Chương 27: Quang học hình học
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập I, Chương 27: “Geometrical Optics”
27–1 Giới thiệu
Trong chương này, ta sẽ thảo luận một số ứng dụng sơ cấp của các ý tưởng trong chương trước vào một số thiết bị thực tiễn, dùng phép xấp xỉ gọi là quang học hình học. Đây là một phép xấp xỉ rất hữu ích trong việc thiết kế thực tiễn nhiều hệ và dụng cụ quang học. Quang học hình học hoặc là rất đơn giản hoặc là rất phức tạp. Ý ta là ta hoặc chỉ có thể nghiên cứu nó một cách hời hợt, để có thể thiết kế các dụng cụ một cách thô sơ, dùng các quy tắc đơn giản đến mức ta hầu như không cần bàn đến chúng ở đây, vì chúng thực tế ở trình độ trung học, hoặc nếu không, nếu ta muốn biết về các sai số nhỏ trong thấu kính và các chi tiết tương tự, chủ đề trở nên phức tạp đến mức nó quá cao cấp để thảo luận ở đây!
Nếu ai đó có một bài toán thực tế, chi tiết trong thiết kế thấu kính, bao gồm phân tích quang sai, thì người ấy được khuyên nên đọc về chủ đề này hoặc đơn giản là lần theo các tia qua các bề mặt khác nhau (điều mà sách hướng dẫn cách làm), dùng định luật khúc xạ từ phía này sang phía kia, và tìm xem chúng đi ra ở đâu và xem chúng có tạo thành một ảnh thỏa mãn không. Người ta nói rằng việc này quá tẻ nhạt, nhưng ngày nay, với máy tính, đó là cách đúng để làm. Người ta có thể thiết lập bài toán và thực hiện phép tính cho tia này nối tiếp tia khác rất dễ dàng. Vậy chủ đề thực ra cuối cùng là khá đơn giản, và không liên quan đến nguyên lý mới nào. Hơn nữa, hóa ra các quy tắc của quang học sơ cấp hay cao cấp đều hiếm khi đặc trưng cho các lĩnh vực khác, nên không có lý do đặc biệt nào để đi theo chủ đề này rất xa, với một ngoại lệ quan trọng.
Lý thuyết cao cấp và trừu tượng nhất của quang học hình học đã được Hamilton xây dựng, và hóa ra nó có những ứng dụng rất quan trọng trong cơ học. Nó thực ra còn quan trọng trong cơ học hơn là trong quang học, và vì vậy ta để dành lý thuyết của Hamilton cho chủ đề cơ học giải tích cao cấp, được học ở năm cuối đại học hoặc ở bậc sau đại học. Vậy, với sự đánh giá rằng quang học hình học đóng góp rất ít, ngoại trừ vì chính nó, giờ ta tiếp tục thảo luận các tính chất sơ cấp của các hệ quang học đơn giản trên cơ sở các nguyên lý đã được phác thảo trong chương trước.
Để tiếp tục, ta phải có một công thức hình học, đó là công thức sau: nếu ta có một tam giác với chiều cao nhỏ h và đáy dài d, thì đường chéo s (ta sẽ cần nó để tìm hiệu thời gian giữa hai lộ trình khác nhau) dài hơn đáy (Hình 27–1). Dài hơn bao nhiêu? Hiệu Δ = s − d có thể được tìm bằng nhiều cách. Một cách là thế này. Ta thấy rằng s2 − d2 = h2, hay (s − d)(s + d) = h2. Nhưng s − d = Δ, và s + d ≈ 2s. Như vậy
Δ ≈ h2/2s. (27.1)
Đó là tất cả hình học ta cần để thảo luận sự tạo thành ảnh bởi các mặt cong!
27–2 Tiêu cự của một mặt cầu
Tình huống đầu tiên và đơn giản nhất để thảo luận là một mặt khúc xạ duy nhất, phân cách hai môi trường có chiết suất khác nhau (Hình 27–2). Ta để trường hợp các chiết suất tùy ý cho sinh viên, vì ý tưởng luôn là điều quan trọng nhất, không phải tình huống cụ thể, và bài toán đủ dễ để làm trong mọi trường hợp. Vậy ta sẽ giả sử rằng, ở phía trái, tốc độ là 1 và ở phía phải nó là 1/n, trong đó n là chiết suất. Ánh sáng truyền chậm hơn trong thủy tinh một hệ số n.
Nay giả sử ta có một điểm tại O, ở khoảng cách s từ mặt trước của thủy tinh, và một điểm khác O′ ở khoảng cách s′ bên trong thủy tinh, và ta mong muốn sắp xếp mặt cong sao cho mọi tia từ O đập vào mặt, tại bất kỳ điểm P nào, sẽ bị bẻ cong để tiến về phía điểm O′. Để điều đó đúng, ta phải tạo hình mặt sao cho thời gian ánh sáng cần để đi từ O đến P, tức là khoảng cách OP chia cho tốc độ ánh sáng (tốc độ ở đây là đơn vị), cộng với n · O′P, vốn là thời gian cần để đi từ P đến O′, bằng một hằng số không phụ thuộc vào điểm P. Điều kiện này cung cấp cho ta một phương trình để xác định mặt. Đáp án là mặt đó là một đường cong bậc bốn rất phức tạp, và sinh viên có thể tự giải trí bằng cách thử tính nó bằng hình học giải tích. Sẽ đơn giản hơn nếu thử một trường hợp đặc biệt ứng với s → ∞, vì khi đó đường cong là một đường cong bậc hai và dễ nhận ra hơn. Thật thú vị khi so sánh đường cong này với đường parabol mà ta đã tìm cho một gương hội tụ khi ánh sáng đến từ vô cực.
Vậy mặt đúng không thể dễ dàng chế tạo — để hội tụ ánh sáng từ một điểm đến một điểm khác cần một mặt khá phức tạp. Hóa ra trong thực tiễn ta thường không cố chế tạo những mặt phức tạp như vậy, mà thay vào đó ta thỏa hiệp. Thay vì cố làm cho mọi tia đều đến một tiêu điểm, ta sắp xếp sao cho chỉ các tia khá gần trục OO′ mới đến một tiêu điểm. Các tia xa hơn có thể lệch nếu chúng muốn, thật không may, vì mặt lý tưởng là phức tạp, và thay vào đó ta dùng một mặt cầu với độ cong đúng tại trục. Việc chế tạo một mặt cầu dễ hơn rất nhiều so với các mặt khác nên việc tìm hiểu điều gì xảy ra với các tia đập vào một mặt cầu là có lợi cho ta, với giả sử rằng chỉ các tia gần trục mới được hội tụ hoàn hảo. Những tia ở gần trục đôi khi được gọi là tia cận trục, và cái ta đang phân tích là các điều kiện cho sự hội tụ của các tia cận trục. Ta sẽ thảo luận sau các sai số được đưa vào bởi thực tế rằng không phải mọi tia đều luôn gần trục.
Như vậy, giả sử P ở gần trục, ta hạ một đường vuông góc PQ sao cho chiều cao PQ là h. Trong một lúc, ta tưởng tượng rằng mặt là một mặt phẳng đi qua P. Trong trường hợp đó, thời gian cần để đi từ O đến P sẽ vượt quá thời gian từ O đến Q, và cũng vậy, thời gian từ P đến O′ sẽ vượt quá thời gian từ Q đến O′. Nhưng đó là lý do tại sao thủy tinh phải cong, vì tổng thời gian thừa phải được bù bởi sự chậm trễ khi đi qua từ V đến Q! Nay thời gian thừa dọc theo lộ trình OP là h2/2s, và thời gian thừa trên lộ trình kia là nh2/2s′. Thời gian thừa này, vốn phải được đối sánh bởi sự chậm trễ khi đi dọc VQ, khác với cái nó lẽ ra có trong chân không, vì có một môi trường hiện diện. Nói cách khác, thời gian đi từ V đến Q không giống như đi thẳng trong không khí, mà chậm hơn một hệ số n, nên độ chậm thừa trong khoảng cách này khi đó là (n − 1)VQ. Và nay, VQ lớn bao nhiêu? Nếu điểm C là tâm của mặt cầu và nếu bán kính của nó là R, ta thấy bằng cùng một công thức rằng khoảng cách VQ bằng h2/2R. Do đó ta khám phá ra rằng định luật liên hệ các khoảng cách s và s′, và cho ta bán kính cong R của mặt mà ta cần, là
(h2/2s) + (nh2/2s′) = (n−1)h2/2R (27.2)
hay,
(1/s) + (n/s′) = (n−1)/R. (27.3)
Nếu ta có một vị trí O và một vị trí khác O′, và muốn hội tụ ánh sáng từ O đến O′, thì ta có thể tính bán kính cong R cần thiết của mặt bằng công thức này.
Nay hóa ra, điều thú vị là, cùng một thấu kính đó, với cùng độ cong R đó, sẽ hội tụ cho các khoảng cách khác, cụ thể là, cho bất kỳ cặp khoảng cách nào sao cho tổng của hai nghịch đảo, một cái nhân với n, là một hằng số. Như vậy một thấu kính cho trước sẽ (miễn là ta giới hạn mình ở các tia cận trục) hội tụ không chỉ từ O đến O′, mà còn giữa vô số cặp điểm khác, miễn là các cặp điểm đó mang mối quan hệ rằng 1/s + n/s′ là một hằng số, đặc trưng của thấu kính.
Đặc biệt, một trường hợp thú vị là trường hợp trong đó s → ∞. Ta có thể thấy từ công thức rằng khi một s tăng, s kia giảm. Nói cách khác, nếu điểm O đi ra, điểm O′ đi vào, và ngược lại. Khi điểm O đi ra vô cực, điểm O′ tiếp tục di chuyển vào cho đến khi nó đạt một khoảng cách nào đó, gọi là tiêu cự f′, bên trong vật liệu. Nếu các tia song song đi vào, chúng sẽ gặp trục tại một khoảng cách f′. Tương tự, ta có thể tưởng tượng nó theo cách ngược lại. (Hãy nhớ quy tắc thuận nghịch: nếu ánh sáng sẽ đi từ O đến O′, dĩ nhiên nó cũng sẽ đi từ O′ đến O.) Do đó, nếu ta có một nguồn sáng bên trong thủy tinh, ta có thể muốn biết tiêu điểm ở đâu. Đặc biệt, nếu ánh sáng trong thủy tinh ở vô cực (cùng một bài toán) nó sẽ hội tụ ở đâu bên ngoài? Khoảng cách này được gọi là f. Dĩ nhiên, ta cũng có thể đặt nó theo cách ngược lại. Nếu ta có một nguồn sáng tại f và ánh sáng đi qua mặt, thì nó sẽ đi ra như một chùm song song. Ta có thể dễ dàng tìm ra f và f′ là gì:
n/f′ = (n−1)/R hay f′ = Rn/(n−1), (27.4)
1/f = (n−1)/R hay f = R/(n−1). (27.5)
Ta thấy một điều thú vị: nếu ta chia mỗi tiêu cự cho chiết suất tương ứng, ta được cùng một kết quả! Định lý này, trên thực tế, là tổng quát. Nó đúng đối với bất kỳ hệ thấu kính nào, dù phức tạp đến đâu, nên việc ghi nhớ nó là thú vị. Ta đã không chứng minh ở đây rằng nó là tổng quát — ta chỉ lưu ý nó đối với một mặt duy nhất, nhưng hóa ra nó đúng một cách tổng quát rằng hai tiêu cự của một hệ liên hệ với nhau theo cách này. Đôi khi Phương trình (27.3) được viết dưới dạng,
1/s + n/s′ = 1/f. (27.6)
Dạng này hữu ích hơn (27.3) vì ta có thể đo f dễ dàng hơn so với việc đo độ cong và chiết suất của thấu kính: nếu ta không quan tâm đến việc thiết kế một thấu kính hay biết nó thành ra như vậy bằng cách nào, mà đơn giản chỉ nhấc nó ra khỏi kệ, đại lượng thú vị là f, không phải n và 1 và R!
Giờ đây một tình huống thú vị xảy ra nếu s trở nên nhỏ hơn f. Điều gì xảy ra khi đó? Nếu s < f, thì (1/s) > (1/f), và do đó s′ là âm; phương trình của ta nói rằng ánh sáng sẽ chỉ hội tụ với một giá trị âm của s′, điều đó nghĩa là gì! Nó thực sự có nghĩa một điều rất thú vị và rất xác định. Nói cách khác, nó vẫn là một công thức hữu ích, ngay cả khi các con số là âm. Ý nghĩa của nó được chỉ ra trong Hình 27–3. Nếu ta vẽ các tia đang phân kỳ từ O, chúng sẽ bị bẻ cong, đúng là vậy, tại mặt, và chúng sẽ không đến một tiêu điểm, vì O ở gần đến mức chúng “vượt quá song song”. Tuy nhiên, chúng phân kỳ như thể chúng đã đến từ một điểm O′ bên ngoài thủy tinh. Đây là một ảnh biểu kiến, đôi khi gọi là một ảnh ảo. Ảnh O′ trong Hình 27–2 được gọi là một ảnh thật. Nếu ánh sáng thực sự đến một điểm, đó là một ảnh thật. Nhưng nếu ánh sáng dường như đang đến từ một điểm, một điểm giả tạo khác với điểm gốc, đó là một ảnh ảo. Vậy khi s′ cho ra âm, điều đó có nghĩa là O′ ở phía bên kia của mặt, và mọi thứ đều ổn.
Giờ hãy xét trường hợp thú vị trong đó R bằng vô cực; khi đó ta có (1/s) + (n/s′) = 0. Nói cách khác, s′ = −ns, có nghĩa là nếu ta nhìn từ một môi trường đặc vào một môi trường loãng và nhìn thấy một điểm trong môi trường loãng, nó dường như sâu hơn một hệ số n. Tương tự, ta có thể dùng cùng phương trình theo chiều ngược lại, để nếu ta nhìn qua một mặt phẳng vào một vật ở một khoảng cách nào đó bên trong môi trường đặc, nó sẽ dường như như thể ánh sáng đang đến từ không xa phía sau bằng (Hình 27–4). Khi ta nhìn đáy của một bể bơi từ phía trên, nó không trông sâu như thực tế, với một hệ số 3/4, vốn là nghịch đảo của chiết suất của nước.
Dĩ nhiên, ta có thể tiếp tục thảo luận gương cầu. Nhưng nếu người ta đánh giá đúng các ý tưởng liên quan, người ấy hẳn có thể tự làm ra nó cho mình. Do đó ta để cho sinh viên tự làm ra công thức cho gương cầu, nhưng ta nhắc rằng việc áp dụng một số quy ước nào đó liên quan đến các khoảng cách liên quan là rất tốt:
1. Khoảng cách vật s là dương nếu điểm O ở phía trái của mặt.
2. Khoảng cách ảnh s′ là dương nếu điểm O′ ở phía phải của mặt.
3. Bán kính cong của mặt là dương nếu tâm ở phía phải của mặt.
Trong Hình 27–2, chẳng hạn, s, s′ và R đều dương; trong Hình 27–3, s và R dương, nhưng s′ âm. Nếu ta đã dùng một mặt lõm, công thức (27.3) của ta vẫn sẽ cho kết quả đúng nếu ta đơn giản làm cho R là một đại lượng âm.
Khi làm ra công thức tương ứng cho một gương, dùng các quy ước trên, bạn sẽ thấy rằng nếu bạn đặt n = −1 trong toàn bộ công thức (27.3) (như thể vật liệu phía sau gương có chiết suất −1), công thức đúng cho một gương sẽ xuất hiện!
Mặc dù việc suy ra công thức (27.3) là đơn giản và tao nhã, dùng thời gian ngắn nhất, dĩ nhiên người ta có thể làm ra cùng một công thức dùng định luật Snell, nhớ rằng các góc nhỏ đến mức sin của các góc có thể được thay bằng chính các góc.
27–3 Tiêu cự của một thấu kính
Giờ ta tiếp tục xét một tình huống khác, một tình huống rất thực tiễn. Hầu hết các thấu kính ta dùng có hai mặt, không chỉ một mặt. Điều này ảnh hưởng đến sự việc như thế nào? Giả sử ta có hai mặt với độ cong khác nhau, với thủy tinh lấp đầy khoảng không gian giữa chúng (Hình 27–5). Ta muốn nghiên cứu bài toán hội tụ từ một điểm O đến một điểm thay thế O′. Ta có thể làm điều đó bằng cách nào? Đáp án là thế này: Trước hết, dùng công thức (27.3) cho mặt thứ nhất, quên đi mặt thứ hai. Điều này sẽ cho ta biết ánh sáng đang phân kỳ từ O sẽ dường như đang hội tụ hay phân kỳ, tùy theo dấu, từ một điểm nào khác, chẳng hạn O′. Nay ta xét một bài toán mới. Ta có một mặt khác, giữa thủy tinh và không khí, trong đó các tia đang hội tụ về phía một điểm nào đó O′. Chúng sẽ thực sự hội tụ ở đâu? Ta lại dùng cùng công thức đó! Ta thấy chúng hội tụ tại O″. Như vậy, nếu cần, ta có thể đi qua 75 mặt bằng cách chỉ dùng cùng một công thức liên tiếp, từ mặt này sang mặt tiếp theo!
Có một số công thức khá cao cấp sẽ tiết kiệm cho ta khá nhiều năng lượng trong vài lần trong đời mà ta có thể phải lần theo ánh sáng qua năm mặt, nhưng việc lần theo nó qua năm mặt khi bài toán phát sinh thì dễ hơn là ghi nhớ một đống công thức, vì có thể ta sẽ không bao giờ phải lần theo nó qua bất kỳ mặt nào cả!
Trong mọi trường hợp, nguyên lý là khi ta đi qua một mặt, ta tìm một vị trí mới, một tiêu điểm mới, và sau đó lấy điểm đó làm điểm khởi đầu cho mặt tiếp theo, và cứ thế. Để thực sự làm điều này, vì trên mặt thứ hai ta đang đi từ n đến 1 chứ không phải từ 1 đến n, và vì trong nhiều hệ có hơn một loại thủy tinh, nên có các chiết suất n1, n2, …, ta thực sự cần một sự tổng quát hóa của công thức (27.3) cho một trường hợp trong đó có hai chiết suất khác nhau, n1 và n2, chứ không chỉ n. Khi đó không khó để chứng minh rằng dạng tổng quát của (27.3) là
(n1/s) + (n2/s′) = (n2−n1)/R. (27.7)
Đặc biệt đơn giản là trường hợp đặc biệt trong đó hai mặt rất gần nhau — gần đến mức ta có thể bỏ qua các sai số nhỏ do độ dày. Nếu ta vẽ thấu kính như được chỉ ra trong Hình 27–6, ta có thể đặt câu hỏi này: Thấu kính phải được chế tạo như thế nào để hội tụ ánh sáng từ O đến O′? Giả sử ánh sáng đến đúng mép của thấu kính, tại điểm P. Khi đó thời gian thừa khi đi từ O đến O′ là (n1h2/2s) + (n1h2/2s′), tạm bỏ qua trong một lúc sự hiện diện của độ dày T của thủy tinh có chiết suất n2. Nay, để làm cho thời gian của đường trực tiếp bằng thời gian của đường OPO′, ta phải dùng một mảnh thủy tinh có độ dày T tại tâm sao cho độ chậm được đưa vào khi đi qua độ dày này đủ để bù cho thời gian thừa ở trên. Do đó độ dày của thấu kính tại tâm phải được cho bởi mối quan hệ
(n1h2/2s) + (n1h2/2s′) = (n2−n1)T. (27.8)
Ta cũng có thể biểu diễn T theo các bán kính R1 và R2 của hai mặt. Chú ý đến quy ước (3) của ta, như vậy ta tìm được, đối với R1 < R2 (một thấu kính lồi),
T = (h2/2R1) − (h2/2R2). (27.9)
Do đó, cuối cùng ta được
(n1/s) + (n1/s′) = (n2−n1)(1/R1−1/R2). (27.10)
Nay ta lại lưu ý rằng nếu một trong các điểm ở vô cực, điểm kia sẽ ở một điểm mà ta sẽ gọi là tiêu cự f. Tiêu cự f được cho bởi
1/f = (n−1)(1/R1−1/R2). (27.11)
trong đó n = n2/n1.
Nay, nếu ta lấy trường hợp ngược lại, trong đó s đi ra vô cực, ta thấy s′ ở tiêu cự f′. Lần này các tiêu cự là bằng nhau. (Đây là một trường hợp đặc biệt khác của quy tắc tổng quát rằng tỉ số của hai tiêu cự là tỉ số của các chiết suất trong hai môi trường mà các tia hội tụ. Trong hệ quang học cụ thể này, các chiết suất đầu và cuối là như nhau, nên hai tiêu cự bằng nhau.)
Quên đi trong một lúc công thức thực tế cho tiêu cự, nếu ta mua một thấu kính mà ai đó đã thiết kế với các bán kính cong nào đó và một chiết suất nào đó, ta có thể đo tiêu cự, chẳng hạn bằng cách nhìn xem một điểm ở vô cực hội tụ ở đâu. Một khi ta đã có tiêu cự, sẽ tốt hơn nếu viết phương trình của ta theo chính tiêu cự, và công thức khi đó là
(1/s) + (1/s′) = 1/f. (27.12)
Giờ ta hãy xem công thức hoạt động như thế nào và nó hàm ý gì trong các hoàn cảnh khác nhau. Trước hết, nó hàm ý rằng nếu s hoặc s′ là vô cực thì cái kia là f. Điều đó có nghĩa là ánh sáng song song hội tụ tại một khoảng cách f, và điều này trên thực tế định nghĩa f. Một điều thú vị khác mà nó nói là cả hai điểm đều di chuyển theo cùng một hướng. Nếu một điểm di chuyển sang phải, điểm kia cũng vậy. Một điều nữa nó nói là s và s′ bằng nhau nếu cả hai đều bằng 2f. Nói cách khác, nếu ta muốn một tình huống đối xứng, ta thấy chúng sẽ đều hội tụ tại một khoảng cách 2f.
27–4 Độ phóng đại
Cho đến nay ta chỉ thảo luận tác dụng hội tụ đối với các điểm trên trục. Giờ ta hãy thảo luận cả sự tạo ảnh của các vật không chính xác trên trục, mà hơi lệch một chút, để ta có thể hiểu các tính chất của độ phóng đại. Khi ta thiết lập một thấu kính để hội tụ ánh sáng từ một sợi tóc nhỏ lên một “điểm” trên một màn, ta nhận thấy trên màn ta thu được một “hình ảnh” của cùng sợi tóc đó, ngoại trừ có kích thước lớn hơn hoặc nhỏ hơn sợi tóc thật. Điều này hẳn có nghĩa là ánh sáng đến một tiêu điểm từ mỗi điểm của sợi tóc. Để hiểu điều này tốt hơn một chút, ta hãy phân tích hệ thấu kính mỏng được chỉ ra sơ lược trong Hình 27–7. Ta biết các sự kiện sau:
1. Bất kỳ tia nào đến song song ở một phía đều tiến về phía một điểm cụ thể nào đó gọi là tiêu điểm ở phía kia, tại một khoảng cách f từ thấu kính.
2. Bất kỳ tia nào đến thấu kính từ tiêu điểm ở một phía đều đi ra song song với trục ở phía kia.
Đây là tất cả những gì ta cần để thiết lập công thức (27.12) bằng hình học, như sau: Giả sử ta có một vật ở một khoảng cách x nào đó từ tiêu điểm; đặt chiều cao của vật là y. Khi đó ta biết rằng một trong các tia, cụ thể là PQ, sẽ bị bẻ cong để đi qua tiêu điểm R ở phía kia. Nay nếu thấu kính sẽ hội tụ điểm P chút nào, ta có thể tìm ra nó ở đâu nếu ta tìm ra một tia khác nữa đi đâu, vì tiêu điểm mới sẽ là nơi hai tia giao nhau trở lại. Ta chỉ cần dùng sự khéo léo của mình để tìm hướng chính xác của một tia khác nữa. Nhưng ta nhớ rằng một tia song song đi qua tiêu điểm và ngược lại: một tia đi qua tiêu điểm sẽ đi ra song song! Vì vậy ta vẽ tia PT qua U. (Đúng là các tia thực tế đang thực hiện việc hội tụ có thể bị giới hạn nhiều hơn hai tia ta đã vẽ, nhưng chúng khó tính hơn, nên ta giả vờ rằng ta có thể tạo tia này.) Vì nó sẽ đi ra song song, ta vẽ TS song song với XW. Giao điểm S là điểm ta cần. Điều này sẽ xác định vị trí đúng và chiều cao đúng. Ta gọi chiều cao là y′ và khoảng cách từ tiêu điểm là x′. Nay ta có thể suy ra một công thức thấu kính. Dùng các tam giác đồng dạng PVU và TXU, ta tìm được
y′/f = y/x. (27.13)
Tương tự, từ các tam giác SWR và QXR, ta được
y′/x′ = y/f. (27.14)
Giải mỗi phương trình cho y′/y, ta thấy rằng
y′/y = x′/f = f/x. (27.15)
Phương trình (27.15) là công thức thấu kính nổi tiếng; trong đó có mọi điều ta cần biết về thấu kính: Nó cho ta độ phóng đại, y′/y, theo các khoảng cách và các tiêu cự. Nó cũng liên hệ hai khoảng cách x và x′ với f:
xx′ = f2, (27.16)
đây là một dạng gọn gàng hơn nhiều để làm việc so với Phương trình (27.12). Ta để cho sinh viên chứng minh rằng nếu ta gọi s = x + f và s′ = x′ + f, Phương trình (27.12) cũng giống như Phương trình (27.16).
27–5 Thấu kính ghép
Mà không thực sự suy ra nó, ta sẽ mô tả ngắn gọn kết quả tổng quát khi ta có một số thấu kính. Nếu ta có một hệ gồm vài thấu kính, làm sao ta có thể phân tích nó? Điều đó dễ dàng. Ta bắt đầu với một vật nào đó và tính xem ảnh của nó ở đâu đối với thấu kính thứ nhất, dùng công thức (27.16) hoặc (27.12) hoặc bất kỳ công thức tương đương nào khác, hoặc bằng cách vẽ sơ đồ. Vậy ta tìm được một ảnh. Sau đó ta coi ảnh này như nguồn cho thấu kính tiếp theo, và dùng thấu kính thứ hai với tiêu cự của nó là gì đi nữa để lại tìm một ảnh. Ta đơn giản chỉ lần theo sự việc qua dãy các thấu kính. Đó là tất cả những gì cần làm. Nó không liên quan đến điều gì mới về nguyên lý, nên ta sẽ không đi sâu vào nó. Tuy nhiên, có một kết quả ròng rất thú vị của các hiệu ứng của bất kỳ dãy thấu kính nào lên ánh sáng bắt đầu và kết thúc trong cùng một môi trường, chẳng hạn không khí. Bất kỳ dụng cụ quang học nào — một kính thiên văn hay một kính hiển vi với bất kỳ số thấu kính và gương nào — đều có tính chất sau: Tồn tại hai mặt phẳng, gọi là các mặt phẳng chính của hệ (các mặt phẳng này thường khá gần với mặt đầu tiên của thấu kính thứ nhất và mặt cuối cùng của thấu kính cuối cùng), có các tính chất sau: (1) Nếu ánh sáng đi vào hệ song song từ phía thứ nhất, nó đi ra tại một tiêu điểm nào đó, tại một khoảng cách từ mặt phẳng chính thứ hai bằng tiêu cự, đúng như thể hệ là một thấu kính mỏng đặt tại mặt phẳng này. (2) Nếu ánh sáng song song đi vào theo chiều ngược lại, nó đến một tiêu điểm tại cùng khoảng cách f từ mặt phẳng chính thứ nhất, lại như thể một thấu kính mỏng được đặt ở đó. (Xem Hình 27–8.)
Dĩ nhiên, nếu ta đo các khoảng cách x và x′, và y và y′ như trước, công thức (27.16) mà ta đã viết cho thấu kính mỏng là hoàn toàn tổng quát, với điều kiện ta đo tiêu cự từ các mặt phẳng chính chứ không phải từ tâm của thấu kính. Hóa ra đối với một thấu kính mỏng các mặt phẳng chính là trùng nhau. Nó đúng như thể ta có thể lấy một thấu kính mỏng, cắt nó xuống ở giữa, và tách nó ra, mà không nhận thấy rằng nó đã bị tách ra. Mọi tia đi vào đều bật ra ngay lập tức ở phía bên kia của mặt phẳng thứ hai từ cùng một điểm như nó đã đi vào mặt phẳng thứ nhất! Các mặt phẳng chính và tiêu cự có thể được tìm bằng thực nghiệm hoặc bằng tính toán, và sau đó toàn bộ tập hợp các tính chất của hệ quang học được mô tả. Rất thú vị là kết quả không phức tạp khi ta đã hoàn tất với một hệ quang học lớn, phức tạp như vậy.
27–6 Quang sai
Trước khi ta quá phấn khích về việc thấu kính kỳ diệu như thế nào, ta phải vội vàng nói thêm rằng cũng có những giới hạn nghiêm trọng, vì thực tế rằng ta đã giới hạn mình, nói một cách nghiêm ngặt, ở các tia cận trục, các tia gần trục. Một thấu kính thật có kích thước hữu hạn sẽ, nói chung, thể hiện quang sai. Chẳng hạn, một tia ở trên trục, dĩ nhiên, đi qua tiêu điểm; một tia rất gần trục sẽ vẫn đến tiêu điểm rất tốt. Nhưng khi ta đi ra xa hơn, tia bắt đầu lệch khỏi tiêu điểm, có thể vì thiếu một chút, và một tia đập gần mép trên đi xuống và trượt tiêu điểm một khoảng khá rộng. Vì vậy, thay vì thu được một ảnh điểm, ta thu được một vệt nhòe. Hiệu ứng này được gọi là cầu sai, vì nó là một tính chất của các mặt cầu mà ta dùng thay cho hình dạng đúng. Điều này có thể được khắc phục, đối với bất kỳ khoảng cách vật cụ thể nào, bằng cách tạo lại hình dạng của mặt thấu kính, hoặc có lẽ bằng cách dùng vài thấu kính được sắp xếp sao cho quang sai của các thấu kính riêng lẻ có xu hướng triệt tiêu lẫn nhau.
Thấu kính còn có một khuyết điểm khác: ánh sáng có màu khác nhau có tốc độ khác nhau, hay chiết suất khác nhau, trong thủy tinh, và do đó tiêu cự của một thấu kính cho trước là khác nhau đối với các màu khác nhau. Vì vậy nếu ta tạo ảnh một đốm trắng, ảnh sẽ có màu sắc, vì khi ta hội tụ cho màu đỏ, màu xanh lam bị mất nét, hoặc ngược lại. Tính chất này được gọi là sắc sai.
Vẫn còn những khuyết điểm khác. Nếu vật ở ngoài trục, thì tiêu điểm thực sự không còn hoàn hảo nữa, khi nó đủ xa khỏi trục. Cách dễ nhất để kiểm chứng điều này là hội tụ một thấu kính và sau đó nghiêng nó sao cho các tia đến ở một góc lớn so với trục. Khi đó ảnh được tạo thành thường sẽ khá thô, và có thể không có nơi nào nó hội tụ tốt. Như vậy có vài loại sai số trong thấu kính mà nhà thiết kế quang học cố gắng khắc phục bằng cách dùng nhiều thấu kính để bù trừ sai số của nhau.
Ta phải cẩn thận đến mức nào để loại bỏ quang sai? Có thể chế tạo một hệ quang học hoàn hảo tuyệt đối không? Giả sử ta đã chế tạo một hệ quang học được cho là đưa ánh sáng đến đúng một điểm. Nay, lập luận theo quan điểm thời gian ngắn nhất, ta có thể tìm một điều kiện về mức độ hoàn hảo mà hệ phải đạt không? Hệ sẽ có một loại lỗ mở vào nào đó cho ánh sáng. Nếu ta lấy tia xa trục nhất có thể đến tiêu điểm (nếu hệ là hoàn hảo, dĩ nhiên), thời gian cho mọi tia đều chính xác bằng nhau. Nhưng không có gì là hoàn hảo, nên câu hỏi là, thời gian đối với tia này có thể sai bao nhiêu mà không đáng hiệu chỉnh thêm nữa? Điều đó phụ thuộc vào việc ta muốn làm ảnh hoàn hảo đến mức nào. Nhưng giả sử ta muốn làm ảnh hoàn hảo hết mức có thể. Khi đó, dĩ nhiên, ấn tượng của ta là ta phải sắp xếp để mọi tia đều tốn thời gian gần như nhau hết mức có thể. Nhưng hóa ra điều này không đúng, rằng vượt qua một điểm nào đó ta đang cố làm một điều quá tinh vi, vì lý thuyết quang học hình học không hoạt động!
Hãy nhớ rằng nguyên lý thời gian ngắn nhất không phải là một phát biểu chính xác, không giống nguyên lý bảo toàn năng lượng hay nguyên lý bảo toàn động lượng. Nguyên lý thời gian ngắn nhất chỉ là một phép xấp xỉ, và thật thú vị khi biết có thể cho phép bao nhiêu sai số mà vẫn không tạo ra khác biệt rõ ràng nào. Đáp án là nếu ta đã sắp xếp sao cho giữa tia cực đại — tia tệ nhất, tia ở xa nhất — và tia trung tâm, hiệu thời gian nhỏ hơn khoảng chu kỳ ứng với một dao động của ánh sáng, thì việc cải thiện nó thêm nữa là vô ích. Ánh sáng là một thứ dao động với một tần số xác định liên quan đến bước sóng, và nếu ta đã sắp xếp sao cho hiệu thời gian đối với các tia khác nhau nhỏ hơn khoảng một chu kỳ, thì việc đi xa hơn nữa là vô ích.
27–7 Năng suất phân giải
Một câu hỏi thú vị khác — một câu hỏi kỹ thuật rất quan trọng đối với mọi dụng cụ quang học — là chúng có bao nhiêu năng suất phân giải. Nếu ta chế tạo một kính hiển vi, ta muốn nhìn thấy các vật mà ta đang quan sát. Điều đó có nghĩa là, chẳng hạn, nếu ta đang quan sát một vi khuẩn có một đốm ở mỗi đầu, ta muốn nhìn thấy rằng có hai chấm khi ta phóng đại chúng. Người ta có thể nghĩ rằng tất cả những gì ta phải làm là có đủ độ phóng đại — ta luôn có thể thêm một thấu kính nữa, và ta luôn có thể phóng đại hết lần này đến lần khác, và với sự khéo léo của các nhà thiết kế, mọi cầu sai và sắc sai đều có thể được triệt tiêu, và không có lý do gì ta không thể tiếp tục phóng đại ảnh. Vì vậy giới hạn của một kính hiển vi không phải là không thể chế tạo một thấu kính phóng đại hơn 2000 đường kính. Ta có thể chế tạo một hệ thấu kính phóng đại 10.000 đường kính, nhưng ta vẫn không thể nhìn thấy hai điểm ở quá gần nhau vì giới hạn của quang học hình học, vì thực tế rằng thời gian ngắn nhất không chính xác.
Để khám phá quy tắc xác định hai điểm phải cách xa nhau bao nhiêu để tại ảnh chúng xuất hiện như các điểm riêng biệt, có thể được phát biểu theo một cách rất đẹp liên quan đến thời gian cần thiết cho các tia khác nhau. Giả sử ta bỏ qua quang sai bây giờ, và tưởng tượng rằng đối với một điểm cụ thể P (Hình 27–9) mọi tia từ vật đến ảnh T đều tốn đúng cùng một thời gian. (Điều đó không đúng, vì nó không phải là một hệ hoàn hảo, nhưng đó là một bài toán khác.) Nay lấy một điểm gần đó khác, P′, và hỏi liệu ảnh của nó có phân biệt được với T không. Nói cách khác, liệu ta có thể nhận ra sự khác biệt giữa chúng không. Dĩ nhiên, theo quang học hình học, sẽ có hai ảnh điểm, nhưng cái ta nhìn thấy có thể khá nhòe và ta có thể không nhận ra rằng có hai điểm. Điều kiện để điểm thứ hai được hội tụ tại một nơi khác biệt rõ rệt so với điểm thứ nhất là hai thời gian cho các tia cực biên P′ST và P′RT ở mỗi phía của lỗ mở lớn của các thấu kính để đi từ đầu này đến đầu kia, phải không bằng nhau từ hai điểm vật khả dĩ đến một điểm ảnh cho trước. Tại sao? Vì, nếu các thời gian bằng nhau, dĩ nhiên cả hai sẽ hội tụ tại cùng một điểm. Vậy các thời gian sẽ không bằng nhau. Nhưng chúng phải khác nhau bao nhiêu để ta có thể nói rằng cả hai không đến một tiêu điểm chung, để ta có thể phân biệt hai điểm ảnh? Quy tắc tổng quát cho độ phân giải của bất kỳ dụng cụ quang học nào là thế này: hai nguồn điểm khác nhau chỉ có thể được phân giải nếu một nguồn được hội tụ tại một điểm sao cho các thời gian cho các tia cực đại từ nguồn kia đến được điểm đó, so với điểm ảnh thật của chính nó, khác nhau hơn một chu kỳ. Điều cần thiết là hiệu thời gian giữa tia trên và tia dưới đến tiêu điểm sai phải vượt quá một lượng nào đó, cụ thể là, xấp xỉ chu kỳ dao động của ánh sáng:
t2 − t1 > 1/ν, (27.17)
trong đó ν là tần số của ánh sáng (số dao động trong một giây; cũng là tốc độ chia cho bước sóng). Nếu khoảng cách tách biệt của hai điểm được gọi là D, và nếu nửa góc mở của thấu kính được gọi là θ, thì người ta có thể chứng minh rằng (27.17) chính xác tương đương với mệnh đề rằng D phải vượt quá λ/2n sin θ, trong đó n là chiết suất tại P và λ là bước sóng. Những vật nhỏ nhất mà ta có thể nhìn thấy do đó xấp xỉ bằng bước sóng của ánh sáng. Một công thức tương ứng tồn tại cho kính thiên văn, cho ta biết hiệu góc nhỏ nhất giữa hai ngôi sao mà vừa có thể phân biệt được.1
1. Góc là khoảng λ/D, trong đó D là đường kính thấu kính. Bạn có thể thấy tại sao không? ↩