Chương 14: Công và thế năng (kết luận)

14–1  Công

Trong chương trước, chúng ta đã trình bày rất nhiều ý tưởng và kết quả mới, đóng vai trò trung tâm trong vật lý. Những ý tưởng này quan trọng đến mức dường như đáng dành hẳn một chương để xem xét chúng kỹ hơn. Trong chương này, chúng ta sẽ không lặp lại các “chứng minh” hay những thủ thuật cụ thể mà nhờ đó các kết quả đã thu được, mà thay vào đó sẽ tập trung thảo luận về chính các ý tưởng.

Khi học bất kỳ môn kỹ thuật nào mà toán học đóng một vai trò, người ta phải đối mặt với nhiệm vụ hiểu và cất giữ trong trí nhớ một khối lượng khổng lồ các sự kiện và ý tưởng, được gắn kết với nhau bằng những mối quan hệ nhất định mà người ta có thể “chứng minh” hay “cho thấy” là tồn tại giữa chúng. Rất dễ nhầm lẫn bản thân chứng minh với mối quan hệ mà nó thiết lập. Rõ ràng, điều quan trọng cần học và cần nhớ là mối quan hệ, chứ không phải chứng minh. Trong bất kỳ hoàn cảnh cụ thể nào, chúng ta hoặc có thể nói “có thể cho thấy rằng” điều này điều kia là đúng, hoặc chúng ta có thể cho thấy nó. Trong hầu hết mọi trường hợp, chứng minh cụ thể được sử dụng trước hết đã được dàn dựng ở dạng sao cho có thể viết ra nhanh chóng và dễ dàng trên bảng hay trên giấy, và sao cho trông càng trơn tru càng tốt. Hệ quả là, chứng minh có thể trông đơn giản một cách đánh lừa, trong khi trên thực tế, tác giả có thể đã làm việc hàng giờ, thử nhiều cách tính khác nhau cho cùng một thứ, cho đến khi tìm được cách gọn gàng nhất, để có thể cho thấy rằng nó có thể được cho thấy trong khoảng thời gian ngắn nhất! Điều cần nhớ, khi nhìn thấy một chứng minh, không phải là bản thân chứng minh, mà là việc có thể cho thấy rằng điều này điều kia là đúng. Dĩ nhiên, nếu chứng minh có liên quan đến một số thủ tục toán học hay “thủ thuật” mà người ta chưa từng thấy trước đây, thì sự chú ý nên dành không phải cho đúng cái thủ thuật đó, mà cho ý tưởng toán học liên quan.

Chắc chắn rằng trong tất cả các chứng minh được thực hiện trong một khóa học như thế này, không một chứng minh nào được nhớ lại từ thời tác giả học vật lý năm thứ nhất. Hoàn toàn ngược lại: ông chỉ nhớ rằng điều này điều kia là đúng, và để giải thích làm sao có thể cho thấy điều đó, ông phát minh ra một chứng minh ngay tại lúc cần đến nó. Bất kỳ ai đã thật sự học được một môn học đều phải có khả năng làm theo một thủ tục tương tự, nhưng nhớ các chứng minh thì chẳng ích gì. Đó là lý do, trong chương này, chúng ta sẽ tránh các chứng minh của những phát biểu khác nhau đã nêu trước đây, và chỉ tóm tắt các kết quả.

Ý tưởng đầu tiên cần phải tiêu hóa là công do một lực thực hiện. Từ “work” (công) trong vật lý không phải là từ theo nghĩa thông thường của “Công nhân toàn thế giới, đoàn kết lại!”, mà là một ý tưởng khác. Công trong vật lý được biểu diễn bằng ∫F·ds, gọi là “tích phân đường của F chấm ds”, có nghĩa là nếu lực, chẳng hạn, hướng theo một hướng và vật mà lực tác dụng lên bị dời theo một hướng nhất định, thì chỉ có thành phần của lực theo hướng của độ dời mới thực hiện công. Nếu, chẳng hạn, lực không đổi và độ dời là một khoảng hữu hạn Δs, thì công thực hiện khi di chuyển vật qua khoảng đó chỉ là thành phần của lực dọc theo Δs nhân với Δs. Quy tắc là “lực nhân khoảng cách”, nhưng chúng ta thật sự muốn nói chỉ là thành phần của lực theo hướng của độ dời nhân với Δs hoặc, tương đương, thành phần của độ dời theo hướng của lực nhân với F. Rõ ràng là không có công nào được thực hiện bởi một lực vuông góc với độ dời.

Bây giờ nếu vectơ độ dời Δs được phân tích thành các thành phần, nói cách khác, nếu độ dời thực tế là Δs và chúng ta muốn xét nó một cách hiệu quả như một thành phần độ dời Δx theo hướng x, Δy theo hướng y, và Δz theo hướng z, thì công thực hiện khi mang một vật từ nơi này đến nơi khác có thể được tính thành ba phần, bằng cách tính công thực hiện dọc theo x, dọc theo y, và dọc theo z. Công thực hiện khi đi dọc theo x chỉ liên quan đến thành phần đó của lực, tức là F_x, và cứ thế, nên công là F_x Δx + F_y Δy + F_z Δz. Khi lực không phải là hằng số, và chúng ta có một chuyển động cong phức tạp, thì chúng ta phải phân giải đường đi thành rất nhiều Δs nhỏ, cộng công thực hiện khi mang vật dọc theo mỗi Δs, và lấy giới hạn khi Δs tiến tới không. Đây là ý nghĩa của “tích phân đường”.

Mọi điều chúng ta vừa nói đều chứa đựng trong công thức W = ∫F·ds. Nói rằng đó là một công thức tuyệt vời thì dễ thôi, nhưng hiểu nó có nghĩa là gì, hay một số hệ quả của nó là gì, lại là một chuyện khác.

Từ “công” trong vật lý có một ý nghĩa khác xa với ý nghĩa của từ này khi được dùng trong hoàn cảnh thông thường đến mức phải quan sát cẩn thận rằng có một số hoàn cảnh kỳ lạ trong đó nó dường như không còn như vậy nữa. Ví dụ, theo định nghĩa vật lý của công, nếu một người giữ một quả tạ một trăm pound ở trên mặt đất một lúc, anh ta không thực hiện công nào. Thế nhưng, mọi người đều biết rằng anh ta bắt đầu đổ mồ hôi, run rẩy và thở gấp hơn, như thể đang chạy lên cầu thang. Vậy mà chạy lên cầu thang được coi là thực hiện công (khi chạy xuống cầu thang, người ta nhận công từ thế giới, theo vật lý), nhưng khi chỉ đơn giản giữ một vật ở một vị trí cố định thì không có công nào được thực hiện. Rõ ràng, định nghĩa vật lý của công khác với định nghĩa sinh lý, vì những lý do chúng ta sẽ khám phá ngắn gọn.

Một sự thật là khi một người giữ một quả tạ, anh ta phải thực hiện công “sinh lý”. Tại sao anh ta phải đổ mồ hôi? Tại sao anh ta cần tiêu thụ thức ăn để giữ quả tạ ở trên? Tại sao bộ máy bên trong anh ta lại hoạt động hết công suất, chỉ để giữ quả tạ ở trên? Thật ra, quả tạ có thể được giữ lên mà không tốn chút công sức nào bằng cách chỉ đặt nó lên bàn; khi đó cái bàn, lặng lẽ và bình thản, không cần bất kỳ nguồn cung năng lượng nào, vẫn có thể duy trì cùng quả tạ đó ở cùng độ cao đó! Tình huống sinh lý đại khái như sau. Có hai loại cơ trong cơ thể người và ở các động vật khác: một loại, gọi là cơ vân hay cơ xương, là loại cơ chúng ta có trong cánh tay chẳng hạn, nằm dưới sự kiểm soát tự nguyện; loại còn lại, gọi là cơ trơn, giống như cơ trong ruột hoặc, ở con sò, cơ khép lớn hơn đóng vỏ lại. Các cơ trơn làm việc rất chậm, nhưng chúng có thể giữ một “trạng thái cố định”; tức là, nếu con sò cố đóng vỏ của nó ở một vị trí nhất định, nó sẽ giữ vị trí đó, ngay cả khi có một lực rất lớn cố thay đổi nó. Nó sẽ giữ một vị trí dưới tải trọng trong nhiều giờ liền mà không mệt vì nó rất giống một cái bàn giữ một quả tạ, nó “cố định” vào một vị trí nhất định, và các phân tử chỉ khóa lại ở đó tạm thời mà không có công nào được thực hiện, không có nỗ lực nào được tạo ra bởi con sò. Việc chúng ta phải tạo ra nỗ lực để giữ một quả tạ đơn giản là do thiết kế của cơ vân. Điều xảy ra là khi một xung thần kinh đến một sợi cơ, sợi cơ co giật nhẹ một cái rồi thư giãn, vì vậy khi chúng ta giữ một thứ gì đó lên, những loạt xung thần kinh khổng lồ đang đi vào cơ, một số lượng lớn các cơn co giật đang duy trì quả tạ, trong khi các sợi khác thư giãn. Dĩ nhiên chúng ta có thể thấy điều này: khi giữ một quả tạ nặng và mệt, chúng ta bắt đầu run. Lý do là các loạt xung đến không đều, và cơ đã mệt, không phản ứng đủ nhanh. Tại sao lại là một cơ chế kém hiệu quả như vậy? Chúng ta không biết chính xác tại sao, nhưng tiến hóa đã không thể phát triển được cơ trơn nhanh. Cơ trơn sẽ hiệu quả hơn nhiều cho việc giữ các quả tạ vì bạn có thể chỉ đứng đó và nó sẽ khóa lại; sẽ không có công nào liên quan và không cần năng lượng. Tuy nhiên, nó có nhược điểm là hoạt động rất chậm.

Giờ quay lại với vật lý, chúng ta có thể hỏi tại sao chúng ta muốn tính công thực hiện. Câu trả lời là việc đó thú vị và hữu ích, vì công thực hiện lên một hạt bởi hợp lực của mọi lực tác dụng lên nó đúng bằng độ biến thiên động năng của hạt đó. Tức là, nếu một vật đang bị đẩy, nó tăng tốc độ, và

Δ(v²) = (2/m) F·Δs.

14–2  Chuyển động bị ràng buộc

Một đặc điểm thú vị khác của lực và công là thế này: giả sử chúng ta có một đường ray dốc hoặc cong, và một hạt buộc phải di chuyển dọc theo đường ray, nhưng không có ma sát. Hoặc chúng ta có thể có một con lắc với một sợi dây và một quả nặng; sợi dây ràng buộc quả nặng di chuyển theo một vòng tròn quanh điểm treo. Điểm treo có thể bị thay đổi bằng cách để sợi dây chạm vào một cái chốt, sao cho đường đi của quả nặng nằm dọc theo hai vòng tròn có bán kính khác nhau. Đây là những ví dụ về cái mà chúng ta gọi là ràng buộc cố định, không ma sát.

Trong chuyển động với một ràng buộc cố định không ma sát, ràng buộc không thực hiện công nào vì các lực ràng buộc luôn vuông góc với chuyển động. Bằng “các lực ràng buộc” chúng ta muốn nói những lực được áp dụng lên vật trực tiếp bởi chính ràng buộc — lực tiếp xúc với đường ray, hoặc sức căng trong sợi dây.

Các lực liên quan trong chuyển động của một hạt trên một mặt dốc chuyển động dưới ảnh hưởng của trọng lực khá phức tạp, vì có một lực ràng buộc, một lực hấp dẫn, và cứ thế. Tuy nhiên, nếu chúng ta dựa việc tính toán chuyển động của mình trên sự bảo toàn năng lượng và chỉ riêng lực hấp dẫn, chúng ta thu được kết quả đúng. Điều này có vẻ khá lạ, vì đó không phải là cách làm đúng một cách nghiêm ngặt — chúng ta nên dùng hợp lực. Thế nhưng, công thực hiện bởi riêng lực hấp dẫn sẽ hóa ra là độ biến thiên của động năng, vì công thực hiện bởi phần ràng buộc của lực bằng không (Hình 14–1).

Đặc điểm quan trọng ở đây là nếu một lực có thể được phân tích thành tổng của hai hay nhiều “mảnh” thì công thực hiện bởi hợp lực khi đi dọc theo một đường cong nhất định là tổng của các công thực hiện bởi các lực “thành phần” khác nhau mà lực được phân tích thành. Vậy nếu chúng ta phân tích lực như là tổng vectơ của một số hiệu ứng, hấp dẫn cộng với các lực ràng buộc, v.v., hoặc thành phần x của mọi lực và thành phần y của mọi lực, hoặc bất kỳ cách nào khác mà chúng ta muốn chia nó ra, thì công thực hiện bởi lực tổng hợp bằng tổng của các công thực hiện bởi mọi phần mà chúng ta đã chia lực ra trong khi phân tích.

14–3  Lực bảo toàn

Trong tự nhiên có một số lực nhất định, ví dụ như lực hấp dẫn, có một tính chất rất đáng chú ý mà chúng ta gọi là “bảo toàn” (không liên quan gì đến ý tưởng chính trị, nó lại là một trong những “từ điên rồ” đó). Nếu chúng ta tính xem một lực thực hiện bao nhiêu công khi di chuyển một vật từ điểm này đến điểm khác dọc theo một đường cong nào đó, nói chung công phụ thuộc vào đường cong, nhưng trong những trường hợp đặc biệt thì nó không phụ thuộc. Nếu nó không phụ thuộc vào đường cong, chúng ta nói rằng lực đó là một lực bảo toàn. Nói cách khác, nếu tích phân của lực nhân với khoảng cách khi đi từ vị trí 1 đến vị trí 2 trong Hình 14–2 được tính dọc theo đường cong A rồi dọc theo B, chúng ta thu được cùng một số jun, và nếu điều này đúng đối với cặp điểm này trên mọi đường cong, và nếu cùng mệnh đề đó đúng bất kể cặp điểm nào chúng ta dùng, thì chúng ta nói lực là bảo toàn. Trong những hoàn cảnh như vậy, tích phân công đi từ 1 đến 2 có thể được tính một cách đơn giản, và chúng ta có thể đưa ra một công thức cho kết quả. Thông thường nó không dễ như thế, vì chúng ta còn phải chỉ rõ đường cong, nhưng khi chúng ta có một trường hợp mà công không phụ thuộc vào đường cong, thì dĩ nhiên, công chỉ phụ thuộc vào vị trí của 1 và 2.

Để chứng minh ý tưởng này, hãy xét điều sau. Chúng ta lấy một điểm “tiêu chuẩn” P, ở một vị trí tùy ý (Hình 14–2). Khi đó, tích phân đường của công từ 1 đến 2, thứ chúng ta muốn tính, có thể được tính như công thực hiện khi đi từ 1 đến P cộng với công thực hiện khi đi từ P đến 2, vì các lực là bảo toàn và công không phụ thuộc vào đường cong. Bây giờ, công thực hiện khi đi từ vị trí P đến một vị trí cụ thể trong không gian là một hàm của vị trí đó trong không gian. Dĩ nhiên nó thật ra cũng phụ thuộc vào P, nhưng chúng ta giữ điểm tùy ý P cố định vĩnh viễn cho việc phân tích. Nếu làm vậy, thì công thực hiện khi đi từ điểm P đến điểm 2 là một hàm nào đó của vị trí cuối cùng của 2. Nó phụ thuộc vào 2 ở đâu; nếu chúng ta đi đến một điểm khác, chúng ta thu được một đáp án khác.

Chúng ta sẽ gọi hàm của vị trí này là −U(x,y,z), và khi chúng ta muốn nhắc tới một điểm cụ thể 2 mà tọa độ của nó là (x₂,y₂,z₂), chúng ta sẽ viết U(2), như một dạng viết tắt của U(x₂,y₂,z₂). Công thực hiện khi đi từ điểm 1 đến điểm P cũng có thể được viết bằng cách đi theo hướng ngược lại dọc theo tích phân, đảo ngược mọi ds. Tức là, công thực hiện khi đi từ 1 đến P bằng trừ đi công thực hiện khi đi từ điểm P đến 1:

∫₁^P F·ds = ∫_P¹ F·(−ds) = −∫_P¹ F·ds.

Vậy công thực hiện khi đi từ P đến 1 là −U(1), và từ P đến 2 công là −U(2). Do đó tích phân từ 1 đến 2 bằng −U(2) cộng với [−U(1) đi ngược lại], hay +U(1) − U(2):

U(1) = −∫_P¹ F·ds,   U(2) = −∫_P² F·ds,
∫₁² F·ds = U(1) − U(2).   (14.1)

Đại lượng U(2) − U(1) được gọi là độ biến thiên của thế năng, và chúng ta gọi U là thế năng. Chúng ta sẽ nói rằng khi vật nằm ở vị trí 2, nó có thế năng U(2) và ở vị trí 1 nó có thế năng U(1). Nếu nó nằm ở điểm P, nó có thế năng bằng không. Nếu chúng ta đã dùng bất kỳ điểm nào khác, chẳng hạn Q, thay cho P, thì hóa ra (và chúng ta để bạn tự chứng minh) rằng thế năng chỉ thay đổi bởi việc cộng thêm một hằng số. Vì sự bảo toàn năng lượng chỉ phụ thuộc vào các độ biến thiên, nên việc cộng một hằng số vào thế năng không thành vấn đề. Vậy điểm P là tùy ý.

Bây giờ, chúng ta có hai mệnh đề sau: (1) công thực hiện bởi một lực bằng độ biến thiên động năng của hạt, nhưng (2) về mặt toán học, đối với một lực bảo toàn, công thực hiện bằng trừ đi độ biến thiên của một hàm U mà chúng ta gọi là thế năng. Như một hệ quả của hai điều này, chúng ta đi đến mệnh đề rằng nếu chỉ các lực bảo toàn tác dụng, thì động năng T cộng với thế năng U vẫn không đổi:

T + U = hằng số.   (14.2)

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận các công thức thế năng cho một số trường hợp. Nếu chúng ta có một trường hấp dẫn đều, nếu chúng ta không đi đến những độ cao sánh được với bán kính của trái đất, thì lực là một lực thẳng đứng không đổi và công thực hiện đơn giản là lực nhân với khoảng cách thẳng đứng. Vậy

U(z) = mgz,   (14.3)

và điểm P tương ứng với thế năng bằng không hóa ra là bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng z = 0. Chúng ta cũng có thể đã nói rằng thế năng là mg(z − 6) nếu chúng ta muốn — mọi kết quả, dĩ nhiên, sẽ như cũ trong phân tích của chúng ta, ngoại trừ việc giá trị của thế năng tại z = 0 sẽ là −6mg. Điều đó không tạo ra khác biệt gì, vì chỉ các hiệu số của thế năng mới quan trọng.

Năng lượng cần để nén một lò xo tuyến tính một khoảng x từ một điểm cân bằng là

U(x) = ½kx²,   (14.4)

và gốc không của thế năng nằm ở điểm x = 0, vị trí cân bằng của lò xo. Lại một lần nữa, chúng ta có thể cộng bất kỳ hằng số nào chúng ta muốn.

Thế năng hấp dẫn đối với các khối lượng điểm M và m, cách nhau một khoảng r, là

U(r) = −GMm/r.   (14.5)

Hằng số đã được chọn ở đây sao cho thế bằng không ở vô cực. Dĩ nhiên cùng công thức áp dụng cho các điện tích, vì đó là cùng một định luật:

U(r) = q₁q₂/4πε₀r.   (14.6)

Bây giờ chúng ta hãy thật sự dùng một trong các công thức này, để xem chúng ta có hiểu nó có nghĩa là gì không. Câu hỏi: Chúng ta phải bắn một tên lửa ra khỏi trái đất với tốc độ bao nhiêu để nó rời đi? Lời giải: Động năng cộng thế năng phải là một hằng số; khi nó “rời đi”, nó sẽ ở cách xa hàng triệu dặm, và nếu nó vừa đủ khả năng rời đi, chúng ta có thể giả định rằng nó đang chuyển động với tốc độ bằng không ở ngoài đó, vừa đủ để đi. Đặt a là bán kính của trái đất, và M là khối lượng của nó. Khi đó động năng cộng thế năng ban đầu được cho bởi ½mv² − GmM/a. Ở cuối chuyển động, hai năng lượng phải bằng nhau. Động năng được lấy bằng không ở cuối chuyển động, vì nó được giả định là vừa đủ trôi đi với tốc độ về cơ bản bằng không, và thế năng là GmM chia cho vô cực, tức là bằng không. Vậy mọi thứ đều bằng không ở một vế và điều đó cho chúng ta biết rằng bình phương của vận tốc phải là 2GM/a. Nhưng GM/a² là cái chúng ta gọi là gia tốc trọng trường, g. Vậy

v² = 2ga.

Một vệ tinh phải di chuyển với tốc độ bao nhiêu để tiếp tục đi vòng quanh trái đất? Chúng ta đã tính việc này từ lâu và thấy rằng v² = GM/a. Do đó để rời khỏi trái đất, chúng ta cần √2 lần vận tốc chúng ta cần để chỉ đi vòng quanh trái đất gần bề mặt của nó. Nói cách khác, chúng ta cần gấp đôi năng lượng (vì năng lượng tỉ lệ với bình phương của vận tốc) để rời khỏi trái đất so với để đi vòng quanh nó. Do đó, việc đầu tiên được làm trong lịch sử với các vệ tinh là đưa một cái đi vòng quanh trái đất, việc này đòi hỏi tốc độ năm dặm mỗi giây. Việc tiếp theo là gửi một vệ tinh rời khỏi trái đất vĩnh viễn; việc này đòi hỏi gấp đôi năng lượng, hay khoảng bảy dặm mỗi giây.

Bây giờ, tiếp tục thảo luận của chúng ta về các đặc tính của thế năng, chúng ta hãy xét sự tương tác của hai phân tử, hay hai nguyên tử, chẳng hạn hai nguyên tử oxy. Khi chúng ở rất xa nhau, lực là một lực hút, biến thiên theo lũy thừa nghịch đảo bậc bảy của khoảng cách, và khi chúng ở rất gần, lực là một lực đẩy rất lớn. Nếu chúng ta lấy tích phân của lũy thừa nghịch đảo bậc bảy để tìm công thực hiện, chúng ta thấy rằng thế năng U, vốn là một hàm của khoảng cách xuyên tâm giữa hai nguyên tử oxy, biến thiên theo lũy thừa nghịch đảo bậc sáu của khoảng cách ở những khoảng cách lớn.

Nếu chúng ta phác họa đường cong của thế năng U(r) như trong Hình 14–3, chúng ta bắt đầu ở r lớn với một lũy thừa nghịch đảo bậc sáu, nhưng nếu chúng ta đi vào đủ gần, chúng ta đạt đến một điểm d nơi có một cực tiểu của thế năng. Cực tiểu của thế năng tại r = d có nghĩa là thế này: nếu chúng ta bắt đầu tại d và di chuyển một khoảng nhỏ, một khoảng rất nhỏ, công thực hiện, vốn là độ biến thiên của thế năng khi chúng ta di chuyển khoảng này, gần như bằng không, vì có rất ít thay đổi của thế năng ở đáy của đường cong. Vậy không có lực tại điểm này, và đó là điểm cân bằng. Một cách khác để thấy đó là điểm cân bằng là phải tốn công để di chuyển ra khỏi d theo bất kỳ hướng nào. Khi hai nguyên tử oxy đã ổn định, sao cho không còn năng lượng nào có thể được giải phóng từ lực giữa chúng nữa, chúng ở trạng thái năng lượng thấp nhất, và chúng sẽ ở khoảng cách này d. Đây là hình dạng của một phân tử oxy khi nó lạnh. Khi chúng ta đun nóng nó, các nguyên tử rung và di chuyển ra xa nhau hơn, và chúng ta thật sự có thể tách chúng ra, nhưng để làm vậy cần một lượng công hay năng lượng nhất định, chính là hiệu thế năng giữa r = d và r = ∞. Khi chúng ta cố đẩy các nguyên tử lại rất gần nhau, năng lượng tăng lên rất nhanh, vì chúng đẩy nhau.

Lý do chúng ta nêu điều này ra là ý tưởng về lực không đặc biệt phù hợp cho cơ học lượng tử; ở đó ý tưởng về năng lượng là tự nhiên nhất. Chúng ta thấy rằng mặc dù các lực và vận tốc “tan biến” và biến mất khi chúng ta xét các lực tiên tiến hơn giữa vật chất hạt nhân và giữa các phân tử v.v., khái niệm năng lượng vẫn còn lại. Do đó chúng ta thấy các đường cong thế năng trong sách cơ học lượng tử, nhưng rất hiếm khi chúng ta thấy một đường cong cho lực giữa hai phân tử, vì đến lúc đó những người làm phân tích đang suy nghĩ theo năng lượng thay vì theo lực.

Tiếp theo chúng ta lưu ý rằng nếu nhiều lực bảo toàn đang tác dụng đồng thời lên một vật, thì thế năng của vật là tổng của các thế năng từ mỗi lực riêng lẻ. Đây cũng là mệnh đề mà chúng ta đã đề cập trước đây, vì nếu lực có thể được biểu diễn thành một tổng vectơ của các lực, thì công thực hiện bởi lực tổng là tổng của các công thực hiện bởi các lực bộ phận, và do đó nó có thể được phân tích thành các độ biến thiên thế năng của từng lực trong số chúng một cách riêng biệt. Vậy tổng thế năng là tổng của mọi mảnh nhỏ.

Chúng ta có thể tổng quát hóa điều này cho trường hợp một hệ gồm nhiều vật tương tác với nhau, như Sao Mộc, Sao Thổ, Sao Thiên Vương, v.v., hoặc oxy, nitơ, carbon, v.v., đang tác dụng lẫn nhau theo từng cặp do các lực mà tất cả đều là bảo toàn. Trong những hoàn cảnh này, động năng trong toàn hệ đơn giản là tổng động năng của mọi nguyên tử hay hành tinh riêng lẻ hay bất cứ thứ gì, và thế năng của hệ là tổng, trên các cặp hạt, của thế năng tương tác lẫn nhau của một cặp đơn lẻ, như thể các hạt còn lại không có ở đó. (Điều này thật ra không đúng đối với các lực phân tử, và công thức có phần phức tạp hơn; nó chắc chắn đúng đối với hấp dẫn Newton, và nó đúng như một phép gần đúng đối với các lực phân tử. Đối với các lực phân tử có một thế năng, nhưng đôi khi nó là một hàm phức tạp hơn của vị trí các nguyên tử so với chỉ đơn giản là một tổng của các số hạng từ các cặp.) Trong trường hợp đặc biệt của hấp dẫn, do đó, thế năng là tổng, trên mọi cặp i và j, của −Gm_im_j/r_ij, như đã chỉ ra trong Phương trình (13.14). Phương trình (13.14) biểu diễn bằng toán học mệnh đề sau: tổng động năng cộng tổng thế năng không thay đổi theo thời gian. Khi các hành tinh khác nhau quay vòng quanh, và xoay và vặn v.v., nếu chúng ta tính tổng động năng và tổng thế năng, chúng ta thấy tổng vẫn không đổi.

14–4  Lực không bảo toàn

Chúng ta đã dành khá nhiều thời gian thảo luận về các lực bảo toàn; còn các lực không bảo toàn thì sao? Chúng ta sẽ có một cái nhìn sâu sắc hơn về điều này so với thông thường, và phát biểu rằng không có lực không bảo toàn nào cả! Trên thực tế, mọi lực cơ bản trong tự nhiên dường như đều là bảo toàn. Đây không phải là một hệ quả của các định luật Newton. Thật ra, theo như chính Newton biết, các lực có thể là không bảo toàn, như ma sát dường như là vậy. Khi chúng ta nói ma sát dường như là vậy, chúng ta đang có một cái nhìn hiện đại, trong đó người ta đã khám phá ra rằng mọi lực sâu xa, các lực giữa các hạt ở mức cơ bản nhất, đều là bảo toàn.

Nếu, chẳng hạn, chúng ta phân tích một hệ như cụm sao cầu lớn đó mà chúng ta đã thấy hình của nó, với hàng nghìn ngôi sao đều tương tác, thì công thức cho tổng thế năng đơn giản là một số hạng cộng một số hạng khác, v.v., cộng tổng trên mọi cặp sao, và động năng là tổng động năng của mọi ngôi sao riêng lẻ. Nhưng cụm sao cầu như một toàn thể cũng đang trôi dạt trong không gian, và, nếu chúng ta ở đủ xa nó và không nhìn thấy các chi tiết, có thể được coi như một vật duy nhất. Khi đó nếu các lực được áp dụng lên nó, một số trong các lực đó có thể cuối cùng đẩy nó tiến về phía trước như một toàn thể, và chúng ta sẽ thấy tâm của cả cụm di chuyển. Mặt khác, một số lực có thể, có thể nói là, bị “lãng phí” trong việc tăng động năng hay thế năng của các “hạt” bên trong. Giả sử, chẳng hạn, rằng tác dụng của các lực này làm giãn nở toàn bộ cụm và khiến các hạt chuyển động nhanh hơn. Tổng năng lượng của toàn thể thật sự được bảo toàn, nhưng nhìn từ bên ngoài bằng đôi mắt thô sơ của chúng ta vốn không thể nhìn thấy sự hỗn loạn của các chuyển động bên trong, và chỉ nghĩ về động năng của chuyển động của toàn bộ vật như thể nó là một hạt duy nhất, thì năng lượng dường như không được bảo toàn, nhưng điều này là do thiếu sự đánh giá đúng về cái mà chúng ta nhìn thấy. Và hóa ra, đúng là như vậy: tổng năng lượng của thế giới, động năng cộng thế năng, là một hằng số khi chúng ta nhìn đủ kỹ.

Khi chúng ta nghiên cứu vật chất ở chi tiết tinh vi nhất ở cấp độ nguyên tử, không phải lúc nào cũng dễ dàng tách tổng năng lượng của một vật thành hai phần, động năng và thế năng, và sự tách ra như vậy không phải lúc nào cũng cần thiết. Hầu như lúc nào cũng có thể làm được, vì vậy chúng ta hãy nói rằng lúc nào cũng có thể làm được, và rằng năng lượng thế-cộng-động của thế giới là hằng số. Vậy tổng thế năng cộng động năng bên trong toàn bộ thế giới là hằng số, và nếu “thế giới” là một mảnh vật chất cô lập, năng lượng là hằng số nếu không có ngoại lực. Nhưng như chúng ta đã thấy, một phần động năng và thế năng của một vật có thể là nội tại, chẳng hạn các chuyển động phân tử nội tại, theo nghĩa là chúng ta không để ý đến nó. Chúng ta biết rằng trong một ly nước mọi thứ đều đang lúc lắc xung quanh, mọi bộ phận đều chuyển động mọi lúc, vì vậy có một động năng nhất định bên trong, mà thông thường chúng ta có thể không chú ý đến. Chúng ta không để ý đến chuyển động của các nguyên tử, vốn tạo ra nhiệt, và vì vậy chúng ta không gọi nó là động năng, nhưng nhiệt chủ yếu là động năng. Thế năng nội tại cũng có thể ở dạng, chẳng hạn, năng lượng hóa học: khi chúng ta đốt xăng, năng lượng được giải phóng vì thế năng của các nguyên tử trong sự sắp xếp nguyên tử mới thấp hơn trong sự sắp xếp cũ. Điều trị nhiệt như động năng thuần túy một cách nghiêm ngặt là không thể, vì một chút thế năng lọt vào, và ngược lại đối với năng lượng hóa học, vì vậy chúng ta gộp cả hai lại và nói rằng tổng động năng và thế năng bên trong một vật một phần là nhiệt, một phần là năng lượng hóa học, v.v. Dù sao đi nữa, mọi dạng năng lượng nội tại khác nhau này đôi khi được coi là năng lượng “bị mất” theo nghĩa đã mô tả ở trên; điều này sẽ trở nên rõ ràng hơn khi chúng ta nghiên cứu nhiệt động lực học.

Như một ví dụ khác, khi có ma sát thì không đúng là động năng bị mất, mặc dù một vật trượt dừng lại và động năng dường như bị mất. Động năng không bị mất vì, dĩ nhiên, các nguyên tử bên trong đang lúc lắc với một lượng động năng lớn hơn trước, và mặc dù chúng ta không thể nhìn thấy điều đó, chúng ta có thể đo nó bằng cách xác định nhiệt độ. Dĩ nhiên nếu chúng ta bỏ qua năng lượng nhiệt, thì định lý bảo toàn năng lượng sẽ dường như là sai.

Một tình huống khác trong đó sự bảo toàn năng lượng dường như là sai là khi chúng ta chỉ nghiên cứu một phần của một hệ. Đương nhiên, định lý bảo toàn năng lượng sẽ dường như không đúng nếu một thứ gì đó đang tương tác với một thứ gì đó khác ở bên ngoài và chúng ta bỏ qua việc tính đến tương tác đó.

Trong vật lý cổ điển, thế năng chỉ liên quan đến hấp dẫn và điện, nhưng bây giờ chúng ta cũng có năng lượng hạt nhân và các năng lượng khác. Ánh sáng, chẳng hạn, sẽ liên quan đến một dạng năng lượng mới trong lý thuyết cổ điển, nhưng chúng ta cũng có thể, nếu muốn, tưởng tượng rằng năng lượng của ánh sáng là động năng của một photon, và khi đó công thức (14.2) của chúng ta vẫn sẽ đúng.

14–5  Thế và trường

Giờ chúng ta sẽ thảo luận một vài ý tưởng liên quan đến thế năng và với ý tưởng về một trường. Giả sử chúng ta có hai vật lớn A và B và một vật thứ ba rất nhỏ bị hút hấp dẫn bởi cả hai, với một hợp lực nào đó F. Chúng ta đã lưu ý trong Chương 12 rằng lực hấp dẫn lên một hạt có thể được viết như khối lượng của nó, m, nhân với một vectơ khác, C, vốn chỉ phụ thuộc vào vị trí của hạt:

F = mC.

Khi đó chúng ta có thể phân tích hấp dẫn bằng cách tưởng tượng rằng có một vectơ C nhất định tại mọi vị trí trong không gian, vectơ này “tác dụng” lên một khối lượng mà chúng ta có thể đặt ở đó, nhưng chính nó ở đó cho dù chúng ta có thật sự cung cấp một khối lượng để nó “tác dụng” lên hay không. C có ba thành phần, và mỗi thành phần trong số đó là một hàm của (x,y,z), một hàm của vị trí trong không gian. Một thứ như vậy chúng ta gọi là một trường, và chúng ta nói rằng các vật A và B tạo ra trường, tức là chúng “làm ra” vectơ C. Khi một vật được đặt trong một trường, lực lên nó bằng khối lượng của nó nhân với giá trị của vectơ trường tại điểm nơi vật được đặt.

Chúng ta cũng có thể làm điều tương tự với thế năng. Vì thế năng, tích phân của (−lực)·(ds) có thể được viết như m nhân với tích phân của (−trường)·(ds), chỉ là một sự thay đổi tỉ lệ đơn thuần, chúng ta thấy rằng thế năng U(x,y,z) của một vật nằm tại một điểm (x,y,z) trong không gian có thể được viết như m nhân với một hàm khác mà chúng ta có thể gọi là thế Ψ. Tích phân ∫C·ds = −Ψ, cũng như ∫F·ds = −U; giữa hai cái chỉ có một hệ số tỉ lệ:

U = −∫F·ds = −m∫C·ds = mΨ.   (14.7)

Bằng cách có hàm này Ψ(x,y,z) tại mọi điểm trong không gian, chúng ta có thể tính ngay thế năng của một vật tại bất kỳ điểm nào trong không gian, cụ thể là, U(x,y,z) = mΨ(x,y,z) — một việc khá tầm thường, dường như vậy. Nhưng nó thật ra không tầm thường, vì đôi khi việc mô tả trường bằng cách đưa ra giá trị của Ψ ở khắp nơi trong không gian dễ chịu hơn nhiều so với việc phải đưa ra C. Thay vì phải viết ba thành phần phức tạp của một hàm vectơ, chúng ta có thể đưa ra thay vào đó hàm vô hướng Ψ. Hơn nữa, việc tính Ψ dễ dàng hơn nhiều so với bất kỳ thành phần cho trước nào của C khi trường được tạo ra bởi một số khối lượng, vì vì thế là một vô hướng nên chúng ta chỉ cộng vào, mà không phải lo lắng về hướng. Ngoài ra, trường C có thể được khôi phục dễ dàng từ Ψ, như chúng ta sẽ sớm thấy. Giả sử chúng ta có các khối lượng điểm m₁, m₂, … tại các điểm 1, 2, … và chúng ta muốn biết thế Ψ tại một điểm tùy ý nào đó p. Điều này đơn giản là tổng của các thế tại p do các khối lượng riêng lẻ đóng góp, lấy từng cái một:

Ψ(p) = Σ_i −Gm_i/r_ip,   i = 1, 2, …   (14.8)

Trong chương trước, chúng ta đã dùng công thức này, rằng thế là tổng của các thế từ mọi vật khác nhau, để tính thế do một vỏ cầu vật chất gây ra bằng cách cộng các đóng góp vào thế tại một điểm từ mọi bộ phận của vỏ. Kết quả của việc tính toán này được biểu diễn bằng đồ thị trong Hình 14–4. Nó âm, có giá trị bằng không tại r = ∞ và biến thiên như 1/r xuống đến bán kính a, và rồi là hằng số bên trong vỏ. Bên ngoài vỏ, thế là −Gm/r, trong đó m là khối lượng của vỏ, đúng như nó sẽ là nếu mọi khối lượng nằm ở tâm. Nhưng nó không hoàn toàn giống nhau ở mọi nơi, vì bên trong vỏ thế hóa ra là −Gm/a, và là một hằng số! Khi thế là hằng số, không có trường, hoặc khi thế năng là hằng số thì không có lực, vì nếu chúng ta di chuyển một vật từ nơi này đến nơi khác ở bất cứ đâu bên trong vỏ cầu, công thực hiện bởi lực đúng bằng không. Tại sao? Vì công thực hiện khi di chuyển vật từ nơi này đến nơi khác bằng trừ đi độ biến thiên của thế năng (hay, tích phân trường tương ứng là độ biến thiên của thế). Nhưng thế năng là như nhau tại bất kỳ hai điểm nào bên trong, vì vậy có độ biến thiên thế năng bằng không, và do đó không có công nào được thực hiện khi đi giữa bất kỳ hai điểm nào bên trong vỏ. Cách duy nhất để công bằng không đối với mọi hướng của độ dời là không có lực nào cả.

Điều này cho chúng ta một manh mối về cách chúng ta có thể thu được lực hay trường, cho trước thế năng. Giả sử thế năng của một vật được biết tại vị trí (x,y,z) và chúng ta muốn biết lực lên vật là gì. Việc chỉ biết thế tại đúng một điểm này sẽ không đủ, như chúng ta sẽ thấy; nó đòi hỏi phải biết thế tại các điểm lân cận nữa. Tại sao? Làm sao chúng ta có thể tính thành phần x của lực? (Nếu chúng ta có thể làm điều này, dĩ nhiên, chúng ta cũng có thể tìm các thành phần y và z, và khi đó chúng ta sẽ biết toàn bộ lực.) Bây giờ, nếu chúng ta di chuyển vật một khoảng nhỏ Δx, công thực hiện bởi lực lên vật sẽ là thành phần x của lực nhân với Δx, nếu Δx đủ nhỏ, và điều này phải bằng độ biến thiên của thế năng khi đi từ điểm này đến điểm kia:

ΔW = −ΔU = F_x Δx.   (14.9)

Chúng ta chỉ đơn thuần dùng công thức ∫F·ds = −ΔU, nhưng cho một đường đi rất ngắn. Bây giờ chúng ta chia cho Δx và thấy rằng lực là

F_x = −ΔU/Δx.   (14.10)

Dĩ nhiên điều này không chính xác. Điều chúng ta thật sự muốn là giới hạn của (14.10) khi Δx càng lúc càng nhỏ, vì nó chỉ đúng một cách chính xác trong giới hạn của Δx vô cùng nhỏ. Chúng ta nhận ra đây là đạo hàm của U theo x, và do đó chúng ta sẽ có xu hướng viết −dU/dx. Nhưng U phụ thuộc vào x, y và z, và các nhà toán học đã phát minh ra một ký hiệu khác để nhắc chúng ta phải rất cẩn thận khi lấy đạo hàm một hàm như vậy, để nhớ rằng chúng ta đang xét rằng chỉ x biến thiên, còn y và z không biến thiên. Thay vì một d, họ đơn giản tạo ra một “số 6 ngược”, hay ∂. (Một ∂ lẽ ra đã nên được dùng ngay từ đầu của giải tích vì chúng ta luôn muốn triệt tiêu cái d đó, nhưng chúng ta không bao giờ muốn triệt tiêu một ∂!) Vì vậy họ viết ∂U/∂x, và hơn nữa, trong những lúc căng thẳng, nếu họ muốn rất cẩn thận, họ đặt một vạch bên cạnh nó với một yz nhỏ ở dưới (∂U/∂x|_yz), có nghĩa là “Lấy đạo hàm của U theo x, giữ y và z không đổi.” Thông thường chúng ta bỏ qua lời ghi chú về cái gì được giữ không đổi vì nó thường hiển nhiên từ ngữ cảnh, vì vậy chúng ta thường không dùng vạch với y và z. Tuy nhiên, luôn dùng một ∂ thay vì một d như một lời cảnh báo rằng đó là một đạo hàm với một số biến khác được giữ không đổi. Đây gọi là đạo hàm riêng; nó là một đạo hàm trong đó chúng ta chỉ biến thiên x.

Do đó, chúng ta thấy rằng lực theo hướng x là trừ đi đạo hàm riêng của U theo x:

F_x = −∂U/∂x.   (14.11)

Theo một cách tương tự, lực theo hướng y có thể được tìm bằng cách lấy đạo hàm U theo y, giữ x và z không đổi, và thành phần thứ ba, dĩ nhiên, là đạo hàm theo z, giữ y và x không đổi:

F_y = −∂U/∂y,   F_z = −∂U/∂z.   (14.12)

Đây là cách để đi từ thế năng đến lực. Chúng ta thu được trường từ thế theo đúng cách tương tự:

C_x = −∂Ψ/∂x,   C_y = −∂Ψ/∂y,   C_z = −∂Ψ/∂z.   (14.13)

Nhân tiện, chúng ta sẽ đề cập ở đây một ký hiệu khác, mà chúng ta sẽ chưa thật sự dùng trong một thời gian khá dài: Vì C là một vectơ và có các thành phần x-, y-, và z-, các thứ được ký hiệu hóa ∂/∂x, ∂/∂y, và ∂/∂z vốn tạo ra các thành phần x-, y- và z- thì có phần nào đó giống như các vectơ. Các nhà toán học đã phát minh ra một ký hiệu mới vinh quang, ∇, gọi là “grad” hay “gradient”, vốn không phải là một đại lượng mà là một toán tử tạo ra một vectơ từ một vô hướng. Nó có các “thành phần” sau: Thành phần x của “grad” này là ∂/∂x, thành phần y là ∂/∂y, và thành phần z là ∂/∂z, và rồi chúng ta có niềm vui viết các công thức của mình theo cách này:

F = −grad U,   C = −grad Ψ.   (14.14)

Việc dùng ∇ cho chúng ta một cách nhanh chóng để kiểm tra xem chúng ta có một phương trình vectơ thật hay không, nhưng thật ra các Phương trình (14.14) có nghĩa đúng hệt như các Phương trình (14.11), (14.12) và (14.13); nó chỉ là một cách viết khác của chúng, và vì chúng ta không muốn viết ba phương trình mỗi lần, chúng ta chỉ viết grad U thay vào đó.

Một ví dụ nữa về trường và thế liên quan đến trường hợp điện. Trong trường hợp điện, lực lên một vật đứng yên là điện tích nhân với điện trường: F = qE. (Nói chung, dĩ nhiên, thành phần x của lực trong một bài toán điện cũng có một phần phụ thuộc vào từ trường. Dễ dàng cho thấy từ Phương trình (12.11) rằng lực lên một hạt do từ trường luôn vuông góc với vận tốc của nó, và cũng vuông góc với trường. Vì lực do từ tính lên một điện tích chuyển động vuông góc với vận tốc, không có công nào được thực hiện bởi từ tính lên điện tích chuyển động vì chuyển động vuông góc với lực. Do đó, khi tính các định lý động năng trong điện trường và từ trường, chúng ta có thể bỏ qua đóng góp từ từ trường, vì nó không làm thay đổi động năng.) Chúng ta giả sử rằng chỉ có một điện trường. Khi đó chúng ta có thể tính năng lượng, hay công thực hiện, theo cùng cách như đối với hấp dẫn, và tính một đại lượng φ vốn bằng trừ đi tích phân của E·ds, từ điểm cố định tùy ý đến điểm nơi chúng ta thực hiện phép tính, và khi đó thế năng trong một điện trường chỉ là điện tích nhân với đại lượng này φ:

φ(r) = −∫E·ds,   U = qφ.

Chúng ta hãy lấy, như một ví dụ, trường hợp hai bản kim loại song song, mỗi bản có một điện tích mặt ±σ trên một đơn vị diện tích. Đây gọi là một tụ điện bản song song. Trước đây chúng ta đã thấy rằng không có lực bên ngoài các bản và rằng có một điện trường không đổi giữa chúng, hướng từ + đến − và có độ lớn σ/ε₀ (Hình 14–5). Chúng ta muốn biết bao nhiêu công sẽ được thực hiện khi mang một điện tích từ bản này sang bản kia. Công sẽ là tích phân (lực)·(ds), vốn có thể được viết như điện tích nhân với giá trị thế tại bản 1 trừ đi giá trị tại bản 2:

W = ∫₁² F·ds = q(φ₁ − φ₂).

Chúng ta thật sự có thể tính tích phân vì lực là hằng số, và nếu chúng ta gọi khoảng cách giữa các bản là d, thì tích phân rất dễ:

∫₁² F·ds = (qσ/ε₀)∫₁²dx = qσd/ε₀.

Hiệu thế, Δφ = σd/ε₀, được gọi là hiệu điện thế, và φ được đo bằng volt. Khi chúng ta nói một cặp bản được nạp đến một điện thế nhất định, điều chúng ta muốn nói là hiệu điện thế của hai bản là bao nhiêu đó volt. Đối với một tụ điện làm từ hai bản song song mang điện tích mặt ±σ, hiệu điện thế, hay hiệu thế, của cặp bản là σd/ε₀.