi nó chuyển động với tốc độ u song song với độ dài của nó, độ dài mới, mà chúng ta gọi là L_∥ (L-song song), được cho bởi

L_∥ = L₀√(1 − u²/c²).   (15.6)

Khi sự sửa đổi này được áp dụng cho thiết bị giao thoa kế Michelson–Morley, khoảng cách từ B đến C không thay đổi, nhưng khoảng cách từ B đến E bị rút ngắn thành L√(1 − u²/c²). Do đó Phương trình (15.5) không thay đổi, nhưng L của Phương trình (15.4) phải được thay đổi theo Phương trình (15.6). Khi điều này được thực hiện, chúng ta thu được

t₁ + t₂ = [(2L/c)√(1 − u²/c²)]/(1 − u²/c²) = (2L/c)/√(1 − u²/c²).   (15.7)

So sánh kết quả này với Phương trình (15.5), chúng ta thấy rằng t₁ + t₂ = 2t₃. Vậy nếu thiết bị co lại theo cách vừa mô tả, chúng ta có một cách hiểu tại sao thí nghiệm Michelson–Morley không cho hiệu ứng nào cả. Mặc dù giả thuyết co lại đã giải thích thành công kết quả âm tính của thí nghiệm, nó dễ bị phản đối rằng nó được phát minh ra cho mục đích rõ ràng là giải thích cho qua khó khăn đó, và quá nhân tạo. Tuy nhiên, trong nhiều thí nghiệm khác để khám phá một cơn gió ête, những khó khăn tương tự nảy sinh, cho đến khi dường như tự nhiên đang ở trong một “âm mưu” nhằm cản trở con người bằng cách đưa vào một hiện tượng mới nào đó để vô hiệu hóa mọi hiện tượng mà anh ta nghĩ sẽ cho phép đo u.

Cuối cùng người ta nhận ra, như Poincaré đã chỉ ra, rằng một âm mưu hoàn toàn tự nó là một định luật của tự nhiên! Poincaré khi đó đã đề xuất rằng có một định luật tự nhiên như vậy, rằng không thể khám phá một cơn gió ête bằng bất kỳ thí nghiệm nào; tức là, không có cách nào để xác định một vận tốc tuyệt đối.

15–4  Sự biến đổi của thời gian

Khi kiểm tra xem ý tưởng co lại có hòa hợp với các sự kiện trong các thí nghiệm khác hay không, hóa ra mọi thứ đều đúng với điều kiện các thời gian cũng được sửa đổi, theo cách được biểu diễn trong phương trình thứ tư của tập (15.3). Đó là vì thời gian 2t₃, được tính cho chuyến đi từ B đến C và trở lại, không như nhau khi được tính bởi một người thực hiện thí nghiệm trong một tàu vũ trụ chuyển động như khi được tính bởi một quan sát viên đứng yên đang quan sát tàu vũ trụ. Đối với người trong tàu, thời gian đơn giản là 2L/c, nhưng đối với quan sát viên kia nó là (2L/c)/√(1 − u²/c²) (Phương trình 15.5). Nói cách khác, khi người ở bên ngoài nhìn thấy người trong tàu vũ trụ châm một điếu xì gà, mọi hành động dường như chậm hơn bình thường, trong khi đối với người bên trong, mọi thứ chuyển động với một nhịp bình thường. Vậy không chỉ các độ dài phải rút ngắn, mà các dụng cụ đo thời gian (“đồng hồ”) cũng phải dường như chạy chậm lại. Tức là, khi đồng hồ trong tàu vũ trụ ghi 1 giây trôi qua, như người trong tàu nhìn thấy, nó cho thấy 1/√(1 − u²/c²) giây đối với người bên ngoài.

Sự chạy chậm này của các đồng hồ trong một hệ chuyển động là một hiện tượng rất kỳ lạ, và đáng được giải thích. Để hiểu điều này, chúng ta phải quan sát bộ máy của đồng hồ và xem điều gì xảy ra khi nó đang chuyển động. Vì việc đó khá khó, chúng ta sẽ lấy một loại đồng hồ rất đơn giản. Loại chúng ta chọn là một loại đồng hồ khá ngớ ngẩn, nhưng nó sẽ hoạt động về nguyên tắc: nó là một thanh (thước mét) với một gương ở mỗi đầu, và khi chúng ta khởi động một tín hiệu ánh sáng giữa các gương, ánh sáng cứ đi lên và xuống, tạo ra một tiếng “tách” mỗi lần nó đi xuống, giống như một đồng hồ tích tắc tiêu chuẩn. Chúng ta chế tạo hai đồng hồ như vậy, có đúng cùng độ dài, và đồng bộ chúng bằng cách khởi động chúng cùng nhau; khi đó chúng luôn đồng ý với nhau sau đó, vì chúng có cùng độ dài, và ánh sáng luôn di chuyển với tốc độ c. Chúng ta đưa một trong các đồng hồ này cho người đàn ông mang theo trong tàu vũ trụ, và anh ta gắn thanh vuông góc với hướng chuyển động của tàu; khi đó độ dài của thanh sẽ không thay đổi. Làm sao chúng ta biết rằng các độ dài vuông góc không thay đổi? Hai người đàn ông có thể đồng ý đánh dấu lên thước mét theo hướng y của nhau khi họ đi qua nhau. Theo đối xứng, hai dấu phải đến tại cùng tọa độ y- và y′-, vì nếu không, khi họ đến với nhau để so sánh kết quả, một dấu sẽ ở trên hay ở dưới dấu kia, và như vậy chúng ta có thể biết ai thật sự đang chuyển động.

Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì xảy ra với đồng hồ chuyển động. Trước khi người đàn ông mang nó lên tàu, anh ta đã đồng ý rằng nó là một đồng hồ đẹp, tiêu chuẩn, và khi anh ta đi trong tàu vũ trụ, anh ta sẽ không thấy điều gì kỳ lạ. Nếu anh ta thấy, anh ta sẽ biết mình đang chuyển động — nếu bất cứ thứ gì thay đổi vì chuyển động, anh ta có thể biết mình đang chuyển động. Nhưng nguyên lý tương đối nói điều này là không thể trong một hệ chuyển động đều, vì vậy không có gì thay đổi. Mặt khác, khi quan sát viên bên ngoài nhìn vào đồng hồ đi qua, anh ta thấy rằng ánh sáng, khi đi từ gương này đến gương kia, “thật sự” đang đi theo một đường zíc-zắc, vì thanh đang chuyển động ngang mọi lúc. Chúng ta đã phân tích một chuyển động zíc-zắc như vậy liên quan đến thí nghiệm Michelson–Morley. Nếu trong một thời gian cho trước thanh di chuyển về phía trước một khoảng tỉ lệ với u trong Hình 15–3, khoảng cách ánh sáng di chuyển trong cùng thời gian tỉ lệ với c, và khoảng cách thẳng đứng do đó tỉ lệ với √(c² − u²).

Tức là, ánh sáng mất một thời gian dài hơn để đi từ đầu này đến đầu kia trong đồng hồ chuyển động so với trong đồng hồ đứng yên. Do đó thời gian biểu kiến giữa các tiếng tách dài hơn đối với đồng hồ chuyển động, theo cùng tỉ lệ như được thể hiện trong cạnh huyền của tam giác (đó là nguồn gốc của các biểu thức căn bậc hai trong các phương trình của chúng ta). Từ hình vẽ cũng rõ ràng rằng u càng lớn, đồng hồ chuyển động dường như chạy càng chậm. Không chỉ loại đồng hồ đặc biệt này chạy chậm hơn, mà nếu thuyết tương đối là đúng, bất kỳ đồng hồ nào khác, hoạt động trên bất kỳ nguyên tắc nào, cũng sẽ dường như chạy chậm hơn, và theo cùng tỉ lệ — chúng ta có thể nói điều này mà không cần phân tích thêm. Tại sao vậy?

Để trả lời câu hỏi trên, giả sử chúng ta có hai đồng hồ khác được làm đúng giống nhau với bánh xe và bánh răng, hoặc có thể dựa trên sự phân rã phóng xạ, hay một thứ gì khác. Khi đó chúng ta điều chỉnh các đồng hồ này sao cho cả hai chạy đồng bộ chính xác với các đồng hồ đầu tiên của chúng ta. Khi ánh sáng đi lên và trở lại trong các đồng hồ đầu tiên và thông báo sự đến của nó bằng một tiếng tách, các mẫu mới cũng hoàn thành một chu trình nào đó, mà chúng đồng thời thông báo bằng một chớp sáng trùng hợp đôi nào đó, hay một tiếng “bong”, hay tín hiệu khác. Một trong các đồng hồ này được mang vào tàu vũ trụ, cùng với loại đầu tiên. Có thể đồng hồ này sẽ không chạy chậm hơn, mà sẽ tiếp tục giữ cùng thời gian như đối tác đứng yên của nó, và như vậy không đồng ý với đồng hồ chuyển động kia. À không, nếu điều đó xảy ra, người trong tàu có thể dùng sự không khớp này giữa hai đồng hồ của mình để xác định tốc độ của tàu, điều mà chúng ta đã giả định là không thể. Chúng ta không cần biết bất cứ điều gì về bộ máy của đồng hồ mới mà có thể gây ra hiệu ứng — chúng ta đơn giản biết rằng dù lý do là gì, nó sẽ dường như chạy chậm, đúng như cái đầu tiên.

Bây giờ nếu mọi đồng hồ chuyển động đều chạy chậm hơn, nếu không cách đo thời gian nào cho ra điều gì ngoài một nhịp chậm hơn, chúng ta sẽ phải nói, theo một nghĩa nhất định, rằng bản thân thời gian dường như chậm hơn trong một tàu vũ trụ. Mọi hiện tượng ở đó — nhịp mạch của người đàn ông, các quá trình suy nghĩ của anh ta, thời gian anh ta dùng để châm một điếu xì gà, mất bao lâu để lớn lên và già đi — mọi thứ này phải bị chậm lại theo cùng tỉ lệ, vì anh ta không thể biết mình đang chuyển động. Các nhà sinh học và y học đôi khi nói rằng không hoàn toàn chắc chắn rằng thời gian cần để một bệnh ung thư phát triển sẽ dài hơn trong một tàu vũ trụ, nhưng theo quan điểm của một nhà vật lý hiện đại thì gần như chắc chắn; nếu không người ta có thể dùng tốc độ phát triển ung thư để xác định tốc độ của con tàu!

Một ví dụ rất thú vị về sự chậm lại của thời gian theo chuyển động được cung cấp bởi các muon, vốn là các hạt tự phân rã sau một thời gian sống trung bình là 2,2×10⁻⁶ giây. Chúng đến trái đất trong các tia vũ trụ, và cũng có thể được tạo ra nhân tạo trong phòng thí nghiệm. Một số trong chúng phân rã giữa không trung, nhưng số còn lại chỉ phân rã sau khi chúng gặp một mảnh vật chất và dừng lại. Rõ ràng là trong thời gian sống ngắn ngủi của nó, một muon không thể di chuyển, ngay cả với tốc độ ánh sáng, quá 600 mét. Nhưng mặc dù các muon được tạo ra ở đỉnh của khí quyển, khoảng 10 kilômét ở trên, vậy mà chúng thật sự được tìm thấy trong một phòng thí nghiệm dưới đây, trong các tia vũ trụ. Làm sao điều đó có thể xảy ra? Câu trả lời là các muon khác nhau chuyển động ở các tốc độ khác nhau, một số trong chúng rất gần tốc độ ánh sáng. Trong khi theo quan điểm của chính chúng, chúng chỉ sống khoảng 2 μgiây, theo quan điểm của chúng ta chúng sống lâu hơn đáng kể — đủ lâu hơn để chúng có thể đến được trái đất. Hệ số mà thời gian được tăng lên đã được cho là 1/√(1 − u²/c²). Thời gian sống trung bình đã được đo khá chính xác đối với các muon có vận tốc khác nhau, và các giá trị phù hợp chặt chẽ với công thức.

Chúng ta không biết tại sao muon phân rã hay bộ máy của nó là gì, nhưng chúng ta biết hành vi của nó thỏa mãn nguyên lý tương đối. Đó là tính hữu dụng của nguyên lý tương đối — nó cho phép chúng ta đưa ra các tiên đoán, ngay cả về những thứ mà nếu không chúng ta không biết nhiều. Chẳng hạn, trước khi chúng ta có bất kỳ ý tưởng nào về cái gì làm muon phân rã, chúng ta vẫn có thể tiên đoán rằng khi nó đang chuyển động ở chín phần mười tốc độ ánh sáng, khoảng thời gian biểu kiến mà nó tồn tại là (2,2×10⁻⁶)/√(1 − 9²/10²) giây; và tiên đoán của chúng ta đúng — đó là điều tốt về nó.

15–5  Sự co Lorentz

Bây giờ chúng ta hãy quay lại phép biến đổi Lorentz (15.3) và cố gắng hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa các hệ tọa độ (x,y,z,t) và (x′,y′,z′,t′), mà chúng ta sẽ gọi là hệ S và S′, hay hệ Joe và hệ Moe, tương ứng. Chúng ta đã lưu ý rằng phương trình đầu tiên dựa trên gợi ý của Lorentz về sự co lại dọc theo hướng x; làm sao chúng ta có thể chứng minh rằng một sự co lại diễn ra? Trong thí nghiệm Michelson–Morley, giờ chúng ta đánh giá đúng rằng cánh tay ngang BC không thể thay đổi độ dài, theo nguyên lý tương đối; vậy mà kết quả không của thí nghiệm đòi hỏi các thời gian phải bằng nhau. Vì vậy, để thí nghiệm cho ra kết quả không, cánh tay dọc BE phải dường như ngắn hơn, theo hệ số căn bậc hai √(1 − u²/c²). Sự co lại này có nghĩa là gì, xét theo các phép đo được thực hiện bởi Joe và Moe? Giả sử Moe, chuyển động cùng với hệ S′ theo hướng x, đang đo tọa độ x′ của một điểm nào đó bằng một thước mét. Anh ta đặt thước xuống x′ lần, vì vậy anh ta nghĩ khoảng cách là x′ mét. Tuy nhiên, theo quan điểm của Joe trong hệ S, Moe đang dùng một thước bị rút ngắn, vì vậy khoảng cách “thật” được đo là x′√(1 − u²/c²) mét. Khi đó nếu hệ S′ đã di chuyển một khoảng ut ra khỏi hệ S, quan sát viên S sẽ nói rằng cùng điểm đó, được đo trong tọa độ của anh ta, ở một khoảng x = x′√(1 − u²/c²) + ut, hay

x′ = (x − ut)/√(1 − u²/c²),

đó là phương trình đầu tiên của phép biến đổi Lorentz.

15–6  Tính đồng thời

Theo một cách tương tự, vì sự khác biệt trong các thang thời gian, biểu thức mẫu số được đưa vào phương trình thứ tư của phép biến đổi Lorentz. Số hạng thú vị nhất trong phương trình đó là ux/c² ở tử số, vì nó khá mới và bất ngờ. Bây giờ điều đó có nghĩa là gì? Nếu chúng ta nhìn vào tình huống một cách cẩn thận, chúng ta thấy rằng các sự kiện xảy ra tại hai nơi tách biệt vào cùng một thời điểm, như Moe trong S′ nhìn thấy, không xảy ra vào cùng một thời điểm như Joe trong S nhìn thấy. Nếu một sự kiện xảy ra tại điểm x₁ vào thời điểm t₀ và sự kiện kia tại x₂ và t₀ (cùng thời điểm), chúng ta thấy rằng hai thời điểm tương ứng t₁′ và t₂′ khác nhau một lượng

t₂′ − t₁′ = [u(x₁ − x₂)/c²]/√(1 − u²/c²).

Hoàn cảnh này được gọi là “sự thất bại của tính đồng thời ở khoảng cách xa”, và để làm cho ý tưởng rõ ràng hơn một chút, chúng ta hãy xét thí nghiệm sau.

Giả sử một người đàn ông chuyển động trong một tàu vũ trụ (hệ S′) đã đặt một đồng hồ ở mỗi đầu của con tàu và quan tâm đến việc đảm bảo rằng hai đồng hồ đồng bộ với nhau. Các đồng hồ có thể được đồng bộ bằng cách nào? Có nhiều cách. Một cách, liên quan đến rất ít tính toán, trước hết sẽ là xác định chính xác điểm giữa giữa các đồng hồ. Khi đó từ trạm này chúng ta gửi ra một tín hiệu ánh sáng, tín hiệu này sẽ đi cả hai hướng với cùng tốc độ và sẽ đến cả hai đồng hồ, rõ ràng, vào cùng một thời điểm. Sự đến đồng thời này của các tín hiệu có thể được dùng để đồng bộ các đồng hồ. Khi đó chúng ta hãy giả sử rằng người trong S′ đồng bộ các đồng hồ của mình bằng phương pháp cụ thể này. Chúng ta hãy xem liệu một quan sát viên trong hệ S có đồng ý rằng hai đồng hồ là đồng bộ hay không. Người trong S′ có quyền tin chúng là đồng bộ, vì anh ta không biết mình đang chuyển động. Nhưng người trong S lý luận rằng vì con tàu đang chuyển động về phía trước, đồng hồ ở đầu trước đang chạy trốn khỏi tín hiệu ánh sáng, do đó ánh sáng phải đi hơn nửa đường để bắt kịp; đồng hồ ở phía sau, tuy nhiên, đang tiến đến để gặp tín hiệu ánh sáng, vì vậy khoảng cách này ngắn hơn. Do đó tín hiệu đến đồng hồ phía sau trước, mặc dù người trong S′ nghĩ rằng các tín hiệu đến đồng thời. Vậy chúng ta thấy rằng khi một người trong tàu vũ trụ nghĩ các thời điểm tại hai vị trí là đồng thời, các giá trị bằng nhau của t′ trong hệ tọa độ của anh ta phải tương ứng với các giá trị khác nhau của t trong hệ tọa độ kia!

15–7  Vectơ bốn chiều

Chúng ta hãy xem chúng ta có thể khám phá thêm điều gì trong phép biến đổi Lorentz. Thật thú vị khi lưu ý rằng phép biến đổi giữa các x và các t tương tự về dạng với phép biến đổi của các x và các y mà chúng ta đã nghiên cứu trong Chương 11 cho một phép quay của các tọa độ. Khi đó chúng ta có

x′ = x cos θ + y sin θ,   y′ = y cos θ − x sin θ,   (15.8)

trong đó x′ mới trộn lẫn x và y cũ, và y′ mới cũng trộn lẫn x và y cũ; tương tự, trong phép biến đổi Lorentz chúng ta thấy một x′ mới vốn là một hỗn hợp của x và t, và một t′ mới vốn là một hỗn hợp của t và x. Vậy phép biến đổi Lorentz tương tự như một phép quay, chỉ có điều nó là một “phép quay” trong không gian và thời gian, điều này dường như là một khái niệm lạ. Một phép kiểm tra sự tương tự với phép quay có thể được thực hiện bằng cách tính đại lượng

x′² + y′² + z′² − c²t′² = x² + y² + z² − c²t².   (15.9)

Trong phương trình này, ba số hạng đầu tiên ở mỗi vế biểu diễn, trong hình học ba chiều, bình phương của khoảng cách giữa một điểm và gốc tọa độ (mặt cầu) mà vẫn không thay đổi (bất biến) bất kể phép quay của các trục tọa độ. Tương tự, Phương trình (15.9) cho thấy rằng có một tổ hợp nhất định bao gồm thời gian, vốn bất biến đối với một phép biến đổi Lorentz. Vậy, sự tương tự với một phép quay là hoàn toàn, và thuộc loại sao cho các vectơ, tức là các đại lượng liên quan đến “các thành phần” vốn biến đổi theo cùng cách như các tọa độ và thời gian, cũng hữu ích liên quan đến thuyết tương đối.

Vậy chúng ta xét đến một sự mở rộng của ý tưởng vectơ, mà cho đến nay chúng ta đã xét là chỉ có các thành phần không gian, để bao gồm một thành phần thời gian. Tức là, chúng ta kỳ vọng rằng sẽ có các vectơ với bốn thành phần, ba trong số đó giống như các thành phần của một vectơ thông thường, và đi cùng với chúng sẽ có một thành phần thứ tư, vốn là tương tự của phần thời gian.

Khái niệm này sẽ được phân tích thêm trong các chương tiếp theo, trong đó chúng ta sẽ thấy rằng nếu các ý tưởng của đoạn trước được áp dụng cho động lượng, phép biến đổi cho ra ba phần không gian giống như các thành phần động lượng thông thường, và một thành phần thứ tư, phần thời gian, vốn là năng lượng.

15–8  Động lực học tương đối tính

Giờ chúng ta đã sẵn sàng điều tra, một cách tổng quát hơn, các định luật cơ học mang dạng gì dưới phép biến đổi Lorentz. [Cho đến nay chúng ta đã giải thích các độ dài và thời gian thay đổi như thế nào, nhưng chưa giải thích làm sao chúng ta thu được công thức đã sửa đổi cho m (Phương trình 15.1). Chúng ta sẽ làm điều này trong chương tiếp theo.] Để thấy các hệ quả của sự sửa đổi của Einstein đối với m cho cơ học Newton, chúng ta bắt đầu với định luật Newton rằng lực là tốc độ biến thiên của động lượng, hay

F = d(mv)/dt.

Động lượng vẫn được cho bởi mv, nhưng khi chúng ta dùng m mới, điều này trở thành

p = mv = m₀v/√(1 − v²/c²).   (15.10)

Đây là sự sửa đổi của Einstein đối với các định luật Newton. Dưới sự sửa đổi này, nếu tác dụng và phản tác dụng vẫn bằng nhau (điều chúng có thể không đúng trong chi tiết, nhưng đúng trong dài hạn), sẽ có sự bảo toàn động lượng theo cùng cách như trước, nhưng đại lượng đang được bảo toàn không phải là mv cũ với khối lượng không đổi của nó, mà thay vào đó là đại lượng được thể hiện trong (15.10), vốn có khối lượng đã sửa đổi. Khi sự thay đổi này được thực hiện trong công thức động lượng, sự bảo toàn động lượng vẫn hoạt động.

Bây giờ chúng ta hãy xem động lượng biến thiên theo tốc độ như thế nào. Trong cơ học Newton nó tỉ lệ với tốc độ và, theo (15.10), trên một khoảng tốc độ đáng kể, nhưng nhỏ so với c, nó gần như như nhau trong cơ học tương đối tính, vì biểu thức căn bậc hai chỉ hơi khác 1. Nhưng khi v gần như bằng c, biểu thức căn bậc hai tiến tới không, và do đó động lượng tiến tới vô cực.

Điều gì xảy ra nếu một lực không đổi tác dụng lên một vật trong một thời gian dài? Trong cơ học Newton, vật cứ tăng tốc độ cho đến khi nó đi nhanh hơn ánh sáng. Nhưng điều này là không thể trong cơ học tương đối tính. Trong thuyết tương đối, vật cứ tăng, không phải tốc độ, mà là động lượng, thứ có thể liên tục tăng vì khối lượng đang tăng. Sau một lúc thực tế không còn gia tốc theo nghĩa một sự thay đổi của vận tốc, nhưng động lượng tiếp tục tăng. Dĩ nhiên, bất cứ khi nào một lực tạo ra rất ít thay đổi trong vận tốc của một vật, chúng ta nói rằng vật có rất nhiều quán tính, và đó đúng là điều công thức của chúng ta cho khối lượng tương đối tính nói (xem Phương trình 15.10) — nó nói rằng quán tính rất lớn khi v gần như bằng c. Như một ví dụ về hiệu ứng này, để làm lệch các electron tốc độ cao trong synchrotron được dùng ở đây tại Caltech, chúng ta cần một từ trường mạnh gấp 2000 lần so với sẽ kỳ vọng trên cơ sở các định luật Newton. Nói cách khác, khối lượng của các electron trong synchrotron lớn gấp 2000 lần khối lượng bình thường của chúng, và lớn bằng khối lượng của một proton! Việc m phải bằng 2000 lần m₀ có nghĩa là 1 − v²/c² phải bằng 1/4.000.000, và điều đó có nghĩa là v khác c một phần trong 8.000.000, vì vậy các electron đang đến khá gần tốc độ ánh sáng. Nếu các electron và ánh sáng đều khởi hành từ synchrotron (ước tính cách 700 feet) và lao ra đến Bridge Lab, cái nào sẽ đến trước? Ánh sáng, dĩ nhiên, vì ánh sáng luôn di chuyển nhanh hơn.¹ Sớm hơn bao nhiêu? Điều đó quá khó nói — thay vào đó, chúng ta nói theo khoảng cách ánh sáng đi trước: nó khoảng 1/1000 của một inch, hay ¼ độ dày của một tờ giấy! Khi các electron đang đi nhanh như vậy khối lượng của chúng khổng lồ, nhưng tốc độ của chúng không thể vượt quá tốc độ ánh sáng.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào một số hệ quả thêm nữa của sự thay đổi tương đối tính của khối lượng. Xét chuyển động của các phân tử trong một bình khí nhỏ. Khi khí được đun nóng, tốc độ của các phân tử được tăng lên, và do đó khối lượng cũng được tăng lên và khí nặng hơn. Một công thức gần đúng để biểu diễn sự tăng khối lượng, cho trường hợp khi vận tốc nhỏ, có thể được tìm bằng cách khai triển m₀/√(1 − v²/c²) = m₀(1 − v²/c²)^−1/2 thành một chuỗi lũy thừa, dùng định lý nhị thức. Chúng ta thu được

m₀(1 − v²/c²)^−1/2 = m₀(1 + ½v²/c² + ⅜v⁴/c⁴ + …).

Chúng ta thấy rõ ràng từ công thức rằng chuỗi hội tụ nhanh khi v nhỏ, và các số hạng sau hai hay ba số hạng đầu tiên là không đáng kể. Vì vậy chúng ta có thể viết

m ≅ m₀ + ½m₀v²(1/c²)   (15.11)

trong đó số hạng thứ hai ở vế phải biểu diễn sự tăng khối lượng do vận tốc phân tử. Khi nhiệt độ tăng, v² tăng tỉ lệ, vì vậy chúng ta có thể nói rằng sự tăng khối lượng tỉ lệ với sự tăng nhiệt độ. Nhưng vì ½m₀v² là động năng theo nghĩa Newton kiểu cũ, chúng ta cũng có thể nói rằng sự tăng khối lượng của toàn bộ khối khí này bằng sự tăng động năng chia cho c², hay Δm = Δ(Đ.N.)/c².

15–9  Sự tương đương của khối lượng và năng lượng

Quan sát trên đã dẫn Einstein đến gợi ý rằng khối lượng của một vật có thể được biểu diễn đơn giản hơn so với bằng công thức (15.1), nếu chúng ta nói rằng khối lượng bằng tổng hàm lượng năng lượng chia cho c². Nếu Phương trình (15.11) được nhân với c², kết quả là

mc² = m₀c² + ½m₀v² + …   (15.12)

Ở đây, số hạng ở vế trái biểu diễn tổng năng lượng của một vật, và chúng ta nhận ra số hạng cuối cùng là động năng thông thường. Einstein đã diễn giải số hạng hằng số lớn, m₀c², là một phần của tổng năng lượng của vật, một năng lượng nội tại được biết như “năng lượng nghỉ”.

Chúng ta hãy theo đuổi các hệ quả của việc giả định, cùng với Einstein, rằng năng lượng của một vật luôn bằng mc². Như một kết quả thú vị, chúng ta sẽ tìm ra công thức (15.1) cho sự biến thiên của khối lượng theo tốc độ, điều mà cho đến nay chúng ta mới chỉ giả định. Chúng ta bắt đầu với vật đứng yên, khi năng lượng của nó là m₀c². Khi đó chúng ta áp dụng một lực lên vật, lực này khởi động nó chuyển động và cho nó động năng; do đó, vì năng lượng đã tăng, khối lượng đã tăng — điều này ẩn chứa trong giả định ban đầu. Chừng nào lực còn tiếp tục, năng lượng và khối lượng cả hai đều tiếp tục tăng. Chúng ta đã thấy (Chương 13) rằng tốc độ biến thiên của năng lượng theo thời gian bằng lực nhân với vận tốc, hay

dE/dt = F·v.   (15.13)

Chúng ta cũng có (Chương 9, Phương trình 9.1) rằng F = d(mv)/dt. Khi các mối quan hệ này được đặt cùng nhau với định nghĩa của E, Phương trình (15.13) trở thành

d(mc²)/dt = v·d(mv)/dt.   (15.14)

Chúng ta muốn giải phương trình này cho m. Để làm điều này, trước hết chúng ta dùng thủ thuật toán học nhân cả hai vế với 2m, điều này biến phương trình thành

c²(2m) dm/dt = 2mv·d(mv)/dt.   (15.15)

Chúng ta cần loại bỏ các đạo hàm, điều này có thể được thực hiện bằng cách lấy tích phân cả hai vế. Đại lượng (2m) dm/dt có thể được nhận ra là đạo hàm theo thời gian của m², và (2mv)·d(mv)/dt là đạo hàm theo thời gian của (mv)². Vì vậy, Phương trình (15.15) cũng giống như

c² d(m²)/dt = d(m²v²)/dt.   (15.16)

Nếu đạo hàm của hai đại lượng bằng nhau, chính các đại lượng đó khác nhau tối đa một hằng số, gọi là C. Điều này cho phép chúng ta viết

m²c² = m²v² + C.   (15.17)

Chúng ta cần định nghĩa hằng số C rõ ràng hơn. Vì Phương trình (15.17) phải đúng đối với mọi vận tốc, chúng ta có thể chọn một trường hợp đặc biệt trong đó v = 0, và nói rằng trong trường hợp này khối lượng là m₀. Thay các giá trị này vào Phương trình (15.17) cho ra

m₀²c² = 0 + C.

Bây giờ chúng ta có thể dùng giá trị này của C trong Phương trình (15.17), phương trình này trở thành

m²c² = m²v² + m₀²c².   (15.18)

Chia cho c² và sắp xếp lại các số hạng cho ra

m²(1 − v²/c²) = m₀²,

từ đó chúng ta thu được

m = m₀/√(1 − v²/c²).   (15.19)

Đây là công thức (15.1), và đúng là điều cần thiết cho sự phù hợp giữa khối lượng và năng lượng trong Phương trình (15.12).

Thông thường các sự thay đổi năng lượng này biểu diễn các sự thay đổi cực kỳ nhỏ trong khối lượng, vì hầu hết thời gian chúng ta không thể tạo ra nhiều năng lượng từ một lượng vật chất cho trước; nhưng trong một quả bom nguyên tử có năng lượng nổ tương đương 20 kiloton TNT, chẳng hạn, có thể cho thấy rằng đất sau vụ nổ nhẹ hơn 1 gam so với khối lượng ban đầu của vật liệu phản ứng, vì năng lượng đã được giải phóng, tức là, năng lượng được giải phóng có một khối lượng là 1 gam, theo mối quan hệ ΔE = Δ(mc²). Thuyết tương đương của khối lượng và năng lượng này đã được kiểm chứng đẹp đẽ bởi các thí nghiệm trong đó vật chất bị hủy hoàn toàn — được chuyển đổi hoàn toàn thành năng lượng: Một electron và một positron đến với nhau trong trạng thái đứng yên, mỗi cái có một khối lượng nghỉ m₀. Khi chúng đến với nhau chúng tan rã và hai tia gamma xuất hiện, mỗi tia có năng lượng được đo là m₀c². Thí nghiệm này cung cấp một phép xác định trực tiếp năng lượng liên quan đến sự tồn tại của khối lượng nghỉ của một hạt.