Chương 19: Khối tâm; Mômen quán tính

19–1  Các tính chất của khối tâm

Trong chương trước, chúng ta đã thấy rằng nếu có rất nhiều lực tác dụng lên một khối phức tạp gồm các hạt, dù các hạt đó tạo thành một vật rắn hay không rắn, hay một đám mây sao, hay bất cứ thứ gì khác, và chúng ta lấy tổng của mọi lực (tức là, dĩ nhiên, các ngoại lực, bởi vì các nội lực triệt tiêu lẫn nhau), thì nếu chúng ta xét vật như một toàn thể, và nói nó có tổng khối lượng M, sẽ có một điểm nào đó “ở bên trong” vật, gọi là khối tâm, sao cho hợp ngoại lực tạo ra một gia tốc của điểm này, đúng như thể toàn bộ khối lượng được tập trung tại đó. Bây giờ chúng ta sẽ bàn về khối tâm chi tiết hơn một chút.

Vị trí của khối tâm (viết tắt là CM) được cho bởi phương trình

R_CM = (∑ m_ir_i)/(∑ m_i).   (19.1)

Dĩ nhiên đây là một phương trình vectơ, thực chất là ba phương trình, mỗi phương trình cho một trong ba hướng. Chúng ta sẽ chỉ xét hướng x, bởi vì nếu hiểu được hướng đó, chúng ta sẽ hiểu được hai hướng còn lại. X_CM = ∑ m_ix_i/∑ m_i có nghĩa là gì? Giả sử trong chốc lát rằng vật được chia thành các mảnh nhỏ, tất cả đều có cùng khối lượng m; khi đó tổng khối lượng đơn giản là số mảnh N nhân với khối lượng của một mảnh, chẳng hạn một gam, hay bất kỳ đơn vị nào. Khi đó phương trình này đơn giản nói rằng chúng ta cộng mọi x lại, rồi chia cho số lượng các thứ mà chúng ta đã cộng: X_CM = m∑x_i/mN = ∑x_i/N. Nói cách khác, X_CM là trung bình của mọi x, nếu các khối lượng bằng nhau. Nhưng giả sử một trong số chúng nặng gấp đôi các mảnh còn lại. Khi đó trong tổng, x đó sẽ xuất hiện hai lần. Điều này dễ hiểu, bởi vì chúng ta có thể nghĩ khối lượng gấp đôi này như được tách thành hai khối lượng bằng nhau, giống như các mảnh khác; khi đó khi lấy trung bình, dĩ nhiên, chúng ta phải đếm x đó hai lần vì có hai khối lượng ở đó. Như vậy X là vị trí trung bình, theo hướng x, của mọi khối lượng, mỗi khối lượng được đếm một số lần tỉ lệ với khối lượng, như thể nó được chia thành “những gam nhỏ”. Từ đó dễ dàng chứng minh rằng X phải nằm ở đâu đó giữa x lớn nhất và x nhỏ nhất, và do đó nằm bên trong bao hình chứa toàn bộ vật. Nó không nhất thiết phải nằm trong chất liệu của vật, bởi vì vật có thể là một vòng tròn, như một cái vành, và khối tâm nằm ở tâm của vành, chứ không nằm trong bản thân cái vành.

Dĩ nhiên, nếu một vật đối xứng theo một cách nào đó, chẳng hạn, một hình chữ nhật, sao cho nó có một mặt phẳng đối xứng, thì khối tâm nằm ở đâu đó trên mặt phẳng đối xứng. Trong trường hợp hình chữ nhật có hai mặt phẳng, và điều đó xác định nó duy nhất. Nhưng nếu nó chỉ là một vật đối xứng bất kỳ, thì trọng tâm nằm ở đâu đó trên trục đối xứng, bởi vì trong những hoàn cảnh đó có bao nhiêu x dương thì có bấy nhiêu x âm.

Một mệnh đề thú vị nữa là mệnh đề rất lạ sau đây. Giả sử chúng ta hình dung một vật được làm từ hai phần, A và B (Hình 19–1). Khi đó khối tâm của toàn bộ vật có thể được tính như sau. Trước hết, tìm khối tâm của phần A, rồi của phần B. Đồng thời, tìm tổng khối lượng của mỗi phần, M_A và M_B. Sau đó xét một bài toán mới, trong đó một khối lượng điểm M_A nằm tại khối tâm của vật A, và một khối lượng điểm M_B khác nằm tại khối tâm của vật B. Khối tâm của hai khối lượng điểm này khi đó là khối tâm của toàn bộ vật. Nói cách khác, nếu khối tâm của các phần khác nhau của một vật đã được tính ra, chúng ta không phải bắt đầu lại từ đầu để tìm khối tâm của toàn bộ vật; chúng ta chỉ cần ghép các phần lại với nhau, coi mỗi phần như một khối lượng điểm đặt tại khối tâm của phần đó. Hãy xem vì sao lại như vậy. Giả sử chúng ta muốn tính khối tâm của một vật hoàn chỉnh, trong đó một số hạt được coi là thành viên của vật A và một số là thành viên của vật B. Tổng ∑m_ix_i khi đó có thể được tách thành hai phần — tổng ∑_A m_ix_i chỉ cho vật A, và tổng ∑_B m_ix_i chỉ cho vật B. Bây giờ nếu chúng ta tính khối tâm của riêng vật A, chúng ta sẽ có đúng tổng đầu tiên trong các tổng này, và chúng ta biết rằng tự nó bằng M_AX_A, tổng khối lượng của mọi hạt trong A nhân với vị trí của khối tâm của A, bởi vì đó là định lý về khối tâm, áp dụng cho vật A. Theo cách tương tự, chỉ bằng cách nhìn vào vật B, chúng ta được M_BX_B, và dĩ nhiên, cộng hai cái lại cho ra MX_CM:

MX_CM = ∑_A m_ix_i + ∑_B m_ix_i = M_AX_A + M_BX_B.   (19.2)

Bây giờ vì M hiển nhiên là tổng của M_A và M_B, chúng ta thấy rằng phương trình (19.2) có thể được hiểu như một trường hợp đặc biệt của công thức khối tâm cho hai vật điểm, một vật có khối lượng M_A đặt tại X_A và vật kia có khối lượng M_B đặt tại X_B.

Định lý về chuyển động của khối tâm rất thú vị, và đã đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển hiểu biết của chúng ta về vật lý. Giả sử chúng ta thừa nhận rằng định luật Newton đúng cho các phần cấu thành nhỏ của một vật lớn hơn nhiều. Khi đó định lý này cho thấy rằng định luật Newton cũng đúng cho vật lớn hơn, ngay cả khi chúng ta không nghiên cứu các chi tiết của vật, mà chỉ xét tổng lực tác dụng lên nó và khối lượng của nó. Nói cách khác, định luật Newton có tính chất kì lạ là nếu nó đúng ở một thang nhỏ nào đó, thì nó cũng sẽ đúng ở một thang lớn hơn. Nếu chúng ta không xét một quả bóng chày như một thứ vô cùng phức tạp, làm từ vô số hạt tương tác lẫn nhau, mà chỉ nghiên cứu chuyển động của khối tâm của nó và các ngoại lực lên quả bóng, chúng ta thấy F = ma, trong đó F là ngoại lực lên quả bóng chày, m là khối lượng của nó, và a là gia tốc của khối tâm của nó. Vậy F = ma là một định luật tự tái tạo chính nó ở một thang lớn hơn. (Hẳn phải có một từ hay, có lẽ từ tiếng Hy Lạp, để mô tả một định luật tự tái tạo cùng một định luật ở một thang lớn hơn.)

Dĩ nhiên, người ta có thể ngờ rằng những định luật đầu tiên được con người khám phá sẽ là những định luật tự tái tạo chính chúng ở một thang lớn hơn. Vì sao? Bởi vì thang thực của các bánh răng và bánh xe cơ bản của vũ trụ có kích thước nguyên tử, vốn tinh vi hơn rất nhiều so với các quan sát của chúng ta, đến mức chúng ta ở cách xa thang đó trong các quan sát thông thường. Vậy những điều đầu tiên mà chúng ta khám phá hẳn phải đúng cho các vật không có kích thước đặc biệt nào so với thang nguyên tử. Nếu các định luật cho các hạt nhỏ không tự tái tạo chính chúng ở một thang lớn hơn, chúng ta sẽ không khám phá ra những định luật đó dễ dàng như vậy. Thế còn bài toán ngược lại thì sao? Các định luật ở thang nhỏ có nhất thiết phải giống như ở thang lớn hơn không? Dĩ nhiên trong tự nhiên không nhất thiết phải như vậy, rằng ở cấp nguyên tử các định luật phải giống như ở thang lớn. Giả sử các định luật chuyển động thực sự của nguyên tử được cho bởi một phương trình lạ nào đó không có tính chất là khi chúng ta đi lên một thang lớn hơn chúng ta tái tạo cùng một định luật, mà thay vào đó có tính chất là nếu chúng ta đi lên một thang lớn hơn, chúng ta có thể xấp xỉ nó bằng một biểu thức nào đó sao cho, nếu chúng ta mở rộng biểu thức đó lên và lên nữa, nó cứ tiếp tục tự tái tạo chính nó ở một thang ngày càng lớn hơn. Điều đó là có thể, và trên thực tế đó là cách nó vận hành. Các định luật Newton là “đoạn cuối” của các định luật nguyên tử, ngoại suy lên một kích thước rất lớn. Các định luật chuyển động thực sự của các hạt ở thang tinh vi rất kì lạ, nhưng nếu chúng ta lấy số lượng lớn chúng và hợp chúng lại, chúng xấp xỉ, nhưng chỉ xấp xỉ, các định luật Newton. Các định luật Newton khi đó cho phép chúng ta đi lên một thang ngày càng cao hơn, và nó vẫn dường như là cùng một định luật. Trên thực tế, nó trở nên ngày càng chính xác hơn khi thang ngày càng lớn hơn. Như vậy yếu tố tự tái tạo này của các định luật Newton thực ra không phải là một đặc trưng cơ bản của tự nhiên, mà là một đặc trưng lịch sử quan trọng. Chúng ta sẽ không bao giờ khám phá ra các định luật cơ bản của các hạt nguyên tử ngay từ quan sát đầu tiên bởi vì các quan sát đầu tiên quá thô sơ. Trên thực tế, hóa ra các định luật nguyên tử cơ bản, mà chúng ta gọi là cơ học lượng tử, khá khác với các định luật Newton, và khó hiểu bởi vì mọi trải nghiệm trực tiếp của chúng ta đều là với các vật ở thang lớn và các nguyên tử ở thang nhỏ hành xử không giống bất cứ thứ gì chúng ta thấy ở thang lớn. Vậy chúng ta không thể nói, “Một nguyên tử giống như một hành tinh quay quanh mặt trời,” hay bất cứ điều gì như vậy. Nó không giống bất cứ thứ gì chúng ta quen thuộc bởi vì không có thứ gì giống nó. Khi chúng ta áp dụng cơ học lượng tử cho những thứ ngày càng lớn hơn, các định luật về hành vi của nhiều nguyên tử cùng nhau không tự tái tạo chính chúng, mà tạo ra các định luật mới, đó là các định luật Newton, mà sau đó tiếp tục tự tái tạo chính chúng từ, chẳng hạn, kích thước micro-microgam, vốn vẫn là hàng tỷ tỷ nguyên tử, lên đến kích thước của trái đất, và cao hơn nữa.

Bây giờ hãy quay lại khối tâm. Khối tâm đôi khi được gọi là trọng tâm, vì lý do là, trong nhiều trường hợp, trọng lực có thể được coi là đồng đều. Giả sử chúng ta có kích thước đủ nhỏ sao cho lực hấp dẫn không chỉ tỉ lệ với khối lượng, mà ở khắp nơi đều song song với một đường thẳng cố định nào đó. Khi đó hãy xét một vật trong đó có các lực hấp dẫn lên mỗi khối lượng cấu thành của nó. Đặt m_i là khối lượng của một phần. Khi đó lực hấp dẫn lên phần đó là m_i nhân với g. Bây giờ câu hỏi là, chúng ta có thể đặt một lực duy nhất ở đâu để cân bằng lực hấp dẫn lên toàn bộ vật, sao cho toàn bộ vật, nếu nó là một vật rắn, sẽ không quay? Đáp án là lực này phải đi qua khối tâm, và chúng ta chứng minh điều này theo cách sau. Để vật không quay, mômen lực do mọi lực tạo ra phải cộng lại bằng không, bởi vì nếu có một mômen lực, sẽ có một sự thay đổi của mômen động lượng góc, và do đó có một sự quay. Vậy chúng ta phải tính tổng của mọi mômen lực lên mọi hạt, và xem có bao nhiêu mômen lực quanh một trục cho trước; nó phải bằng không nếu trục này nằm tại khối tâm. Bây giờ, đo x theo phương ngang và y theo phương đứng, chúng ta biết rằng các mômen lực là các lực theo hướng y, nhân với cánh tay đòn x (tức là, lực nhân với cánh tay đòn mà quanh đó chúng ta muốn đo mômen lực). Bây giờ tổng mômen lực là tổng

τ = ∑ m_igx_i = g∑ m_ix_i,   (19.3)

vậy nếu tổng mômen lực phải bằng không, tổng ∑m_ix_i phải bằng không. Nhưng ∑m_ix_i = MX_CM, tổng khối lượng nhân với khoảng cách của khối tâm đến trục. Như vậy khoảng cách x của khối tâm đến trục bằng không.

Dĩ nhiên, chúng ta mới chỉ kiểm tra kết quả cho khoảng cách x, nhưng nếu chúng ta dùng khối tâm thực sự thì vật sẽ cân bằng ở bất kỳ vị trí nào, bởi vì nếu chúng ta quay nó 90 độ, chúng ta sẽ có các y thay cho các x. Nói cách khác, khi một vật được đỡ tại khối tâm của nó, không có mômen lực lên nó do một trường hấp dẫn song song. Trong trường hợp vật lớn đến mức tính không song song của các lực hấp dẫn là đáng kể, thì tâm mà tại đó người ta phải đặt lực cân bằng không dễ mô tả, và nó lệch đi một chút khỏi khối tâm. Đó là lý do người ta phải phân biệt giữa khối tâm và trọng tâm. Sự kiện rằng một vật được đỡ đúng tại khối tâm sẽ cân bằng ở mọi vị trí còn có một hệ quả thú vị khác. Nếu, thay cho trọng lực, chúng ta có một giả lực do gia tốc, chúng ta có thể dùng đúng cùng một thủ tục toán học để tìm vị trí đỡ nó sao cho không có mômen lực nào được tạo ra bởi lực quán tính của gia tốc. Giả sử vật được giữ theo một cách nào đó bên trong một cái hộp, và cái hộp đó, cùng mọi thứ chứa trong nó, đang gia tốc. Chúng ta biết rằng, từ điểm nhìn của một người đứng yên so với cái hộp đang gia tốc này, sẽ có một lực hiệu dụng do quán tính. Tức là, để làm cho vật đi cùng với cái hộp, chúng ta phải đẩy nó để gia tốc nó, và lực này được “cân bằng” bởi “lực quán tính”, vốn là một giả lực bằng khối lượng nhân với gia tốc của cái hộp. Đối với người trong hộp, tình huống này giống như thể vật đang ở trong một trường hấp dẫn đồng đều mà giá trị “g” của nó bằng gia tốc a. Như vậy lực quán tính do việc gia tốc một vật không có mômen lực quanh khối tâm.

Sự kiện này có một hệ quả rất thú vị. Trong một hệ quy chiếu quán tính không gia tốc, mômen lực luôn bằng tốc độ thay đổi của mômen động lượng góc. Tuy nhiên, quanh một trục đi qua khối tâm của một vật đang gia tốc, vẫn đúng rằng mômen lực bằng tốc độ thay đổi của mômen động lượng góc. Ngay cả khi khối tâm đang gia tốc, chúng ta vẫn có thể chọn một trục đặc biệt, cụ thể là, một trục đi qua khối tâm, sao cho vẫn đúng rằng mômen lực bằng tốc độ thay đổi của mômen động lượng góc quanh trục đó. Như vậy định lý rằng mômen lực bằng tốc độ thay đổi của mômen động lượng góc đúng trong hai trường hợp tổng quát: (1) một trục cố định trong không gian quán tính, (2) một trục đi qua khối tâm, ngay cả khi vật có thể đang gia tốc.

19–2  Xác định vị trí khối tâm

Các kỹ thuật toán học để tính khối tâm thuộc phạm vi của một khóa học toán, và những bài toán như vậy là bài tập tốt cho phép tính tích phân. Tuy nhiên, sau khi người ta đã học phép tính, và muốn biết cách xác định vị trí khối tâm, thật hay khi biết một số mẹo nhất định có thể được dùng để làm điều đó. Một mẹo như vậy dùng điều được gọi là định lý Pappus. Nó hoạt động như thế này: nếu chúng ta lấy bất kỳ diện tích kín nào trong một mặt phẳng và tạo ra một khối bằng cách di chuyển nó trong không gian sao cho mỗi điểm luôn được di chuyển vuông góc với mặt phẳng của diện tích, khối thu được có tổng thể tích bằng diện tích của mặt cắt ngang nhân với khoảng cách mà khối tâm đã di chuyển! Chắc chắn điều này đúng nếu chúng ta di chuyển diện tích theo một đường thẳng vuông góc với chính nó, nhưng nếu chúng ta di chuyển nó theo một vòng tròn hay theo một đường cong nào khác, thì nó tạo ra một thể tích khá kì lạ. Đối với một đường cong, phía ngoài đi quanh xa hơn, và phía trong đi quanh ít hơn, và các hiệu ứng này cân bằng lẫn nhau. Vậy nếu chúng ta muốn xác định vị trí khối tâm của một tấm phẳng có mật độ đồng đều, chúng ta có thể nhớ rằng thể tích được tạo ra bằng cách quay nó quanh một trục là khoảng cách mà khối tâm đi quanh, nhân với diện tích của tấm.

Chẳng hạn, nếu chúng ta muốn tìm khối tâm của một tam giác vuông có đáy D và chiều cao H (Hình 19–2), chúng ta có thể giải bài toán theo cách sau. Hãy hình dung một trục dọc theo H, và quay tam giác quanh trục đó một vòng đầy đủ 360 độ. Điều này tạo ra một hình nón. Khoảng cách mà tọa độ x của khối tâm đã di chuyển là 2πx. Diện tích đang được di chuyển là diện tích của tam giác, ½HD. Vậy khoảng cách x của khối tâm nhân với diện tích của tam giác là thể tích quét ra, dĩ nhiên là πD²H/3. Như vậy (2πx)(½HD) = πD²H/3, hay x = D/3. Theo cách tương tự, bằng cách quay quanh trục kia, hay bằng đối xứng, chúng ta tìm được y = H/3. Trên thực tế, khối tâm của bất kỳ diện tích tam giác đồng đều nào là nơi ba đường trung tuyến, các đường từ các đỉnh đi qua trung điểm của các cạnh đối diện, đều gặp nhau. Điểm đó nằm tại 1/3 quãng đường dọc theo mỗi đường trung tuyến. Gợi ý: Cắt tam giác thành nhiều mảnh nhỏ, mỗi mảnh song song với một đáy. Lưu ý rằng đường trung tuyến chia đôi mỗi mảnh, và do đó khối tâm phải nằm trên đường này.

Bây giờ hãy thử một hình phức tạp hơn. Giả sử cần tìm vị trí khối tâm của một đĩa nửa hình tròn đồng đều — một đĩa bị cắt làm đôi. Khối tâm ở đâu? Đối với một đĩa đầy đủ, dĩ nhiên nó ở tâm, nhưng một nửa đĩa thì khó hơn. Đặt r là bán kính và x là khoảng cách của khối tâm đến cạnh thẳng của đĩa. Quay nó quanh cạnh này làm trục để tạo ra một hình cầu. Khi đó khối tâm đã đi quanh 2πx, diện tích là πr²/2 (bởi vì nó chỉ là nửa hình tròn). Thể tích được tạo ra, dĩ nhiên, là 4πr³/3, từ đó chúng ta tìm được (2πx)(½πr²) = 4πr³/3, hay x = 4r/3π.

Còn có một định lý khác của Pappus, vốn là một trường hợp đặc biệt của định lý trên, và do đó cũng đúng như vậy. Giả sử rằng, thay cho đĩa nửa hình tròn đặc, chúng ta có một mảnh dây nửa hình tròn với mật độ khối lượng đồng đều dọc theo dây, và chúng ta muốn tìm khối tâm của nó. Trong trường hợp này không có khối lượng ở phần trong, chỉ có trên dây. Khi đó hóa ra diện tích được quét bởi một đường cong phẳng, khi nó di chuyển như trước, là khoảng cách mà khối tâm di chuyển nhân với độ dài của đường. (Đường có thể được nghĩ như một diện tích rất hẹp, và định lý trước có thể được áp dụng cho nó.)

19–3  Tìm mômen quán tính

Bây giờ hãy bàn về bài toán tìm mômen quán tính của các vật khác nhau. Công thức cho mômen quán tính quanh trục z của một vật là

I = ∑ m_i(x_i² + y_i²),   hay   I = ∫(x² + y²) dm = ∫(x² + y²)ρ dV.   (19.4)

Tức là, chúng ta phải cộng các khối lượng, mỗi khối lượng nhân với bình phương khoảng cách của nó (x_i² + y_i²) đến trục. Lưu ý rằng đó không phải là khoảng cách ba chiều, chỉ là bình phương khoảng cách hai chiều, ngay cả đối với một vật ba chiều. Phần lớn, chúng ta sẽ giới hạn mình ở các vật hai chiều, nhưng công thức cho chuyển động quay quanh trục z cũng y như vậy trong ba chiều.

Như một ví dụ đơn giản, hãy xét một thanh quay quanh một trục vuông góc đi qua một đầu (Hình 19–3). Bây giờ chúng ta phải cộng mọi khối lượng nhân với bình phương các khoảng cách x (các y đều bằng không trong trường hợp này). Điều chúng ta muốn nói bằng “tổng”, dĩ nhiên, là tích phân của x² nhân với các phần tử nhỏ của khối lượng. Nếu chúng ta chia thanh thành các phần tử nhỏ có độ dài dx, các phần tử khối lượng tương ứng tỉ lệ với dx, và nếu dx là độ dài của toàn bộ thanh thì khối lượng sẽ là M. Do đó dm = M dx/L, và như vậy

I = ∫₀^L x² (M dx/L) = (M/L)∫₀^L x² dx = ML²/3.   (19.5)

Thứ nguyên của mômen quán tính luôn là khối lượng nhân với bình phương độ dài, vậy tất cả những gì chúng ta thực sự phải tính ra là hệ số 1/3.

Bây giờ I là bao nhiêu nếu trục quay nằm ở giữa thanh? Chúng ta có thể chỉ việc làm lại tích phân, cho x chạy từ −½L đến +½L. Nhưng hãy lưu ý vài điều về mômen quán tính. Chúng ta có thể hình dung thanh như hai thanh, mỗi thanh có khối lượng M/2 và độ dài L/2; mômen quán tính của hai thanh nhỏ bằng nhau, và cả hai đều được cho bởi công thức (19.5). Do đó mômen quán tính là

I = 2(M/2)(L/2)²/3 = ML²/12.   (19.6)

Như vậy việc quay một thanh quanh tâm của nó dễ dàng hơn nhiều, so với việc vung nó quanh một đầu.

Dĩ nhiên, chúng ta có thể tiếp tục tính mômen quán tính của nhiều vật khác đáng quan tâm. Tuy nhiên, trong khi những phép tính như vậy cung cấp một lượng bài tập quan trọng nhất định cho phép tính, chúng tự thân không cơ bản đáng quan tâm đối với chúng ta. Tuy nhiên, có một định lý thú vị rất hữu ích. Giả sử chúng ta có một vật, và chúng ta muốn tìm mômen quán tính của nó quanh một trục nào đó. Điều đó có nghĩa là chúng ta muốn quán tính cần để mang nó quay quanh trục đó. Bây giờ nếu chúng ta đỡ vật trên các chốt tại khối tâm, sao cho vật không quay khi nó quay quanh trục (bởi vì không có mômen lực lên nó do các hiệu ứng quán tính, và do đó nó sẽ không quay khi chúng ta bắt đầu di chuyển nó), thì các lực cần để vung nó quanh sẽ giống như thể toàn bộ khối lượng được tập trung tại khối tâm, và mômen quán tính sẽ đơn giản là I₁ = MR_CM², trong đó R_CM là khoảng cách từ trục đến khối tâm. Nhưng dĩ nhiên đó không phải là công thức đúng cho mômen quán tính của một vật thực sự đang bị quay khi nó quay vòng, bởi vì không chỉ tâm của nó đang chuyển động theo một vòng tròn, điều sẽ đóng góp một lượng I₁ vào mômen quán tính, mà chúng ta còn phải quay nó quanh khối tâm của nó. Vậy không phải là vô lý khi chúng ta phải cộng vào I₁ mômen quán tính I_c quanh khối tâm. Vậy đó là một phỏng đoán tốt rằng tổng mômen quán tính quanh bất kỳ trục nào sẽ là

I = I_c + MR_CM².   (19.7)

Định lý này được gọi là định lý trục song song, và có thể được chứng minh dễ dàng. Mômen quán tính quanh bất kỳ trục nào là khối lượng nhân với tổng của các x_i và các y_i, mỗi cái được bình phương: I = ∑(x_i² + y_i²)m_i. Chúng ta sẽ tập trung vào các x, nhưng dĩ nhiên các y cũng hoạt động theo cùng một cách. Bây giờ x là khoảng cách của một khối lượng điểm cụ thể đến gốc tọa độ, nhưng hãy xét nó sẽ trông như thế nào nếu chúng ta đo x′ từ CM, thay vì x từ gốc tọa độ. Để chuẩn bị cho phép phân tích này, chúng ta viết x_i = x_i′ + X_CM. Sau đó chúng ta chỉ việc bình phương nó để được x_i² = x_i′² + 2X_CMx_i′ + X_CM². Vậy, khi điều này được nhân với m_i và cộng tổng trên mọi i, điều gì xảy ra? Đưa các hằng số ra ngoài dấu tổng, chúng ta được I_x = ∑m_ix_i′² + 2X_CM∑m_ix_i′ + X_CM²∑m_i. Tổng thứ ba thì dễ; nó chỉ là MX_CM². Trong tổng thứ hai có hai phần, một trong số đó là ∑m_ix_i′, vốn là tổng khối lượng nhân với tọa độ x′ của khối tâm. Nhưng điều này không đóng góp gì, bởi vì x′ được đo từ khối tâm, và trong các trục này vị trí trung bình của mọi hạt, được trọng số bởi các khối lượng, bằng không. Tổng đầu tiên, dĩ nhiên, là phần x của I_c. Như vậy chúng ta đi đến phương trình (19.7), đúng như chúng ta đã đoán.

Hãy kiểm tra (19.7) với một ví dụ. Hãy chỉ xem nó có đúng cho thanh không. Đối với một trục đi qua một đầu, mômen quán tính phải là ML²/3, vì chúng ta đã tính điều đó. Khối tâm của một thanh, dĩ nhiên, nằm ở giữa thanh, tại khoảng cách L/2. Do đó chúng ta phải thấy rằng ML²/3 = ML²/12 + M(L/2)². Vì một phần tư cộng một phần mười hai là một phần ba, chúng ta đã không mắc lỗi cơ bản nào.

Nhân tiện, chúng ta thực sự không cần dùng một tích phân để tìm mômen quán tính (19.5). Nếu chúng ta đơn giản giả sử rằng nó là ML² nhân với γ, một hệ số chưa biết, và sau đó dùng lập luận về hai nửa để được ¼γ cho (19.6), thì từ lập luận của chúng ta về việc chuyển các trục chúng ta có thể chứng minh rằng γ = ¼γ + ¼, vậy γ phải là 1/3. Luôn luôn có một cách khác để làm điều đó!

Khi áp dụng định lý trục song song, dĩ nhiên điều quan trọng là phải nhớ rằng trục cho I_c phải song song với trục mà quanh đó mômen quán tính được cần đến.

Một tính chất nữa của mômen quán tính đáng được nhắc đến bởi vì nó thường hữu ích trong việc tìm mômen quán tính của một số loại vật nhất định. Tính chất này là nếu người ta có một hình phẳng và một hệ trục tọa độ với gốc tọa độ nằm trong mặt phẳng và trục z vuông góc với mặt phẳng, thì mômen quán tính của hình này quanh trục z bằng tổng của các mômen quán tính quanh các trục x và y. Điều này dễ dàng được chứng minh bằng cách lưu ý rằng I_x = ∑m_i(y_i² + z_i²) = ∑m_iy_i² (vì z_i = 0). Tương tự, I_y = ∑m_i(x_i² + z_i²) = ∑m_ix_i², nhưng I_z = ∑m_i(x_i² + y_i²) = ∑m_ix_i² + ∑m_iy_i² = I_x + I_y.

Như một ví dụ, mômen quán tính của một tấm hình chữ nhật đồng đều có khối lượng M, chiều rộng w, và chiều dài L, quanh một trục vuông góc với tấm và đi qua tâm của nó đơn giản là I = M(w² + L²)/12, bởi vì mômen quán tính của nó quanh một trục nằm trong mặt phẳng của nó và song song với chiều dài của nó là Mw²/12, tức là, đúng như đối với một thanh có độ dài w, và mômen quán tính quanh trục kia trong mặt phẳng của nó là ML²/12, đúng như đối với một thanh có độ dài L.

Tóm lại, mômen quán tính của một vật quanh một trục cho trước, mà chúng ta sẽ gọi là trục z, có các tính chất sau:

1. Mômen quán tính là I_z = ∑_i m_i(x_i² + y_i²) = ∫(x² + y²) dm.
2. Nếu vật được làm từ một số phần, mỗi phần có mômen quán tính đã biết, tổng mômen quán tính là tổng các mômen quán tính của các phần.
3. Mômen quán tính quanh bất kỳ trục cho trước nào bằng mômen quán tính quanh một trục song song đi qua CM cộng với tổng khối lượng nhân với bình phương khoảng cách từ trục đến CM.
4. Nếu vật là một hình phẳng, mômen quán tính quanh một trục vuông góc với mặt phẳng bằng tổng các mômen quán tính quanh bất kỳ hai trục vuông góc lẫn nhau nào nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại trục vuông góc.

Mômen quán tính của một số hình cơ bản có mật độ khối lượng đồng đều được cho trong Bảng 19–1, và mômen quán tính của một số vật khác, có thể được suy ra từ Bảng 19–1, dùng các tính chất trên, được cho trong Bảng 19–2.

19–4  Động năng quay

Bây giờ hãy tiếp tục bàn sâu hơn về động lực học. Trong phép tương tự giữa chuyển động thẳng và chuyển động góc mà chúng ta đã bàn trong Chương 18, chúng ta đã dùng định lý công, nhưng chúng ta đã không nói về động năng. Động năng của một vật rắn, đang quay quanh một trục nào đó với vận tốc góc ω, là bao nhiêu? Chúng ta có thể đoán ngay đáp án đúng bằng cách dùng các phép tương tự của mình. Mômen quán tính tương ứng với khối lượng, vận tốc góc tương ứng với vận tốc, và vậy động năng phải là ½Iω², và quả thật nó là như vậy, như sẽ được chứng minh ngay sau đây. Giả sử vật đang quay quanh một trục nào đó sao cho mỗi điểm có một vận tốc mà độ lớn của nó là ωr_i, trong đó r_i là bán kính từ điểm cụ thể đó đến trục. Khi đó nếu m_i là khối lượng của điểm đó, tổng động năng của toàn bộ vật chỉ là tổng các động năng của mọi mảnh nhỏ: T = ½∑m_iv_i² = ½∑m_i(r_iω)². Bây giờ ω² là một hằng số, như nhau cho mọi điểm. Như vậy

T = ½ω²∑ m_ir_i² = ½Iω².   (19.8)

Ở cuối Chương 18 chúng ta đã chỉ ra rằng có một số hiện tượng thú vị liên quan đến một vật không rắn, nhưng thay đổi từ một trạng thái rắn với một mômen quán tính xác định, sang một trạng thái rắn khác. Cụ thể, trong ví dụ của chúng ta về bàn xoay, chúng ta có một mômen quán tính nào đó I₁ với tay dang ra, và một vận tốc góc nào đó ω₁. Khi chúng ta kéo tay vào, chúng ta có một mômen quán tính khác, I₂, và một vận tốc góc khác, ω₂, nhưng một lần nữa chúng ta “rắn”. Mômen động lượng góc vẫn không đổi, vì không có mômen lực quanh trục đứng của bàn xoay. Điều này có nghĩa là I₁ω₁ = I₂ω₂. Bây giờ thế còn năng lượng thì sao? Đó là một câu hỏi thú vị. Với tay kéo vào, chúng ta quay nhanh hơn, nhưng mômen quán tính của chúng ta nhỏ hơn, và dường như các năng lượng có thể bằng nhau. Nhưng chúng không bằng nhau, bởi vì cái thực sự cân bằng là Iω, chứ không phải Iω². Vậy nếu chúng ta so sánh động năng trước và sau, động năng trước là ½I₁ω₁² = ½Lω₁, trong đó L = I₁ω₁ = I₂ω₂ là mômen động lượng góc. Sau đó, bằng cùng một lập luận, chúng ta có T = ½Lω₂ và vì ω₂ > ω₁ nên động năng quay lớn hơn trước. Vậy chúng ta có một năng lượng nào đó khi tay dang ra, và khi chúng ta kéo chúng vào, chúng ta quay nhanh hơn và có nhiều động năng hơn. Điều gì đã xảy ra với định lý bảo toàn năng lượng? Ai đó hẳn đã thực hiện một công nào đó. Chúng ta đã thực hiện công! Chúng ta đã thực hiện công khi nào? Khi chúng ta di chuyển một vật nặng theo phương ngang, chúng ta không thực hiện công nào. Nếu chúng ta cầm một thứ dang ra và kéo nó vào, chúng ta không thực hiện công nào. Nhưng đó là khi chúng ta không quay! Khi chúng ta đang quay, có lực ly tâm lên các vật nặng. Chúng đang cố bay ra ngoài, vậy khi chúng ta đang quay vòng chúng ta phải kéo các vật nặng vào chống lại lực ly tâm. Vậy, công chúng ta thực hiện chống lại lực ly tâm phải khớp với hiệu số năng lượng quay, và dĩ nhiên nó khớp. Đó là nơi động năng phụ thêm đến từ đó.

Vẫn còn một đặc trưng thú vị nữa mà chúng ta chỉ có thể xét một cách mô tả, như một vấn đề đáng quan tâm chung. Đặc trưng này hơi nâng cao hơn một chút, nhưng đáng được chỉ ra bởi vì nó khá lạ và tạo ra nhiều hiệu ứng thú vị.

Hãy xét lại thí nghiệm bàn xoay đó. Hãy xét thân người và hai cánh tay một cách riêng rẽ, từ điểm nhìn của người đang quay. Sau khi các vật nặng được kéo vào, toàn bộ vật quay nhanh hơn, nhưng hãy quan sát, phần trung tâm của thân người không thay đổi, thế nhưng nó quay nhanh hơn sau sự kiện so với trước. Vậy, nếu chúng ta vẽ một vòng tròn quanh thân trong, và chỉ xét các vật bên trong vòng tròn, mômen động lượng góc của chúng sẽ thay đổi; chúng đi nhanh hơn. Do đó hẳn phải có một mômen lực tác dụng lên thân người trong khi chúng ta kéo tay vào. Không một mômen lực nào có thể được tạo ra bởi lực ly tâm, bởi vì lực đó hướng theo bán kính. Vậy điều đó có nghĩa là trong số các lực được tạo ra trong một hệ đang quay, lực ly tâm không phải là toàn bộ câu chuyện, còn có một lực khác. Lực khác này được gọi là lực Coriolis, và nó có tính chất rất lạ là khi chúng ta di chuyển một thứ gì đó trong một hệ đang quay, nó dường như bị đẩy sang ngang. Giống như lực ly tâm, nó là một lực biểu kiến. Nhưng nếu chúng ta sống trong một hệ đang quay, và di chuyển một thứ gì đó theo phương bán kính, chúng ta thấy rằng chúng ta cũng phải đẩy nó sang ngang để di chuyển nó theo phương bán kính. Lực đẩy sang ngang này mà chúng ta phải tác dụng chính là cái đã làm thân người của chúng ta quay vòng.

Bây giờ hãy xây dựng một công thức để cho thấy lực Coriolis này thực sự hoạt động như thế nào. Giả sử Moe đang ngồi trên một băng chuyền mà đối với anh ta dường như đứng yên. Nhưng từ điểm nhìn của Joe, người đang đứng trên mặt đất và biết các định luật đúng của cơ học, băng chuyền đang quay vòng. Giả sử chúng ta đã vẽ một đường bán kính trên băng chuyền, và Moe đang di chuyển một khối lượng nào đó theo phương bán kính dọc theo đường này. Chúng ta muốn chứng minh rằng một lực sang ngang là cần thiết để làm điều đó. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách chú ý đến mômen động lượng góc của khối lượng. Nó luôn đi vòng với cùng một vận tốc góc ω, sao cho mômen động lượng góc là L = mv_{tiếp tuyến}r = mωr · r = mωr². Vậy khi khối lượng ở gần tâm, nó có tương đối ít mômen động lượng góc, nhưng nếu chúng ta di chuyển nó đến một vị trí mới xa hơn, nếu chúng ta tăng r, m có nhiều mômen động lượng góc hơn, vậy một mômen lực phải được tác dụng để di chuyển nó dọc theo bán kính. (Để đi dọc theo bán kính trong một băng chuyền, người ta phải nghiêng người qua và đẩy sang ngang. Hãy thử một lần xem.) Mômen lực cần thiết là tốc độ thay đổi của L theo thời gian khi m di chuyển dọc theo bán kính. Nếu m chỉ di chuyển dọc theo bán kính, omega vẫn không đổi, vậy mômen lực là τ = F_cr = dL/dt = d(mωr²)/dt = 2mωr (dr/dt), trong đó F_c là lực Coriolis. Điều chúng ta thực sự muốn biết là lực sang ngang nào phải được Moe tác dụng để di chuyển m ra ngoài với tốc độ v_r = dr/dt. Đó là F_c = τ/r = 2mωv_r.

Bây giờ chúng ta đã có một công thức cho lực Coriolis, hãy nhìn tình huống kỹ hơn một chút, để xem chúng ta có thể hiểu nguồn gốc của lực này từ một điểm nhìn cơ bản hơn không. Chúng ta lưu ý rằng lực Coriolis là như nhau tại mọi bán kính, và hiển nhiên hiện diện ngay cả tại gốc tọa độ! Nhưng nó đặc biệt dễ hiểu tại gốc tọa độ, chỉ bằng cách nhìn vào điều xảy ra từ hệ quán tính của Joe, người đang đứng trên mặt đất. Hình 19–4 cho thấy ba hình ảnh liên tiếp của m ngay khi nó đi qua gốc tọa độ tại t = 0. Vì sự quay của băng chuyền, chúng ta thấy rằng m không chuyển động theo một đường thẳng, mà theo một đường cong tiếp tuyến với một đường kính của băng chuyền nơi r = 0. Để m đi theo một đường cong, hẳn phải có một lực để gia tốc nó trong không gian tuyệt đối. Đây là lực Coriolis.

Đây không phải là trường hợp duy nhất mà lực Coriolis xuất hiện. Chúng ta cũng có thể cho thấy rằng nếu một vật đang chuyển động với tốc độ không đổi quanh chu vi của một vòng tròn, cũng có một lực Coriolis. Vì sao? Moe thấy một vận tốc v_M quanh vòng tròn. Mặt khác, Joe thấy m đi quanh vòng tròn với vận tốc v_J = v_M + ωr, bởi vì m cũng được băng chuyền mang theo. Do đó chúng ta biết lực thực sự là gì, cụ thể là, tổng lực hướng tâm do vận tốc v_J, hay mv_J²/r; đó là lực thực tế. Bây giờ từ điểm nhìn của Moe, lực hướng tâm này có ba phần. Chúng ta có thể viết tất cả ra như sau: F_r = −mv_J²/r = −mv_M²/r − 2mv_Mω − mω²r. Bây giờ, F_r là lực mà Moe sẽ thấy. Hãy thử hiểu nó. Moe có đánh giá được số hạng đầu tiên không? “Có,” anh ta sẽ nói, “ngay cả khi tôi không quay, cũng sẽ có một lực hướng tâm nếu tôi chạy quanh một vòng tròn với vận tốc v_M.” Đây đơn giản là lực hướng tâm mà Moe sẽ kỳ vọng, không liên quan gì đến sự quay. Thêm vào đó, Moe khá ý thức rằng có một lực hướng tâm khác sẽ tác dụng ngay cả lên các vật đang đứng yên trên băng chuyền của anh ta. Đây là số hạng thứ ba. Nhưng còn có một số hạng nữa ngoài những số hạng này, cụ thể là số hạng thứ hai, vốn lại là 2mωv. Lực Coriolis F_c là tiếp tuyến khi vận tốc là hướng bán kính, và bây giờ nó là hướng bán kính khi vận tốc là tiếp tuyến. Trên thực tế, một biểu thức có một dấu trừ so với biểu thức kia. Lực luôn theo cùng một hướng, so với vận tốc, bất kể vận tốc theo hướng nào. Lực vuông góc với vận tốc, và có độ lớn 2mωv.