Chương 17: Không–thời gian

17–1  Hình học của không–thời gian

Thuyết tương đối cho chúng ta thấy rằng các mối quan hệ giữa vị trí và thời gian đo trong hệ tọa độ này với hệ tọa độ khác không phải là điều chúng ta kỳ vọng dựa trên những ý tưởng trực giác của mình. Điều rất quan trọng là chúng ta phải hiểu thấu đáo các mối quan hệ giữa không gian và thời gian mà phép biến đổi Lorentz ngụ ý, và vì vậy trong chương này chúng ta sẽ xét vấn đề này sâu hơn.

Phép biến đổi Lorentz giữa các vị trí và thời gian (x, y, z, t) như được đo bởi một người quan sát “đứng yên”, và các tọa độ cùng thời gian tương ứng (x′, y′, z′, t′) đo bên trong một con tàu không gian “đang chuyển động”, chuyển động với vận tốc u, là

x′ = (x − ut)/√(1 − u²/c²),   y′ = y,   z′ = z,   t′ = (t − ux/c²)/√(1 − u²/c²).   (17.1)

Hãy so sánh các phương trình này với phương trình (11.5), phương trình này cũng liên hệ các phép đo trong hai hệ, trong đó một hệ ở trường hợp này bị quay so với hệ kia:

x′ = x cos θ + y sin θ,   y′ = y cos θ − x sin θ,   z′ = z.   (17.2)

Trong trường hợp cụ thể này, Moe và Joe đang đo với các trục có một góc θ giữa trục x′ và trục x. Trong mỗi trường hợp, chúng ta lưu ý rằng các đại lượng “có phẩy” là những “hỗn hợp” của các đại lượng “không phẩy”: x′ mới là một hỗn hợp của x và y, và y′ mới cũng là một hỗn hợp của x và y.

Một phép tương tự rất hữu ích: khi chúng ta nhìn vào một vật, có một thứ hiển nhiên mà chúng ta có thể gọi là “chiều rộng biểu kiến”, và một thứ khác mà chúng ta có thể gọi là “chiều sâu”. Nhưng hai ý tưởng, chiều rộng và chiều sâu, không phải là những tính chất cơ bản của vật, bởi vì nếu chúng ta bước sang một bên và nhìn cùng một vật đó từ một góc khác, chúng ta thu được một chiều rộng khác và một chiều sâu khác, và chúng ta có thể xây dựng một số công thức để tính những giá trị mới từ những giá trị cũ và các góc liên quan. Các phương trình (17.2) chính là những công thức đó. Người ta có thể nói rằng một chiều sâu cho trước là một kiểu “hỗn hợp” của toàn bộ chiều sâu và toàn bộ chiều rộng. Nếu chúng ta không bao giờ có thể di chuyển, và luôn luôn nhìn một vật cho trước từ cùng một vị trí, thì toàn bộ chuyện này sẽ không liên quan — chúng ta sẽ luôn luôn nhìn thấy chiều rộng “thật” và chiều sâu “thật”, và chúng sẽ hiện ra như có những phẩm chất hoàn toàn khác nhau, bởi vì một cái hiện ra như một góc quang học trương ra và cái kia liên quan đến một sự điều tiết nào đó của mắt hay thậm chí là trực giác; chúng sẽ dường như là những thứ rất khác nhau và sẽ không bao giờ bị trộn lẫn vào nhau. Chính vì chúng ta có thể đi vòng quanh mà chúng ta nhận ra rằng chiều sâu và chiều rộng, bằng cách này hay cách khác, chỉ là hai khía cạnh khác nhau của cùng một vật.

Chúng ta có thể nhìn phép biến đổi Lorentz theo cùng một cách không? Ở đây chúng ta cũng có một sự trộn lẫn — của các vị trí và thời gian. Một hiệu số giữa một phép đo không gian và một phép đo thời gian tạo ra một phép đo không gian mới. Nói cách khác, trong các phép đo không gian của một người có trộn lẫn vào một ít thời gian, như người kia nhìn thấy. Phép tương tự của chúng ta cho phép chúng ta hình thành ý tưởng này: “thực tại” của một vật mà chúng ta đang nhìn bằng cách nào đó lớn hơn (nói một cách thô thiển và trực giác) “chiều rộng” và “chiều sâu” của nó, bởi vì chúng phụ thuộc vào cách chúng ta nhìn nó; khi chúng ta di chuyển đến một vị trí mới, bộ não của chúng ta lập tức tính lại chiều rộng và chiều sâu. Nhưng bộ não của chúng ta không lập tức tính lại các tọa độ và thời gian khi chúng ta chuyển động với tốc độ cao, bởi vì chúng ta chưa từng có trải nghiệm hiệu quả nào về việc đi gần nhanh bằng ánh sáng để cảm nhận được sự kiện rằng thời gian và không gian cũng có cùng bản chất. Nó giống như thể chúng ta luôn luôn bị kẹt ở vị trí chỉ phải nhìn vào chiều rộng của một vật, không thể di chuyển đầu của mình một cách đáng kể sang bên này hay bên kia; nếu chúng ta có thể, giờ đây chúng ta hiểu, chúng ta sẽ nhìn thấy một ít thời gian của người kia — chúng ta sẽ nhìn thấy “phía sau”, có thể nói như vậy, một ít.

Như vậy chúng ta sẽ cố gắng nghĩ về các vật trong một loại thế giới mới, của không gian và thời gian trộn lẫn với nhau, theo cùng ý nghĩa mà các vật trong thế giới không gian thông thường của chúng ta là có thật, và có thể được nhìn từ các hướng khác nhau. Khi đó chúng ta sẽ xét rằng các vật chiếm không gian và kéo dài trong một khoảng thời gian nào đó chiếm một kiểu “khối” trong một loại thế giới mới, và rằng chúng ta nhìn “khối” này từ các điểm nhìn khác nhau khi chúng ta chuyển động với các vận tốc khác nhau. Thế giới mới này, thực thể hình học này mà trong đó các “khối” tồn tại bằng cách chiếm vị trí và chiếm một lượng thời gian nào đó, được gọi là không–thời gian. Một điểm cho trước (x, y, z, t) trong không–thời gian được gọi là một sự kiện. Hãy tưởng tượng, chẳng hạn, rằng chúng ta vẽ các vị trí x theo chiều ngang, y và z theo hai hướng khác, cả hai đều “vuông góc” lẫn nhau và “vuông góc” với tờ giấy (!), và thời gian, theo chiều dọc. Bây giờ, một hạt đang chuyển động, chẳng hạn, trông như thế nào trên một sơ đồ như vậy? Nếu hạt đứng yên, thì nó có một x nào đó, và khi thời gian trôi qua, nó có cùng một x, cùng một x, cùng một x; vậy “đường đi” của nó là một đường thẳng chạy song song với trục t (Hình 17–1a). Mặt khác, nếu nó trôi ra ngoài, thì khi thời gian trôi qua x tăng lên (Hình 17–1b). Vậy một hạt, chẳng hạn, bắt đầu trôi ra ngoài rồi chậm lại thì nên có một chuyển động giống như được cho thấy trong Hình 17–1(c). Nói cách khác, một hạt bền vững và không phân rã được biểu diễn bằng một đường thẳng trong không–thời gian. Một hạt phân rã sẽ được biểu diễn bằng một đường rẽ nhánh, bởi vì nó sẽ biến thành hai thứ khác mà sẽ bắt đầu từ điểm đó.

Thế còn ánh sáng thì sao? Ánh sáng truyền đi với tốc độ c, và điều đó sẽ được biểu diễn bằng một đường thẳng có một độ dốc cố định nào đó (Hình 17–1d).

Bây giờ theo ý tưởng mới của chúng ta, nếu một sự kiện cho trước xảy ra với một hạt, chẳng hạn nếu nó đột nhiên phân rã tại một điểm không–thời gian nào đó thành hai hạt mới đi theo một số đường mới, và sự kiện thú vị này xảy ra tại một giá trị nào đó của x và một giá trị nào đó của t, thì chúng ta kỳ vọng rằng, nếu điều này có ý nghĩa gì đó, chúng ta chỉ việc lấy một cặp trục mới và quay chúng, và điều đó sẽ cho chúng ta t mới và x mới trong hệ mới của chúng ta, như được cho thấy trong Hình 17–2(a). Nhưng điều này là sai, bởi vì phương trình (17.1) không hoàn toàn là cùng một phép biến đổi toán học như phương trình (17.2). Hãy lưu ý, chẳng hạn, sự khác biệt về dấu giữa hai phép biến đổi, và sự kiện rằng một phép biến đổi được viết theo cos θ và sin θ, trong khi phép biến đổi kia được viết bằng các đại lượng đại số. (Dĩ nhiên, không phải là không thể viết các đại lượng đại số thành cosin và sin, nhưng thực tế là không thể.) Nhưng dù vậy, hai biểu thức rất giống nhau. Như chúng ta sẽ thấy, không thật sự có thể nghĩ về không–thời gian như một hình học thực, thông thường vì sự khác biệt về dấu đó. Trên thực tế, mặc dù chúng ta sẽ không nhấn mạnh điểm này, hóa ra một người đang chuyển động phải dùng một tập hợp trục nghiêng đều so với tia sáng, dùng một kiểu phép chiếu đặc biệt song song với các trục x′ và t′, cho x′ và t′ của mình, như được cho thấy trong Hình 17–2(b). Chúng ta sẽ không bàn về hình học, vì nó không giúp ích nhiều; làm việc với các phương trình thì dễ dàng hơn.

17–2  Các khoảng không–thời gian

Mặc dù hình học của không–thời gian không phải là hình học Euclid theo nghĩa thông thường, có một hình học rất giống, nhưng kỳ lạ ở một số khía cạnh nhất định. Nếu ý tưởng hình học này là đúng, thì phải có một số hàm của các tọa độ và thời gian độc lập với hệ tọa độ. Chẳng hạn, dưới các phép quay thông thường, nếu chúng ta lấy hai điểm, một điểm tại gốc tọa độ, để cho đơn giản, và điểm kia ở một nơi nào đó khác, cả hai hệ đều có cùng một gốc tọa độ, và khoảng cách từ đây đến điểm kia là như nhau trong cả hai hệ. Đó là một tính chất độc lập với cách đo cụ thể. Bình phương của khoảng cách là x² + y² + z². Bây giờ thế còn không–thời gian thì sao? Không khó để chứng minh rằng ở đây chúng ta cũng có một thứ gì đó giữ nguyên như cũ, cụ thể là, tổ hợp c²t² − x² − y² − z² là như nhau trước và sau phép biến đổi:

c²t′² − x′² − y′² − z′² = c²t² − x² − y² − z².   (17.3)

Do đó đại lượng này là một thứ gì đó, giống như khoảng cách, “có thật” theo một ý nghĩa nào đó; nó được gọi là khoảng (interval) giữa hai điểm không–thời gian, mà một trong hai điểm, trong trường hợp này, nằm tại gốc tọa độ. (Thực ra, dĩ nhiên, nó là bình phương của khoảng, giống như x² + y² + z² là bình phương của khoảng cách.) Chúng ta đặt cho nó một cái tên khác bởi vì nó nằm trong một hình học khác, nhưng điều thú vị chỉ là một số dấu bị đảo ngược và có một hệ số c trong đó.

Hãy loại bỏ c; đó là một điều vô lý nếu chúng ta sắp có một không gian tuyệt vời với các x và y có thể hoán đổi cho nhau. Một trong những sự nhầm lẫn có thể gây ra bởi một người không có kinh nghiệm là đo chiều rộng, chẳng hạn, bằng góc trương tại mắt, và đo chiều sâu bằng một cách khác, như sức căng trên các cơ cần để điều tiết mắt, sao cho chiều sâu sẽ được đo bằng feet và chiều rộng bằng mét. Khi đó người ta sẽ thu được một mớ phương trình vô cùng phức tạp khi thực hiện các phép biến đổi như (17.2), và sẽ không thể nhìn thấy sự rõ ràng và đơn giản của vấn đề vì một lý do kỹ thuật rất đơn giản, rằng cùng một thứ đang được đo bằng hai đơn vị khác nhau. Bây giờ trong các phương trình (17.1) và (17.3) tự nhiên đang nói với chúng ta rằng thời gian và không gian là tương đương; thời gian trở thành không gian; chúng nên được đo bằng cùng một đơn vị. Một “giây” là khoảng cách bao nhiêu? Dễ dàng tìm ra từ (17.3) nó là bao nhiêu. Nó là 3×10⁸ mét, khoảng cách mà ánh sáng sẽ đi trong một giây. Nói cách khác, nếu chúng ta đo mọi khoảng cách và thời gian bằng cùng một đơn vị, giây, thì đơn vị khoảng cách của chúng ta sẽ là 3×10⁸ mét, và các phương trình sẽ đơn giản hơn. Hay một cách khác mà chúng ta có thể làm cho các đơn vị bằng nhau là đo thời gian bằng mét. Một mét thời gian là bao nhiêu? Một mét thời gian là thời gian cần để ánh sáng đi một mét, và do đó bằng 1/3×10⁻⁸ giây, hay 3,3 phần tỷ của một giây! Nói cách khác, chúng ta muốn đặt mọi phương trình của mình trong một hệ đơn vị mà trong đó c = 1. Nếu thời gian và không gian được đo bằng cùng một đơn vị, như đã gợi ý, thì các phương trình rõ ràng được đơn giản hóa rất nhiều. Chúng là

x′ = (x − ut)/√(1 − u²),   y′ = y,   z′ = z,   t′ = (t − ux)/√(1 − u²).   (17.4)

t′² − x′² − y′² − z′² = t² − x² − y² − z².   (17.5)

Nếu chúng ta bao giờ không chắc chắn hay “sợ hãi” rằng sau khi chúng ta có hệ này với c = 1 chúng ta sẽ không bao giờ có thể làm cho các phương trình của mình đúng trở lại, thì câu trả lời hoàn toàn ngược lại. Nhớ chúng mà không có các c trong đó thì dễ dàng hơn nhiều, và luôn luôn dễ dàng đặt các c trở lại, bằng cách chú ý đến thứ nguyên. Chẳng hạn, trong √(1 − u²), chúng ta biết rằng chúng ta không thể trừ một bình phương vận tốc, vốn có đơn vị, khỏi con số thuần túy 1, vậy chúng ta biết rằng chúng ta phải chia u² cho c² để làm cho nó không có đơn vị, và đó là cách nó diễn ra.

Sự khác biệt giữa không–thời gian và không gian thông thường, và tính chất của một khoảng liên quan đến khoảng cách, rất thú vị. Theo công thức (17.5), nếu chúng ta xét một điểm mà trong một hệ tọa độ cho trước có thời gian bằng không, và chỉ có không gian, thì bình phương của khoảng sẽ âm và chúng ta sẽ có một khoảng ảo, căn bậc hai của một số âm. Các khoảng có thể hoặc thực hoặc ảo trong lý thuyết này. Bình phương của một khoảng có thể hoặc dương hoặc âm, không giống như khoảng cách, vốn có bình phương dương. Khi một khoảng là ảo, chúng ta nói rằng hai điểm có một khoảng kiểu không gian (space-like) giữa chúng (thay vì nói là ảo), bởi vì khoảng đó giống không gian hơn là giống thời gian. Mặt khác, nếu hai vật ở cùng một nơi trong một hệ tọa độ cho trước, nhưng chỉ khác nhau về thời gian, thì bình phương của thời gian là dương và các khoảng cách bằng không và bình phương của khoảng là dương; điều này được gọi là một khoảng kiểu thời gian (time-like). Trong sơ đồ không–thời gian của chúng ta, do đó, chúng ta sẽ có một biểu diễn giống như thế này: tại 45° có hai đường thẳng (thực ra, trong bốn chiều chúng sẽ là các “nón”, gọi là nón ánh sáng) và các điểm trên các đường thẳng này đều cách gốc tọa độ một khoảng bằng không. Nơi ánh sáng đi từ một điểm cho trước luôn luôn cách điểm đó một khoảng bằng không, như chúng ta thấy từ phương trình (17.5). Nhân tiện, chúng ta vừa chứng minh rằng nếu ánh sáng truyền đi với tốc độ c trong một hệ, nó truyền đi với tốc độ c trong một hệ khác, vì nếu khoảng là như nhau trong cả hai hệ, tức là bằng không trong hệ này và bằng không trong hệ kia, thì nói rằng tốc độ truyền của ánh sáng là bất biến cũng chính là nói rằng khoảng bằng không.

17–3  Quá khứ, hiện tại và tương lai

Vùng không–thời gian xung quanh một điểm không–thời gian cho trước có thể được tách thành ba vùng, như được cho thấy trong Hình 17–3. Trong một vùng chúng ta có các khoảng kiểu không gian, và trong hai vùng, các khoảng kiểu thời gian. Về mặt vật lý, ba vùng này mà không–thời gian xung quanh một điểm cho trước được chia thành có một mối quan hệ vật lý thú vị với điểm đó: một vật vật lý hay một tín hiệu có thể đi từ một điểm trong vùng 2 đến sự kiện O bằng cách chuyển động với một tốc độ nhỏ hơn tốc độ ánh sáng. Do đó các sự kiện trong vùng này có thể ảnh hưởng đến điểm O, có thể có một ảnh hưởng lên nó từ quá khứ. Trên thực tế, dĩ nhiên, một vật tại P trên trục t âm chính xác nằm trong “quá khứ” đối với O; nó là cùng một điểm không gian như O, chỉ sớm hơn thôi. Điều đã xảy ra ở đó khi đó, ảnh hưởng đến O bây giờ. (Thật không may, cuộc sống là như vậy.) Một vật khác tại Q có thể đến O bằng cách chuyển động với một tốc độ nào đó nhỏ hơn c, vậy nếu vật này ở trong một con tàu không gian và đang chuyển động, nó sẽ, một lần nữa, là quá khứ của cùng một điểm không gian. Nghĩa là, trong một hệ tọa độ khác, trục thời gian có thể đi qua cả O và Q. Vậy mọi điểm của vùng 2 đều nằm trong “quá khứ” của O, và bất cứ điều gì xảy ra trong vùng này đều có thể ảnh hưởng đến O. Do đó vùng 2 đôi khi được gọi là quá khứ gây ảnh hưởng (affective past), hay quá khứ đang ảnh hưởng; nó là quỹ tích của mọi sự kiện có thể ảnh hưởng đến điểm O theo bất kỳ cách nào.

Vùng 3, mặt khác, là một vùng mà chúng ta có thể ảnh hưởng từ O, chúng ta có thể “bắn trúng” các vật bằng cách bắn “đạn” ra với các tốc độ nhỏ hơn c. Vậy đây là thế giới mà tương lai của nó có thể bị chúng ta ảnh hưởng, và chúng ta có thể gọi đó là tương lai bị ảnh hưởng (affective future). Bây giờ điều thú vị về toàn bộ phần còn lại của không–thời gian, tức là vùng 1, là chúng ta không thể ảnh hưởng đến nó bây giờ từ O, nó cũng không thể ảnh hưởng đến chúng ta bây giờ tại O, bởi vì không có gì có thể đi nhanh hơn tốc độ ánh sáng. Dĩ nhiên, điều xảy ra tại R có thể ảnh hưởng đến chúng ta sau này; nghĩa là, nếu mặt trời đang nổ tung “ngay bây giờ”, phải mất tám phút trước khi chúng ta biết về nó, và nó không thể nào ảnh hưởng đến chúng ta trước lúc đó.

Điều chúng ta có ý gì khi nói “ngay bây giờ” là một điều bí ẩn mà chúng ta không thể định nghĩa và chúng ta không thể ảnh hưởng, nhưng nó có thể ảnh hưởng đến chúng ta sau này, hay chúng ta đã có thể ảnh hưởng đến nó nếu chúng ta đã làm một điều gì đó đủ xa trong quá khứ. Khi chúng ta nhìn vào ngôi sao Alpha Centauri, chúng ta nhìn thấy nó như nó đã là bốn năm trước; chúng ta có thể tự hỏi nó trông như thế nào “bây giờ”. “Bây giờ” có nghĩa là tại cùng một thời gian xét từ hệ tọa độ đặc biệt của chúng ta. Chúng ta chỉ có thể nhìn thấy Alpha Centauri bằng ánh sáng đã đến từ quá khứ của chúng ta, cách đây đến bốn năm, nhưng chúng ta không biết nó đang làm gì “bây giờ”; sẽ phải mất bốn năm trước khi điều nó đang làm “bây giờ” có thể ảnh hưởng đến chúng ta. Alpha Centauri “bây giờ” là một ý tưởng hay một khái niệm của tâm trí chúng ta; nó không phải là một thứ gì đó thật sự có thể định nghĩa về mặt vật lý tại thời điểm này, bởi vì chúng ta phải chờ để quan sát nó; chúng ta thậm chí không thể định nghĩa nó ngay “bây giờ”. Hơn nữa, “bây giờ” phụ thuộc vào hệ tọa độ. Nếu, chẳng hạn, Alpha Centauri đang chuyển động, một người quan sát ở đó sẽ không đồng ý với chúng ta bởi vì anh ta sẽ đặt các trục của mình nghiêng đi một góc, và “bây giờ” của anh ta sẽ là một thời gian khác. Chúng ta đã nói về sự kiện rằng tính đồng thời không phải là một thứ duy nhất.

Có những thầy bói, hay những người nói với chúng ta rằng họ có thể biết tương lai, và có nhiều câu chuyện tuyệt vời về người đàn ông đột nhiên khám phá ra rằng mình có kiến thức về tương lai bị ảnh hưởng. Chà, có rất nhiều nghịch lý được tạo ra bởi điều đó bởi vì nếu chúng ta biết một điều gì đó sắp xảy ra, thì chúng ta có thể đảm bảo rằng chúng ta sẽ tránh nó bằng cách làm điều đúng vào lúc đúng, và cứ thế. Nhưng thực ra không có thầy bói nào thậm chí có thể nói cho chúng ta biết hiện tại! Không có ai có thể nói cho chúng ta biết điều gì thật sự đang xảy ra ngay bây giờ, tại bất kỳ khoảng cách hợp lý nào, bởi vì điều đó là không thể quan sát được. Chúng ta có thể tự đặt cho mình câu hỏi này, câu hỏi mà chúng ta để cho học sinh thử trả lời: liệu có nghịch lý nào được tạo ra nếu đột nhiên trở nên có thể biết được những điều nằm trong các khoảng kiểu không gian của vùng 1 hay không?

17–4  Thêm về vectơ bốn chiều

Bây giờ hãy quay lại việc xét phép tương tự giữa phép biến đổi Lorentz và các phép quay của các trục không gian. Chúng ta đã học được ích lợi của việc tập hợp lại với nhau các đại lượng khác có cùng tính chất biến đổi như các tọa độ, để tạo thành cái mà chúng ta gọi là các vectơ, các đường thẳng có hướng. Trong trường hợp các phép quay thông thường, có nhiều đại lượng biến đổi giống như x, y và z dưới phép quay: chẳng hạn, vận tốc có ba thành phần, một thành phần x, y và z; khi được nhìn trong một hệ tọa độ khác, không thành phần nào trong số chúng giữ nguyên như cũ, thay vào đó tất cả chúng đều được biến đổi thành các giá trị mới. Nhưng, bằng cách này hay cách khác, bản thân vận tốc “tự nó” có một thực tại lớn hơn bất kỳ thành phần riêng lẻ nào của nó, và chúng ta biểu diễn nó bằng một đường thẳng có hướng.

Do đó chúng ta đặt câu hỏi: có đúng hay không đúng rằng có những đại lượng biến đổi, hay có liên quan, trong một hệ đang chuyển động và trong một hệ không chuyển động, theo cùng một cách như x, y, z và t? Từ kinh nghiệm của chúng ta với các vectơ, chúng ta biết rằng ba trong số các đại lượng, như x, y, z, sẽ tạo thành ba thành phần của một vectơ không gian thông thường, nhưng đại lượng thứ tư sẽ trông giống như một vô hướng thông thường dưới phép quay không gian, bởi vì nó không thay đổi chừng nào chúng ta không đi vào một hệ tọa độ đang chuyển động. Vậy có thể nào liên kết với một số “vectơ ba chiều” đã biết của chúng ta một vật thứ tư, mà chúng ta có thể gọi là “thành phần thời gian”, theo một cách sao cho bốn vật cùng nhau sẽ “quay” theo cùng một cách như vị trí và thời gian trong không–thời gian hay không? Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng quả thật có ít nhất một thứ như vậy (trên thực tế có nhiều thứ như vậy): ba thành phần của động lượng, và năng lượng đóng vai trò thành phần thời gian, biến đổi cùng nhau để tạo thành cái mà chúng ta gọi là một “vectơ bốn chiều”. Khi chứng minh điều này, vì việc phải viết các c ở khắp mọi nơi là khá bất tiện, chúng ta sẽ dùng cùng một thủ thuật về đơn vị của năng lượng, khối lượng và động lượng, mà chúng ta đã dùng trong phương trình (17.4). Năng lượng và khối lượng, chẳng hạn, chỉ khác nhau bởi một hệ số c² vốn chỉ là một vấn đề đơn vị, vậy chúng ta có thể nói năng lượng là khối lượng. Thay vì phải viết c², chúng ta đặt E = m, và khi đó, dĩ nhiên, nếu có bất kỳ rắc rối nào chúng ta sẽ đặt vào lượng c đúng sao cho các đơn vị sẽ ngay ngắn lại trong phương trình cuối cùng, nhưng không phải trong các phương trình trung gian.

Như vậy các phương trình của chúng ta cho năng lượng và động lượng là

E = m = m₀/√(1 − v²),   p = mv = m₀v/√(1 − v²).   (17.6)

Cũng trong các đơn vị này, chúng ta có

E² − p² = m₀².   (17.7)

Chẳng hạn, nếu chúng ta đo năng lượng bằng electron volt, một khối lượng bằng 1 electron volt có nghĩa là gì? Nó có nghĩa là khối lượng mà năng lượng nghỉ của nó là 1 electron volt, nghĩa là, m₀c² là một electron volt. Chẳng hạn, khối lượng nghỉ của một electron là 0,511×10⁶ eV.

Bây giờ động lượng và năng lượng sẽ trông như thế nào trong một hệ tọa độ mới? Để tìm ra, chúng ta sẽ phải biến đổi phương trình (17.6), điều mà chúng ta có thể làm bởi vì chúng ta biết vận tốc biến đổi như thế nào. Giả sử rằng, như chúng ta đo, một vật có một vận tốc v, nhưng chúng ta nhìn cùng vật đó từ điểm nhìn của một con tàu không gian mà bản thân nó đang chuyển động với một vận tốc u, và trong hệ đó chúng ta dùng dấu phẩy để chỉ vật tương ứng. Để đơn giản hóa mọi việc lúc đầu, chúng ta sẽ lấy trường hợp vận tốc v nằm theo hướng của u. (Sau này, chúng ta có thể làm trường hợp tổng quát hơn.) v′ là gì, vận tốc như được nhìn từ con tàu không gian? Nó là vận tốc hợp thành, “hiệu” giữa v và u. Theo định luật mà chúng ta đã xây dựng trước đây,

v′ = (v − u)/(1 − uv).   (17.8)

Bây giờ hãy tính năng lượng mới E′, năng lượng như người bạn trên tàu không gian sẽ nhìn thấy. Anh ta sẽ dùng cùng một khối lượng nghỉ, dĩ nhiên, nhưng anh ta sẽ dùng v′ cho vận tốc. Điều chúng ta phải làm là bình phương v′, trừ nó khỏi một, lấy căn bậc hai, và lấy nghịch đảo:

v′² = (v² − 2uv + u²)/(1 − 2uv + u²v²),
1 − v′² = (1 − 2uv + u²v² − v² + 2uv − u²)/(1 − 2uv + u²v²) = (1 − v² − u² + u²v²)/(1 − 2uv + u²v²) = (1 − v²)(1 − u²)/(1 − uv)².

Do đó

1/√(1 − v′²) = (1 − uv)/[√(1 − v²) √(1 − u²)].   (17.9)

Năng lượng E′ khi đó đơn giản là m₀ nhân với biểu thức trên. Nhưng chúng ta muốn biểu diễn năng lượng theo năng lượng và động lượng không phẩy, và chúng ta lưu ý rằng

E′ = (m₀ − m₀uv)/[√(1 − v²) √(1 − u²)] = [(m₀/√(1 − v²)) − (m₀v/√(1 − v²))u]/√(1 − u²),

hay

E′ = (E − up_x)/√(1 − u²),   (17.10)

điều mà chúng ta nhận ra là có đúng cùng dạng như

t′ = (t − ux)/√(1 − u²).

Tiếp theo chúng ta phải tìm động lượng mới p_x′. Nó chỉ là năng lượng E′ nhân với v′, và cũng được biểu diễn đơn giản theo E và p:

p_x′ = E′v′ = [m₀(1 − uv)/(√(1 − v²) √(1 − u²))] · [(v − u)/(1 − uv)] = (m₀v − m₀u)/[√(1 − v²) √(1 − u²)].

Như vậy

p_x′ = (p_x − uE)/√(1 − u²),   (17.11)

điều mà chúng ta nhận ra là có đúng cùng dạng như

x′ = (x − ut)/√(1 − u²).

Như vậy các phép biến đổi cho năng lượng và động lượng mới theo năng lượng và động lượng cũ chính xác giống như các phép biến đổi cho t′ theo t và x, và x′ theo x và t: tất cả những gì chúng ta phải làm là, mỗi khi chúng ta nhìn thấy t trong (17.4) thì thay bằng E, và mỗi khi chúng ta nhìn thấy x thì thay bằng p_x, và khi đó các phương trình (17.4) sẽ trở thành giống như các phương trình (17.10) và (17.11). Điều này sẽ ngụ ý, nếu mọi thứ đều đúng, một quy tắc bổ sung rằng p_y′ = p_y và rằng p_z′ = p_z. Để chứng minh điều này sẽ đòi hỏi chúng ta quay lại và nghiên cứu trường hợp chuyển động lên và xuống. Thực ra, chúng ta đã nghiên cứu trường hợp chuyển động lên và xuống trong chương trước. Chúng ta đã phân tích một va chạm phức tạp và chúng ta nhận thấy rằng, trên thực tế, động lượng ngang không thay đổi khi được nhìn từ một hệ đang chuyển động; vậy chúng ta đã kiểm chứng rằng p_y′ = p_y và p_z′ = p_z. Phép biến đổi đầy đủ, khi đó, là

p_x′ = (p_x − uE)/√(1 − u²),   p_y′ = p_y,   p_z′ = p_z,   E′ = (E − up_x)/√(1 − u²).   (17.12)

Trong các phép biến đổi này, do đó, chúng ta đã khám phá ra bốn đại lượng biến đổi giống như x, y, z và t, và chúng ta gọi chúng là vectơ bốn chiều động lượng. Vì động lượng là một vectơ bốn chiều, nó có thể được biểu diễn trên một sơ đồ không–thời gian của một hạt đang chuyển động như một “mũi tên” tiếp tuyến với đường đi, như được cho thấy trong Hình 17–4. Mũi tên này có một thành phần thời gian bằng năng lượng, và các thành phần không gian của nó biểu diễn động lượng vectơ ba chiều của nó; mũi tên này “có thật” hơn hoặc năng lượng hoặc động lượng, bởi vì những thứ đó chỉ phụ thuộc vào cách chúng ta nhìn vào sơ đồ.

17–5  Đại số vectơ bốn chiều

Ký hiệu cho các vectơ bốn chiều khác với ký hiệu cho các vectơ ba chiều. Trong trường hợp các vectơ ba chiều, nếu chúng ta nói về động lượng vectơ ba chiều thông thường chúng ta sẽ viết nó là p. Nếu chúng ta muốn cụ thể hơn, chúng ta có thể nói nó có ba thành phần mà, đối với các trục đang xét, là p_x, p_y và p_z, hay chúng ta có thể đơn giản gọi một thành phần tổng quát là p_i, và nói rằng i có thể hoặc là x, y, hoặc z, và đó là ba thành phần; nghĩa là, hãy tưởng tượng rằng i là bất kỳ một trong ba hướng, x, y, hoặc z. Ký hiệu mà chúng ta dùng cho các vectơ bốn chiều tương tự như thế này: chúng ta viết p_μ cho vectơ bốn chiều, và μ là viết tắt cho bốn hướng có thể là t, x, y, hoặc z.

Dĩ nhiên chúng ta có thể dùng bất kỳ ký hiệu nào chúng ta muốn; đừng cười nhạo các ký hiệu; hãy phát minh ra chúng, chúng rất mạnh. Trên thực tế, toán học, ở một mức độ lớn, là sự phát minh ra các ký hiệu tốt hơn. Toàn bộ ý tưởng về một vectơ bốn chiều, trên thực tế, là một sự cải tiến trong ký hiệu sao cho các phép biến đổi có thể được nhớ dễ dàng. A_μ, khi đó, là một vectơ bốn chiều tổng quát, nhưng đối với trường hợp đặc biệt của động lượng, p_t được đồng nhất là năng lượng, p_x là động lượng theo hướng x, p_y là động lượng theo hướng y, và p_z là động lượng theo hướng z. Để cộng các vectơ bốn chiều, chúng ta cộng các thành phần tương ứng.

Nếu có một phương trình giữa các vectơ bốn chiều, thì phương trình đó đúng cho mỗi thành phần. Chẳng hạn, nếu định luật bảo toàn động lượng vectơ ba chiều được cho là đúng trong các va chạm hạt, tức là, nếu tổng các động lượng đối với một số lớn các hạt tương tác hay va chạm được cho là một hằng số, điều đó phải có nghĩa là các tổng của mọi động lượng theo hướng x, theo hướng y, và theo hướng z, đối với mọi hạt, mỗi tổng phải là hằng số. Định luật này một mình sẽ không thể có trong thuyết tương đối bởi vì nó không đầy đủ; nó giống như chỉ nói về hai trong số các thành phần của một vectơ ba chiều. Nó không đầy đủ bởi vì nếu chúng ta quay các trục, chúng ta trộn lẫn các thành phần khác nhau, vậy chúng ta phải bao gồm cả ba thành phần trong định luật của mình. Như vậy, trong thuyết tương đối, chúng ta phải hoàn thiện định luật bảo toàn động lượng bằng cách mở rộng nó để bao gồm thành phần thời gian. Điều này là tuyệt đối cần thiết để đi cùng với ba thành phần kia, nếu không sẽ không thể có tính bất biến tương đối tính. Bảo toàn năng lượng là phương trình thứ tư đi cùng với bảo toàn động lượng để tạo thành một mối quan hệ vectơ bốn chiều hợp lệ trong hình học của không gian và thời gian. Như vậy định luật bảo toàn năng lượng và động lượng trong ký hiệu bốn chiều là

∑_{các hạt vào} p_μ = ∑_{các hạt ra} p_μ   (17.13)

hay, trong một ký hiệu hơi khác,

∑_i p_iμ = ∑_j p_jμ,   (17.14)

trong đó i = 1, 2, … chỉ các hạt đi vào va chạm, j = 1, 2, … chỉ các hạt đi ra khỏi va chạm, và μ = x, y, z, hoặc t. Bạn nói, “Trong các trục nào?” Điều đó không tạo ra sự khác biệt. Định luật đúng cho mỗi thành phần, dùng bất kỳ trục nào.

Trong phép phân tích vectơ chúng ta đã thảo luận một điều nữa, tích vô hướng (tích chấm) của hai vectơ. Bây giờ hãy xét điều tương ứng trong không–thời gian. Trong phép quay thông thường chúng ta đã khám phá ra có một đại lượng không thay đổi x² + y² + z². Trong bốn chiều, chúng ta thấy rằng đại lượng tương ứng là t² − x² − y² − z² (phương trình 17.3). Chúng ta có thể viết điều đó như thế nào? Một cách sẽ là viết một kiểu vật bốn chiều nào đó với một dấu chấm vuông ở giữa, như A_μ ⊡ B_μ; một trong những ký hiệu thật sự được dùng là

∑′_μ A_μA_μ = A_t² − A_x² − A_y² − A_z².   (17.15)

Dấu phẩy trên ∑ có nghĩa là số hạng đầu tiên, số hạng “thời gian”, là dương, nhưng ba số hạng còn lại có dấu trừ. Đại lượng này, khi đó, sẽ là như nhau trong bất kỳ hệ tọa độ nào, và chúng ta có thể gọi nó là bình phương độ dài của vectơ bốn chiều. Chẳng hạn, bình phương độ dài của vectơ bốn chiều động lượng của một hạt duy nhất là bao nhiêu? Nó sẽ bằng p_t² − p_x² − p_y² − p_z² hay, nói cách khác, E² − p², bởi vì chúng ta biết rằng p_t là E. E² − p² là bao nhiêu? Nó phải là một thứ gì đó như nhau trong mọi hệ tọa độ. Đặc biệt, nó phải là như nhau đối với một hệ tọa độ đang chuyển động cùng với hạt, trong đó hạt đang đứng yên. Nếu hạt đang đứng yên, nó sẽ không có động lượng. Vậy trong hệ tọa độ đó, nó thuần túy là năng lượng của nó, vốn là như khối lượng nghỉ của nó. Như vậy E² − p² = m₀². Vậy chúng ta thấy rằng bình phương độ dài của vectơ này, vectơ bốn chiều động lượng, bằng m₀².

Từ bình phương của một vectơ, chúng ta có thể tiếp tục phát minh ra “tích vô hướng”, hay tích vốn là một vô hướng: nếu a_μ là một vectơ bốn chiều và b_μ là một vectơ bốn chiều khác, thì tích vô hướng là

∑′ a_μb_μ = a_tb_t − a_xb_x − a_yb_y − a_zb_z.   (17.16)

Nó là như nhau trong mọi hệ tọa độ.

Cuối cùng, chúng ta sẽ đề cập đến một số thứ mà khối lượng nghỉ m₀ của chúng bằng không. Một photon ánh sáng, chẳng hạn. Một photon giống như một hạt, ở chỗ nó mang một năng lượng và một động lượng. Năng lượng của một photon là một hằng số nào đó, gọi là hằng số Planck, nhân với tần số của photon: E = hν. Một photon như vậy cũng mang một động lượng, và động lượng của một photon (hay của bất kỳ hạt nào khác, trên thực tế) là h chia cho bước sóng: p = h/λ. Nhưng, đối với một photon, có một mối quan hệ xác định giữa tần số và bước sóng: ν = c/λ. (Số sóng trong một giây, nhân với bước sóng của mỗi sóng, là khoảng cách mà ánh sáng đi trong một giây, khoảng cách đó, dĩ nhiên, là c.) Như vậy chúng ta thấy ngay rằng năng lượng của một photon phải là động lượng nhân với c, hay nếu c = 1, năng lượng và động lượng bằng nhau. Nghĩa là, khối lượng nghỉ bằng không. Hãy nhìn lại điều đó; điều đó khá kỳ lạ. Nếu nó là một hạt có khối lượng nghỉ bằng không, điều gì xảy ra khi nó dừng lại? Nó không bao giờ dừng lại! Nó luôn luôn đi với tốc độ c. Công thức thông thường cho năng lượng là m₀/√(1 − v²). Bây giờ chúng ta có thể nói rằng m₀ = 0 và v = 1, vậy năng lượng là 0 không? Chúng ta không thể nói rằng nó bằng không; photon thật sự có thể (và quả thật có) năng lượng mặc dù nó không có khối lượng nghỉ, nhưng nó sở hữu năng lượng này bằng cách vĩnh viễn đi với tốc độ ánh sáng!

Chúng ta cũng biết rằng động lượng của bất kỳ hạt nào bằng tổng năng lượng của nó nhân với vận tốc của nó: nếu c = 1, p = vE hay, trong các đơn vị thông thường, p = vE/c². Đối với bất kỳ hạt nào chuyển động với tốc độ ánh sáng, p = E nếu c = 1. Các công thức cho năng lượng của một photon như được nhìn từ một hệ đang chuyển động, dĩ nhiên, được cho bởi phương trình (17.12), nhưng đối với động lượng chúng ta phải thay năng lượng chia cho c (hay chia cho 1 trong trường hợp này). Các năng lượng khác nhau sau phép biến đổi có nghĩa là có các tần số khác nhau. Điều này được gọi là hiệu ứng Doppler, và người ta có thể tính nó dễ dàng từ phương trình (17.12), cũng dùng E = p và E = hν.

Như Minkowski đã nói, “Không gian tự nó, và thời gian tự nó sẽ chìm vào thành những cái bóng đơn thuần, và chỉ một kiểu hợp nhất giữa chúng mới tồn tại được.”