Chương 22: Đại số

22–1  Cộng và nhân

Trong việc nghiên cứu các hệ dao động, chúng ta sẽ có dịp dùng một trong những công thức đáng chú ý nhất, gần như đáng kinh ngạc nhất, trong toàn bộ toán học. Từ quan điểm của nhà vật lý, chúng ta có thể đưa ra công thức này trong vòng hai phút hay chừng đó, rồi xong chuyện. Nhưng khoa học cũng là để thưởng thức trí tuệ cũng như để hữu ích thực tế, vậy thay vì chỉ dành vài phút cho viên ngọc kỳ diệu này, chúng ta sẽ đặt viên ngọc vào đúng khung cảnh xứng đáng của nó trong thiết kế vĩ đại của nhánh toán học được gọi là đại số sơ cấp.

Bây giờ bạn có thể hỏi: “Toán học làm gì trong một bài giảng vật lý?” Chúng ta có vài cái cớ khả dĩ: trước hết, dĩ nhiên, toán học là một công cụ quan trọng, nhưng điều đó chỉ biện hộ được cho việc chúng ta đưa ra công thức trong hai phút. Mặt khác, trong vật lý lý thuyết, chúng ta khám phá ra rằng mọi định luật của chúng ta đều có thể được viết dưới dạng toán học; và điều đó có một sự đơn giản và một vẻ đẹp nào đó. Vậy nên, xét cho cùng, để hiểu tự nhiên, có lẽ cần phải hiểu sâu hơn các mối quan hệ toán học. Nhưng lý do thật sự là môn học này thú vị, và mặc dù con người chúng ta cắt tự nhiên ra theo nhiều cách khác nhau, và chúng ta có các môn học khác nhau ở các khoa khác nhau, sự phân ngăn như vậy thật ra là nhân tạo, và chúng ta nên tìm niềm vui trí tuệ ở bất cứ nơi nào ta tìm thấy nó.

Một lý do nữa để xem xét đại số cẩn thận hơn lúc này, mặc dù hầu hết chúng ta đã học đại số ở trường phổ thông, là đó là lần đầu tiên chúng ta học nó; mọi phương trình đều lạ lẫm, và việc học rất vất vả, cũng giống như vật lý bây giờ. Thỉnh thoảng, việc nhìn lại để thấy mình đã đi qua những vùng đất nào, và toàn bộ bản đồ hay kế hoạch của mọi chuyện là gì, là một niềm vui lớn. Biết đâu một ngày nào đó, ai đó ở Khoa Toán sẽ trình bày một bài giảng về cơ học theo cách cho thấy chúng ta đã cố học cái gì trong khóa vật lý này!

Môn đại số sẽ không được phát triển chính xác theo quan điểm của một nhà toán học, bởi vì các nhà toán học chủ yếu quan tâm đến việc các sự kiện toán học khác nhau được chứng minh như thế nào, cần tuyệt đối bao nhiêu giả thiết, và cái gì không cần thiết. Họ không quá quan tâm đến kết quả của điều họ chứng minh. Chẳng hạn, chúng ta có thể thấy định lý Pythagoras khá thú vị: tổng các bình phương của các cạnh của một tam giác vuông bằng bình phương cạnh huyền; đó là một sự kiện thú vị, một điều đơn giản kỳ lạ, có thể được thưởng thức mà không cần bàn đến câu hỏi chứng minh nó như thế nào, hay cần những tiên đề nào. Vậy, với cùng tinh thần đó, chúng ta sẽ mô tả, có thể nói là một cách định tính, hệ thống của đại số sơ cấp. Chúng ta nói đại số sơ cấp bởi vì có một nhánh toán học được gọi là đại số hiện đại, trong đó một số quy tắc như ab = ba bị từ bỏ, và nó vẫn được gọi là đại số, nhưng chúng ta sẽ không bàn đến thứ đó.

Để bàn về chủ đề này, chúng ta bắt đầu từ giữa chừng. Chúng ta giả thiết rằng chúng ta đã biết số nguyên là gì, số không là gì, và tăng một số lên một đơn vị nghĩa là gì. Bạn có thể nói: “Đó đâu phải là giữa chừng!” Nhưng đó là giữa chừng theo quan điểm toán học, bởi vì chúng ta còn có thể đi xa hơn nữa về phía sau và mô tả lý thuyết tập hợp để suy ra một số tính chất này của các số nguyên. Nhưng chúng ta không đi theo hướng đó, hướng của triết học toán học và logic toán học, mà đi theo hướng ngược lại, từ giả thiết rằng chúng ta biết số nguyên là gì và biết đếm.

Nếu chúng ta bắt đầu với một số nào đó a, một số nguyên, và chúng ta đếm liên tiếp một đơn vị b lần, số mà chúng ta đi đến được gọi là a + b, và điều đó định nghĩa phép cộng các số nguyên.

Một khi đã định nghĩa phép cộng, chúng ta có thể xét điều này: nếu chúng ta bắt đầu từ không có gì và cộng a vào đó, b lần liên tiếp, chúng ta gọi kết quả là phép nhân các số nguyên; chúng ta gọi nó là b lần a.

Bây giờ chúng ta cũng có thể có một dãy các phép nhân: nếu chúng ta bắt đầu với 1 và nhân với a, b lần liên tiếp, chúng ta gọi đó là nâng lên lũy thừa: a^b.

Bây giờ, như một hệ quả của các định nghĩa này, người ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng mọi quan hệ sau đây đều đúng:

(a)  a + b = b + a     (b)  a + (b + c) = (a + b) + c
(c)  ab = ba     (d)  a(b + c) = ab + ac
(e)  (ab)c = a(bc)     (f)  (ab)^c = a^cb^c
(g)  a^ba^c = a^(b+c)     (h)  (a^b)^c = a^(bc)
(i)  a + 0 = a     (j)  a · 1 = a     (k)  a¹ = a   (22.1)

Những kết quả này ai cũng biết và chúng ta sẽ không nán lại ở điểm này, chúng ta chỉ liệt kê chúng. Dĩ nhiên, 1 và 0 có những tính chất đặc biệt; chẳng hạn, a + 0 là a, a nhân 1 = a, và a lũy thừa một là a.

Trong cuộc thảo luận này, chúng ta cũng phải giả thiết một vài tính chất khác như tính liên tục và thứ tự, những tính chất rất khó định nghĩa; chúng ta sẽ để lý thuyết chặt chẽ làm việc đó. Hơn nữa, chắc chắn đúng là chúng ta đã viết ra quá nhiều “quy tắc”; một số trong chúng có thể suy ra được từ những cái khác, nhưng chúng ta sẽ không lo về những chuyện như vậy.

22–2  Các phép toán ngược

Ngoài các phép toán trực tiếp là cộng, nhân và nâng lên lũy thừa, chúng ta còn có các phép toán ngược, được định nghĩa như sau. Giả sử a và c đã cho, và chúng ta muốn tìm những giá trị nào của b thỏa mãn các phương trình như a + b = c, ab = c, b^a = c. Nếu a + b = c, b được định nghĩa là c − a, cái được gọi là phép trừ. Phép toán gọi là phép chia cũng rõ ràng: nếu ab = c, thì b = c/a định nghĩa phép chia — một nghiệm của phương trình ab = c theo “chiều ngược lại”. Bây giờ nếu chúng ta có một lũy thừa b^a = c và chúng ta tự hỏi “b là gì?”, nó được gọi là căn bậc a của c: b = ^a√c. Chẳng hạn, nếu chúng ta tự đặt câu hỏi sau, “Số nguyên nào, nâng lên lũy thừa ba, bằng 8?”, thì đáp án được gọi là căn bậc ba của 8; nó là 2. Vì b^a và a^b không bằng nhau, có hai bài toán ngược gắn với lũy thừa, và bài toán ngược còn lại sẽ là: “Phải nâng 2 lên lũy thừa bao nhiêu để được 8?” Việc này được gọi là lấy logarit. Nếu a^b = c, chúng ta viết b = log_a c. Việc nó có một ký hiệu cồng kềnh so với những cái khác không có nghĩa là nó kém sơ cấp hơn, ít nhất khi áp dụng cho các số nguyên, so với các quá trình khác. Mặc dù logarit xuất hiện muộn trong một lớp đại số, trong thực hành chúng, dĩ nhiên, cũng đơn giản như căn; chúng chỉ là một kiểu nghiệm khác của một phương trình đại số. Các phép toán trực tiếp và ngược được tóm tắt như sau:

(a)  phép cộng:  a + b = c     (a′)  phép trừ:  b = c − a
(b)  phép nhân:  ab = c     (b′)  phép chia:  b = c/a
(c)  lũy thừa:  b^a = c     (c′)  căn:  b = ^a√c
(d)  lũy thừa:  a^b = c     (d′)  logarit:  b = log_a c   (22.2)

Bây giờ đây là ý tưởng. Những quan hệ, hay quy tắc, này đúng cho các số nguyên, vì chúng suy ra từ các định nghĩa của phép cộng, phép nhân và nâng lên lũy thừa. Chúng ta sẽ bàn xem liệu chúng ta có thể mở rộng lớp các đối tượng mà a, b và c đại diện hay không, sao cho chúng vẫn tuân theo chính những quy tắc này, mặc dù các quá trình cho a + b, v.v., sẽ không định nghĩa được theo hành động trực tiếp của việc cộng 1, chẳng hạn, hay các phép nhân liên tiếp bởi số nguyên.

22–3  Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Khi chúng ta cố giải các phương trình đại số đơn giản bằng mọi định nghĩa này, chúng ta sớm khám phá ra một số bài toán không giải được, như bài toán sau. Giả sử chúng ta cố giải phương trình b = 3 − 5. Điều đó có nghĩa là, theo định nghĩa phép trừ của chúng ta, chúng ta phải tìm một số mà khi cộng với 5 sẽ cho 3. Và dĩ nhiên không có số nào như vậy, bởi vì chúng ta chỉ xét các số nguyên dương; đây là một bài toán không giải được. Tuy nhiên, kế hoạch, ý tưởng vĩ đại, là thế này: trừu tượng hóa và khái quát hóa. Từ toàn bộ cấu trúc của đại số, các quy tắc cộng với các số nguyên, chúng ta trừu tượng hóa các định nghĩa gốc của phép cộng và phép nhân, nhưng chúng ta giữ lại các quy tắc (22.1) và (22.2), và giả thiết rằng chúng đúng nói chung trên một lớp số rộng hơn, mặc dù ban đầu chúng được suy ra trên một lớp nhỏ hơn. Như vậy, thay vì dùng các số nguyên một cách tượng trưng để định nghĩa các quy tắc, chúng ta dùng các quy tắc làm định nghĩa của các ký hiệu, những ký hiệu này sau đó đại diện cho một loại số tổng quát hơn. Ví dụ, bằng cách chỉ làm việc với các quy tắc, chúng ta có thể chỉ ra rằng 3 − 5 = 0 − 2. Thật vậy, chúng ta có thể chỉ ra rằng người ta có thể thực hiện mọi phép trừ, với điều kiện chúng ta định nghĩa cả một tập hợp các số mới: 0 − 1, 0 − 2, 0 − 3, 0 − 4, v.v., được gọi là các số nguyên âm. Sau đó chúng ta có thể dùng mọi quy tắc khác, như a(b + c) = ab + ac v.v., để tìm ra các quy tắc nhân các số âm là gì, và chúng ta sẽ khám phá ra rằng, thật vậy, mọi quy tắc đều có thể được duy trì với các số nguyên âm cũng như số nguyên dương.

Vậy chúng ta đã tăng phạm vi các đối tượng mà các quy tắc áp dụng được, nhưng ý nghĩa của các ký hiệu đã khác đi.

Chẳng hạn, người ta không thể nói rằng −2 nhân 5 thật sự có nghĩa là cộng 5 với nhau liên tiếp −2 lần. Điều đó chẳng có nghĩa gì. Nhưng dù sao mọi chuyện vẫn sẽ đâu vào đấy theo đúng các quy tắc.

Một bài toán thú vị xuất hiện khi lấy lũy thừa. Giả sử chúng ta muốn khám phá a⁽³⁻⁵⁾ nghĩa là gì. Chúng ta chỉ biết rằng 3 − 5 là một nghiệm của bài toán (3 − 5) + 5 = 3. Biết điều đó, chúng ta biết rằng a⁽³⁻⁵⁾a⁵ = a³. Do đó a⁽³⁻⁵⁾ = a³/a⁵, theo định nghĩa của phép chia. Với thêm một chút công việc, điều này có thể được rút gọn thành 1/a². Vậy chúng ta thấy rằng các lũy thừa âm là nghịch đảo của các lũy thừa dương, nhưng 1/a² là một ký hiệu vô nghĩa, bởi vì nếu a là một số nguyên dương hay âm, bình phương của nó có thể lớn hơn 1, và chúng ta chưa biết chúng ta có ý gì khi nói 1 chia cho một số lớn hơn 1!

Tiến lên! Kế hoạch vĩ đại là tiếp tục quá trình khái quát hóa; mỗi khi chúng ta tìm thấy một bài toán khác mà chúng ta không giải được, chúng ta mở rộng lãnh địa số của mình. Xét phép chia: chúng ta không thể tìm được một số là số nguyên, thậm chí số nguyên âm, bằng kết quả của việc chia 3 cho 5. Nhưng nếu chúng ta giả thiết rằng mọi số phân số cũng thỏa mãn các quy tắc, thì chúng ta có thể nói về việc nhân và cộng các phân số, và mọi chuyện vẫn vận hành tốt như trước.

Lấy một ví dụ khác về lũy thừa: a^3/5 là gì? Chúng ta chỉ biết rằng (3/5)5 = 3, vì đó là định nghĩa của 3/5. Vậy chúng ta cũng biết rằng (a^3/5)⁵ = a^(3/5)(5) = a³, bởi vì đây là một trong các quy tắc. Sau đó, theo định nghĩa của căn, chúng ta thấy rằng a^3/5 = ⁵√(a³).

Như vậy, chúng ta có thể định nghĩa ý nghĩa của việc đặt các phân số vào các ký hiệu khác nhau, bằng cách dùng chính các quy tắc để giúp chúng ta xác định định nghĩa — nó không phải là tùy tiện. Một sự kiện đáng chú ý là mọi quy tắc vẫn vận hành được cho các số nguyên dương và âm, cũng như cho các phân số!

Chúng ta tiếp tục quá trình khái quát hóa. Còn phương trình nào khác mà chúng ta không giải được không? Có, có đấy. Chẳng hạn, không thể giải phương trình này: b = 2^1/2 = √2. Không thể tìm được một số hữu tỉ (một phân số) mà bình phương của nó bằng 2. Vào thời hiện đại, với chúng ta, việc trả lời câu hỏi này rất dễ. Chúng ta biết hệ thập phân, và vì vậy chúng ta không gặp khó khăn gì trong việc cảm nhận ý nghĩa của một số thập phân vô hạn như một kiểu xấp xỉ của căn bậc hai của 2. Về mặt lịch sử, ý tưởng này gây khó khăn lớn cho người Hy Lạp. Để thật sự định nghĩa chính xác điều được nói đến ở đây đòi hỏi chúng ta phải bổ sung một ít nội dung về tính liên tục và thứ tự, và thật vậy, đây là bước khó nhất trong các quá trình khái quát hóa ngay tại điểm này. Nó đã được thực hiện, một cách hình thức và chặt chẽ, bởi Dedekind. Tuy nhiên, không cần lo về tính chặt chẽ toán học của chuyện này, việc hiểu rằng điều chúng ta muốn nói là chúng ta sẽ tìm cả một dãy các phân số xấp xỉ, những phân số hoàn hảo (bởi vì bất kỳ số thập phân nào, khi dừng lại ở đâu đó, dĩ nhiên là hữu tỉ), cứ tiếp tục mãi, ngày càng gần hơn với kết quả mong muốn, là khá dễ dàng. Điều đó là đủ tốt cho những gì chúng ta muốn bàn, và nó cho phép chúng ta dính dáng đến các số vô tỉ, và tính những thứ như căn bậc hai của 2 với bất kỳ độ chính xác nào chúng ta muốn, nếu có đủ công sức.

22–4  Xấp xỉ các số vô tỉ

Bài toán tiếp theo đến với điều xảy ra với các lũy thừa vô tỉ. Giả sử chúng ta muốn định nghĩa, chẳng hạn, 10^√2. Về nguyên tắc, đáp án đủ đơn giản. Nếu chúng ta xấp xỉ căn bậc hai của 2 đến một số chữ số thập phân nào đó, thì lũy thừa là hữu tỉ, và chúng ta có thể lấy căn xấp xỉ, dùng phương pháp ở trên, và thu được một xấp xỉ của 10^√2. Sau đó chúng ta có thể đẩy thêm vài chữ số thập phân nữa (nó lại là hữu tỉ), lấy căn thích hợp, lần này là một căn bậc cao hơn nhiều vì mẫu số trong phân số lớn hơn nhiều, và thu được một xấp xỉ tốt hơn. Dĩ nhiên, chúng ta sẽ dính tới những căn bậc cực kỳ cao ở đây, và công việc khá khó khăn. Làm sao chúng ta đối phó với bài toán này?

Trong việc tính các căn bậc hai, căn bậc ba và các căn nhỏ khác, có một quá trình số học sẵn có mà nhờ đó chúng ta có thể thu được hết chữ số thập phân này đến chữ số thập phân khác.¹ Nhưng lượng lao động cần thiết để tính các lũy thừa vô tỉ và các logarit đi kèm với chúng (bài toán ngược) lớn đến mức không có quá trình số học đơn giản nào chúng ta có thể dùng. Vì vậy, người ta đã xây dựng các bảng cho phép chúng ta tính các lũy thừa này, và chúng được gọi là bảng logarit, hay bảng lũy thừa, tùy thuộc vào cách bảng được sắp xếp. Đó chỉ là vấn đề tiết kiệm thời gian; nếu chúng ta phải nâng một số nào đó lên một lũy thừa vô tỉ, chúng ta có thể tra cứu nó thay vì phải tự tính. Dĩ nhiên, một phép tính như vậy chỉ là một bài toán kỹ thuật, nhưng nó là một bài toán thú vị, và có giá trị lịch sử lớn. Trước hết, chúng ta không chỉ có bài toán giải x = 10^√2, mà còn có bài toán giải 10^x = 2, hay x = log₁₀ 2. Đây không phải là một bài toán trong đó chúng ta phải định nghĩa một loại số mới cho kết quả; nó đơn thuần là một bài toán tính toán. Đáp án đơn giản là một số vô tỉ, một số thập phân vô hạn, không phải một loại số mới.

Bây giờ chúng ta hãy bàn bài toán tính các nghiệm của những phương trình như vậy. Ý tưởng chung thật sự rất đơn giản. Nếu chúng ta có thể tính 10¹, và 10^4/10, và 10^1/100, và 10^4/1000 v.v., và nhân tất cả chúng lại với nhau, chúng ta sẽ được 10^1,414… hay 10^√2, và đó là ý tưởng chung mà mọi chuyện vận hành dựa trên đó. Nhưng thay vì tính 10^1/10 v.v., chúng ta sẽ tính 10^1/2, 10^1/4 v.v. Trước khi bắt đầu, chúng ta nên giải thích vì sao chúng ta lại mất công như vậy với 10, thay vì một số nào khác. Dĩ nhiên, chúng ta nhận ra rằng các bảng logarit có ích lợi thực tế lớn, hoàn toàn ngoài bài toán toán học của việc lấy căn, bởi vì với bất kỳ cơ số nào,

log_b(ac) = log_b a + log_b c.   (22.3)

Tất cả chúng ta đều quen với sự kiện rằng người ta có thể dùng sự kiện này một cách thực tế để nhân các số nếu chúng ta có một bảng logarit. Câu hỏi duy nhất là, chúng ta sẽ tính với cơ số b nào? Việc dùng cơ số nào chẳng tạo ra khác biệt gì; chúng ta có thể dùng cùng một nguyên lý mọi lúc, và nếu chúng ta đang dùng logarit theo một cơ số cụ thể nào đó, chúng ta có thể tìm logarit theo bất kỳ cơ số nào khác chỉ bằng một sự thay đổi thang, một thừa số nhân. Nếu chúng ta nhân phương trình (22.3) với 61, nó cũng đúng như vậy, và nếu chúng ta có một bảng log với một cơ số b, và ai đó khác nhân toàn bộ bảng của chúng ta với 61, sẽ không có khác biệt thiết yếu nào. Giả sử chúng ta biết logarit của mọi số theo cơ số b. Nói cách khác, chúng ta có thể giải phương trình b^a = c cho bất kỳ c nào bởi vì chúng ta có một cái bảng. Bài toán là tìm logarit của cùng số c đó theo một cơ số khác, giả sử là cơ số x. Chúng ta muốn giải x^a′ = c. Việc này dễ làm, bởi vì chúng ta luôn có thể viết x = b^t, điều này định nghĩa t, khi biết x và b. Thật vậy, t = log_b x. Sau đó, nếu chúng ta đặt điều đó vào và giải tìm a′, chúng ta thấy rằng (b^t)^a′ = b^a′t = c. Nói cách khác, ta′ là logarit của c theo cơ số b. Như vậy a′ = a/t. Như vậy log theo cơ số x chỉ là 1/t, một hằng số, nhân với log theo cơ số b. Do đó, bất kỳ bảng log nào cũng tương đương với bất kỳ bảng log nào khác nếu chúng ta nhân với một hằng số, và hằng số đó là 1/log_b x. Điều này cho phép chúng ta chọn một cơ số cụ thể, và vì tiện lợi, chúng ta lấy cơ số 10. (Câu hỏi có thể nảy sinh là liệu có cơ số tự nhiên nào không, cơ số nào mà trong đó mọi chuyện bằng cách nào đó đơn giản hơn, và chúng ta sẽ cố tìm một đáp án cho câu hỏi đó sau. Lúc này chúng ta sẽ chỉ dùng cơ số 10.)

Bây giờ chúng ta hãy xem cách tính logarit. Chúng ta bắt đầu bằng việc tính các căn bậc hai liên tiếp của 10, bằng cách thử và sai. Kết quả được cho trong Bảng 22–1. Các lũy thừa của 10 được cho trong cột đầu tiên, và kết quả, 10^s, được cho trong cột thứ ba. Như vậy 10¹ = 10. Lũy thừa một phần hai của 10 chúng ta có thể dễ dàng tính ra, bởi vì đó là căn bậc hai của 10, và có một quá trình đơn giản, đã biết, để lấy căn bậc hai của bất kỳ số nào.¹ Dùng quá trình này, chúng ta thấy căn bậc hai đầu tiên là 3,16228. Điều đó có ích gì? Nó đã cho chúng ta biết một điều gì đó: nó cho chúng ta biết cách lấy 10^0,5, vậy bây giờ chúng ta biết ít nhất một logarit: nếu chúng ta tình cờ cần logarit của 3,16228, chúng ta biết đáp án gần bằng 0,50000. Nhưng chúng ta phải làm tốt hơn một chút; rõ ràng chúng ta cần thêm thông tin. Vậy chúng ta lấy căn bậc hai một lần nữa, và tìm ra 10^1/4, là 1,77828. Bây giờ chúng ta có logarit của nhiều số hơn trước: 1,250 là logarit của 17,78 và, nhân tiện, nếu có ai đó hỏi 10^0,75, chúng ta có thể tính được, bởi vì đó là 10^{(0,5 + 0,25)}; như vậy nó là tích của số thứ hai và số thứ ba. Nếu chúng ta có thể thu được đủ số trong cột s để có thể tạo thành gần như bất kỳ số nào, thì bằng cách nhân những thứ thích hợp trong cột 3, chúng ta có thể thu được 10 lũy thừa bất kỳ; đó là kế hoạch. Vậy chúng ta tính mười căn bậc hai liên tiếp của 10, và đó là công việc chính liên quan trong các phép tính.

Tại sao chúng ta không tiếp tục đi nữa để có độ chính xác cao hơn? Bởi vì chúng ta bắt đầu nhận thấy một điều gì đó. Khi chúng ta nâng 10 lên một lũy thừa rất nhỏ, chúng ta thu được 1 cộng một lượng nhỏ. Lý do của điều này rõ ràng, bởi vì chúng ta sẽ phải lấy lũy thừa 1000 của 10^1/1000 để quay lại 10, vậy chúng ta tốt hơn hết đừng bắt đầu với một số quá lớn; nó phải gần 1. Điều chúng ta nhận thấy là các số nhỏ được cộng vào 1 bắt đầu trông như thể chúng ta chỉ đơn giản chia đôi mỗi lần; chúng ta thấy 1815 thành 903, rồi 450, 225; vậy rõ ràng là, với một xấp xỉ tuyệt vời, nếu chúng ta lấy thêm một căn nữa, chúng ta sẽ thu được 1,00112 gì đó, và thay vì thật sự lấy mọi căn bậc hai, chúng ta đoán giới hạn cuối cùng. Khi chúng ta lấy một phân số nhỏ Δ/1024 khi Δ tiến về không, đáp án sẽ là gì? Dĩ nhiên nó sẽ là một số nào đó gần 1 + 0,0022511Δ. Tuy nhiên, không đúng chính xác là 1 + 0,0022511Δ — chúng ta có thể thu được một giá trị tốt hơn bằng mẹo sau: chúng ta trừ đi 1, rồi chia cho lũy thừa s. Điều này hẳn sẽ hiệu chỉnh mọi sự dư thừa về cùng một giá trị. Chúng ta thấy chúng rất gần bằng nhau. Ở đầu bảng chúng không bằng nhau, nhưng càng xuống dưới, chúng càng tiến gần hơn tới một giá trị hằng số. Giá trị đó là gì? Một lần nữa chúng ta nhìn xem dãy số đang đi như thế nào, nó đã thay đổi ra sao theo s. Nó thay đổi 211, rồi 104, rồi 53, rồi 26. Những thay đổi này rõ ràng bằng một nửa của nhau, rất sát, khi chúng ta đi xuống. Do đó, nếu chúng ta tiếp tục đi, các thay đổi sẽ là 13, 7, 3, 2 và 1, đại khái vậy, hay tổng cộng là 26. Như vậy chúng ta chỉ còn 26 nữa để đi, và vậy chúng ta thấy rằng con số đúng là 2,3025. (Thật ra, sau này chúng ta sẽ thấy rằng con số chính xác phải là 2,3026, nhưng để giữ cho nó thực tế, chúng ta sẽ không thay đổi gì trong số học.) Từ bảng này, giờ đây chúng ta có thể tính bất kỳ lũy thừa nào của 10, bằng cách hợp thành lũy thừa đó từ các phần 1024.

Bây giờ chúng ta hãy thật sự tính một logarit, bởi vì quá trình chúng ta sẽ dùng là nơi mà các bảng logarit thật sự ra đời. Quy trình được trình bày trong Bảng 22–2, và các giá trị số được cho trong Bảng 22–1 (cột 2 và 3).

2 ÷ 1,77828 = 1,124682
1,124682 ÷ 1,074607 = 1,046598, v.v.
∴  2 = (1,77828)(1,074607)(1,036633)(1,0090350)(1,000573)
= 10^{[(256 + 32 + 16 + 4 + 0,254)/1024]} = 10^{[308,254/1024]} = 10^0,30103   (573/2249 = 0,254)
∴  log₁₀ 2 = 0,30103   (Bảng 22–2 — Tính một logarit: log₁₀ 2)

Giả sử chúng ta muốn logarit của 2. Tức là, chúng ta muốn biết phải nâng 10 lên lũy thừa bao nhiêu để được 2. Chúng ta có thể nâng 10 lên lũy thừa 1/2 không? Không; như vậy thì quá lớn. Nói cách khác, chúng ta có thể thấy rằng đáp án sẽ lớn hơn 1/4, và nhỏ hơn 1/2. Chúng ta hãy lấy thừa số 10^1/4 ra; chúng ta chia 2 cho 1,778…, và được 1,124…, v.v., và bây giờ chúng ta biết rằng chúng ta đã lấy đi 0,250000 khỏi logarit. Số 1,124…, giờ đây là số mà chúng ta cần logarit của nó. Khi chúng ta xong việc, chúng ta sẽ cộng lại 1/4, hay 256/1024. Bây giờ chúng ta nhìn trong bảng để tìm số tiếp theo ngay dưới 1,124…, và đó là 1,074607. Do đó chúng ta chia cho 1,074607 và được 1,046598. Từ đó chúng ta khám phá ra rằng 2 có thể được tạo thành từ một tích của các số có trong Bảng 22–1, như sau: 2 = (1,77828)(1,074607)(1,036633)(1,0090350)(1,000573). Tự nhiên còn thừa lại một thừa số (1,000573), nằm ngoài phạm vi bảng của chúng ta. Để lấy logarit của thừa số này, chúng ta dùng kết quả của mình rằng 10^Δ/1024 ≈ 1 + 2,3025Δ/1024. Chúng ta thấy Δ = 0,254. Do đó đáp án của chúng ta là 10 lũy thừa như sau: (256 + 32 + 16 + 4 + 0,254)/1024. Cộng những số đó lại với nhau, chúng ta được 308,254/1024. Chia ra, chúng ta được 0,30103, vậy chúng ta biết rằng log₁₀ 2 = 0,30103, điều tình cờ đúng tới 5 chữ số!

Đây là cách logarit ban đầu được tính bởi ông Briggs ở Halifax, vào năm 1620. Ông nói: “Tôi đã tính liên tiếp 54 căn bậc hai của 10.” Chúng ta biết ông thật sự chỉ tính 27 căn đầu tiên, bởi vì phần còn lại có thể thu được bằng mẹo với Δ này. Công việc của ông liên quan đến việc tính căn bậc hai của 10 hai mươi bảy lần, không nhiều hơn mười lần chúng ta đã làm là bao; tuy nhiên, nó vất vả hơn bởi vì ông tính đến mười sáu chữ số thập phân, rồi rút gọn đáp án của mình thành mười bốn khi xuất bản, để không có sai số làm tròn. Ông đã làm các bảng logarit tới mười bốn chữ số thập phân bằng phương pháp này, điều khá tẻ nhạt. Nhưng mọi bảng logarit trong ba trăm năm đều được mượn từ các bảng của ông Briggs bằng cách giảm số chữ số thập phân. Chỉ trong thời hiện đại, với WPA và các máy tính toán, các bảng mới mới được tính một cách độc lập. Ngày nay có những phương pháp tính logarit hiệu quả hơn nhiều, dùng một số khai triển chuỗi nhất định.

Trong quá trình trên, chúng ta đã khám phá ra một điều khá thú vị, đó là với các lũy thừa rất nhỏ ε chúng ta có thể tính 10^ε một cách dễ dàng; chúng ta đã khám phá ra rằng 10^ε = 1 + 2,3025ε, bằng phân tích số thuần túy. Dĩ nhiên điều này cũng có nghĩa là 10^n/2,3025 = 1 + n nếu n rất nhỏ. Bây giờ logarit theo bất kỳ cơ số nào khác chỉ là bội số của logarit theo cơ số 10. Cơ số 10 được dùng chỉ vì chúng ta có 10 ngón tay, và số học của nó dễ dàng, nhưng nếu chúng ta hỏi một cơ số tự nhiên theo toán học, một cơ số không liên quan gì đến số ngón tay trên con người, chúng ta có thể cố thay đổi thang logarit của mình theo một cách thuận tiện và tự nhiên nào đó, và phương pháp mà người ta đã chọn là định nghĩa lại logarit bằng cách nhân mọi logarit theo cơ số 10 với 2,3025… Điều này khi đó tương ứng với việc dùng một cơ số khác, và cơ số này được gọi là cơ số tự nhiên, hay cơ số e. Lưu ý rằng log_e(1 + n) ≈ n, hay eⁿ ≈ 1 + n khi n → 0.

Việc tìm ra e là gì đủ dễ dàng: e = 10^1/2,3025… hay 10^0,434310…, một lũy thừa vô tỉ. Bảng các căn bậc hai liên tiếp của 10 của chúng ta có thể được dùng để tính, không chỉ logarit, mà còn 10 lũy thừa bất kỳ, vậy chúng ta hãy dùng nó để tính cơ số tự nhiên e này. Để tiện lợi, chúng ta biến đổi 0,434310… thành 444,73/1024. Bây giờ, 444,73 là 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0,73. Do đó e, vì nó là một số mũ của một tổng, sẽ là tích của các số (1,77828)(1,33352)(1,074607)(1,036633)(1,018152)(1,009035)(1,001643) = 2,7184. (Vấn đề duy nhất là số cuối cùng, ứng với 0,73, và không có trong bảng, nhưng chúng ta biết rằng nếu Δ đủ nhỏ, đáp án là 1 + 0,0022486Δ.) Khi chúng ta nhân tất cả những số này lại với nhau, chúng ta được 2,7184 (lẽ ra nó phải là 2,7183, nhưng thế là đủ tốt rồi). Việc dùng các bảng như vậy, khi đó, là cách mà mọi lũy thừa vô tỉ và logarit của các số vô tỉ đều được tính. Điều đó xử lý xong các số vô tỉ.

22–5  Số phức

Bây giờ hóa ra là sau ngần ấy công việc chúng ta vẫn không thể giải mọi phương trình! Chẳng hạn, căn bậc hai của −1 là gì? Giả sử chúng ta phải tìm x² = −1. Bình phương của không số hữu tỉ nào, của không số vô tỉ nào, của bất cứ thứ gì chúng ta đã khám phá cho đến nay, bằng −1. Vậy chúng ta lại phải khái quát hóa các số của mình thành một lớp còn rộng hơn nữa. Giả sử một nghiệm cụ thể của x² = −1 được gọi là một cái gì đó, chúng ta sẽ gọi nó là i; i có tính chất, theo định nghĩa, là bình phương của nó là −1. Đó là gần như tất cả những gì chúng ta sẽ nói về nó; dĩ nhiên, có nhiều hơn một căn của phương trình x² = −1. Ai đó có thể viết i, nhưng một người khác có thể nói: “Không, tôi thích −i hơn. i của tôi là trừ i của anh.” Nó cũng là một nghiệm tốt như vậy, và vì định nghĩa duy nhất mà i có là i² = −1, nên phải đúng là bất kỳ phương trình nào chúng ta có thể viết đều cũng đúng như vậy nếu dấu của i được thay đổi ở khắp mọi nơi. Việc này được gọi là lấy liên hợp phức. Bây giờ chúng ta sẽ tạo nên các số bằng cách cộng các i liên tiếp, và nhân các i với các số, và cộng các số khác, v.v., theo mọi quy tắc của chúng ta. Bằng cách này, chúng ta thấy rằng các số đều có thể được viết dưới dạng p + iq, trong đó p và q là cái chúng ta gọi là các số thực, tức là các số chúng ta đã định nghĩa cho đến lúc này. Số i được gọi là số đơn vị ảo. Bất kỳ bội số thực nào của i cũng được gọi là thuần ảo. Số tổng quát nhất, a, có dạng p + iq và được gọi là một số phức. Mọi chuyện không trở nên tệ hơn nếu, chẳng hạn, chúng ta nhân hai số như vậy, giả sử (r + is)(p + iq). Khi đó, dùng các quy tắc, chúng ta được

(r + is)(p + iq) = rp + r(iq) + (is)p + (is)(iq)
= rp + i(rq) + i(sp) + (ii)(sq)
= (rp − sq) + i(rq + sp),   (22.4)

vì ii = i² = −1. Do đó, mọi số giờ đây thuộc về các quy tắc (22.1) đều có dạng toán học này.

Bây giờ bạn nói: “Việc này có thể tiếp diễn mãi mãi! Chúng ta đã định nghĩa lũy thừa của các số ảo và mọi thứ còn lại, và khi chúng ta xong hết, một người khác sẽ xuất hiện với một phương trình khác không giải được, như x⁶ + 3x² = −2. Sau đó chúng ta lại phải khái quát hóa tất cả một lần nữa!” Nhưng hóa ra là với thêm một phát minh này nữa, chỉ là căn bậc hai của −1 thôi, mọi phương trình đại số đều có thể giải được! Đây là một sự kiện kỳ diệu, mà chúng ta phải để cho Khoa Toán chứng minh. Các chứng minh rất đẹp và rất thú vị, nhưng chắc chắn không hiển nhiên. Thật vậy, giả thiết hiển nhiên nhất là chúng ta sẽ phải phát minh đi phát minh lại mãi. Nhưng phép màu vĩ đại nhất trong tất cả là chúng ta không phải làm vậy. Đây là phát minh cuối cùng. Sau phát minh số phức này, chúng ta thấy rằng các quy tắc vẫn vận hành với số phức, và chúng ta đã xong việc phát minh những thứ mới. Chúng ta có thể tìm lũy thừa phức của bất kỳ số phức nào, chúng ta có thể giải bất kỳ phương trình nào được viết theo cách đại số, dưới dạng một số hữu hạn các ký hiệu đó. Chúng ta không tìm thấy số mới nào. Chẳng hạn, căn bậc hai của i có một kết quả xác định, nó không phải là một thứ gì mới; và iⁱ là một cái gì đó. Chúng ta sẽ bàn về điều đó bây giờ.

Chúng ta đã bàn về phép nhân, và phép cộng cũng dễ dàng; nếu chúng ta cộng hai số phức, (p + iq) + (r + is), đáp án là (p + r) + i(q + s). Bây giờ chúng ta có thể cộng và nhân các số phức. Nhưng bài toán thật sự, dĩ nhiên, là tính các lũy thừa phức của các số phức. Hóa ra bài toán thật sự không khó hơn việc tính các lũy thừa phức của các số thực. Vậy chúng ta hãy tập trung bây giờ vào bài toán tính 10 lũy thừa phức, không chỉ một lũy thừa vô tỉ, mà là 10^{(r + is)}. Dĩ nhiên, chúng ta phải luôn luôn dùng các quy tắc (22.1) và (22.2) của mình. Như vậy

10^(r+is) = 10^r10^is.   (22.5)

Nhưng 10^r chúng ta đã biết cách tính, và chúng ta luôn có thể nhân bất cứ thứ gì với bất cứ thứ gì khác; do đó bài toán là chỉ tính 10^is. Giả sử chúng ta gọi nó là một số phức nào đó, x + iy. Bài toán: cho s, tìm x, tìm y. Bây giờ nếu 10^is = x + iy, thì liên hợp phức của phương trình này cũng phải đúng, vậy nên 10^−is = x − iy. (Như vậy chúng ta thấy rằng chúng ta có thể suy ra một số điều mà không thật sự tính toán gì cả, bằng cách dùng các quy tắc của mình.) Chúng ta suy ra một điều thú vị khác bằng cách nhân những thứ này lại với nhau:

10^is10^−is = 10⁰ = 1 = (x + iy)(x − iy) = x² + y².   (22.6)

Như vậy, nếu chúng ta tìm được x, chúng ta cũng có y.

Bây giờ bài toán là tính 10 lũy thừa ảo như thế nào. Có hướng dẫn gì không? Chúng ta có thể lật đi lật lại các quy tắc của mình cho đến khi không thể đi xa hơn được nữa, nhưng đây là một hướng dẫn hợp lý: nếu chúng ta có thể tính nó cho bất kỳ s cụ thể nào, chúng ta có thể tính được nó cho tất cả những cái còn lại. Nếu chúng ta biết 10^is cho một s nào đó và sau đó chúng ta muốn nó cho gấp đôi s đó, chúng ta có thể bình phương số đó, v.v. Nhưng làm sao chúng ta có thể tìm 10^is cho dù chỉ cho một giá trị đặc biệt của s? Để làm điều đó, chúng ta sẽ đưa ra một giả thiết bổ sung, giả thiết này không hoàn toàn thuộc cùng loại với mọi quy tắc khác, nhưng dẫn đến các kết quả hợp lý và cho phép chúng ta tiến lên: khi lũy thừa nhỏ, chúng ta sẽ giả thiết rằng “định luật” 10^ε = 1 + 2,3025ε là đúng, khi ε trở nên rất nhỏ, không chỉ cho ε thực, mà còn cho ε phức nữa. Do đó, chúng ta bắt đầu với giả thiết rằng định luật này đúng nói chung, và điều đó cho chúng ta biết rằng 10^is = 1 + 2,3025 · is, khi s → 0. Vậy chúng ta giả thiết rằng nếu s rất nhỏ, giả sử một phần trong 1024, chúng ta có một xấp xỉ khá tốt cho 10^is.

Bây giờ chúng ta lập một bảng mà nhờ đó chúng ta có thể tính mọi lũy thừa ảo của 10, tức là tính x và y. Việc đó được thực hiện như sau. Lũy thừa đầu tiên chúng ta bắt đầu là lũy thừa 1/1024, mà chúng ta cho là rất gần 1 + 2,3025i/1024. Như vậy chúng ta bắt đầu với

10^i/1024 = 1,00000 + 0,0022486i,   (22.7)

và nếu chúng ta cứ nhân số này với chính nó, chúng ta có thể đi đến một lũy thừa ảo cao hơn. Thật vậy, chúng ta có thể đảo ngược quy trình chúng ta đã dùng khi lập bảng logarit của mình, và tính bình phương, lũy thừa 4, lũy thừa 8, v.v., của (22.7), và như vậy xây dựng các giá trị được cho trong Bảng 22–3. Chúng ta nhận thấy một điều thú vị: các số x lúc đầu dương, nhưng sau đó dao động sang âm. Chúng ta sẽ xem xét điều đó kỹ hơn một chút nữa. Nhưng trước hết, chúng ta có thể tò mò muốn tìm xem với số s nào thì phần thực của 10^is bằng không. Giá trị y sẽ là 1, và như vậy chúng ta sẽ có 10^is = 1i, hay is = log₁₀ i. Như một ví dụ về cách dùng bảng này, giống như chúng ta đã tính log₁₀ 2 trước đây, bây giờ chúng ta hãy dùng Bảng 22–3 để tìm log₁₀ i.

* Lẽ ra phải là 0,0022486i.

Chúng ta phải nhân những số nào trong Bảng 22–3 lại với nhau để thu được một kết quả thuần ảo? Sau một chút thử và sai, chúng ta khám phá ra rằng để làm giảm x nhiều nhất, tốt nhất là nhân “512” với “128”. Điều này cho 0,13056 + 0,99159i. Sau đó chúng ta khám phá ra rằng chúng ta nên nhân số này với một số có phần ảo gần bằng kích thước của phần thực mà chúng ta đang cố loại bỏ. Như vậy chúng ta chọn “64” mà giá trị y của nó là 0,14349, vì giá trị đó gần nhất với 0,13056. Điều này khi đó cho −0,01308 + 1,00008i. Bây giờ chúng ta đã đi quá đà, và phải chia cho 0,99996 + 0,00900i. Chúng ta làm điều đó như thế nào? Bằng cách đổi dấu của i và nhân với 0,99996 − 0,00900i (điều này có tác dụng nếu x² + y² = 1). Tiếp tục theo cách này, chúng ta thấy rằng toàn bộ lũy thừa mà 10 phải được nâng lên để cho ra i là i(512 + 128 + 64 − 4 − 2 + 0,20)/1024, hay 698,20i/1024. Nếu chúng ta nâng 10 lên lũy thừa đó, chúng ta có thể thu được i. Do đó log₁₀ i = 0,68184i.

22–6  Số mũ ảo

Để nghiên cứu thêm chủ đề lấy các lũy thừa ảo phức, chúng ta hãy nhìn vào các lũy thừa của 10 khi lấy các lũy thừa liên tiếp, không phải gấp đôi lũy thừa mỗi lần, để theo dõi Bảng 22–3 xa hơn và xem điều gì xảy ra với những dấu trừ đó. Điều này được cho trong Bảng 22–4, trong đó chúng ta lấy 10^i/8, và cứ nhân nó với chính nó mãi. Chúng ta thấy rằng x giảm, đi qua không, dao động gần tới −1 (nếu chúng ta có thể chen vào giữa p = 10 và p = 11 thì rõ ràng nó sẽ dao động tới −1), và dao động trở lại. Giá trị y cũng đi qua đi lại.

Trong Hình 22–1, các chấm đại diện cho các số xuất hiện trong Bảng 22–4, và các đường chỉ được vẽ để giúp bạn nhìn bằng mắt. Như vậy chúng ta thấy rằng các số x và y dao động; 10^is tự lặp lại chính nó, nó là một thứ tuần hoàn, và như vậy, nó đủ dễ giải thích, bởi vì nếu một lũy thừa nào đó là i, thì lũy thừa bốn của số đó sẽ là i² bình phương. Nó sẽ lại là +1, và do đó, vì 10^0,68i bằng i, bằng cách lấy lũy thừa bốn chúng ta khám phá ra rằng 10^2,72i bằng +1. Do đó, nếu chúng ta muốn 10^3,00i, chẳng hạn, chúng ta có thể viết nó thành 10^2,72i nhân với 10^0,28i. Nói cách khác, nó có một chu kỳ, nó lặp lại. Dĩ nhiên, chúng ta nhận ra các đường cong trông như thế nào! Chúng trông giống sin và cosin, và chúng ta sẽ gọi chúng, trong một thời gian, là sin đại số và cosin đại số. Tuy nhiên, thay vì dùng cơ số 10, chúng ta sẽ đặt chúng vào cơ số tự nhiên của mình, việc này chỉ thay đổi thang ngang; vậy chúng ta ký hiệu 2,3025s là t, và viết 10^is = e^it, trong đó t là một số thực. Bây giờ e^it = x + iy, và chúng ta sẽ viết điều này thành cosin đại số của t cộng i lần sin đại số của t. Như vậy

e^it = cos t + i sin t.   (22.8)

Các tính chất của cos t và sin t là gì? Trước hết, chúng ta biết, chẳng hạn, rằng x² + y² phải bằng 1; chúng ta đã chứng minh điều đó trước đây, và nó đúng cho cơ số e cũng như cho cơ số 10. Do đó cos² t + sin² t = 1. Chúng ta cũng biết rằng, với t nhỏ, e^it = 1 + it, và do đó cos t gần bằng 1, và sin t gần bằng t, và cứ như vậy, rằng mọi tính chất khác nhau của những hàm đáng chú ý này, những hàm đến từ việc lấy các lũy thừa ảo, đều giống như sin và cosin của lượng giác.

Chu kỳ có giống nhau không? Chúng ta hãy tìm ra. e lũy thừa bao nhiêu thì bằng i? Logarit của i theo cơ số e là gì? Chúng ta đã tính nó trước đây: theo cơ số 10 nó là 0,68184i, nhưng khi chúng ta đổi thang logarit của mình sang e, chúng ta phải nhân với 2,3025, và nếu chúng ta làm điều đó nó cho ra 1,570. Vậy con số này sẽ được gọi là “π/2 đại số”. Nhưng, chúng ta thấy, nó chỉ khác π/2 thông thường ở một vị trí trong chữ số cuối cùng, và điều đó, dĩ nhiên, là kết quả của các sai số trong số học của chúng ta! Vậy chúng ta đã tạo ra hai hàm mới theo một cách thuần túy đại số, cosin và sin, những hàm thuộc về đại số, và chỉ thuộc về đại số. Chúng ta tỉnh dậy ở đoạn kết để khám phá ra chính những hàm vốn tự nhiên đối với hình học. Vậy, xét cho cùng, có một mối liên hệ giữa đại số và hình học.

Chúng ta tóm tắt bằng công thức này, công thức đáng chú ý nhất trong toán học:

e^iθ = cos θ + i sin θ.   (22.9)

Đây là viên ngọc của chúng ta.

Chúng ta có thể liên hệ hình học với đại số bằng cách biểu diễn các số phức trong một mặt phẳng; vị trí ngang của một điểm là x, vị trí dọc của một điểm là y (Hình 22–2). Chúng ta biểu diễn mọi số phức, x + iy. Sau đó, nếu khoảng cách hướng tâm tới điểm này được gọi là r và góc được gọi là θ, định luật đại số là x + iy được viết dưới dạng re^iθ, trong đó các quan hệ hình học giữa x, y, r và θ như được chỉ ra. Đây, khi đó, là sự thống nhất của đại số và hình học.

Khi chúng ta bắt đầu chương này, chỉ được trang bị những khái niệm cơ bản về số nguyên và đếm, chúng ta ít hình dung được sức mạnh của các quá trình trừu tượng hóa và khái quát hóa. Dùng tập hợp các “định luật” đại số, hay các tính chất của số, phương trình (22.1), và các định nghĩa của các phép toán ngược (22.2), chúng ta ở đây đã có thể tự mình chế tạo ra không chỉ các số mà còn những thứ hữu ích như bảng logarit, lũy thừa và các hàm lượng giác (bởi vì đó chính là các lũy thừa ảo của các số thực), tất cả chỉ bằng cách trích ra mười căn bậc hai liên tiếp của mười!